UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA

Facultatea de Matematica si InformaticaCatedra Informatica si Optimizare Discreta

Cu titlu de manuscris

C.Z.U.: 519.17

NADEJDA SUR

GRAFURI CU MULTIMI d-CONVEXE APRIORI DATE

01.01.09 – Cibernetica Matematica si Cercetari Operationale

AUTOREFERAT

al tezei de doctor ın stiinte fizico-matematice

Chisinau, 2008

Teza a fost elaborata ın cadrul catedrei”Informatica si Optimizare

Discreta” a Universitatii de Stat din Moldova

Conducator stiintific: Sergiu Cataranciuc,

doctor in stiinte fizico-matematice,

conferentiar universitar

Referenti oficiali:

1. Dmitrii Lozovanu, doctor habilitat ın stiinte fizico-matematice, pro-

fesor universitar, Academia de Stiinte a Republicii Moldova

2. Dumitru Zambitchi, doctor ın stiinte fizico-matematice, conferentiar

universitar, Academia de Studii Economice din Moldova

Membri ai Consiliului Stiintific Specializat:

1. Petru Soltan, doctor habilitat ın st. fiz.-mat., profesor universitar,

academician al A.S.M., ın calitate de presedinte;

2. Boris Hancu, doctor ın st. fiz.-mat., conf. univ., USM, ın calitate de

secretar;

3. Dumitru Solomon, doctor habilitat ın st. tehn., prof. univ., ATIC;

4. Anatol Prisacaru, doctor ın st. fiz.-mat., conf. univ., ASEM;

5. Angela Niculita, doctor ın st. fiz.-mat., conf. univ., USM.

Sustinerea va avea loc la 23 decembrie 2008, ora 14.00, ın sedinta

Consiliului Stiintific Specializat DH 30.01.01.09-07 din cadrul

Universitatii de Stat din Moldova,

str. A. Mateevici 60, Chisinau, MD-2009

Teza de doctor si autoreferatul pot fi consultate la biblioteca

Universitatii de Stat din Moldova si pe pagina web a CNAA

(www.cnaa.acad.md)

Autoreferatul a fost expediat la 20 noiembrie 2008

Secretar stiintific al

Consiliului Stiintific Specializat, dr. conf. Boris Hancu

Conducator stiintific, dr. conf. Sergiu Cataranciuc

Autor Nadejda Sur

I. CARACTERISTICA GENERALA A LUCRARII

Lucrarea ”Grafuri cu multimi d-convexe apriori date” tine de dez-

voltarea teoriei d-convexitatii pe structuri discrete prin studierea unor

clase de grafuri, atat neorientate cat si orientate, cu proprietati metrice

speciale.

Actualitatea temei investigate si gradul de studiere a acesteia. Teoria

convexitatii reprezinta un instrumentariu eficient pentru solutionarea

unui sir de probleme cu caracter teoretic si a unor probleme de valoare

practica importanta. In ultimele decenii apar frecvent probleme aplica-

tive care se modeleaza cu ajutorul structurilor discrete. Rezultatele

teoriei convexitatii s-au dovedit a fi eficiente la solutionarea acestor

probleme, fapt ce a stimulat interesul cercetatorilor fata de structurile

discrete cu proprietati metrice speciale. Astfel, de exemplu, proprietatile

multimilor convexe ale spatiilor liniare, se utilizeaza ın asa domenii

aplicative ale matematicii cum ar fi programarea matematica, teoria

controlului optimal, modelarea matematica a proceselor economice s.a.

Deosebit de efectiva este utilizarea proprietatilor multimilor convexe ın

acele domenii, ın care se cerceteaza probleme de optimizare. La randul

sau dezvoltarea teoriei grafurilor, optimizarii discrete precum si ale altor

ramuri ale matematicii discrete, au stimulat crearea notiunilor analoage

discrete precum si generalizarea notiunii de convexitate, ca un instru-

ment pentru descrierea si solutionarea problemelor aparute. Sunt cerc-

etate asa modele de convexitate ca d-convexitatea ın spatii metrice,

r-convexitatea, convexitatea de ordine, quasi-convexitatea discreta, con-

vexitatea polinomiala.

Una dintre analogiile importante ale notiunii de convexitate obisnuite

este notiunea de d-convexitate. Multimea M, din spatiul metric (X, d)

se numeste d-convexa, daca pentru orice doua puncte x, y ∈ M , ea

contine si segmentul metric 〈x, y〉 = {z ∈ X : d(x, y) = d(x, z) +

d(z, y)}. In particular, daca ın calitate de spatiu metric se cerceteaza un

graf obisnuit G = (X, U), ınzestrat cu metrica fireasca d(x, y), egala

cu numarul de muchii ale celui mai scurt lant ce uneste varfurile x, y,

atunci multimea M ⊂ X va fi d-convexa daca pentru orice doua varfuri

x, y ∈ M , ea contine si toate varfurile ce apartin tuturor lanturilor de

lungime minima cu extremitatile ın x, y. Se pare ca pentru prima data

3

notiunea de multime d-convexa a fost introdusa la ınceputul secolului

XX de catre Menger. Aceasta notiune a mai fost formulata ın mod inde-

pendent de catre J. de Groot, A. Alexandrov si V. Zalgaller, F. Toranzos,

E. Soetens, T. Arhipova si I. Serghienko. Notiunea de d-convexitate ın

spatiile normate a fost examinata de catre R. Benson, J. Calder. Pe

grafuri notiunea de d-convexitate a fost pentru prima data cercetata

de catre P. Soltan si Ch. Prisacaru ın legatura cu solutionarea unui sir

de probleme extremale cu caracter aplicativ. Astfel, datorita aportului

adus ın cercetarea acestei directii, este recunoscut faptul ca notiunea

de d-convexitate este notiunea Menger-Soltan. Un sir de proprietati ale

multimilor d-convexe ın spatii metrice si normate pot fi gasite ın mono-

grafia lui V. Soltan (Vvedenie v aksiomaticheskuiu teoriu vapuklosti)

si ın monografia autorilor V. Boltianski si P. Soltan (Combinatornaia

geometria razlichinah classov vapuklah mnojestv).

In teoria grafurilor poate fi evidentiat un spectru larg de probleme, ce

se refera la cautarea caracterizarilor simple si comode a diferitor clase

de grafuri. Rezultate de acest gen sunt criteriul Pontreaghin-Kuratowski

de planaritate a grafurilor, caracterizarea grafurilor intervale (Lekker-

kerker si Boland), grafurilor triangularizate (G. Dirac), a unigrafurilor

(R. Taskevici, A. Cerneak) si a grafurilor cordale (M. Farber). Toate

aceste probleme de caracterizare, si nu numai acestea, s-au dovedit a

fi solvabile ın termenii d-convexitatii. Majoritatea lor se refera la prob-

lemele metrice ale teoriei grafurilor. Primul rezultat de acest fel este

descris de D. Djokovic si consta ın caracterizarea izometrica a subgrafu-

rilor hipercubului. Prin intermediul operatiei de extindere d-convexa

a grafurilor si a unor modificari ale ei, ın monografia lui P. Soltan,

D. Zambitichii, Ch. Prisacaru (Extremalinıe zadachi na grafah i al-

goritmı ih reshenii) se evalueaza medianele si quasi-medianele grafu-

rilor. Cu ajutorul unor restrictii speciale asupra familiei de ınvelitori

d-convexe ale multimilor unui graf dat sunt caracterizate grafurile cubu-

rilor n-dimensionale, grafurile Heming finite, grafurile multor poligoane

convexe, grafurile interval-regulate de diametrul 2 s.a.

Printre grafurile, ce prezinta interes din punct de vedere al con-

vexitatii, se evidentiaza grafurile d-convex simple si grafurile d-convex

quasi-simple. Un graf obisnuit G = (X, U) se numeste d-convex quasi-

simplu daca el nu contine multimi d-convexe A 6= X, care sa genereze

4

un subgraf necomplet. Daca, ın afara de aceasta, ın graf nu exista triun-

ghiuri, atunci acest graf se numeste d-convex simplu. Grafurile d-convex

simple au fost examinate de catre mai multi matematicieni, printre care

sunt S. Rao si S. Hebbare, carora le apartine rezultatul cu privire la ca-

racterizarea grafurilor d-convex simple planare. Mai tarziu, ın lucrarea

lui M. Batten, a fost ıntreprinsa o ıncercare de a caracteriza structural

multimea grafurilor d-convex simple arbitrare. Dar rezultatul de baza al

acestei lucrari s-a dovedit a fi incorect, ceea ce a fost ilustrat, printr-un

contra-exemplu, de catre S. Cataranciuc. Lipsa unei caracterizari gene-

rale a multimilor de grafuri d-convex simple si quasi-simple a permis

divizarea si studierea acestor multimi pe clase. Astfel, ın lucrarile lui

S. Cataranciuc, V. Soltan, V. Cepoi, au fost determinate si caracteri-

zate clasa grafurilor d-convex simple si d-convex quasi-simple planare,

clasa grafurilor d-convex simple bipartite, clasa grafurilor cu varfuri ne-

dominate s.a.

