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APLICACIÓN DE MODELOS PREDICTIVOS NEURONALES Y ALGORITMO GENÉTICO PARA OPTIMIZACIÓN DE LA MOLIENDA SAG Unidad Control Automático de Procesos Superintendencia Ingeniería de Procesos Subgerencia de Concentración CODELCO CHILE – DIVISION NORTE

Molienda Sag

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APLICACIÓN DE MODELOS PREDICTIVOS NEURONALES Y ALGORITMO GENÉTICO PARA

OPTIMIZACIÓN DE LA MOLIENDA SAG

Unidad Control Automático de ProcesosSuperintendencia Ingeniería de Procesos

Subgerencia de ConcentraciónCODELCO CHILE – DIVISION NORTE

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MODELOS PREDICTIVOS NEURONALES

• En 1943 McCulloch y Pitts propusieron por primera vez la idea de modelar la actividad neuronal a través de límites y sumas ponderadas.• Una Neurona Artificial es un elemento procesador no lineal, que acepta múltiples entradas y produce una salida.

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Una red neuronal está compuesta por un conjunto de neuronas artificiales constituidas en una capa de entrada, al menos una capa intermedia y una capa de salida. La red puede tener más de una salida.

Cada una de las conexiones entre neuronas tiene asignado un peso o ponderación. El proceso de ajuste de pesos se denomina entrenamiento.

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Debido a la naturaleza inherentemente no lineal y variante en eltiempo de los procesos de conminución, la obtención de modelos que sean útiles para la búsqueda de óptimos operacionales es una ardua tarea y su validez en el tiempo es limitada.Las redes neuronales permiten la generación de modelos no lineales de los procesos de molienda los cuales pueden ser entrenados en línea de manera que su validez esté siempre vigente en el tiempo.

A partir de un modelo razonablemente preciso se puede construir un optimizador adaptivo en tiempo real basado en información vigente.

Sin embargo, las técnicas de optimización convencionales no tratan bien el problema de los óptimos locales.

El algoritmo genético ofrece una solución eficiente al problema de la búsqueda del óptimo global en el espacio de búsqueda que ofrece el modelo predictivo neuronal.

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INTRODUCCION AL ALGORITMO GENÉTICOConceptos: Individuos, apareamiento, recombinación de cromosomas, mutación genética, adaptación y selección natural.Cromosoma: Un cromosoma es una representación en la que:• Existe una lista de elementos llamados genes• El cromosoma determina la adaptación global manifestada por algún mecanismo que utiliza genes de cromosoma como una especie de marca.Contiene constructores que:• Crean un cromosoma, dada una lista de elementos; a este constructor se le puede llamar constructor de génesis• Crean un cromosoma mediante el cruce de un par de cromosomas existentes.Contiene escritores que:• Mutan un cromosoma existente mediante el cambio de uno de sus genesContiene lectores que:• Producen un gen especifico, dado un cromosoma

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EJEMPLO: Caso muy simplificado de la molienda SAG. Dos variables muy importantes en la molienda SAG son la potencia del molino y la presión de aceite en los descansos o el peso del molino. Se desea optimizar el tonelaje procesado.

8,2 1600 1605 1610 1615 1620 1625 1630 1625 1620 1615 1610 1605 16008,0 1610 1615 1620 1625 1630 1635 1640 1635 1630 1625 1620 1615 16107,8 1620 1625 1630 1635 1640 1645 1650 1645 1640 1650 1650 1650 16207,6 1630 1635 1640 1645 1650 1655 1660 1655 1650 1650 1700 1650 16307,4 1640 1645 1650 1655 1660 1665 1670 1665 1660 1650 1650 1650 16407,2 1650 1655 1660 1665 1670 1675 1680 1675 1670 1665 1660 1655 16507,0 1660 1665 1670 1675 1680 1685 1690 1685 1680 1675 1670 1665 16606,8 1670 1675 1680 1685 1690 1695 1700 1600 1600 1600 1600 1675 16706,6 1660 1665 1670 1675 1680 1685 1690 1600 1600 1600 1600 1665 16606,4 1650 1655 1700 1700 1700 1675 1680 1600 1750 1750 1600 1655 16506,2 1640 1645 1700 1750 1700 1665 1670 1600 1750 1800 1600 1645 16406,0 1630 1635 1700 1700 1700 1655 1660 1600 1600 1600 1600 1635 16305,8 1620 1625 1630 1635 1640 1645 1650 1600 1600 1600 1600 1625 16205,6 1610 1615 1620 1625 1630 1635 1640 1635 1630 1625 1620 1615 16105,4 1600 1605 1610 1615 1620 1625 1630 1625 1620 1615 1610 1605 1600

