NIKJER-NICELNI PRETOKIpefprints.pef.uni-lj.si › 4202 › 1 › AljaSubic_DiplomskoDelo.pdf · Grafe najla zje upodobimo s to ckami na ravnini, ki predstavljajo vozli s ca in poveza-vami

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

ALJA SUBIC

NIKJER-NICELNI PRETOKI

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

Dvopredmetni ucitelj: matematika - racunalnistvo

ALJA SUBIC

Mentor: doc. dr. PRIMOZ SPARL

NIKJER-NICELNI PRETOKI

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

Zahvaljujem se mentorju doc. dr. Primozu Sparlu za cas, nasvete in strokovno

pomoc pri pisanju diplomskega dela.

Hvala tudi vsem, ki so mi v casu studija stali ob strani, me spodbujali in me

podpirali.

I

Povzetek

V diplomskem delu obravnavamo nikjer-nicelne pretoke na grafih. Le-ti se izkazejo

kot zelo uporabni, tako znotraj same teorije grafov, kot tudi v praksi.

Pred samo vpeljavo pojma nikjer-nicelnega pretoka najprej ponovimo osnovne defi-

nicije teorije grafov in teorije grup, ki so potrebni za razumevanje diplomskega dela.

Nato vpeljemo pojem pretoka in nikjer-nicelnega pretoka, ki ju ilustriramo na pri-

merih. Obravnavamo predvsem pretoke z vrednostmi v abelskih grupah. Navedemo

pomemben Tuttov izrek, ki povezuje nikjer-nicelne k-pretoke z nikjer-nicelnimi Zk-

pretoki, ga dokazemo in predstavimo na primeru. Nazadnje podamo in dokazemo se

nekaj rezultatov o obstoju nikjer-nicelnih k-pretokov za majhne vrednosti k. Ome-

nimo tudi znane Tuttove domneve o taksnih pretokih.

MSC (2010) klasifikacija: 05C21, 20K01

Kljucne besede: k-pretok, nikjer-nicelni pretok, Tuttov izrek, Tuttove domneve

II

Abstract

In this BSc thesis we investigate nowhere-zero flows on graphs. It turns out that this

concept is very useful in graph theory itself, as well as in practice.

Before introducing the concept of nowhere-zero flows we make a short review, along

with some examples, of some notions in graph theory and in group theory, which

are necessary for the understanding of this BSc thesis. We then define the concept

of flows and nowhere-zero flows, and illustrate them with examples. We focus on

flows with values in abelian groups. We present an important theorem of W. T.

Tutte, which gives a correspondence between nowhere-zero k-flows with nowhere-

zero Zk-flows. We prove the theorem and illustrate it with an example. Lastly,

we present and prove some results about the existence of nowhere-zero k-flows for

small values of k. We mention also two well-known Tutte’s conjectures on these flows.

MSC (2010) classification: 05C21, 20K01

Key words: k-flow, nowhere-zero flow, Tutte’s theorem, Tutte’s conjectures

III

Kazalo

1 Uvod 1

2 Osnovni pojmi 3

2.1 Teorija grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Teorija grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Pretoki 7

4 Nikjer-nicelni pretoki 11

4.1 Definicija in nekaj primerov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Tuttov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3 Nikjer-nicelni k-pretoki za male k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4 Tuttove domneve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Zakljucek 26

Literatura 27

IV

Slike

2.1 Ponazoritev grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Kubicni graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Dvodelen graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Podgraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1 Z-pretok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 5-pretok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1 Nikjer-nicelni 4-pretok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Graf, ki ne premore nikjer-nicelnega 3-pretoka . . . . . . . . . . . . . 12


4.4 Nikjer-nicelni Z4-pretok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.5 Nikjer-nicelni Z5-pretok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14




4.9 Nikjer-nicelni 2-pretok na K5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.10 Nikjer-nicelni 3-pretok na K6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.11 Razdelitev vozlisc polnega grafa Kn v dva razreda . . . . . . . . . . . 22

4.12 Grafa Γ1 in Γ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.13 Petersenov graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

V

Poglavje 1

Uvod

Diplomsko delo pred vami sodi na podrocje teorije grafov. Gre za dokaj mlado vejo

matematike, katere zacetki sicer segajo v 18. stoletje, njen pravi razvoj pa se je zacel

sele v drugi polovici 20. stoletja. Rezultati teorije grafov se danes uporabljajo na

najrazlicnejsih podrocjih, tudi izven matematike, na primer za upodobitev stevilnih

odnosov v fizikalnih, bioloskih, druzbenih in informacijskih sistemih. Kot pa ze samo

ime pove, teorija grafov raziskuje grafe. Graf je mnozica objektov, t.i. vozlisc, ki so

med seboj lahko na nek nacin povezana ali pa ne. Grafe tako lahko preprosto pred-

stavimo s sliko v ravnini, kjer tocke predstavljajo vozlisca, povezave pa upodobimo

z ravnimi crtami ali krivuljami, ki dolocene tocke povezujejo med seboj. Strukture

in situacije, ki jih je mogoce predstaviti z grafi, lahko najdemo marsikje, zato lahko

s pomocjo teorije grafov resujemo veliko prakticnih problemov. [2]

Povezave v grafih lahko tudi utezimo. V tem primeru si lahko grafe predstavljamo

kot nekaksna omrezja, v katerih na primer utezi na povezavah predstavljajo raz-

dalje, razlicne tipe povezav, pa tudi velikosti tokov skozi povezave. S pretoki lahko

prikazemo promet v cestnem sistemu, pretakanje tekocine po ceveh, tok v elektricnem

tokokrogu, ali kaj podobnega, kjer neka stvar potuje prek omrezja vozlisc. Danes se

taksni modeli pogosto uporabljajo na podrocju transportnih sistemov, v proizvodnji,

pri nacrtovanju zalog, obdelavi slik in tudi pri internetnem sistemu. Obicajno imajo

omrezja le nekaj vozlisc, skozi katera tok vstopa v omrezje ali iz njega izhaja, na

ostalih vozliscih pa je skupna vrednost tokov, ki pridejo v vozlisce, enaka vrednosti

tokov, ki gredo iz tega istega vozlisca. S tem torej v vecini vozlisc izpolnjujemo Kir-

chhoffov zakon. [2]

1

POGLAVJE 1. UVOD 2

Prav tako kot sami tokovi in pretoki, so v zivljenjskih situacijah uporabni tudi nikjer-

nicelni pretoki. To so posebni primeri pretokov in kot pove ze sama besedna zveza, gre

pri tem za pretoke, ki nimajo povezave z utezjo 0, oziroma povezave niso neutezene.

Vzemimo za primer promet v cestnem sistemu. Povezave seveda predstavljajo ce-

ste, krizisca pa so vozlisca. Vsako vozilo, ki pride v krizisce, mora tudi odpeljati

iz njega, zato bo stevilo prihajajocih in odhajajocih vozil na vozliscih enako in bo

”vrednost”vozlisca tako 0, torej gre za pretok. Predpostavimo lahko, da je stevilo

vozil, ki lahko vozijo po dani cesti, nenicelno, saj sicer te ceste sploh ne potrebujemo,

torej gre za nikjer-nicelni pretok. Ker se po neki cesti vedno pelje neko celo stevilo

vozil, gre pravzaprav za t.i. nikjer-nicelni Z-pretok, s cimer zelimo povedati, da so

vrednosti utezi na povezavah lahko le cela stevila. Vcasih recemo celo, da gre za

nikjer-nicelni k-pretok, ce zelimo omejiti, da se denimo po vsaki cesti lahko pelje

najvec k − 1 vozil, iz kakrsnega koli razloga ze. [2]

Kot se izkaze, teorija pretokov ni uporabna le kot model za resnicne tokove, ampak

se dobro povezuje tudi z drugimi deli teorije grafov, zlasti s povezanostjo grafov in

barvanjem grafov. O povezavi s tema dvema temama v tem diplomskem delu ne

bomo bolj podrobno govorili. Zainteresirani bralec lahko podrobnosti najde v [2].

