Modul Integral

Disusun Oleh :

Khairul Basari, S.Pd

Modul Integral Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

2

MODUL

INTEGRAL

Standar Kompetensi :

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi

trigonometri yang sederhana

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda

putar

Sekilas Info

Orang yang pertama kali menemukan integral tertentu adalah

George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan

asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann

menjelaskan integral tertentu dengan menggunakan luas

daerah yang dihitungnya menggunakan poligon dalam dan

poligon luar. Untuk mengenang jasanya, integral tertentu

tersebut dinamakan integral Riemann. Riemann meninggal

pada tahun 1866.

Sumber : Calculus and Geometry Analtic.


3

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji hanya milik Allah Robb sekalian alam, atas ni’mat-Nya

sehingga modul integral ini dapat disusun, sebagai bahan ajar untuk tingkat SMA/MA.

Modul ini mengacu pada Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Harapannya semoga

modul ini dapat dijadikan salah satu refrensi sumber berlajar yang berbobot. Namun

demikian, karena dinamika inovasi pembelajaran terus berkembang, maka senantiasa kami

minta masukan sebagai bahan perbaikan supaya modul ini menjadi relavan sebagai sumber

belajar.

Penyelesaian modul ini banyak dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, oleh sebab

itu kami ucapkan terima kasih dan penghargaan kepada semuah pihak yang telah memberikan

dukungan dalam penyusunan modul ini. Kami menyadari modul ini masih banyak kekurangan

dan kekeliruan, kritik dan saran mohon disampaikan ke alamat yang tercantum pada modul

ini.

Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, amin.

Samarinda Maret 2013

Penyusun


4

DAFTAR ISI

Halaman Judul ...................................................................................................................... 2

Kata Pengantar ....................................................................................................................... 3

Daftar Isi ................................................................................................................................ 4

BAB I : Pendahuluan

A. Deskripsi ........................................................................................................ 4

B. Prasyarat ......................................................................................................... 4

C. Petunjuk Penggunaan Modul .......................................................................... 4

BAB II : PEMBELAJARAN

A. Kegiatan Belajar 1

A.1 Tujuan Pembelajaran 1 .......................................................................... 6

A.2 Integral Tak Tentu ................................................................................ 6

A.3 Integral Tentu ......................................................................................... 22

C. Rangkuman 1 ................................................................................................. 25

D. Tugas 1 ........................................................................................................... 25

E. Kegiatan Belajar 2

E.1 Tujuan Pembelajaran 2 ........................................................................... 26

E. 2 Luas Daerah ......................................................................................... 26

E.3 Volume Benda Berputar ......................................................................... 34

F. Rangkuman 2 .................................................................................................. 39

G. Tugas 2 ........................................................................................................... 39

BAB III : Tes Formatif ....................................................................................................... 42


5

BAB I

PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini Anda akan mempelajari penyelesaian integral tak tentu dan integral tentu

fungsi aljabar dan trigonometri, menghitung integral dengan metode subtitusi dan integral

parsial, menghitung luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan menghitung volume

benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.

B. Prasyarat

Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai konsep diffrensial

fungsi aljabar dan fungsi trigonometri serta siswa mampu menggambar grafik suatu fungsi

pada bidang koordinat.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut:

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului

merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam

mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian

tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang

berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan

mendapatkan pengetahuan tambahan.

BAB II


6

PEMBELAJARAN A. Kegiatan Belajar 1

A.1. Tujuan pembelajaran

a. Siswa dapat menentukan integral tak tentu fungsi konstan.

b. Siswa dapat menentukan integral tak tentu fungsi aljabar sederhana

c. Siswa dapat menentukan integral tak tentu fungsi trigonometri

d. Siswa dapat menentukan integral tak tentu dengan metode subtitusi

e. Siswa dapat menentukan integral tak tentu dengan metode parsial

f. Siswa dapat menentukan integral tentu fungsi aljabar

g. Siswa dapat menentukan integral tentu fungsi trigonometri

A.2. Integral tak tentu

a. Defnisi

Integral tak tentu : )()(')()( xfxFCxFdxxf , dimana c adalah

konstanta

b. Teorema Pengintegralan

Contoh 1.1

1. Cxdx 55

2. Cxdx 22

3. Cxdx

4. Cyxdxy

Jika k merupakan suatu konstanta maka Ckxdxk ; C = konstanta

Teorema 1


7

Contoh 1.2:

1. Tentukan dxx5

Penyelesaian

Cx

Cxdxx

6

155

6

1

15

1

2. Tentukan dxx4 3

Penyelesaian

dxxdxx 4

3

4 3

Cxx

Cx

Cx

4 3

4

7

47

14

3

43

.7

4

1

1

1

3. Tentukan

dxxdxx

x3

41

3 4

Penyelesaian

dxxdxx

x3

41

3 4

Jika n merupakan bilangan rasional dan n - 1, maka

Cxn

dxx nn 1

1

1,

dimana C = Konstanta

Teorema 2


8

Cx

Cx

Cx

dxx

3 2

3

2

32

13

1

31

3

1

2

3

1

1

1

Contoh 1.3 :

1. Tentukan dtt 33

Penyelesaian

dttdtt 33 33

Ct

Ct

4

13

4

3

13

13

2. Tentukan dxx3

2

5

Penyelesaian

dxxdxx 2

3

3

2

5

2

5

Jika f (x) adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan k adalah konstanta maka

)()(. xfkdxxfk

Teorema 3


9

Cxx

Cx

Cx

2

2

5

12

3

23

5

2

2

5

1

1

2

5

Contoh 1.4:

1. Tentukan dxxx 122

Penyelesaian

dxdxxdxxdxxx 212 22

CcccCxxx

cxcxcx

321

23

32

2

1

3

;3

1

2

2

3

1

2. Tentukan

dxx

x2

1

Penyelesaian

dx

xx

xdx

x

x222

11

Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Teorema 4


10

Cxx

Cxx

Cxx

dxxdxx

dxx

dxx

x

12

2

12

1

1

1

1

12

1

121

2

3

23

22

3

22

2. Tentukan dxx2

42

Penyelesaian

dxxxdxx 1616442 22

Cxxx

Cxxx

1683

4

162

16

3

4

23

23

Contoh 1.5 :

1. Tentukan dxxx832 46

Penyelesaian

Teknik Integral subtitusi

Jika u(x) suatu fungsi yang dapat didifrensialkan dan r suatu bilangan rasional tak

nol, maka

Cxur

ndxxnuxu

rr 1

1)('. dimana C adalah konstanta

dan r - 1.

Teorema 5


11

dimisalkan :

dxxdudxxdu

xdx

duxxu

22

23

623

34

Sehingga :

dxxxdxxx 28

3832 6446

Cx

Cu

duu

duu

93

9

8

8

49

2

9

12

2

2.

2. Tentukan dxxxx22 921

Peneyelesaian

dimisalkan :

dxxdudxxdu

xdx

duxxxu

)1(2

1)22(

2292)( 2

sehingga

Cxx

Cu

Cu

duu

duudxxxx

32

3

3

2

222

926

1

6

1

3

1

2

1

2

1

2

1921


12

3. Tentukan

dx

xx3

2

1

Penyelesaian

dxxxdx

xx

3

2

1

2

1

32

2

1

dimisalkan :

dxxdudxxdu

xdx

duxxu

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

2

12

Sehingga

dxxxdx

xx

3

2

1

2

1

32

2

1

C

x

Cx

Cu

duu

duu

2

2

2

1

2

3

3

2

1

2

2

12

2

2

4. Tentukan

dx

xx

x

3 32

410

Penyelesaian

dxxxx

dxxx

xdx

xx

x

3

12

3 23

65410

65

410

32

410


13

dimisalkan :

dxxdu

xdx

du

xxxu

)104(2

52

652

Sehingga

Cxx

Cxx

Cu

duu

u

dudxxxx

3 22

3

22

3

2

3

1

3

13

12

653

653

2

32

2

265410

Contoh 1.6a :

1. Tentukan

dxx

x

75

Penyelesaian

dimisalkan :

dxxvdvv

dxxdv

dxduxu

2

1

2

1

75

75

Teknik Integral Parsial

Jika u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang dapat didifrensialkan, maka

duvuvdvu

Teorema 6a


14

Cx

Cx

Cx

2

1

2

1

12

1

21

755

2

7525

1

751

1

5

1

Sehingga

udvdxx

x

75

Cxx

Cxx

x

Cx

xx

CccCxxx

cxcxx

cxcxx

dxxcxx

duvuv

7514575

2

15

14101575

5

2

15

141075

5

2

;7515

275

5

2

7575

475

5

2

753

2

5

1

5

275

5

2

755

275

5

2

21

22

3

12

1

22

3

12

1

2

1

12

1

2. Tentukan dxxx 87

Penyelesaian

Misalkan :

dxxv

dxxdv

dxduxu

2

1

2

1

87

87

Cx

Cx

2

3

2

3

8721

2

873

2

7

1


15

Sehingga

udvdxxx 87

Cxx

Cxx

x

CccCxxx

cxcxx

dxxcxx

vduuv

162187735

2

35

16143587

21

2

;8735

287

21

2

875

2

7

1

21

287

21

2

8721

287

21

2

3

2

3

212

3

22

5

12

3

2

3

12

3

3. dxxx 2552

Penyelesaian

dimisalkan :

dxxv

dxxdv

dxduxu

2

1

2

1

25

25

252

cx

cx

2

3

2

3

2515

2

253

2

5

1

vduuvudvdxxx 2552

Cxx

Cxx

x

Cxxx

cxcxx

dxxcxx

2

3

2

3

2

3

22

5

12

3

2

3

12

3

2512140375

2

25

4101255025

15

2

2525

25225

15

2

255

2

5

1

15

42552

15

2

22515

225

15

252


16

Contoh 1.6b

1. Tentukan dxx

xdx

12

Penyelesaian

udvdxxx

x

xdx2

1

1212

dimisalkan :

dxxdv

xu

2

1

12

Cxx

Cxxx

Cxxxxx

xdx

1213

1

123

112

12123

112

12

Teknik Integral Parsial

Jika u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang dapat didifrensialkan, maka dvu

dapat diintegralkan dengan metode :

Teorema 6b

u(x) (fungsi u(x)didiffrensialkan)

dv (fungsi dv diintegralkan)

.......................

.......................

.......................

.......................

0

.......................

.......................

.......................

.......................

.......................

+

–

+

– dst

x (didifrensialkan) dxx 2

1

12

(diintegralkan)

1

cx 12

0 cxx 1212

3

1

+

–


17

2. Tentukan udvdxxx 5362

Penyelesaian

62 x dxx 53

x2 cx 2

3

539

2

2 cx 2

5

53135

4

0 cx 2

7

532835

8

Cxxx

Cxxxxx

x

Cxxxx

xx

Cxxx

xxdxxx

2

32

222

2

3

222

3

2

7

2

5

2

322

5320904321352835

2

315

20024072420252189031553

9

2

25309315

853

15

4653

9

2

532835

1653

135

8536

9

2536


18

Contoh 1.7 :

1. Tentukan

dx

x

66sin

Penyelesaian

dxxUdx

x)(sin

66sin

Teknik Integral Fungsi Trigonometri

.

)()(cos)()(cos)(cos)(cos2.17

)()(sin)()(sin)(sin)(cos2.16

)()(sin)()(sin)(cos)(sin2.15

)()(cos)()(cos)(sin)(sin2.14

cos1

sin.cos1

cos.13

sin1

cos.sin1

sin.12

cotcos.11

secsec.tan.10

coscos.cot.9

)(tan)('

1)(sec.8

2

1)(2cos)(cos.7

2

)(2cos1)(sin.6

)(sin)('

1)(cos.5

)(cos)('

1)(sin.4

tansec.3

cossin.2

sincos.1

21

21

2

2

2

2

2

xBxAxBxAdxxBxA

xBxAxBxAdxxBxA

xBxAxBxAdxxBxA

xBxAxBxAdxxBxA

dxxn

nxx

ndxx

dxxn

nxx

ndxx

Cxdxxec

Cxdxxx

Cxecdxxecx

cxUxU

dxxU

dxxU

dxxU

dxxU

dxxU

cxUxU

dxxU

cxUxU

dxxU

Cxdxx

Cxdxx

Cxdxx

nnn

nnn

Teorema 7


19

dimisalkan :

dxUx

U6

1'

66

maka :

CxUU

dxxU )(cos'

1)(sin

Cx

Cx

66cos6

66cos

1

61

2. Tentukan xdx2cos

Penyelesaian

2

12coscos 2 x

xdx

Cxx

Cxx

dxx

4

2sin2

2sin2

1.

2

1

2

1

2cos2

1

2

1

3. Tentukan dxxxcossin5

Penyelesaian

dimisalkan:

dxxdu

xu

cos

sin

maka :

Cx

Cu

duudxxx

6

6

55

sin6

1

6

1

cossin


20

4. Tentukan

dxx

xx22sin1

cos.sin

Penyelesaian

dxxxxdx

x

xx 22

22sin1cossin

sin1

cos.sin

dimisalkan :

dxxxdu

dxxxdu

xu

cos.sin2

1

cossin2

sin1 2

maka :

222

2

1sin1cossin udxxxx

C

x

Cu

2

1

sin12

1

12

1

5. Tentukan dxx3sin

Penyelesaian

xxxxdxx sincos1sinsinsin 223

Misalkan :

dxxdu

dxxdu

xu

sin

sin

cos

Cxx

Cuu

duu

xxxxdxx

coscos3

1

3

1

1

sincos1sinsinsin

3

3

2

223


21

6. Tentukan dxx

xsin

Penyelesaian

dimisalkan :

duudxduxdx

dxx

dudxxdu

xuxu

.22

12

2

12

1

2

1

maka :

Cx

Cu

duu

uduu

udx

x

x

cos2

cos2

sin2

2sinsin


22

A. 2 Integral Tentu

a. Definisi :

Teorema yang digunakan untuk menghitung integral tentu sama teorema yang

pada integral tak tentu di atas.

Contoh 1.8 :

1. Tentukan nilai

5

1

3dx

Penyelesaian

18

)1(3)5(3

335

1

5

1

xdx

2. Tentukan nilai dxx

xx

4

1

3

3 423

Penyelesaian

4

1

32

4

1

3

3

)423(423

dxxxdxx

xx

8

39

8

75

8

1472

38

1

2

112

221316

2

4

2)4(3

223

4

1

2

xxx

Integral tentu : )()()( aFbFdxxf

b

a


23

3. Tentukan nilai dari

2

1

32 8442 dxxxx

Penyelesaian

2

1

32 8442 dxxxx

dimisalkan :

dxxduxxu )42(842

2

1

3

2

1

32 8442 duudxxxx

4

343

4

175

4

81256

4

8164

8414

1884

4

1

844

1

44

2

1

42

xx

4. Tentukan nilai dari 2

0

3cossin2

dxxx

Penyelesaian

2

0

3cossin2

dxxx

dimisalkan:

dxxdu

dxxduxu

cos

cossin2

2

0

3

0

32

cossin2

duudxxx

4

15

024

112

4

1

sin24

1

44

2

0

4

x


24

5. Tentukan nilai dari

0

cos dxxx

Penyelesaian

0

cos dxxx

x cos x dx

1 sinx

0 – cos x

0

0

cossincos xxxdxxx

2

11

0cos0sin0cossin

6. Tentukan nilai 4

0

4sin5sin

dxxx

Penyelesaian

4

0

4

0

45cos45cos2

14sin5sin

dxxxxxdxxx

29

2

18

28

2

1

2

2

9

1

2

2

2

1

0sin9

10sin

2

1

4

9sin

9

1

4sin

2

1

9sin9

1sin

2

1

9coscos2

1

4

0

4

0

xx

dxxx


25

C. Rangkuman 1

1. Teorema pengintegralan

a. fungsi konstan Ckxdxk , k dan C adalah konstan

b. pangkat

Cxn

dxx nn 1

1

1, n bilangan rasional dan n 1

c. Perkalian konstan dengan fungsi xfkdxxfk.

d. penjumlahan dua fungsi dxxgdxxfdxxgxf

e. pengurangan dua fungsi dxxgdxxfdxxgxf

f. Teknik integral subtitusi Cxun

dxxuxunn

1

1

1'

g. Teknik integral parsial duvvudvu .

h. cxdxx sincos

i. cxdxx cossin

2. Integral tentu dari fungsi f(x) pada interval ba, adalah b

a

dxxf

D. Tugas 1

1. Tentukan integral berikut :

a. dxx 3

2

d.

dxxx

3

1

1 g. dxx 45

b. dxxx 14 e.

dxx

xx5

56 834 g.

dx

x

x

cos1

sin

c.

dx

x

x3

4 f. dxxx 1sin 2 i.

dx

xx

2

2

11

1

2. Tentukan fungsi f(x) jika diketahui

a. xxxf 25' 2 dan 20 f b. xxxxf 63' 22 dan 12 f

3. Hitunglah integral berikut :

a.

2

0 3

23

2

9

dx

x

x c.

3

0

5 sincos

dxxx f.

1

0

12 dxxx

b. 2

0

sin5cos

dxxx d. dxxx

0

2sec2tan4 f. 2

0

3cos

dxx


26

E. Kegiatan Belajar 2

E. 1. Tujuan Pembelajaran

1. Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva

2. Merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya

3. Merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang

diputar terhadap bidang koordinat dan menghitungnya

E. 2. Menghitung Luas Daerah

Contoh 1.1 :

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva 24 xxf , sumbu-x garis x = 0 dan

garis x = 1

Penyelesaian

5,3,53

0,2,02

3,1,31

4,0,40

3,1,31

0,2,02

5,3,53

4 2

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xyxf

Luas daerah diatas sumbu-x

Jika daerah R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva

xfy , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b

dengan 0xf dan kontinu pada selang bxa ,

maka luas daerah R adalah :

dxxfRL

b

a

)(

Teorema 1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(3, - 5) (3, - 5)

(1, 3) (- 1, 3)

(- 2, 0)

(2, 0)


27

3

23

03

1)1(4

34

4

3

1

0

3

1

0

2

xx

dxxL

Jadi luas daerahnya adalah 3

23 satuan luas

Contoh 1.2

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva 45 xy , sumbu-x, garis x = 0 dan

garis x = 2

Penyelesaian

)14,2(,142

)9,1(,91

)4,0(,40

45

yx

yx

yx

xy

18

810

0402

5242

2

5

42

5

45

2

2

0

2

2

0

xx

dxxL

Jadi luas daerahnya adalah 18 satuan luas

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

-4 -2 0 2 4

(2, 14)

(- 2, - 6)

(0, 4)


28

-3

-2

-1

0

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Contoh 2.1

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva 24

1 xy , sumbu-x, garis x = 4 dan sumbu-y.

6

62

0)4(28

4

28

24

1

2

4

0

2

4

0

xx

dxxL


Luas daerah di bawah sumbu-x

Jika daerah S adalah daerah yang dbatasi oleh kurva

xfy , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan

0xf dan kontinu pada selang bxa , maka luas

daerah S adalah :

dxxfsL

b

a

)(

Teorema 2


29

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Contoh 3.1

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, sumbu- x,

garis x = -3 dan x = 4

Penyelesaian

luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah A ditambah luas daerah , maka

2

25

2

9

2

16

2

300

2

4

22

22

0

3

24

0

2

0

3

4

0

xx

xdxxdx

LLL AB

Jadi luasnya adalah 2

112 satuan luas

Jika daerah T adalah daerah yang dbatasi oleh kurva

xfy , sumbu-x, garis x = a dan garis x = c dengan

0xf pada interval bxa , dan 0xf pada

interval cxb maka luas daerah T adalah :

c

b

b

a

dxxfdxxfTL )(

Teorema 3

B

A


30

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-8 -6 -4 -2 0 2 4

A

B

Contoh 3.2

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva xxy 62 ,

sumbu-x, garis x = - 4 dan garis x = 2

Penyelesaian

3

141

3

124

3

80

3

44

3

14464

3

368

433

40023

3

2

33

33

66

)()(

23

23

0

4

23

2

0

23

0

4

2

2

0

2

xx

xx

dxxxdxxx

BLALL

Jadi luas daerahnya adalah 3

141 satuan luas


31

Contoh 3.3

Hitunglah Luas daerah yang dibatasi kurva 20,sin xxxf dan sumbu-x

Penyelesaian

4

22

11)1(1

0coscoscos2cos

coscos

sinsin

)(

0

2

0

2

21

xx

xdxxdx

ALAL


Jika daerah U adalah daerah tertutup yang dbatasi dua

kurva yaitu xfy 1 dan xgy 2 , garis x = a dan

garis x = b pada interval bxa , maka luas daerah U

adalah :

b

a

b

a

b

a

dxxgxfdxxgdxxfUL )(

Teorema 4a


32

Contoh 4.1

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva ,4 2xxf

garis x = 0 dan garis y = 1

Penyelesaian

Tentukan batas pengintegralan dengan cara mencari titik potong kedua kurva

3

3

30

1

4

2

2

2

x

x

x

y

xy

karena daerah dibatasi oleh garis x = 0 maka batas pengintegralan yang diambil adalah

0x dan 3x .

32

033

133

3

13

3

14

3

3

0

3

3

0

2

3

0

2

3

0

21

xx

dxx

dxx

yyL


-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


33

Contoh 4.2

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – 2 dan y = x2 – 5

Penyelesaian

Untuk menentukan batas batas atas dan batas bawah maka kedua kurva kita

eliminasi/subtitusikan seningga mendapatkan persamaan kuadrat baru.

031

032

522

5

22

2

2

2

xx

xx

xx

ikandisubtitusxy

xy

Sehingga luas daerahnya adalah

3

32

3

527

3

931999

)1(313

1)3(33

3

3

33

32

23

23

3

1

23

3

1

2

xxx

dxxx

Luas daerah antara dua kurva yang saling berpotongan

di dua titik adalah

26a

DDL

Teorema 4b

a b

f(x)

g(x)

-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

101112

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


34

Contoh 4.3

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x + 3

Penyelesaian

6

64

)1(6

1616

6

16

124

032

32

2

2

2

2

L

L

a

DDL

D

D

xx

xx

Jadi luas daerhanya adalah 3

210 satuan luas

E.3. Volume Benda Putar

Contoh 1.1

Hitunglah volume benda putar, daerah yang dibatasi oleh kurva 24 xxf , sumbu-x,

sumbu-y diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu-x

Penyelesaian

Jika daerah R adalah daerah yang dbatasi kurva

xfy , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan

ba jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-x

sejauh 360o maka volume benda putar tersebut adalah :

b

a

dxxfV2

Teorema 1

-4-3-2-10123456789

1011121314151617

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


35

15

256

5

32

3

6432

05

2

3

28)2(16

53

816

816

4

53

2

0

53

2

0

42

2

0

22

xxx

dxxx

dxxV

Contoh 1.2

Hitunglah volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2

sumbu-x dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 3600

Penyelesaian

5

256

5

4

5

5

4

0

5

4

0

4

4

0

22

x

dxx

dxxV

Jadi volumenya adalah 5

151 satuan luas

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-6 -4 -2 0 2 4 6


36

Contoh 2.1:

Hitunglah volume benda putar, daerah yang dibatasi oleh kurva 24 xxf , sumbu-x,

sumbu-y diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu-y

Penyelesaian

Untuk menentukan volume benda putar yang mengelilingi sumbu-y, maka fungsi

24 xy diubah menjadi fungsi dengan variabel y, sehingga fungsinya menjadi

yx

yxxy

4

44 22

Sehingga volumenya

8

816

02

444

24

4

4

2

4

0

2

4

0

4

0

2

yy

dyy

dyyV

Jadi volumenya jika diputar mengelilingi sumbu-y adalah 8 satuan volume

Jika daerah S adalah daerah yang dbatasi kurva yfx ,

sumbu-y, garis x = a dan garis x = b dengan ba jika

daerah S diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o maka

volume benda putar tersebut adalah :

b

a

dxyfV2

Teorema 2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


37

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

Contoh 2.2

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 + 1, x = 1,

sumbu x, dan sumbu-y diputar 3600 mengelilingi sumbu-y adalah …

Penyelesaian

4

3

2

69

2

032

3

2

22

2

1

2

1

2

112

3

121

2

2

3

0

23

0

2

2

yy

dyy

dyy

V

yxxy

y

xyx


3 satuan volume

Jika daerah T dibatasi oleh kurva xf dan xg , dengan

xgxf pada interval ba, diputar mengelilingi

sumbu-x, sejauh 360o maka volume benda putar tersebut

adalah :

b

a

dxxgxfTV22

Teorema 3


38

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Contoh 3.1

Hitunglah volume daerah yang dibatasi oleh kurva 2)( xxf , Sumbu- x, sumbu-y, garis

x = 2 dan y = - 1 yang diputar sejauh 360o mengeliling sumbu-x

Penyelesaian

3

2

0683

8

323

34

12

2

0

23

2

0

2

2

0

22

xxx

dxxx

dxxV


2 satuan volume

Contoh 3.2

Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatsi kurva y = x2 + 1 dan

y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

12

012

0231 22

xx

xx

xxxx

5

117

305

33

833

1

5

11612

3

8

5

32

8335

1296

13

2

1

235

2

1

242

2

1

222

xxxx

dxxxxx

dxxxV

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


39

Rangkuman 2

1. Luas daerah tertutup yang terletak

a. di atas sumbu-x b

a

dxxfL

b. di bawah sumbu-x b

a

dxxfL

c. di atas dan di bawah sumbu-x

c

b

b

a

dxxfdxxfL

d. di antara dua kurva

b

a

dxxgxfL

e. di antara dua kurva yang saling berpotongan di dua titik 26a

DDL

2. Volume benda putar dari daerah yang dbatasi kurva dan diputar mengellingi :

a. sumbu-x

b

a

dxxfV2

b. sumbu-y

b

a

dxyfV2

c. sumbu-x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)

b

a

dxxgxfV22

d. sumbu-y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y)

b

a

dxygyfV22

Tugas 2

1. Gambarlah dan hitunglah luas daerah-daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva

berikut :

a. ,xy sumbu-x, gars x = 0, dan garis x = 6

b. xxf sin pada interval

2

3,

2

dan sumbu-x

c. 2xxf dan 2 xy

d. xy sin dan xy cos pada interval 2,0

e. xxy 82 2 dan 432 xxy

f. 3xy dan 2xy


40

2. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva berikut

a. 2xxy , sumbu-x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

b. 2xy , sumbu-x dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

c. xy tan , sumbu-x dan garis 2

x diputar mengililingi sumbu-x sejauh 360

od.

d. xy dan 2xy diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o.

e. 2xy , 12 xy dan garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o.


41

BAB III.

TES FORMATIF

1.

....322

2

53

dxx

xx

a. cx

xx 3

2

1 42

b. cxxx 32

1 32

c. cxx 3

12 42

d. cx

xx 142

e. cx

xx 3

2

1 22

Jawaban : A

2. ......2cos dxx

a. cx 2sin2

1

b. cxx cos.sin

c. cx 2sin2

d. cxx cossin2

1

e. cx 2sin2 Jawaban : B

3.

4

2

.....cos6sin2

dxxx

a. 262 d. 226

b. 226 e. 226

c. 226 Jawaban : B

4. ....532 dxxx

a. cx 32 5 d.

cx 42 5

8

1

b. cx 32 58 e.

cx 42 54

c. cx 42 5

Jawaban : D

5. .....cos dxxx

a. cxxx sincos

b. cxxx cossin

c. cxx 1sin

d. cxx 1cos

e. cxx sin Jawaban : B

6. ....5 3 2 dxxx

a. cxx 3 22 .15

8

b. cxx 3 22 .8

15

c. cxx 3 22

d. cxx 3 22 .3

5

e. cxx 3 2.8

15

Jawaban : B 7. Jika f’(x) = 8x – 2 dan f(5) = 36 maka f(x)

adalah ……

a. 15928 2 xx

b. 15428 2 xx

c. 7424 2 xx

d. 5424 2 xx

e. 5924 2 xx Jawaban : D


2

8. Hasil dari ....62 dxxx

a. – 4 d. 2

1

b. 2

1 e.

2

14

c. 0 Jawaban : A

9. Jika

a

dxx0

3 2

10

3

2

1,

4320

b

dxx dan a > 0, b > 0, maka

nilai dari ....2 22 baba a. 10 d. 25 b. 15 e. 30 c. 20

Jawaban : D

10. Jika

b

a

ccdxc

x0;cos

maka ......2

sin 2 b

a

dxc

x

a. – c d.

cab 2

1

b. c2

1 e.

cab 2

1

c. cab

Jawaban : E

11. ....2

5sin

0

2

dxx

a. 1 d. 5

1

b. 5

1 e. 0

c. - 1

Jawaban : D

12. Hasil ...12 2 dxxx

a. cx 122

3 2

b. cx

122

3

2

c. cx

123

2

2

d. cxx 12123

2 22

e. cxx 12126

1 22

Jawaban : E

13. .....cossin3 dxxx

a. cx 4sin4

1

b. cx 4cos4

1

c. cx 4cos4

1

d. cx 2sin3

1

e. cx 4sin3

1

Jawaban : A

14. 2

0

...sincos1

dxxx

a. 0 d. 2

3

b. 2

1 e.

2

3

c. 2

1

Jawaban : B


3

15. ....cos2 dxxx

a. cxxxxx sin2cos2sin2

b. cxxxxx sin2cos2sin2

c. cxxxxx sin2cos2sin2

d. cxxxxx cos2cos2cos2

e. cxxxxx cos2cos2cos2 Jawaban : A

16. ....14 dxxx

a. cxx 1614 2

3

b. cxx 161460

12

3

c. cx 2

5

14

d. cx 2

5

1460

1

e. cxx 2

3

161460

1

Jawaban : B 17. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

22 xxy , sumbu-x, garis x = - 1, dan

garis x = 2 adalah…. a. 2 satuan luas

b. 3

7 satuan luas

c. 3

8 satuan luas

d. 3 satuan luas

e. 3

10 satuan luas

Jawaban : C 18. Grafik fungsi xy cos disinggung oleh

garis g dititik

0,

2

dan garis h

dititik

0,

2

. Kurva fungsi cosinus

tersebut, garis g dan garis h membatasi daerah D. maka luas daerah D adalah….

a.

