48
PHƢƠNG PHÁP TÍNH 1 GV: LÊ THỊ THU KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT NỘI DUNG MÔN HỌC 2 Chương 0: Nhập môn Chương 1: Số gần đúng và sai số Chương 2: Tính giá trị đa thức Chương 3: Phép nội suy và áp dụng Chương 4: Giải gần đúng phương trình phi tuyến Chương 5: Giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân thường 3 NHẬP MÔN CHƯƠNG 0 p Phƣơng pháp tính là gì? PPT là một nhánh của ngành Toán học ứng dụng, nghiên cứu các phƣơng pháp và giải thuật để giải một cách gần đúng các phƣơng trình, các bài toán xấp xỉ và các bài toán tối ƣu. p Đặc trƣng của phƣơng pháp tính Ø Chính xác Ø Thiết thực Ø Tốc độ (số vòng lặp) 4 Chƣơng 0: Nhập môn

NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

PHƢƠNG PHÁP TÍNH

1

GV: LÊ THỊ THU

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

NỘI DUNG MÔN HỌC

2

Chương 0: Nhập môn

Chương 1: Số gần đúng và sai số

Chương 2: Tính giá trị đa thức

Chương 3: Phép nội suy và áp dụng

Chương 4: Giải gần đúng phương trình phi tuyến

Chương 5: Giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân thường

3

NHẬP MÔN

CHƯƠNG 0

p Phƣơng pháp tính là gì?

PPT là một nhánh của ngành Toán học ứng dụng, nghiên cứu

các phƣơng pháp và giải thuật để giải một cách gần đúng các

phƣơng trình, các bài toán xấp xỉ và các bài toán tối ƣu.

p Đặc trƣng của phƣơng pháp tính

Ø Chính xác

Ø Thiết thực

Ø Tốc độ (số vòng lặp)

4

Chƣơng 0: Nhập môn

Page 2: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

p Định hƣớng chung của PPT

Bài toán gốc Bài toán gần đúng

Vô hạn à Hữu hạn

Vi phân à Đại số

Phi tuyến à Tuyến tính

Phức tạp à Đơn giản

5

Chƣơng 0: Nhập môn

p Các lĩnh vực nghiên cứu của môn học

ü Tính giá trị các hàm:

ü Phép nội suy, ngoại suy.

ü Tính gần đúng đạo hàm, tích phân xác định.

ü Giải gần đúng phƣơng trình phi tuyến

ü Giải gần đúng hệ phƣơng trình đại số tuyến tính.

ü Giải gần đúng phƣơng trình vi phân thƣờng, phƣơng trình vi

phân đạo hàm riêng.

6

Chƣơng 0: Nhập môn

7

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

CHƯƠNG 1

p Ta nói a là số gần đúng của a*, nếu a không sai khác a* nhiều.

p Giả sử một đại lƣợng có giá trị chính xác là a*, giá trị gần đúng

là a. Khi đó:

P Đại lƣợng r:= |a – a*| đƣợc gọi là sai số thật sự của a.

Do không biết a* => không biết r.

P Đại lƣợng ra thõa mãn:

đƣợc gọi là sai số tuyệt đối của a => ra càng nhỏ càng tốt

P Sai số tƣơng đối:

8

Bài 1.1: Sai số tuyệt đối và sai số tƣơng đối

aa

a

D=

Page 3: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

p Ví dụ 1: Giả sử

Do lấy

Mặt khác, lấy

p Nhận xét: Sai số tƣơng đối rất quan trọng vì nó phản ánh độ

chính xác của phép đo, và phép đo này chính xác hơn phép đo

kia hay không.

F Ví dụ 2: Đo độ dài 2 vật A=1m, B=10m với cùng sai số tuyệt

đối là 0,1m; sai số tƣơng đối lần lƣợt là

=> phép đo vật B chính xác hơn phép đo vật A 10 lần, mặc dù sai

số tuyệt đối bằng nhau.9

Bài 1.1: Sai số tuyệt đối và sai số tƣơng đối

( 2,718281828...); 2,71a e a* = » =

2,71 2,72 2,71 0,01 0,01*< < = + = + Þa a

2,71 2,719 2,71 0,009 0,009*< < = + = + Þa a

0,1 0,110%, 1%

1 10a b= = = =

p Một số thập phân a có dạng tổng quát:

• Nếu là số nguyên.

• Nếu có phần lẻ gồm m chữ số.

• Nếu là số thập phân vô hạn.

Ví dụ:

p Thu gọn một số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải a để đƣợc

một số mới ngắn gọn hơn và gần đúng với a nhất.

10

Bài 1.2: Sai số thu gọn

s a= +¥ Þ

1 0 1 2 312,345 1.10 2.10 3.10 4.10 5.10a a - - -= Þ = + + + +

p Quy tắc thu gọn:

ü Giả sử

Ta giữ lại đến số hạng thứ j. Gọi phần bỏ đi là . Đặt

Trong đó

ü Trong trƣờng hợp :

ü Nếu chẵn

ü Nếu lẻ11

Bài 1.2: Sai số thu gọn

11.10 .10 .10 .10p p j p s

p p j p sa - -- -= + + + + +

11.10 .10 .10p p j

p p ja --= + + +

, 0 0,5.10

1, 0,5.10 10

jj

j j jj

ì £ <ï= í

+ < <ïî

0,5.10 j=

j jÞ =

1j jÞ = +

p Ví dụ:

p Mọi số thỏa mãn đƣợc gọi là sai số thu gọn của a.

Nhận xét: Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên lƣợng bằng

=> Chứng minh????

12

Bài 1.2: Sai số thu gọn

1) 1, 23567 1,2357 1,236 1,24 1,2 1

2) 1,2354 1, 235 1,24 1, 2 1

3) 1,2452 1,245 1,24 1,2 1

a

b

c

= » » » » »

= » » » »

= » » » »

aG a a a- £ G

aG

Page 4: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

13

Bài 1.3: Chữ số chắc (chữ số đáng tin)

14

Bài 1.3: Chữ số chắc

15

Bài 1.3: Chữ số chắc

p Trong tính toán ta thƣờng gặp 4 loại sai số sau:

P Sai số giả thiết: Do lí tƣởng hóa, mô hình hóa bài toán thực tế. Sai số này không trừ đƣợc.

P Sai số phương pháp: Do các phƣơng pháp giải gần đúng nên trong tính toán luôn có các sai số do phƣơng pháp đem lại. Mỗi phƣơng pháp có các sai số đặc trƣng của nó.

P Sai số do số liệu: xuất hiện do đo đạc và việc cung cấp giá trị đầu vào không chính xác.

P Sai số tính toán: xuất hiện do làm tròn các thông số trong quá trình tính toán.

16

Bài 1.4: Sai số tính toán

Page 5: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

p Bài toán thuận về sai số: là bài toán tìm sai số của kết quả khi

biết sai số của các số liệu ban đầu.

p Giả sử cần tìm hàm . Gọi và là

các giá trị đúng và gần đúng của đối số và số. Giả sử hàm f khả

vi liên tục. Khi đó

Ø Sai số tuyệt đối:

Ø Sai số tƣơng đối: 17

Bài 1.4: Sai số tính toán

1 2( , ,..., )ny f x x x= ,i ix y* * , , 1,i ix y i n=

'1 1

1

( ,..., ) ( ,..., )n

n n i i ii

y y f x x f x x f x x* * * *

=

- = - = -å

1

n

ii i

fy x

x=

¶D = D

¶å

1

lnn

ii i

yy f x

y x=

D ¶= = D

¶å 18

Bài 1.4: Sai số tính toán

19

Bài 1.4: Sai số tính toán

20

Bài 1.4: Sai số tính toán

Page 6: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

21

BÀI TẬP CHƢƠNG I

22

TÍNH GIÁ TRỊ ĐA THỨC

CHƯƠNG 2

p Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức

Bài toán: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát

Tính giá trị đa thức tại x = c, tức là cần tính P(c), với c là giá trị cho trƣớc.

23

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

10 1 1 0( ) ( 0)n n

n nP x a x a x a x a a--= + + + + ¹

p Phương pháp: Phân tích P(x) dƣới dạng

24

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

Page 7: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

p Ví dụ 1: Cho . Áp dụng sơ đồ

Horner, tính P(-2)

Giải: Lập sơ đồ Horner:

p Ví dụ 2: Cho . Tính P(-2)

Đ/s: P(-2) = -2325

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

6 4 3( ) 5 2 1P x x x x x= - + - -

26

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

Horner

Input ai, c, n

P=0

i = 0,1,2,...,n

P = P*c + ai

Print P

End

p Sơ đồ Horner tổng quát

Bài toán: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát

Xác định P(y+c), với y là biến mới, c là giá trị cho trƣớc.

Phương pháp: Giả sử

=> Ta cần xác định các hệ số

27

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

10 1 1 0( ) ( 0)n n

n nP x a x a x a x a a--= + + + + ¹

10 1 1 0( 0)( ) n n

n ny y b y b bP y c b b --+ + + + ¹+ =

, 0,ib i n=

ü Xác định bn:

ü Xác định bn-1

Ta có (*)

Trong đó, Pn-1(x) là đa thức bậc n-1.

Mặt khác

Đặt (2*)

Từ (*) và (2*) ta suy ra

. Tƣơng tự,28

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

1 20 1 2 1)( ) ( n n

n n ny y b y b bP y c y b b- -- -+ + + + ++ =

1 20 1 2 1( ) ( )( )n n

n n nx y c P x x c b y b y b y b b- -- -= + Þ = - + + + + +

1 21 1 0 1 2 1( ) ( ) n n

n nP x P y c b y b y b y b- -- -= + = + + + +

( )n i ib P c- =

Page 8: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

p Sơ đồ Horner tổng quát

29

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

p Đạo hàm đến cấp n tại điểm x=c:

Theo công thức Taylor:

30

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

10 1 1

10 1 1

0

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n nn n

nn n i

n n n ii

P y c b y b y b y b

P x b x c b x c b x c b b x c

--

-- -

=

+ = + + + +

Þ = - + - + + - + = -å

( )

0

( )( ) ( )

!

ini

i

P cP x x c

i=

= -å

( ) ( )

!

i

n i

P cb

i-Þ = Û ( ) ( ) !i

n iP c i b -=

p Ví dụ 3: Cho . Xác định

Giải: Ta có c = -1. Lập sơ đồ Horner tổng quát:

31

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng6 5 2( ) 2 4 2P x x x x x= + - + + ( 1)P y -

(4)

(5)

(6)

D.hàm:

( 1) 2;

'( 1) 1!*11 11;

''( 1) 2!*( 11) 22;

'''( 1) 3!*0 0;

( 1) 4!*10;

( 1) 5!*( 8);

( 1) 6!*2.

P

P

P

P

P

P

P

- = -

- = =

- = - = -

- = =

- =

- = -

- =

p Tỷ sai phân:

Xét hàm y=f(x) trên [a, b] và cho trƣớc bảng giá trị

­ Tỷ sai phân cấp 1 của hàm f:

­ Tỷ sai phân cấp 2 của hàm f:

­ Tỷ sai phân cấp n của hàm f:

32

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

, , 0,i ix y i n=

11

1

( ) ( ), , 1,i i

i i

i i

f x f xf x x i n

x x-

-

-

-= =

-

1 11 1

1 1

, ,, , , 1, 1i i i i

i i i

i i

f x x f x xf x x x i n

x x+ -

+ -

+ -

-= = -

-

1 1 1 1 01 1 0

0

, ,..., ,..., ,, ,..., , n n n

n n

n

f x x x f x x xf x x x x

x x- -

-

-=

-

Page 9: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

33

p Các tính chất của tỷ sai phân:

­ Tính chất tuyến tính

­ Tính chất đối xứng

­ Tỷ sai phân của hằng số = 0.

