Modelo Matemático Homogéneo e Isótropo para la Operación y

ESCUELA TÉCNICA SUPERIORDE INGENIEROSDEMINAS Y ENERGÍA

Titulación: GRADUADO EN INGENIERÍADE LA ENERGÍA

Intensificación: Tecnologías energéticas

PROYECTODE FINDEGRADO

Modelo Matemático Homogéneo e Isótropo

para la Operación y Optimización de

Sistemas CAES(“Compressed Air Energy Storage ′′)

HÉCTOR BURGUEÑORUEDA Julio 2015

Titulación: GRADUADO EN INGENIERÍADE LA ENERGÍA

Intensificación: Tecnologías energéticas




Realizado por:

Héctor Burgueño Rueda

Dirigido por:

Pr. D. Santiago De Vicente Cuenca

Firmado: Pr. D. Santiago de Vicente Cuenca

Fecha:..............................

Agradecimientos

Gracias a mi familia y especialmente a mis padres Trini-dad y Enrique, me he convertido en lo que hoy en díasoy. Gracias por apoyarme y guiarme para saber escogerpor ser quién soy y no por quién se pretende que sea.

Especial mención dedico a mi profesor, Santiago deVicente, con quien he tenido el placer de trabajar estosdos últimos años en un más que excepional proyecto.

También, agradezco a KBB Underground TechnologiesGmbH la valiosa información proporcionada, esencialpara la validación del proyecto.

Índice

Documento 1: Memoria 1

1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

§ 1.1 Objetivo y alcance del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

§ 1.2 Conocimientos adquiridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

§ 1.3 Los almacenamientos de energía en el marco energético . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

§ 1.4 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 1.5 Introducción al proyecto CAES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§ 1.6 CAES en Europa: Huntorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Presentación analítica del modelo de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§ 2.1 Introducción al desarrollo teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§ 2.2 Las ecuaciones de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

§ 2.3 Ecuación de estado y relaciones termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

§ 2.4 Derivación de las ecuaciones del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

§ 2.5 Consideraciones de la formulación obtenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

§ 2.6 Definición de qf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

§ 2.7 Simplificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Presentación analítica del modelo de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

§ 3.1 Ecuación de conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

§ 3.2 Ecuación constitutiva y relaciones termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

§ 3.3 Ecuación de conservación y simplificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Acoplamiento del modelo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

§ 4.1 Ecuaciones del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

§ 4.2 Condiciones iniciales y de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

§ 4.3 Tratamiento de las ecuaciones y su adimensionalización . . . . . . . . . . . . . . . . 36

§ 4.4 Modelo real-ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

§ 4.5 Interpretación de los números adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Casos de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§ 5.1 Caso límite Bi∗ → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§ 5.2 Idealización del sistema: Caso límite Bi∗ → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

§ 5.3 Caso de estudio Bi∗ finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

§ 5.4 Sistema real simplificado: modelo real-ideal completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

I

6 Análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

§ 6.1 Flujo calorífico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

§ 6.2 Rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

§ 6.3 Parámetros de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 6.4 Restricciones ambientales y operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7 Validación del modelo y estimación de parámetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8 El Almacén Térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

§ 8.1 Modelo del almacén térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

§ 8.2 Condiciones de contorno e iniciales del almacenamiento térmico . . . . . . . . . . . . 71

§ 8.3 Ecuaciones del modelo y su adimensionalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

§ 8.4 Simplificación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

§ 8.5 Interpretación de los números adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

§ 8.6 Discretización del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

§ 9.1 Adenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Documento 2: Estudio Económico 79

1 Balance económico del desarrollo del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

§ 1.1 Coste de recursos humanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

§ 1.2 Cote de de recursos útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

§ 1.3 Costes totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Documento 3: Anexos 82

Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

§ A Rendimiento del ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

§ B Resolución de la ecuación diferencial del caso de estudio Bi∗ → 0 . . . . . . . . . . . 84

§ C Resolución del sistema diferencial del caso de estudio real-ideal . . . . . . . . . . . . . 84

§ D Cálculo de las propiedades termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

§ E Longitud de penetración térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

II

Índice de tablas

1 Propiedades de transmisión de calor de las rocas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Características principales de la planta CAES de Huntorf. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Parámetros característicos para la operación CAES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Tabla de costes relacionados con RR.HH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Tabla de gastos relacionados con el equipo y software informático. . . . . . . . . . . . 81

6 Tabla de gastos totales a figurar en el balance económico. . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Índice de figuras1 Curva de carga del sistema eléctrico Español. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Almacenamientos de energía según su potencia y energía. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Nivel de maduración de las tecnologías de almacenamiento cinético, potencial o químico. 6

4 Evolución del número artículos con palabra clave CAES. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Ciclo de Brayton para una central termoeléctrica con tecnología CAES. . . . . . . . . . 8

6 Esquema representativo de una planta termoeléctrica con tecnología CAES/AA-CAES. 9

7 Ciclo de Brayton para una central termoeléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8 Variación de contorno de las cavernas NK1 y NK2 de la planta CAES de Huntorf. . . . 13

9 Información geológica de España para los sistemas CAES. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

10 Distintos entornos para los almacenamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

11 Características de la planta de Huntorf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12 Parámetro de compresibilidad en el rango termodinámico esperado. . . . . . . . . . . 22

13 Coeficientes termodinámicos en el rango termodinámico esperado. . . . . . . . . . . . 25

14 Calor específico cp e indice adiabático γ en el rango termodinámico esperado. . . . . . 26

15 Parámetro de desviación ideal en el rango termodinámico esperado. . . . . . . . . . . . 27

16 Entalía h y calor específico a volumen contante cv en el rango termodinámico esperado. 30

17 Política de operación del almacenamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

18 Evolución de las temperaturas máxima y mínima en el modelo istermo. . . . . . . . . . 44

19 Presión y temperatura del aire en el modelo isotermo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

20 Requerimiento volumétrico según la ratio de presiones extremas en el modelo isotermo. 45

21 Presión y temperatura del aire en el modelo adiabático. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

22 Mallado unidimensional en progresión geométrica del modelo real-ideal. . . . . . . . . 50

23 Presión y temperatura del aire en el modelo real-ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

24 Temperatura del sólido circundante en el modelo real-ideal. . . . . . . . . . . . . . . . 53

25 Potencia calorífica para distintos Bi∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

III

26 Potencia calorífica para distintas temperaturas de inyección. . . . . . . . . . . . . . . . 57

27 Pérdidas caloríficas en función de Bi∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

28 Pérdidas caloríficas en función de la temperatura de inyeccción. . . . . . . . . . . . . . 58

29 Variación de la energía interna para distintos Bi∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

30 Variación de la energía interna para diferentes temperaturas de inyección. . . . . . . . . 59

31 Rendimiento en función de Bi∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

32 Rendimiento en función de diferentes temperaturas de inyección. . . . . . . . . . . . 60

33 Volumen requerido de almacenamiento en función de la ratio de presiones extremas. . . 62

34 Volumen requerido de almacenamiento en función de la temperatura máxima. . . . . . 62

35 Comportamiento de la temperatura frente a diferentes efusividades. . . . . . . . . . . 63

36 Comportamiento de la temperatura frente a diferentes coeficientes de película. . . . . . 64

37 Comportamiento de la temperatura frente a diferentes superficies del almacenamiento. . 64

38 Comportamiento de la temperatura frente a diferentes temperaturas de inyección. . . . 65

39 Comportamiento de la temperatura frente a diferentes períodos operacionales. . . . . . 65

40 Comparativa del modelo con datos experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

41 Esquema simplificado del almacén térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

42 Temperatura del almacén térmico, de inyección y recuperada en el modelo real-ideal. . . 75

43 Temperatura y presión en el almacénamiento con el AT acoplado. . . . . . . . . . . . 76

44 Contorno de integración “keyhole” típico para funciones con un punto de ramificación. 85

IV

Resumen

La operación cíclica de carga y descarga del almacenamiento en los sistemas CAES inducevariaciones de presión y temperatura del aire almacenado. Se requiere pues de modelosque predigan la magnitud de dichas fluctuaciones para lograr una óptima configuraciónde la planta de potencia.

El modelo se deduce directamete de las ecuaciones de conservación de la masa y de laenergía para un sistema homogéneo e isótropo. Es resuelto analítica, para ciertos casoslímite de interés, y numéricamente.

Se somete al modelo a un análisis de sensibilidad para la determinación de los parámetroscaracterísticos más influyentes que afectan a las fluctuaciones de presión y al volumen dealmacenamiento requerido.

Se observó que el flujo de calor a través del medio circundante al almacenamientopresenta una influencia sobre éste poco despreciable que debe tenerse en cuenta. Secomparan los casos para sistemas adiabáticos e isotermos para calificar dicha desviación.

Además, se esboza un modelo aproximado que describa el comportamiento del almace-namiento con un almacén térmico (AT) acoplado que regule las variaciones de la tempe-ratura del aire inyectado.

Abstract

Cyclic charge and discharge operacion in CAES systems induce pressure and temperaturafluctuations in the storaged air. It is then required a model that properly describes themagnitud of such fluctutions in order to achieve an optimumpower plant configuration.

This model is directly deduced from the general conservation principles: conservationof mass and energy, applied into homogeneous and isotropic systems. It was solvedanalytically for certain specific limiting cases of interest as well as numerically.

The model was subjected to a sensibility analysis in order to determine the intrinsicparameters that affect the pressure fluctuations as well as the required storage volumethe most.

Furthermore it was observed that the heat flux through the sourrounding media ofthe storage has a non-negligible effect that must be taken into account. Adiabatic andisothermal cases are then compared to each other to determine such a deviation.

What is more, it is given a general outline about themodel which describes the behaviourof the storage coupled with a thermal storage system (TES) that regulates the inyected airtemperature.

V

Notación

ESCALARES

Simbolo Unidad Magnitud Comentarios

dm M Diferencial de masa Expresion análoga es ρ dV

α L2T−1 Coeficiente de difusión térmica. También coeficiente adimensional.

E ML2T−2 Energía del sistema. Expresión análoga ρeV

T K Temperatura del sistema. Se mide en grados.

p ML−1T−2 Presión del sistema. También parámetro de Laplace

ρ ML−3 Densidad del sistema.

V L3 Volumen del sistema.

λ MLT−3K−1 Conductividad térmica

u L2T−2 Energía interna específica

h L2T−2 Entalpía específica

s L2T−2 Entropía específica Se utiliza S para la entropía.

R L2T−2K−1 Constante Universal de los gases. R = R/PM; PM ≡ Peso molecular

Z − Factor de compresibilidad.

TENSORIALES

Simbolo Unidad Magnitud Comentarios

ri L Radio vector En cartesianas r = (x, y, z)∂

∂xiL−1

vi LT−1 Velocidad. vi = ri, |vi| = U

ni − Vector normal exterior a f.

δik − Delta de Kronecker Si i = k, δik = 1, si no, δik = 0.

σik ML−1T−2 Tensor de tensiones

ǫik − Tensor de deformaciones

dfi L2 Elemento diferencial de superficie. El vector diferencial de superficie se

representa como d fi = nidf

VI

Notación

Subindice Correspondencia

r Magnitud reducida, i.e. dividida entre su magnitud crítica o característica.

c Magnitud crítica. También relacionado con el ciclo o con el proceso de compresión.

i Magnitud de entrada en el sistema.

e Magnitud de salida en el sistema.

f Proyección de la magnitud vectorial sobre ni

W Magnitud evaluada en la superficie.

0 Magnitud constante o inicial.

R Relativo al medio circundante al almacenamiento.

s Magnitud en régimen estacionario.

m Valor mínimo de la magnitud.

M Valor máximo de la magnitud.

