modul matriks AVM

ModulAljabarLinearElementer

Kata Pengantar

Puji syukur atas kehadirat Alloh SWT untuk semua rizki kesehatan dan kemudahan dimana modul perkuliahan Aljabar Linear Elementer ini dapat selesai disajikan untuk melengkapi rangkaian proses kegiatan belajar mengajar (KBM) yang akan diterapkan di kelas sesuai perencanaan dalam RPKPS yang kami buat. Modul ini berisikan garis besar perkuliahan Aljabar Linear Elementer sehingga diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam mempersiapkan diri untuk mengikuti perkuliahan Aljabar Linear Elementer. Sesuai dengan kemampuan penulis, kami mengambil tiap-tiap materi dari buku referensi yang dijadikan bahan acuan perkuliahan Aljabar Linear Elementer. Modul ini masih banyak terdapat kekurangan dan kritik membangun sangat diperlukan untuk sempurnanya modul ini. Harapan kami, semoga modul Aljabar Linear Elementer dapat bermanfaat bagi mahasiswa yang sedang mengikuti perkuliahan Aljabar Linear Elementer.

Yogyakarta, 31 Juli 2007 Penulis

1


Daftar IsiKata Pengantar Daftar Isi Modul 1 Modul 2 Modul 3 Modul 4 Modul 5 Modul 6 Modul 7 Modul 8 Modul 9 Modul 10 Modul 11 Modul 12 Modul 13 Modul 14 .................................................................................................................. ..................................................... 1 2 3 8 16 20 26 31

........................................................................................................................... SPL, SPLH dan Eliminasi Gauss-Jordan Matriks Invers Matriks ........................................................................................................ ............................................................................................... ................................................................

Determinan Matriks ....................................................................................... Minor, Kofaktor dan Aplikasinya Vektor di R dan Vektor di R2 3

Penyelesaian SPL dan SPLH ......................................................................... Dot Product, Proyeksi Orthogonal, dan Cross Product Hasil Kali Skalar Ganda Tiga, Garis dan Bidang di R3

....................................................................... 35 .................................. 41 .................................. 47

Vektor vektor di Rn (Ruang Vektor Euclidean) ........................................... 52 Transformasi Linear dan Sifat-sifatnya .......................................................... 57 Subruang, Kombinasi Linear dan Kebebasan Linear ..................................... 65 Basis dan Dimensi ........................................................................................... 67 Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Aplikasinya .................................................... 72 ................................................................................................................... 77

Daftar Pustaka

2


MODUL 1 SPL, SPL Homogen dan Eliminasi Gauss Jordan Persamaan Linear (PL) : Suatu persamaan dengan variabel yang berpangkat satu. Contoh : 2x + 7y = 0 Sistem Persamaan Linear (SPL) : Himpunan berhingga persamaan linear dalam variabel x1, x2, ..., xn. Contoh : x1 3x2 = -5 2x1 + 4x2 = 10 Suatu SPL dikatakan SPL Homogen jika bagian konstantanya sama dengan nol.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Barisan bilangan t1, t2, ..., tn disebut penyelesaian SPL jika x1 = t1, x2 = t2, ..., xn = tn merupakan penyelesaian dari tiap-tiap persamaan linear. SPL dikatakan konsisten jika SPL mempunyai penyelesaian dan SPL dikatakan inkonsisten jika tidak mempunyai penyelesaian. SPL dengan m-persamaan dan n-variabel dinyatakan sebagai : a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2 ... ... am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bmn

..... (1.1)

Secara umum (1.1) dapat dituliskan sebagai :

a xij j =1

j

= b i , i = 1,2, ... , m

3


a11 a Matriks 21 M. am 1

a 12 a22 M am 2

... a1n ... a2 n disebut matriks koefisien dari SPL (1.1) sedangkan matriks M M ... amn b1 b2 disebut matriks augmented dari SPL (1.1). M bm

a11 a 12 ... a1n a a 22 ... a 2 n [A | b] = 21 M M M M a m1 a m 2 ... a mn

Contoh : Tentukan matriks augmented untuk SPL berikut : 2x1 + 2x3 = 1 3x1 x2 + 4x3 = 7 6x1 + x2 x3 = 0 3 1 6 1 2 0 1 4 7 adalah matriks augmented dari SPL di atas. 1 0 2

Operasi Baris Elementer (obe) Langkah langkah o.b.e : 1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak nol 2. menukar dua baris 3. Menambahkan suatu baris dengan n-kali baris yang lain (n0)

Note : Lakukan operasi baris elementer (o.b.e) untuk menemukan penyelesaian dari SPL dengan terlebih dahulu membawa SPL tersebut ke dalam bentuk matriks augmented.

Contoh SPL dan solusinya : SPL : x1 3x2 = -5 2x1 + 4x2 = 10 Augmented Matriks [A | b] : 21 3 M 5 4 M 10

4

ModulAljabarLinearElementer~ ~ 1 3 M 5 1 3 M 5 1 3 M 5 b 2b 0 1 M 20 b 1 0 1 M 2 , 4 M 10 2 1 2 10

Operasi Baris Elementer : 2 dimana 0

1 3 M 5 merupakan baris-eselon. 1 M 2

Apabila dilakukan operasi baris elementer sedemikian hingga matriks A tereduksi menjadi matriks identitas, maka bentuk akhir disebut baris-eselon tereduksi, yaitu :1 3 M 5 b1 + 3b2 1 0 M 1 0 1 M 2 0 1 M 2

Jadi, penyelesaian SPL di atas adalah x1 = 1 dan x2 = 2

Eliminasi Gaussian (Gauss-Jordan) Untuk mencari penyelesaian SPL secara matematis dengan membawa augmented matriks ke bentuk baris eselon tereduksi. Contoh :1 0 0 0 2 4 3 M 3 1 5 4 M 4 0 1 0 M 3 0 0 1 M 7