34

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

0 0 0,..., ,..., ,...,k k kf g x x f x x g x x+ = +

1 1

1 1 1 1

, ,

, , , ,

i i i i

i i i i i i

f x x f x x

f x x x f x x x

- -

+ - - +

=

=

p Sai phân

Giả sử hàm là hàm cho trƣớc và các điểm cách đều nhau

khoảng h, tức . Khi đó:

­ Sai phân cấp 1 của hàm f:

­ Sai phân cấp 2 của hàm f:

­ Sai phân cấp n của hàm f:

Quy ước: 35

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

:f R R®

1i ix x h+ = +

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i if x f x f x f x h f x+D = - = + -

21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i if x f x f x f x f x h f x+D = D D = D -D = D + -D

1 1 11( ) ( ) ( ) ( )n n n n

i i i if x f x f x f x- - -+

é ùD = D D = D - Dë û

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

36

Page 10: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

p Các tính chất của sai phân:

­ Tính chất tuyến tính

­ Nếu

­ Giả sử Pn(x) là đa thức bậc n. Khi đó:

37

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

( )f g f gD + = D + D

0c const c= ÞD =

0 1( ) ( )

( ) 0

n nn n

mn

P x P x const

P x m n

D = D = =

D = " >

p Liên hệ giữa tỷ sai phân và sai phân trong trƣờng hợp các

điểm cách đều nhau khoảng h:

38

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

1 1 11

1

21 1 1 1

1 1 2 21 1

01 1 0

( ) ( ) ( ) ( ),

1!

, , ( ) ( ) ( ), ,

2 2!

( ), ,..., ,

!

i i i ii i

i i

i i i i i i ii i i

i i

k

k k k

f x f x f x f xf x x

x x h h

f x x f x x f x f x f xf x x x

x x h h

f xf x x x x

k h

- - --

-

+ - - -+ -

+ -

-

- D D= = =

-

- D - D D= = =

-

D=

p Ứng dụng sai phân tính giá trị đa thức

39

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

p Bài 1: Cho . Xác định:

p Bài 2: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị:

Lập bảng tỷ sai phân các cấp của f

p Bài 3: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị:

Lập bảng sai phân các cấp của f 40

BÀI TẬP CHƢƠNG II5 3 2( ) 2 4 2P x x x x= + - +

x -4 -1 0 2

y=f(x) 45 33 5 9

x 1 2 3 4 5

y=f(x) 12 8 5 10 25

Page 11: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

41

PHÉP NỘI SUY VÀ ÁP DỤNG

CHƯƠNG 3

Phép nội suy

p Bài toán: Xét hàm trên [a, b] và giả sử đã biết n+1

mốc Cần tính f(c) với c bất kỳ

thuộc [a,b].

Ø Ta xây dựng đa thức Pn(x) có bậc không quá n sao cho:

Ø Khi đó ta có thể coi

42

( )y f x=

, , ( ), 0, .i i ix a b y f x i nÎ = =

( ) ( ), 0,n i i iP x y f x i n= = =

( ) ( ) , , .n iP x f x x a b x x» " Î ¹

Phép nội suy

43

Ø Bài toán xây dựng hàm Pn(x) đƣợc gọi là bài toán nội suy.

Ø Hàm Pn(x) đƣợc gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b].

Ø Các điểm đƣợc gọi là các mốc nội suy.

p Định lý: Đa thức nội suy Pn(x) của hàm f(x) đƣợc xây dựng từ

các mốc nội suy trên (nếu có) là duy nhất.

, 0,ix i n=

Ý nghĩa hình học

44

Pn(x)

Pn(c)

c

f(x)

x0 x1 x2 xn

·

·

·

·

·

Xấp xỉ đƣờng cong f(x) bởi đa thức Pn(x) (với Pn(xi)=f(xi)). Ƣớc lƣợng f(c) bởi Pn(c): f(c) » Pn(c) với sai số Rn(c)

Rn(c) f(c)

Page 12: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

p Cho trƣớc n+1 điểm mốc: (x0,y0),(x1,y1),…, (xn,yn)

p Đa thức nội suy Lagrange là đa thức Pn (x) có bậc không quá n

và nhận các giá trị y0, y1, y2, …,yn theo công thức

p Với n=1 (có 2 mốc nội suy)

p Với n=2

45

0 1 1 1

0 0 1 1 1

( )( )...( )( )...( )( )

( )( )...( )( )...( )

ni i n

n ii i i i i i i i n

x x x x x x x x x xP x y

x x x x x x x x x x- +

= - +

- - - - -=

- - - - -å

011 0 1

0 1 1 0

( )x xx x

P x y yx x x x

--= +

- -

0 2 0 11 22 0 1 2

0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1

( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

x x x x x x x xx x x xP x y y y

x x x x x x x x x x x x

- - - -- -= + +

- - - - - -

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

Ví dụ 3.1: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho hàm y=sin(px) rồi tính gần đúng sin(p/5) với các mốc nội suy cho trong bảng:

x 0 1/6 1/2

y=sin(px) 0 1/2 1

46

Giải: Đa thức nội suy Lagrange:

22

1 1 11( )( ) ( 0)( )( 0)( )

1 76 2 62( ) 0 1 3 1 1 1 1 1 1 1 12 2(0 )(0 ) ( 0)( ) ( 0)( )6 2 6 6 2 2 2 6

x x x xx xP x x x

- - - -- -= ´ + ´ + ´ = - +

- - - - - -

Thay x=1/5 vào P2(x) tìm được , ta có sin( /5) P2(1/5)=0,58

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

§ Ví dụ 3.2: Tìm đa thức nội suy Lagrange đối với hàm y=f(x)

đƣợc cho nhƣ trong bảng

ĐS

47

Tính gần đúng f(0,2)?

3 23

0

125 91( ) 30 0,5

3 12

nn

i ii

P x y l x x x=

= = = - + -å

Ta có: f(0,2) » P3(0,2)=0,15

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

p Ví dụ 3.3: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange từ bảng số liệu sau:

Đs:

p Ví dụ 3.4: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange từ bảng số liệu sau:

=> Nhận xét???48

x 0 2 3

y 1 3 2

x 0 2 3 5

y 1 3 2 5

Page 13: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

FNhược điểm của đa thức nội suy Lagrange:

Khi thêm vào một mốc nội suy, ta phải tính lại từ đầu!!!

49

Bài 3.2 Đa thức nội suy Newton

Hạn chế của đa thức nội suy Lagrange:

n Mỗi khi thêm mốc nội suy, ta phải tính lại toàn bộ đa thức

n Đa thức nội suy Newton khắc phục hạn chế này

50

3.2.1. Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ

],...,,[))...()((...

],,[))((],[)()()(

10110

210101000

nn

n

xxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxP

----++

--+-+=

51

Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 là:

Cho các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự tăng dần

và tỷ sai phân các cấp của hàm f(x)

0 1 na x x x b= < < < =

Tƣơng tự, đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn là:

],...,,[))...()((...

],,[))((],[)()()(

0111

2111

xxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxP

nnnn

nnnnnnnnnn

--

----

---++

--+-+=

Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ

52

q Đa thức nội suy Newton cũng chính là đa thức nội suy Lagrange chỉ khác về cách trình bày.

p Nếu thêm một mốc (xn+1,yn+1), đa thức nội suy Pn+1(x) trên tập điểm mốc mới đƣợc tính theo Pn(x) nhƣ sau:

],...,,[))...()(()()( 110101 ++ ---+= nnnn xxxfxxxxxxxPxP

Nhận xét:

Page 14: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ

0 1

1 2 0 1 2

1 2

0 0

1/ 6 1/ 2 [ , ] 3

1/ 2 1 [ , ] 3 / 2 [ , , ] 3

i ix y TSPC TSPC

f x x

f x x f x x x

53

§ Ví dụ 3.5: Xây dựng đa thức nội suy theo phƣơng pháp newton cho hàm y=sin(px) với các mốc nội suy cho trong bảng:

x 0 1/6 1/2

y=sin(px) 0 1/2 1

Giải: Lập bảng tỷ hiệu

2 0 0 0 1 0 1 0 1 2

2

( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ]

7 0 3 (-3) ( -1/ 6) -3

2

P x f x x x f x x x x x x f x x x

x x x x x

Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ

Ví dụ 3.6: Xây dựng đa thức nội suy Newton từ bảng số liệu sau:

Đs:

Ví dụ 3.7: Xây dựng đa thức nội suy Newton từ bảng số liệu sau:

54

x 0 2 3 y 1 3 2

x 0 2 3 5y 1 3 2 5

3.2.2 Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều

xi+1-xi = h (hằng số) Þ xi = x0 + ih

55

x0 xi xi+1

h

ih

h

2h

x1 x2

Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều

20 0 0

0 0 0 1 0 1 12( ) ( ) ( ) ( )( ) ... ( )( )...( )

1!. 2!. !.

n

n nn

y y yP x f x x x x x x x x x x x x x

h h n h

56

Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 với các mốc cách đều là:

Cho các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự tăng dần, cách đều nhau khoảng h và sai phân các cấp của hàm f(x)

Tƣơng tự, đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn với các mốc cách đều là:

21 2

12

01 1

( ) ( ) ( ) ( )( )1!. 2!.

... ( )( )...( )!.

n nn n n n n

n

n nn

y yP x f x x x x x x x

h h

yx x x x x x

n h

Page 15: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều

Ví dụ 3.8: Cho hàm y=f(x) xác định bởi bảng:

57

Tính gần đúng f(4/3) bằng đa thức nội suy Newton

Giải: Nhận thấy các mốc nội suy cách đều nhau khoảng h=1

22 2

5 2( ) 2 ( 1) ( 1)( 2) 2 1

1!.1 2!.1P x x x x x x= + - + - - = + -

=> Đa thức nội suy Newton:

4 31

3 9fæ ö

Þ »ç ÷è ø

Bảng sai phân x y ry r2y

1 2

2 7 5

3 14 7 2

3.2.3. Sai số của đa thức nội suy

58

p Giả sử Pn (x) là đa thức nội suy của hàm f(x) với các mốc nội suy

(x0,y0),(x1,y1),…, (xn,yn).

Khi đó, hiệu gọi là sai số của phép nội suy.

Để đánh giá sai số này, giả sử hàm f(x) khả vi đến cấp n+1 trên [a,b]

Gọi . Khi đó, công thức đánh giá sai số:

Với

( ) ( ) ( )nR x f x P x= -

( 1)n

a x bM Max f x+

£ £=

1( ) ( )( 1)!

n

MR x x

n+£

+

1 0 1( ) ( )( ) ( )n nx x x x x x x+ = - - -

3.2.3. Sai số của đa thức nội suy

59

x 0 1/6 1/2

y=sin(px) 0 1/2 1

Ví dụ 3.9: Cho hàm y=sin(px), dùng đa thức nội suy Lagrange tính gần đúng sin(p/5), đánh giá sai số. Biết các mốc nội suy:

Giải: Đa thức nội suy Lagrange tìm đƣợc: xxxP2

73)( 2

2 +-=

22

1 7 1sin( / 5) (1/ 5) 3.( ) . 0,58

5 2 5P

Sai số:3 0 1 2( ) ( )( )( )

3!

