of 33/33
MT VI CHUYÊN Đ BI DƯNG HC SINH GII Bi 1:CHỨNG MINH MT SỐ KHÔNG PHẢI L SỐ CHÍNH PHƯƠNG Trong chương trình Toán lớp 6, các em đã được học về các bi toán liên quan tới phép chia hết của một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0 v đặc biệt l được giới thiệu về số chính phương, đó l số tự nhiên bằng bình phương của một số tự nhiên (chẳng hạn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …). Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải quyết bi toán : Chứng minh một số không phải l số chính phương. Đây cũng l một cách củng cố các kiến thức m các em đã được học. Những bi toán ny sẽ lm tăng thêm lòng say mê môn toán cho các em. 1. Nhìn chữ số tận cùng Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9. Từ đó các em có thể giải được bi toán kiểu sau đây : Bài toán 1 : Chứng minh số : n = 2004 2 + 2003 2 + 2002 2 - 2001 2 không phải l số chính phương. Lời giải : Dễ dng thấy chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt l 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng l 8 nên n không phải l số chính phương. Chú ý : Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng l một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn không phải

MỘT VÀI CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

  • View
    12.435

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of MỘT VÀI CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

MT VAI CHUYN BI DNG HOC SINH GIOI Bai 1:CHNG MINH MT S KHNG PHI L SCHNH PHNGTrong chng trnh Ton lp 6, cc em c hc v cc bi ton lin quan ti php chia ht ca mt s t nhin cho mt s t nhin khc 0 v c bit l c gii thiu v s chnh phng, l s t nhin bng bnh phng ca mt s t nhin (chng hn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; ). Kt hp cc kin thc trn, cc em c th gii quyt bi ton : Chng minh mt s khng phi l s chnh phng. y cng l mt cch cng c cc kin thc m cc em c hc. Nhng bi ton ny s lm tng thm lng say m mn ton cho cc em. 1. Nhn ch s tn cng V s chnh phng bng bnh phng ca mt s t nhin nn c th thy ngay s chnh phng phi c ch s tn cng l mt trong cc ch s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9. T cc em c th gii c bi ton kiu sau y : Bi ton 1 : Chng minh s : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 khng phi l s chnh phng. Li gii : D dng thy ch s tn cng ca cc s 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ln lt l 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do s n c ch s tn cng l 8 nn n khng phi l s chnh phng. Ch : Nhiu khi s cho c ch s tn cng l mt trong cc s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhng vn khng phi l s chnh phng. Khi cc bn phi lu thm mt cht na : Nu s chnh phng chia ht cho s nguyn t p th phi chia ht cho p2. Bi ton 2 : Chng minh s 1234567890 khng phi l s chnh phng. Li gii : Thy ngay s 1234567890 chia ht cho 5 (v ch s tn cng l 0) nhng khng chia ht cho 25 (v hai ch s tn cng l 90). Do s 1234567890 khng phi l s chnh phng.

Ch : C th l lun 1234567890 chia ht cho 2 (v ch s tn cng l 0), nhng khng chia ht cho 4 (v hai ch s tn cng l 90) nn 1234567890 khng l s chnh phng. Bi ton 3 : Chng minh rng nu mt s c tng cc ch s l 2004 th s khngphi l s chnh phng.

Li gii : Ta thy tng cc ch s ca s 2004 l 6 nn 2004 chia ht cho 3 m khng chia ht 9 nn s c tng cc ch s l 2004 cng chia ht cho 3 m khng chia ht cho 9, do s ny khng phi l s chnh phng. 2. Dng tnh cht ca s d Chng hn cc em gp bi ton sau y : Bi ton 4 : Chng minh mt s c tng cc ch s l 2006 khng phi l s chnh phng. Chc chn cc em s d b chong. Vy bi ton ny ta s phi ngh ti iu g ? V cho gi thit v tng cc ch s nn chc chn cc em phi ngh ti php chia cho 3 hoc cho 9. Nhng li khng gp iu k diu nh bi ton 3. Th th ta ni c iu g v s ny ? Chc chn s ny chia cho 3 phi d 2. T ta c li gii.Li gii : V s chnh phng khi chia cho 3 ch c s d l 0 hoc 1 m thi (coi nh bi tp cc em t chng minh !). Do tng cc ch s ca s l 2006 nn s chia cho 3 d 2. Chng t s cho khng phi l s chnh phng.

Tng t cc em c th t gii quyt c 2 bi ton : Bi ton 5 : Chng minh tng cc s t nhin lin tip t 1 n 2005 khng phi l s chnh phng. Bi ton 6 : Chng minh s : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 khng l s chnh phng. By gi cc em theo di bi ton sau ngh ti mt tnh hung mi. Bi ton 7 : Chng minh s : n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 khng l s chnh phng. Nhn xt : Nu xt n chia cho 3, cc em s thy s d ca php chia s l 1, th l khng bt chc c cch gii ca cc bi ton 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nu xt ch s tn cng cc em s thy ch s tn cng ca n l 9 nn khng lm tng t c nh cc bi ton 1 ; 2. S d ca php chia n cho 4 l d thy nht, chnh l 3. Mt s chnh phng khi chia cho 4 s cho s d nh th no nh ? Cc em c th t

chng minh v c kt qu : s d ch c th l 0 hoc 1. Nh vy l cc em gii xong bi ton 7. 3. Kp s gia hai s chnh phng lin tip Cc em c th thy rng : Nu n l s t nhin v s t nhin k tha mn n2 < k < (n + 1)2 th k khng l s chnh phng. T cc em c th xt c cc bi ton sau : Bi ton 8 : Chng minh s 4014025 khng l s chnh phng. Nhn xt : S ny c hai ch s tn cng l 25, chia cho 3 d 1, chia cho 4 cng d 1. Th l tt c cc cch lm trc u khng vn dng c. Cc em c th thy li gii theo mt hng khc. Li gii : Ta c 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nn 20032 < 4014025 < 20042. Chng t 4014025 khng l s chnh phng. Bi ton 9 : Chng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khng l s chnh phng vi mi s t nhin n khc 0. Nhn xt : i vi cc em lm quen vi dng biu thc ny th c th nhn ra A + 1 l s chnh phng (y l bi ton quen thuc vi lp 8). Cc em lp 6, lp 7 cng c th chu kh c li gii. Li gii : Ta c : A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 +2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2.

