LABORATORIO N 1

MODULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL

INTRODUCCION

En el curso de fsica II a lo largo de este ciclo vamos a tener la oportunidad de conocer muchos temas nuevos, entre estos tenemos el captulo de vibraciones, en este captulo aprendemos a determinar el mdulo de rigidez de un material que es el objetivo de esta prctica de laboratorio y que ms adelante probaremos experimentalmente; Esta prctica nos exige determinar la constante elstica de un resorte por el meto dinmico y tambin calcular el mdulo de rigidez de un resorte helicoidal, todo este proceso de prueba se realizo en el laboratorio del curso de all se tomaron los datos de modo experimental para poder demostrar los conceptos anteriores.

I. OBJETIVOS:

1.1 Determinar la constante elstica de un resorte por el mtodo dinmico1.2 calcular el modulo de rigidez del hilo de un resorte helicoidal

MATERIALES UTILIZADOS Y SU DESCRIPCIN:

Un resorte helicoidal.- es un muelle de metal que se torna elstico cuando se le trata de deformar, todo resorte tiene su constante elstica.

Un soporte universal.- es un instrumento utilizado para soportar el montaje para distintos experimentos los cuales necesitan de la suspensin en el aire

Regla graduada en milmetros.- Es un instrumento de medida que nos da medidas de los objetos en cada una sus dimensiones. Esta consta de un metro y la sensibilidad de 1 cm.

Un vernier.- Un vernier consiste en una regla provista de una escala graduada en centmetros y milmetros y que lleva los apoyos para poder coger el objeto y medir el dimetro, consta tambin del tope o medidor que se utiliza para medir alturas de los agujeros sobre la regla se mueve un cursor o pieza mvil que lleva los apoyos de medida interior para medir dimetros interiormente y tambin, espesores, dimetro exteriores, etc. Los apoyos de medidas interiores sirven para realizar medidas de dimetros interiores, la varilla ms delgada nos sirve para medir dimetros interiores, profundidades, el mono del cursor permite las medidas de dcimas de milmetro. El calibrador Vernier tiene una

sensibilidad de 0.05 mm.

Varias pesas.- son instrumentos que sirven en nuestro experimento para medir las oscilaciones del soporte cuando es sometido a varias pesas de masas diferentes de 250, 500, 1000 gramos.

El nivel de burbuja. Constituye el dispositivo ms sencillo, que permite determinar la vertical que pasa por un punto, por lo tanto para fijar las lneas perpendiculares a esta vertical, contiene un lquido de gran fluidez e in congelable, de longitud relativamente estable ante las variaciones normales de temperatura

.

FUNDAMENTO TEORICO.

3.1 Cuerpo rgido. Es un ente-lmite, que no existe. Todos los cuerpos en la Naturaleza se deforman al aplicarles una fuerza

3.2 fuerza elstica: Son las fuerzas de reaccin que se oponen a las de accin deformante. Su origen es el campo de fuerzas intermoleculares determinantes del equilibrio estructural del cuerpo.

3.3 Cuerpo elstico: Son aquellos que al cesar la fuerza deformadora adquieren de nuevo su estructura y formas anteriores a la deformacin (muelle de acero).

3.4 Cuerpos inelsticos: Son los que tras la accin deformadora no recobran su forma y estructura primitivas (alambre de hierro dulce).

3.5Plasticidad: Es la propiedad contraria a la elasticidad.

3.6 Ley de Hooke: En 1679, Hooke anunciaba que: Las deformaciones producidas en los cuerpos son proporcionales a las fuerzas deformadoras. Esta ley establece que si se aplica una carga externa axial a un cuerpo, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformacin unitaria, siendo la constante de proporcionalidad el MODULO ELASTICO o DE RIGIDEZ, siempre y cundo no se sobrepase el lmite de proporcionalidad, esto es:

3.7 Limite de elasticidad. Que es el punto a partir del cual la deformacin deja de ser elstica. As, pues, el comportamiento el comportamiento elstico o plstico de un cuerpo, frente a fuerzas deformantes, no es connatural a su estructura, sino que marca una simple frontera fenomenolgica, en funcin de la carga deformante. De este modo, la ley de Hooke solo regir en el intervalo elstico del fenmeno; de ah que su enunciado ms completo sea:Si no se sobrepasa el lmite de elasticidad, las deformaciones producidas en un cuerpo son proporcionales a las fuerzas deformantes

3.8 Elasticidad en traccin: La ley de Hooke (en la zona de elasticidad, por supuesto) puede tomar en este caso la forma matemtica:

F = K.x

En donde: F = Fuerza deformante de traccin.K = Coeficiente de recuperacin.x = Coeficiente de recuperacin.

