Moti di filtrazione Importanza moti filtrazione e applicazioni

Descrizione mezzi porosi

Falde freatiche/artesiane

Legge Darcy

Eq Laplace (da 1D a 3D)

Reticoli di filtrazione moti 2D

Terreni anisotropi

Emungimento da pozzi

Metodo delle immagini

Argini e dighe in terra

Moti di filtrazione: oltre le ipotesi semplificative (campi di applicazione e modelli disponibili)

MODFLOW

Studi sperimentali

Scavi e opere di fondazione

Mai sottovalutare i moti di filtrazione…!!

Subsidenza San Joaquin Valley, California

Tra le cause: Eccessivi pompaggi da falda

Sifonamento

Rottura argine per sifonamento, Secchia, Emilia Romagna

Sifonamento briglia

IMP per la verifica delle strutture!

Spinte esercitate dalle acque sotterranee su fondazioni o manufatti -> SOTTOSPINTA IDRAULICA

Rischi piene

Filtrazione: flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso saturo

Permeabilità: attitudine a consentire la mobilità dell'acqua nel suo interno.

Moti di Filtrazione

Applicazioni

Trasporto di contaminanti

Bonifiche

Emungimento da pozzi

Intrusione salina

Filtrazione e sifonamento in opere di sbarramento e arginature

La rappresentazione grafica della composizione granulometrica si chiama CURVA GRANULOMETRICA e si ottiene mediante setacciatura (setacci tipo ASTM, DIN, UNI).

diametro significativo o efficace: usualmente D10

Proprietà fisiche dei terreni: Il moto di filtrazione dipende dalla forma e natura dei grani, e della composizione granulometrica

Modello di mezzo poroso

- una regione dello spazio occupata da un Sistema Multifase Eterogeneo, costituito dalle fasi fluida e solida, con la presenza anche di vuoti

- al fine di garantire il flusso del fluido all'interno dei pori del mezzo è necessario che questi ultimi costituiscano un sistema interconnesso; la porzione di dominio interessata da tali connessioni viene definita come spazio poroso effettivo, non escludendosi la possibilità della presenza di pori ciechi nei quali il flusso è assente.

difficoltà nella stima di n per terreni naturali

IMP la disposizione degli elementi

Representative Elementary Volume (REV): Il volume minimo al di la' del quale i singoli grani sono ininfluenti sul valore medio della porosità

Analogia con la definizione di particella fluida (per la definizione della densità) -> fluido mezzo continuo

Modello continuo dei mezzi porosi

L’acqua può presentarsi nel terreno in vari stati:

- sotto forma di vapore, contenuto nell’aria che riempie i pori;

- allo stato igroscopico, attaccato con un microfilm alle particelle di terreno;

- allo stato di acqua pellicolare che avvolge le particelle di terreno con un film non più spesso del campo di azione delle forze molecolari;

- allo stato di acqua capillare che riempie in alto i pori e le fessure più piccole ed è soggetta alle forze capillari (tensione superficiale) predominanti sulla forza di gravità;

- acqua gravitazionale che si muove per effetto della gravità preponderante sulle forze molecolari.

Zona di areazione sopra la superficie libera

Zona di saturazione sotto la superficie libera.

Frangia capillare p < pa

Acquifero: strato, formazione o raggruppamento di formazioni di materiale permeabile, saturato con acqua;

Acquiferi confinati:sovrastati da una formazione con basso valore di permeabilità, risalita dell'acqua nel tubo piezometrico fino ad un livello superiore del tetto dell'acquifero stesso. Se la pressione dell'acqua è sufficiente ad ottenere una risalita nel piezometro al di sopra del piano campagna, l'acquifero confinato viene definito Artesiano

Acquiferi non confinati - Falda freatica: la superficie piezometrica dell'acqua coincide con la sua superficie libera

Le funzioni degli acquiferi

- sorgente;

- serbatoi (attenuazione effetto delle fluttuazioni delle precipitazioni);

- condotte naturali che consentono il trasferimento di portate d’acqua;

- impianto di trattamento (sostanze chimiche inorganiche ed organiche eliminate o disciolte, fenomeni di adsorbimento e scambio di ioni con la matrice solida).

