Módulo de Auto Aprendizaje :

Módulo de Auto Aprendizaje:

POTENCIAS Y RAÍCES

Docente de Aula Sr. Bernardo Ortega

Inicio

El módulo de autoaprendizaje que tienes en tus manos, esta orientado para que adquieras un aprendizaje en potencias, raíces desde una perspectiva matemática, propiciándote una base para la comprensión de fenómenos matemáticos, destacando el trabajo individual, la constancia de trabajo, la construcción de un método de trabajo y una discusión que te permitirá obtener conclusiones validas en el ámbito de esta ciencia.

Esta módulo ofrece una red de actividades que realizaras tu. El objetivo es que logres realizar un estudio comprensivo e interactivo, basado en tu propia experiencia, que te impulse a comprometerte con las metas u objetivos a lo largo de este trabajo y a fortalecer tu visión de futuro.

El trabajo aquí entregado esta estructurado según los temas siguientes :

Capitulo 1 Potencias.

Capitulo 2 Raíces.

Contenidos1. Potencias1.1 Potencias1.2 Propiedades de las potencias1.3 Ecuaciones exponenciales

2. Radicación2.1 Raíces2.2 Propiedades de las raíces2.3 Racionalización2.4 Ecuaciones irracionales

Presentación Hola yo soy Ahome y al igual que tu, estoy

empezando en esto de las raíces y potencias .

Te pido un ratito de tu tiempo para que conozcas a mis amigos a quienes les pedí que me ayudaran en este modulo para que

podamos aprender.

Bueno estos son mis amigos que nos ayudaran durante este

modulo.

Yo soy Inuyasha, genio en potencias, yo les

ayudare con los difíciles exponentes

Yo soy Miroku, el mejor en Raíces yo con mi sabiduría y tus ganas de aprender lograre enseñarles el mundo de las

raíces.

Yo soy el ultimo de los amigos de Ahome, soy el mas sabio de los 3 y les voy a enseñar sobre los difíciles logaritmos en el próximo Módulo.

Ahora que te presente a mis amigos podemos ir donde Inuyasha a ver que son las potencias

El poder de la Multiplicación

El inventor del ajedrez, le presento su novedosa creación al rey de Dirham, en la india, este quedo tan fascinado por el juego que le ofreció cualquier cosa que el deseara como recompensa. Ante este ofrecimiento el ingenioso inventor le propuso al rey que le diera simplemente, un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y así sucesivamente duplicando la cantidad del casillero anterior hasta llegar al ultimo. El rey se extraño por la modesta petición del súbdito y mando a que se cumpliera su petición. Horas mas tarde llego el encargado de los graneros afligido diciendo que no se podía cumplir con la petición del inventor... - ¿Adivinas que paso?El encargado le explico a el rey, y le dijo que no había suficiente trigo en los graneros del reino, ni siquiera en los de todo el mundo! El rey quedo atónito y no lo pudo creer,

¿Y como es posible esto?

Para comenzar: Una pequeña historia

Bueno Ahome, esto es muy sencillo, En el primer casillero el número de granos es igual a uno, en el segundo cuadro es

dos, en el tercero cuatro, en el cuarto ocho, y así hasta el 64, este es un procedimiento muy lento si.

¿Y que haríamos para simplificar este procedimiento?

• Para sacar el valor tendríamos que hacer lo siguiente: el primer cuadrado 1x1 en el siguiente 2x1 luego 2x2 , de hay 2x2x2 y así sucesivamente.

• Con potencias el primer numero quedaría como 20 , el segundo como 21, el tercero como 22 y el cuarto como 23 Por que en potencias la base que en este caso es 2 se multiplica tantas veces como el numero de exponente tenga.

¿Ósea que tendríamos que sumar 20+21+22+23..........hasta 263? Si ahome como veras es un numero muy grande, solo como

ejemplo el 263 es igual a 2x2x2x2….x2 63 veces y ese numero me dio 9.223.372.036.854.775.808, lo que no es el total ya que nos falta sumar todos los números anteriores y como veras no

es un numero para nada pequeño.