El coeficiente de recuperacin K es referible exclusivamente al cuerpo con el que se experimenta; de modo que si se ensaya con otro cuerpo de longitud inicial distinta, aun cuando est fabricado del mismo material y presente la misma seccin, la constante toma otro valor diferente. Es por esto por lo que interesa establecer otra constante de proporcionalidad que pueda ser referible a cualquier clase de cuerpos, construidos con el mismo material, independientemente de sus medidas geomtricas (longitud y seccin).

3.9 Elasticidad en torsin: Las deformaciones sufridas en este caso vienen medidas por ngulos. En la dinmica de la rotacin es conocido que el papel de la fuerza lo hace el par, medido por su momento; as, pues, la ley de Hooke en la torsin elstica toma la forma:

M = k.

En donde: M = Momento del par agente. k = Coeficiente de elasticidad de torsin. = Deformacin angular conseguida.3.10 Torsin: Es la deformacin que experimenta una barra fija por uno de sus extremos sometida a la accin de un par de fuerzas o par de torsin.Para torcer una barra (alambre) un ngulo hay que aplicarle el momento de un par fuerzas o momento de torsin; expresado por la siguiente relacin:

(1)

En donde: Mt = Momento de torsin. L = Longitud del alambre. = Angulo de giro totalR = Radio del alambre. G = Mdulo de rigidez.

3.11 Resortes helicoidales. La constante de rigidez en caso de un resorte, se puede encontrar utilizando la ecuacin.

Donde: R = Radio del resorteN = Numero de espiras del resorte R = Radio del resorteG = Modulo de rigidez

VI METODOLOGIA:4.1 Para determinar la constante elstica del resorte. a. Armamos el equipo tal como se muestra en la Fig. 1 de la gua, suspendiendo el resorte del soporte horizontal.b. Medimos la longitud (L0) del resorte sin deformar.c. Colocamos el peso P1 en el extremo libre del resorte y llevarlo lentamente hasta la posicin de equilibrio esttico.d. Llevamos el sistema (resorte-pesa) de la posicin de equilibrio h1 a la posicin h2 produciendo as un estiramiento h entre 2 a 3 cm.e. Soltamos y dejamos oscilar el sistemaf. A continuacin medimos con el cronometro la duracin de unos diez oscilaciones. Y anotamos los valores en la tabla I de la gua.g. Repetimos todos los pasos de a hasta la f para las dems pesas.

Tabla I: Datos y clculos para hallar K NMasa (m)Tiempo tTiempo promedioPeriodo TT2

12345

1103.73.793.913.923.903.91

2133.74.314.194.344.304.33

3153.74.684.564.654.634.66

4203.75.845.735.745.785.80

5253.76.216.266.305.256.22

4.2 Para calcular el Modulo de rigidez del resorte.

a. Con le vernier y/o micrmetro medimos 12 veces el dimetro del resorte. Y anotamos sus valores un la tabla II.b. Con le vernier y/o micrmetro medimos 12 veces el dimetro del hilo del resorte en diferentes posicionesc. Contamos el nmero de espiras que tiene el resorte. Y anotamos sus valores un la tabla II.

Tabla II .Datos y clculos para hallar GD(cm.)2.622.612.622.622.612.602.612.622.602.622.612.61

d(cm.)0.0920.0950.0930.0920.0950.0950.0920.0920.0920.0920.0950.092

N535353535353535353535353

V. ANALISIS DE DATOS:

PARA DETERMINAR LA CONSTANTE ELASTICA DEL RESORTE.

