Nivelamento em matemática

Embed Size (px)

Text of Nivelamento em matemática

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    1/178

     

    UNIJUÍ – UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO

    ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL

    DeFEM – Departamento de Física, Estatística e Matemática

    NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA PARA

    CURSOS DE ENGENHARIA

    Material elaborado por:

    Ângela Patrícia Grajales Spilimbergo

    Cláudia Piva

    Lecir Dalabrida Dorneles

    Com colaboração de:

    Angéli Cervi Gabbi

    Ijuí, Rio Grande do Sul, Brasil

    2011

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    2/178

      2

    SUMÁRIO

    APRESENTAÇÃO .................................................................................................................... 03

    Módulo I .................................................................................................................................... 04Seção 1.1 - Operações envolvendo sinais e expressões numéricas ..........................................  04Seção 1.2 - Operações com frações ........................................................................................... 09

    Seção 1.3 - Fatoração e simplificação algébrica ......................................................................... 14

    Seção 1.4 - Potenciação Radiciação ........................................................................................... 20

    Módulo II ...................................................................................................................................  25

    Seção 2.1 - Razão e Proporção ..................................................................................................  25

    Seção 2.2 - Grandezas proporcionais ......................................................................................... 30Seção 2.3 - Regra de três simples e composta ........................................................................... 31

    Seção 2.4 – Porcentagem ........................................................................................................... 38

    Módulo III .................................................................................................................................  42Seção 3.1 - Critérios de arredondamento .................................................................................... 42

    Seção 3.2 - Notação científica .................................................................................................... 43

    Seção 3.3 - Conversão de unidades ........................................................................................... 45

    Módulo IV ..................................................................................................................................  50Seção 4.1 - Equações exponenciais ........................................................................................... 50

    Seção 4.2 - Logaritmos ............................................................................................................... 55

    Módulo V ...................................................................................................................................  66

    Seção 5.1 - Matrizes e Determinantes ........................................................................................  66Seção 5.2 - Sistemas lineares ..................................................................................................... 77

    Módulo VI ..................................................................................................................................  88

    Seção 1.1 – Trigonometria ....................................................................................................... 88

    Módulo VII ................................................................................................................................  108Seção 2.1 - Funções: Definição; Domínio e Imagem; Gráficos ................................................ 108

    Seção 2.2 - Funções polinomiais ............................................................................................. 116

    Módulo VIII ............................................................................................................................... 130

    Seção 3.1 – Vetores ................................................................................................................ 130

    Seção 3.2 - Números complexos ............................................................................................. 139

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    3/178

      3

    Apresentação

    Frequentemente, o ensino de Matemática nas universidades, surpreende os alunos que

    acabaram de concluir o Ensino Médio e ingressam em cursos superiores como: Engenharias,Matemática, Física, Ciência da Computação, Administração, Economia entre outros, fazendo-os

    sentirem-se inseguros ao cursar as disciplinas que envolvem a Matemática.

    O ingressante no Ensino Superior, em cursos como os mencionados acima, se defronta com

    inúmeros conceitos novos em disciplinas como Cálculo Diferencial e Integral e Geometria Analítica

    e Vetores, os quais pressupõe uma base sólida de conceitos básicos de Matemática que vão dar

    suporte para o novo a ser estudado.

    Assim, com o objetivo de abordar de maneira direta e objetiva conceitos básicos de

    Matemática foi elaborado este material que não é excessivamente rigoroso, mas expõe, de maneira

    clara e didática os tópicos mais importantes e necessários para uma boa compreensão dos conceitos

    novos que serão estudados, em disciplinas como as mencionadas acima.

    Nossa experiência profissional mostra, que mesmo que as noções teóricas sobre o assunto

    sejam absorvidas rapidamente pelos alunos, nem sempre essas são bem compreendidas por eles.

    Assim, para tornar a aprendizagem uma tarefa menos árdua e para proporcionar melhorias de

    desempenho dos alunos, este material foi desenvolvido e consta dos seguintes tópicos: Operações

    algébricas, grandezas, conversão de unidades, exponenciais, logaritmos, matrizes, determinantes,

    sistemas lineares, Trigonometria, Funções, Vetores e Números Complexos.

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    4/178

      4

    MÓDULO I

    Seções deste Módulo

    1.1.  Operações envolvendo sinais e expressões numéricas 1.2.  Operações com frações

    1.3.  Fatoração e Simplificação algébrica

    1.4.  Potenciação e Radiciação

    Objetivos

    Instrumentar o aluno, para que o mesmo seja capaz de: realizar operações envolvendo sinais,

    realizar operações com frações, realizar processos de fatoração e simplificação algébrica e operar

    com potências e radicais.

    Seção 1.1

    Operações envolvendo sinais e expressões numéricas

    a)  Operações envolvendo sinais

    Um dos fatores responsáveis pelo grande número de erros nos desenvolvimentos das

    operações matemáticas é sem dúvida a regra de sinais. Para entendermos como ela funciona, o

    conceito de positivo (+) e negativo (-) deve ser bem assimilado. Para isso, vamos começar entendo a

    situação a seguir:

    Se tenho, por exemplo, R$ 10,00 e recebo mais R$ 5,00, fico com R$ 15,00; ou se devo R$

    10,00 a Pedro e devo R$ 5,00 a Maria então devo ao todo R$ 15,00 — (sinais iguais soma-se e

    repete o sinal); agora se tenho  os mesmos R$ 10,00 e gasto R$ 5,00 fico com R$ 5,00; ou se tenho 

    R$ 5,00 e devo a João R$ 10,00, só posso pagar o que tenho, isto é, os R$ 5,00, e ainda assim ficodevendo  R$ 5,00 — (sinais diferentes subtraí-se e dá o sinal do maior número em valor

    absoluto).

    Então na adição, SINAIS IGUAIS, somamos e repetimos o sinal e SINAIS DIFERENTES

    subtraímos e repetimos o sinal do maior valor absoluto, isto é, o sinal do número de maior valor.

    Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os números inteiros

    como pontos de uma reta.

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    5/178

      5

    Na operação 9 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a direita e chegamos ao

    número 14.

    Na operação 9 - 5 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a esquerda e chegamos ao

    número 4.

    Na operação 5 + 9 = 14,  partimos do número 5, andamos 9 unidades para a direita e

    chegamos ao número 14.

    Na operação 5 - 9 = - 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a esquerda e chegamos ao

    número - 4.

    Para resumir:

    •  Escrever 5 ou + 5 é a mesma coisa.•  Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos, então:

    (+) e (+) = (+) (-) e (-) = (+)

    (+) e (-) = (-) (-) e (+) = (-)

     Exemplos:

    Para sinais iguais

    •  Com o símbolo da adição explícito

    símbolo da adição ( + )

    (+5) + (+3) = +8 (–3) + (–6) = –9

    sinal positivo ( + ) sinal negativo ( – )

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    6/178

      6

    •  Com o símbolo da adição implícito (sem aparecer)

    +7 + 5 = +12 – 5 –7 = –12

    Para sinais diferentes+2 + (–5) = –3 +8 – 2 = +6 –7 + 10 = +3

    Na subtração, basta eliminar os parênteses e passamos a ter uma adição.

    símbolo da subtração ( – )

    7 – (–6) = 7 + 6 = 13 (+6) – (+2) = 6 – 2 = 4

    sinal negativo ( – ) sinal positivo ( + )

    Veja a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma e subtração de

    diversos números.

    53 - 25 + 65 - 30 - 18 =

    A melhor forma de realizar esse cálculo é somar os números positivos, somar os números

    negativos e depois subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim:

    (53 + 65) - (25 + 30 + 18) = 118 - 73 = 45

    Na multiplicação e divisão, basta contarmos os sinais NEGATIVOS (–). Se a quantidade de sinais

    negativos for PAR dará POSITIVO (+)  e se a quantidade de sinais negativos for ÍMPAR, dará

    NEGATIVO (–). 

     Exemplos:

    a)  (+2) . (+7) = +14 (nenhum negativo, logo, um número par de negativos);

    b)  +3 . (–4) = –12 (apenas um negativo, logo número ímpar de negativos);

    c)  (–12) : (–4) = +3 (número par de negativos);

    d)  (–2)3 = –8 (aqui, quem conta os negativos da base é o valor do expoente, logo, ímpar).

    Tal regra ainda pode ser utilizada na eliminação de parênteses, como foi realizada nos exemplos

    da operação de subtração:

    – (–4) = + 4 (número par de negativos);

    – (+3) = – 3 (número ímpar de negativos).

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    7/178

      7

    Resumindo

      o produto ou a divisão de um positivo por um negativo é negativo:

    (–3) . 2 = (–3) + (–3) = – 6 (–16) : (4) = - 4

      o produto ou a divisão de um negativo por um negativo é positivo:

    (–3) . (–5) = 15 (–16) : (- 4) = 4

    a)  Expressões numéricas

    Nas expressões numéricas  contendo as operações de adição, subtração, multiplicação e

    divisão são adotadas as seguintes regras:

    1ª) Primeiramente devem ser realizadas as operações multiplicativas, ou seja, a multiplicação e a

    divisão, na ordem em que aparecem;

    2ª) As operações aditivas, ou seja, adições e subtrações, na ordem em que aparecem;

    3ª) Se nas expressões numéricas aparecerem parênteses, colchetes e chaves, a regra é a seguinte:

    primeiro são efetuadas as operações de dentro dos parênteses, depois as que sobraram dentro dos

    colchetes, depois as que ficaram dentro das chaves (sempre de dentro para fora) e, por fim, as que

    ficaram fora das chaves.

     Exemplo:

    Somar primeiro

    1000-{987-[6.(5+4)+3].2+1} = 1000 - {987-[6.9+3].2+1}

    = 1000 - {987-[54+3].2+1}

    = 1000 - {987-57.2+1}

    = 1000 - {987-114+1}

    = 1000 - 874

    = 126

    Hoje em dia, com as calculadoras e os computadores, os colchetes e as chaves perderam

    a importância. Veja a equivalência do exemplo anterior:

    1000 - {987-[6.(5+4)+3].2+1} = 1000 - (987-(6.(5+4)+3).2+1)

    = 1000 - (987-(6.9+3).2+1)

    = 1000 - (987-(54+3).2+1)

    = 1000 - (987-57.2+1)

    = 1000 - (987-114+1)

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    8/178

      8

    = 1000 - 874 

    = 126

    Observação:

    Nas calculadoras não há espaço para as teclas com [ ] e { }. Por isso, usamos apenas os

    parênteses. O que devemos lembrar é que o número de parênteses de abertura deve ser

    igual o número de parênteses de fechamento.

