SbtumC ,ou"****,

KclcI rdfn

Agoes 5 Soecfomo

Progrw$GHdn k 6eod..esi"lb@tikeFektrltas llmu & Tekeo+i KGbupklnlnstitut Teknatcst Bandurrs[

o@Conyright (rrc rght to copy)

KATA PENG${TAR

Wata ng Syutur bei AlH, SWf png Mr rnaqieinbn EMimpdasar-eff ffin Wai atnt pltlipn ma qara nwgi;hpqMtupanffi.f.$on ?i dlrffi&n dapt MrTranffi 4i pnfu. yang tu-IMk waik n?sty:$W,dasr nelah WWn Wuiarw-pitnlW &l* mula bwtf pttg dapt'OnHiptwr &,btpk WrUlanan.@i pnfu fary Hah bntak nwU*hui malah iri^ plufrs angatry snn hn kitik urtfi,tk ptfiglabn ffib p'tuitan. hn fuiFnW ppgbdum &n tugtn,ma,ryMui nebh pWn^pciA;nsr dr?tu mya @i an& agr ept md4asliin itmuWlrrat.Wrttnpn WutBrytray S4;aU ffiNdi dabrn Wtib inihptmemfuibn nanfu mlaupn kail bgi pnfu dalian -

Hormat soyaPe'nulls

fiada yang lebihmembahagiakan diri,sel-ain memberi guna

pada orang lain.

EAFEffi Tsf

Kata,FenflantarDaftar I$BrgraN r rOSlgEP iD464RBAB I'PEIIDAHULI'AII

1.1. fEnggthn Umum Transbrm6l1,2. Fararneter Transformasl1.3. rengertian.Umum Kmversi

1.4. Transbnnasi Daturn

BA6a$r IL W ?DBAB II }IETODA HELIIERT

PEI{YETESAIAI{ dAIAM BENTUK MATRIXCOlffO]f gOAt 3 TMNsiFotRtltAsl HELIIERT

A. Transbrmasl UmumB; Transfurmrel Slstern Koordinat Lokal ke Sbtem

Proyeksl Cffi-3") :C. Transformasl Ditlam Hltungan Potigon

SOAL - SOAL I.ATIHANBAB IIT HETODA LAUF

CO! TOH SOAL: TRANSFORMASI LAUFSOAL - SOAI. TATIHAN

BAB TY UETODA AFFIT{ECO]IToH s(}AL : RA}ISTRMASI AFFINESOAL - SOAL LATIHAN

BAIAN rTt TONIfERS TOQRDIT{fiTBAB V KONVERST KOORDINAT GEODETTK i+ PROYEKST

5. I. KONVFRSI KOORDINAT GEODETIK E) KOORDINAT PROYEKSTurltrrlq-3o

5.2 KONVERSI KOORDINAT PROYEKSI UTMfTM-3o EeK@RDINAT GEODETIK

COTITOH SOAL : KONI/ERSI GEODETIK C' PROYEKSICOIITOH SOAL : KONVERST PROYIKSI E:} GEODETIKSOAL - SOAL TATITIAN

BAB \/I I(OT{I'ERSI GEODETIKC+ GEOSENTRII(6.1. KONVRSI KOORDINAT GEODETIK KC GEOSENTRTK6.2. KOM{ERSI KOORDIfiAT GEOSEHTRTK KE GFODFNK

OOilfOH SOAL : l(Olrl\IERSI GFODFIIK + GEOSEI'IIRIKgO$fOH. Stt L : KOMIERSI GEOSEi|TRIK c

GEODETTKSOAL - SOAL T.ATIHAN

l{o1.,

tt1

II6a9

!o

10t6x919

242527283339{1/fil46

47

58

56

s7596o626363646{6566

a a a l a . a a a a a a a . a .

BAB VII rONVERSI TOPOSET{TRIK 4 GEOSENTRIKOOlfTOlt SOAL 3 KOIif\TERSI TOFOSEIfTRIK E GEOSAffRIKSOAL - SOAI I.ATIHAN

BI@Alr w D#ruli slcFrEAB VIII DATUII SHIFT

1. PET{GERTIA'I DASAR2. DATUIf stlIFT (PERGESERANT DATLI!{)

. COilTOH SOAL : DATI,M:SHIFT, 3. TRAtitSFOR'lASf KOnFORtit EIIRSA - WOLF. CO'fTOH SOAL : TRANSFORIIASI BURSA. WOLF

4. TRANSFORIiIASI KOI{FORF{ ]tlOtODEHSfCf - BADEI(AS

8A6IAN V TRAT{SFORIIASI KOORDINA'T ANTARpt\tA PRotlffigE

BAB' ff nmrsroR!|A$ ArrAR rcl$A1. PERT{MBAT{GAN DASAR2. TRANSFORIIAS-I PAdA FC}LYEDER3. !3AI{SFORMASI -pada U T t{ / T M-3o

lRliNSFORtiiASt GotlT,HAn|}rCOffTOH SOAL : IRAT{SFOR}IASI GOTTHARDT

. . a a a a r ' a a r a . . t a a

r&f.g,6a70

7Z

727276787982s4

86

8686a7898992

97MFT.AR ru TATA

IITAPIRAN I-fiTt.JhIcAN fiTATRIX

t8

Sislnf & Tranrbmapit t

Stsfert & Tranfomasl Koodinat BAGIAN ' KOA'SEPDASARFenfe|esaran l3 Soallrffnn

OBYEK ALAII

Diagram l. Terladinya Koordinat

Acuan sbtemAcuan httunganSatuan hitungan

Tlul(Perlu digaris-bawahi berikut ini, berdasarkan diagram 1, bahwa dalam mengartikan sistem koordinatterdapat beberapa aspek yang penting artinya, yaitu :

: ffiffii:gffiffiTeter'danUntuk itu, perlu ditinjau kembalidasar pengertian Sisfem koordinatn.Untuk singkahya, dapat dikatakan bahwa:

"Sistem koordinat adalah suatu kesatuan yang dibentuksedemikan rupa dalam menyatakan letak atau posisi obyekyang tidak tergantung pada obyek lainnya."

Sebagai akibatnya, dapat dikatakan bahwa sistem koordinat terdiri dari beberapa komponenpembentuk yang bersafu dengan aturan atau tata-cara tertentu- Pada dasamya, hal pertama yangperlu diperhatikan pada sistem koordinat adalah :

o Besaranc Satuan

Bidang acuan hitungan dapat berupa bidang datar dan bidang lengkung (baik permukaan bolaataupun ellipsoid)-

Penempatan gans atau bidang referensi koordinat, terdiri dari :r Pemyataanlpendefinisian gar's atau bldang referensl koordinat (berikutnya

disebut sebagai sumbu)o Letak pusat koordinatr Orientasi/arah "sumbat"koordinat

Tata-cara pemyataan pasisi obyek, dijabarkan dalam :o Besaran yang digunakan, yaitu besaran untuk Jarak danlatau sudutr Satuan skala yang digunakan (mengingat 'panjang" skala sumbu koordinat dapat

berbeda)r Banyaknya fiumlah) sumbu yang digunakan yang menyatrakan pula Dfmensf posisi

obYek

Berdasarkan uraian di atas, maka terdapat beberapa jenis sistem koordinat yaitu sistem koordinat2D (bidang) dan 3D (ruang).Adapun nama dari jenis sistem koordinat dapat berbeda, karena perbedaan aspek-aspek yang telahdiulas diatas.

I@

Pelengkap ffK S.f.K

Slsterr S lhanlbrnasl Koufrnat BAGIAN ' KOI'SEPDASARErydesatan t Soaltatrlnn

o Jenis-ienis sistem koordinat:(tinjauan sah.ran yang digunakan dalam menyatakan kmrdinat obyek)

o bidang acuan hitungan adalah bidang datart menempkan afuran garis-lurus antiar obyekr besaran yang digunakan adalah besaran sudutdan panJang {arak}I menerapkan satu garis-lurus (arah tetap) sebagai acuan sudut ke obyek lainI koordinat obyek dinyatakan relativ tefiadap (dari) suatu obyek tertentur bidang acuan hitungan adalah bidang datar, baik 2D atupun 3Da menerapkan aturan g4ris-lurus sebagaisumbu (garis acuan)r setiap sumbu diletakkan saling tegak lurusr besaran yang digunakan hanya besaran paniang fiarak)o koordinat obyek sangat tergantung pada :

r letak pusat salib sumbuo orientasi(arah) sumbu, dan. selang skala

o bidang acuan hitungan adalah bidang lengkung (bola atau ellipsoid)o menerapkan aturan garis-lengkung sebagaisumbu pada permukaan bidang hitungano setiap sumbu diletrakkan saling tegak lurusO besaran yang digunakan hanya besaran jarak sferls lpada bola) atau larak irftsan

normaf utama (Wda elltPsolda)u Nama/sebutan sistem koordinat:

Pada prinsipnya, nama sistem koordinat ini dikaitkan dengan jenis yang berbeda. Nama-namasistem koordinat berikut ini, telah umum digunakan dalam masalah Geodesi.Dalam hal initerdapat 2 (dua) model koordinat yang dapat dibedakan secara tegas, yaitu :

1. Sistem koordinat relativ, yaitu : suatu obyek dinyatakan relativ terhadap obyek lain yang

z. 3if""#i9ffff'ffi.llfr?:X"itu :semua obyek dinyarakan rerativ terhadap obyek yanstefap (dalam haliniadalah titik pusat koordinat).

Walaupun demikian, terdapat model 'kembangan" yang menjadi suatu sistem koordinat pula,seperti:

r banyak digunakan pada pemetaan (surveying/llmu Ukur Tanah), yang merupakanpernyataan koordinat relativ.

I metoda-metoda pengukuran (sudut dan jarak) pada surveying, menggunakan sistemkoordinat ini.

r pemyataan koordinat obyek bidikan, dinyatakan relativ terhadap titik tempatpengamatan.

r banyak digunakan pada pemetaan dengan sistem proyeksi tertentur arah sumbu Y menJadi arah Utara Peta (lltan Grtd,, dapat diorientasikan ke arah

utara geodetik

o Merupakan sistem koordinat Cartesian 3D dengan rincian sebagai berikut :r pusot salib sumbu (pusat ellipsoida) diletakkan pada pusat massa bumio sumbu ke 3 (sb Z) tepat/berimpit dengan sumbu putar bumi. sumbu ke 1 (sb X) merupakan garis potong bidang meridian melalui

Greenwich dengan Equator. sumbu ke 2 (sb Y) merupakan garis potong bidang meridian 90o Timur

Greenwich dengan Equator

Peleogkapf,tK S.f.K

Sisfam t Tnnfontasl l(anilnat

o Bidang Datar

BAG'AN ' KOTSEPDASARftrfp esarar & Sodtatiltan

. Merupakan sistem kdordinat Carlesian 3D dengan rincian sebagai berikut :o puSt salib sumbu dilebkkan pada tempaipengamatano sumbu ke 3 (sb Z) tepat/berimpitdengan gads nomtatmenuju titik Zenitho sumbu ke 2 (sb.Y). merupakan garis singgung meridian tlmpat pengamat

menuiu utana geodetik.' sumbu ke 1 (sb X) merupakan garis singgung irisan normal utiama tempatpengamat

Merupakan sistem koordinat Kurvalinter pada permukaan elllpsoid dengan rinolansebagaiberikut:

: : lH:13ffi:1"ffi:13ffifl1?1"'"f#s.ianmeraruiGreewichr Besaran koordinat dinyatakan sebagai : .

' Bujur : "sudut yang dibentuk antiara b'rdang meridian melalui Greenwichsampai

.d.en-gqn brdang merarui titik yang dimaksud, positiv kefimurddlSOh' Llntang : "sudut yang dibentuk antara bidang/garis normal melalui titik yang

r Merupakan sistem koordinat Kurualinier pada permukaan bola dengan rinciansebagai berikut:

. badang acuan "mendatiaf adalah Equator

. bidang acuan "tegaK adalah bHang meridian metalui Greewicho Besaran koordlnat dinyatakan sebagai :

' Bufur : "sudut yang dibentuk antar:a bidang meridian melalui GreenwichTmpai ,o."lgqn bidang merarui titik yang dimaksud, posiuv keTimurdd 18O".

' Lintang : "sudut yang dibentuk antara bidang/garis normal melalui titiksampaidengan Equator, posftiv Re lltan Vd g0o,,

SISTEII KOORDINAT 2D

Koordinat Pplar:l c[1rd1 atiau crsrdlr) o2rd2 atiau crscrd2

Koordinat CarteialuI Xa rYar Xe, Ye0 Xc,Yc

Koordinat polar, menyatakan posisi titik relativterhadap titik lainnya. Parameter sudut pada sistemini, dapat beracuan garis sejajar sumbu X ataupunsejajar sumbu Y.

fsnglngFt banyatnya ragam slstem hoordlaqt dai bcsar elllpooldyang nungldn dlgune|.qn, maka dqta'n melatutaa transforiast1rcrlu dimengertl dengan pastt sistem Loordinat yang dlgunehan

llustrasi 1 : Sistem Koodinat 2D Datar

PerangkaptfK S.f.K

. Permukaan Lengkung

Slstcn &Tralllomasl l(ootdnat@

BAG'AN ' KOA'SEPDASAR

ELUFSOIDA

gpris nomalmelalulttt

Koordinat Geodetik Koordlnat Astronomikllustrasl 2: Slstem Koodlnat 2D kurvallnler(tengkung)

SISTET KOORDINAT.3D

( Pe rh atikan ifustrasr 3. )Pengubahan koordinat titik antar sistem koordinat dengan bidang acuan/permukaan hitungan yangsarna, disebut dengan Tnnsformasl Koordlnat-Pengubahan koordinat titik antrar sistem koordinat dengan bidang acuan hitungan yang berbeda,disebut dengan Konrrerci Koodlnat.

ZLI

Nomal elllpsoidmelalul tldk

t llustrasi 3: Sistem Koordinaat 3D DatarSistem Koordinat Geosentrik, dinyatakan dalam : X,Y ,ZSbtem Koordinat Topoeentrik, dinyatakan dalam : T, U , H

tltr

i t '

a----.-.i-----..-.-+_.-.---.--..--.--"_.l---_-:a

- - + ,

- - - l

F:-:-::[-_-7

Pdengkap ItK S.f.X

Stsilcn, t Tlutfomasl r

Srsftnr & TnnJonlrn.d Kprdrnal#

BAG'AN ' KO'YSEPDASAR&nF{esaten E SoalLaliDan

Gambar 1. memperlihatkan perubahan pusat koordlnat sistem lama (salib sumbu x,y) ke dalamsistem baru (salib sumbu X,Y)Pergeseran/banslasi fransbrmasi dinyatakan sebesar aX , AY Besaran hanslasi inimerupakan *besar koodinat titik pusat koodinat lama pada sistem koordlnat baru'. Halini akan beraklbat pada koordinat titik yang dinyatakan di dalam sistem koordinat lama (misaltitik A) , yaitu xr + Xr dan yr -+ Ye.Secara mathematis, dinyatakan sebagai :

)Q=xr+AXYn=yo+AY

Rumusan di atas, digunakan untgk menghitung koordinat titik-titik dari sistem lama ke sistembaru.Dalam prakteknya, aX dan AY' dihitung dari beberapa titik yang ada Tltik-titjk tersebutdinamakan sebagai titlk sekutu (common point).

. BsbiParameter transformasi berikutnya adalah parameter berupa "putaran" salib sumbu lamaterhadap salib sumbu baru-Gambar 2., memperlihatkan putiaran salib sumbu xoy menjadi XOY dengan besar putaran(rotasi) cr .Yang perlu dipefiatikan di sini adalah pusat putaran. Rotasi pada Gambar 2., merupakanrotasi absolut, yaitu rotasi yang dinyatakan pada pusat koordinat. Akibat rotasi absolut ini.maka seluruh obyek yang dinyatakan tefiadap sistem koordinat tersebut akan ikut terputar.Secara mathematis, dinyatakan sebagai :

Xe = xr.Cos o - y1. Sin crY1 = !a.Gc ct + xa. Sin cr (1-2)

D imana :cr = besarnya sudut rotasi dari sistem lama ke sistem baru , positiv untukperputaran berlawanan jarum jam

o Perbesaran skalaSuatu sistem koordinat, tidak mungkin terlepas dari besamya selang/rentang skala yangdigunakan, mengingat sistem koordinat harus mengandung skala.Selang skala yang berbeda, akan berakibat pada perbedaan pemyataan koordinat titik,sehingga apabila terdapat 2 (dua) sistem koordinat yang menggunakan selang koordinatberbeda, maka dalam menyatakan koordinat suatu titik akan berbeda pula.Gambar 3, memperlihatkan 2 (dua) salib sumbu yang berimpit, namun menggunakan setangskala yang berbeda.

Rotasi

Pelengkap ilK S.f.r(

Ststent & Trarlfotm*l K@tdtnat BAGIAN ' KO'VSEPDASARPeiltpesairln t SoalLadlran

- r - r - r1

Gambar3.Parameter Perbeearan (Scalling Factor)

Pemyataan mathematis untuk titik A adalah :X l= l x rY l=xy r

D imana :l" = parameter perbesaran, yaitu perbandingan antara selang skata sistem lama

terhadap selang skala sistem baruKetiga parameter transformasi ini mungkin bergabung (menyatu) dalam suatu transformasikoordinat.Dglam pnffieknya, besaran parameter trans'formasi ini dihitung/didapatkan berdasarkan titik-titlk yary talah dinyatakan dalam kedua sisfem tersebuf. Tidk semacam ini disebut dengan"Tltik Sekufu" (common point).

1.3. Penqertian Umum KonversiTelah disinggung di atas, bahwa

.perubahan/pengalihan koordinat dengan bidang acuan yangberbeda' disebut dengan konversi koordinat. Dalam hat ini, terdapat bairyak kemilngkinan yangakan dijumpaipada kajian Geodesi, antara lain :

Mengingat masalah pertama terseb.ut di atas, merupakan perihal hitung Geodesi, tetapi seringdijumpaidalam masalah transformasi peta, maka akan diulas pula dalam tuiisan ini.

+F

--------)F--rIII

YIII| . " \B--.ql

Sfsaen, & Tranfoxlnes/ l(oplrdlnat BAG'AN ' KOI'SEPDASARPwrnhsalan A Soarlrdrtatt

llustraii 6 : Konverci Geodetik

1.4. Transformasi DatuJnDisamping transformasi dan konversi yang telah disinggung di atas, terdapat masalah lain yangdapat menjadiperhatian utama dalam Geodesi, yaitu DATU|LPengertian datum secara singkatnya adalah :

" Suatu besaran ataupun ketentuan yang harus ada, di mana besaranldatum tercebutmenentukan besaran lainnya, sehlngga dikatakan sebagai acuanlreferensi bagibesaran lainnya"

Berhubung datum merupakan referensi atau acuan bagi besaran lain, maka dalam masalahgeodesl, tldak akan dapat dihitung ataupun dihasilkan suatu besaran, blla datum belumlfidakditentukannya terlebih dahulu.Untuk ini, harap diingat kembali bidang$idang acuan/referensi pada Geodesidan kaitannya, yaitu :

Dalam perihal hitungan bidang datar (masalah peta ataupun surveying), dikenal dengan datumbidang datar, berupa :

o Le tak t i t i kpusa tsa l i beumbu IO{0 ,0 ) lE Arah sumbu Y positiv , dantr Selang skala

Dalam pnffiek surueying, ketiga hal tersebut, dinyatakan sebagai :r Koordlnat titik awalr Sudut jurusan sisi awal , danr Satuan koordinat (meter)

Dalam kawasan luas, di mana bumitidak sebagai bidang datar, maka datum ini berupa ellipsoidadlseftai dengan karaHeristik:ellipsoida tersebul Adapun pengertian titik datum Geodesiadafah ketentuan berupa 'pelehkan" ellipsoida yang digunakan, relativ terhadap geoid. Iniberarti bahwa akan ditunjuk suatu titik tertentu dan ditentukannya besaran{esaran dasar yangmenyatakan posisi ellipsoida relativ terhadap geoid, berupa besaran undulasi dan defleksl vertikal(pada titik datum), disamping bentuk dan besar ellipsoida yang digunakan.Transformasidatum, pada dasamya, bertujuan untuk mengatasi masalah antara lain :

B Pernyataan koordinat obyek muka bumi, bila elllpeoida berbeda/bergantio Perubahan koordinat obyek muka bumi, bila tetak ellipolda berganti, baik pusat

ellipsoida, maupun arah sumbu karakterbtik ellipsoida.

PENGERTIAII ATAS KOI|SEP DASAR, merupakansyarat utama untuk pelaksanaan keria yang

ffi*frE

i--------,-i{::--:;

ke Geosenbik

PelagkapfK S.f.K

Slrtrnr & Trutfomasl l(ootdtnaa BAG,AN "

TRANSFIORHASI 2DFenyeresalan ti Soaf tatrlnn

BAGIAN N TRANSFORMASI 2DTerdapat beberapa metoda bansformasi bidang datar 2D yang dapat diterapkan (diaplikasikan). Setiapmetoda mempunyai keistimewaan dan kegunaan yang berbeda, sesuai dengan asumsl dasamya..Rumusan transformasi dengan metoda yang berbeda, dapat mengakibat hasil akhir yang berbeda, baikdalam bentuk koordinat titik hasil hansformasi, maupun dalam bentuk geometrik obyek (selain titik).Dalam tulisan ini, metoda untuk bansbrmasi bidang datar yang akan dibahas adalah :

o Metoda Helmerto Metoda Lauf , dano Metoda Afflne

Setiap metoda, akan memungkinkan untuk diterapkan melalui :r Cara numerik:

* Biasa (tanpa "ukuran lebih'). Least Squarc (dengan nukuran lebih")

r Gara numerik dengan bilangan imaiinerr Gara grafis : untuk mengetahui hasiltransfonnasimelalui harga pendekatan.

Mengingat setiap metoda transformasi, berdasarkan pada asumsiyang berbeda, maka metoda transformasitertentu hanya baik untuk diterapkan pada kmus tertentu (tidak se,mua kasus)-

Metoda ini ditujukan untuk transformasi koordinat titik dengan an(Xlapan (asumsi) :

perbesaran tetap antara sistem koordinat lama dengan sistem koordinat baru)

Sebagai akibat dari anggapan di atas, maka metoda ini hanya berlaku untuk hansformasi :

antar titik < 15 km') (umarvono p,2fito)

Keadaan terbaik setiap metoda transformasl koordinat adalah bila trtrfr-dAJr oby* (yangakan dltransformasikan) berada "di dalam'laring tltik sekutu.

r:,

Y a - ;

-=={,

' r . -

,

,

t,.

o , j - r---*-

a = titik sekutuo = titik obyek

X, Y = sistem koordinat "bartx, y = sistem koordinat "lama"

llustrasi 7 : Distribusi Tttik Sekutu dan Obyek

Pelengkap tfK S.f.K10

Srstem & Tranlotmasl K@tfinetff i

Pada metoda Helmert:

BAG'AN N TRANSTONNAS' N

r>

- . | -

xGambar 4.

Metoda HelmertKeteranoan:

koordinat titik pada sistem koordinat lamakoordinattitik pada sistem kmrdinat barukoordinat titik pada sistem koordinat'antara'parameter/besaran banslasidari sistem koordinat lama ke baru

Untuk penurunan rumus Helmert, dapat ditempuh 2(dua) cana, yaitu : melakukan hanslasi kemudianrotasi atau sebaliknya. Gambar4., memperlihatkan rotasi .terlebih dahulu.Rotasi : ( dari x,y ke X,Y )Misalkan : paqjang vektor dari pusat koordinat sampai titik obyek adalah D.

padasistem x,y : x = D SlncrY = D Coacr

padas is tem X ' ,Y ' : X ' = D S ln(a+ro)Y ' = D G o s ( a + o ) .(2-2b)

atau : X'= D ( Sin cr Cos o + Cos cr Sin ro )Y '= D (CoscCos ro - S inc r S ino )X '= DS inqCoso r + DCosa S ino )Y '= DCosaCosa r - DS inc r S ino )

Substitusikan (2-la) dan (2-1b) pada persamaan-persamaan terakhir:sehingga: X'= x Cc ro + y Sin o

Y'= y Co66) * x Sinor = -x Sino + y CosorTranslasi : ( dari X,Y'ke X, Y )

) ( = x '+ )GI = Y ' + Y o

Bila :

.........(2{a}

.........(2-5b)

Apabila tetdapat perbedaan faffior skala dari sistem koordinat lama ke baru yang konstan(misal : sebesar l. ), maka rumus Helmert tersebut dapat dinyatakan sebagai :

Ya,

tt

X r Y =X,Y =Xt, Yt =

t,% =

.........(2-1a)

.......-.(2-rb)

.........(2-2a)

.........(2-3a)

.........(23b)

Goo = a- S i n o = !

t =GrY o = C ,

) (= ax -by+Grf = bx +ay+Gz

Pe{engkaptfK S.f.K1l

Stsfen, & Ttalllfwnracl Kootilnst BAG'AN "

TRANSFORNAS' 2DFanyrbsaran t SoJt d[art

a= leosro ; b=- lS inoX" =Gr i Yo =Cz

Untuk menghitung nilai I dan : digunakan :

I=\pFro = Arc Tan ( -bra )

Rumus (2-6) berlaku untuk semua titik baik titik obyek maupun titik sekutu, Untuk dapatme,pghitung besaran i , b , Gr dan Cz (sebanyak 4 variabet pada 2 peuamaan), maka dalimaplikasi metoda Helmert, diperlukan mlnimal 2 (dua) titksekutu.Berdasarkan koordinat titik sekutu, dapat dihitung besaran tnansformasi di atas. Berikutnya besarantersebut (besaran transformasi), digunakan untuk men-hansformasi-kan titik-btik obyek.

B Transformasi metoda Helmert dengan ttik sekutu > 2 titik

Syarat cukup pada metoda Helmert adalah 2 (dua) titik sekutu, tetapi bila titik sekutu yang akandigunakan lebih dad 2, haruslah melalui hitungan perataan (adjustment). ,.Berikut ini, akan dituliskan penggunaan Least Square untuk hihingan titik sekutu > 2 melalui matrixdan menggunakan "perataan parametef dengan parameter yang dimaksud adalah parameter(besaran) transformasi.Persamaan (2-5) , dapat dinyatakan sebagai :

ax - by+Cr -X =Qb x + a y + Cz -Y = Q

Bila persamaan tersebut diterapkan pada titik A dan titik B ( titik A dan B adalah titik sekutu ) dandinyatakan dalam bentuk matrix, maka tertulis :

O ...... tz-rl

.........(2)

-Ye 1 0-Ya 1 0xAo lXsO1

( ) r ' lla I lx^l

. lb l - lx" l=I c ' I I YolL""J L""J

r--aa-J

Matiix X Makix F

d i m a n a :

Keteranqan :

A.pq-F = OA = matrix disain ; tXI = matrix parameterF =mat r i xkons tan ta ; O =mat r i xno l

Pq= = lrqt.al -t . Ar.F

Ar = Transpose matrix AtA nft = Inverci matrix [At A]

Il] . . . . . . (2{}FeJenglep lfK S.f.r(

t2

Stsrsnt & rigrlbznasl Koodinat@

BAG'AN "

TRANSNORNAS' 20

TitikSistem Lama Sistem Baru

x (m) Y (m) x (m) Y ('n)AB

X1Xs

YeYe

XeXB

Y1Yg

o Penyelesalan metoda Helmert-l (cara klasik)Misaldiketahui 2 (dua) titik sekutu A dan B, berupa :

Dapat ditulisankan sebagai :Xe = ax r - by r +Cr , Y r = bX r +dy r +CeXe = 3Xa -bYe +Cr , Ye = bXs +aYe +Ce

Dari keempat persamaan di atas, dapat dihitung : e , b , G1 dan C2Salah satu cara adalah bila :

d a n :

Axm (m) AYea (m) AXaa (m) AYas (m)Xg - x,{ Y e - Y a X e - X r Y6 Ya

= (Axm)' + (AyAs)' , maka :AX^B.Axae + AYo".Ayas

( drs)2AYls.AXAB - AX,qB.AyAB

( den)'

Cara klasik ini merupakan cara yang mendasar dan dapat dihitung dengan mudah, baik untuk 2titik sekutu maupun lebih. Bila titik sekutu > 2 titik, sangat dianjurkan menggunakanperhitungan matrix.Adapun langkah hitungan transformasi Helmert 1 ini, adalah sebagai berikut:

A. Cata penyeresaian subs0'firsi (AIJabar) :Gunakan ntmus (2-51, untuk titik sekutu. Akan didapatkan 4 (empat) buah persamaan,dengan 4 (empat) variable yang tidak di ketahui, yaitu : d, b, C1 dan C,e.Hitung terlebih dahulu besaran a dan b dengan ntmus (2-9l. Untuk ini, hitung :

O Ax,qe=)G - Xn ; AYag= Ye - Ye

.........(2-e)

1 .

2.

Pelengkap ftx S.f.K

o AX1g=XB - XA; AY^"=Y ' -Ynr (dm)2 = (Axag)2 + (Ayee)2

l3

Stsan, & Ttstfonnsl l(oodinat BAG'AN '' TRANSNORNAS' 2DFerrpecaratt E Sodl.aftlart

3. Hitung besaran C1 dan Q melalui ntfiius;'2J, dengan rnengguRakan besaran a cian b hasiihitungan langkah 2 diatas.

4. Hitung besaran o dan f, (bila diperlukan dengan rumus (2-6)l .5. Hitung koordinat titik obyek pada sistem koordinat baru kembali dengan rum.At (2-5), dengan

menggunakan besaran hasil hitungan langkah 2 dan 3 diatas.

B. Can penydesaran mdalui hlatix :Gunakan tumus (2-l unnsk titik sekutu. Perhatikan : urutan pemasukad elemen matrix.Jangan sampl terfrtkar-Matrix ffi, dengan elemen a , b , G1 dan G2 merupakan matix yang akan $ihitung (ttatrixPanmeter).Hitung matrix [X] dengan rumus (2-8).Besaran i , b , G1 dan C2 sesuaidengan yang tertena pada runrus (2-T) .Gunakan kembali rumus (2-7) untr.tk menghitung koordinat titik obyek, dengan urutan sepeftipada penyusunan titik sekutu.Hasif akhir (koordinat baaru titik obyek), merupakan elemen matrix F. Rumus (2-7) dapatdituliskan sebagai A.Pq = F.

o Penyelesaian metoda Helmert-2 Fitik Berat)

1 .

2.

3.4.5.

6.

Dasar penyelesaian berikut ini masih merupakan cara klasik, tetapi menggunakan bantuan titik lain(disebut sebagaititik berat), dengan asumsi(anggapan) :o Setiap titik mendapatkan (mengalami) translasidan rotasisama besaro Perbesaran jarak antar titik diterapkan setelah translasi dan rotasi (berikutnya)

Pe rh ati kan ilusfrasi be ri kut.Misalkan terdapat 4 (empat) titik.Gambar 5, disamping memperlihatkan konformitas metoda Helmert, juga dapat digunakan untukkajian penempan menggunakan titik bantu (titik berat) dalam melakukan bansformasi titikdtikobyek.

Titik P . sebaoai titik berat . dengan :o posisi pada sistem koordinat lama : xp, Vpr posisi pada sistem koordinat baru : Xp , Yp

Jarak ataupun sudut jurusan dari titik P ke titik lain (misal titik r) :Dpi = 1" dpr atauQ'?t = Crp; * ol a16U

D p r = d p l + A d p lC t t p i = c l p i + A g p l . . . . (2-{0}

d imana : Dpi , e'il ; pada sistem koordinat barudpr , crpi ; pada sistem koordinat lama

Adpr dan Acrpr merupakan perubahan jarak dan sudut yang dapat dikatakan sebagai dife-rensiasi dari besaran awal. Oleh karena itu, untuk menentukan besar perubahan, diterapkanturunan (diferensial) rumus jarak dan zudut jurusan terhadap setiap komponennya.

14Pe/engrep ilK S.f.X

(---'

Str6nr & Trrrlfotma'd l(oodlnatrut!,Eesatan t Soarf.edt rrt

A

dengan:

Konformitas tetoda Helmert

dx"+t#] dv.+t*] dr+t#]

BAG'AN "

IRANSFC,iRNAy 2D

.........(2-11'

.......(2-121

t#] dx,+[#] o,,adp,=t#]Acrpi=t#] [a""' Id+ + 1."r, J dy" +

r-dp r = \ l t r , - xp )2 + ( y , - yp )2I

( x i - x p )(IPi = ArC Tan ( y r - y p )

N q / a x p = % l ( & - x p ) z + ( y , - y r ) r f n . 2 t ( ^ - J ) ( x i _ + ) I= - (x , - xp) / I (x i - xp) t * (y , - yp) r l * = _ (X _ xp) /dpr

telah diketahui bahwa : Sin cr", = (X - xp ) / dpi , maka :Nn / 0* = - Sin upi atau : ddpi = - Sin up; dnpBerlakukan halserupa (anarog) untuk suku yang rainnya, sehingga didapat :

Adpl - Sln apl A$ - Cos opl dyp + Sin crp drq + Cos uet Nr

!\,,

t,

tt

t,

,ta

1--- M

PdengkapflK S.f.K 15

g*ne nunq,nil t.(oalfnet B,ACTAN t TRANSFORHASil ZLrutfuhsaron t SoalLalilnr

cegg4 Sinaer +- Goscel ^ SinaerAcrpr = - G, axP + -6- dve n -?r A* - T Ur,Berdasarkan persamaan (1-10) , maka dapat dituliskan :

Slnapr dlrp + Goe as dlp -Sinapi Drr -Cos an Oh + Al,odpr = 0coFae, ore- ff- Np_ ff. o*+ frer- dyt+ co=oopl

f-"t", J-l ' -''

"""""(2-13)(xr - xpl 5.- (yr - yp) r. (xr - xp) (y - ypl

d" ox. + d" dlP - d" a* a;l Nr + Al"'dpi= o0r-I") oxo - q# Np - ? o,

BAG'AN '' TRANSFORNAS' 2DSfsaert e TranfbrmaC t

SrsferD & TranfionmC t

Srstsnt & Trnfotmesl l(ndtnatFdrl,cresahn E Sodbilibn

BAO'AN N TRANSNOANAS' 2D

1.

2.

3.

5.

6.7.

Qa6 penyeia,*ian Hdmstl Wk BArf)tatix :

Hitung koordinat tftlk berat pada sisfem knrdinat lama lrp, ypl dan baru (lG , Yp), denganrumust (2-l 6), berdasarkan nilai/harga titik-titik sekutu.Hitung dengan rumus (2-15) :

dxp = Xp -rp i Olp = Yp -YpSusun matrix Al dan Fl untuk memenuhipersamaan (2-2r)- Untuk ini, hitunglah:

(xr - rp), (yr - yp), dpr ,......... untuk setiap titik sekutudrrr = Xr -Xr i dh = Yr -Yr,....,.... untuksetiaptitiksekutu

1. Hitung matrix X dengan rumus (2-22). ttntuk ini, hitung :X = + [A l roAl l - t .At r . f t

Hitung:(xn - xp), (y r - yp)' dp rr ,.- . --. .-. untuk setiap titik obyek

Susun matrix A2 dan BlHitung mabix V dengan ntmus (2-21) dari hasil hitungan langkah 4 dan 5.

V = + [BirrB{ l-r. Bir.A2.XHitung koordinat titik obyek dengan rumus (2-15) sebagai :

)$ =xra 0* ; Y, = yr+ NtSusun koordinat titik obyek hasil hitungan terakhir.

8.

9.

A" Transformasi Umum.

1. 2 (dua) titik sekutu

Transformasikan titik I dan 2 dengan metoda Helmert. !!

TRANSFIf ,RMAaI HELMERT

TitikSistem Lama Sistem Baru

x (m) y (m) X (m) Y (m)ABI2

+ 121,622141,228175,802513,520

I

T

128,066187,718120,2d2192,130

?

+ 1049 422,4OO+ 1049 413,950

??

+ 51 089,200+ 49 659,300

??

Pe{engftap ttK S.f.Xl9

i. Penvelesaian aliabarGunakan rumus (2-9):

St;|grr &TtutfonrrcI Koptdtt taFrydesalen A Sot ltdrprt

BAG'AN "

'RATSFORTIAS' 2D

a '= - 1,5123621Gr iX - (a r - b y )Gz?Y- (b x + a y )

; b =-0,2S?3991= I 050 003,654= 50542,139

Gunakan rumus (2a & b) untuk menghitung koordinat titik obyek pada sistem koordinat baru.Dan didapat:X=ax -by+Cr ; Y=bx +ay+Q

Titik x v x YI2

174,1U513.52C

- 120,262- 192,130

I 049179,898I 047 637,780

51 040,2565t 278.973

ll. PenvelesaiqF m-qlalui matrixSiapkan matrix A, dan F seperti pada rumus (2-7)

(| 121.e2 128.066 1

A= | 141.228 -187.718 1I

| -128.066 't21.622 0| 187.718 141.228 0 ?], '=[ro4gazz.aoo]5108e.20011049.[13.95{rl4e6se.309- o.ooosesel- 0.0026258 I

- 2.05650 E-17 I0.862s653J

Bentuklah Ar dan hitunglah Ar. Arl.r.sszszeos o 4.aaz62srrr

lA'Al' ' =l 0 i.99292E{5 0.0o0s95901l{r.002625771 0.0O059s901 0.862865293l{.000595901 4.OO2625nt 2.06650E-17\

Maka: ( I| - +.srzssz+a IX = I -0.259t99089 |

I rosoooa.sse IL s0542.13ej

Bentuk matrix A' (untuk titik obyek) :f ,ro.,* 1zo.mz t o IA ' = l 5 1 3 . 5 2 1 9 2 . 1 3 1 0 || -120.262 174.148 o 1 |I -1e2.13 s13.s2 0 1 Il l

Hitunglah'A'oX . Sebagai hasil akhimya adalah':r \ ( ' \I x, | | 1o4e17e.8es Ilxr l= l ro lzesz.zaolI Y'l I storo.zse IL Y' t 51278.s73)

Titik AXre AYan AXra AY^oBA + 19.606 315.784 8,450 - 1429.900

d'rn = 100103.930

Henglrqp ttK S.f.K?o

Srs{en, & fianJonnql K@trfnelRlrfles;atall S Sodt-adr&r

!tl. tlelalui titik berat !-

Hitung titlk bent pada sistem koordinat lama :(menggunakan koordinat ra,ta-ra,ta frtik *kutu)

mGIAN N TRANSFORNAS' 2T'

xp=131 . /8 i I p= 29 .& ]Hitung Ar ; Ay , d2 setiap titik terhadap titik benat (pada sisfem kwdinat lama) :

Dari AX AY d'ABI2

- 9.809.80

42.72382.10

157.89157.89150.09221.96

25 02s.9822s 025.98224 351.662

195 261-055

Susun maHr A1 (darifitiksekutu) , danf- o.ootnot - o.9s8o7a 1so.19o02

Al =l - 0.m6:!09 0.0m3917 0I 0.06i967 0.s980782 158.19603L 0.006300

- o.oomg2 o.oomooo

Fl seperti pada rumus (2-21) ._o

-) [- rreur.rooz'l1 l ; r r=1- 660o. ro5t l0 | | lre7.2326 11 ) L 66oo.6rrsJ

o ol001

o.fiX)oz o I0 0.500ryJ

Bentuklah Alr dan hitung inverse (A1r. A1)773.8787148.tt718

00

r| 12464.94375 -lArrarf = l- Trs.876r1

l0L0

Hitung X.: rumus (2-22)X

(-t*ot.tu*l= I 503,1.f.42400 I

| - 5.6123624 IL o.2s$eerJ

Susun matrix A2 dan 81 @an ffiik obyek), dengan beberapa nilai sama :( o.zTsrna - 0.s6r7e31 1so.0so1e22 o

-)M= l -o .ooo tos+-0 .0017544 o 1 l

i 0.9616962 - o.sozr:sl3 441.88s5310 0 |(-- o.oorrsoz -o.ootesc8 o I )( o.zTsrns -0.e617e31 o o I

Bt = l- o.ooetoga -0.0017s44 o o II o o 0.8646e62 -0.50229$lL o o - 0.0011367 -o.oo1es6sJ

Hitung A2 X, BtrB{, invetse B{rBl

tulqskaptfK S.f.K2l

l. Penyelesalan Hatrix (melalui perataan)Trk x v x YABct231

+ 121.Q2+ 141.?28+ 175.802+ 174.148+ 513.520+ 754,.444+ 972.78

128.066187.7181#.728120-262192-13067.706120.99r

+

+

+

+ 1O49 42,.44+ I O49 413.95+ 1 (X9 24/..95

????

51089.2049 659.3049 884.95

????

Sts{ettt t TtanffiJ t

9stcnf & Trutfolrttast l(@rfinea#

R4nlasdan ! SoaltatilnnBAGIAN

"

TRAflSFORilAS' 2D

Langkah hitungan untuk metoda ini tetap sama, meskipun jumlah trtik sekutu rnetebihi syaratminirnal.Berikut ini, akan diperlihat mabix-matrix yang penting.* T'ltik berat P :

(menggunakan Roortdinat ,,a,ta-,,arta semua trtik)& = 62.665 i yp =' 27.911

a Besaran daegllgnlgsgnalr matrix:Td( Ax ay d.. 5x 6yABcI234

56.95778.563

1 13.137111.483450.85!691.ZZS910.123

155.977159.807107.817148.173220.U195.61793.083

27E0d.93731710.3532#24.49134383.920

251688.848487701.470836989.020

10{93{r0.7t1M9272.7210.19069.1!

51217.2749471.5849749-22

) ( =

MatrlT A2 & A2rX:

f 0.601218899 -0.799084373

I {.0o4i}09382 4.003242313I 0.89868s97 -0.438603880

= I -0.@0874260 -0.001791321I

I 0.990582408 -0.136917836| -0.000196057 -0.001418449I o.o*sroozz 0.101743926I o.oootrtzrt -0.001087378

ilatrix B :

ffietoda tiiik berai

A l =

0.601218899{.004309382

000000

0.353571767{.0os609703o.411U1410.005039571o.7239249490.004414281

{.933107401-0.0021203940.897416600

4.OO2477fizo.689878734

-0.frx632130

166.7118123250

178.074008720

156.283367060

; F =

i A29X =

0000

-0.13691784-0.00141845

00

3zsosdr204;)994.866228 |50731s.r6445 |sl65.316869 |

7s3768.26qFS I1400'44136,:)

f- ro+ssss.erzl| 50s72.401 II s.srzrse IL 0.2$e3,

185.429015470

501.686005140

698.356263260

914.87104f.270

f ***.*l| rcrc.*nan II e18454.7218 || -10o7.65e314 II 102e033.4e5 II -276.es1255 I| 1044300.156 |L

62.21466101)*

-0.79908437 0 0 04.00324231 0 0 0

0 0.89868050 -0.43860388 00 4.00087426 4.A0179132 00 0 0 0.9905824100 0 0 -0.000196060 0 0 00 0 0 0

000000

0.994810620.00011121

3lsl

,.,L.,,I-0.0o10879

0101010I

Petengl

Strtattt t Ttutffi l(oorrsnat BAG,AN I' TRANSNORNAS' 2DBrtehsalan t Soarlrfharl

. Matrix V & Koordlnat baru)

[ = Koordinat -Baru -

B. Transformasi Sistem Koordinat Lokal ke Sistem Proyeksi (TU"}Berikut ini, akan diberikan contoh penempan (aplikasi) transformasi metoda Helmert untukmentransformasikan titik-titik dari koordinat lokal ke sistem koordinat tertentu (misal : ke sistem proyeksiTM:3o ).Mengingat bahwa terdapat cukup banyak cara hitungan untuk Helmert, maka yang akan digunakanadalah metoda Helmert'Dasar' (ltelmert l).Sebagai prlnsip mendasaruntuk melakukan transbrmasidengan metoda apapun adalah :

Koordlnat ttttk ob5roh dari sistem koordl-nt aIDaPun (slstemla-'al dtanggap sebagal sistem hoordlnat lokal.

Mengingat pada sistem proyeksi TM-3o atau UTM dan sistem proyeksi yang lain terdapat pembagianzona (lembar/blad) proyeksi, maka contoh di bawah ini hanya bila terdapat dalam zona atau blad yangsama, Hal ini akibat dari belum dibahasnya transbrmasi antar zona proyeksi.

Contoh :

TitikSistem Lama (Lokall Sistem Baru (pada TM-3")x (m) Y (m) X (m) Y (m)

TD4}TD-{4TD45

I23

+0,000

1802,7761 005,9841 655,563

513,716709,591

+

+

+

+

+0,0001,248

1 503,4623,716

675,0771 043,450

+

+

+

+

82017,57483 820,32383 025,349

590 662,930590 663,849689 160,70l

Keterangan :Dapat dilihat bahwa jumlah titik sekutu lebih banyak minimal, sehingga harus menggu-nakan hitung perataan (Adjustrnent = misal Least Square)

( r*or3.ia)I sr 160.882 |I r 047 14.111 |I sr azo.s6z | ;I t orc 822.66e II so zz3.srz II t*6zi.ese IL 1s62f,.1n)

(, *rs72s2)I rt 0,10.620 |I r 047 637.661 |

_ | 51278.737 |- | I 0/16 582.113 I| 50 6s6.106 |

I t oes w.rrt It estt1s.171)

XrYrXaYt)GYr)qYr

PeJenglrap tfK S.f.K?4

Rllrydesriiarn & Sar/lztrm

-r llatrix A{

A { =

.:. Matrix X :

& F (unta*fitiksokutul =(I o.ooo o.mo II r aoz.na -1.28 II roos.sel-1s03-462 II o.ooo o.ooo oI t.z+e 1802.776 oI t sos.46z i 005.984 oL

; F =

BAG,,f;{ I' TRANSFORNAS' 2D

82017.5i1183 8m.3238:l025.349

- 590662930- 590683.849- 589160.701

t' iiatrir Inveel AlrAl & AlrF :(I o.oooooosts 0.000000000 4-000298362

lAt rAtrt = | o.ooooooooo 0.000000319 0-m0159839I o.ooozsasoz 0.000159839 0-692846167I o.oootsgS3s {.000298362 0-000000000\

r.o*'tutttn-l4.000298362 | ;o.000o0oooo I0.692846161

f o.r*r.r-lx = | -0.00r2orsl

| 820r7.573ess4 |L- u* 652.s3fl1868j

* llatrix A2 (untuk tltik obyek) z

M =

* Koordinat titik obYek Pada TM3" :

Koordinat _

baru -

C. Transformasi Dalam hitungan Poligon

Contoh berikut ini dapat diterapkan pada kasus :1. poligon yang diketahui koordinaat hanya titik akhir dan awal, tanpa adanya sudut jurusan2.. pofilon

'oari trasit pengukuran dan sistem lokal, untuk dinyatakan dalam sistem proyeksi tertentu'

tanfa memberikan koreksi{

Slrlterr t Tanbrmasl l(an&nat' .tutydelrrrarn I SoallrdlPa

Sketsa:

BAGNN il 'RA'YSFORTIAS' 2D

Diketahui:

Data ukuran (dengan sudut kiri), dapat dilihat pada tabel hitungan poligon'

koodinat lokal

Susunan koordinat lokal (deftnitiv)

t Matrix Al & F (titlk sekutu) z

A 2 =0.000 0.000 I

153.621 - 463.959 10.000 0.000 0

463.959 153.621 0

Matrix X: r 0.88406073l

r= l - 0 .541312281| 82017.57r IL

- 5eo662.e3ojMatrix Koordinat Deffnitiv :

o ')

f 82 0r7.574-lo l ; F= l 82404 .531 11 I l -5eo662 .e3o lr ) [ -sso33s .s ie j

oe8.e2ol254.563 |24s.3 I5:10.077 |s18.e4r I310.8e6J

Koordinat -

baru -

iBz182laz

- l -ssol -5e0| -5s0L

Xtx,)GYrYzYs

Titik X t-t Y tnt H(-)TDT.32TDT.39

82.017,57492.404,531

- 590.662,930- 590.335,919

827,92828,22

firik B c[ S (n) Ar (m) r (m) Av (m) y (m)TDT-32

I

2

3

TDT.39

234"25',4r

10tr 12'50"

254" 03' 12"

0f 00'00"

54025',42"

342" 38',3?',

560 41', 44"

tso276

150,528

150,184

150,747

0'0+ 0,000

+ 0,(Xl0+ 122438

+ 122,438- ,14,806

+ 77,6t2+ 125989

+ 15!.621

0$+ 150276

+ 1il276+ 87565

+ Xt1.E4l+ 143345

+ f,El,lE5+ 82,773

+ {(i959dan

TitikKoordinat Lokal Koodinat definitif (TM-3-

x (m) Y (m) X (rn) Y (r)TDT.32TDT.39

Iz

3

+0,000

153,6210,000

122,43827,632

+

++

+0,000

463,959150,276237,UI381,186

++

+

82017,57482 4M,531

- 590 662,930- 590 335,919

Fe{engftaptlK S.f.K26

Stsfettt A ftarzlfonlnrsl K@tdlnatPqrydesrilan t Soaf l,adDan

BAG'AN "

TRANSTORHAS' 2D

1. Dlketahui:

Titik Koordinat Lama (m) Koordinat Baru (m)x v x YABc

Tb-lTb-2Blt-5Bu-2

120.9034.472

156.18231.95092-2813.5M

108.01r

234-8745.382

183.7912t7.532153.42570.762

105.345

3 612.6193 646-1003 413.936

6s 9r.66s66 19059166 r2l.m0

a). Hitunglah titik obyek pada sistem koordinat baru dengan menggunakan titik sekutu A dan Bt. Melalui persamaan aljabar2. Melalui hitungan matrix

b). Hitunglah titik obyek pada sistem koordinat baru dengan menggunakan semua titik sekuhl,melalui hitungan matrixl. dengan hitungan matrix biasa (Helmert-1)2. dengan melaluititik berat (Helmert-2)

2. Diketahui:

Tilik Koordinat Lama (m) Koordinat Baru (m)

x v X YABcD

Tu-1Tu-2TB.5TB-9

120.9034.472

r56. !82241.02231.95092.2813.544

108.01r

234.8745.382

!83.?9147.987

2t7.532153.42570.762

105.345

97 8{n.06897 858.95898059.(M597 &9.196

15 035552r5 29l.16l15 146.485r5 t89.802

a). Hitunglah titik obyek pada sistem koordinat baru dengan menggunakan titik sekutu A" B & C1. dengan hitungan matrix biasa (Helmert-l)2. dengan melaluititik berat (Helmert-2)

b). Hitunglah titik obyek pada sistem koordinat baru dengan menggunakan semua titik sekutu1. dengan hitungan matrix biasa (Helmert-1)2. dengan melaluititik berat (Helmert-2)

Fedengilp ilK S.f.r(27

Srsfern E fianfotmasl KoorrtndPtc/t}tr,glan tl SoalLatilPn

BAG'AN 'I TRANSFORNAS' 2D

Metoda ini ditujukan untuk transformasi titik-titik obyek, dengan titik sekutu yang beriauhan jaraknya (dapatmencapai t 80 km).Transformasi untuk titik yang berjarak jauh, di mana harus diperhitungkan f;aktor kelengkungan bumi yangakan berpengaruh besar pada hasil transformasi tersebut, maka diperlukan faktor tambahan dalam persFmaannya sebagai fakbr koreksi.pada dasamya, metoda ini memberikan koreksi pada jarak dalam bentuk penambahan suku persamaansebagai suku-koreksi. Semakin banyak suku persamaan diperhitungkan, maka semakin jauh jarak antar titiksekutu, dengan akibat bahwa semakin banyak pula titik sekutu yang harus ada sebagai pemenuhan syaratminimal.

,,

pada mulanya, transformasi Lauf, merupakan transformasi berderajat banyak (misal n), tetapi persamaanberikut ini untuk transformasi berderafat 2.

La.rf bederaiat 2 :

x = ax - by + c(x2 - f l - zdx! + C1 (3-1)Y = bx + ay + d(xz - l f l + Zcx! + G2

persamaan di atras, berlaku untuk semua jenis titik (titik sekutu maupun tilik obyek), sehingga setiap akanmempunyai 2 (dua) buah persamaan. Mengingat terdapat 6 (enam) buah variabel, yaihr a, b, c, d, C1 danCz , maia diperlukan minimal 3 (tiga) titik sekutu untuk dapat menggunakan persamaan tersebutBi6 persamaan (3-1), dinyatakan dalam bentuk matrix untuk setiap titik, maka dapat dituliskan :

x6 x l

x - yyx

dengan: n = banya$umlahtitiksekutu/obyek.Dapat pula dituliskan sebagai :

A.X - F = 0sehingga:

Model penyelesaianilodel Lauf-1.

cara mendasar yang dapat disebut

o METODA LAUF-l (metoda Dasar)Pola dan tata-cara hitungan transformasi LauF1, tidak ubahnya seperti pada metoda Helmert Imenggunakan matrix.Berikutnya, yang akan dibahas hanya hitungan dengan menggunakan mahix, mengingat:

dalam penguraian dan substitusi persamaan.

panjang Penguraian.

F2 n x l

A2 n x 6

( r ' - y t ) - ? r \2 xy (x' - y')

x = 1Ar.A1-t.Ar.Ftransformasi Lauf di atas, merupakan

(3-2)

abcdGrC2

, ' ]xY

(3-3)sebagai

Pelengkap lfK S.f.K

Sls{uar E Tranlfotmasl Koordnst BAC'AN "

TRANSFORNAS' 2DPnlrlestat E SodLadDaa

,1. Susun matrix A dan F berdasarkan titik sekutu (selanjutnya disebut dengan matix A1 dan Fl)2 n x l

xA -VrYe x1

At - l&- t -Ys

2 n x 6

tx^t - vfl 2xr yr2I^ t^_ (xt' - vt')(xe'-yE ) 2xaye-2 xa ie (xrt - yg'z)

X^Yr)G

:"IlVo e-. e ^ L i F l=Hitung matrix parameter (matrix X) dengan rumus (3).Bentuk matix A2, untuUdari titik-titik obyekHitung koodinat hasll transformasi titik obyek dengan rumus (33) :

F2 = A2.Xd imana : matrix koordinat hasil tnansformasi, dengan elemen matrix seperti F

matrix koefisien untuk titik obyekmatrix parameter hansformasi (hasil hitungan langkah 2. di atas

o IIETODA LAU F * 2 Selisih Terbagi (bil. Komplexl.Transformasi Lauf-2, merupakan penerapan mathematik dengan bilangan komplex.Rumus (3-1), dinyatakan dalam bilangan komplex, sebagai:

Z =Az l +Bz+G

d i m a n a : = X + iY = koordinathasiltransformast= x + f Y = koordinatlama= e + id = kooefisienvariabelderajat2(kuadrat)= a + rb = kooefisienvariabelderajatl(linier)= Cr + iC2= ;1gtt1tat

Pemecahan masalah dilakukan melaluiinterpolasiselisih terbagi(divided differences).Metoda ini baik digunakan untuk tftik sekutu minimal ,f (empat) titik.

Diagram Hitungan Selisih Terbagi

TitikSekutu z z

Selisih TerbaoiKe-1 Ke-2 Ke-3

A

B

c

D

Xn + iYa

Xa + iYa

Xc + iYc

f,o + iYp

xr + iYn

Xe + iya

Xc + iyc

Xo + iyo

^a(r)2.,A" z"lS') Z.

Att't Zt

tNt Z,AF)Z''

2.3.1.

(34)F2=A2=X=

(3$)

zzABc

PelengkaplfK S.f.K?9

S|stcrrr t ftlrfornrrasj r

Sts|urn A Trufiolnltasl Kwrdrnet BAGIAN N TRANSFORNAS' Nftnytesa|ar, & Sodlathan

E ilETODA LAU F - 3

Transformasi Lauf-3 berikut ini, merupakan metoda melalui harya pendekatan titik obyek. Koordinattitik obyek hasil bansformasi adalah :

7-, =/ao + L74 (3{)dimana : 4 = )Q + lYl = koordinat hasiltransbrmasidalam bentuk bilangan komplex

4" = r(," + fYro = koordinat pendekatan{sementara) pada sistem koordinatbaruAZi = NQ + i AYr = koreksi harga koordinat pendekatan (sementara)

Persamaan (3) berlaku untuk setiap titik, dengan AZl sebesar:

LZt = t74LZ'f, -741 - (7..8" -74

dengan:L74 = koreksi koordinat pendekatan titik t-L?+, = koreksi koordinat pendekatan titik C (titik sekutu ke 3 = akhir).AZnAo , AZso = koordinat pendekatan mik A dan B (dua titik sekutu pertama)

Berdasarkan rumus (3-8), nilaikoreksikoordinat oendekatan titik sekutu ketiga adalah:

L7,6 =4 , -74" (3-{0}

Dalam metoda ini, masalah utama adalah bagaimana cara mendapatkan harga :ts harga pendekatan setiap titik (titik sekutu dan titik obyek)F koreksiharga pendekatian titik sekutu ketiga , danD koreksiharga pendekatan setiap titik obyek-

Untuk ini, dapat ditempuh 2 (dua) cara, yaitu :1. Caranumeris2. Cara grafts

Perbedaan kedua cara ini adalah pada bagian akhir, yaitu mendapaRan koreksi harga pendekatansetiap titik obyek.

1. Cara Numerls.l Harga pendekatan setiap titik pada sistem koordinat baru, diperoleh dengan hitungan

transformasi metoda HelmertTnnsformasl, dltakukan dengan menggunakan syarat cukup metoda Helmeft, yaftudengan 2 (dua) tidk s*tttu yang dtptlih.

* Hitung koreksititik sekuh.r ketiga dari harga pendekatan hasil hitungan di atas, dengan rumus(3-{0} atau (3{}.

* Hitung koreksisetiap Utik obyek dengan rumus (3'9)a Hitung hasil akhir transformasi dengan rumus (3-8).

2. Gara Grafis.! Harga pendekatan seUap titik pada sistem koordinat baru, diperoleh dengan hitungan

transformasi metoda HelmertTtansformasi, dllakukan dengan menggunakan syant cukup metoda Helmer{- yaftudengan 2 (dua) tltlk sekutu yang dipilih.

* Plot semua titik berdasarkan harga pendekatan diatas* Hitung jarak vektor (modulus) koreksititik sekutu ketiga (titik C) :

(3-e)

Palengr@p tfK S-f.K3t

Srsdtt t Tnnfontwt rloorfrnatPcnFroselatt & SoalLadltm

BAG/AN N TNANSFORNAS' 2D

(3-t1)

tt Hitung sudut jurusan (argumen) vektor koreksidi atas, dengan :

f_ l a lkllzci= Arc ran ffi

. Hihrng besar modurus ( lazll ) dan argumen ( t|z,) ) ke setiap titik , dengan :

" Inzl= #fpf l^al1 AZc) = 0ton * coa - cocA - a"ce+ tAZcl

Nilailharga yang tertera pada rumus (3-l3a) dan (3-{3b}' didapaUdiukurhasif ploi di atas, kecuall modulus dan argumen A7'c'

- (lihat gambar Mrikut)

($r2)

(3'13a)

(3-{3b}

pada gambar

(3-14)

plot tifik transfonnasi pada sistem koordinat pendekatan (sementara)Hitung koreksi titik obyek (dengan rumus dasar) :

Hitung hasil akhir hansformasi dengan rumus {3-8}'NG = lo

StetamA fiaftmzd KnrfrnatPunfuh$n t Soalbdfnn

A, Transforrnalli Dasar (Lauf-{).

BAG'AN 'I TRANSFORNAST 2T'

Hitungan berikut ini, menggunakan penyeleeaian matrix-

* Uitrix Al dan Fi :

0.0000.000

A1 = | - 47872.19?- 8254.7.07748020.343

- 83415.004

82547.077 _ 45r??731il.359- 47872.192 7903419038.366

834.i5.C04 - 4652109550-48248020.343 - 801 1234206.853

0.000 10.000 0

- 7903419038.366 1-45222731il.359 08011234206.853 1

-4652109550.482 0

0.ooo0.000

0.0000.000

o -) (- ,rstr.s26-)

r I l - r * io3 .e26 lo I F l = l - 7os33. f r6 |1 | | -Zrr 516.834 |o | | zs rsa.sst It ) l_-zrzsss.aroJ

t. Hitung matrix parameter (matrix

Bentuk matrix A2, untuUdari titik-titik obyek( 906.737 -1G78.9o7 -1884349.7599 z -3?4o239.041

* = I 1678.967 966.737 322f6239.041 -1884349-75992| +ozrs.szs 20521.340 -3315179679-17o -5743190934'327f_ -zoszr.a+0 -40719.525 5743190934.327

-331517967e'170

Hitung koordinat hasil transformasi titik obyek dengan rumus (3.{) :I t,l f- noo3.2oc-)

12 = I Yr I = | - ezt42s.4i9 || *' | | - ss ssz.ass II v. l l -aesssz.t tz lt J \ )

t010 ;l

TR.ANBFEIRMAEII LA U F

TitikSistem Lama Sistem Baru

x (m) Y (m) X (m) Y (m)ABc12

+ 160 739,032160740,447173 219,581163 859,528171 089,6s1

+++

+

+ 34 899,07722502,20334 900,87631 800,25621 954,000

+++

+

173 219,581173221,'lO7160 739,932

34 900,87622 503,36334 899,977

Pelengt

Lauf- 2

Str{ertt Tturtut t & l@rdnaltutydcsp/rllr E Soarlrdrrert

BAGIAN "

TRA,,SFORTAS' 2D

*

t

Selisih terbaqi | :( 1 ) a z

/ l 7 . - #3A ' L l - z e - z e

Hitunq koordinat titik obJek denoan rumus /&7al :

ZaSUKU 2SUKU 3

Zr

- 22571.826 - 629 t03.926968.560 1 677.467- 0.000 -8.7u72E-ffi

- 2f 603.266 - 627 /126./159

TitikSbtem Lama Sistem Baru

x (m) Y (m) X (m) Y (m)ABcI

0,000- 47 872,192+ 48 020,343+ 966,737

0,00082547,47783 415,004

1678.967+

- 22571,826- 70 533,576+ 25 338,591

629 103,926711 576,834712 559,830

Beda Abeis & Ordinat I (tltik sekutu) :Antara Ax ay AX AYA-+BB-rC

- 47 872-19295 892.535

- 82il7.0n- ffi7.927

- 47 961.75095 872.167

- 82472.W- 982.99

7J 4 Ax AyA" 7 t=A" 7r=

0.9997984690.999798473

- 0.00120180t- 0.00120180: ,1.35696E{S 5.319r7E{9

Selisih terbaoi ll :Antare Ax ay Lzx AzyA-+C 48020.343 -83415.004 -2.53158E-i4 2.75752E-14

Beda Absip & Ordinat 2 { titi.k obvek terhadap sekutu } :Antara Ax ay AD(a-r.AzxB-r Azya-r.Azla-rA+1B+1

966.73748 838.92S

1 678.96784226.44 - 94 198 348.71 163 423 383.2

Contoh Pertafian bilangan imaiiner :

(zi *a). (zi -ze) = (Ax6. Axn- Ay6. AyB) + i (Ayn- Axn+ NqA- Ayn)

Pelengftap lfK S.f.K34

Srsto t t TtzrlrJotrrtutt Kgprdima@

BAG,AN "

TfiNffSFORTAS' 2I'

Sebenamya metda ini lebih banyak berupa hitungan (numeris), tetapi dalam mendapatkan harga/nilaikoreksi, bisa dengan cara grafts, dengan tujuan mgTqen.nudah masalah-iiffiil'p"a; conion JiGi"rt, riran iiueri(an contohkedua cara baik numeris sepenuhnya atrau grafis-Soal contoh :

TitikSistem Lama Sistem Baru

x (m) Y (m) X (m). Y (m)ABcI

243a3.2U23 088.7602426/..90224719.41

755 080.095756 313.278757 873.522756 286.865

60S 443.&40613 261.860608 730.440

714a122..W71A91_4307 137 566.7s0

. mat4x X:

X =

ilatrix Ai dan Fl :(I z+s8s.zu -755080.095 I

at = | 755080.095 243f,3.2u oI zgoaa.zoo -7ffi313.278 1l- zsoots.zza 23088.760 o

Matrix [A1r A1l4 dan Alr Fl :(I o.ooooooos 0.0o000o0o -0-01485111

tnv = I 0.o0o0o0oo 0.00@0063 0-47282275| +.otaastt 1 0.47282275 357663.5898l+.azzazzzs -0.01485111 0.00000000

\ t4.4r28227s1 t1o82s(x23etutr.e* |-o.ot+asttt | ; I -sa+otstooo+2-7431o.oooooooo| | 12217o5.7ao1

357663.5Ss83J L 142s1514.2e0)

o I [ ,or113.B4ol{ l ; r r= l7r /8rz l .s6o lo I I 61 3261.860 |r ) L7143 3e1./*!o;

(-- t.tttutt*i)I o.oszssot II z+eeet.aso It sssezso.eegl

* Matrix A2 dan F2 (untuk titik C dan titik obvek) :(I z+zo+.902 -757873-522

at = I 757873.5?2 24264..902I zaz'tg.+a1 -756286.865[- zsozoo.oos 24719.441

1 0lI ll0 1 )

l. Hitungan koordinat pendekatan, dengan metoda Helmelt dengan titik eekutu (n-l) :

Pelengft4p tfK S-f.K35

Srsfern e Tnntolrzwl Koordinad BAGIAN '' IRANSFORNAS' 2DFunyefesdar & Soarlrdrut,

il. Koreksi iifrk obYek :

t. Kolsks! NuISeds:* Hitungan modulus & argumen titik C : llihat rumus (g1O))

2. Koreksi Grafie :* Plot koordinat pendekatan titik{itik:

Sketsa hasil plofting pada skala 1 : 10 0o0

Gunakan rumus (3-f f ) dan (3-{2)lA&l = 0,1421515(az") = - 5lo 00' 55" = 305" 07', 31,4',

* Hitungan jarak, sudut iurusan G dan titik obyek ke 2 titik sekutu awal :DO ct

G+AC-+Bt-rA1*rB

t0 560.t147 379.7384731.U76159.814

359" 26'38,2"37 52 49,216 26 10,791 47 55,0

* Hitungan korcksi titlk obyek : (lihat rumus (3'13))laz'l = o'o72tAZrl = 16o 52'(R'7"

Xr = xro * lg,l sintlZr) iYr = Yro * lazrl cos$z,lXr = 607105.081 + 0,072 sin 15" 52', 09,7'

= 607 105.102Yr = ? 1/t:} 584.764 + 0,072 Cos 16o 52'09,7'

= 7 143 584.833

Titik )c r x Y AZrlc LzYcc1

608 730.597607 105.081

7 137 566.6407 t/|l| 584.764

608 730.440 7 137 566.750 - 0.157 0.110

perbedaan pada haeil hitungan (decimal nilai) ahibat dari perbedaan pembulatan danalat hitung yang digunakan.Contoh-contotrl i itas, dih itun g menggu nakan EIXGEL.

'f,6

Pelengtra,pltK S.f.K36

Srstttff & Ttttbmad Kgoifrnea.

turydesaian & Sdl-elihan

: 4 (emDat) 6tik sekuCI

A. Transfornasi Dasar (Lauf -l).

BAGTAN "

'RATSFC'RTAS' 2D

l.lZr! = t(4,6$,2)410,5x?,4))x0,'!4215{5 = 0,052(AZr) = (16o+ 92+2-38+305P07'31,4')= 1f oT' 31#'Xr = xro * lAAl slnta4) iYr = Yro + laal c*OalXr = 60? t0s.o8t + 0,052 Sin 12" 07'31,4'

= 607 {05.092Yr = 7llt:l 584.764 + 0,052 Goe 120 07'31,C'

= 7llt 584.815

A1 =

0.0000.000

- 47872.192-82il7.OT748020.343

- 83415.004971ffi.292

M3.857

0.0000.000

82il7.O77- 47872.192

83415.00448020.343

-443.857971ffi.292

o.0000.000

_ 45?2.1731il-3597903419038.366

- 4652109550.482- 8011234206.853

%39148066.15386247000.496

0.000 I0.000 0

- 7903419038.366 1- 45p"73154.',359 0

8011234206.853 1-4652109550.482 0

46247000.596 I9439148066.153 0

o-) (- ,rs7i.B26l1 l l -62e103 .e26 I0 I l- 7053:1.s75 |r I rr = I -711 s26.83+ Io I I zs al8.ser I1 l l - 7 1 2 5 5 s . 8 3 0 Io | | ,nses.ctsl1) L-628Tr6.e21)

( 96o.737 -107g.907 -1g84349.7s992 -3240239'041lz = I 1678.967 966.737 3246239-041 -1884349'75992

|

Srsaem & Tmrfomad KgcrtflnatPqryde*alaun & Snrfl-afltran

BAGIAN I' TRANSTORNAS' 2I'

Titik obyek hanya titik 1.'i. Beda Abeb & Ordinat I (titik sekutul :

Selisih tgrbaqi | :

Beda AbelE & Ordinat 2 & Sellsih terbaoi ll :Antara AX AyA-+CD-+B

4EO20.34:t145028.4&4

43415.00482990.934

t Hitunq koordinat tilik obvel! denqan rumus /&7,q1 :

*

hSUKU 2SUKU 3SUKU 4

21

X Y- 22571.82f,, - 629103.926

968.560 1677.670.000 0.000o fi)o 0.000

- 2{ 603.266 - 627.126.459+

Antara AX Ay AX AYA+BB-+Ct)-+C

- 47 872.15295 892.53549135.949

82 U7.On8fj7-927

83 858.861

- 47 961.7ffi95 872.16749Ui.828

82472.W982.99

80 782.90S

7r Zy Ax AYa" zr=N'z"=d'2"=

0.99979846S0.9997984730.99979846

- 0.00120180- 0.001201803

.0.00120180(0.o(Xtoflxxx

$.000000007o.(Xxnmff)!0.00(xX)0003

Zr Zv AX AY4l ' ' 2,=No 7 r=

-2.5{t15EE-11-2.91888E-1{

6.68061E-i13.62801E-i4 -3.87308E-15 -3.O526E-14

S.elitih terbaqi lll :Antara AX ay LZx LZyD-+A 97156.292 443.85] 4.1299E-20 1.92145E-20

Beda Absls & Ordlnat 2 ( titik obvgk terhadao sekutu, ) :Antara Ax ay Azxa-t.Azxe;t Azla-1"Azle-t Ker.A+1B--+1C+1

966.73748838.92S

47053.60

1678.96784226.U485093.971

-94198348.71_n.47397f+12

163423383.2-1.5705/18+13

s/d titik Bs/d titik C

Pelqgkap lfK S.f.X38

BAGfAN "

TRATTSFORNA$ 2DSrslctrr E ftanfutngs,l r(wtiltPt:rurfahsatan e Sotrlrdhatf

a). Hitunglah titik obyek I dan 2 pada sistem koordinat baru dengan menggunakan titik sekutuA ,BdanG1: Melalui matrix (bansformasi dasar = Lauf-l)2. Melalui selisih terbagi (Lauf-2)

b). Hitunglah titik obyek I dan 2 pada sistem koordinat baru dengan menggunakan variasititik-

sekutu, yang n6teoa dengan di atas, dengan Lauf-l dan Lauf-2.c). Hitung semua titik obyek titik menggunakan semua titik sekutu, dengan Lauf-l'd). Pelajari dengan seksama, mengapa terjadi perbedaan ???

?. Diketahui:(Sana dengan soal no l. dl olss)

a). Hitung semua titik obyek dengan 3 (tiga) titik sekutu yang berbeda, melalui metoda Lauf-3'bi. Ulas iengan baik, meng-apa terjadi perbedaan !!."i.

cobakanlplikasi LaufS dengan 4 (empat) titik sekutu.' ( nnai Xoordinat pendeiaan adatah $tik keempat dan bebas dalamPemilihannYa )

Gobaian dengan-pemillhan titik keempat yang berbeda ll

3. Diketahui:

TitikKoordinat Lama 1m1 Koordinat Baru (m)x v x Y

ITB.1ITB-2Bm-8

TBMSITB{3

12345

27 085.34547 850.7654 8 l 1 .185

33 712.9303 487.0609232.0M

l6 717.580l 3 3 8 1 . 1 3 038 215.864t2 10/.470

3s 160.7452 319.535

45 169.M026 511.975

l 680.0004l 169.50014'723.65033 017.68520 384.300

6 3 1 4 . 3 1 8

46 024.50076224.50037 240.930

- 10 110.54533 370.060

143 8603501r3 465.00057 875"455

118 960.170r0l 980.199

a22&X536 435106

- 449783676276.48

- 614308-950- s64 910.780- 600 7lCI331- 652046.ffi4

289462256A 421.075

- 21 853.520- 31 853.750

5 028.108- 21782.363

t7 795.00049 073.8832290r.7s6

- 48 076.8309 610.750

24 007.800- 39 427.820- 41 614.288

9 9s5.93613 707.882

- 28 183.472- 20 508.720

ABcDI2345

Pelengdrap ilK S.r'K39

rutfresatu t SodLalhanB:CIAN 't TRANSF{'RTAS' 2D

a).

b).

Hitunglah titik obyek 4 dan 5 pada sistem koordinat baru dengan menggunakan titik sekutuITB-1, ITB-2 dan ITB{13.{. dengan melalui transformasi dasar (Lauf-1)2. dengan melalui selisih terbagi (Lauf-2)Hitunglah titik obyek sama ( 4 dan 5 ) pada sistem koordinat baru dengan menggunakanvariasi titik sekutu yang berbeda dengan pada nomor a). di atas.t. dengan.melalui transformasi dasar (Lauf-1)2. dengan melaluiselisih terbagi (Lauf-2)Hitung semu? titik obyek, dengan Lauf-l !!Perhitikan dan petalari dengan seksama perbedaan yang terladi sebagai hasil akhlrhitungan tt.'Pertimbangkan dan beri ulasan masalah tersebut !!

c).d).

NenglapfiK S.f.K40

Silslrrn & Trarnlbmasl K@tdnaf BAG'AN "

TRATSFORflAS' 2DtutyuJaseran & SodLitilan

Metoda Affine,merupakan metoda bansformasi dengan memasukkan ketiga unsur bansformasi, yaifutranslasi, rctasi dan faktor perteearan.Faktor perbesanan yang diterapkan pada metoda Affine, bersifat umum, yaitu bahwa :

'Falctor perbesann sqanJang sumbu x * hldorperbesaran sqpanlbng sumbu v oMengingat hal di atas, maka bentuk titik-titik yang dihansformasikan dengan Affine, sebelum dansesudahnya, dapaUmungkin memberikan bentuk yang berbeda. Ini berarti bahwa transformasiAffinetidak dapat digunakan untuk transbrmasi dengan syant korrtorm.

o TETODA AFFINE - { (metoda Dasar}Persamaan dasarFansbrmasi Afhne, berderajat satu adalah sebagai berikut :

di mana : A, B, G, ....... = titik-titik sekutu atau titik obyeka,b,crd,C1,G2. = parametertransformasi

Bila dilakukan secara bertahap, seperticontoh sebelumnya, maka :Untuk mendapatkan parameter transformasi, matrix titik sekutu adalah Al dan matrix residu Fl, maka :

x = + [Alr .Ai l - t .Alr .Fl (+21Selanjunya, koordinat titik obyek, dihitung dengan model yang sama setelah nilai parameter dihitung,dengan :

F2 = A2.Xdengan : A2 = matrix koefisien untuk titik obyek (sepertijuga matrix A)

F2 = matrix koordinat titik obyek hasil transformasiX = matrix parameter

tffi)

Sepertijuga metoda transformasi lainnya, maka persamaan di atas, berlaku untu setiap titik.Dapat dilihat bahwa :

) Parameter transformasi adalah : a, b, c, d, C1 dan Cz .) Parameter tersebut sebagai 6 (enam) variabel sebagai dari kedua persamaan, sehinggadiperlukan mlnimal3 (tiga) titik sekutu.

Bila rumus (4-l) dinyatakan dalam bentuk makix, untuk jumlah titik banyak ( n buah), maka :r\[ 'o i yr io io 1 o] f " l fx^)l 0 :0 ixo iye0 l l l b l l yA ll&i l" i .g l.o_ 1 9l lcl l*"1A = I 0 ; o i x, i v" o I | ;X = | a | ; F = | v" Ii : : : i : i : i IGl i | : I| . ' . i . , i : i : I L",J | : I\v i v i v iv ) \ - r LUJ2nX6 ox t 2nX1

[ =!=

+by+Gt+dy+Gz

axcx

Pderl,gkap t{X S.f-K4t

S|.;IEtt & TmtJonrnsl r

Penyelesaian metoda Affine-2 (Hetoda Koreksi Hlrya pqggfa9dl

BAG,AN "

TRAilSFORflAS' 2DSrstE ft &Trrrllftlmesl l(oxndlnatr ! l

Fenyeresalltr & Soarlrdhatf

1.

z3.

Hftung koordinat pendekahn pada sistem koordinat baru dengan metoda Helmert(menggunakan 2 titik sekutu)-iiiuiiiinlX"t harga pendekatan titik ke tlga (misal : titik G). dengan rumus ('|4)' 'Hitungan korefrsi:

a. Hitung luas segi'figa ABI dan luas segi-tiga ABC'b. Hitun! koreksi hargl pendekatan titik obyek, d9ngl rumus (61: -..c. Hitun! koordinattii'f 6nyet pada sistem koordinat baru. (rumus (44))

a, Plot titik-titik (AB,C,I) pada sistem koordinat sementara/pendekatan-b. Buat garis tegak lurus (J-) garis A-B dari titik C dan l'c. Ukur kedua jarak garis tersebut.d. Hitung koreksi haiga pendekatan titik obyek dgng.a.n rumus (4s). .-

.

e. Hitun! foorOinattiff iOyef< pada sistem koordinat baru dengan rumus (4-4]'

TatikSistem Lama Sistem Baru

x (m) Y (m) X (m) Y ('n)

ABc12

0.00047 872.19248 020.343

966.73740 719.525

0.00082U7.07783 415.004

1678.96770 521.340

22 571.82670 533.57625 338.591

629 103-926711 576.834712 559.830

A. Transformasi Dagar (Affine - 1)'

* MatTix Ai da4 Ft :

f o.ooo o.ooo100

Al = lltatz.tsz -82il7.O77100| +eozo.a+a -83415.004t00

0 0 i0.000 0.000 0

0 0 147872.192 -82*7.077 0

0 0 1/+8020.343 {3415.004 0 tlF i =

( -nszr.826lI - szg rm.e26 |I -7053:l.tt6 Il-7rr 5't6.831 |I zs 33s.ssr I(, zrz sse.asoJ

TRANAFT]RMAErI A' FFIN E

Nqgl

Srstatt &Trutffrlmei l$otrfnat/furrydem|en & Sor/l-atihan

.:. Hitung makix pammeter (matrir X) denpan rumus (4-2).I o.eoezsarzr I| 0.0fi20r806 |

X = l -0.0012018031| 0.999798466 || - ntr.s26 |L

- r29 r03.e2'* Bentuk matrir A2, untuUdari titik-titik obyek(

I mo.zs7 1678.e67 o oA2 =l 0 0 966.737 1678.967

|

Stslsrlf t Trutbttnasl Koodnat@

: 4 (emDat) titik sekutu

BnGIAN 'I TRANSrcRNAS' 2D

1., Korslsol Nqmoris:$ Hltungan farak aemua sbi untuk hltungan luas : ltihat rumus (+5))

* Koreksl dan koordinat tftik obyek, dengan rumus (4$) :

2. Koleksl Grafis:* Plot semua titik pada sistem koordinat pendekatan.

Sketsa hasil plottlng (pada skala 1 : IN AOO)s b Y

.1. Koreksi titik obyek:AXr = AYr s O,frX) mAXz=AYe - 0 ,00Om ,seh ingga :

n6k x Y12

- 21 6{13.266- 63 367.898

- 627 426.459- 699562.117

I

!t,o cnrIIa

c

Titik Sistem Lama Sistem Barux (m) Y (m) X (.) Y (m)ABcDI2

0.00047 872.19248 020.34397156.292

966.73740719.525

0.000- 82U7.O77- 83 415.004

443.8571 678.967

70 521.U0

22 571.82670 533.57625 338.59174565.419

629 103.926711 576.834712 559.830$28776.921

Berikut ini hanya diberikan contoh penyelesaian soaldengan metoda Affine-l (metoda dasar).

>q B c I 2 Segi LuasAB

9s404.979 96230.295877.203

1937.00997341.979

81416.68213989.295

ABG 3977001303.3ABf 287113.147AB2 736:'723.2ffi

Tirik A)( AY x Y12

3.04989 E{7.82137 E47

3.t'55U5 E{rI9.37535 E{;

- 21 60326G- 6:1367.898

- 627 t028.'159- 699562.1{7

Pd'',g,cap [tK S.f.K45

Stetnt t Trurformasd XOolilna'@

BAG,AN '' TRANSFORNAS' 2D

Trans-fiolmasl'Dasar'(Afnne - l).

0.m00

47872.1920

48020.3430

97156.2920

042U7.OT7

0-83415_004

0443.857

0

00.000

047872.192

048020.343

0971ffi-292

00.000

042U7.OT7

043d15.004

0443.857

t0I0I0I0

) (- 22 srr.B2o-)| | - 62e rm.s2s I| | - zo sea.szs II rt =; - 7ll s76.83f I| | 25 3:l8.5er II l -712s5e.830 1I I 74 555.4re I

) \-- ezo n6.s2r)Hitung mabix parameter (matrix X): /- \

I o.ssszserss II o.0or20r8m I

x _ l_0.@1201802 1I o.seszse*s Il- #ill3l3l

Bentuk patrlx A2, untuUdari titik-titik obyek -//

I mo.zsz 1679.967 o oA2 =l 0 0 966.737 1678.967

|

Sftrfen E Tnnfbm*l K@rdinait BAGIAN "'

KONy,.ERSI KOORDINATPerzyderallm & SoalLadlnn

BAGIAII III KOIWTRSI KOORDIITAT

Bahasan semacam ini, didasarkan pada suatu kenyataan bahwa posisi obyek alam, walaupun seolah{lahberada pada Udang datar (untuk tinjauan terbatas), tetapi temyata berada pada ruang. Dapat pula dbrtikanbahwa bi{ang permukaan bumi rnerupakan bklang lengkung yang dapat di-'dekaf-i oteh bidangmathematika berupa kulit bola ataupun kulit ellipsoida.Mengingat masalah di atas, maka bagian bahasan ini disebut dengan koordinat 3D, karena posisi padaruang, walaupun pokok masalah adalah posisi horizontaltitik yang bersangkutan pada bidang. Ini berartipula bahwa posisi titik atau antar titik yang di-hitung terletak paOi Oaeran- yang iuas atau Grjarak jauh,sehingga permukaan buml fldak dafi lagidikatakan sebagai bidang datar.Telah disinggung pada Bab | (Pendahuluan), bahwa yang dimaksudkan dengan konversi koordinat adalahpengubahan koordinat dengan sistem yang berbeda, terutama ditinjau dari parameter koordina[contoh: dari ( o, D ) , menjadi(x,Yf . Parameter(sudut& jarak) menjadi(iarakl, jarak2)Untuk itu, sebaiknya dilihat kembalipengertian antiara lain :

Terdapat beberapa kemungkinan yang akan dibahas contoh hitungannya di bawah, yaitu :1. Konversi koordinat geodetik ke koordinat proyeksi (dan sebaliknya)2. Konversi koordinat geodetik ke geosentrik (dan sebaliknya)3. Konversi koordinat toposentrik ke geosentrik

Sebelum pembahasan memasuki pokok masalah yaitu konversi koordinat, sebaiknya diulas terlebih dahulupengertian dasar untuk sistem-sistern koordinat yang dimaksud (sebagai kiias balik), agar mudah dimengeriipersoalan secara menyeluruhnya.

Yang dimaksudkan dengan sistem koordinat geodetik secara umum adalah kedudukan (posisi) pada kulitellipsoida yang dinyatakan dalam besaran sudut dari bidang acuan tertentu. Mengingat bidang tersebutberupa bidang lengkung (kurvalinier) , maka terdapat beberapa hal penting yang harus di[erhatikan,karena akan mempengaruhi nilai koordinat titik yang bersangkutan.

ELUPSOIDA Besaran koordinat geodetik adalah :

sudut vertikal yang dibenfuk antara bidang equatorsampai garis normal melalui titik yang dimaksud, padabidang normalnya. Positiv (+) ke utara, negativ (-) keselatan

sudut horizontal yang dibentuk antara bidang merftJianmelalui Greenwich sampai bidang normal melalui titikyang dimaksud. Sudut ini dapat digambarftan padabidang equator, positiv 1+; ke fi'mur, negativ (-) kebarat

Garb normal elliFoitItferidian melalua JtitikGreenwich

EQUATOR

Koordlnat

-'i*--'-'-;a--*| . " t

..Pz:--l;

Pdurgl

Stston Aftarnlbmlppll K@rdnat BAG,AN "'

KOI{IIERSI KOORDINATParrydeclrrarz t Soaf Laflran

Besaran geodetik bemilai :r Llntang ; -90o < L < +90o (Lintangsetatan e Lintang Utara)I Bujur ; - 180" < B < + l80o (Buiur Barat

Srstettt t Tranfomag/ K@trf,lnatPenyelosatan t SodletDalt

. I l .

. . ' . r l

.

gesann-bcsalan,Dasar pada Sbtem KoordlnatGeqdetrk':l

Eksentristbs (t) Kuadrat :

Eksentrisitas (t) Kuadrat :

JariJari Kutub :

Jarijari Normal elliPsoid :

Jari-iari ileridian elliPsoid :

JarlJari Bola Reduksi

Nilai mathematika Penting :

BAG,lfT N' KONy...ERS' K@RD'NAT

(dktlplk dc3i hen l- Mue!br,1969!

0[-r]

0il-2)

(ilrl

(il14)

0il-5)(ilr6)

7r = 3,14{ 592 653 6p" = 206 264,806 25'

(agar diryrhatikan digit decima|

Sistem proyeksi peta, secara prinsipnya dapat dibagi atas beberapa bentuk, berdasarkan tinjauan.Tinjauan proyeksi peta yang dimaksud adalah :

-

1. Tinjauan bidang proyeksiyang digunakan2. Tiniauan kedudukan bidang proyeksi terhadap ellipsoida3. Tiniauan distorsi (kesalahan yang dapat diperhitungkan)

eerik'ut ini hanya akan disinggung proyeksi UTM dan TM-3o sebagai kilas balik, mengingat !"o!"sistem proyersiini telah oicaiingiah seuagai proyeksi nasional. (urM sebagai proyeksi nasional petaTopografi,

-seAang TM-3o sebagai proyeksi nasional Pertanahan)

Baik sistem proyeksi UTM maupun TM-3o, merupakan kembangan dari sistem proyeksi TransverseMercator 6M1, yaitu berawal dari proyeksi Mercator dengan garis karakteristik tabung tegak lurus garisiaratAerislf eiiifsoiOa. Ettioaida merupakan Mntukyang dipilih untuk"mewakili" bumi-

Mengingat keperluan dan kepentingan penggunaan peta tersebut" maka UTM di"design" sedemikianrut'un-tuk pdta topogran (skala peta topografi terbesar adalah skala 1 : 25 000). Dengan demikian,berdasarkan distorsi ying timoul driuat sistem proyeksi yang masih dapat dibenarkan (dalam toleransi),maka zona proyeksiUTM adalah 6" meridian-Untuk 1epi1uin peta dengan skala yang lebih

.

besar (misal peta Pendaftaran pada Pertanahan/Kadastralj, distorsi tersebut sudah tertatu besar (di luas toleransi), sehingga dibuatlah sistem proyeksiTM-3o dengan lebar zona proyeksi 3o meridian'

G

ez=- i ! ;L =2t - t2t

i -e2s in2L

hhsrgkap lfX S.f.K

9sfcr, &lM t(ootdrnattuiycnsahn C Sodlrdrrett

BAG'AN N' KONV,ERS' KOORD'NAT

Beberapa perbedaan yang perlu diketahui antara kedua sistem proyeksiiniadalah :

r Zona pmyeksi:

Daftar Zone Proyeksi UTt & TtT-3'Untuk Wilayah lndoneeia

Universal Transverse ]llercator Transverse ilercator - 3"No Zone Mer. Sentral ller. Batae NoZone tea Sentral ter. BatasBarat Timur Barat Timur

I

47

48

49

50

51

52

53

54

930

ggo

1050

111"

117"

1230

l29"

1350

'!4'!"

900

960

1020

10go

114"

120"

{26"

1320

13go

96"

1020

10go

111"

1200

126"

1320

139"

14g-"

46.247.117.28.18.249.149.250.150.251.151.252.152.253.153.254.1

94" 30'9f 30',1000 30'103" 30'1060 30'l0go 30'fi20 30'1150 30'{1go 30'12lo 30'124" 30',12f 30'130" 30'133" 30'136" 30'l3go 30'

93"96"glgo1020105"l0g"111"I 1401lt'1200123"126"12go132"135"139"

96"ggo102"1050109"111"11401lt'1200123"126"129"132"135"139"141"

o Koordinat titik:

o Bearan atau hal Lain:

r Konvergensl meridian dan koreksi kelengkungan garleo Faktor pertresaran titiklgaris

/aG

SistemProveksi

Koordinat Seiati Koordinat SemuX tmt Y tmt U/Nrmr T l E t m t

UTMTm-3. ' x Y

10 000 000 + Y1500000 + Y

500 00O + X200 000 + X

Fdengkap ftK S.f.K50

o slsrw tr(x)RDu{AT GE(XIENTRIK (GE(TEITTRICI

Sls&nf & Tranfionreel l(ntfrnatPglnvt/cigr/aln t Sopll Ladhan

BAGjAN "'

KONV'.ERSI KOORDINAT

Sistem koordinat geosentrik, nrerupakan sistem untuk menyatakan posrisi setiap titik berdasarkan iarakdari pusat salib sumbu 3D. Posisi titik, sangat dipengaruhi oleh ukuran (besarftecil) ellipoida yangdigunakan.

zL

ketingrgian dari ellipsoil(hl

Y

o pusot salib sumbu (pusat ellipsoida) diletakkan pada pusat massa bumio sumbu ke 3 (sb Z) tepauberimpit dengan sumbu putar buml (ellipsoida)o sumbu ke 1 (sb X) merupakan garis potong bidang meridian melalui Greenwich dengan

Equator elliPsoida. sumbu ke 2 (sb Y) merupakan garis potong bidang meridian 90o T Greenwich dengan

Equator ellipeoidaDengan demikian, besaran-besran ellipsoida akan digunakan dan menentukan nilai koordinat titik.Hal iang perlu diperhatikan adalah ketinggian titik di muka bumi, akan dinyatakan terhadap permukaanellipsoida. Dapat dilihat bahwa sistem koordinat geosentrik berkaitan langsung dengan sistem koordinatgeodetik.

Seperti juga dengan sistem koordinat geosentrik, sistem koordinat toposentrik merupakan sistemkoordinat Gartesian 3D.Yang perlu diketahui untuk sistem koordinat toposentrik adalah :

r pusat salib sumbu diletakkan pada tempat pengamatan/pengukuran. sumbu ke 3 (sb He) tepaUberimpit dengan garls nomal elllpsotda menuju titik Zenith. sumbu ke 2 (sb No) rnerupakan garis singgung meridian tempat pengamat menuju utara geodetik.o sumbu ke 1 (sb Es) merupakan garis singgung irisan normal utama tempat pengamat.

Go StSfEM KOORDMAT IrOPTOSENTRIK (TOFOCEilTRICI

Pelengkap ItK S.f.K51

StsftrDe T|dlnffi l@ordnattuiyulosalan E Soaf LaflPa

Gads normal ellipsoitlmelalui A

D REDI'trSI T'KI'RAN

Dimana : L,Bo, l.6,n

BAG,AN "I

KOTTIIERS'KOORT"NAT

----->

Reduksi ukuran yang akan dituliskan di bawah, merupakan "tduksl" dari pengukuran pada muka fisikbumi (lapangani ningga pada bidang proyeksi peta (bidang datar, sehingga menyatu dengan koreksiatas besaran-besaran tersebut.Perlu di ketrahui bahwa :

* Pengukuran sudut ataupun jarak di permukaan fisik bumi* Bidang referensi(acuan) ukuran adalah Geoid.* Bidang hitungan (bidang lengkung) untuk asbonomiadalah Bola-.3. Bidang hitungan (bidang lengkung) urituk geodesiiadalah Ellipooida.* Bidang sajian posisiadalah bidang proyeksi peta (bidang mendatar)

Terdapat beberapa anggapan dan hal yang harus diperhatikan untuk menghubungkan acuan yangberbeda-beda tersebut, atas ukuran yang sama.

Dalam melakukan hitungan, terdapat beberapa besaran reduksi yang bemilai negativ, sehingga tandauntuk mereduksi besran tersebut sangat besar artinya dan rnemerlukan perhatian yang seksama.Untuk memudahkan masalah, maka reduksi ukuran dibagi atas : reduksi untuk sudut dan arah sertareduksi untuk jarak.

Reduksi posisi hasil pengamatan astronomis ke posisigeodetik adalah :

B = I - qSecoL=O+E, (ilr-7)= posisigeodetik= posisiastronomik= komponen defleksi vertikal

\\

\\\\

-'Y--;*+

. l. t i________L

II

Peiengkap ilK S.f.K5?

Srslrvn e frufiormasl Kootdlnat" Perlrg/gspirst & Snllatihan

BAG'AN M KONr/ERS' K@RD'NAT

............. (ilr-e)

l. Azimuth Astronomb kp Azlmuth G-eodetbPersamaan Laplace:

AzG o, Azf - q Tano (lll)dimana: AzG = azimuth geodetik

Aza = aimuth astronomikn = komPonen defleksi vertikal T-BO = lintang asbonomis

2. Reduksi bidlkan ke qa oeodetlkSetiap bidikan ke suatu target, untuk dapat dinyatakan pada ellipsoida, perlu dikoreksi agarmenjadi ngaris gedetik' yang berupa garis lengkung pada permukaan ellipsoida.Besar koreksi untuk setiap bidlkan dari suatu titik pengamatian adalah :

le = -[4#*I o'] sin zn.di mana '. Aa = azimuth geodetis atau astronomis

e' = eksentrisitas (1) eltipsoidN = jari-jari normaltitik pengamatanSr- : jarak ke titik target pada ellipsoid dalam satuan km.pn = besaran radian dalam detik

3. Re

Srsltrft & Ttutfomad K@rfrnstFanfddsaian & Sodlrlttatl

di mana:

walaupun demikian, bentuk garis dari etlipsoida juga akan.tgbe. saat- proyek-si. lni beekibatakan timbul koreksi sudut untuk menjadikannya (mengubalt) sebagaigaris lurus-

a. (onve,Ioensi meridian ( v IKoreksi yang harus diberikan pada garis antara 2 (dua) titik akibat Pertledaan arah Utara.Mengingat rumus di bawah hanya akan memberilian nilai posiliv atau negativ, sedang-fuaO-rari 11tik yang bersangkutan (ternaOap sistem proyekgD akan menenlrkan membsar'mengecilnya izimutr ke suatu titik target, maka sebaiknya dibantu dengan sketsa-

8AG'AT' "'

KOilVERS' KOORD'NAT

..... (ll l-13)

= konvergensimeri

StsGrft & T'tr|nfonrcI XoorTfnatFenyeresalan & Soc/Latifiialt

d imana : SE =Su=H.aa =

. R =

l. Reduksi dari bidana mendatartitik oenqamatan ke GeoidJarak berikut ini dihitung dari ketinggian titik rata-rata (tinggi titik pengamatan dan [lik taryetberbeda):

(ilr-r5)

BAG'AN "'

KO'YVERS' KOOFo1INAT

R = Reeuss'

(u-r6)

2. Rgduksi larak Ukuran ke Eltipsoi{Reduksi ini digunakan bila ketinggian titik-tlik (pengamatan dan target) dinyatakan terhadappermukaan ellipsoida. jarak ukuran, sehingga :

SG==Rr= SuR + Hrrta

-

di mana : SG = jarak mendatar padaHrrt = (Hp",tg"n

"t"r, + Hgs"J2

R = jari'jari bumi = 6 356 797 m. atau

sE =su['-+++- J.Jarak pada ellipsoidaJarak ukuran pada bidang datarKetinggian rata-rata titik dari ellipsoidaJarijari bumi (sebaiknYa R6"u"")

Untuk mendapatkan jaraUpanjang suatu garis pada bidang proyeksi, terdapat konstanta yangharus diperhatikan, yaitu Falrfor Slrala (faktor perbesann).Faktor perbesaran pada bidang proyeksi berbeda nilai/harganya untuk setiap titik... Walaupundemikian, untuk titik yang berdekatan dapat digunakan nilai faktor skala salah satu titik (biasanyatitik tengahl garis tersebut, akibat perbedaan yang dapat diabaikan'Untuk garis yang panjang fiarak cukup jauh), digunakan faklorskala garis sebagai konstanta.

DD

=ksE= msE (lll-17)

, atau

di mana : D = jarak pada bidang proyeksi(bidang datar)k, ffi = faktor skab titik dan garis.SE = jarak pada ellipsoida

k=

m=

x" [r.o [t.

x2 InR)wl

faktor perbesaran proyeksi (untuk UTM = 0.9996)absis titik , titik-titik ujung garisjarijari bumi (sebaiknya digunakan R6*o)

(ilr-l8)

dengan : $ - - - :X,Xr,Xz =R=

GFelengk4p ttX S.r.K

55

S|stsn t Trali/wnrcl K.@lrf,nat BAG,AN '" KO}'VERSI KOORDNATrortEesaran t SoelLadhan

Pembahasan ini merupakan ulasan masalah posisi mendatar pada bidang lengkung dan bldangmendatar, sehingga tidak benar-benar 3D Adapun koordinat Geodetik di sini merupakan posisi mendatar(horizontal) pada ruang (pemyataan posisi geodetik 3D dengan ketinggian dari ellipsoida = 0 m).Pada konversi koordinat ini, akan dibahas hanya konversi koordinat geodetik ke koordinat proyeksi UTil ,atau Tii3", karena kedua proyeksi terserbut hanya berbeda pada faktor perbesaran pada meridian senbal.Sehingga rumusln untuk UTM atau TM-3o, akan serupa. Selain itu kedua sistem proyeksi ini merupakansistem proyeksinasionaluntuk peta topognafi dan peta pendaftaran tanah.

5.1. KONVERSI KoORPINAT GEODETIK + KOOEDINAT,PRoYEKSI UTU/Til3'Berikut ini merupakan hitungan konversi koordinat dari koordinat geodetik suatu titik (L,B).untukdinyatakan dalam koordinat sistem proyeksi UTM/TMo pcn-Adapun syarat kedua sistem proyeksitersebut adalah "Konfom" (sama bentuk=sudut).Fungsi analitik yang mewakili proyeksi konbrm dari ellipsoida ke bldang proyeksi adalah :

Y+ iX=f1q+ib)d imana : b = B -&

Q = Lintang isometrik titik PBo = Bujur meridian sentral

. . . . . (5-1)

o =,n{r"n( *..}} (+#t}"}

di mana : bujur geodetik iltik Pbujur geodetik meridian sentrallintang geodetik titik Plintang geodetik titik kaki Pr

Melalui aplikasi hitungan dan aturan deret Taylor, memberikan rumus konversi koordinat sebagaiberikut:

B=B o =t -

t -q

Pelerrgksp lfK S.f.r(56

S|s{ern & Trantfonrlorsl l

Ststunf A Tm$otm*l K@rfrnatrutydeserdn t Soaltelfltan

LB

k +,(czlxzBo s (,cr'l X

BAG'AN III KONIERS' KOORDINAT

.(s){ i mana:

(cr)

Gatatan:

Atau :Dengan metoda pendekatan sepertidibawah :

1. Rumus dasar:

I Sec l+ ^r- r

|G l'ltI Tan l+ ^"

= - - -

2K"' Nr llr .

=-t#t+ +2ran2u) o"= *

*,ffi t't+l'., [+J [' -,"*r,J -rzr"n'r-,] e"= sec k #tr {-. [*J' [' -'r"rr,)

(cz)

(ca)

(cr)

r.o,=*#* pn = [ fr(2.01Ao' = [ 1 + 1ntl41 + 1nltA+) |Ez ,= t 3 (n - ( n1g ) ) lZ IEr' = - [ t5 (n2 - 1n1+;11 rS IF+' = t 35 (n3t4S)l ' 48 I

2. Koreksilintang di iterasihingga konstan3. Hitung L berdasarkan harga pendekatan yang tetap. (l-"')

. . . . . . . . . . . . ( f f i )

+ [+J'[t-68ran2t) -r, [*Jran2Lr + 24ran2u]o"1. Nilailharga Lr atau t-", dihitung dengan rumus (llhl3a), yaitu:

r _Yr-o aA" lG Y

2. Nilai/harga Nr dan ltrt dihitung berdasarkan nilai Lr.3. Nilai L dihitung secara iterasl, hingga konstan (dianggap konstan).

! = l_o' + { [Ez'Sin (2 L"l + Q' Sin (4L"] s Ee' Sin (6 l-o]ltA"' ]. . . . . . . . . . . . (5-7)

Dengan:

Fe{engilrap flK S.LK58

Sts{unt & trutffi l(ootilnat BAG,AN N KONI/ERS' KOORD|/NATPt{irydos'irdn & SoCLadhan

I.ANGKAH HITUNGAN:

o KONVERSI KOORDINAT GEODEflK ke KOORDINAT PROYEKSI

Untuk dapat memudahjkan hitungan, berikut ini diberikan contoh berupa langkah dan harga hasilhitungan yang perlu diPerhatikan1. Tentukan bujur meridian sentnal (BJ yang terdekat dengan titik obyek. (lngat : zone UTM adalah

f , sedangkan Tlvl3o adalah 30 )2. Hitung beda beda meridian titik obyek dengan meridian sentral AB - Sesuaikan dengan satuan p

yang akan digunakan. (misal: detik atau derajat). Dianjurkan menggunakan satuan detik3. Hitung konstanta pengali (a.) s/d (41. ferhatikan pangkat dan tanda suku persamaan)-

. Untuk ao: Suku pertama variable G bukan fungsltrigonomebik-Hitung koefisien E" s/d E6Hitung nilai G dan ao \ngat untuk UTM Ko = 0,9996)

. Nilai al s/d ac : a. Hitung N dan M titik obyekb. Gunakan nilai p = 2062@1,80625 (satuan detik)c. Dapat dihitung secara berangkai

(misal i ?2 = at (Sin LnP))1. Gunakan rumus (53) , bila semua koefisien telah dihitung.

Diketahul:

Titik TR-25 dengan

Hl tuno:

| = 4"23' 15,375" LUB = {0f30'28,352' BTpada WGS'84

Koordinat proyeksi titik tersebut pada

Penvelesaian:

Besaran penting : * WGS'84 : a = 6 378 137 m* p" = 206264,80625 detik

Besarcn penentu (yang sama) :*N = 6378261 .9532m* i l = 6335811.6848 m

proyeksi UTM dan TM-3' lll

; e2 = 0,006 694 380 ; e'2 = 0,006 739 497

KcINVERAI GEtlDETIK :+ PRrrYEKETI

Notasi UTM T l $ - 3 0B"IG

AB (')EoE2E4E6G

lo5" I 106" 30'0,9996 | O,g9gg

9028.352000 | S028.3520006367449.146-16038.5083616.83220078-0.021800766

.185165.66537668

Fe{eigkep lfK S.f.X59

SrsGnt &Trurffi l(oordfnattuydosaril, t SoalLatrDan

BAG'AN II' KONtfrjRSI KOORDTNAT

l t - L - :Nrrti|:'t t l ? l lt r t l l l I t t - o -

(a")(ar)(ar)(ar)(ar)(ac)xYNE

48497t.590130.81972946

5.715sE{)61.20124E-105.62548E-174.15ft73E-21

278 340,019{85 '87.85{l

10,f85 /fi17.850778 340.019

485117.1/|8830.828979075.71721E{61.2016E-10

5.62716E-174.19799E-21

111 864.130485192.'f25

I 985192.425311 86,1.130

Zone 48 Zone 8.2

B KONVERSI KOORDINAT PROYEKSI ke KOORDINAT GEODETIK

Untuk dapat memudahjkan hitungan, berikut ini diberikan contoh berupa langkah dan harga hasilhitungan yang perlu diperhatikan.

Hitung koordinat sejati titik.Hitung \ dengan rumus (lll-9a). (lngat: nomor zone I-JTM atau TM-3o )Sebaiknya hitungan dalam satuan detikMenglngat : untuk bujur meridian tidak berperan dalam koefisien (cr) s/d (cs) atau E5, makasebaiknya, dalam iterasi hanya dihitung (c2) dan (c1) yang akan mempengaruhi harga L.Hitung koreksi lintang, melalui koefisien (cz) dan (cr).Lakukan iterasi, dengan melihat apakah koreksi telah konstan.Bila telah didapatkan koreksi harga L konstan, hitunglah (cr), (cs) dan E5 berdasarkan nilai L terakhir.i-litung koefisien (cr) , (cs) dan E5. Selanjutnya hitung koreksi bujur.Hitung L dan B akhir dengan rumus (5).

(Jangan lupa nilai meidian sentnl, berdasarkan zone proyeksi).

Diketahqi :

Titik TR-25 dengan

Hitunq:Koordinat geodetik titik tersebut lt!

Penvelesaian :Besaran Pentins'

: y'"i%;drSrTrt ffir

1 .2.3.4.

5.6.7.U.9.

KCTNVERSTI PREYEKEII :+ [3ECIOETIT

Jrl = l0 485 437.850 mf = 778 340.023 m

pada UTill zone 48

{ 985192.425 m311 8&1.130 m

Tll-3o zone 8.2

[ J =f =pada

Peluglcap trK S.f.K

; e2 = 0,006 694 380 ; e'2 = 0,006 739 497

Slrtoln & Tlrfomasl r

Sirffir A fianfanwl Koptdnattuiydesalan A Snr/I-afhan

BAG'AN ,I' KONIiERS' KOORDINAT

Bila koordinat ITB-082 adalah koordinat TM-3o . Hitung koordinat geodetlktitik tersebut bila pada zona 47.2 lllSeperti no a). Hltung koordinat geodetik titik tersebut bila pada zona 48.1 lllBila fTB{82 pada UTM zona47. Hitung koordinat geodetik titik tersebut tll(hitung roda ellipsoida WGS'8/')

1. Diketahui:Titik TTR{67 dengan : L = 30 13'rO,902' LS

B = 105" 02' {5,076" BT ; pada WGS'94Hitunq:

Koordinat proyeksititik tersebut pada proyeksi UTM dan TM-3o ill

2. Dlkptahul:Titik TDT-1037 dengan L = lo40'27,941', LU

B = {0go 31'06,100, BT ; pada wcs'94Hituno:

a) Koordinat proyeksititik tersebut pada proyeksi UTM dan TM-3o tltb) Berapakah konvergensl meridian titik tersebut (pada masing-masing proyeksi) ?c) Berpakah fiaktor perbesaran titiknya ??

3. Diketahul:Titik 1TB-082 dengan [J = 910 839,524 m

J = 284 832,355 mHilunq :

a)b)c)

4. Diketahui:Titik ASS-{82 dengan | =

B ETitik ASS-190 dengan I =

B =

5" 32'10,734" LS,109" 10'42,234" BT

5'37'44,000' LS109o 21',50,701" BT ; pada WGS'84

Hituno:a) Jarak antar titik pada proyeksiTM-3o lllb) Jarak antar titik pada ellipsoida lll

Anda pasti dapat membuat soal yang serupa, atau membnat veriasipertanyaan berdasarkan soal di atas

G

Pelerigdlep ttK S.f.r(6?

Konversi ini merupakan salah satu bentuk bansformasi dari posisititik pada bidang bngkung, untuk dinya-takan pada bidang mendatar pada ruang (3D).Berbeda dengan pada Bab V , di mana posisi geodetik dinyatakan dari pemukaan elligsoida, pada bab iniposisi geodetik dinyatakan dengan ketinggian tertentu, sehingga poslsf geodedk suahr tfUk adalah {L,B,H}.Untuk ini, harap diperhatikan dengan seksama bidangbidang datar yang melalui'sustu titik pada mukaellipsoida. Harap diingat pula bahwa bidang normal suatu titik di ellipso'tda adalah bidang datar yang melalulgads normat ellipsoida titik tersebut (Garis normal ellisoida tidak melalui titik pusatellipsoida, kesuali titikpada equator).

6.{. KONVERSI K.OORDINAT GEODETIK ke GEOSENTRIKRumus Hiryonen & toritr :

Stsffn8 fizrffi t(ootilnat-

FenFFlan t SoatLoilhan

d i m a n a :

Perh ati ka n pa njang sisrsisr :

X = (N+H) CosL CosBY=(N+H)post - S inBZ= l ,N(1 -e ' )+Hl S inL

BAG'AN "'

KONI/ERS' K@WINAT

Normal ellipsoUa

----->'Y

GAe adalah vektor jarak X dan YA-Ae adalah Z

X,Y,Z = koordinat geosenbikL, B, H = koordinat geodetikN = jari-jari normalellipsoida melaluititik obyek

N o . A = N ]No-A = N+HJSehingga:

GAe = (N+H) Cos LA-Ae = [N (1 -e1+H]S inL

= GAe Cos B = (N+H) Cos L Cos B= GAe Sin B = (N+H) Cos L Sin B dan= A-Ae = [N(l-e')+HlSin L

XY

J .t a

.b-,",::_)i____

Pelenglrap [fK S.f.r(63

SrsHt &Tranfontwl K@rrfnea;tnyuresalan A So.rlrdrrat,

Rumus Bowrlng : :

di mana:

$=

l=

ran-rt+Tan-t

H=l#l-*

AAG'AT N' KON|/ERS' KAC'RT','NAT

(6-21

X,Y,Z = koordinat geosenbik'L, B, H = koordinat geodetik

g = Lintang reduksi = r"n-, kz_- ]p = Jari-jari tengkung paratet = \fF - y-

KoNveng! EigooETIK =) GiEITEENTRIK

Diketah$i:Titik TDT-25 dengan:

Hitung :Koordinat geosentrik titik tersebut lll

1). Berdasarkan WGS'84 , maka:

| = 60 49'53,719' LS$= 106050'28,028' BT!l = + 815,563 m. ;pada WGS'84

2). Koordinat geosentrik :

N = 6378439.095432N+H = 6379254.658432N(l-ez1+g = 6336554.963321

)( = - 1835067.698f = + 6062310.355I = 753742.067

FefngilrylfK S"f.X&

qOilfOH SOAL IKrfNvERsr GisssENTRrK :+ EiEoDEnK

Stsan efintqzllps, l(ppttnaaFenfhsalo t SoCt-sdtttert

Diketahul:Titik TDT-25 dengan:

Eiturs

t). Hitungan B dan penunjang:

2). Hitungan L :

3). Hitungan H :4). Koordinat Geodetik TDT-25 :

Keteranqan;

BAGiAN N' KOTIrERS' KOORAHAT

f, = - {8:}5067.698I = + 6062310.355I =. 753712.W1 ; pada WGS'84

Koordinat geodetik titik tersebut llt

106" 50'28,028' BT (kuadnn ll)6049',53,719', LS

Dalam menyatakan nilai Bujur (B) :Perhatikan kuadran sudut, berdasarkan nilai X dan Y:Misalkan : Tan-r (YX) = a, maka :

G

Kuadran Nilal Bujurx ItI Tan-'ItlIlIv

> 0< 0< 0> 0

> 0> 0< 0< 0

> 0< 0> 0< 0

ct180" + cr{80" - cr

* c t

BTBTBBBB

rurengtqp lfK S.r.X65

S'.s8rt A r}u'fo'nasl r(oo.flfnat AAG'AT' "'

KOT{IIERS,' K@R,y/NATFenpesalm S'soallarttran

1-. Diketahui:Titik AKU{'4 dengan: L = 3o 13',40,902' LS

B = 105002'15,0760 BT!f = +822,982 m ;padaWGS'84

Hituno:Koordinat geosenUik ttik tersebut lll

2. Diketahui:Titik TDT-1037 dengan

Hitunq:a). Koordinat geosentrik titik tersebut lllb). Bila titik di atas sebagai titik pertama, dan titik no 1 merupakan titik kedua, hitungjarak vektor ruang antiar \a kedua titik titik tersebut. lll

3.