ƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNGtruonglachongtphcm.edu.vn/document/Microsoft_Word_-_CHUONG3.pdf · 229 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT

229

CHƯƠNG 3

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1) Vectơ ≠ gọi là vtcp của đường thẳng d nếu giá của song song hoặc trùng d.

Vtcp của đường thẳng d thường ký hiệu là d.

2) Cho đường thẳng d đi qua điểm M(xo,yo,zo) và có vtcp d = (a,b,c)

Phương trình tham số của d:

(t: tham số, t ÎR)

Phương trình chính tắc của d:

(abc ≠ 0)

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG

Cho 2 đường thẳng:

d1 qua điểm A và có vtcp

d2 qua điểm B và có vtcp

1) d và d’ cùng nằm trên 1 mp ó [ ]. = 0

2) d và d’ chéo nhau ó

[ ]. ≠ 0

230

3) d và d’ cùng nằm trên 1 mp ó [ ]. = 0

4) d và d’ chéo nhau ó [ ]. ≠ 0

5) d và d’ cắt nhau ó

6) d // d’ ó

ïïî

ïïí

ì

¹úûù

êëé

=úûù

êëé

®®®

®®®

0,

0,

1

21

ABa

aa

d

dd

7) d ≡ d’ ó [ ] = [

III. KHOẢNG CÁCH

Cho 2 đường thẳng chéo nhau:

d1 qua điểm A và có vtcp

d2 qua điểm B và có vtcp

1/ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1:

d(M,d1) ®

®®

úûù

êëé

=

1

1,

d

d

a

aAM

2/ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 và d2

d(d1,d2) = [ ][ ]

21

21

,

..,

dd

dd

aa

ABaa

Chú ý:

Nếu d1 // d2 thì:

d(d1,d2) = d(M,d2) với M Î d1

231

= d(N,d1) với N Î d2

IV. GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG

Cho 2 đường thẳng d1, d2 có vtcp lần lượt là

Góc giữa d1 và d2 cho bởi:

cos(d1,d2) = |cos( )| = 21

21.

dd

dd

aa

aa

V. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẮNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thằng d có vtcp là và mp (P) có vtpt là

Góc giữa d và mp (P) cho bởi:

( )( )®®

®®

®®

=÷øö

çèæ=

na

na

naPd

.

,cos,sin

Bổ sung kiến thức về mặt cầu:

1/ Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mp (P).

Ta có:

(P) tiếp xúc (S) ó d(I,(P)) = R

232

(P) cắt (S) ó d(I,(P)) < R

(P) và (S) không có điểm chung ó d(I,(P)) > R

Chú ý:

*Nếu d(I,(P)) < R thì (P) cắt (S) theo một đường tròn có:

Tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên (P).

Bán kính: r =

*Nếu (P) qua tâm I của (S) thì (P) cắt (S) theo một đường tròn gọi là đường tròn lớn.

Tâm và bán kính của đường tròn lớn cũng là tâm và bán kính của mặt cầu.

*Nếu (P) tiếp xúc (S) thì (P) còn gọi là tiếp diện của (S)

2/ Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆.

Nếu d(I,∆) < R thì ∆ cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.

Nếu d(I,∆) = R thì ∆ và (S) chỉ có 1 điểm chung M. Khi đó ∆ gọi là tiếp tuyến của (S) tại M và M gọi là tiếp điểm của ∆ và (S).

Nếu d(I,∆) > R thì ∆ và (S) không có điểm chung.

Các dạng toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc) của đường thẳng d biết d là giao tuyến của 2 mặt phẳng α và β.

*Phương pháp:

- Tìm 1 vtcp của d: = [ ]

- Tìm 1 điểm M aÎ ∩ β

- d chính là đường thẳng qua M và có vtcp

233

Ví dụ:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

α: 4x - 2y + 3z = 0 và β: 3x + y + 2z – 5 = 0

Giải:

Ta có: = (4,-2,3), = (3,1,2) => = [ ] = (-7,1,10)

Chọn điểm M(1,2,0) aÎ ∩ β

=> d:

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d.

* Phương pháp 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp của d.

* Phương pháp 2:

- Tìm 2 mặt phẳng α và β khác nhau cùng qua d.

- d = α ∩ β

Ví dụ1:

Cho đường thẳng d: và mặt phẳng α:

2x – y + 3z - 6 = 0

Viết phương trình đường thẳng ∆ qua giao điểm A của d và α và

song song đường thẳng d’:

Giải:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

234

ó ó

=> A(-3,-6,2)

∆ // d’ => = = (4,-3,1) => ∆:

Ví dụ 2: Cho 2 điểm A(2,0,-3), B(4,-2,-1) và mp (P): x + y + 2z + 4 = 0

Viết phương trình đường thẳng d nằm trên (P) sao cho mọi điểm của d cách đều A và B.

Giải:

Gọi (Q) là mp trung trực của AB => d = (P) ∩ (Q)

Trung điểm của AB: I(3,-1,-2), Q = = (2,-2,2) = 2(1,-1,1)

=> (Q): 1(x-3) – 1(y+1) + 1(z+2) = 0 ó x – y + z – 2 = 0

Ta có: d = [ P , Q] = 2(3,1,-2)

Chọn điểm M(-1,-3,0) Î (P) ∩ (Q)

=> d:

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và đường thẳng d

Phương pháp:

- Tìm A Î d và d.

- (P) là mặt phẳng qua M (hay qua A) và có P = [ , d]

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0,-1,3) và đt d:

22

211

--

==+ zyx

235

Giải:

Chọn A(-1,0,2) Î d, d = (1,2,-2)

= (1,-1,1) => P = [ , d] = (0,3,3) = 3(0,1,1)

=> (P): 1(y+1) + 1(z-3) = 0 ó y + z -2 = 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc đường thẳng d.

Phương pháp:

(P) là mặt phẳng qua M và có P = d

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(2,1,4) và vuông góc đường thẳng

d:

Giải:

Ta có: P = d = (3,6,3) = 3(1,2,1)

=> (P): 1(x-2) + 2(y-1) + 1(z-4) = 0 ó x + 2y + z – 8 = 0

Dạng 5: Chứng minh 2 đường thẳng d1 và d2 chéo nhau

Phương pháp:

- Tìm A Î d1, B Î d2 và ,

- Chứng minh: [ , ]. ≠ 0

Ví dụ:

Cho 2 đường thẳng d1: ;

d2:

236

Tìm m để d1 và d2 chéo nhau.

Giải:

Chọn A(1,m,1-m) Î d1, = (m,2,-3)

B(m,0,1-m) Î d2, = (-2,m,1)

Ta có: [ , ]. = 4m2 – 7m -2

Do đó:

d1 và d2 chéo nhau ó [ , ]. ≠ 0 ó 4m2 – 7m – 2 ≠ 0 ó

m ≠ 2 và m ≠

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d1 và song song đường thẳng d2 (d1 và d2 chéo nhau)

Phương pháp :

- Tìm A Î d1 và , .

- (P) là mặt phẳng qua A và có = [ , ]

Áp dụng:

Tính khoảng cách giữa d1 và d2:

Phương pháp 1:

d(d1,d2) = d(B,(P)) với B là điểm bất kỳ thuộc d2.

Phương Pháp 2:

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

* Chú ý:

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AB và CD:

d(AB,CD) =

237

Ví dụ: Cho 2 đường thẳng: d1 d2 =

a/ Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d1 và song song d2

c/ Tính khoảng cách giữa d1 và d2

Giải:

a/ Chọn A(0,2,3) Î d1, = (1,1,-1): ;

B(-3,-1,0) Î d2, = (-1,2,3)

Ta có: [ , ]. = -18 ≠ 0 => d1 và d2 chéo nhau.

b/ = [ , ] = (5,-2,3)

=>(P): 5x – 2(y-2) +3(z-3) = 0 ó 5x – 2y + 3z – 5 = 0

c/ d(d1,d2) = d(B,(P)) = =

Cách khác: (sử dụng công thức)

d(d1,d2) = =

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và vuông góc α.

Phương pháp

- Tìm A Î d, và .

- (P) là mặt phẳng qua A và có = [ ]

Ví dụ:

Cho 3 mặt phẳng:

α: x – 2y + 3z – 4 = 0

238

β: 3x + y – z – 1 = 0

γ: x – 2y + 5 = 0

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng α, β và vuông góc mặt phẳng γ.

Giải:

Ta có: = ( 1, -2, 3 ), bn = ( 3, 1, -1 ), ®

gn = ( 1, -2, 0 )

Gọi d = α ∩ β => = [ , ] = (-1,10,7)

= [ ] = (14,7,-8)

Chọn M(0,7,6) Î α ∩ β

=> (P): 14x + 7(y-7) – 8(z-6) = 0 ó 14x + 7y – 8z – 1 = 0

Dạng 8: Viết phương trình đường vuông góc chung d của 2 đường thẳng chéo nhau d1 và d2.

Phương pháp 1:

- Gọi M = d ∩ d1, N = d ∩ d2.

- d là đường vuông góc chung của d1 và d2 nên:

- Từ điều kiện trên ta tìm được tọa độ của M,N Þ pt của d.

Phương pháp 2:

- d có vtcp = [ ]

- Gọi α ≡ (d,d1); β ≡ (d,d2)

α qua A Î d1 và có = [ ]

β qua B Î d2 và có = [ ]

- d = α ∩ β

239

Trường hợp đặc biệt:

Nếu d1, d chéo nhau và vuông góc nhau thì đường vuông góc chung d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

Mặt phẳng α chứa d1 và ^ d2.

Mặt phẳng β chứa d2 và ^ d1.

Ví dụ1:

Cho 2 đường thẳng d1: ; d2:


b/ Viết pt đường vuông góc chung d của d1 và d2.

c/ Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Giải:

a/ Chọn A(1,0,-5) Î d1, = (1,0,1); B(0,4,5) Î d2,

= (0,-2,3)

Ta có: [ ]. = -36 ≠ 0 => d1 và d2 chéo nhau

b/ Gọi M = d ∩ d1 , N = d ∩ d2.

=> M(1+t,0,-5+t), N(0,4-2t’,5+3t’)

= (1,0,1), = (0,-2,3), = (-1-t,4-2t’,10+3t’-t)

d là đường vuông góc chung của d1 và d2 nên:

240

ó ó

=> M(4,0,-2), N(0,6,2), = 2(-2,3,2)

=> d: 2

232

4 +==

-- zyx

c/ d(d1,d2) = MN = 2

Ví dụ2:

Cho 2 đường thẳng d1: ; d2:

a/ Chứng minh d1 và d2 không cắt nhau nhưng vuông góc nhau.

b/ Viết pt đường vuông góc chung d của d1 và d2.

Giải:

a/ Chọn A(1,2,0) Î d1, = (1,-1,2)

B(-2,-1,0) Î d2, = (-2,0,1)

Ta có:

=> d1,d2 không cắt nhau và vuông

góc nhau.

b/ Gọi α là mp đi qua d1 và vuông góc d2; β là mp đi qua d2 và vuông góc d1.

=> d = α ∩ β

α qua A , = = (-2,0,1)

=> α: -2x + z + 2 = 0

β qua B, =

241

=> β: x – y + 2z +1 = 0

= [ , ] = (1,5,2)

Chọn điểm M(0,-3,-2) Î α ∩ β

=> d:

Dạng 9: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng ∆.

Phương pháp 1:

Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện:

îíì

=

DÎ

D 0.aMH

H

Phương pháp 2:

-Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và ^ ∆

- H= (P) ∩ ∆

Áp dụng:

1/ Tìm điểm đối xứng M’ của M qua ∆:

Do H là trung điểm MM’ nên:

2/ Tính khoảng cách từ điểm M đến ∆:

Phương pháp 1:: d(M, ∆) = MH

Phương pháp2: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng.

Chú ý: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB:

242

d(M,AB) =

Ví dụ 1:

Cho đường thẳng ∆: và điểm M(2,-1,3)

a/ Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên ∆

b/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua ∆

c/ Tính khoảng cách từ M đến ∆

Giải

a/ Chọn A(1,2,0) Î ∆ và = (2,-1,3)

H Î ∆ => H(1+2t,2-t,3t) => = (2t-1,3-t,3t-3)

Ta có:

. = 0 ó t = 1 => H(3,1,3)

b/ Do H là trung điểm MM’ nên:

=>M’(4, 3, 3)

c/ d(M, ∆) = MH = =

Cách khác : (Sử dụng công thức):

d(M, ∆) =

= (-6, 3, 5)

d(M, ∆) = =

243

Ví dụ 2:

2 điểm A(2, 0, 0), B(0, 0, 8) và điểm C sao cho = (0, 6, 0)

a/ Tìm hình chiếu H của C trên đương thẳng AB

b/ Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA

Giải:

a/ Gọi C(x, y, z) => = ( x – 2, y, z) = ( 0, 6, 0) ó

=>C( 2, 6, 0)

Đường thẳng AB qua A và có vtcp = (-2, 0, 8) = 2( -1, 0, 4)

=>AB:

H Î AB => H( 2 – t, 0, 4t) => = (-t, -6, 4t)

Ta có: . = 0 ó t = 0 => H( 2, 0, 0) ≡ A

b/ Ta có: I(1, 3, 4); = (0, 8, -6)

d (I, OA) = = = 5

Dạng 10: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên mặt phẳng (P).

Phương pháp 1:

- Viết phương trình đường thẳng d qua M và ^ mặt phẳng (P)

- H = d ∩ (P)

Phương pháp 2:

Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện:

244

Áp dụng:

Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P)

Phương pháp:

Sử dụng công thức H là trung điểm MM’ suy ra tọa độ M’

Ví dụ:

Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z – 1 = 0 và điểm M(2, -1, 5)

a/ Tìm hình chiếu H của M trên (P)

b/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (P)

Giải:

a/ Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc (P) => = = (1, 2, -1)

=>d:

Ta có: H = d ∩ (P)

Thay (1) vào pt của (P): 2 + t – 2 + 4t – 5 + t – 1 = 0Û t=1

=>H (3, 1, 4)

Cách khác:

H Î (P) => H (x, y, x + 2y – 1) => = (x – 2, y + 1, x + 2y – 6)

Ta có:

cùng phương Û = =

ó ó Þ H( 3, 1, 4 )

245

b/ H là trung điểm MM’ nên:

ïî

ïí

ì

=-==-==-=

¢

¢

¢

32

32

42

MHM

MHM

MHM

zzz

yyy

xxx

=> M’ (4, 3, 3)

Dạng 11:

Tìm hình chiếu vuông góc d’ của đường thẳng d trên mặt

Phương pháp1:

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua d và ^ (P)

d’ = (P)∩(Q)

Phươg pháp2:

Tìm A = d ∩ (P)

Tìm hình chiếu B’ của B Î d (B khác A) trên

d’ là đường thẳng qua 2 điểm A, B’

Ví dụ 1: Tìm hình chiếu của đường thẳng d: = =

trên mặt phẳng (Oxy)

Giải:

Lấy 2 điểm A(1, -1, 2), B(3, 0, 3) thuộc d

A, B có hình chiếu trên (Oxy) lần lượt là A’(1, -1, 0), B’(3, 0, 0)

Hình chiếu của đường thẳng d trên mp (Oxy) là đt A’ B’

= (2, 1, 0)

=> A’B’ :

246

Ví dụ 2:

Cho 2 điểm A(2, -1, 3), B(3, 0, 2) và mặt phẳng (P): x – 2y + z – 7 = 0. Viết pt hình chiếu của đường thẳng AB trên (P)

Giải:

* Cách 1:

= (1, 1, -1), = (1, -2, 1)

là mp qua A, B và ^ (P)

= = (-1, -2, -3) = - (1, 2, 3)

(Q): x + 2y + 3z – 9 = 0

ình chiếu của đường thẳng AB trên (P) là đường thẳng d’ = (P)∩(Q)

'da = [ ]QP nn , = (8, 2, -4) = 2(4, 1, -2)

điểm A(2,-1, 3) Î (P) ∩(Q)

d’:

*

Nhận thấy đường thẳng AB cắt (P) tại A vì AÎ (P).

Gọi B’ là hình chiếu của B trên (P) => đường thẳng AB’ là hình chiếu của đường thẳng AB trên (P).

Ta có: B’ Î (P) => B’ (x, y, -x + 2y + 7) => = (x – 3, y, -x + 2y + 5)

cùng phương ó = =

ó Þ B’ ( , - , )

247

= ( , , - ) = (4, 1, -2)

AB’:

Dạng 12:

Viết pt mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B và thỏa điều kiện cho sẵn

Phương pháp:

- Gọi = (a, b, c) (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

- (P) qua A => (P): a(x – xA) + b(y – yA) + c(z – zA) = 0

ó ax + by +cz - axA - byA – czA = 0

- B Î (P) => axB + byB + czB - axA - byA – czA = 0 (*)

- Dùng điều kiện (*) và điều kiện cho sẵn tìm được a, b, c => pt của (P)

Chú ý:

Có thể thay điều kiện (*) bởi điều kiện = 0

Ví dụ:

Viết pt mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(1, 1, 0), B(2, 0, -1) và tiếp xúc mặt cầu:

(S): x2 + y2 + z2 =

Giải:

(S) có tâm O, bán kính R =

Gọi = (a, b, c) (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

(P) qua A => (P): a(x – 1) + b(y – 1) + cz = 0 ó ax + by + cz – a – b = 0

248

B Î (P) => 2a – c – a – b = 0 => c = a-b

Ta có:

(P) tiếp xúc (S) ó d(O,(P)) = R ó =

ó a2 + b2 + 4ab – c2 = 0 ó a2 + b2 + 4ab – (a – b)2 = 0

ó 6ab = 0ó a = 0 v b = 0

a = 0 => c = -b

(P): by – bz – b = 0 ó y – z – 1 = 0

(ta phài có b ≠ 0 vì nếu b = 0 => a = b = c = 0: mâu thuẩn)

b = 0 => c = a

(P): ax + az – a = 0 ó x + z – 1 = 0

Dạng 13:

Viết pt mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và thỏa điều kiện cho sẵn.

* Phương pháp1:

Tìm 2 điểm A, B Î d => A, B Î (P) (dạng 12)

* Phương pháp2;

- Tìm điểm A Î d và

- Gọi = (a, b, c) (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

- (P) qua A => (P): a(x – xA) + b(y – yA) + c(z – zA) = 0

- Dùng điều kiện . = 0 và điều kiện cho sẵn tìm được a, b, c => pt của (P)

Ví dụ:

Viết pt mặt phẳng (P) đi qua trục Oz và hợp với mặt phẳng

(Q): 2x + y - z = 0 góc 600

249

Giải:

Gọi = (a, b, c) (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

Oz có vtcp = (0, 0, 1); = (2, 1, - )

Ta có:

ó c = 0

ó =

ó 10.

222 ba

ba

+

+= ( do c = 0)

ó 3a2 + 8ab – 3b2 = 0 ó a = v a = -3b.

1/ a = => = ( , b, 0 ) = (1, 3, 0)

(P) qua O => (P): x + 3y = 0

2/ a = -3b => = ( -3b, b, o) = b(-3, 1, 0)

ð (P): -3x + y = 0

Dạng 14:

Tìm tọa độ tiếp điểm M của tiếp diện (P) và mặt cầu (S) tâm I * Phương pháp 1: -Viết pt đường thẳng d qua I và ^ (P - M = d ∩ (P) * Phương pháp 2; Tìm tọa độ điểm M từ điều kiện:

250

Ví dụ: Viết pt mặt cầu (S) tâm I (1, 2, 3) và tiếp xúc mặt phẳng (P): 3x –

4y – 10 = 0. Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và (P) Giải:

Bán kính của (S): R = d(I,(P)) = = 3

=>(S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9 Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và (P): * Cách 1: Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc (P) => = = (3, -4, 0)

=> d:

Gọi M = d ∩ (P) => M chính là tiếp điểm của (S) và (P) M Îd => M ( 1 + 3t, 2 – 4t, 3 )

M Î(P) => 3 + 9t – 8 + 16t – 10 = 0 ó t =

Vậy M ( , - , 3 )

* Cách 2: Gọi M là tiếp điểm của (S) và(P)

M Î(P) => M (x, , z )

= (x – 1, = (3, -4, 0 )

Ta có:

cùng phương ó = k. ó k

z

x

kx

4

034

183

31

-=

ïïî

ïïí

ì

=-

-=-

ó

251

Vậy M (

Dạng 15: Tìm tọa độ tiếp điểm M của tiếp tuyến d và mặt cầu (S) tâm I

* Phương pháp 1:

Tìm toạ độ điểm M từ điều kiện:

ïî

ïíì

=

Î

0. daIM

dM

* Phương pháp 2:

Tìm tọa độ điểm M từ điều kiện:

Ví dụ: Viết pt mặt cầu (S) tâm I( 1, -2, 3) và tiếp xúc đường thẳng

∆:

Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và ∆.

Giải:

Chọn A(0, 3, 6) và = (-3, 4, 2)

= (1, -5, -3 ), = ( 2, 7, -11)

Bán kính của (S): R = d(I,∆) = = =

=>(S): (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 6

Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và ∆:

* Cách 1:

Gọi M là tiếp điểm của (S) và ∆; M => M (-3t, 3 + 4t, 6 + 2t )

= ( -3t – 1, 4t + 5, 2t + 3)

252

ó = 0 ó t = -1=> M ( 3, -1, 4)

* Cách 2:

ó (-3t – 1)2 + (5 + 4t)2 + (3 + 2t)2 = 6 ó 29t2 + 58t + +29 = 0 ó t = -1 => M (3, -1, 4 )

Cần nhớ các tính chất quan trọng

1/ Cho 2 vectơ không cùng phương và

Nếu đường thẳng d vuông góc với và thì d có 1 vtcp là = [ , ]

2/ Nếu đường thẳng d1 qua điểm A và vuông góc đường thẳng d2 thì d1 nằm trong mặt phẳng qua A và vuông góc d2.

3/ Nếu đường thẳng d1 qua điểm A và cắt đường thẳng d2 thì d1 nằm trong mặt phẳng qua A và d2.

4/ Nếu đường thẳng d qua điểm A và song song mặt phẳng (P) thì d nằm trong mặt phẳng qua A và song song (P).

Chú ý:

Cách tìm giao điểm của 2 đường thẳng d1 và d2 ( d1 chưa biết pt, d2 đã biết pt)

- Tìm 1 mặt phẳng α chứa d1

- Tìm giao điểm M của α và d2: M cũng chính là giao điểm của d1 và d2

Sau đây là các dạng toán thường gặp cần sử dụng các tính chất trên:

Dạng 1: Viết pt đường thẳng ∆ qua điểm A và vuông góc 2 đường thẳng d1, d2.

* Phương pháp:

=> => =

253

∆ là đường thẳng qua A và có vtcp

Ví dụ:

Viết pt đường thẳng ∆ qua điểm A ( -2, 0, 6 ) và vuông góc 2 đường thẳng

d1: ; d2: = =

Giải:

Ta có: = (1, -1, 2), = (2, 1, -3) => = = (1, 7, 3)

=> ∆:

Dạng 2: Viết pt đường thẳng ∆ qua điểm A, nằm trên mặt phẳng (P) (hay song song mặt phẳng (P))và vuông góc đường thẳng d .

* Phương pháp:

- => => ∆ có vtcp là =

- ∆ là đường thẳng qua A và có vtcp

Ví dụ:

Cho đường thẳng d: , mặt phẳng (P): 2x –

5y – 3z + 8 = 0 và điểm A(3, -4, 1)

a/ Viết pt đường thẳng ∆1 qua A, nằm trên (P) và vuông góc d

b/ Viết pt đường thẳng ∆2 qua A, song song mặt phẳng (Oxy) và vuông góc d

Giải:

a/ Ta có: = (2, -1, 3), = (2, -5, -3)

=> = = (-18, -12, 8) =-2(9, 6, -4)

254

=> ∆1:

b/ Mặt phẳng (Oxy) có vtpt = (0, 0, 1)

îíì

^DD

d

Oxy

2

2 )//( => = = (1, 2, 0)

=> :

Dạng 3: Viết pt đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

* Phương pháp 1:

- Tìm mặt phẳng (P) qua A và ^ d1

- Tìm B = (P) ∩ d2

- ∆ là đường thẳng qua 2 điểm A, B.

* Phương pháp 2:

- Gọi B = ∆ ∩ d2

- Tìm tọa độ điểm B từ điều kiện :

®®

1. daAB = 0

- ∆ là đường thẳng qua 2 điểm A, B

Ví dụ:

Cho 2 đường thẳng d1: và d2:

Viết pt đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0, 1, 1), vuông góc đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

255

Giải:

* Cách 1:

Gọi (P) là mp qua A và ^ d1 => = = (3, 1, 1)

=> (P): 3(x – 0) + 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0 ó 3x + y + z – 2 = 0

Gọi B = (P) ∩ d2 => B(-1, 2, 3)

= = (-1, 1, 2) => ∆:

* Cách 2:

Gọi B = ∆ ∩ d2 => B(-1, t, 1+t)

= (-1, t - 1, t); = (3, 1, 1)

Ta có:

∆ ^ d1 <=> = 0 ó -3 + t – 1 + t = 0 ó t = 2

=> = = (-1, 1, 2) => ∆:

Dạng 4: Viết pt đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d.

(Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 3)

*Phương pháp1:

- Tìm mặt phẳng (P) qua A và ^ d.

- Tìm B = (P) ∩ d.

- ∆ là đường thẳng qua 2 điểm A,B.

*Phương pháp2:

- Gọi B = ∆ ∩ d.

- Tìm tọa độ điểm B từ điều kiện:

= 0

256

∆ là đường thẳng qua 2 điểm A,B.

Ví dụ: Cho đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

α: 5x + y + z +2 = 0; β: x – y + 2z + 1 = 0

Viết pt đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2,-1,0), vuông góc và cắt đường thẳng d.

Giải:

Cách 1:

Ta có: = (5,1,1), = (1,-1,2) => = [ ] = (3,-9,-6) = 3(1,-3,-2)

Gọi (P) là mp qua A và ^ d => = = 3(1,-3,-2)

=> (P): 1(x-2) – 3(y+1) – 2z = 0 ó x – 3y – 2z -5 = 0

Gọi B = (P) ∩ d

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ pt:

ó => B(0,-1,-1)

= = (-2,0,-1) => ∆:

Cách 2:

Chọn điểm M(0,-1,-1) Î α ∩ β => d:

Gọi B = ∆ ∩ d => B(t,-1-3t,-1-2t) => = (t-2,-3t,-1-2t)

Ta có:

∆ ^ d ó . = 0 ó t =0 => = = (-2,0,-1)

=>∆:

257

Dạng 5: Viết pt đường thẳng ∆ đi qua điểm A, song song mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d

* Phươg pháp 1:

- Tìm mặt phẳng (Q) qua A và song song (P)

- Tìm B = (Q) ∩ d.


* Phương Pháp 2:

- Gọi B = ∆ ∩ d

- Tìm tọa độ điểm B từ điều kiện:

. = 0


Ví dụ:

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3,-1,-4), cắt trục Oy và song song mặt phẳng (P): 2x + y = 0

Giải:

* Cách 1:

Gọi (Q) là mp qua A và // (P) => (Q): 2x + y + D = 0 (D ≠ 0)

A Î (Q) => 6 – 1 + D = 0 => D = -5 => (Q): 2x + y – 5 = 0

Gọi B = (Q) ∩ Oy => B(0,5,0)

=> = = (-3,6,4) => ∆: 46

53

zyx=

-=

-

* Cách 2:

Gọi B = ∆ ∩ Oy => B(0,t,0)

= = (-3,t+1,4), = (2,1,0)

Ta có: ∆ // (P) ó . = 0 ó -6 + t + 1 = 0 => t = 5

258

=> = (-3,6,4) => ∆:

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2 (d1,d2 chéo nhau; A Ï d1, A Ï d2)

* Phương pháp:

- Gọi α là mp qua A và d1; β là mp qua A và d2; ∆ = α ∩ β

=> ∆ là đường thẳng qua A và có vtcp = [ , ]

- Chứng minh không cùng phương và (tức là ∆ không song song d1 và d2)

=> ∆ là đường thẳng (duy nhất) thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ:

Cho điểm A(1,-1,1) và 2 đường thẳng:

d1: ; d2:


b/ Viết pt đường thẳng qua A và cắt 2 đường thẳng d1, d2.

Giải:

a/ Chọn M(1,0,3) Î d1 và = (2,1,-1)

N(-2,3,0) Î d2 và = (1,-2,1)

Ta có: [ ] = (-1,-3,-5), = (-3,3,-3)

=> [ ]. = 9 ≠ 0 => d1 và d2 chéo nhau.

b/ Gọi α là mp qua A và d1; β là mp qua A và d2; ∆ = α ∩ β

Ta có: = (0,1,2), = (-3,4,-1)

= [ ] = (-3,4,-2), = [ , ] = (2,2,2)

259

=> = [ , ] = (12,2,-14) = 2(6,1,-7)

Nhận thấy không cùng phương với và

=> ∆ là đt thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy: ∆:

Chú ý rằng điều kiện không cùng phương với và là cần thiết, nếu không ∆ chưa chắc cắt cả d1 và d2. Ta xem ví dụ sau:

Cho điểm A(0,-1,2) và 2 đường thẳng:

d1: ; d2:

Chọn M(-2,1,2) Î d1, = (1,3,2)

N(1,-1,1) Î d2, = (1,2,1)

= (3,-2,-1), [ ] = (-1,1,-1)

[ ]. = -5 ≠ 0 => d1,d2 chéo nhau

Gọi α là mp qua A và d1; β là mp qua A và d2; ∆ = α ∩ β

= [ , ] = (4,4,-8); = [ ] = (2,-2,2)

= [ , ] = (-8,-24,-16) = -8(1,3,2) = -8

Ta có cùng phương và không cùng phương

=> ∆ // d1 và ∆ cắt d2.

Rõ ràng ∆ không cắt cả d1 và d2.

Dạng 7: Viết pt đường thẳng ∆ song song đường thẳng d và cắt hai đường thẳng d1, d2.

* Phương pháp 1:

- Gọi α là mặt phẳng qua d1 và //d; β là mặt phẳng qua d2 và // d Þ ∆ = α ∩ β.

260

- ∆ là đường thẳng qua điểm M Î α ∩ β và có vtcp = (nếu M Ï d)

* Phương pháp 2:

- Gọi M = ∆ ∩ d1, N = ∆ ∩ d2

- Tìm tọa độ 2 điểm M,N từ điều kiện:

cùng phương .

- ∆ là đường thẳng qua M và có vtcp = (nếu MÏ d)

Ví dụ:

Viết pt đường thẳng ∆ song song trục Ox và cắt 2 đường thẳng:

d1: ; d2:

Giải

Cách 1:

Chọn A(0,0,1) Î d1, = (1,2,3)

B(2,-1,-1) Î d2, = (-1,3,2)

Gọi α là mp qua d1 và // Ox

β là mp qua d2 và // Ox

Gọi ∆ = α ∩ β ; Ox có vtcp ®

i = (1,0,0)

= [ , ] = (0,3,-2) => α: 3y – 2z + 2 =0

= [ , ] = (0,2,-3) => β: 2y – 3z – 1 = 0

Chọn điểm M(0, , ) Î α ∩ β; MÏ Ox

Þ∆ là đt qua M và có = = (1,0,0) => ∆:

261

Cách 2:

Pt tham số của d1, d2:

d1: ; d2:

Gọi M = ∆ ∩ d1, N = ∆ ∩ d2 =>

M(t,2t,1+3t), N(2-t’,-1+3t’,-1+2t’)

= (-t’-t+2,3t’-2t-1,2t’-3t-2); Ox có vtcp = (1,0,0)

∆ // Ox nên:

cùng phương ó = k ó

ó

ïïï

î

ïïï

í

ì

-=¢

-=

=

5154

3

t

t

k

=> M( ) , MÏ Ox

=>∆:

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2.

Ta có thể coi bài toàn này thuộc dạng 7:

Viết phương trình đường thẳng ∆ song song đường thẳng d (có vtcp = ) và cắt 2 đường thẳng d1, d2.

262

Ví dụ: (ĐH.07A)

Cho 2 đt d1: ; d2:


b/ Viết phương trình đường thẳng vuông góc mp (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt 2 đường thẳng d1,d2.

Giải:

a/ d1 có pt tham số:

Chọn A(0,1,-2) Î d1 ; = (2,-1,1)

B(-1,1,3) Î d2 ; = (2,1,0)

[ , ] = (-1,2,4) ; = (-1,0,5)

=> [ ]. = 21 ≠ 0 => d1, d2 chéo nhau.

b/ Gọi M = d ∩ d1, N = d ∩ d2.

=> M(2t’, 1-t’, -2+t’), N(-1+2t,1+t,3)

= (2t-2t’-1,t+t’,5-t’); = (7,1,- 4)

Ta có:

d ^ (P) ó cùng phương ó

ó ó =>M(2,0,-1)

d là đt qua M và có = = (7,1,-4)

=> d:

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2.

263

* Phương pháp:

- Tìm A = (P) ∩ d1; B = (P) ∩ d2.


Ví dụ:

Cho mặt phẳng (P): x – y + 2z – 7 = 0 và 2 đường thẳng:

d1: ; d2: ïî

ïí

ì

=

¢+=

¢-=

3

24

2

z

ty

tx

a/ Viết pt đường thẳng ∆1 nằm trên (P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2.

b/ Viết pt đường thẳng ∆2 cắt 2 đường thẳng d1, d2, biết ∆2 nằm trên mặt phẳng qua điểm M(-2,1,-1) và song song mặt phẳng (P).

Giải:

a/ Gọi A = (P) ∩ d1, B = (P) ∩ d2

Dễ dàng tìm được : A(0,1,4), B(3,2,3)

=> = = (3,1,-1) => ∆1:

b/ Gọi (Q) là mp qua M và // (P)

=> (Q): x – y + 2z + 5 = 0

Gọi C = (Q) ∩ d1, D = (Q) ∩ d2

Dễ dàng tìm được: C(2,-1,-4), D(-1,10,3)

Þ = = (-3,11,7)

=> ∆2:

Các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Các phương pháp thường sử dụng:

264

Phương pháp 1: Sử dụng khảo sát hàm số

Ví dụ: (ĐH.07D)

Cho 2 điểm A(1,4,2), B(-1,2,4) và đường thẳng ∆:

a/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của ∆OAB và vuông góc mặt phẳng (OAB)

b/ Tìm tọa độ điểm M Î ∆ sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất

Giải:

a/ Trọng tâm G(0,2,2)

= [ , ] = (12,-6,6) = 6(2,-1,1)

=> d:

b/ Ta có ∆: ; M Î ∆ => M(1-t,-2+t,2t)

MA2 + MB2 = 12t2 – 48t +76

Xét hs f(t) = 12t2 – 48t +76

f’(t) = 24t – 48 ; f’(t) = 0 ó t = 2

t -∞ 2 +∞

f’(t) - 0 +

f(t) +∞ +∞

28

Do đó: MA2 + MB2 nhỏ nhất ó f(t) nhỏ nhất ó t = 2

Vậy M(-1, 0, 4)

265

Cách khác:

MA2 + MB2 = 12t2 – 48t +76 =12(t2-4t+ )

= 12[(t-2)2 + ] = 12(t-2)2 + 28 ≥ 28 " t

Do đó:

MA2 + MB2 nhỏ nhất ó dấu “ = ” xảy ra ó t = 2 => M(-1,0,4)

Phương pháp 2: Sử dụng tam giác vuông

Cần nhớ: Cho ∆ABC vuông tại B. Ta có:

AB ≤ AC, BC ≤ AC

Ví dụ 1: (ĐH.08A)

Cho điểm A(2,5,3) và đường thẳng d:

a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d.

b/ Viết phương trình mặt phẳng α chứa d sao cho khoảng cách từ A đến α lớn nhất.

Giải:

a/ d: ; = (2,1,2)

Gọi H là hình chiếu của A trên d => H(1+2t,t,2+2t)

=> = (2t-1,t-5,2t-1)

Ta có:

. = 0 ó t = 1 => H(3,1,4)

266

b/ Gọi K là hình chiếu của A trên α => AK = d(A,α)

∆AKH vuông : AK ≤ AH (không đổi)

Do đó:

AK lớn nhất ó AK = AH ó K ≡ H

Vậy mp α thỏa ycbt khi α qua H và nhận = (1,-4,1) làm vtpt

=> α: (x-3) – 4(y-1) + 1(z-4) = 0 ó x – 4y +z – 3 = 0

Ví dụ 2: (ĐH.09B)

Cho mặt phẳng (P): x – 2y +2z – 5 = 0 và 2 điểm A(-3,0,1), B(1,-1,3)

Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), hãy viết pt đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

Giải:

Gọi ∆ là đt qua A và // (P) => ∆ nằm trong mp (Q) qua A và // (P)

(Q): x – 2y + 2z + D = 0 (D ≠ -5)

A Î (Q) => -3 + 2 + D = 0 => D = 1 => (Q): x – 2y + 2z + 1 = 0 Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B trên ∆, (Q) => d(B,∆) =BH

∆BKH vuông: BH ≥ BK (không đổi)

Do đó:

BH nhỏ nhất ó BH = BK ó H ≡ K

Vậy đt ∆ thỏa ycbt khi ∆ qua 2 điểm A,K => =

K Î (Q) => K(2y – 2z – 1,y,z) => = (2y–2z–2, y+1,z-3)

cùng phương ó ó

267

=> K( ) => = (26,11,-2)

=> ∆:

Phương pháp 3: Sử dụng tam giác thường

Cần nhớ: Cho ∆ABC. Ta có:

AB + AC ≥ BC

|AB - AC| ≤ BC

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: và 2 điểm

A(1,2,-1), B( 7,-2,3 )

a/ Chứng minh 2 đường thẳng d và AB cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết pt mặt phẳng ấy.

b/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d và AB.

c/ Tìm tọa độ điểm M Î d sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Giải:

a/Ta có d:

= (3,-2,2), = (6,-4,4) = 2 và A Ï d

=> d // AB => d và AB cùng nằm trong mp α

Chọn C(-1,2,2) Î d

Ta có: = [ ] = (6,13,4)

=> α: 6(x-1) + 13(y-2) + 4(z+1) = 0 ó 6x + 13y + 4z -28 = 0

b/ Vì d // AB nên:

d(d,AB) = d(A,d) = =

268

c/ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d. Ta có:

MA = MA’ => MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B

Do đó:

MA + MB nhỏ nhất ó MA’ + MB nhỏ nhất

ó dấu “ = ” xảy ra

ó M ≡ Mo = A’B ∩ d Gọi H = AA’ ∩ d => H(-1+3t,2-2t,2+2t)

=> = (3t-2,-2t,2t+3)

. = 0 ó t = 0 => H(-1,2,2) (chính là điểm C)

H là trung điểm AA’ => A’(-3,2,5)

Mo là trung điểm A’B => Mo(2,0,4)

Vậy M(2,0,4)

Ví dụ 2:

Cho 2 điểm A (2, 1, 3), B (-1, 4, -5). Tìm tọa độ điểm M Î mặt phẳng (Oxy) sao cho lớn nhất

Giải:

Nhận xét: A và B nằNhận xét : A và B nằm khác phía đối với mp (Oxy) vì zA.zB < 0

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua mp (Oxy) => A’ (2, 1, -3)

Ta có:

MA = MA’ => = ≤ A’B

Do đó:

lớn nhất ó lớn nhất

269

ó Dấu “ = “ xảy ra

ó M ≡ Mo = A’B ∩ (Oxy)

Mo Î (Oxy) => Mo (x, y, 0)

= (-3, 3, -2), = (x – 2, y – 1, 3)

Ta có:

Mo, A’, B thẳng hàng ó cùng phương

ó ó

=> Mo ( )

Vậy M ( )

Phương pháp 4: Sử dụng bất đẳng thức

Ta có thể sử dụng định nghĩa về GTLN, GTNN; các bất đẳng thức Cauchy, C.B.S,… để chứng minh.

Ví dụ 1:

Cho 2 điểm A (4, -6, 3), B (5, -7, 3). Tìm điểm M Î Oz để khoảng cách từ M đến đường thẳng AB nhỏ nhất.

Giải:

Ta có: M Î Oz => M (0, 0, z)

= (-4, 6, z-3), = (1, -1, 0), = (z – 3, z – 3, -2)

d(M, AB) = = ≥ " z

( M, AB) nhỏ nhất ó d(M, AB) = ó z = 3

270

M (0, 0, 3)

Ví dụ 2:

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (2, 1, 4) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Giải:

Gọi A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c) (a, b, c > 0)

=> (P): = 1 ; M Î(P)=>

Thể tích tứ diện OABC: V = abc

Ta có:

1 = ≥ 3 = (bđt Cauchy)

ó abc ≥ 216 => V ≥ 36

Do đó:

V nhỏ nhất ó Dấu “=” xảy ra ó

ó

Þ (P):

Giải toán Hình không gian bằng phương pháp tọa độ Phương pháp:

- Tìm 3 đường thẳng đôi một vuông góc mhau tại một điểm (ví dụ O).

271

- Chọn hệ trục tọa độ có gốc là O và 3 trục tọa độ nằm lần lượt trên 3 đường thẳng đó.

- Xác định tọa độ của các điểm cần tìm rồi dùng các công thức và các tính chất của hình học trong không gian Oxyz để giải .

Chú ý: Nếu chỉ có 2 đường thẳng vuông góc nhau thì ta vẽ thêm 1

đường thẳng nữa sao cho 3 đường thẳng này tạo nên một hệ trục tọa độ .

Ví dụ 1(ĐH.09A): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và D ; AB=AD=2a CD=a ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trng điểm AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Giải:

Diện tích hình thang ABCD:

S ABCD = 232)2(21

)(21

aaaaADCDAB =+=+

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc (ABCD) nên: SI ^ (ABCD)

Vẽ đường thẳng: Iy//AB. Ba đường thẳng IA,Iy,IS đôi một vuông góc nhau tại I. Chọn hệ trục tọa độ Ixyz như hình vẽ.

Gọi S(0,0,z) (z>0) .Ta có: B(a,0,0) , C(-a,a,0). Mp(SBC) có vtpt:

[ ]== BSBCn , (-az,2az,3a 2 )

Mp(ABCD) có vtpt =k (0,0,1) Ta có:

cos((SBC),(ABCD)) = cos60 0

21

94

321.

42222

2

=++

Û=Ûazaza

a

kn

kn

272

=Þ=Û=Û SIa

za

z5

1535

27 22

5153a

Thể tich khối chóp: V=5

1535

153.3.

31

.31 3

2 aaaSIS ABCD ==

Ví dụ 2 (ĐH.09D): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

vuông tại B, AB=a, AA’=2a , A’C=3a. Gọi M là trung điểm A’C’ , I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cánh từ A đến mp(IBC)

Giải: *Thể tích tứ diện IABC: AC 222222 549'' aaaAACA =-=-=

5aAC =Þ BC 222222 45 aaaABAC =-=-=

aBC 2=Þ Diện tích tam giác ABC:

S ABC = 2.21

aBCAB =

Ba đường thẳng AB, BC, BB’ đôi một vuông góc nhau tại B. Chọn hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ. Ta có:

A(a,0,0), A’(a,0,2a), C(0,2a,0), C’(0,2a,2a), B(0,0,0)

M là trung điểm A’C’ nên M( )2,,2

aaa

ïï

î

ïï

í

ì

==

-=

Þ-=atz

aty

ta

ax

AMaaa

AM

2

2:)2,,

2(

273

ïî

ïí

ì

-=+=

-=Þ--=

'2

'22

'

:')2,2,('

atz

atay

atx

CAaaaCA

I=AM (' ICA ÞÇ )3

4,

32

,3

2 aaa

Þd(I,(ABC))=3

4a

Thể tích tứ diện IABC:

V= =))(,(.31

ABCIdS ABC 94

34

..31 3

2 aaa =

* Khoảng cách từ A đến (IBC):

Mp(IBC) có vtpt [ ] )1,0,2(3

4)

34

,0,3

8(,

223

--=-==aaa

BCBIn

Þ (IBC): 2x-z=0 Þ d(A,(IBC)) = 5

2a

Ví dụ 3 (ĐH.08A): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC

là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.

Giải:

* Thể tích khối chóp A’.ABC:

Ta có: BC= 2a, AH=2

BC= a, A’H=a 3

V=2

'...21

.31

'.31 3a

HAACABHASABC ==

* Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’và B’C’:

Vẽ đường thẳng Az vuông góc mp(ABC).

274

Ba đường thẳng AB, AC, Az đôi một vuông góc nhau tại A. Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ.

Ta có: BC//B’C’Þ (AA’,B’C’) = (AA’,BC)=a

A(0,0,0), B(a.0.0), C(0,a 3 ,0), A’( )3,2

3,

2a

aa

)3,2

3,

2(' a

aaAA = , )0,3,( aaBC -=

Do đó: cos41

3.34

34

23

2

'.

.'

22222

22

=

+++

+-==

aaaaa

aa

BCAA

BCAAa

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Cho 2 đường thẳng d1: ;

d2:

a/ Viết pt đường thẳng ∆1 song song Ox và cắt 2 đường thẳng d1, d2.

b/ Viết pt đường thẳng ∆2 vuông góc mặt phẳng (Oxz) và cắt 2 đường thẳng d1, d2.

c/ Viết pt đường thẳng ∆3 nằm trên mặt phẳng α: 25x -3y + 11z = 0 và cắt 2 đường thẳng d1, d2.

d/ Gọi AB là đường vuông góc chung của d1 và d2 ( A Î d1, B Î d2 ). Viết pt mặt cầu (S) đường kính AB.

Giải

a/ pt tham số của d1, d2

d1: ; d2:

Gọi M = ∆1 ∩ d1, N = ∆1 ∩ d2 => M (t, 2 - t, -4 + 2t), N (-8 + 2t’, 6 + t’, 10 – t’)

275

= (2t’ – t – 8, t’ + t + 4, -t’ – 2t + 14) ; Ox có vtcp i =(1,0,0)

Vì t 1 // Ox nên:

cùng phương ó = k. ó

ó ïî

ïí

ì

-=¢=-=

22

18

70

t

t

k

=> M (18, -16, 32); = = (1, 0, 0); M Ï Ox.

=> ∆1:

b/ Gọi C = ∆2 ∩ d1, N = ∆2 ∩ d2 => C (t, 2 – t, -4 + 2t), D (-8 + 2t’, 6 + t’, 10 – t’)

= (2t’ – t – 8, t’ + t + 4, -t’ – 2t + 14); (Oxz) có vtpt = (0, 1, 0)

∆2 vuông góc (Oxz) ó cùng phương ó = m ó

ó => C (4, -2, 4); = = (0, 1, 0)

=> ∆2:

c/ Gọi E = α ∩ d1, F = α ∩ d2 => ∆3 là đt qua 2 điểm E, F.

Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ pt:

276

ó

=> E (1, 1, -2)

Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ pt:

ó

=> F (-2, 9, 7)

∆3 là đt qua E và có vtcp = (-3, 8, 9)

Þ∆3:

d/Ta có: A Î d1 Þ A(t, 2 – t, -4 +2t); BÎ d2 Þ B( -8 + 2t’, 6 + t’, 10 – t’ )

®

AB = ( 2t’ – t – 8, t’ + t + 4, - t’ – 2t + 14 )

)2,1,1(1

-=®

da , )1,1,2(2

-=®

da

Đường thẳng AB là đường vuông góc chung của d1 và d2 nên:

îíì

=¢=

Ûîíì

=-¢+=-¢+

Ûïî

ïí

ì

=

=®®

®®

4

2

0266

0166

0.

0.

2

1

t

t

tt

tt

aAB

aAB

d

d

Þ A( 2, 0, 0 ), B( 0, 10, 6 )

(S) có tâm I( 1, 5, 3 ), bán kính R = IA = 359251 =++

Þ (S): ( x – 1 )2 + ( y – 5 )2 + ( z – 3 )2 = 35

277

Bài 2:

Cho 2 mặt phẳng: α: 2x – y + z + 2 = 0 ; β: x + y + 2z – 1 = 0

a/ Chứng minh rằng α và β cắt nhau. Tính góc giữa α và β.

b/ Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến α bằng 3 lần khoảng cách từ M đến β.

c/ Viết pt đường thẳng d đi qua A( 3, 2, -2 ) và song song với 2 mặt phẳng α và β.

d/ Viết pt mặt phẳng (P) đi qua B( 0, 4, -1 ) và vuông góc với 2 mặt phẳng α và β.

Giải

a/ Ta có: 11

12 -¹ Þ α và β cắt nhau.

®

an = ( 2, -1, 1 ) ; ®

bn = ( 1, 1, 2 )

cos(α, β) = 21

6.6

3

.

.==

®®

®®

ba

ba

nn

nnÞ 060),( =ba

b/ MÎ Ox Þ M( m, 0, 0 )

Ta có:

d(M,α) = 3d(M,β)

51

513226

13

6

22=Ú=Û-=+Û

-=

+Û mmmm

mm

Vậy có 2 điểm M: M( 5, 0, 0 ) và M ÷øö

çèæ 0,0,

51

c/ d // α và d // β Þ úûù

êëé=

®®®

ba nnad , = ( -3, -3, 3 ) = -3( 1, 1, -1 )

278

Þ d: 12

12

13

-+

=-

=- zyx

d/ (P) ^ α và (P) ^ β => ®

pn = úûù

êëé ®®

ba nn , = -3(1, 1, -1)

=> (P): 1(x – 0) + 1(y – 4) – 1(z + 1) = 0 ó x + y – z -5 = 0

Bài 3: Cho 2 điểm A (0, 0, -3), B (2, 0, -1) và mặt phẳng (P): 3x – 8y + 7z – 1 = 0

a/ Tìm điểm C Î (P) sao cho ∆ABC vuông cân tại C

b/ Tìm điểm D Î (P) sao cho ∆ABD nhận điểm G ( làm

trọng tâm.

c/ Tìm điểm E thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Oxz) sao cho ∆ABE có diện tích bằng 4.

d/ Tìm điểm F Î (P) sao cho đường thẳng IF song song đường thẳng

d: biết I là trung điểm của AB.

Giải:

a/ Ta có: C Î (P) => 3x – 8y + 7z -1 = 0 (1)

= (x, y, z + 3); = (x – 2, y, z + 1)

∆ABC vuông cân tại C ó ó

ó

(1) và (2) cho : z = - x- 1, y =

279

Thay vào (3):

x(x – 2) + 2 + (- x + 2)(-x) = 0

ó 9x2 - 12x + 4 = 0 ó x = => y = - , z = -

Vậy C ( , - )

b/ Ta có: D Î (P) => D (x, y, )

G là trọng tâm ∆ABD nên:

ïî

ïí

ì

=++=++=++

GDBA

GDBA

GDBA

zzzz

yyyy

xxxx

3

3

3

ó

ó

Vậy D (

c/ Ta có:

E Î (P) ∩ (Oxz) => E (x, 0,

= (2, 0, 2); = (x, o, )

=> = (0,

Điều kiện x≠ => SABE = =

Do đó:

SABE = 4 ó = 4 ó x = 5 v x = -

280

Vậy có 2 điểm E: E (5, 0, -2) và E ( - , o, )

d/ Ta có: F Î (P) => F (x, y, 7

183 ++- yx)

I (1, 0, - 2), = (1, 1, 1); = ÷øö

çèæ ++-

-7

1583,,1

yxyx

IF // d ó cùng phương ó 17

1583

111

++-

==-

yxyx

ó îíì

=-=-

153

1

yx

yx ó

îíì

==

6

7

y

x

Vậy F(7, 6, 4)

Bài 4: Cho 2 đường thẳng:

d: ; d’:

Viết phương trình đường thẳng ∆ qua giao điểm M của d và d’, biết ∆ tạo với trục Ox góc 60o và tạo với trục Oz góc 45o

Giải:

Dễ dàng tìm được M (1, 0, -2)

Gọi = (a, b, c) là 1 vtcp của ∆ ( a2 + b2 + c2 ≠ 0)

Vtcp của Ox, Oz lần lượt là = (1, 0, 0), = (0, 0, 1)

Ta có:

ó ó

281

ó ó

Thay (2) vào (1): ó ó a= ±b.

a= - b => = 2b2 óc= ± b => =(-b, b, ± b )=b(-1, 1,± )

(ta phải có b ≠0 vì nếu b = 0 => a=c=0: mâu thuẩn vì a2 + b2 + c2 ≠ 0)

=> ∆:

a=b => =2b2 óc=±b => =(b, b, ±b )=b(1, 1,± )

=> ∆:

Bài 5: Cho đường thẳng d: và điểm A (-1, 0, 2)

Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d và tạo với d góc 30o

Giải:

Gọi B = ∆ ∩ d => B (t, -t, 1 + t)

= =(t + 1, -t, t – 1), =(1, -1, 1)

Ta có:

cos(∆,d) = cos 30o ó =

ó ó 2|t|= ó t= ±

282

t = :

=

=> ∆: 12

2

212

1

--

=-

=++ zyx

t = :

=

=> ∆:

Bài 6: Cho 2 mặt phẳng:

α: x + y + z + 4 = 0; β: x + y + 1 = 0

Viết pt mặt phẳng (P) qua điểm M (-1, 1, 1), vuông góc mặt phẳng α và hợp với mặt phẳng β góc 60o

Giải:

Gọi: ( a2 + b2 + c2 ≠ 0)

Ta có: (1, 1, 1), bn =(1,1,0)

(P) ^ α ó = 0 ó a + b + c = 0 ó c = - a –b

cos (P, β) = cos 60o ó = ó =

ó a2+b2 – c2 + 4ab=0 ó a2+b2 – (a + b)2 + 4ab = 0

ó ab = 0 ó a = 0 v b = 0

a = 0 => c = - b =>

=> (P): 1(y – 1) – 1(z – 1) = 0 ó y – z = 0

b = 0 => c = - a => Rn =(a,0,-a)=a(1,0,-1)

=> (P): 1(x + 1) – 1(z – 1) = 0 ó x – z + 2 = 0

283

Bài 7: Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng d:

.

