MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL

PERSAMAAN DIFERENSIALPersamaan diferensial adalah persamaan yang memuat sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari suatu fungsi yang tidak diketahui.

Contoh

x4cosx2dxdy

3yy2

x31dxdy

2x4dx

yd 22

2

Persamaan diferensial orde satu variabel terpisah

Persamaan diferensial linier orde dua

PD orde satu variabel terpisah

)y(g)x(f

dxdy

atauf(x)dx + g(y) dy = 0

dx)x(fdy)y(g

cdy)y(gdx)x(f

atau

Contoh penerapan

Hukum Pendinginan NewtonHukum Newton menyatakan bahwa laju perubahan laju pendinginan suhu benda sebanding dengan selisih suhu antara benda dan medium yang mengelilinginya. Andaikan t adalah waktu t setelah benda mulai mendingin. Jika T(t) adalah suhu benda pada saat t, Tm suhu medium yang mengelilinginya, dT/dt laju perubahan suhu pada saat t, dan k faktor pembanding maka,

)TT(kdtdT

m

Rangkaian Listrik R-LPada rangkaian seri menyatakan bahwa hubungan antara hambatan R ohm dan induktansi L henry dengan sebuah sumber arus listrik konstan yang tegangannya V volt. Andaikan i(t) menyatakan arus listrik dalam ampere yang mengalir pada rangkaian setelah waktu t, dan t menyatakan waktu dalam detik sejak rangkaian ditutup. Menurut hukum Kircoff, diperoleh :

VRidtdiL

PENERAPAN INTEGRAL TENTULuas Bidang DatarMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x pada [a,b] seperti pada gambar

R

y=f(x)

f(xi)

xix=a x=b

Ai=f(xi) xi, a xi bLuas empat persegi panjang

b

adx)x(f)R(A

Contoh 1 Hitunglah luas daerah R, yang terletak dibawah kurva f(x) = 4x2 – x3, sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 3.Jawab

x=1 x=3

f(xi)

x

yf(x) = 4x2 – x3

Ai=(4xi2 – xi3)xi, 1 xi 3

344dx)xx4()R(A

3

132

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

f(x)=x3 – 2x2 – 8x

Contoh :

A(R1)

A(R2)

–2 0 4

Luas diantara dua kurvaMisalkan daerah R dibatasi oleh dua kurva y=f(x), y=g(x) pada [a,b] seperti pada gambar

f(x)-g(x)

xiR

y=f(x)

y=g(x)

x

y

x=a x=b

Luas empat persegi panjang : Ai=[f(xi) – g(xi)] xi, a xi b

b

adx)]x(g)x(f[)R(A

Prosedur Menghitung Luas DaerahLangkah-langkah untuk menghitung luas daerah dengan integral tertentu (1)Buatlah gambar daerah R yang

bersangkutan, beserta batas-batasnya.

(2)Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu.

(3)Hampiri luas suatu jalur tertentu langkah 2 dengan luas empat persegi panjang.

(4)Jumlahkan luas aproksimasi dari langkah 3.

(5)Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu.

Contoh 2 Hitunglah luas daerah R, terletak y = 4x2 – x3, dan x+y = 4.Jawab :Sketsa grafik R lihat gambar berikut

R2

R1

g(x)=4-x

f(x) = 4x2 – x3

x=-1 x=1 x=4x

y

A2

A1

Titik potong kedua kurva diperoleh : 4-x = 4x2 -x3

X3-4x2 – x + 4 = 0, x1=-1,x2=1,x3=4

Menghitung A(R)

A1 = [g(xi)-f(xi)]xi

= [(4-xi)-(4xi2 – xi

3)]xi, -1xi 1

1

132

1 dx)]xx4()x4[()R(A

316

4x

3x4

2xx4

1

1

432

A2 = [f(xi)-g(xi)]xi

= [(4xi2 – xi

3)-(4-xi)]xi, 1xi 4

4

132

2 dx)]x4()xx4[()R(A

463

4x

3x4

2xx4

4

1

432

12253

463

316)R(A

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

f(x)=x3 – 2x2 – 8x

g(x)=3x – 12

–3 –2 0 1 4

A(R1) A(R2)