Ciri ciri baris-eselon tereduksi : 1. Jika suatu baris tidak semuanya nol, maka nilai tak nol pertama dalam baris tersebut adalah angka 1 (utama 1). 2. Jika ada baris yang semuanya bernilai nol, maka baris tersebut diletakkan dibaris paling bawah. 3. Jika ada dua baris berurutan yang tidak semuanya bernilai nol, maka baris utama-1 dalam baris yang bawah terletak disebelah kanan utama satu dalam baris atasnya.1 0 3 4 0 1 4 5 0 1 4 5 ; 1 0 2 3

4. Masing masing kolom yang memuat uatama satu, mempunyai nol di tempat lainnya. 1 2 2 1 0 0 0 1 0 ; 0 1 0 0 0 1 0 0 1

5


Setiap SPL dapat dinyatakan ke dalam augmented matriks dan kemungkinan : a. Tidak mempunyai penyelesaian. b. Mempunyai tepat satu penyelesaian. c. Mempunyai tak hingga penyelesaian.

Contoh : 1. x1 3x2 + 4x3 = 7 x2 + 2x3 = 2 x3 = 5 SPL di atas merupakan contoh SPL dengan tepat satu solusi. 2. x1 3x2 + 4x3 = 7 x2 + 2x3 = 2 x3 = 5 SPL di atas merupakan contoh SPL yang tidak punya solusi. 3. x1 - 7x4 = 8 x2 + 3x4 = 2 x3 + x4 = -5 SPL di atas merupakan contoh SPL dengan tak-hingga banyak penyelesaian karena terdapat satu variabel bebas, yaitu : x4. SPL di atas menyajikan penyelesaian x1 = 8 + 7x4 , x2 = 2 3x4 , x3 = 5 x4, dengan mengambil x4 = t R ; sehingga diperoleh : x1 = 8 + 7t ; x2 = 2 3t ; x3 = -5 t ; x4 = t x1 8 + 7 t x2 2 3t memuat satu variabel yang bebas dipilih, yaitu : x4. Jadi, = x 5t 3 x t 4

Jadi, SPL tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian.

TUGAS DISKUSI : Dari contoh di atas, tentukan matriks augmented untuk masing-masing SPL dan reduksilah masing-masing matriks augmentednya ke bentuk baris eselon tereduksi !

6


SPL Homogen (SPLH) : SPL dengan bagian konstan semuanya nol. Contoh : 2x1 x2 + x4 = 0 x1 3x2 + x3 x4 = 0 x1 x3 + x4 = 0

Note : 1. Setiap SPLH pasti konsisten atau punya penyelesaian, setidaknya penyelesaian trivial x1 = ... = xn = 0. Jika ada penyelesaian yang lain dinamakan penyelesaian non-trivial. 2. SPLH dengan banyak variabel lebih besar dari banyak persamaan mempunyai tak hingga banyak penyelesaian.

Latihan : Tentukan penyelesaian SPLH berikut : 3x1 3x2 6x3 x2 2x3 3x4 = 0 =0 =0 x1 x2 + 2x3 x4 = 0

Hint : Ubahlah ke bentuk augmented matriks dan lakukan o.b.e untuk memperoleh baris eselon tereduksi. (Eliminasi Gauss-Jordan)

7


MODUL 2 Matriks Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Ukuran matriks menunjukan banyaknya baris dan kolom. Bilangan2 dalam susunan itu disebut anggota/elemen matriks. Elemen suatu matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dinyatakan sebagai aij Dua matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan (ij) aij=bij Jika kedua matriks memiliki ukuran yang sama, maka dapat dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan terhadap matriks-matriks tersebut. Diberikan matriks A =[aij] dan B = [bij] yang berukuran sama, maka (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij (A - B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij Operasi perkalian pada matriks i. ii. Perkalian dengan skalar Diberikan k = skalar dan A = [aij], maka (kA)ij = k(A)ij = kaij Perkalian dua matriks Diberikan A = [aij]m x r dan B = [bij]r x n, maka ABmxn dengan (AB)ij = Contoh :1 2 3 A= dan B = 1 1 01 0 2 1 yang masing masing berukuran A , B 2x3 3x2 dengan r = 3 3 0

ak =1

r

ik bkj

c11 A2x3B3x2 = C2x2 = c21c11 = c12 =c21 =

c12 c 22

ak =1 r =3 k =1

r =3

1k bk1

= a11b11 + a12b21 + a13b31 = 1.1+ 2.2 + 3.3 = 14 , = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1.0 + 2.1+ 3.0 = 2 ,= a21b11 + a22b21 + a23b31 = 1.1 + 1.2 + 0.3 = 3 ,

a bak =1 r =3

1k k 2

2k bk1

c22 =

ak =1

r =3

2k bk 2

= a21b12 + a22b22 + a23b32 = 1.0 +1.1+ 0.0 = 114 2 1

C = 3

8


Sifat-Sifat Matriks i. A+B=B+A ii. AB BA iii. (A + B) + C = A + (B + C) Bukti : (A + B) + C = ((A + B) + C)ij

= (A+B)ij + (C)ij = ((A)ij + (B)ij) + (C)ij = (aij + bij)+cij dengan aij,bij,cijR karena berlaku assosiatif pada bilangan Real maka : = aij + (bij + cij) = (A)ij + ((B)ij + (C)ij) = (A)ij + (B+C)ij = (A + (B+C))ij = A + (B+C) iv. A(B+C) = AB + AC bukti : A(B+C) = (A(B+C))ij =

k =1

r

Aik ( B + C ) kj =

Ak =1

r

ik ( Bkj

+ Ckj )

