modul matematika .doc

7/22/2019 modul matematika .doc

1/13

Mata Pelajaran: Modul matematikaKelas : X1 Akuntansi.

Bab4BARISAN DAN DERET

4.1 BARISAN ARITMETIKASebuah barisan bilangan adalah kumpulan bilangan-bilangan dalam tingkat

pengaturan tertentu dan disusun mengikuti suatu aturan tertentu.Bilangan- bilangan da barisan disebut suku-suku.

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan dimana selisih antara setiap sukusebelumnya adalah bilangan tetap (konstan).Contoh contoh barisan aritmetika:

+2 +2 +2 +2

a. 1, 3, 5, 7, 9, , ,perhatikan bahwa setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan menambahkankepada suku sebelumnya.sehingga 2 adalah beda antara dua suku.+4 +4 +4 +4

b. 3, 7, 11, 15, 19, , ,perhatikan bahwa beda antara dua suku berurutan adalah 4.

secara umum dapat dikatakan bahwa ,..., disebut barisan aritmetika jika= - =....= - = konstanta

konstantadalam hal ini disebut denganbeda (b )Beda suku barisan aritmetika , b ditentukan oleh :

Suku ke n Barisan AritmetikaDiket :

= suku ke na = suku pertamab = bedan = banyaknya suku

b = - , dimana:= suku ke (n + 1)

= a= a +b

= a + 2b:= a + (10 1 )b:= a + (n - 1)bn


2/13

Contoh :1. Diantara barisan berikut , manakah yang merupakan barisan aritmetika.

a. 2, 8, 14, 20,.... b. 1, 2, 4, 8, 16,......Penyelesaian.a. 2, 8, 14, 20,..... ialah barisan aritmetika karena bedanya (b) sama / konstanta

+6 +6 +6 b. 1, 2, 4, 16,... ialah bukan barisan aritmetika karena bedanya (b ) tidak sama

+1 +2 +122. Tujukan bahwa barisan ialah suatu barisan aritmetika . kemudian

tentukan bedanya.Penyelsaian :Diketahui = , = , = , =

- = - = -

- = - = -

3. Tentukan suku-suku yang dalam barisan aritmetika 2, 5, 8, 11,......a. Suku ke-8 b. (suku ke -10)Penyelesaian:a. =a + (n - 1)b

= a + ( n - 1) b b = == 2 + ( 8 - 1) 3 = 5 2 = 8 5 =11 -8 = 3= 2 + ( 7 ) 3 n = 8= 2 + 21 a = 2

= 23 b. =a + (n - 1)b

= a + ( n - 1)b= 2 + (10 1) 3= 2 + (9) 3= 2 + 27= 29

4. Tentukan banyaknya suku (n)dalam barisan aritmetika berikut.a. 1, 5, 9, 13,......,41


3/13

b. ,Penyelesaian:a. = + (n - 1)b = 41

n = 1

= b = =

n = = 5 -1 = 9-5 = 13-9 = 4

b. = + (n - 1)b 9

=

= b = =

= = = 1

= = = 8 2Jadi n = 8

5. Jika 2 p, 4 p + 1 , 14 ialah tiga suku yang berurutan dalam barisan aritmetika, tentukannilai p.Penyelesaian :Diket:

-1 jadi +1 karena pindah ruas4 p + 1 2 p = 14 ( 4 p + 1 ) +1 (-) = -1

= 14 4 p - 2 p + 4 p = 14 - 1 - 1? 6 p = 12

P =

6. Tentukan suku ke-25 dari barisan aritmetika -3, 2, 7, 12, .....Penyelesaian :Diket:

= -3b = 2-(-3) = 7 2= 12 -7 =5


4/13

= + (n - 1)b -3 + (25 - 1) 53 + (24)5

3 + 120 = 117 7. Dalam suatu barisan aritmetika , suku kelima ialah 21 dan suku kesepuluh ialah 41.

Tentukana. suku pertama dan bedanya. b. Suku ke duapuluh.Penyelesaian :a. diket :

+ 4b =21 + (5-1)b =21+ 9b =41 - + (10-1)b =41

-5b = -20b =

Dari persamaan diatas : + 4b =21+ 4(4) =21+ 16 =21

= 21-16 =5suku pertamanya adalah 5 dan bedanya = 4

b. = + (n - 1)b= + (20 - 1)4= 5 + (19)4

4.2 DERET ARITMETIKAJika diketahui ,..., merupkan suku-suku dai suatu barisan aritmetika

maka ...+ disebut deret aritmetika ,dengan = + (n - 1)b .

Diket: jumlah n suku pertama= jumlah suku= suku pertama

b = bedaatau = suku ke-n

contoh:


5/13

1. Hitunglah jumlah deret aritmetika 3 + 5 + 7 + 9....., hingga 31 suku pertama.Penyelesaian :

diket:

= b = 2 dari 5-3= 2 atau 7-5 = 2

= = 31=31 x 33=1.023

2. Hitunglah deret aritmetika 3 + 8 + 13 + ....+ 108Penyelesaian :

c. = + (n - 1)b diket:108 = 3 + (n-1) 5108 = 3 + 5n -5 b = 8-3 = 5108 -3 +5 =5n 108110 = 5n n = ?

n = ?