MR x x x x x x x

(3) 3 3max sin ( ) max cos( )M x x

3 3

3 3

1 1 1 1 1 1 1( ) | ( )( ) | (1/ 5) ( )( ) 0,010335

6 6 2 6 5 5 6 5 2R x x x x R

3.2.4 Ứng dụng công thức nội suy Newton tính tổng

60

Xét ví dụ: Tính tổng 2 2 21 2nS n= + + +

Giải: Ta có2

1

2 221

3 2 21

1

2 1 2 3

2( 1) 3 (2 1) 2

n n n

n n n

n n n

S S S n

S S S n n n

S S S n n const

-

+

+

D = - = +

D = D - D = + - + = +

D = D - D = + + - + = =

Lập bảng sai phân

1 1 2 5 4 3 14 9 5 2

nS nSD2nSD3nSD

Áp dụng công thức nội suy Newton tiến với t=n-15 2

1 4( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)2! 3!

1( 1)(2 1)

6

nS n n n n n n

n n n

= + - + - - + - - - =

= - +

Page 16: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

Bài 3.3 Chọn mốc nội suy tối ƣu

p Với công thức đánh giá sai số

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1)! ( 1)!

n

n ii

M MR x f x P x x x x

n n=

= - £ - =+ +

Õ

[ ; ]max ( ) minx a b

®

61

Cần chọn các xi Î[a;b] để

Nhận xét: Với phép biến đổi )](2[1

baxab

t +--

=

Thì đoạn [a;b] chuyển thành [-1;1]

Nên các mốc nội suy trên [a;b] đều có thể chuyển về các mốc nội suy trên [-1;1]

Chọn mốc nội suy tối ƣu

1|)(max]1;1[

=-Î

xTnx

1,...,2,1,0,)2

12cos( -=

+= ni

n

ixi

62

Tn(x) = cos(n.arccosx) với |x| £1, nÎN*

Tn+1(x) = 2x.Tn(x)-Tn-1(x)

Tn(x) là đa thức bậc n, hệ số cao nhất là 2n-1

Tính chất:

Nhận xét:

Tn(x) có đúng n nghiệm:

Mọi nghiệm của Tn(x) đều thuộc [-1;1]

khi x=xi= nin

i,...,2,1,0),cos( =

Đa thức Chebyshev:

Chọn mốc nội suy tối ƣu

Trường hợp 1: Các các mốc nội trong [-1, 1], khi đó các mốc nội suy đƣợc chọn là nghiệm của Tn+1(x) :

nin

ixi ,..,1,0,

)1(2

)12(cos =

+

+=

1

1 1( ) ( )

2 2nn n

x T x+= £

63

Khi đó

( ) ( )( 1)! 2 ( 1)!n

M MR x x

n n£ =

+ +

Chọn mốc nội suy tối ƣu

Trường hợp 2: Trƣờng hợp các mốc nội suy đƣợc chọn trong

[a, b] bất kỳ. Đặt:

(2 )1 1

( )

x a bt t

b a

- -= Þ - £ £

-

64

Chọn các mốc ti theo trƣờng hợp 1, suy ra các mốc xi

1 2 1( )cos ( ) , 0,

2 2( 1)i

ix b a b a i n

n

æ ö+= - + - =ç ÷

+è ø

Khi đó, ƣớc lƣợng tốt nhất của phép nội suy:1

2 1

( )( ) ( ) ( ) ( )

( 1)! ( 1)! 2

n

n

M M b aR x f x P x x

n n

+

+

-= - £ £

+ +

Page 17: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

65

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM

VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Đặt vấn đề

p Trong toán học, đã có phƣơng pháp tính đạo hàm và tính

phân xác định

p Thực tế, thƣờng gặp các trƣờng hợp :

n Hàm y=f(x) chỉ đƣợc cho ở dạng bảng, công thức tƣờng

minh của y là chƣa biết.

n Hàm f(x) đã biết, nhƣng phức tạp

n Hoặc viết chƣơng trình máy tính để tính tích phân xác

định.

Þ Chọn giải pháp: “Tính gần đúng”

Bài 3.5 Tính gần đúng đạo hàm

p Áp dụng công thức Taylor:2

0

''

000 )(2

)())((')()( xx

fxxxfxfxf -+-+=

2''

0002

)()(')()( h

fhxfxfhxf ++=+

Đặt h = x-x0 Þ x=x0+h:

h

xfhxfxf

)()()( 00

0' -+

=

Khi |h| khá bé có thể bỏ qua số hạng có h2. Khi đó

(1)

Có thể lấy công thức (1) để tính gần đúng f’(x0) khi |h| khá bé

3.5 Tính gần đúng đạo hàm

Sai số:h

Mh

fxR

22

)()(

''

0 £=

01,9001,0

2009,2

001,0

)1()001,01()1(' =

-=

-+»

fff

Với |f’’(x)|<=M, "x Î[x0,x0+h]

Ví dụ 1: Cho f(x)=2x4+x-1. Tính f’(1)?

Giải: Chọn h=0.001, ta có:

Sai số: Do |f’’(x)|≤|f’’(1,001)|=24,05 "xÎ[1;1,001]

012,0001,0.2

05,24|)1(| =£R

Page 18: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

3.5. Tính gần đúng đạo hàm

p Áp dụng đa thức nội suy

n Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x), với n+1 mốc a=x0<x1<x2<…<xn=b

n f’(x) » Pn’(x) với xÎ[a,b]

n Sai số: '

0

)1(

)()!1(

)()(' ÷÷

ø

öççè

æ-

+= Õ

=

+ n

ii

n

xxn

cfxR

)(')()(' ' xRxPxf n +=Þ

)()()( xRxPxf n +=

3.5. Tính gần đúng đạo hàm

Ví dụ 2: Cho hàm y=f(x) dƣới dạng bảng

x 0 2 3 y 1 3 2

Tính gần đúng f’(1)=?

Giải: Áp dụng công thức nội suy Lagrange hoặc công thức nội suy Newton, ta thu đƣợc đa thức nội suy bảng dữ liệu trên:

22 2

2 7 4 7( ) 1 '( ) '( )

3 3 3 3P x x x f x P x x= - + + Þ » = - +

Vậy 2

4 7'(1) '(1) 1

3 3f P» = - + =

Bài 3.6 Tính gần đúng tích phân

q Cần tính

p Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), công

thức Newton – Lepnit:

p Trƣờng hợp:

P f(x) chỉ đƣợc cho ở dạng bảng

P Hoặc f(x) đã biết nhƣng tính toán phức tạp

Þ Thay vì tính đúng, tính gần đúng sẽ đơn giản hơn

ò=b

adxxfI )(

)()()( aFbFdxxfIb

a-== ò

3.6.1 Công thức hình thang

p Phân hoạch [a,b] thành n đoạn con bằng nhau: a=x0<x1<…<xn=b

òò òò-

+++==n

n

x

x

b

a

x

x

x

x

dxxfdxxfdxxfdxxfI1

2

1

1

0

)(...)()()(

x0=a b=xn

f(x)

x1 x2 xi Xi+1

h=xi+1-xi=1/n

Page 19: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

3.6.1 Công thức hình thang

Trên đoạn [xi, xi+1], xấp xỉ f(x) bởi đa thức (bậc 1) P1(x)

ò ò ò+ + +

+-+=»=1 1 1

]),[)(()()( 11

i

i

i

i

i

i

x

x

x

x

x

x iiiii dxxxfxxyxPdxxfI

1

112

1

00

1 1( ) ( . ) .( ) ( )

2 2

i

i

x

i i i i i i ixI f x dx h y t y dt h y t y t h y y

+

+= » + D = + D = +ò ò

Đặt x = xi+th Þ dx = hdt. Với x Î [xi, xi+1] Þ t Î [0,1]

Sai số địa phƣơng

3.6.1 Công thức hình thang

è Ii gần bằng diện tích hình thang xiABxi+1

)(2

1)( 1

1

++»= ò+

ii

x

xi yyhdxxfI

i

i

xi xi+1

f(x)

h

yi+1

yi

ri(h)

A

B

3.6.1 Công thức hình thang

p Công thức hình thang tổng quát:

1 2

0 1 1

1

1 0 1 2 10

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) 2 2 22 2

n

n

b x x x

a x x x

n

i i n ni

I f x dx f x dx f x dx f x dx

h hy y y y y y y

-

-

+ -=

= = + + +

= + = + + + + +

ò ò ò ò

å

32( )

| ( ) |12 12

M h M b ar h n h

-£ =o Sai số toàn phần:

M = Max|f’’(x)|,xÎ[a,b]

0 1 2 1( ) 2 2 22

b

n n

a

b af x dx y y y y y

n-

-» + + + + +òVậy

(3)

(2)

3.6.1 Công thức hình thang

Ví dụ: Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình thang

òò +==

1

0

2

5

1 1)

1)

x

dxIbdx

xIa

Với phân hoạch [1,5] thành n=4 phần bằng nhau. Đánh giá sai số

x 1 2 3 4 5 y 1 1/2 1/3 1/4 1/5

Giải: a) Bảng giá trị

Page 20: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

Áp dụng công thức (2) ta tính đƣợc

5

1

5 1 2 2 2 1 1011

2 4 2 3 4 5 60

dxI

x

- æ ö= » + + + + =ç ÷

´ è øò

Sai số:3 3

1 5 1 5

2 2

''( ) 2 max ''( ) max 2 2

( ) 2 4 21

12 12 3

x xf x x M f x x

M b aR h

- -

£ £ £ £= Þ = = =

- ´Þ = = ´ =

3.6.1 Công thức hình thang 3.6.2 Công thức Simpson(Parabol)

Phân hoạch [a,b] thành n=2m đọan con bằng nhau: a=x0<x1<……<x2m=b

1

( )i i

b ah x x

n+

-= - =

0 , 0,1,..., 2mix x ih i= + =

x0=a b=x2m

f(x)

x1 x2

22 4

0 2 2 2

( ) ( ) ( ) ... ( )m

m

xx xb

a x x x

I f x dx f x dx f x dx f x dx-

= = + + +ò ò ò ò

3.6.2 Công thức Simpson

p Trên đoạn [x2i, x2i+2], xấp xỉ f(x) bởi đa thức nội suy bậc 2 P2(x):

2 2 2 2

2 22( ) ( )

i i

i i

x x

i x xI f x dx P x dx

+ +

= »ò ò

xi Xi+1 Xi+2

f(x)

P2(x)

Đặt x = x2i + th, dx = hdt; x =x2i

Þ t=0; x = x2i+2 Þ t=2

22

0

2 3 22

( 1)[ ]

2

21[ ( ) ]

02 2 3 2

i i i i

i i i

t tI h y t y y dt

tt t th y t y y

t

-» + D + D =

== + D + - D =

=

ò

)4(3

21 ++ ++ iii yyyh

3.6.2 Công thức Simpson

2 4 2

0 2 2 2

0 1 2 2 3 4 2 2 2 1 2

( ) ( ) ( ) ... ( )