Definición de potencia

Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”de esta forma: na Al “n” se le llama exponente de la potencia

Al “a” se le llama base de la potencia

Las potencias sirven para expresar la multiplicación de un dato que se repite una cierta cantidad de veces

“a” es el número en cuestión,”n” es la cantidad de veces que se multiplica por si mismo.

Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)

Bueno, ¿entendieron lo que es realmente una potencia?

Yo si, pero parece que mi amigo no mucho

Bueno, lo explicare mas detenidamente. Tomen atención.

Aplicando la definición tenemos:

(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

Calculemos el valor de -34

Observamos que la base de la potencia es 3 ( y no -3) expresándola en forma de producto nos queda:

-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81

Ahora veamos si entendisteCalculemos el valor de (-2)^3

4

4

2 16

2 16

Como conclusión se puede decir que cuando un término que es antecedido por un signo negativo se eleva a un exponente impar el término siempre será el mismo que al inicio, en cambio elevado a un número par se logrará el signo contrario al inicial.

Ahora resuelve tú

Potencias con exponente 1

Es igual a la base de la potencia, es decir:

a1=a ejemplos: 101=10; 31=3Ejercita:1) 71=2) 221=3) 41=4) 61=

Soluciones:1)72)223)44)6

En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma si el exponente es 1.

Potencias con exponente -1

Es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2Ejercita:

___3

25)4

___8)3

___3,2)2

___4

2)1

1

1

1

1

Soluciones:

1) 2

2) 10/23

3) 1/8

4) 3/10

Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y sumamos los exponentes, es decir:

an • am = an+m

Al revés cuando tenemos una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es decir:

an+m = an • am

Multiplicación de potencias de igual base

Ejercicio resuelto

Expresemos en forma de potencias:

Aquí tenemos el producto del término (-1/2) cinco veces (el

término se repite 5 veces).En este caso lo que se hace es sumar

los exponentes de todos los términos, dejando solo un término.

5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Resuelve estos ejercicios para ver como vas ; manejando esta propiedad

3 5

2 3 6

4

2 4 2

) ___

) ___

) 5 5 ___

) ___x y x y

i a a

ii b b b

iii

iv a a

Soluciones:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero

que te haya ido bien.i)a8

ii)b11

iii) 55

iv)a3x+2y

Si acertaste a tres ejercicios, significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que resulto difícil o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento.

División de potencias de igual base

En este caso, mantenemos la base y restamos los exponentes, es decir:

an : am = an-m

Al revés cuando tenemos una base con una resta en el exponente la podemos descomponer, es decir:

an-m = an : am

Ejercicio resuelto

42626 : xxxx

)()()(

)( 232

3

bababa

ba

En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base, se pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso.

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

16

6

6 5

5 4

4 5

1 1

) ____

) ____

2 2) : _____

5 5

) : _____x x

mim

x xiix x

iii

iv m m

Soluciones:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te hayas

tenido éxito en la resolución de la ejercitación propuesta.i) m10

ii) x2

iii) 2/5iv) m2

Si acertaste a 3 ejercicios significa que; ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que fue difícil o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento.

Potencia con exponente 0

Es igual a 1:

a0=1, 00= no existe

Ejemplos: 50=1-40=-1

Ejercita:

1) 30=___ 3)-20=___

2) (1/2)0=___ 4) 10=___

Soluciones:

1)1 3)-1

2)1 4)1

Potencia con exponente negativo

Es la misma propiedad que con exponente “a” elevado a menos uno. Ahora, cuando se invierte la expresión - al ser negativo el exponente - queda el exponente “n”. Veamos el ejemplo.

a-n=1/an ; a≠0 Ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9Ejercitemos:i)-2-2=___ iii)(1/3)-2=___ii)(-2)-2=___ iv) (22/23)-4=___

Soluciones:

i)-1/4 iii)9

ii)1/4 iv)16

Potencia de una potenciaAquí debemos elevar la base a la multiplicación de los exponentes.(am)n = an • m

En el caso contrario si tenemos una base con exponentes multiplicándose se pueden distribuir.an • m = (am)n

Ejercicio resuelto

1. Desarrollemos (a2 : a6)2 =

Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando las propiedades; ya conocidas de potencias, deberíamos llegar a un solo término.