Mt khc : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A.iu ny hin nhin ng v n 1. Chng t : (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2. => A khng l s chnh phng.

Cc em c th rn luyn bng cch th gii bi ton sau : Bi ton 10 : Hy tm s t nhin n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n l s chnh phng. Gi : Ngh n (n2 - n + 1)2. Bi ton 11 : Chng minh s 235 + 2312 + 232003 khng l s chnh phng. Gi : Ngh n php chia cho 3 hoc php chia cho 4. Bi ton 12 : C 1000 mnh ba hnh ch nht, trn mi mnh ba c ghi mt s trong cc s t 2 n 1001 sao cho khng c hai mnh no ghi s ging nhau. Chng minh rng : Khng th ghp tt c cc mnh ba ny lin nhau c mt s chnh phng.

Bi ton 13 : Chng minh rng : Tng cc bnh phng ca bn s t nhin lin tipkhng th l s chnh phng.

Gi : Ngh ti php chia cho 4. Bi ton 14 : Chng minh rng s 333333 + 555555 + 777777 khng l s chnh phng. Gi : Ngh n php chia cho mt chc (?) Bi ton 15 : Lc u c hai mnh ba, mt cu b tinh nghch c cm mt mnh ba ln li x ra lm bn mnh. Cu ta mong rng c lm nh vy n mt lc no s c s mnh ba l mt s chnh phng. Cu ta c thc hin c mong mun khng ? kt thc bi vit ny, ti mun chc cc em hc tht gii mn ton ngay t u bc THCS v cho ti c ni ring vi cc qu thy c : nguyn tc chung chng minh mt s t nhin khng l s chnh phng, l da vo mt trong cc iu kin cn mt s l s chnh phng (m nh cc qu thy c bit : mi iu kin cn trn i l dng ph nh !). T cc qu thy c c th sng to thm nhiu bi ton th v khc.

Bai 2 : CHNG MINH MT S L S CHNH PHNGCc bn c gii thiu cc phng php chng minh mt s khng phi l s chnh phng trong TTT2 s 9. Bi vit ny, ti mun gii thiu vi cc bn bi ton chng minh mt s l s chnh phng.Phng php 1 : Da vo nh ngha.

Ta bit rng, s chnh phng l bnh phng ca mt s t nhin. Da vo nh ngha ny, ta c th nh hng gii quyt cc bi ton. Bi ton 1 : Chng minh : Vi mi s t nhin n th an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 l s chnh phng. Li gii : Ta c : an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 Vi n l s t nhin th n2 + 3n + 1 cng l s t nhin, theo nh ngha, an l s chnh phng.

Bi ton 2 : Chng minh s : l s chnh phng. Li gii : Ta c : Vy : l s chnh phng. Phng php 2 : Da vo tnh cht c bit. Ta c th chng minh mt tnh cht rt c bit : Nu a, b l hai s t nhin nguyn t cng nhau v a.b l mt s chnh phng th a v b u l cc s chnh phng. Bi ton 3 : Chng minh rng : Nu m, n l cc s t nhin tha mn 3m2 + m = 4n2 + n th m - n v 4m + 4n + 1 u l s chnh phng. Li gii : Ta c : 3m2 + m = 4n2 + n tng ng vi 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 hay l (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) Gi d l c chung ln nht ca m - n v 4m + 4n + 1 th (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia ht cho d => 8m + 1 ch ht cho d. Mt khc, t (*) ta c : m2 chia ht cho d2 => m chia ht cho d. T 8m + 1 chia ht cho d v m chia ht cho d ta c 1 chia ht cho d => d = 1. Vy m - n v 4m + 4n + 1 l cc s t nhin nguyn t cng nhau, tha mn (*) nn chng u l cc s chnh phng. Cui cng xin gi ti cc bn mt s bi ton th v v s chnh phng : 1) Chng minh cc s sau y l s chnh phng :

2) Cho cc s nguyn dng a, b, c i mt nguyn t cng nhau, tha mn : 1/a + 1/b = 1/c. Hy cho bit a + b c l s chnh phng hay khng ? 3) Chng minh rng, vi mi s t nhin n th 3n + 4 khng l s chnh phng. 4) Tm s t nhin n n2 + 2n + 2004 l s chnh phng. 5) Chng minh : Nu : v n l hai s t nhin th a l s chnh phng.

