NIVELAMENTO 2012/1

MATEMÁTICA BÁSICA

Núcleo Básico da Primeira Fase

2

Instituto Superior Tupy

Nivelamento de Matemática Básica

1. REGRAS DOS SINAIS

1.1 Adição e Subtração Regra: Sinais iguais: Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. Sinais diferentes: Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior. Exemplos:

=+−

=−

=−−

=+

36)d36)c36)b36)a

1.2 Multiplicação e Divisão Regra: Sinais iguais: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo. Sinais diferentes: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo. Exemplos:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) =+⋅−

=−⋅+

=−⋅−

=+⋅+

36)d36)c36)b36)a

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) =+÷−

=−÷+

=−÷−

=+÷+

36)h36)g36)f36)e

2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 2.1 Adição e Subtração

Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da seguinte maneira:

• Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores;

• Adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum;

• Simplificamos o resultado sempre que possível.

Exemplos:

a) = 23

58+

b) = 56

32

+21

−

c) =+−61

94

21

2.2 Multiplicação

Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte forma:

• Multiplicam-se os numeradores entre si;

• Multiplicam-se os denominadores entre si;

• Simplifica-se a fração resultante, sempre que possível.

Exemplos:

a) = 57

23⋅

b) ( ) = 35

3 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅−

c) =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

61

72

97

Observação:

Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-la, conforme o exemplo c.

2.3 Divisão

Para dividir duas frações, procedemos da seguinte forma:

• Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda fração;

• Simplifica-se o resultado sempre que possível.

Exemplos:

a) = 73

52÷

b) = 20 45

÷⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

3

2.4 Potenciação

Para elevar uma fração a um certo expoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente.

Exemplos:

a) = 32

2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

b) = 2310

0

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

c) = 23

3−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

d) = 56

-2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

Observações:

• Elevando um número ao expoente par, o resultado será positivo, conforme o exemplo a.

• Elevando um número a um expoente ímpar, o resultado terá o sinal do próprio número, conforme o exemplo c.

2.5 Radiciação

Para obter a raiz de uma fração, extrai-se as raízes do numerador e do denominador.

Exemplos:

a) = 2516

b) = 81

3

c) ∉−94

ℝ

Observações:

• Quando o índice da raiz for par não existirá a raiz de um número negativo, conforme o exemplo c.

• ℝ → conjunto dos números reais

3. SEQUÊNCIA DE OPERAÇÕES

As expressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação:

1º → Potenciação e Radiciação;

2º → Multiplicação e Divisão;

3º → Adição e Subtração.

Essas operações são assim realizadas:

1º → Parênteses;

2º → Colchetes;

3º → Chaves.

4. PRODUTOS NOTÁVEIS Certos produtos aparecem com bastante frequência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, significa: produto → “resultado da multiplicação”, e notável → “que se destaca”. O único problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota! Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva (conhecida como “chuveirinho”), ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir. 4.1 Quadrado da Soma de dois Termos

( ) ( ) ( )bababa +⋅+=+ 2 22 bababa +++=

Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Logo, podemos estabelecer a seguinte regra:

“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”.

Primeiro termo

Segundo termo

Quadrado do 2º termo

Quadrado do 1º termo

2 vezes o 1º pelo 2º termo

4

Exemplos:

a) (x + y)2 = (x) 2 + [ 2 . (x) . (y) ] + (y) 2

x2 + 2xy + y2

b) (3a + 2)2 = (3a) 2 + [ 2 . (3a) . (2) ] + (2) 2

9a2 + 12a + 4 4.2 Quadrado da Diferença de dois Termos • Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser

enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos.

Então temos:

( ) ( ) ( )bababa 2 −⋅−=− 22 bababa +−−=

Portanto: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. Exemplos:

a) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

b) (3a – 5)2 = (3a)2 – [ 2.(3a).(5) ] + (5)2 =

9a2 – 30a + 25 4.3 Produto da Soma e Diferença de dois Termos

• O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores.

