Modul Aljabar

ALJABAR

Materi-materi aljabar antara lain meliputi himpunan, fungsi, perbandingan,

faktorisasi suku aljabar, ketidaksamaan, sistem persamaan, polinom, matriks, dan pola

bilangan.

Latihan 1

1. Jumlah dari rata-rata aritmatik himpunan A dan rata-rata aritmatik himpunan B

adalah 5002. Himpunan A dan himpunan B terdiri dari bilangan-bilangan asli

berurutan. Jika A B = {2005} tentukan kemungkinan unsur himpunan B yang

terbesar.

(Seleksi Awal Calon Peserta IMO 2005 Tingkat Propinsi)

2. Jika f(a, b) = ab + a/b, tentukan nilai dari f(2a, b - a )


3. Nilai maksimum fungsi adalah …


4. Tentukan semua (x , y , z) , dengan x , y , z bilangan real, yang memenuhi sekaligus

ketiga persamaan berikut:


5. Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan asli. Jika semua akar ketiga persamaan

adalah bilangan asli, tentukan a, b, dan c.


Materi Pembinaan OSN Matematika 1=================================================================

Materi aljabar yang sering digunakan dalam kompetisi-kompetisi matematika antara

lain menyangkut pemfaktoran dan penjabaran bentuk pangkat. Berikut beberapa identitas

dasar yang berkaitan dengan itu:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Di samping itu juga penting untuk diketahui bahwa

a. a – b , untuk semua bilangan asli n.

b. a + b , untuk semua n ganjil,

Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut.

Karena a + b = a - (-b) dan = = =

hanya jika n ganjil, tentunya a - (-b) , bersesuaian dengan bentuk

pada bagian a.

Materi aljabar yang tak kalah pentingnya dan sering muncul dalam kompetisi-

kompetisi antara lain adalah polinom , ketaksamaan seperti yang akan kita bicarakan

berikut ini.

1. POLINOM

Bentuk umum polinom berderajat n adalah

Jika bilangan-bilangan bulat dan merupakan akar-akar bulat

dari persamaan di atas, maka x1 merupakan faktor dari . Jadi akar-akar bulat yang

mungkin bagi persamaan di atas adalah faktor-faktor dari .

Jika polinom f dibagi oleh polinom g, maka ada polinom q dan r sedemikian

sehingga

derajat r < derajat g atau r(x) = 0.


Polinom q(x) dan r(x) masing-masing disebut hasil bagi dan sisa pembagian pada f oleh g.

Apabila r(x) = 0, maka dikatakan bahwa g(x) habis membagi f(x), ditulis g(x) f(x).

Pembagian polinom dapat dilakukan dengan cara seperti membagi bilangan .

Contoh 1.1

Tentukan polinom hasil bagi dan sisa dari pembagian polinom f(x) = oleh g(x) =

.

Penyelesaian

Jika polinom f(x) = dibagi oleh g(x) = , maka diperoleh

= +

Jadi hasil bagi dan sisanya berturut-turut adalah dan .

Jika diberikan polinom berderajat n dan a , maka pembagian oleh (x-a)

menghasilkan

,derajat q = n – 1………………………………….(1)

Sehingga untuk x = a, berlaku

Akibatnya

…………………………………………………(2)

Jika , maka a adalah akar atau pembuat nol f, sehingga dari (2) berlaku

…………………………………………..(3)

Dalam hal ini dan masing-masing merupakan faktor dari f(x).

Contoh 1.2

Bentuk dapat difaktorkan menjadi ( dengan b dan d real

positif. Tentukan nilai dari a + b + c + d!

Penyelesaian

= (

=

=

Sehingga diperoleh

a + c = 0 a = -c

ad + bc = 0 -cd + bc = 0 b = d


bd = 1 d2 = 1 d = 1 ( Nilai -1 tidak memenuhi syarat pada soal)

Dengan demikian a + b + c + d = -c + d + c + d = 2d = 2(1) = 2

Contoh 1.3

Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut:

a. b.