Bai 3 : TM CH S TN CNGTm ch s tn cng ca mt s t nhin l dng ton hay. a s cc ti liu v dng ton ny u s dng khi nim ng d, mt khi nim tru tng v khng c trong chng trnh. V th c khng t hc sinh, c bit l cc bn lp 6 v lp 7 kh c th hiu v tip thu c. Qua bi vit ny, ti xin trnh by vi cc bn mt s tnh cht v phng php gii bi ton tm ch s tn cng, ch s dng kin thc THCS. Chng ta xut pht t tnh cht sau : Tnh cht 1 : a) Cc s c ch s tn cng l 0, 1, 5, 6 khi nng ln ly tha bc bt k th ch s tn cng vn khng thay i. b) Cc s c ch s tn cng l 4, 9 khi nng ln ly tha bc l th ch s tn cng vn khng thay i. c) Cc s c ch s tn cng l 3, 7, 9 khi nng ln ly tha bc 4n (n thuc N) th ch s tn cng l 1. d) Cc s c ch s tn cng l 2, 4, 8 khi nng ln ly tha bc 4n (n thuc N) th ch s tn cng l 6. Vic chng minh tnh cht trn khng kh, xin dnh cho bn c. Nh vy, mun tm ch s tn cng ca s t nhin x = am, trc ht ta xc nh ch s tn cng ca a. - Nu ch s tn cng ca a l 0, 1, 5, 6 th x cng c ch s tn cng l 0, 1, 5, 6. - Nu ch s tn cng ca a l 3, 7, 9, v am = a4n + r = a4n.ar vi r = 0, 1, 2, 3 nn t tnh cht 1c => ch s tn cng ca x chnh l ch s tn cng ca ar. - Nu ch s tn cng ca a l 2, 4, 8, cng nh trng hp trn, t tnh cht 1d => ch s tn cng ca x chnh l ch s tn cng ca 6.ar. Bi ton 1 : Tm ch s tn cng ca cc s : a) 799 b) 141414 c) 4567 Li gii : a) Trc ht, ta tm s d ca php chia 99 cho 4 : 99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 + + 9 + 1) chia ht cho 4 => 99 = 4k + 1 (k thuc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7 Do 74k c ch s tn cng l 1 (theo tnh cht 1c) => 799 c ch s tn cng l 7.

b) D thy 1414 = 4k (k thuc N) => theo tnh cht 1d th 141414 = 144k c ch s tn cng l 6. c) Ta c 567 - 1 chia ht cho 4 => 567 = 4k + 1 (k thuc N) => 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tnh cht 1d, 44k c ch s tn cng l 6 nn 4567 c ch s tn cng l 4. Tnh cht sau c => t tnh cht 1. Tnh cht 2 : Mt s t nhin bt k, khi nng ln ly tha bc 4n + 1 (n thuc N) th ch s tn cng vn khng thay i. Ch s tn cng ca mt tng cc ly tha c xc nh bng cch tnh tng cc ch s tn cng ca tng ly tha trong tng. Bi ton 2 : Tm ch s tn cng ca tng S = 21 + 35 + 49 + + 20048009. Li gii : Nhn xt : Mi ly tha trong S u c s m khi chia cho 4 th d 1 (cc ly tha u c dng n4(n - 2) + 1, n thuc {2, 3, , 2004}). Theo tnh cht 2, mi ly tha trong S v cc c s tng ng u c ch s tn cng ging nhau, bng ch s tn cng ca tng : (2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + + 9) + 9 = 9009. Vy ch s tn cng ca tng S l 9. T tnh cht 1 tip tc => tnh cht 3. Tnh cht 3 : a) S c ch s tn cng l 3 khi nng ln ly tha bc 4n + 3 s c ch s tn cng l 7 ; s c ch s tn cng l 7 khi nng ln ly tha bc 4n + 3 s c ch s tn cng l 3. b) S c ch s tn cng l 2 khi nng ln ly tha bc 4n + 3 s c ch s tn cng l 8 ; s c ch s tn cng l 8 khi nng ln ly tha bc 4n + 3 s c ch s tn cng l 2. c) Cc s c ch s tn cng l 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nng ln ly tha bc 4n + 3 s khng thay i ch s tn cng. Bi ton 3 : Tm ch s tn cng ca tng T = 23 + 37 + 411 + + 20048011.

Li gii : Nhn xt : Mi ly tha trong T u c s m khi chia cho 4 th d 3 (cc ly tha u c dng n4(n - 2) + 3, n thuc {2, 3, , 2004}). Theo tnh cht 3 th 23 c ch s tn cng l 8 ; 37 c ch s tn cng l 7 ; 411 c ch s tn cng l 4 ; Nh vy, tng T c ch s tn cng bng ch s tn cng ca tng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. Vy ch s tn cng ca tng T l 9. * Trong mt s bi ton khc, vic tm ch s tn cng dn n li gii kh c o. Bi ton 4 : Tn ti hay khng s t nhin n sao cho n2 + n + 1 chia ht cho 19952000. Li gii : 19952000 tn cng bi ch s 5 nn chia ht cho 5. V vy, ta t vn l liu n2 + n + 1 c chia ht cho 5 khng ? Ta c n2 + n = n(n + 1), l tch ca hai s t nhin lin tip nn ch s tn cng ca n2 + n ch c th l 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 ch c th tn cng l 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 khng chia ht cho 5. Vy khng tn ti s t nhin n sao cho n2 + n + 1 chia ht cho 19952000. S dng tnh cht mt s chnh phng ch c th tn cng bi cc ch s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9, ta c th gii c bi ton sau : Bi ton 5 : Chng minh rng cc tng sau khng th l s chnh phng : a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (vi k chn) b) N = 20042004k + 2003 S dng tnh cht mt s nguyn t ln hn 5 ch c th tn cng bi cc ch s 1 ; 3 ; 7 ; 9, ta tip tc gii quyt c bi ton : Bi ton 6 : Cho p l s nguyn t ln hn 5. Chng minh rng : p8n +3.p4n - 4 chia ht cho 5. * Cc bn hy gii cc bi tp sau :