1

8

2satuan luas

b.

1

4

2satuan luas

c.

2

4

2satuan luas

d.

4

2

2satuan luas

e. 12 satuan luas

Jawaban : C 19. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

562 xxy dan sumbu-x

adalah…. a. 10 Satuan luas

b. 3

31 satuan luas

c. 3

32 satuan luas

d. 3

34 satuan luas

e. 3

35 satuan luas

Jawaban : C 20. Luas daerah terbatas dibawah parabola

42 xy dan di atas garis lurus

xy 3 adalah….

a. 19 Satuan luas

b. 2

124 satuan luas

c. 6

125 satuan luas

d. 2

116 satuan luas

e. 6

520 satuan luas

Jawaban : E 21. Luas daerah yang dibatasi oleh

26 xxy dan xxy 22 adalah….


4

a. 32 satuan luas

b. 3

20 satuan luas

c. 3

64 satuan luas

d. 16 satuan luas e. 21 satuan luas Jawaban : C 22. Jika luas daerah dibatasi kurva

pxy dan garis xy adalah 3

2,

amaka nilai p adalah….

a. 63

1 d. 2

atau – 2

b. 2 e. 2

5

atau 2

5

c. 2

5

23. luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-y,

kurva xy sin , xy cos dan garis

x adalah…..

a. 2 satuan luas b. 2 satuan luas

c. 21 satuan luas

d. 22 satuan luas

e. 22 satuan luas Jawaban : C 24. Daerah D terletak dikuadran pertama

yang dibatasi oleh parabola 2xy ,n

garis parabola 24xy dan y = 4.

Volume benda putar yang terjadi bila daerah D diputar terhadap sumbu-y sejauh 360o adalah….

a. 3 satuan volume

b. 4 satuan volume

c. 6 satuan volume

d. 8 satuan volume

e. 10 satuan volume

Jawaban : C

25. Daerah D dibatasi oleh kurva ,sin xy

x0 dan sumbu-x. jika diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu-x maka volume benda putar yang terjadi adalah…

a. 2 satuan volume

b. 2

1 satuan volume

c. 2

2

1 satuan volume

d. satuan volume

e. 2 satuan volume

Jawaban : C

26. Jika 263)(' 2 xxxf dan

25)2( f dimana )(' xf adalah

turunan pertama dari )(xf maka

fungsi )(xf adalah….

a. 27263 23 xxx

b. 1223 xxx

c. 1223 xxx

d. 49223 xxx

e. 49223 xxx Jawaban : D

27.

2

1

3.......

1dx

x

x

a. 16

11 d. 1

b. 8

1 e.

2

11

c. 8

7

Jawaban : C

28. Jika ,)( baxxf

1

0

1)( dxxf dan

2

1

5)( dxxf maka nilai a + b adalah…


5

a. 3 d. - 3 b. 4 e. - 4 e. 5

Jawaban : D

29.

23

6

2 ....2 dxxx .

a. 24 d. 3

117

b. 3

218 e. 17

c. 18 Jawaban : C

30. ....310sin dxx

a. cx )310cos(2

b. cx )310cos(2

c. cx )310cos(3

1

d. cx )310sin(2

e. cx )310sin(2

Jawaban : C

31. .....cos.sin 2 dxxx

a. cxx cossin2

b. cx 3cos3

1

c. cx 3sin3

1

d. cx 3sin2

e. cxx 3coscos Jawaban : D

31.

6

0

....3

cos3

sin

dxxx

a. 4

1 d.

4

1

b. 8

1 e.

8

3

c. 8

1

Jawaban : C

32. Hasil dari .....sin12 xdxx

a. cxxx 2cos62sin3

b. cxxx 2cos62sin3

c. cxxxx 2sin32cos6

d. cxxxx 2sin32cos6

e. cxxx 2cos32sin6 Jawaban : C

33. Diketahui

3

2 .25)123(a

dxxx Nilai a2

1

=….

a. – 4 d. 1

b. – 2 e. 2

c. – 1

34. Nilai

0

.... dx cos.2sin xx

a. 3

4 d.

3

2

b. 3

1 e.

3

4

c. 3

1

35. Hasil dari

1

0

2 .... dx 13.3 xx

a. 2

7 d. 3

4

b. 3

8 e. 3

2

c. 3

7

d.

36. Hasil dari ....cos5 xdx

a. Cxx sin.cos6

1 6

b. Cxx sin.cos6

1 6


6

c. Cxxx 53 sin5

1sin

3

2sin

d. Cxxx 53 sin5

1sin

3

2sin

e. Cxxx 53 sin5

1sin

3

2sin

37. Hasil dari ....cos).1( 2 xdxx

a. x2 sin x + 2x cos x + C

b. ( x2 – 1 )sin x + 2x cos x + C

c. ( x2 + 3 )sin x – 2x cos x + C

d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C

e. 2x sin x – ( x2 – 1 )cos x + C

38. Diketahui

3

2 .40)223(p

dxxx Nilai p2

1

=….

a. 2 d. – 2

b. 1 e. – 4

c. – 1

39. Hasil dari 2

0

....5cos.3sin

xdxx

a. 16

10 d.