Con los datos de la tabla I procedemos a calcular el promedio del tiempo, el periodo y el periodo al cuadrado, obtenindose el siguiente cuadro:

Tabla I: Datos y clculos para hallar K NMasa (m)Tiempo tTiempo promedioPeriodo TT2

12345

1103.73.793.913.923.903.913.8860.38860.15100

2133.74.314.194.344.304.334.2940.42940.18430

3153.74.684.564.654.634.664.6360.46360.21492

4203.75.845.735.745.785.805.7780.57780.33385

5253.76.216.266.306.256.226.2480.62480.39037

Determinamos el periodo utilizando la ecuacin: T = t / n.Donde: n: es el numero de oscilaciones completas y t : es el tiempo en realizar estas oscilacionesPara trazar la grafica de T2 = f (m) Recurrimos por el ajuste de mnimos cuadrados donde la ecuacin bsica de la recta es:

Y = a + bX ; a,b R Pero en nuestro caso vamos a remplazar al Y por T2 y al X por M y ser:

T2 = a + bm ; a,b R ....................... (1)

Donde: a = T 2 m2 - m T2 m ..............................(2) n m2 - (m)2

b = n T2 m - T2 m ................................. (3) n m2 - (m)2

Luego pasamos a calcular los valores para obtenerlas constantes a y b de la recta

Nm (kg)T 2m2T2 m

10.10370.15100 0.01075370.0156587

20.13370.184300.01787560.0246409

30.15370.214920.02362370.0330332

40.20370.333850.04149370.0680052

50.25370.390370.06436370.0990369

0.84851.27380.15811040.2403749

Reemplazando los respectivos valores en las ecuaciones (2) y (3) tenemos que los valores de a y b son:

a = T 2 m2 - m T2 m = (1.2738)(0.1581104) (0.8485)(0.2403749) n m2 - (m )2 5(0.1581104) - (0.8485) 2

a = - 0.0362 (4)

b = n T2 m - T2 m = 5(0.2403749) ( 1.2738)(0.8485) n m2 - (m)2 5(0.1581104) - (0.8485) 2 b = 1.7147............ (5)

Reemplazando (4) y (5) en la ecuacin ( 1) tenemos que la recta de T2 =f(m) es:

T2 = - 0.0362 + 1.7147 m ................ ()

CALCULO DE LA CONSTANTE ELSTICA Y LA MASA EFECTIVA

* De la ecuacin numero (7) de la gua tenemos

T = 2 (m + mrf ) K

T = 4 m + 4mrf ........................ (6) K k

* De la ecuacin () tenemos:

T2 = -0.0362 + 1.7147m

* Haciendo: () = ()

T2 = 4 m + 4mrf = - 0.0362 + 1.7147m K k

4 m = 1.7147 m .................... (7) k

4mrf = - 0.0362 ............................. (8) k

De (7) tenemos: K = 23.023 N/m. ..(9)

Reemplazando (9) en (8) tenemos que:

(4mrf )/k = - 0.0362

mef = 0.027 Kg. (10)

PARA CALCULAR EL MODULO DE RIGIDEZ (G) DEL RESORTE.

Tabla II .Datos y clculos para hallar GD(cm.)2.622.612.622.622.612.602.612.622.602.622.612.61

d(cm.)0.0920.0950.0930.0920.0950.0920.0950.0920.0920.0920.0930.092

N535353535353535353535353

Primeramente para facilitar los clculos hacemos que D y d estn en funcin de R y r respectivamente.

D(cm)R(cm)d(cm)r(cm)

2.621.3100.0920.0460

2.611.3050.0950.0475

2.621.3100.0930.0465

2.621.3100.0920.0460

2.611.3050.0950.0475

2.601.3000.0920.0460

2.611.3050.0950.0475

2.621.3100.0920.0460

2.601.3000.0920.0460

2.621.3100.0920.0460

2.611.3050.0930.0465

2.611.3050.0920.0460

1.30625 0.04646

Utilizando la ecuacin (23) de la gua tenemos que el modulo de rigidez (G) es: G = 4NKR3 .. (11) ; Donde: R = radio del resorte. r4 r = radio del hilo del resorte. N = n de espiras del resorte. K = constante elstica de resorte

Luego, de las tablas anteriores tenemos: Donde: R = 1.30625= 1.30625 (promedio) r = 0.04646= 0.04646 (promedio) N = 53 K = 23.02 (calculado anteriormente)

Reemplazando en la ecuacin (11) los respectivos valores de R Y r (promedios) ,N y k (calculado anteriormente) tenemos: G = 4NKR3 = (4) (53)(23.02)(1.30625) 3 = 2.3346 G pa. (12) r4 (0.04646) 4

Calculo del error absoluto y porcentual del modulo de rigidez (G) del resorte

Error absoluto.