Bi 1 : Tm s d ca cc php chia : a) 21 + 35 + 49 + + 20038005 cho 5 b) 23 + 37 + 411 + + 20038007 cho 5 Bi 2 : Tm ch s tn cng ca X, Y : X = 22 + 36 + 410 + + 20048010 Y = 28 + 312 + 416 + + 20048016 Bi 3 : Chng minh rng ch s tn cng ca hai tng sau ging nhau : U = 21 + 35 + 49 + + 20058013 V = 23 + 37 + 411 + + 20058015 Bi 4 : Chng minh rng khng tn ti cc s t nhin x, y, z tha mn : 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004. * Cc bn th nghin cu cc tnh cht v phng php tm nhiu hn mt ch s tn cng ca mt s t nhin, chng ta s tip tc trao i v vn ny. * Tm hai ch s tn cng Nhn xt : Nu x N v x = 100k + y, trong k ; y N th hai ch s tn cng ca x cng chnh l hai ch s tn cng ca y. Hin nhin l y x. Nh vy, n gin vic tm hai ch s tn cng ca s t nhin x th thay vo ta i tm hai ch s tn cng ca s t nhin y (nh hn). R rng s y cng nh th vic tm cc ch s tn cng ca y cng n gin hn. T nhn xt trn, ta xut phng php tm hai ch s tn cng ca s t nhin x = am nh sau : Trng hp 1 : Nu a chn th x = am 2m. Gi n l s t nhin sao cho an 1 25. Vit m = pn + q (p ; q N), trong q l s nh nht aq 4 ta c : x = am = aq(apn - 1) + aq. V an - 1 25 => apn - 1 25. Mt khc, do (4, 25) = 1 nn aq(apn - 1) 100.

Vy hai ch s tn cng ca am cng chnh l hai ch s tn cng ca aq. Tip theo, ta tm hai ch s tn cng ca aq. Trng hp 2 : Nu a l , gi n l s t nhin sao cho an - 1 100. Vit m = un + v (u ; v N, 0 v < n) ta c : x = am = av(aun - 1) + av. V an - 1 100 => aun - 1 100. Vy hai ch s tn cng ca am cng chnh l hai ch s tn cng ca av. Tip theo, ta tm hai ch s tn cng ca av. Trong c hai trng hp trn, cha kha gii c bi ton l chng ta phi tm c s t nhin n. Nu n cng nh th q v v cng nh nn s d dng tm hai ch s tn cng ca aq v av. Bi ton 7 : Tm hai ch s tn cng ca cc s : a) a2003 b) 799

Li gii : a) Do 22003 l s chn, theo trng hp 1, ta tm s t nhin n nh nht sao cho 2n - 1 25. Ta c 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) 25 => 23(220 - 1) 100. Mt khc : 22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k N). Vy hai ch s tn cng ca 22003 l 08. b) Do 799 l s l, theo trng hp 2, ta tm s t nhin n b nht sao cho 7n 1 100. Ta c 74 = 2401 => 74 - 1 100. Mt khc : 99 - 1 4 => 99 = 4k + 1 (k N) Vy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q N) tn cng bi hai ch s 07. Bi ton 8 : Tm s d ca php chia 3517 cho 25.

Li gii : Trc ht ta tm hai ch s tn cng ca 3517. Do s ny l nn theo trng hp 2, ta phi tm s t nhin n nh nht sao cho 3n - 1 100. Ta c 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) 100. Mt khc : 516 - 1 4 => 5(516 - 1) 20 => 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, c hai ch s tn cng l 43. Vy s d ca php chia 3517 cho 25 l 18. Trong trng hp s cho chia ht cho 4 th ta c th tm theo cch gin tip. Trc tin, ta tm s d ca php chia s cho 25, t suy ra cc kh nng ca hai ch s tn cng. Cui cng, da vo gi thit chia ht cho 4 chn gi tr ng. Cc th d trn cho thy rng, nu a = 2 hoc a = 3 th n = 20 ; nu a = 7 th n = 4. Mt cu hi t ra l : Nu a bt k th n nh nht l bao nhiu ? Ta c tnh cht sau y (bn c t chng minh). Tnh cht 4 : Nu a N v (a, 5) = 1 th a20 - 1 25. Bi ton 9 : Tm hai ch s tn cng ca cc tng : a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002 b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003 Li gii : a) D thy, nu a chn th a2 chia ht cho 4 ; nu a l th a100 - 1 chia ht cho 4 ; nu a chia ht cho 5 th a2 chia ht cho 25. Mt khc, t tnh cht 4 ta suy ra vi mi a N v (a, 5) = 1 ta c a100 - 1 25. Vy vi mi a N ta c a2(a100 - 1) 100. Do S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042. V th hai ch s tn cng ca tng S1 cng chnh l hai ch s tn cng ca tng 12 + 22 + 32 + ... + 20042. p dng cng thc : 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 =>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tn cng l 30.