16

4

b. 16

8 e. 0

c. 16

5

40.

0

....sin. xdxx

a. 4

d.

b. 3

e. 2

3

c. 2

41. Nilai

2

1

0

.....sin2 dxxx

a. 14

1 2 d. 12

1 2

b. 2

4

1 e. 1

2

1 2

c. 14

1 2

d. 12

1 2

42. Nilai ....)1sin(. 2 dxxx

a. – cos ( x2 + 1 ) + C

b. cos ( x2 + 1 ) + C

c. –½ cos ( x2 + 1 ) + C

d. ½ cos ( x2 + 1 ) + C

e. – 2cos ( x2 + 1 ) + C

43. ....2sin. xdxx

a. Cxxx 2cos2

12sin

4

1

b. Cxxx 2cos2

12sin

4

1

c. Cxx 2cos2

12sin

4

1

d. Cxxx 2sin2

12cos

4

1

e. Cxxx 2sin2

12cos

4

1

44. 2

0

22 ....)cos(sin

dxxx

a. –½ d. 0

b. 2

1 e. ½

c. 2

1

d.


7

45. Hasil ....2

1cos.2 xdxx

a. 4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C

b. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C

c. 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C

d. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C

e. 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C

46. Hasil ....9 2 dxxx

a. Cxx 22 9)9(3

1

b. Cxx 22 9)9(3

2

c. Cxx 22 9)9(3

2

d. Cxxxx 2222 9)9(9

29)9(

3

2

e. Cxxx 222 99

19)9(

3

1

47. Nilai

1

0

6 ....)1(5 dxxx

a. 56

75 d. 56

7

b. 56

10 e. 56

10

c. 56

5

48. Hasil dari .....4cos.cos dxxx

a. Cxx 3sin3

15sin

5

1

b. Cxx 3sin6

15sin

10

1

c. Cxx 3sin3

25sin

5

2

d. Cxx 3cos2

15cos

2

1

e. Cxx 3sin2

15sin

2

1

49. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y =

x2 dan garis x + y = 6 adalah …satuan luas.

a. 54 d. 32

b. 6

520 e. 18

c. 3

210

50. Luas daerah yang diarsir pada gambar di

bawah adalah …satuan luas.

a. 3

2

b. 3

c. 3

15

d. 3

26

e. 9

51. Luas daerah yang diarsir pada gambar

adalah …satuan luas.

a. 2

14

b. 6

15

c. 6

55

d. 6

113

e. 6

130

-6-5-4-3-2-10123456789

0 1 2 3 4 5 63 1

y = - x2 + 6x - 5

y = x2 – 4x + 3

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7


8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -2 0 2 4

y = 2x

y = 8 –

x2

52. Luas daerah arsiran pada gambar di

bawah ini adalah …satuan luas.

a. 5

b. 3

27

c. 8

d. 3

19

e. 3

110

53. Jika f(x) = ( x – 2 )2 – 4 dan g(x) = –f (x) ,

maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva

f dan g adalah … satuan luas.

a. 3

210 d.

3

242

b. 3

121 e.

3

145

c. 3

222

54. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola

y = x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis

y = 4 adalah …satuan luas

a. 6

14 d.

6

16

b. 5 e. 2

17

c. 6

55. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – 1,

sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah …

satuan luas.

a. 4

3 d. 4

13

b. 2 e. 4

34

c. 4

32

56. Volume benda putar bila daerah yang

dibatasi kurva y = – x2 + 4 dan y = – 2x + 4

diputar 3600 mengelilingi sumbu y adalah

… satuan volume.

a. 8 d. 3

8

b. 2

13 e. 4

5

c. 4

57. Volume benda putar yang terjadi, jika

daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x +

3, diputar mengelilingi sumbu x adalah

…satuan volum.

a. 5

67 d. 5

133

b. 5

107 e. 5

183

c. 5

117

58. Volume benda putar yang terjadi jika

daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2

1

2x ,

garis y = x2

1 dan garis x = 4 diputar 3600

terhadap sumbu x adalah ….satuan

volume.

a. 3

123 d.

3

127

b. 3

224 e.

3

227

c. 3

226

59. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan

x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x


9

sejauh 3600. Volume benda putar yang

terjadi adalah …satuan volum.

a. 3

215 d.

5

214

b. 5

215 e.

5

310

c. 5

314

60. Volume benda putar yang terjadi jika

daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 + 1, x = 1

, sumbu x, dan sumbu y diputar 3600

mengelilingi sumbu x adalah … satuan

volum.

a. 15

12 d. 15

47 2

b. 15

27 e. 4

61. Volume benda putar yang terjadi bila

daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2

dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y

sejauh 3600 adalah ….

a. 4 d. 16

b. 3

16 e. 3

92

c. 8


daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1

dan sumbu x dari x=1, x = –1, diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah

….

a. 15

4 d. 15

24

b. 15

8 e. 15

32

c. 15

16


daerah pada kuadran pertama yang

dibatasi oleh kurva 4

12x

y , sumbu x,

sumbu y diputar mengelilingi sumbu x

adalah … satuan volume.

a. 15

52 d.

b. 12

16 e. 15

12

c. 15

16

d.

Documents

Modul Integral