Superindice Correspondencia

o Magnitud ideal; perfecta cuando se combina con el subíndice 0.

Coe f iciente Correspondencia

zik Coeficiendes de cálculo del parámetro de compresibilidad.

cp1i,cp2i

Coeficientes de cálculo del calor específico a presión constante.

CD Coeficiente de carga-descarga. Es la ratio entre caudales de inyección-descompresión.

VII




Documento 1: Memoria

Introducción 2

Capítulo 1

Introducción

§ 1.1 Objetivo y alcance del estudio

En el presente documento se estudia una de las muchas y variadas formas de almacenamiento de energía:el aire comprimido. Esta forma de almacenamiento de energía presenta un futuro prometedor si se com-bina con fuentes de energía apropiadas, tales como las energías renovables, así como con emplazamientosóptimos y rentables. Dichas características hacen del sistema CAES† un sistema atractivo que resulta ne-cesario dentro de un marco energético convulso.

Asímismo, de este documento se pretende una guía metodológica para el estudio de sistemas generaliza-dos, esto es; todo lo expuesto a lo largo del estudio sigue el esquema deductivo: partiendo de las ecuacio-nesmás generales que rigen cualquier procesomacroscópico (conservación de lamasa, conservación de lacantidad de movimiento‡, y conservación de la energía), hasta llegar a la obtención de las ecuaciones quedescriben el comportamiento del sistema.

A lo largo de este documento, se podrá conocer en profundidad los procesos termodinámicos y físicos delos sistemas a baja presión así como obtener las ecuaciones que modelan dichos sistemas, aplicándolas alestudio de sistemas CAESmediante diferentes aproximaciones en su resolución. Cada bloque se presentade una forma desacoplada, pudiéndose centrar en cualquiera de los bloques sin necesidad de comprenderel documento en su totalidad.

Se expondrá en esta primera parte una breve introducción sobre los sistemas actuales de almacenamientoenergético y su estado económico y energético tanto en el marco español como en el europeo para másadelante describir qué es CAES y en qué situación se encuentra en la actualidad∥ . También se hablará deinstalaciones existentes detallando sus características principales y determinando los rangos de operaciónde estos sistemas, concretando aspectos como parámetros característicos y operativos.

A lo largo de la segunda parte se deducirán las ecuaciones del modelo de comportamiento para este tipode sistemas. Se presentará una introducción a las ecuaciones de conservación y la consecuente derivaciónanalítica de las ecuaciones del fluido, en el interior del almacenamiento. Este bloque constituye una piezadel puzle que será encajada con la tercera parte del documento que describe el modelo de frontera delalmacenamiento a lo largo de la siguiente.

Siguiendo con la línea de estudio, se presentarán diferentes casos; los cuales serán analizados matemáti-ca y numéricamente, describiendo los procesos y restricciones de la formulación obtenida. Dichos casosserán deducidos directamente de las ecuaciones generales, resultado del acoplamiento de las secciones an-teriores a través de casos límite, los cuales tendrán sentido dentro del campo de aplicación de los sistemasCAES.

†Acrónimo que en inglés coincide con “Compressed Air Energy Storage”.‡ En este estudio la conservación de la cantidad de movimiento queda implícita al tratarse de unmodelo homogéneo en espacio.∥Este estudio también es aplicable a sistemasA-CAES (Advanced Compressed Air Energy Storage) yAA-CAES (Advanced Adia-batic Compressed Air Energy Storage).

Introducción 3

En la última de las partes que conforman el documento se esbozará la inclusión de un almacén térmico,acoplado al sistema de almacenamiento de presión. Las ecuaciones que describen su comportamientotambién serán deducidas de las leyes generales de conservación. Se estudiará de forma somera la respuestadel sistema completo acoplado.

En último lugar se detallarán las conclusiones generales que englobarán el resultado del estudio, plan-teando las restricciones del modelo tanto matemático-físico como económico. Se expondrán los rangosde aplicación que delimitarán la operación del sistema CAES tales como volumen del almacenamiento,presión máxima y mínima entre otras características.

Se anexarán al final documentos que ayuden a unamejor comprensión de algunos de los puntos descritosa lo largo del documento.

§ 1.2 Conocimientos adquiridos

Varios aspectos importantes de la ingeniería y de la física se utilizan a lo largo de este documento. Lo cual,ha permitido un completo y profundo entendimiento de los métodos resolutivos así como del funda-mento físico de los procesos que ahí se desarrollan.

En primer lugar, la correctamanipulación de las ecuaciones generales de conservación a la hora de aplicar-las al sistema del cual se quiere obtener unmodelo práctico, operativo y fiel a la realidad, ha permitido unmejor conocimiento sobre cómo y dónde pueden aplicarse y cuáles son las restricciones de cada problemaque limitan la aplicabilidad de las ecuaciones derivadas de las leyes generales.

Al mismo tiempo una completa y rigurosa deducción termodinámica de los potenciales que describenla física interna de los componentes de trabajo ha provisto una vasta experiencia en el tratamiento y des-cripción termodinámicos de cualquier sistema.

En segundo lugar la deducción modular de modelos que describan los distintos componentes para suposterior ensamblaje supone el desarrollo de una mejor concepción global previa del problema para sec-cionarlo y optimizarlo en sencillos módulos.

El estudio y aplicación de los métodos numéricos en la resolución del problema, así como la obtenciónde su error, ha desencadenado, aunque posiblemente no se refleje en el presente documento, un estudiosobre su estabilidad, aplicabilidad y programabilidad así como una mayor facilidad en el manejo de pro-gramas de cálculo comoMatlab®.

La resolución del problema analíticamente, ha conferido habilidades resolutivas para la búsqueda de lasolución y presentación de ésta, de forma óptima. De un modo análogo, la interpretación de los resulta-dos obtenidos numéricamente y su comparación con los analíticos hamejorado capacidades y habilidadesrelacionadas con el ámbito crítico ingenieríl.

Por último cabemencionar la exhaustiva y completa selección bibliográfica que ha permitido el desarrollode este documento y que aporta un vasto conocimiento adicional al presentado a lo largo de éste.

Introducción 4

§ 1.3 Los almacenamientos de energía en el marco energético

El interés por los almacenamientos de energía está actualmente aumentando de forma exponencial y sehan convertido recientemente en una atractiva opción para nivelar y estabilizar la curva de carga del siste-ma, especialmente tras la incursión de las estocásticas† energías renovables, así como el almacenamientode energía suministrada por centrales de potencia que no es aprovechada durante el ciclo diario.

Según [4] y su descripción del escenarioBLUE para el suministro de potencia, el uso creciente de energíaprocedente de fuentes renovables puede jugar un papel muy importante en la reducción dramática de lasemisiones de CO2 derivadas de la producción eléctrica. Según [6] en 2050 se cubrirá entre el 27 % y el44 % de la energía primaria europea con fuentes renovables; y en España, después de cumplir una con-tribución ligeramente inferior al objetivo del 12 % de la energía primaria en España cubierta por fuentesrenovables en el Plan de Energías Renovables (PER 2005-2010), se fijará para 2020 un nuevo objetivo del20 %del consumo final bruto cubierto por dichas fuentes en el nuevo plan 20-20-20 (PER 2011-2020) [5].Estas medidas aseguran implícitamente la existencia y el desarrollo de los almacenamientos de energía.

La energía solar (4.672MW o 4,3 % de la potencia instalada, en solar fotovoltaica y 2.300MW o 2,2 % dela potencia instalada, en solar térmica a 31 de diciembre de 2014) y la energía eólica (23.002MW o 22,3 %de la potencia instalada a 31 de diciembre de 2014) [2] son fuentes muy prometedoras que irán desarro-llándose y afianzándose en el mercado durante los próximos años, alentadas por el temor a la inexistenciade suficientes recursos fósiles, que se considera muy próxima.

Dichas energías se recogen bajo la denominación de “no fiables”, es decir, dentro del sistema eléctricose ha de asegurar el cumplimiento del principio de cobertura de demanda y el criterio de minimizaciónde costes. El primero establece que toda demanda ha de quedar satisfecha mientras que el segundo im-plica la participación de un número suficiente de centros generadores que atiendan a la demanda y sudistribución horaria óptima para reducir la relaciónmáximo-mínimo de dicha curva [12]. Este factor estáíntimamente ligado a los costes del sistema y por ello las fuentes de energía que se han de fomentar sonaquellas capaces de modular la curva de carga a placer del operador del sistema.

Curva ideal de carga

Figura 1: Curva de carga del sistema eléctrico español. FUENTE: REE

La componente estocástica de las energías de origen renovable presenta un serio problema para la esta-

†Esta aleatoriedad presenta diferentes grados dentro de del grupo de fuentes renovables de energía siendo la hidráulica la fuentemas estabilizada en cuanto a predicción de reserva y solar y eólica las menos predecibles dentro de dicho grupo.

Introducción 5

bilidad de la red eléctrica del sistema. A lo largo de la curva de carga presentada en la figura (1) se ha decumplir estríctamente que la potencia suministrada a la red iguale a la demandada por ésta. De esta ma-nera una demanda desmesurada o una oferta insuficiente no pueden tener cabida en el sistema ya queprovocaría una serie de inestabilidades en la red, tales como la disminución o el aumento de la frecuenciarespectivamente y en cualquier caso pudiendo terminar en blackout.

Para ilustrar ésta última restricción, supóngase la situación de unmás que óptimo factor de carga† del to-tal de la potencia instalada correspondiente a la energía eólica entre las 2 y 3 horas de la madrugada del díaescogido en la figura (1). El vertido de potencia provocaría serias inestabilidades en la red de distribucióncon las consecuentes paradas de emergencia de plantas de potencia perdiendo así “potencia disponible nodemandada”. Dicho superávit podría haberse invertido en la recarga de plantas de potencia orientadas alalmacenamiento de energía. Es por ello por lo que resulta conveniente y satisfactoria la introducción desistemas de almacenamiento flexibles de alto nivel de disponibilidad y reversibles‡ que acoplados a siste-mas de potencia de origen renovable provean una fuente o sumidero de potencia estable y modulable.

Dos de los actuales sistemas de amacenamiento que cumplen satisfactoriamente las mencionadas caracte-rísticas son: sistemas de bombeo hidráulico, y sistemas de aire comprimido. Los sistemas de aire compri-mido, objeto de estudio de este trabajo, se detallarán en profundidad a lo largo de las siguientes secciones.

En la figura (2) se presenta una ilustración comparativa donde semuestran cómo se comportan diferentesalmacenamientos de energía según la potencia extraída y energía acumulada. Es notorio el liderazgo delos sistemas anteriormente mencionados (arriba a la derecha del gráfico).

Almacenamiento magnético en superconductor

Volantes de inercia( baja velocidad )

POT

EN

CIA

ENERGÍA ALMACENADA [MWh]

1 GW

0,001 0,01 10,1 10 100 1000 10000010000

100 MW

10 MW

1 MW

100 kW

10 kW

1 kW

Supercondensadores

Baterías electroquímicas

CAES( pequeño )

Baterías de !ujo

Bombeo hidráulico

CAES ( grande )

Figura 2: Almacenamientos de energía según su potencia y energía [6].

Según la figura (2) son diversos los almacenamientos energéticos que en la actualidad aseguran [6]:

1. Almacenamiento estacional: La habilidad de almacenar energía durante días, semanas omeses paraasí compensar una interrupción o variabilidad estacional en la producción eléctrica.

2. Arbitraje: Almacenar energía durante periodos de baja demanda y consecuente bajo precio tarifa-rio para la posterior venta durante las zonas de mayor demanda y consecuente alto precio.

†Se define factor de carga como la relación entre la energía producida en un periodo de tiempo y la energía máxima producibleen dicho periodo.‡Se alude a la reversibilidad motor-generador de la planta de potencia.