== 11 = 1.221

3. Hitunglah jumlah semua bilangan kelipatan 3 diantara 100 dan 200Penyelesaian:Bilangan kelipatan 3 diantara 100 dan 200 adalah 102 + 105 + 108 + ....+198

Karena :dan karena diketahui nilai , maka kita harus mencari

nilai n.Sehingga:

198= + (n - 1)b =102 + (n-1)3

198 102 + 3 =99 =

=33Jadi,


6/13

=

= = 4.950

4. Diketahui jumlah n suku pertama deret arimetika -3 -1 + 1 + 3 +....ialah 192.Tentukan nilai n.Penyelesaian :Diket:

b = -1- (-3) =2n =...........?

) )

Jadi yang memenuhi adalah n = 165. Jumlah enpat suku suatu deret aritmetika ialah -18 dan jumlah enam suku pertaman

ialah -9. Hitunglah jumlah sepuluh suku pertama deret itu.Penyelesaian:

Diket, maka

: 2 ..................(1)Diket , maka:


7/13

: 3 ..................(2)..................(1)- ..................(2)

6 = 0 + 2bb = =3

..................(1)

Sehingga,

= 45

6. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika ditentukan oleh rumus= tentukanlah suku pertama dan suku ke 9?

Penyelesaian :== = =3== )

7. Carilah jumlah 100 suku pertama deret 1 + 3 + 5 +....8. Carilah jumlah dari deret 3 + 8 + 14 +.....+ 939. Carilah jumlah semua blangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3.

4.3 BARISAN GEOM ETRIBarisan geometri adalah bilangan dimana setiap suku kedua ke atas merupakan suk

sebelumnya dikalikan dengan bilangan tetap.bilangan tetap itu disebut rasio (r ).Contoh contoh barisan geometri

x 2 x2 x2

2, 4, 8, 16,.......suku kedua diperoleh dengan mengalikan 2 kepada sukusebelumnya dan seterusnya untuk suku selanjutnya.


8/13

Diket;r= rasio

contohtentukan rasio dari 5 ,15 45, 135...? penyelesaian;

r=

r=

contoh:1. Tunjukanlah bahwa barisan bilangan 108,36,12,...adalah barisan geometri.kemudiatentukan rasio antara dua suku berurutan .

Penyelesaian;Diket:

r= =

=

Karena (rasio) maka barisan diatas adalah barisan geometri

2. Carilah suku ke-7 pada barisan geometri 9, 3, 1, ,.......Penyelesaian:

Diket:n = 7,r = ,a =9

Jadi suku ke-7 dari barisan tersebut adalah

r=


9/13

3. Suatu barisan geometri memiliki carilahr dan tentukan lima suku pertama.Penyelesaian:Diket,

r =

lima suku pertama adalah;

4. Tentukan banyaknya suku dalam barisan geometri 81 , 27, 9, ...,..Penyelesaian;Diket; ,.. ,..n= .....?

3 =n-13+1=n n = 4

5. Diberikan ( x-8), ( x-4), ( x+8), adalah tiga suku berurutan dalam suatu barisangeometri.tentukan nilai x.Penyelesaian;

Diket;


10/13

4.4 DERET GEOMETRIDeret geometri adalah penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut.

diket:

a = suku pertama r = rasio n =suku ke

contoh:1. carilah jumlah tujuh suku dari dari deret geometri 1 + 2 + 4 + 8+.... penyelesaian:

diket:a = 1 ,n = 7 , danr =karnar > 1 maka rumus yang dipakai:

2. hitunglah penyelesaian:diket:a = ,

langkah pertama mencari nilain

untukr 1 atau


11/13

ruas kiri dan kanan untuk menghilangkan

5 =n-15+1=n

n =6

3. jumlahn suku pertama suatu barisan geometri adalah 93. jika suku pertama dankedua deret itu berturut-turut 3 dan 6, tentukan nilain. penyelesaian:diket:

karnar >1 maka

ruas kiri dan kana dibagi 3 untuk menghilangkan 3 diruaskanan.

31 =32 =

=n = 2

4.5 DERET GEOMETRI TAK HINGGASuatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah tertentu (konvergen)jika rasio

deret tersebut terletakpada interval -1


12/13

Diket :a = 2,r =

b. 3 + +Penyelesaian:Diket :a = 3,r =

2. suku pertma suatu barisan geometri 24 lebihnya dari suku kedua. Jumlah sampai takhingga adalah 54.tentukan rasio barisan geometri itu.Penyelesaian:Diket:

,sehinggaa - ar =24 a(1 -r )=24..(1)

a = 54 (1 -r )(2)1 dan 2 a(1 -r )=2454 (1 -r ) (1 -r )=2454 (1 - 2r + )=2454 - 108r + )=24sama sama dibagi 6 untuk memperkecil angka9 - 18r + =49-4 - 18r + =0

- 18r + 5 =0(3r - 5)(3r - 1) =03r 5=0 3r 1=0


13/13

r = r =

jadi rasio deret geometri tak hingga adalah karenar < 1

3. Suatu deret geometri ditentukan oleh .carilah terkecil sehingga

jumlah n suku dan jumlah sampai tak hingga mempunyai selisih kurang dari .Penyelesaian:

maka = < 1

..(1)

=

Documents

modul matematika .doc