Modelowanie systemów - wiedza eksperymentalna (identyfikacja systemów)

Marcin BogusiakPaweł Pilewski

Plan wykładu

• Co to jest identyfikacja systemu?

• Wiedza eksperymentalna.

• Określenie klasy modelu.

• Określenie parametrów modelu.

• Modelowanie systemu w oparciu o wiedzę eksperymentalną.

• Wskaźnik jakości.

• Przykład praktyczny.

• Przykład wyznaczenia modelu obiektu.

• Algorytm identyfikacji - przykład.

• Główne problemy, które możemy napotkać.2

Co to jest identyfikacja systemu?

• Identyfikacja systemu - to wyznaczanie modelu matematycznego systemu na podstawie wiedzy o jego zachowaniu (wiedza eksperta, wiedza eksperymentalna)

3

Wiedza eksperymentalna

• Wiedza eksperymentalna - wiedza o obiekcie (systemie) uzyskana na podstawie szeregu przeprowadzonych obserwacji i pomiarów.

4

Określenie klasy modelu

• Wyniki szeregu przeprowadzonych eksperymentów dają możliwość określenia klasy modelu. Na poniższych wykresach prezentowane są przykładowe klasy wielomianowe.

5

Określenie parametru modelu

• Załóżmy, że wybraliśy klasę modeli liniowych, zatem szukamy parametru "α"

• Parametr ten wyznaczamy w oparciu o wiedzę eksperymentalną

6

Określenie parametru modelu - cd

• Typowy oparty jest o metodę najmniejszych kwadratów.

• Jest to jedna z metod pozwalających wyznaczyć parametry modelu, gwarantująca wynik o najmniejszej sumie kwadratów błędów.

• Przyjmijmy wskaźnik modelu: suma różnic kwadratów odległości prognozowanych i obserwowanych wielkości wyjścia dla ustalonych wejść.

7

Określenie parametru modelu - cd

• Zatem z rodziny prostych wybieramy tę prostą o parametrze α*, która ma najlepszy wskaźnik.

• Który wskaźnik jest najlepszy? - ten o najmniejszej wartości Q 8

Modelowanie systemu w opaciuo wiedzę eksperymentalną - SZUKANE• Wybór najlepszego modelu w klasie

• Dobór parametru modelu w taki sposób, aby wskaźnik jakości identyfikacji był najlepszy.

9

Modelowanie systemu w opaciuo wiedzę eksperymentalną - DANE• Wiedza eksperymentalna

• Klasa modelu, np.

• Wskaźnik jakości identyfikacji

10

Wskaźnik jakości

• Porównywanie wartości rzeczywistych (yrz)

z prognozowalnymi wartościami z modelu (ym).

11

Przykład praktyczny - model czasowy

• Wyznaczenie modelu czasowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania

12

Przykład praktyczny - model kosztowy

• Wyznaczenie modelu kosztowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania

13

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Dane: wyniki z przeprowadzonego eksperymentu, klasa modelu i wskaźnik jakości (kryterium).

14

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Na początku rozważmy trzy możliwe parametry.

15

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Otrzymane dla modelu y=1u wyniki zapisujemy w tabeli.

16

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Dla modelu y=2u

17

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Dla modelu y=1,5u

18

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Wniosek jest taki, że z trzech modeli

najlepszy okazał się model

• Jednak jest on najlepszy tylko z trzech rozpatrywanych, a jak wyznaczyć najlepszy model dla całej dziedziny ?

• Idea: - Za pomocą algorytmu identyfikacji.

19

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Dla klasy modeli SISO, liniowych względem parametrów.

• Dane:

20

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.

22

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.

22

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Algorytm identyfikacji /SISO, L.w.P/ dla klasy modeli liniowych względem parametrów.

• Szczególny przypadek dla , czyli modeli liniowych względem parametru i względem wejścia.

23

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Zastosujemy Algorytm Identyfikacji (2) w naszym przykładzie:

• Zatem najlepszy model dla badanego przykładu to:

24

Przykład wyznaczenia modelu obiektu

• Sprawdzamy jaki jest wskaźnik jakości dla najlepszego modelu y=1,35u, aby upewnić się, że jest on lepszy od tych wyliczanych poprzednio.

25

Czy to już jest rozwiązanie optymalne?