Introducción 6

3. Regulación de frecuencia: Manutención de la cambiante correspondencia de potencias ofertada ydemandada por medio del consumo o vertido de potencia a la red.

4. Seguimiento de carga: Capacidad de moduación de potencia suministrada en un rango de entre 15minutos y 24 horas.

5. Nivelación de voltaje: Inyección o absorción de potencia reactiva para mantener el correcto nivelde voltage en los nodos de la red eléctrica.

6. Black Start: En la inusual situación en la que el sistema de potencia colapsa y los sistemas secun-darios de restauración fallan permite la capacidad de proveer recursos para restaurar la red.

7. Desplazamientode carga:Consumodepotencia para aplanar la curva de carga del sistema eléctrico.

8. Reserva rodante: Dado que el periodo de respuesta desde disponible en caso de pérdidas inespe-radas en centros de generación no supera los 15 minutos se incluyen dentro de este grupo. Lostiempos de respuesta menores que dicho umbral son valiosos para la seguridad del sistema.

De ellos, actúan sólo en un intervalo de unos pocos segundos o menos, los volantes de inercia, el alma-cenamiento en campo magnético o los supercondensadores y en un intervalo más dilatado las bateríaselectroquímicas, dado su corto tiempo de descarga; mientras que las baterias de flujo, el almacenamientohidráulico o los sistemas de aire comprimido, con un tiempo de descarga mucho mayor, están capacita-das para hacerlo en un rango de desde las pocas horas hasta días. Bien es cierto que la eficiencia entre losdistintos almacenamientos no es constante pero su tiempo de vida y su límite de número de ciclos decarga-descarga también son un importante factor a tener en cuenta.

Aunque el almacenamiento de energía mediante bombeo hidráulico es un conocido y bastante extendi-do método actualmente, está sujeto a restricciones de tipo geográfico y ambientales que hacen difícil eldesarrollo de esta tecnología. Sin embargo un método prometedor de almacenamiento de energía y unaalternativa al bombeo hidráulico fiable, viable y con bajo impactomedioambiental se presenta como airea presión bajo el acrónimo CAES.

Supercondensador

Almacenamiento magnético

A-CAES

Baterias de �ujoVolantes de inercia

( baja velocidad )

Bombeo hidráulico

CAES

Req

uisi

to d

e ca

pita

l x r

iesg

o

I+D Proyecto Comercialización

Figura 3: Nivel de maduración de las tecnologías de almacenamiento cinético, potencial o químico [6].

En la figura (3) se puede apreciar el escaso desarrollo y gran desconocimiento de las tecnologías de alma-cenamiento de energía en la actualidad así como el almacenaiento hidroeléctrico como principal y únicatecnología de almacenamiento seguida muy de cerca por el aire comprimido.

Introducción 7

§ 1.4 Antecedentes

El almacenamiento de energía elástica es una técnica que viene siendo utilizada desde los tiempos de laprehistória, especialmente en la construcción de armas; en aquel período de caza. El aire es unmedio elás-tico que almacena energía potencial cuando es comprimido y la libera cuando es expandido. El uso deuna turbina para su expansión controlada destinada a la producción de potencia motivó al estudio sobreesta tecnologá de aire comprimido. La primera patente para un sistema de almacenamiento subterráneoen una caverna mediante aire comprimido perteneció a Stal Laval en 1949 [24].

La tendencia exponencial en la investigación y en el consecuente número de artículos relacionados conlos almacenamientos energéticos, y en particular con los sistemas CAES sigue en auge. En revistas cien-tíficas especializadas en temas energéticos tales como International Journal of Heat ad Mass Transfer oRenewable and Sustainable Energy Reviews resulta bastante frecuente la aparición de nuevos artículos re-lacionados con la temática. Para ilustrar este hecho a continuación se expone un gráfico que resume demanera visual el número de artículos según la plataforma ScienceDirect

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 20140

50

100

150

200

250

300

350

Año de publicación

Núm

ero

de p

ubli

caci

ones

Figura 4: Evolución exponencial del número de artículos con palabra clave CAES. FUENTE:ScienceDirect

Aunque se han realizado numerosos estudios sobre esta tecnología, muy pocos consideran modelizar latemperatura y presión del almacenamiento. Langham [17] fue el primero en obtener un modelo para elcomportamiento de la presión y temperatura dentro y fuera de un almacenamiento cilíndrico horizontalen roca dura porosa sujeto a un ciclo diario. Los resultados reflejaron una influencia poco despreciable delas propiedades de la roca en las temperaturas máximas del almacenamiento así como del radio de éste ensu pérdida de presión y correspondiente disminución de temperatura. En los últimos años modelos ma-temáticos [14, 20] basados en el estudio del gas ideal y gas real en los sistemas CAES han sido publicados;estableciéndolos como una referencia para futuros estudios.

Uno de los primeros proyectos quemotivó el estudiomás profundo de a tecnología del aire comprimidofue el de la primera planta de potencia CAES en el noroeste de Alemania cerca de Hamburgo: Huntorf.Los estudios basados en la modificación del ciclo de Brayton† incorporando un almacenamiento de aire

†El ciclo de Brayton es el cilo termodinámico que describen la mayoria de las centrales termoeléctricas cuyo funcionamientose basa en la ignición de mezcla de aire presurizado y combustible para la consecuente obtención de potencia en una turbina

http://www.journals.elsevier.com/international-journal-of-heat-and-mass-transfer/

http://www.journals.elsevier.com/renewable-and-sustainable-energy-reviews/

http://www.sciencedirect.com/

http://www.sciencedirect.com/

Introducción 8

comprimido revolucionó su esquema termodinámico. Dichos análisis fueron llevados a cabo por Quasty Crotogino [19] deduciendo un modelo matemático, calibrándolo con las mediciones llevadas a cabodurante la primera prueba de la central y publicando únicamente sus resultados.

En la figura (5) se presenta un esquema T-S representativo del ciclo de Brayton que sigue una centraltermoeléctrica de gas con dos etapas de compresión y dos etapas de turbina.

Este ciclo representado de forma cualitativa, suele ser representativo de una central de este tipo, pero noquiere decir que no existan modificaciones a dicho ciclo con otros parámetros y límites.

1

2

2’

5

3

3’

5’

TBP

CBPCAP

T

S

TAP

50 °C

135 °C

1200 °C4

4’

5’’

5’‘’

3’’ CRC

CCAP

CCBP

Figura 5: Ciclo de Brayton para una central termoeléctrica con tecnología CAES.

El ciclo [12] comienza cuando el aire filtrado se incorpora y aguarda para ser comprimido [punto 1]. Elprimer compresor de baja presión del tren (CBP) que utiliza una fracción de la potencia mecánica de laturbina eleva la presión [punto 2] (dicha presión suele ser la media geométrica entre la presión de baja yla de alta). Durante el proceso de compresión el aire atraviesa diversos interenfriadores, donde reduce sutemperatura [punto 2’]. Nuevamente el segundo compresor de alta presión del tren (CAP) aumenta lapresión [punto 3] ( presión de referencia de entre 40 bar y 70 bar en este tipo de almacenamientos). Estetipo de compresión con interenfriamiento en etapas favorece la disminución del trabajo de compresiónal volverse un proceso “más isotermo”.

Si existe una caldera de recuperación de calor (CRC), la cual aprovecha los gases exhaustos de salida de laturbina del cuerpo de baja [punto 5’], se eleva la temperatura del fluido para mezclarlo con combustible[punto 3”] resultando una mezcla pobre con un dosado relativo Fr inferior a la unidad †. En una cámarade combustión (CC) a presión constante se quema la mezcla para así elevar su temperatura.

En la entrada del cuerpo de alta presión de la turbina de gas (TAP) [punto 4] (temperatura de referen-cia 1200 ° C) se aprovecha el sálto entálpico a lo largo de un proceso moderadamente isentrópico hastala segunda cámara de combustión [punto 4’], donde se recalientan los gases de combustión queman-do más combustible que es añadido a la existente mezcla. En la entrada del cuerpo de baja presión de la

de gas. En el caso más general, dicho ciclo opera entre dos isóbaras y dos isotermas. Estas delimitaciones son deducidas de lascondiciones ambientales, así como los límites de los materiales que en el diseño de los componentes del ciclo se utilizan.†El dosado F se define como la relación de caudal de combustible mF y caudal de aire mc y el dosado relativo Fr como la relaciónentre el dosado de la mezcla y el de una mezcla estequiométrica.

Introducción 9

turbina de gas (TBP) [punto 5] (presión de referencia de un cuarto de la presión de alta) se vuelve a apro-vechar el salto entálpico, esta vez en un proceso con un menor rendimiento. Esta expansión del fluidocon recalentamiento en etapas, conlleva un aumento de la temperatura media del ciclo, incrementandosu rendimiento.

Los gases exhaustos, resultado de la salida de la turbina de gas del cuerpo de baja presión [punto 5’]poseen la suficiente temperatura para precalentar el aire [punto 3] para la posterior entrada a la cámarade combustión, y emitirse de nuevo a la atmósfera por encima de su temperatura de rocío† [punto 5”](temperatura de referencia 135 ° C).

CAPCBP

ATBPInterenfriadores

Postenfriador

CC AP

CC BP

AA-CAESCAES

Almacenamiento de aire a presión

CRCVentilador

Filtro

Subsuelo

Chimenea

Torre de Refrigeración

Motor / Generador

Junta Junta

TBPTAP

ρ T p

ATBP

1

2’

4

3’’

3

3’

4’ 5

5’

5’’

2

Figura 6: Esquema representativo de una planta termoeléctrica con tecnología CAES/AA-CAES.

†La temperatura de punto de rocío es aquella a una presión dada a la cual, el vapor de agua procedente de los gases de combustióncondensa, favoreciendo los procesos de corrosión y problemas asociados. Temperatura de referencia de rocío 40 °C.

Introducción 10

§ 1.5 Introducción al proyecto CAES

CAES es, como con anterioridad se ha apuntado, una de las pocas tecnologías a parte de los sistemas debombeo hidráulico capaces de proveer potencias significantemente grandes (50-300 MW con una sólaunidad) durante tiempos relativamente prolongados (1-24 h). Asímismo es una tecnología barata (400e/kWhe [3]) presenta una alta capacidad de retención llegando en algunos casos hasta más de un año;muchomayor que cualquiera de los demás almacenamientos, exceptuando el hidráulico debido a sus ín-fimas pérdidas y posee una relativamente alta densidad energética( 30-60 kWh/kg) [11].

En la figura (6) se expone un sencillo esquema de lo que representa una planta de potencia termoeléctricacon turbina de gas y almacenamiento de energía en forma de aire comprimido representándose tres tiposde ciclos: ciclo con tecnología CAES, ciclo con tecnología AA-CAES y ciclo con tecnología A-CAES. Elúltimo es una combinación de los dos primeros.

Es importante notar que este tipo de planta de potencia presenta los ciclos de compresión y expansiónde forma desacoplada (a ambos lados del generador se representan con juntas a los puntos de desacopla-miento) al contrario del resto de plantas de potencia que operan con una turbina de gas†. Aunque dichodiagrama se corresponde con una planta de potencia no hay que olvidar que esta descripción es propiade los almacenamientos de energía donde se requiere un funcionamiento desacoplado de ambas partescomo se comentó a lo largo de la sección §1.3.

Todas estas tecnologías están basadas en el mismo principio: el aire presurizado; aunque poseen diferen-tes formas de aprovechamiento y utilización de la energía a lo largo de su ciclo; esto es, durante las etapasde cesión e incorporación de calor.

A continuación se explicará brevemente el funcionamiento de estos tres tipos de ciclos termodinámica-mente descritos en las figuras (5), (7a) y (7b)

1

2

2’

4

3’’

3

3’

4’

5

5’

5’’

TBP

CBP

CRC

ATBP

ATAP

CCAP

CCBP

CAP

T

S

TAP

50 °C

300 °C

1200 °C

(a) Con tecnología A-CAES.

