Modelul Multifactorial

4 Modelul multifactorial

4.1 Specificarea i definirea modelului multifactorial Sub form general, un model explicativ multifactorial se definete

prin urmtoarea relaie:

y = f (x j ) + u (4.1.1) unde:

y = variabila endogen, dependent sau explicat; x j = variabilele exogene, independente sau explicative;

k1,j = , k = numrul variabilelor exogene; u = variabila rezidual sau aleatoare sau eroare; f (xj) = funcia de regresie cu ajutorul creia vor fi estimate

(aproximate) valorile variabilei y, determinate numai de influena factorilor xj, considerai eseniali, principali, hotrtori, exceptnd influena celorlali factori ai fenomenului y, care sunt considerai factori neeseniali, nesemnificativi de explicare a apariiei i a evoluiei n timp i n spaiu a fenomenului y, acetia find tratai separat cu ajutorul variabilei reziduale u.

Modelul econometric (4.1.1) trebuie interpretat ca o expresie formal a metodei econometrice de investigare a unui obiect economic:

Realitatea (y) = Teoria [f (x j )] + ntmplarea (u)

Modele econometrice

Ca regul general i fundamental, specificarea unui model econometric se face pe baza teoriei economice. Fenomenul economic y se precizeaz pe baza conceptelor, definiiilor i a relaiilor cauz-efect elaborate de ctre aceasta i se accept fenomenul xj ca factor esenial, sau se respinge i se trece n categoria factorilor ntmpltori prin intermediul variabilei aleatoare u.

Dimensiunea pachetului de variabile explicative xj depinde ns i de banca de date statistice a variabilelor respective, de cantitatea i de calitatea acestora.

n economie, modelele multifactoriale au o arie vast de aplicare, acestea putnd fi utilizate n mai multe situaii i sub diverse forme, ca, de exemplu:

a) modelarea consumului

C = f (V, P, N) + u (4.1.2)

unde:

C = consumul unui produs sau grupe de produse; V = venitul pe familie; P = preul produsului sau indicele preurilor grupei de produse; N = numrul membrilor unei familii.

b) funcia de producie Cobb-Douglas

Q = f (K, L,) + u (4.1.3)

unde:

Q = volumul (valoarea produciei); K = capitalul; L = fora de munc.

Modelul multifactorial

c) modelarea evoluiei preurilor

I p = f (I v, I cv, I m) + u (4.1.4) unde:

I p = indicele preurilor; I v = indicele veniturilor (salariilor) consumatorilor; I cv = indicele cursului valutar; I m = indicele masei monetare.

4.2 Identificarea modelului multifactorial

Ca i n cazul modelului unifactorial, identificarea econometric const n alegerea unei funcii matematice n vederea descrierii legturii, a relaiei dintre variabila endogen y i factorii si de influen, x1, x2, , xj, , xk. Aceast alegere se face n concordan cu seriile statistice (serii de spaiu sau de timp ale variabilei y i ale variabilelor xj) ale acestor variabile, preluate dintr-o baz de date sau construite n urma unor observri statistice special organizate.

Astfel, dac se dispune de urmtoarele informaii:

x1t x2t xkt ytx11 x21 xk1 y1x12 x22 xk2 y2. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

. x1n x2n xkn yn

unde:

nt ,1= , n = numrul termenilor seriilor statistice; k1,j = , k = numrul variabilelor exogene.

Modele econometrice

Identificarea presupune ca, pe baza datelor experimentale, yt i xjt, s se gseasc o funcie matematic, Yt = f (xjt), cu ajutorul creia s se estimeze valorile variabilei y numai pe baza valorilor variabilelor xjt.

Spre deosebire de cazul unifactorial, unde procedeul grafic sau calculele algebrice ofereau informaii relativ corecte pentru identificarea funciei de regresie, n cazul modelelor multifactoriale acest lucru rmne valabil doar n cazul n care se va lucra cu serii bidimensionale: yt, x1t ; yt, x2t; yt, xjt ; ; yt, xkt.

Un alt mod de alegere a funciei de regresie multifactoriale const utilizarea, estimarea, verificarea i compararea mai multor tipuri de funcii de regresie i de a decide n final vezi coeficienii de performan ai unui model multifactorial liniar care este cel mai performant model n raport cu datele experimentale.

De regul, n economie, principalele funcii de regresie multifactoriale sunt de forma:

- funcia liniar

Y t = b 0 + b 1 x 1t + b 2 x 2t + b k x kt (4.2.1)

- funcia liniar dublu logaritmic

kbkt

bt

btt xxxbY = K21 210 (4.2.2)

ktkttt xbxbxbbY lnlnlnlnln 22110 ++++= K (4.2.3)

- funcia liniar semilogaritmic

ktktt xbxbxbbt eY

++++= K22110 (4.2.4) ktkttt xbxbxbbY ++++= K22110ln (4.2.5)

Modelul multifactorial

sau kttt x

kxx

t bbbbY = K21 210 (4.2.6) ktkttt xbxbxbbY ++++= lnlnlnlnln 22110 K (4.2.7)

ktkttt xxxY ++++= K22110ln (4.2.8) unde:

00 lnb= ; M

kjb jj ,1,ln == De reinut c, att n etapa de specificare a modelului, ct i n etapa

de identificare, soluiile acceptate: - xj principalii factori de influen ai fenomenului y; - ( ) ntkjxbxbxbbxfY jtjttjtt ,1,,1;22110 ==++++== K

- relaia de dependen; - nu sunt altceva dect simple ipoteze de lucru.