Veja:

( ) ( )baba −⋅+ 2222 babababa −=−+−=

Portanto: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”. Exemplos:

a) (x + y).(x – y) = x2 – xy + yx – y2

Logo: (x + y).(x – y) = x2 – y2

b) (3a – 5).(3a + 5) = (3a)2 – (5)2 = 9a2 – 25

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Calcule os quadrados e os produtos:

a) (a + 5)2 f) (x + 3).(x – 3)

b) (x + 1)2 g) (2x – 1).(2x + 1)

c) (2x + 3y)2 h) (7 + a).(– a + 7)

d) (a – 2)2 i) (¾ – 4y).(4y + ¾)

e) (x – 1)2 j) (m2 – ½).(m2 + ½) Respostas:

4

1)16

16

9)49)

14)9)12)44)

9124)12)2510)

422

2222

2222

−−−

−−+−+−

++++++

mjyiah

xgxfxxeaad

yxyxcxxbaaa

2) Simplifique as expressões:

a) (a – 2)2 – 2(a + 2) =

b) (y + 5)2 – y(y + 10) =

c) (a + b)2 + (a – b) 2 =

d) (x – 3)2 + (x + 3) 2 =

e) (x + y)(x – y) + (x + y)2 – 2xy = Respostas:

22222 2)182)22)25)6) xexdbacbaaa ++− # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #

1) Efetue as operações: a) (2x + 1)2 + (2x – 1)2 =

b) 3(y2 – 1)2 + 2(2y + 2)2 =

c) (2xy + 3)(x2 – 2) – (x – 1)2 =

d) (2x + 1)2 + 2x(x – 1)2 =

e) (ab + 1)2 + ab(ab + 2) =

f) (4ay – 1)2 – 4(ay – 1)2 =

Respostas:

32212)14222)1632)

7222432)11162243)228)

−++++

−++−++++

yafabbaexxd

xxxyyxcyyybxa

2) Nos exercícios abaixo, obtenha os produtos notáveis: a) (3m2 + 4n)2 = e) (3a2 – 2b6)2 =

b) (7y2 + 3y4)2 = f) (1 + x5)2 =

c) (b4 + c5)2 = g) (– x + 3)2 =

d) (x2 – 3)2 = h) (– x – 2y)2 =

5

Respostas:

2442)962)

10521)124621249)9264)

105428)89642449)21622449)

yxyxhxxg

xxfbbaaexxd

ccbbcyyybnnmma

+++−

+++−+−

++++++

3) Calcule os seguintes produtos notáveis:

a) =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −2

412xy d) =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −2

22

61

41 yx

b) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

22

33 bab e) =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

22

74

51 m

c) =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −2

32 231 abba

Respostas:

449162

358

251)4

36122

1214

161)

624433424

91)

9432229)

161224)

mmeyyxxd

bababacbabbabxyyxa

+++−

+−+−+−

CURIOSIDADE:

Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. Veja: Qual o produto de (41).(39)? Transformando a multiplicação para um produto notável, temos:

(40 + 1).(40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599

Agora tente você!

Calcule (101).(99) utilizando um produto notável. RESUMINDO:

( ) ( ) 2222 2 babababa ++=−−=+

( ) ( ) 2222 2 babababa +−=+−=−

( )( ) ( )( ) 22.. bababababa −=+−=−+

5. FATORAÇÃO

Fatorar uma expressão é reescrevê-la em fatores (partes) que se multiplicam. Estas partes (fatores) podem apresentar números e/ou variáveis que devem ser escritas com os menores números possíveis, e, as variáveis (letras), com o menor expoente natural possível.

Observe a igualdade abaixo:

5a + 5b = 5(a + b)

Como 5a + 5b poder escrito 5(a + b), dizemos que expressão 5a + 5b foi fatorada, tendo como fator comum o número “5”, que foi colocado em evidência.