( 4 ) ( 4 ) ... ( 4 )3 3 3

n

n

b x x x

a x x x

n n n

I f x dx f x dx f x dx f x dx

h h hy y y y y y y y y

-

- -

= » + + +

= + + + + + + + + +

ò ò ò ò

54( )

180 180

nMh b ar h M h

-£ =Sai số tòan phần:

Với M thỏa: M= Max |f(4)(x)|, "xÎ[a,b]

0 2 1 3 2 1 2 4 2 2[( ) 4( ... ) 2( .. )]3

n n n

hI y y y y y y y y- -= + + + + + + + + + (4)

(5)

Page 21: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

3.6.2 Công thức Simpson 3.6.3 Công thức Newton-Cotes

p Giả sử cần tính tích phân

p Chia [a,b] thành n phần bằng nhau với khoảng cách

( )b

a

I f x dx= òĐổi biến

x at

b a

-=

-1 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b

a

I f x dx b a f a b a t dt b a t dtÞ = = - + - = - Fò ò ò

trong đó ( ) ( )t f a b a tF = + -b a

hn

-=

, , 0,i i

ix a i h t i n

h= + Þ = =

3.6.3 Công thức Newton-Cotes

p Thay1 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )I b a t dt b a P t dt= - F » -ò ò

trong đó P(t) là đa thức nội suy Lagrange của hàm với các mốc

nội suy

( )tF

, ( ) , ,i i i i

i it t f x y

h h

ì ü ì üF = =í ý í ý

î þ î þ

3.6.3 Công thức Newton-Cotes

Đặt 1

0

1 1 10 1

:1 1 1

0 1

in

i it t t t t dt

n n nP

i i i i i i i

n n n n n n n n

- +æ ö æ öæ ö- - - - -ç ÷ ç ÷ç ÷

è ø è øè ø=

- +æ öæ ö æ öæ ö æ ö- - - - -ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷

è øè ø è øè ø è ø

ò

0

( )b n

ii n

ia

I f x dx b a y P=

Þ = » - åò

è Công thức Newton-Cotes:

(6)

Page 22: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

3.6.3 Công thức Newton-Cotes

p Trƣờng hợp n=1:

p Trƣờng hợp n=2:

0 1 0 11 1 0 1

1 1 1( )

2 2 2 2

b

a

y yP P f x dx b a y y b a

+æ öæ ö= = Þ » - + = -ç ÷ ç ÷

è ø è øò

Đây chính là công thức hình thang (địa phƣơng)

0 2 12 2 2 0 1 2

1 4; ( ) 4

6 6 6

b

a

b aP P P f x dx y y y

-= = = Þ » + +ò

Đây chính là công thức Simpson (địa phƣơng)

3.6.4 Sai số và cách chọn bƣớc

p Giả sử cần tính tích phân với độ chính xác cho trƣớc.

5

( )90

nMhr h £

( )b

a

I f x dx= òCông thức đánh giá sai số:

3

| ( ) |12

M hr h n£+ Công thức hình thang: , M = Max|f’’(x)|, " xÎ[a,b]

+ Công thức Simpson: , M= Max |f(4)(x)|, "xÎ[a,b]

è Cần tính Max |f(k)(x)|, xÎ[a,b] è Tính toán phức tạp!!!

1

2

01

dxI

x=

+òVí dụ: đánh giá sai số khi dùng CT Simpson tính

3.6.4 Sai số và cách chọn bƣớc

p Tiến hành tính 2 lần để kiểm tra độ chính xác (tính kép):

+Tính tích phân với bƣớc h nào đó, cho kết quả In

+Tính lại theo công thức đó với bƣớc h/2 (tăng n gấp đôi), kết quả I2n

w Nếu thì lấy2n nI I- <

w Nếu thì tiếp tục lặp lại với bƣớc h/42n nI I- ³

è Bƣớc h đầu tiên thƣờng đƣợc chọn cỡ , trong đó, m=2 với ct

hình thang, và m=4 với ct Simpson

m

3.6.4 Sai số và cách chọn bƣớc

p Sai số:

2

1

3n nI ID » -+ Công thức hình thang:

+ Công thức Simpson: 2

1

15n nI ID » -

Bài tập: Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình thang với

độ chính xác , xác định h nhờ cách tính kép 210-=0,3 1

2

0,1 0

) ) 1

dx dxa I b I

x x= =

+ò ò

Page 23: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

BÀI TẬP CHƢƠNG III

89

BÀI TẬP CHƢƠNG III

p Bài 5: Sử dụng công thức nội suy Lagrange, tính gần đúng

(hàm y=sinx) với các mốc nội suy

Ƣớc lƣợng sai số.

p Bài 6: Tính gần đúng tích phân với 5 điểm

chia là 1; 1,6; 2,2; 3,1; 4 bằng ct hình thang và ct Simpson

p Bài 7: Tính gần đúng tích phân bằng công thức hình

thang và công thức simpson với 10 đoạn chia; Đánh giá sai số.

90

4

1

sin( 2)I x x dx= +ò

1

02 1

dxI

x=

sin12

0 1 2 3 40, , , ,6 4 3 2

x x x x x= = = = =

91

GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

CHƯƠNG 4

Bài 4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

q Nghiệm của phƣơng trình:

v Nếu f( ) = 0 thì là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0

v Ý nghĩa hình học của nghiệm:

- Các nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0 là hoành độ giao điểm của đƣờng cong (C): y = f(x) với trục hòanh.

M

y=f(x)

x

y

a1, a2 là nghiệm của phương trình f(x)=0

Page 24: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

Có thể biến đổi phƣơng trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x).

Khi đó nghiệm của f(x)=0 là các hoành độ giao điểm của 2

đƣờng cong (C1): y=g(x) và (C2): y=h(x)

y (C1): y=g(x)

M

1 2

(C2): y=H(x)

N

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

q Khoảng phân ly nghiệm:

Khoảng [a,b] nào đó được gọi là khoảng phân ly nghiệm

của phương trình f(x)=0 nếu nó chứa 1 và chỉ 1 nghiệm

của phương trình đó.

Ví dụ 1.1: Trên (-2, -1) phƣơng trình x3-3x+1=0 chỉ có duy 1

nghiệm Þ (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm.

Định lý: Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không

đổi dấu trên (a,b), và f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất một

nghiệm trên (a,b).

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

y

a

b a

y=f(x)

x

y

a

b a

y=f(x)

x

b

y

a a

y=f(x)

x

y

a a

y=f(x)

f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0

f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0

f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0

f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

Ví dụ 1.2: Xét hàm f(x) = x3-3x+1.

Ta có: f’(x) = 3x2 – 3=0 Û x = -1 hoặc x = 1

Bảng xét dấu f’(x)

f’(x)>0, "x Î (-2,-1) hơn nữa f(-2). f(-1)=(-1).(3)=-3<0

Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm

Tƣơng tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly nghiệm

-¥ -1 1 +¥ x

f’(x) 0 0 + - +

Page 25: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

Ví dụ 1.3: Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phƣơng trình

5x3 - 19x + 3 = 0

Xét f(x) = 5x3 - 19x + 3

p Tính f’(x) = 15x2 – 19; f’(x) = 0 Û

p Bảng biến thiên15

19;

15

1921 -== xx

Vậy có thể lấy (-3;-2); (0;1); (1,5;2) là các khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình 5x3 - 19x + 3 = 0.

f(x)

0 +

0 -+f’(X)

+¥-¥X

17,26 ¥

-11,26 -¥

§ Nếu f(x0)=0 Þ x0 là nghiệm đúng ® Dừng.

§ Nếu f(x0) ¹ 0 và sai số Dx0£ e thì x0 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số Dx0 ® Dừng.

Bài 4.2.Phƣơng pháp chia đôi (Bisection)

Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của phƣơng trình trong (a,b), sai số £ e.

20

bax

+=

üChọn x0 là điểm giữa [a,b] làm nghiệm gần đúng.

y

x0 a

b

f(x)

x

Nội dung của phương pháp:

a

4.2. Phƣơng pháp chia đôi

§ Nếu f(x0) ¹ 0 và sai số Dx0 > e thì xét dấu f(a).f(x0):

Nếu f(a).f(x0) < 0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (a,x0)

Nếu f(a).f(x0) >0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (x0,b)

§ Lặp lại phƣơng pháp chia đôi với khoảng phân ly nghiệm mới.

§ Quá trình lặp lần lƣợc cho ta các nghiệm gần đúng x0, x1,…. Và kết thúc khi tìm đƣợc xn với sai số Dxn≤ e

y

x0 a b

f(x)

x x1

x2

4.2. Phƣơng pháp chia đôi

Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình x3 + 4x2 – 1=0 trên (0,1) theo phƣơng pháp chia đôi với 5 lần lặp.

Giải: Với f(x) = x3 + 4x2 -1, ta có f(0) = -1, f(1) = 4

=> (0,1) là khoảng phân ly nghiệm.

Kết quả thực hiện của 5 lần lặp (với phƣơng pháp chia đôi)

Nghiệm gần đúng tìm được là x » 0,46875

Page 26: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

4.2. Phƣơng pháp chia đôi

q Đánh giá sai số: Gọi a là nghiệm đúng. Ta có:

n Bƣớc 0:

n Bƣớc 1:

n …

n Bƣớc n:

0 0 1

1( )

2x b aD = - £ - Þ

1 1 2

1 1 1( ( )) ( )

2 2 2x b a b aD = - £ - = - Þ

).(2

11

abnxn

-=D+

)(2

110

abx -=D

)(2

121

abx -=D

Ƣu nhƣợc điểm của phƣơng pháp

Ø Ưu điểm:Đơn giản, dễ lập trình.Ø Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm.

4.2. Phƣơng pháp chia đôi

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình x3 + 4x2 - 1 = 0 trên (0,1) với sai số £ e = 0,1 bằng phƣơng pháp chia đôi.

• x0 = (a+b)/2=(0+1)/2 =0,5;

Sai số: Dx0 = ½*(b-a)=1/2=0,5 > e = 0,1f(0).f(0,5) = -0,125 < 0 Þ Thay b = 0,5; a=0 (không đổi)

• x1 = (a+b)/2=(0+0,5)/2 =0,25;Sai số: Dx1 = ½*(0,5-0)=0,25 > e = 0,1f(0).f(0,25) = 0,73>0 Þ Thay a = 0,25; b=0,5 (không đổi)

• x2=(a+b)/2=(0,25+0,5)/2 =0,375;Sai số:Dx2=½*(0,5-0,25)=0,125>e = 0,1f(0,25).f(0,375) = 0,28>0 ÞThay a=0,375;b=0,5 (không đổi)

• x3=(a+b)/2=(0,375+0,5)/2 =0,4375;Sai số: Dx3 = ½*(0,5-0,375)=0,0625<e = 0,1

Do x3 < = 0,1 nên x =x3= 0,4375 là nghiệm gần đúng cần tìm.

T

Input a, b, eps

x = (a+b)/2

a = x

Print x End

Compute f(x)

b - a < eps

T

f(a)*f(x) > 0

b = x

F

F

Giải thuật của phương pháp chia đôi

Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình f(x)=0. Giả thiết f’(x), f’’(x) liên tục và ko đổi dấu trên (a, b). Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số£e cho trƣớc.

Nội dung của pp:

§ Thay cung AB bởi dây trƣơng cung AB

AB cắt trục hoành tại điểm (x1,0).