Vy hai ch s tn cng ca tng S1 l 30. b) Hon ton tng t nh cu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + ... + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043. V th, hai ch s tn cng ca tng S2 cng chnh l hai ch s tn cng ca 13 + 23 + 33 + ... + 20043. p dng cng thc : => 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tn cng l 00. Vy hai ch s tn cng ca tng S2 l 00. Tr li bi ton 5 (TTT2 s 15), ta thy rng c th s dng vic tm ch s tn cng nhn bit mt s khng phi l s chnh phng. Ta cng c th nhn bit iu thng qua vic tm hai ch s tn cng. Ta c tnh cht sau y (bn c t chng minh). Tnh cht 5 : S t nhin A khng phi l s chnh phng nu : + A c ch s tn cng l 2, 3, 7, 8 ; + A c ch s tn cng l 6 m ch s hng chc l ch s chn ; + A c ch s hng n v khc 6 m ch s hng chc l l ; + A c ch s hng n v l 5 m ch s hng chc khc 2 ; + A c hai ch s tn cng l l. Bi ton 10 : Cho n N v n - 1 khng chia ht cho 4. Chng minh rng 7n + 2 khng th l s chnh phng. Li gii : Do n - 1 khng chia ht cho 4 nn n = 4k + r (r {0, 2, 3}). Ta c 74 - 1 = 2400 100. Ta vit 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2. Vy hai ch s tn cng ca 7n + 2 cng chnh l hai ch s tn cng ca 7r + 2 (r = 0, 2, 3) nn ch c th l 03, 51, 45. Theo tnh cht 5 th r rng 7n + 2 khng th l s chnh phng khi n khng chia ht cho 4. * Tm ba ch s tn cng Nhn xt : Tng t nh trng hp tm hai ch s tn cng, vic tm ba ch s tn cng ca s t nhin x chnh l vic tm s d ca php chia x cho 1000.

Nu x = 1000k + y, trong k ; y N th ba ch s tn cng ca x cng chnh l ba ch s tn cng ca y (y x). Do 1000 = 8 x 125 m (8, 125) = 1 nn ta xut phng php tm ba ch s tn cng ca s t nhin x = am nh sau : Trng hp 1 : Nu a chn th x = am chia ht cho 2m. Gi n l s t nhin sao cho an - 1 chia ht cho 125. Vit m = pn + q (p ; q N), trong q l s nh nht aq chia ht cho 8 ta c : x = am = aq(apn - 1) + aq. V an - 1 chia ht cho 125 => apn - 1 chia ht cho 125. Mt khc, do (8, 125) = 1 nn aq(apn - 1) chia ht cho 1000. Vy ba ch s tn cng ca am cng chnh l ba ch s tn cng ca aq. Tip theo, ta tm ba ch s tn cng ca aq. Trng hp 2 : Nu a l , gi n l s t nhin sao cho an - 1 chia ht cho 1000. Vit m = un + v (u ; v N, 0 v < n) ta c : x = am = av(aun - 1) + av. V an - 1 chia ht cho 1000 => aun - 1 chia ht cho 1000. Vy ba ch s tn cng ca am cng chnh l ba ch s tn cng ca av. Tip theo, ta tm ba ch s tn cng ca av. Tnh cht sau c suy ra t tnh cht 4. Tnh cht 6 : Nu a N v (a, 5) = 1 th a100 - 1 chia ht cho 125. Chng minh : Do a20 - 1 chia ht cho 25 nn a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 c cng s d l 1 => a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia ht cho 5. Vy a100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia ht cho 125. Bi ton 11 : Tm ba ch s tn cng ca 123101. Li gii : Theo tnh cht 6, do (123, 5) = 1 => 123100 - 1 chia ht cho 125 (1).

Mt khc : 123100 - 1 = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - 1 chia ht cho 8 (2). V (8, 125) = 1, t (1) v (2) suy ra : 123100 - 1 chi ht cho 1000 => 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k N). Vy 123101 c ba ch s tn cng l 123. Bi ton 12 : Tm ba ch s tn cng ca 3399...98. Li gii : Theo tnh cht 6, do (9, 5) = 1 => 9100 - 1 chi ht cho 125 (1). Tng t bi 11, ta c 9100 - 1 chia ht cho 8 (2). V (8, 125) = 1, t (1) v (2) suy ra : 9100 - 1 chia ht cho 1000 => 3399...98 = 9199...9 = 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q N). Vy ba ch s tn cng ca 3399...98 cng chnh l ba ch s tn cng ca 999. Li v 9100 - 1 chia ht cho 1000 => ba ch s tn cng ca 9100 l 001 m 999 = 9100 : 9 => ba ch s tn cng ca 999 l 889 (d kim tra ch s tn cng ca 999 l 9, sau da vo php nhn xc nh ). Vy ba ch s tn cng ca 3399...98 l 889. Nu s cho chia ht cho 8 th ta cng c th tm ba ch s tn cng mt cch gin tip theo cc bc : Tm d ca php chia s cho 125, t suy ra cc kh nng ca ba ch s tn cng, cui cng kim tra iu kin chia ht cho 8 chn gi tr ng. Bi ton 13 : Tm ba ch s tn cng ca 2004200. Li gii : do (2004, 5) = 1 (tnh cht 6) => 2004100 chia cho 125 d 1 => 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 d 1 => 2004200 ch c th tn cng l 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004200 chia ht cho 8 nn ch c th tn cng l 376.

T phng php tm hai v ba ch s tn cng trnh by, chng ta c th m rng tm nhiu hn ba ch s tn cng ca mt s t nhin. Sau y l mt s bi tp vn dng : Bi 1 : Chng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia ht cho 5 khi v ch khi n khng chia ht cho 4. Bi 2 : Chng minh 920002003, 720002003 c ch s tn cng ging nhau. Bi 3 : Tm hai ch s tn cng ca : a) 3999 b) 111213 Bi 4 : Tm hai ch s tn cng ca : S = 23 + 223 + ... + 240023 Bi 5 : Tm ba ch s tn cng ca : S = 12004 + 22004 + ... + 20032004 Bi 6 : Cho (a, 10) = 1. Chng minh rng ba ch s tn cng ca a101 cng bng ba ch s tn cng ca a. Bi 7 : Cho A l mt s chn khng chia ht cho 10. Hy tm ba ch s tn cng ca A200. Bi 8 : Tm ba ch s tn cng ca s : 199319941995 ...2000 Bi 9 : Tm su ch s tn cng ca 521.