1

2

2’

54

3

3’ 5’

TBP

CBPATAP

ATBP

CAP

T

S

TAP

50 °C

300°C

4’

(b) Con tecnología AA-CAES [18].

Figura 7: Ciclo de Brayton para una central termoeléctrica.

Ciclo con tecnología CAES:

†Se ha comentado con anterioridad en la sección §1.4 que en la etapa de compresión en una turbina de gas se consume parte dela energía entregada por la turbina en la etapa de expansión. Porcentaje de referencia correspondiente a la energía utilizada en laetapa de compresión de la potencia entregada en la etapa de expansión en turbina 60%.

Introducción 11

Este ciclo, también llamado diabático, es el utilizado actualmente en las plantas de potencia queposeen el almacén de aire comprimido. La energía aprovechable del ciclo se desecha, a excepción dela utilización de los gases exhaustos de combustión en la caldera de recuperación de calor (CRC)permitiendo un ahorro de aproximadamente el 25 % en combustible [3]. Lo que le confiere unrendimiento de planta de entre el 27 %, y el 40% en casos excepcionales [22].

La llegada de la tecnología del almacenamiento del aire comprimido modificó el ciclo descrito enla sección §1.4 al expuesto en la figura (5) y descrito conceptualmente en la figura (6) ofreciendola posibilidad de almacenamiento del aire comprimido a la salida del compresor del cuerpo dealta presión [punto 3]. El fluido presurizado a la presión de alta, se encuentra a una moderadatemperatura; y por tanto no es adecuado para su almacenamiento†. Es por ello por lo que se reducesu temperatura en un postenfriador para entrar al almacenamiento [punto 3’]. Como resultadoconlleva una disminución de la temperatura de salida de los gases exhaustos a la atmósfera [punto5”’] al precalentar el aire salido del almacenamiento [punto 3’].

Ciclo con tecnología AA-CAES:

Este ciclo adiabático, en cambio es elmenos desarrollado y sólo se tiene una idea conceptual teóricaasí como patentes registradas [18]. Al contrario que el descrito anteriormente puede ofrecer ren-dimientos de planta de hasta el 70% en casos excepcionales [6] siendo un rendimiento apropiadode 65 % [3].

El ciclo termodinámico de esta tecnología puede seguirse en la figura (7b) así como de forma con-ceptual en la figura (6). Básicamente sigue la misma corriente que el ciclo tradicional a excepciónde la inclusión de un nuevo elemento: el almacén térmico (AT). Dicho almacén térmico permiteel aprovechamiento del calor indeseado desprendido en la etapa del tren de compresión de bajapresión [puntos 2-2’] y de alta presión [puntos 3-3’] y que era disipado por los interenfriadores ypostenfriadores. Se elimina así el aporte de combustible al ciclo resultando en una menor tempe-ratura media de aportación de calor pero un mayor rendimiento‡.

Asimismo el rendimiento de este ciclo, según la configuración propuesta, presenta una fuerte de-pendencia en el rendimiento de los almacenes térmicos [27].

En la figura (7b) se aprecia la supresión de la caldera de recuperación de calor [puntos 3-3’] así comoque los puntos de inicio del ciclo [punto 1] y final de éste [punto 5’] se encuentran en parecidosvalores entrópicos. Del primer punto se desprende el innecesario aprovechamiento de la energíaadicional aportada al ciclo (energía química del combustible) siendo la única energía aprovechada

†Los efectos de la plasticidad y el fenómeno de fluencia en las inmediaciones de la superficie del almacenamiento suelenmostrarsede forma más acusada conforme se incrementa la temperatura del aire presurizado.‡El rendimiento grosso modo se define como la ratio entre la energía útil obtenida (expansión) y la energía empleada (compresióny/o combustión) y básicamente para el ciclo ideal de Carnot ηc depende de las temperaturas máxima y mínima del ciclo siendoéste mayor cuanto más extremas sean éstas. ηc = 1 − Tmax/Tmin.En un ciclo real con aporte de calor externo se invierte una energía QC en el proceso de compresión y una adicional QF

resultado del proceso de combustión para la obtención de una energía QT en el proceso de expansión. Al aprovechar parte de laenergía de compresión en detrimento de ese ”coste” energético adicional para obtener una energíaQ′

T en la etapa de compresiónse incrementa por tanto el rendimiento del ciclo.

η =QT

QF + QC−→ η′ =

Q′T

Qc

η′

η=

Q′T

QT

(

1 +QF

QC

)

Suponiendo QF/QC = 1, 94 y Q′T/QT = 0, 37 (Anexo A) se obtiene una relación de rendimientos de ciclo η′/η = 1, 09

Introducción 12

la resultante del proceso de compresión por el almacén térmico.Del segundo se deduce el resultadode un ciclo isentrópico†.

También notar que los valores de temperaturamáxima [puntos 4 y 5] descienden, al no habermásaportación de calor que el proceso de compresión (temperatura de referencia 300 ° C) así como lapresión del tren de expansión del cuerpo de baja presión de la turbina de gas, la cual se encuentrapor encima de la presión del almacén térmico de baja presión (presión de referencia un tercio de lapresión de alta).

En esta tecnología se introduce un nuevo componente: el almacén térmico, el cual ya ha sido nom-brado con anterioridad.Dichos almacenes térmicos no sonmás que intercambiadores de calor queaprovechanmecanismos de transmisión de calor‡ para así absorber o ceder calor según el ciclo lo re-quiera. En virtud de las temperaturas previstas para este tipo de ciclo, unmedio fluido apropiado yapto para las presiónes límite de operación de dicho almacén térmico y poseedor de unas excelentespropiedades térmicas cuando experimenta un cambio de fase es el agua.

Además puede aumentarse aúnmás la eficiencia del ciclomediante lo que se denominan recupera-ciones, en las cuales el aire saliente del almacén térmico de alta presión [punto 4] es mezclado conaire proveniente de la última etapa de compresión [punto 3] como se indica en el esquema de lafigura (6)

Ciclo on tecnología A-CAES:

Este ciclo, aún en proceso de I+D [6] aparece en el marco energético actual como una nueva mo-dificación muy prometedora de producción de potencia. Este ciclo nace a medio camino entre lastecnologías CAES y AA-CAES, el cual posee un rendimiento de planta resultado de la combina-ción de ambos∥. Suele estar por tanto entre valores del 30% y 60%.

Este ciclo, representado en la figure (7a), utiliza además de las cámaras de combustión de las centra-les térmicas convencionales, los almacenes térmicos nombrados en la tecnología AA-CAES. Segúnel rango de temperaturas previsto de operación del almacén térmico un medios apropiados seríanaquellos dotados de una gran capacidad calorífica para ceder o absorber calor sensible con unamásomenos estabilizada temperatura de éste. Son característicos fluidos como aceites de alta tampera-tura o sales cuyo punto de fusión esté por debajo o cercano a las condiciones de operación [24].

Dada la alta temperatura de salida de los gases exhaustos tras la caldera de recuperación de calor[punto 5”] (temperatura de referencia 300 °˜C), la enlapía de estos gases puede ser aprovechada enun ciclo de Rankine acoplado al ciclo de gas [3].

En cuanto al emplazamiento de estas plantas de potencia, éste depende fuertemente de la geología delterreno y no tanto de su orografía. Ésto le confiere una amplia versatilidad frente al almacenamiento hi-dráulico, ya que éste sí que es fuertemente dependiente de la orografía del terreno y por tanto su empla-zamiento resulta más restringido. En términos generales, las formaciones geológicas buscadas coincidencon cavidades cerradas o estructuras de tipo anticlinal§ que, para en ambos casos, evitar las posibles fugas

†Ha de quedar meridianamente claro que un ciclo isentrópico puede, o no, integrar procesos isentrópicos siendo la única condi-ción necesaria y suficiente z

dS = 0 (1.1)

‡Dichos mecanismos se clasifican en transferencia de calor sensible, basado en la capacidad calorífica del medio, o bien, transfe-rencia de calor latente asociado a un cambio de estado.∥El rendimiento global resulta como el óptimo de la combinación y no la suma del óptimo de cada ciclo.§Imagínese estratos formando planos coincidentes en una recta paralela al terreno superficial cuyas superficies se introducen conuna moderada inclinación en el terreno.

Introducción 13

de aire y cuyo origen puede ser natural o artificial. También es importante detacar que dichas formacionesdeben situarse a una profundidad tal que se soporten los esfuerzos producidos a causa de las presiones deoperación.

En general los almacenamientos apropiados para los sistemas de aire comprimido pueden ser clasificadosen cuatro categorías: salinos, en roca porosa, en roca dura y en superficie.

Los almacenamientos salinos, figura (10a), suelen ser la opción preferida para este tipo de aplicación don-de se requiera un almacén estanco†, con características pobres en cuanto a transmisión de calor, con unrápido tiempo de respuesta a la hora de la solicitud de potencia y de fácil y económica construcción (1e/kWh según [3]) ya que se utilizan métodos de lixiviación‡ obteniéndose salmuera como subproductoo bien mediante excavación (con un coste 10 veces mayor para la misma capacidad energética).

0m 20m600m

650m

20m 0m 20m20m

700m

750m

2001

1984

Figura 8: Variación de contorno de las cavernas NK1 y NK2 de la planta CAES de Huntorf.

En la figura (8) puede apreciarse a escasa variación que han sufrido ambos almacenamientos salinos quecomponen la planta de potencia CAES en Huntorf en 17 años de operación, justificando así el emplaza-miento de este tipo de almacenamientos en medios salinos.

†La sal, medio elástico-plástico, posee excelentes características frente a esfuerzos cíclicos actuando como material sellador antefracturación del material manteniendo una más que satisfactoria impermeabilidad.‡Consistentes en la disolución del material para su extracción.

Introducción 14

Los depósitos salinos priman en el continente europeo y aún son más sobresalientes en España.Po

rtug

al

Francia

Murcia

Jumilla

Torrelavega

Zaragoza

BarcelonaOcéano

Atlántico

MarMediterráneo

Mar Cantábrico

Cádiz

(Modi!cado de SMRI)

Sales de Monzón

Madrid

Depositos de sal terciarios Depositos de sal triásicos

Producción de salmuera Domos salinos

Lisboa

España

(a) Depósitos salinos en España [13]. (b) Mapa geológico Español. FUENTE: IGME

Figura 9: Información geológica de España para los sistemas de almacenamiento de aire comprimido.

En la figura (9a) pueden situarse las zonasmás probables de existencia de depósitos salinos†. Dichos depó-sitos salinos son típicos de formaciones de las erasMesozoica y Cenozóica oTerciaria.Más concretamenteéstos depósitos son se encuentran con una alta probabilidad en los estratos de los períodos Paleógeno (enel tránsito entre el Eoceno y el Oligoceno) y Triásico recogidos con mayor exactitud en la figura (9b).

Los almacenamientos en roca porosa, figure (10b), son típicos de aprovechamientos de formaciones natu-rales como acuíferos o yacimientos de gas o petróleo agotados propios de la eraMesozóica (eras Cretácica,Jurásica yTriásica) en la figura (9b), situados en arenisca, caliza omateriales porosos que no sean química-mente reactivos con los componentes del aire, rodeadas de roca impermeable para evitar fugas indeseadas.La zona de almacenamiento debe ser lo suficientemente porosa como para la tenencia de un volumen dealmacenamiento aceptable acorde con la presión de operación así como la suficiente permeabilidad parapermitir los ritmos de flujo de aire a su través‡.Este tipo de almacenamientos ostenta la mejor relación capital-energía almacenable en cuanto a desarro-llo se refiere (0,10 e/kWh según [3]).

