Momento de Inercia y centriodes

7/23/2019 Momento de Inercia y centriodes

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Momento de Inercia


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Segunda ley de Newton para la rotacin:Momento de inercia

Antes de pasar al conceptoveremos de donde surge,

de la segunda ley de Newton, la cual dice que lafuerza resultante en un cuerpo es igual a la masa del

mismo multiplicada por su aceleracin.

F =ma


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Segunda ley de Newton para la rotacin:Momento de inercia

El momento de fuerza es el anlogo rotacional de la

fuerza en un movimiento rectilneo y un momento de

fuerza neto producto movimiento rotacional. La

magnitud de fuerza sore una partcula es!


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Segunda ley de Newton para la

rotacin: Momento de inercia

"onsid#rese el caso ms sencillo, una partcula de masa

$m% que gira a una distancia fi&a $r% de un e&e fi&o derotacin $o%.

r

O

m

F1


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'upngase que sore el o&eto act(a una fuerza neta F1 endireccin tangencial. )or la segunda ley de Newton *ar una

aceleracin tangencial a1 , tal que!

r

O

m

F1


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rotacin: Momento de inerciaLa aceleracin angular esta relacionada con la

aceleracin lineal a1 mediante a1= r y la fuerza neta F1 enrelacin con el momento de rotacin T alrededor del e&e O mediante

= F1r. En dic*os t#rminos!

= (m

r

O

m

F1


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"omo m y r son constantes, se concluira que la es

directamente proporcional al momento de rotacin netoresultante que act(a sore el cuerpo. La constante de

proporcionalidad entre el momento y la aceleracin angular

no es la masa del o&eto, si no la cantidad m.


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A dic*a cantidad se le llama momento de inercia de lapartcula material en rotacin, se le representa con el

smolo I en la ecuacin toma la forma!

donde


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Momento de inercia

+El momento de inercia I es una medida de la inerciarotacional de un cuerpo, es la resistencia que un cuerpo en

rotacin opone al camio de su velocidad de giro.


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Ejemplo.-nterpretacin grfica.

2 kg

4 kg

2 kg

4 kg

./m

.0 m

=1 rad2s

Anemmetro

"alcule el momento de inercia para el sistema ilustrado. El peso de

las arras que unen las masas es despreciale y el sistema gira con

una velocidad angular de 6 rad/s. 3"ul es la energa cin#ticarotacional4Nota: considere que las masas estn concentradas en un punto.


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Solucin:

El prolema proporciona la masa de 5 o&etos con

sus respectivos radios, por lo tanto tenemos que*acer una sumatoria de momentos de inercia.


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Solucin:'ustituyendo los valores otenemos que!$/6g%$.0m%/ 7 $56g%$./m%/ 7 $/6g%$.0m%/ 7$56g%$./m%/

$.0 7 .81 7 .0 7 .81% 6g 9 m/

1.2 kg ! m2


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Solucin:)or (ltimo calculamos la energa cin#tica rotacional,

la cual esta dada por!

'ustituyendo!

2." #


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Resultados:"ada una de las 5 masas presentadas en el grfico e&erce un

momento de inercia sore el anemmetro, en con&unto,

todos las masas e&ercen un momento de inercia neto.

1.2 kg ! m2

2." #


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Conclusin:

En un cuerpo rgido la masa m y la distancia al e&e derotacin r no camian. A diferencia de la masa de unapartcula, el momento de inercia de un cuerpo se refiere a

un e&e especfico y puede tener diferentes valores para

diferentes e&es.


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"EN:;


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DEFINICIN DE

CENTROIDES

El centro de gravedad G es un punto ue u!ica el pesoresultante de un

sistema de part"culas# comprende un sistema de $uer%as paralelas ue puede

ser reempla%ado por un solo peso resultante &euivalente' en el punto G de

aplicacin de$inido. El punto de aplicacin de la $uer%a( peso en un cuerpo es

siempre el mismo# sea cual sea la posicin delcuerpo.

)ara determinar el centrode gravedad *ay ue tener en cuenta ue toda

part"cula de un cuerpo situada cerca de la super$icie terrestre est+ sometida ala accin de una $uer%a# dirigida verticalmente *acia el centro de la ,ierra#

llamada $uer%a gravitatoria.


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E-isten cuerpos de dimensiones muy peueas en relacin a la ,ierra# por lotanto se puede admitir ue la $uer%a de gravedad ue act/a so!re las di$erentes

part"culas del cuerpo son paralelas y de magnitud constante. )or tal motivo se

puede calcular la u!icacin del centro de gravedad locali%ando la recta de

accin de la $uer%a resultante de este conjunto de $uer%as. Si el cuerpo es

*omog0neo# el centro de gravedad coincidir+ con su centro geom0trico. )or otro

lado# si un cuerpo es muy peueo comparado con la aceleracin de la

gravedad# esta magnitud ser+ la misma para todas las part"culas# entonces el

centro de masa y el centro de gravedad ser+n coincidentes.