=

k =1

r

Aik Bkj +

A Cik k =1

r

kj

= AB + AC v. (A+B)C = AC + BC Diketahui p,q : skalar vi. (p + q)A = pA + qA vii. p(BC) = (pB)C = B(pC)

9


Partisi Matriks Partisi matriks sering dilakukan untuk mempermudah perhitungan pada matriks-matriks yang berukuran besar. Berikut disajikan sebuah contoh matriks berukuran 3x4 yang dapat dipartisi menjadi matriks 2x3. Contoh : Diberikan matriks A3x4 sebagai berikut : a11 A = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a14 a24 a34

Partisi matriks A menjadi 4 sub-matriks : a11 M a12 a M a 22 A = 21 L L L a 31 M a 32

a14 A11 M A12 M A13 a 23 M a 24 = L L L L L L L L A 21 M A 22 M A 23 a 33 M a 34 a13 M

Mempartisi matriks selain mengubah ukuran baris maupun kolomnya juga dapat mempartisi matriks berukuran besar menjadi matriks baris atau matriks kolom saja, yaitu : 1. Partisi matriks A menjadi matriks matriks baris r1 , r2 , r3 a11 L A = a21 L a31 a12 L a22 L a32 a13 L a23 L a33 a14 r1 L L a24 = r2 L L r3 a34

2. Partisi matriks A menjadi matriks matriks kolom c1, c2, c3, c4 a11 M a12 M a13 M a14 A = a21 M a22 M a23 M a24 = [c1 M c2 M c3 M c4 ] a31 M a32 M a33 M a34

Perkalian Matriks dengan Kolom dan Baris Untuk mendapatkan baris atau kolom tertentu dari suatu hasil kali matriks AB tanpa menghitung keseluruhan hasil kalinya, dapat ditentukan sebagai berikut : matriks kolom ke-j dari AB = A.[matriks kolom ke-j dari B] matriks baris ke-i dari AB = [matriks baris ke-i dari A].B elemen ke-ij dari AB = [baris ke-i dari A].[kolom ke-j dari B]

10


Contoh: 4 1 4 3 1 2 4 Diberikan : A = dan B = 0 1 3 1 2 6 0 2 7 5 2

Jika matriks C merupakan hasil kali matriks A dengan matriks B, maka : i. Tentukan elemen ke-23 dari matriks C !4 Elemen ke-23 dari C = [baris ke-2 dari A].[kolom ke-3 dari B] = [2 6 0]3 = 26 5

ii.

Tentukan matriks kolom ke-4 dari matriks C ! 3 1 2 4 13 Matriks kolom ke-4 dari C = A.[kolom ke-4 dari B] = 1 = 2 6 0 2 12

iii. Tentukan matriks baris ke-2 dari matriks C ! Matriks baris ke-2 dari C = [baris ke-2 dari A].B 4 1 4 3 = [2 6 0]0 1 3 1 = [8 4 26 12] 2 7 5 2

Hasil kali matriks sebagai Kombinasi Linear Kombinasi Linear Jika diketahui : c1,c2, ..., cn adalah skalar dan A1,A2, ..., An adalah matriks berukuran sama, maka kombinasi linear A1,A2, ..., An dengan koefisien c1,c2, ..., cn adalah : c1A1 + c2A2 + ... + cnAn Hasil kali matriks sebagai Kombinasi Linear Misalkan diketahui matriks Amxn dan matriks Xnx1 sebagai berikut : a11 a A = 21 .... a m1 a12 a 22 .... am2 ..... a1n a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n x1 x ..... a 2 n , X = 2 AX = a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n ..... .... ...... ............ ..... a mn a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n xn

a11 a12 a1n a a a Dengan kata lain, AX = x1 21 + x 2 22 + ..... + x n 2 n ... ... ... a m1 a m 2 a mn

11


Transpose matriks : menukar baris dengan kolom suatu matriks a11 a12 a a 22 A = [a ij ] = 21 ... ... a m1 a m 2 ... a1n a11 a ... a 2 n T A = [a ji ] = 12 ... ... ... ... a mn a1n a 21 ... a m1 a 22 ... a m 2 ... ... ... a 2 n ... a mn

Sifat transpose matriks : i. (AT)T = A ii. (A + B)T = AT + BT bukti : Misalkan matriks A dan B mempunyai ukuran yang sama. AT=[aij] dengan aij = aji dan BT=[bij] dengan bij = bji (AT + BT)ij = aij + bij = aji + bji = ((A+B)T)ij iii. (AB)T = BTAT Misalkan A dan B merupakan matriks yang dapat dikalikan, yaitu : A adalah matriks yang berukuran mxr dan B adalah matriks yang berukuran rxn, maka AB merupakan matriks yang berukuran mxn. Di lain pihak, jika Amxr dan Brxn maka AT berukuran rxm dan BT berukuran nxr sehingga ATBT belum tentu bisa dikalikan. Jadi, (AB)T ATBT Bukti : (AB)T = ((AB)T)ij = (AB)ji =

ak =1

r

jk bki

karena ajk,bkiR,maka berlaku ajkbki = bkiajk sehingga diperoleh :

=

k =1

r

bki a jk =

bk =1

r

ik ' akj ' =

(BTAT)ij = BTAT

Jadi, (AB)T = BTAT iv. (kA)T = k(AT) v. (AT)ij = Aji

12


Matriks Elementer Definisi : Suatu matriks berukuran nxn disebut matriks elementer jika matriks tersebut diperoleh dari matriks identitas berukuran nxn yang dikenai operasi baris elementer tunggal. Contoh :1 0 0 1 0 0 0 1 0 b (2) 0 2 0 = E I3 = 1 2 0 0 1 0 0 1

Jadi, E1 adalah matriks elementer yang diperoleh dari matriks Identitas I3 dengan mengalikan baris ke-2 nya dengan (-2).