56,5 57,0 57,5 58,0 58,5 59,0 59,5 60,0 60,5 61,0 61,5 62,0 62,5Presión Descansos [Kg/cm2]

Pot

enci

a [M

w]

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1

4

7

10

13

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

C10 C11 C12 C13

1500

1550

1600

1650

1700

1750

1800

Tone

laje

[ton

/hr]

Potencia [Mw]

Presión Desc [kg/cm2]

Función de Calidad de Tonelaje

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FORMATO DEL CROMOSOMA:

MUTACION

Dos cromosomas sujetos a una serie de mutaciones. Cada una de las cuales cambia un gene sumándole o restándole un determinado valor. Los dos cromosomas originales son 56,5 –5,4 que producen calidad 1600. El cromosoma final es el 58,5 – 5,4 que tiene calidad 1620.

56,5 5,4

Presión Potencia

CROMOSOMA

56,5 5,4

57,0 5,4

57,5 5,4

58,0 5,4

58,5 5,4

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RECOMBINACION O CRUZAMIENTO

Dos cromosomas sujetos a recombinación, cada uno de los cuales es cortado por la mitad y unido al otro cromosoma. Uno de los cromosomas originales es el cromosoma 56,5 – 6,2 de calidad 1640 y el otro 58,0 – 5,4 de calidad 1615. Uno de los cromosomas nuevos es 58,0 – 6,2 que produce un tonelaje de 1750 (óptimo local)

56,5 6,2

58,0 5,4

56,5 6,258,0 5,4

58,0 6,2

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METODO ESTANDAR: IGUALA LA ADAPTACION CON LA CALIDAD RELATIVA

En general, la adapatacion de un cromosoma es la probabilidad de que este sobreviva a la siguiente generación.Luego, se necesita una formula que relacione a la adaptación del i- ésimo cromosoma, fi, una probabilidad que va de 0 a 1, con la calidad qi, en un rango que depende del problema.La siguiente fórmula, en la que la suma se hace sobre todos los candidatos, es una probabilidad:En donde q0 es el límite bajo de calidad (ej 1600 tph)

EJEMPLO: SUPÓNGASE QUE UNA POBLACIÓN CONSISTE EN 4 CROMOSOMAS:ADAPTACION

CROMOSOMA CALIDAD ESTANDAR58,0 - 6,2 1750 0,4257,5 - 6,4 1700 0,2857,5 - 6,8 1680 0,2257,5 - 5,8 1630 0,08

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PARA IMITAR LA SELECCIÓN NATURAL, EN GENERAL:• Crear una población inicial de un cromosoma• Mutar uno o más genes de uno de más de los cromosomas actuales• Aparear uno o más pares de cromosomas• Añadir los cromosomas mutados y de la progenie a la población actual• Crear una nueva generación manteniendo lo mejor de los cromosomas de la población, junto con otros cromosomas seleccionados al azar de la población actual. Influir en la selección aleatoria de acuerdo con la adaptación evaluada.DECISIONES A TOMAR PARA EL DISEÑO DEL A.G.•¿ Cuántos cromosomas deben estar en la población?

• Si el número es muy bajo, pronto todos los cromosomas tendrán rasgos idénticos y la recombinación no hará nada.• Si el número es muy alto el tiempo de cálculo será innecesariamente excesivo.