Los almacenamientos en roca dura, figura (10c), característicos en las rocas ígneas ymetamórficas; aunqueuna opción viable, el coste de su desarrollo supone un gran impedimento en la mayoría de las ocasionespara su desarrollo (30 e/kWh según [3]) aunque si bien cumplen los requisitos para un almacenamientode estas características, las minas abandonadas pueden ser aprovechadas (Mina de Norton enOhio, Esta-dos Unidos) (con un coste dos tercios menor para la misma capacidad energética).

†El espesor de estas formaciones oscila entre las varias decenas hasta centenas de metros.‡Al contrario de los depósitos enmedio salino, la salida y entrada del aire en el almacenamiento, es decir el flujo a través de la rocadel almacenamiento está sujeta a condiciones de porosidad que obedecen la Ley de Fick ji = −dik∂c/∂xk donde ji es el flujode la especie que se difunde dik coincide con el tensor de difusión anisótropo en el casomás general dependiente de la posoridaddel medio y c la concentración de la especie que se difunde

http://www.igme.es/

Introducción 15

En último lugar, los almacenamientos en superficie resultan atractivos en cuanto a la independencia yversatilidad de esta tecnología. Existen proyectos actualmente en fase de prueba como Hydrostor. Con-sistente en almacenes elásticos situados bajo el agua a una profundidad tal que soporte las presiones deoperación.

Conducto deInyeccióneyección

Caverna

Domo salino

Sal

Super!cie

(a) Domo salino.

Super�cie

Acuífero

Capa de roca impermeable

Aire comprimido

Capa porosa y permeable

Conductos de

Inyeccióneyección

(b) Acuífero.

Conducto deInyeccióneyección

Caverna

Roca dura

Super!cie

(c) Roca dura.

Figura 10: Distintos entornos para los almacenamientos.

A continuación, recogidos en la tabla (1), se encuentran las propiedades de transmisión de calor [21] de-finitorias de los distintos medios rocosos más comunes en los emplazamientos de los almacenamientos.

ρ × 103 λ cp × 103

[kg m−3] [W m−1 K−1] [J kg−1 K−1]

Roca ρ Rango n λ Rango n cp Rango n

ÍGNEASGranito 2,64 2,50-2,80 – 3,05 1,25-4,45 356 0,96 0,67-1,55 102Gabro – 2,80-3,10 – 2,63 1,62-4,05 71 1,01 0,88-1,13 9

– 2,80-3,10 – 2,57 1,98-3,58 64 – – –Basalto – 2,40-3,20 – 1,94 1,40-5,33 64 0,88 0,88-0,89 3

– 2,40-3,20 – 1,69 1,12-2,38 72

SEDIMENTARIASDolomía 2,30 2,40-2,85 – 3,62 1,60-5,50 29 1,00 0,84-1,55 21

2,30 2,40-2,85 – 4,68 3,43-5,73 8 – – –Arcilla 1,70 1,20-2,20 – 1,53 0,60-2,60 – 0,85 0,84-1 24Arenisca 2,24 2,00-2,70 – 2,47 0,90-6,50 1262 1,64 0,75-3,33 41

2,24 2,00-2,70 – 3,72 1,88-4,98 11 – – –Caliza 2,11 2,30-2,70 – 2,29 0,62-4,40 487 0,93 0,82-1,72 38

2,11 2,30-2,70 – 3,44 1,30-6,26 445 – – –Yeso 2,30 2,25-2,35 – – 1,00-1,30 – 1,07 – –Sal 2,16 2,04-2,166 – 5,55 5,3-7,2 – – 0,79-0,84 –

METAMÓRFICASGneis⊥ 2,80 – – 1,74 1,2-2,6 55 0,75 0,46-0,92 55Gneis ‖ 2,80 – – 2,12 1,2-3,1 55 – – –

MINERALESAnhidrita 2,97 – – – 4,76-5,4 – – 0,52-0,62 –Calcita 2,71 – – – 3,25-3,90 – – 0,79-0,83 –Halita 2,16 – – 5,55 5,3-7,2 – – 0,79-0,84 –

Tabla 1: Propiedades de transmisión de calor de las rocas. (n≡número de muestras, Φ ≡ valor medio de lapropiedad Φ).

http://www.hydrostor.ca/home/

Introducción 16

§ 1.6 CAES en Europa: Huntorf

La planta CAES de Huntorf, la primera de su clase en el mundo, en 1978 cerca de Bremen, Alemania.La planta de 290MW fue diseñada y construida por ABB (anteriormente BBC) para proveer serviciosde recuperación ante Blackouts a las unidades nucleares cerca del Mar del Norte y suministrar potenciade pico de bajo coste. Ha operado con éxito durante más de tres décadas siguiendo la curva de deman-da y proveyendo potencia durante los períodos en los que centrales conmayor inercia térmica no podían†

Dado que la planta se diseñó para la cobertura de los picos de demanda fue inicialmente diseñada conuna capacidad de dos horas a potencia nominal de la planta. Esta capacidad ha sido modificada, incre-mentándola hasta las tres horas [9].

La parte subterránea de la planta consiste en dos cavernas salinas tal y como se muestra en la figure (11b),con un volumen total de 300.000 m3 formadas mediante el proceso de lixiviación. Cada caverna formaun cilindro vertical de aproximadamente 40 m de diámetro y 150 m de longitud. Dado que es requeridoun espesor de almenos 100mde sal por encima de las cavernas y la capamás superficial del depósito salinose situaba a una cota de 500 m por debajo de la superficie terrestre, éstas se sitúan entre los 650 m y los800 m bajo la superficie terrestre.

0 3 6 9 12 15 18 21 24 h

45

50

55

60

1700

bar

2000

2500

3000

MW

generaciónde potencia

presión de la caverna

compresión aire

expansión aire

(a) Repercusión de la planta en la curva dedemanda.

700

800

650

750

0 m

(b) Representación a escala de las cavernas NK1 yNK2.

Figura 11: Características de la planta de Huntorf [9].

Dichas cavernas operan a presión deslizante como se puede observar en la figura (11a), es decir a una pre-sión de entre 46 y 66 bar‡ y su operación prohíbe un descenso de presión por encima de los 10 bar/hdurante una operación de turbina de dos horas. Por tanto el la máxima variabilidad de la presión se acotaen 20 bar. El período de recarga dura aproximadamente 8 h. De ésto se deduce que los compresores estánúnicamente diseñados para tratar un cuarto del caudar requerido por la turbina. Después de su comple-titud la máxima presión admisible en el almacenamiento es de 72 bar∥ .

†El “mix” energético en Alemania presenta aproximadamente un 70% de plantas de potencia de limitada capacidad de modu-lación dentro del grupo de centrales térmicas que operan en dicho país.‡Otro tipo de operación es aquel en el que se opera a presión constante gracias al control de una columna de agua, lo que confieregran ventaja ya que la presión de entrada a turbina es independiente del grado de carga de la caverna.∥Estos parámetros fueron optimizados para unmínimo coste de la planta y unamáxima diferencia entre los trabajos de expansióny compresión así como un mínimo consumo de gas.

Introducción 17

Durante el período de accionamiento de la planta, el aire comprimido entra en la cámara de combus-tión de alta presión mezclándose con gas natural iniciando el proceso de combustión a una presión de42 bar. Los gases de combustión resultantes fluyen en la sección de alta presión de la turbina de gas que,vuelven quemarse con gas natural en la cámara de combustión de baja presión a una presión de 11 bar,recalentándose para atravesar, esta vez, el cuerpo de baja presión de la turbina de gas. Los gases exhaustosde cobustión pasan por un silenciador y se incorporan a la atmósfera mediante una chimenea.

Con respecto a la turbina de gas, la presión de entrada se encuentra considerablemente por encima dela de una turbina de gas convencional; la cual trabaja a una presión de aproximadamente 11 bar.Dichoreto planteó un grae problama al no encontrarse ninguna tecnología probada para dichos requerimien-tos. Resultó del escrutinio de las características de operación y económicas de la planta así como de lacomparativa con otras tecnologías que, un diseño de la turina según el principio de funcionamiento deuna turbina de vapor trabajando a dichas análogas presiones era óptimo. De ésta decisión se desprende latemperatura de entrada al tren de alta presión de la turbina de gas de 550 ° C en vez de los usuales 825 ° Crequeridos en la entrada a la sección de baja presión de la turbina de gas.

La planta utiliza dos compresores, dispuestos en serie y, situándose en la unión mecánica entre ellos unacaja de cambios con una relación de 3000 rpm a 7622 rpm. El primero de ellos, el de baja presión, es detipo axial, mientras que el de alta presión resulta ser cetrífugo. Entre ellos un interenfriador rebaja la tem-peratura de compresión y ayuda a la reducción de potencia requerida en el proceso de aproximádamente60MW . Un segundo intercambiador de calor, el postendriador, enfría el aire hasta los 50 ° C para entraren las cavernas.

A continuación se resumen en una tabla las características mencionadas a lo largo de la descripción de laplanta.

Magnitud Unidad

ALMACENAMIENTO

Número de cavernas 2 –Tipo de roca circundante Sal –Volumen de almacenamientocaverna NK1 141.000 m3

caverna NK2 169.000 m3

Profundidad del techo 650 mProfundidad del suelo 800 mDiámetro máximo 60 mPresiónmíma admisible 1 barmáxima admisible 100 barmínima admisible en operación 20 barmáxima admisible en operación 75 barmínima en operación 45 barmáxima en operación 75 bar

Distancia entre pozos 220 mMáximo gradiente de descarga 10 bar/h

Magnitud Unidad

TURBINADEGAS

Potencia 290 MWVelocidad 3.000 rpmCaudal en operación 417 kg/sCondiciones de entrada de TAP 42/550 bar/° CCondiciones de entrada de TBP 11/825 bar/° C

COMPRESORES

Número de compresores 2 –Potencia de compresión 160 MWVelocidadCBP axial 3000 rpmCAP centrífugo 7622 rpm

Caudal en operación 108 kg/sCondiciones de entrada 10/1,013 ° C/barCondiciones de salida 45-72/50 ° C/barNúmero de interenfriadores 3 –Número de postenfriadores 1 –

Tabla 2: Características principales de la planta CAES de Huntorf tomadas de [9] y [1].

Presentación analítica del modelo de sistema 18

Capítulo 2

Presentación analítica del modelo de sistema

§ 2.1 Introducción al desarrollo teórico

Es de importancia, que durante el desarrollo del estudio de un sistema abierto se concreten variablesintensivas, esto es, que no manifiesten dependencia hacia la cantidad de materia presente en él. De éstemodo las variables extensivas se verán expresadas por cantidad de materia presente en el sistema y podráobtenerse el valor de la magnitud física A, simplemente multiplicando la magnitud específica a por lamasa instantéa del sistema

A =

wa dm

La dependencia de dichas magnitudes es en principio tanto espacial† como temporal, de forma que a =a(x, y, z, t); pero en virtud de las siguientes hipótesis, derivadas de las leyes generales de conservación, seestablecerá un modelo homogéneo e isótropo, el cual, como su propio nombre indica, es independientede las coordenadas espaciales y direccionales, siendo entonces la magnitud a una función exclusíva deltiempo tal que a = a(t).