Penyelesaian

a. =

b. = =

Teorema Vieta

Misalkan akar-akar polinom

P(x) = ,

dimana dan C, maka

…

Contoh 1.4

Jika a ,b , c ,d jawab dari persamaan , tentukan persamaan yang punya jawab

!

Penyelesaian

Karena a ,b , c ,d jawab dari persamaan , maka

a + b + c + d = 0 ……………………………………….(i)

ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 …………………… (ii)

abc + abd + acd + bcd = b…………………………… (iii)

abc = -3…………………………………………………(iv)


Sedangkan (Berdasarkan Persamaan (i))

Dengan cara yang sama , diperoleh

Dengan demikian

Apabila akar-akar persamaan yang dimaksud adalah , maka

= 0

Sehingga persamaan yang mempunyai akar-akar yang dimaksud adalah

atau

Contoh 1.5

Tentukan nilai a dan b sehingga merupakan faktor dari .

Penyelesaian

Karena merupakan faktor, maka


Sehingga diperoleh

… demikian seterusnya sampai perhitungan koefisien x11.

Pada penjabaran di atas koefisien xn dengan n = 2, 3, 4, 5, …, 11 adalah

Tampak bahwa pada proses di atas diperoleh nilai-nilai ai, i = 0, 1, 2, 3, 4 membentuk suatu

pola barisan fibbonacci dengan tanda berubah saling silang negatif, positif, negatif, positif

dan seterusnya. Apabila proses ini dilanjutkan akan diperoleh nilai-nilai

berturut-turut adalah

-1, 1, -2, 3, -5, 8, -13, 21, -34, 55, -89, 144

Selanjutnya ditentukan nilai b = a10 – a11 = -89-144 = -233.

Sedangkan nilai a = a11 = 144.

Jadi nilai a dan b berturut-turut adalah 144 dan -233.

Latihan 2

1. Berapakah sisa pembagian x99 + 1 oleh x – 1?


2. Misalkan S = . Apakah S jika dituliskan

dalam sesedikit mungkin suku penjumlahan?


3. Jika (x – 1)2 membagi ax4+ bx3 + 1, maka ab = …


4. Diberikan persamaan x3 + x − 1 = 0 dan a, b, c merupakan akar-akarnya. Tentukan

nilai


5. Faktorkan

a. b.


6. Tentukan sisa pada pembagian oleh .

7. Tentukan a, b sehingga

8. Tentukan k sehingga habis dibagi oleh .

9. Misalkan bahwa

f (x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c

dan bahwa f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = f (5) . Berapakah nilai a?

(Olimpiade Matematika Tingkat Kota/Kabupaten 2003/2004)

10. Tentukan a, b,c, sehingga

2. Ketaksamaan

Teori ketaksamaan didasarkan pada sifat(aksioma) urutan bilangan real. Menurut

aksioma ini diasumsikan terdapat himpunan P yang merupakan himpunan bagian dari

himpunan bilangan real yang memenuhi tiga sifat berikut:

1. Untuk bilangan real x sebarang, berlaku salah satu dari

(i) x = 0, atau (ii) x P, atau (ii) -x P (Sifat Trikotomi)

2. Jika x , y P, maka x + y P. (Sifat ketertutupan operasi tambah)

3. Jika x , y P, maka x y P. (Sifat ketertutupan operasi kali)

Himpunan P di atas disebut himpunan bilangan real positif. Selanjutnya ada kesepakatan

bahwa notasi x > 0 digunakan jika x P, sehingga ketiga sifat di atas dapat dinyatakan

sebagai

1. Untuk bilangan real x sembarang, berlaku salah satu dari

(i) x = 0, atau (ii) x > 0, atau (iii) -x > 0.

2. Jika x > 0 dan y > 0, maka x + y > 0.

3. Jika x > 0 dan y > 0, maka xy > 0.

Definisi 2.1

1. x dikatakan lebih besar dari y , dinotasikan x > y, jika x – y > 0.

2. x dikatakan lebih kecil dari y, dinotasikan x < y, jika y – x > 0.

3. Notasi x y, digunakan jika x > y atau x = y.

Sifat 2.1

(i) Untuk setiap bilangan real x sebarang x2 0. Sedangkan x2 = 0 jika dan

hanya jika x = 0.

(ii) Jika a < b, maka -a > -b.


(iii) Jika a < 0 dan b < 0, maka ab > 0

(iv) Jika a < 0 dan b > 0, maka ab < 0

(v) Jika a < b dan b < c, maka a < c

(vi) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d

(vii) Jika 0 < a < b dan 0 < c < d, maka ac < bd

(viii) Jika a < b, dan c bilangan real sebarang, maka a + c < b + c.

(ix) Jika a < b, dan c bilangan real positif, maka ac < bc.

(x) Jika a < b, dan c bilangan real negatif, maka ac > bc

(xi) Jika a > 1, maka a2 > a.

(xii) Jika 0 < a < 1, maka a2 < a.

Ketaksamaan x2 0 berlaku untuk semua x real merupakan ketaksamaan yang

penting dan banyak digunakan. Dengan ketaksamaan ini dapat diperoleh ketaksamaan-

ketaksamaan lain.

Contoh 2.1

Untuk bilangan real a dan b sebarang berlaku a2 + b2 2ab. Selanjutnya a2 + b2 = 2abjika

dan hanya jika a = b.

Bukti

(a – b)2 0 a2 + b2 - 2ab 0 a2 + b2 2ab . Terbukti.

Selanjutnya a2 + b2 = 2ab a2 + b2 - 2ab = 0 (a – b)2 = 0 a = b. Terbukti.

Contoh 2.2

Untuk bilangan real a, b dan c, buktikan bahwa .

Kemudian tentukan kapan persamaan berlaku! (OSN 2003)

Bukti

(a – b)2 0

a2 + b2 - 2ab 0

a2 + b2 2ab (1)

Dengan cara yang sama diperoleh

b2 + c2 2bc (2)

c2 + a2 2ca (3)

Jika ketiga ketaksamaan di atas dijumlahkan, diperoleh

2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2bc + 2ca

4a2 + 4b2 + 4c2 4ab + 4bc + 4ca (4)

Padahal a2 + b2 + c2 0 (5)

Apabila (4) dan (5) dijumlahkan, maka diperoleh


5a2 + 5b2 + 5c2 4ab + 4bc + 4ca.

Terbukti.

Kesamaan terjadi saat a = b = c = 0.

Contoh 2.3

Untuk bilangan real positif x, buktikan bahwa x + 2. kemudian tentukan kapan

kesamaan berlaku!

Bukti

Perhatikan bahwa

x + - 2 = 0.

Dengan demikian terbukti x + 2.

Kesamaan berlaku jika:

x + = 2 = 0 x – 1 = 0 x = 1

Contoh 2.4

Misalkan a, b bilangan real positif. Buktikan bahwa . Kemudian tentukan kapan

kesamaan berlaku.

Bukti

Pada Contoh 2.2 telah dibuktikan bahwa x + 2. Jika diambil x = , maka =

sehingga

x + = . Terbukti.

Kesamaan terjadi jika dan hanya jika =1.

Contoh 2.5


Buktikan bahwa untuk bilangan real positif a, b sebarang berlaku .

Kemudian tentukan kapan kesamaan berlaku!

Bukti

Telah diketahui sebelumnya bahwa

a2 + b2 2ab

a2 + b2 + a2 + b2 a2 + b2 + 2ab

2(a2 + b2) (a + b)2

Terbukti.

Kesamaan berlaku jika

.

Contoh 2.6

Buktikan bahwa untuk bilangan real positif a, b sebarang berlaku !

Bukti

Telah diketahui bahwa a2 + b2 2ab, selanjutnya dengan mengganti a2 dan b2 berturut-turut

dengan a dan b, diproleh

a + b 2 . Terbukti.

Contoh 2.7

Buktikan bahwa untuk bilangan real positif a, b sebarang berlaku .

Bukti

Dari Contoh 2.5, berlaku . Terbukti.

Definisi 2.2


Untuk dua bilangan real positif a dan b didefinisikan rataan kuadrat (QM), rataan

aritmetika (AM), rataan geometri (GM) dan rataan harmonik (HM), berturut-turut sebagai

berikut:

, , dan

Definisi ratan di atas dapat dibawa ke situasi yang lebih umum sebagai berikut:

Definisi 2.3

Untuk n bilangan real positif , , …, didefinisikan rataan kuadrat (QM), rataan

aritmetika (AM), rataan geometri (GM) dan rataan harmonik (HM), berturut-turut sebagai

berikut: ,

,

Ketaksamaan pada Contoh 2.4, 2.5 dan 2.6 berturut-turut disebut Ketaksamaan QM-

AM, AM-GM dan GM-HM. Secara lebih umum ketaksamaan-ketaksamaan tersebut dapat

didefinisikan sebagai berikut:

Secara umum jika QM, AM, GM, HM berturut-turut menyatakan rataan kuadrat ,

rataan aritmetika , rataan geometri dan rataan harmonik dari bilangan-bilangan real positif

, , …, , maka berlaku

QM AM GM HM

Salah satu dari ketaksamaan ini akan berlaku sebagai kesamaan jika = = … = .

Contoh 2.8

Misalkan a, b, c bilangan real positif dan a + b + c =1, tunjukkan bahwa .

Penyelesaian

Berdasarkan ketaksamaan AM HM, berlaku


(Karena a + b + c =1)

(Karena )

Contoh 2.9

Jika a, b, c , d bilangan-bilangan real positif, tunjukkan bahwa

Bukti

Berdasarkan hubungan AM GM , diperoleh

.Terbukti.

Latihan 3

1. Untuk bilangan real a, b, dan c yang memenuhi a b c > 0, buktikan bahwa


2. Misalkan . Buktikan bahwa

3. Misalkan a, b, c bilangan-bilangan real positif dengan a + b + c = 1. Buktikan

bahwa

8

4. Misalkan a, b, c bilangan-bilangan real positif dengan abc = 1. Buktikan bahwa


+ + 3

5. Misalkan a, b, c, d bilangan-bilangan real positif . Buktikan bahwa

6. Misalkan x2 + xy + y2 = 60. Berapakah nilai maksimum yang mungkin untuk xy.(Seleksi Awal Calon Peserta IMO 2002 Tingkat Propinsi)

7. Misalkan x, y, z bilangan-bilangan real positif dengan x + y + z = 1. Buktikan

bahwa

8. Misalkan a, b, c bilangan-bilangan real positif . Buktikan bahwa

(a+b)(b +c )(c + a) 8abc

9. Jika a, b, c adalah panjang sisi-sisi sebuah segitiga, tunjukkan bahwa

10. Misalkan a, b, c bilangan-bilangan real positif . Buktikan bahwa

11. Misalkan a, b, c dan d bilangan-bilangan real positif dengan

dan a b c d = 81, Tentukan a, b, c dan d!

12. Buktikan bahwa

Jika a, b, c> 0, maka

13. Misalkan x, y, z bilangan-bilangan bulat positif yang tidak nol. Buktikan bahwa

3. Barisan Bilangan dan Deret

Barisan dan Deret Aritmetika

Bentuk umum barisan Aritmetika

, …

Bentuk umum Deret Aritmetika

Rumus umum suku ke-n

Un = a + (n – 1)b

Dengan a = suku pertama dan b = beda = Un – Un-1

Rumus umum jumlah n suku


Sn = (2a + (n – 1)b) atau Sn = (a +Un)

