Muestreo de señal

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Teorema de muestreo de Nyquist

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  • AGENDA

    1. Saludo

    2. Unidad 2: Seales y sistemas de tiempo discreto

    2.1 Teorema de muestreo Nyquist

    2.2 Muestreo continuo

    3. Asignaciones

  • 4. CONVERSIN ANALGICA A DIGITAL

    El Convertidor Analgico a Digital (ADC) tiene como

    funcin convertir un voltaje analgico a un nmero equivalente

    digital.

    En el proceso de conversin analgico-digital, una forma de

    onda continua, x(t), se convierte en una forma de onda

    discreta, x(n), que es una funcin de nmeros reales que se

    definen slo en discretos enteros, n.

    Para realizar la conversin a un formato digital, es necesario

    realizar un corte de dos formas: el corte en el tiempo y en el

    corte de amplitud.

    El corte de la seal en puntos discretos en el tiempo se denomina

    tiempo de muestreo (sampling).

  • 4. CONVERSIN ANALGICA A DIGITAL

    El sampling muestrea la forma de onda continua, x (t), y la convierteen valores discretos el tiempo x(n).

    Al proceso de obtener a la salida binaria del ADC un entero discreto, a

    partir de la conversin analgica-digital de la seal analgica al ser

    cortada en niveles discretos, se le denomina cuantizacin de la seal.

    El grado de aproximacin a la seal analgica depender de la gama de

    nmeros binarios y la amplitud de la seal analgica.

    Por ejemplo, si la salida de la ADC es de 8 bits, ser capaz de entregar

    nmeros binarios correspondientes a 256 estados discretos, y si la

    amplitud manejada de entrada es 0.0-5.0 voltios, entonces el intervalo

    de cuantizacin ser de 5/256 0.0195 Voltios.

  • 4. CONVERSIN ANALGICA A DIGITAL

    La velocidad de conversin se especifica en trminos

    de muestras por segundo, o tiempo de conversin.

    Por ejemplo, un ADC con un tiempo de conversin de

    10 sec debera, ser capaz de obtener 100.000muestras por segundo (o simplemente de 100 kHz).

    Excepto para el procesamiento de imgenes, las

    tasas de conversin en el orden de los kHz suelen ser

    aceptables para seales biolgicas.

  • SISTEMA DE CONVERSIN A/D TIPICO

    4. CONVERSIN ANALGICA A DIGITAL

  • 4. CONVERSIN ANALGICA A DIGITAL

    El primer elemento es un conmutador analgico que permite mltiples

    canales de entrada para conversin. Para los sistemas tpicos de ADC se

    tienen de 8 a 16 canales, y el cambio suele ser seleccionable mediante

    software.

    Dado que un nico ADC est haciendo la conversin de todos los

    canales de entrada, la velocidad de conversin para un determinado

    canal se reduce en proporcin al nmero de canales que se convierten.

    Por lo tanto, un sistema con un ADC con tiempo de conversin de 50 kHz

    podra muestrear cada uno de los ocho canales a una tasa mxima

    terica de 50 / 8 = 6,25 kHz.

    El siguiente componente es un conmutador sample & hold que consisteen leer una muestra analgica de la seal de entrada, y mantenerla en su

    seal de salida mientras es leida por el ADC. Instantneamente, la

    muestra mantiene el valor de tensin (como una carga en un

    condensador), mientras que el ADC determina el nmero binario

    equivalente. Una vez ms, es el ADC el elemento que determina la

    velocidad global del proceso de conversin.

  • EL TEOREMA DE MUESTREO

    La definicin de una toma de muestras correcta es bastante

    simple. Si puede reconstruir exactamente la seal analgica a

    partir de las muestras, usted debe haber realizado

    correctamente la toma de muestras. Pero, si los datos incluidos

    en la muestra aparecen confusos o incompletos, la informacin

    clave no ha sido capturada y la digitalizacin ha fracasado.

  • La seal analgica es un valor constante de DC, una onda coseno

    de cero frecuencias. Dado que la seal analgica es una serie de

    lneas rectas entre cada una de las muestras, toda la informacin

    necesaria para reconstruir la seal analgica es la que figura en

    datos digitales; siendo un muestreo adecuado.

  • La onda sinusoidal tiene una frecuencia de 0,09 veces la tasa de muestreo. Esto

    puede representar, por ejemplo, para una onda sinusoidal de 90 ciclos por

    segundo, se toman 1000 muestras por segundo. Expresado de otra manera, hay

    ms de 11,1 muestras tomadas de cada ciclo completo de la sinusoide. Estas

    muestras representan correctamente la seal analgica?

    La respuesta es s, porque ninguna otra sinusoide, o una combinacin de

    sinusoides, producir este patrn de las muestras. Estas muestras corresponden

    a una sola seal analgica y, por tanto, la seal analgica se puede reconstruir

    exactamente.

  • Aqu tenemos un aumento de la frecuencia de la onda sinusoidal a 0,31 de la tasa de

    muestreo. Esto se traduce en slo 3,2 muestras por ciclo de onda senoidal. Aqu las

    muestras son tan escasas que ni siquiera parecen seguir la tendencia general de la seal

    analgica. Estas muestras representan adecuadamente la forma de onda analgica?

    Las muestras son una representacin de la seal analgica. Toda la informacin necesaria

    para reconstruir la forma de onda continua es la que figura en datos digitales.

  • En este caso la frecuencia analgica es an mayor a 0,95 de la tasa de

    muestreo, con un simple 1,05 muestras por ciclo de onda senoidal.

    Estas muestras representan adecuadamente los datos?

    No. En particular, la onda sinusoidal de frecuencia de 0,95 falsifica a s

    misma como una onda sinusoidal de frecuencia de 0,05 en la seal

    digital. Este fenmeno de cambio de sinusoides de frecuencia durante

    la toma de muestras se llama ALIASING. Al igual que un delincuente

    puede tener apodo o nombre falso (un alias), la sinusoide asume otra

    frecuencia que no es la suya. Dado que los datos digitales ya no estn

    en relacin con la seal analgica, de manera inequvoca la

    reconstruccin es imposible.

    No hay nada en la muestra de datos que sugiera que la seal analgica

    tiene una frecuencia de 0,95 en lugar de 0,05. La onda sinusoidal ha

    ocultado su verdadera identidad por completo. Siendo este un caso de

    muestreo inadecuado.

  • TEOREMA DE MUESTREO

    Teorema de muestreo de Shannon o teorema de muestreo de

    Nyquist, indica que una seal analgica puede ser debidamente

    digitalizada, slo si la frecuencia de muestreo mnima utilizada es

    el doble de la frecuencia de la seal analgica.

    Por ejemplo, para una seal analgica cuya componente

    frecuencial mxima sea de 1000 Hz, la frecuencia de muestreo

    deber ser al menos de 2000 Hz.

    Tiempo

    Continuo

    A

    Tiempo

    Discreto

  • TEOREMA DE MUESTREO

  • TEOREMA DE MUESTREO

    Ejercicios:

    1. Determinar la frecuencia de muestreo para una seal senoidal

    de 60 hz.

    2. Determine si el muestreo de una seal x(t) es correspondiente

    con seal anloga considerando que:

    F/Fs = 0.8

    F/Fs = 1.25

    F/Fs = 0.5

    3. Qu puede concluir sobre la relacin F/Fs para los casos

    analizados?

    Para valores de F/Fs 0.5 existe correspondencia entre la seal analgica y la seal digital obtenida

  • MUESTREO PERIDICO

    Consiste en mediciones de la seal a n intervalos de t iguales, expresados

    como:

    X(n) = Xa(nT)

    De donde podemos decir que:

    X(n): seal en tiempo discreto obtenida de la seal continua a T segundos.

    Xa(t): seal analgica en tiempo continuo

    Donde t = nT

    Xa(t)X(n) = Xa(nT)

  • MUESTREO PERIDICO

    Es as como el muestreo peridico establece la relacin entre la variable tiempo

    continuo (t) y la de tiempo discreto (T) donde:

    t = nT y la frecuencia de muestreo es Fs = 1/T t = n/Fs

    Adems una relacin con la frecuencia de muestreo:

    Dada la funcin: X(t) = A cos (2* *F*t+)

    Sustituyendo t = nT

    X(n) = A cos (2* *F*(nT)+); sustituyendo Fs = 1/T

    X(n) = A cos (2* *F*(n(1/Fs))+)

    X(n) = A cos ((2* *F*n/Fs)+)

  • MUESTREO PERIDICO

    Analizar la siguiente funcin: X(t) = 100 cos (200t); Obtenga X(n)

    Ahora determine la seal en tiempo discreto al aplicar una frecuencia de

    muestreo Fs1= 400 Hz, luego con Fs2= 100 Hz y grafique ambas seales.

    Qu puede concluir sobre las frecuencias F, Fs1 , Fs2 y FN ?

  • MUESTREO PERIDICO

    Analizar la siguiente funcin: X(t) = 100 cos (200t)Qu puede concluir sobre las frecuencias F, Fs1 , Fs2 y FN ?

  • MUESTREO PERIDICO

    Adems matemticamente el teorema de Nyquist establece que:

    Fs= 2Fmax; entonces Xa(t) puede recuperarse de sus muestras a travs de la

    siguiente relacin donde Xa(n/Fs) = Xa(nT)= X(n)

    Cuando Fs = FN= 2 Fmax , la relacin es de la siguiente forma:

  • MUESTREO PERIDICO

    Ahora analizar la siguiente seal en el dominio del tiempo

    Xa(t) = cos 50 t + 100 cos 200 t; determinar:

    a)Encuentre las frecuencias de la funcin.

    b)Fmax = ?

    c)FN = ?

    d)Determine la seal en tiempo discreto X(n)

    e)Analice los resultados para Fs = FN

    f)Grafique X(n)

  • MUESTREO PERIDICO

    Cuando Fs = FN= 2 Fmax , la relacin es de la siguiente forma:

    Ahora analizar la siguiente seal en el dominio del tiempo:

    Xa(t) = cos 50 t + 100 cos 200 t; determinar:

    a)Encuentre las frecuencias de la funcin.

    b)Fmax = ?

    c)FN = ?

    d)Determine la seal en tiempo discreto X(n)

    e)Analice los resultados para Fs = FN

    f)Grafique X(n)