Modélisation des réseaux électriques :

Méthodes utilisées et outils, enjeux futurs

Etude bibliographique d‘électrotechnique :

Simon Groizard

Master 2 Ingénierie Physique des énergies

Le 29 mars 2013

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Sommaire

Introduction ............................................................................................................................................................ 3

I. Modélisation de la répartition des charges .................................................................................................... 4

a) Modélisation du problème ........................................................................................................................ 4

b) Résolution du système avec la méthode de Newton-Raphson ................................................................. 5

II. Modéliser les phénomènes électromagnétiques : méthode des ondes libres ............................................... 7

a) Principe de la méthode des ondes mobiles ............................................................................................... 7

b) Représentation des éléments de base par la méthode des ondes mobiles .............................................. 7

III. Le modèle électromécanique étendu ........................................................................................................ 9

a) Présentation du modèle ............................................................................................................................ 9

b) Le logiciel Eurostag .................................................................................................................................... 9

IV. Nouveaux enjeux du réseau et modélisation .......................................................................................... 10

a) Le contexte ............................................................................................................................................... 10

b) Les nouveaux outils .................................................................................................................................. 11

Les modèles équivalents ............................................................................................................................... 11

Le modèle probabiliste .................................................................................................................................. 12

Le modèle fractal........................................................................................................................................... 13

Conclusion ............................................................................................................................................................. 15

Bibliographie ......................................................................................................................................................... 16

Annexe 1 : Fonctionnement EUROSTAG ............................................................................................................... 17

Annexe 2 : Représentation des composants électrique élémentaire suivant la méthode des ondes mobiles .... 18

Annexe 3 : Principe de l’algorithme évolutionnaire PSO ...................................................................................... 19

Annexe 3 : modélisation machine synchrone pour les équivalents dynamiques ................................................. 23

Annexe 4 : Equivalent dynamique de la machine asynchrone .............................................................................. 27

Annexe 5 : Modèle de régulation de tension et en vitesse pour les équivalents dynamiques ............................. 29

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Introduction

Aujourd’hui le réseau électrique est exploité au plus prés de ces limites physiques. Ce qui n’avait pas d’importance avant, lorsque l’on surdimensionnait les ouvrages, nécessite maintenant une modélisation précise pour être sûr de ne pas faire tomber le réseau. Modéliser le réseau pour simuler son fonctionnement permet entre autres de:

-Planifier les modifications à faire ou valider les plans de planification existant

-Etudier la stabilité du réseau (effet d’une perte de synchronisme, temps requis pour éliminer un défaut, suivre l’évolution en cas d’écroulement de la tension, limite de transfert de puissance sur des lignes…)

-Effectuer l’analyse post-mortem du réseau pour valider des modèles mathématiques.

-Créer des protocoles de défense (pour savoir comment réagir si une situation particulière se produit)

-Savoir comment procéder à la relance du réseau si cela est nécessaire

-Faire des analyses de sécurité en conduite en temps réel pour aider le dispatcher.

Le grand nombre de phénomène pouvant impacter un réseau électrique à toute les échelles rend impossible la création d’un unique modèle. Heureusement, suivant l’objectif recherché, les phénomènes à prendre en compte ne sont pas les mêmes comme le montre la figure (1). Les ingénieurs ont donc créé 4 grandes classes de perturbations basées sur la fréquence caractéristique et l’amplitude des phénomènes observés [1] :

-Phénomènes quasi stationnaires (calcul de répartition de puissance active et réactive, écroulement de tension)

-Phénomènes dynamiques lents de quelques secondes à une dizaine de minutes (échangeurs thermiques des chaudières, échauffement des rotors des alternateurs, réglage secondaire de tension et de fréquence-puissance…)

-Phénomènes transitoires électromécaniques décrivant le comportement détaillé des rotors des générateurs avec 2 sous-catégories :

-Phénomènes d’amplitude faible (fluctuations normales des grandeurs électriques et mécaniques)

-Phénomènes de forte amplitude (fluctuations élevé due par exemple à un court-circuit)

-Phénomènes électromagnétiques (propagation des ondes de tension en cas de manœuvre d’ouvrage, de court circuit, de foudre ou lors du fonctionnement classique…)

Après un avoir expliqué la modélisation de la répartition de puissance, base de tout calcul dynamique, la modélisation des phénomènes électromagnétique et électromécanique sera abordée. Pour terminer, nous aborderons les nouveaux outils qui commencent à être utilisé pour répondre aux nouveaux enjeux du réseau électrique.

Figure 1 : échelle de temps des différents phénomènes adaptée de « outils de simulation des réseaux électriques » publié par les techniques de l’ingénieur de B.Meyer, M. JEROSOLIMSKI et M.Stubbe ; Suivant le but, nous pouvons constater que les phénomènes mis

en jeu ont des échelles de temps différentes, ce constat est utilisé pour les classer et créer des modèles adaptés à chaque activité

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I. Modélisation de la répartition des charges

Le calcul de répartition des charges est la base de beaucoup de logiciels d’analyse et de calcul de réseaux (de la planification à l’optimisation du réseau en passant par les calculs de court-circuit). En effet il permet de calculer l’état d’équilibre initial du système étudié [2]. Il est également à la base de logiciel d’étude de stabilité comme Eurostag qui l’utilise comme outil et initialisation.

a) Modélisation du problème

Par un graphe unifilaire similaire à la figure 1, nous pouvons modéliser la topologie du réseau sur lequel nous voulons calculer la répartition des charges.

Figure 2 : Représentation unifilaire d’un réseau adaptée « lignes et réseaux électriques 2 » de J-C Sabonnadière et N Hadjsaid ; Les cercle

représente un générateur, les paliers des postes sources, les traits les lignes électriques et les flèches des points de consommation.

L’impédance de chaque ligne étant connue et permet de calculer l’admittance correspondante qui est la grandeur utilisée pour le calcul des transits. Elle est représentée sous forme matricielle comme le montre la figure 2.

Figure 3 : Matrice des admittances ; Les termes diagonaux correspondent à l’admittance propre de la ligne et les termes non-diagonaux sont des couplages entre 2 lignes (ici entre les lignes 1 et2 puis 1 et 4)

Pour connaitre ces admittances, le modèle utilisé pour une ligne est celui de la figure 3.

Figure 4 : Représentation en Pi d’une ligne électrique adaptée de Wikipédia ; Ce modèle est basé sur l’équation du télégraphiste. Toutes

les grandeurs croissent avec la longueur de la ligne.