Barisan dan Deret Geometri

Bentuk umum barisan Aritmetika

, …

Bentuk umum Deret Aritmetika

+ …

Rumus umum suku ke-n

Un = Dengan

a = suku pertama

r = rasio =

Rumus umum jumlah n suku pertama

Sn =

Rumus umum jumlah tak hingga suku untuk

Barisan Bilangan dan Deret yang Lain

Contoh 4.1

Tentukan hasil penjumlahan dari

Penyelesaian

Alternatif 1 Melihat Pola

Misalkan jumlah n suku pertama Sn, maka

S1 =

S2 =

S3 =

…


Sehingga

Alternatif 2

Perhatikan bahwa , maka

…

Sehingga

=

Latihan 4

1. Jika jumlah 1 + 2 + 3 + … + k merupakan bilangan kuadrat sempurna, dan

banyaknya suku deret itu kurang dari 100, tentukanlah nilai-nilai k yang mungkin.


2. Hitunglah


3. Tentukan nilai hasil kali berikut:


4. Berapa banyak diagonal yang dapat dibuat pada sebuah poligon (segi banyak)

dengan 100 sisi.


5. Tunjukkan bahwa 12001 + 22001 + 32001 + … + 20012001 adalah kelipatan 13.

Seleksi Awal Calon Peserta IMO 2002 Tingkat Propinsi)


6. Jika 2002 = a1 + a2 . 2!+ a3 . 3!+ … + an . n!, dimana ak adalah bilangan bulat, 0

ak k , k = 1, 2, 3, …, n dan an ≠ 0, tentukan pasangan terurut (an , n)


7. Tentukan nilai


8. Evan membuat sebuah barisan bilangan asli a1 , a2 , a3 , … yang memenuhi ak+1 – ak

= 2(ak - ak—1) – 1, untuk k = 2, 3, 4, …, dan a2 – a1 = 2. Jika 2006 muncul dalam

barisan , nilai a1 terkecil yang mungkin adalah …(Seleksi Awal Calon Peserta IMO

2006 Tingkat Propinsi)

9. Tentukan banyak maksimum daerah dari suatu lingkaran yang dibagi oleh garis

yang menghubungkan 8 titik pada lingkaran.

10. Tentukan jumlah dari deret tak hingga berikut

4. Matriks

Definisi 4.1 Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk baris dan kolom yang

diapit oleh tanda kurung.

Matriks dengan baris dan kolom atau berordo , secara umum dapat dinyatakan dengan

Contoh 4.1 Diketahui matriks


a. Tentukan ordo matriks B!b. Tentukan elemen matriks baris ke-4 kolom ke-3!

Penyelesaiana. Ordo matriks B adalah .b. Elemen matriks baris ke-4 kolom ke-3 adalah -5.

Definisi 4.2 Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks A dan B disebut sama , ditulis A = B, jika dan hanya jika

a. Ordo matriks A = ordo matriks B

b. Elemen-elemen yang bersesuaian pada matriks A dan B adalah

sama.

Contoh 4.2

Tentukan apakah matriks-matriks berikut sama:

a. A = dan B =

b. C = dan D =

c. C = dan E =

Penyelesaian

a. A = B

b. C D, karena ordonya berbeda dan beberapa elemen yang seletak tidak sama.

c. C E, karena ada satu elemen seletak yang berbeda, yaitu elemen baris pertama

kolom ke-2.

Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks Nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.

Contoh 4.3

a. b.


2. Matriks Persegi (Bujur Sangkar), yaitu matriks yang banyak baris dan kolomnya

sama, atau berordo , tetapi sering juga dikatakan berordo .

Contoh 4.4

a. b.

3. Matriks Diagonal, yaitu matriks persegi dimana setiap elemen yang tidak terletak

pada diagonal utama bernilai nol.

Contoh 4.5

a. b.

4. Matriks Skalar, yaitu matriks diagonal yang setiap elemen di diagonal utamanya

sama.

Contoh 4.6

a. b.

5. Matriks Identitas, yaitu matriks skalar yang setiap elemen pada diagonal utamanya 1

dan dilambangkan dengan . Dalam hal ini, apabila diketahui suatu matriks persegi

yang ordonya sama dengan matriks , maka .

Contoh 4.7

a. b.

