Neodreeni integrali I njihovo rijeavanje

Univerzitet u Sarajevu

Farmaceutski fakultet

Predmet:

MatematikaTema:

Neodreeni integral

Mentor: prof.dr.Senada KalabuiStudent: Nejra Devlan

Broj indeksa: 5542/14

Sarajevo, decembar, 2014. godine

Sadraj1. Uvod ....

03

2. Neodreeni integrali

2.1. Primitivna funkcija .

04

2.2. Osnovna svojstva neodreenog integrala ....

07

2.3. Osnovna pravila integriranja

09

2.4. Tablini integrali

102.5. Metoda zamjene promjenljive u neodreenom integralu

122.6. Metoda parcijalne integracije ..

152.7. Integracija metodom rekurzivnih formula .

18 2.8. Integracija iracionalnih funkcija .

20 2.9. Integracija trigonometrijskih izraza i funkcija ......

233. Zakljuak .

274. Literatura ..

281. UVOD

Od nastanka ovjeanstva, ovjek je razvijao svoje sposobnosti, kako bi olakao svoj opstanak i poboljao kvalitet ivota u svim njegovim segmentima. Razvoj znanosti doveo je do razvoja mnogih grana nauke, meu kojima je i matematika. Sama historija nastanka jedne veoma bitne oblasti matematike, integrala, javlja se ve u Starom Egiptu. Daljim razvojem ovjeanstva razvijala se i primjena ove oblasti kao i rjeavanje samih integrala. Od Arhimeda, pa preko Aryabhata, Al-Haytama, pa do Cavalieri-ja i Fermat-a, mnogi su dali bitan doprinos razvoju integralnog rauna. Konane temelje primjene integralnog rauna postavljaju Barrow i Torriceli, koji otvaraju novu eru primjene integrala.Samo rjeavanje integrala, kao i njihova veza sa diferencijacijom je veoma bitan dio mnogih prirodnih znanosti. Naroito se istie primjena integrala u geometriji a tu su : :raunanje povrine ravninskih likova,raunanje duljine luka ravninskih krivulja,raunanje volumena (obujma) tijela koja nastaju rotacijom ravninskih krivulja oko zadane osi,raunanje oploja tijela koja nastaju rotacijom ravninskih krivulja oko zadane osi. Pored primjene u matematici imamo primjenu integrala i u fizici i to: raunanje rada (integral sile po putu), raunanje hidrostatskog tlaka i raunanje momenata i teita. U ostatku rada su prikazane razliite vrste funkcija te rijeavanje njihovih integrala.

2. Neodreeni integrali

2.1 Primitivna funkcija

Jednakost

nam ukazuje da funkciji sinx pridruujemo funkciju cosx Uope, ako je zadana funkcija f tada se pod primitivnom funkcijom te funkcije (ili antiderivacijom funkcije f ),podrazumjeva svaka funkcija F kojoj je derivacija jednaka zadanoj funkciji f .Primitivna funkcija

Funkcija F(x)

Tumaimo li primitivnu funkciju preko diferencijala to bi znailo : ako je

To znai da je F =f(x) dF(x)=f(x)dx

(Diferencijal dx nam govori po kom argumentu treba odrediti primitivnu funkciju.)

Operacija kojom se odreuje primitivna funkcija (neodereni integral),naziva se INTEGRACIJA(INTEGRIRANJE) funkcije f(x) Primjetimo, deriviranje i odreivanje primitivne funkcije su meusobno inverzne operacije. Zato se moe govoriti o antideriviranju kao integriranju, i o antiintegriranju kao deriviranju. Meutim, integriranje je sloeniji postupak od deriviranja. Integral elementarne funkcije nije uvijek elementarna funkcija. Naime, dok je svaku elementarnu funkciju lako derivirati jednostavnom primjenom pravila deriviranja, pri emu je derivacija opet elementarna funkcija, kod integriranja to nije sluaj. Tako je, na primjer,

dok recimo

nije elementarna funkcija, odnosno ne moe se prikazati pomou konane primjene zbrajanja, razlike, mnoenja, dijeljenja i komponiranja osnovnih elementarnih funkcija.

Integral ove funkcije moe se prikazati pomou reda funkcija.

Primjer: Posmatrajmo jednakosti

.

(c proizvoljna konstanta)

Primjeujemo da funkcija cos x moe imati beskonano mnogo primitivnih funkcija, koje se meusobno razlikuju za konstantu C. Prema tome primitivnu funkciju funkcije cos x moemo pisati u obliku

Uope moemo definisati:

Neodreeni integral

Skup svih primitivnih funkcija zadane funkcije naziva se NEODERENI INTEGRAL funkcije f QUOTE

. Zapisuje se: Primjer: Grafiki prikazati integral ako je c=0,1;2. Rijeenje problema sve svodi na crtanje parabola: y=sin x, y=sin x -1, y=sin x +1, y=sin x -2, y=sin x +2 koje se dobiju translatacijom parabole y=sin x du ose y za datu konstantu c.

