Click here to load reader

NAPAKE NISO VEČNE, Presek, zgoščenke, planeti in · PDF fileIRačunalništvo NAPAKE NISO VEČNE Presek, zgoščenke, planeti In kode V časuinformacijske tehnologije (zgoščenke,

  • View
    245

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of NAPAKE NISO VEČNE, Presek, zgoščenke, planeti in · PDF fileIRačunalništvo...

ii

1531-Jurisic-Napake 2010/8/25 11:04 page 1 #1 ii

ii

ii

List za mlade matematike, fizike, astronome in racunalnikarje

ISSN 0351-6652Letnik 30 (2002/2003)tevilka 6Strani 361366, XXIII, XXIV

Aleksandar Juriic:

NAPAKE NISO VECNE, Presek, zgocenke, pla-neti in kode

Kljucne besede: racunalnitvo, matematika, informatika, kodiranje,odpravljanje napak, Hammingove kode, Red-Salomonove kode.

Elektronska verzija: http://www.presek.si/30/1531-Jurisic.pdf

c 2003 Drutvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenijec 2010 DMFA zalonitvo

Vse pravice pridrane. Razmnoevanje ali reproduciranje celote aliposameznih delov brez poprejnjega dovoljenja zalonika ni dovo-ljeno.

IRaunalnitvoNAPAKE NISO VENEPresek, zgoenke, planeti In kode

V asu informacijske tehnologije (zgoenke , mobilni telefoni, banne kar-tice, internet ) se vsi dobro zavedamo pomena hitrega in natannega pre-nosa, ob delovanja in hr anj enj a inform acij. e tako popolne nap rave delaj onap ake, le-te pa lahko hitro spremenijo sicer izredno koristno programskoin strojno opremo v nivredno ali celo nevarn o oro dje . Dolgo asa so seljudje t ru dili izdelati raunalnike in pomnilnike, ki bod o nar edili oziromavsebovali, kar se da malo nap ak . Seveda so bile zato cene takih izdelkovvedno vije. Potem pa so se domislili , da bi raj e raunalnike sa me nauiliiska ti in odpravljat i napake. Za poveanje zanes lj ivosti pr enosa in obde-lave informacij smo dolgo asa up orablj ali kontrolne bi te (angl. pari ty-check bits), kot npr. pri te vilki bannega eka, ki pa so sluili le za od-krivanj e nap ak. Ko je matematik Richard Hamming vnaal v raunalnikpr ogram e s pomojo luknjanj a kartic in ko mu je raunalnik zavrn il paketkartic zara di napak , se je zamislil : "e zna raunalnik sam odkrit i napako,zakaj ne zna najti tudi njenega mest a in je odpraviti?"

Resnino nas vedno bolj zanima, kaj lahko sto rimo, e pride dotovrstnih nap ak , sa j so raunalniki zaeli pr evzemati veino dela na po-droju informacij in pri te lekomunikacijah . Na zaetku so bili raunalnikipr ogrami dovolj enostavni, tako da so tehnine nap ake (po navadi je od po-vedala elekt ronka) hitro postale oitne. Tod a z razvoj em stro jne opremeso postaj ali programi vse obse nej i in bo lj zapleteni, s tem pa je upanj e,da bi lahko hitro opazili majhne nap ake, ki spremenijo delovanj e naprave,plahnelo. Monost, da se nam izmuzne kakna nap aka , je vse veja t udizato, ker so elektronska vezja iz dneva v dan manja , raunaln iki pa vsehi t reji. Tu di e je monost napake ena sa ma milij ardinka (npr. indu-strijs ki standard za trde diske je ena napaka na 10 milij ard bitov), sebo raunalnik , ki opravi dve milij ardi osnov nih operacij na sekundo , intak raunalnik je pr av dolgoasno poasen glede na superraunalnike,zmotil pr ibl ino dvakrat na sekundo. Glede na koliino pod atkov, ki jihobdeluje mo dandan es, je to pr avnji rece pt za vsakodnev ne nevenosti.

Kaj lah ko to rej storimo? Raziskovalci so nali odgovo r v kod ah za od-pr avlj anj e nap ak. Koda je skupina simbo lov, ki pr edstavlj a informacijo.Kod e obstajajo e tisoletja . To so npr. hiero glifi, grka abeceda, rimsketevilke ali pa genetska koda za sestavljanje ribonukleinskih kislin , razlinekod e za zapi s govora ali glasbe, Morsejeva abeceda za pr enos informacij,kod e za shranjevanje podatkov. Matematina teorija kod , ki se je razvilav zadnjih petdesetih letih, je raunalnikarjem in inenirjem omogoila, dasestavijo sisteme , ki so , kar se da zanes lj ivi (kolikor pa dopua st rojna

Raunalnitvo I

oprema). Tako teorija kodir anja lahko predstavlja varnostno mr eo, svo-jevrstno matematino zavarovanje pred muhastim materi alnim svetom, vkaterem ivimo .

Tehnologija kod za popravljanje napak j e danes tako rez irjen kotzgoenke (CD) . Omogoa nam , da posluamo priljubljeni Mozartovali Madonnin CD brez kakrnih koli m otenj , etudi nam ga maka pravpoteno spraska.

En ako tehnologijo uporabljajo za komunikacijo tud i vesoljske ladje insonde, ki raziskujejo nae osonje . Kode za odpravljanje napak omogoajo, da kljub elekt romagnet nim motnjam pridejo na Zemlj o kr ist alno jasnipos net ki oddaljenih planetov , pr i te m pa za pr enos porabimo manj ener-gije kot hladilnikova arnica (gre torej za epetanje , ki mora prep otovative milijard kilomet rov) .

V nad alj evanju prispevka bomo najprej pr edst avili enostavneje kodeza odpravljanje nap ak , npr. kode s ponavljanjem in Hammingove kode ,nat o pa bomo spoznali e poenost avlj eno vari anto t . i. Reed-Salomonovihkod . Nazadnje si bomo ogledali osnove kodiranj a na zgoenkah.

Preproste kode za odpravljanje napak

Claude Shannon je km alu po koncu druge svetovne vojne postavil t eo-retine osnove teoriji informacij in zanes lj ivemu prenosu digitalnih pod at-kov. Leta 1948 pa je Richard Hamming izumil metodo za popravljanjeene napake in odkrivanje dveh nap ak. Bistvo vseh metod za odpravljanjenapak je dodaj anj e kont rolnih bitov. Naje nostavneja kod a za odpra-vljanje nap ak je zasnovana na ponavljanju. e npr. priakujemo , da priprenosu ne bo pri lo do ve kot ene same nap ake, potem je dovolj , da vsakbit ponovimo t rikrat in pri sprejemu up orabimo "veinsko pravilo" (zelokr atko "simfonijo" 1101 zakodiramo v III III 000 lll ). e prejmem oIII a ll 000 lll , popravim o sporoilo v III III 000 III in ga nazadnjee dekod ira mo v 1l01. V splonem lahko odprav imo n napak z (2n + 1)-kratnim ponavljanjem in up orabo veinskega pravila. Toda ta metod a jepreve potratna. V asu, ko si elimo hitrega pr enosa im veje koliinepodatkov, je takno napihovanje veinoma nesprejemljivo. Namesto tegasi elimo dodati manj e tevilo kontrolnih bitov , ki pa naj bo do ravnot ako, ali pa morda e bolj , uinkoviti.

Najpreprosteji primer Hammingove kod e za odpravljanje napakpr edstavimo kar s pomojo P resekovega znamenj a (slika 1 na III. st raniovit ka).

S Hammingovo kod o nam je uspelo zmanjat i t evilo kontrolnih bitovz osem na tri, dobili smo torej kodo z informacijsko stopnjo 4/ 7 name-

I Raunalnitvo

sto pr ejnjih 4/ 12 = 1/ 3. Opi san o Hammingovo kod o lah ko seved a po-sploimo. Obiajno to storimo z nekaj linearn e algebre (glej [3]).

Hammingova koda odkrije, da je do napake pri prenos u prilo t udi ,kadar je pri lo do dveh napak, saj vsi trije krogi ne morejo vsebovati ob ehpo lj , na katerih je pri lo do nap ake. e pa na dveh mestih zaz namo, dasimb ola manjkat a , da ju npr. ne moremo pr ebrati (angl. erasur e) , potemznamo t i dve mesti celo popraviti.

V grobe m lahko reemo, da je cilj t eorij e kodiranja najti primernoravnovesje med skromno metodo nadzora z nekaj kontrolnimi biti in raz-sipno metodo s po navljanji . Hammingova koda pr edst avlja prvi korak vto sme r.

R eed-Salom onove kode

Po odkritju Hammingove kode je sledilo obdobje te vilnih poskusov skod ami za odpravljanj e napak. Ko je bila teorija kod st ara deset let ,st a Irving Reed in Gustave Salomon (t akrat zaposlena v Lincolnovemlaboratoriju na MIT) namesto niel in enic uporab ila skupine bitov, kij im t udi v raunalnitvu pr avimo kar besede. Ta izbira je pripomogla kodpravljanj u t .i. grozdnih napak , pri katerih se pokvari ve zaporednihbitov. e delamo npr. s skupinami, sestavljenimi iz osmih bitov, potemcelo devet zaporednih nap ak lahko pokvari najve dve besedi . Reed-Salom onova kod a (na kr atko RS-kod a) za odpravljanje dveh napak torejpr edst avlja e pr ecej dobro zaito.

Naj bo (aa,al , . . . , alO), a; E ~13 , sporoilo , ki ga elimo pr enesti .Nadomestimo ga s 13-terico (co, Cl , ... , CIO , Cn, CI2) , t ako da je Ci = a, zai E {O, ... , lO}, besed i Cn, Cl2 E ~13 pa izraunamo iz enab

CO+CI + . . ' + CI2 mod 13 = O in Cl + 2C2+ " + 12cI2 mod 13 = O (1)

in poljemo. Predpost avimo , da smo pr ejeli zaporedje (ro, r l , . . . , r lO ,rn, rI2), pri emer je pri lo kvejemu do ene napake. e je do napake pri-lo pr i prenosu besede Ci , potem velja r j = Cj za vse jE {O, 1, . .. , 12}\{i}in r i = Ci +e za neki e E {1, . .. , 12}. Iz e = rO +rl + . . +rI2 mod 13 =1= Ou go t ovimo , d a j e prilo d o n apake . Nato p a iz r l + 2r2 + . . . + 12r l 2 ==== ie (mod 13) z deljenj em z e izraunamo e i , ki nam pove, na kateremmestu moramo odteti e, da odpravimo napako. Prili smo do [13,11]-kodez informacijsko stopnjo 11/ 13, ki zna popraviti eno napano besedo.

Primer. Naj bo a = (1,3,8,2 ,7, 0,1 ,9 ,11 ,4,12) . Potem iz (1) dob imo6 + Cn + Cl2 = O mod 13 in 2 - 2cn - Cl2 = O mod 13 oziroma Cn = 8mod 13 in Cl2 = 12 mod 13, torej je C= (1,3,8, 2, 7, 0,1 ,9,11 , 4, 12, 8,12).

364 Raunalnitvo IRecimo, da smo dobili r = (1,3,8, 2, 1, 0,1 ,9,11 , 4,1 2, 8,12). Iz ro +

+ rl + . . +r12 = 7 zakljuimo, da je e = 7, nato pa iz r l +2r2+" + 12r 12 == 2 e 2/ 7 == 4 (mod 13). Slednje deljenje smo seveda izvedli v konnemobsegu (glej [2]). Pravzaprav moramo tevilu 2 v tevcu pri tevati 13,vse dokler se deljenj e ne izide. Torej, ker 2+ 13=15 e ni deljivo s 7,poskusimo z 2+ 13+ 13=28 in dobimo 4, kar pomeni , da je potrebno namest u z indeksom 4 odteti nap ako 7.

Reed-Salomonove kode lahko obravnavamo veliko bolj sp lono in pridemotudi do t ist ih , ki odpravljaj o dve in ve nap ak . Vendar pa za to potrebu-jemo e ve matematinega zna nja, ki presega na okv ir , pa t udi raunanjev pratevilskem obsegu ~p je potrebno nadomestiti z raunanjem v konnem obsegu GF(2n ) . Poleg zgoenk se RS-kode up orablj ajo t udi v te-lekomunikacijah . Ena izmed najpomembnejih up orab je bila kodiranjedigitalnih slik, ki st a nam jih na Zemlj o poiljala vesoljski sondi Voyager 1in 2 (glej sliki na IV . st rani ovitka).

Zgoenke - CDZapisovanj e glasbe na CD-j e je prevzelo ljubitelje glasbe tako reko ezno . Visoko kvaliteto predvaj anj a zvoka je poleg laserske tehnike v velikimeri pripisati kodam za odpravljanje napak. Oglejm

Search related