    Exercícios

    Resolva as seguintes expressões. 

    a)  ( ) ( )865   −−−+−  

    b)  ( )3810   +−−−  

    c)  ( ) ( )431625   −−++−−−−  

    d)  ( ) ( ) ( )851837   −−+−+−  

    e)  ( ) ( ) ( )[ ]{ }5121232   ++−−−+−−−+−−  

    f)  ( )[ ]{ }2012581020   −−+−−−−  

    g)  ( ) ( ) ( )5643   ⋅−+−⋅−  

    h)  ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }423232   −⋅−+−⋅+⋅−  

    i)  ( ) ( )8204   −÷+−  

     j)  ( )[ ]   ( ) ( )[ ]23141220   −⋅−+÷+−+−  

    k)  ( ){ } 15565,04,12)312(35   −−+÷−+−  

    l)  58087300   ÷+⋅−  m)  ( )( )( ) 31734219041540   ÷+⋅−÷⋅++  

    a)  -3 b) -5 c) -5 d) 0 e) -4 f) 35 g) -18

    h) 4 i) -2 j) -4 k) -9,165 l) 260 m) 42

    Gabarito 

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    9/178

    9

    Seção 1.2

    Operações com Frações

    a)  Frações

    Chama-se fração todo parb

    a

     (leia: a sobre b) de números naturais em que:

    •  O segundo número (b), chamado de denominador, indica em quantas partes iguais a unidade foi

    dividida;

    •  O primeiro número (a), chamado numerador, indica quantas partes da unidade foram tomadas

    O numerador e o denominador são os termos da fração.

    Observações gerais sobre frações

    •  Quando multiplicamos ou dividimos os termos de uma fração por um mesmo número natural,

    diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração inicial (propriedade fundamental).

    Por exemplo, as frações abaixo são todas equivalentes entre si:

    30

    20~

    21

    14~

    6

    4~

    3

    2

     

    •  Simplificar uma fração é dividir seus termos por um mesmo número diferente de zero e obter

    termos menores que os iniciais.

    Por exemplo, simplificando a fração21

    14 obtemos a fração 3

    2. 

    •  Quando simplificamos uma fração e obtemos uma nova fração que não pode ser simplificada,

    dizemos que foi obtida a forma irredutível da fração dada.

    Por exemplo, simplificando a fração44

    12 obtemos a fração 11

    3, que está na sua forma irredutível.

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    10/178

      10

    18

    23

    18

    158

    18

    3524

    6

    5

    9

    4=

    +

    =

    ⋅+⋅

    =+  

    b)  Operações com frações

    I.  Adição e subtração de frações

    A soma de frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual ao das

    parcelas e cujo numerador é a soma dos numeradores das parcelas, ou seja:b

    ca

    b

    c

    b

    a   +=+ .

     Exemplo: 7

    5

    7

    3

    7

    2=+  

    A diferença de duas frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é

    igual ao das frações dadas e cujo numerador é a diferença dos numeradores, isto é: bca

    b

    c

    b

    a   −=−

     Exemplo: 11

    3

    11

    5

    11

    8=−  

    Quando vamos somar ou subtrair frações que tem denominadores diferentes  devemos

    primeiro reduzi-las ao mesmo denominador e, em seguida, aplicar as regras anteriores. Dadas as frações

    irredutíveisd 

    ce

    b

    a

     

    - Na adição temos d ebdemmcoé d bd b

    cbd a

    c

    b

    a⋅

    ⋅+⋅=+ ,

     

    - Na subtração temos d ebdemmcoé d bd b

    cbd a

    c

    b

    a⋅

    ⋅−⋅=− ,

     

    Observação. O mmc representa o menor múltiplo comum dos denominadores de uma fração.

     Exemplos:

    a) 6

    5

    9

    4+  

    O primeiro passo é reduzir as frações ao mesmo denominador. Para isso devemos encontrar o

    mmc(9, 6) que é 18. Então:

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    11/178

      11

     

    b) 4

    3

    3

    2−  

    O primeiro passo é reduzir as frações ao mesmo denominador. Para isso devemos encontrar ommc(3, 4) que é 12. Então:

    12

    1

    12

    98

    12

    3442

    4

    4

    3

    2−=

    −=

    ⋅−⋅=−  

    Exercício

    Calcule o valor de cada expressão.

    a)10

    1

    5

    2

    4

    3−+   b)

    3

    5

    9

    2

    5

    4−+−   c)

    8

    1

    4

    1

    2

    11   −−−

     

    d)

     

      

     −−− 1

    3

    12

    3

    7  e)

     

      

     +−−−+−

    4

    1

    8

    51

    2

    9  f)

     

      

     −−

     

      

     −+

    4

    5

    4

    7

    5

    1

    2

    11  

    Gabarito

    a)20

    21

     b)

    45

    101−

     c)

    8

    1

     d)

    3

    1−

     e)

    8

    41−

     f)

    5

    II.  Multiplicação de frações

    O produto de duas frações  é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujodenominador é o produto dos denominadores das frações dadas.

     Exemplos:

    a)10

    3

    25

    13

    2

    1

    5

    3=

    ⋅=⋅   b)

    28

    15

    74

    53

    7

    5

    4

    3   −=

    ⋅−=⋅−   c)

    5

    18

    15

    636

    5

    3=

    ⋅=⋅  

    d)7

    10

    71

    25

    7

    25   =

    −⋅−=−⋅−   e)

    14

    11

    56

    44

    78

    411

    7

    4

    8

    11==

    ⋅=⋅  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    12/178

      12

    Observação. 

    Depois de calcular o produto de duas frações, devemos simplificar a fração obtida, colocando-a

    na forma irredutível. Ou podemos cancelar os fatores comuns aos numeradores e aos denominadores

    antes de fazer a multiplicação.

    a) 7

    16

    7

    44

    7

    20

    5

    4=⋅=⋅   b)

    55

    21

    11

    7

    5

    31

    22

    7

    5

    9

    3

    2=⋅⋅=⋅⋅  

    Exercícios

    Efetue as multiplicações de frações a seguir.

    a) ( )    

      

     ⋅−

    5

    143   b)

     

      

     −⋅

     

      

     −

    36

    25

    5

    9  c)

     

      

     −⋅

     

      

     −⋅

     

      

     

    7

    3

    2

    1

    3

    d)11

    72

    60

    13⋅   e)

    54

    55

    25

    24

    18

    5−⋅−⋅  

    Gabarito

    a) 5

    42−   b)

    4

    5  c)

    7

    1

     d)

    55

    78

     e)

    81

    22 

    III.  Divisão de frações

    A divisão de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda.

     Exemplos:

    a)5

    2

    3

    2

    5

    3

    2

    3

    5

    3=⋅=÷   b)

    20

    21

    5

    7

    4

    3

    7

    5

    4

    3−=⋅−=÷−  

    c)2

    35

    2

    75

    7

    25   =−⋅−=−÷−   d)

    24

    11

    3

    1

    8

    113

    8

    11=⋅=÷  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    13/178

      13

    Exercícios

    1) Efetue as divisões de frações a seguir

    a)  

      

     ÷

     

      

     

    4

    3

    5

    3  b)

     

      

     ÷−

    6

    15   c) ( )2

    3

    4−÷−   d)

    5

    11

    2

    11÷   e)

    6

    11

    3

    7÷  

    2) Encontre o valor das expressões.

    a)2

    3

    5

    1

    4

    3

    2

    1⋅+⋅   b)

     

      

     +÷

     

      

     +

    3

    4

    3

    1

    4

    2

    4

    3  c)

    10

    9

    27

    2

    14

    20

    4

    21⋅−⋅   d)

    4

    1

    5

    23

    2

    1−⋅+  

    e)   

       −÷

      

       − 6

    141

    31

    21   f)

      

       +−÷

      

       ++ 3

    4412

    45

    31

    21   g)

      

       ⋅−÷

      

       ⋅+⋅ 4

    3212

    57

    710

    53

    31  

    h)  

      

     −÷

     

      

     ÷−⋅

    28

    372

    7

    10

    49

    5

    8

    9

    3

    2

     i)

     

      

     −÷

     

      

     −⋅

     

      

     −⋅

     

      

     −

    5

    11

    4

    11

    3

    11

    2

    11  

    Gabarito

    Questão 01:

    a)5

    4  b) 30−   c)  3

    2  d)

    2

    5  e)

    11

    14 

    Questão 02:

    a)40

    27  b)

    4

    3  c)

    30

    223  d)

    20

    29  e) 2   f)

    37

    25 

    g)65

    88  h) 1  i)

    16

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    14/178

      14

     

    Seção 1.3

    Fatoração e Simplificação algébrica 

    Um polinômio é uma expressão algébrica racional inteira. São exemplos de polinômios:

    a)   x3   b)   y x 73   +  c) 

    5

    332

    2

    1 2 −−+   baa  

    Fatorar um polinômio significa escrevê-lo na forma de um

    produto indicado. Fatorar é o mesmo que decompor em fatores ou

    transformar em produto.

    a)  Caso do fator comum

    Observe o polinômio: ayax +  

    Ele é formado por dois termos ayeax  que apresentam em comum o fator a. Pela propriedade

    distributiva, sabemos que:

    ( ) y xaayax   +=+  

    O produto )(   y xa   +   é a  forma fatorada  do polinômio dado. Na forma fatorada )(   y xa   + ,

    dizemos que o fator comum a está colocado em evidência.

     Exemplos: 

    a) ( ) y x y x y x y x 32396 2223 −=−   b) ( )2351015 223 −=−   x x x x  

    c) ( )a xax xaax 3232 2223 −=−  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    15/178

    15

    b)  Caso do agrupamento

    Observe os termos do polinômio: myaymxax   −+−  

    Os dois primeiros termos apresentam fator comum x e os dois últimos apresentam o fator comum

     y. Vamos agrupar os termos e colocar em evidência os fatores comuns:

    ( ) ( )myaymxax   −+−  

    (colocando em evidência no primeiro termo o x e o y no segundo termo)

    ( ) ( )ma yma x   −+−  

    Temos a soma de dois produtos. Nesses produtos, ( )ma −  é o fator comum. Colocando ( )ma −  

    em evidência, temos:

    ( )( ) y xma   +−  

    Com isso, transformamos o polinômio dado no produto ( )( ) y xma   +− , que é a forma fatorada

    dele. Então:

    myaymxax   −+−   = ( )( ) y xma   +−  

    Exemplos:

    a)  ( ) ( ) ( )( )a y x y xa y x   −−=−−− 55  

    b)  ( ) ( ) ( )( )2222   +−=−+−=−+−   xbababa xbabxax  

    c)  ( ) ( ) ( )( )32232632   −+=+−+=−−+   x y y y x y x xy  

    d)  ( ) ( ) ( )( )322326322 ++=+++=+++   x y x y x y x x y x xy x  

    c)  Caso da diferença de dois quadrados

    Você sabe quando um monômio é um quadrado perfeito?