Bai 4 : MT DNG TON V CLN V BCNNTrong chng trnh s hc lp 6, sau khi hc cc khi nim c chung ln nht (CLN) v bi chung nh nht (BCNN), cc bn s gp dng ton tm hai s nguyn dng khi bit mt s yu t trong c cc d kin v CLN v BCNN. Phng php chung gii : 1/ Da vo nh ngha CLN biu din hai s phi tm, lin h vi cc yu t cho tm hai s.

2/ Trong mt s trng hp, c th s dng mi quan h c bit gia CLN, BCNN v tch ca hai s nguyn dng a, b, l : ab = (a, b).[a, b], trong (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN ca a v b. Vic chng minh h thc ny khng kh : Theo nh ngha CLN, gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1 (*) T (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] . (**) Chng ta hy xt mt s v d minh ha. Bi ton 1 : Tm hai s nguyn dng a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16. Li gii : Do vai tr ca a, b l nh nhau, khng mt tnh tng qut, gi s a b. T (*), do (a, b) = 16 nn a = 16m ; b = 16n (m n do a b) vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1. Theo nh ngha BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = 1 , n = 15 hoc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoc a = 48, b = 80. Ch : Ta c th p dng cng thc (**) gii bi ton ny : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy ra mn = 15. Bi ton 2 : Tm hai s nguyn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = 6. Li gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b. Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1 ; m n. V vy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tng ng mn = 6 tng ng m = 1, n = 6 hoc m = 2, n = 3 tng ng vi a = 6, b = 36 hocc l a = 12, b = 18. Bi ton 3 : Tm hai s nguyn dng a, b bit ab = 180, [a, b] = 60. Li gii : T (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. Tm c (a, b) = 3, bi ton c a v dng bi ton 2. Kt qu : a = 3, b = 60 hoc a = 12, b = 15.

Ch : Ta c th tnh (a, b) mt cch trc tip t nh ngha CLN, BCNN : Theo (*) ta c ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3. Bi ton 4 : Tm hai s nguyn dng a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = 5. Li gii : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1. V vy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tng ng vi m = 13 v n = 5 hay a = 65 v b = 25. Ch : phn s tng ng vi 2,6 phi chn l phn s ti gin do (m, n) = 1. Bi ton 5 : Tm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140. Li gii : t (a, b) = d. V , a/b = 4/5 , mt khc (4, 5) = 1 nn a = 4d, b = 5d. Lu [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35. Bi ton 6 : Tm hai s nguyn dng a, b bit a + b = 128 v (a, b) = 16. Li gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b. Ta c : a = 16m ; b = 16n vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1 ; m n. V vy : a + b = 128 tng ng 16(m + n) = 128 tng ng m + n = 8 Tng ng vi m = 1, n = 7 hoc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoc a = 48, b = 80 Bi ton 7 : Tm a, b bit a + b = 42 v [a, b] = 72. Li gii : Gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1. Khng mt tnh tng qut, gi s a b => m n. Do : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2) => d l c chung ca 42 v 72 => d thuc {1 ; 2 ; 3 ; 6}. Ln lt thay cc gi tr ca d vo (1) v (2) tnh m, n ta thy ch c trng hp d = 6 => m + n = 7 v mn = 12 => m = 3 v n = 4 . (tha mn cc iu kin ca m, n). Vy d = 6 v a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bi ton 8 : Tm a, b bit a - b = 7, [a, b] = 140. Li gii : Gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1.

Do : a - b = d(m - n) = 7 (1) [a, b] = mnd = 140 (2) => d l c chung ca 7 v 140 => d thuc {1 ; 7}. Thay ln lt cc gi tr ca d vo (1) v (2) tnh m, n ta c kt qu duy nht : d = 7 => m - n = 1 v mn = 20 => m = 5, n = 4 Vy d = 7 v a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 . Bi tp t gii : 1/ Tm hai s a, b bit 7a = 11b v (a, b) = 45. 2/ Tm hai s bit tng ca chng bng 448, CLN ca chng bng 16 v chng c cc ch s hng n v ging nhau. 3/ Cho hai s t nhin a v b. Tm tt c cc s t nhin c sao cho trong ba s, tch ca hai s lun chia ht cho s cn li.

Bai 5 : NGUYN L I - RCH - LNguyn l i-rch-l pht biu nh sau : Nu c m vt t vo n ci ngn ko v m > n th c t nht mt ngn ko cha t nht hai vt. Nguyn l i-rch-l ch gip ta chng minh c s tn ti ngn ko cha t nht hai vt m khng ch ra c l ngn ko no. Cc bn hy lm quen vic vn dng nguyn l qua cc bi ton sau y. Bi ton 1 : Chng minh rng trong 11 s t nhin bt k bao gi cng tn ti t nht 2s c hiu chia ht cho 10.