• ¿Cuál deberá ser la rapidez de las mutaciones?• Si es muy baja aparecerán los nuevos rasgos de la población muy lentamente.• Si es muy alta cada generación estará desligada de la anterior

• ¿Se permite el apareamiento?• ¿Como se seleccionan los pares?• ¿Como se determinan los puntos de recombinación?• ¿Puede cualquier cromosoma, aparecer mas de una vez en una población?

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ESPECIALIZACION DEL METODO GENERAL DE SELECCIÓN NATURAL(EJEMPLO SIMPLIFICADO DE MOLIENDA SAG)

ES FÁCIL ASCENDER MONTAÑAS DE FORMA DE JOROBA SIN LA RECOMBINACIÓN

• Empieza con un solo cromosoma localizado en 56,5 – 5,4• No se permite que ningún cromosoma aparezca más de una vez en cada generación.• Un máximo de 5 cromosomas sobrevive de una generación a la siguiente• Cada superviviente es candidato para sobrevivir en la siguiente generación, junto con cualquier cromosoma nuevo que se haya producido.• En cada uno de los supervivientes se selecciona un gene al azar y también al azar se somete a mutación. Si el mutante es diferente de cualquier candidato de los que se tienen hasta ese momento, el mutante se agrega a los candidatos.• No hay recombinación• El cromosoma que tiene la máxima nota de calidad sobrevive en la siguiente generación• Los supervivientes restantes de una generación a la otra se seleccionan al azar de los candidatos restantes de acuerdo con el método estándar para el cálculo de la adaptación.

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CROMOSOMA CALIDAD56,5 5,4 1600

56,5 5,6 1610

Se agrega a la población

GENERACION 1

CROMOSOMA CALIDAD56,5 5,6 1610

56,5 5,4 1600

MUTÓ A 56,5 5,6 56,5 5,8 1620

56,5 5,4 56,5 5,6 1610

GENERACION 2

CROMOSOMA CALIDAD Es el mejor, se selecciona56,5 5,8 1620

56,5 5,6 1610

56,5 5,4 1600

Ya se encuentra en la población

Mutación Favorable

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El proceso continúa del mismo modo hasta que en la generación 10 obtenemos :

Evidentemente para paisajes en forma de joroba sencilla, la recombinación o el apareamiento no es indispensable.

presion potencia calidad A. Estandar58,0 6,2 1750 0,35757,5 6,0 1700 0,23858,0 6,0 1700 0,23857,0 6,0 1635 0,08358,0 5,8 1635 0,083

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CROMOSOMA

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LA RECOMBINACIÓN PERMITE A LOS ALGORITMOS GENÉTICOS BUSCAR CON EFICIENCIA EN ESPACIOS DE MUCHAS DIMENSIONES.

Para decidir qué cromosomas usar para hacer que la recombinación sea benéfica, se procede de la siguiente forma:• Tomar en cuenta solo los cromosomas que sobreviven de la generación anterior.• Para cada uno de tales cromosomas, seleccionar un compañero de entre los otros sobrevivientes. La selección de los compañeros se hace al azar, de acuerdo con el método estándar para el cálculo de la adaptación.• Cada pareja de apareamiento se cruza en el medio, produciendo dos cromosomas hijo cruzados. Si un cromosoma hijo es diferente de cualquier candidato acumulado, ese cromosoma se añade a los candidatos.Este método de cruzamiento permite acelerar, o hacer mas eficiente la búsqueda del óptimo.Por ejemplo se realizaron 20 corridas de simulación para alcanzar el óptimo global: con sólo mutaciones se necesitaron en promedio 453 iteraciones y con mutación + recombinación se requirió en promedio 209 iteraciones, es decir la eficiencia se mejoró en un 100%.

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LA RECOMBINACION PERMITE A LOS ALGORITMOS GENETICOS CRUZAR FOSOS.

En aquellos casos en que la función de optimización contenga jorobas y fosos, es difícil que una serie de mutaciones al azar conduzca a una población hacia el foso dada sólo una mutación por generación. La razón es que los cromosomas intermedios necesarios, los que hacen que la función de calidad sea 0 y por lo tanto su adaptación es cero y tienen 0 posibilidades de sobrevivir en la generación siguiente.Por otro lado, dados dos padres bien situados, desde el punto de vista de los cromosomas, un solo apareamiento puede crear una progenie que cruce el pozo. No necesitan sobrevivir intermediarios con adaptación cero. Evidentemente, para terrenos con fosos, la recombinación puede ser una gran ayuda.