Grafiki prikaz neodreenog integrala

Uope je :

Geometrijski prikaz neodreenog integrala Neodreeni integral QUOTE

geometrijski predstavlja familiju krivih y = F(x) + Ckoje se dobiju translacijom grafika funkcije F(x) du ose y esto je potrebno nai jednu oderenu primitivnu funkciju.Kako se to radi pokazati emo primjerima.

Primjer:Odrediti

Familija krivih glasi: y = sin x + C QUOTE

. Meu njima treba odrediti krivu koja prolazi takom (/2,2), Zamjenjujui x = /2, y =2 , QUOTE dobijemo 2 = sin /2 +C C =1. QUOTE Prema tome traeni integral je:

2.2 Osnovna svojstva neodreenog integrala1. Izvod neodreenog integrala funkcije f postoji u svakoj taki x

Zaista, iz jednakosti=F(x)+C

Ova jednakost vai za 2. Diferencijal neodreenog integrala funkcije f postoji u svakoj taki sa iskljuenjem moda prebrojivog skupa taaka iz tog razmaka i pri tome vai jednakost:

Stvarno, ako funkcija f ima funkciju F kao tanu primitivnu funkciju na razmaku , tada ova jednakost vai za svaki , jer iz jednakosti :

slijedi da je :

Analogno se dokae navedeno svojstvo i u sluaju kada podintegralna funkcija f ima primitivnu funkciju koja nije nuno tana primitivna funkcija.3. Ako je F diferencijabilna funkcija na razmaku , onda vai jednakost:

Zaista, iz definicije pojma tane primitivne funkcije funkcije f na razmaku slijedi da je Sada na osnovu jednakosti

pa je

QUOTE

tj. to je i trebalo dokazati.

Sljedea definicija je vezana za definiciju pojma neodreenog integrala.

Za dva izraza koji sadre neodreeni integral kaemo da su jednaki ako svaka funkcija koja je obuhvaena jednim izrazom pripada skupu funkcija koje obuhvata drugi izraz.

4. Neka funkcije f i g respektivno imaju funkcije F1 i F2 QUOTE

kao tane primitivne funkcije F na razmaku . Tada i funkcija 1f + 2g QUOTE

ima primitivnu funkciju na razmaku i pri tome vai jednakost:

pri emu su 1 i 2 Zaista, definirajmo funkciju F formulom QUOTE

QUOTE

. Funkcija F ima izvod na razmaku i pri tome vai jednakost

Sada slijedi po definiciji pojma neodreenog integral da je

(2.2.1.)

gdje je C proizvoljna realna konstanta.

S druge strane, takoe po definiciji pojma neodreenog integrala imamo :

pri emu su C1 i C2 QUOTE

proizvoljne realne konstante. Mnoei sa 1 a sa 2, a zatim sabirajui dobijene jednakosti imamo:

(2.2.2.)

Slijedi, prema naprijed navedenoj definiciji, da svaka funkcija sadrana u skupu funkcija sa desne strane jednakosti (2.2.1.) pripada skupu funkcija sa desne strane jednakosti jer je dovoljno uzeti

za zadane vrijednosti C1 i C2Posljedica: Ako funkcije f1, f2, .....fn imaju primitivne funkcije na razmaku , onda i funkcija QUOTE

ima primitivnu funkciju na razmaku i pri tome vai jednakost

pri emu su 1, 2 ......... n

Napomena: Ova napomena vezana je za tehniku traenja primitivne funkcije za sluaj kada podintegralna funkcija ima prekid.

Neka je

za restrikcije funkcije f na razmacima QUOTE

taka prekida prvog reda funkcije f . Pretpostavimo da postoje primitivne funkcije F1 i F2 i

QUOTE

QUOTE

uzetih bez take x0. Sada primitivna funkcija funkcije f na razmaku

Iz jednakosti F1(x0 - 0) + C = F2 (x0 +0) QUOTE

moemo izraunati konstantu C, pa takvim njenim izborom funkcija f postaje neprekidna na razmaku QUOTE

, te po definiciji ona moe biti primitivna fumkcija funkcije f na razmaku . Postupak nalaenja neodreenog integrala funkcije F na razmaku naziva se integriranje (ili integracija) funkcije f (x) na razmaku .

2.3 Osnovna pravila integriranja

Osnovna pravila integriranja slijede neposredno iz definicija pojma neodreenog integrala i pojma integriranja funkcija, pa u skladu sa osnovnim svojstvima neodreenog integrala, koja su izvedena u prethodnom paragrafu, imamo sljedea etiri osnovna pravila koja se koriste za neposredno integriranje odgovarajuih realnih funkcija jedne realne promjenljive.

1) Ako je F '(x) = f (x), onda je

QUOTE

, gdje je C po volji odabrana konstanta ().