V samem diplomskem delu opisemo nekaj osnovnih pojmov, ki jih bralec potrebuje

za razumevanje diplomskega dela. Nato se posvetimo pretokom na splosno, za tem

pa se osredotocimo na glavno temo diplomskega dela, na nikjer-nicelne pretoke. Pri

tem si ogledamo Tuttov izrek iz leta 1950, ki pravi, da vsak graf, ki dopusca nikjer-

nicelni k-pretok, dopusca tudi nikjer-nicelni Zk-pretok in obratno. Izrek seveda tudi

dokazemo in si v nadaljevanju ogledamo se nekaj rezultatov, ki pokazejo, da za dani

majhen k obstajajo grafi, ki ne dopuscajo nikjer-nicelnega k-pretoka. Za konec si

ogledamo se nekaj Tuttovih domnev o nikjer-nicelnih pretokih.

Poglavje 2

Osnovni pojmi

V tem poglavju so zbrane definicije osnovnih pojmov in nekaj trditev s podrocja

teorije grafov, nekaj malega pa tudi iz teorije grup, ki so potrebni za razumevanje

tega diplomskega dela. Za lazje razumevanje navajamo tudi nekaj primerov. Pri tem

izhajamo iz literature [1], [2], [4] in [5].

2.1 Teorija grafov

Definicija. Enostaven graf Γ = (V (Γ), E(Γ)) je urejeni par dveh mnozic V (Γ) in

E(Γ), kjer je V (Γ) neprazna mnozica vozlisc, E(Γ) pa podmnozica mnozice neure-

jenih parov razlicnih vozlisc iz V (Γ), katere elemente imenujemo povezave. Pri tem

povezavo {u, v} obicajno zapisemo kar kot uv oziroma vu.

Vozlisci u in v sta sosednji, ce je uv ∈ E(Γ), kar oznacimo tudi z u ∼Γ v oziroma

u ∼ v, ce je Γ razviden iz konteksta. Recemo tudi, da sta u in v krajisci povezave

uv.

Kadar je jasno, za kateri graf gre, namesto V (Γ) in E(Γ) pisemo kar V in E.

Stevilo vozlisc grafa Γ, torej |V |, je njegov red.

Dogovor. Dogovorimo se, da bomo v nadaljevanju diplomskega dela namesto o

enostavnih grafih govorili kar o grafih, pri cemer pa nam bo ta beseda v resnici po-

menila enostaven graf. Enostaven namrec pomeni, da ne vsebuje zank (povezava,

katere obe krajisci sta isto vozlisce) in veckratnih povezav (med istima vozliscema

poteka vec povezav).

3

POGLAVJE 2. OSNOVNI POJMI 4

Grafe najlazje upodobimo s tockami na ravnini, ki predstavljajo vozlisca in poveza-

vami med njimi, ki so daljice ali ukrivljene crte med tockami. Pri tem ni pomembno

kako so vozlisca in povezave narisane, pomemben je le podatek, katera vozlisca so

med seboj povezana in katera ne, torej katera so sosednja in katera ne.

Slika 2.1: Ponazoritev grafa Γ z mnozico vozlisc V = {1, 2, . . . , 7} in mnozico povezav

E = {{2, 5}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 6}}, |V | = 7.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf in naj bo v ∈ V . Tedaj mnozici NΓ(v) = {u ∈V : u ∼Γ v} pravimo okolica (tudi sosescina) vozlisca v v grafu Γ. Ce je Γ razviden

iz konteksta, obicajno pisemo kar N(v).

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf in naj bo v ∈ V . Stopnja ali valenca vozlisca v

je kardinalnost okolice |NΓ(v)|, kar oznacimo z degΓ(v) oziroma deg(v).

Stevilo δ(Γ) = min{deg(v)|v ∈ V (Γ)} je minimalna stopnja vozlisc grafa Γ, stevilo

∆(Γ) = max{deg(v)|v ∈ V (Γ)} pa je njegova maksimalna stopnja.

Graf Γ je regularen, ce velja δ(Γ) = ∆(Γ). V tem primeru recemo, da gre za k-

regularen graf, kjer je k = δ(Γ) = ∆(Γ). Namesto 3-regularen graf obicajno recemo

kubicni graf.

Primer grafa na sliki 2.1 ima torej minimalno stopnjo δ(Γ) = 0 in maksimalno sto-

pnjo ∆(Γ) = 3.

Definicija. Naj bo r ≥ 2 in r ∈ Z. Graf Γ = (V,E) je r-delen, ce obstaja particija

mnozice V (Γ) na r nepraznih razredov tako, da ima vsaka povezava vsako od svojih

krajisc v razlicnih razredih. Torej nobeni dve vozlisci znotraj istega razreda ne smeta

biti sosednji. Namesto 2-delen graf ponavadi pisemo kar dvodelen graf.


Slika 2.2: Primer 3-regularnega oziroma kubicnega grafa.

Slika 2.3: Primer dvodelnega grafa.

Trditev 2.1. Graf Γ je dvodelen natanko tedaj, ko ne vsebuje lihega cikla, kar je

ekvivalentno trditvi, da lahko njegova vozlisca pobarvamo z dvema barvama na tak

nacin, da sta krajisci vsake povezave razlicnih barv.

Definicija. Polni graf je graf, v katerem je vsak par vozlisc med seboj povezan s

povezavo. Polni graf z n vozlisci oznacimo s Kn.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Zaporedje vozlisc v0v1v2 . . . vk−1vk, kjer sta

vozlisci vi−1 in vi povezani za vse 1 ≤ i ≤ k, imenujemo sprehod dolzine k. Ce so vsa

vozlisca paroma razlicna, gre za pot.

Cikel je sprehod z zacetkom in koncem v istem vozliscu, na katerem so vsa ostala

vozlisca paroma razlicna (tudi od zacetnega).

Definicija. Graf je povezan, ce med poljubnima njegovima vozliscema obstaja pot.

Most povezanega grafa je vsaka povezava, katere odstranitev povzroci, da dobljeni

graf ni vec povezan.

Definicija. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) grafa. Graf Γ1 je tedaj podgraf

grafa Γ2, ce velja V1 ⊆ V2 in E1 ⊆ E2. Ce dodatno velja se V1 = V2, je Γ1 vpeti


podgraf grafa Γ2.

Slika 2.4: Primer podgrafa (desni graf je podgraf levemu grafu)

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf in naj bo {V1, V2} particija mnozice V . Potem

mnozici vseh povezav grafa Γ, ki imajo eno krajisce v V1, drugo pa v V2, recemo rez.