Exemplos:

a) ab + ac = a(b + c) → fator comum “a”

b) 6x2 + 2x3 = 2x2(3 + x) → fator comum “2x2”

c) 10m + 20m2 = 10m(1 + 2m) → fator comum “10m”

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Fatore as expressões:

a) aaa 18126 23 +−

b) 432 302015 xxx −−

c) 543 20125 aaa +−

d) 22 93 xyyx −

e) )()(2 yxxyx −−−

f) )(6)(3 babax +++

Respostas:

a) 6a(a2 – 2a + 3) b) 5x2(3 – 4x – 6x2) c) a3(5 – 12a + 20a2)

d) 3xy(x – 3y) e) (x – y)(2 – x) f) 3(a + b)(x + 2) # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #

1) Simplifique as expressões dadas:

a) 444 ba +

e) 2

23 1115x

zxyx −

b) aayax

52510 −

f) bababa

3773 322

−+−

c) 31812 yxy −

g) 2

32

248yxxyyx

−−−−

d) nmnm

−−77

Respostas: a) a + b b) 2x – 5y c) 2y(2x – 3)

d) 7 e) 15xy – 11z f) a2 b g) 4xy

6

6. EQUAÇÃO DO 1° GRAU Equação do 1° grau é toda equação que se reduz à forma ax + b = 0, onde a e b são números reais, com a ≠ 0. Vejamos alguns exemplos: a) ⇒+=− 13579 xx

0204013759 =−⇒=−−− xxx

b) ⇒−

=−

−+

243

694

312 xxx

02121299424

6)43(3

6)94()12(2

=+

⇒−=+−+

⇒−

=−−+

xxxx

xxx

6.1 Resolução de uma Equação do 1° Grau Resolver uma equação do 1° grau é determinar o valor de “x” (variável) que satisfaz a igualdade. Vejamos alguns exemplos: a) 13579 +=− xx

5420204

71359

=⇒=

=

+=−

xx

xxx

Temos então que: { }5=S

b) 243

694

312 xxx −

=−

−+

( ) ( ) ( )

61

122212

29912446129

69424

6433

6941122

2

2

−=⇒−=

−=

−−=+−

−=

+−+

−⋅=

−⋅−+⋅

÷

÷

xx

xxxx

xxx

xxx

Logo, temos: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=61S

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Resolva as equações a seguir:

a) ( ) ( )12424 −+=− xx

b) ( )[ ] ( )1932425 +=++− xxx

c) 41

32

261

+−=−xx

d) 4313

21

852 +

=−

+− mmm

e) ( ) ( )

4235

312

314 +

=+

++ xxx

Respostas:

{ } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−7

6)

4

3)

2

1)2)5) edcba

7. EQUAÇÃO DO 2° GRAU

Equação do 2° grau é toda equação que se apresenta na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

Vejamos alguns exemplos: a) 3x2 – 7x + 2 = 0 a = 3; b = –7; c = 2 b) 2x2 – 10x = 0 a = 2; b = 10; c = 0 c) –x2 + 5 = 0 a = –1; b = 0; c = 5 d) 4x2 = 0 a = 4; b = 0; c = 0

7.1 Resolução de uma Equação do 2° Grau A resolução de uma equação do 2º grau pode ser obtida através de uma fórmula, usualmente chamada Fórmula de BHÁSKARA:

02 =++ cbxax

aacbbx

242 −±−

=

A expressão cab ⋅⋅− 42 , chamada de discriminante da equação, é geralmente representada pela letra grega Δ (lê-se: delta).

Então: ac4b2 −=Δ

Logo, se 0≥Δ , podemos escrever:

abx2

Δ±−=

Observe que, quando 0<Δ , a equação não admite

raízes reais.

7

Exemplo: a) Resolva a equação 2x2 + 7x + 3 = 0 Valores: a = 2; b = 7; c = 3

Fórmula: a

acbbx2

42 −±−=

Substituindo os valores, temos:

2232477 2

⋅

⋅⋅−±−=x

424497 −±−

=x

457

22257 ±−

=⋅

±−=x

Então:

42

457

1 −=+−

=x 21

1 −=∴ x

412

457

2 −=−−

=x 32 −=∴ x

Logo, o conjunto-solução, também chamado de conjunto-verdade é:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−= 3,21V

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determine o conjunto-verdade das equações:

a) 01522 =−+ xx

b) 0103 2 =− pp

c) 020122

=++ yy

d) 0642 =−x

e) 0806010 2 =+− xx

f) 1

102 −=y

y

g) yy 12159 2 −=+

h) 251

1=

++

+ xx

xx

i) 332122 −=− xx

Respostas:

