Neurria Eta Integrazioa UPV /EHU

  • View
    178

  • Download
    11

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Neurria eta Integrazioa irakasgaieko apunteak

Text of Neurria Eta Integrazioa UPV /EHU

  • Lan honek UPV/EHUko Zientzia eta Teknologia Fakultatean Matematikagraduko hirugarren mailan irakasten den Neurria eta Integrazioa materiarennotak batzen ditu. Programari jarraituz, lan honetan sei gai agertzen dira.Horietatik bost programan dauden gaiak dira, guztiek egitura berdina dute-larik: lehenik gaiari buruzko teoria azaltzen da eta azkenengo atalean klaseanlanduko den ariketa zerrenda. Badago desberdina den azkenengo gai bat, nonariketa gehigarriak ematen diren. Ariketa hauek ez dira klasean egiten dire-nak, baizik eta ikasleei ematen zaien material osagarria bakoitzak bere kabuzlantzeko.

    Leioan, 2013ko apirila

    i

  • orri zuria

    ii

  • Aurkibidea

    Aurkibidea iii

    1 LEBESGUEREN NEURRIA 11.1 Integrazio-teoriaren garapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Riemannen integralaren murrizketak . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Lebesgueren neurria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Espazio neurgarriak. Neurriak eta Kanpo-neurriak . . . . . . . . 91.5 Lebesgueren neurriaren propietateak . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Lebesgue-Stieljesen neurriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2 FUNTZIO NEURGARRIAK. INTEGRAZIOA ETA PROPI-ETATEAK 232.1 Funtzio neurgarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Lusin eta Egoroven teoremak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Lebesgueren integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Funtzio integragarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 Konbergentzia Monotonoaren Teorema eta Fatouren Lema . . . 402.6 Lebesgueren Konbergentzia Menderatuaren Teorema . . . . . . 432.7 Riemannen integrala eta Lebesgueren integrala . . . . . . . . . . 482.8 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3 FUBINIREN TEOREMA ETA ALDAGAIAREN ALDAKETA 553.1 Biderkadura-neurria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Fubini-Tonelliren Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3 Aldagaiaren aldaketa. Koordenatu polarrak . . . . . . . . . . . 663.4 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4 HILBERT ESPAZIOAK 714.1 Hilbert espazioak: adibideak eta propietateak . . . . . . . . . . 724.2 Ortogonaltasuna eta proiekzioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3 Sistema eta oinarri ortonormalak . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    iii

  • Aurkibidea

    4.4 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    5 BANACH ESPAZIOAK ETA Lp ESPAZIOAK 955.1 Espazio normatuak. Banach espazioak . . . . . . . . . . . . . . 965.2 Lp espazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3 Lp espazioen propietateak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4 Espazio normatuen arteko eragile lineal eta jarraituak . . . . . . 1055.5 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    6 ARIKETA OSAGARRIAK 1136.1 Lehen gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2 Bigarren gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 Hirugarren gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4 Laugarren gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.5 Bostgarren gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    Bibliografia 123

    iv

  • 1. Gaia

    LEBESGUEREN NEURRIA

    1.1 Integrazio-teoriaren garapena

    XX. mendearen hasieran Henry Lebesguek (1875-1941) bere izena duen teoriasortu zuen, Lebesgueren neurria eta Lebesgueren integrala, hain zuzen ere.Gaur egun erabiltzen dugun integrazioa eredu honetan oinarrituta dago.

    XVIII. mendearen bigarren erdialdean funtzioaren definizioa ez zegoen batereargi. Gehienetan adierazpen analitiko batez idatz zitekeen zerbait zen. Ho-rrela ikusita, funtzio bat ekuazio mota bat zen, integrazioaren problema on-dokoa zelarik: emandako f(x) funtzioa hartuz, F (x) bere jatorrizko funtzioabilatzea.

    Lebesgueren ustez, aldagai bateko funtzio erreala edozein korrespondentziazen, non x aldagaiari f(x) balioa dagokion. Definizio honen arabera, funtzioorokorragoak azter zitezkeen eta haien integralak definitu behar ziren. Ikusdezagun ordurarte egindako ibilibidea.

    J. DAlambertek (1717-1783) uhin-ekuazioarentzat emandako ebazpenari be-gira, L. Eulerek (1707-1783) susmatu zuen agertzen ziren soluzioek ez zutelajarraituak izan behar, irregularrak edo orokorragoak baizik. Beste aldebatetik, korda-dardarkariaren problema aztertzerakoan, ia edozein funtzio sin-uen serie bezala idatz zitekeen arazoa sortu zen. D. Bernoulli (1667-1748),fisikako argudioetan oinarriturik, erantzuna baiezkoa zelakoan zegoen, bainaL. Euler eta J. Lagrangeren (1736-1813) ustez, hor kontraesana zegoen funtziodardakarien arbitrarietatearengatik.

    XIX. mendean murgilduz, J. L. Fourieren (1768-1830) lanak erakusten zuenfuntzio bat serie trigonometrikoa bezala idatz zitekeela, koefizienteak inte-

    1

  • Lebesgueren neurria

    gralen bidez kalkulatuz: biz f(x) funtzioa [l, l] tartean definituta,

    f(x) =1

    2a0 +

    n=1

    (an cos

    npix

    l+ bn sin

    npix

    l

    )(1.1)

    da x [l, l] .Fourierek ordurarte izandako galderarik garrantzitsuena azaldu zuen: (4.3.6)serieraren batura partzialaren limitea f(x) izango al da ? Hau frogatzekoontzat hartu zuten seriearen integrala bere batugaien integralen seriea zela,hau da: l

    l

    (limn

    sn(x))dx = lim

    n

    llsn(x)dx,

    sn(x) serieraren batura partziala izanik.