6. Matriks Baris, yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris.

Contoh 4.8

a. b.

7. Matriks Kolom, yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Contoh 4.9

a. b.

Definisi 4.3 Transpos Suatu Matriks


Jika suatu matriks dengan ordo , maka transpos matriks (ditulis )

adalah suatu matriks yang diperoleh dengan menukar elemen-elemen baris

matriks menjadi kolom, demikian pula sebaliknya. Sehingga ordo matriks

adalah .

Contoh 4.10

Diketahui matriks , tentukan tanspos matriks !

Penyelesaian

Tanspos matriks adalah

Definisi 4.4 Penjumlahan Matriks

Matriks jumlah + adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan

elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B.

Contoh 4.11

Diketahui matriks dan

Hitunglah + !

Penyelesaian

+ = + =

Contoh 4.12

Diketahui matriks dan . Hitunglah + !

Penyelesaian

+ = + =

Definisi 4.5 Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks oleh , ditulis - , adalah matriks yang diperoleh


dengan mengurangkan elemen-elemen matriks dengan elemen-elemen

matriks yang seletak.

Contoh 4.13


Hitunglah - !

Penyelesaian

- = - =

Contoh 4.14


Hitunglah + !

Penyelesaian

+ = - =

Definisi 4.6 Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika A adalah sebuah matriks dan adalah sebuah bilangan real, maka hasil

perkalian skalar A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap

elemen dari A dengan .

Contoh 4.15

Diketahui matriks dan . Hitunglah 2 A -3 !

Jawab

2 -3 = 2 - 3

= -

= -


=

Catatan 4.1

1. Jika + = 0, maka matriks disebut lawan aditif dari matriks dan ditulis - .

2. Pengurangan matriks oleh , yaitu - , juga dapat dinyatakan sebagai +

(- ).

Perkalian Matriks

Tiga hal yang harus diperhatikan untuk memahami definisi perkalian matriks

adalah:

1. Banyak kolom matriks harus sama dengan banyak baris matriks .

2. Ordo matriks hasil kali adalah , dengan adalah banyak baris matriks

dan adalah banyak kolom matriks .

3. Perkalian adalah berurutan, yaitu sebagai faktor kiri dan sebagai faktor

kanan.

Definisi 4.7 Perkalian Matriks

Apabila Matriks berordo dan matriks berordo , maka matriks

hasil kali berordo dan matriks adalah matriks dimana elemen-

elemen baris ke- dan kolom ke- diperoleh dari jumlah hasil kali masing-masing

elemen baris ke- matriks dengan masing-masing elemen kolom ke- yang

bersesuaian dari matriks .

Berdasarkan definisi tersebut, maka

Bila diperluas untuk perkalian matriks ordo dengan matriks ordo adalah sebagai

berikut:

Contoh 4.16


Tentukan hasil kali matriks-matriks berikut:

a.

b.

c.

d.

Penyelesaian

a.

=

=

b. =

=

=

c. Tidak dapat dicari hasil kalinya, karena banyak kolom matriks pertama tidak sama

dengan banyak baris matriks ke-2.

d. Tidak dapat dicari hasil kalinya, karena banyak kolom matriks pertama tidak sama

dengan banyak baris matriks ke-2.

Perhatikan kembali Contoh 4.16 bagian a dan d. Pada kedua bagian tersebut

matriks-matriks yang dikalikan sama, tetapi dalam urutan yang berbeda. Ternyata bagian a

bisa didapat hasil kalinya, sedang bagian d tidak. Ini berarti jika diketahui 2 matriks dan

, maka . Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa perkalian matriks tidak

bersifat komutatif.

Definisi 4.8 Determinan Matriks Persegi Ordo 2

Misalkan = , maka determinan matriks adalah


= =

Contoh 4.17

Tentukan determinan matriks berikut:

a. = b. =

Jawab

a. = =

b. = = 6.2 – (-3)(-4) = 12 – 12 = 0

ALJABAR


Documents

Modul Aljabar