2 2 22 44 12 8

6 12 86 2

1aa aa a

a a aa

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta Propiedad

26 4

6

2 34 2 3 2 5

16 4 2 2

30,25 4

) ___

) 3 2 ___

) 9 ___

) ___

a bi

a

ii a b c a b c

iii x y z

iv a


que te haya ido bien.i) b8

ii) 72a2b19c9

iii) 3x3y2ziv) a3/16

Si acertaste a 3 ejercicios significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que fue difícil o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento.

Potencia de un productoElevamos el producto de las bases al exponente común.an • bn = (ab)n

Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis elevado a un número, los componentes del paréntesis se pueden separar.

(ab)n = an • bn

Ejercicio resuelto

22 2 23 5 3 5 15 225

Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.


3 3

2 2

4 1 4 1

) 8 ___

) 2 ___

) ___

) 8 27 ___

p p

i x a

ii a b q

iii a b

iv


que hayas tenido éxito en la resolución.i) (2ax)3

ii) [2q(a+b)]2

iii) (ab)4p-1

iv) 63

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que fue difícil , resuelve los ejercicios de reforzamiento.

Potencias de 10

100 = 1 104 = 10000101 = 10 105 = 100000102 = 100 106 = 1000000103 = 1000 107 = 10000000

• Se muestra cuando tenemos 10 elevado a un número cualquiera:

Notación científica Se utiliza para expresar grandes cantidades en números más

pequeños. Para poder expresar un numero como notación científica se

debe elegir un numero entre 1 y 10 y luego hacer el producto entre este y una potencia de 10.

Ejemplos: - La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3•105 Km./s- El tamaño de una célula: 0,000008 metros = 8•10-6 metros

Ejercitemos juntos, para aprender esta propiedad

Primero se tiene que dejar lo mas reducido el número que multiplica al 10, no puede ser decimal, ni menos pasarse de 10 unidades, se cuentan las cifra 0, por cada cero será un digito más.

Si es decimal, o sea un número minúsculo, el exponente es negativo y si el número es muy grande, es positivo el exponente.

8

4

108000.000.800

1030003,0


1) 0,0000000065 3)0,000000000001212) 123.000.000 4) 567.000.000.000

Soluciones: 1) 6,5 • 10-9 3) 1,21 •10-12

2) 1,23 • 108 4)5,67 • 1011

Potencia con exponente fraccionario

Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la fracción y luego se construye la raíz de esta, y cuyo índice corresponde a el denominador de la fracción.

nn aa 1

n mn

m

aa • Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver

una raíz la podemos transformar en potencia, colocando el índice como denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en la potencia que se formaría

3

53 5 aa

1

2

1 2

2 4

1 1

3 3

1 1

3 4

1) 25 _____

2) 64 81 _____

3)125 216 _____

4)1728 16 ____

Soluciones:

1)5

2)17

3)-1

4)10


Ecuaciones exponenciales

Aquí se trabaja con los exponentes como los elementos de la ecuación

Lo mas difícil de estas ecuaciones es igualar las bases Una ves igualada las bases se aplica la siguiente

propiedad y terminamos igualando los exponentes:

mnaa mn

Ejemplos:a)32x-5=3x-3

2x-5=x-3 x=2b)4x+3=82x+9

b)(22)x+3=(23)2x+9

2x+6=6x+27

-4x=21x= -4/21

En el ejemplo (b), se igualaron las bases para poder resolver

la ecuación. Una vez realizado este procedimiento, se trabaja de forma normal;

como una ecuación de primer grado.

2 5

2( 4)

) 9 81

) 3 1

x

x

i

ii

2 3) 256 4 4

1

)128 1

x xiii

xiv

Soluciones:

i) x=7/2 iii) x=-1

ii) x=4 iv) x=0/1= no solución en los reales

Resuelve estos ejercicios para ver los avances en tu aprendizaje.