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua d và hợp với (P) một góc nhỏ nhất.

Giải:

Chọn A (-1, -1, 3) Î d, = (2, 1, 1), = (1, 2, -1)

Gọi = (a, b, c) ( a2 + b2 + c2 ≠ 0)

Ta có: = 0 ó 2a + b + c = 0 ó c = - 2a – b

cos (P,Q)= = =

Hai trường hợp:

1/ a = 0 => b≠0: cos (P,Q)= = =

2/ a ≠ 0: cos (P,Q)=

ab

ab

ab

4256

33

2

2

++

+ =

(t =

=> cos2(P,Q) = = .

Xét hàm số: f(t) = . => f’(t) = .

f’(t) =0 1-=Û t

284

=>O ≤ f(t) < ó O ≤ cos2(P,Q) < ó O ≤ cos(P,Q) <

Hai trường hợp trên cho : O ≤ cos(P,Q) £

Do đó:

(P,Q) nhỏ nhất ó cos (P,Q) lớn nhất ó cos (P,Q)=

=> a = 0 => c = - b => = (0, b, -b) = b(0, 1, -1)

=> (Q): 1(y + 1) – 1(z – 3) = 0 ó y – z + 4 = 0

Bài 8: Cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 1 = 0 và 2 điểm A (1, 0, 2), B(-1, 2, 0)

a/ Tìm điểm C Î (P) sao cho đường thẳng OC qua trung điểm I của AB (O là gốc tọa độ)

b/ Tìm điểm DÎ (P) sao cho đường thẳng ID vuông góc đường

thẳng d: và ID =

c/ Tìm độ dài nhỏ nhất của vectơ + khi M di động trên mặt phẳng (P)

d/ Tìm giá trị nhỏ nhất của MA+MB khi M di động trên mặt phẳng (P)

Giải:

a/ C Î (P) => C (2y – z + 1, y, z) => = (2y – z + 1, y, z)

t -∞ -1 +∞

f’(t) - 0 +

f(t)

0

285

I (0, 1, 1) => = (0, 1, 1)

Đường thẳng OC qua I ó O, C, I thẳng hàng ó = k

ó

ó

Vậy C (0, -1, -1)

b/ D Î (P) => D (2y – z + 1, y, z) => = (2y – z + 1, y - 1, z - 1); = (1, -1, -2)

Do đó:

ó ó

( ) ( ) ( )îíì

=-+-++-

=+-+-+-

111112

022112222 zyzy

zyzy

ó( ) ( ) ( )îíì

=-+-+-

-=

1115375

43222 zzz

zy

ó îíì

=+-

-=

06410235

432 zz

zyó

Vậy có 2 điểm D: D (3, 2, 2) và D ÷øö

çèæ --

3532

,3544

,7

17

c/ Ta có: = 2MI

MI nhỏ nhất ó IM ^ (P)

286

=> Giá trị nhỏ nhất của là: d (I,(P)) = =

d/ Đặt: f(x, y, z) = x – 2y + z -1

=> f(xA, yA, zA). f(xB, yB, zB) = 2(- 6 ) = -12 < 0 => A và B nằm khác phía đối với (P)

Ta có:

MA + MB ≥ AB (không đổi)

Dấu “ = “ xảy ra khi M = AB ∩ (P)

ÞGiá trị nhỏ nhất của MA + MB là AB = = 2

Bài 9:

Cho đường thẳng d: và 2 điểm A (1, 1, 1),

B (1, -5, -2)

a/ Chứng minh 2 đường thẳng AB và d cùng nằm trên 1 mặt phẳng

b/ Tìm tọa độ điểm M Î d sao cho lớn nhất.

Giải:

a/Ta có d:

Chọn M(-1, 2, 1) và N (1, -1, 0) Î d ; = (2, -3, -1)

Ta có:

= (-2, 1, 0), (0, -2, -1), = (0, -6, -3)

=> = (-1, -2, 4)

=> = 12 – 12 = 0

=> A, B, M, N đồng phẳng => AB và d cùng nằm trên 1 mp

287

Cách khác: Pt đường thẳng AB:

Xét hệ pt:

ó

Hệ này có nghiệm duy nhất => d cắt AB tại điểm I(1, -1, 0) => d và AB cùng nằm trên môt mặt phẳng.

b/ Ta có: = (0, 2, 1), = (0, -4, -2) = -2 => A, B nằm khác phía đối với d

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d. Ta có: MA = MA’ => = ≤ A’B Do đó:

lớn nhất ó lớn nhất ó Dấu “ = “ xảy ra ó M≡Mo = d ∩ A’B

Gọi H = AA’ ∩ d => H(-1+2t,2-3t,1-t)

= (-2+2t,1-3t,-t)

. = 0 ó -4 + 4t – 3 + 9t + t = 0 ó t =

=> H(0, )

288

H là trung điểm AA’ => A’(-1,0,0)

Mo Î d => Mo (-1+2t,2-3t,1-t)

= (2t,2-3t,1-t), BA' = (2,-5,-2)

Mo,A’,B thẳng hàng ó cùng phương

ó2

1532

22

--

=--

=tttÛ t = -1

=> Mo(-3,5,2). Vậy M(-3,5,2)


d1: ; d2: 211zyx

==

và mặt phẳng (P): x – y + z = 0

Tìm tọa độ các điểm M Î d1 và N Î d2 sao cho đường thẳng MN // (P) và MN =

Giải:

Ta có: M Î d1 => M(-1-2t,t,1+t)

N Î d2 => N(t’,t’,2t’)

= (1,-1,1), = (t’+2t+1,t’-t,2t’-t-1)

Vì đt MN // (P) và MN = nên:

ó ( ) ( ) ( )îíì

=--¢+-¢+++¢

=--¢++¢-++¢

21212

01212222 tttttt

tttttt

ó( ) ( ) ( )îíì

=++--++

-=¢

2131 222 tttt

ttó

îíì

=+

-=¢

0814 2 tt

tt

ó

289

t = t’ = 0:

M(-1,0,1), N(0,0,0) => MN nằm trên (P) (loại)

t = , t’ = :

M( ), N( )

Bài 11: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

α: 2x – 2y – z + 1 = 0, β: x + 2y – 2z – 4 = 0

Tìm m để d cắt (S) tại điểm M, N sao cho MN = 9

Giải:

(S) có tâm I(-2,3,0), bán kính R = (m < 13)

= [ ] = (6,3,6) = 3(2,1,2)

Chọn A(-2,0,-3) Î α ∩ β

=> d:

Gọi H là hình chiếu của I trên d

=> H(-2+2t, t, -3+2t), HM = =

= (2t, t-3, -3+2t)

. = 0ó t = 1 => H(0,1,-1) => IM2 = IH2 + HM2 =

Mà: R = IM ó R2 = IM2 ó 13-m = ó m = (thỏa đk m

< 13)

Bài 12: Cho 3 điểm A(1,-1,2), B(2,0,3), C(3,2,-1). Viết pt mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng (Oyz) và tiếp xúc mặt phẳng (ABC) tại A.

290

Giải:

Gọi I Î (Oyz) là tâm của (S) => I(0,y,z)

Ta có: = (-1,y+1,z-2), = (1,1,1), = (2,3,-3)

(S) tiếp xúc mp (ABC) tại A nên:

ó ó => I(0, , )

= (-1, , ) => R = | | =

=> (S): 2x + (y + )2 + (z- )2 =


α: mx + y – z – 1 = 0; β: x + my – z – 4 = 0

Định m để giao tuyến của α và β vuông góc đường thẳng ∆:

Giải:

Ta có: = (m,1,-1), = (1,m,-1), = (1,-1,-1)

[ ] = (m-1,m-1,m2-1)

α và β cắt nhau ó [ ] ≠ ó m ≠ 1

Gọi d = α ∩ β => = (m-1,m-1,m2-1)

d ^ ∆ ó . = 0 ó m – 1 – m + 1 – m2 + 1 = 0 ó m = ± 1

Do điều kiện m ≠ 1 nên m = -1

Bài 14: Cho 2 điểm A(2,1,-2), B (0,2,-2) và mặt phẳng α:

x + 3y +2z – 1 = 0

a/ Viết pt mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng AB và vuông góc α

291

b/ Viết pt mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng AB và hợp với mặt phẳng (Oxy) góc 45o

Giải:

a/ Ta có: = (-2,1,0), = (1,3,2)

= [ ] = (2,4,-7)

=> (P): 2x + 4(y-2) – 7(z+2) = 0 ó 2x + 4y – 7z – 22 = 0

b/ Gọi = (a,b,c) (a2 + b2 + c2 ≠ 0), = = (0,0,1)

(Q) đi qua AB => . = 0 ó -2a + b = 0 ó b = 2a

cos((Q),(Oxy)) = cos45o ó = ó

ó 2c2 =

ó c2 = 5a2 ó c = ±a

c = a => = (a,2a,a ) = a(1,2, )

=>(Q): x + 2(y-2) + (z+2) = 0

ó x + 2y + z – 4 + 2 = 0

c = - a => = (a,2a,- a ) = a(1,2,- )

=>x + 2y - z – 4 - 2 = 0

Bài 15: Cho điểm A(-2,4,3) và mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0

a/ Viết pt mặt phẳng (Q) qua A và song song (P). Tính khoảng cách giữa (P) và (Q)

b/ Viết pt mặt cầu (S) tiếp xúc (Q) tại A và tiếp xúc (P)

Giải

a/ (Q) // (P) => (Q): 2x – 3y + 6z + D = 0 (D≠19)

A Î (Q) Þ - 4 - 12 + 18 + D = 0 => D = - 2

292

=> (Q): 2x – 3y + 6z – 2 = 0

d((P),(Q)) = d(A,(P)) =3694

1918124

++

++-- = = 3

b/ Gọi d là đt qua A và ^ (Q) => = = (2,-3,6)

=> d:

Gọi I là tâm của (S) => I Î d => I(-2+2t,4-3t,3+6t)

(S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên:

d(I,(P)) = d(I,(Q)) ó

ó

ó t = 143

-

=> I(7

12,

1465

,7

17- )

Bán kính của (S): R = d((P),(Q)) =

=> (S): (x+7

17)2 + (y -

1465

)2 + (z -7

12)2 =

Bài 16: Cho 2 điểm A(1,-1,0), B(2,0,-1) và mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C Î (P) sao cho mp(ABC) vuông góc mp(P) và ∆ABC có diện tích bằng .

Giải:

Ta có : C Î (P) => C(x,y,-2x-y-1)

= (1,1,-1), = (x-1,y+1,-2x-y-1), = (2,1,1)

293

= [ ] = (-2x, x+y+2,-x+y+2)

(ABC) ^ (P) ó . = 0 ó y = 2x – 2

SABC = |[ ]|

= =

ó 4x2 + (x+y+2)2 + (-x+y+2)2 = 56

ó 14x2 = 56 ó x2 = 4 ó

Vậy có 2 điểm C: C(2,2,-7) và C(-2,-6,9)

Bài 17: Cho 4 điểm: A(3,-1,0), B(0,-7,3) và C(-2,1,-1), D(5,4m-1,m2)

a/ Tìm m để 4 điểm A,B,C,D tạo thành 1 tứ diện có thể tích nhỏ hơn 8.

b/ Tìm tọa độ điểm M Î mặt phẳng (Oxz) sao cho độ dài của vectơ + 2 + 3 nhỏ nhất.

Giải

a/ Bốn điểm A,B,C,D tạo thành 1 tứ diện

ó A,B,C,D không đồng phẳng ó [ ]. ≠ 0

Ta có: = (-3,-6,3), = (-5,2,-1), = (2,4m,m2)

[ , ] = (0,-18,24)

=> [ ]. = -72m+24m2 ≠ 0 ó m ≠ 0 và m ≠ 3

VABCD = |[ ]. | = |4m2 – 12m|

Do đó:

VABCD < 8 ó |4m2-12m| < 8 ó -8 < 4m2 -12m < 8 ó ïî

ïíì

<--

>+-

023

0232

2

mm

mm

294

ó < m < 1 Ú 2 < m <

Do điều kiện m ≠ 0 và m ≠ 3 nên: m Î ( ,1) È

(2, )\{0,3}

b/ M Î (Oxz) => M(x,0,z)

+ 2 +3 = (-3-6x,-12,3-6z)

=> | + 2 + 3 | = ≥ 12 " x,z

Do đó:

| + 2 + 3 | nhỏ nhất ó dấu “ = ” xảy ra ó

ó

Vậy: M( ,0, )

Bài 18: Cho ∆ABC có A(2,-1,6), B(-3,-1,-4), C(5,-1,0)

Tính bán kính của đường tròn nội tiếp ∆ABC

Giải

= (-5,0,-10), = (3,0,-6), = (8,0,4)

= 24 – 24 = 0 => ∆ABC vuông tại C

Gọi p, r lần lượt là nữa chu vi và bán kính của đường tròn nội tiếp ∆ABC

Diện tích ∆ABC:

S= AC.BC = pr => r =

295

AB = 5 , AC = 3 , BC = 4 , p = (AB+AC+BC) = 6

=> r = =

Bài 19: Viết pt chính tắc của đường thẳng ∆ qua A(3,-1,-4), cắt trục Oy và song song mặt phẳng α: 2x + y = 0

Giải:

.Cách 1:

Gọi β là mp qua A và // α và B = β ∩ Oy

=>∆ là đt qua A,B

Ta có:

β // α => β: 2x + y + D = 0 (D ≠ 0)

A Î β => 6 – 1 + D = 0 => D = -5

=> β: 2x + y – 5 = 0

B = β ∩ Oy => B(0,5,0)

= = (-3,6,4)

=> ∆:

.Cách 2: Gọi B = ∆ ∩ Oy => B(0,y,0)

= = (-3,y+1,4), = (2,1,0)

Ta có: ∆ // α ó . = 0 ó -6 + y + 1 = 0 => y = 5 => = (-3,6,4)

=> ∆:

Bài 20: Cho đường thẳng d: và 2 mặt phẳng:

(α): 5x – 4y + z – 6 = 0; (β): 2x – y + z + 7 = 0

296

a/ Gọi A là giao điểm của d và (α). Tìm tọa độ điểm M thuộc (β) sao cho đường thẳng AM vuông góc (α)

b/ Viết pt mặt cầu (S) tâm A, biết (β) cắt (S) theo 1 đường tròn có chu vi bằng π

Giải:

a/ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt:

ó => A(1,0,1)

M Î (β) => M(x,y,-2x+y-7)

= ( x – 1, y, - 2x + y – 8 ), = ( 5, -4, 1 )

Vì AM ^ (α) nên:

cùng phương ó

ó îíì

-=-=+

39511

454

yx

yxó

Vậy M ÷øö

çèæ-

31

,38

,37

b/ Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến

Ta có: 2πr = π => r =

h = d(A,β) =

Gọi R là bán kính của (S): R2 = r2 + h2 =

Vậy (S): (x-1)2 + y2 + (z-1)2 =

297


d: ; d1: ; d2:

Viết pt đường thẳng ∆ song song đường thẳng d và cắt 2 đường thẳng d1,d2.

Giải

Cách 1:

Chọn A(1,0,0) Î d1 và = (2,1,-1)

B(0,-1,0) Î d2 và = (1,-2,3)

Gọi α là mp qua d1 và // d; β là mp qua d2 và // d

=> ∆ = α ∩ β

∆ // d => = = (1,-1,1)

= [ ] = (0,3,3) = 3(0,1,1)

= [ ] = (-1,-2,-1) = -(1,2,1)

α: y + z = 0

β: x + 2(y+1) + z = 0 ó x + 2y + z + 2 = 0

Chọn M(0,-2,2) Î α ∩ β, M Ï d.

=> ∆ qua M và có vtcp = (1,-1,1)

=> ∆:

Cách 2:

Gọi M = ∆ ∩ d1 , N = ∆ ∩ d2

=> M(1+2t,t,-t), N(t’,-1-2t’,3t’)

=> = (t’-2t-1,-2t’-t-1,3t’+t)

Vì ∆ // d nên:

298

cùng phương

ó 1'3

11'2

112' tttttt +

=-

---=

--

ó ó îíì

=¢-=1

1

t

t

=> M(-1,-1,1) và = (2,-2,2) = 2(1,-1,1); M Ï d

=> ∆:

Bài 22: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2my – 4z + m2 -13 = 0 và đt

∆:

Gọi ∆’ là hình chiếu của ∆ trên mặt phẳng (Oyz). Tìm m để ∆’ tiếp xúc (S).