{ } { } { }

{ } { } { }

{ }3,33)

1,2)3

2)4,5)2,4)

8,8)10,2)10

30)5,3)

−=

−=−=−==

−=−−==−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Vi

VhVgVfVe

VdVc,VbVa

# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do 1º Grau)

1) Determine o conjunto-solução das equações abaixo:

a) ( ) ( ) 201.23.5 =−−+ xx b) ( ) ( )4.33.25 −−=+− xxx

c) 87

83

211 +=++ x

d) 312

214 +−=

− xx

e) ( ) xxxx

21

43

123.5

3=

−+

−+

f) ( ) ( ) xxx 5

6112.

25

33.2

=+−++

2) Resolva as equações, apresentando o conjunto verdade:

a) 12

342−

−=−a

b) xx

xx 3

421

310

22 =−

−

c) 324

23

−=+

++ xxx

d)22 98

1811

nnnn

=−−

e) 123

42

=−

−− xx

f) 3352

11

=−

−+

−

+

xx

xx

Respostas: 1a) S = {1} 1b) S = {3} 1c) S = {–1/4} 1d) S = {5/16}

1e) S = {4} 1f) S = {1/2} 2a) V = {3/4} 2b) V = {23/11}

2c) V = {–5/3} 2d) V = {2} 2e) V = {0} 2f) V = {7/3}

8

# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do 2º Grau)

1) Determine o conjunto-solução das equações:

a) 0654 2 =−− xx b) 01710 2 =+− xx

c) 036122 =+− xx d) 0532 =+− xx

e) 052 2 =−− xx f) 07 2 =+ xx

g) 092 =− xx h) 0322 2 =−x

i) 0624 2 =+− x j) 0273 2 =+− x

l) 017,01,0 2 =+− xx

m) 0422 =−+ xx

n) 4

422

21

2 −=

−+

+

−

xx

xxx

o) 113

12

=−

−+

+

−

xx

xx

p) 0121762 =+−

xx

q) 111

122 −=

++

− xx

r) 555

55

−+=

−+

xxx

s) ( )41

74

1639

713 22 −

−−

=+

−− xxxx

Respostas: a) {2, –3/4} b) {1/2, 1/5} c) {6} d) {x ∉ ℝ} e) {0, –5/2}

f) {–1/7, 0} g) {0, 9} h) {± 4} i) { 2/62± } j) {± 3}

l) {2, 5} m) { 22− , 2 } n) {3} o) {0, 5} p) {2/3, 3/4} q) {0} r) S = ∅ s) {5, 11/12}

9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Resolver um sistema de equações do 1º grau é determinar o par ordenado (x, y) para o qual, as duas equações são verdadeiras. Vamos recordar dois métodos de resolução: o método da substituição e o método da adição.

9.1 Método da Substituição

Vejamos um exemplo:

a) Resolva o sistema: ⎩⎨⎧

− II3I5

y = x

x + y =

Resolução:

Isolando o valor de “x” em I:

x + y = 5 → x = 5 – y

Substituindo “x” por (5 – y) em II, temos:

x – y = 3

(5 – y) – y = 3 → 5 – y – y = 3 →

– y – y = 3 – 5 → – 2y = –2 →

2y = 2 → y = 22

→ y = 1

Substituindo y = 1 em x = 5 – y , temos:

x = 5 – (1) → x = 5 – 1 → x = 4

Então, encontramos o par ordenado que gera a solução:

S = { (4 , 1) }

9.2 Método da Adição

Vejamos um exemplo:

a) Resolva o sistema: ⎩⎨⎧

− II 5I 9

y = x

x + y =

Resolução:

Adicionando membro a membro as equações, de modo que a soma de uma das variáveis torne-se nula:

14259

x = y = x y = x +

⎩⎨⎧

−+

x = 142

→ x = 7

Substituindo x = 7 em I, temos:

x + y = 9

7 + y = 9

y = 9 – 7 → y = 2 Assim, temos o par ordenado que gera a solução:

S = { (7 , 2) }

9

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determine a solução para cada um dos sistemas abaixo:

a) ⎩⎨⎧

− 13236

y = x x + y =

b) ⎩⎨⎧

− 8132

y = x x + y =

c) y x ara p y = x

= x + y

x−≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− 153

d) 043

5≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

ypara y = x

= yx

e) yx ara p y = x

= x + y −≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− 1233

f) yx ra pa =

yx

= x + y

x

±≠

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

2431

g) 224

12

3

≠−≠

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

− xey x para =

x + y

= x

y

h) 0232

2 y para

y = x +

= yx

≠⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

i ) 3157

312

−≠⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

y para y = x

= y + x +

Respostas:

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }2,3)4,8)1,1)4,2)

21,

23

)2,10)2,3)1,7)1,5)

==−−==

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===−==

SiShSgSf

SeSdScSbSa

# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Sistemas de Equações do 1º Grau)

1) Resolva os sistemas de equações:

a) ⎩⎨⎧

=−

=+

125832

yxyx

b)⎩⎨⎧

=−

−−=−

7342)(2

yxyxyx

c) ⎩⎨⎧

=−

=+

1,221,335,05,01,0

yxyx

2) Se o par ( )ba, é a solução do sistema

⎩⎨⎧

−=+

=+

1252423

yxyx

, calcule o valor de ba + .

3) Resolva o sistema abaixo:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−+

=+

+−

1221

32

67

33

2

baba

baba

4) Resolva o sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+

−

=+

−

23

3

02

12

yxyxyx

5) Se o par ordenado ( )yx, é a solução do sistema

abaixo, calcule o valor de 22 yx − .

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

+=

−

−

+−

+=

−

+

1182

313

112

412

yy

xx

yy

xx

Respostas: 1a) S = {(1, 2)} 1b) S = {(1, –1)} 1c) S = {(1, 1/2)} 2) S = {0} 3) S = {(2, –1)} 4) S = {(8,2)} 5) S = {45}

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# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Problemas envolvendo

Equações do 1º e 2º Graus)

1) A soma do quádruplo de um número com 63 é igual a 211. Qual é esse número? 2) Quando diminuímos 8 anos da idade de Helena,

obtemos 53

de sua idade. Qual é a idade de Helena?

3) Se adicionarmos um número natural com o seu sucessor e multiplicarmos o resultado por 5, vamos obter 635. Qual é o número natural considerado? 4) Se do número 2 subtrairmos o quíntuplo do inverso

de um número, obteremos a fração 23

. Qual é o

número? 5) Divide-se um número pelo seu consecutivo. Soma-se ao resultado dessa divisão o dobro do inverso do número e obtém-se 1. Qual é esse número? 6) Uma sala retangular tem 3m a mais de comprimento que a largura. Se a área da sala é de 54m2, qual é o seu perímetro? 7) Juntos, dois terrenos quadrados ocupam uma área de 296 m2. O lado de um dos terrenos tem 4m a mais que o lado do outro. Qual é área de cada terreno? 8) Diminuindo 3m de cada lado de um terreno quadrado, obteremos um novo terreno de área 196m2. Qual é a área do terreno original? 9) Se do quadrado de um número subtrairmos 12, obteremos o próprio número. Qual é esse número? Respostas:

1) 37 2) 20 anos 3) 63 4) 415 5) – 2

6) 30 m 7) 196m2 e 100m2 8) 289 m2 9) 4 ou –3

Para refletir.... “Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula”.

(Jacques Chapellon)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (comentadas) • GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem. v.1. São Paulo: FTD, 2000.

9 Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo trigonometria no triângulo retângulo (logo no início do livro). • GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIONVANNI JR, José Ruy. A Conquista da Matemática: teoria e aplicação. 7ª série. São Paulo: FTD, 1992.

9 Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do 1º grau e sistema de equações do 1º grau. • GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. Aprendizagem e Educação Matemática, 7. São Paulo: FTD, 1990.

9 Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do 1º grau e sistemas de equações do 1º grau. • GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. Aprendizagem e Educação Matemática, 8. São Paulo: FTD, 1990.

9 Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo equações do 2º grau e trigonometria no triângulo retângulo. ANOTAÇÕES E LEMBRETES: