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  • Modle de Heston

    Pricing doptions europennes et calibration

    PROJET IMI ENPC

    15 juin 2007

    Tuteur : Adel BEN HAJ YEDDER

    Gilles Blanchet Moncef Elacheche Eric Jeangirard Khaled Saleh

  • 3

    RsumDans ce rapport, nous prsentons un modle couramment utilis en finance : le modle de

    Heston. Ce modle, notamment utilis en drivs actions, est un modle volatilit stochastique.Nous montrons comment tablir la formule de pricing des options vanilla puis tudions la ca-pacit du modle reproduire une nappe de volatilit de march. En ajoutant des sauts sur lesous-jacent travers le modle de Bates, nous obtenons des rsultats trs concluants pour lesmoyennes et longues maturits mais nous observons que ce modle ne peut reproduire parfaite-ment le smile sur les courtes chances.

    AbstractIn this report, we present a common model in finance : the Heston model. This model, com-

    monly used in equity derivatives is a stochastic volatility model. We establish the vanilla optionspricing formula and then study the capacity of the model to reproduce the market volatilitysurface. By adding jumps (Bates model), we get very satisfying results for middle-term andlong-term maturities, but we observe that this model cannot reproduce perfectly the smile for theshort-term maturities.

  • 4 TABLE DES MATIRES

    Table des matiresIntroduction 6

    1 Le modle de Heston 71.1 Mise en quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Expression des solutions analytiques pour les produits vanilles . . . . . . . . . . 91.3 Amlioration : modle de Bates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 Calibration 122.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.2.1 Lalgorithme de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Lalgorithme de descente de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Lalgorithme de Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3 Implmentation en langage C++ 163.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3.2.1 La classe Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2 La classe BS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.3 La classe Heston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.4 La classe Bates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3.3 La classe Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Intgrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4 Rsultats 244.1 Influence qualitative des paramtres sur le smile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Efficacit de la calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.2.1 Influence du nombre ditrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.2 Reproductibilit de la nappe de volatilit . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    5 Conclusion 35

    Rfrences 35

  • TABLE DES MATIRES 5

    RemerciementsNous voudrions videmment commencer par remercier notre tuteur Adel Ben Haj Yedder,

    actuellement quant Natixis, qui a eu la gentillesse daccepter de nous encadrer pour notreprojet de dpartement - qui plus est en nous proposant un sujet idal pour complter la formationque nous avons reu en deuxime anne.

    Nous tenons dautre part remercier Mohamed Sbai, en premire anne de thse au CERMICSpour avoir pris le temps de discuter avec nous du modle.

    Nous remercions aussi Jean-Philippe Pons, chercheur au CERTIS pour nous avoir aid dansltape dimplmentation des classes en C++.

  • 6 TABLE DES MATIRES

    IntroductionEn 1973, Black, Scholes et Merton [3] ont exhib un moyen simple de pricer et de couvrir

    des options sur actions, en donnant mme une formule close pour les options les plus classiques(appeles vanilla, savoir les call et les put). Ce modle connut un grand succs en particulierparce quil montrait que la tendance du cours du sous-jacent nintervenait pas dans la formule depricing et donnait une stratgie de couverture simple.

    Nanmoins, dans le modle Black-Scholes, la volatilit est suppose constante. Pourtant, sinous observons des prix doptions vanilles ayant diffrents prix dexercice et diffrentes maturi-ts, nous constatons que leur volatilit implicite est diffrente (le smile de volatilit, cf Fig. 1).Evidemment, un trader peut continuer utiliser la formule de Black-Scholes en y introduisant lavolatilit quil estime adquate, et ce pour chaque deal quil traite. Dautres modles un facteuront t dvelopps, par exemple ceux volatilit locale (Dupire[1], Derman et Kani [2] notam-ment). Avec ces modles, le march reste complet et il est possible de retrouver une structurede smile. Paralllement, des modles plusieurs facteurs ont t dvelopps, en particulier desmodles avec des sauts (Merton par exemple) ou des modles volatilits stochastiques, toujoursdans le but de reproduire le smile observ sur le march.

    Aprs avoir explicit le modle dHeston, nous expliquerons comment il est possible de re-produire effectivement la nappe de volatilit observe (tape de calibration), puis nous commen-terons nos rsultats.

    75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 1250.205

    0.210

    0.215

    0.220

    0.225

    0.230

    0.235

    0.240

    0.245

    0.250

    Strike

    Vol.

    impl

    icite

    FIG. 1 En bleu, le smile de march "stylis", en rouge le smile avec le modle de Black-Scholes

  • 7

    1 Le modle de HestonLobservation des marchs montre la ncessit de modliser la volatilit comme une variable

    alatoire. En effet, il suffit pour sen convaincre de se rappeler lexistence de krachs boursiers.Dans le modle de Heston, apparat un paramtre de retour la moyenne de la volatilit. Il

    est conomiquement raisonnable quil y ait un tel paramtre dans la mesure o nous pouvonssupposer que, mme long terme, la volatilit dune action gardera un certain ordre de grandeur.

    1.1 Mise en quationLe modle de Heston (1993) suppose que le prix du stock, S ainsi que sa variance v vrifient

    le systme dEDS suivant :{dS(t) = (t)S(t)dt+

    v(t)S(t)dZ1

    dv(t) = ( v(t))dt+ v(t)dZ2

    (1.1)

    avec dZ1, dZ2

    = dt

    o (t) est la tendance instantane (dterministe) du stock, , la vitesse de retour la moyenne, la variance linfini, la volatilit de la volatilit et la corrlation des deux browniens Z1 etZ2.

    Dans la suite de la section, nous avons en grande partie repris la dmarche de Jianqiang Xu[4].Dans le cas Black-Scholes, la seule source dincertitude vient du prix du stock, qui peut se couvriravec le stock. Dans le cas Heston, il faut aussi couvrir lincertitude venant du caractre stochas-tique de la volatilit pour crer un portefeuille sans risque. Imaginons ainsi un portefeuille contenant loption dont on cherche dtermner le prix not V (S, v, t), la quantit de stocket la quantit 1 dun autre actif, de valeur V1 dpendant de la volatilit. On a ainsi :

    = V S 1V1 (1.2)

    Nous obtenons, grce la formule dIt :

    d =

    {V

    t+

    1

    2vS2(t)

    2V

    S2+ vS(t)

    2V

    vS+

    1

    22v

    2V

    v2

    }dt

    1{V1t

    +1

    2vS2(t)

    2V1S2

    + vS(t)2V1vS

    +1

    22v

    2V1v2

    }dt

    +

    {V

    S1

    V1S

    }dS +

    {V

    v1

    V1v

    }dv

    (1.3)

  • 8 1 LE MODLE DE HESTON

    Pour que le portefeuille soit sans risque, il est ncessaire dliminer les termes en dS et dv,do lon tire les quantits : =

    VS V/v

    V1/vV1S

    1 =V/vV1/v

    (1.4)

    Le rendement dun portefeuille sans risque devant tre gal au taux sans risque r (supposconstant) - sans quoi il y aurait une opportunit darbitrage, nous avons :

    d =

    {V

    t+

    1

    2vS2(t)

    2V

    S2+ vS(t)

    2V

    vS+

    1

    22v

    2V

    v2

    }dt

    1{V1t

    +1

    2vS2(t)

    2V1S2

    + vS(t)2V1vS

    +1

    22v

    2V1v2

    }dt

    = rdt

    = r(V S 1V1

    )dt

    En utilisant (1.4), la dernire quation peut se rcrire :

    1

    V/v

    {V

    t+

    1

    2vS2

    2V

    S2+ vS

    2V

    vS+

    1

    22v

    2V

    v2+ rS

    V

    S rV

    }=

    1

    V1/v

    {V1t

    +1

    2vS2

    2V1S2

    + vS2V1vS

    +1

    22v

    2V1v2

    + rSV1S rV1

    } (1.5)Le membre de gauche est une fonction uniquement de V tandis que le membre de droite est

    une fonction de V1 seulement. Cela force chacun des deux membres tre gaux une fonctionf des variables indpendantes S, v et t. On peut ainsi crire que :

    V

    t+

    1

    2vS2

    2V

    S2+ vS

    2V

    vS+

    1

    22v

    2V

    v2+ rS

    V

    S rV = V

    vf (1.6)

    Soit encore

    V

    t+

    1

    2vS2

    2V

    S2+ vS

    2V

    vS+

    1

    22v

    2V

    v2+ rS

    V

    S rV = V

    v

    [( v)(S, v, t)

    v]

    (1.7)o (S, v, t) est le prix de march de la volatilit.

    Dans son article, Heston choisit (S, v, t) = v

    , de sorte que :

    V

    t+

    1

    2vS2

    2V

    S2+ vS

    2V

    vS+

    1

    22v

    2V

    v2+ rS

    V

    S rV V

    v

    [( v) v

    ]= 0 (1.8)

  • 1.2 Expression des solutions analytiques pour les produits vanilles 9

    1.2 Expression des solutions analytiques pour les produits v