Validarea sau infirmarea acestora va constitui, de altfel, principalul obiectiv al etapei de verificare econometric a modelului.

4.3 Estimarea parametrilor modelului multifactorial

Estimarea parametrilor modelului se face n urma etapei de identificare a acestuia. Deoarece marea majoritate a modelelor econometrice pot fi liniarizate, un model multifactorial, n form general, se prezint astfel:

y t = b 0 x 0t + b 1 x 1t + b 2 x 2t + + b j x jt + + b k x kt + u t (4.3.1) unde:

nt ,1= , n = numrul termenilor seriilor statistice; k1,j = , k = numrul variabilelor exogene,

Modele econometrice

ceea ce analitic devine:

+++++=

+++++=+++++=

nnkkn22n1n0n

22kk22221102

11kk12211101

uxbxbxbby................................................................................

uxbxbxbbyuxbxbxbby

(4.3.2)

unde:

x 0 = (1, 1, ,1) reprezint variabila ce se ataeaz termenului liber, ale crei valori x t 0 sunt egale cu unitatea n,t 1= .

Definind cu:

=

ny

yy

YM

2

1

vectorul coloan al variabilei endogene (y t ) n,t 1= de

dimensiune (n, 1);

=

knn

k

k

k

xx

xx

xx

xx

X

KKKKKKKKKKK

KKKKKKKKK

1

313

212

111

1

1

1

1

matricea variabilelor exogene

(xj) k0,j = de dimensiune (n, k + 1);

=

nb

bbb

BM

2

1

0

vectorul coloan al parametrilor (b j) k0,j = de

dimensiune (k + 1, 1);

Modelul multifactorial

=

nu

uuu

UM

3

2

1

vectorul coloan al variabilei aleatoare (u t ) n,t 1= de

dimensiune (n, 1). Relaia (4.3.1), sub form matriceal, devine: Y = XB + U (4.3.3) Relaia (4.3.3) se mai poate scrie astfel:

)1(1)1()1()1(

1

1

1

2

1

1

0

1

212

111

2

1

++

+

=

nkknn

u

uu

b

bb

xx

xxxx

y

yy

nkknn

k

k

n

MMKK

KKKKKKKKKKK

M (4.3.4)

Funcia de regresie corespunztoare modelului, scris sub forma unei

ecuaii matriceale, este:

BXY = (4.3.5)

Reziduurile t (estimaiile variabilei aleatoare u) se definesc astfel:

BXYYYU == (4.3.6) unde:

Y = valorile estimate (ajustate) ale variabilei Y.

Modele econometrice

n cazul unui model multifactorial parametrii pot fi estimai prin intermediul mai multor metode cum ar fi: metoda punctelor empirice, metoda punctelor medii, metoda celor mai mici ptrate (M.C.M.M.P.), metoda verosimilitii maxime etc.

Metoda punctelor empirice i metoda punctelor medii sunt folosite n cazul modelelor n care aplicarea metodei celor mai mici ptrate este anevoioas, necesitnd calcule complicate, de regul pentru funciile neliniare (funcia logistic).

Metoda celor mai mici ptrate este metoda cel mai des utilizat. n cazul unui model multifactorial aplicarea acesteia presupune minimizarea funciei:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F B u U U Y Y Y XB Y XB Y XBtt

n$ min min min $ min $ min $ $= = = = = = 2 2 2

1

( ) ( )( )= + min $ $Y Y B X Y B X X B2 $ (4.3.7)

care implic calculul derivatei funciei n raport cu estimatorul i anularea acesteia:

B

( ) ( ) ( ) F B

BX Y X X B

$$

$= + =0 2 2 0 (4.3.8) ( ) (4.3.9) = X X B X Y$

n cazul n care matricea (XX) admite invers, prin nmulirea la stnga a ecuaiei matriceale (4.3.9) cu (XX) 1 rezult c:

( ) ( ) ( ) ( ) = X X X X B X X X Y1 $ 1 (4.3.10)

Estimatorii parametrilor se calculeaz astfel cu ajutorul relaiei:

( ) ( )

==

kb

bb

YXXXB M2

1

1 (4.3.11)

Modelul multifactorial

Estimarea parametrilor unui model econometric multifactorial liniar se poate face i pe baza matricei varianelor i covarianelor i a matricei coeficienilor de corelaie liniar simpli.

Fie modelul:

tttt uxbxbby +++= 22110 (4.3.12)

Se nsumeaz (4.3.12) i se mparte la n obinndu-se ecuaia: y b b x b x= + +0 1 1 2 2 (4.3.13)

Se scade ecuaia (4.3.13) din (4.3.12) i rezult: ( ) ( )y y b x x b x x ut t t = + +1 1 1 2 2 2 t (4.3.14)

Se noteaz cu:

yyy t*t =

111 xxx t*t =

222 xxx t*

t =

Modelul (4.3.14), construit pe baza abaterilor centrate (standard