Teorema 2.1 Jika matriks elementer E dihasilkan dari dari suatu operasi baris tertentu terhadap In dan jika A adalah suatu matriks nxn, maka hasil kali E.A adalah matriks yang dihasilkan jika operasi baris yang sama dikenakan pada A. Ek . Ek-1 . ... . E2 . E1 . A = In Dengan asumsi bahwa baris eselon tereduksi dari A adalah In.

Sifat-sifat Matriks Elementer : 1. 2.

I O.B.E E Operasi I Invers

I O.B.E E

dan

I Operasi E 1 Invers

Secara umum, dapat dituliskan : Operasi baris pada matriks Identitas yang menghasilkan matriks Elementer bij bi(k) bij(k) Operasi baris pada Elementer yang menghasilkan matriks Identitas lagi bij bi( 1 )k

bij(-k)

13


Contoh : 1.

I O.B.E E Operasi I Invers Contoh :1 0 b12 I2 = 0 1 0 1 0 1 b12 1 0 = E = 1 0 1 0 0 1 = I 2

1 0 b1 ( 2) 2 0 2 0 b1 ( 1 ) 1 0 = E' = I2 = 0 1 2 0 1 = I 2 0 1 0 1 1 3 b12 (3) 1 0 1 0 b12 (3) 1 3 I2 = 0 1 = I 2 0 1 = E ' ' = 0 1 0 1

2. I E danContoh :

O.B.E

I Operasi E 1 Invers

1 0 b 21 (3) 1 0 1 0 b 21 ( 3) 1 0 1 I2 = E 1 = 3 1 dan I 2 = 0 1 E 1 = 3 1 0 1

14


Latihan : 1. Tentukan AB dan BA dari masing-masing matriks A dan B berikut : a.7 1 1 0 2 A= dan B = 2 3 2 1 8 4 1

4 2 2 1 b. A = dan B = 1 1 1 4

2. Buktikan sifat matriks berikut : a. (A+B)C = AC + BC b. Diketahui p,q : skalar (p + q)A = pA + qA p(BC) = (pB)C = B(pC)

1 2 8 3. Jika suatu matriks A = 2 3 4 yang dilengkapi operasi baris sebagai berikut : 0 1 2 1 2 8 2 3 4 0 1 2 b32 1 2 8 0 1 2 2 3 4 b31 (2)

8 1 2 0 1 2 0 1 12 b32 (1)

1 2 8 1 2 8 0 1 0 1 2 b ( 2) 2 23 0 0 10 b3 ( 10 ) 0 0 1

1 2 8 b12 (2) 0 1 2 0 0 1

1 0 8 b13 (8) 0 1 0 , maka 0 0 1

a. tentukan matriks Elementernya ! b. tunjukkan kebenaran menurut Teorema 2.1 !1 2

4. Tentukan Ei dan Ei-1 pada matriks dan tunjukkan bahwa Teorema 2.1 berlaku ! 3 8

15


MODUL 3 Invers Matriks

TUGAS KELOMPOK Mahasiswa mencari definisi dan contoh dari berbagai sumber literatur dan internet yang berkaitan dengan jenis jenis matriks berikut : 1. Matriks Bujur sangkar / Matriks persegi 2. Matriks segitiga atas 3. Matriks segitiga bawah 4. Matriks diagonal 5. Matriks identitas 6. Matriks nol 7. Trace suatu matriks bujur sangkar 8. Matriks simetri

Invers Matriks Definisi : A = matriks bujur sangkar Jika dapat ditemukan matriks B sehingga AB = BA = I, maka dikatakan bahwa A invertible dan B adalah invers dari A.

Teorema 3.1 : Jika A matriks bujur sangkar berukuran nxn, maka kedua pernyataan berikut ekuivalen : a) A invertible b) Bentuk baris eselon tereduksi dari A adalah In c) A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks elementer A = E1-1. E2-1. ... Ek-1 Teorema 3.2 : Jika A matriks bujur sangkar berukuran nxn dan A invertible, maka A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks elementer. Ek . Ek-1 . Ek-2. ... . E2 . E1 . A = In

16


Dari Teorema 3.1 dan 3.2, jika A suatu matriks yang invertible, maka A-1.A = In dan di lain pihak Ek . Ek-1. ... . E2 . E1 . A = In. Akibatnya diperoleh bahwa : A-1 = Ek . Ek-1 ... E2 . E1

Akibat 3.3 : A-1 = Ek . Ek-1 . Ek-2. ... . E2 . E1 dimana A-1 adalah invers dari A Cara menentukan invers matriks 1. Menentukan invers dengan sifat matriks elementer (Akibat 3.2) :

Ek. Ek-1. Ek-2. ... . E2. E1. A = In A-1 = Ek . Ek-1 . Ek-2. ... . E2 . E1 . In 2. Menentukan invers untuk matriks berukuran 2x2 : Jika matriks A =

a b , maka invers matriks A yang berukuran 2x2 adalah : c d

A 1 =

1 ad bc

d c

b a

3. Menentukan invers dengan melakukan serangkaian operasi baris yang mereduksi A menjadi In yang juga mereduksi In menjadi A-1 :O.B.E

[ A | I ] [ I | A-1 ]Contoh :2 6 6 Tentukan invers matriks : A = 2 7 6 2 7 7 2 6 6 1 0 0 2 6 6 1 0 0 2 7 6 0 1 0 b 2 b1 2 7 6 0 1 0 2 7 7 0 0 1 b 3 b 2 0 0 1 0 1 1 2 6 6 1 0 0 b1 6b 2 2 0 6 7 6 0 b1 6b 3 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