VELOCITÀ DI FILTRAZIONE

Nel campo di moto di filtrazione di un liquido in un mezzo poroso:

- estrema complessità del sistema di pori e canalicoli

- velocità effettiva del liquido estremamente variabile in modulo e direzione (moduli della velocità in genere molto limitati)

ESTREMAMENTE DIFFICILE E DI SCARSO INTERESSE LO STUDIO DEL MOTO NEI SUOI DETTAGLI

FONDAMENTALE CONOSCERE LA PORTATA CHE FILTRA ATTRAVERSO UNA ASSEGNATA SUPERFICIE VELOCITA’ DI FILTRAZIONE

DISCHARGE VELOCITY AND SEEPAGE VELOCITY - VELOCITÀ DI FILTRAZIONE E VELOCITÀ REALE

v discharge velocity: la quantità di fluido che filtra attraverso un’area unitaria del mezzo poroso nell’unità di tempo (velocità fittizia)

E’ detta talora anche portata specifica ed indicata con il

simbolo q. velocità di filtrazione v = Q/A

v* seepage velocity: la velocità locale del fluido che attraversa il singolo poro (velocità reale).

LEGGE DI DARCY

Permeametro

K [LT-1]: conduttività idraulica o coefficiente di filtrazione, dipende dal mezzo poroso e dal fluido

dx

dhK

Qv

Legge sperimentale trovata da Darcy per terreni sabbiosi poi estesa ad altre tipologie di terreni e a moto 3D

Legame lineare tra velocità di filtrazione e gradiente idraulico

GIUSTIFICAZIONE DELLA LEGGE DI DARCY Sia le velocità di filtrazione che quelle reali sono etremamente piccole quindi il moto nei meati è prevalentemente laminare a numeri di Re molto bassi.

Gli sforzi viscosi predominano (quelli turbolenti sono trascurabili) resistenze proporzionali alle velocità.

analogia con la legge di Poseuille – CIP (correnti in pressione)

x

hgDU

x

h

x

H

UgDg

U

UDg

U

Dx

Hj

UD

32

32

2

64

2

64

Re

64

2

2

2

2

2

Coeff resistenza in moto laminare CIP Eq Darcy-Weisbach In moto uniforme (o trascurando i termini cinetici) LEGGE DI POSEUILLE: velocità proporzionale al gradiente idraulico

Legge di Poiseuille (moto laminare uniforme in un condotto cilindrico a sezione circolare)

LEGGE DI DARCY: analogia con la legge di Poseuille Legame lineare tra velocità di filtrazione e gradiente idraulico

dx

dhK

Qv

Legge di Darcy

dx

dhk

gQv

K [LT-1]: conduttività idraulica, dipende dal

mezzo poroso e dal fluido

k [L2]: permeabilità, dipende dal solo mezzo poroso

Kg

k

LIMITI DI VALIDITA’ DELLA LEGGE DI DARCY

Re = v d/

v = velocità di filtrazione = viscosità cinematica del fluido

d = lunghezza caratteristica del mezzo poroso (es. il diametro medio dei granuli)

Re generalmente basso deflusso laminare: vale a legge di Darcy

Nella gran parte dei casi la filtrazione negli acquiferi soddisfa alla legge di Darcy.

Re critico 40-100 (secondo Bakhmeteff)

Si riscontrano deviazioni dalla legge di Darcy nelle formazioni carsiche e in vicinanza di scarichi come pozzi e sorgenti.

Flussi turbolenti: eq Darcy-Forchheimer

Es. v = 0.25cm/sec; d = 0.4 mm Re = 0.1

Conduttività idraulica per diversi mezzi porosi

Kg

k

K [LT-1]: conduttività idraulica

k [L2]: permeabilità (intrinseca,

indipendente dal fluido)

IMP temperatura del fluido!

Conduttività e permeabilità

TERRENI IMPERMEABILI

Non esistono terreni perfettamente impermeabili. Si usa il termine impermeabile soprattutto in senso relativo e cioè per strati la cui permeabilità è molto bassa rispetto a quella degli strati vicini.