§ Nếu |x1-a| £ e, x1: nghiệm gần đúng cần tìm.

§ Nếu không, lặp lại phƣơng pháp dây cung với khoảng phân ly mới (x1,b) hoặc (a, x1) tùy theo tính chất của f(x)

b A

x1

f(x)

a

Bài 4.3. Phƣơng pháp dây cung

a

B

1

( )

( ) ( )

b a f ax a

f b f a

-= -

-

Page 27: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

ü Nếu f(x1).f(a)<0 thì (a,x1) là khoảng phân ly nghiệm mới

ü Nếu f(x1).f(b)<0 thì (x1,b) là khoảng phân ly nghiệm mới

4.3. Phƣơng pháp dây cung

x2

a

B

b

A

a A1

Với khoảng phân ly nghiệm mới (x1,b), tính được nghiệm gần đúng x2 bằng phương pháp dây cung

x1

§ Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng xn có sai số Dxn ≤ e

0

§ Định nghĩa: Điểm được gọi là điểm Fourier, nếu

thỏa mãn

,x a bÎ

( ). ''( ) 0f x f x >

4.3. Phƣơng pháp dây cungĐể xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của đƣờng cong f(x). Giả sử f’ và f’’ không đổi dấu trên (a,b)

a

b

a

b a

b

a

b

4.3. Phƣơng pháp dây cung

B

b

xn

An

xn+1

An-1

0

1

( ).( )

( ) ( )n n

n n

n

x a

f x x bx x

f x f b+

=

-= -

-(3.1)

a

4.3. Phƣơng pháp dây cung

0

1

( ).( )

( ) ( )n n

n n

n

x b

f x x ax x

f x f a+

=

-= -

-a

X0=b x1

B0 B1

A

(3.2)

Page 28: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

4.3. Phƣơng pháp dây cung

ü Từ 2 trƣờng hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:

)()(

))((1

dfxf

dxxfxx

n

nnnn

-

--=+

Trong đó:

d=b, x0 = a nếu b là điểm Fourier

d=a, x0 = b nếu a là điểm Fourier

(3.3)

4.3. Phƣơng pháp dây cung

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình x3-3x+1=0 trên (1,5; 2) bằng phƣơng pháp dây cung với 3 lần lặp (nghĩa là giá trị của nghiệm cần tìm lần lƣợt là x0, x1, x2 và x3).

Giải:

Đặt f(x) = x3 – 3x+1

f’(x)=3x2-3; f’(x)=0 Û x = -1 Ú x = 1

f’’(x) =6x; f’’(x)=0 Û x = 0;

Bảng xét dấu:

4.3. Phƣơng pháp dây cung

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

f’(x)>0 và f’’(x)>0 "xÎ(1,5; 2) và f(1,5)=-1,125<0 ; f(2)=3>0

=> f(2).f’’(x)>0 =>x=2 là điểm Fourier

Vậy, chọn x0 = 1,5; d = 2

Áp dụng công thức tính nghiệm:

Ta tính được:

)()(

))((1

dfxf

dxxfxx

n

nnnn

-

--=+

...)2()(

)2)((

0

0001 =

-

--=

fxf

xxfxx

?)2()(

)2)((

2

2223 =

-

--=

fxf

xxfxx

...)2()(

)2)((

1

1112 =

-

--=

fxf

xxfxx

4.3. Sai số của phƣơng pháp dây cung

( )n

nx

f x

mD £

Nếu có số m thoả: 0< m ≤ |f’(x)|, "xÎ[a,b]

Nếu có số M,m thoả 0< m ≤ |f’(x)| ≤M, "xÎ[a,b] thì sai số cũng có thể chọn là:

1nx n n

M mx x

m-

-D £ -

Page 29: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

4.3. Phƣơng pháp dây cung

Ví dụ: Dùng phƣơng pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng của phƣơng

trình 5x3-x2-x-1=0 với sai số không quá 0,02.

Giải: Đặt f(x) = 5x3-x2-x-1

Vì f(0,5)=-1,125<0; f(1,5)=12,125>0 => (0,5; 1,5) là khoảng phân

ly nghiệm. Ta có:

f’(x)=15x2-2x-1; f’(x)=0 Û x1=-1/5; x2 =1/3

f’’(x)=30x-2 ; f’’(x)=0Û x=1/15

Xét dấu f’ và f’’:

X -¥ -1/5 1/5 1/3 -¥

f’ + 0 - 0 +

f’’ - 0 +

4.3. Phƣơng pháp dây cung

Þ f’(x)>0; f’’(x)>0 "x Î (0,5; 1,5)

f(1,5)*f’’(x)>0 => x=1,5 là điểm Fourier.

Công thức tính nghiệm:

Ta có m=min|f’(x)| =min| 15x2-2x-1 |=f’(0,5)=1,75 "x Î(0,5; 1,5)

Vậy có thể chọn biểu thức đánh giá sai số:

ïî

ïí

ì

-

--=

=

-

---

)5,1()(

)5,1)((

5,0

1

111

0

fxf

xxfxx

x

n

nnnn

( )

1,75n

nx

f xD £

4.3. Phƣơng pháp dây cung

x f(x) Sai số

0,5 -1,125 0,642857

0,584906 -0,9265 0,529426

0,649866 -0,69992 0,399952

0,696262 -0,49337 0,281926

0,727688 -0,33056 0,18889

0,748184 -0,21387 0,122214

0,761215 -0,13524 0,077278

0,769365 -0,08427 0,048153

0,774407 -0,05203 0,02973

0,777508 -0,03194 0,018251 < 0.02

x=0.777508 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số không quá 0.02

Giải thuật của phương pháp dây cung (TH x=a là điểm Fourier)

Input a, b, eps, m

x0 = b

Err = |f(x1)|/m

Print x1

End

x1 = x0 – f(x0)(x0 – a)/( f(x0) - f(a) )

Err < eps F

T

x0 = x1

Page 30: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình f(x)=0. Giả thiết f’(x), f’’(x) liên tục và không đổi dấu trên (a, b). Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số£e cho trƣớc.

4.1 Nội dung của pp:

- Thay đƣờng cong f(x) trên

[a,b] bởi tiếp tuyến (T) với

đƣờng cong tại điểm A hoặc

B, hoành độ giao điểm x1

của (T) với trục hoành xem

nhƣ nghiệm gần đúng của phƣơng trình

4.4. Phƣơng pháp tiếp tuyến (Phƣơng pháp Newton)

x1

b

(T)

f(x)

a

B

a

4.4. Phƣơng pháp tiếp tuyến:

Trƣờng hợp 1: x=b là điểm Fourier

a X0=b

a

x0=b x1

x1 f(x)

(T0)

1

0

( )

'( )n

nn

n

x b

f xx x

f x+

=

= -

4.4. Phƣơng pháp tiếp tuyến:

(T0) (T1)

x=a x1 x2

b

A0ºA

A1

b) Trường hợp 2: x=a là điểm Fourier

1

0

( )

'( )n

nn

n

x a

f xx x

f x+

=

= -

4.4. Phƣơng pháp tiếp tuyến:

p Kết luận: Từ 2 trƣờng hợp, ta rút ra công thức tính nghiệm

gần đúng xn+1 theo xn là:

)('

)(1

n

nn

xf

xfxx

n-=

+

p Với:

n X0 = a nếu a là điểm Fourier

n X0 = b nếu b là điểm Fourier

Page 31: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

4.4. Sai số của PP tiếp tuyến

§ Giả sử a là nghiệm đúng của phƣơng trình. m1, m2 là các số thỏa điều kiện 0<m1≤|f’(x)| và |f’’(x)|≤m2 <+∞. Ta có:

2

))((''))((')()(

21

111-

---

-+-+= nn

nnnnn

xxcfxxxfxfxf

21

221

111

1

11

)(2

))((''2

1)(

0))((')()('

)(

--

---

-

--

-£-=Þ

=-+Þ-=

nnnnn

nnnn

n

nnn

xxm

xxcfxf

xxxfxfxf

xfxx

nxnnn xxm

mx D=-£a- -

21

1

2 )(2Þ

)

Giải thuật của PP tuyếp tuyến (1)(TH x=a là điểm Fourier)

Input: a,b,e, m

x0 = a

x1 = x0 –f(x0)/f’(x0)

err = |f(x1)|/m

err < e F

T

x0 = x1

Print x1

End

@Trong thực hành thường chọn sai số của xn: D = |xn-xn-1|

Input: a,b,e

x0 = a

x1 = x0 –f(x0)/f’(x0)

err = |x1 – x0|

err < e F

T

x0 = x1

Print x1

End

Giải thuật của PP tuyếp tuyến (2)(TH x=a là điểm Fourier) 4.5. Phƣơng pháp lặp đơn

Bài toán: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình f(x)=0 trên (a,b).

p Nội dung của pp: Biến đổi f(x) = 0 về dạng x = j(x) với j(x)

liên tục trên (a,b) và |j’(x)| £ q < 1 "xÎ[a,b]

- Lấy x = x0 Î [a, b] làm nghiệm gần đúng ban đầu

- Tính x1 = j(x0)

- Tính x2 = j(x1)

- …..

- Tính xn = j(xn-1)

Nếu xn hội tụ về a khi n ® +∞ thì a là nghiệm đúng của

phƣơng trình. Các xi là các nghiệm gần đúng

Page 32: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

4.5. Phƣơng pháp lặp đơn

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình

5x3 - x2 - x-1 = 0 (*) trên (0.5; 1.5)

Ta có:

(*) Û x = 5x3 - x2 – 1

Hoặc

(*) Û

Hoặc

(*) Û

Chọn công thức (c). Các nghiệm gần đúng tìm đƣợc:

3

2

5

1++=

xxx

15 3 --= xxx

(a)

(b)

(c)

4.5. Phƣơng pháp lặp đơn

Dãy các giá trị xi tính được từ phương trình:

5x3-x2-x-1 = 0 (*)

bằng cách biến đổi phương trình đã cho về dạng:

3

2

5

1++=

xxx

4.5. Phƣơng pháp lặp đơn

p Sự hội tụ về nghiệm của phƣơng pháp

Định lý: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phƣơng

trình f(x)=0. Tồn tại phép biến đổi f(x)=0 Û x= j(x)

Và j(x) và j’(x) là các hàm số tiên tục trên [a,b].

Nếu |j’(x)| £ q < 1 "xÎ[a,b], x0Î[a,b] thì dãy {xn},

n=0,1,2,… nhận đƣợc từ: xn = j(xn-1) hội tụ đến nghiệm a

của phƣơng trình f(x)=0.

4.5. Phƣơng pháp lặp đơn

Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình

5x3 – 20x + 3 = 0 trên [0,1]

Ta có: [0, 1] là khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình.

Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với:

x = j(x) = (5x3+3)/20

Với |j’(x)| =|3x2/4| £ 0,75=q<1 trên [0;1]

Ta có công thức lặp: xn = (5x3n-1+3)/20

Các nghiệm gần đúng tìm đƣợc sau 5 lần lặp

j(xn)

X=0,150859 là nghiệm gần đúng

Page 33: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

4.5. Phƣơng pháp lặp đơn

p Đánh giá sai số:

|xn - a| £ q|xn-1- a | = q|xn-1 + xn – xn - a|

£ q|xn-1 - xn| + q| xn - a|

Þ (1 - q)| xn - a| £ q|xn-1 - xn|

11

---

£- nnn xxq

qx

011

xxq

qx

n

n --

£-

Hoặc có thể dùng công thức:

Giải thuật cho phƣơng pháp lặp đơn

In x0, q, e

x1 = j (x0) err = q|x1 – x0|/(1-q)

err<e

Print x1

F

T

End

x0 = x1

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình 5x3-20x+3 =0

trên [0;1] với sai số không quá 0,01 bằng phƣơng pháp lặp.