17


1 2 0 0 7 0 6 b1 ( ) 2 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

7 1 0 0 2 0 3 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1

7 2 6 6 2 0 3 Jadi invers matriks A = 2 7 6 adalah A 1 = 1 1 0 . 2 7 7 0 1 1

Note :

I EContoh :

o.b.e

o.b.e kebalikan

I

1 0 b12 0 1 0 1 b12 1 0 I2 = ~ 1 0 = E = 1 0 ~ 0 1 = I 2 0 1 1 0 b1 (2) 2 0 2 0 b1 ( 1 ) 1 0 I2 = = E' = 2 = I2 0 1 ~ 0 1 0 1 ~ 0 1

1 3 b12 ( 3) 1 0 1 0 b12 (3) 1 3 I2 = ~ 0 1 = E ' ' = 0 1 ~ 0 1 = I 2 0 1

Secara umum, dapat dituliskan : Operasi baris pada matriks Identitas yang menghasilkan matriks Elementer bij bi(k) bij(k) Operasi baris pada Elementer yang menghasilkan matriks Identitas lagi bij bi( 1 )k

bij(-k)

18


Latihan : 1. Tentukan Ei dan Ei-1 pada matriks ! 3 8 Hint : Tentukan o.b.e untuk mereduksi matriks menjadi matriks 0 1 , yaitu : 3 8 ~ 1 2 A= b (3) 3 8 21~ 1 2 b12 ( 1) 1 0 1 0 0 2 0 2 b ( 1 ) 0 1 = I2 ~ 2 2 1 2 1 0 1 2

Berikutnya akan ditentukan Ei dan Ei-1 , yaitu : I2 = = E1 dan I2 = 0 1 0 1 b 21 (3) 3 1 I2 = 0 11 0 b12 ( 1) 1 0 ~ ~ 1 1 0 1 I2 = 0 1 b 2 ( 2 ) 0 1 0 ~

1

0

1 0 b 21 (3) 1 0 -1 3 1 = E1 ~

1 1 0 b12 (1) 1 1 = E2-1 = E2 dan I2 = 0 1 1 ~ 0 1 0 1 = E3 dan I2 = 2

~ 1 0 1 0 -1 0 1 b ( 2) 0 2 = E3 2

2. Tunjukkan bahwa Ek . Ek-1 ... E2 . E1 . A = In berlaku pada soal nomor 1 ! Hint : mengingat hanya ada 3 o.b.e yang dilakukan untuk mereduksi matriks A ke bentuk eselon baris tereduksi, maka cukup ditunjukkan bahwa E3 . E2 . E1 . A = In

3. Tentukan invers matriks

1 2 dengan menggunakan cara 1) ! 3 8 1 2 dengan menggunakan Akibat 3.2 ! 3 8

4. Tentukan invers dari matriks

19


MODUL 4 Determinan Matriks Fungsi determinan adalah suatu fungsi dari himpunan matriks-matriks ke bilangan real. Suatu Permutasi himpunan bilangan bulat {1,2, ..., n} adalah suatu susunan bilanganbilangan bulat ke dalam suatu urutan tanpa penghilangan atau pengulangan. Contoh : Permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1,2,3}, yaitu : (1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1)

Inversi/pembalikan pada permutasi, muncul jika ada bilangan positif lebih besar mendahului bilangan bulat lebih kecil. Permutasi dikatakan GENAP jika banyaknya inversi sebanyak genap Permutasi dikatakan GANJIL jika banyaknya inversi sebanyak ganjil Contoh : Tentukan jumlah inversi/pembalikan dalam permutasi (6,1,3,4,5,2) 6>1, 6>3, 6>4, 6>5, 6>2 : 5 3>2 4>2 5>2 : 1 : 1 : 1

Jadi, ada 8 inversi (inversi sebanyak genap). Dengan kata lain, (6,1,3,4,5,2) permutasi genap Hasil Kali Elementer dari suatu matriks A yang berukuran nxn adalah hasil kali n elemen dari A, yang dua di antaranya tidak ada yang berasal dari baris atau kolom yang sama. Contoh : Daftarkan semua hasil kali elementer dari matriks A = 11 12 ! a 21 a 22 Hasil kali elementer A : a1_ . a2_ a11 . a22 a12 . a21 dalam a11 . a22 terlihat 1 > 2 sehingga banyak inversi 0 (genap) / dalam a12 . a21 terlihat 2 > 1 sehingga banyak inversi 1 (ganjil) 20 (masing-masing faktor diambil dari baris yang berbeda) ( _ diisi dengan faktor yang diambil dari kolom yang berbeda)a a


Contoh : Daftarlah semua hasil kali elementer matriks C dan D berikut : a11 a12 C = a 21 a 22 a 31 a 32 a13 a 23 a 33 a11 a12 a a 22 D = 21 a 31 a 32 a 41 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44

;

Hasil kali elementer matriks C = 3! a1_ . a2_ . a3_ Permutasi yang mungkin dari {1,2,3} adalah (1,2,3) ; (2,1,3) ; (3,1,2) ; (1,3,2) ; (2,3,1) ; (3,2,1) sehingga diperoleh hasil kali elementer dari matriks C adalah :

a11.a22.a33 ; a11.a23.a32 ; a12.a21.a33 ; a12.a23.a31 ; a13.a21.a32 ; a13.a22.a31Hasil kali elementer bertanda Suatu matriks A yang berukuran nxn mempunyai n! hasil kali elementer. Suatu hasil kali elementer bertanda dari A dimaknai dengan mengalikan hasil kali elementernya dengan +1 atau (-1). Jika permutasinya genap,maka diberi tanda + dan Jika permutasinya ganjil, maka diberi tanda Tabel hasil kali elementer bertanda dari matriks C : Permutasi (1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) 3>2 2>1 2>1 3>1 3>1 3>2 3>2 3>1 2>1 Jumlah inversi 0 1 1 2 2 3 Permutasi genap Permutasi ganjil Permutasi ganjil Permutasi genap Permutasi genap Permutasi ganjil + + + + a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 Jenis permutasi Tanda

TUGAS DISKUSI : Dengan cara yang analog, tentukan Tabel hasil kali elementer untuk matriks D !

21


Definisi : Diberikan A matriks bujur sangkar berukuran n x n, Fungsi determinan (det) adalah jumlahan dari semua hasil kali elementer bertanda dari matriks A. Dinotasikan sebagai det(A) atau |A|. a11 a12 a a 22 A = 21 ... ... a n1 a n 2 ... a1n ... a 2 n det(A ) = ... ... ... a nn

a

1 j1 .a 2 j 2 .

... .a njn

dimana menunjukkan bahwa suku-suku dijumlahkan atas semua permutasi (j1, j2, ..., jn) dan tanda +/- bergantung dari permutasinya genap/ganjil. Dalam contoh di atas (untuk matriks C), maka determinan matriks C diperoleh :

det(C) = a11.a22.a33 - a11.a23.a32 - a12.a21.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 - a13.a22.a31Aturan Sarrus Determinan suatu matriks persegi A diperoleh dengan mengalikan anggota anggota pada panah kanan dan mengurangkannya dengan hasil kali anggota anggota pada panah kiri.a A = det 11 a21 a12 = a11 .a22 a12 .a21 a22

Contoh : 2 3 5 2 3 5 2 3 1 0 1 = 1 0 1 1 0 P= 4 1 3 4 1 3 4 1

= (2.0.3) + (3.-1.-4) + (5.1.1) (3.1.3) (2.-1.1) (5.0.-4) = 12 + 5 9 + 2 = 10 Jadi det(P) = |P| = 10

DISKUSI : Apakah Aturan Sarrus berlaku pada matriks persegi berukuran 3x3, 4x4 atau lebih ?

Teorema 4.1 A adalah matriks bujur sangkar. a) Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka det(A) = 0 b) det(A) = det(AT)

22


Teorema 4.2 Jika Anxn adalah matriks segitiga (segitiga atas, segitiga bawah, diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya.

det(A) = a11 . a22 . a33 . ... . annPengaruh OBE terhadap determinan suatu matriks Operasi baris elementer Menukar dua baris Mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak nol Menambah suatu baris dengan n-kali baris yang lain (n0) Latihan : 1. Hitunglah :2 4 3 5 1 2 3 1 4 2ij A B

NotasiA ij B ( A b i B k )

Hubungan det(B) = -det(A) det(B) = k . det(A) det(B) = det(A)

b

b (n )

; 4 2

1 ; 2 2 3 2 3 1 3 1 1

2. Dengan menggunakan Tabel pengaruh o.b.e terhadap determinan matriks,2 6 6

Jika diketahui 2 7 6 = 2 , maka tentukan :2 7 7 2 2 2 6 7 7, 6 6 7 2 4 0 1 0 0 5 9 0 10 30 30 2 8 6 184

8 6 6 2 6 6

2 7 7 2 7 6, 2 6 6 90

2 2

7 7

6 7

8 7 6 8 6 6, 8 7 7

7

6

,0 0

8 7 6,2 7 6, 8 7 7 0 0 1 0 0 0 0 23 76 86

10 30 30 ,

28 28 0 2 0 3

0 0 1 90

, 1

20 40 80 100 ! 1 1 0 0 , 76 68 56 78 67 89 98 76 0 10 20 40 50 2 9 7 6 1

23


Sifat-sifat determinan Diberikan matriks A dan B berukuran nxn dan k sebarang skalar. 1. det(kA) = kn det(A) 2. det(A + B) det(A) + det(B) 3. det(AB) = det(A).det(B) Contoh :1 2 3 Diberikan |D| = determinan 1 2 1 = -4 1 0 2

Hitunglah : det(2D) = 23 . det(D) = 8 . (-4) = -32

Teorema 4.3 Jika A,B, C adalah matriks berukuran nxn yang berbeda hanya pada salah satu barisnya, katakan baris ke-r, dan baris ke-r dari matriks C diperoleh dengan menambahkan elemenelemen yang berpadan pada baris ke-r dari matriks A dan B, maka det(C) = det(A) + det(B) Demikian juga berlaku untuk kolom ke-r. Teorema 4.4 Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar berukuran sama, maka det(AB) = det(A).det(B) Teorema 4.5 Jika A bisa dibalik (invertible), maka det(A 1 ) = Teorema 4.6 Suatu matriks A berukuran nxn dapat dibalik (invertible) jika dan hanya jika |A| 01 . det(A)

24


Latihan : 1. Tentukan nilai m agar matriks E = 2 2. Jika diberikan matriks G = k 3 2 tidak mempunyai invers ! k 2

2 8 -1 , tentukan det(G ) ! 1 4

3. Tanpa menghitung determinan matriks secara langsung, tunjukkan bahwa :b + c c + a b + a det a b c =0 1 1 1

k 3 2 4. Hitunglah nilai k agar matriks E = tidak mempunyai invers ! 1 k 2 Hint : Teorema 4.6

25


MODUL 5 Minor, Kofaktor dan Aplikasinya

Minor dan Kofaktor Definisi :Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor elemen aij (Mij) dan didefinisikan sebagai determinan dari sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Sedangkan bilangan (-1)i+jMij disebut kofaktor elemen aij(Cij).

Contoh : Diberikan matriks A = Elemen kea11 a12 a21 a22 2 4 . Tentukan minor dan kofaktor matriks A ! 1 5

Minor 5 1 4 2

Kofaktor (-1)1+1.5 = 5 (-1)1+2.1 = -1 (-1)2+1.4 = -4 (-1)2+2.2 = 2

Perhatikan bahwa minor dan kofaktor dari suatu unsur aij hanya berbeda tanda, yaitu : Cij = Mij dengan tanda +/- merupakan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij , yaitu : baris ke-i dan kolom ke-j dari susunan papan periksa berikut :+ + M + + ... + + ... + + ... + + ... M M M M M

Dari contoh di atas, terlihat bahwa : C11 = M11 ; C12 = -M12 ; C21 = -M21 ; C22 = M22

Contoh :3 2 1 Tentukan minor dan kofaktor matriks 1 6 3 ! 2 4 0

26


M11 =

6

3

4 0

= 12

C11 = 12

M12 =

1 3 = -6 2 0 1 6 = -16 2 4 2 4 2 0 1 0= -4

C 12 = - (-6) = 6

M13 =

C 13 = -16

M21 =

C21 = - (-4) = 4

M22 =

3 1

=2

C 22 = 2

M23 =

3 2 = -16 2 4 2 1 =2 6 3 3 1 = 10 1 3 3 2 1 6= 16

C 23 = - (-16) = 16

M31 =

C 31 = 12

M32 =

C 32 = -10

M33 =

C 33 = 16

Adjoin Matriks Definisi :

Jika A adalah sebarang matriks berukuran nxn dan Cij adalah kofaktor dari aij, maka matriks C11 C12 C 21 C 22 ... ... C n1 C n 2 C11 C 12 ... C1n

... C1n ... C 2 n ... ... ... C nn

disebut matriks kofaktor dari A dan transpose matriks kofaktor, yaitu :

C 21 ... C n1 C 22 ... C n 2 ... ... ... C 2 n ... C nn

disebut Adjoin A yang dinotasikan adj(A).

16 12 6 4 Dari contoh di atas, terlihat bahwa matriks kofaktornya adalah 2 16 dan matriks 12 10 16 12 4 12 2 10 . adjoinnya adalah 6 16 16 16

27


Perluasan Kofaktor

Berbekal pengetahuan tentang cara menentukan minor dan kofaktor, berikutnya akan dibahas mengenai kegunaan matriks kofaktor dalam membantu perhitungan invers suatu matriks persegi yang invertible dan menghitung determinan suatu matriks persegi.Menghitung Invers matriks Teorema 5.1

Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik (invertible), maka

A -1 =Menghitung Determinan matriks Teorema 5.2

1 . adj(A) |A|

Diberikan matriks A berukuran nxn, Det(A) dapat dihitung dengan mengalikan elemenelemen pada sebarang baris/kolom dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang diperolehnya, yaitu : Untuk setiap 1in dan 1jn, det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj(ekspansi kofaktor di sepanjang kolom ke-j)

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ... + ainCin(ekspansi kofaktor di sepanjang baris ke-i)

Salah satu hal yang perlu diperhatikan dalam menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor di sepanjang baris/kolom adalah papan periksa.

Teorema 5.3

Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen : i. ii. iii. iv. v. vi. A invertible Ax = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial Bentuk baris eselon tereduksi dari Anxn adalah In A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks elementer Ax = b konsisten untuk setiap matriks bnx1 Ax = b tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks bnx1

vii. det(A) 0

28


Contoh :

Hitunglah determinan dan invers dari matriks :3 2 1 3 ! A = 1 6 2 4 0

+ + ingat papan periksa untuk matriks 3x3 : + + +

1. Akan dihitung determinan matriks A dengan ekspansi kofaktor disepanjang baris ke-3. c13 = 12 , c32 = -10 , c33 = 16

A = ai1 ci1 + ai2 ci2 + ai3ci3= a31 c31 + a32 c32 + a33 c33 = 2. 12 + -4 (-10) + 0. 16 = 24 + 40 = 64 2. Selanjutnya dibandingkan dengan menghitung determinan matriks A dengan ekspansi kofaktor di sepanjang kolom ke-2. c12 = 6, c22 = 2, c32 = -10A = a1j c1j + a2j c2j + a3j c3j

= a12 c12 + a22 c22 + a32 c32 = 2. 6 + 6. 2 + -4 (-10) = 12 + 12 + 40 = 64 3. Akan ditentukan invers matriks A, dengan mengikuti langkah-langkah berikut : 1. Terlebih dahulu menentukan matriks kofaktor A, yaitu : c11 c12 c 21 c22 c31 c32 c13 12 6 16 = 4 c23 2 16 c33 12 10 16

2. Menentukan Adjoin matriks A, yaitu : 16 4 12 12 6 12 Adj (A) = 4 2 16 = 6 2 10 12 10 16 16 16 16 T

12 1 Adj (A) = 1 6 3. A-1 = det( A) 64

4 12 2 10 16 16 16

=

1 3 16 16 3 1 32 32 1 1 4 4

3 16 5 32 1 4

29


Latihan :1 2 2 3 A= 1. Tentukan invers dan determinan matriks 1 2 3 1 5 1 2 0 3 0 2 0

2. Tentukan det(A) dan inv(A) untuk matriks berikut :4 3 A = 1 a. 9 2 0 0 1 0 3 3 1 0 2 4 2 3 4 6 2 3 2 4 2 3

2 0 3 b. A = 0 3 2 2 0 4

1 2 c. A = 1 1

3 1 1 5 2 2 3 8 9 3 2 2

30


MODUL 6 Penyelesaian SPL dan SPL Homogen

Penyelesaian Sistem LinearDalam pembahasan mengenai Sistem Persamaan Linear (Sistem Persamaan Linear Homogen) selalu dibahas mengenai penyelesaian dari sistem tersebut. Mengingat dalam perkuliahan Aljabar Linear Elementer ini banyak alat aljabar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL / SPLH, maka berikut disajikan beberapa metode untuk menentukan penyelesaian bagi SPL / SPLH yang mempergunakan alat aljabar, yaitu :