2.2 Teorija grup

Definicija. Grupa je urejeni par (G, ◦), kjer je G neprazna mnozica, ◦ pa dvoclena

oziroma binarna operacija na G (t.j., za vsaka g1, g2 ∈ G je g1 ◦ g2 natanko dolocen

element iz mnozice G), ce velja:

1. ◦ je asociativna: ∀g1, g2, g3 ∈ G : (g1 ◦ g2) ◦ g3 = g1 ◦ (g2 ◦ g3);

2. v G obstaja element e, imenovan nevtralni element, za katerega velja:

∀g ∈ G : e ◦ g = g ◦ e = g;

3. za vsak element g iz G obstaja element g′ iz G, imenovan inverz elementa g,

za katerega velja: g ◦ g′ = g′ ◦ g = e.

Ce za operacijo ◦ velja tudi komutativnost (∀g1, g2 ∈ G : g1 ◦ g2 = g2 ◦ g1), pravimo,

da je grupa (G, ◦) komutativna oziroma Abelova.

Primer Abelove grupe sta denimo mnozica celih stevil Z za operacijo sestevanja in

mnozica Zn ostankov pri deljenju z n, prav tako za operacijo sestevanja (tokrat se-

veda po modulu n).

Definicija. Naj bosta (G, ◦) in (H, ∗) grupi. Preslikava ϕ : G→ H je homomorfizem

grup, ce za vsaka a, b ∈ G velja: ϕ(a ◦ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b).

Poglavje 3

Pretoki

V tem poglavju, kjer izhajamo iz [2] in [3], bomo podali se nekaj definicij, ki jih po-

trebujemo za obravnavo pretokov na grafih, ki so glavna tema tega diplomskega dela.

Ko govorimo o pretokih, moramo povedati, v kateri smeri vzdolz povezave tece tok,

zato potrebujemo pojem usmerjenih povezav oziroma lokov.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Tedaj je mnozica L(Γ) mnozica vseh urejenih

parov sosedjih vozlisc grafa Γ, ki jih imenujemo loki grafa Γ.

Vsaki povezavi uv grafa Γ torej ustrezata dva loka in sicer (u, v) ter (v, u). Prvi je

usmerjen od u k v, drugi pa od v k u. Recemo tudi, da je lok (v, u) obrat loka (u, v)

in obratno, da je lok (u, v) obrat loka (v, u). Mnozica L(Γ) grafa Γ = (V,E) je torej

dvakrat vecja od mnozice E(Γ).

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Preslikavi c : L(Γ)→ N pravimo (celostevilska)

kapaciteta na Γ, ce velja c((u, v)) = c((v, u)), za vse (u, v) ∈ L(Γ).

Kapaciteta posamezne povezave nam torej pove najvecjo kolicino ”tovora”, ki jo se

lahko peljemo preko te povezave (v katerikoli smeri).

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf in c : L(Γ) → N kapaciteta.Tedaj je preslikava

f : L(Γ)→ R pretok na Γ, ce velja:

1. f((u, v)) = −f((v, u)), za vse (u, v) ∈ L(Γ);

7

POGLAVJE 3. PRETOKI 8

2.∑

v∈N(u) f((u, v)) = 0, za vse u ∈ V (Γ);

3. f((u, v)) ≤ c((u, v)), za vse (u, v) ∈ L(Γ).

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf in A Abelova grupa z aditivno pisano operacijo.

Preslikava f : L(Γ)→ A je A-pretok na Γ, ce f zadosca 1. in 2. pogoju iz definicije

pretoka.

Opomba. Pri definiciji A-pretoka zelimo bralca opozoriti na to, da se le-ta v [2]

malce razlikuje od nase, saj je v omenjeni literaturi za A-pretok zahtevano, da so

vrednosti f povsod nenicelne, kar bomo mi zahtevali sele za nikjer-nicelne pretoke v

nadaljevanju diplomskega dela. Omenimo tudi, da bomo v nadaljevanju za Abelove

grupe vedno privzeli, da imajo aditivno pisano operacijo.

Pretoku f obicajno recemo celostevilski pretok oziroma Z-pretok, ce so vse njene

prirejene vrednosti celostevilske, torej ce preslikava f vsemlokom priredi vrednosti iz

grupe celih stevil, skupaj z vsemi potrebnimi pogoji.

Slika 3.1: Primer Z-pretoka na grafu (kapacitete povezav niso navedene).

Z-pretoke pa lahko opisemo se bolj natancno in sicer je nek Z-pretok f k-pretok v

primeru, ko za vse (u, v) ∈ L(Γ) velja |f((u, v))| < k. Pretok grafa na sliki 3.1 je

torej 4-pretok, ni pa 3-pretok.

Opomba. Ocitno je, da vsak graf, ki premore k-pretok, za vsak l > k premore tudi

l-pretok (vzamemo kar isti pretok). Tako se lahko vprasamo, katero je najmanjse

stevilo k, da dani graf premore k-pretok (ce taksen k sploh obstaja). Ce na lokih


dopuscamo vrednosti 0, je stvar trivialna (bralca vabimo, da razmisli zakaj). V na-

sprotnem primeru pa temu ni vec tako. Izkaze se, da gre v tem primeru za izjemno

tezka vprasanja, ki jih raziskovalci vse do danes niso uspeli povsem razresiti. Taksni

pretoki so glavna tema tega diplomskega dela. V nadaljevanju bomo tako stremeli

ravno k temu, da za dani graf najdemo k-pretok s cim manjsim k. V izogib doda-

tnim zapletom bomo zato kar privzeli, da so kapacitete povezav neomejene in tako v

konkretnih primerih ne bodo navedene, kot tudi niso navedene v primeru na sliki 3.1.

Opomba. Ce je Γ = (V,E) graf in preslikava f : L(Γ) → A nek A-pretok, je po

definiciji pretoka v grafu Γ med vsakima sosednjima vozliscema dovolj podati vre-

dnost f le na enem od obeh lokov, ki ustrezata posamezni povezavi. Z dolocitvijo

vrednosti f na loku (u, v) je namrec po 1. pogoju iz definicije A-pretoka dolocena

tudi vrednost f na njegovem obratu, torej na loku (v, u). Slednji ima tako inverzno

vrednost vrednosti loka (u, v), seveda znotraj Abelove grupe A. Zato bodo v na-

daljnjih primerih grafi vecinoma prikazani z zgolj enim od obeh lokov (v resnici smo

pretok f tako oznacili ze na levem delu slike 3.1). Bralec bo opazil, da je pri tem

dogovoru 2. pogoj iz definicje A-pretokov izpolnjen natanko tedaj, ko bo za vsako

vozlisce vsota vrednosti na vseh prikazanih lokih, ki so usmerjeni v to vozlisce, enaka

vsoti vrednosti na vseh prikazanih lokih, ki so usmerjeni iz tega vozlisca.

Slika 3.2: Primer 5-pretoka na grafu.

Oglejmo si se zanimivo trditev, ki nas bo spremljala preko celotnega nadaljevanja

diplomskega dela.

Trditev 3.1. Naj bo Γ poljuben graf, A poljubna Abelova grupa in f poljuben A-pretok

na Γ. Tedaj za poljubno podmnozico X ⊆ V velja∑

x∈X

(∑x∈X∩N(x) f((x, x))

)= 0,

kjer X oznacuje komplement mnozice X v V .


Dokaz: Ker f zadosca 1. pogoju iz definicije pretoka, za vse X ⊆ V sledi∑x∈X

(∑y∈X∩N(x) f((x, y))

)= 0. Ker pa zadosca tudi 2. pogoju iz definicije pre-

toka, sledi tudi∑

x∈X

(∑v∈N(x) f((x, v))

)= 0.