Giải

(S) có tâm I(0,-m,2), bán kính R = =

Lấy 2 điểm trên ∆: A(1,2,-3) và B(-4,3,1)

A và B có hình chiếu trên mp(Oyz) lần lượt là A’(0,2,-3) và B’(0,3,1)

∆’ chính là đường thẳng qua 2 điểm A’,B’ => ∆’ có vtcp = (0,1,4)

Ta có: d(I, ∆’) = =

Do đó:

∆’ tiếp xúc (S) ó d(I, ∆’) = R ó = ó m = 1 Ú m

=

299

Bài 23: Cho mặt cầu (S): (x-1)2 + (y+1)2 + z2 = 11 và 2 đường thẳng:

d1: ; d2:

a/ Viết pt mặt phẳng (P) tiếp xúc (S) và song song với 2 đường thẳng d1, d2

b/ Viết pt đường thẳng ∆ qua tâm của (S) và cắt 2 đường thẳng d1,d2

Giải:

a/ (S) có tâm I(1,-1,0), bán kính R =

Chọn A(0,-1,1) Î d1 và = (1,1,2)

B(-1,0,0) Î d2 và = (1,2,1)

Ta có: = [ ] = (-3,1,1) => (P): -3x + y + z + D = 0

(P) tiếp xúc (S) ó d(I,(P)) = R ó = óD = 15 Ú D = -7

Vậy có 2 mp (P): -3x + y +z + 15 = 0 và -3x +y +z – 7 = 0

b/ Gọi α là mp qua I và d1; β là mp qua I và d2 => ∆ = α ∩ β

Ta có: = [ ] = (-1,3,-1); = [ ] = (1,2,-5)

=> ®

Da = [ ] = (-13,-6,-5); không cùng phương

=> ∆: 56

113

1-

=-+

=-- zyx

Bài 24: Cho mặt phẳng (P): 3x + 5y – z + 31 = 0, đường thẳng d:

và điểm A(1,0,-1)

a/ Viết pt đường thẳng d1 qua A, song song (P) và vuông góc d.

b/ Viết pt đường thẳng d2 qua A, song song (P) và cắt d.

300

c/ Tìm tọa độ điểm B sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Giải:

a/ Ta có: => => d1 có 1 vtcp là = [ ]

= (3,5,-1), = (2,4,1) => = (9,-5,2)

=> d1:

b/ Cách 1:

Gọi (Q) là mp qua A và // (P); M = (Q) ∩ d

=> d2 là đt qua 2 điểm A, M

Ta có:

(Q) // (P) => (Q): 3x + 5y – z + D = 0 (D≠31)

A Î (Q) => 3 + 1 + D = 0 => D = -4

=> (Q): 3x + 5y – z – 4 = 0

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ pt:

ó => M(-3,3,2)

= = (-4,3,3)

=> d2:

Cách 2:

d có pt tham số:

Gọi M = d2 ∩ d => M(-5+2t,-1+4t,1+t)

301

= (2t-6,4t-1,t+2); = (3,5,-1)

Ta có:

d2 // (P) ó . = 0 ó 6t – 18 + 20t – 5 – t – 2 = 0 ó t = 1 => = = (-4,3,3)

=> d2 : 3

134

1 +==

-- zyx

c/ Gọi H là hình chiếu của A trên (P) => H là trung điểm của AB Ta có H Î (P) => H(x, y, 3x + 5y + 31) => =(x – 1, y, 3x +

5y + 32)

cùng phương ó 1

325353

1-

++==

- yxyx

ó Þ H (-2, -5, 0)

H là trung điểm của AB => B (-5, -10, 1)

Bài 25:

Cho 2 đường thẳng

d: ; d’:

a/ Tìm a để d và d’ cắt nhau

b/ Gọi A là giao điểm của d và d’. Viết pt đường thẳng MN( M Î d, N Îd’)sao cho điểm H (0, 2, - 2) là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng MN.

Giải:

a/ Xét hệ pt: ó

Hệ này có nghiệm duy nhất nên d, d’ cắt nhau. Vậy a = 0

302

b/ Ta có: A (1, 2, 3); d: ïî

ïí

ì

+-===

tz

ty

x

21

1

M Î d, N Î d’ => M (1, t, -1 + 2t), N (1- t’, 2 + 2t’, 3 – t’)

= (-t, 2t’-t+2, -t’ – 2t +4), = (1, t – 2, 2t + 1), = (-1, 0, -5)

ó ïî

ïíì

=---++--

=-+-

=-

0510112

42'2

2'21

'

tt

ttt

ttt

ó

ïïî

ïïí

ì

-=

=

53

313

'

t

t

( )1,13,51513

1513

,15

169,

313

;5

11,

53

,1 -=÷øö

çèæ-=÷

øö

çèæ -- MNM

MN:

ïïï

î

ïïï

í

ì

+-=

+-=

-=

tz

ty

tx

511

1353

51


α: 2kx + y – z + 1 = 0 ; β: x – ky + z – 1 = 0

a/ Chứng minh rằng 2 mặt phẳng α và β luôn cắt nhau với mọi k

b/Gọi d là giao tuyến của α và β. Tìm k để d nằm trên mặt phẳng (Oyz)

Giải: a/ =(2k, 1, -1), =(1, -k, 1)

303

Ta có: = (1-k, -1-2k, -2k2-1) ≠ 0 " k (vì -2k2-1 ≠ 0 " k)

=> α và β luôn cắt nhau " k

b/ * Cách 1:

d nằm trên (Oyz) ó vô số nghiệm

ó vô số nghiệm

ó vô số nghiệm

ó k = 1

* Cách 2:

Nhận thấy điểm A (0, 0, 1) Î α ∩ β => d và (Oyz) có điểm chung là A " k

Ta có: = , = = (1, 0, 0)

Do đó: d nằm trên (Oyz) ó = 0 ó 1- k = 0ó k = 1

Bài 27:

Cho 2 mặt phẳng

α: x + mz – m = 0; β: (1 – m)x – my = 0

Tìm m để α và β cắt nhau. Trong trường hợp đó chứng tỏ giao tuyến d của α và β luôn nằm trên 1 mặt phẳng cố định khi m thay đổi.

Giải:

Ta có: =(1, 0, m), =(1 – m, - m, 0)

=> =(m2, m – m2, -m)

304

Do đó:

α và β cắt nhau ó ≠ 0 ó m≠0

Ta có: d = α ∩ β => = =(m2, m – m2, -m)

Nhận thấy điểm A (0, 0, 1) Î α ∩ β => A Î d

Gọi (P) là mp cố định qua A và có =(a, b, c) ( a2 + b2 + c2 ≠ 0)

Ta có:

D Ì (P) " m ≠ 0 ó Pd na . = 0 " m ≠ 0

ó am2 + b(m – m2) – cm = 0 " m ≠ 0

ó (a – b)m2 + (b – c)m = 0 " m ≠ 0

ó ó a = b = c

=> = (a, a, a) = a(1, 1, 1) (Ta phải có a≠0. Vì nếu a = 0 => a = b = c = 0: mâu thuẫn)

=> (P): x + y + 1(z – 1) = 0 ó x + y + z – 1 = 0

Bài 28: (ĐH.03A)

Trong không gian tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc O, B (a, 0, 0), D (0, a, 0), A’(0, 0, b) (a>0, b>0 ). Gọi M là trung điểm CC’.

a/ Tính thề tích khối tứ diện BDA’M theo a và b

b/ Xác định tỉ số để 2 mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc

với nhau

Giải:

a/ Ta có:

A(0, 0, 0), M (a, a, )

305

=(-a, a, 0), =(-a, 0, b),

= (0, a, )

V = =

b/ mp(A’BD) có pvt = = (ab, ab, a2)

mp (MBD) có pvt = = ( )

Do đó:

(A’BD) ^ (MBD) ó =0

ó = 0

ó a2(b2 – a2) = 0

ó a2 = b2 ó a = b (do a > 0, b > 0)

ó

Bài 29: (ĐH.02B)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a/ Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’B và B’D

b/ Gọi M, N, P lần lượt là các trung điển của các cạnh BB’, CD, A’D’.

Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C’N

Giải:

a/ Chọn hệ trục tọa độ A’xyz như hình vẽ. Ta có:

A’ (0, 0, 0), B’(a, 0, 0), D’(0, a, 0), B (a, 0, a), C(a, a, a), D (0, a, a),

306

C’ (a, a, 0), M (a, 0, ), N

( ), P (0, , 0)

= (a, 0, a), = (-a, a, a)

= (- a2, - 2a2, a2),

= (a, 0, 0)

=> d(A’B,B’D) = = =

b/ = (- a, , = (-

=> = - = 0 => => (MP,C’N) = 90o

BÀI TẬP ÔN LUYỆN

Bài 1: a) Cho 3 điểm A = ( 2; 5; 3 ), B = ( 3; 7; 4), C = ( x; y; 6 )

Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.

b) Cho 2 điểm A ( -1; 6; 6 ); B ( 3; -6; -2 ). Tìm điểm M thuộc mp ( Oxy ) sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A ( 1; 0; 1 ); B ( 2; 1; 2); D ( 1; -1; 1);

C’ ( 4; 5; -5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.

Bài 3: Chứng tỏ 4 điểm sau đây là 4 đỉnh của một hình bình hành và tính diện tích của hình bình hành đó: ( 1; 1; 1 ), ( 2; 3; 4 ), ( 6; 5; 2 ), ( 7; 7; 5 ).

Bài 4: a) Tìm trên trục Oy điểm cách đều hai điểm A ( 3; 1; 0 ), B ( -2; 4; 1 ).

307

b) Tìm trên mp Oxz điểm cách đều 3 điểm A ( 1; 1; 1 ), B ( -1; 1; 0 ), C( 3; 1; -1)

Bài 5: Cho 2 điểm A( 2; -1; 7 ), B( 4; 5; -2 ). Đường thẳng AB cắt mp (Oyz) tại điểm M. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số nào? Tìm toạ độ điểm M.

Bài 6: Cho ®

u ( 2; -1; 1 ), ®

v ( m; 3; -1 ), ®

w ( 1; 2; 1 ). Tìm m để 3 vectơ đồng phẳng.

Bài 7: a) Cho vectơ ®

a ( 1; m; -1 ) và ®

b ( 2; 1; 3 ). Tìm m để ®

a

^ ®

b .

b) Cho vectơ ®

a ( 1; log35; m ) và ®

b ( 3; log53; 4 ). Tìm m để ®

a

^ ®

b .

c) Cho vectơ ®

a ( 2; -1; 0 ). Tìm ®

b cùng phương với ®

a , biết rằng ®

a .®

b = 10

Bài 8: a) Cho vectơ ®

a ( 1; -2; 3 ). Tìm ®

b cùng phương với ®

a , biết

rằng ®

b tạo với Oy một góc nhọn và ®

b = 14

b) Vectơ ®

u có độ dài bằng 2, tạo với vectơ ®

a ( 1; 1;1 ) góc 300,

tạo với vectơ ®

b ( 1; 1; 0 ) góc 450. Tìm toạ độ vectơ ®

u .

c) Vectơ ®

u vuông góc với vectơ ®

a ( 1; 1; 1 ) và vectơ ®

b ( 1; -1;

3 ), ®

u tạo với trục Oz một góc tù và ®

u = 3. Tìm toạ độ vectơ ®

u .

Bài 9: Trong không gian toạ độ Oxyz cho 4 điểm: A( 1; 1; 0 ), B( 0; 2; 1 ), C( 1; 0; 2 ), D( 1; 1; 1 ).

308

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.

b) Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD.

c) Tính diện tích các mặt của tứ diện.

d) Tính độ dài các đường cao của khối tứ diện.

e) Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD.

f) Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bài 10: Trong không gian toạ độ Oxyz cho 3 điểm A( 1; 0; 0 ), B( 0; 0; 1 ), C( 2; 1; 1 )

a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác.

b) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

d) Tính độ dài đường cao hA của tam giác ABC.

e) Tính các góc của tam giác ABC.

f) Xác định toạ độ trực tâm tam giác ABC.

g) Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 11: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có

A( 1; 2; -1 ), B( 2; -1; 3 ), C( -4; 7; 5 )

a) Tính độ dài đường cao hA của tam giác kẻ từ đỉnh A.

b) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác vẽ từ đỉnh B.

Bài 12: Cho tứ diện ABCD có: A( 2; 1; -1 ), B( 3; 0; 1 ), C( 2; -1; 3 ) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD = 5. Tìm toạ độ đỉnh D.

Bài 13: Cho 4 điểm A( 2; 0; 0 ), B( 0; 4; 0 ), C( 0; 0; 6 ), D( 2; 4; 6 ).

Tìm tập hợp những điểm M sao cho: ®®®®

+++ MDMCMBMA = 4.

309

Bài 14: a) Bốn điểm A( -1; 2; 3 ), B( 2; -4; 3 ), C( 4; 5; 6 ), D( 3; 2; 1 ) có thuộc cùng một mp không?

b)Tìm a để 4 điểm A( 1; 2; 1 ), B( 2; a; 0 ), C( 4; -2; 5 ), D( 6; 6; 6 ) thuộc cùng một mặt phẳng.

c) Cho 3 điểm A( 1; 1; 1 ), B( 3; -1; 1 ), C( -1; 0; 2 ). Điểm C có thuộc mp trung trực của đoạn thẳng AB không ?

Bài 15: Viết pt mp đi qua điểm M( 1; 2; 4 ), cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC.

Bài 16: Viết pt mp đi qua điểm M( 1; 1; 1 ), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.

Bài 17: a) Tìm a để 2 mp 0541

=+-- zyx và

02sincossin 3 =+++ aaa zyx vuông góc nhau.

b) Tìm a để ®

u = ( sina ; 0; sina cos2a ) song song với

mp ( P ): x + y + 2z + 6 = 0

Bài 18: Cho 2 điểm A( 0; 0; -3 ), B( 2; 0; -1 ) và mp ( P ): 3x – 8y + 7z – 1 = 0

a) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB với mp ( P ).

b) Tìm toạ độ điểm C nằm trên mp (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 19: a) Viết pt mp (P) chứa trục Oz và tạo với mp(a ): 052 =-+ zyx một góc 600.

b) Viết pt mp (Q) qua A( 3; 0; 0), C( 0; 0; 1 ) và tạo với mp ( Oxy) một góc 600.

Bài 20: Cho tứ diện ABCD với A( 3; 5; -1 ), B( 7; 5; 3 ), C( 9; -1; 5), D( 5; 3; -3 ). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua đđường thẳng AB v chia tứ diện ABCD lm hai phần cĩ thể tích bằng nhau

310

Bài 21: Tìm pt đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua A( 4 ; 3; 1) và song song với đường thẳng

ïî

ïí

ì

+=-=+=

Dtz

ty

tx

23

3

21

:

b) Đi qua A( 1; 2; -1 ) và song song với đường thẳng

îíì

=-+-=+-+

D0452

03:

zyx

zyx

c) Đi qua A( -2; 1; 0) và vuông góc với mp (a ) :

x + 2y – 2z + 1 = 0

d) Đi qua A( 2; -1; 1) và vuông góc với 2 đường thẳng:

îíì

=-=++02

01

zx

yx và

îíì

==-+

0

012

z

yx

Bài 22: Viết pt hình chiếu của đường thẳng d:ïî

ïí

ì

+=+-=

+=

tz

ty

tx

3

32

21

lần lượt

trên các mp (Oxy),(Oxz),(Oyz) và mp a :x+y+z-7=0

Bài 23: a) Tìm tập hợp các điểm trong không gian cách đều 3 điểm A( 1; 1; 1 ), B( -1; 2; 0 ), C( 2; -3; 2 ).

b) Tìm quỹ tích các điểm M cách đều 2 trục toạ độ Ox, Oy và điểm A(1; 1; 0 ).

Bài 24: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng:

îíì

=-+-=++

D01

012:1 zyx

yx,

îíì

=+-=+-+

D012

033:2 yx

zyx

Chứng minh D 1, D 2 cắt nhau.

311

Bài 25: Cho đường thẳng ïî

ïí

ì

+===

tz

ty

tx

d

31

: và mp ( a ): 2x + y – z + 5 =

0. Chứng tỏ d song song với ( )a . Tìm khoảng cách từ d đến ( )a

Bài 26: a) Tìm góc giữa đường thẳng 1

21

12

3 -=

-=

+ zyx và mỗi

trục toạ độ.

b) Tìm góc giữa mỗi cặp đường thẳng:

ïî

ïí

ì

+=+-=

+=

tz

ty

tx

43

1

21

)a và

ïî

ïí

ì

+=+-=-=

'24

'31

'2

tz

ty

tx

4

21

23

1)

+=

+=

- zyxb và

îíì

=-+=+-+0232

012

zx

zyx

Bài 27: Tìm góc giữa đường thẳng D và mp ( a ) trong các trường hợp sau:

a) ïî

ïí

ì

-=+-=

+=D

tz

ty

tx

2

31

21

: và ( a ): 2x – y + 2z – 1 = 0

b) 15

543

:zyx

=--

=--

D và ( a ): 3x – y + z – 1 = 0

312

Bài 28: a) Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) của điểm M( 1; -1; 2 ) trên mp ( a ):2x – y + 2z + 12 = 0.

b) Cho 4 điểm A( 4; 1; 4 ), B( 3; 3; 1 ), C( 1; 5; 5 ), D( 1; 1; 1 ). Tìm toạ độ hình chiếu của D trên mp ( ABC ).

c) Cho 3 điểm A( 1; 1; 2 ), B( -2; 1; -1 ), C( 2; -2; -1 ). Tìm toạ độ hình chiếu của gốc O trên mp ( ABC ).

Bài 29: Tìm toạ độ điểm đối xứng của M( 2; -3; 1 ) qua mp ( a ): x + 3y – z + 2 = 0.

Bài 30: a) Cho 2 điểm A( 3; 1; 0 ), B( -9; 4; 9 ) và mp ( a ): 2x – y + z + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên ( a ) sao cho MBMA- đạt giá trị

lớn nhất.

b) Cho 2 đểm A( 3; 1; 1 ), B( 7; 3; 9 ) và mp ( a ): x + y + z + 3

= 0. Tìm M trên ( a ) để ®®

+ MBMA đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 31: a) Cho 3 điểm A( -1; 3; 2 ), B( 4; 0; -3 ), C( 5; -1; 4 ). Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng BC.

b) Cho đường thẳng 12

23

2:

-=

+=

+ zyxd và điểm M( 4; -3; 2

). Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d.