Contoh :

Fungsi Densitas :Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi densitas (probabilitas), jika hanya jika f(x) memenuhi sifat-sifat berikut ini :

(1) f(x) 0

dx)x(f)bxa(P)3(

1dx)x(f)2(

ba

Mean dan variannya diberikan oleh :

2222 )]x(E[)x(E)x(E

dx)x(xf)x(E

Soal 1Suatu fungsi densitas (kepadatan) didefinisikan oleh (i) f(x) = k x (2 – x)4, 0 x 2 (ii) f(x) = kxa(8 – x3) 0 x 2(III) f(x) = kxb(4 – x2), 0 x 2 (a) Hitunglah nilai k(b) Berapa, P(x>1)(c) Hitunglah E(x) dan varian

Soal 2Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva, berikut dengan sumbu x (d) f(x)=(x+a)(x – 1)(x – a – 1)(e) f(x) = (x2 – 1 )(x – a – 1)

TUGAS LUAS BIDANG DATARSoal 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi

oleh kurva berikut ini:(a). y = a – (x – 4)2, dan x + y = (a + 2), (b). y = x2, x + y = 2, dan x=y3.(c). y = x2, y = 8 – x2, dan 4x–y+12 = 0.

Soal 4. Hitunglah luas segitiga dimana titik-titik sudutnya adalah :

(a). (1,2), (7,4), dan (-1,8)(b). (2,1), (6,5), dan (0,8)

Soal 5. Hitunglah luas segiempat dimana koordinat titiktitik sudutnya adalah

(a). (1,1), (4,2), (–2, 6) dan (2,7)(b). (2,1), (5,3), (–2,7) dan (1,9)

Volume Benda Pejal, Metode SilinderPerhatikanlah sketsa silinder berikut ini

r

h V=r2h

r1 r2

h

hrrV 21

22

Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b.

y=f(x)y

f(xi)

xi

x=a x=bx

Rr=f(xi)

h=xi

Jika R diputar terhadap sumbu x dihasilkan benda pejal. Elemen volume V = r2h =[f(xi)]2xi, axibJadi :

b

a2dx)]x(f[V

Contoh 3 :Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, jika diputar tehadap sb xJawab

h=xi

r=f(xi)x

y

x=3

x=1

y=1+(x-1)2

V = r2h =[1+(x-1)2]2xi, 1xi3

15206])1(1[31

22 dxxV

Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, garis y=5, dari x=1 sd x=3, jika diputar terhadap garis y=5Jawab

x

y=5

r=5-f(xi)

y=1+(x-1)2

x=1x=3

R

R

V = r2h =[4-(x-1)2]2xi, 1xi3

15256])1(4[31

22 dxxV

Metode Cincin, SilinderMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu x, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, dimana bagian tengahnya lubang. Metode demikian disebut metode cincin

xi y=f(x)

y=g(x)

x=a x=b

R f(x)-g(x)

x

y

r1=g(x)

r2=f(x)

y

h=xi

Dengan metode silinder :V=[r2

2 – r12]h

= [f(xi)2–g(xi)2]xi,axibdx])x(g)x(f[V 2b

a2

Contoh 4Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu x, garis y=6, y=1Jawab :Kasus 1. Sumbu putar sumbu x

y=f(x)=6-x

y=g(x)=(x-3)2+1

r1=g(x)

r2=f(x)

h=xi

x

Karena, A SP . dengan metode silinder :V=[r2

2 – r12]h

= [f(x)2–g(x)2]x,1x4 = [(6-x)2–(1+(x-3)2)2]x,1x4Jadi,

dx }])3x(1[)x6{(V4

1222

R

a=1 b=4

4

1

533

41

422

5)3x(

3)3x(2x

3)x6(

dx})3x()3x(21)x6{(

5

117V

Kasus 2 : Sumbu putar garis y = 6

r1=6-f(x)r2=6-g(x)

y=6

y=f(x)=6-x

y=g(x)=(x-3)2+1

R

a=1 b=4x

y

h=xi

Karena, A SP, Dengan metode silinder :V=[r2

2 – r12]h

= {[6-g(x)]2–[6-f(x)]2}x,1xi4 = {[6–(1+(x-3)2)]2-[6-(6-x)]2}x, = {[5–(x-3)2]2- x2}x, 1x4Jadi,