Metode Pembalikan Matriks Teorema 6.1Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar berukuran nxn yang invertible, maka untuk setiap matriks b yang berukuran nx1, sistem persamaan A x = b tepat mempunyai satu penyelesaian, yaitu :x = A 1 b

Contoh :Tentukan penyelesaian dari SPL berikut : 4x1 11x1 x1 penyelesaian : 1. Tuliskan SPL ke dalam bentuk matriks, yaitu : A x = b 2 x1 4 5 0 11 1 2, x = x , b = 3 A= 2 1 x3 1 5 2

+ + +

5x2 x2 5x2

+ +

2x3 2x3

= = =

2 3 1

2. Dengan menggunakan teorema sebelumnya (teorema 5.3), tunjukkan bahwa A invertible, yaitu : det(A) 0. Untuk menghitung determinan dapat mempergunakan materi-materi di modul 4 dan modul 5. det(A) = |A| = 4(2-10) 5(22-2) + 0(55-1) = -32 100 = -132 0 Karena det(A) 0, maka A invertible 3. Untuk menentukan A-1 dapat membuka materi pada modul 3 dan modul 5 M11 = 2 10 = -8 M21 = 10 0 = 10 M31 = 10 0 = 10 ; ; ; M12 = 22 2 = 20 M22 = 8 0 = 8 M32 = 8 0 = 8 31 ; ; ; M13 = 55 1 = 54 M23 = 20 5 = 15 M33 = 4 55 = -51


8 20 54 diperoleh Matriks Kofaktor : 10 8 15 , sehingga 10 8 51

8 20 54 8 10 10 10 = 20 8 8 15 8 . Adj(A) = 10 54 15 51 8 51

T

Menurut teorema 5.1, maka invers matriks A (A-1) adalah : 2 8 10 10 33 1 1 5 A -1 = adj(A) = 8 = 20 8 33 |A| - 132 54 15 51 9 22 5 66 2 33 5 44 5 66 2 33 17 44

4. Menurut teorema 6.1, penyelesaian SPL pada contoh adalah x = A-1b, yaitu : 2 33 5 x = A 1 b = 33 9 22 5 5 3 66 66 2 11 2 2 2 3 = 33 33 11 5 17 1 1 11 44 44

Jadi, penyelesaian SPL adalah x1 = 3/11, x2 = 2/11, x1 = -1/11

Aturan Cramer Teorema 6.2Jika A x = b merupakan suatu sistem n persamaan linear dalam n peubah sedemikian hingga |A| 0, maka sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian yang tunggal. Penyelesaian ini adalah :

x1 =

| Aj | | A1 | |A | |A | , x 2 = 2 , ... , x j = , ... , x n = n |A| |A| |A| |A|

dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada b1 b 2 b3 kolom ke-j dari A dengan anggota-anggota pada matriks : b = . . . b n

32


Contoh :Tentukan penyelesaian dari SPL berikut : 4x1 11x1 x1 penyelesaian : 1. Tuliskan SPL ke dalam bentuk matriks A x = bA 3x 3 4 5 0 2 11 1 2 dan b = 3 = 1 5 2 1

+ + +

5x2 x2 5x2

+ +

2x3 2x3

= = =

2 3 1

2. Tentukan matriks Aj, j = 1,2, , n 4 5 2 4 2 0 2 5 0 3 1 2 ; A = 11 3 2 ; A = 11 1 3 A1 = 2 3 1 5 1 1 1 2 1 5 2

3. Tentukan determinan A, A1, A2, A3 |A| = -132 |A1| = 2(2 10) 5(6 2) = -16 20 = -36 |A2| = 4(6 2) 2(22 2) = 16 40 = -24 |A3| = 4(1 15) 5(11 3) + 2(55 1) = -56 40 + 108 = 12 4. Tentukan penyelesaian SPL

x1 =x2 =x3 =

| A1 | 36 3 = = | A | 132 11| A 2 | 24 2 = = | A | 132 11| A3 | 12 1 = = | A | 132 11

33


Latihan :

1. Selesaikan masing-masing sistem ini dengan menggunakan eliminasi GaussJordan/Aturan Cramer : a. p + q + 2r = 8 p 2q + 3r = 1 3p 7q + 4r = 10 b. 10y 4z + w = 1 x + 4y z + w = 2 3x + 2y + z + 2w = 5 -2x -8y + 2z 2w = -4 x 6y + 3z = 1 c. 2x1 3x2 = -2 2x1 + x2 = 1 3x1 + 2x2 = 1 2. Tentukan penyelesaian SPL dan SPLH berikut : 4x 3x 7x x dan 4x 3x 7x x + y + z + 7y + 3y z + w + w + 2w = 0 = 0 = 0 = 0 + y + z + 7y + 3y z + w + w + 2w = 6 = 1 = -3 = 3

5z + 8w

+ y + z

5z + 8w

+ y + z

34


DAFTAR PUSTAKAAndrianto, H., Prijono, A., 2006, Menguasai Matriks dan Vektor, Rekayasa Sains, Bandung. Anton, H. and Rorres, C., 2000, Elementary Linear Algebra, Applications Version, Eight Edition, John Wiley and Sons, Inc., New York. Mattews, K.R., 1998, Elementary Linear Algebra, Second Online Version, University of Queensland. Nicholson, W.K., 2001, Elementary Linear Algebra, Mc Graw-Hill Book Co., Singapore.

77

Documents

modul matriks AVM