Li gii : Vi 11 s t nhin khi chia cho 10 ta c 11 s d, m mt s t nhin bt k khi chia cho 10 c 10 kh nng d l 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 9. V c 11 s d m ch c 10 kh nng d, theo nguyn l i-rch-l, tn ti t nht 2 s khi chia cho 10 c cng s d do hiu ca chng chia ht cho 10 (pcm). Bi ton 2 : Chng minh rng tn ti s c dng 19941994...199400...0 chia ht cho 1995. Li gii :

Xt 1995 s c dng : 1994 ; 19941994 ; ... ; . Nu mt trong cc s trn chia ht cho 1995 th d dng c pcm. Nu cc s trn u khng chia ht cho 1995 th khi chia tng s cho 1995 s ch c 1994 kh nng d l 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 1994. V c 1995 s d m ch c 1994 kh nng d, theo nguyn l i-rch-l tn ti t nht 2 s khi chia cho 1995 c cng s d, hiu ca chng chia ht cho 1995. Gi s hai s l : Khi : = 1994...199400...0 chia ht cho 1995 (pcm). Bi ton 3 : Chng minh rng tn ti s t nhin k sao cho (1999^k - 1) chia ht cho104. Li gii : Xt 104 + 1 s c dng : 19991 ; 19992 ; ... ; 1999104 + 1. Lp lun tng t bi ton 2 ta c : (1999m - 1999n) chia ht cho 104 (m > n)

hay 1999n (1999m-n - 1) chia ht cho 104 V 1999n v 104 nguyn t cng nhau, do (1999m-n - 1) chia ht cho 104. t m - n = k => 1999^k - 1 chia ht cho 104 (pcm). Bi ton 4 : Chng minh rng tn ti mt s ch vit bi hai ch s chia ht cho 2003. Li gii : Xt 2004 s c dng 1 ; 11 ; 111 ; ... ; Lp lun tng t bi ton 2 ta c : hay 11...100...0 chia ht cho 2003 (pcm). Mt s bi ton t gii : Bi ton 5 : Chng minh rng mi s nguyn t p ta c th tm c mt s c vitbi hai ch s chia ht cho p.

Bi ton 6 : Chng minh rng nu mt s t nhin khng chia ht cho 2 v 5 th tn ti bi can c dng : 111...1.

Bi ton 7 : Chng minh rng tn ti s c dng 1997k (k thuc N) c tn cng l 0001.

Bi ton 8 : Chng minh rng nu cc s nguyn m v n nguyn t cng nhau th tm c s t nhin k sao cho mk - 1 chia ht cho n. Cc bn hy n c s sau : Nguyn l i-rch-l vi nhng bi ton hnh hc th v.

Bai 6: NGUYN L I-RCH-L & NHNG BI TON HNH HC TH VNguyn l c th m rng nh sau : Nu c m vt t vo n ci ngn ko v m > k.n th c t nht mt ngn ko cha t nht k + 1 vt. Vi m rng ny, ta cn c th gii quyt thm nhiu bi ton khc. Sau y xin gii thiu bn c lm quen vic vn dng nguyn l i-rch-l vi mt s bi ton hnh hc. Bi ton 1 : Trong tam gic u c cnh bng 4 (n v di, c hiu n cui bi vit) ly 17 im. Chng minh rng trong 17 im c t nht hai im m khong cch gia chng khng vt qu 1.

Li gii : Chia tam gic u c cnh bng 4 thnh 16 tam gic u c cnh bng 1 (hnh 1). V 17 > 16, theo nguyn l i-rch-l, tn ti t nht mt tam gic u cnh bng 1 c cha t nht 2 im trong s 17 im cho. Khong cch gia hai im lun khng vt qu 1 (pcm). Bi ton 2 : Trong mt hnh vung cnh bng 7, ly 51 im. Chng minh rng c 3 im trong 51 im cho nm trong mt hnh trn c bn knh bng 1. Li gii : Chia hnh vung cnh bng 7 thnh 25 hnh vung bng nhau, cnh ca mi hnh vung nh bng 5/7(hnh 2).

V 51 im cho thuc 25 hnh vung nh, m 51 > 2.25 nn theo nguyn l irch-l, c t nht mt hnh vung nh cha t nht 3 im (3 = 2 + 1) trong s 51 im cho. Hnh vung cnh bng c bn knh ng trn ngoi tip l :

Vy bi ton c chng minh. Hnh trn ny chnh l hnh trn bn knh bng 1, cha hnh vung ta ch ra trn. Bi ton 3 : Trong mt phng cho 2003 im sao cho c 3 im bt k c t nht 2 im cch nhau mt khong khng vt qu 1. Chng minh rng : tn ti mt hnh trn bn knh bng 1 cha t nht 1002 im.

Li gii : Ly mt im A bt k trong 2003 im cho, v ng trn C1 tm A bn knh bng 1. + Nu tt c cc im u nm trong hnh trn C1 th hin nhin c pcm. + Nu tn ti mt im B m khong cch gia A v B ln hn 1 th ta v ng trn C2 tm B bn knh bng 1. Khi , xt mt im C bt k trong s 2001 im cn li. Xt 3 im A, B, C, v AB > 1 nn theo gi thit ta c AC 1 hoc BC 1. Ni cch khc, im C phi thuc C1 hoc C2. => 2001 im khc B v A phi nm trong C1hoc C2. Theo nguyn l i-rch-l ta c mt hnh trn cha t nht 1001 im. Tnh thm tm ca hnh trn ny th hnh trn ny chnh l hnh trn bn knh bng 1 cha t nht 1002 im trong 2003 im cho. Bi ton 4 : Cho hnh bnh hnh ABCD, k 17 ng thng sao cho mi ng thng chia ABCD thnh hai hnh thang c t s din tch bng 1/3 . Chng minh rng, trong 17 ng thng c 5 ng thng ng quy. Li gii : Gi M, Q, N, P ln lt l cc trung im ca AB, BC, CD, DA (hnh 3). V ABCD l hnh bnh hnh => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD. Gi d l mt trong 17 ng thng cho. Nu d ct AB ti E ; CD ti F ; PQ ti L th LP, LQ ln lt l ng trung bnh ca cc hnh thang AEFD, EBCF. Ta c : S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 hoc S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 hoc l LQ / LP = 1/3. Trn PQ ly hai im L1, L2 tha mn iu kin L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 khi L trng vi L1 hoc L trng vi L2. Ngha l nu d ct AB v CD th d phi qua L1 hoc L2. Tng t, trn MN ly hai im K1, K2 tha mn iu kin K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 khi nu d ct AD v BC th d phi qua K1 hoc K2 . Tm li, mi ng thng trong s 17 ng thng cho phi i qua mt trong 4 im L1 ; L2 ; K1 ; K2 . V 17 > 4.4 nn theo nguyn l i-rch-l, trong 17 ng thng s c t nht 5 ng thng (5 = 4 + 1) cng i qua mt trong 4 im L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 ng thng ng quy, pcm). Sau y l mt s bi tp tng t.