Entonces de: G = 4NKR3 r4

Siguiendo un tratamiento estadstico para medidas indirectas (G) tenemos que:

G = dG K + dG R + dG r ............. (13) dK dR dr

Como K es constante tenemos que:

dG =. (14) Dk

Y de G = 4NKR3 obtenemos: r4

dG = 12NKR2 ................. (15) dR r4

dG = -16NKR3 ................ (16) dr r5

R y r son los errores de R Y r respectivamente.

Luego reemplazando (14), (15) y (16) en (13) tenemos que: G = 12NkR2 R + - 16NKR3 r.......(17) r4 r5

Como R y r no son conocidos procedemos a calcularlos:

PARA R:

Est dado por:R = + ( Ri R) (n- 1) Ri (cm)R(cm)( Ri R) (cm) ( Ri R) (cm)

1.3101.306250.003750.0000140625

1.3051.306250.001250.0000015625

1.3101.306250.003750.0000140625

1.3101.306250.003750.0000140625

1.3051.306250.001250.0000015625

1.3001.30625-0.006250.0000390625

1.3051.306250.001250.0000015625

1.3101.306250.003750.0000140625

1.3001.30625-0.006250.0000390625

1.3101.306250.003750.0000140625

1.3051.306250.001250.0000015625

1.3051.306250.001250.0000015625

( Ri R) = 0.00015625

Luego:R = + ( Ri R) (n- 1)

R = + 0.00015625 11

R = + 0.00376889 = + 0.0000376889 . (18) PARA r:

Est dado por:r = + ( ri r) (n- 1)

ri (cm)r(cm)( ri r)(cm) ( ri r)(cm)

0.04600.04646-0.000460.000000212

0.04750.04646-0.001040.000001082

0.04650.04646-0.000040.000000002

0.04600.04646-0.000460.000000212

0.04750.04646-0.001040.000001082

0.04600.04646-0.000460.000000212

0.04750.04646-0.001040.000001082

0.04600.04646-0.000460.000000212

0.04600.04646-0.000460.000000212

0.04600.04646-0.000460.000000212

0.04650.04646-0.000040.000000002

0.04601.30625-0.000460.000000212

( ri r)= 0.0000047328

Luego:r= + ( ri r) (n- 1)

r = + 0.0000047328 11

r = + 0.000656 = + 0.0000656 .. (19)

Finalmente reemplazando (18) y (19) en sus respectivos valores en la ecuacin (17) tendremos:

G = + 12NkR2 R + - 16NKR3 r r4 r5

G = + 12(53)(23.02)(1.30625)2 (0.0000376889 ) 2 + -16(53)(23.02)(1.30625)3 (0.0000656 ) 2 (0.04646)4 (0.04646)5

G = + 2.649(103) pa .(20)

Calculo del error absoluto y porcentual del modulo de rigidez (G) del resorte

Error absolutoPor lo tanto: el error absoluto ser: Ea = (3G)/ G Ea = 3(2.983x103 pa)/ (2.33108 pa)Ea = 0.00003411 Error porcentual.Ep = Ea(100)Ep = (0.00003411(100) Ep = 0.003411%

1. CUESTIONARIO:

5.1. Con los datos de la tabla I y la ecuacin (7) de la gua trazar una grafica colocando los cuadrados de lo periodos de oscilaciones (T) en el eje de las coordenadas y las masas (m) en le eje de las abscisas, y partir de ella determinar el valor de le constante elstica del resorte (K), as como la masa efectiva del mismo.