    Um monômio é denominado quadrado perfeito quando ele é igual ao quadrado de outro

    monômio.

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    16/178

    16

     Exemplos: 

    1) 225 x   é quadrado perfeito, pois ( )22 525   x x   =  

    2)  4 x  é quadrado perfeito, pois ( )224  x x   =  

    3)  124ba  é quadrado perfeito, pois ( )262124 baba   =  

    A expressão 22 ba   −   representa a diferença de dois quadrados: 22 bea . A diferença de dois

    quadrados é um produto notável. Sabemos que 22 ba   −   é igual ao produto da soma ( )ba +   pela

    diferença ( )ba − , isto é:

    ( )( )bababa   −+=− 22  A forma fatorada de uma diferença de dois quadrados é o produto da soma pela diferença das

    bases deles na ordem dada. Assim:

    ( ) ( )baba   −⋅+   é a forma fatorada de 22 ba   − .

     Exemplos: 

    a) ( )( )3392 −+=−   x x x  

    b) ( )( )1515125 2 −+=−   aaa  

    c) ( )( )222244  y x y x y x   −+=−  

    d) ( )( )323232 2 −+=−   x x x  

    d)  Caso do trinômio quadrado perfeito

    O trinômio 22 2   baba   ++   é denominado trinômio quadrado perfeito, porque é igual ao

    quadrado do binômio ( )ba + :

    ( )222 2   bababa   +=++  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    17/178

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    18/178

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    19/178

    19

    Exercícios

    1)  Fatore, colocando em evidência os fatores comuns.

    a) k kx +   b) k kqkp 1284   −+   c) 234  x x x   +−  

    d) 22223  xy y x y x   ++   e) bmam −−   f)324222 10515   xa xa xa   +−  

    g) nqmqnpmp   −−+   h) 2045 23 −+−   x x x   i)  xyb xyaabyabx2222 +++  

     j) ( ) ( ) ( )1113 2 −+−+−   xa xa x   k) ( ) ( )23 baba   +++  

    2)  Fatore os trinômios abaixo.

    a) 342 ++   x x   b) 1072 +−   x x   c) 1832 −+   x x  

    d) 542 −+   y y   e) 122 −− t t    f) 24102 ++   aa  

    3)  Supondo x ≠ ≠≠ ≠  -1, simplifique a fração algébrica1

    342

    +

    ++

     x

     x x.

    4)  Simplifique a fração algébrica54

    1582

    2

    −+

    ++

     x x

     x x, supondo 0542 ≠−+   x x .

    Gabarito

    Questão 01

    a)  ( )1+ xk   b)  ( )324   −+   q pk   

    c)  ( )122 +− x x x  

    d)  ( )122 ++ x x xy  

    e)  ( )bam   +−  

    f)  ( ) x x xa 235 222 +−  

    g)  ( )( )q pnm   −+  

    h)  ( )( )542 −+   x x  

    i)  ( )( )byaxaybx   ++  

     j)  ( )( )231   aa x   ++−  

    k)  ( ) ( )12 +++   baba

     

    Questão 02

    a) ( )( )13   ++   x x   b) ( )( )52   −−   x x   c) ( )( )36   −+   x x  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    20/178

    20

    d) ( )( )15   −+   y y   e) ( )( )64   ++   aa   f) ( )( )34   +−   t t   

    Questão 03

    ( )3+ x  

    Questão 04

    1

    3

    +

     x

     x 

    Seção 1.4

    Potenciação e Radiciação

    a)  Potenciação

    O que é potenciação? Potenciação  é uma operação que consiste em elevar um número a um

    expoente dado, ou seja, a n onde a é um número real.

     xaaaa Ra xan =⋅⋅⇒∈= ...  

     Nomenclatura: 

    a – base da potência;

    n – expoente;

     x – potência

    O expoente “ n” pode ser maior ou igual a 1, nulo ou negativo.

      Se n > 1, inteiro, então: an = a . a .a . . . a (n vezes)

      Se n = 1, então: a1

     = a 

      Se a ≠  0 e n = - 1, então:a

    a11 =−  

      Se a ≠  0 e n > 1, inteiro, então:n

    n

    n

    aaa

    11=

     

      

     =−  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    21/178

    21

    b)  Propriedades da potenciação

    1ª - Produto de potências de mesma base: ( )   nmnm aaa   +=⋅  

     Exemplo: 85353 22)22(   ==⋅   +  

    2ª - Quociente de potências de mesma base:

    ( )   nmnm aaa   −=÷  

     Exemplo: 2535

    3

    555

    5   −− == 

      

      Pela definição de expoente negativo

    22

    5

    15   =−  

    3ª - Potência de uma potência:

    ( )   nmnm aa   ⋅=  

     Exemplo: ( ) 63232 999   ==   ⋅  

    4ª - Potência de um produto ou quociente:

    ( )   mmm baba   ⋅=⋅   e ( )   mmm baba   ÷=÷  

     Exemplo: 2464

    6

    555

    5==

     

      

        −  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    22/178

    22

    Curiosidades:

    1. Se “a” é um número natural diferente de zero, qual é o valor de a0?

     Demonstração

    Podemos escrever: nn aaa   ÷=0 , pela propriedade da potência

    nnnn aaa  −=÷ , mas 1==÷

    n

    nnn

    a

    aaa , logo 10 =a . 

     2. Sobre as potências 5 2

     e 2 5 , o que podemos afirmar?

    Que são diferentes, pois pela definição de potência temos 255552 =⋅=  e

    322222225 =⋅⋅⋅⋅=  

    c)  Radiciação

    O que significa radiciação? Radiciação indica que abba   x x =⇔=  onde ( x ∈ N e x > 1), ou

    seja, é a operação inversa da potenciação. Nestas condições observamos que, um expoente fracionário

    pode ser escrito através de um radical, ou seja:

     x

     y

     x   y y x aaa   == )()( (a ∈  *R + , y ∈ Z e x ∈*Z+ )

     Exemplos:

    1) 2442 21

    2 ===   ou 222 22

    2 ==  

    2)  =⋅== 3 233 53 333243  

    =⋅ 3 23 3 33  

    321 33   ⋅  

    32

    33⋅  

    ou

    3 233⋅  

    ou

    3 93 ⋅  

    Resultadospossíveis

    2433.3

    33

    33

    3

    1

    3

    9

    2781

    243

    4 =

     

    forma fatorada

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    23/178

    23

    d)  Propriedades da radiciação

    1. aa x   x =)(  Exemplo: 5)5(3 3 =  

    2.  x x x baba   ⋅=⋅    Exemplo:  6329494   =⋅=⋅=⋅  

    3. x

     x

     x

    b

    a

    b

    a=    Exemplo: 

    3

    2

    27

    8

    27

    83

    3

    3   ==  

    4.  p x   p y x   y aa  ⋅   ⋅=   ou

     p x   p y x   y aa  ÷   ÷=    Exemplo: 6 43 2 55   =  

    Curiosidades:

    1. A afirmação 33+  = 6  está correta?

    Não, pois na soma de radicais não se efetua a soma de radicandos, ou

    seja, 33+ = 32 , o que é diferente de 6 . 

     2. A afirmação 9494   +=+ está correta?

    Não, porque podemos verificar que o radical da soma é diferente da

    soma dos radicais, ou seja, 51394   ≠=+ .

    Exercícios

    1) Marque as alternativas corretas.

    a)  ( ) 34

    4 3 33   =   b) ( ) 31

    3 66  =   c) ( ) 32

    3 2 66   =  

    d) ( ) 554 4 =   e) ( ) 3 223

    55   =   f) ( ) 8 585

    1515   =  

    g) ( ) 552

    33   =   h) ( ) 77 21

    =   i) ( ) 5 885

    1515   =  

    2) Marque as igualdades verdadeiras:

    a) ( ) 6 23 33 =   b) ( ) 4 28 2 44   =   c) ( ) 336 3 =  

    d) ( ) 3443   =⋅   e) ( ) 361681   =⋅   f) ( ) 16222   ⋅=  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    24/178

    24

    3) Simplificando os radicais as respostas corretas são:

    a) ( ) 5420 =   b) ( ) 3212  =  

    c) ( ) 2672  =   d) ( ) 5945  =  

    4) Marque a igualdade verdadeira.

    a) ( ) 9494   +=+  

    b) ( ) 9494   ⋅=⋅  

    5) O resultado verdadeiro das operações é:

    a) ( ) 54535   =+  

    b) ( ) 3333234   =−+  

    c) ( ) 333 102

    110

    4

    310   −=−−  

    GabaritoQuestão 01

    b) 31

    3 66  =   c) 32

    3 2 66   =   d) 554 4 =  

    f) 8 585

    1515   =   g) 5 252

    33   =   h) 77 21

    =  

    Questão 02

    a) 326 22 33   =÷   ÷   c) 3336 33 =÷   ÷   e) 364.916811681   ===⋅  

    Questão 03

    b) 323.212 2 ==   c) 263.272 23 ==  

    Questão 04 Questão 05

    b)63.236

    9494

    ==

    ⋅=⋅  a) 54535   =+  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    25/178

    25

    MÓDULO II

    Seções deste Módulo

    2.1.  Razão e Proporção

    2.2.  Grandezas proporcionais

    2.3.  Regra de três simples e composta

    2.4.  Porcentagem

    Objetivos

    Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos abordados neste módulo.

    Seção 2.1.

    Razão e Proporção

    2.1.1.  Razões entre grandezas

    Chama-se razão o quociente entre dois números ou duas grandezas. Muitos conceitos

    importantes são expressos por razões, como por exemplo, as situações colocadas a seguir.

    a) Densidade demográfica: razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região.

    áreahabitantes=ademográfic Densidade  

    b) Densidade de um corpo: razão entre a massa de um corpo e o seu volume.

    volume

    massa= Densidade  

    c) Velocidade média: razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrê-la.

    tempo

    distância=médiaVelocidade  

    d)  Escala: razão entre a medida de um comprimento no desenho e a medida correspondente aocomprimento real.

    real ocompriment do medidadesenho no ocompriment do medida

    =escala  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    26/178

    26

    Definição:

    Dados dois números racionais a e b, com b ≠≠≠≠ 0, chama-se razão entre a e b ao quociente indicado porb

    ou então, ba : , ou seja:

    b

    ar  = , ou de modo semelhante bar  :=  

    Termos de uma razão

    Os termos de uma razão são:

    a é o 1º termo ou o antecedente;

    b é o 2º termo ou o conseqüente.

     Exemplos:

    1) No vestibular inscreveram-se 7830 candidatos para disputarem as 90 vagas de um curso. Qual a

    relação candidato-vaga para esse curso?

    Solução: vagacandidatosr vagas

    candidatosr  87

    90

    7830=⇒=  

    2) Qual a razão entre 10352e ?

