Slide 1

MODUL VI : PENERAPAN INTEGRALPERSAMAAN DIFERENSIALPersamaan diferensial adalah persamaan yang memuat sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari suatu fungsi yang tidak diketahui. Contoh

Persamaan diferensial orde satu variabel terpisahPersamaan diferensial linier orde duaPD orde satu variabel terpisah

atauf(x)dx + g(y) dy = 0

atauContoh penerapanHukum Pendinginan NewtonHukum Newton menyatakan bahwa laju perubahan laju pendinginan suhu benda sebanding dengan selisih suhu antara benda dan medium yang mengelilinginya. Andaikan t adalah waktu t setelah benda mulai mendingin. Jika T(t) adalah suhu benda pada saat t, Tm suhu medium yang mengelilinginya, dT/dt laju perubahan suhu pada saat t, dan k faktor pembanding maka,

Rangkaian Listrik R-LPada rangkaian seri menyatakan bahwa hubungan antara hambatan R ohm dan induktansi L henry dengan sebuah sumber arus listrik konstan yang tegangannya V volt. Andaikan i(t) menyatakan arus listrik dalam ampere yang mengalir pada rangkaian setelah waktu t, dan t menyatakan waktu dalam detik sejak rangkaian ditutup. Menurut hukum Kircoff, diperoleh :

PENERAPAN INTEGRAL TENTULuas Bidang DatarMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x pada [a,b] seperti pada gambar Ry=f(x)f(xi)xix=ax=bAi=f(xi) xi, a xi bLuas empat persegi panjang

Contoh 1 Hitunglah luas daerah R, yang terletak dibawah kurva f(x) = 4x2 x3, sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 3.Jawab

x=1x=3f(xi)xyf(x) = 4x2 x3Ai=(4xi2 xi3)xi, 1 xi 3

4

f(x)=x3 2x2 8x Contoh :A(R1)A(R2)2 0 4 Luas diantara dua kurvaMisalkan daerah R dibatasi oleh dua kurva y=f(x), y=g(x) pada [a,b] seperti pada gambar f(x)-g(x)xiRy=f(x)y=g(x)xyx=ax=bLuas empat persegi panjang : Ai=[f(xi) g(xi)] xi, a xi b

Prosedur Menghitung Luas DaerahLangkah-langkah untuk menghitung luas daerah dengan integral tertentu Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, beserta batas-batasnya.Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu.Hampiri luas suatu jalur tertentu langkah 2 dengan luas empat persegi panjang.Jumlahkan luas aproksimasi dari langkah 3.Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu.

Contoh 2 Hitunglah luas daerah R, terletak y = 4x2 x3, dan x+y = 4.Jawab :Sketsa grafik R lihat gambar berikutR2R1g(x)=4-xf(x) = 4x2 x3x=-1x=1x=4xyA2A1Titik potong kedua kurva diperoleh : 4-x = 4x2 -x3X3-4x2 x + 4 = 0, x1=-1,x2=1,x3=4Menghitung A(R)A1 = [g(xi)-f(xi)]xi = [(4-xi)-(4xi2 xi3)]xi, -1xi 1

A2 = [f(xi)-g(xi)]xi = [(4xi2 xi3)-(4-xi)]xi, 1xi 4

f(x)=x3 2x2 8x g(x)=3x 12 3 2 0 1 4 A(R1) A(R2)Contoh :Fungsi Densitas :

Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi densitas (probabilitas), jika hanya jika f(x) memenuhi sifat-sifat berikut ini :

f(x) 0

Mean dan variannya diberikan oleh :

Soal 1Suatu fungsi densitas (kepadatan) didefinisikan oleh (i) f(x) = k x (2 x)4, 0 x 2 (ii) f(x) = kxa(8 x3) 0 x 2(III) f(x) = kxb(4 x2), 0 x 2 Hitunglah nilai kBerapa, P(x>1)Hitunglah E(x) dan varian

Soal 2Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva, berikut dengan sumbu x f(x)=(x+a)(x 1)(x a 1)f(x) = (x2 1 )(x a 1)

TUGAS LUAS BIDANG DATARSoal 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut ini:(a). y = a (x 4)2, dan x + y = (a + 2), (b).y = x2, x + y = 2, dan x=y3.(c). y = x2, y = 8 x2, dan 4xy+12 = 0.