    Fourierek emandako frogapenak ez ziren inola ere zehatzak eta haren formulakjustifikatu nahian integralaren definizioak abiatu ziren: f edozein funtzioa

    bada, nola defini daiteke

    llf(x)dx ?

    Integralaren lehen formulazioa A. Cauchyk (1789-1857) eman zuen, [a, b] tarteanjarraituak diren f funtzioaterako: a = t0 < t1 < < tn = b tartearen par-tiketa bat bada, ci [ti1, ti] puntua izanik, integrala

    ni=1

    f(ci)(ti ti1)

    adierazpenaren limite bezala definitzen da, max(ti ti1) 0 denean. f -renjarraitutasun uniformeak limitearen existentzia bermatzen du alde batetik, etabestetik definizio hau erraz heda daiteke eten-puntuen kopurua finitua duenfuntzio bornatuaren kasura.

    B. Riemannek (1826-1866) Cauchyren metodoa edozein funtziotara hedatzeapentsatu zuen, eta modu honetan ezagutzen dugun Riemannen integralarendefinizioa eman zuen, goi eta behe-baturak erabiliz: [a, b] tarte bornatuarenedozein P partiketa hartuz, behe-baturaren gorena eta goi-baturaren beherenaberdinak badira f funtzioa integragarria da eta integralaren balioa lortutakozenbakiaren balio hori da.

    Cauchyren prozedura erabiliz, J. Dirichletek (1805-1859) integralak, edozeinfuntzioren kasuan, ez duela zertan balio bakar bat izan behar frogatu zuen,eta kontradibide gisa [0, 1] tarteko funtzio karakteristikoa erabili zuen. Honekiradoki zuen eten-puntuen kopurua eta multzoaren neurria zerikusia zutela.

    2

  • Lebesgueren neurria

    Garai hartan, G. Cantor (1845-1918) multzoen eta hauen neurrien ikasketanarduratzen zen, eta hori funtsezkoa izango zen geroago integrazio-teoriarengarapenerako.

    Integragarritasuna eten-puntuekin lotuta zegoela konturatu zen lehena P. DuBois Reymond (1831-1889) izan zen. Puntu hoien multzoak nolabait neurtubehar ziren. Hemen ezar ditzakegu neurriaren teoriaren hastapenak.

    Henri Lebesguek bere izena duen teoria bere tesian aurkeztu zuen 1902. urtean,Borelek definitutako neurria orokortuz eta zero neurriko multzoaren definizioaezarriz.

    H. Lebesgue (1875-1941)

    Lebesgueren integralaren ideia hauxe da: definizio-eremuaren partiketa eginbeharrean, egin dezagun irudi-eremuaren partiketa, hau da, irudi-multzoan bibalioen artean, zenbat aurreirudi dauden, edo beste modu batean esanda,aurreirudien multzoa neurtu.

    Bere hitzak erabiliz hau da, grafikoki, bere integralaren definizioa: Kantitatebat ordaindu behar dut; nire poltsikoetan begiratu eta balio desberdinetako tx-anpon eta diru-paperak aurkitzen ditut. Nire hartzekodunari ematen dizkiotagertzen diren ordenean nire zorra ordaindu arte. Hori da Riemannen in-tegrala. Honen ordez, diru guztia atera eta balio berdineko diru-paperak etatxanponak batzen ditut eta horrela zorra ordaintzen dut. Hori da nire inte-grala. Zorraren ordainketa bigarren modura egiteko aurretik lan gehiago eginbehar da (diru guztia atera eta sailkatu) baina egindako lan horrek etekinahandiagoa emango digu gero. Hau da Lebesgueren integralarekin gertatukodena, definizioa emateko bide luzeagoa egin behar dugu baina gero emaitzahobeak lortuko ditugu.

    3

  • Lebesgueren neurria

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

    0.5

    1.0

    1.5

    Urte batzuk geroago Burkillek, lengoai matematikoa erabiliz, Lebesgueri buruzesan zuen: bere lana Matematikako arlo bati dagokio, Analisi Errealari, hainzuzen ere. Arlo horretan bera da gorena.

    1.2 Riemannen integralaren murrizketak

    Integralaren kontzeptua eskualde bat neurtzearen ideiarekin lotuta dago. Rie-mannen integrazioan [a, b] tarte trinko batean bornaturik dauden funtzioakaztertzen dira soilik. Tartea edo funtzioa ez badira bornatuak arazoak agertzendira. R-ko edozein multzo neurtzeko saiaketak integragarritasuna (Riemannenarabera) eta jarraitutasunaren arteko erlazioan du jatorria.

    XX. mendearen hasieran ezaguna zen funtzio bat Riemann-integragarria iza-teko eten-puntuen multzoa ezin zela handia, non handia finkatzeko zegoen.Lebesguek integragarritasuna eta eten-puntuen kopuraren arteko erlazioa ze-hazten du.

    Beste aldetik, Riemannen integralak duen hutsunerik garrantzitsuenetariko batlimitearekiko duen portaeran datza, galdera opndokoa izanik: limitea eta in-tegralaren arteko ordenaren aldaketak eragina