Giải: Phƣơng trình tƣơng đƣơng với: x = j(x)=(5x3+3)/20

|j’(x)|=|3/4x2|£ q = 0,75<1. Vậy dãy xn+1 = (5xn3+3)/20 hội tụ về nghiệm

của phƣơng trình.

Chọn x0 = 0;

4.5. Phƣơng pháp lặp đơn

01,045,0015,075,01

)75,0(1

>=--

=D x15,020

3)0(1 ===x

3

2

5 (0,15) 3(0,15) 0,15086

20x

´ += = = 01,000258,015,015086,0

75,01

)75,0(2

<=--

=D x

Với x2 = 0,15086 thì sai số Dx2 £ e = 0,01. Vậy x2 là nghiệm gầnđúng cần tìm.

BÀI TẬP CHƢƠNG IV

Page 34: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

BÀI TẬP CHƢƠNG IV

BÀI 6: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình - x3 +5x+2=0 trên khoảng (2,3) với sai số không quá 0,03

a) Bằng phƣơng pháp chia đôi.

b) Bằng phƣơng pháp dây cung.

c) Bằng phƣơng pháp tiếp tuyến.

d) Bằng phƣơng pháp lặp đơn.

BÀI 7: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình sinx – x +1/2=0 với sai số không quá 0.02:

b) Bằng phƣơng pháp dây cung.

c) Bằng phƣơng pháp tiếp tuyến.134

CHƯƠNG 5

GIẢI GẦN ĐÚNG

HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Giải gần đúng hpt đại số tuyến tính

p Trong thực tế, nhiều bài toán kinh tế, kỹ thuật, sinh thái quy về việc giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính(đstt):

AX = B

Trong đó:

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

nnn21n

2n2221

1n1211

a...aa

...

a...aa

a...aa

A

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

nb

...

b

b

B2

1

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

nx

...

x

x

X2

1

Giải gần đúng hpt đại số tuyến tính

p Nếu det(A)¹0 thì hệ có nghiệm duy nhất

p Phƣơng pháp giải thuộc 2 hai nhóm:

o Trực tiếp (giải đúng): Cramer, Gauss, Cholesky…

o Lặp (gần đúng) : Jacobi, Seidel, Gauss-Seidel...

Page 35: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

Bài 5.1. Phƣơng pháp Cramer

11 1 1 1 1 1 1

21 2 1 2 2 1 2

1 1 1

... ...

... ...

... ... ... ... ... .... ....

... ...

i i n

i i n

i

n ni n n i nn

a a b a a

a a b a aA

a a b a a

- +

- +

- +

æ öç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷è ø

Thay cột thứ i trong A bởi B để có Ai

det( )

det( )i

i

Ax

A=

Trong đó:

A: Ma trận các hệ số

Ai: Ma trận có đƣợc từ A bằng cách thay cột i bởi B

5.1. Phƣơng pháp Cramer

Ví dụ 1: Giải hệ sau bằng phƣơng pháp Cramer:

Giải: Ta có: ïî

ïí

ì

-=+-

=+-

=-+

123

22

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx

2 1 1

det( ) 1 1 2 10

3 2 1

A 1

3 1 1

det( ) 2 1 2 10

1 2 1

A

3

2 1 3

det( ) 1 1 2 20

3 2 1

A

31 21 2 3

det( )det( ) det( )10 30 201; 3; 2

det( ) 10 det( ) 10 det( ) 10

AA Ax x x

A A A

5.1. Phƣơng pháp Cramer

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của hệ phƣơng trình sau bằng phƣơng pháp Cramer:

Nhận xét:

üNếu xem như trong quá trình tính toán không có sai số quy tròn

thì phương pháp Cramer là một phương pháp giải đúng.

üViệc giải hệ gồm n phương trình bằng phương pháp Cramer cần

phải tính n+1 định thức cấp n, mỗi định thức cấp n cần: n!-1 phép

cộng, (n-1)n! phép nhân . Khi n lớn số lượng phép tính là rất

lớn khó thực hiện được trong thực tế.

ïî

ïí

ì

=++

=-+

=++

6x3x3x

5xxx2

4xxx

321

321

321

Bài 5.2. Phƣơng pháp Gaussp Nội dung của phương pháp: Gồm 2 quá trình:

Quá trình thuận: Biến đổi ma trận A về ma trận tam giác trên:

=> Hệ tƣơng đƣơng với

(1)(1) (1)112 1

(2)(2)( ) (n) 22

( )

1 ....

1 ....; B

...... ...

1

n

n n

nn

ba a

baA

b

æ öæ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷

è ø è ø

ïï

î

ïï

í

ì

=

=++

=+++

)n(nn

)2(2n

)2(n22

)1(1n

)1(n12

)1(121

bx

.................

bxa...x

bxa...xax

Quá trình nghịch: Giải hệ trên từ dƣới lên để tính xn, xn-1, … x1

Page 36: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

5.2. Phƣơng pháp Gauss

Ví dụ : Sử dụng phƣơng pháp Gauss giải hệ sau:

Giải: Biến đổi ma trận mở rộng:

=> Hệ tƣơng đƣơng:

ïî

ïí

ì

-=+-

=+-

=-+

123

22

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx

2 1 1 3 1 1/ 2 1/ 2 3 / 2 1 1/ 2 1/ 2 3 / 2

1 1 2 2 0 3 / 2 5 / 2 1/ 2 0 1 5 / 3 1/ 3

3 2 1 1 0 7 / 2 5 / 2 11/ 2 0 0 10 / 3 20 / 3

1 1/ 2 1/ 2 3 / 2

0 1 5 / 3 1/ 3

0 0 1 21 2 3

2 3

3

1 1 3

2 2 2

5 1

3 3

2

x x x

x x

x

5.2. Phƣơng pháp Gauss

Ø Quá trình nghịch: Giải hệ:

ïïï

î

ïïï

í

ì

=

-=-

=-+

2

3

1

3

5

2

3

2

1

2

1

3

32

321

x

xx

xxx

Từ phƣơng trình thứ 3, ta có: x3 = 2Từ phƣơng trình thứ 2, ta có: x2 =-1/3+5/3x3 = 3Từ phƣơng trình thứ 1, ta có: x1 =3/2-1/2x2+1/2x3 = 1

Vậy nghiệm của hệ là: x1 = 1; x2 = 3; x3 = 2

5.2. Phƣơng pháp Gauss

Bài tập: Sử dụng pp Gauss giải các hệ phƣơng trình:

Nhận xét:

Khối lượng phép tính của pp Gauss là

Þ Ít hơn nhiều so với pp Cramer

Dùng được pp Gauss không, nếu ở bước k, phần tử akk =0???

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

) 2 2

3 2 1

x x x

a x x x

x x x

+ - =ìï

- + =íï - + = -î

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4

) 2 5

3 3 6

x x x

b x x x

x x x

3 24 9 7

6

n n n

?

5.2. Dùng phƣơng pháp Gauss tính định thức

p Bài toán: Tính det(A), với

Phương pháp: Biến đổi ma trận A về ma trận tam giác:

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

nnn21n

2n2221

1n1211

a...aa

...

a...aa

a...aa

A

(0) (0) (0) (0)11 12 13 1

(1) (1) (1)22 23 2

(2) (2)3 3

( 1)

...

0 ...

0 0 ...

... ... ... ... ...

0 0 0 ...

n

n

n n

nnn

a a a a

a a a

a a

a -

æ öç ÷ç ÷ç ÷ Þç ÷ç ÷ç ÷è ø

(0) (1) ( 1)11 22det . n

nnA a a a -=

Page 37: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

5.2. Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo

p Bài toán:

n Cho ma trận A:

n Tìm ma trận nghịch đảo A-1 của A. Nghĩa là cần tìm A-1 , sao cho A.A-1 =I, với I là ma trận đơn vị cấp n:

Lưu ý: Mọi ma trận không suy biến đều tồn tại ma trận nghịch đảo.

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

nnn21n

2n2221

1n1211

a...aa

...

a...aa

a...aa

A

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

1...000

...

0...010

0...001

I

5.2. Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo

p Kí hiệu A-1= (xij): cần phải tìm xij ?

p Ta có:11 12 1 11 12 1n

21 22 2 21 22 2n1

1 n2 nn1 2

1 1 1 2 11 1 1

2 1 2 21

... ...

... ...

......

... ...

...

...

n

n

nn n nn

n n n

k k k k k knk k k

n

k k k kk

a a a x x x

a a a x x xA A

x x xa a a

a x a x a x

a x a x

-

= = =

=

æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷´ = ´ =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷

è øè ø

=

å å å

å å 21

1 21 1 1

1 0 ... 0

0 1 ... 0

........

0 0 ... 1

...

n

k knk

n n n

nk k nk k nk knk k k

a xI

a x a x a x

=

= = =

æ öç ÷ç ÷ æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷= =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øç ÷ç ÷è ø

å

å å å

0...

...

1...

...

0...

0...

2211

2211

2222121

1212111

ïïïï

î

ïïïï

í

ì

=+++

=+++

=+++

=+++

njnnjnjn

njjnjjjj

njnjj

njnjj

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

´

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

nj

j

j

nj

j

j

nnnn

n

n

e

e

e

x

x

x

aaa

aaa

aaa

......

...

...

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Xét cột thứ j trong 2 ma trận A.A-1 và I. Ta có hệ:

Với îíì

=

¹=

)(1

)(0

ji

jieij

Hay

5.2. Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo

p Nội dung của phƣơng pháp là:

Giải hệ có dạng:

Để tìm các phần tử ở cột thứ j của ma trận A-1

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

´

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

nj

j

j

nj

j

j

nnnn

n

n

e

e

e

x

x

x

aaa

aaa

aaa

......

...

...

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Với îíì

=

¹=

)(1

)(0

ji

jieij

5.2. Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo

Page 38: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

p Cụ thể:

Giải hệ:

ïïï

î

ïïï

í

ì

=++++

=++++

=++++

=++++

0...

...

0...

0...

1...

1313212111

13313321321131

12312321221121

11311321121111

nnnnnn

nn

nn

nn

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

Để tìm đƣợc các phần tử ở cột 1 của ma trận A-1

5.2. Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo

p Giải hệ:

n Để tìm các phần trử trên cột 2 của ma trận A-1

p Tổng quát:

n Giải hệ AXj = Ij để tìm các phần tử trên cột j của A-1. Với Xj là cột thứ j của A-1, Ij là cột thứ j của I

n Có thể giải hệ bằng phƣơng pháp Gauss. Ở đây có chung ma trận hệ số A

5.2. Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo

Bài 5.3. Phƣơng pháp phần tử trội

Với PP Gauss đƣợc trình bày ở trên:

n Phƣơng pháp Gauss là PP giải đúng. Thực tế, vẫn xảy ra sai số do quy tròn. Hơn nữa, các tính toán trên máy tính chỉ là gần đúng. Sai số sẽ lớn khi phần tử

n Không thực hiện đƣợc nếu ở bƣớc k, phần tử akk=0

n Ý tƣởng của phƣơng pháp này là chọn trong các hệ số aij hệ số có trị tuyệt đối lớn nhất (phần tử trội). Chẳng hạn đó là phần tử apq. Khi đó, dòng thứ p đƣợc gọi là dòng trội.