    Solução: 33,13,0

    4,0

    103

    52

    ≈⇒=⇒=   r r r   

    3) Qual a razão entre um trimestre e um ano?

    Solução: 25,012

    3

    1

    1=⇒=⇒=   r 

    meses

    mesesr 

    ano

    trimestrer   

    Exercícios

    1) Determine a razão entre os números abaixo.

    1.1) 7

    63   e   (a) 3,5 (b) 2,5 (c) 1,5 (d) 4,5 (e) 5,5

    1.2) 3

    1

    2

    1e   (a) 0,5 (b) 2,5 (c) 1,5 (d) 3,5 (e) 4,5

    1.3) 55,1   e   (a) 0,1 (b) 1,5 (c) 2,3 (d) 0,3 (e) 3,3

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    27/178

    27

    2) Calcule as razões entre as grandezas a seguir:

    2.1) 27 km e 3 l  de álcool

    (a) 7 km/ l   (b) 8 km/ l   (c) 5 km/ l   (d) 9 km/ l   (e) 6 km/ l  

    2.2) 40 g e 5 cm3

     (a) 8 g/cm3  (b) 7 g/cm3  (c) 5 g/cm3  (d) 0,8 g/cm3  (e) 80 g/cm3 

    2.3) 24 kg e 80 kg

    (a) 3 (b) 30 (c) 9 (d) 0,9 (e) 0,3

    2.4) 20 cm e 4 dm

    (a) 0,5 (b) 5 (c) 1,5 (d) 50 (e) 0,15

    3) A massa A é 10 kg e massa B é 5.000g. Qual a razão entre as massas A e B?

    (a) 3 (b) 4 (c) 0,2 (d) 2 (e) 20

    4) Numa planta baixa de uma casa é usada 1cm para cada metro (100cm) qual a razão entre a

    medida do desenho e a medida verdadeira?

    (a)10

    1  (b)

    100

    1  (c)

    11

      (d)1000

    1  (e)

    10000

    5) Numa turma de 25 alunos ao todo, 10 são do sexo feminino. Pergunta-se:5.1) Qual a razão entre o número de meninas e o número de alunos?

    (a) 0,2alunos

    mulheres  (b) 0,5

    alunos

    mulheres  (c) 4

    alunos

    mulheres 

    (d) 5alunos

    mulheres  (e) 0,4

    alunos

    mulheres 

    5.2) Qual a razão entre o número de meninos e o número de alunos?

    (a) 0,2alunos

    enshom  (b) 0,6

    alunos

    enshom 

    (c) 4alunos

    enshom 

    (d) 5alunos

    enshom  (e) 0,4

    alunos

    enshom 

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    28/178

    28

    Gabarito

    Questão 01

    1.1) a 1.2) c 1.3) d

    Questão 04

    Opção b

    Questão 02

    2.1) d 2.2) a 2.3) e 2.4) a

    Questão 05

    5.1) e 5.2) b

    Questão 03

    Opção d 

    2.1.2 ProporçãoEm certas situações práticas do cotidiano, somos levados a ter de escolher entre duas ofertas,

    verificando qual é a mais econômica. Por exemplo, na compra de 2 potes de manteiga, um com 300g

    custam R$ 1,50 o outro com 1000g custam R$ 4,80. Como vemos o pacote de 1000g é o mais caro.

    Porém este fato pode não ser suficiente para avaliar qual é a melhor compra.

    O que estamos tentando fazer neste caso é comparar o preço das manteigas. Entretanto, tal

    comparação não pode ser feita diretamente, porque as quantidades são diferentes. Para resolver esta

    questão podemos recorrer a definição de proporção.

    Definição

    Denomina-se proporção a uma igualdade entre duas razões, ou seja:

    c

    b

    a=  ou de modo semelhante d cba ::   =  

    Termos de uma proporção

    Em uma proporção nomeamos os quatro elementos como:

    extremosd ea   →  e meiosceb   →  

     Exemplo:

    8

    4

    2

    1=   ou 1:2 = 4:8 onde 2 e 4 são os meios; 1 e 8 são os extremos

    Observamos que temos uma proporção, pois a razão entre os valores 1 e 2 é 0,5, da mesma forma

    que a razão entre 4 e 8 é também 0,5. Como temos então duas razões iguais, dizemos que os valores 1, 2,

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    29/178

    29

    4 e 8 (nessa ordem) formam uma proporção. Além disso, este valor 0,5 recebe o nome de coeficiente de

    proporcionalidade.

     Propriedade fundamental das proporções Em toda a proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja:

    ad bcentãod 

    c

    b

    a==  

     Exemplo:

    Calcule o valor de x para que se tenha uma proporção:8

    24

    7 =

     x.

    Solução. Utilizando a propriedade fundamental das proporções podemos escrever: 

    218

    16816887248

    8

    24

    7  =⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=   x x x x

     x 

    No caso desse exemplo, observamos que o valor de cada uma das razões que constituem a

    proporção é 3. Neste caso então o coeficiente de proporcionalidade é 3.

    Exercícios

    Calcule o valor de x para que se tenha, em cada caso, uma proporção.  Questão 01

    2

    4

    5 =

     x  (a) 5 (b) 100 (c) 10 (d) 0,1 (e) 1000

    Questão 02

     x

    20

    4

    5=   (a) 16 (b) 14 (c) 12 (d) 10 (e) 1,6

    Questão 03

    12

    6

    2 =

     x  (a) 0,1 (b) 10 (c) 0,001 (d) 1 (e) 100

    Questão 04

    25,65

    2   x=   (a) 25 (b) 2,5 (c) 0,25 (d) 250 (e) 0,025

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    30/178

    30

    Questão 05

     x

    4

    5,0

    1 31

    =−

      (a) 0,3 (b) 30 (c) 4 (d) 0,4 (e) 3

    Gabarito

    1)  c

    2)  a

    3)  d

    4)  b

    5)  e

    Seção 2.2.

    Grandezas proporcionais

    Definições

    1)  Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando o aumento de uma (diminuir)

    implica no aumento (diminuir) da outra.

    2)  Duas grandezas são inversamente proporcionais, quando o aumento  de uma (diminuir) 

    implica no diminuir (aumento) da outra.

     Exemplos:

    Considere as situações a seguir.

    a) 4 kg de um determinado produto custam R$ 12,00.

      8 kg do mesmo produto custarão mais de R$ 12,00 (mais especificamente custarão R$ 24,00).

    Portanto o aumento  da grandeza “número de kg”, implicou no aumento  do valor da grandeza

    “preço”.

      ii) 2 kg do mesmo produto custarão menos de R$ 12,00 (mais especificamente custarão R$ 6,00).

    Portanto o diminuir  da grandeza “número de kg”, implicou no diminuir  do valor da grandeza

    “preço”.

    b) Um carro a 60 km/h leva 1 hora para percorrer uma determinada distância.

      se o carro andar a 30 km/h levará mais tempo para percorrer a respectiva distância (mais

    especificamente levará 2 horas). Portanto o diminuir da grandeza “km/h”, implicou no aumento 

    no valor da grandeza “número de horas”.

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    31/178

    31

      ii) se o carro andar a 120 km/h, levará menos tempo para percorrer a respectiva distância (mais

    especificamente levará ½ hora). Portanto o aumento da grandeza “km/h” implicou no diminuir

    no valor da grandeza “número de horas”.

     Assim a situação exposta na letra a) exemplifica duasgrandezas que são diretamente proporcionais, enquanto que

    a situação exposta na letra b) exemplifica duas grandezas

    que são inversamente proporcionais.

    Seção 2.3

    Regra de três simples e composta 

    São modos práticos de encontrar um valor desconhecido, dados outros valores, envolvendo

    grandezas proporcionais (diretamente ou inversamente).

    A regra de três pode ser:

    a) simples - quando envolve apenas duas grandezas;

    b) composta - quando envolve mais de duas grandezas.

     a) Regra de três simples

     Exemplos: 

    1)  Em 50ml de gasolina, 10ml é álcool. Quantos litros de álcool contêm o tonel onde foi retirada aamostra se este contiver 20 l de gasolina impura?

    Solução. Em primeiro lugar devemos transformar as grandezas envolvidas na mesma unidade, como o

    problema pede o número de litros de álcool, transformamos as grandezas todas em litros, ou seja:

    50 ml = 50 : 10 : 10 : 10 = 0,05 litros

    10 ml = 10 : 10 : 10 : 10 = 0,01 litros

     Número de litros de gasolina impura   Número de litros de álcool 0,05 0,01

    20 x

    Como o aumento do número de litros de gasolina impura, implica no aumento do número de

    litros de álcool, isto significa que as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. Portanto,

    formamos com os valores envolvidos uma proporção levando em conta este fato, ou seja: 

    álcooldelitros x x x x x

    405,0

    2,02,005,001,02005,0

    01,0

    20

    05,0=⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    32/178

    32

    2) Um trem com velocidade de 60 km/h faz o percurso entre as cidades A e B em 2 horas. Quanto tempo

    levará o trem para fazer este mesmo percurso, se a sua velocidade passar a ser 80 km/h?

    Solução

     Número de km/h   Número de horas 60 2

    80 x

    O aumento do número de km/h implica no diminuir no número de horas, isto significa que as

    grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Portanto formamos com os valores envolvidos

    uma proporção levando em conta este fato, ou seja:

    horas x

     x

     x

     x

     x

    5,180

    120

    12080

    80260280

    60

    =

    =

    =

    ⋅=⋅

    =

     

     b) Regra de três composta

     Exemplo: Na abertura de um canal, 15 homens trabalhando 8 horas diárias escavaram 400 m3 de terra em 10 dias.

    Quantos homens serão necessários para escavar 600 m3 trabalhando 15 dias de 6 horas diárias?

    Solução 

     N o de homens   N o de horas/dia   N o de m3   N o de dias 

    15 8 400 10

    X 6 600 15

    A grandeza “ N o de homens” denomina-se “Grandeza Fundamental”, pois ela é que contém o

    valor que desejamos encontrar. A partir disso analisamos, separadamente, cada par de grandezas, em

    relação à grandeza fundamental, estabelecendo se os mesmos, em relação à grandeza fundamental, são

    diretamente ou inversamente proporcionais.

    Assim, no nosso exemplo precisamos analisar se as grandezas:

    a) N o de homens e N o de horas/dia são diretamente ou inversamente proporcionais;

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    33/178

    33

    b) N o de homens e N o de m3 são diretamente ou inversamente proporcionais;

    c) N o de homens e N o de dias são diretamente ou inversamente proporcionais.