Odtod sledi

∑x∈X

( ∑x∈X∩N(x)

f((x, x)))

=

=∑x∈X

( ∑v∈N(x)

f((x, v)))−∑x∈X

( ∑y∈X∩N(x)

f((x, y)))

= 0− 0 = 0.

To pomeni, da za vsako podmnozico X mnozice vozlisc velja, da je vsota vrednosti

pretoka f vzdolz pripadajocega reza v smeri iz mnozice X enaka 0. Ker pa je most

ze sam po sebi rez, lahko zapisemo se naslednjo posledico.

Posledica 3.2. Ce je f pretok in povezava uv most v Γ, potem je f((u, v)) = 0.

Poglavje 4

Nikjer-nicelni pretoki

V tem poglavju se bomo posvetili nikjer-nicelnim pretokom, o katerih smo nekoliko

ohlapno govorili ze ob koncu prejsnjega poglavja. Pojem taksnega pretoka bomo

sprva formalno definirali, nato pa podali se nekaj trditev, primerov in domnev v

povezavi z njimi. Pri tem bomo zopet izhajali iz [2] in [3].

4.1 Definicija in nekaj primerov

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf in A Abelova grupa. Preslikavo f : L(Γ) → A

imenujemo nikjer-nicelni A-pretok na Γ, ce je A-pretok, za katerega dodatno velja

f((u, v)) 6= 0, za vse (u, v) ∈ L(Γ).

Dogovor. Dogovorimo se, da bomo namesto nikjer-nicelni R-pretok rekli kar nikjer-

nicelni pretok. Ponovno lahko taksnemu pretoku recemo nikjer-nicelni Z-pretok, ce

vsem povezavam grafa priredi celostevilske vrednosti, toda tokrat brez 0. Lahko pa

govorimo tudi o nikjer-nicelnem k-pretoku, ce je k ∈ N in za vse (u, v) ∈ L(Γ) velja

0 < |f((u, v))| < k.

Iz primera na sliki 4.1 vidimo, da polni graf K4 premore nikjer-nicelni 4-pretok. Se-

daj pa si oglejmo se, ce premore tudi nikjer-nicelni 3-pretok.

Pokazimo, da taksnega pretoka ne premore. Pomagajmo si s sliko 4.2. Najvecja

vrednost, ki jo lahko priredimo kateremu od lokov je 2, zato za zacetek to vrednost

priredimo loku (a, b). Vsota vrednosti f na vseh izhajajocih lokih (s slike) iz vozlisca

11

POGLAVJE 4. NIKJER-NICELNI PRETOKI 12

Slika 4.1: Primer nikjer-nicelnega 4-pretoka na grafu, dobljenega z nekaj popravki

Z-pretoka s slike 3.1.

Slika 4.2: Primer grafa, ki ne premore nikjer-nicelnega 3-pretoka.

b je tedaj 2, kar pomeni, da moramo vsakemu od lokov (b, c) in (b, d) prirediti vre-

dnost 1, saj se le tako lahko izognemo tezavi, ko bi morali kateremu od omenjenih

lokov prirediti vrednost 0. Nadaljujemo z vozliscem c. Podobno kot prej mora biti

tokrat vsota vrednosti f na lokih (c, d) in (c, a) enaka 1. Ce torej v tem koraku

kateremu od lokov (c, d) ali (c, a) priredimo vrednost 1, bomo morali drugemu od

obeh prirediti vrednost 0. Zato moramo enemu od njiju prirediti vrednost 2, dru-

gemu pa −1. Ce dolocimo f((c, d)) = −1, imamo tezavo v d, saj bi morali potem

imeti f((d, a)) = 0. Torej je f((c, d)) = 2 in f((c, a)) = −1. Tokrat je tezava v a,

saj bi morali imeti f((a, d)) = −3, kar pa ne zadosca pogoju |f((a, d))| < 3. Tako

smo pokazali, da lok ((a, b)), s tem pa zaradi simetrije tudi noben drug lok, nima

vrednosti 2. Torej imajo lahko vsi loki le vrednosti 1 ali −1, kar pa zaradi dejstva,

da so vozlisca stopnje 3, nikakor ne more zadostiti Kirchhoffovemu zakonu. Graf K4

torej res ne dopusca nikjer-nicelnega 3-pretoka.

Iz primera na sliki 4.3 pa lahko opazimo tudi, da vsak A-pretok na grafu Γ porodi

nikjer-nicelni A-pretok nekega podgrafa grafa Γ. To preprosto opazimo tako, da


grafu Γ odstranimo vse tiste povezave, ki jim preslikava f priredi nicelno vrednost.

V nasem primeru smo torej iz grafa na sliki 3.2, ki premore 5-pretok, z odstranitvijo

dveh povezav z vrednostjo 0 dobili podgraf grafa Γ, ki premore nikjer-nicelni 5-pretok.

Slika 4.3: Primer nikjer-nicelnega 5-pretoka na grafu, dobljenem iz 5-pretoka s slike

3.2, z odstranjenimi ”nepotrebnimi”povezavami grafa.

Za nikjer-nicelne pretoke velja opaziti tudi, da grafi, ki vsebujejo kak most, ne pre-

morejo nobenega nikjer-nicelnega pretoka, kar sledi iz posledice 3.2.

4.2 Tuttov izrek

Ta razdelek je v celoti posvecen Tuttovemu izreku, ki povezuje nikjer-nicelne Zk-

pretoke z nikjer-nicelnim k-pretoki. Najprej si oglejmo sam izrek in konkreten primer,

nato pa se posvetimo se njegovemu dokazu.

Izrek 4.1. (Tutte 1950). Graf Γ dopusca nikjer-nicelni k-pretok natanko tedaj, ko

dopusca nikjer-nicelni Zk-pretok.

Oglejmo si, kaj pove izrek za konkreten primer, na primer za pretok na grafu s slike

4.1. Vemo ze, da graf dopusca nikjer-nicelni 4-pretok. Po Tuttovem izreku torej

dopusca tudi nikjer-nicelni Z4-pretok. Kako ga dobiti, seveda ni tezko videti. Vse

vrednosti −3 ≤ f((u, v)) ≤ 3 je treba enostavno interpretirati kot ustrezne elemente

iz Z4.

Vidimo, da graf s slike 4.4 poleg nikjer-nicelnega 4-pretoka res dopusca tudi nikjer-

nicelni Z4-pretok.


Slika 4.4: Primer nikjer-nicelnega Z4-pretoka na grafu, ki dopusca tudi nikjer-nicelni

4-pretok (pri vseh povezavah sta izjemoma narisana oba loka, za jasen prikaz nikjer-

nicelnega Z4-pretoka).

Oglejmo si sedaj se nasprotni primer. Na sliki 4.5 imamo prikazan graf, ki premore

nikjer-nicelni Z5-pretok. Poglejmo torej, ce graf res premore tudi nikjer-nicelni 5-

Slika 4.5: Primer nikjer-nicelnega Z5-pretoka.

pretok , oziroma kako ga poiscemo (da ga res premore, nam namrec zagotavlja Tuttov

izrek). V tem primeru je to nekoliko tezje, saj vrednosti na lokih, ki so elementi iz

Z5, ne moremo zgolj interpretirati kot ustrezne elemente iz {−4,−3, . . . , 3, 4}. V tem

primeru bi se nam na primer zataknilo pri vozliscih a in b. Vsota vrednosti f na vseh

izhajajocih lokih iz vozlisca a bi bila tedaj −5, vsota vrednosti f na vseh izhajajocih

lokih iz vozlisca b pa 5. Nobeno od vozlisc a in b torej ne bi izpolnjevalo 2. pogoja iz

definicije pretoka, zato moramo poiskati ”nov”nikjer-nicelni 5-pretok na tem grafu.