EL METODO DEL RANGO ENLAZA LA ADAPTACION CON EL METODO DE CALIDAD

El método estándar para determinar la adaptación no proporciona ninguna forma de influir en la selección. Una alternativa es usar el METODO DEL RANGO que no sólo ofrece una manera de controlar la derivación hacia el mejor cromosoma, sino que también elimina las derivaciones implícitas, que son introducidas por selecciones desafortunadas de la escala de medición y que de otro modo podrían causar daños.Básicamente, el método de rango ignora las mediciones de calidad a menos que sirvan para clasificar a los candidatos por orden descendente de calidad.

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ENTONCES, LA ADAPTACION DEL CANDIDATO CON CALIDAD MAS ALTA ENTRE LOS CLASIFICADOS ES UNA CONSTANTE FIJA “p”.Si el mejor candidato, el que tiene rango 1, no se selecciona, entonces el siguiente mejor, el que tiene rango 2, se selecciona con adaptación “p”. Este proceso de selección continua hasta que se selecciona un candidato o solo queda uno, en cuyo caso se selecciona, de acuerdo al siguiente procedimiento.

Para seleccionar un candidato mediante el metodo del rango:• ORDENAR LOS n INDIVIDUOS SEGÚN SU CALIDAD.• Sea “p” la probabilidad de elegir al i-ésimo candidato dato que los primeros i – 1 candidatos no han sido seleccionados, excepto en el caso del candidato final que se selecciona sin no se han elegido candidatos.• Seleccione un candidato mediante probabilidades calculadas.

Supongamos que p = 0,667 para la siguiente tabla de calidad con foso.

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Supongamos que estamos interesados en los mismos cromosomas que se utilizaron para ilustrar el método estándar, pero en el contexto de la montaña con foso.Supóngase que a estos cuatro cromosomas se añade el 60,5 – 5,8, que produce un tonelaje de 1600 en la montaña con foso.

La siguiente tabla muestra las adaptaciones de rango junto con su adaptación estándar, para fines de comparación:

MÉTODO DEL RANGO:

1) ELEGIR EL DE MAYOR CALIDAD P = 1 => Pxp = 1 x 0,667 = 0,6672) LA PROBABILIDAD DE ELEGIR EL SEGUNDO DADO QUE NO SE HA ELEGIDO EL PRIMERO ES: P = 1 – 0,667 = 0,333 => Pxp = 0,033 x 0,667 = 0,2223) P x p = (1 – 0,667 – 0,222)*0,667 = 0,0744) P x p = (1 – 0,667 – 0,222 – 0,074)*0,667 = 0,0255) ULTIMO CASO P = 1 – 0,667 – 0,222 – 0,074 – 0,025 = 0,012

ADAPTACION ADAPTACIONCROMOSOMA CALIDAD RANGO ESTANDAR DE RANGO

58,0 - 6,2 1750 1 0,42 0,66757,5 - 6,4 1700 2 0,28 0,22257,5 - 6,8 1680 3 0,22 0,07457,5 - 5,8 1630 4 0,08 0,02560,5 - 5,8 1600 5 0,00 0,012

360 0,667

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MEDIANTE EL METODO DEL RANGO, COMENZANDO CON UN CROMOSOMA 56,5 – 5,4, SE HALLO LA MEJOR COMBINACION EN PROMEDIO, DESPUES DE 75 GENERACIONES, VERSUS EL METODO ESTANDAR QUE, EN PROMEDIO, TOMA 155 GENERACIONES.SIN EMBARGO, 75 GENERACIONES ES TODAVIA POCO EFICIENTE. LOS CUATRO CROMOSOMAS TODAVIA TIENDEN A AGRUPARSE ALREDEDOR DE LOS MÁXIMOS LOCALES.SIN EMBARGO, AHORA ES POSIBLE HACER UN TUNEL A TRAVES DEL FOSO DE CALIDAD CERO, PORQUE LA ADAPTACION MENOR DE CUALQUIER CROMOSOMA ESTA DETERMINADA INDIRECTAMENTE POR EL RANGO DE LA CALIDAD, MAS QUE DIRECTAMENTE POR ESTA. EN CONSECUENCIA, NINGUN CROMOSOMA PUEDE TENER UNA ADAPTACION DE CERO, MIENTRAS QUE CON EL METODO ESTANDAR, LOS CROMOSOMAS DEL FOSO TIENEN ADAPTACION EXACTA DE CERO.