    Realizemos então esta análise.a) N o  de homens  e N o  de horas/dia  são diretamente ou inversamente proporcionais;

     N o de homens   N o de horas/dia 

    15 8

    X 6

     Análise. 15 homens trabalhando 8 horas por dia realizam o trabalho, se trabalharem apenas 6 horas por

    dia, necessitaremos de mais de 15 homens para realizar o mesmo trabalho. Portanto o diminuir do N o de

    horas/dia implica no aumento na grandeza N o de homens, isto significa que as grandezas envolvidas são

    inversamente proporcionais.

    b) N  o de homens e N  o de m 3 são diretamente ou inversamente proporcionais;

     N o de homens   N o de m3 

    15 400

    X 600

     Análise. 15 homens são necessários para cavar 400 m3 de terra, se tiver que serem cavados 600 m3 se

    necessitará mais de 15 homens para realizar o trabalho. Portanto o aumento  do  N o de m3  implica noaumento  na grandeza  N o  de homens, isto significa que as grandezas envolvidas são diretamente

    proporcionais.

    c) N  o de homens e N  o de dias são diretamente ou inversamente proporcionais.

     N o de homens   N o de dias 

    15 10

    x 15

     Análise. 15 homens trabalhando 10 dias realizam o trabalho, se forem trabalhados 15 dias,

    necessitaremos de menos de 15 homens para realizar o mesmo trabalho. Portanto o aumento do N o de

    dias  implica no diminuir  da grandeza  N o  de homens, isto significa que as grandezas envolvidas são

    inversamente proporcionais.

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    34/178

    34

    Portanto, no nosso quadro inicial de grandezas temos a seguinte situação:

     N o de homens   N o de horas/dia   N o de m3   N o de dias 

    15 8 400 10

    x 6 600 15Fundamental Inversa Direta Inversa

    Assim, montamos nossa proporção da seguinte maneira:

    2036000

    720000.3600015.48000

    48000

    3600015

    10

    15.

    600

    400.

    8

    615=⇒=⇒=⇒=⇒=   x x x

     x x 

    Portanto são necessários 20 homens para

    realizar a escavação conforme os dados

     fornecidos no problema.

    Exercícios

    1) Se um corte de 2,80m de tecido custa R$ 84,00, quanto custarão 20,50m desse mesmo tecido?(a) R$ 315,00

    (b) R$ 515,00

    (c) R$ 615,00

    (d) R$ 415,00

    (e) R$715,00

    2) 100 kg de trigo fornecem 85 kg de farinha. Que quantidade de farinha se obterá com 150 sacos

    de 75 kg cada um?

    (a) 8564 kg

    (b) 6789 kg

    (c) 34526,87 kg

    (d) 6543,98 kg

    (e) 9562,5 kg

    3) Um automóvel percorre 240 km em 3 horas. Quanto tempo levará para percorrer 400 km?

    (a) 5 h (b) 6h (c) 4h (d) 2h (e) 8 h

    4) Um trem com velocidade de 60 km/h faz o percurso entre as cidades A e B em 2 horas. Quanto

    tempo levará o trem para fazer este mesmo percurso, se a sua velocidade passar a ser 80 km/h?

    (a) 2,5 h (b) 0,5 h (c) 1,5 h (d) 3,5 h (e) 4,5 h

    =

    =

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    35/178

    35

    5) Num acampamento 30 homens possuem alimentos para dois meses. Tendo chegado ao

    acampamento mais 90 homens, pergunta-se por quanto tempo o acampamento disporá de

    alimentos?

    (a) 1,5 meses(b) 2 meses

    (c) 3,5 meses(d) 0,5 meses

    (e) 4,5 meses

    6) Um avião comercial, com velocidade de 450 km/h realiza a viagem entre São Paulo e Porto

    Alegre em 2 horas. Em quanto tempo um avião com velocidade igual a 1200 km/h faria à mesma

    viagem?

    (a) 20 minutos

    (b) 45 minutos

    (c) 35 minutos

    (d) 15 minutos

    (e) 10 minutos

    7) Um negociante pagou $330 u.m. (unidades monetárias) por um rolo de arame e $264 u.m. por

    outro da mesma qualidade. Qual é o comprimento de cada um dos rolos, se o primeiro tem 12

    metros a mais do que o segundo?

    (a) 50m e 24 m

    (b) 60 m e 48 m

    (c) 30m e 14 m

    (d) 70m e 35 m

    (e) 65m 23m

    8) Um automóvel gasta 7 horas para ir da cidade A para a cidade B a uma velocidade média de 60km/h. Quanto tempo este automóvel gastará se em sua próxima viagem sua velocidade média for

    100 km/h?

    (a) 3,2 h (b) 2,2 h (c) 7,2 h (d) 4,2 h (e) 5,2 h

    9) Cinco torneiras idênticas enchem um tanque em 144 minutos. Quantas dessas torneiras são

    necessárias para encher o mesmo tanque em uma hora e meia?

    (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 5 (e) 10

    10) Um automóvel percorre um determinado trajeto em 2 horas, com a velocidade de 40 km/h. Se

    triplicar a velocidade, para percorrer o mesmo trajeto, qual será o tempo do percurso?

    (a) 1,66 h (b) 0,66 h (c) 0,33 h (d) 1,33 h (e) 2,33 h

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    36/178

    36

    11) Se um operário assenta 80 tijolos trabalhando 5 horas, quantos tijolos, a mais, assentará,

    trabalhando 6 horas?

    (a) 16 (b) 18 (c) 19 (d) 14 (e) 12

    12) A produção de uma tecelagem é de 8000 metros de tecido por dia. Com a admissão de mais 300

    operários a indústria passou a produzir 14000 metros de tecido por dia. Qual era o número de

    operários antes da admissão dos 300 operários?

    (a) 500 (b) 400 (c) 200 (d) 800 (e) 300

    13) Um navio partiu para uma viagem levando a bordo alimentos para 12 tripulantes durante 30

    dias. Quando o navio partiu descobre-se três passageiros clandestinos. Nestas condições, quantos

    dias deverão durar o alimento?

    (a) 12 dias (b) 36 dias (c) 6 dias (d) 32 dias (e) 24 dias

    14) Uma máquina trabalhando continuamente produz 400 peças em 50 minutos. Quantas peças a

    mais, a máquina produzirá em 1h e 10 minutos?

    (a) 180 (b) 260 (c) 160 (d) 280 (e) 340

    15) Num internato 35 alunos gastam $15400 u.m. pelas refeições em 22 dias. Quanto gastaria 100alunos pelas refeições de 83 dias neste internato?

    (a) $166000um (b)$144000um (c) $244000um

    (d) $122000um (e) $322000um

    16) Empregaram-se 27,4 kg de lã para tecer 24 m de um tecido de 60 cm de largura. Qual será o

    comprimento de tecido que se poderia tecer com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura

    de 90 cm (1 tonelada = 1000 kg)?(a) 1000m (b) 3000m (c) 2000m (d) 4000m (e) 5000m

    17) Para alimentar uma família de seis pessoas durante dois dias, são necessários 3 litros de leite.

    Para alimentá-los durante cinco dias estando ausente duas pessoas, quantos litros de leite serão

    necessários?

    (a) 6 litros (b) 4 litros (c) 3 litros (d) 5 litros (e) 2 litros

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    37/178

    37

    18) Três operários trabalhando durante seis dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse

    mesmo tipo produzirão sete operários trabalhando nove dias?

    (a) 1400 (b) 1500 (c) 1600 (d) 1800 (e) 1900

    19) Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá

    500 km viajando 5 horas por dia?

    (a) 3 dias (b) 7 dias (c) 6 dias (d) 8 dias (e) 5 dias

    20) Vinte operários levam 10 dias para levantar um muro de 2 m de altura e 25 m de

    comprimento. Quantos dias levarão 15 operários para construir um outro muro de 3 m de altura e

    40 m de comprimento?

    (a) 23 dias (b) 32 dias (c) 42 dias (d) 52 dias (e) 67 dias

    21) Numa fazenda 3 cavalos consomem 210 kg de alfafa durante 7 dias. Para alimentar 8 cavalos

    durante 10 dias, quantos quilos de alfafa serão necessários?

    (a) 500 kg (b) 400 kg (c) 700 kg (d) 800 kg (e) 600 kg

    22) Se 10 máquinas funcionando 6 horas por dia durante 60 dias produzem 90000 peças, em

    quantos dias 12 dessas máquinas funcionando 8 horas por dia produzirão 192000 peças?(a) 70 dias (b) 50 dias (c) 80 dias (d) 60 dias (e) 90 dias

    23) Para asfaltar 1800 m de uma estrada, 15 operários utilizam 12 dias num regime de 10 horas

    por dia. Quantos dias, num regime de 8 horas por dia serão necessários para que 32 operários

    façam 6000 m de asfaltamento de uma estrada em condições idênticas?

    (a) 32 dias (b) 23 dias (c) 13 dias (d) 43 dias (e) 34 dias

    24) Uma família composta por 6 pessoas consome em 2 dias, 3 kg de pão. Quantos quilogramas de

    pão serão consumidos em 5 dias, estando 2 pessoas ausentes?

    (a) 4 kg (b) 3 kg (c) 6 kg (d) 5 kg (e) 7 kg

    25) Se 15 homens, trabalhando 8 horas por dia, cavaram um poço de 400 m3 em 10 dias, quantos

    homens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 horas por dia cavem 600 m3?

    (a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 3 (e) 7

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    38/178

    38

    Gabarito

    1)  C 6)  B 11) A 16) C 21) D

    2)  E 7)  B 12) B 17) D 22) C

    3)  A 8)  D 13) E 18) A 23) B

    4)  C 9)  C 14) C 19) E 24) D

    5)  D 10) B 15) A 20) B 25) B

    Seção 2.4 

    Porcentagem

    Chama-se porcentagem ou percentagem a porção de um dado valor que se determina sabendo

    o quanto corresponde a cada 100. O símbolo % foi criado a quatro séculos atrás por comerciantes

    ingleses para significar a linguagem nas transações comerciais. Quando dizemos 30% de certo valor,

    queremos dizer que em cada 100 partes devemos tomar 30.

    30% =10030  

    2.4.1. Elementos do cálculo percentual

    1) Taxa. É o valor que representa a quantidade tomada em cada 100.

     Exemplo: Calcule 25% de 700.

    Solução. 700 - 100%x - 25%

    175100

    175001750010025700100

    %25

    %100700=⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=   x x x x

     x 

    2) Percentagem. É o valor que representa a quantidade tomada da outra proporcionalmente auma taxa.

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    39/178

    39

     Exemplo. Quanto por cento 30 é de 80?

    Solução. 80 - 100%

    30 - x

    %5,3780%3000%30008030%10080%1003080 =⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=  x x x x

     x  

    3) Principal . É o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.

     Exemplo. Qual é o número cujos 6% corresponde a 360?

    Solução.  6% - 360

    100% - x

    =⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=   x x x x x 6

    360003600063601006

    360

    %100

    %66000

    Exercícios

    1) Calcule e marque a alternativa correta. 