Scopul si obiectivele tezei. Scopul investigatiilor efectuate ın teza

rezida ın a obtine atat noi rezultate teoretice, cat si noi aspecte prac-

tice, ce se refera la cateva directii dependente:

a) Studierea grafurilor d-convex simple si quasi-simple neorientate atat

pentru a caracteriza aceste multimi de grafuri cat si pentru a extinde

clasele de grafuri de acest gen cunoscute;

b) Definirea si studierea grafurilor d-convex simple orientate si studierea

relatiei dintre aceste grafuri si grafurile d-convex simple neorientate;

c) Determinarea structurii grafurilor d-convex simple, care permite

rezolvarea efectiva a unor probleme practice pe aceste multimi de

grafuri, cum ar fi problemele de amplasare;

Metodele de cercetare. La realizarea lucrarii a fost utilizat aparatul

teoriei convexitatii pe structuri discrete. Au fost folosite metodele de

cercetare din teoria grafurilor, algebra, combinatorica. Demonstrarea

afirmatiilor din lucrare se face prin utilizarea unor metode generale cla-

sice cum ar fi: inductia, deductia, abstractizarea, divide si domina s.a.

Noutatea stiintifica a rezultatelor obtinute. Cu ajutorul notiunii de

distanta, care este o semi-metrica fireasca pe grafurile orientate, se

definesc multimile d-convexe ın grafuri orientate (notiune ce este ın

concordanta cu axiomatica teoriei generale a convexitatii); si grafurile5

d-convex simple orientate. S-a obtinut o caracteristica generala pentru

fiecare dintre multimile de grafuri d-convex simple orientate, d-convex

simple neorientate si d-convex quasi-simple neorientate. De asemenea,

cu ajutorul operatiilor introduse pe aceste multimi de grafuri, s-a deter-

minat structura unor grafuri de acest gen, ceea ce a permis atat sa se

extinda clasele de grafuri cunoscute cat si sa se evidentieze unele gra-

furi primare, care stau la baza constructiei claselor de grafuri d-convex

simple orientate si neorientate. Original este si modul de amplasare a

grafurilor d-convex simple planare si d-convex quasi-simple planare ın

spatiul Euclidian trei-dimensional.

Importanta teoretica si valoarea aplicativa a lucrarii. Teza poarta un

caracter teoretic si tine de descrierea grafurilor d-convex simple si quasi-

simple neorientate. Rezultatele obtinute ıncununeaza cu succes cerceta-

rile efectuate pe parcursul a mai multor decenii a matematicienilor din

tara si de peste hotare. Importanta solutionarii unor probleme cu carac-

ter aplicativ au impus necesitatea studierii grafurilor d-convex simple

si quasi-simple neorientate, prin divizarea lor pe clase si punerea ın

evidenta a structurii acestora, datorita unor operatii noi introduse. In

mod firesc, ın lucrare se extind rezultatele obtinute pentru grafuri ne-

orientate si pentru cele orientate prin definirea notiunilor de multime

d-convexa si graf d-convex simplu orientat. Pentru orice graf d-convex

simplu neorientat cunoscut, exista un graf d-convex simplu orientat, care

este o orientare a celui initial, astfel rezulta ca notiunea de graf d-convex

simplu orientat reprezinta, ın acest sens, o generalizare a notiunii de graf

d-convex simplu neorientat. Din acestea rezulta ca se fac noi completari

atat la teoria generala a convexitatii, prin introducerea de noi concepte

de abstractizare, care scot ın evidenta un sir de proprietati ale grafurilor

d-convex simple si ale multimilor d-convexe pe grafuri, cat si la teoria

grafurilor prin depistarea, generalizarea si structurarea unor clase de

grafuri noi, ce satisfac anumite proprietati de d-convexitate.

Cunoasterea structurii grafurilor d-convex simple si quasi-simple este

importanta din punct de vedere aplicativ. Lema de la pag. 19 din mono-

grafia lui P. Soltan, D. Zambitichii, Ch. Prisacaru (Extremalinıe zadachi

na grafah i algoritmı ih reshenii), afirma ca pentru unele clase de grafuri

mediana este o multime d-convexa. Astfel, daca se cunoaste ca graful

ce sta la baza problemei, care urmeaza a fi solutionata, este un graf

6

d-convex simplu, atunci mediana acestui graf va fi o multime formata

din doua varfuri adiacente sau o multime triviala, multimile triviale fi-

ind: multimea vida, multimile formate dintr-un singur varf si multimea

tuturor varfurilor.

In procesul studierii modului de amplasare a grafurilor d-convex quasi-

simple ın spatiul Euclidian 3-dimensional s-a obtinut ca orice linie polig-

onala ınchisa regulata cu n laturi poate fi ınscrisa ıntr-un cerc de raza

mai mica decat 1, daca n 6= 6, si egala cu 1, daca n = 6.

Aprobarea rezultatelor. Rezultatele investigatiilor din teza au fost

prezentate si discutate la sedintele seminarului stiintific ”Structuri Dis-

crete si Informatica” si conferinte stiintifice: Conferinta ”Seminarul

Itinerar Tiberiu Popoviciu de Ecuatii Functionale, Aproximare si Con-

vexitate”, Cluj-Napoca, 26-29.X.2005; Conferinta Internationala Mode-

lare Matematica, Optimizare si Tehnologii Informationale, ATIC, 19-

21.III.2008; Conferinta Stiintifica Internationala, dedicata aniversarii de

60 de ani USM, 2006. Conferinta Internationala a Tinerilor Cercetatori,

2005; Conferinta Internationala ”Integral Equations and Modeling of

Applied Problems” in memory of univ. prof. V. Zolotarevschi, 20-25.VI.

2005; Conferinta Corpului Didactico-Stiintific ”Bilantul activitatii sti-

intifice al USM ın anii 2000-2002”;

Publicatii. Rezultatele obtinute au fost publicate ın analele conferin-

telor respective, precum si ın unele reviste de specialitate, ın total 11

lucrari stiintifice, dintre care 6 articole si 5 teze la conferinte, lista carora

este prezentata la sfarsitul autoreferatului.

Structura tezei. Lucrarea data contine urmatoarele compartimente:

Introducere, trei capitole, Sinteza rezultatelor obtinute, Concluzii si Re-

comandari, Bibliografie, Adnotare(ın limbile romana, engleza si rusa),

Cuvinte cheie, ın total constituind un volum de 111 pagini.

Cuvinte cheie: amplasarea(scufundarea) grafurilor, d-segment neori-

entat, d-segment orientat, dimensiunea de scufundare, divizor, extin-

dere, generator, graf d-convex simplu neorientat, graf d-convex simplu

orientat, graf d-convex quasi-simplu neorientat, graf prim, ınvelitoare

d-convexa, multiplicarea varfurilor, multime d-convexa, multime com-

pleta, multime ınchisa, slab conex (diluat conex), tare conex (conex

forte), transpunerea, varf anticopie, varf copie.

7

II. CONTINUTUL LUCRARII

In introducere se argumenteaza actualitatea temei investigate, se face

o sinteza a publicatiilor corespunzatoare din literatura de specialitate,

se definesc obiectivele cercetarii si se da o caracteristica generala a rezul-

tatelor expuse ın lucrare.

Capitolul I contine 8 paragrafe, ın care se studiaza ”Grafurile d-

Convex Simple Neorientate” si se rezolva unele probleme de amplasare.

Paragraful 1.1 contine un sir de concepte preliminare, definitii, teo-

reme, descrieri de clase ale altor autori, fara de care descrierile ulterioare

ar fi fost greu de imaginat.

Paragraful 1.2. Pornind de la unele idei expuse ın lucrarea lui M. Bat-

ten, se defineste recursiv o clasa speciala G de grafuri neorientate, dupa

cum urmeaza.

I. In clasa G sunt toate grafurile G0 = (XG0, UG0

), unde:

XG0= {u, v, x1, x2, . . . , xn}, n ≥ 1,

UG0= {(u, xj), (v, xj)| j = 1, 2, . . . , n};

II. In baza grafului Gi−1, (i ≥ 1) se construieste graful Gi = (XGi, UGi

):

XGi= XGi−1

∪ {y1, y2, . . . , ym}, m ≥ 1,

UGi= UGi−1

∪ {(a, b) | a, b ∈ XGi, si nu ambele din XGi−1

, astfel

ıncat sunt satisfacute conditiile a), b) si c)};

a) Pentru orice varf yi, exista doua varfuri distincte p, q ∈ XGi,

astfel ıncat yi ∈ d − conv({p, q});

b) Pentru orice doua varfuri a, b ∈ XGi, aflate la distanta doi ın

Gi, exista doua varfuri distincte p, q ∈ XGi−1, astfel ıncat sunt

satisfacute relatiile:

1. p si q sunt diferite de a si b;

2. dGi−1(p, q) = 2;

3. p, q ∈ d − conv({a, b});

c) Graful Gi nu contine triunghiuri;

III. In G nu sunt alte grafuri, ın afara de grafurile descrise iterativ ın I

si II.

Teorema 1 Un graf G = (X, U), |X| ≥ 3, este d-convex simplu, daca

si numai daca G ∈ G.8

Astfel ın acest paragraf s-a obtinut o metoda iterativa de caracterizare

a tuturor grafurilor d-convex simple neorientate. Aceasta caracteristica

permite construirea iterativa a grafurilor d-convex simple oricat de com-

plicate, ınsa nu spune prea multe despre structura nemijlocita a acestor

grafuri, cum ar arata ele si cat ar fi de diverse. De aceea, pentru a pune

ın evidenta aceasta structura, care ar permite ulterior rezolvarea unor

probleme aplicative, se va recurge la studierea lor pe clase speciale de

grafuri d-convex simple, prin introducerea unor operatii noi.

In Paragraful 1.3. se definesc si studiaza cateva operatii pe multimea

grafurilor d-convex simple neorientate.

Fie G1 = (X1, U1) si G2 = (X2, U2) doua grafuri neorientate si

conexe, ın care exista cate o pereche de varfuri copii: x1, x2 ın G1 si

y1, y2 ın G2. Se va nota prin Mx1=y1

x2=y2

(G1, G2) graful obtinut din G1 si

G2 ın rezultatul alipirii varfurilor x1 cu y1 si x2 cu y2.

Teorema 2 Daca G1 si G2 sunt doua grafuri d-convex simple, ın care

exista cate o pereche de varfuri copii x1, x2 ∈ XG1si y1, y2 ∈ XG2

,

atunci graful G = Mx1=y1

x2=y2

(G1, G2) este, de asemenea, d-convex simplu.

Din teorema 2 rezulta ca operatia M , definita pe multimea de grafuri

d-convex simple este o operatie algebrica pe aceasta multime de gra-

furi. De asemenea, s-a obtinut ca operatia M este operatie algebrica pe

fiecare dintre clasele de grafuri d-convex simple cunoscute.

Fie ca este dat un graf neorientat G = (X, U) si un varf arbitrar v din

G. Se formeaza graful G++, care se obtine din graful G, prin adaugarea

unui varf copie pentru v, notat prin v. Daca G = (X, U), |X| > 3, este

un graf d-convex simplu, atunci G++ este, de asemenea, un graf d-convex

simplu. Aceasta operatie de multiplicare a varfurilor este algebrica pe

fiecare dintre clasele cunoscute de grafuri, cu exceptia clasei de grafuri

d-convex simple planare P, ceea ce este ilustrat ın figura 1.

G : G++ :

Figura: 1.

9

Fie G = (X, U) un graf neorientat ın care exista doua varfuri copii

v1 si v2. Se va nota prin G−− graful ce se obtine din G ın rezultatul

eliminarii unuia dintre cele doua varfuri copii. Daca G este un graf d-

convex simplu, iar v1, v2 si v3 sunt trei varfuri copii ale sale, atunci graful

G−−, ın care lipseste unul dintre ele, este d-convex simplu. Rezulta ca,

ın grafurile d-convex simple neorientate, se poate de eliminat varfurile

copii ale unui varf v, pastrand pentru v doar o copie si graful obtinut este

d-convex simplu. Fie G = (X, U), |X| ≥ 4, un graf neorientat. Se aleg ın

G patru varfuri x1, x2, y1 si y2, care sunt doua cate doua neadiacente.

Se noteaza prin W x1=y1

x2=y2

(G) graful obtinut din G ın rezultatul alipirii

varfurilor x1 cu y1 si x2 cu y2.

Teorema 3 Daca G = (X, U), |X| ≥ 4, este un graf d-convex simplu,

ın care exista doua perechi de varfuri copii x1, x2 si y1, y2, care

satisfac conditia d(x1, y1) ≥ 4, atunci graful H = W x1=y1

x2=y2

(G) este, de

asemenea, d-convex simplu.

Operatia W , dintre toate clasele de grafuri d-convex simple cunoscute,

este algebrica doar pe clasa A - multimea tuturor grafurilor, fara cicluri

de lungimea 3, unde fiecare varf este dominat de un altul. Despre aceasta

multime de grafuri se cunoaste ca:

Lema 1 Daca G este un graf din clasa A, atunci G este d-convex sim-

plu de forma G = L(Γ, Γ0), unde Γ este un graf conex ce nu contine

cicluri de lungimea 3, Γ0 este atomul lui Γ.

Lema 2 Daca G este un graf d-convex simplu, ce nu contine subgrafuri

generate de tipul F (figura 2), atunci G ∈ A.

F : H :

y1y2

Figura: 2.

Clasa A era cea mai mare clasa cunoscuta, dupa incluziune, de grafuri

d-convex simple neorientate.

Paragraful 1.4. Cu ajutorul operatiilor introduse ın paragraful prece-

dent se definesc clase noi de grafuri d-convex simple si se extind clasele

de grafuri d-convex simple cunoscute.10

Deoarece operatia M este algebrica pe fiecare din multimile de grafuri

cunoscute, iar conform lemelor 1 si 2, toate grafurile d-convex simple,

ce nu contin subgrafuri de tipul F (figura 2), sunt din A, rezulta ca o

clasa noua de grafuri d-convex simple ar trebui sa contina numai grafuri

ce-l contin pe F , ın calitate de subgraf, si varfuri ce nu sunt dominate,

cel putin unul. Insusi graful F nu este d-convex simplu, iar graful H

(figura 2) este un graf d-convex simplu ce nu este din clasa A.

Se noteaza prin C[G]M - multimea tuturor grafurilor, care pot fi

obtinute din graful G si grafurile multimii C, prin aplicarea operatiei M

de un numar finit de ori. Aceasta multime se numeste extinderea clasei

C prin graful G, ın raport cu operatia M . Astfel, poate fi formata ex-

tinderea clasei A prin graful H(figura 2). Se obtine A ⊂ A[H]M , deci

clasa A[H]M este mai mare decat toate clasele de grafuri d-convex simple

cunoscute. Graful H, ınsa, nu este unicul graf care poate forma extinderi

de grafuri, si oricare alt graf, care satisface acelorasi proprietati, (nu este

din A si are o pereche de varfuri copii) poate genera ımpreuna cu clasa A

alte extinderi. Datorita operatiei de multiplicare a varfurilor, conditia

existentei perechilor de varfuri copii poate fi eliminata. Se poate, de

asemenea, forma extinderea extinderii acestor clase de grafuri, formand

astfel clase de grafuri si mai mari.

Se noteaza prin C[σ]- multimea tuturor grafurilor, care pot fi obtinute

din grafurile multimii σ si grafurile clasei C, prin aplicarea operatiilor M ,

W , precum si a operatiilor de multiplicare si decrementare a varfurilor,

de un numar finit de ori, se numeste extinderea clasei C prin multimea

σ. Astfel datorita operatiei M si W se pot forma noi si noi grafuri d-

convex simple, care vor fi din ce ın ce mai voluminoase. In acest caz

apare si problema inversa, a simplificarii lor. De asemenea, prezinta

interes problema cautarii unor grafuri primare, din care apoi, cu ajutorul

operatiilor descrise ın aceasta lucrare, sa se formeze restul grafurilor d-

convex simple.

Fie G = (X, U) un graf d-convex simplu. Graful G0 = (X0, U0)

se numeste originalul grafului G, daca G0 se obtine din G ın urma

eliminarii tuturor varfurilor copii, astfel ıncat sa fie satisfacute conditiile:

a) ın G0 oricare varf are cel mult o copie; b) daca varful v are o copie

ın G, atunci acest varf are o copie si ın graful G0. Orice graf d-convex

simplu G, are un singur original si el este d-convex simplu.

11

Definitia 1 Se va spune ca graful d-convex simplu original G se divide,

sau este divizibil ın raport cu operatia M , daca exista doua grafuri

d-convex simple G1 si G2, astfel ıncat G = M(G1, G2). In acest caz

grafurile G1 si G2 se numesc divizorii grafului G.

Definitia 2 Graful d-convex simplu original G se numeste M-prim, sau

prim ın raport cu operatia M , daca el nu este divizibil ın raport cu

operatia M .

Teorema 4 Graful d-convex simplu original G este divizibil ın raport

cu operatia M daca si numai daca ın G exista o pereche de varfuri

copii z1 si z2, care este o multime de articulatie a grafului G.

Graful H (figura2) este un graf M -prim, deoarece unica pereche de

varfuri copii y1, y2 nu este o multime de articulatie a acestui graf.

E nevoie de mentionat faptul ca grafurile G1 si G2, obtinute ın rezul-

tatul divizarii unui graf d-convex simplu original G, nu sunt neaparat

originale sau M-prime. Daca grafurile originale, a fiecaruia dintre ele,

vor fi supuse iarasi descompunerii, si acest proces va fi continuat pana se

vor obtine numai grafuri originale M-prime atunci se va obtine descom-

punerea grafului initial G ın grafuri M-prime si aceasta descompunere

este unica.

Definitia 3 Se spune ca graful d-convex simplu original H se divide,

sau este divizibil ın raport cu operatia W , daca exista un graf d-convex

simplu G, ın care exista doua perechi de varfuri copii x1, x2 si y1, y2,

astfel ıncat H = W x1=y1

x2=y2

(G).

Definitia 4 Graful d-convex simplu original H se numeste W-prim, sau

prim ın raport cu operatia W , daca H nu este divizibil ın raport cu

operatia W .

Se verifica nemijlocit ca graful H (figura 2) este un graf W -prim.

Definitia 5 Graful d-convex simplu original H se numeste prim, daca

H este M-prim si W -prim.

Fie ca se noteaza prin B - multimea tuturor grafurilor prime din G\A,

prin B1 - acele grafuri din B, care au cel putin o pereche de varfuri copii,

iar prin B2 - se noteaza restul grafurilor din B, adica acele grafuri, ın12

care nu exista nici o pereche de varfuri copii. Este adevarata inegalitatea

B1 6= ∅ deoarece graful H ∈ B1 (figura 2). Se va arata acum ca B2 6= ∅.

Pentru aceasta se construiesc grafurile Jk = (Xk, Uk), ∀k ∈ N, unde

Xk = {z1, z2, z3, z4, z5, z6, x1, y1, x2, y2, . . . , xk, yk},

Uk = {(z1, z4); (z1, z5); (z2, z5); (z2, z6); (z3, z4); (z3, z6)}∪

∪{(xi, z4); (xi, z5); (xi, z6) | ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}}∪

∪{(yi, z1); (yi, z2); (yi, z3) | ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}}, a se vedea figura 3.

J1 :

z3

z1

z2

z4 z5

z6

x1

y1

J2 :

z3

z1

z2

z4 z5

z6

y2

x2

x1

y1

Jk :

z3

z1

z2

z4 z5

z6

y2

x2

x1

y1

xk

yk

bb

b

Figura: 3.

Se verifica nemijlocit ca grafurile Jk, ∀k ∈ N sunt d-convex simple si

ca nici un varf al acestui graf nu este dominat de un altul, ceea ce implica

ca nu exista nici o pereche de varfuri copii, rezulta {Jk, ∀k ∈ N} ⊂ B2.

Astfel s-a obtinut B2 6= ∅.

Figura: 4.

13

Din modul de definire a multimii B rezulta ca este adevarata relatia:

A[B] = A[B1] ∪ B2 = G;

Aceasta egalitate este destul de aproape de scopul de a caracteriza

structural multimea grafurilor d-convex simple G, scop care ar fi fost

ın ıntregime atins, daca s-ar gasi un mod de a descrie toate grafurile

multimii B. La prima vedere, s-ar parea ca toate grafurile multimii B

sunt grafuri d-convex simple bipartite. Deoarece toate grafurile descrise

pana acum sunt bipartite, iar din teorema de la pag. 134 din monografia

lui V. Soltan (Vvedenie v aksiomaticheskuiu teoriu vapuklosti) rezulta

ca un graf d-convex simplu nebipartit, cu ciclul minim de lungimea

impara p, are ın calitate de subgraf generat graful L2(Cp). S-a dovedit,

ınsa, ca multimea de grafuri B nu este o submultime a multimii de

grafuri d-convex simple bipartite, un graf nebipartit din aceasta multime

fiind graful din figura 4, care are toate varfurile nedominate, deci nici o

pereche de varfuri copii, ceea ce implica ca acest graf este prim.

Paragraful 1.5. Notiunile de ınchidere si completitudine ın raport

cu operatiile introduse sunt definite. Sunt date multimile de grafuri

complete minimale pentru multimea grafurilor d-convex simple planare

si pentru multimea de grafuri cu varfuri nedominate.

Se va nota prin [σ]M - ınchiderea multimii σ ın raport cu operatia

M , iar prin [σ] - ınchiderea multimii σprin aplicarea operatiilor M , W

si inversele lor, precum si operatiilor de incrementare si decrementare a

varfurilor.

Definitia 6 Multimea σ se numeste completa ın clasa C, ın raport cu

operatia M , daca [σ]M = C si completa ın clasa C daca [σ] = C.

Problema propusa este gasirea multimilor de grafuri complete, cu

un numar minim de elemente, pentru fiecare dintre clasele de grafuri

cunoscute, inclusiv pentru multimea tuturor grafurilor d-convex sim-

ple G. Grafurile, unei astfel de multimi, se vor numi generatori pentru

clasa data.

Fie P3 graful lant, format din trei varfuri si doua muchii. Acest graf

este d-convex simplu planar, care are o singura pereche de varfuri copii,

care mai sunt si suspendate.

14

Teorema 5 Sunt adevarate urmatoarele relatii:

1. [P3]M ∪ {K1, K2} = P;

2. [P3] ∪ {K1, K2} = A;

Paragraful 1.6. Fie G = (X1, X2; U) un graf d-convex simplu bi-

partit, unde |X1| = k, |X2| = m si |U | = p. Conform lucrarilor lui

S. Cataranciuc este adevarata relatia p ≥ 2 ∗ (k + m) − 4. Dar, asa cum

orice graf bipartit complet este si d-convex simplu, rezulta p ≤ k ∗ m.

Teorema 6 Pentru orice trei numere nenule k, m, p ∈ N, care satisfac

conditia 2 ∗ (k + m) − 4 ≤ p ≤ k ∗ m, exista un graf d-convex simplu

bipartit G = (X1, X2; U), cu parametrii |X1| = k, |X2| = m si |U | = p.

Paragraful 1.7 In acest paragraf sunt studiate problemele ce tin de

distanta, care, ın acest caz, s-au redus la rezolvarea lor pe componente,

datorita faptului ca se cunoaste structura grafurilor initiale.

Fie G un graf conex arbitrar, ce nu contine cicluri de lungimea trei.

Atunci graful L(G, G0) este un graf d-convex simplu, unde G0 este

atomul lui G.

Teorema 7 Daca G este un graf conex ce nu contine cicluri de lungimea 3,

iar L(G, G0) graful d-convex simplu obtinut din G, atunci:

1. r[L(G, G0)] = r[G];

2. d[L(G, G0)] = d[G];

3. c[L(G, G0)] = c[G] ∪ {x ∈ G0 | x este copia unui varf din c[G]}.

Paragraful 1.8. contine amplasarea grafurilor d-convex simple planare

ın R3. Se zice ca graful G = (X, U) este scufundat (realizat, amplasat)

ın metrica spatiului (X ′; ρ), daca exista o aplicatie ϕ : X → X ′, astfel

ıncat orice doua varfuri adiacente x, y ın G au ın calitate de imagini

doua elemente ϕ(x) si ϕ(y) din X ′, care sunt la distanta unu. Cu alte

cuvinte, varfurile adiacente ale grafului G s-au transformat ın elemente

la distanta 1 a spatiului X ′. Dimensiunea minimala a spatiului Eucli-

dian, ın care poate fi scufundat graful G se numeste dimensiunea de

amplasare(scufundare) grafului G si se noteaza prin gim G.

Toate grafurile d-convex simple cu numarul de varfuri n < 5 sunt

desenate ın figura 5. Dimensiunea grafului K1 este gim K1 = 0, iar15

a grafurilor K2 si P3 este gim K2 = 1, gim P3 = 1, deoarece aceste

grafuri pot fi realizate pe dreapta. Dimensiunea grafurilor K3 si C4 este

gim K3 = gim C4 = 2, fiindca aceste grafuri pot fi amplasate ın plan.

Figura: 5. K1, K2, P3, K3 si C4∼= K2, 2 respectiv.

Teorema 8 Daca G = (X, U), |X| ≥ 5, este un graf a d-convex simplu

planar, atunci gim G = 3.

Aici este, de asemenea, descris algoritmul de scufundare a grafurilor

mentionate ın R3.

Capitolul II contine 4 paragrafe, ın care se studiaza ”Grafurile d-

Convex Quasi-Simple Neorientate” si se rezolva unele probleme de

amplasare.

Paragraful 2.1 contine un sir de concepte preliminare, necesare expli-

catiilor ulterioare. De asemenea, ın acest paragraf se defineste recursiv

o clasa speciala Gq de grafuri neorientate dupa cum urmeaza:

I. In clasa Gq sunt toate grafurile G0 = (XG0, UG0

), unde:

XG0= {u, v, x1, x2, . . . , xn}, n ≥ 1,

UG0= {(u, xj), (v, xj)| j = 1, 2, . . . , n} ∪

∪ {orice multime de muchii (xj, xk), j 6= k, de care este nevoie};

II. In baza grafului Gi−1, (i ≥ 1) se construieste graful Gi = (XGi, UGi

):

XGi= XGi−1

∪ {y1, y2, . . . , ym}, m ≥ 1,

UGi= UGi−1

∪ {(a, b) | a, b ∈ XGi, si nu ambele din XGi−1

, astfel

ıncat sunt satisfacute conditiile a) si b)};

a) Pentru orice varf yi, exista doua varfuri distincte p, q ∈ XGi,

astfel ıncat yi ∈ d − conv({p, q});

b) Pentru orice doua varfuri a, b ∈ XGi, aflate la distanta doi ın

Gi, exista doua varfuri distincte p, q ∈ XGi−1, astfel ıncat:

1. p si q sunt diferite de a si b;

2. dGi−1(p, q) = 2;

3. p, q ∈ d − conv({a, b});

16

III. In Gq nu sunt alte grafuri, ın afara de grafurile descrise iterativ ın I

si II.

Teorema 9 Un graf neorientat G = (X, U), G 6= Kn, n ∈ N, este

d-convex quasi-simplu, daca si numai daca G ∈ Gq.

Paragraful 2.2. Se introduc operatiile M , de incrementare si decre-

mentare a varfurilor si operatia W , care au fost definite deja pentru gra-

furile d-convex simple, asupra multimii de grafuri d-convex quasi-simple.

Operatia M este algebrica pe multimea grafurilor d-convex quasi-simple.

Urmatoarea teorema permite multiplicarea varfurilor ın aceasta multime

de grafuri.

Teorema 10 Daca G = (X, U) este un graf d-convex quasi-simplu, cu

n > 3 varfuri si m < n2−n2

− 1 muchii, atunci G++ este, de asemenea,

un graf d-convex quasi-simplu.

Urmatoarea teorema permite operatiei W sa actioneze ıntr-un graf

d-convex simplu, asupra doua perechi de varfuri copii aflate la distanta

cel putin 3, unele de altele, pe cand, conform teoremei 3, ın grafurile d-

convex simple, acest lucru este posibil doar asupra perechilor de varfuri

copii, ce se afla la o distanta nu mai mica decat 4.

Teorema 11 Daca G = (X, U), |X| ≥ 4, este un graf d-convex quasi-

simplu, ın care exista doua perechi de varfuri copii x1, x2 si y1, y2,

care satisfac conditia d(x1, y1) ≥ 3, atunci graful H = W x1=y1

x2=y2

(G) este,

de asemenea, d-convex quasi-simplu.

Paragraful 2.3 contine studierea pe clase a multimii de grafuri d-

convex quasi-simple. Fie ca se noteaza prin Pq - multimea tuturor gra-

furilor d-convex quasi-simple planare, iar prin Aq = {Lk(G) | G este un

graf conex, k ∈ N, k > 1}. Fie G = (X, U) un graf neorientat cu n

varfuri, X = {x1, x2, . . . , xn}. Cu ajutorul acestui graf se formeaza un

graf nou, notat prin G+2 = (X+2, U+2), ın modul urmator:

X+2 = X ∪ {u, u}, U+2 = U ∪ {(u, xi); (u, xi) | i = 1, 2, . . . , n}.

Astfel graful G+2 are cel putin o pereche de varfuri copii u, u. Daca

graful G este un graf vid G ∼= On, atunci graful G+2 este un graf d-

convex simplu, iar daca G 6∼= On, si deci are cel putin o muchie, de17

exemplu (x1, x2) ∈ U , atunci graful G+2 contine cel putin doua cicluri

de lungimea trei c = [u, x1, x2, u], c = [u, x1, x2, u], ceea ce ınseamna

ca graful G+2 nu poate fi d-convex simplu.

Teorema 12 Fie G = (X, U) un graf neorientat arbitrar, atunci G+2

este un graf d-convex quasi-simplu.

Se introduc analogic notiunile de graf quasi-simplu divizibil, M -prim,

W -prim, original. Este adevarata urmatoarea teorema, care este ana-

logica cu teorema respectiva pentru grafuri d-convex simple.

Teorema 13 Graful d-convex quasi-simplu original G este divizibil ın

raport cu operatia M , daca si numai daca ın G exista o pereche de

varfuri copii z1 si z2, care este o multime de articulatie a grafului G.

Descompunerea unui graf d-convex quasi-simplu ın grafuri M-prime

este unica. Se noteaza prin J = {G+2 |G este un graf conex}. Orice graf

din multimea J este prim ın raport cu operatia M . Pentru orice graf

neorientat G = (X, U), graful G+2 ∈ [J ]qM .

Daca se noteaza prin Pn graful lant cu n-varfuri, iar prin Cn graful

ciclu cu n-varfuri, n ∈ N, atunci multimea [{P +2n |n ∈ N}]qM ∪{C+2

n |n ∈

N} - descrie toate grafurile multimii Pq, cu exceptia celor care ın R au

o muchie ce uneste un varf suspendat cu unul nesuspendat din T .

Este adevarata urmatoarea teorema, care determina graful generator

pentru clasa Aq.

Teorema 14 Este adevarata urmatoarea relatie: [K2, 2]q = [Aq]q.

Asa cum grafurile P3, K2, 2 ∈ [J ]qM rezulta ca A ⊂ [J ]q si Aq ⊂ [J ]q.

Se mentioneaza ca cea mai mare multime de grafuri d-convex quasi-

simple cunoscuta, care au structura transparenta este:

[J ∪ Pq ∪ B]q ∪ {Kn | n ∈ N}.

In Paragraful 2.4 se studiaza problema calcularii dimensiunii de scu-

fundare grafurilor d-convex quasi-simple planare Pq. Este cunoscut fap-

tul ca orice graf d-convex simplu este si d-convex quasi-simplu. Toate

grafurile d-convex quasi-simple cu |X| < 5 sunt grafurile din figura 5

si 6. Dimensiunea de scufundare a grafurilor din figura 6 este 2 si 3

respectiv.18

Figura: 6.

Teorema 15 Daca G = (X, U), |X| > 4, G 6= Q6 (figura 7), este un

graf d-convex quasi-simplu planar, atunci gim G = 3.

Q6 :

x

x

Figura: 7.

Aici este, de asemenea, descris algoritmul de scufundare a grafurilor

mentionate ın R3.

Capitolul III contine 3 paragrafe, ın care se definesc si se studiaza

”Grafurile d-Convex Simple Orientate”.

Paragraful 3.1. Fie D(x, y) familia tuturor drumurilor din ~G ce

leaga varfurile x si y. Lungimea celui mai scurt drum din D(x, y) se

numeste distanta dintre varfurile x si y si se noteaza prin d(x, y).

Astfel d(x, y) = minD∈D(x, y) {l(D)}. In cazul cand ıntre doua varfuri

x, y ∈ X nu exista drum care le leaga, se va considera ca d(x, y) = ∞.

Astfel introdusa notiunea de distanta nu poseda proprietatea comu-

tativa, adica, la general vorbind, d(x, y) 6= d(y, x). Distanta este o

functie d : X × X → N, ce poseda proprietatile:

1. d(x, y) ≥ 0, pentru oricare doua varfuri x, y ∈ X, si d(x, y) = 0

daca si numai daca x = y;

2. d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y), pentru oricare trei varfuri x, y, z ∈ X.

Astfel definita functia de distanta d : X × X → N este o pseudo-

metrica ın graful orientat ~G.

Multimea 〈−−→x, y〉 = {z ∈ X |d(x, z)+d(z, y) = d(x, y)} se numeste

d-segment orientat de la x spre y. Notiunea de d-segment orientat 〈−−→x, y〉

are sens doar ın cazul cand ın graful ~G exista cel putin un drum ce leaga

x cu y. Din aceste considerente, ın continuare se vor studia doar grafuri

conexe forte.19

Definitia 7 Multimea A ⊆ X se numeste d-convexa ın graful ~G =

(X, ~U), daca pentru orice x, y ∈ A, luate ın ordinea indicata, are

loc relatia 〈−−→x, y〉 ⊂ A.

Conform definitiei 7 orice graf orientat ~G = (X, ~U) contine multimi

d-convexe. Astfel orice multime A, de cardinal |A| = 0 sau |A| = 1,

este d-convexa ın ~G. Intr-un graf orientat arbitrar multimile 〈−−→x, y〉 si

〈−−→y, x〉 nu neaparat coincid. Fie A o submultime arbitrara de varfuri

din graful ~G = (X, ~U). Conform definitiei 7, daca A este o multime

d-convexa, atunci ambele d-segmente orientate 〈−−→x, y〉 si 〈−−→y, x〉 apartin

multimii A. Multimea 〈−−→x, y〉 ∪ 〈−−→y, x〉 contine varfurile tuturor contu-

rurilor de lungime minima, care trec prin x si y care, de asemenea,

apartin multimii A.

Lema 3 Daca A si B sunt doua multimi d-convexe ale unui graf ori-

entat ~G = (X, ~U), atunci intersectia lor A ∩ B este, de asemenea, o

multime d-convexa ın ~G.

Prin analogie cu varianta clasica a notiunii de ınvelitoare d-convexa,

ın cazul grafurilor orientate se defineste urmatoarea notiune.

Definitia 8 Intersectia tuturor multimilor d-convexe ale unui graf ori-

entat ~G = (X, ~U), ce contin o submultime de varfuri B ⊆ X, se

numeste ınvelitoare d-convexa a multimii B si se noteaza prin

d-conv(B).

In baza definitiei 8, rezulta ca ın cazul studierii ınvelitoarei d-convexe,

sunt adevarate relatiile:

1. d − conv(∅) = ∅;

2. d − conv({x}) = {x};

3. d − conv(X) = X;

4. A ⊆ d − conv(A);

5. d − conv(d − conv(A)) = d − conv(A).

Datorita relatiilor mentionate 1−5, se poate de spus ca notiunea de d-

convexitate pentru cazul grafurilor orientate se ıncadreaza ın axiomatica

teoriei generale a convexitatii.20

Definitia 9 Graful orientat si conex forte ~G = (X, ~U) se numeste

d-convex simplu daca nu contine multimi d-convexe A ⊂ X, astfel

ıncat 1 < |A| < |X|.

Din definitie rezulta ca ıntr-un graf d-convex simplu orientat, cu cel

putin trei varfuri, ıntre orice doua varfuri poate exista doar unul dintre

cele doua arce posibile. Aceasta ınseamna ca toate grafurile d-convex

simple sunt antisimetrice.

Teorema 16 Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. ~G = (X, ~U) este un graf d-convex simplu orientat;

2. d − conv({x, y}) = X, pentru orice 2 varfuri distincte x, y ∈ X;

3. d − conv({x, y}) = X, pentru orice 2 varfuri adiacente x, y ∈ X.

Se considera urmatoarea clasa speciala de grafuri orientate D, definita

recursiv dupa cum urmeaza:

I. In clasa D sunt toate grafurile ~G0 = (X ~G0

, ~U ~G0

), unde:

X ~G0

= {x1, x2, . . . , xn}, n ≥ 3,~U ~G0

= {(xn, x1)} ∪ {(xi, xi+1)| i = 1, 2, . . . , n − 1},

adica ~G0 este un contur elementar cu n varfuri;

II. In baza grafului ~Gi−1, (i ≥ 1) construim graful ~Gi = (X ~Gi, ~U ~Gi

):

X ~Gi= X ~Gi−1

∪ {y1, y2, . . . , ym}, m ≥ 1,

~U ~Gi= ~U ~Gi−1

∪ {(a, b) | a, b ∈ X ~Gi, si nu ambele din X ~Gi−1

, astfel

ıncat sunt satisfacute conditiile a), b)};

a) Pentru orice varf yi, exista doua varfuri distincte p, q ∈ X ~Gi,

astfel ıncat yi ∈ d − conv({p, q});

b) Pentru orice doua varfuri adiacente a, b ∈ X ~Gi, exista doua

varfuri distincte p, q ∈ X ~Gi−1

, astfel ıncat:

1. p, q ∈ d − conv({a, b});

2. d ~Gi−1

(p, q) = d ~Gi(p, q);

3. d ~Gi−1

(q, p) = d ~Gi(q, p);

III. In D nu sunt alte grafuri, ın afara de grafurile descrise iterativ ın I

si II.

21

Teorema 17 Un graf orientat si conex forte ~G = (X, ~U), |X| ≥ 3 este

d-convex simplu, daca si numai daca ~G ∈ D.

Acesata teorema descrie iterativ toate grafurile d-convex simple ori-

entate. Dar, ca si ın cazul grafurilor d-convex simple neorientate, pantru

a pune ın evidenta structura acestor grafuri, care ar permite ulterior re-

zolvarea unor probleme aplicative precum si a stabili legatura dintre

grafurile d-convex simple orienatte si cele neorienatte, se va recurge la

studierea lor pe clase speciale de grafuri d-convex simple, prin intro-

ducerea acelorasi operatii M, W, de incrimentare si decrementarte a

varfurilor, si a operatiilor L si de transpunere.

Paragraful 3.2. Fie ~G1 = (X1, ~U1) si ~G2 = (X2, ~U2) doua grafuri

orientate, ın care s-a ales cate o pereche de varfuri neadiacente: x1, x2

ın ~G1 si y1, y2 ın ~G2. Prin analogie cu cazul grafurilor neorientate, se

va nota prin Mx1=y1

x2=y2

( ~G1, ~G2) graful obtinut din ~G1 si ~G2 ın rezultatul

alipirii varfurilor x1 cu y1 si x2 cu y2. Fie ~G = (X, ~U) un graf orientat si

un varf arbitrar x din X. Se va nota prin: Γ+(x) = {y ∈ X | (x, y) ∈ ~U}

si Γ−(x) = {y ∈ X | (y, x) ∈ ~U} multimea succesorilor varfului x si

multimea predecesorilor lui respectiv. Varful, care nu are predecesori,

se va numi varf sursa, iar varful, care nu are succesori − varf destinatie.

Se va nota prin P(p, q; r), r > 0, graful orientat ın care este fixat un

varf sursa p, un varf destinatie q si care satisface conditiile:

1. ın P exista drumuri ce leaga varful p cu varful q;

2. orice varf si orice arc din P apartine cel putin unui drum ce leaga

p si q;

3. toate drumurile, ce leaga varfurile p si q, au aceeasi lungime r > 0;

4. alte varfuri sau arce ın P nu sunt.

In urmatoarea figura este desenat un graf de acest fel:

P(p, q; 3) :p q

Figura: 8.

22

Teorema 18 Pentru orice doua grafuri P1(p1, q1; r1) si P2(p2, q2; r2),

graful ~G = Mp1=q2

q1=p2

(P1, P2) este d-convex simplu.

Teorema 19 Daca ~H = (X ~H, ~U ~H) este un graf d-convex simplu orientat,

ın care exista o pereche de varfuri x1, x2, astfel ıncat d ~H(x1, x2) =

= r > 1, atunci pentru orice graf P(p, q; r) graful ~G = Mx1=px2=q ( ~H, P)

este d-convex simplu.

Teorema 20 Daca ~G1 si ~G2 sunt doua grafuri d-convex simple, ın care

exista cate o pereche de varfuri neadiacente x1, x2 ∈ X ~G1

si y1, y2 ∈

∈ X ~G2

, care satisfac conditiile d ~G1

(x1, x2) = d ~G2

(y1, y2) si d ~G1

(x2, x1) =

= d ~G2

(y2, y1), atunci graful ~G = Mx1=y1

x2=y2

( ~G1, ~G2) este, de asemenea,

d-convex simplu.

Din teorema 20 rezulta ca operatia M , definita pe multimea de grafuri

d-convex simple orientate, este o operatie algebrica pe aceasta multime

de grafuri.

Definitia 10 Doua varfuri u si v ale unui graf ~G = (X, ~U) se numesc

varfuri copii ın ~G, daca se respecta egalitatile: Γ+(u) = Γ+(v) si

Γ−(u) = Γ−(v). In conditiile cand: Γ+(u) = Γ−(v) si Γ−(u) = Γ+(v),

varfurile u si v se numesc varfuri anticopii.

Fie ca este dat un graf d-convex simplu orientat ~G = (X, ~U) si un

varf arbitrar v din ~G. Se formeaza graful ~G++, care se obtine din graful~G, prin adaugarea unui varf copie pentru v, care se noteaza prin v.

Teorema 21 Daca ~G = (X, ~U), X ≥ 3, este un graf d-convex simplu,

atunci ~G++ este, de asemenea, un graf d-convex simplu.

Din teorema 21 rezulta ca ın grafurile d-convex simple orientate, ca si

ın cele neorientate, orice varf poate fi multiplicat, de un numar arbitrar

de ori, fara a pierde proprietatea de d-convexitate a grafului initial, adica

graful obtinut va fi de asemenea d-convex simplu.

Fie ca este dat un graf d-convex simplu orientat ~G = (X, ~U) si un

varf arbitrar v din ~G, care poseda proprietatea ca conturul de lungime

minima ce trece prin v este de lungimea 4. Se formeaza graful ~G+∼, care

se obtine din graful ~G, prin adaugarea unui varf anticopie pentru v, care

se noteaza prin v.

23

Teorema 22 Daca ~G = (X, ~U), X ≥ 3, este un graf d-convex simplu,

iar v un varf din ~G, astfel ıncat conturul de lungime minima ce trece

prin v este de lungimea 4, atunci graful ~G+∼ este, de asemenea, un

graf d-convex simplu.

Fie ca este dat un graf d-convex simplu orientat ~G = (X, ~U), ın

care exista doua varfuri copii v1 si v2. Se va nota prin ~G−− graful ce

se obtine din graful ~G ın rezultatul eliminarii a unuia dintre cele doua

varfuri copii.

Teorema 23 Daca ~G este un graf d-convex simplu, iar v1, v2 si v3 sunt

trei varfuri copii ale sale, atunci graful ~G−−, ın care lipseste unul

dintre ele, este, de asemenea, d-convex simplu.

Teorema 24 Daca ~G este un graf d-convex simplu, iar v un varf al lui,

care are o copie v′ si o anticopie v, si satisface conditia d(v, v′) 6= 3,

atunci graful ~G−−, ın care lipseste varful v′, este, de asemenea, d-

convex simplu.

Din teoremele 23 si 24 rezulta ca ın grafurile d-convex simple orien-

tate, la fel ca si ın grafurile d-convex simple neorientate, se poate de

eliminat varfurile copii ale unui varf v, pastrand pentru v doar o copie

sau o anticopie, si graful obtinut va fi la fel d-convex simplu.

Fie ~G = (X, ~U) un graf orientat. Se formeaza graful ~Gt = (X, ~U t),

care se obtine din graful ~G, prin reorientarea tuturor arcelor sale. Astfel

matricea de adiacenta a grafului ~Gt este transpusa matricei de adiacenta

a grafului ~G.

Teorema 25 Daca ~G este un graf d-convex simplu orientat, atunci gra-

ful ~Gt este, de asemenea, d-convex simplu.

Fie ~G = (X, ~U), |X| ≥ 4, un graf orientat. Se aleg ın ~G patru varfuri

x1, x2, y1 si y2, care sunt doua cate doua neadiacente. Se va nota prin

W x1=y1

x2=y2

( ~G) graful obtinut din ~G ın rezultatul alipirii varfurilor x1 cu y1

si x2 cu y2.

Teorema 26 Daca ~G = (X, ~U), |X| ≥ 4, este un graf d-convex simplu,

ın care exista patru varfuri x1, x2, y1 si y2, care satisfac conditiile:

1. varfurile x1, x2, y1 si y2 sunt doua cate doua neadiacente;24

2. d(x1, x2) = d(y1, y2), d(x2, x1) = d(y2, y1);

3. min{d(x1, y2), d(y1, x2)} ≥ d(x1, x2);

4. min{d(y2, x1), d(x2, y1)} ≥ d(x2, x1);

5. min{d(x1, y1), d(y1, x1), d(x2, y2), d(y2, x2)} ≥ d(x1, x2)+d(x2, x1),

atunci graful ~H = W x1=y1

x2=y2

( ~G) este, de asemenea, d-convex simplu.

Graful orientat ~G = (X, ~U) se numeste slab conex sau diluat conex,

daca orice doua varfuri ale sale sunt unite printr-un lant.

Se va defini, pentru grafurile orientate, o operatie speciala, notata

prin L2, care de fapt se defineste ın mod analogic cazului grafurilor

neorientate (figura 9).

~G : L2( ~G) :

Figura: 9.

Teorema 27 Daca ~G este un graf orientat, diluat conex, antisimetric si

fara triunghiuri, atunci graful L2( ~G) este un graf d-convex simplu.

In Paragraful 3.3 se stabileste relatia dintre grafurile d-convex simple

orientate si cele d-convex simple neorienatate. Fie G = (X, U) un graf

neorientat. Aceasta ınseamna ca el poate fi privit ca un graf orientat,

complet simetric, unde fiecare muchie u = (x, y) din U este considerata

ca doua arce (x, y) si (y, x). Daca se elimina din fiecare muchie a grafului

G unul si numai unul dintre aceste doua arce, atunci graful obtinut este

antisimetric, care se va numi orientarea grafului initial G si se va nota

prin ~G. Desigur ca, ın dependenta de arcele care sunt eliminate, pentru

graful G, se pot obtine mai multe orientari ale sale.

Fie A clasa de grafuri d-convex simple neorientate, cu varfuri nedom-

inate.

25

Teorema 28 Daca G este un graf d-convex simplu neorientat din clasa

A, atunci exista cel putin o orientare a lui G, care este un graf d-

convex simplu orientat.

Din demonstratia acestei teoreme, se obtine ca daca G este un graf

d-convex simplu neorientat din clasa A, iar ~G este orientarea lui d-

convex simpla construita ın demonstratia teoremei 28, atunci ın ~G orice

varf, care are o copie ın G, are o anticopie ın ~G. Asadar, perechile de

varfuri copii din G, au devenit perechi de varfuri anticopii ın ~G. Aceasta

ınseamna ca aceste grafuri pot participa ın operatiile M si W cu orice

graf d-convex simplu orientat, care are o pereche de varfuri anticopii.

Grafurile d-convex simple orientate din figura 10 sunt orientarile d-

convex simple ale grafurilor J1, J2 si Jk, k ∈ N, din din figura 3, care se

vor nota prin ~J1, ~J2 si ~Jk respectiv. Din constructia orientarii grafului~Jk, k ∈ N, se obtine ca conturul minim ce trece prin orice varf este de

lungimea 4, deci conform teoremei 22, fiecarui varf i se poate de adaugat

o anticopie, astfel ıncat grafurile obtinute vor fi, de asemenea, d-convex

simple si deci vor putea participa ın operatiile M , W , pentru a forma

alte grafuri.

~J1 :

z3

z1

z2

z4 z5

z6

x1

y1

~J2 :

z3

z1

z2

z4 z5

z6

y2

x2

x1

y1

~Jk :

z3

z1

z2

z4 z5

z6

y2

x2

x1

y1

xk

yk

bb

b

Figura: 10.

In figura 11 este o orientare a grafului d-convex simplu prim nebipartit

din figura 4.

In acest mod, s-au obtinut acele orientari d-convex simple ale tu-

turor grafurilor d-convex simple neorientate prime, care au fost descrise

ın aceasta lucrare, care pot participa ın operatiile M si W , pentru a

putea obtine din ele, cu ajutorul acestor operatii asupra grafurilor d-

convex simple orientate, orientarile d-convex simple a tuturor grafurilor

d-convex simple neorientate, care nu sunt prime.26

Astfel, rezulta ca toate grafurile d-convex simple neorientate G, struc-

tura caruia este cunoscuta, are cel putin o orientare ~G, care este un

graf d-convex simplu orientat. Aceasta ınseamna ca multimea grafurilor

d-convex simple orientate contine, ın acest sens, multimea grafurilor

d-convex simple neorientate cunoscute.

Figura: 11.

27

III. SINTEZA REZULTATELOR OBTINUTE

Rezultatele obtinute tin de extinderea teoriei d-convexitatii ın cazul

structurilor discrete, prezentate atat prin grafuri neorienatate cat si

grafuri orientate. Sinteza rezultatelor pe capitole este urmatoarea:

In Capitolul I:

1. S-a obtinut caracteristica generala, printr-o metoda iterativa, a multimii

de grafuri d-convex simple neorientate;

2. S-au definit o operatie algebrica binara si trei operatii algebrice

unare pe multimea grafurilor d-convex simple neorientate, cu scopul

de a pune ın evidenta structura acestor grafuri, ceea ce permite

rezolvarea eficienta a multor probleme aplicative;

3. S-au extins clasele de grafuri d-convex simple cunoscute, cu ajutorul

operatiilor introduse;

4. Pentru clasa grafurilor d-convex simple planare si clasa de grafuri cu

varfuri nedominate, s-au gasit multimea completa de grafuri, care,

pentru fiecare din ele, s-a dovedit a contine cate un singur element,

doar ca ın raport cu operatii diferite.

5. S-a demonstrat teorema de existenta a grafurilor d-convex simple

bipartite cu numarul de varfuri si muchii fixate;

6. S-a demonstrat ca problemele de amplasare a centrelor, de calculare

a razei si diametrului, pentru grafurile de forma L(G, G0), se reduc

la aceleasi probleme ın graful G;

7. S-a depistat dimensiunea grafurilor d-convex simple planare si s-a

descris modul de amplasare a lor ın spatiul de dimensiunea respec-

tiva;

8. S-a elaborat algoritmul de amplasare a grafurilor d-convex simple

planare ın spatiu;

In Capitolul II:

1. S-a obtinut caracteristica generala, printr-o metoda iterativa, a multimii

de grafuri d-convex quasi-simple neorientate;

28

2. S-au definit pe grafurile d-convex quasi-simple toate operatiile def-

inite asupra grafurilor d-convex simple si descris conditiile ın care

ele pot fi aplicate;

3. S-au definit clase noi de grafuri d-convex quasi-simple, cu ajutorul

operatiilor introduse, iar pentru unele din ele s-a depistat multime

de generatori;

4. S-a depistat dimensiunea grafurilor d-convex quasi-simple planare

si s-a descris modul de amplasare a lor ın spatiul de dimensiunea

respectiva;

5. S-a elaborat algoritmul de amplasare a grafurilor d-convex quasi-

simple planare ın spatiu;

In Capitolul III:

1. S-au definit multimile d-convexe ıntr-un graf orientat arbitrar, notiune

ce nu contravine teoriei generale a convexitatii;

2. S-a definit graful d-convex simplu orientat si obtinut caracteristica

generala, printr-o metoda iterativa, a multimii de grafuri d-convex

simple orientate;

3. S-au definit pe grafurile d-convex simple orientate toate operatiile

cunoscute sau definite asupra grafurilor d-convex simple, inclusiv

operatia L, si descris conditiile ın care ele pot fi aplicate;

4. S-a demonstrat ca multimea de grafuri d-convex simple orientate

contine, ıntr-un anumit sens descris ın teza, multimea de grafuri

d-convex simple neorientate cunoscute, fiind astfel o generalizare a

acesteia.

29

IV. CONCLUZII SI RECOMANDARI

Caracteristica generala obtinuta a grafurilor d-convex simple si d-

convex quasi-simple neorientate ıncununeaza cu succes cercetarile ın

aceasta directie a unui sir de matematicieni din tara si de peste hotare.

Impreuna cu notiunile d-convexe, introduse asupra grafurilor orientate si

teorema de caracterizare a multimii de grafuri d-convex simple orientate,

aceste teoreme reprezinta o particica din teoria generala a convexitatii,

care pot fi introduse ın pachetele optionale ce au studiul aprofundat al

teoriei multimilor convexe sau al teoriei grafurilor.

Operatiile noi introduse asupra multimilor de grafuri d-convex sim-

ple (neorientate si orientate) si d-convex quasi-simple au permis nu nu-

mai evidentierea structurii acestora dar si divizarea lor conform unor

proprietati speciale. Astfel au aparut notiunile de completitudine si

ınchidere, ın raport cu aceste operatii, care sunt analogice notiunilor

de completitudine s ınchidere functionala cunoscute din logica matem-

atica si matematica discreta.

Din teorema 6 rezulta ca o mare parte a grafurilor bipartite sunt

grafuri d-convex simple, iar gasirea unui graf d-convex simplu prim,

nebipartit si cu varfuri nedominate nu a fost triviala, acest graf este

ilustrat ın figura 4.

Cunoasterea structurii grafurilor d-convex simple si quasi-simple planare

a permis rezolvarea problemei de scufundare a acestor grafuri ın spatiul

Euclidian 3-dimensional. Problemele, aparute si rezolvate ın procesul

amplasarii ın spatiu a grafurilor d-convex quasi-simple planare, para-

graful 2.4, pot fi formulate la olimpiade.

Multimea de grafuri d-convex simple orientate este o multime cu mult

mai vasta decat multimea grafurilor d-convex simple neorientate, ın sens

ca pentru orice graf d-convex simplu neorientat, exista o orientare a lui

care este un graf d-convex simplu orientat. In plus daca la baza formarii

grafurilor d-convex simple neorientate stau ciclurile de lungimea patru,

atunci la baza formarii grafurilor d-convex simple orientate pot fi con-

tururi de orice lungime.

In cele ce urmeaza prezinta interes generalizarea notiunii de graf d-

convex simplu orientat asupra complexelor abstracte de relatii multi-are.

30

V. PUBLICATIILE AUTORULUI LA TEMA TEZEI

1. N. Sur, About Division of d-Convex Simple Graphs in M-Prime Graphs,

Bul. Acad. de St. a RM, Mat. - Nr 3(58), 2008, Chisinau, pp. 88-97.

2. N. Sur, S. Cataranciuc, About Directed d-Convex Simple Graphs, Comp.

Sc. Jour. of Moldova, vol. 16, Nr 3(48), 2008, Kishinev, pp. 323-346.

3. N. Sur, S. Cataranciuc, Involving d-Convex Simple and Quasi-simple Pla-

nar Graphs in R3, Comp. Sc. Jour. of Moldova, vol. 13, Nr 2(38), 2005,

Kishinev, pp. 151-167.

4. N. Sur, A Method of Description for d-Convex Simple and Non-Oriented

Graphs, Annals of the T. Popoviciu Sem. of Funct. Eq., Appr. and Conv.,

vol 3, Cluj-Napoca, 2005, pp. 35 - 38.

5. N. Sur, Grafuri cu o Familie Redusa de Multimi d-Convexe, Studia Uni-

versitatis, Seria”St. exacte si econ.”, Chisinau, 2008, pp 23-33.

6. N. Sur, Despre o Clasa Noua de Grafuri d-Convex Simple, Anal. St. ale

USM, Seria”St. fiz.-mat.”, Chisinau, 2006, pp 123-126.

7. N. Sur, Multimi Inchise si Complete de Grafuri d-Convex Simple

si Generatorii lor, Mod. Mat., Opt. si Tehn. Inform., Mater. Conf.

Intern., ATIC, Chisinau, Evrica, 2008, pp 199-204.

8. N. Sur, O Operatie Algebrica ın Multimea Grafurilor d-Convex Sim-

ple, Conf. St. Intern. dedic. jub. de 60 ani USM, 2006, pp 55-56.

9. N. Sur, Algorithm for Involving d-Convex Simple Planar Graphs in

R3, Conf. Intern. a Tinerilor Cercetatori 2005, Rezumatele Lucrarilor,

Chisinau, pp 124.

10. N. Sur, About Dimension of d-Convex Simple and Quasi-simple

Planar Graphs, Sc. Works “Integral Equations and Modelling of

Applied problems” in memory of univ. prof. V. Zolotarevschi, vol

1, 2005, Kishinev, pp 196-197.

11. S. Cataranciuc, N. Vicol, Covexitatea ın Grafuri Orientate, Bilantul

Activ. St. a USM ın anii 2000-2002, 2003, pp 104-106.

31

ADNOTARE

la teza de doctor ”Grafuri cu multimi d-convexe apriori date”

Teza este consacrata studiului d-convexitatii pe structuri discrete

prin intermediul grafurilor neorientate si orientate.

Se rezolva problema de caracterizare a multimii de grafuri d-convex

simple si quasi-simple neorientate. Aceste grafuri sunt descrise printr-o

metoda iterativa. Sunt introduse un sir de operatii algebrice pe multimile

de grafuri d-convex simple si quasi-simple neorientate, care permit ex-

tinderea unor clase de grafuri cunoscute, si depistarea unor grafuri pri-

mare, din care, cu ajutorul operatiilor introduse se formeaza clase noi

de astfel de grafuri. Astfel se determina structura grafurilor d-convex

simple si quasi-simple neorientate, ceea ce este important din punct de

vedere al fundamentarii teoriei convexitatii pe structuri discrete cat si

din punct de vedere aplicativ. Se demonstreaza teorema de existenta

a grafurilor d-convex simple bipartite cu numarul de varfuri si muchii

fixate. Se arata ca problemele metrice, ın grafurile d-convex simple de

forma L(G, G0) se reduc la aceleasi probleme ın graful G. Se determina

dimensiunea de scufundare ın spatiile Euclidiene a grafurilor d-convex

simple si quasi-simple planare si se descriu algoritmii de scufundare a

acestor grafuri ın spatiul respectiv.

Cu ajutorul notiunii de distanta, definita ıntr-un mod obisnuit asupra

grafurilor orientate, care este o semi-metrica pe aceasta multime de

grafuri, se defineste notiunea de multime d-convexa ın grafurile orien-

tate. Se definesc grafurile d-convex simple orientate, ca grafurile cu un

numar minim de multimi d-convexe si se obtine descrierea lor printr-o

metoda iterativa. Operatiile, care au fost definite deja pentru grafurile

d-convex simple sunt definite asupra grafurilor d-convex simple orien-

tate. Acestea sunt necesare atat pentru a evidentia structura grafurilor

d-convex simple orientate si modul de constructie al lor, cat si pen-

tru a arata ca pentru orice graf d-convex simplu neorientat, structura

caruia este cunoscuta, exista cel putin un graf d-convex simplu orien-

tat corespunzator lui. Astfel se poate de afirmat ca multimea grafurilor

d-convex simple orientate contine, ın acest sens, multimea grafurilor

d-convex simple neorientate cunoscute.32

SUMMARY

of the PhD thesis ”Graphs with primary given d-convex sets”

The PhD thesis is dedicated of study of d-convexity on discrete

structures through undirected and directed graphs.

There is solved the problem of characterisation of the set of d-convex

simple and quasi-simple undirected graphs. These graphs are described

by using an iterative method. There are introduced a sequence of alge-

braic operations on the sets of d-convex simple and quasi-simple undi-

rected graphs, that allows to extend some known classes of graphs and

finding some primary graphs, from which, by using these operation,

there could be formed the new classes of these graphs. By this way it is

determined the structure of undirected d-convex simple graphs, that is

important for substantiation of convexity theory on discrete structures

and for applications. It is proved the theorem of existence of bipartite

d-convex simple graphs with fixed number of vertexes and edges. It

is shown that the metric problems, in d-convex simple graph of type

L(G, G0) are reducible to the same problems in graph G. It is deter-

mined the dimension of involving in Euclidean spaces of planar d-convex

simple and quasi-simple graphs and there are described algorithms for

involving of these graphs in these spaces.

By using the notion of distance, defined in an usual way on the set of

the directed graphs, which is a semi-metric of these set of graphs, there is

defined the notion of d-convex set in directed graphs. There are defined

the directed d-convex simple graphs, as graphs with a minimal number

of the d-convex sets and they are described by using an iterative method.

The operations, which were defined for d-convex simple and d-convex

quasi-simple undirected graphs are defined on the set of directed d-

convex simple graphs. All this are necessary for emphasise the structure

of these graphs and the way of them constructions and for to show that

for each undirected d-convex simple graph, with known structure, there

is at least one directed d-convex simple graphs, that correspond to the

first. So, it could be assert that the set of directed d-convex simple

graphs contains, in this mean, the set of known undirected d-convex

simple set.33

АННОТАЦИЯ

на докторскую диссертацию "Графы с изначально заданными

d-выпуклыми множествами"

Основной целью диссертации является изучение d-выпуклости

на дискретных структурах и именно на неориентированных и ориен-

тированных графах.

Решается задача о характеризации множества d-выпукло простых и

квази-простых неориентированных графов. Эти графы описываются

рекурсивным методом. Вводится алгебраические операции на множе-

стве d-выпукло простых и квази-простых графов, которые позволяют

не только расширять некоторые известные классы этих графов, но и

выявлять первоначальных графов, из которых с помощью вводимых

операций, формируются новые классы графов. Таким образом, опре-

деляется структура d-выпукло простых и квази-простых неориенти-

рованных графов, которая немало важная с точки зрения обоснова-

ния теории выпуклости на дискретных структурах и в приложениях.

Устанавливается размерность вложения в Евклидовых пространствах

d-выпукло простых и квази-простых планарных графов и описыва-

ются алгоритмы вложения этих графов в пространстве.

Используя понятие расстояния, определенная обычным способом

на ориентированных графов, определяется понятия d-выпуклого мно-

жества в ориентированных графов. Определяются d-выпукло про-

стые ориентированные графы, как графы с наименьшем количеством

выпуклых множеств и описываются рекурсивным методом. На мно-

жестве ориентированных d-выпукло простых графов определяются

все операции, раннее определяемые на неориентированных d-выпукло

простых графов. Это нужно не только для выявления структуры дан-

ных графов и описания способа их строения, но и для доказательства

того, что для любого неориентированного d-выпукло простого графа

существует ориентированный d-выпукло простой граф. Таким обра-

зом, можно утверждать что множество ориентированных d-выпукло

простых графов содержит множество знакомых неориентированных

d-выпукло простых графов.

34