5153

3x

5)3x(

3)3x(10x25

dx}x)3x()3x(1025{

dx}x])3x(5{[V

4

1

353

41

242

41

222

Kasus 3 : Sumbu putar garis y = 1

y=1

x

y

y=g(x)=(x-3)2+1

y=f(x)=6-x

r1=g(x)-1

r2=f(x)-1

R

h=xi

a=1 b=4

Karena, A SP, maka dengan metode silinder :V=[r2

2 – r12]h

= {[f(x)-1]2– [g(x)-1]2}x,1x4 = {[(6–x)-1]2 – [(1+(x-3)2)-1]2}x, = {[5–x]2 – (x-3)4}x, 1x4Jadi,

572

5)3x(

3)x5(

dx})3x()x5{(V

4

1

53

41

42

Metode Sel SilinderPerhatikanlah sel silinder berikut ini

r2

r

r1

r1 : jari-jari dalamr2 : jari-jari luarr : jari-jari rata-ratah : tinggi silinder

h h)rr(2

rr2 1212

Volume sel silinder adalah :V = r2

2h – r12 h

= [r22 – r1

2 ] h

= (r2 + r1)(r2 – r1)h

Jika diambil 2

rrr 12

r = r2 – r1

Dihasilkan rumus

V = 2 r h r

Volume benda pejal, Metode Sel SilinderAndaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b.

x=bx=a

R y=f(x)

r=xi

r=x h=f(x)

Jika R diputar terhadap sumbu y dihasilkan benda pejal. Elemen volume V = 2rhr = 2x f(x)x, axbJadi :

b

adx)x(xf2V

Contoh 5 :Hitung volume benda pejal jika R dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, diputar terhadap yJawab

r=xh=f(x)

r=xi

R

x=1 x=3

V = 2rhr = 2 x f(x) x =2 x[1+(x-1)2]x, 1x3Jadi,

364dx))1x(1(x2V

3

12

Metode Sel Silinder LanjutanMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, berbentuk sel silinder. Metode demikian disebut metode sel silinder

xi y=f(x)

y=g(x)

x=a x=b

R h=f(x)-g(x)

x

y

h=f(x)-g(x)r=x

yr=x

Dengan metode sel silinder :V= 2 r h r = 2 x[f(x)–g(x)]x, axb

dx)]x(g)x(f[x2Vb

a

x

Contoh 4Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu y, garis x=1, dan x=4Jawab :Kasus 1. Sumbu putar sumbu y

Karena A // SP, maka dengan metode sel silinder :V= 2 r h r = 2 x [f(x)–g(x)]x,1x4 = 2 x [(6-x)–(1+(x-3)2)]x,1x4Jadi,

dx })3x()x5{(x2V4

12

4

1

4332

4

1322

4)3x(

3)3x(3

3x

2x52

dx})3x()3x(3xx5{2

2

45V

r=x

y=6-x

y=(x-3)2+1

R

x=1 x=4

x

y

h=f(x)-g(x)

r=xi

Kasus 2 : Sumbu putar garis x=1

y=6-x

1

xr=x-1

h=f(x)-g(x)

y=(x-3)2+1

r=xi

Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (x-1)[(6-x) – (1+(x-3)2]x, Jadi,

)2/27(

dx })3x(x5){1x(2V4

12

x=1 x=4

Kasus 3 : Sumbu putar garis x=4

h=f(x)-g(x)

r=4-xx

Rr=xi

y=6-x

y=(x-3)2+1

x=1 x=4Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (4 - x)[(6-x) – (1+(x-3)2] x Jadi,

)2/27(

dx })3x(x5){x4(2V4

12

Prosedur Menghitung Volume Banda PejalLangkah-langkah untuk menghitung volume benda pejal dengan integral tertentu adalah sebagai berikut :

(1)Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, tentukan fungsi f(x) dan g(x) beserta batas-batasnya (batas integral).