    I) 8% de 432

    (a) 34,56 (b) 23,17 (c) 35,87 (d) 45,32 (e) 43,7

    II) 6% de 18 

    (a) 10,8 (b) 8,6 (c) 1,08 (d) 6,4 (e) 9,2

    III) 9% de 0,847 

    (a) 0,086 (b)0,065 (c) 0,048 (d) 0,74 (e) 0,076

    2) Quantos por cento serão? 

    I) 17 de 340

    (a) 0,5% (b) 5% (c) 50% (d) 15% (e) 25%

    II) 30 de 120

    (a) 30% (b) 25% (c) 2,5% (d) 0,25% (e) 0,3%

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    40/178

    40

    III) 5 de 80

    (a) 7,50% (b) 9,45% (c) 6,25% (d) 5,42% (e) 8,55%

    3) Calcule o valor cujos: 

    I) 0,5% são 40

    (a) 8000 (b) 7000 (c) 6000 (d) 4000 (e) 9000

    II) 8% são 36

    (a) 550 (b)650 (c) 350 (d) 750 (e )450

    III) 12% são 38

    (a) 216,66 (b) 116,66 (c) 516,66 (d) 416,66 (e) 316,66

    4) Fiz uma compra por 5400 um e vendi por 6300 um. Que taxa percentual sobre o preço de custo

    representa o lucro?

    (a) 1,66% (b) 16,66% (c) 166% (d) 26,66% (e) 2,66%

    5) Numa cidade a população adulta é de 18300 pessoas, 42% das quais são analfabetas. Quantos são

    os adultos alfabetizados da cidade?(a) 12614 (b) 15614 (c) 8614 (d) 10614 (e) 25614

    6) Em uma classe com 40 alunos, a percentagem de comparecimento certo dia foi de 90%. Quantos

    alunos faltaram neste dia?

    (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 5 (e) 6

    7) Em uma assembléia compareceram 108 dos 150 sócios. Qual foi a taxa percentual de ausências?

    (a) 72% (b) 62% (c) 82% (d) 28% (e) 27%

    8)  Na compra de uma bicicleta, uma pessoa obteve um desconto de 4%. Qual era o preço da

    bicicleta, sabendo-se que o desconto importou em 26 um? (R: 650)

    (a) 450 (b) 350 (c) 650 (d) 550 (e) 750

    9) Uma conta foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3400 um correspondente a 10% do seu

    valor. Qual era o valor da compra?(a) 340 (b) 34 (c) 34000 (d) 3400 (e)0,34

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    41/178

    41

    10)  Numa liquidação com 20% de desconto, uma pessoa pagou por uma mercadoria 5600 um.

    Quanto custava a mercadoria?

    (a) 700 (b) 4000 (c) 6000 (d) 8000 (e) 7000

    11) O preço de uma televisão é 540 um. Se conseguir um desconto de 12% quanto pagarei por ela?

    (a) 575,20 (b) 47,52 (c) 675,20 (d) 475,20 (e) 67,52

    12) Num concurso em que participaram 15000 candidatos, a taxa de aprovação foi 64%. Quantos

    candidatos foram reprovados?

    (a) 540 (b) 4500 (c) 5400 (d) 960 (e) 9600

    13) Ao comprar uma geladeira obtive um desconto de 25 um. Qual o preço, sabendo que o desconto

    foi de 5%?

    (a) 500 (b) 50 (c) 60 (d) 600 (e) 5000

    14) Em uma turma de alunos que fizeram exames, o número de aprovações que atingiu 85% foi de

    102 alunos, quantos fizeram o exame?

    (a) 160 (b) 14 (c) 12 (d) 120 (e) 140

    15)  Sobre uma compra de $10500 u.m. foi feito um desconto de $ 840 u.m. Qual foi a taxa

    percentual do desconto oferecido?

    (a) 4% (b) 40% (c) 80% (d) 8% (e) 0,8%

    Gabarito

    1) I) a II) c III) e 6) a 11) d

    2) I) b II) b III) c 7) d 12) c

    3) I) a II) e III) e 8) c 13) a

    4) b 9) c 14) d

    5) d 10) e 15) d

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    42/178

    42

    MÓDULO III

    Seções deste Módulo

    3.1. Critérios de arredondamento

    3.2. Notação Científica

    3.3. Conversão de unidades

    Objetivos

    Instrumentalizar o aluno para que possa, ao final deste módulo, utilizar corretamente critérios

    de arredondamento, bem como transformar números em notação científica, além de realizar

    conversões entre unidades do SI.

    Seção 3.1

    Critérios de arredondamento

    a)  Algarismos significativos 

    Imagine que você esteja realizando uma medida qualquer, como por exemplo, a medida de

    uma barra. Observe que a menor divisão da régua utilizada na medição é de 1mm. Ao Tentar

    expressar o resultado da medida, digamos entre 14,3 e 14,4cm, a fração de mm deverá ser avaliada,ou seja, acrescenta-se mm a 14,3cm se a medida estiver além da metade do cm, imaginando-se o

    intervalo subdividido em 10 partes, assim teremos 14,35, onde 1,4 e o 3 foram obtidos através de

    divisões inteiras da régua, ou eles são algarismos corretos. O 5 foi avaliado, isto é, você não tem

    certeza sobre o seu valor, outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 4 ou 6, por exemplo.

    Por isso, este algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso ou incerto.

    Como observamos, uma medida deve figurar somente os algarismos corretos e o primeiro

    avaliado. Esta maneira de proceder é adotada convencionalmente entre físicos, químicos, e em geralpor pessoas que realizam medidas.

    Algarismos significativos de uma medida são os algarismos corretos e o primeiro algarismo

    duvidoso

    b)  Critérios de arredondamento

    1º) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for menor que 5 o último a permanecer não éalterado;

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    43/178

    43

     Exemplo:

    24,3 para inteiro = 24

    2º) Quando o primeiro algarismo a ser arredondado for 5 seguido de zeros:

      Se último algarismo a permanecer for ímpar, acrescenta-se de uma unidade

      Se o último algarismo a permanecer for par, fica inalterado

     Exemplos:

    25,5 para inteiro = 26

    24,5 para inteiro = 24

    3º) Quando o algarismo a ser abandonado for maior que 5, acrescenta-se uma unidade no último

    algarismo a permanecer.

     Exemplo:

    5,76 para décimos = 5,8

    Seção 3.2

    Notação científica

    As potências de 10 são usadas para representar números muito grandes ou muito pequenos.

    Geralmente esses números são escritos como produtos de dois fatores, onde um deles é uma potência

    de 10 e o outro um número entre 0 e 10 ( ou seja de 1 a 9).

    Em algumas calculadoras encontramos, por exemplo, uma tecla que transforma qualquer

    número para notação científica e vice-versa:  E F  ↔ . Nestas calculadoras, procede-se como o

    descrito a seguir.

     Exemplo:

    Escreva 32714 em notação científica.

    Teclar  Visor 

    32714 =  E F  ↔   3.2714 04Para retornar 3.2714 04 

    = 32714.

    Assim, 3.2714 04 em notação científica, corresponde a 3,2714××××104.

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    44/178

    44

    Observação. Existem diferentes tipos de calculadoras. Algumas

    utilizam o procedimento acima para escrever um número em notação

    científica, outras, porém utilizam o modo Sci. 

     Exemplos: Convertendo os números abaixo para notação científica obtemos:

    a)  3265 = 3,265 . 1000 = 3,265.103 

    b)  230000 = 2,3.100000 = 2,3.105 (deslocamento da vírgula para à direita = expoente positivo)

    c)  0,0056 = 5,6. 0,001 = 5,6.10-3 (deslocamento da vírgula para à esquerda = expoente negativo)

    Exercícios

    1)  Nas questões abaixo utilizando os critérios de arredondamento, marque os resultados que são

    corretos com duas casas decimais.

    a) ( ) 2,28 34 3 ≈   b) ( ) 82,163 ≈   c) ( ) 3.363 2 ≈  

    d) ( ) 554 4 =   e) ( ) 89,25 23

    ≈   f) ( ) 43,51585

    ≈  

    g) ( ) 50,135

    2

    ≈   h) ( ) 65,27 2

    1

    ≈   i) ( ). 20,1355

    8

    ≈  

    2) Marque os números que estão corretamente representados em notação científica.

    a) ( ) 2300000000000 = 2,3.1012

    b) ( ) 0,00045 =4,5.10-4 

    c) ( ) 0,00000032 =3,2.10-6 

    3) Escreva em notação científica os seguintes números.a) 2010000

    b) 0,0005

    c) 0,00000047

    4) Adicione os radicais e encontre um resultado aproximado, arredondando-o para décimos

    a) 637 +  

    b) 33234   −+  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    45/178

    45

    5) Arredonde os valores a seguir conforme indicação entre parênteses.

    a) 123, 05 (inteiro)

    b) 14,25 (décimos)

    c) 3,7535 (milésimos)

    d) 58,34 (inteiro)

    e) 25,678 (centésimos)

    f) 132,5007 (décimos)

    Gabarito

    1)  a) b) c) d) f) h)2) a) b) 

    3) a) 2,01.106  b) 5.10-4  c)4,7.10-7 

    4) a)10,6 b) 8,7

    5) a) 123 b) 14,2 c) 3,754 d) 58 e)25,68 f) 132,6

    Seção 3.3

    Conversão de unidades

    a)  Unidades de medidas

    A unidade de principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em que essa

    unidade deixa de ser prática. Se queremos medir grandes extensões ela é muito pequena, por outro

    lado se queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande".

    Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de

    comprimento. Na tabela abaixo vemos as unidades de comprimento, seus símbolos e o valor 

    correspondente em metro. Na tabela, cada unidade de comprimento corresponde a 10 vezes a

    unidade do comprimento imediatamente inferior (à direita). Em conseqüência, cada unidade de

    comprimento corresponde a 1 décimo da unidade imediatamente superior (à esquerda).

    Quilômetro

    km

    Hectômetro

    hm

    Decâmetro

    dam

    Metro

    m

    Decímetro

    dm

    Centímetro

    cm

    Milímetro

    mm

    1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    46/178

    46

    Regras Práticas:

    •  Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação 

    por 10. Ex.: 1 m = 10 dm

    •  Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por

    10. Ex.: 1 m = 0,1 dam

    •  Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras

    anteriores. Ex.: 1 m = 100 cm 1 m = 0,001 km

    Unidades de Área

    km hm dam m dm cm mm

    1x106 m2  1x104 m2  1x102 m2  1 m2  1x102 m2  1x104 m2  1x106 m2 

    Regras Práticas:

    •  Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação 

    por 100. Ex.: 1 m2 = 100 dm2 

    •  Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por

    100. Ex.: 1 m2 = 0,01 dam2 

    •  Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras

    anteriores.