En posant ij ij ijY G j*H *i i iS P j Q et, nous avons à chaque nœud :

i i iE V *cos i V *sin i (1)

2* * *( *cos( ) *sin( ))i ii i i j ij i j ij i jj i

P G V V V G H

(2)

2* * *( *sin( ) *cos( ))i ii i i j ij i j ij i jj iQ H V V V G H

(3)

Avec : Ei la tension complexe au nœud i Vi l’amplitude de la tension au nœud i ϴi la phase de la tension au nœud i Pi la puissance active au nœud i Qi la puissance réactive au nœud i

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Il existe3 types de nœud dans le problème à résoudre : -Des nœuds producteurs qui modélisent les générateurs pour lesquels Pi et Vi sont connus -Des nœuds consommateurs pour lesquels Pi et Qi sont connus -Un nœud bilan qui correspond à la référence en tension et où Vi et ϴi sont connus.

Nous nous retrouvons donc avec un système de 2n équations (n étant le nombre de nœud) qui est complexe mais des simplifications sont possibles. En effet, le calcul des transits étant effectué en régime permanent, la fréquence est fixée à 50Hz. A cette fréquence, on peut considérer pour la ligne que :

1

**

R L wC w

(4)

On peut donc écrire : 1

* *ijY

j L w (5)

b) Résolution du système avec la méthode de Newton-Raphson

Pour obtenir la répartition des charges, la méthode de Newton-Raphson est utilisée. On suppose dans un premier temps que tous les nœuds sont consommateurs et donc qu’on connait Pi et Qi. Cette méthode se déroule en 3 grandes étapes . Tout d’abord, un choix de valeurs approchées de Vi et ϴi permet de calculer avec les formules (2) et (3) des valeurs de Pi et Qi.

Ces valeurs sont comparées aux valeurs spécifiées en chaque nœud i et si l’erreur ϵ est élevée il est nécessaire de réitérer le choix de V et ϴ. Pour calculer ces nouvelles valeurs, on suppose que ΔPi1 et ΔQi1 sont nulles ce qui permet d’écrire en simplifiant Pi et Qi :

*P V

JQ

avec

P P

H NVJ

Q Q M L

V

(6)

ΔP, ΔQ, ΔV et Δϴ étant des matrices colonnes de dimension n. La résolution du système permet d’obtenir de nouvelles valeurs de Vi et ϴi. Après plusieurs itérations, la convergence de la méthode permet de trouver les bonnes valeurs de V et ϴ.

Ensuite, par le calcul de 1k k

i iP P et 1k k

i iQ Q , on s’assure que ces valeurs sont inférieur à une valeur

ϵ. La convergence doit être de type quadratique. Enfin, les nœuds producteurs sont pris en compte, ils ont donc une tension imposée. Pour tous les nœuds concernés, nous supprimons les lignes et colonnes k dans la matrice M. De cette manière seul les autres nœuds sont calculés lors de l’itération. On peut également calculer la valeur de Qi directement avec la formule (3) pour vérifier si la valeur de la puissance réactive est dans la bonne plage pour la machine. Le temps de calcul de cette méthode peut être diminué par 4 en supposant que la tension est surtout liée à la puissance réactive et que la puissance active induit le déphasage ce qui est vérifié par des considérations électriques. On peut donc poser N=0 et M=0 (méthode dite du Fast Decoupled Load Flow).

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Nous pouvons maintenant calculer la puissance complexe entre n’importe quel nœud i et j :

,( ( ))* ( * )*ij ij j i i ij i iS y E E E y E E (7)

avec *ij ij ijy G jH

, * *

2ij

Cwy j

Commeij ij ijS P jQ , on connait donc le transit sur chaque ligne.

On calcule donc maintenant les pertes en lignes :

ij ij jiP P P (8)

ij ij jiQ Q Q (9)

Il n’y a plus qu’à s’assurer que la machine connectée au nœud bilan correspond à ces valeurs en calculant :

bilan ijélementsP P et bilan ijélements

Q Q

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II. Modéliser les phénomènes électromagnétiques : méthode des ondes libres

La propagation des grandeurs électriques dans les ouvrages sous forme sinusoïdale ne peut pas être réaliste. En effet, En effet des courts-circuits, l’utilisation d’appareillage de coupure ou le fonctionnement anormal d’un circuit magnétique perturbent la propagation des ondes. Ces phénomènes peuvent atteindre des fréquences de 1kHz et doivent donc être modélisés de manière précise pour pouvoir prévoir la réaction du réseau. Un outil de référence pour ce type de simulation est le logiciel EMTP-RV. Développé par Cyme et powersystem solution, ce logiciel est un outil de calcul puissant permettant de simuler en régime transitoire ou permanant des réseaux électriques de toute taille et ainsi les dimensionner ou étudier les défiances possibles. Il s’est imposé par sa modélisation précise des phénomènes électromagnétiques (foudre, manœuvres,…).Cette modélisation est basée sur la méthode des ondes mobiles .

a) Principe de la méthode des ondes mobiles

Le but de cette méthode est de déterminer en régime transitoire la valeur des courants et des tensions en chaque nœud du réseau lors d’un phénomène électromagnétique simulé. Pour cela, le temps est discrétisé

en p intervalles Δt telle que *p t avec Δt suffisamment petit pour être représentatif du phénomène

étudié. Chaque élément du réseau est représenté par son admittance et suivant sa nature une source de courant (la repésentation des composants de base est expliquée dans le point b) pour que les matrices de Ybus et Ibus

puissent être créé. Ybus s’écrit :

ii ik

k

Y y k étant un nœud et i l’instant du calcul

ij ijY y j étant le nœud précédent k

Ibus quand à lui s’écrit :

i ik ik

k

I I J Jik étant les valeurs des sources de tension transformé en courant au point k

Ces deux termes permettent d’écrire :

*bus busY V I

En résolvant cette équation, nous obtenons les tensions Vi et pouvons calculer les sources de tensions des composants nécessaires à la formation de Ibus. La connaissant de Ibus à l’instant i permet du calculer les tensions à l’instant ti+1 et par récurrence jusqu'à tmax, ce que nous souhaitions connaitre.

b) Représentation des éléments de base par la méthode des ondes mobiles Pour comprendre le principe, la modélisation d’une ligne sera détaillé, les schéma des autres composants seront exposé en annexe. Soit une ligne de longueur λ supposée sans perte, de capacité linéique C et d’inductance L. Les équations de fonctionnement de la ligne peuvent s’écrire :

*V I

Lx t

*I V

Cx t

Par différenciation, nous obtenons les solutions suivantes :

1 0 2 0*( ) *( )V F x V t F x V t

1 0 2 0( *( ) *( ))

c

F x V t F x V tI

Z

8

Avec : 0

1

*V

L C la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans l’air

*cZ L C L’impédance caractéristique de la ligne

F1 et F2 des fonctions de propagation dépendant des conditions aux limites du câble.