Bài 32: a) Tìm toạ độ điểm đối xứng của M( 2; -1; 1 ) qua đường

thẳng d:ïî

ïí

ì

=--=

+=

tz

ty

tx

2

1

21

b)Tìm tọa độ điểm đối xứng của M( -3,1,-1) qua đường thẳng d l giao tuyến của hai mp

4x-3y-13=0 v y-2x+5=0

Bài 33: Viết pt đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau:

313

a) 54

33

22

:-+

=-

=- zyx

d và

14

24

31

:'--

=--

=+ zyx

d

b) ïî

ïí

ì

=-=+=

tz

ty

tx

d

2

1

2

: v giao tuyến của 2 mp 022 =-+ zx ,

03 =-y

c) d l giao tuyến 2 mp 03 =-++ zyx , 01 =-+ zy và d’ l giao tuyến của 2mp 0922 =+-- zyx , 01 =+- zy

Bài 34: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng:

ïî

ïí

ì

-=+-=

+=

tz

ty

tx

d

2

1

21

: và d’ l giao tuyến của 2 mp 073 =-- zx ,

017233 =--+ zyx

a) Chứng minh d và d’ chéo nhau và vuông góc nhau.

b) Viết pt mp (P) qua d’ và vuông góc với d. Tìm toạ độ giao điểm H của d và (P).

c) Viết pt đđường vuơng gĩc chung của d v d'

Bài 35: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, xét đường thẳng

Dm :îíì

=-+-=--+0

01

mzmyx

mzymx

a) Chứng minh góc giữa Dm và trục Oz không đổi; khoảng cách giữa Dm và Oz không đổi.

b) Tìm tập hợp các giao đđiểm M của Dm và mp ( Oxy ) khi m thay đổi.

314

Bài 36: Trong không gian toạ độ Oxyz cho 2 đưòng thẳng : d 1 l giao

tuyến của 2mp 0238 =+- zx , 0104 =+- zy v 2d l giao tuyến của 2 mp 032 =-- zx , 022 =++ zy

a) Viết pt các mp P1, P2 lần lượt đi qua d1, d2 và song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

c) Viết pt đường thẳng D song song với Oz, cắt d1 và d2.

Bài 37: Trong không gian toạ độ Oxyz, xét mặt phẳng:

( ) 0204153: 2 =++-+ mzymmxma , m Î [ -1; 1 ].

a) Tính khoảng cách từ gốc O đến ( ma ).

b) Chứng minh Î"m [ -1; 1 ], ( ma ) tiếp xúc với một mặt cầu

cố định.

c) Với giá trị nào của m, hai mp ( ma ) và ( Oxz ) cắt nhau? Khi

m thay đổi, chứng minh rằng các giao tuyến đó song song hoặc trùng nhau.

Bài 38: Trong không gian toạ độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt

phẳng ( P ) có phương trình: :d1

13

9412 -

=-

=- zyx

, ( P ): 3x +

5y – z – 2 = 0

a) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d với mp (P). Tính góc giữa d và (P).

b) Viết pt mp ( P’ ) qua điểm M( 1; 2; -1 ) và vuông góc với đường thẳng d.

c) Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của d trên mp ( P ).

d) Cho điểm B( 1; 0; -1 ), hãy tìm toạ độ điểm B’ sao cho mp ( P ) là mp trung trực của đoạn thẳng BB’.

315

e) Viết pt đường thẳng D nằm trong mp ( P ), vuông góc và cắt đường thẳng d.

Bài 39: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a. Xét 2 điểm M 'ADÎ , DBN Î sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a 2 ) và P là trung điểm của B’C’.

a) Tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AP và BC’.

b) Tính thể tích khối tứ diện APBC’.

c) Chứng minh MN luôn song song với mp ( A’D’CB ) khi k biến thiên.

d) Tìm k để đoạn MN ngắn nhất.

e) Khi đoạn MN ngắn nhất, CMR: MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB và MN song song với A’C.

Bài 40: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 1; -1; 1 )và cắt

2 đường thẳng sau (d1 ):ïî

ïí

ì

-==

+=

tz

ty

tx

3

21

; (d2): ïî

ïí

ì

=-=+-=

tz

ty

tx

23

2

Bài 41: Viết pt đường thẳng nằm trong mp (P): y + 2z = 0 và cắt cả 2

đường thẳng:( d1):ïî

ïí

ì

==-=

tz

ty

tx

4

1

; (d2): ïî

ïí

ì

=+=-=

1

24

2

z

ty

tx

Bài 42: Chứng tỏ đường thẳng îíì

=---=-+-

012

05235

zyx

zyx nằm trong mp

4x – 3y + 7z – 7 = 0

Bài 43: Cho đường thẳng d l giao tuyến của 2 mp 02 =- zx , 0323 =-+- zyx và mp (a ): ( m + 4 )x + ( 5m – 6 )y + ( 3m – 8 )z

– 7 = 0. Tìm m để (d) ^ (a )

Bài 44: Cho mp ( P ): x + y + z = 0 và đường thẳng d l giao tuyến của 2 mp 032 =-+ yx , 0723 =-- zx

316

a) Xác định giao điểm A của (d) và (P).

b) Viết pt đường thẳng (D ) đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mp (P).

Bài 45: Lập pt đường thẳng qua A( 0; 1; 1 ) vuông góc với đường

thẳng 11

23

1 zyx=

+=

- và cắt đường thẳng

ïî

ïí

ì

+==-=

tz

ty

x

1

1

Bài 46: DABC có A( 1; -1; -2 ), B( -1; 0; 6 ) và C( 5; 9; -12 )

a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên BC.

b) Viết pt mp chứa BC và vuông góc với mp (ABC).

Bài 47: Cho mp (P): 2x + y – z – 6 = 0. Tìm điểm đối xứng của gốc O qua mp (P).

Bài 48: Tìm điểm đối xứng của A( -3; 1; -1 ) qua đường thẳng d l giao tuyến của 2 mp 01334 =-- yx , 052 =+- zy

Bi 49: Viết pt hình chiếu vuông góc của đường thẳng

(d):5

614

1:

-==

-+ zyx

d trên mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 15 = 0.

Bài 50: Cho 2 đường thẳng ( ) ( )ïî

ïí

ì

=-=

=D

ïî

ïí

ì

-==

-=D

tz

ty

tx

tz

ty

tx

1

2

:;

1

: 21

a) CMR: (D 1) và (D 2) chéo nhau.

b) Lập pt đường vuông góc chung của 2 đường thẳng trên.

c) Tìm 2 điểm nối (D 1) và (D 2) mà khoảng cách giữa chúng ngắn nhất.

d) Bài 51: Cho 2 đường thẳng (d1):îíì

=+-=+-

0104

0238

zy

zx và

(d2):îíì

=++=--

022

032

zy

zx

317

a) CMR: (d1) và (d2) chéo nhau.

b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).

Bài 52: Tính khoảng cách từ điểm M( 1; 3; 5 ) đến đường thẳng

(d): îíì

=-++=-++

0323

012

zyx

zyx

Bài 53: Cho 2 điểm A(3; -2; -1), B(6; 1; 2) và mp (a ): 2x – y + 2z – 1 = 0

a) Viết pt đường thẳng AB.

b) Viết pt mp chứa đường thẳng AB và tạo với mp (a ) một góc 450.

Bài 54: Cho 2 mp (a ): x + y + z + 4 = 0 , (b ): x + y + 1 = 0.

a) Viết pt tham số của đường thẳng đi qua A( 3; 1; 2 ) và song song với cả 2 mp (a ),(b ).

b) Viết pt mp (P), biết rằng (P) qua M( -1; 1; 1 ) vuông góc với mp (a ) và hợp với mp ( b ) một góc 060 .

Bài 55: Cho điểm A( 1; -2; 3 ) và đường thẳng ( )D : ïî

ïí

ì

-=-=+-=

tz

ty

tx

34

21

4

.

Tìm điểm đối xứng của A qua ( )D .

Bài 56: Cho 2 đường thẳng: (d1): 13

21

11

--

=-

=+ zyx

; (d2):

22

11

31 -

=-+

=- zyx

a) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).

b) Viết pt của đường thẳng qua điểm M( 1; 1; 1 ) vuông góc với (d1) và cắt (d2).

318

Bài 57: Cho hai đường thẳng:

( ) ( )îíì

=-+=+-

îíì

=--=++

02

053:;

042

042: 21 zy

zxd

zy

zxd

a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau.

b) Viết pt đường vuông góc chung của (d1) và (d2).

Bài 58: Cho mp (P):x + y + z – 1 = 0 và 2 điểm A( 1; -3; 0 ), B( 5; -1; -2 ).

a) Chứng tỏ rằng đường thẳng AB cắt mp (P) tại điểm I thuộc đoạn AB. Tìm toạ độ điểm I.

b) Tìm trên mp (P) điểm M sao cho MBMA- có giá trị lớn

nhất.

Bài 59: Cho 2 điểm A( -1; 3; -2 ), B( -9; 4; 9 ) và mp (P): 2x – y + z + 1 = 0.

a)Chứng tỏ rằng đường thẳng AB cắt mp (P) tại điểm I nằm ngoài đoạn AB.

b)Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng của A qua (P).

c)Tìm điểm M trên mp (P) sao cho AM + BM có giá trị nhỏ nhất.

Bài 60: Lập pt đường thẳng qua M( -4; -5; 3 ) và cắt 2 đường thẳng :

12

23

31

--

=-+

=+ zyx

và 51

31

22

--

=+

=- zyx

Bài 61: Lập pt mp chứa đường thẳng: îíì

=-+-=-

0323

02

zyx

zx và vuông

góc với mp: x – 2y + z + 5 = 0.

Bài 62: Viết pt đường thẳng đi qua điểm M( 2; -1; 0 ); vuông góc và cắt đường thẳng d l giao tuyến của 2 mặt phẳng 025 =+++ zyx ,

012 =++- zyx

319

Bài 63: Cho điểm A( 1; -1; 1 ) và 2 đường thẳng: (d1):

ïî

ïí

ì

-=--=

=

tz

ty

tx

3

21 ;(d2): ïî

ïí

ì

+=+=

=

tz

ty

tx

54

21 CMR (d1), (d2) và A cùng nằm trên 1 mp.


412

1+

=--

=zyx

; (d2):

110

16

28

--

=-

=+ zyx

.

a)Viết pt đường thẳng (d) song song với Ox và cắt (d1) tại M, cắt (d2) tại N. Tìm toạ độ M, N.

b)A là điểm trên (d1), B là điểm trên (d2), AB vuông góc với cả (d1) và (d2). Viết pt mặt cầu đường kính AB.


12

173 -

=-

=-- zyx

; (d2):

19

23

17

--

=-

=- zyx

. Lập pt chính tắc của đường thẳng (d3) đối

xứng với (d2) qua (d1).

Bài 66: Cho mp (P): x + y + x + 3 = 0 và 2 điểm M1( 3; 1; 1 ) và M2(

7; 3; 9 ). Tìm M trên mp (P) để ¾®¾¾®¾

+ 21 MMMM đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 67: Cho tứ diện ABCD với A( 2; -1; 6 ), B( -3; -1; -4 ), C( 5; -1; 0 ), D( 1; 2; 1 ).

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Tính thể tích tứ điện ABCD.


(d1): 22

21

1-

=-

=- zyx

; (d2): 44

22

2-

=-

=- zyx

320

(d3): 1

112

-==

zyx; (d4):

11

222

--

==- zyx

a) Chứng minh rằng 2 đường thẳng (d1) và (d2) cùng nằm trên 1 mp. Viết pt của mp đó.

b) Chứng minh rằng tồn tại 1 đường thẳng (d) cắt cả 4 đường thẳng đã cho. Viết pt chính tắc của đường thẳng (d).


14

23

2 -=

+=

- zyx; (d2):

19

23

17

--

=-

=- zyx

; (d3): 12

23

31

--

=-+

=+ zyx

. Lập pt đường

thẳng cắt (d1), (d2) và song song với (d3).

Bài 70: Cho đường thẳng (d): 13

24

13

-+

=-

=- zyx

và mp (P): 2x +

y + z – 1 = 0.

a)Tính số đo của góc tạo bởi (d) và (P).

b)Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P).

c)Viết pt của đường thẳng ( )D đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mp (P).

Bài 71: Cho 2 đường thẳng: (d1): îíì

=+=++

01

022

y

zx và

(d2): ïî

ïí

ì

=-=+=

tz

ty

tx

2

2

1

a)Chứng minh rằng (d1) và (d2) không cắt nhau nhưng vuông góc nhau.

b) Viết pt mp chứa (d1) và vuông góc với (d2).

c) Viết pt đđường vuơng gĩc chung của ( 1d ) v ( 2d )

321


21

12

1 -=

-=

+ zyx và mp (P): x – y –

z – 1 = 0. Viết pt chính tắc của (d’) đi qua A( 1, 1, -2 ) song song với mp (P) và vuông góc với (d).

Bài 73: Cho mp (P): x + y – z + 1 = 0 và 2 đường thẳng:

(d1): îíì

=+=+-

02

012

yx

zy, (d2):

îíì

=+-=+-02

0123

zx

zy

Gọi (d1’) và (d2’) lần lượt là hình chiếu vuông góc của (d1) và (d2) lên (P).

a) Viết pt mp (P1) chứa (d1) và vuông góc với (P).

b) Tìm toạ độ giao điểm I của (d’1) và (d’2).

Bài 74: Cho tam giác ABC có A( 1; 2; 5 ) và pt 2 trung tuyến là

11

26

23 -

=-

=-- zyx

; 1

242

14 -

=--

=- zyx

. Viết pt chính

tắc các cạnh của tam giác .

Bài 75: Cho tứ diện ABCD với A( 1; 0; 2 ), B( 1; 1; 0 ), C( 0; 0; 1 ) và D( 1; 1; 1 ) .

a) Tính thể tích của tứ diện.

b) Viết pt đường cao DH của tứ diện.

c) Viết pt mp tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện tại A.

Bi 76: Trong khơng gian với hệ toạ độ Đcac vuơng gĩc Oxyz cho hai đường thẳng:

1D : îíì

=+-+=-+-

0422

042

zyx

zyx v 2D :

ïî

ïí

ì

+=+=+=

tz

ty

tx

21

2

1

322

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1D v song

song với đường thẳng 2D .

b) Cho điểm M(2; 1 ; 1). Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng

2D sao cho đoạn thẳng MH cĩ độ di nhỏ nhất. (ĐH.02A)

Bi 77: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cĩ cạnh bằng a.

a) Tính theo a khoảng giữa hai đường thẳng A1B v B1D.

b) Gọi M, N, P lần lượt l cc trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính gĩc giữa hai đường thẳng MP v C1N. (ĐH.02B)

Bài 78: Trong không gian với hệ toạ độ Đecac vuông góc Oxyz

cho đường thẳng

dk: îíì

=++-=+-+01

023

zykx

zkyx

Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x-y-2z+5=0 (ĐH.03D)

Bài 79: 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1. Biết A(a; 0; 0),B(-a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b) a>0,b>0.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a,b.

b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a+b=4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất.

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P) : x +y + z -2 = 0. Viết phủỏng trình mặt cầu di qua 3 diểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng(P). (ĐH.04D)

Bài 80: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng:

d: 1

32

311 -

=+

=-- zyx

và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9=0

323

a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoang cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.

b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), biết D đi qua A và vuông góc với d. (ĐH.05A)

Bài 81: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4).

a) Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1).

b) Gọi M là trung điểm của A1B1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài MN. (ĐH.05B)

Bài 82: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng:

d1:2

112

31 +

=-+

=- zyx

và d2: îíì

=-+=--+0123

02

yx

zyx

a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2.

b) Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tímh diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ). (ĐH.05D)

Bài 83: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M (0; 1; -3), điểm N(2; 3; 1).

a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc với MN.

b) Viết phương trình tổng quát của mặt cầu (S) đi qua điểm M, điểm N và tiép xúc với mặt phẳng (P). (ĐH.05D)

Bài 84: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng

d1 l giao tuyến của 2 mp 0=-- aazx và 01 =+- zy ; d2 là giao

tuyến của 2 mp 033 =-+ yax và 063 =-+ zx

324

a) Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.

b) Với a=2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2

và song song với đường thẳng d1.Tính khoảng cách giữa d1 và d2 khi a=2.

Bài 85: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

d1: 12

11

zyx=

+= và d2:

ïî

ïí

ì

+=-=

=

tz

ty

tx

31

21

a) Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2 song song với đường thẳng

D :23

47

14

--

=-

=- zyx

. (DB.03A)

Bài 86: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng

(P):2x +2y + z –m2- 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu

(S): (x-1)2 + (y+1)2 + (z-1)2 = 9

Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cấu (S). Với m tìm được hãy xác định toạ độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). (DB.03D)

Bài 87: Trong không guan với hệ toạ độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc toạ độ O , B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0; 2 ).

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A1, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B1, D1 trên mặt phẳng (P).

b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1 và C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q). (DB.04A)

325

Bài 88: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(4; 2; 2),

B(0; 0; 7) và đường thẳng d: 11

26

23

--

=-

=-- zyx

. Chứng minh rằng

hai đường thẳng d và AB thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. (DB.04B)

Bài 89: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4).

a) Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S.

b) Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC Bài 90: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(5; 2; -3) và mặt phẳng (P): 2x +2y –z +1 = 0

a) Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P). Xác định toạ độ điểm M1 và tính độ dài đoạn MM1.

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường

thẳng: 65

11

21

--

=-

=- zyx

Bài 91: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4)

a) Tìm toạ độ các điểm A1, B1. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, A, B, O1.

b) Gọi M là trung điểm của AB.Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A và cắt OA lần lượt tại N, K.Tính độ dài đoạn KN.

Bài 92: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2)

a) Xác định các toạ độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc nhau.

326

b) Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N khc A) tới hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

Bài 93: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB và CD.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng

(Oxy) một góc a , biết cosa =6

1.