Una magnitud es homogénea en el espacio si y solo si es simétrica en dicho espacio. Dicha simetría pue-de representarse mediante la transformación lineal ri → ri + ǫi. Por tanto δA = ∂A/∂xiδxi =ǫi∂A/∂xi. Y dado que ǫ es una magnitud arbitraria, se deduce que ∂A/∂xi = 0.Deducida la homogeneidad en el espacio, la isotropía en función de las coordenadas angulares θ y φ dela variable A puede ser deducida de análogamente; quedando explícitas ∂A/∂θ = 0 y ∂A/∂φ = 0

H 1 Sea una magnitud T tal que mida la energía del sistemaa , y la difusión de su magnitud por el espacioesté gobernada por la ecuación adimensional

∂T

∂t∗+

∂

∂x∗iTv∗i =

1

Pe

∂

∂x∗iλ∗ ∂T

∂x∗iSiendo Pe el número adimensional de Péclet, definido como la relación entre la velocidad de adveccióndel flujo, y la de difusión tal que Pe = U/(α/L); correspondiéndose U, α y L, con una velocidad,una difusividad térmica y una longitud características respectivamente. Donde a su vez la difusividadtérmica α se expresa como relación entre la conductividad térmicaλ y su capacidad térmica volumétricaρcp, ambas características del medio según α = λ/ρcp.

Es entonces, cuando en el límite b en el que α → 0, la ecuación presenta una solución asintótica paraPe → ∞, despreciandomiembro derecho de dicha ecuación cobrando relevancia el término advectivo;escribiéndose entonces

∂T

∂t∗+

∂

∂x∗iTv∗i = 0

aAunquepor simplicidaddicho sistema se ha tomado cerradopuede deducirse de forma análoga sin dicha restricciónllegando a iguales conclusiones.

bEn fluidos como el aire la conductividad térmica adquiere valores despreciables siendo la magnitud α ∝ 10−5

En virtud de esta hipótesis, la energía transmitida por choque entre partículas se desprecia frente a laenergía de transporte en el sistema.

†Queda implícita la dependencia direccional.


H 2 Sea p unamagnitud tal que recoja de alguna manera la fuerza promediada que ejercen las partículas delsistema sobre el sistema. La definición de dicha magnitud depende por tanto de la energía del sistemaE según la mecánica Lagrangiana como

Fi = − ∂E

∂xi

∣

∣

∣

∣

S= − ∂E

∂V

∣

∣

∣

∣

S

∂V

∂xi= − ∂E

∂V

∣

∣

∣

∣

Sdfi

DondeV es el volumen yS es la entropía del sistema. Dado que el cambio de volumen viene expresadomediante dri dfi se tiene que ∂V/∂xi = dfi y por tanto

Fi = − ∂E

∂V

∣

∣

∣

∣

Sdfi

Por tanto, se puede ver que la fuerza promediada en un elemento de superficie es perpendicular a di-cho elemento y proporcional a su área (Ley de Pascal). La magnitud de la fuerza por unidad de área esentonces

p = − ∂E

∂V

∣

∣

∣

∣

SA dicha magnitud se le confiere el nombre de presión.

Suponiendo un comportamiento linealizado de las variables p y ρ, representando ésta última la densi-dad de partículas por unidad de volúmen del sistema, tal que

p = po + p′ ρ = ρo + ρ′

Siendo p′ y ρ′ variaciones de primer órden de pequeña magnitud. Asumiendo una velocidad v de pe-queña magnitud y aplicando las leyes de conservación de la masa y de la cantidad de movimiento segúnlas ecuaciones de Euler, se decuce fácilmentea

∂2 p′

∂t2=

∂p

∂ρ

∣

∣

∣

∣

S

∂2 p′

∂x2i

Quedando meridianamente claro que las ondas de presión p, así como de densidad ρ se propagan a lavelocidad del sonido

√

[∂p/∂ρ|S ], homogeneizándose instanténamente en el sistema.aExpandiendo p en torno a ρo para así obtener la relación entre p′ y ρ′ y simplificando términos de menor órden

En virtud de esta segunda hipótesis, la homogeinización tanto de la presión como la densidad del sistemadiscurre en una escala de tiempos que escapa del interés principal de este estudio, siendo por tanto con-veniente la definición de un número adimensional, según el cual se establezca el límite de validez de dichahipótesis.

El número deMach representa la relación entre las velocidades del sistema y la velocidad de propagaciónde las ondas de presión en él tal que

Ma =U

√

[∂p/∂ρ|S ]La hipótesis adoptada tendrámayor validez cuantomenor sea el número deMach, es decir cuando tiendaal límite Ma → 0. Por convención se fija el límite de aplicacion para Ma < 0, 3.

Es por tanto por lo que éstas ondas, igualan en todo momento la presión del sistema, pudiéndo afirmarque se trata de un fluido ideal en el que efectos como la viscosidad del fluido pueden no ser tomados enconsideración.


§ 2.2 Las ecuaciones de conservación

Se supondrá un dominio tridimensional abierto e independiente del tiempoV definido por una fronteraf, así como la isotropía de las magnitudes propias como son la temperatura T, la dendidad ρ, la presiónp y por extensión, otras que derivan de éstas. Es por ello que la dependencia de estas magnitudes sea úni-camente temporal asumiendo por ende un modelo cerodimensional en espacio. La conducción de calora través del fluido se considerará a efectos prácticos despreciable (Pe → ∞) así como el promedio delmódulo de su velocidad.

Es de interés, por tanto, establecer las ecuaciones de conservación que ayuden a entender los procesosque se desarrollan en V así como caracterizar su evolución en el tiempo. A continuación se presenta unadeducción sencilla† de las ecuaciones de conservación de la masa y de la energía.

La masa instantánea contenida en dicho volumen V coincide conr

ρ dV y por tanto, adoptando unadescripción euleriana‡ se establece que la variación de la masa en un volumen V se debe a su pérdida oganancia en dicho volumen a través de su frontera f = ∂V.

wV

∂ρ

∂tdV = −

wf

ρvi nidf (2.1)

Que integrada aplicando la homogeneidad del espacio, resulta la ecuación de conservación de la masa.

Vdρ

dt= m (2.2)

Donde m representa al flujo demasa−ρvini a través de la frontera f, advirtiéndose la alternancia de signoen función de la orientación de la velocidad vi con respecto al vector normal unitario exterior ni a dichafrontera; siendo m negativo si el flujo es saliente y viceversa si es entrante. Es por dichomotivo por lo queresulta conveniente separar el caudal según sea entrante o saliente según m = mi + me respectivamente.

La energía instantánea total del sistema viene representada porr

ρe dV, donde la magnitud e se definecomo energía específica del fluido y es suma de la energía interna del fluido, su energía cinética y su energíapotencial por unidad de masa según e = u + v2

i /2 + gz, siendo z la coordenada vertical y g la fuerzamásica gravitatoria. Cambios en su magnitud se deben a la acción de fuerzas superficiciales p aplicadassobre el fluido y al flujo de calor qi a través de su frontera. Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemosdefinir la variación de la energía en V como

wV

∂ρe

∂tdV +

wf

ρevi nidf =

wf

σikvi nkdf −w

fqi nidf (2.3)

Ésta ecuación no es más que el primer principio de la termodinámica, que establece la variación de laenergía de un sistema como consecuencia de la existencia de fuerzas o flujos de calor que interactúan conél.

Teniendo en consideración las hipótesis de isotropía en §2.1, el tensor de tensiones para un fluido newto-niano∥ σik adquiere la forma [16]

σik = − [p − Kǫll ] δik + 2µ[

ǫik − 13 ǫllδik

]

(2.4)

†En [10] se presenta una deducción completa y detallada de las ecuaciones de conservación de los medios continuos.‡Descripción de las propiedades del fluido ∀ri ∈ V.∥Las tensiones cortantes dependen de la velocidad de deformación del fluido y cesan cuando se encuentra en reposo.


Siendo µ el coeficiente de viscosidad dinámica, K coeficiente de viscosidad volumétrico y ǫik el tensorsimétrico que representa la velocidad de deformación del fluido según

ǫik =1

2

[

∂vi

∂xk+

∂vk

∂xi

]

(2.5)

Introduciendo (2.4) en (2.3) se deduce

Vdρe

dt=

[

e +p

ρ

]

m + qf + qµ (2.6)

Donde qf representa al flujo de calor−qini a través de la frontera f, advirtiéndose un flujo de calor qf po-sitivo si éste es entrante y negativo si por el contrario es saliente y qµ el flujo de calor debido a fenómenossuperficiales viscosos según

[

2µǫik + (K − 23 µ)ǫll

]

vkni,

Es de importancia destacar la naturaleza de los términos de las ecuaciones que aquí se derivan. Especialmención tienen aquellos que acompañan al caudal másico m, ya que éstos definen el estado termodiná-mico de la corriente con la que se identifican, siendo por tanto, magnitudes muy diferentes con respectoal exterior e interior del almacenamiento para los caudales mi y me respectivamente. Es por ello por loque puede asumirse que cuando el caudal másico es saliente las propiedades del fluido coinciden con lasinstantáneas del sistema†, no siendo así cuando el caudal másico es entrante.

Conviene pues, introducir un nuevo potencial termodinámico, característico de los fenómenos que in-volucran algún tipo de trasiego de masa en sistemas abiertos siendo éste la entalpía, definida por h =u + p/ρ. De esta manera a cada caudal másico entrante o saliente le corresponderá una cierta entalpíahi o h respectivamente‡.

Aplicando estas consideraciones y haciendo uso de las hipótesis mencionadas en la introducción de éstetexto se obtiene

ρVdu

dt=

[

hi − h +p

ρ

]

mi +p

ρme + qf (2.7)

Una vez presentadas las ecuaciones de conservación (2.2) y (2.7) se hace notoria la necesidad de formularla ecuación de estado del medio que liga las propiedades definitorias del mismo.

§ 2.3 Ecuación de estado y relaciones termodinámicas

La ecuación de estado, es una ecuacion constitutiva que relaciona las variables termodinámicas de un gas.Como hemos anticipado anteriormente dichas variables son la temperatura T, la presión p y la densidadρ. La ecuación puede representarse genéricamente como φ(T, p, ρ) = 0. Se asumirá la ecuación de losgases ideales como referencia, incorporando un parámetro de compresibilidad Z.

p = ZρRT (2.8)

Dicho parámetro de compresibilidad representa el grado de desviación de la presión de un gas real res-pecto al ideal; comportándose como tal cuando Z = 1. Dada la forma de (2.8) es conveniente expresardicho parámetro en función de la temperatura T y la densidad del sistema ρ según [23]

†Las propiedades instantáneas del sistema coinciden con el término integrado en el volumen, i.e. el miembro izquierdo de (2.6)‡Téngase en cuenta que el flujo saliente posee propiedades termodinámicas idénticas en primera aproximación con las existentesen el interior del almacenamiento.


Z = 1 +r

∑i=1

Si

∑k=0

zikρi

r

Tk

r

(2.9)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 550.985

0.988

0.990

0.993

0.995

0.998

1.00044 46 48 50 52 54 56 58

Z

p [Pa]

T [ÀC]

Figura 12: Parámetro de compresibilidad Z (2.9) en el rango de presiones (37 ° C) y temperaturas (45 Pa)esperado.

Donde zik se corresponde con la matriz de coeficientes constantes del virial del aire. Las variables Tr y ρr

representan respectivamente a la temperatura y la densidad reducidas†. Es importante notar que el pará-metro de compresibilidad crítico Zc coincide simplemente con la suma de todos los coeficientes del virialzik.

Esta representación del parámetro de compresibilidad, ofrece unos resultados extraordinariamente preci-sos para temperaturas desde los70K hasta los1500K ypresionespor encimade la de saturación0,01MPahasta 100MPa. A continuación se muestran las derivadas del parámetro de compresibilidad Z con res-pecto a la temperatura Tr y densidad ρr reducidas.