Soal 4. Hitunglah luas segitiga dimana titik-titik sudutnya adalah :(a). (1,2), (7,4), dan (-1,8)(b). (2,1), (6,5), dan (0,8)

Soal 5. Hitunglah luas segiempat dimana koordinat titiktitik sudutnya adalah (a). (1,1), (4,2), (2, 6) dan (2,7)(b). (2,1), (5,3), (2,7) dan (1,9)Volume Benda Pejal, Metode SilinderPerhatikanlah sketsa silinder berikut inirhV=r2hr1r2h

Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b. y=f(x)yf(xi)xix=ax=bxRr=f(xi)h=xiJika R diputar terhadap sumbu x dihasilkan benda pejal. Elemen volume V = r2h =[f(xi)]2xi, axibJadi :

Contoh 3 :Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, jika diputar tehadap sb xJawab

h=xir=f(xi)xyx=3x=1y=1+(x-1)2V = r2h =[1+(x-1)2]2xi, 1xi3

Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, garis y=5, dari x=1 sd x=3, jika diputar terhadap garis y=5Jawab

xy=5r=5-f(xi)y=1+(x-1)2x=1x=3RRV = r2h =[4-(x-1)2]2xi, 1xi3

Metode Cincin, SilinderMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu x, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, dimana bagian tengahnya lubang. Metode demikian disebut metode cincin xiy=f(x)y=g(x)x=ax=bRf(x)-g(x)xyr1=g(x)r2=f(x)yh=xiDengan metode silinder :V=[r22 r12]h = [f(xi)2g(xi)2]xi,axib

Contoh 4Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu x, garis y=6, y=1Jawab :Kasus 1. Sumbu putar sumbu x

y=f(x)=6-xy=g(x)=(x-3)2+1r1=g(x)r2=f(x)h=xixKarena, A SP . dengan metode silinder :V=[r22 r12]h = [f(x)2g(x)2]x,1x4 = [(6-x)2(1+(x-3)2)2]x,1x4Jadi,

Ra=1b=4

Kasus 2 : Sumbu putar garis y = 6

r1=6-f(x)r2=6-g(x)y=6y=f(x)=6-xy=g(x)=(x-3)2+1Ra=1b=4xyh=xiKarena, A SP, Dengan metode silinder :V=[r22 r12]h = {[6-g(x)]2[6-f(x)]2}x,1xi4 = {[6(1+(x-3)2)]2-[6-(6-x)]2}x, = {[5(x-3)2]2- x2}x, 1x4Jadi,

Kasus 3 : Sumbu putar garis y = 1y=1xyy=g(x)=(x-3)2+1y=f(x)=6-xr1=g(x)-1r2=f(x)-1Rh=xia=1b=4Karena, A SP, maka dengan metode silinder :V=[r22 r12]h = {[f(x)-1]2 [g(x)-1]2}x,1x4 = {[(6x)-1]2 [(1+(x-3)2)-1]2}x, = {[5x]2 (x-3)4}x, 1x4Jadi,

Metode Sel SilinderPerhatikanlah sel silinder berikut inir2rr1r1 : jari-jari dalamr2 : jari-jari luarr : jari-jari rata-ratah : tinggi silinderh

Volume sel silinder adalah :V = r22h r12 h = [r22 r12 ] h = (r2 + r1)(r2 r1)hJika diambil

r = r2 r1Dihasilkan rumus

V = 2 r h r

Volume benda pejal, Metode Sel SilinderAndaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b. x=bx=aRy=f(x)r=xir=xh=f(x)Jika R diputar terhadap sumbu y dihasilkan benda pejal. Elemen volume V = 2rhr = 2x f(x)x, axbJadi :

Contoh 5 :Hitung volume benda pejal jika R dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, diputar terhadap yJawab r=xh=f(x)r=xiRx=1x=3V = 2rhr = 2 x f(x) x =2 x[1+(x-1)2]x, 1x3Jadi,

Metode Sel Silinder LanjutanMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, berbentuk sel silinder. Metode demikian disebut metode sel silinder xiy=f(x)y=g(x)x=ax=bRh=f(x)-g(x)xyh=f(x)-g(x)r=xyr=xDengan metode sel silinder :V= 2 r h r = 2 x[f(x)g(x)]x, axb

xContoh 4Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu y, garis x=1, dan x=4Jawab :Kasus 1. Sumbu putar sumbu yKarena A // SP, maka dengan metode sel silinder :V= 2 r h r = 2 x [f(x)g(x)]x,1x4 = 2 x [(6-x)(1+(x-3)2)]x,1x4Jadi,

r=xy=6-xy=(x-3)2+1Rx=1x=4xyh=f(x)-g(x)r=xi

Kasus 2 : Sumbu putar garis x=1y=6-x1xr=x-1h=f(x)-g(x)y=(x-3)2+1r=xiDengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (x-1)[(6-x) (1+(x-3)2]x, Jadi,

x=1x=4

Kasus 3 : Sumbu putar garis x=4h=f(x)-g(x)r=4-xxRr=xiy=6-xy=(x-3)2+1x=1x=4Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (4 - x)[(6-x) (1+(x-3)2] x Jadi,

Prosedur Menghitung Volume Banda PejalLangkah-langkah untuk menghitung volume benda pejal dengan integral tertentu adalah sebagai berikut :Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, tentukan fungsi f(x) dan g(x) beserta batas-batasnya (batas integral).Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu (luas empat persegi panjang), dan buatlah sumbu putarnya yang tidak memotong daerah R.Hampiri volume benda pejalnya dengan pendekatan : (a) Volume silinder, V = r2h jika A tegak lurus dengan sumbu putar(b) Volume sel slilinder, V = 2rh r, jika A sejajar dengan sumbu putar.Jumlahkan volume silinder aproksimasi dari langkah 3.Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu, atau hitunglah volume benda pejalnya dengan integral tentu.Momen dan Pusat MassaMisalkan sepotong lamina homogen dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) g(x) garis x = a, dan garis x = b. Andaikan bahwa kerapatan lamina adalah , y=f(x)y=g(x)x=ax=bRyx

xixiAndaikanlah,

pusat masaa lamina

dimana,My : moment terhadap sumbu yMx : moment terhadap sumbu x m : massa lamina

Contoh 5Hitung pusat massa daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Jika kerapatannya adalah konstan k Jawab :

y=f(x)y=g(x)y=6-xxiy=(x-3)2+1xix=1x=4

Jadi,

Teorema PappusJika sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar terhadap sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, maka volume benda putar yang dibentuk oleh R sama dengan luas daerah R dikalikan dengan keliling yang ditempuh oleh titik pusat R ituBilamana daerah diputar terhadap sebuah sumbu putar yang tidak terletak pada daerah R, maka volume benda putarnya diberikan oleh,

V = 2 r A

dimana r adalah jari-jari lingkaran yakni panjang jarak tegak lurus dari titik pusat massa ke sumbu putar, dan A adalah luas daerah R, lamina.Tugas Khusus Volume Benda Putar

Soal 1. Perhatikanlah daerah R dibatasi oleh, y = (b 5) + (x a + 4)2 dan garis lurus yang menghubungkan titik (a5, b4) dan (a2,b 1). Hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :(a). Garis y = b 6, y=b+5 (b). Garis x = a +1 , x=a 6

Soal 2. Suatu daerah R dibatasi oleh kurva, y = a (x b)2, dan x + y = (a + b 2), hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :a. garis y = a+1, y=a - 5 b. garis x = b + 3, x=b 3 Soal 3. Daerah R adalah sebuah segitiga dimana titik-titik ujungnya adalah (a,b), (2a,2b), dan (a,2a+2b). Dengan integral tentu hitunglah,a. Volume benda putarnya jika R diputar terhadap garis y = bb. Volume benda putarnya jika R diputar terdadap garis x = aSoal 5.Tugas Massa dan Pusat MassaUntuk soal nomor 1,2 dan 4 hitunglah pusat massa dengan asumsi kerapatan konstanHitunglah volume yang ditanyakan dengan metode teorema pappus.

Soal 4Perhatikanlah gambar daerah berikut iniHitunglah volume benda putarnya jika daerah R diputar terhadap :(a). Garis, y=b-5, (b). Garis, y= b+1(c). Garis, x=a 3(d). Garis, x = a + 2Gambar Soal No. 4