DE LA PARTE DE LOS CLCULOS TENEMOS:

Calculo de la constante elstica del resorte y la masa efectiva

* De la ecuacin numero (7) de la gua tenemos

T = 2 (m + mrf ) K

T = 4 m + 4mrf ........................ (6) K k

* De la ecuacin () tenemos:

T2 = -0.013 + 1.523 m ................... ()

* Haciendo: () = ()

T2 = 4 m + 4mrf = - 0.0362 + 1.7147m K k

4 m = 1.7147 m .................... (7) k

4mrf = - 0.0362 ............................. (8) k

De (7) tenemos: K = 23.023 N/m. ..(9)

Reemplazando (9) en (8) tenemos que:

(4mrf )/k = - 0.0362

mef = 0.027 Kg. (10)

5.2. Con los datos de la tabla II y el valor de K obtenido hallar el modulo de rigidez del resorte (G) utilizando la ecuacin (23), con su respectivo error absoluto y porcentual.

DE LA PARTE DE LOS CLCULOS TENEMOS:El modulo rigidez del resorte (G):

G = 4NKR3 = (4) (53)(23.02)(1.30625) 3 = 2.3346 G pa. r4 (0.04646) 4

El error absoluto: Ea = (3G)/ G Ea = 3(2.983x103 pa)/ (2.33108 pa)Ea = 0.00003411 Error porcentual:Ep = Ea(100)Ep = (0.00003411 (100) ) Ep = 0.003411%

5.3. Que importancia tiene el determinar el modulo de rigidez de algunos materiales?

El modulo de rigidez de un material nos da el grado de inflexibilidad que tienen los materiales es decir el grado de fuerza que puede resistir a determinadas cargas externas que actan sobre ellas; es modulo de rigidez tiene bastante relacin con la constante elstica la cual nos da el grado de elasticidad de un material.

5.4. Cuales son las posibles fuentes de error en la experiencia?

Error en la medicin del resorte; Que puede ser debido al mal uso de los instrumentos de medicin o que podramos haber fallado al observar la regla y determinar la medida.

Error personal; al determinar el tiempo que demora en dar una oscilacin el resorte, pues puede haber dificultad en observar o presionar el cronmetro.

Error de redondeo; originado por la representacin finita de nmeros.

Error casual o accidental; son los que sufren variaciones aleatorias (pequeas), por ejemplo: se puede mover el sistema de trabajo con lo cual se desnivela la instalacin. Error sistemtico; que es l ms tpico por defecto de los instrumentos de observacin y medicin que tienen una precisin limitada.

Un error se puede haber producido en el momento de calcular el momento exacto al soltar la rueda y al pulsar el botn del cronmetro aunque hallan sido milsimas de segundo.

El resorte en algunos caso no esteb muy bien amarrado en el sistema lo que pudo haber influido para calcular un tiempo mas prolongado que de las otras mediciones.

Las vibraciones en el equipo que provocan una vibracin forzada.

VI. CONCLUSIONES:

1. Hemos hallado la constante elstica de un resorte por el mtodo dinmico, o sea mediante la medicin del tiempo y de la masa con los datos obtenido en el experimento el cual nos resulto K=23.02N/m.

2. Hemos calculado el mdulo de rigidez de un hilo de un resorte helicoidal, solo conociendo la constante elstica y el nmero de espiras del resorte y los dimetros de estas mismas el cual nos dio un resultado de 2.3346 G pa.

3. Concluimos que realizamos los clculos de los objetivos planteados al inicio.

VII. RECOMENDACIONES: se recomienda que se organicen bien antes de empezar para que trabaje todo el grupo y todos vean y participen el la realizacin de la prctica.

Se sugiere a todos mis compaeros que antes de empezar la prctica de laboratorio, verifiquen bien los instrumentos que van a ser utilizados, para que de esta manera se cometan menos errores.

No se debe de jugar con los materiales del experimento por que se los puede daar. Seguir las instrucciones de la gua paso a paso para poder obtener resultados convenientes en el experimento.

IX. BIBLIOGRAFIA:

BEER - JONSTHON Mecnica de materiales Edit. Mc. Graw-Hill Colombia 1993

GOLDEMBERG fsica General y Experimental Vol I y II Edit. Interamericana S.A. Mxico 1972

SINGER, F Resistencia de Materiales Edit. Mc. Harla Mxico 1999

TIPLER, P Fsica Vol. I Edit. Reverte. Espaa 1994.