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$%NT&O '% ()*)

1a densidad o masa por volumen unitario est+ relacionada mediante la ecuacin donde ges la

aceleracin de!ida a la gravedad y 2 es la densidad del cuerpo# sustituyendo esta relacin en

las siguientes ecuaciones y cancelandog

en los numeradores y denominadores se o!tienenecuaciones ue se pueden utili%ar para encontrar el centro de masa de un cuerpo:

3n concepto importante ue ca!e recordar es la de$inicin de est+tica: 4Es la rama de la $"sica ue

trata del !alance de $uer%as so!re un o!jeto ue permanece en reposo o en estado de movimiento

uni$orme5.

Es importante notar ue la est+tica es un caso particular de la din+mica &o movimiento' y es tan

importante ue los ingenieros y los aruitectos la estudian en sus carreras ya ue de lo contrario no

podr"an conocer las $uer%as ue con$orman las distintas estructuras# construcciones# etc.# ue

disean y $orman.

3na parte principal de sus aplicaciones est+ en los edi$icios est+ticos y tiene ue ver con su

de$inicin como cuerpo r"gido. 1as $uer%as actuando so!re este tipo de o!jetos &cuerpo r"gido' tienen

dos e$ectos:

No importa dnde se est0n aplicando so!re el o!jeto# la suma vectorial de dic*as $uer%as produce una

aceleracin lineal del centro de su masa.

6ependiendo dnde se aplican# pueden producir torcas ue act/an para rotar el o!jeto.


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)ara calcular el centro de masa de un sistema de cuerpos es necesario conocer lamasa de dic*o cuerpo y la distancia respecto a la cual est+ actuando la $uer%a

e-terna7 0sta depende de su posicin de euili!rio7 es decir:

6onde m8

es la masa del cuerpo uno y m9

es la masa del cuerpo dos# -8

y -9

son las

distancias respectivas a cada una# tomando en cuenta su punto de euili!rio.

Ejemplo:3n o!jeto de 9g de masa se encuentra unido a otro con masa de 8;g# por una varilla

de


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Centroide

El centro de gravedad es 41a suma de los productos de los pesos de cada part"cula

multiplicada por sus posiciones respectivas dividida entre

el peso total del cuerpo5.,am!i0n se de$inecomo el centro geom0trico de un o!jeto. Su u!icacin puede

ser determinada a partir de $rmulas similares a las usadas para o!tener

el centro de masa. En particular si el material ue compone un cuerpo es

uni$orme u *omog0neo# la densidad o peso espec"$ico ser+ constante en todo el

cuerpo# y por tanto este t0rmino saldr+ de las integrales y se cancelar+ a partir de

los numeradores y denominadores de las ecuaciones anteriores. 1as $rmulasresultantes de$inen el centroide del cuerpo ya ue son

independientes del peso del cuerpo y dependen slo de la geometr"a de 0ste. Se

consideraran tres casos espec"$icos: centroides de l"neas# de super$icies y de

masa.


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CEN,R=>6E 6E 1?NE@

Si la simetr"a del o!jeto es parecida a la de una !arra delgada o alam!re# larelacin ser"a con respecto a una l"nea# el euili!rio de las torcas o momentos de

los di$erenciales d1 con respecto a cada uno de los ejes

coordenados -# yy %resulta en:

$%NT&OI'%* '% *+,%&FI$I%* O -&%)*

6e manera similar el centroide del +rea super$icial de un o!jeto# como una placa

o un cascarn# se puede determinar su!dividiendo el +rea en elementos d@ y

calcul+ndolos de esos elementos de +rea con respecto a cada uno de los ejescoordenados# esto es:


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CEN,R=>6E 6E A=1BMENE

Si un o!jeto es su!dividido en elementos de volumendA

# lau!icacin del centroide para el volumen del o!jeto puede ser determinada

calculando los momentos con respecto a cada uno de los ejes coordenados. 1as

$rmulas resultantes son las siguientes

Ejemplo

1ocali%a el centroide del arco para!lico ue $orma la estructura de la

$ac*ada del edi$icio mostrado:


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olucin

rea y !ra%os de momento

1a longitud di$erencial del elemento d1 puede ser e-presada en t0rminos de

las di$erencialesd-

ydy

usando el ,eorema de )it+gora

Como -D y9# entonces d-dy D 9y . )or lo tanto# e-presando d1 en t0rminos

de yy dy # tienes:

El centroide est+ locali%ado en -y y.

>ntegraciones

@plicando las ecuaciones e integrando con respecto a ymediante las $rmulas

anteriores# tienes ue:

.11>28.5?@ .58 m

.B5B528.5?@ .0?5 m

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