(2)Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu (luas empat persegi panjang), dan buatlah sumbu putarnya yang tidak memotong daerah R.

(3)Hampiri volume benda pejalnya dengan pendekatan :

(a) Volume silinder, V = r2h jika A tegak lurus dengan sumbu putar(b) Volume sel slilinder, V = 2rh r, jika A sejajar dengan sumbu putar.

(4)Jumlahkan volume silinder aproksimasi dari langkah 3.(5)Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu, atau

hitunglah volume benda pejalnya dengan integral tentu.

Momen dan Pusat MassaMisalkan sepotong lamina homogen dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) g(x) garis x = a, dan garis x = b. Andaikan bahwa kerapatan lamina adalah ,

y=f(x)

y=g(x)

x=a x=b

R

y

x

2)xi(g)xi(f

xi

xi

Andaikanlah, )y,x( pusat masaa lamina

m

My dan ,m

Mx xy

dimana,

My : moment terhadap sumbu yMx : moment terhadap sumbu x m : massa lamina

b

adx)]x(g)x(f[m

ba

22x

bay

dx])x(g)x(f[2

M

dx)]x(g)x(f[xM

Contoh 5Hitung pusat massa daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Jika kerapatannya adalah konstan k Jawab :

y=f(x)

y=g(x)

y=6-x

xi

y=(x-3)2+1

xi

x=1 x=4

k29

3)3x(

2)x5(k

dx)])3x(1()x6[(km

4

1

32

4

12

k4

45

dx)])3x(1()x6[(xkM4

12

y

k

dxxxkMx

10117

]))3(1()6[(2

4

1222

Jadi,25

k)2/9(k)4/45(

mM

x y

513

)2/9()10/117(

k

km

My x

Teorema PappusJika sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar terhadap sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, maka volume benda putar yang dibentuk oleh R sama dengan luas daerah R dikalikan dengan keliling yang ditempuh oleh titik pusat R itu

Bilamana daerah diputar terhadap sebuah sumbu putar yang tidak terletak pada daerah R, maka volume benda putarnya diberikan oleh,

V = 2 r A

dimana r adalah jari-jari lingkaran yakni panjang jarak tegak lurus dari titik pusat massa ke sumbu putar, dan A adalah luas daerah R, lamina.

Tugas Khusus Volume Benda Putar

Soal 1. Perhatikanlah daerah R dibatasi oleh, y = (b – 5) + (x – a + 4)2 dan garis lurus yang menghubungkan titik (a–5, b–4) dan (a–2,b –1). Hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :(a). Garis y = b – 6, y=b+5 (b). Garis x = a +1 , x=a – 6

Soal 2. Suatu daerah R dibatasi oleh kurva, y = a – (x – b)2, dan x + y = (a + b – 2), hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :a. garis y = a+1, y=a - 5 b. garis x = b + 3, x=b – 3  Soal 3. Daerah R adalah sebuah segitiga dimana titik-titik ujungnya adalah (a,b), (2a,2b), dan (a,2a+2b). Dengan integral tentu hitunglah,a. Volume benda putarnya jika R diputar terhadap garis y = bb. Volume benda putarnya jika R diputar terdadap garis x = a

Soal 5.Tugas Massa dan Pusat Massaa. Untuk soal nomor 1,2 dan 4

hitunglah pusat massa dengan asumsi kerapatan konstan

b. Hitunglah volume yang ditanyakan dengan metode teorema pappus.

Soal 4Perhatikanlah gambar daerah berikut iniHitunglah volume benda putarnya jika daerah R diputar terhadap :(a). Garis, y=b-5, (b). Garis, y= b+1(c). Garis, x=a – 3(d). Garis, x = a + 2

Gambar Soal No. 4