Ker preostala tri vozlisca c, d in e zadoscajo 1. pogoju definicije pretoka, poskusimo

tako, da lokom, ki vodijo iz ali v omenjena tri vozlisca vrednosti zgolj interpretiramo

kot ustrezne elemente iz {−4,−3, . . . , 3, 4}. Tako dobimo graf, ki zgolj na loku (a, b)

se nima prirejene vrednosti (vidno levo na sliki 4.6). Oglejmo si sedaj vozlisce a. Ker

je trenutna vsota vrednosti f na vseh izhajajocih lokih iz tega vozlisca −4 mora torej

f loku (a, b) prirediti vrednost 4. Sedaj se hitro lahko prepricamo, da tudi vozlisce b


zadosca 2. pogoju definicije pretoka. Tako smo res dobili tudi nikjer-nicelni 5-pretok.

Slika 4.6: Primer nikjer-nicelnega 5-pretoka.

Izrek smo ilustrirali na primerih, sedaj pa podajmo se splosen dokaz.

Dokaz: Denimo najprej, da Γ dopusca nikjer-nicelni k-pretok f in pokazimo, da je

moc f pretvoriti v nikjer-nicelni Zk-pretok. S σk oznacimo naravni homomorfizem

grup iz Z v Zk, ki celo stevilo i preslika v njegov ekvivalencni razred i kongruence

po modulu k. Iskani Zk-pretok tedaj dobimo kar kot kompozitum σk ◦ f . Ker je σ

homomorfizem grup, namrec za vsako povezavo uv ∈ E(Γ) velja

(σk ◦ f)((u, v)) + (σk ◦ f)((v, u)) = σk(f((u, v)) + f((v, u))) = σk(0) = 0.

Podobno za vsako vozlisce v ∈ E(Γ) velja∑u∈N(v)

(σk ◦ f)((v, u)) = σk

( ∑u∈N(v)

f((v, u)))

= σk(0) = 0.

Torej je σk ◦ f res nikjer-nicelni Zk-pretok na Γ.

Naj bo sedaj g nikjer-nicelni Zk-pretok na grafu Γ. Pokazimo, da lahko grafu Γ

priredimo tudi nikjer-nicelni k-pretok f . Naj bo F mnozica vseh preslikav f : L(Γ)→Z, ki zadoscajo 1. pogoju iz definicije pretoka (t.j., f((u, v)) = −f((v, u)) za vse

uv ∈ E(Γ)), zanje velja |f((u, v))| < k za vse (u, v) ∈ L(Γ), velja pa tudi σk ◦ f = g.

Pokazimo najprej, da je F neprazna mnozica. Za vsako izmed povezav uv grafa Γ

izberemo po enega izmed lokov (u, v) in (v, u), ki ji pripadata. Na vsakem izbranem

loku, recimo (u, v), nato za f ′((u, v)) vzamemo enolicno doloceni 1 ≤ i < k, da je

σk(i) = g((u, v)) (ker je g nikjer-nicelen, je g((u, v)) 6= 0, torej tak i res obstaja).

Za vsak izbrani lok, recimo (u, v), sedaj na njegovem obratu definirajmo f ′((v, u)) =


−f ′((u, v)). S tem smo definirali preslikavo f ′ : L(Γ) → Z, za katero ocitno velja

0 < |f ′((u, v))| < k za vse (u, v) ∈ L(Γ) in f ′((u, v)) = −f ′((v, u)) za vse (u, v) ∈L(Γ). Za dokaz, da je f ′ ∈ F moramo le se preveriti, da je σk ◦ f ′ = g. Da to velja

za vse izbrane loke (u, v), sledi neposredno iz definicije f ′. Naj bo sedaj (v, u) obrat

nekega izbranega loka (u, v). Ker je σk homomorfizem grup, inverze slika v inverze,

torej sledi

(σk ◦ f ′)((v, u)) = σk(f ′((v, u))) = σk(−f ′((u, v))) =

= −σk(f ′((u, v))) = −g((u, v)) = g((v, u)),

saj je g nikjer-nicelni Zk-pretok. Torej f ′ ∈ F in zato je F res neprazna mnozica.

Sedaj moramo le se pokazati, da obstaja f ∈ F , ki v vseh vozliscih zadosca Kirchho-

ffovemu zakonu. Ker za vsak f ∈ F zaradi g = σk ◦ f velja, da je f nikjer-nicelen

(ker je tak tudi g), bo potem tak f nikjer-nicelni k-pretok. Za kandidata vzemimo

poljuben f ∈ F , za katerega je vsota

K(f) =∑u∈V

∣∣∣ ∑v∈N(u)

f((u, v))∣∣∣,

ki predstavlja vsoto odstopanj od Kirchhoffovega zakona v vseh vozliscih, najmanjsa.

Dokazali bomo, da je K(f) = 0, iz cesar nato sledi, da je tudi∑

v∈N(u) f((u, v)) = 0,

za vse u ∈ V , kar bo pomenilo, da je f iskani nikjer-nicelni k-pretok.

To bomo dokazali s protislovjem, zato predpostavimo, da K(f) 6= 0. Ker po de-

finiciji mnozice F za vsako povezavo uv ∈ E(Γ) velja f((u, v)) = −f((v, u)), do-

bimo∑

u∈V

(∑v∈N(u) f((u, v))

)= 0. Ker je K(f) > 0, torej obstaja neko vozlisce

x ∈ V (Γ), za katerega je: ∑v∈N(x)

f((x, v)) > 0. (4.1)

Naj bo X ⊆ V mnozica vseh x′, za katere graf Γ vsebuje pot v0v1 . . . vl iz x v x′

(torej v0 = x in vl = x′), tako da velja f((vi, vi+1)) > 0 za vse i < l. Definirajmo

sedaj X ′ = X\{x}. Zaradi neenakosti (4.1) je seveda X ′ neprazna mnozica.

Najprej pokazimo, da X ′ premore taksno vozlisce x′, za katerega velja∑v∈N(x′)

f((x′, v)) < 0.


Po definiciji X za vse povezave x′y, tako da je x′ ∈ X in y ∈ X, velja f((x′, y)) ≤ 0

(kjer je X = V (Γ)\X). To seveda velja tudi za x′ = x. Iz neenakosti (4.1) torej

sledi, da je

∑x′∈X′∩N(x)

f((x, x′)) =

=∑

v∈N(x)

f((x, v))−∑

y∈X∩N(x)

f((x, y)) ≥∑

v∈N(x)

f((x, v)) > 0.