2

2

3

1

3

6

3

2 ___

3 ___

( 2) ___

10 ___

( 1,1) ___

3___

4

11 ___

4

0 1 2 3

1 1

1 2 3

2 2

301 2

012

1 2 3

2 2 2 2 ___

(12) ( 12) ___

1 2 2 2 ___

(0,02) (0,02) ___

4 13 ___

5 2

311 ___

5

2 5 2___

5 2 5

Ejercicios de Reforzamientos :

Problema de profundización:

Alfredo recibe una carta pidiéndole que participe en una “cadena”, enviándole copia de la misma carta a 3 otras personas, cada una de las cuales debe enviarle un cheque por $1000 a vuelta del correo. Él, a su vez, debe enviar $1000 al remitente de la carta que recibió. Si cada persona que recibe una carta de esta “cadena” procede como indicado, todos harán beneficios. ¿dónde esta la trampa?Descúbrelo a través de tus conocimientos adquiridos.

Raíces

Índice de la raíz Radical y operador

Cantidad subradical o radicando

Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:

n a

nn aa1

En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican

(eliminan) con las raíces y viceversa

¿Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulo de raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahora como es esto?

Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos los cuales son:

Propiedades de las raíces

Raíz de una potencia con exponente igual al índice. Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el

radicando, que esta dentro de la raíz, se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma:

11

)( aaaa n

n

nnn n

Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las raíces, veamos la primera:

Al elevar a ”n “ la raíz n-esima de a estamos, simplificando el

proceso anterior..

Veamos unos ejemplos:

5

2

5

2

5

2

5

2

7777

5555

15

5

5

5

1

13

33 3

12

22

xxxx p

pp p

Aplicando la propiedad, vemos que el índice y el exponente del radicando se deja en forma de potencia, por lo tanto igual numerador y denominador dan como resultado 1, así se dice que se simplifico o elimino la raíz y se convierte en una simple base elevado a 1 lo que da como resultado la misma base, como vemos en los ejemplos. Es más simple ver los ejemplos.

Ahora te toca trabajar a ti:

2

44

3 3

5 5

. 6

. 59

. 23

. 48

i

ii

iii

iv

Raíz de un producto:

nnn baba

nnn baba

Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen

el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como se muestra a continuación.

Así también podemos hacer el proceso inverso, donde el producto de dos raíces de igual índice que

puede agrupar en una sola raíz

6216278278

10100254254

306521612521612527000

632811681161296

3333

3333

4444

Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raíz en dos productos de raíces y resolviéndolas por separado, luego se multiplica y se obtiene el resultado correspondiente:

3 3 3

3 7 64 4 4

1. 3 12

2. 3 2 6

3. 2 4 8

4. 5 5 25

a a

x x x

p p p

Ejercitando y demostrando lo aprendido:

Soluciones:Presentamos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero

que hayas tenido éxito en la resolución.1) 62) 6a3) 4x4) 5p4

Si acertaste 3 ejercicios significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que fue difícil o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento.

De la raíz de una fracción o división se puede separar en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.

n

n

n

b

a

b

a

nn

n

b

a

b

a

* Ahora se puede invertir la situación donde se une el numerador con raíz y el denominador con raíz , siempre y cuando tengan el mismo índice, como se muestra a continuación:

Raíz de un cuociente:

** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a raíz de un producto

24111

444111:444

132

262:26

5255

1255:125

62

182:18

33

a

aaa

a

aaa

Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor:

Para resolver algunos ejercicios no solo debemos dividir, sino también aplicar propiedades de las potencias .

Vamos que se puede ¡¡¡ Demostrando lo Aprendido

3

3

4

2401) ______

60

2162) ______

8

40963) ______

16

6004) ______

6

Si tienes alguna duda no vaciles en repasar la materia.!!!!

Soluciones:Presentamos a continuación las soluciones de los

ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) 22) 33) 24) 10

Si acertaste a 3 ejercicios significa que; ya tienes las nociones de esta propiedad claras.

mnn m aa

* Bueno aquí simplemente se multiplican los índices y se deja al final una sola raíz con índice igual al producto de los índices. Como se puede ver:

¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz?

Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando, ¿o no?:

1111

3531441531441531441

222

333

12433 4

422

aaa

abbaa b xxx

Seguir

____729 .4

____81 .3

____1 .2

____64 .1

4

5 4 3

4

Sigue multiplicando tu los índices y resuelve los ejercicios siguientes:

Soluciones:Presentamos a continuación las soluciones de los

ejercicios anteriores, espero que hayas tenido éxito en la resolución.

1) 22) 13) 34) 13

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara.

Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice como el exponente de la cantidad subradical, por un término o número en particular. Ejemplo:

pn pn aa 1

yn yxn x aa: :

Pasemos a amplificación y simplificación del índice de una raíz:

Ejercicios resueltos:

66 232•3 213•2 3•13

5:10 5:510 5

432434343

5252525

* • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver mas fácilmente, así queda como resultado 5• En el segundo se debe amplificar para igualar

denominadores, ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se puede resolver como cualquier otro problema.

Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificación y simplificación de raíces.

6 2

32

15 5

43

1) 7 _____

2) 5 _____

3) 4 _____

4) _____p

Soluciones:

Presentamos las soluciones de los ejercicios anteriores, esperamos que hayas tenido éxito en la resolución.

Si acertaste a 3 ejercicios esto significa que ya tienes las nociones de esta propiedad claras.

3

3

3

.4

4 .3

55 .2

7 .1

pp

Factor de una raíz

• En palabras simples es pasar un número que multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro multiplicándolo por los otros términos dentro de ella.

Se da de la siguiente forma:n nn abba

** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:

212212288 2

Resolvamos:

33 33

2

2

2525250

982727

525220

* Se puede ver dos posibilidades:• simplificar una raíz, dejándola como una expresión más sencilla• O realizar una raíz, juntando términos, pero de esta forma queda una raíz muy compleja.

Racionalización de denominadores:• El propósito es dejar los denominadores sin expresiones

con raíces para poder trabajar más fácilmente. De otra forma, consiste en eliminar los radicales de los denominadores.

3 3 3 32 2 2 2

3 3 3 32 2 33

3 3 2 3 2 3 2)

22 2 2 4

3 3 2 3 2 3 2 3 2)

22 2 2 2 2 2

i

ii

• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.

• Se presentan los ejemplos siguientes:

3

25

25

25

2525

251

25

122

3

25

25

25

2525

251

25

122

Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:

2233

2233

babababa

babababa

5

2632

263

263

23

2

23

2 3 23 2

3 23 2

3 23 2

3333

Hay otros tipos mas de racionalización que son mucho mas específicos pero nos vamos a centrar en lo esencial.

• Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan dos términos para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una suma por diferencia simple:

4

102325

100410810816

102325

1024104

10223253

1024

3253

1024

3253

102325

3253

325

325

325325

3253

325

322

Luego de resolver el trinomio, resolvemos el binomio resultante igual que si fuera suma por diferencia, y así se elimina términos con raíces en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4.

Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:

_____9

13)

_____52

3)2

_____2

2)1

3

Soluciones

9

81 .3

52- .2

2 .1

3

Presentamos a continuación las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que hayas tenido éxito en la resolución.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

2

2 2

2 1 2 7 / -2

2x - 1 = 5 / ()

2x - 1 5

2x 1 = 25 / +1

2x = 26 / : 2

x = 13

x

23

3

33

6 3 3 3 / ( )

6 + 3x+3 9 / - 6

3x+3 3 / ( )

3x + 3 = 27 / - 3

3x = 24 / : 3

x

x = 8

son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical, para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de la raíz, para eliminarla:

Ejemplos:

Ecuaciones irracionales:

Demostrando lo aprendido

2. 3 5x

1. 1 3x x

3. ( 3) 5x x x

24. 4 3 2x x

Soluciones:En esta sección tenemos las soluciones de los ejercicios

anteriores, espero que haya tenido éxito en la resolución.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara.

2

3 x.4

13

25 x.3

28 x.2

2 x5 .1 21

x

Control: Demostrando lo Aprendido

3

1

3

1

0,027 + 64

3

1

2

1

8 + 4

277 + 642 3

6 36 23 4 + 8 + 8

487a b

a 24n n nncb

5

3

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