TERRENI PERMEABILI

Isotropi: il coefficiente di permeabilità in ogni punto è indipendente dalla direzione del vettore velocità di filtrazione.

Anisotropi: il coefficiente di permeabilità dipende in ogni punto dalla direzione del vettore velocità di filtrazione.

Vi sono nel piano 2 direzioni (tre nello spazio) ortogonali fra loro, dette direzioni principali di anisotropia del terreno, lungo le quali il coefficiente di permeabilità è minimo e massimo.

DIFFERENZA TRA OMOGENEITA’ E ISOTROPIA

Tensore di conduttività idraulica diagonale (3 elementi significativi rispetto alle direzioni principali)

1D: 3D terreno isotropo: 3D terreno anisotropo:

La legge di Darcy è stata inizialmente ottenuta in condizioni di flusso monodimensionale e mezzo omogeneo ed isotropo, essa può comunque essere ritenuta valida anche nello spazio tridimensionale eterogeneo anisotropo

LEGGE DI DARCY: ESTENSIONE AL CASO 3D

x

hKvx

hKv

z

y

x

zz

yy

xx

K

K

K

K

z

hKv

y

hKv

x

hKv

00

00

00hKv

La legge di Darcy non descrive ciò che succede nel singolo poro: rappresenta lo “statistico macroscopico equivalente” delle equazioni del moto di Navier-Stokes per le filtrazioni.

Gli effetti viscosi sono inglobati nella legge di Darcy e il fluido può poi esser trattato come NON VISCOSO.

MOTI IRROTAZIONALI

(MOTI A POTENZIALE)

LEGGE DI DARCY

Equazione di continuità (per fluido pesante incomprimibile in moto stazionario): Equazione di Darcy: SOSTITUENDO:

MOTI DI FILTRAZIONE

MOTI IRROTAZIONALI (MOTI A POTENZIALE)

0 v

nel caso di mezzo isotropo si riduce all'EQUAZIONE DI LAPLACE

02 h

0)( hK

Eq. Laplace 2D - Come già visto in Geotecnica…

Lucidi Prof. Soccodato

Lucidi Prof. Soccodato

Eq. Laplace 2D - Come già visto in Geotecnica…

Eterogeneità del suolo: analogia con la rifrazione ottica

In generale:Strati con alto K moti in orizzontale, Strati con basso K moti in verticale

Reticolo di filtrazione in un terreno anisotropo

Ipotesi Suolo omogeneo

Esempio: Kx >> Kz Z = (Kx/Kz)^0.5 z >> z

Reticolo di filtrazione in un terreno anisotropo

POZZI: -ARTESIANI

-FREATICI

POZZO ARTESIANO COMPLETAMENTE PENETRANTE

w

w

h

h

R

r

r

R

hhKTQ

hhQ

KT

r

R

dhQ

TK

r

dr

dr

dhrTKrT

dr

dhKvQ

dr

dhKv

w

ln

)(2

)(2

ln

2

22

12

12

2

1

Essa presenta tuttavia una caratteristica incompatibile con l’ulteriore condizione al contorno per la quale, lontano dal pozzo (teoricamente per r → ∞), il carico piezometrico dovrebbe tendere al valore costante h∞ imposto dalla falda artesiana indisturbata.

La causa di tale contraddizione è l’ipotesi di stazionarietà del deflusso (e, quindi, della superficie piezometrica).

Infatti un deflusso stazionario nelle condizioni ipotizzate (acquifero indefinitamente esteso e assenza di alimentazione) non può sussistere: la superficie piezometrica deve inevitabilmente deprimersi in misura crescente nel tempo per far fronte al costante emungimento dal pozzo. Il problema dovrebbe dunque essere riformulato in forma non stazionaria. Fortunatamente, tuttavia, si dimostra che il deflusso tende ad uno stato quasi stazionario in cui l’abbassamento della superficie piezometrica è talmente lento da risultare praticamente trascurabile. La distanza dal pozzo alla quale l’abbassamento della piezometrica può considerarsi sensibilmente assente definisce il cosiddetto raggio d’ influenza del pozzo.