− T∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

=r

∑i=1

Si

∑k=0

kzikρi

r

Tk

r

ρ∂Z

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

=r

∑i=1

Si

∑k=0

izikρi

r

Tk

r

(2.10)

∂

∂TT2 ∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

=r

∑i=1

Si

∑k=0

k(k − 1)zikρi

r

Tk

r

(2.11)

Una vez definida la ecuación constitutiva, es de utilidad establecer la magnitud energética u en (2.7).Dicha variable corresponde a la energía interna del sistemamacroscópico estando definida en función desus variables naturales: la entropía‡ s y la densidad ρ como prosigue

du =∂u

∂s

∣

∣

∣

∣

ρ

ds +∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

s

dρ (2.12)

† Una variable termodinámica reducida no es más que la relación entre la magnitud termodinámica y su valor en el punto críticode la sustancia de estudio.‡La entropía aunque adimensional, es de uso extendido asociarla junto a constante de Boltzmann k = 8, 6173 eVK−1 adqui-riendo dichas unidades [16].


Por definición se expresan la presión y la temperatura de un sistema macroscópico como derivadas par-ciales de dicha energía u

T =∂u

∂s

∣

∣

∣

∣

ρ

p = ρ2 ∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

s

(2.13)

Puesto que la definición completa de un sistema termodinámico se establece con dos variables termodi-námicas cualesquiera; cualquier variable de estado puede expresarse en función del par termodinámicogenérico (x, y), o bien más concretamente, (T, ρ), (T, p) o el menos frecuente (ρ, p), entre otros.Y esa conveniencia del resultado buscado, la elección de dicho par.

Según la afirmación anterior, se tiene análogamente a la definición (2.12) que la función de estado Φ,dependiente de los estados inicial y final, puede expresarse en función de las variables termodinámicas xe y tal que

dΦ =∂Φ

∂x

∣

∣

∣

∣

y

dx +∂Φ

∂y

∣

∣

∣

∣

x

dy (2.14)

Demanera que las variables naturales s y ρ que definen a la energía interna del sistema u en (2.12) puedenexpresarse demanera queΦ = s, x = T e y = ρ, tomando como variables independientes aquellas queforman el par (T, ρ), adquiriendo (2.12) la forma

du =∂u

∂s

∣

∣

∣

∣

ρ

[

∂s

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

dT +∂s

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

dρ

]

+∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

s

dρ (2.15)

Mientras que tomando como variables independientes aquellas que forman el par (T, p) se obtiene demodo análogo

du =∂u

∂s

∣

∣

∣

∣

ρ

[

∂s

∂T

∣

∣

∣

∣

p

dT +∂s

∂p

∣

∣

∣

∣

T

dp

]

+∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

s

[

∂ρ

∂T

∣

∣

∣

∣

p

dT +∂ρ

∂p

∣

∣

∣

∣

T

dp

]

(2.16)

La cantidadde calor quedebe ganarun sistemapara aumentar su temperatura enunaunidad se denominacalor específico. Y éste se define según sea a presión o a volúmen constante como

cp = T∂s

∂T

∣

∣

∣

∣

p

cv = T∂s

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

(2.17)

Por otra parte, de los potenciales termodinámicos energéticos de Helmholtz y Gibbs , definidos comof = u − Ts y g = h − Ts respectivamente, aplicando el teorema de Schwarz teniendo en cuenta ladefinición de la energía presentada en (2.12) junto a (2.13)

∂s

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

= − 1

ρ2

∂p

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

∂s

∂p

∣

∣

∣

∣

T

=1

ρ2

∂ρ

∂T

∣

∣

∣

∣

p

(2.18)

Substituyendo (2.17)1y (2.18)

1en (2.15), agrupando términos e integrando, se obtiene la expresión que

permite calcular la energía interna del sistema u en función de su temperatura T y sy densidad ρ

u = uo +

wcv dT +

w [

p

ρ2− T

ρ2

∂p

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

]

dρ (2.19)

De igual manera substituyendo (2.17)2 y (2.18)2 en (2.16), agrupando términos e integrando se obtiene laexpresión que permite calcular la energía del sistema u en función de su temperatura T y su presión p.


u = uo +

w[

cp +p

ρ2

∂ρ

∂T

∣

∣

∣

∣

P

]

dT +

w [

T

ρ2

∂ρ

∂T

∣

∣

∣

∣

p

+p

ρ2

∂ρ

∂p

∣

∣

∣

∣

T

]

dp (2.20)

De las definiciones obtenidas para u en (2.19) y (2.20) es trivial comprobar que tanto el calor específico apresión constante cp como su análogo a volúmen constante también vienen definidos por

cp =∂h

∂T

∣

∣

∣

∣

p

cv =∂u

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

(2.21)

Se definen entonces unos coeficientes α, κ y β, resultado natural de la derivación de la ecuación constitu-tiva (2.8) respecto del par termodinámico escogido, tales que

α = −T

ρ

∂ρ

∂T

∣

∣

∣

∣

p

= 1 +T

Z

∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

p

β =T

p

∂p

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

= 1 +T

Z

∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

κ =p

ρ

∂ρ

∂p

∣

∣

∣

∣

T

= 1 − p

Z

∂Z

∂p

∣

∣

∣

∣

T

ζ =ρ

p

∂p

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

= 1 +ρ

Z

∂Z

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

(2.22)

Dado queZ se presentó en (2.9) como una función de la temperatura y densidad reducidas, los coeficien-tes β y ζ pueden ser calculados por métodos diréctos. Es trivial demostrar que los dos restantes puedenobtenerse utilizando las siguientes relaciones

α =β

ζκ =

1

ζ(2.23)

A dichas relaciones se les recoge bajo el nombre de regla de Euler para las derivadas parciales implícitasy regla de la inversión; válidas para cualquier relación funcional implícita que involucre a tres variables.Mediante el uso de Jacobianos† se obtiene

α = −T

ρ

∂ρ

∂T

∣

∣

∣

∣

p

= −T

ρ

∂(ρ, p)

∂(T, p)=

T

ρ

∂(p, ρ)/∂(T, ρ)

∂(T, p)/∂(T, ρ)=

β

ζ

κ =p

ρ

∂ρ

∂p

∣

∣

∣

∣

T

=p

ρ

∂(ρ, T)

∂(p, T)=

p

ρ

∂(ρ, T)/∂(ρ, T)

∂(p, T)∂(ρ, T)=

1

ζ

De estamanera, aplicando la regla de la cadena al parámetro de compresibilidad definido en (2.9) puedencalcularse β y ζ haciendo uso de (2.10)

β = 1 +Tr

Z

∂Z

∂Tr

∣

∣

∣

∣

ρr

ζ = 1 +ρr

Z

∂Z

∂ρr

∣

∣

∣

∣

Tr

(2.24)

†Resulta de gran utilidad la transformación Jacobiana para definir nuevas variables de derivación. Así pues se define el Jacobianode dos funciones u y v con variables independientes x e y

∂(u, v)

∂(x, y)=

∣

∣

∣

∣

∂u/∂x ∂u/∂y∂v/∂x ∂v/∂y

∣

∣

∣

∣

Siendo evidentes las propiedades siguientes

∂(u, v)

∂(x, y)= − ∂(v, u)

∂(x, y)

∂(u, y)

∂(x, y)=

∂u

∂x

∣

∣

∣

∣

y


10 15 20 25 30 35 40 45 50 550.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

1.12

1.14

αβ

κζ

α

β

κ

ζ

T [ÀC]

(a) Variación con la temperatura.

44 46 48 50 52 54 56 580.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

1.12

1.14

p [Pa]

αβ

κζ

α

β

κ ζ

(b) Variación con la presión.

Figura 13: Coeficientes termodinámicos α, β, κ y ζ (2.22) en el rango de presiones (37 ° C) ytemperaturas (45 Pa) esperado.

Substituyendo las relaciones (2.22) en la expresión integral de u (2.19), haciendo uso de la ecuación cons-titutiva (2.8) se llega a la expresión formal

u = uo +

wcv dT −

wZRT

β − 1

ρdρ (2.25)

De igual manera para la expresión integral de u (2.20) se obtiene la expresión formal

u = uo +

w[

cp − αZR]

dT −w

ZRTα − κ

pdp (2.26)

La ya definida entapía de un fluido h = u + p/ρ se puede calcular fácilmente en función de los pares(T, ρ) o (T, p) sustituyendo en su definición (2.25) o (2.26) respectivamente; haciendo uso de (2.8) asícomo (2.22) según

h = ho +

w[cv + βZR] dT −

wZRT

β − ζ

ρdρ (2.27)

h = ho +

wcp dT −

wZRT

α − 1

pdp (2.28)

Es importante notar que las expresiones tanto para la energía interna (2.25) como para la entalpía (2.28)adquieren una forma más simplificada que en (2.26) e (2.27) al estar expresadas en al menos una variablenatural propia de sus definiciones. Es en ello en lo que se basará próximamente la elección de su aplicaciónen las ecuaciones de conservación.

Como apunte complementario, la relación entre los calores específicos cp y cv definidos en (2.17) se ob-tiene de cualquiera de sus definiciones simplemente mediante un cambio de variables independientesen sus derivadas. Una transformación de este tipo puede llevarse a cabo fácilmente mediante el uso deJacobianos como prosigue

cv = T∂s

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

= T∂(s, ρ)

∂(T, ρ)= T

∂(s, ρ)/∂(T, p)

∂(T, ρ)/∂(T, p)= T

∂s

∂T

∣

∣

∣

∣

p

− T

∂s∂p

∣

∣

T

∂ρ∂T

∣

∣

p

∂ρ∂p

∣

∣

T

(2.29)


Haciendo uso de las relaciones obtenidas en (2.17), (2.18) y (2.22) junto con (2.23) así como de la ecuaciónconstitutiva (2.8)

cp = cv + ZRβ2

ζ(2.30)

Definiendo el índice adiabático γ como la relación entre los calores específicos cp/cv según (2.30)

γ = 1 +ZRcv

β2

ζ(2.31)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 551.069

1.073

1.077

1.081

1.085

1.089

1.093

44 46 48 50 52 54 56 58

c p[

kJ k

g K

]-1-1

p [Pa]

T [ÀC]

(a) Calor específico a presión constante (2.30).

10 15 20 25 30 35 40 45 50 551.465

1.470

1.475

1.480

1.484

1.489

1.49444 46 48 50 52 54 56 58

p [Pa]

T [ÀC]

γ

(b) Índice adiabático (2.31).

Figura 14: Calor específico a presión constante e indice adiabático en el rango de presiones (37 ° C) ytemperaturas (45 Pa) esperado.

Otras relaciones de utilidad se obtendrían aplicando el teorema de Schwarz a (2.25) y a (2.28)

∂cv

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

= −Rρ

∂

∂T

[

T2 ∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

]

ρ

∂cp

∂p

∣

∣

∣

∣

T

= −Rp

∂

∂T

[

T2 ∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

p

]

p

(2.32)

Es entonces cuando el sistema se encuentra perfectamente definido por las ecuaciones (2.2), (2.7), (2.8) y(2.26) pudiendo obtener por tanto, un modelo general que se adapte a dicho proceso.

§ 2.4 Derivación de las ecuaciones del modelo

Se busca la obtencion de dos ecuaciones derivadas de las leyes generales de conservación (2.2) y (2.7).Como se ha comentado con anterioridad, existen varias posibilidades de elección de entre las distintasvariables termodinámicas T, ρ, p entre otras. Es entonces cuando por simplicidad se elijan las variablestemperatura T y densidad ρ para obtener sendas ecuaciones de evolución del sistema deducidas de lasleyes generales antes presentadas.

Para hallar la tasa de variación de la energía en el sistema, se procede a la derivación temporal de la ecuación(2.25), siendo ésta

du

dt= cv

dT

dt+

∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

dρ

dt(2.33)

Donde aprovechándose de la relación (2.14) puede obtenerse


∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

= −RT2

ρ

∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

(2.34)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55-0.176

-0.168

-0.161

-0.153

-0.145

-0.138

-0.13044 46 48 50 52 54 56 58

∂u ∂ρ

T

[ k

J m

k

g

]-2

3

p [Pa]

T [ÀC]

Figura 15: Parámetro de desviación ideal ∂u/∂ρ|T (2.34) en el rango de presiones (37 ° C) y temperaturas(45 Pa) esperado.