Figure 5 : Convention pour représenter la ligne électrique adaptée de « lignes et réseaux électriques 2 » de J-C Sabonnadière et N

Hadjsaid ; Section du réseau maillé représentant la ligne entre le nœud k et m.

Avec les équations (x) et (x), il est donc possible d’écrire :

1 0( , ) * ( , ) 2 *( )cV x t Z I x t F x V t

2 0( , ) * ( , ) 2 *( )cV x t Z I x t F x V t

Prenons maintenant une ligne entre 2 nœuds comme représenté sur la figure (4). Si on appelle

0V

le

temps de parcours et que l’origine des longueurs est prise en m. Il est possible d’écrire :

( ) * ( ) ( ) * ( )m c mk k c kmV t Z i t V t Z i t

( ) * ( ) ( ) * ( )k c km m c mkV t Z i t V t Z i t

Ses deux équations permettent de calculer ikm(t) et imk(t) et donc de représenter la ligne en régime transitoire comme sur la figure (6). Voici leurs expressions :

( )( ) ( )k

km k

c

V ti t I t

Z {en posant

1( ) ( )*( ( ) * ( ))k m c mk

c

I t V t Z i tZ

} (10)

( )( ) ( )m

mk m

c

V ti t I t

Z {en posant

1( ) ( )*( ( ) * ( ))m k c mk

c

I t V t Z i tZ

} (11)

Figure 6 : Représentation d’une ligne selon la méthode des ondes mobiles adaptée « lignes et réseaux électriques 2 » de J-C

Sabonnadière et N Hadjsaid ; Ik(ti-p) et im(ti-p) sont connues donc sont considéré comme des sources de courant. Cette représentation se base sur les équations (10) et (11) et permet pour tout t Vm, Vk, Ikm et Imk. La notation ti-p traduit la discrétisation du temps (ti-p=ti-p Δt)

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III. Le modèle électromécanique étendu

a) Présentation du modèle

Le modèle électromécanique étendu a été créé pour simuler des phénomènes allant de 0 à 10Hz. Il permet donc de modéliser les phénomènes quasi stationnaires (répartion des charges), ceux à dynamique lent et les phénomènes électromécaniques. Dés que les fréquences augmentent, on suppose que les grandeurs électriques sont décrites par un module et une phase à la fréquence fondamentale. La propagation des ondes n’est donc pas prise en compte et n’a pas besoin de l’être dans l’approche des phénomènes d’équilibre entre production et consommation régissant le comportement électromécanique du système. Par contre, en basse fréquence, il permet une modélisation précise du retour à l’équilibre après des perturbations complexes comme des bifurcations ou des oscillations non amorties. Même lors de régimes transitoires sévères, un grand nombre d’études ont montrées que les modèles simplifiés des dispositifs classiques permettaient une bonne précision de modélisation Ce modèle est complexe et nécessite d’être adapté suivant l’objectif fixé car ce ne sont pas toujours les mêmes composants qui déterminent le comportement du réseau et il faudra donc faire attention à les modéliser précisément .Si on prend l’exemple de la machine asynchrone elle est décrite par les équations de PARK :

Ces équations peuvent être simplifiées en annulant les dérivées des flux statoriques qui sont négligeables par rapport aux forces électromotrices de rotation. Le modèle complet du rotor est conservé. Cela permet de ramener d’un ordre 5 (2 flux statoriques, 2 flux rotoriques et vitesse de la machine) à un ordre 3 tout en conservant les caractéristiques électromécaniques dynamiques de la machine comme le montre les résultats comparant le modèle normal à celui simplifié dans la thèse de E.F MOGOS [5]. En pratique, un logiciel avec la plupart des modèles déjà crée est utilisé, c’est l’objet du paragraphe suivant.

b) Le logiciel Eurostag

Pour ce type de simulation, le logiciel de référence est Eurostag. Développé par EDF et Tractebel ingineering, il dispose de modèles des éléments nécessaires à la représentation du réseau : générateurs, moteurs, transformateurs, modèles de charge, relais de protection,... ainsi qu'une librairie de modèles standards de régulations (vitesse, tension) et autres équipements (turbines à combustion, chaudières, FACTS, HVDC,...). Tout autre modèle peut aussi être créé par l’utilisateur. Eurostag peut créer plusieurs milliers de nœuds de connexions. Par la modification automatique du pas de calcul,EUROSTAG adapte sa durée d’observation (jusqu'à plusieurs heures) suivant la perturbation observé (lente ou rapide ) de manière à toujours visualiser le comportement du réseau jusqu'à son retour à l’équilibre.

Les simulations qu’il peut effectuer vont de la répartition des charges (avec le mode loadflow décrit partie 1) à la prise en compte sur les paramètres électriques d’opérations effectué par les opérateurs sur le réseau ou les centrales (couplage d'unités de production, l'ouverture/fermeture des disjoncteurs, la commande des régleurs de transformateurs…).en passant par le calcul des temps critiques d’élimination de défauts. Il permet d’obtenir par des courbes d’évolution dans le temps des tensions sur les différents jeux de barres, des courants, des puissances qui transitent, des données des machines (vitesse, couples électrique et mécanique, excitation), des régulations des excitations et des entraînements mécaniques. Ces données permettent :

-La vérification de la stabilité -De connaître la capacité de secours possible après défaut,

-La confirmation du plan de protection,

-Le réglage des régulations

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IV. Nouveaux enjeux du réseau et modélisation

a) Le contexte

Depuis la fin des années 1990, le marché de l’énergie s’est libéralisé et l’Europe aspire à instaurer un grand réseau électrique européen. Dans ce but, de plus en plus d’interconnections entre les pays sont créées. Ces interconnections servent des passerelles commerciales mais rendent également le comportement d’un réseau beaucoup plus dépend de ces voisins. A cela s’ajoute les problématiques environnementales et d’épuisement des ressources. Pour répondre à ces deux dernières problématiques de plus en plus de sources de productions délocalisées (telles que des éoliennes ou des panneaux photovoltaïques) sont connectées au réseau et des smart-grids sont à l’étude pour gérer intelligemment l’énergie. Ces changements amènent de nouveaux problèmes scientifiques et techniques à résoudre sur des réseaux qui initialement n’étaient pas conçus pour cela. Nous sommes actuellement entrain de passer d’un réseau organisé de manière verticale avec des moyens conventionnelles et centralisés de production (qui remontaient vers un réseau de transport pour arriver ensuite sur le réseau de distribution) à une organisation horizontale où une multitude de sources décentralisées et connectées sur le réseau de distribution [7].

Figure 7 : Evolution du nombre d’installations ENR raccordées au réseau en 2012 basée sur des données ERDF ; nous pouvons constater

que la puissance totale raccordée a augmenté de plus de 50% en un an.

Les impacts sur le réseau de distribution ou de transport sont multiples :

-Ajout de systèmes à base d’électronique de puissance sur le réseau dont l’impact sur la stabilité dynamique est mal connue.

-Transit de puissance dans les deux sens sur le réseau de distribution initialement conçu que pour en fournir qui pourrait provoquer des congestions

- Impact sur le profil de tension et sur la gestion des court-circuits.

-Plan de protections en partie obsolète et à réétudier pour s’assurer du bon réglage de tension, du seuil et de la bidirectionnalité.

-Incertitude sur la production qui peut poser des problèmes pour équilibrer la demande et la consommation.

-Réserve de puissance active et réactive incertaine.

-déstabilisation possible du réseau du fait des chutes de tension provoquées par ces systèmes et leurs déconnexions rapides en cas de problème. Pour accompagner cette décentralisation de la production, l’objectif est de développer des smart grids sur le réseau de distribution.

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Cela consiste à faire pénétrer considérablement les technologies de l’information et de la communication dans les réseaux électriques à tous les niveaux pour rendre l’utilisateur actif et ainsi mieux gérer les flux. Il est ainsi envisager ,grâce à un compteur intelligent chez chaque utilisateur, de moduler la charge, produire ou stocker de l’énergie pour régler certaines contraintes du réseau comme les pics de consommations. Ces smart-grids devraient permettre de : -Facilité l’insertion massive d’énergie renouvelable sur le réseau et permettre le stockage de l’énergie dans les meilleurs conditions économiques, de sécurité et de qualité. -Augmenter l’efficacité énergétique globale par une augmentation du rendement du système électrique dans son ensemble. -Rendre la gestion du système efficace face à la complexité croissante des informations reçus. -permettre une interopérabilité entre les différents acteurs du réseau. Ces deux avancés, par la création de nouvelles contraintes, nécessitent de nouvelles méthodes ou outils de simulation. Nous allons nous intéresser à trois d’entre elles.

b) Les nouveaux outils Pour simuler ces nouveaux dispositifs les outils actuels sont peu ou pas adaptés. Des thèses ont été consacrées à ces sujets et voici trois exemples de solutions. Les modèles équivalents

La fréquence des phénomènes transitoires électromécaniques fait qu’ils doivent être simulé à l’échelle d’un pays voir d’un continent. Du fait des nombreuses nouvelles interconnexions entre les pays, l’étude du comportement dynamique du réseau doit tenir compte du fonctionnement et de l’organisation des structures voisines. Cela pose un problème de temps de calcul et également de manque d’information car chaque pays a son propre gestionnaire de réseau. Diane Iuliana Craciun a développé dans sa thèse une méthode pour créer des modèles équivalents des réseaux et ainsi contourner ces problèmes [8].

Figure 8 : Méthode de calcul des équivalents dynamiques adapté de « modélisation des équivalents dynamiques de réseaux électriques » de Diana Iuliana CRACIUN ; La méthode est ici pour une partie du réseau de transport mais il suffit d’enlever les calculs liés

aux régulateurs pour l’adapter au réseau de distribution. L’algorithme évolutionnaire PSO est détaillé en annexe mais permet grâce à une convergence quadratique de trouver rapidement des paramètres estimés corrects. Les mesures sur le réseau réel sont effectué au

nœud frontière.

Pour modéliser le réseau de transport l’équivalent dynamique utilisé est une machine synchrone équivalente couplé à un modèle de régulation en vitesse et en tension comme le montre la figure 8.

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Pour le une partie du réseau de distribution, le modèle équivalent est une charge impédante (définit par une puissance P et Q) et une machine synchrone (si le réseau de transport récupère de l’énergie) ou asynchrone ( si le réseau de transport fournie de l’énergie). Les paramètres de ces modèles équivalents sont calculés grâce à un algorithme évolutionnaire de type PSO (optimisation par essaim de particule) dont le fonctionnement est détaillé sur la figure 10. Pour ce calcul, seul des mesures au nœud frontière sont nécessaires. Ainsi en connaissant la configuration, les paramètres, l’état du fonctionnement du réseau interne et des mesures au niveau du nœud frontières, des études de stabilité du réseau dynamique peuvent être effectué. Elle a prouvé dans ca thèse que cette méthode donnait des résultats précis et réaliste pour des études de stabilité dynamique du réseau de transport après différents incidents (variation brutale de la charge, perte d’un générateur, court-circuit dans un nœud) ainsi que pour le réseau de distribution (Variation de charge, déclenchement d’une ligne). Elle a également vérifié que : -Pour des taux de pénétration élevés des GED’s, le modèle représentait fidèlement le réseau loin ou prés du nœud de frontière pour la tension. Par compte, pour le courant, le comportement prés du nœud n’est pas assez précis et le modèle doit être amélioré. -Un réseau de distribution simulé avec plusieurs modèles équivalents à un comportement réaliste en tension et en courant. Ce modèle est donc très intéressant pour réduire grandement les temps de calcul pour les tests de stabilité dynamique de plus en plus complexe avec les nouvelles interconnexions et le nombre croissant de GED. Il reste encore des recherches à effectuer pour pouvoir calculer le statisme du réseau externe et confirmer que par l’analyse modale que les modes d’oscillations les plus importants du réseau complet sont conservé. Des modèles dynamiques pour de fort taux de pénétration de systèmes d’électroniques de puissance doivent également être créé et étudié car ils influencent le dynamisme du système. Enfin le cas de plusieurs équivalents sur le réseau de transport n’a pas été étudié.

Le modèle probabiliste

La caractéristique fondamentale de la production d’énergie par des sources renouvelables est sa dépendance aux conditions climatiques qui induit un contrôle limité sur la production électrique en sortie de ce type d’unité. Il est donc intéressant d’utiliser des variables aléatoires pour prendre en compte l’aspect fluctuant et la puissance incertaine. Plusieurs paramètres du système électrique ont également un comportement variable (disponibilité des moyens de production conventionnelles, des ouvrages de réseau, la demande) qui peuvent être modélisé par une variables aléatoire. Partant de ce constat, Herman BAYEM a créé un modèle probabiliste lors de sa thèse [9].

Figure 9 : principe du modèle probabiliste adapté de « apport des méthodes probabilistes aux études d’intégration des énergies renouvelables aux réseaux électriques » de H.BAYEM ; le modèle probabiliste est alimenté par des lois de probabilités différents

paramètres d’entrées dont le comportement est incertain. La production conventionnelle est variable par rapport à sa disponibilité et aux pannes possibles. La variabilité de certains paramètres peut bien sur être affectée par un même phénomène. Les lois utilisées sont des séries temporelles pour étudier l’impact des phénomènes dynamiques très court termes (sur moins d’une heure) et deviennent des

distributions au delà.

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Le réseau électrique peut être vu comme une succession d’états stables définit par un jeu de paramètres d’entrées (production, consommation, topologie du réseau). Pour analyser le fonctionnement du réseau, l’approche classique consiste à résoudre une équation algébrique d’équilibre consommation production sous contrainte réseau par un calcul de « load flow ». Utiliser un modèle probabiliste permet de tester plusieurs jeux de paramètres et donc de pouvoir connaitre

l’évolution du comportement sur une période donnée mais nécessite de connaitre la variation des paramètres

d’entrées. Pour cela le modèle probabiliste utilise des lois de probabilité comme le montre la figure 9.

Dans l’approche déterministe, le point de fonctionnement du « pire cas » est utilisé pour planifier ou exploiter le réseau ce qui dimensionne le réseau pour des situations qui se produise rarement voir jamais. L’approche probabiliste permet de considérer les cas possibles avec leurs probabilités d’occurrence et donc de considérer la défaillance sur une longue période et non sur des points de fonctionnement précis. H. BAYEM a montré que la méthode probabiliste a plusieurs avantages par rapport à la méthode déterministe en permettant : -une analyse plus détaillé de l’impact des ENR sur le réseau qui montre par exemple la capacité d’une ferme éolienne raccordable obtenue par la méthode probabiliste est plus grande moyennant un risque d’écrêtement de la production sur certaines périodes mais qui accroit tout de même la production annuelle. -La pénétration d’ENR dans un réseau insulaire -Un calcul de répartition de puissance plus long mais permettant de tenir compte de différents aléas liés aux variations des différents paramètres du réseau sur la période d’étude. Des outils permettant ce type de calculs sont regroupés dans ASSESS. Cette plateforme de calculs probabilistes à été crée par RTE et NG (le gestionnaire de réseau britannique) et permet de représenter complètement le modèle probabiliste d’un système électrique avec des lois sous forme paramétrée (gaussiennes, exponentielles, weibull) ou discrétisée (histogrammes). Les logiciels d’ASSESS sont : -TROPIC et METRIX pour le calcul optimisé de la répartition de puissance -EUROSTAG pour la simulation dynamique -ASTRE pour les analyses de sécurité des systèmes A partir des lois de probabilité, plusieurs situations de réseaux sont construites par tirages de Monte Carlo. Ces situations sont simulées (a l’aide de l’un ou de plusieurs logiciels précédemment cites) et classées suivant si une défaillance a été enregistrée ou pas. Le critère probabiliste du taux de défaillance peut ainsi être calcule. Les

situations calculées peuvent être analysées pour déterminer les causes explicatives des situations défaillantes. Une autre approche basée sur la théorie des possibilités et les ensembles flous a été développé très

récemment par Carolina Wendy VICENTE BRICENO dans sa thèse [10]. La méthode floue modélise l’incertitude par une fonction d’appartenance. Le formalisme flou permet d’utiliser des variables imprécises ou qualitatives, comme par exemple des règles de contrôle qualitatives, pour du contrôle-commande à base de logique floue. Cette méthode, pour le moment testé et approuvé que pour les simulations statiques doit continuer à être développer car ces temps de calcul sont plus faible et elle est plus précise que la méthode Monte-Carlo, utilisée pour le modèle précédent.

Le modèle fractal

Aujourd’hui les réseaux sont modélisés de manière fréquentielle et par des systèmes d’ordre entiers. A cause du foisonnement des charges électriques non linéaires (due à l’électronique de puissance) et à puissance constante, la relation entre le courant et la tension est caractérisé par une hyperbole. Le système étant régulé en tension, une faible perturbation peut rendre le système instable. Il est donc nécessaire de modéliser précisément ces petits signaux mais cela implique d’avoir un modèle à ordre élevé qui dévient une boite noire et rend l’analyse de sensibilité compliqué. Une solution serait de pouvoir diminuer l’ordre du système sans perdre de précision ce qui est possible en passant à des systèmes d’ordre non-entiers associé aux objets fractals. Or, par leur complexité, les réseaux de distribution présentent des caractéristiques électriques et géométriques se répétant en ramifications faisant penser à des fractals. Dans sa thèse, Octavian ENACHEANU à prouver que le comportement d’un réseau électrique réel et un réseau de Cantor étaient similaire [11].

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Si on modélise un réseau électrique par itération avec des lignes représenté par un circuit RLC sous forme de réseau de Cantor (voir figure 10), on peut définir 3 zones de fréquences:

-Une zone où le comportement est capacitif entre 0 et 2

inf

1( 1)

*nz z

a LC

-Une zone où le comportement est inductif entre 2

max

1*( 1))z z

LC et

-une zone où le comportement est uniquement amorti par les résistances appelé zone CPA

Figure 10 : Structure du réseau électrique dérivé de la fractale de Cantor l’impédance adapté de « Modélisation fractale des réseaux électriques » de O.ENACHEANU ; La maille de base est une ligne modélisée par une résistance, une capacité et une inductance.Seule les résistances et les inductances présentent un facteur d’échelle, la capacité est constante.Le réseau finale est construit par itération où à

chaque étape, on divise chaque ligne en 2 troncons de longueur L, dde section S/a, de résistance a*R et d’inductance a2 *L (a étant le facteur de réduction égale à 3 pour un réseau de Cantor)

Dans la zone CPA, un blocage de phase a lieu et l’impédance du réseau est assimilable à celle d’un système non entier. L’étude fréquentielle d’un réseau réel montre que cette bande de fréquence existe et donc qu’on pourrait modéliser le système réel par un réseau fractal sur cette plage en modifiant certaines hypothèses. En modélisant une machine asynchrone avec des impédances non entière, Il a prouvé également que les modèles d’ordre non entier permettent d’obtenir les mêmes résultats que l’analyse nodale classique, la compacité en plus. Ces travaux montrent la faisabilité du modèle pour les études dynamique mais tout reste encore à faire. La modélisation des réseaux complexes et anisotropes permettraient par exemple de prendre en compte les phénomènes de diffusion et de propagation. Pour cela tous les éléments du réseau doivent être modélisés en dimension fractale. Il faut aussi permettre à cet outil de localiser des défauts sur le réseau, ce qui n’est actuellement pas possible.

Figure 11 : Bande passante du comportement CPA de l’impédance adapté de « Modélisation fractale des réseaux électriques » de

O.ENACHEANU ; Sur la bande de comportement CPA le système est amorti uniquement par les résistances. Cette bande caractéristique de l’aspect fractale se retrouve sur un réseau réel. La zone de comportement capacitif diminue si le nombre de cellules augmente. La

zone de comportement inductif ne change jamais car la pulsation ne dépend pas de n

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Conclusion Cette étude bibliographie m’a permis de comprendre le fonctionnement et les modèles des principaux outils utilisés actuellement pour simuler un réseau électrique. A ces outils classiques sont entrain de se greffer de nouvelles méthodes pour faire face aux changements profonds qui s’effectuent en ce moment dans l’utilisation que nous faisons du réseau. D’un réseau verticale avec de la production centralisé, nous passons à un réseau horizontal avec beaucoup de systèmes décentralisé de production. Dans le but de tenir compte de ce nouveau contexte, des outils sont entrain de se rajouter à ceux existant comme le modèle probabiliste, le modèle des équivalents dynamiques ou le modèle probabiliste. Ces nouvelles méthodologies sont bien sûr encore perfectibles doivent continuer à être développer pour continuer à gagner du temps de calcul et obtenir des modèles précis et réel du réseau. Mais il reste encore un travail conséquent dans le domaine de la modélisation. Dans le but de rendre le réseau « intelligent » de nouveaux modèles vont certainement devoir être créé pour aider les opérateurs à optimiser les flux dans les smart grids à travers des logiciels spécifiques. AU niveau du dimensionnement, il va certainement falloir modifier les simulations classiques pour prendre en compte, en plus des sources décentralisées (ce que les modèles équivalents ou le modèle probabiliste permettent), les nouvelles charges que constituerons les véhicules électriques sur ce type de réseau.

Figure 12 : Représentation du réseau étudié par EDF au sein de Concept Grid adaptée du site internet d’EDF

EDF R&D travail activement sur ces nouvelles problématiques et a développé Concept Grid, un outil d’expérimentation inédit, dédié au développement des réseaux de distribution intelligents à travers l’étude de problématiques d’intégration. Installé sur le site des Renardières (Seine-et-Marne), cet ensemble unique de moyens d’essais permet de tester des matériels et des systèmes dans des conditions d’exploitation réelles et représentatives des réseaux de distribution existante et de les soumettre notamment à de multiples perturbations. Les nouveaux outils de modélisation tout comme les modifications profondes effectuées sur le réseau n’en sont qu’a leurs débuts pour atteindre le but visé : optimiser la production et la distribution de l’énergie avec un réseau stable mutualisé au niveau européen.

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Bibliographie [1] MEYER Bruno, JEROSOLIMSKI Michel, STUBBE Marc, Outils de simulations dynamiques des réseaux électriques, base documentaire réseaux électriques de transport et de répartition, Paris, les techniques de l’ingénieur, 1998. [2] MAHSEREDJIAN Jean, XEMARD Alain, KHODABAKHCHIAN Bahram, Régimes transitoires dans les réseaux électriques, base documentaire réseaux électriques linéaires, Paris, les techniques de l’ingénieur, 2007. [3] SABONNADIERE Jean-Claude, HADJSAÏD Nouredine, lignes et réseaux électriques 2 : Méthodes d‘analyses des réseaux électriques, collection sciences et technologies de l’énergie électrique, Paris, Hermes Sciences Publications, 2007. [4] MOGOS Emanuel Florin, Production décentralisée dans les réseaux de distribution : étude pluridisciplinaire de la modélisation pour le contrôle des sources, thèse de doctorat, Paris : école nationale supérieur des arts et métiers, 2005. [5] PORCHERON Yves, DE FORGES DE PARNY Robert, lignes aériennes : présentation et calcul des lignes, base documentaire réseaux électriques mixtes-ingénierie des réseaux, Paris, les techniques de l’ingénieur, 2000. [6] CEA, Smart Grids : réseau de distribution d’électricité intelligent, présentation de cours, 2011. Disponible en ligne à l’URL : http://www.environnement.ens.fr/IMG/file/Smart_Grid_Zdeborova.pdf (consulté en février 2013) [7] HADJSAÏD Nouredine, Les réseaux électriques de distribution : de la production décentralisé aux Smart Grids, collection sciences et technologies de l’énergie électrique, Paris, Hermes Sciences Publications, 2010. [8] CRACIUN Diana Iuliana, modélisation des équivalents dynamiques des réseaux électriques, thèse de doctorat, GRENOBLE : Université de Grenoble, 2010. [9] BAYEM Herman, Apport des méthodes probabilistes aux études d’insertion des énergies renouvelables dans les systèmes électriques, thèse de doctorat, ORSAY : Université Paris-Sud 11, 2009. [10] VICENTE BRICENO Carolina Wendy, Modélisation des réseaux électriques sous incertitudes, thèse de doctorat, GRENOBLE : Université de Grenoble, 2012. [11] ENACHEANU Octavian, modélisation fractale des réseaux électriques, thèse de doctorat, GRENOBLE : Université de Grenoble, 2008.

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Annexe 1 : Fonctionnement EUROSTAG

Figure 13 : Représentation schématique du fonctionnement d’EUROSTAG adapté du site internet eurostag.be

EUROSTAG est basé sur un fonctionnement en 3 grandes étapes : la création des données, le calcul et l’analyse des résultats. L’étape de calcul du load flow est nécessaire pour tout les autres types de simulations.

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Annexe 2 : Représentation des composants électrique élémentaire suivant la méthode des ondes mobiles Dans le tableau de la figure 7, les composants principaux sont représentés avec leur équivalent. Ils sont obtenus à l’aide des équations caractéristique de chaque composant mis sous la forme :

* ( )I Y V I t t

( )I t t (représente une source de courant mais pour des composants comme la résistance ( )I t t =0))

Composant Equivalent

Figure 14 : Equivalent des composants de base pour la modélisation par méthode des ondes mobiles ; Ces

représentations permettent de créer n’importe quel réseau de base. Pour modéliser une machine asynchrone ou un générateur quelconque, il suffit de créer un modèle de celui si avec ces composants.

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Annexe 3 : Principe de l’algorithme évolutionnaire PSO L’optimisation par essaim particulaire est une méthode née en 1995 aux Etats Unis sous le nom de Particle Swarm Optimization (PSO), en anglais. Initialement, ses deux concepteurs, Russel Eberhart et James Kennedy [64], cherchaient à modéliser des interactions sociales entre des «agents» devant atteindre un objectif donné dans un espace de recherche commun, chaque agent ayant une certaine capacité de mémorisation et de traitement de l'information. La règle de base était qu’il ne devait y avoir aucun chef d’orchestre, ni même aucune connaissance par les agents de l’ensemble des informations, mais seulement des connaissances locales. La métaphore la plus pertinente est probablement celle de l’essaim d’abeilles, particulièrement du fait qu’une abeille ayant trouvé un site prometteur sait en informer certaines de ses consoeurs et que celles-ci vont tenir compte de cette information pour leur prochain déplacement. Finalement, le modèle s’est révélé être trop simple pour vraiment simuler un comportement social, mais par contre très efficace en tant qu’outil d’optimisation. Les particules sont les individus et elles se déplacent dans l’espace de recherche. Le processus de recherche est basé sur deux règles :

Chaque particule est dotée d’une mémoire qui lui permet de mémoriser le meilleur point par lequel elle est déjà passée et elle a tendance à retourner vers ce point.

Chaque particule est informée du meilleur point connu au sein de son voisinage et elle va tendre à aller vers ce point.

Le voisinage constitue la structure du réseau social. Les particules à l’intérieur d’un voisinage communiquent entre-elles. Différents voisinages ont été étudiés et sont considérés en fonction des identificateurs des particules et non des informations topologiques comme les distances euclidiennes dans l’espace de recherche :

Topologie en étoile (Figure 3.10 (a)) : le réseau social est complet, chaque particule est attirée vers la meilleure particule notée best g et communique avec les autres.

Topologie en anneau (Figure 3.10 (b)) : chaque particule communique avec n ( n 4) dans le cas de la Figure 3.10 (b)) voisines immédiates. Chaque particule tend à se déplacer vers la meilleure dans son voisinage local notée best l .

Topologie en rayon (Figure 3.10 (c)) : une particule « centrale » est connectée à toutes les autres. Seule cette particule centrale ajuste sa position vers la meilleure. Si cela provoque une amélioration, l’information est propagée aux autres. Chaque particule représente une solution potentielle dans l’espace de recherche. La nouvelle position d’une particule est déterminée en fonction de sa propre valeur et de celle de ses voisines. Soit xi(t) la position de la particule Pi au temps t , sa position est modifiée en ajoutant une vitesse vi t à sa position courante :

C’est le vecteur vitesse qui dirige le processus de recherche et reflète la "sociabilité" des particules. Si l’on considère N particules et que chaque particule compare sa nouvelle position à sa meilleure position obtenue, cela donne l’algorithme 1, Á étant la fonction d’évaluation décrit dans la figure XX.

Ce premier algorithme ne prend pas en compte le voisinage, puisqu’on utilise uniquement l’amélioration obtenue sur la particule elle-même. En considérant un voisinage en étoile, l’algorithme 1 devient 2 (décrit dans la figure XX)

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Plus une particule est éloignée de la meilleure solution globale et de sa meilleure solution, plus importante sera la variation de sa vitesse afin de faire bouger la particule vers les meilleures solutions. Les variables aléatoires r 1 et r 2 peuvent être définies de la façon suivante :

r et 2 r suivent une loi uniforme sur [0...1], et c1 et c2 sont constantes et représentent une accélération positive, avec c1 + c2 ≤ 4. L’algorithme s’exécute tant qu’un critère de convergence n’est pas atteint. Cela peut être : -un nombre fixe d’itérations ; - une fonction d’évaluation ; -lorsque la variation de vitesse est proche de 0. Cet algorithme peut être facilement modifié pour utiliser un voisinage en anneau par exemple. Les boucles devront se faire sur le voisinage et on déterminera rlbest x qui remplacera rgbest x. Il existe six paramètres qui rentrent en ligne de compte : ¨ La dimension du problème ; ¨ Le nombre de particules ; ¨ Les valeurs des coefficients r ; ¨ La taille du voisinage ; ¨ La vitesse maximale (définie ci-dessous) ; ¨ L’inertie (définie ci-dessous).

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Figure 15 : description de l’algorithme 1

Figure 16 : Description de l’algorithme 2

Pour éviter que les particules se déplacent trop rapidement d’une région à une autre dans l’espace de recherche, on fixe une vitesse maximale Vmax . Ainsi, si v (t ) ij est la vitesse de la particule i P au temps t dans la dimension j :

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Vmax est généralement dépendant de l’échelle du problème. V max n’est pas obligatoire si on utilise un coefficient de constriction (resserrement) k :

Pour contrôler l’influence de la vitesse obtenue au pas précédent, on peut introduire un facteur d’inertie F qui décroît en fonction du temps.

Un grand facteur d’inertie provoque une grande exploration de l’espace de recherche alors qu’un petit facteur d’inertie concentre la recherche sur un petit espace. La convergence n’est pas assurée quelque soient les valeurs de F et également de c1 et c2, les études expérimentales montrent :

L’optimisation par essaim de particules est un algorithme très simple qui semble être efficace pour l'optimisation d'une large gamme de fonctions. L’optimisation sociale se produit dans les délais de l'expérience ordinaire - en fait, elle représente une expérience ordinaire. En plus de ses liens avec la vie, l'optimisation essaim de particules a des liens évidents avec le calcul évolutionnaire. Conceptuellement, il semble se situer quelque part entre les algorithmes génétiques et la programmation évolutive. L'ajustement qui est réalisé par l’optimiseur vers best p et best g rend l’essaim de particules conceptuellement similaire à l'opération de croisement utilisée par les algorithmes génétiques. L’optimiseur utilise le concept unique de la notion d'optimisation essaim de particules qui cherche des solutions potentielles à travers l'espace de recherche de la solution, ce qui accélère le déplacement vers la «meilleure» solution. D’autres régimes de calcul évolutifs opèrent directement sur les solutions possibles qui sont représentées en tant que lieux dans l'espace de recherche.

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Annexe 3 : modélisation machine synchrone pour les équivalents dynamiques On admet dans ce qui suit les hypothèses suivantes:

la saturation, l’hystérésis et les courants de Foucault dans le fer sont négligeables ;

les forces électromotrices correspondant aux enroulements du stator sont à répartitionspatiale sinusoïdale.

la mutuelle CANAY est négligée. La modélisation des machines synchrones se fait suivant la théorie classique de PARK. On considère deux modèles :

le modèle complet où le rotor est représenté par 4 enroulements équivalents : l'enroulement d'excitation et un amortisseur dans l'axe direct avec couplage magnétique entre ces enroulements et deux amortisseurs dans l'axe en quadrature.

le modèle simplifié où le rotor est représenté par le seul enroulement d'excitation et aucun enroulement dans l'axe q.

Classiquement, les forces électromotrices de transformation sont négligées par rapport aux forces électromotrices de rotation dans les équations statoriques, mais on y a refusé l’approximation w=w0, rendant ainsi les flux internes de la machine sensibles à la fréquence du réseau. Le schéma équivalent de la machine réalisé suivant la théorie classique de Park est présentée sur la Figure 16.

Figure 17 : représentation équivalente de la machine synchrone suivant le modèle de Park

Les indices désignent les enroulements suivants : d : enroulement statorique d'axe direct ; q : enroulement statorique d'axe en quadrature ; D : amortisseur d'axe direct ; f : enroulement d'excitation ; Q1 : 1er amortisseur d'axe en quadrature ; Q2 : 2ème amortisseur d'axe en quadrature ; On a : ra : résistance d'armature ; la : fuite statorique d'axe direct ; Md : mutuelle d'axe direct ; mrc : mutuelle de CANAY ; lD , rD : fuite et résistance de l'amortisseur d'axe direct ; lf , rf : fuite et résistance de l'enroulement d'excitation ; lq : fuite statorique d'axe en quadrature (égale à d l ) ; Mq : mutuelle d'axe en quadrature ; lQ1 , rQ1 : fuite et résistance du 1er amortisseur d'axe en quadrature ; lQ2, rQ2: fuite et résistance du 2ième amortisseur d'axe en quadrature ; Les équations classiques de PARK, où w représente la vitesse de rotation électrique de l'alternateur, exprimée dans la base w0 sont :

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Les relations entre les courants dans les différents enroulements et les flux à travers ces enroulements peuvent être construites sous la forme matricielle suivante:

Toutes les grandeurs sont calculées en valeurs réduites (p.u. – per unit, en anglais) dans la base:

Où Sn est la puissance nominale de la machine, Vn est la tension nominale de la machine, In est le courant nominal de la machine et w 2pf 0 = est la vitesse nominale de la machine. On suppose que les forces électromotrices de transformation sont négligeables devant les forces électromotrices de la vitesse de rotation. On peut donc négliger les termes l d, λq dans les équations de Park. On définit :

M i i i , le flux commun sur l’axe d ;

M i i i , le flux commun sur l’axe q ;

On peut calculer les flux communs selon les variables d’état et les courants id et iq:

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Les équations de Park deviennent :

En éliminant les variables λAD et λAQ dans ces équations, on a les équations finales du modèle de la machine synchrone :

Les équations mécaniques sont les suivantes :

Ces deux équations décrivent la dynamique de la machine synchrone .Le couple électrique est donné par :

En passant des coordonnées de l’alternateur aux coordonnées du réseau, on obtient :

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Annexe 4 : Equivalent dynamique de la machine asynchrone

Le modèle de machine asynchrone utilisé par Diana Iuliana CRACIUN dans sa thèse

est un machine asynchrone à double cage.. Il comprend tous les avantages de la machine

asynchrone avec rotor à cage. De plus l’avantage majeur de cette machine est qu’elle a un

couple de démarrage assez élevé.

Ce modèle peut être considéré comme celui d’une machine synchrone avec le rotor en court

circuit.

Les équations de PARK en convention générateur s’écrivent de manière similaire au modèle

de machine synchrone :

Où ref r

ref

s

est le glissement entre le rotor et le stator, ωref est la vitesse de synchronisme (la pulsation

du réseau) et wr est la vitesse de rotation du rotor.Les relations entre les courants dans les différents enroulements et les flux à travers ces enroulements peuvent être construites sous la forme matricielle suivante:

En négligeant le régime transitoire des enroulements statoriques, on définit :

On obtient également :

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Le couple électrique s’exprime par :

L’équation de la masse tournante du rotor de la machine asynchrone est :

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Annexe 5 : Modèle de régulation de tension et en vitesse pour les équivalents dynamiques Voici le schéma du régulateur de tension créé par Diana Iuliana CRACIUN pour les équivalents dynamique :

Sur le schéma, TB, TC sont les constantes de temps de compensation, KA est le gain du régulateur; TA est la constante de temps du régulateur, VR est la sortie du régulateur, VRmax est la limite maximale de la sortie du régulateur, VRmin est la limite minimale de la sortie du régulateur KF et TF sont les paramètres du stabilisateur du système d’excitation, KE et TE sont les paramètres de l’excitation, EFD est la tension d’excitation, SE est la fonction non linéaire de saturation de l’excitatrice, Vref est la tension de référence. TR est la constante de temps du capteur de tension, qui, du fait qu’elle est beaucoup plus petite que les autres constantes de temps du système, sera par la suite négligée. Pour la régulation en tension voici le schéma :

Sur ce schéma, Limmax et Limmin sont les valeurs limites maximale et minimale imposées à la machine par le régulateur. Du point de vue physique, Limmax représente la réserve primaire de puissance active de la machine, Limmin est la limite en dessous de laquelle la machine fonctionne avec un trop mauvais rendement, K1 est le gain, T1 et Ta1 sont les constantes de temps du filtre passe bas, w0 est la vitesse nominale, Δwr est la déviation de la vitesse rotorique.

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La valeur de R détermine la vitesse en régime permanent versus la caractéristique de charge de l’unité de génération. Il s’agit du statisme de la boucle de vitesse. R est la variation de vitesse, Δw , ou de fréquence, Δf , induite par une variation de la puissance produite ΔP nécessaire pour compenser une variation de charge.