    UNIDADES DE VOLUME 

    Quilômetro

    cúbico

    km3 

    Hectômetro

    cúbico

    hm3 

    Decâmetro

    cúbico

    dam3 

    Metro

    cúbico

    m3 

    Decímetro

    cúbico

    dm3 

    Centímetro

    cúbico

    cm3 

    Milímetro

    cúbico

    mm3 

    1x109 m3  1x106 m3  1x103 m3  1 m3  1x103 m3  1x106 m3  1x109 m3 

    Regras Práticas:

    •  Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação 

    por 1000. Ex.: 1 m

    3

     = 1000 dm

    3

     

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    47/178

    47

    •  Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por

    1000. Ex: 1 m3 = 0,001 dam3 

    •  Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras

    anteriores.

    Litro 

    O litro(l) é uma medida de volume muito comum e que corresponde a 1 dm 3.

    1 litro = 0,001 m3 => 1 m3 = 1000 litros

    1 litro = 1 dm3 

    1 litro = 1.000 cm3 

    1 litro = 1.000.000 mm3 

    Sistema Internacional de Unidades 

    O Sistema Internacional de Unidades é baseado em 6 unidades fundamentais. A unidade

    fundamental de comprimento é o metro. Para cada unidade existem as unidades secundárias, que são

    expressas através da adição de um prefixo ao nome correspondente à unidade principal, de acordocom a proporção da medida.

    Unidades básicas

    Grandeza  Nome  Símbolo 

    Comprimento metro m

    Massa Quilograma kg

    Tempo segundo s

    Intensidade de corrente elétrica ampère A

    Temperatura termodinâmica kelvin K

    Quantidade de substância mol mol

    Intensidade luminosa candela cd

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    48/178

    48

    Unidades SI derivadas

    As unidades SI derivadas são definidas de forma que sejam coerentes com as unidades

    básicas e suplementares, a estas, são definidas por expressões algébricas sob a forma de produtos de

    potências das unidades SI básicas e/ou suplementares com um fator numérico igual 1.

    Várias destas unidades SI derivadas são expressas simplesmente a partir das unidades SI

    básicas e suplementares. Outras receberam um nome especial e um símbolo particular.

    Uma unidade SI derivada pode expressar-se de várias formas equivalentes utilizando, nome

    de unidades básicas e suplementares, ou então nomes especiais de outras unidades SI derivadas, é

    admitido o emprego preferencial de certas combinações ou de certos nomes especiais, com o fim de

    facilitar a distinção entre grandezas que tenham as mesmas dimensões. Por exemplo, o hertz é

    empregado para a freqüência, como preferência ao segundo a potência menos um, e para o momento

    de força, é preferido o newton metro ao joule.

    Unidades SI derivadas expressas a partir de unidades básicas e suplementares

    Grandezas  Nome  Símbolo 

    Superfície metro quadrado m

    Volume metro cúbico m

    Velocidade metro por segundo m/s

    Aceleração metro por segundo ao quadrado m/s

    Número de ondas metro a potência menos um m-  

    Massa por volume Quilograma por metro cúbico kg/m

    Velocidade angular radiano por segundo rad/s

    Aceleração angular radiano por segundo ao quadrado rad/s

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    49/178

    49

    Exercícios

    1) Quantos metros quadrados contém um quilômetro quadrado?

    2) Transforme conforme indicado abaixo:

    a) 8,351 m para dm  b) 11,2 cm para mm  c) 457mm para cm 

    d) 25 cm3 para dm3  e) 2m3 para dm3  f) 8,37dm2 para mm2 

    g) 3,1416m2 para cm2  h) 2,14m2 para dam2 

    3) O intervalo de tempo de 2,4 minutos equivale, no Sistema Internacional de unidades (SI), a:

    a) 24 segundos b) 124 segundos c) 144 segundos e) 240 segundos.

    Gabarito

    1) Um quilômetro quadrado possui 1.000.000 m2 

    2) a) 83,51 dm  b) 112 mm  c) 45,7cm  d) 0,025dm3 

    e) 2000dm3  f) 83700mm2  g) 31416cm2  h) 0,0214dam2 

    3) letra c

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    50/178

    50

    MÓDULO IV

    Seções deste Módulo

    4.1. Equações exponenciais4.2. Logaritmos

    Objetivos

    Que ao final deste módulo o aluno seja capaz de resolver equações exponenciais de mesma

    base e bases diferentes, bem como, operar com logaritmos.

    Seção 4.1 Equações exponenciais

    a)  Potência

    Seja a  um número real e n  um expoente numérico. A potência de base a  e expoente n é o

    número “an” tal que valem as propriedades a seguir.

    1) a0 = 1 para 0a ≠    Exemplo.  150 =  

    2) am. an = am+n   Exemplo.  53232 .   x x x x   ==   +  

    3) nmn

    m

    aa

    a   −= , a ≠ 0  Exemplo.   x x x

     x==   −34

    3

    4

     

    4) (a.b)n = an.bn   Exemplo.  222)(   y x y x   ⋅=⋅  

    5) 0,   ≠= 

      

     b

    b

    a

    b

    an

    nn

       Exemplo.  3

    33

     y

     x

     y

     x=

     

      

      

    6) (am)n = am.n   Exemplo.  63.232 )(   x x x   ==  

    7) a-n =na

    1, a ≠ 0  Exemplo. 

    33 1

     x x   =−  

    8)q   pq p aa   =    Exemplo.  7 47

    4

     x x   =  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    51/178

    51

    b)  Equação Exponencial

    As equações que apresentam incógnita como expoente são chamadas de “equações

    exponenciais”. É possível transformar (através das propriedades nomeadas acima) algumas equações

    exponenciais em outras equivalentes que possuam, nos dois membros, potências de mesma base(maior que zero e diferente de 1).

    Portanto, para resolver equações exponenciais, basta

    reduzir ambos os membros da igualdade a uma

    mesma base e então, basta igualar os expoentes para

    recair numa equação comum.

     Exemplos:

    1)  813   = x  

    Solução:

    Fatorando o número 81, obtemos que 4381 = . Logo, podemos escrever: 433   = x  

    Como obtivemos uma equação, equivalente a primeira, que apresenta bases iguais, podemos

    então afirmar que: 4= x  

    2)  162 3 =− x  Solução:

    Da mesma forma que o exemplo anterior, fatoramos o número 16 e obtemos que 4216 = .

    Portanto, escrevemos então:

    7

    43

    22 43

    =

    =−

    =−

     x

     x

     x

     

    3)  31 279   −+ =   x x  

    Solução:

    Neste caso devemos fatorar tanto a base 9 como a base 27, onde encontraremos: 239 =  e de

    modo semelhante 3327 = . Assim, podemos escrever então:

    ( ) ( ) 3312 33   −+ =   x x  

    Utilizando na equação resultante a propriedade número 6, escrevemos: 9322 33   −+ =   x x .

    Obtendo assim que:

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    52/178

    52

    11

    11

    2932

    9322

    =

    −=−

    −−=−

    −=+

     x

     x

     x x

     x x

     

    4)81

    16

    2

    3=

     

      

       x

     

    Solução: 

    Fatoramos os valores 16 e 81, obtendo dessa forma que 4216 = ; 4381 =   e portanto,

    4

    4

    4

    3

    2

    3

    2

    81

    16 

      

     == .

    Dessa forma na equação podemos escrever:

    4

    3

    2

    2

      

     =

     

      

       x

     

    Logo a seguir, utilizando a propriedade de número 7, podemos escrever

    42

    3

    2

    34

    −=⇒ 

      

     =

     

      

       −

     x

     x

     

    5)  3)4()2(   x x x =  

    Solução:

    Utilizando a propriedade de número 6, podemos inicialmente escrever:  x x 3422

    =  

    Logo a seguir fatoramos a base 4, onde obtemos: 224 = , podendo então escrever a equação

    da seguinte forma:  x x 32 )2(22

    =  

    Novamente pela propriedade número 6 podemos escrever;

     x x 622 2 =  

    Como temos então bases iguais, a equação pode finalmente ser escrita da forma:

    6006

    62

    2

    ==⇒=−

    =

     xou x x x

     x x 

    6)  15 3 =− x  

    Solução:

    Pela propriedade de número 1, a equação acima pode ser escrita da seguinte forma: 03 55   =− x .

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    53/178

    53

    Obtendo assim uma equação exponencial de mesma base, onde podemos imediatamente

    igualar os expoentes, ou seja:

    3

    03

    =

    =−

     x

     x 

    7)  273   = x  

    Solução:

    Em primeiro lugar devemos fatorar a base 27, onde encontramos que 3327 = . Logo a seguir

    escrevemos então a equação da seguinte forma; 333   = x  

    Levando em conta a propriedade de número 8, imediatamente podemos escrever: 23

    33   = x  

    Obtendo assim, uma equação exponencial de mesma base, onde podemos imediatamente

    igualar os expoentes, ou seja:

    2

    3= x  

    Exercícios

    Resolva as equações a seguir e marque as alternativas corretas:

    Questão 01

    162   = x   (a) x = -4 (b) x = 4 (c) x = -2 (d) x = 2 (e) x = 1

    Questão 02 

    8

    12   = x   (a) x = 3 (b)

    21x  =   (c)

    31x  =   (d) x = -3 (e) x = 4

    Questão 03 

    4

    12 3 =− x   (a) x = -1 (b) x = 0 (c) x = 2 (d) x = 32 (e) x = 1

    Questão 04 

    82   = x   (a)2

    3= x   (b)3

    2= x   (c)2

    3−= x   (d)3

    2−= x   (e)2

    1= x  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    54/178

    54

    Questão 05

    17 32 =− x   (a) 32= x   (b) 3

    2−= x   (c) 23= x   (d) 2

    3−= x   (e) 21−= x  

    Questão 06 2733 5 =− x   (a) x = 16 (b) x = -14 (c) x = -16 (d) x = 8 (e) x = 14

    Questão 07 

    23 332 −− = x x   (a) 12   −==   xou x   (b) 12   ==   xou x   (c) 12   =−=   xou x  

    (d) 10   ==   xou x   (e) 02   ==   xou x  

    Questão 08 

    12 432

    =−−   x x   (a) 14   −==   xou x   (b) 14   −=−=   xou x   (c) 14   ==   xou x  

    (d) 04   ==   xou x   (e) 10   −==   xou x  

    Questão 09 

    642 1 =+ x   (a) x = -5 (b) x = 1 (c) x = -1 (d) x = 5 (e) x = 10

    Questão 10 

    749 1 =− x   (a) 23= x   (b) 3

    2−= x   (c) 23−= x   (d) x = 0 (e) 3

    2= x  

    Gabarito

    1) B 2)D 3)E 4) A 5) C

    6) E 7) B 8) A 9) D 10) A

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    55/178

    55

    Seção 4.2

    Logaritmos

    Além do seu emprego generalizado para tornar possíveis operações aritméticas complicadas,os logaritmos, juntamente com as exponenciais, revelam-se possuidores de notáveis propriedades,

    que as qualificam como modelos ideais para certos fenômenos de variação, nos quais a grandeza

    estudada aumenta (ou diminui) com taxa de variação proporcional à quantidade daquela grandeza

    existente no momento dado. Exemplo deste tipo de variação, (chama-se variação exponencial) é um

    capital empregado a juros contínuos (crescimento). Inúmeras outras situações desta natureza existem,

    em quantidade e importância suficientes para justificar a presença das funções exponenciais e

    logarítmicas na matemática, nas Ciências e na Tecnologia.A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da energia liberada pelos terremotos

    sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nela, é utilizado o logaritmo decimal. O

    logaritmo decimal é também utilizado, na Física, na definição da intensidade auditiva  ou nível

    sonoro. Na Astronomia, o brilho das estrelas é também medido por uma escala logarítmica. Na

    biologia descreve o crescimento populacional de certo tipo de bactérias, assim como em outras áreas

    do conhecimento.