Ker za vsak (u, v) ∈ L(Γ) velja f((v, u)) = −f((u, v)), je torej∑

x′∈X′∩N(x) f((x′, x)) =

−∑

x′∈X′∩N(x) < 0, poleg tega pa velja se∑

x′∈X′

(∑x′′∈X′∩N(x′) f((x′, x′′))

)= 0. Od

tod sledi

∑x′∈X′

( ∑v∈N(x′)

f((x′, v)))

=

=∑x′∈X′

( ∑y∈X∩N(x′)

f((x′, y)))

+∑

x′∈X′∩N(x)

f((x′, x))+∑x′∈X′

( ∑x′′∈X′∩N(x′)

f((x′, x′′)))< 0,

torej mora za nekatere x′ ∈ X ′ res veljati:∑v∈N(x′)

f((x′, v)) < 0. (4.2)

Izberimo poljuben tak x′ ∈ X ′. Ker je x′ ∈ X, v grafu obstaja pot W = v0v1 . . . vl,

od x do x′, da za vse i < l velja f((vi, vi+1)) > 0. Sedaj preslikavo f spremenimo

tako, da posljemo k enot toka nazaj po W . Dobimo torej preslikavo f ′′ : L(Γ)→ Z,

podano z

f ′′ : (u, v) 7→

f((u, v))− k za (u, v) = (vi, vi+1), i = 0, . . . , l − 1;

f((u, v)) + k za (u, v) = (vi+1, vi), i = 0, . . . , l − 1;

f((u, v)) za uv /∈ E(W ).

Po definiciji W imamo |f ′′((u, v))| < k za vse (u, v) ∈ L(Γ). Ravno tako po definiciji

zanj velja tudi f ′′((v, u)) = −f ′′((u, v)). Poleg tega pa je σk homomorfizem grup, za

katerega je σk(k) = 0, torej velja tudi σk ◦ f ′′ = g.


Poglejmo, kaksna je vrednost K(f ′′) glede na K(f). Z izjemo vozlisc x in x′ odsto-

panje od Kirchhoffovega zakona ostaja nespremenjeno v vseh vozliscih grafa Γ:∑w∈N(v)

f ′′((v, w)) =∑

w∈N(v)

f((v, w)), za vse v ∈ V (Γ)\{x, x′}. (4.3)

Po drugi strani pa za x in x′ velja:∑v∈N(x)

f ′′((x, v)) =∑

v∈N(x)

f((x, v))− k

in∑v∈N(x′)

f ′′((x′, v)) =∑

v∈N(x′)

f((x′, v)) + k. (4.4)

Ker je g nikjer-nicelni Zk-pretok in je σk ◦ f = g, poleg tega pa je σk homomorfizem

grup, velja

σk

( ∑v∈N(x)

f((x, v)))

=∑

v∈N(x)

g((x, v)) = 0 ∈ Zk

in

σk

( ∑v∈N(x′)

f((x′, v)))

=∑

v∈N(x′)

g((x′, v)) = 0 ∈ Zk,

torej sta obe vsoti, tako∑

v∈N(x) f((x, v)) kot∑

v∈N(x′) f((x′, v)), veckratnika stevila

k. Iz neenakosti (4.1) in (4.2) tako sledi∑

v∈N(x) f((x, v)) ≥ k in∑

v∈N(x′) f((x′, v)) ≤−k. Po (4.4) pa potem sledi∣∣∣ ∑

v∈N(x)

f ′′((x, v))∣∣∣ <

∣∣∣ ∑v∈N(x)

f((x, v))∣∣∣

in∣∣∣ ∑v∈N(x′)

f ′′((x′, v))∣∣∣ <

∣∣∣ ∑v∈N(x′)

f((x′, v))∣∣∣.

Iz enakosti (4.3) nato sledi K(f ′′) < K(f), kar pa je v protislovju z izbiro f ∈ F .

Sledi, K(f) = 0, kot smo zeleli, in zato je f res nikjer-nicelni k-pretok.

4.3 Nikjer-nicelni k-pretoki za male k

V tem razdelku se posvetimo vprasanju obstoja nikjer-nicelnih k-pretokov za majhne

vrednosti k. O nikjer-nicelnih 1-pretokih seveda ne bomo govorili, saj tak pretok


ocitno premorejo le grafi, ki nimajo nobene povezave. Zato se bomo raje posvetili

nikjer-nicelnim 2- in 3-pretokom.

Pricnimo s preprostim primerom.

Slika 4.7: Primer nikjer-nicelnega 2-pretoka.

Bralec se bo zlahka preprical, da levi graf na sliki 4.7 ne dopusca nikjer-nicelnega

2-pretoka. V primeru, da bi graf spremenili tako, da bi dodali se eno vozlisce in

vozlisci s stopnjo 3 spremenili v vozlisci s stopnjo 4, kot prikazuje desni graf na

sliki 4.7, bi dobljeni graf dopuscal tudi nikjer-nicelni 2-pretok. Kako je z obstojem

nikjer-nicelnih 2-pretokov v splosnem, sedaj ni tezko ugotoviti.

Trditev 4.2. Graf dopusca nikjer-nicelni 2-pretok natanko tedaj, ko so vsa njegova

vozlisca sode stopnje.

Dokaz: Po Tuttovem izreku graf dopusca nikjer-nicelni 2-pretok natanko tedaj,

ko dopusca tudi nikjer-nicelni Z2-pretok. Morebitni nikjer-nicelni Z2-pretok pa je

seveda enolicno dolocen, saj mora vsem lokom prirediti vrednost 1. Da pa bi taka

preslikava zadoscala 2. pogoju iz definicije A-pretoka, torej da bo vsota vrednosti na

vseh lokih iz vsakega od vozlisc grafa 0, mora biti v vsakem vozliscu grafa ostanek pri

deljenju te vsote z dve enak 0. To pa se bo zgodilo natanko takrat, ko bo v vsakem

vozliscu sodo stevilo povezav.

Na tem mestu naj bralca opozorimo, da trditev govori o vseh grafih, ki imajo vozlisca

sode stopnje in ne zgolj o grafih brez mostov in sodimi stopnjami vozlisc. Spomnimo

se namrec v diplomskem delu ze zapisane ugotovitve, da grafi z mostovi ne premorejo

nobenega nikjer-nicelnega pretoka. Zakaj smo torej v tem primeru govorili kar o vseh

grafih s sodimi stopnjami vozlisc in ni bilo potrebno dodatno zahtevati, da nimajo

mostov? Ce grafu z mostom in vozlisci, ki so vsa sode stopnje, odstranimo most,


dobimo dva podgrafa. V vsakem od podgrafov je po lemi o rokovanju vsota stopenj

vseh vozlisc dvakratnik stevila vseh povezav, torej sodo stevilo. Toda vsa vozlisca,

razen tistega, ki mu je bila odstranjena ena povezava (t.j. most), so sode stopnje. To

protislovje torej pokaze, da graf s samimi vozlisci sode stopnje ne more imeti mostov.

Oglejmo si sedaj, ali kubicni graf, ki kot podgraf vsebuje 5-cikel, dopusca nikjer-

nicelni 3-pretok.

Slika 4.8: Primer tezav pri iskanju nikjer-nicelnega 3-pretoka.

Levi del slike 4.8 prikazuje del kubicnega grafa, ki kot podgraf vsebuje 5-cikel. Vi-

dimo, da taksen graf nikakor ne more dopuscati nikjer-nicelnega Z3-pretoka (s tem

pa niti nikjer-nicelnega 3-pretoka), kar nam primer na sliki 4.8 tudi prikazuje. Ce

namrec povezave na tem 5-ciklu usmerimo v isto smer, bi se morale vrednosti nikjer-

nicelnega Z3-pretoka na pripadajocih lokih izmenjevati (1 in 2), saj bi morali sicer

preostalemu loku dodeliti vrednost 0. Po drugi strani na desnem delu omenjene slike

vidimo del grafa, ki kot podgraf vsebuje 6-cikel. Pri tem primeru se zdi, da vsaj na

tem delu grafa ovir za nikjer-nicelni 3-pretok ni. V zvezi s tem si oglejmo naslednjo

trditev.