0kka »

5.3. Phƣơng pháp phần tử trội

Nội dung của phương pháp:

p Thực hiện phép khử ẩn với dòng trội sao cho cột thứ q sau khi trừ khử apq còn lại các phần tử khác đều bằng 0.

p Bỏ cột q và dòng p ta được ma trận vuông mới cấp n-1.

p Tiếp tục quá trình với ma trận mới cấp n-1 vừa thu được.

Page 39: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

5.3. Phƣơng pháp phần tử trội

Nhận xét:

p Nếu thì phƣơng pháp phần tử trội áp dụng đƣợc.

p Phƣơng pháp phần tử trội ƣu việt hơn phƣơng pháp Gauss là không phải chia cho những phần tử

det 0A ¹

( 1) 0kkka - »

Bài tập: Giải hệ sau bằng phƣơng pháp phần tử trội:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

2 3 2

2 3

x x x

x x x

x x x

+ + =ìï

+ + =íï + + =î

ĐS: (-3,2,2)

Bài 5.4. Phƣơng pháp Cholesky (căn bậc hai)

p Giải hệ PT tuyến tính: AX = B, trong đó A là ma trận đối xứng

p Nội dung của phương pháp:

n Quá trình thuận: Giả sử biến đổi đƣợc ma trận A thành tích của 2 ma trận vuông cấp n :

trong đó:

.TA S S=

11 12 1 11

22 2 12 22

1 2

0 0

0 0;

0 0

n

n T

nn n n nn

s s s s

s s s sS S

s s s s

æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷= =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø

5.4. Phƣơng pháp Cholesky

1

11 11 1

11

; ( 1)j

j

as a s j

a= = >

12

1

(1 )i

ii ii kik

s a s i n-

-

= - < £å1

1

.

( )

i

ij ki kjk

ij

ii

a s s

s i js

-

=

-

= <å

0 ( )ijs i j= >

Nhân với rồi đồng nhất với các phần tử của A ta đƣợc:TS

Nhƣ vậy, việc giải hệ Ax=B đƣợc chuyển về việc giải 2 hệ tam giác:

;TS y B Sx y= =

5.4. Phƣơng pháp Cholesky

p Quá trình nghịch:

n Giải hệ

n Giải hệ: , ta đƣợc

11 1 1

12 22 2 2

1 2

0 0

0

n n nn n n

s y b

s s y b

s s s y b

æ öæ ö æ öç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷=ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷è øè ø è ø

1

111

11

.

; ( 1)

i

i ki kk

i

ii

b s yb

y y is s

-

=

-

= = >å

Sx y=

1

.

; ( )

n

i ik kn k i

n i

nn ii

y s xy

x x i ns s

= +

-

= = <å

11 12 1 1 1

22 2 2 20

0 0

n

n

nn n n

s s s x y

s s x y

s x y

æ öæ ö æ öç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷=ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷è øè ø è ø

Page 40: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

5.4. Phƣơng pháp Cholesky

Ví dụ : Giải hệ sau bằng phƣơng pháp Cholesky

ïî

ïí

ì

-=+-

=+-

=-+

123

22

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Giải: Phân tích

2 0 0 1 1/ 2 1/ 2

1 3 / 2 0 , 0 1 5 / 3

3 7 / 2 10 / 3 0 0 1

TS S

-æ ö æ öç ÷ ç ÷= - = -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- -è ø è ø

Giải hệ , được nghiệm y1=3/2, y2= -1/3, y3= 2

Giải hệ , được nghiệm x1=1, x2= 3, x3= 2

.TA S S=

Sx y=

Chuẩn của ma trận và chuẩn của vector

Định nghĩa: Chuẩn của ma trận A=(aij) là một số thực ||A|| thỏa các điều kiện:

a. ||A||≥0 (với ||A||=0 Û A = 0)

b. || a.A||=|a|.||A||, với a là một số thực

c. ||A+B||≤||A||+||B||

d. ||A.B|| ≤||A||.||B||

Thực tế thƣờng dùng 3 chuẩn sau:

||max.

)||(.

||max.

,

2

12

2

1

å

å

å

=

=

=

¥j

iji

jiij

iij

j

aAc

aAb

aAa (Chuẩn cột)

(Chuẩn Ơclit )

(Chuẩn dòng)

Chuẩn của ma trận và chuẩn của vector

Ví dụ 1: Cho

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

=

473

201

112

A

Tính?1,A A

¥

Chuẩn của ma trận và chuẩn của vector

p Chuẩn Vector: Vector là ma trận chỉ có 1 cột nên chuẩn của Vector là:

å=

=+++=n

iin xxxxX

1211

...

2

1

1

222

2

2

12)(... å

=

=+++=n

iin xxxxX

ii

xX max=¥

Ví dụ 2: Cho vector

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

3

4

2

1

X Tính các chuẩn dòng, cột của X

Page 41: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

Sự không ổn định của hệ phƣơng trình đại số tuyến tính.

p Giả sử nghiệm của hệ AX=B tìm đƣợc là X1.

p Nếu thay đổi rất ít giá trị của các hệ số hoặc của vế phải, mà nghiệm tìm đƣợc của hệ sai lệnh lớn so với X1. Ta nói hệ AX=B không ổn định, ngƣợc lại hệ phƣơng trình gọi là ổn định

p Cách đơn giản để kiểm tra tính ổn định của hệ thống phƣơng trình là: Giải hệ AX=B đồng thời cũng giải hệ AX=B1 với B1

khác rất ít so bới B. Nếu hai nghiệm tìm đƣợc xấp xỉ nhau, ta nói hệ ổn định, ngƣợc lại ta nói hệ không ổn định

p Cách khác: xét hệ số Cond(A)=||A||.||A-1||

Với ||A|| là một chuẩn nào đó.

Cond(A) càng lớn, hệ càng không ổn định

Con(A) càng gần với 1, hệ càng ổn định.

Bài 5.5. Phƣơng pháp lặp giải hpttt Ax=b

§ Bài toán: Tìm nghiệm của hệ: Ax=b

§ Phƣơng pháp:

Biến đổi hệ về dạng tƣơng đƣợng: x = Bx+g

Định lý: Nếu ||B||p<1 thì dãy lặp , trong đó, bất kỳ cho trƣớc, đều hội tụ về nghiệm duy nhất của

phƣơng trình x = Bx+gHơn nữa, ta có đánh giá sai số:

0nx RÎ *x

5.5.1. Phƣơng pháp Jacobi giải hpttt Ax=b

§ Ma trận A đƣợc gọi là có đƣờng chéo trội, nếu các phần tử nằm trên đƣờng chéo chính có trị tuyệt đối lớn hơn tổng trị tuyệt đối của các phần tử trên 1 hàng.

§ Định lý: Nếu A có đƣờng chéo trội thì có thể đƣa phƣơng trình Ax=b về dạng x=Bx+g, với ma trận B có chuẩn nhỏ hơn 1.

§ Phương pháp Jacobi giải lặp hệ theo sơ đồ:

( 1) ( ) , ( 0)k kx B x g k+ = + ³

Thông thƣờng, chọn (0)x g=

F Nếu A có đường chéo trội, ta chia mỗi hàng của hệ cho phần tử nằm trên đường chéo chính của hàng này, giữ ần trên đường chéo chính (có hệ số =1) ở vế trái, chuyển các số hạng còn lại sang phải, ta được hệ x=Bx+g với B có chuẩn nhỏ hơn 1.

5.5.1. Phƣơng pháp Jacobi giải hpttt Ax=b

Page 42: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

5.5.1. Phƣơng pháp Jacobi giải hpttt Ax=b0 0,2 0,1 1

0,1 0 0,2 ; 1,2

0,1 0,1 0 0,8

B g

- -æ ö æ öç ÷ ç ÷

= - - =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- -è ø è ø

3

1 31

max 0,3 1iji

j

B b¥ £ £

=

= = <å

5.5.2. Phƣơng pháp Seidel giải hpttt Ax=b

§ Giả sử có hệ x=Bx+g. Phân tích B thành tổng 2 ma trận tam giác: B=B1+B2

Khi đó, ta có phƣơng trình

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

0 0 0

0 0 0;

0 0 0

n

n

n n nn

b b b

b b bB B

b b b

æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷= =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø

1 2x B x B x g= + +

§ Phƣơng pháp Seidel giải lặp hệ theo sơ đồ:( 1) ( 1) ( )

1 2 , ( 0)k k kx B x B x g k+ += + + ³

§Định lý: Phƣơng pháp Seidel hội tụ, nếu 1B¥

<

1( 1) ( 1) ( )

1

, ( 1, ; 0)i n

k k ki ij j ij j i

j j i

x b x b x g i n k-

+ +

= =

= + + = ³å å

5.5.3. Phƣơng pháp Seidel giải hpttt Ax=b

§ Ví dụ: Dùng pp Seidel giải hệ sau

§ Giải: Nhận thấy ma trận hệ số có đƣờng chéo trội. Biến đổi hệ về dạng

1 2 3

1 2 3

1 2 3

10 2 10

10 2 12

10 8

x x x

x x x

x x x

+ + =ìï

+ + =íï + + =î

1 2 3

2 1 3

3 1 2

0,2 0,1 1

0,1 0,2 1,2

0,1 0,1 0,8

x x x

x x x

x x x

= - - +ìï

= - - +íï = - - +î

0 0,2 0,1 1

0,1 0 0,2 ; 1,2

0,1 0,1 0 0,8

B g

- -æ ö æ öç ÷ ç ÷= - - =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- -è ø è ø

Do nên pp hội tụ3

1 31

max 0,3 1iji

j

B b¥ £ £

=

= = <å

5.5.3. Phƣơng pháp Seidel giải hpttt Ax=b

Áp dụng pp Seidel với theo công thức:(0)

1

1,2

0,8

x g

æ öç ÷

= = ç ÷ç ÷è ø

Tách B thành tổng B1 + B2

1 2

0 0 0 0 0,2 0,1

0,1 0 0 ; 0 0 0,2

0,1 0,1 0 0 0 0

B B

- -æ ö æ öç ÷ ç ÷= - = -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- -è ø è ø

( 1) ( ) ( )1 2 3

( 1) ( 1) ( )2 1 3

( 1) ( 1) ( 1)3 1 2

0,2 0,1 1

0,1 0,2 1,2

0,1 0,1 0,8

k k k

k k k

k k k

x x x

x x x

x x x

+

+ +

+ + +

ì = - - +ï

= - - +íï

= - - +î

Page 43: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

BÀI TẬP CHƢƠNG V

Bài 1: Cho các HPT:

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

18 3 2 50 10 12

) 4 11 33 ) 2 10 13

6 3 12 36 2 2 10 14

x x x x x x

a x x x b x x x

x x x x x x

- + = + + =ì ìï ï

+ - = + + =í íï ï+ + = + + =î î

a. Sử dụng pp Gauss, tìm nghiệm chính xác của hệ

b. Sử dụng các pp lặp: Jacobi, Seidel, tìm 5 xấp xỉ đầu tiên của hệ.