• Uzyskany model y=1,35u jest najlepszy, ale dla danej serii pomiarowej i danej klasy modeli.

• Zazwyczaj uwzględnienie dodatkowych pomiarów poprzez dostarczenie dodatkowych informacji o obiekcie umożliwi uzyskanie modelu "lepszego".

•A co z innymi klasami modeli, może dla nich uzyskamy "lepszy" model?

26

Czy to już jest rozwiązanie optymalne?

• Badamy zatem klasę y=αu2 dla tych samych danych i stosując Algorytm Identyfikacji (1) wyznaczmy optymalny parametr.

27

Wyznaczenie wskaźnika dla drugiej badanej klasy modeli

• Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie (y=0,35u2).

• Porównjąc wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" oraz wartość Q(α*)=11 dla najlepszego modelu "kwadratowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy.

28

Rozważamy kolejną klasę modeli

• Badamy klasę i wyznaczmy optymalny parametr

• Następnym krokiem tak, jak w przypadku poprzednich klas jest sprawdzenie wskaźnika jakości.

29

Wyznaczenie wskaźnika dla trzeciej badanej klasy modeli

• Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie ( ).

• Porównując otrzymaną warość Q(α*)=6 oraz wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy.

30

Prognozowanie liczby ludności - Matlab• Środowisko Matlab oferuje wiele gotowych

pakietów służących do modelowania obiektów rzeczywistych

• Na podstawie danych z lat 1990-2000, dotyczących liczby ludności, Matlab tworzy model i prognozuje wskaźnik demograficzny w kolejnych latach

31

Prognozowanie liczby ludności - Matlab• W tym celu Matlab dokonuje aproksymacji danych

wejściowych wielomianem

• Stopień wielomianu można zmieniać, aby aproksymacja najlepiej odzwierciedlała dane wejściowe

• Przykładowo chcemy, otrzymać przewidywaną liczbę ludności w 2010r.

32

Prognozowanie liczby ludności - Matlab• Wynik można zilustrować na wykresie. Model

podaje 312691400 jako przewidywaną liczbę ludności USA w roku 2010

33

Dekompozycja modelu MIMO na MISO• Układ wielowyjściowy można potraktować jako

równoległe połączenia n obiektów jednowyjściowych

34

Dekompozycja modelu MIMO na MISO

• Dzięki takiej dekompozycji możemy kolejno identyfikować poszczególne obiekty jednowyjściowe

• W każdym pojedynczym zadaniu identyfikacji może być wykorzystana ta sama seria pomiarowa (jeśli tylko spełnia ona wspólny dla wszystkich zadań warunek identyfikalności)

35

Główne problemy, które możemy napotkać

• Ważne jest prawidłowe określenie klasy modelu, poprzez wykorzystanie dostępnej wiedzy eksperta i empirycznej.

• Trudne wyznaczenie parametru dla "skomplikowanych" (np. niewielomianowych) klas modeli.

• Właściwy dobór wskaźnika jakości, który służy głównie do interpretacji uzyskanego wyniku.

• Dobór odpowiedniej liczby pomiarów oraz odpowiedni plan eksperymentu (miernictwo).

36

Trudniejsze zagadnienia dla bardziej dociekliwych

• Modele liniowe względem parametrów (m parametrów).

• Modele - ważony wskaźnik jakości, a w konsekwencji algorytm identyfikacji z uwzględnieniem wag.

• Planowanie aktywnych eksperymentów spełniających warunek identyfikowalności.

37

Podsumowanie

• Pojęcia identyfikacja systemów i wiedza eksperymentalna.

• Określenie klasy modelu.

• Określenie parametru modelu.

• Algorytm identyfikacji.

• Przykład przebiegu procesu identyfikacji.38

Literatura

• Leszek Koszałka, Marek Kurzyński "Zbiór zadań i problemów z teorii identyfikacji, eksperymentu i rozpoznawania" Wrocław, Politechnika Wrocławska, 1991

• Pod red. Ewy Bylińskiej "Identyfikacja procesów" Gliwice, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 1997

• Torsten Soderstrom, Petre Stoica "Identyfikacja systemów"Warszawa, Wydawnictwo Naukowe PWN,1997

39

Koniec

Dziękujemy za uwagę