0,000,100,200,300,400,500,600,70

Prob

abili

dad

58,0 - 6,2 57,5 - 6,4 57,5 - 6,8 57,5 - 5,8 60,5 - 5,8

Cromosoma

Estándar vs Rango

ESTANDAR DE RANGO

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SUPERVIVENCIA DE LO MAS DIVERSOLa adaptación, como se ha medido hasta ahora, ignora la diversidad, que se puede considerar como el grado al cual los cromosomas muestran genes diferentes.De acuerdo con ello, los cromosomas tienden a ser barridos si el resultado es un poco menor que el de uno que esta próximo al mejor cromosoma actual. Aún en poblaciones grandes, el resultado es la uniformidad.Sin embargo, en una escala mayor los individuos y las especies que parecen no adaptados sobreviven bastante bien fuera de la vista de otros individuos y especies relativamente adaptados.

PRINCIPIO DE LA DIVERSIDAD:“PUEDE SER TAN BUENO SER DIFERENTE COMO LO ES ESTAR ADAPTADO”

El ser diferente puede incorporarse a una medición total de la adaptación y esta observación crea una perspectiva diferente sobre lo que se tiene que hacer con los máximos locales.El método de espacio de rangos enlaza la adaptación con el rango de calidad y el de diversidad.Cuando se seleccionan cromosomas para una nueva generación una forma de medir la diversidad a la cual contribuiría un cromosoma candidato es calcular el inverso del cuadrado de las distancias entre el cromosoma y otros cromosomas ya seleccionados. Después se determina el rango de diversidad de un cromosoma mediante dicho valor:

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Considérese el conjunto de seis candidatos 56,5 – 6,8 /5,8,0 - 6,2/57,5 – 6,4/57,5 - 6,8/57,5 – 5,8/60,5 – 5,8. El candidato 56,5 – 6,8 es el último agregado. Se determinarán las distancias físicas con respecto a este último.

EJEMPLO DE CALCULO: (EN ESTE CASO LA DISTANCIA SE MIDE COMO DISTANCIA FISICA ENTRE LAS CELDAS DE LA TABLA DE CALIDAD)

DISTANCIA ENTRE 58,0 - 6,2 Y 56,5 – 6,8. D = Raíz (32 + 32) => 1/d2 = 0,055EL MISMO PROCEDIMIENTO SE APLICA A TODOS LOS CROMOSOMAS RESTANTES.

Una forma sencilla de combinar los rangos por calidad y diversidad en un rango combinado consiste en clasificar cada cromosoma de acuerdo con la suma de sus rangos de calidad y diversidad mediante una de las dos clasificaciones para romper ataduras, como se indica en el siguiente procedimiento.

NOTA DE RANGO DE RANGO DECROMOSOMA CALIDAD 1/d2 DIVERSIDAD CALIDAD

58,0 - 6,2 4 0,055 3 157,5 - 6,4 3 0,125 4 257,5 - 6,8 2 0,250 5 357,5 - 5,8 1 0,034 2 460,5 - 5,8 0 0,011 1 5

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Para seleccionar un candidato mediante el método de espacio de rangos:• Ordenar los n individuos según la calidad• Ordenar los n individuos según el inverso de su distancia al cuadrado al nuevo cromosoma seleccionado.•Usar el método de rango, pero ordenar sobre la suma de los rangos de calidad y diversidad en lugar de hacerlo solo con respecto al rango de calidad.

A continuación, con un rango que combina la influencia de la calidad y de diversidad, la selección se puede realizar como antes, haciendo la adaptación del primer candidato igual a “p”.Así la suma de rangos, el rango combinado y la adaptación para los 5 cromosomas están dados por la siguiente tabla.

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SUMA DE RANGO ESPACIO RANGO DECROMOSOMA RANGOS COMBINADO RANGOS CALIDAD

58,0 - 6,2 4 1 0,667 0,66757,5 - 6,4 6 4 0,025 0,22257,5 - 6,8 8 5 0,012 0,07457,5 - 5,8 6 3 0,074 0,02560,5 - 5,8 6 2 0,222 0,012

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

Pro

babi

lidad

58,0 - 6,2 57,5 - 6,4 57,5 - 6,8 57,5 - 5,8 60,5 - 5,8

Cromosoma

Método Rango Calidad vs Espacio de Rangos

RANGOS CALIDAD

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Nótese que en la suma de rangos existe un empate entre tres cromosomas.

Para romper esta atadura se considera que el cromosoma que tiene el mejor rango de diversidad como si tuviera el mejor rango combinado. Se observa claramente que con este método la probabilidad de cruzar los fosos aumenta notoriamente considerando la diversidad. Esto significa una mayor eficiencia de búsqueda del óptimo global.

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LA PLATAFORMA DE DESARROLLO KNOWLEDGESCAPE

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PLATAFORMA KNOWLEDGESCAPE SYSTEM

CARACTERÌSTICAS GENERALES:

• Plataforma de Sistema Experto Optimizante Adaptivo.• Sistema Orientado al Objeto• Sistema Jerárquico• Reglas Claras

• Reglas Difusas

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• Redes Neuronales con Entrenamiento en Lìnea.

• Varios Modelos por Cada Predictor.

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• Optimización con Algoritmo Genético

• Computación Distribuida

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APLICACIÓN A LA MOLIENDA SAG

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La planta SAG de Chuquicamata opera normalmente con el Sistema Experto KOPS, el cual implementa una estrategia de control de tipo estabilizantebasada en reglas “crisp” en que se controla la presión de descansos y la potencia, manipulando el tonelaje alimentado, la densidad y la velocidad del molino.Dado que para la obtención del óptimo global se requiere de una función de calidad, ésta se implementa a través de una red neuronal con entrenamiento en línea.Diseño del Predictor/Modelo•Entradas:

• Potencia• Presión de Descansos• Velocidad• Densidad• Pebbles Generados y Pebbles Alimentados

• Salida• Tonelaje Procesado (Producción)

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Diseño de la Red Neuronal:• 2 Capas Internas (con 4 y 3 neuronas)• Función de Activación : sigmoide bipolar• Tamaño Conjunto Entrenamiento: 2000• Tamaño Conjunto Datos Prueba: 400• Método de Entrenamiento: Backpropagation• Momento Global: 0.4• Tasa Global de Aprendizaje: 0.3

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Diseño del Optimizador.• Método de Optimización: Algoritmo Genético• Tamaño de Población: 128 individuos• Número de Generaciones: 64• Probabilidad de Cruzamiento: 0,3• Probabilidad de Mutación: 0,001• Variable Manipulada: “Target” de Presión de Descansos.

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Resultados y Conclusiones:• Las técnicas de modelado de procesos de conminuciónmediante modelos predictivos neuronales son más adecuadas que las herramientas convencionales basadas en modelos semi-empíricos. Esto es especialmente cierto debido a las características no lineales y variantes en el tiempo de estos procesos. El modelado neuronal con entrenamiento en línea permite contar con un modelo de precisión razonable actualizado permanentemente.• El algoritmo genético es un eficiente método de búsqueda del óptimo global el cual trabaja sobre el espacio generado por el modelo predictivo neuronal.• La aplicación de estas técnicas en la molienda SAG de Chuquicamata han permitido, entre otras innovaciones, desplazar el cuello de botella desde la molienda SAG hacia la molienda secundaria.• De las tendencias anteriores se puede ver que el tonelaje del molino SAG opera siempre en el límite alto operacional establecido. • Se estima un beneficio actual de un mayor procesamiento del orden de un 4%.