Bài 2: Dùng pp lặp Jacobi, Seidel giải hệ Ax=B với 5 lần lặp, biết

010 1 2 3

1 10 1 2 5;

2 3 20 1 10

3 2 1 20 15

A B

- - æ öæ öç ÷ç ÷- ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷- -ç ÷ç ÷

è ø è ø170

CHƯƠNG 6

GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG

6.1. Giải gần đúng bài toán Cauchy

p Bài toán Cauchy cho phƣơng trình vi phân cấp n:

Tìm nghiệm y=y(x) của phƣơng trình

với các điều kiện đầu

trong đó là các số cho trƣớc

' ( 1) ( 1)0 0 0 0 0 0( ) , '( ) , , ( )n ny x y y x y y x y- -= = =

' ( 1)0 0 0, , , ny y y -

6.1. Giải gần đúng bài toán Cauchy

p Các pp giải:

v Các pp giải tích: tìm nghiệm gần đúng dƣới dạng biểu thức giải tích:

ü Phƣơng pháp xấp xỉ liên tiếp Picard

ü Phƣơng pháp chuỗi nguyên

v Các pp số: tìm nghiệm của bài toán tại các điểm

ü Phƣơng pháp Euler, Euler cải tiến

ü Phƣơng pháp Runge-Kutta

0 1 nx x x< < <

Page 44: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

6.1. Giải gần đúng bài toán Cauchy cấp 1

p Một số phƣơng pháp giải gần đúng bài toán Cauchy đối với ptvp cấp 1:

0

0 0

' ( , ), , ,

( )

y f x y x a b x a

y x y

ì = Î =ïí

=ïî(1)

6.1.1. Phƣơng pháp xấp xỉ liên tiếp Picard

p Giả sử cần giải bài toán Cauchy

p Việc giải bài toán (1) hoàn toàn tƣơng đƣơng với việc tìm nghiệm của phƣơng trình tích phân

p Nội dung phƣơng pháp:

0

0 0

' ( , ), , ,

( )

y f x y x a b x a

y x y

ì = Î =ïí

=ïî(1)

0

0( ) , ( )x

x

y x y f t y t dt= + ò

0

0 0

0 1

( )

( ) , ( )x

n n

x

y x y

y x y f t y t dt-

=

= + ò(2)

6.1.1. Phƣơng pháp xấp xỉ liên tiếp Picard

p Định lý: Giả sử hàm f(x,y) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến

y trên miền mở , tức là

Giả sử . Khi đó, dãy nghiệm xác định từ công

thức (2) sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất của bài toán (1)

q Tốc độ hội tụ đƣợc ƣớc lƣợng bởi bất đẳng thức:

trong đó

0 0: ,D x x a y y b- £ - £

( , ),( , ) ( , ) ( , )x y x y D f x y f x y L y y" Î - £ -

0 0( , )x y DÎ ( )ny x

*( )y x

* 10( ) : ( ) ( ) ( )

( 1)!

nn

n n

K Lx y x y x x x

n+= - £ -

+

( , )max ( , )x y D

K f x yÎ

=

6.1.1. Phƣơng pháp xấp xỉ liên tiếp Picard

p Ví dụ 1: Xét bài toán Cauchy

Các xấp xỉ liên tiếp có dạng

Nghiệm chính xác:

'

(0) 1

y x y

y

= -ìí

0

2

1

0

2 3 1 1*

1

0

(0) 1

1 ( 1) 12

( 1) ( 1)1 ( ) 1 2 ( )

2! 3! ! ( 1)!

x

x n n n n

n n

y y

xy t dt x

x x x xy t y dt x y x

n n

+ +

-

= =

= + - = - +

æ ö- -= + - = - + - + + + ®ç ÷

+è ø

ò

ò

Page 45: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

6.1.2. Phƣơng pháp chuỗi nguyên

p Xét bài toán Cauchy (1), trong đó, hàm f(x,y) giải tích trong lân cận (x0, y0), tức là

Khi đó, nghiệm đúng y*(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor:

è Nhƣ vậy, ta cần tính các đạo hàm y*(i)(x0) :

0 0, 0

( , ) ( ) ( )i jij

i j

f x y a x x y y¥

=

= - -å

*( )* 0

00

( )( ) ( )

!

ii

i

y xy x x x

i

¥

=

= -å (3)

6.1.3. Phƣơng pháp Euler

p Xét bài toán Cauchy (1)

p Cần tìm nghiệm gần đúng tại một số điểm

p Xét trƣờng hợp các điểm cách đều nhau khoảng h: xi+1 =xi +h

p Từ khai triển Taylor, ta có

p Vậy ta coi

p Công thức Euler:

0

0 0

' ( , ), , ,

( )

y f x y x a b x a

y x y

ì = Î =ïí

=ïî

0 1 na x x x b£ < < < £

21

, ( )( ) ( ) ( )

1!i i

i i

h f x y xy x y x O h+ = + +

1( ) ( ) , ( )i i i iy x y x h f x y x+ » +

1 ,i i i iy y h f x y+ = + (4)

6.1.3. Phƣơng pháp Euler

p Sai số của phương pháp Euler: Giả sử hàm f(x,y) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y:

và có số M sao cho

Khi đó, sai số

Ø Nhận xét:

ü Phương pháp Euler là phương pháp tường minh.

ü Phương pháp Euler có ưu điểm: đơn giản, dễ lập trình.

Tuy nhiên, độ chính xác của phương pháp thấp.

( , ) ( , )f x y f x y L y y- £ -

0

( , ( )), , n

f x y xM x x x

x

¶£ Î

0( )( ) 12

nL x xi i i

Mhy y x e

L-= - £ -

6.1.3. Phƣơng pháp Euler

p Ví dụ 2: Giải bài toán Cauchy:

với n=5

p Giải

2' , 0 1

(0) 1

xy y x

y

y

ì= - £ £ï

íï =î

Page 46: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

6.1.4. Phƣơng pháp Euler cải tiến

p Thay vì dùng công thức Euler (4), ta sử dụng công thức sau:

p Bài tập: Giải ví dụ 2 bằng pp Euler cải tiến

*1

*1 1 1

( , )

( , ) ( , )2

0,1,..., 1

i i i i

i i i i i i

y y hf x y

hy y f x y f x y

i n

+

+ + +

ì = +ïï

é ù= + +í ë ûï= -ïî

(5)

6.1.4. Phƣơng pháp Euler cải tiến

p Có thể làm tăng độ chính xác cho phƣơng pháp Euler cải tiến

bằng cách áp dụng phƣơng pháp lặp đơn cho tính các giá trị yi

Ø Lấy

Ø Lặp lại theo k>=1

Ø Khi thấy thì dừng lại và lấy

(0)1 ( , )i i i iy y hf x y+ = +

1

( ) ( 1)1 1( , ) ( , )

2i

k ki i i i i

hy y f x y f x y

+

-+ +

é ù= + +ë û

1 1

( ) ( 1)

i i

k ky y+ +

-- £1

( )1 i

kiy y

++ »

6.1.5. Phƣơng pháp Runge-Kutta 4 (RK4)

p Công thức

p Nhận xét: PP RK4 có độ chính xác cao (h4)

1

2 1

3 2

4 3

1 1 2 3 4

( , )

1( , )

2 2

1( , )

2 2

( , )

12 2

6

n n

n n

n n

n n

n n

k h f x y

hk h f x y k

hk h f x y k

k h f x h y k

y y k k k k+

=

= + +

= + +

= + +

= + + + +

(6)

6.1.5. Phƣơng pháp Runge-Kutta 4 (RK4)

p Ví dụ: Sử dụng pp RK4, giải bài toán với bƣớc h=0,2 (n=5)

p HD: Chia đoạn [0,1] thành 5 đoạn bởi xi =0,2*i, i=1,2,3,4,5.

Ta có:

trong đó

' , 0 1

(0) 1

y x y x

y

= - £ £ìí

1 0 0y y y= + D

0 1 2 3 4

12 2

6y k k k kD = + + +

Page 47: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

6.1.5. Phƣơng pháp Runge-Kutta 4 (RK4)

p Tiếp theo, tính trong đó

Với

Tiếp tục quá trình cho đến khi tìm đƣợc y5

2 1 1y y y= + D1 1 2 3 4

12 2

6y k k k kD = + + +

6.2. Giải gần đúng bài toán biên tuyến tính

p Xét bài toán biên tuyến tính

trong đó, là các hàm đã biết, xác định trên [a,b],

là các hằng số đã biết, thỏa mãn

0 1

0 1

'' ( ) ' ( ) ( ) ( )

( ) '( )

( ) '( )

y p x y q x y f x a x b

y a y a A

y b y b B

+ + = £ £ìï

+ =íï + =î

(7)

( ), ( ), ( )p x q x f x

1 2 1 2, , , , ,A B

1 2 1 20; 0+ > + >

6.2. Phƣơng pháp sai phân giải bài toán biên

p Xét bài toán biên tuyến tính (7)

p Chia đoạn [a,b] thành n phần bằng nhau:

p Ký hiệu

p Ta thay gần đúng đạo hàm bởi các công thức

( 0,1,2, , )ix a ih i n

b ah

n

= + =

-=

( ), ( ), ( )

( ), ' '( ), '' ''( )

i i i i i i

i i i i i i

p p x q q x f f x

y y x y y x y y x

= = =

= = =

1 1 1 12

' '1 0 10

2'( ) ' , ''( ) ''

2

,

i i i i ii i i i

n nn

y y y y yy x y y x y

h h

y y y yy y

h h

+ - + -

-

- - +» = » =

- -= =

6.2. Phƣơng pháp sai phân giải bài toán biên

p Khi đó, bào toán (7) đƣợc xấp xỉ bởi bài toán sau:

Nhƣ vậy, ta cần giải hệ (n+1) phƣơng trình để xác định (n+1) ẩn.

p Sai số: với

1 1 1 12

1 00 0 1

10 1

2

2

( 1,2,3, , 1)

i i i i ii i i i

n nn

y y y y yp q y f

h h

i n

y yy A

h

y yy B

h

+ - + -

-

- + -ì+ + =ï

ï= -ïï

í -+ =ï

ï-ï + =

ïî

22

( )96

i i

M hy y x b a- £ - (4)max ( )

a x bM f x

£ £=

Page 48: NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn

6.2. Phƣơng pháp sai phân giải bài toán biên

p Ví dụ: Giải bài toán với n=4

Giải: với ta có

Hay ta có hệ

2 '' ' 1, 1 1,4

(1) 0, (1,4) 0,0566

x y xy x

y y

ì + = £ £í

= =î

1,4 10,1

4h

-= =

21 1 1 1

0 4

2 ( 2 ) ( ) 2

(1) 0, (1,4) 0,0566

i i i i i i ix y y y x y y h h

y y y y

+ - + -ì - + + - =ïí

= = = =ïî

BÀI TẬP CHƢƠNG VI

Bài 1: Giải bài toán Cauchy với bƣớc chia h=0,1

a. Bằng phƣơng pháp Euler

b. Bằng phƣơng pháp Euler cải tiến

Bài 2: Giải bài toán biên với bƣớc h=0,2

' , 0 12

(0) 1

xyy x

y

ì= £ £ï

íï =î

2'' 0, 0 1

(0) 0, (1) 1

y x y x

y y

ì + = £ £í

= =î