Bài 94: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A (1; 2; 3) và hai đường thẳng

d1:1

312

22 -

=-+

=- zyx

, d2:1

12

111 +

=-

=-- zyx

a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.

b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. (ĐH.06D)

Bài 95: Cho 4 điểm A( 2; -1; 6), B( -3; -1; -4 ), C( 5; -1; 0 ), D( 1; 2; 1 )

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác .

b) Tính thể tích tứ diện ABCD.

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bài 96: Viết phương trình mặt cầu trong những trường hợp sau:

a) Tâm I = ( 1; 0; -1 ), đường kính bằng 8.

b) Đường kính AB với A( -1; 2; 1 ), B( 0; 2; 3 ).

c) Tâm O( 0; 0; 0 ) tiếp xúc với mặt cầu tâm ( 3; -2; 4 )và bán kính 1.

d) Tâm I( 3; -2; 4 ) và đi qua A( 7; 2; 1 ).

327

e) Tâm I( 2; -1; 3 ) và tiếp xúc mp ( Oxy ).

f) Tâm I( 2; -1; 3 ) và tiếp xúc mp ( Oxz ).

g) Tâm I( 2; -1; 3 ) và tiếp xúc mp ( Oyz ).

Bài 97: a) Cho phương trình :x2 + y2 + z2 - 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0

Tìm m để nó là phương trình một mặt cầu và tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.

b) Cho phương trình: x2 + y2 + z2 + 2xcosa – 2ysina - 4z – ( 4 + sin2 a ) = 0.

Tìm a để pt trên là pt một mặt cầu và tìm a để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.

Bài 98: a) Cho mặt cầu có pt: x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M( 4; 3; 0 ). Viết pt mp tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M.

b) Viết pt mặt cầu có tâm I( -2; 1; 1 ) và tiếp xúc với

mp (a ): x + 2y – 2z + 5 = 0.

c) Cho 4 điểm A( 3; -2; -2 ), B( 3; 2; 0 ), C( 0; 2; 1 ),D( -1; 1; 2 ). Viết pt mặt cầu tâm A tiếp xúcvới mp ( BCD ).

d) Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A( 1; 0; 0 ), B( 0; 1; 0 ), C( 0; 0; 1 ) và có tâm I nằm trên mp x + y + z – 3 = 0.

Bài 99: Cho đường thẳng îíì

=-+-=+++

01

01:

zyx

zyxd và 2 mp ( P1 ): x + 2y

+ 2z + 3 = 0,

( P2): x + 2y + 2z + 7 = 0. Viết pt mặt cầu tâm I dÎ và tiếp xúc với 2 mp ( P1) và ( P2).

Bài 100: Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt cầu:

(S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và 2 đường thẳng

328

213

31

25

:+

=--

=+ zyx

d , ïî

ïí

ì

=--=+-=

8

21

37

:'

z

ty

tx

d

a) Viết pt mp ( P ) tiếp xúc với ( S ) và vuông góc với d.

b) Viết pt mp ( Q ) tiếp xúc với ( S ) và song song với d, d’.

Bài 101: Trong không gian toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( -2; 1; 4 ), B( 0; 4; 1 ), C( 5; 1; -5 ), D( -2; 8; -5 ) và đường thẳng

49

511

35

:--

=+

=+ zyx

d

a) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.

b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

c) Viết pt mặt cầu ( S ) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d) Tìm giao điểm M, N của đường thẳng d với mặt cầu ( S ).

e) Viết pt các mp tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại M, N. Tính góc tạo bởi 2 mp đó.

Bài 102: Viết pt mặt cầu qua A( 2; 0; 0 ); B( 0; 4; 0 ); C( 0; 0; 4 ) và qua gốc O.

Bài 103: Cho 4 điểm A( 6; -2; 3 ), B( 0; 1; 6 ), C( 2; 0; -1 ), D(4; 1; 0).

a) Viết pt mặt cầu (S) qua A, B, C, D. Xác định tâm và bán kính.

b) Viết pt mp tiếp xúc với mặt cầu tại A.

Bài 104: Cho mặt cầu: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z – 11 = 0

a) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu.

b) Viết pt đường kính của mặt cầu đi qua A(5; 1; 0).

Bài 105: Cho mp (P): x + 2y – 2z + m = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 2z – 11 =0. Tìm giá trị của m để:

a) Mp (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).

329

b) Mp (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.

Bài 106: Lập pt mặt cầu có tâm I( 2; 3; -1 ) Î đường thẳng

îíì

=-+-=++-

0843

020345

zyx

zyx và tiếp xúc với 2 mp: x + 2y – 2z – 2 = 0;

x + 2y – 2z + 4 = 0.

Bài 107: Lập pt mp tiếp xúc với mặt cầu: x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và song song với 2 đường thẳng:

213

31

25 +

=--

=+ zyx

; ïî

ïí

ì

=--=+-=

8

21

37

z

ty

tx

.

Bài 108: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z + 5 = 0 và mp (P): x + y + z – 3 = 0. Chứng minh rằng (P) cắt (S). Xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến.

Bài 109: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z + 5 = 0 và mp (P): x + 2y + 2z + 11 = 0. Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ đó đến (P) là nhỏ nhất.

Bài 110: Cho 2 đường thẳng: (d1): ïî

ïí

ì

===

4

2

z

ty

tx

;

Bài 111: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4z – 4 = 0 và 3 điểm A( 3; 1; 0 ), B( 2; 2; 4 ), C( -1; 2; 1 ) ở trên mặt cầu.

a) Viết pt mp (ABC).

b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 112: Cho điểm I( 1; 1; 1 ) và đường thẳng (d): îíì

=++=-+-

052

092

zy

zyx

a) Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của I lên (d).

330

b) Viết pt mặt cầu (C) có tâm I và cắt (d) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16.


11

12

+=

-=

zyx và 2 mp (P): x + y –

2z + 5 = 0; (Q): 2x – y + z + 2 = 0.

Viết pt mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với (P), (Q).

Bài 114: Cho 2 điểm A (1, 2, 0), B (0, 1, 3) và đường thẳng d:

. Viết pt đường thẳng ∆ qua A, vuông góc d và có

khoảng cách đến điểm B lớn nhất.

Bài 115: Cho 2 điểm A(3, 3, 1), B(0, 2, 1) và đường thẳng d:

237

2zyx

=--

= . Tìm điểm C Î d sao cho ∆ABC có diện tích lớn nhất.

Bài 116: Cho điểm M (1, 3, -2) và mặt cẩu (S) : (x – 1)2+(y – 2)2+(z + 3)2 = 14

a/ Chứng tỏ điểm M nằm trong mặt cầu (S)

b/ Viết pt mặt phẳng (P) qua điểm M và cắt (S) theo đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Bài 117: Tìm tọa độ điểm M Î mặt phẳng (P): 2x – 5y + 2z + 5 = 0 sao cho đường thẳng OM tạo với các trục tọa độ những góc bằng nhau.

Bài 118:Cho đường thẳng d: và điểm A (-5,

3, 4)

Viết pt đường thẳng ∆ qua A, vuoâng goùc d và hợp với mặt phẳng (Oyz) góc 45o.

Bài 119:Cho 2 mặt phẳng α: x + 2y + 3z – 5 = 0; β: 3x – 2y – z – 1 = 0. Viết pt mặt phẳng (P) qua giao tuyến của α, β và cắt các trục Ox, Oz lần lượt tại A,B sao cho OA=OB

331

Bài 120: Cho 2 đường thẳng d: ;

d’: và điểm

M (0, -1,2)

a/ Chứng minh d, d’ và M cùng nằm trên 1 mặt phẳng

b/ Gọi I là giao điểm của d và d’. Viết pt đường thẳng ∆ qua M và cắt d, d’ lần lượt tại A, B sao cho ∆ABI cân tại A

Bài 121: Cho đường thẳng d: và mp α: x – y + 3 = 0

Viết pt mặt phẳng (P) qua M (1, 0, - 2), song song d và hợp với α góc 45o

Bài 122:

Viết pt đường thẳng d qua điểm A (-2, 0, 1), cắt trục Oy và tạo với trục Oy góc 45o

Bài 123:

Cho 2 điểm A (-2, 1, 3), B(1, 0, 4). Tìm điểm C Î mặt phẳng (Oxy) để ∆ABC có chu vi nhỏ nhất.

Bài 124:

Cho đường thẳng d: và 2 điểm A (3, 0, 2),

B(1, 2, 1). Tìm điểm I Î d để vectơ ®®

+ IBIA có độ dài nhỏ nhất

Bài 125: Cho mp α: x + y + z + 3 = 0 và 2 điểm A (3, -1, 1), B (-2, 0, -3). Tìm điểm M Î α để:

a/ MA + MB nhỏ nhất

b/ lớn nhất

c/ nhỏ nhất.

332

Bài 126:Viết pt mặt phẳng (P) qua điểm M (-1, 2, 3) sao cho (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A, B, C và độ dài đường cao OH của tứ diện OABC lớn nhất (O là gốc tọa độ)

Bài 127: Cho đường thẳng d: và mặt cầu (S): x2 +

y2 + z2 – 2x – 4y – 6z + 9 = 0. Viết pt mặt phẳng (P) qua d và cắt (S)

theo đường tròn có diện tích bằng 2p

.

Bài 128: Viết pt mặt phẳng (P) qua 2 điểm A (1, 0, 0), B (0, 2, 1) và thỏa điều kiện:

a/ Tiếp xúc mặt cầu (S) (x – 1)2 + y2 + (z + 1)2 =

b/ Cắt trục Oz tại điểm D sao cho OD = 2

c/ Hợp với mặt phẳng (P): x – y + 10 = 0 góc 60o

d/ Cách gốc O một khoảng lớn nhất.

e/ Hợp với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ nhất.

Bài 129: Cho 3 điểm A (1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3). Tìm tọa độ điểm M Î mặt phẳng (ABC) sao cho M cách đều 3 mặt phẳng tọa độ

Bài 130: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng

(P): x – y – z – 1 = 0.

Viết pt đường thẳng ∆ qua A( 1, 1, -2 ), song song (P) và vuông góc d

Bài 131: (ĐH. 07 A)

Cho 2 đường thẳng d1: và

d2:

a/ Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

333

b/ Viết pt đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2.

Bài 132: (ĐH.07B)

Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P):2x – y + 2z – 14= 0

a/ Viết pt mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3.

b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất.

Bài 133: (ĐH.07D)

Cho 2 điểm A (1, 4, 2), B(-1, 2, 4) và đường thẳng ∆:

a/ Viết pt đường thẳng d đi qua trọng tâm G của ∆OAB và vuông góc mặt phẳng (OAB)

b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất

Bài 134: (ĐH.08B)

Cho 3 điểm A (0, 1, 2), B(2, -2, 1), C(-2, 0, 1)

a/ Viết pt mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.

b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = M

Bài 135: (ĐH.08D)

Cho 4 điểm A (3, 3, 0), B(3, 0, 3), C(0, 3, 3), D (3, 3, 3)

a/ Viết pt mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.

b/ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Bài 136: (CĐ.08)

Cho điểm A (1, 1, 3) và đường thẳng d: 2

111

-=

-=

zyx

334

a/ Viết pt mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc d

b/ Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho ∆MOA cân tại O

Bài 137 (ĐH.09A)

1/ Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4=0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 –2x - 4y - 6z - 11= 0 Chứng mimh rằng (P) cắt (S) theo đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bàn kính của đường tròn.

2/ Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và 2 đường thẳng ∆1:

, ∆2: . Tìm điểm M thuộc ∆1

sao cho d(M, ∆2) = d(M,(P)).

Bài 138: (ĐH.09B)

1/ Cho tứ diện ABCD có A (1, 2, 1), B(-2, 1, 3), C(2, -1, 1), D(0, 3, 1). Viết pt mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho d(C,(P)) = d(D,(P)).

2/ Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và điểm A (-3, 0, 1), B (1, -1, 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), hãy viết pt đường thẳng mà khoảng cách từ B đền đường thẳng đó là nhỏ nhất.

Bài 139: (ĐH.09D)

1/ Cho các điểm A (2, 1, 0), B(1, 2, 2), C(1, 1, 0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD // (P).

2/ Cho đường thẳng ∆: và mặt phẳng (P): x

+ 2y – 3z + 4 = 0. Viết pt đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc ∆.

Bài 140: (ĐH.10A)

1/ Cho đường thẳng ∆: và mặt phẳng (P): x –

2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ và (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = .

335

2/ Cho điểm A (0, 0, -2) và đường thẳng ∆:

. Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết pt mặt cầu

tâm A, cắt ∆ tại 2 điểm B, C sao cho BC = 8.

Bài 141: (ĐH.10B)

1/ Cho 3 điểm A (1, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) (b>0, c>0) và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác định b, c biết mp(ABC) vuông góc

mp(P) và khoảng cách từ gốc 0 đến mặt phẳng (ABC) bằng .

2/ Cho đường thẳng ∆: . Xác định tọa độ điểm M

trên trục Ox sao cho d(M, ∆) = OM

Bài 142: (ĐH.10D)

1/ Cho 2 mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và (Q): x – y + z – 1 = 0. Viết pt mặt phẳng ( R ) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ gốc O đến (R) bằng 2.

2/ Cho 2 đường thẳng ∆1: và ∆2: .

Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1.

Bài 143: Cho mặt cầu (S): (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26 và đường

thẳng d: . Tìm tọa độ điểm M Î (S) sao cho

đường thẳng OM vuông góc đường thẳng d và OM = (O là gốc tọa độ)

Bài 144:

Cho đường thẳng ∆1: (t là tham số) và 2 mặt

phẳng: (P): mx + y – mz – 1 = 0 ; (Q): x – my + z – m = 0

a/ Tìm m để 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau.

336

b/ Gọi ∆2 là giao tuyến của (P) và (Q). Viết pt tham số của đường thẳng ∆2

c/ Tìm m để d(Oz, ∆1) = d(Oz, ∆2)


d1 là giao tuyến của 2 mặt phẳng: mx + 3y – 3 = 0;x + 3z – 6 = 0

d2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng: x – mz – m = 0;y – z + 1 = 0

Tìm m để 2 đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm I sao cho OI

= (O là gốc tọa độ)

Bài 146:

Cho đường thẳng (dm): (m≠ -2

và m ≠ -3)

Chứng minh rằng khi m thay đổi, (dm) luôn nằm trên 1 mặt phẳng cố định

Bài 147:

Cho ∆ABC có A (3, -4, 7), B(2, -1, 3), C(-4, 7, 5). Tính độ dài đường phân giác trong của góc tù của ∆ABC.

Bài 148:

Biết 2 mặt của hình lập phương nằm trên 2 mặt phẳng:

2x – 2y – z – 3 = 0 và -6x + 6y + 3z + 10 = 0

Tính thể tích hình lập phương.

Bài 149:

Cho 2 đường thẳng d1: và

d2: ïî

ïí

ì

=+-=+-=

tz

ty

tx

2

32

65

337

a/ Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau.

b/ Gọi I là giao điểm của d1 và d2. Tìm tọa độ các điểm A Î d1, B

Î d2 sao cho ∆IAB cân tại I và có diện tích bằng

Bài 150:

Cho đường thẳng d1: và 2 điểm A (5,

4, 3), B (6, 7, 2)

a/ Viết pt đường thẳng d2 đi qua 2 điểm A, B. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

b/ Tìm điểm C Î d1 sao cho ∆ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 151:

Cho đt d: và 3 điểm A (1, 0, -1), B (2, 3, -1),

C (1, 3, 1)

a/ Tìm điểm D Î d sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 1.

b/ Viết pt của đường thẳng đi qua trực tâm H của ∆ABC và vuông góc mp (ABC).

Bài 152: Cho đường thẳng d: và điểm A (5, 5,

0). Tìm 2 điểm B và C thuộc d sao cho ∆ABC vuông tại C và BC = .

Bài 153: Cho 3 điểm A (4, 0, 3), B (-1, -1, 3), C (3, 2, 6) và đường

thẳng d:

a/ Viết pt mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x + 3y – 3z + 1 = 0

b/ Viết pt mặt phẳng (Q) đi qua d và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính lớn nhất.

338

Bài 154: Cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng d:

a/ Viết pt hình chiếu của đường thẳng d trên (P)

b/ Viết pt mặt cầu có tâm thuộc d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Oxy)

Bài 155: Cho 3 điểm A( 1, -2, -5 ), B( 1, -1, 0 ), C( 3, -2, 2 )

a. Gọi E là điểm đối xứng của A qua đt BC; F là điểm đối xứng của A qua mp (Oxz). Viết pt tham số của đt EF

b. Tìm m để mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 6y + 9 – 2m = 0 tiếp xúc đt EF. Tính khoảng cách từ E đến tiếp điểm của (S) và đt EF.

Bài 156:Cho 2 điểm A( 6, 2, -5 ), B(-4, 0, 7 )

a. Viết pt mặt cầu (S) đường kính AB

b. Viết pt mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại điểm A

c. Tìm tọa độ điểm M thuộc mp (Q): 5x + y – 6z + 3 = 0 sao cho đt qua M, vuông góc (Q) và cắt (S) tại 2 điểm, đồng thời khoảng cách giữa 2 điểm đó lớn nhất.

Bài 157: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 6 và đt d:ïî

ïí

ì

+-=-=+=

tz

ty

tx

22

24

Tìm tọa độ điểm M Î d sao cho đt ∆ qua M, vuông góc mp (P): x

– 2z + 5 = 0 và cắt (S) tại 2 điểm A, B thỏa 52=AB

Bài 158: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 10z – 19 = 0, đt d:

11

16

35 -

=--

=- zyx

và 2 điểm A( -2, 1, 2 ), B( 0, 4, 1 ). Tìm tọa độ

điểm M Î d sao cho đt ∆ qua M, song song đt AB và cắt (S) tại 2

điểm C, D thỏa CD = 14 .