2) gdje je ( 0) konstanta ( 3)

Ovo (tree) osnovno pravilo integriranja proiruje se do sljedee opte metode razlaganja (metode dekompozicije) koja zajedno sa metodom uvoenja novog argumenta, metodom zamjene promjenljive i metodom parcijalne integracije ini skup osnovnih metoda integracije. Ova metoda se primjenjuje u sluaju kada funkciju f moemo predstaviti u obliku konane sume funkcija fi

4) Ako je QUOTE

i QUOTE

onda je

Ovo etvrto osnovno pravilo integriranja je poznato i kao metoda uvoenja novog argumenta.2.4 Tablini integrali

Kako je integriranje zadane funkcije inverzna operacija deriviranja,to nam omoguuje da neposredno iz derivacija funkcija, koje poznajemo,izvedemo primitivne funkcije.

I . specijalno je :

a)

b)

c)

d)

II.

III.

specijalno je : gdje je e Eulerov brojIV.

V.

a)

b)

c)

d)

VI.

a) b)

VII.

ili:

VIII. ili :

IX.

Svaki od navedenih integrala provjerava se direktnom derivacijom funkcija na desnoj strani.

Provjerimo jednainu

QUOTE

.Uoavamo da se pojavio znak apsolutne vrijednosti na desnoj strani. Razlog tome je to je podintegralna funkcija definisana za svaki realan broj x0 Imamo dakle, za:

Primjer 2.3.1.: Odrediti:a)

QUOTE

b) c) d) ,

a)

QUOTE

b) c)

d)

2.4 Metoda zamjene promjenljive u neodreenom integraluKako ne postoji opti metod pogodan za izraunavanje neodreenih integrala, prilo se traenju metoda koje omoguuju, iako nedovoljno efikasno, izraunavanje integrala u mnogim specijalnim sluajevima. U ovom paragrafu upoznaemo dvije osnovne metode integracije: metodu zamjene promjenljive i metodu parcijalne integracije. Neka je funkcija QUOTE

neprekidna na razmaku i diferencijabilna u svakoj taki tog razmaka osim moda na prebrojivom skupu taaka razmaka . Tada je, kako znamo, funkcija primitivna funkcija svake funkcije koja je definirana na razmaku i koja uzima vrijednosti jednake njenom izvodu u svakoj taki Neka je funkcija g : QUOTE

neprekidna na razmaku QUOTE

pri emu je . Kako je neprekidna funkcija neprekidne funkcije je neprekidna funkcija, to slijedi da je na razmaku definirana sloena neprekidna funkcija g((x)). Prema teoremi navedenoj u prethodnom poglavlju imamo da svaka neprekidna funkcija ima tanu primitivnu funkciju, pa funkcija g ima tanu primitivnu funkciju na razmaku , koju emo oznaiti sa G. Za takvu funkciju G vrijedi da je G '(t) = g (t) za . Kako je funkcija G definirana na razmaku , to je, zbog QUOTE

, na razmaku definirana sloena funkcija F(x)=G((x)) QUOTE

, pri emu je funkcija F neprekidna na razmaku i ima izvod, koji je zadan formulom:F'(x)=G'((x)) '(x)=g((x)) '(x)

u svim takama razmaka, osim moda u takama prebrojivog skupa taaka iz tog razmaka. Zato je funkcija G((x))

gdje je QUOTE

proizvoljna konstanta. Na taj nain imamo da ako je G tana primitivna funkcija funkcije g na razmaku , onda je funkcija G((x)) primitivna funkcija funkcije g((x))'(x) na razmaku pod uinjenim pretpostavkama.

Neka sada treba izraunati integral f(x)= g((x))'(x)dxpri emu se lako rauna integral:

onda vrijedi jednakost :

(2.5.1.)

gdje je C proizvoljna realna konstanta.

Formula zadana sa (2.5.1.) naziva se formula zamjene promjenljive u neodreenom integralu. Napomenimo da je pri izraunavanju neodreenog integrala, umjesto zamjene t=(t) , esto pogodnije izvriti zamjenu (smjenu) x=(t)

(2.5.2.)

odakle slijedi da je QUOTE

, i ako funkcija ima inverznu funkciju t:= -1(x).Primjer 2.5.1: Izraunajmo neodreeni integral :

Rjeenje: Primijetimo da je pogodno uvesti smjenu :

jer tada imamo :

Lako se utvruje da za podintegralni izraz vrijedi :

tako da je :

to je tablini integral VIII.

Primjer 2.5.2: Naimo integral

Rjeenje: Kako je f '(x)dx=df(x), to uvoenjem smjene f (x)=u dobijemo

tj.

(2.5.3.)

Primjer 2.5.3.: Izraunajmo integral:

Kako je , to prema (2.5.3.) (ili uvoenjem smjene

Primjer: Izraunajmo :

Uvoenjem smjene =u QUOTE

dobijemo . Dakle,

pa je :

Zadatak 2.5.1.: Za realnu funkciju f jedne realne promjenljive zadanu formulom:

ispitajte egzistenciju primitivne funkcije, a zatim dokaite da je jednak:

Rjeenje: Zadana funkcija f je definirana za svaki realni broj x za koji je x(x+1)>0, tj. prirodni domen te funkcije je skup Dom ( f )={xR: x >o x