Trditev 4.3. Kubicni graf brez mostov dopusca nikjer-nicelni 3-pretok natanko tedaj,

ko je graf dvodelen.

Dokaz: Naj bo Γ = (V,E) kubicni graf. Privzemimo najprej, da graf premore

nikjer-nicelni 3-pretok, torej po Tuttovem izreku tudi nikjer-nicelni Z3-pretok, recimo

f . Pokazimo, da ima vsak cikel C = v0v1 . . . vlv0 v Γ sodo dolzino. Oglejmo si

dve zaporedni povezavi v ciklu C, na primer vi−1vi in vivi+1. Ce f obema lokoma

(vi−1, vi) in (vi, vi+1) priredi isto vrednost, torej f((vi−1, vi)) = f((vi, vi+1)), potem f

v vozliscu vi ne more zadoscati definiciji nikjer-nicelnega Z3-pretoka, saj bi morala


tretjemu loku, ki izhaja iz vozlisca vi, prirediti vrednost 0 ali pa vsota vrednosti na

izhajajocih lokih iz vozlisca vi ne bi bila 0. Zato mora f lokom vzdolz cikla C v dani

smeri izmenicno prirediti vrednosti 1 in 2, torej mora biti cikel C sode dolzine. Ker

so torej vsi cikli v grafu Γ sode dolzine, graf ne vsebuje lihega cikla, kar po trditvi

2.1 pomeni, da je graf Γ dvodelen.

Privzemimo sedaj, da je Γ dvodelen graf. To pomeni, da je mnozica vozlisca V

sestavljena iz dveh razredov V = V1 ∪ V2 tako, da ima vsaka povezava grafa Γ eno

krajisce v V1, drugo pa v V2. Sedaj lahko vsakemu loku (v1, v2) ∈ L(Γ), pri cemer

je v1 ∈ V1 in v2 ∈ V2, priredimo vrednost 1, njihovim obratom pa seveda 2. Ker je

Γ kubicen, je vsota vrednosti na izhajajocih lokih za vsak v1 ∈ V1 enaka 3 (kar je v

Z3 enako 0), za vsak v2 ∈ V2 pa 6 (kar je v Z3 prav tako 0). To pa pomeni, da Γ

premore nikjer-nicelni Z3-pretok, po Tuttovem izreku pa tudi nikjer-nicelni 3-pretok.

Oglejmo si se, kako je z obstojem nikjer-nicelnih k-pretokov v polnih grafih Kn.

Ocitno v primeru, ko je n ≥ 1 liho stevilo, polni graf Kn dopusca nikjer-nicelni 2-

pretok. Ker ima namrec v tem primeru Kn liho stevilo vozlisc in je vsako vozlisce

povezano z vsemi preostalimi vozlisci, so vsa vozlisca stopnje n − 1. Torej je vsako

vozlisce sode stopnje. Po trditvi 4.2 vsak tak graf dopusca nikjer-nicelni 2-pretok.

Slika 4.9: Primer nikjer-nicelnega 2-pretok na grafu K5.

Kaj pa za polne grafe Kn, kjer je n sodo stevilo? Za K2 ne obstaja noben nikjer-

nicelni k-pretok, saj ima ta graf most. Da K4 dopusca nikjer-nicelni 4-pretok, smo

se prepricali na sliki 4.1, nikjer-nicelnega 3-pretoka pa ne more dopuscati po trditvi

4.3, saj gre za kubicni graf, ki pa ni dvodelen. Zanimivo je, da je K4 edini polni

graf, razen trivialnega primera K2, ki ne dopusca nikjer-nicelnega 3-pretoka. Za

vse preostale polne grafe sodega reda, ki jih se nismo omenili, namrec nikjer-nicelni

3-pretok lahko konstruiramo.


Trditev 4.4. Za vse sode n > 4 polni graf Kn premore nikjer-nicelni 3-pretok.

Nikjer-nicelnega 2-pretoka seveda po trditvi 4.2 ne morejo dopuscati, saj so vsa

vozlisca lihe stopnje. Kot kaze naslednji dokaz, pa primere nikjer-nicelnih 3-pretokov

lahko najdemo.

Slika 4.10: Primer nikjer-nicelnega 3-pretoka na grafu K6.

Dokaz: Trditev govori o polnih grafih Γ = Kn = (V,E), ki so sodega reda, torej

imamo sodo stevilo vozlisc, ki jih lahko razdelimo (vidno na sliki 4.11) v dve enako

veliki mnozici, torej V = V1 ∪ V2, pri cemer je V1 = {v0, v2, v4, . . . , vn−2} in V2 =

{v1, v3, v5, . . . , vn−1}.

Slika 4.11: Razdelitev vozlisc polnega grafa Kn v dva razreda.

Pri tem si mislimo, da smo vozlisca vi pri upodobitvi grafa Kn razporedili ciklicno

po kroznici, enega za drugim, kot prikazuje slika 4.11. Oznacimo se nekaj povezav.

Za vsako vozlisce vi ∈ V1 oznacimo povezave vivi−1, vivi+1 in vivi+3 (kjer indekse

racunamo po modulu n), za vsako vozlisce vi+1 ∈ V2 pa povezave vi+1vi, vi+1vi+2 in


vi+1vi+1−3 = vi+1vi−2 (tudi vidno na sliki 4.11). S tem dobimo dva vpeta podgrafa

Γ1 = (V,E1) in Γ2 = (V,E2) grafa Γ, pri cemer je E1 mnozica vseh oznacenih

povezav, E2 pa je E\E1 (slika 4.12).

Slika 4.12: Grafa Γ1 in Γ2.

Posvetimo se sedaj najprej grafu Γ1. Ker imamo v tem primeru vse povezave, ki po-

vezujejo vsako vozlisce s svojim ”predhodnim”in ”naslednjim”vozliscem, poleg tega

pa vsako vozlisce vi ∈ V1 z vozliscem vi+3 ∈ V2, vsako vozlisce vi+1 ∈ V2 pa z vo-

zliscem vi−2 ∈ V1, in ker imamo sodo stevilo vozlisc, so vsa vozlisca iz V1 povezana

le z vozlisci iz V2 in obratno, saj so ”koraki”povezav lihih velikosti (1 ali 3). Graf

Γ je torej dvodelen. Poleg tega ima vsako vozlisce v grafu Γ1 stopnjo 3, torej je

graf, poleg tega, da je dvodelen, tudi kubicen. Po trditvi 4.3 torej graf Γ1 premore

nikjer-nicelni 3-pretok.

Po drugi strani pa je graf Γ polni graf z n vozlisci, kar pomeni, da je vsako od vozlisc

stopnje n − 1. Ker je n sodo stevilo, je stopnja vozlisc v grafu Γ zato liha, iz cesar

sledi, da je stopnja vozlisc v grafu Γ2 soda, saj je (n−1)−3 = n−4 sodo stevilo. Po

trditvi 4.2 torej graf Γ2 dopusca nikjer-nicelni 2-pretok, s tem pa tudi nikjer-nicelni

3-pretok.

Vrnimo se sedaj nazaj k celotnemu grafu Γ, ki ga sestavljata ravno vpeta podgrafa Γ1

in Γ2. Tudi zanj sedaj vemo, da premore nikjer-nicelni 3-pretok, saj sta nikjer-nicelni

3-pretok na grafu Γ1 in nikjer-nicelni 2-pretok na grafu Γ2 neodvisna, ker vsebujeta

razlicne povezave. S tem smo dokazali, da vsak polni graf Kn, za sode n > 4, res

dopusca nikjer-nicelni 3-pretok.