339

Bài 159: Cho mặt cầu (S): ( x – 2 )2 + ( y + 2 )2 + ( z – 3 )2 = 6 và mp (P): - 6x + 2y – 2z + 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M Î (S) sao cho tiếp tuyến tại M với (S) qua gốc tọa độ O và vuông góc mp (P).

Bài 160: Cho mp (P): y – 3z + 2 = 0 và đt d: ïî

ïí

ì

+-=+=-=

tz

ty

tx

23

4

1

Tìm điểm AÎ (P) và điểm BÎ d sao cho đt AB vuông góc mp (P) và AB = 2 10 .

Bài 161: Cho mp (P): 6x + 2y – 5z – 25 = 0 và 2 đt d1: ïî

ïí

ì

--=-=+=

tz

ty

tx

4

2

2

d2:

ïî

ïí

ì

¢=

¢=

¢-=

tz

ty

tx

3

5

Tìm điểm AÎd1 và điểm B Îd2 sao cho đt AB song song mp (P) và AB = 26 .

Bài 162:Cho đt d: 2

314

11 +

=--

=- zyx

.

Tìm điểm M Î d và điểm N Î Oy sao cho MN = 6 và khoảng cách từ N đến mp(Oxz) bằng 2

Bài 163:Cho đt d: ïî

ïí

ì

-=-=+-=

tz

ty

tx

22

31

2

và 3 điểm A( 0, 2, 0 ), B( 1, 3, -1 ), C(

1, 1, -3 )

a. Tìm điểm M Î d để thể tích tứ diện ABCM bằng 3

11.

340

b. Tìm điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

c. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết điểm S Î d và mp (SAB) tạo với mp đáy góc 600.

Bài 164:Cho khối chóp S.ABC có A( 1, 2, 0 ), B( -2, 2, 0 ), C( -5, 1, 0 ) và đỉnh S thuộc trục Oz sao cho mp (SAB) hợp với mp đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp.

Bài 165: Cho 2 điểm A( -3, 1, -2 ), B( 1, -1, 2 ) và mp (P): x – ( 2m + 1 )z – m2 + m – 1 = 0. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua mp (Oyz); B’ là điểm đối xứng của B qua trục Oz.

a. Tìm m để đt A’B’ song song mp (P).

b. Tìm m để mp (P) là mp trung trực của đoạn thẳng A’B’.

c. Tìm m để đt A’B’ tạo với mp (P) góc 450.

Bài 166: Tìm điểm M thuộc trục Oz và điểm N thuộc mp (Oxy) sao

cho đt MN song song với đt d: 36

44

22

--

=+

=-- zyx

và MN =

29

Bài 167: Cho 3 điểm A( 1, -2, 0 ), B( -2, 1, 3 ), C( 4, -2, -3 )

Tìm tọa độ điểm M thuộc mp (P): x – 2z + 3 = 0 sao cho:

a. ®®®

++ MCMBMA nhỏ nhất.

b. ®®®

++ MCMBMA4 nhỏ nhất

c. ®®®

++ MCMBMA 2 nhỏ nhất

Bài 168: Cho 2 đường thẳng d: ïî

ïí

ì

+=-=

=

tz

ty

tx

25

1 ,

341

d’: ïî

ïí

ì

¢-=

¢+=

¢+=

tz

ty

tx

21

3

21

và điểm I ÷øö

çèæ 4,

23

,25

1. Chứng minh rằng d, d’ và I cùng nằm trên một mặt phẳng.

2. Gọi A là giao điểm của d và d’; ∆ là đt đi qua I và cắt d, d’ lần lượt tại 2 điểm M, N ( khác A ). Viết pt đường thẳng ∆ biết:

a. I là trung điểm MN.

b. ∆ IMN vuông tại M.

c. Khoảng cách từ A đến ∆ lớn nhất.

d. 36

=ANAM

. Xác định tọa độ 2 điểm M, N.

Bài 169: Cho 2 đt d: ïî

ïí

ì

=-=

=

tz

ty

tx

22 và d’: ïî

ïí

ì

¢+=

¢+=

¢-=

tz

ty

tx

41

2

21

a. Chứng minh rằng d và d’ không cắt nhau và vuông góc nhau.

b. Viết pt đường thẳng d1 song song trục Oz và cắt 2 đường thẳng d, d’.

c. Viết pt đường thẳng d2 vuông góc mp (Oxz) và cắt 2 đường thẳng d, d’.

d. Viết pt mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc 2 đường thẳng d, d’.

Bài 170: Cho 3 điểm A( 1, -2, 3 ), B( -1, 2, -3 ), C( 1, 3, -4 ).

a. Viết pt mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đt BC. Tìm tọa độ tiếp điểm.

b. Viết pt mặt cầu có tâm thuộc đt BC và qua 2 điểm A, B.

c. Viết pt mặt cầu qua 2 điểm A, B và có tâm thuộc trục Ox.

342

d. Viết pt mặt cầu qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (Oxy).

e. Viết pt mặt cầu qua 3 điểm A, B, C và có tâm cách mp (ABC) một đoạn bằng 3 .

f. Viết pt mặt cầu tâm A và chắn trên trục Ox một đoạn thẳng có độ dài bằng độ dài đoạn BC.

Bài 171: Cho 3 điểm A(2,0,-1),B(-1,3,-3),C(5,-3,-5)

1.Tìm tọa độ điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho:

a.Khoảng cách từ M đến trọng tâm của DABC nhỏ nhất

b.Độ dài vectơ 2 MA +5 MB +5 MC nhỏ nhất

c.Thể tích tứ diện MABC lớn nhất biết OM=3 (O là gốc tọa độ)

2.Tìm tọa độ điểm N thuộc mp(P):x-2y-z+1=0 sao cho độ dài vectơ 2 NA+5 NB +5 NC nhỏ nhất

Bài 172: Cho mặt cầu (S): x 9222 =++ zy và đường thẳng

d: ïî

ïí

ì

+=+=

=

tz

ty

tx

1

1

a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của mp(P): z-1=0 và mặt cầu (S)

b. Viết pt mặt cầu (S 1 ) chứa (C) và chắn trên đường thẳng d một

đoạn có độ dài bằng 3

14

c.Viết pt mặt cầu (S 2 ) chứa (C) và chắn trên đường thẳng d một đoạn có độ dài nhỏ nhất

Bài 173: Viết phương trình mp (P) qua điểm M(0,0,-5) , song song

trục Ox và cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 5 .

343

Bài 174: Cho tứ diện ABCD có A(2,3,2),B(6,-1,-2),C(-1,-4,3),D(1,6,-5)

a. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD

b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho chu vi tam giác ABM nhỏ nhất

Bài 175 : Cho hai đường thẳng :

d: 11

11

2 -+

=-

=zyx

và d’: ïî

ïí

ì

+===

tx

ty

x

1

1

a. Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau

b. Viết pt mặt phẳng (P) chứa d’ và song song d

c. Điểm M di động trên d, hai điểm A và B di động trên d’ sao

cho AB= 3 . Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MAB .

Bài 176: Cho ba điểm A(4,-1,2) , B(1,2,2) , C(1,-1,5)

a.Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và ba mặt phẳng tọa độ

b. Viết phương trình trục của dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

c. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều

Giải các bài tập sau đây bằng phương pháp tọa độ :

Bài 177: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng h. Biết AB’ vuông góc BC’. Tính thể tích khối lăng trụ theo h.

Bài 178: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau có giao tuyến là .D Trên D lấy hai điểm A,B với AB= a. Trong (P) lấy điểm C , trong

(Q) lấy điểm D sao cho AC và BD cùng vuông góc D và AC=BD=AB . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mp(BCD). (ĐH.03D)

344

Bài 179 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

vuông , AB=BC=a , cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cach giữa hai đương thẳng AM và B’C (ĐH.08D)

Bài 180 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

2a , SA=a , SB= a 3 và mp(SAB) vuông góc với mp đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các canh AB , BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đương thẳng SM, DN(ĐH.08B)

Bai 181 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạng SB, BC , CD. Chứng minh rằng AM vuông góc BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP. (ĐH.07A)

Bài 182 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA ; M , N lần lượt là trung điểm của AE , BC. Chứng minh rằng MN vuông góc BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC (ĐH.07B)

Bài 183 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , góc ABC=góc BAD= 90 0 , BA=BC=a, AD=2a . Cạnh bên SA vuông góc

với đáy và SA=a 2 . Gọi H là hình chiêu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mp(SCD) (ĐH.07D)

Bài 184 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.

b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’ . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N (ĐH.02B)

Bài 185: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA= SB= a, mp(SAB) vuông góc mp(ABCD). Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp.

345

Bài 186 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tìm điểm I thuộc cạnh AA’ sao cho mp(BD’I) cắt hình lặp phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất

Bài 187 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, Ù

BAD =

60 0 , SA=SB=AD= 2

3a

a. Tính thể tích khối chóp.

b. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AD

Bài 188 : : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh

a ; Ù

BAD = 60 0 , đường cao SO của hình chóp bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.

ĐÁP SỐ

Chương 1

2 . D(-1,1,1) ; ( , ) = 120o

3. a) (0, , ), (0, , ) b) = (4 , -2, 8), = (-4 , 2, -8)

4. m = 2 -

5. Tỉ số k = ; M(-9,0,4)

6. MN =

7. = (2,7,3)

8. a) M( ,0,0) b) N(-2, ,0), N( , ,0)

9. a) I( ) b) H( )

346

10. b) 45o c) 1

11. a) M(0, ) b) N(0,-5,-2)

12.

13 . a) (x-4)2 + (y+2)2 + (z-1)2 =4 b) (x-4)2 + (y+2)2 + (z-1)2 = 5

c) (x-4)2 + (y+2)2 + (z-1)2 = 42

14. (x-3)2 + (y+3)2 + (z-3)2 = 9

15. a) Tâm (2,-1,1), bán kính b) ( )

16 . (x+ )2 + (y- )2 + (z- )2 =

Chương 2

1. d/ 4x + z = 0 e/ x – 3y + 5 = 0

2. a/ 3x + 7y + 2z – 12 = 0 b/ 2x + y – 2z – 15 = 0

c/ 2x + y – 3z – 14 = 0

3. a = - 1, b = - 4

4. m≠ 1

5. a =

6. M(2, 0, 0) , M( - 4, 0, 0 )

7. a/-2x + 3y – 2z + 8 = 0 b/ 7x + z – 7 = 0 c/ 5x – 4y + 3z – 13 = 0

d/ 7x + z – 7 = 0; 7x + 7y – 3z + 7 = 0 8. x + y ± z – 2 = 0

9. x2 + y2 + ( z – 1 )2 =

10. a/ x + 2y – 4z + 6 = 0 b/ M(2, 3, -7)

347

11. b = c =

12. x – z ± 2 = 0

13. a/ x2 + y2 + z2 – 3x – 3y – 3z = 0 b/ (2, 2, 2)

14. tâm (3, 0, 2), bán kính r = 4

15. 4x + 2y + 7z – 15 = 0; 2x + 3z – 5 = 0

Chương 3 ( Bài tập ôn luyện)

1. a) x=5, y=11 b) ( )0,3,2 -

3. 832

4. a) ÷øö

çèæ 0,

611

,0 b) ÷øö

çèæ -

67

,0,65

5. 21

=k ; ( )16,7,0 -

6. 38

-=m

7. a) 1=m b) 1-=m c) ( )0,2,4 -

8. a) ( )3,2,1 -- b) ÷÷ø

öççè

æ -+1,

222

,2

22÷÷ø

öççè

æ +-1,

222

,2

22,

c) ÷÷ø

öççè

æ--

26

,26

,6

11. a) 26

555 b)

3742

12. ( ) )0,8,0(,0,7,0 -

348

14.a) Không b) 578

=a c) Không

16. 03 =-++ zyx

a) 0134:)( 1 =+-- zyxP , 054:)( 2 =--- zyxP

b) 23 c)

ïïï

î

ïïï

í

ì

=

=

-=

tz

y

x

34

31

41. 124

1 zyx=

-=

-

43. 4=m

44. a) )2,1,1( - b) 32

11

41

-+

=--

=- zyx

45. 2

11

11

-=

-=

-zyx

46. a) )0,3,1( b) 062 =-+ zx

50. b) ïî

ïí

ì

===

tz

ty

x 1

53. b) 05 =-- yx , 012 =+- zy

54. a) ïî

ïí

ì

=+=-=

2

1

3

z

ty

tx b) 02 =+- zx , 0=- zy

349

56. a) 83

23 b)

31

11

51 -

=--

=- zyx

58. a) I ÷øö

çèæ --

23

,23

,4 b) M ( )4,1,6 --

59. b) ( )0,1,3'A c) ( )3,2,1-M

60. 11

21

32

--

=+

=- zyx

62. ïî

ïí

ì

-=-=-=

tz

y

tx

1

22

64. a) ïî

ïí

ì

=-=

=

32

16

z

y

tx

68. a) 02 =-+ zy b) 11

22

4-

=-

=- zyx

69. 12

719

37

176

-=

-

-=

-z

yx

70. a) 030 b) ÷øö

çèæ --

73

,72

,76

A c) 1

73

172

176

+=

+=

-

- zyx

71. c) ïî

ïí

ì

+-=+-=

=

tz

ty

tx

22

53

72. 3

251

21 +

=--

=-- zyx

350

75. a) 61

b) 1

12

111 -

=-

=-- zyx

c) 053 =-++- zyx

97. a) RmÎ ; 21

=m b) RÎa ; pa k=

98. a) 01022 =-++ zyx b) ( ) 1)1()1(2 222 =-+-++ zyx

c) ( ) 14)2()2(3 222 =++++- zyx

d) 01222222 =+---++ zyxzyx

99. ( )94

)3()1(3 222 =++++- zyx

101.b) 28=V c) ( ) 49)5()1(2 222 =++-++ zyx ;

d) ( )1,1,1 -M , ( )7,4,4 -N

e) 011623 =-+- zyx , 050236 =--+ zyx ; 090

106 . 1)2

19()

431

(29 22

2

=++++÷øö

çèæ + zyx

107. 0103564 =-++ zyx , 0205564 =+++ zyx

108. )0,1,2( ; 6

109. )1,4,2( --

110. ( ) 16)2()1(2 222 =-+-+- zyx

112. a) )1,3,2( -H b) ( ) 81)1()1(1 222 =-+-+- zyx

113. 27200

)35

()37

(38 22

2

=-+-+÷øö

çèæ - zyx ,

( )3

50)5()1(4 222 =+++++ zyx

351

114.

115. C (

116. b/ y + z - 1 = 0

117.(5, 5, 5), (1, 1, -1), (-1, 1, 1), (

118.

119. 5x – 6y – 5z + 3 = 0; 5x + 2y + 5z – 11 = 0

120. b/

121. y = 0, -8x + y + 4z + 16 = 0

122.

123. C (

124. I ( )

125.a/ ( b/ (-

c/ (-

126. x – 2y – 3z + 14 = 0

127.x – z – 1 = 0, 53x + 48y + 43z – 101 =0

128. a/ x + z – 1 = 0; 3x + 4y – 5z – 3 = 0

b/ 4x + y + 2z – 4 = 0; 4x + 3y – 2z – 4 = 0

c/ x + z – 1 = 0

352

d/ 5x + 2y + z – 5 = 0

e/ x – 2y + 5z – 1 = 0

129. ( ; ÷øö

çèæ -

÷øö

çèæ -

76

,76

,76

;56

,56

,56

, (6, -6, -6)

130.

143. (1, -3, 1); ÷

øö

çèæ --

717

,79

,7

13

144. a/ m Î R

b/

c/ m = 0

145. m = 1

146.2x – y – 2z + 4 = 0

147.

148.

150. b/ C (3, 5, 4) ;

151. a/ (-1, 0, 5); (5, 6, -7)

b/ .

152. B (1, 2, 3), C (3, 5, -1) ; B (5, 8, -5), C(3, 5, -1)

153.a/ (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 =13

353

b/ 35x – 9y + 11z – 50 = 0

154.b/ (x - )2 + (y - )2 + (z + )2 =

169.b.

ïïï

î

ïïï

í

ì

+-=

=

-=

tz

y

x

31

38

31

c. ïî

ïí

ì

===

1

1

z

ty

x

d. 72

2110

2134

2116

222

=÷øö

çèæ -+÷

øö

çèæ -+÷

øö

çèæ - zyx

170. a. ( x – 1 )2 + ( y + 2 )2 + ( z – 3 )2 = 50 ; ( -3, 1, -2 )

b. 3

39235

38

331

222

=÷øö

çèæ -+÷

øö

çèæ ++÷

øö

çèæ + zyx

c. x2 + y2 + z2 = 14

d. x2 + y2 + z2 524

- x5

12- y – 14 = 0

e.014

56

25102

25114

;0145

142538

25134

222

222

=----++

=-++-++

zyxzyx

zyxzyx

g. (x-1) 2 +(y+2)2

+(z-3) 2 =229

171 1. a.(2,0,0)

b.(2,0,0)

c.(-2

23,-

223

,0)

354

2. (1211

,6

13,

1229-

)

172. a. (0,0,1) , r=3

b. x 25)3( 222 =+++ zy

c. x 10)2( 222 =-++ zy

173. 2y+z+5=0 ; 2y-z-5=0

174. a. 90 0 b. (0,1,-1)

175. b. x-y+z-2=0 c. 3

2

176. a. 6

125

b. ïî

ïí

ì

+==

+=

tz

ty

tx

3

2

c. (4,2,5) , (0,-2,1)

177. 2

33h

178. ;2

3a

22a

179 . 2

23a ;

77a

180 . 3

33a ;

55

181 . 96

33a

355

182 . 4

2a

183 . 3a

184 . a) 6

a b) 90 0

185. 54

217 3ap

186. I là trung điểm AA’

187. a) 12

53a b) 90 0

188. 19

572a

189. 36

23a

Documents

ƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNGtruonglachongtphcm.edu.vn/document/Microsoft_Word_-_CHUONG3.pdf · 229 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT