Tutorial

MUPAD Light 2.5.2 para Windows

Marcela Vitti/ RA044978 Curso51/ Unicamp Segundo semestre/2005 Campinas/ São Paulo

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Índice

1.0 Introdução................................................................................................3.

2.0 Sobre o MUPAD......................................................................................4.

3.0 Obtendo o MUPAD..................................................................................5.

4.0 Usando o MUPAD Light 2.5.2.................................................................6.

5.0 Funções, limites, derivadas e integrais....................................................14.

5.1 Funções................................................................................................14.

5.2 Limites.................................................................................................15.

5.3 Derivadas.............................................................................................15.

5.4 Integrais................................................................................................16.

6.0 Aplicações................................................................................................18.

Exemplo1..................................................................................................18.

Exemplo2..................................................................................................18.

Exemplo3..................................................................................................19.

7.0 Gráficos em duas (2D) e três (3D) dimensões.........................................23.

7.1 Gráficos 2D..........................................................................................23.

7.2 Gráficos 3D..........................................................................................25.

8.0 Resumo.....................................................................................................28.

8.1 Resumo de comandos...........................................................................28.

9.0 Galeria......................................................................................................30.

10.0 Dicas.......................................................................................................31.

10.1 Livros.................................................................................................31.

10.2 Páginas na Web..................................................................................32.

10.3 Tutoriais.............................................................................................33.

11.0 Bibliografia............................................................................................34.

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1.0 Introdução

O objetivo deste tutorial é ajudar aos usuários iniciantes como utilizar

alguns recursos básicos, e muito eficientes, do software matemático MUPAD

Light 2.5.2 para Windows.

O MUPAD oferece um leque de possibilidades para o uso em diversas

áreas da matemática, ele mostra-se muito útil não somente para alunos e

professores, mas também para profissionais e pessoas interessadas em

matemática, pois além de ser gratuito é de fácil entendimento e utilização.

Este tutorial destina-se ao ensino do Cálculo, por este motivo os

comandos apresentados serão, na maioria dos casos, para calcular limites,

derivadas, integrais, construção de gráficos e manipulação de funções.

Por ser um software gratuito, o MUPAD amplia o acesso às ferramentas

matemáticas computacionais para a educação, não se prendendo somente aos

fins lucrativos.

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2.0 Sobre o MUPAD

O MUPAD (Multi Prossecing Algebra Data Tool, ferramenta

multiprocessadora de dados algébricos) é um software matemático criado pelo

MUPAD Reserch Group na Universidade de Paderborn, Alemanha, sob o

comando do Professor B. Fuchssteiner.

O MUPAD surgiu com a tese de mestrado de Karsten Morisse e Oliver

Kluge, no ano de 1989. A linguagem de programação MUPAD foi

desenvolvida por Andreas Kemper, como tese de mestrado; essa linguagem

possui aspectos parecidos com o Pascal, outra forma de linguagem de

programação relativamente simples.

Ao longo dos anos seguintes, o software foi sendo aprimorado e

disponibilizado para vários sistemas operacionais; atualmente (2005),

encontra-se versões para Windows, Linux e Macintoch (para outros sistemas

operacionais o fornecedor deve ser contatado no site www.mupad.com). Para

Windows, está disponível para download o MUPAD Pro 3.1.1; porém esta

versão é paga, apesar de poder ser utilizada gratuitamente por trinta dias com

limitações de uso. Todas as versões são distribuídas pela SciFace ( SciFace

Software GmbH & Co KG, fundada em 1997).

5

3.0 Obtendo o MUPAD Infelizmente, o MUPAD Light 2.5.2 não está mais disponível para

download no site do distribuidor (www.sciface.com) por motivos

desconhecidos. Porém ele pode ser baixado através do link que se encontra na

página www.ime.unicamp.br/~marcio/hpteia/exp.htm; a versão mais recente

desse software matemático é o MUPAD Light 2.5.3 que se encontra para

download no seguinte endereço:

http://www.wintotal.de/softw/index.php?rb=55&id=860 (apesar da página ser

em alemão, a forma de tópicos explicando um pouco sobre o programa

facilitou a compreensão visual). A versão a qual se destina esse tutorial

(MUPAD Light 2.5.2 para Windows) funciona para Windows 95, 98,

ME(Millennium), NT4.0, 2000 e XP.

Após a instalação é necessário efetuar o registro do programa, caso

contrário, este somente poderá ser utilizado por trinta dias e com limitações de

uso. O registro é permitido para estudantes, professores, funcionários de

empresas filantrópicas e grupos de pesquisa sem fins lucrativos. O formulário

que deve ser preenchido encontra-se em

https://www.mupad.org/muptan/muptan.php. O usuário receberá uma senha de

desbloqueamento do software e após ser desbloqueado, o programa já oferece

todas as suas possibilidades de uso.

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4.0 Usando o MUPAD Light 2.5.2

Depois de instalado, o MUPAD cria um atalho no menu Programas. O

programa será inicializado clickando em MUPAD Light; em Tools, encontra-

se as ferramentas para plotar gráficos e a ferramenta de ajuda do MUPAD.

Quando o programa é aberto, uma janela aparece avisando o usuário

quantos dias faltam para a avaliação gratuita, após feito o registro, essa janela

não abrirá novamente.

A interface do MUPAD Light 2.5.2 é simples, possuindo, além dos

menus, alguns botões e o prompt de comando.

7

As operações básicas, como adição, subtração, multiplicação, divisão e

exponenciação são dadas , respectivamente por:

+, -, *, / e ^.

Os comandos que serão executados (imput) aparecem em vermelho e as

respostas do programa (output) em azul. Isto pode ser modificado da seguinte

forma: no menu View > Options: botões Imput Regions e Output Regions.

Funções trigonométricas básicas, constantes, o número e, raízes,

logaritmos e função módulo apresentam comandos definidos:

sin(x); cos(x); tan(x);

PI (o número Pi, deve ser escrito todo com letras maiúsculas);

I ( i, número imaginário);

E (número neperiano (e), também pode ser representado por exp(1));

sqrt(x) (raiz quadrada de x, ou x ½);

log(b,x) (log de x na base b); ln(x) (log de x na base e);

abs(x) (módulo de x, |x|).

O MUPAD diferencia letras maiúsculas de letras minúsculas,

permitindo definir palavras como variáveis, como: y, y2, X, valor_de_z; são

todos atributos válidos e diferentes de variáveis.

Na forma comum, um exemplo de equação1 pode ser escrito da seguinte

forma:

2ε�γ�cos( 2 3 t+π)

1 Esta equação representa um movimento harmônico simples (MHS) de um movimento amortecido.

8

A equação apresentada seria escrita da seguinte forma no MUPAD:

• 2*E^(-g*t)*cos(sqrt(3)*t+PI)

O comando info é interessante e muito útil, pois mostra previamente o que um comando faz ou mostra as propriedades de uma variável. • info (E) exp(1) -- an expression of type "exp" • info (x+5) x + 5 -- an expression of type "_plus" • x :=9 9 • info (x) 9 -- of domain type 'DOM_INT'

Para determinar o número de casas decimais de um número, existe a

variável DIGITS; o seu valor padrão é 10, mas pode ser alterado atribuindo

um valor para esta variável (Ex: DIGITS := 200).

• DIGITS:=200; ln(77.0) 200 4.343805421853683849167296321408309029458791583519278363677957859068153486\ 66530598086271320659050631840777742009398913943397932141627357423850426048\ 59650088409594663747849498799717200169464056210815596

A barra invertida (“\”) serve como quebra de linha, já que o valor

atribuído é grande e não cabe apenas numa linha. Como a largura desta página

difere do prompt de comando do MUPAD, as barras não estão aparecendo no

final da linha. Para mudar essa configuração no prompt, basta ir no menu

Session > Text Width... e mudar o valor.

9

O MUPAD utiliza manipulações algébricas como procedimento padrão

sempre que necessário. Assim, para saber o ln(27), temos:

• ln(3^3) ln(27) • ln(27) ln(27)

O software interpreta essa notação como um número inexato e acaba

retornando apenas o valor da exponencial.

Para se obter o valor numérico da expressão temos que adicionar a

função float. • float(ln(3^3)) 3.295836866 • float(ln(27)) 3.295836866

Outra maneira de representação é denotar os números como variáveis de

ponto flutuante (valores numéricos e não algébricos), ficando a representação

desta forma: ln(27.0). • ln(27.0) 3.295836866

A função last(n) tem valor igual ao n-ésimo output na ordem inversa,

ou seja, 1 é o último, 2 o penúltimo, 3 o anti-penúltimo e assim por diante.

Esse comando apresenta uma simplificação para last(1), a qual é representada

por ‘%’.

• 2+3+4 9 • 3*last(1) 27

10

• last(3)/5 24/5 • %*5 24

O valor de last(n) é atualizado a cada saída, por isso essa função é útil

para calcular progressões termo a termo ou simular iterações simples.

Para resolver equações, existe o comando solve. Se existir apenas uma

variável, basta digitar a equação entre parênteses na frente do comando-

solve(equação)-caso tenha mais variáveis, a resposta será dada em função das

variáveis não expecificadas-solve(equação,variável). • solve(z+9*z^2/9) {[z = 0], [z = -1]} • solve(x+3*y-z=2) { -- z -- } { | y = - - 7/3 | } { -- 3 -- } • delete x, y, z • solve(x+4*y-z=3, z)

{x + 4 y - 3}

O comando delete remove o valor atribuído as variáveis.

Para resolver sistemas ou inserir conjunto de equações ou variáveis

deve-se usar o comando equacoes ou solve(equações,incógnitas): • equacoes := { 2*x + y -5*z = 3, 2*x - 3*y + z/8 = 7} { z } { 2 x + y - 5 z = 3, 2 x - 3 y + - = 7 } { 8 } • incognitas := {x, y, z} {x, y, z}

11

• solve(equacoes, incogmitas) {}

Quando há algum erro, o programa especifica onde ele ocorre.

• equacoes := {2*x + y - 5z = 3, 2*x - 3*y + z/8 = 7} Error: Unexpected 'identifier' [line 1, col 26]

As funções expand e simplify são utilizadas para manipulações

algébricas; elas desenvolvem e simplificam, respectivamente, as expressões.

Para expressões muito longas é interessante aplicar simplify(%) no

final.

• expand(sin(x+y)/cos(x-y)) • cos(x) sin(y) cos(y) sin(x) ----------------------------- + ----------------------------- cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) • simplify(%) sin(x + y) ---------- cos(x - y) • expand(%) cos(x) sin(y) cos(y) sin(x) ----------------------------- + -----------------------------

cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) cos(x) cos(y) + sin(x)

sin(y)

As vezes pode ocorrer da expressão original ñ ser retornada, mas sim de

outra equivalente aparecer em seu lugar, como no seguinte caso:

12

• expand(sin(x+y)*cos(x-y)) 2 2 cos(x) cos(y) sin(x) + cos(x) cos(y) sin(y) + cos(x) sin(x) 2 2 sin(y) + cos(y) sin(x) sin(y) • simplify(%) sin(2 x) sin(2 y) -------- + -------- 2 2 • expand(%) cos(x) sin(x) + cos(y) sin(y)

Regularmente, precisamos substituir um símbolo por um valor, que

pode ser uma expressão ou apenas outro número. Isso pode ser feito com

subs(expressão, x = a) para uma substituição e subs(expressão, x = a, y =

b...) para mais substituições.

a) atribuir o valor 2=x para 74 +x .

• subs(x^4+7, x=2) 23

ou • x:=2: x^4+7 23

b) atribuir os valores 1=x e 2=y para 42 −+ yx . • subs(x^2+y-4, x=1, y=2) 2

O MUPAD também permite a manipulação com números complexos

(z = x + iy). Para isso são usados os comandos abs(z), conjugate(z) e a letra I

(sempre em maiúsculo) para representar o número imaginário. Exemplos:

13

a) ii

3423

−+ .

• (3+2*I)/(4-3*I) • 6/25 + 17/25 I

b) z de 5

)1( iz

−= .

• abs((1-I)/sqrt(5)) 1/2 1/2 5 (2/25)

c) z com )45(3 −= iiz .

• conjugate(3*I*(5*I-4)) - 15 + 12 I

Lembrete: Uma vez digitada a operação e executada, o MUPAD Light

não permite que essa seja corrigida, caso tenha algum erro ou para troca de

algum termo; desse modo a operação deve ser digitada novamente ou

“colada” e “copiada” para a próxima linha de comando, assim poderão ser

feitas as modificações necessárias.

Os comandos mais básicos do MUPAD Light 2.5.2 já foram

apresentados, com isso podemos passar para as aplicações ao Cálculo. Este

tutorial também dará uma pequena ênfase ao estudo da Física apresentando

problemas comuns a essa matéria e que usam o cálculo para resolvê-los;

também serão mostrados alguns gráficos mais elaborados que necessitam de

um conhecimento mais avançado além de dicas interessantes.

14

5.0 Funções, limites, derivadas e integrais

5.1 Funções

As funções no MUPAD são definidas usando os símbolos ‘->’. Exemplos:

• f := x -> -(x)^2 + 2*x x -> 2*x - x^2 • f(-1) -3 • f(1/2) 3/4 • f := (x,y,z) -> x + y^8 - z*2 (x, y, z) -> (x + y^8) - 2*z • f(1,2,3) 251

As funções compostas são definidas atribuindo uma função no lugar da

variável da outra.

• f := x -> x^2 + 9 x -> x^2 + 9 • g := f + 4 (x -> x^2 + 9) + 4 • g(1) 14

15

5.2 Limites O cálculo dos limites de uma função são úteis para encontrar os pontos

de descontinuidade desta e o seu comportamento quando tendem para algum

valor ou para limites infinitos. O comando que calcula limites é o limit;

existem três maneiras de se verificar limites:

• limit(f, x = x') calcula o limite nas duas direções (negativa e positiva), caso

exista;

• limit( f, x = x', Left) calcula o limite pela esquerda, se existir;

• limit(f, x = x', Right) calcula o limite pela direita, se existir.

Alguns exemplos: • limit(2/(x-1), x=1) undefined • limit(2/(x-1), x=1, Left) -infinity • limit(2/(x-1), x=1, Right) infinity

5.3 Derivadas Para derivar uma função, pode-se usar o operador D ou o apóstrofo (‘),

ambos equivalentes. Também existe o comando diff (função, variável). Os

dois comandos apresentados para calcular derivadas atuam m diferentes

situações. O primeiro não reconhece x e o interpreta como um valor

desconhecido, já o segundo realiza derivadas de funções explícitas.

Usando D e (‘). • f := x -> x^2 + x x -> x^2 + x

16

• f' 2 id + 1 • D(f) 2 id + 1

id aparece no lugar da variável, que no caso é x, isso acontece, pois com esse comando a função não fica definida para uma variável.

Usando diff(função, variável). • diff(tan(x), x) 2

tan(x) + 1

No cálculo de derivadas superiores basta inserir vários apóstrofos ou no comando diff adicionar um novo parâmetro-diff(função, variável $ n). • f := x -> x^10; f ' ' ' x -> x^10 7 720 id • diff(x^10, x $ 3) 7 720 x

5.4 Integrais

O comando para integração é o int. Para a integral indefinida da função

temos int(função, variável) e para a definida int(função, variável =

mínimo..máximo).

Exemplos:

• int (7*x^5, x) 6 7 x ----

17

6 • int (sqrt(2+x), x = 1..2) 1/2 16/3 - 2 3

Para funções descontínuas em um intervalo, aparecerá uma mensagem

de erro:

• int(1/(x-1), x = 1..2) Warning: Antiderivative is unbounded at lower limit [intlib::antiderivativ\ e] infinity

18

6.0 Aplicações

Agora serão apresentados alguns exercícios2 que utilizam esses

comandos, alguns apresentarão gráficos, os quais serão ensinados (como são

feitos) posteriormente.

Exemplo 1: Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo 0x atua

uma força paralela ao deslocamento e de componente φ (x) = 2

1x

. Calcule o

trabalho realizado pela força no deslocamento de x = 1 até x = 2.

Solução: O trabalho realizado por Fρ

de x = 1 até x = 2 é

• int(1/(x^2), x = 1..2) • 1/2

�=2

12

1x

τ dx = [-x1 ] 2

1 = 21 J.

Exemplo 2: Uma partícula move-se sobre o eixo de modo que no

instante t a posição x é dada por x = cos 3t, t≥ 0. Suponha x dado em metros e

t em segundos.

a) Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes t = 0, t =

,6π

2,

3ππ == tt e

32π=t .

2 Os exercícios foram retirados do livro: Um curso de cálculo, volume 1, de Hamilton Luiz Guidorizzi.Páginas: 330, 197 e 260, respectivamnte.

19

b) Qual a velocidade no instante t?

c) Qual a aceleração no instante t?

d) Esboce o gráfico da função de posição.

a)

Percebe-se através da tabela que a partícula executa

um movimento de “vaivém” entre as posições –1 e

1.

b) tdtdx

3sen3−= ou v(t) = -3 sen 3t (m/s).

• diff(cos(3*t), t)

-3 sin(3 t)

c) tdt

xd3cos92

2

−= ou a(t) = -9 cos 3t (m/s2).

• diff(-3*sin(3*t), t)

-9 cos(3 t)

d)

52.50-2.5-5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

t -> cos(3*t)

Exemplo 3: Esboce o gráfico de .154

)(2 −

+=xx

xf

Resolução

a) }.1|{ ±≠∈= xRxDf

t x

0 1

6π 0

3π -1

2π 0

32π 1

20

b) Intervalos de crescimento e decrescimento.

22

2

)1(4104

)('−

−−−=x

xxxf

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−=

−=⇔=−−−

21

204104 2

x

ou

x

xx

• diff((4*x+5)/(x^2-1), x) 4 2 x (4 x + 5) ------ - ------------- 2 2 2

x - 1 (x - 1)

'f −→∞−→−+→−−+→−−−→−−∞ ),1(;)1,21(;)2

1,1(;)1,2(;)2,(

.),1(;)1,21(;)2

1,1(;)1,2(;)2,( decrescdecresccresccrescdecrescf ∞−−−−−−−∞

c) concavidade e pontos de inflexão

42

2222

)1(2)1(2)4104()1)(108(

)(''−

−−−−−−−−=x

xxxxxxxf .

• diff((-4*x^2-10*x-4)/(x^2-1)^2, x) 2 - 8 x - 10 4 x (- 10 x - 4 x - 4) ---------- - ----------------------- 2 2 2 3 (x - 1) (x - 1)

1024308)( 23 +++= xxxxg admite uma única raiz real a, com

,23 −<<− a e que

)(xg <0 para x < a e )(xg >0 para x > a.

Combinando o sinal de )(xg com o de 12 −x , resulta

,),1(;)1,1(;)1,(,)1,(.),1(;)1,1(;)1,(;),(''

cimabaixocimaabaixof

aaf

∞−−−∞+→∞−→−+→−−→−∞

Ponto de inflexão: a é o único ponto de inflexão.

d) Limites laterais em –1 e 1.

21

−∞=−+

+∞=−+

−

+

→

→

154

lim

154

lim

21

21

xx

xx

x

x +∞=

−+

−∞=−+

−

+

−→

−→

154

lim

154

lim

21

21

xx

xx

x

x

• limit((4*x+5)/(x^2-1), x=1, Right) infinity • limit((4*x+5)/(x^2-1), x=1, Left) -infinity • limit((4*x+5)/(x^2-1), x=-1, Right) -infinity • limit((4*x+5)/(x^2-1), x=-1, Left) infinity

e) .154

lim0154

lim 22 −+==

−+

+∞→+∞→ xx

xx

xx

• limit((4*x+5)/(x^2-1), x=infinity) • 0 • limit((4*x+5)/(x^2-1), x=-infinity) • 0

f) A única raiz de f é .45−

g) gráfico:

22

52.50-2.5-5

25

0

-25

-50

x

y

x

y

x -> (4*x + 5)/(x^2 - 1)

23

7.0 Gráficos em duas (2D) e três (3D) dimensões

Esta parte do tutorial explica como fazer gráficos para ilustrar uma

situação e assim melhorar a visualização e compreensão do problema.

Na biblioteca plot encontra-se vários comandos para gráficos, incluindo

os principais: plot2dfunc, plot3dfunc, plot2d e plot3d. Para a visualização

do gráfico, o MUPAD abre uma janela separadamente, a qual é chamada

devido a palavra plot que precede os comandos.

7.1 Gráficos 2D

Forma geral: plotfunc2d(f1 , ..., fn ); onde f1 , ..., fn são as funções a

serem “plotadas”.

Comandos:

Plotfunc2d(<SceneOptions,> f1, f2, ...< Grid = [nx, ny]>)

Plotfunc2d(<SceneOptions,> f1, f2, ..., x = xmin..xmax<, Grid = [nx, ny]>)

Plotfunc2d(<SceneOptions,> f1, f2, ..., x = xmin..xmax, y = ymin..ymax <, Grid =

[nx, ny]>)

SceneOptions define a aparência do gráfico, os seu comandos estão em

uma tabela no próprio tutorial do MUPAD.

Exemplos:

plotfunc2d(cos(x)*cos(x)):

24

52.50-2.5-5

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

cos(x)^2

Pode-se definir o intervalo desejado para a função, tanto em x como em

y; Grid serve para determinar quantos pontos serão usados para “plotar” o

gráfico.

• plotfunc2d(cos(1/x), x = -PI..PI, Grid = 500):

2.51.250-1.25-2.5

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

cos(1/x)

25

Consegue-se vários efeitos nos gráficos, como o pontilhado abaixo, mexendo nos comandos na caixa:

• plotfunc2d(cosh(x), sinh(x)):

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

cosh(x), sinh(x)

7.2 Gráficos 3D

Forma geral: plotfunc3d(f1,..., fn), sendo f1,..., fn as funções a serem

“plotadas”.

Chamadas:

26

plotfunc3d(<SceneOptions,> f1, f2, ...< Grid = [nx, ny]>)

plotfunc3d(<SceneOptions,> f1, f2, ..., x = xmin..xmax<, Grid = [nx, ny]>)

plotfunc3d(<SceneOptions,> f1, f2, ..., x = xmin..xmax, y = ymin..ymax <, Grid =

[nx, ny]>)

Exemplos:

• plotfunc3d(Arrows = FALSE, Axes = Corner, Ticks = 8, • Grid = [40, 40], CameraPoint = [10, -5, 15], • abs(x + I*y), x = -1..1, y = -1..1):

10.75

0.50.250

-0.25-0.5

-0.75-1

10.75

0.50.25

0-0.25

-0.5-0.75

-1

1.41.2

10.80.60.40.2

x y

z

x y

z

abs(x + I*y)

• plotfunc3d(sinh(x), cosh(x)):

52.50-2.5-5 52.50-2.5-5

50

25

0

-25

-50

x

y

z

sinh(x), cosh(x)

27

Existem muitas possibilidades para modificar um gráfico, como a cor, a

escala, o traçado entre outras coisas; mas como esse tutorial visa ensinar os

comandos mais simples e de mais utilidade, o usuário que quiser se

aprofundar pode consultar o tutorial do próprio software.

A figura ao lado é um exemplo de

gráfico escultural que pode ser

obtido com o auxílio do MUPAD.

Gráficos dessa categoria serão

mostrados posteriormente em 9.0

Galeria.

28

8.0 Resumo

Além do que foi apresentado, o MUPAD Light 2.5.2 também é útil para

outras áreas da matemática e por isso pode ser considerado um software

completo.

8.1 Resumo de comandos

Informação: info( )

Número de casas decimais: DIGITS:= n

Valor numérico: float( ) ou representa como variável de ponto

flutuante

Progressões e iterações simples: last( )

Resolver equações: solve( )

Remover valor atribuído: delete

Sistemas ou inserir conjunto de equações ou variáveis:

equacoes:={ }

incognitas:={ }

solve(equações, incógnitas)

Manipulações algébricas: expand( ) e simplify( )

Substituições: subs(exp, x = a) ou subs(exp, x = a, y = b...)

Números complexos: abs( ), conjugate( ) e I para atribuição do número

imaginário

Definição de função: f := x ->

Limite: limit

Diferenciação: diff

Integração: int

29

Gráficos 2D: plotfunc2d

Gráficos 3D: plotfunc3d

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9.0 Galeria

O software matemático MUPAD permite a construção de gráficos

artísticos, como se fossem esculturas, mas para tal feito são necessários um

estudo mais avançado da capacidade gráfica do software além de um

conhecimento matemático sofisticado.

Os gráficos foram construídos por Miroslaw Mijewski, um especialista

na área.

The bird of paradise-o pássaro no paraíso

Catalan surface

The Raimbow umbrella-o guarda-chuva arco-íris

The twin snail surface-superfície de caracol

dupla

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10.0 Dicas

Nesta seção serão apresentadas sugestões de livros, páginas na Web e

outros tutoriais.

10.1 Livros

Infelizmente não são encontrados livros sobre o software matemático

MUPAD em português; encontra-se somente uma coleção de livros em inglês.

Tais livros foram escritos por Miroslaw Majewski, que atua na

Universidade de Zayed, nos Emirados Árabes Unidos. Mesmo assim, eles

não estão focados para o MUPAD Light.

Miroslaw Majewski – morou em

vários países como Papua - Nova

Guiné e China, atualmente se

encontra em Abu Dhabi no Golfo

Pérsico, Emirados ÁrabesUnidos.

Miroslaw Majewski é um

matemático e cientista da

computação; seus interesses nesses

meios visam o desenvolvimento de

novas tecnologias que possam ser

utilizadas para o ensino da

matemática. Já trabalhou com o

Maple e o MUPAD, sentindo-se

mais confortável com o último

software, o qual diz ter melhor

pesquisa matemática (domínios,

axiomas, etc).

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A editora responsável pelas publicações é a Spring. O livro que se

encontra no meio é uma 2ª edição e foi publicado no ano de 2005 em Berlim e

Nova Iorque.

10.2 Páginas na Web

Alguns endereços interessantes:

www.mupad.com/majewski;

www.ufpa.br/ccen/mat/tutoriais1.htm;

www.sciface.com; distribuidora do MUPAD

http://ww.umk.pl/~majewski/; página pessooal de Miroslaw Mijewski

http://www.mupad.com/mathpad/; página muito interessante, nela

encontra-se muitas coisas sobre o software em questão, inclusive datas de

eventos que discutem o MUPAD.

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10.3 Tutoriais

Tutorial do aluno André Oliveira Maroneze que está disponível para

download em www.ime.unicamp.br/~marcio/hpteia/exp.htm .

Tutorial de Cristina Lúcia Dias Vaz,

www.ufpa.br/ccen/mat/tutoriais1.htm .

Tutorial do próprio MUPAD Light 2.5.2.

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11.0 Bibliografia

1. GUIDORIZZI, Luiz H. Um Curso de Cálculo, 5ª edição. Vol. 1. Editora LTC, 2001 e 2003.

2. Tutorial de André Oliveira Maroneze. 3. Tutorial de Cristina Lúcia Dias Vaz. 4. Tutorial MUPAD. 5. www.mupad.com/majewski 6. www.mupad.com/majewski/author.html 7. www.ufpa.br/ccen/mat/tutoriais1.htm