Skozi primere in trditve v celotnem razdelku 4.2 smo torej lahko videli, da za dani

k, vsaj ce je k najvec 3, nekateri grafi ne dopuscajo nikjer-nicelnega k-pretoka.

4.4 Tuttove domneve

William Thomas Tutte (1917 - 2002) je bil anglesko-kanadski matematik, ki se je

ogromno ukvarjal s teorijo grafov in je v veliki meri zasluzen za sedanjo obliko te

matematicne discipline. Kot smo videli, je svoj pecat pustil tudi v teoriji nikjer-

nicelnih pretokov. Med raziskovanjem nikjer-nicelnih pretokov je postavil nekaj do-

mnev, katerih vse do danes se nihce ni uspel dokazati niti ovreci. V nadaljevanju si

bomo ogledali dve njegovi domnevi.

Najstarejsa in najbolj znana Tuttova domneva o pretokih je domneva o nikjer-nicelnih

5-pretokih.

Domneva o nikjer-nicelnih 5-pretokih (Tutte 1954)

Vsak graf brez mostov dopusca nikjer-nicelni 5-pretok.

Leta 1981 je Paul Seymour sicer dokazal izrek, ki pravi, da vsak graf brez mostov

dopusca nikjer-nicelni 6-pretok, Tuttova domneva o nikjer-nicelnih 5-pretokih pa vse

do danes ostaja odprta.

Naslednja domneva govori o tem, da naj bi bil Petersenov graf minor vsakega grafa

brez mostov, ki ne dopusca nikjer-nicelnega 4-pretoka. Pri tem je minor danega grafa

vsak graf, ki ga iz njega dobimo z odstranjevanjem vozlisc in/ali povezav ter t.i. sti-

skanjem povezav v vozlisca. Petersenov graf namrec ne dopusca nikjer-nicelnega

4-pretoka, vendar tega v diplomskem delu ne bomo dokazali.

Domneva o nikjer-nicelnih 4-pretokih (Tutte 1966)

Vsak graf brez mostov, ki ne vsebuje Petersenovega grafa kot minor, dopusca nikjer-

nicelni 4-pretok.

Naj povemo, da tudi v primeru, ce ta Tuttova domneva drzi, pripadajoci izrek ni

najboljsi mozen. Polni graf K11 na primer sicer vsebuje Petersenov graf kot minor

(vsak polni graf Kn, za n ≥ 10, namrec vsebuje Petersenov graf kar kot podgraf in


Slika 4.13: Petersenov graf.

ne le kot minor, saj premore vse mozne povezave), kljub temu pa dopusca nikjer-

nicelni 4-pretok. Dopusca celo nikjer-nicelni 2-pretok. Zapisali smo namrec, da vsak

polni graf Kn, kjer je n liho stevilo, dopusca nikjer-nicelni 2-pretok. Tako se zdi, da

se domneve ne da izboljsati le za t.i. redke grafe. Omenimo tudi, da so domnevo

za kubicne grafe dokazali Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour in Robin

Thomas, a je dokaz zelo zahteven in dolg, zato ga tu ne bomo navajali.

S kubicnimi grafi, ki nimajo mostov in ne premorejo nikjer-nicelnega 4-pretoka, so se

(in se se) raziskovalci precej ukvarjali. Gre za t.i. snarke. Domneva (oziroma v tem

primeru izrek) o nikjer-nicelnih 4-pretokih za kubicne grafe namrec pravi, da vsak

snark kot minor vsebuje Petersenov graf. Izkaze se, da je Petersenov graf najmanjsi

in je vse do leta 1946 ostal edini znani snark. Tedaj je namrec hrvaski matematik

Danilo Blanusa nasel se dva snarka, ki se danes imenujeta po njem. Zatem so odkrili

se veliko novih snarkov, nakar je Isaacs leta 1975 dokazal, da je druzina snarkov

neskoncna.

Poglavje 5

Zakljucek

V diplomskem delu smo vpeljali in na konkretnih zgledih predstavili pojem nikjer-

nicelnega pretoka.

Zakljucimo lahko, da za razumevanje nikjer-nicelnih pretokov potrebujemo pozna-

vanje nekaterih pojmov in konceptov iz teorije grafov, nekaj pa tudi iz teorije grup.

Ogledali smo si, kdaj za nek k dani graf premore nikjer-nicelni k-pretok in pri tem

ugotovili, da se to ne zgodi vedno. Dokazali smo, da graf, ki premore nikjer-nicelni

k-pretok, premore tudi nikjer-nicelni Zk-pretok in obratno, ter to ilustrirali na pri-

meru. Ogledali smo si tudi, kateri grafi zagotovo premorejo nikjer-nicelni k-pretok

za male vrednosti k, povsem na koncu pa smo videli, da v zvezi z nikjer-nicelnimi

pretoki obstajajo se nedokazane domneve.

Rezultati, zbrani v tem diplomskem delu, so osnova za nadaljevanje studija o nikjer-

nicelnih pretokih. V zvezi s to temo namrec obstaja se kar nekaj rezultatov, poleg

tega pa, kot smo ze omenili, je veliko domnev o tej temi se nepotrjenih. Usmerimo

se lahko tudi v posebne nikjer-nicelne pretoke in pripadajoce grafe, denimo v studij

snarkov, ki smo jih ze omenili na koncu diplomskega dela. Svoje delo lahko razsirimo

tudi na obravnavo povezanosti grafov in barvanja grafov, ki sta s temo diplomskega

dela prepleteni. V povezavi z omenjenima podrocjema teorije grafov se tako na

primer izkaze, da vsak 4-povezan graf premore nikjer-nicelni 4-pretok in pa, da vsak

kubicni graf premore nikjer-nicelni 4-pretok natanko tedaj, ko je 3-obarvljiv. To delo

naj bo zato v pomoc pri studiju nikjer-nicelnih pretokov in spodbuda za nadaljnje

delo na tem podrocju.

26

Literatura

[1] Dummit, D. S., Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra. Hoboken, J. Wiley &

Sons.

[2] Diestel, R. (2000). Graph theory. Springer, cop., New York.

[3] Skrekovski R.: Pretoki in pokritja grafov. Pridobljeno 29. 1. 2016 na:

http://www.fmf.uni-lj.si/∼skreko/Gradiva/Pretoki in Pokritja.pdf

[4] Sparl, P. (2015). Teorija grafov, Zapiski predavanj. Ljubljana.

[5] Wilson, R. J., Watkins, J. J. (1997). Uvod v teorijo grafov. Drustvo matemati-

kov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana.

27

Izjava o avtorstvu diplomskega dela

Spodaj podpisana Alja Subic, z vpisno stevilko 01012372, izjavljam, da je diplomsko

delo z naslovom

NIKJER-NICELNI PRETOKI,

ki sem ga napisala pod mentorstvom doc. dr. Primoza Sparla, avtorsko delo in da

so uporabljeni viri ter literatura korektno navedeni.

Podpis studentke:

Ljubljana, 2016

Documents

NIKJER-NICELNI PRETOKIpefprints.pef.uni-lj.si › 4202 › 1 › AljaSubic_DiplomskoDelo.pdf · Grafe najla zje upodobimo s to ckami na ravnini, ki predstavljajo vozli s ca in poveza-vami