    Definição:

    Considere “b” e “a” números reais positivos, com a ≠ 1, ou seja:

    >≠

    >

    01

    0

    aea

    Definimos:  bacb   ca   =⇔=log .

    A esse expoente “c” damos o nome de logaritmo de “b” na base “a”, onde: “b” é oantilogaritmo (ou logaritmando), “a” é a base e “c” é o logaritmo.

    Nomenclatura:

      b = antilogaritmo (ou logaritmando),

      a = base,

      c = logaritmo.

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    56/178

    56

     Exemplos:

    1) 8log2

     → logaritmo de oito na base 2

    2) 81log3

     → logaritmo de oitenta e um na base três

    OBS:

    a) Quando a base é 10 omite-se a base, ou seja, ao invés de 8log10 , escrevemos apenas 8log .

    b)  Quando a base é o número “e” (“e”  é um número irracional aproximadamente igual a

    2,718281828459045... - chamado Número de Euler)., ao invés de escrevermos 10loge , escrevemos

    10ln .

     Exemplos:

    1) Calcule o valor indicado em cada item.

    a) 8log2

     

    Solução:

    Como queremos calcular o valor de 8log2

    , escrevemos inicialmente que  x=8log2

     

    Portanto, estamos chamando o 8log2

     de x, e nosso trabalho, consiste então em encontrar o

    valor desse “ x”. Logo a seguir, utilizando a definição de logaritmo podemos escrever: 82  = x

       Dessa forma, nosso trabalho então se restringe a resolver a equação exponencial

    resultante,3

    22 3

    =

    =

     x

     x

     

      Ou seja, em  x=8log2

    , como encontramos que x = 3, portanto escrevemos: 38log2

      =  

    b) log 25

    SoluçãoComo queremos calcular o valor de 25log , escrevemos inicialmente que  x=25log

    Na situação apresentada, nosso trabalho consiste em determinar o logaritmo decimal do valor

    25. Neste caso utilizaremos uma calculadora científica que nos fornecerá imediatamente o valor

    pedido, da seguinte forma:

    Digitar:  25 log

    Ler no visor:  397940009.1

    Portanto podemos dizer que “aproximadamente” o valor de log 25 é 1,39794, ou seja:39794,125log   ≅  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    57/178

    57

    c) ln 75

    Solução:

    Como queremos calcular o valor de 75ln , escrevemos inicialmente que  x=75ln

    Na situação apresentada, nosso trabalho consiste em determinar o logaritmo “natural” (ou“neperiano”) do valor 75. Neste caso utilizaremos uma calculadora científica que nos fornecerá

    imediatamente o valor pedido, da seguinte forma:

    Digitar:  75 ln  

    Ler no visor:  317488114.4

    Portanto podemos dizer que “aproximadamente” o valor de ln 75 é 4,31748, ou seja:

    31748,475ln   ≅  

    2) Calcule o valor dos antilogaritmos (ou logaritmandos) nas expressões.

    a) 4log3

      = x  

    Solução:

    Utilizando a definição de logaritmo podemos escrever:  x=43

    Calculando a potência indicada encontramos que: x = 81 

    Portanto podemos dizer que o valor de x na expressão 4log3   = x  é 81, ou seja:

    814log3   =⇒=   x x  

    b) 456,2log   = x  

    Solução:

    A expressão indica que o logaritmo utilizado é o logaritmo decimal, ou seja, a base que não

    aparece escrita é a base dez, assim poderíamos escrever a expressão da seguinte maneira:

    456,2log10   = x  

    Logo a seguir utilizamos a definição de logaritmo e escrevemos:  x=456,210  

    Utilizando a calculadora científica, calculamos a potência indicada, ou seja;

    7590543.285= x  

    Portanto podemos dizer que “aproximadamente” o valor de x na expressão 456,2log   = x  é

    285,759, ou seja:

    759,285456,2log   ≅⇒=   x x  

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    58/178

    58

    c) 743,0ln   = x  

    Solução:

    A expressão indica que o logaritmo utilizado é o logaritmo natural (ou neperiano), ou seja, a

    base que não aparece escrita é o número “e”, assim poderíamos escrever a expressão da seguintemaneira: 743,0log   = xe  

    Logo a seguir utilizamos a definição de logaritmo e escrevemos:  xe   =743,0  

    Utilizando a calculadora científica, calculamos a potência indicada, ou seja; 102232762.2= x  

    Portanto podemos dizer que “aproximadamente” o valor de x na expressão 743,0ln   = x  é 2,1022, ou

    seja: 1022,2743,0ln   ≅⇒=   x x  

    Exercícios

    1) Calcule o valor dos logaritmos a seguir e marque a alternativa correta:

    Questão 01

    4log2

      (a) 2 (b) 4 (c) -2 (d) 8 (e) 6

    Questão 02 

    25log5

      (a) -2 (b) 4 (c) 2 (d) 0 (e) 1

    Questão 03 

    4log4

      (a) 0 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 1

    Questão 04 

    2log2

      (a)3

    1   (b) 2 (c) -1 (d)2

    1−   (e)2

    1  

    Questão 05 

    81log3

      (a) -4 (b) 4 (c)31   (d) 1 (e)

    21  

    Questão 06 

    76log (a) 0,88 (b) 2,88 (c) 1,88 (d) 3,88 (e) 4,88

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    59/178

    59

    Questão 07 

    6ln (a) 0,79 (b) -0,79 (c) -1,79 (d) 1,79 (e) 0

    2) Calcule o valor de “x” (antilogaritmo) nas expressões a seguir.Questão 01 

    ln x = 0 (a) 3 (b) -1 (c) 1 (d) 0 (e) 2

    Questão 02 

    log x = 3,30103 (a) 2 (b) 20000 (c) 20 (d) 200 (e) 2000

    Questão 03 

    log x = 1 (a) 100 (b) 10 (c) 1 (d) -10 (e) -100

    Questão 04 

    log x = 2,69897 (a) 5 (b) 500 (c) 0,5 (d) 5000 (e) 50000

    Questão 05 

    5log2

      = x   (a) 32 (b) 64 (c) 16 (d) 8 (e) 128

    Questão 06 

    ln x = 0,269 (a) 3,31 (b) 2,31 (c) 0,31 (d) 1,31 (e) 4,31

    3) Calcule o valor de cada expressão a seguir.

    Questão 01

    1log8log10log92

      −+=S    (a) 1,5 (b) 3,5 (c) 2,5 (d) 0 (e) 4,5

    Questão 02 

    32log64log12ln42

      −+=S    (a) 4,98 (b) -5,98 (c) 3,98 (d) 2,98 e) 5,98

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    60/178

    60

    Gabarito 

    1) Questão 1: a

    Questão 2: cQuestão 3: e

    Questão 4: e

    Questão 5: b

    Questão 6: c

    Questão 7: d

    2) Questão 1: c

    Questão 2: eQuestão 3: b

    Questão 4: b

    Questão 5: a

    Questão 6: d

    3) Questão 1: c

    Questão 2: e 

    Conseqüências da definição

    São propriedades que decorrem imediatamente da definição de logaritmo (considerando que

    01;0   >≠>   aeab ).

    1) 1log   =aa , ou seja, “o logaritmo de um número numa base que é esse mesmo número é

    igual a 1”.

    Facilmente mostramos o que está posto nesta conseqüência, ou seja, vamos calcular o valor de

    aalog . Para isso diremos que  xaa   =log , a seguir usando a definição de logaritmo escrevemos:1log 1 =⇒=⇒=⇒=   xaaaa xa   x xa  

    Portanto, temos imediatamente da definição que 1log   =aa  

    2) 01log   =a , ou seja, “o logaritmo da unidade em qualquer base a é igual a 0”.

    Também podemos mostrar facilmente o que está posto nesta conseqüência, ou seja, vamos

    calcular o valor de 1log a  através da aplicação da definição de logaritmo, ou seja, diremos que:

    011log 0 =⇒=⇒=⇒=   xaaa x   x xa  

    Portanto, temos imediatamente da definição que 01log   =a  

    3) ba  ba =

    log, ou seja, “a potência da base a e expoente balog é igual a b”.

  • 8/18/2019 Nivelamento em matemática

    61/178

    61

    Para mostrarmos esta conseqüência chamamos inicialmente  xba   =log . Nesta expressão

    aplicando a definição de logaritmo temos: ba xb   xa   =⇔=log . Portanto em a  balog , substituindo

    balog por x, teremos imediatamente: xb

    aa  a =

    log 

    Mas, sabemos da definição de logaritmo que ba x = , assim então, podemos finalmente

    escrever: ba xb

    a  a ==

    log.

    Portanto temos imediatamente da definição que: ba  ba =

    log 

    4) cbca

    ba

      =⇔= loglog , ou seja, “dois logaritmos em uma mesma base são iguais se,

    e somente se, os antilogaritmos são iguais.Para mostrarmos esta conseqüência da definição aplicamos na igualdade a definição de

    logaritmo, ou seja, bca

    ba   a

      ca =⇔=log

    loglog  

    Da conseqüência de número três temos que ca  ca =

    log, portanto teremos que:

    bc

    b

    ca

    ba

    a  ca

    =

    =

    =

    log

    loglog

     

     Mudança de base

    Há ocasiões em que logaritmos em bases diferentes precisam ser convertidos para uma única

    base conveniente, por exemplo, na resolução de cálculos com a calculadora científica podemos

    utilizar duas bases: a base 10 (log) e a base e (ln). Para realizarmos a mudança da base a para uma

    base qualquer c realizamos a seguinte operação:

    a

    bb

    c

    ca log

    loglog   =  

     Exemplo 1:

    3log

    81log81log3   =  (mudança da base 3 para base 10)

    477121254,0

    908485019,181log 3   =  

    481log3   =  

  • 8/18/2019 Niv