)(2

ln 12 hhQ

KT

r

R

w

la soluzione matematica del problema della filtrazione negli acquiferi freatici considerevolmente più complessa rispetto al caso degli acquiferi artesiani:

1. problema a frontiera libera (la regione in cui avviene il deflusso è superiormente confinata dalla superficie freatica, la cui configurazione è a priori non nota, costituisce anzi una delle incognite del problema). Il valore del carico sul contorno dipende dalla forma incognita della superficie freatica.

2. ogniqualvolta una falda freatica è confinata lateralmente da un corpo idrico (in particolare da un pozzo), l’affioramento della superficie freatica avviene ad una quota superiore rispetto al livello della superficie libera nel corpo idrico: si forma cioè quella che viene denominata una sorgente sospesa (superficie di trapelazione). La posizione di tale sorgente è anch’essa a priori non nota.

ACQUIFERI FREATICI

LA TEORIA DI DUPUIT PER CAMPI A FRONTIERA LIBERA

osservazione sperimentale: la pendenza della superficie freatica risulta tipicamente molto piccola (generalmente compresa fra 1/1000 e 10/1000) IPOTESI DI DUPUIT: Consiste nel considerare il deflusso orizzontale. Tale approssimazione equivale a confondere le superfici isopieziche (h = cost) con superfici verticali. La legge di Darcy impone infatti che vettore velocità di filtrazione sia allineata al grad h L’ip. di DUPUIT fornisce risultati accettabili

POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTE

w

w

h

h

R

r

r

R

hhKQ

hhQ

K

r

R

hdhQ

K

r

dr

dr

dhrKhrh

dr

dhKvQ

dr

dhKv

w

ln

)(

)(ln

2

22

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

Ip. di Dupuit:

trascuro componente verticale delle velocità -> superfici isopieziche cilindriche

errata la forma della superficie libera in prossimità del pozzo

formula di Dupuit-Forchheimer Q precisa anche tenendo conto della sorgente sospesa

POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTE

RAGGIO D'INFLUENZA del pozzo.

R = 100-200 m per terreni fini

R = 250-500 m per terreni medi

R = 700-1000 m per terreni grossolani

Questo stesso calcolo può essere applicato anche quando la falda è indefinita nelle direzioni x e y.

In tal caso si assume che la superficie libera sia tangente al piano originario della falda a una distanza radiale R denominata RAGGIO D'INFLUENZA del pozzo.

Visto che Q poco dipende da R/rw , assunzioni ragionevoli di R conducono a ragionevoli stime di Q.

Q

Q = f (Dh) con Dh = h2 - h1

La curva caratteristica Q = f (Dh) è rettilinea nel caso del pozzo artesiano, mentre è curva per il pozzo freatico.

CONFRONTO TRA POZZO ARTESIANO E POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTI

N.B. le soluzioni trovate si riferiscono in entrambi casi (pozzo artesiano e pozzo freatico) all’ipotesi di stazionarietà, si può studiare il processo in moto vario

Durata transitorio: differenze tra pozzi freatici e artesiani!

Pozzi - Prove di pompaggio

Prove di pompaggio sul singolo pozzo per valutare la trasmissività dell’acquifero, e l’efficienza del pozzo

Metodo delle immagini

Metodo delle immagini

Metodo delle immagini

Confine impermeabile: pozzo con prelievo stessa Q

Fiume: pozzo immagine ricarica (Q segno opposto)

Metodo delle immagini: esempio con 2 condizioni al contorno

Pozzi immagine primari Pozzi immagine secondari

Moti in falde freatiche -Argini

-Dighe in terra

Opere arginali di solito costituite da rilevati in terra

Alti valori della velocità di filtrazione e quindi di portata comporterebbero:

1) allagamento del terreno da proteggere dall’ esondazione

2) rottura per sifonamento

ARGINI

ARGINI: esempi

ARGINI: esempi

ARGINI: esempi

Stesse considerazoni fatte per le opere arginali

DIGHE IN TERRA

superficie di gocciolamento (analogia con il fenomeno della sorgente sospesa nei pozzi)

diga con zoccolo di valle

Trovare Q filtrante e posizione di AE: Condizioni al contorno

Trattazione teorica nel libro: DA DEPPO

Risoluzione analitica

- rappresentazione conforme (vedi profili alari!)