Bi 1 : Trong hnh ch nht c kch thc 3 x 5, ly 7 im bt k. Chng minh rng c hai im cch nhau mt khong khng vt qu Bi 2 : Trong mt phng ta , cho ng gic li c tt c cc nh l cc im nguyn (c honh v tung l s nguyn). Chng minh rng trn cnh hoc bn trong ng gic cn t nht mt im nguyn khc na. Bi 3 : T giy hnh vung c cnh b nht l bao nhiu c th ct ra c 5 hnh trn c bn knh bng 1. Bi 4 : Trn mt t giy k vung, chn 101 bt k. Chng minh rng trong 101 c t nht 26 khng c im chung.

Bai 7 : BN LUN V BI TON "BA V THN"Chng ta u bit bi ton th v : Ba v thn sau : Ngy xa, trong mt ngi n c c 3 v thn ging ht nhau. Thn tht th (TT) lun lun ni tht, thn di tr (DT) lun lun ni di v thn khn ngoan (KN) lc ni tht lc ni di. Cc v thn vn tr li cu hi ca khch n l n nhng khng ai xc nh c chnh xc cc v thn. Mt hm c mt nh hin trit t xa n thm n. xc nh c cc v thn, ng hi thn bn tri : - Ai ngi cnh ngi ? - l thn TT (1) ng hi thn ngi gia : - Ngi l ai ? - Ta l thn KN (2) Sau cng ng hi thn bn phi : - Ai ngi cnh ngi ? - l thn DT (3) Nh hin trit tht ln : - Ti xc nh c cc v thn. Hi nh hin trit suy lun nh th no ? Li gii : Gi 3 v thn theo th t t tri sang phi l : A, B, C.

T cu tr li (1) => A khng phi l thn TT. T cu tr li (2) => B khng phi l thn TT. Vy C l thn TT. Theo (3) B l thn DT A l thn KN Nhn xt : C 3 cu hi u tp trung xc nh thn B, phi chng l cch hi thng minh ca nh hin trit tm ra 3 v thn ? Cu tr li khng phi, m l nh hin trit gp may do 3 v thn tr li cu hi khng khn ngoan ! Nu 3 v thn tr li khn ngoan nht m vn m bo tnh cht ca tng v thn th sau 3 cu hi, nh hin trit cng khng th xc nh c v thn no. Ta s thy r hn qua phn tch sau v 2 cch hi ca nh hin trit : 1. Hi thn X : - Ngi l ai ? C 3 kh nng tr li sau : - Ta l thn TT => khng xc nh c X (Cch tr li khn nht) - Ta l thn KN => X l thn KN hoc DT - Ta l thn DT => X l KN 2. Hi thn X : - Ai ngi cnh ngi ? Cng c 3 kh nng tr li sau : - l thn TT => thn X khc thn TT - l thn KN => khng xc nh c X (cch tr li khn nht) - l thn DT => khng xc nh c X (cch tr li khn nht) Trong c 2 cch hi ca nh hin trit u c cch tr li khin nh hin trit khng c c mt thng tin no v ba v thn th lm sao m xc nh c cc v thn. Nu gp may (do s tr li ng nghch) th ch cn sau 2 cu hi nh hin trit cng xc nh 3 v thn. Cc bn t tm xem trng hp cc cu tr li ca cc v thn l nh th no nh.

Bi ton c ny tht l hay v d dm, nhng nu cc v thn tr li theo cc phng n khn ngoan nht th c cch no xc nh c 3 v thn sau 1 s t nht cu hi c khng ? R rng l khng th t cu hi nh nh hin trit c. Phi hi nh th no thu c nhiu thng tin nht ? By gi ta t vn nh sau : Mi ln hi ch c hi 1 v thn v chnh v tr li. Cn hi nh th no sau mt s t nht cu hi ta xc nh c cc v thn. Bi ton r rng l khng d cht no, nhng ti tin rng cc bn s tm ra nhiu phng n ti u y ! Sau y l mt phng n ca ti. Hi thn A : - Ngi l thn KN ? - Nhn c cu tr li. Hi thn B : - Ngi l thn KN ? - Nhn c cu tr li. Sau ti ch cn hi thm 1 hoc 2 cu na l xc nh c chnh xc 3 v thn. Nh vy s cu hi nhiu nht l 4. Cc bn c th rt s cu hi xung di 4 c khng ? Xin mi cc bn hy gii tr bi ton ny bng mt phng n tuyt vi no (Nh l ch hi mt thn v chnh v tr li) .