-flussi potenziali: composizione di moti elementari (equazione lineare!!)

Metodi di soluzione numerici

-metodi alle differenze finite

- metodi agli elementi finiti

Equazione Laplace

Esempio risoluzione analitica (sovrapposizione effetti):

Pozzo artesiano in una falda in movimento

Equazione Laplace

-Risoluzione numerica equazione Laplace

-Discretizzazione alle differenze finite

-Metodo risolutivo iterativo

Discretizzazione

Derivate prime:

Sottraendo membro a membro:

da cui, dividendo per 2h:

L'errore che si commette è dell'ordine di: o(h3) / h = o(h2)

...!3!2

32

xh

xh

xhxhx

...!3!2

32

xh

xh

xhxhx

32 hoxhhxhx

h

hxhx

dx

dx

2

Sviluppo di Taylor:

Diff in avanti:

Diff. All’indietro:

Derivate seconde: Sommando membro a membro: da cui, dividendo per h2: L'errore che si commette è dell'ordine di: o(h4) / h2 = o(h2)

422 hoxhxhxhx

22

2 2

h

hxxhx

dx

dx

Discretizzazione

...!3!2

32

xh

xh

xhxhx

...!3!2

32

xh

xh

xhxhx Sviluppo di Taylor:

Eq. Laplace

applicando le differenze centrate per entrambe le derivate: Nel caso che: Dx = Dy = h il valore di i,j è pari alla media dei valori assunti dagli elementi del suo intorno:

2

2

2

20

x y

i j i j i j i j i j i j

x y

1 1

2

1 1

2

2 20

, , , , , ,

D D

1,1,,1,1,4

1 jijijijiji

Il valore nel punto (i,j) dipende da tutti i valori di j nel suo intorno, quindi lo schema è necessariamente implicito. Bisogna risolvere un sistema di equazioni lineari con tante equazioni quanti sono i nodi.

i,j

j

i

i,j+1

i+1,ji-1,j

i,j-1

Soluzioni: 1) Algoritmi per matrici sparse

2) Metodi iterativi

Sistema è spesso molto grande.

Risoluzione è molto onerosa e spesso poco accurata a causa del gran numero di operazioni da compiere.

introduzione di errori numerici

Metodi iterativi Metodi basati sull'introduzione di una derivata temporale fittizia: Si fa evolvere il sistema nel tempo fino a quando non è andato a regime, ovvero fino a quando il fenomeno è diventato stazionario, in queste condizioni la soluzione coincide con quella dell'equazione di partenza.

2

2

2

2x y t

t 0

Metodo di Jacobi Consiste nel discretizzare l'equazione precedente con uno schema alle differenze avanti nel tempo e centrate nello spazio:

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

jik

jiyx

tyx

t ,,222

1,1,

2

,1,11

,

112

D

DD

D

D

D

22

112

1

yx

t

DD

D

1) Fisso cond al contorno 2) Ipotizzo valori all’interno del dominio per t =

0, cioè k = 1 3) Noto il campo a n lo calcolo al passo n+1,

ripeto finché la max variazione percentuale < della tolleranza scelta

N.B. opportuno inserire un num max iterazioni!!

D

D

D

D

2

1,1,

2

,1,1

22

1

112

1

yx

yx

k

ji

k

ji

k

ji

k

jik

ij

Metodo di Gauss-Seidel È analogo al precedente ma per una convergenza più veloce utilizza i valori aggiornati al tempo k+1 nei punti nei quali già sono stati calcolati:

22

112

1

yx

t

DD

D

D

D

D

D

2

1

1,1,

2

1

,1,1

22

1

112

1

yx

yx

k

ji

k

ji

k

ji

k

jik

ij

Iterazione k Iterazione k+1

Metodo S.O.R. (SIMULTANEOUS OVER-RELAXATION): È una modifica del metodo precedente che migliora ancora la velocità di convergenza:

Viene effettuata una media (con pesi 1- e ) tra i valori al passo precedente e quelli calcolati con il metodo Gauss-Seidel. A seconda del valore di cambia la velocità di convergenza

D

D

D

D

2

1

1,1,

2

1

,1,1

22

1

112

1yx

yx

k

ji

k

ji

k

ji

k

jik

ij

k

ij

Metodo S.O.R. (SIMULTANEOUS OVER-RELAXATION): Per maglie quadrate (Dx = Dy) :

1

1,1,

1

,1,1

1

41

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ij

k

ij

ott

8 4 4 2

2

nm

coscos

Per dominio rettangolare, essendo m ed n rispettivamente il numero di nodi lungo x e lungo y, il fattore di rilassamento ottimale è:

è il fattore di rilassamento = [1 - 2 ] (Nota: se è < 1 lo schema è under relaxed)

Condizioni alla Dirichelet: Sono assegnati i valori della funzione incognita al contorno Condizioni alla Neumann: Sono assegnati i valori della derivata normale della funzione incognita al contorno.

Condizioni al contorno

Esempio condizione Neumann

Ip. maglia quadrata Cond. Neu. per i = 1:

Moti di filtrazione

Ipotesi semplificative fatte:

Mezzi poroso saturo

Condizioni stazionarie

Densità costante

Bonifiche e trattamento siti contaminati

Sia per la caratterizzazione siti che per progettazione trattamenti

Es. barriera

Bonifiche e trattamento siti contaminati

Es. Pozzo Es. dreno

Bonifiche e trattamento siti contaminati

Bonifiche e trattamento siti contaminati

Moti di filtrazione

Applicazioni di interesse ingnegneristico che non rispettano le ipotesi semplificative fatte:

Mezzi poroso insaturo: idrologia sotterranea, moto di percolazione, es. quelli che interessano i letti percolatori per acque reflue,

Condizioni non stazionarie es emungimento da pozzi

Fenomeni relativi a fluidi con differente densità:intrusione salina

Intrusione salina

Dissalazione ed immagazzinamento acqua dolce

Es. Utenze turistiche Mar Rosso Dissalazione da falde sotterranee -Forte fluttuazione domanda -Problemi evaporazione -Ricarica acquiferi

Ginkel et al., 2007 TUE, Delft

Sistema tradizionale: -Problemi legati a forze di galleggiamento e mescolamento fluidi -Conseguente diminuzione qualità e quantità

Fresh Storage Saline Extraction (FSSE)-wells

Fresh Storage Saline Extraction (FSSE)-wells

MODFLOW

Modello opensource modulare – fortran + interfacce (anche a pagamento)

Accoppiato a modelli di trasporto

MODFLOW

Discretizzazione dominio

Equazione filtrazione 3D in moto vario, in un suolo eterogeneo e anisotropo (con direzioni principali allineate agli assi cartesiani)

Modello alle differenze finite

Risoluzione metodo iterativo (per ogni passo temporale!)

MODFLOW

Condizioni al contorno Ciascuna cella, in base al valore della variabile IBOUND può essere classificata come cella a carico costante, Flusso nullo, carico variabile

MODFLOW

Algoritmo risolutivo Cicli annidati -Ciclo interno per convergenza singolo passo temporale -Ciclo intermedio nei tempi -Ciclo esterno per le diverse simulazioni

MODFLOW

CFD: flusso in mezzi porosi – es. Karalit

Attività sperimentali

Intrusione salina (Pennik, 1905)

Attività sperimentali

Modello sperimentale (Pennik, 1905) Risoluzione numerica SEAWAT in mfLab

Modellazione numerica esperimenti Pennik

Filmato Olsthoorn

Attività sperimentali Ai giorni nostri…

In laboratorio

In situ: pozzi di ispezione, traccianti

Esercitazione

Risolvere con metodo Jacobi e SOR

Nota: il quesito proposto è un problema classico di filtrazione, descritto da Toth, 1962 - http://timecapsule.iah.org/files/2012/09/toth1962.pdf