Que substituida en (2.7), se obtiene junto a (2.2) un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (dT/dty dρ/dt) que acoplada a (2.8) permite la obtención de las variables termodinámicas más reperesentativasT, ρ y p, así como su evolución en el tiempo.

La ecuación que describe la evolución de la temperatura substituyendo (2.33) en (2.7) es entonces

ρVcvdT

dt=

[

hi − h + ZRT − ρ∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

]

mi +

[

ZRT − ρ∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

]

me + qf (2.35)

Y por consiguiente, según (2.2) la ecuación que describe la evolución de la densidad.

Vdρ

dt= mi + me (2.36)

§ 2.5 Consideraciones de la formulación obtenida

A falta de la definición del flujo de calor qf un estudio previo de las ecuaciones (2.35) y (2.36) resulta ne-cesario.

Considerando un sistema adiabático, i.e. qf = 0, el miembro derecho de la ecuación que describe elcomportamiento de la temperatura T (2.35) puede dividirse en dos estados termodinámicos: entrada alsistema y salida del sistema. Cada uno de esos estados está multiplicado por su correspondiente caudal deentrada mi o de salida me. Para cualquier condición del sistema, e estado de salida del sistema se corres-ponde con un proceso isentrópico.

Esto puede deducirse fácilmente partiendo de la definición de proceso isentrópico. Según la definición devariable de estado, la entropía puede expresarse en función de dos variables termodinámicas cualquierae.g. temperatura T y dendidad ρ. Introduciendo (2.17)2 , (2.18)1

y (2.8) en la ecuación (2.14)


ds = cvdT

T− ZR

[

1 +T

Z

∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

]

dρ

ρ(2.37)

Con lo que para un proceso identrópico ds = 0 y por tanto utilizando (2.34)

ρcvdT

dρ= ZRT − ρ

∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

(2.38)

En (2.35) aplicando la regla de la cadena forzando a que la temperatura T sea función de ρ, sustituyendo(2.36) y mi = 0, se obtiene la ecuación que describe un proceso isentrópico y por tanto verifica que lafase de descompresión resulta isentrópica.

El estado termodinámico de entrada al contrario que el de salida no da lugar a un proceso isentrópico, porel hecho de existir una aportación de calor desde el exterior recogida en la diferencia de entalpías hi − h,dando lugar a irreversibilidades por diferencia de temperaturas.

§ 2.6 Definición de qf

El dominio abierto V está delimitado por la frontera f; por la cual interacciona con el exterior no solomásicamente sino caloríficamente. Esta interacción se recoge en la magnitud qf y es por ello por lo que esimportante definir f convenientemente.

Se distinguirán dos dominios en la frontera del volumen: unode ellos vendrá definidopor la superficie delalmacenamiento S y el otro se identificará por aquella región de f en la cual el flujo−ρvini fuera distintode cero. Dado la diferencia en el órden de magnitud de los dos dominios, sólo se tendrá en consideraciónel primero.

Aclarada la configuración adoptada en la frontera, el calor se transmite acorde con la Ley de Fourier, lacual establece que en una corriente fluida, el calor cedido a su través es proporcional a su gradiente de tem-peratura. Dicha constante de proporcionalidad es la conductividad térmica† λ que depende únicamentede la composición del medio que es atravesado por el flujo de calor.

qf =

wf

λ∂T

∂xinidf (2.39)

Asumiendo que f ≈ S y dado que el flujo de calor se conserva, puede mediante la Ley de Enfriamientode Newton establecerse una condición de frontera Neumann ‡. Dicha ley postula que el flujo de calor através de S es proporcional a la diferencia de temperaturas entre la del fluido T y la de la superficie con laque está en contacto TW

qf ≈ −w

ShS(T − TW) dS (2.40)

Dicha proporcionalidad viene representada por el coeficiente de transferencia de calor hS, el cual se asu-mirá constante∥.

†Dicha conductividad térmica en el caso más general se presenta en un medio anisótropo donde su representación es a través deun tensor de segundo órden λik siendo por tanto el flujo térmico qi = −kik∂T/∂xk‡Si losmecanismos de transferencia de calor convectivo y de conducción fueran delmismo órden demagnitud se establecería portanto una condición de frontera Robin.∥En la práctica puede calcularse un coeficiente de transferencia medio, ya que en el caso mas general hS = hS(Re, Ra, Pr)siendo cada una de estas dependencias coincidentes en nombre con:Número deReynolds, Rayleigh y Prandtl respectivamente.


Nótese en dicha expresión la concordancia con el convenio de signos para el flujo quedando explícito elconcepto de transferencia de calor del cuerpo con mayor al de menor temperatura.

§ 2.7 Simplificaciones

Una vez presentadas las ecuaciones de evolución de las variables termodinámicas (2.36) y (2.35) junto a(2.8), se hace notoria la necesidad de estudiar las ecuaciones derivadas a fin de llevar a cabo ciertas simpli-ficaciones sin que ello conlleve un error inadmisible.

El sumando hi − h constituye uno de los principales inconvenientes en las ecuaciones y es con seguridadel términomás delicado de tratar. La entalpía, según el par escogido, depende de T y ρ. Con lo que resultanatural expresarla en función de dichas variables tal que

dh =∂h

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

dT +∂h

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

dρ (2.41)

El segundo término del miembro derecho de (2.41) se puede expresar derivando fácilmente la expresión(2.27) substituyendo (2.22) y operando

∂h

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

= RT∂Z

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

− RT2

ρ

∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

(2.42)

Es para el primer término para el cual asumiremos que la ratio entre los coeficientes β y ζ recogidos en(2.22) presenta una influencia despreciable frente a cambios en la temperatura † y es por ello por lo quese puede asumir

∂h

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

≈ ∂h

∂T

∣

∣

∣

∣

p

(2.43)

En el límite cuando la densidad ρ → 0

lımρ→0

∂h

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

= lımρ→0

cv + βZR = cop (2.44)

Donde cop representa la capacidad calorífica del fluido a densidades bajas, i.e. a presiones bajas. Puede

aproximarse con gran exactitud por un polinomio únicamente dependiente de la temperatura T [23]

cop

R =6

∑i=0

cp1iT∗i

+6

∑i=1

cp2iT∗−i

(2.45)

Donde cp1 y cp2 son constantes características del aire y T∗ coincide con T/Tre f así como ρ∗ = ρ/ρre f

siendo el punto termodinámico de referencia‡ Tre f = 100K y pre f = 1atm.

Es entonces cuando se puede integrar la expresión (2.41) obteniendo una fórmula de cálculo para la en-talpía, donde hre f presenta la entalpía a la temperatura Tre f cuando ρ → 0.

†Se advierte que en una escala de temperaturas de entre los 300K y 1000K presenta en torno al valor unitario una variaciónmáxima del 5 % cuando el fluido posee densidades reducidas e.g densidad atmosférica.‡Este punto de referencia termodinámico ofrece interacciones entre las partículas del gas lo suficientemente infrecuentes para laconsecuente aplicación de la teoría de los gases perfectos.


h = hre f +

w T

Tre f

cop dT +RT

w ρ

0

[

∂Z

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

− T

ρ

∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

]

dρ (2.46)

Si en el intervalo de integración, cop presenta una zonademínimavariación (punto crítico) como se aprecia

en la figura (16a), entonces el segundo término de la ecuación (2.46) puede expandirse en torno a T0

simplificándose a

w T

T0

cop dT = co

p0(T − T0) (2.47)

El calor específico a volumen constante cv viene dado por la relación (2.30). Dicha expresión depende co-mo es natural, del calor específico a presión constante cp, el cual depende del par termodinámico escogido(T, ρ). Cumpliéndose estrictamente para dicha expresión

lımρ→0

cp = cop (2.48)

Es por tanto por lo que es conveniente utilizar la expresión (2.45) para densidades bajas, conjuntamentecon la relación obtenida en (2.32)

1a modo de corrección tal que

cv = cop −R− ∂

∂T

w ρ

0

RT2

ρ

∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

dρ (2.49)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55526.0

534.1

542.2

550.3

558.4

566.5

574.544 46 48 50 52 54 56 58

h [

kJ k

g ]-2

p [Pa]

T [ÀC]

(a) Entalpía (2.46).

10 15 20 25 30 35 40 45 50 550.728

0.729

0.729

0.730

0.731

0.731

0.73244 46 48 50 52 54 56 58

c v[

kJ k

g K

]-1-1

p [Pa]

T [ÀC]

(b) Calor específico a volumen constante (2.49).

Figura 16: Entalpía y calor específico a volúmen constante en el rango de presiones (37 ° C) ytemperaturas (45 Pa) esperado.

Estas consideraciones pueden también aplicarse para el cálculo de la entropía definida en (2.37), para asítener la posibilidad de calcular cualquier variable termodinámica.

s = sre f +

w T

Tre f

[cov −R] dT −R

w ρ

ρre f

dρ

ρ−R

w ρ

ρre f

[

Z − 1 + T∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

]

dρ

ρ(2.50)

Otro de los inconvenientes de la formulación es el establecimiento de un caudalmásico, llevando implíci-to con ello la operación del almacenamiento. Por simplicidad se supone unbalancemásico neto constante


durante un ciclo, es decir zn

m dt = 0 (2.51)

Siendo m la magnitud relacionada con la masa de aire instantánea en el almacenamiento descrita en (2.2)y n representa el enésimo ciclo.

Es entonces cuando el caudal másico m se expresa como mc(Fi + Fe), donde Fi + Fe es una funciónadimensional periódica de periodo tc, que modela la política de operación del almacenamiento como semuestra en la figura adjunta (17) y mc representa el caudal entrante mi, impuesto por el compresor; elcual difiere del extraido en un factor de carga-descarga según me = CDmc.

1Carga

Almacenamiento

Descarga

Latencia

Fi+Fe

-CD

t1 t2 t3 tc

Figura 17: Política de operación del almacenamiento.

Siendo t1 el tiempode carga, t2 − t1 el tiempode almacenamiento, t3 − t2 el tiempode descarga y tc − t3

el tiempo de latencia hasta el siguiente ciclo, siento por tanto tc el periodo de dicho ciclo.

La función adimensional Fi + Fe para el ciclo n según la figura (17) viene dada por [15]

Fi =

{

1 (n − 1)tc ≤ t ≤ (n − 1)tc + t1

0 si no(2.52)

Fe =

{

−CD (n − 1)tc + t2 ≤ t ≤ (n − 1)tc + t3

0 si no

Integrando la ecuación (2.51) se obtiene el valor de CD = t1/(t3 − t2), que junto a la definición de tc

como la suma de todos los tiempos que componen el ciclo, debe cumplirse estrictamente

tm

tc= 1 − t1/tc

CD[1 + CD] (2.53)

Donde tm representa el tiempomuerto del ciclo, suma de los periodos t2 − t1 y tc − t3. Fijado un tiem-po de carga t1 el sistema posee un grado de libertad recogido en uno de los sumandos de tm, el cual seescogerá convenientemente en la optimización del ciclo. Es facil deducir de (2.53) que 0 ≤ t1/tc ≤CD/(1 + CD).

Por último el flujo de calor emitidopor el sistema a través de la frontera puede simplificarse asumientoquela diferencia de temperaturas entre el fluido y la pared T − TW permanece constante en toda superficieS de tal manera que

qf = −hS(T − TW)S (2.54)

Presentación analítica del modelo de frontera 32

Capítulo 3

Presentación analítica del modelo de frontera

§ 3.1 Ecuación de conservación de la energía

En la sección §2.6 se introdujo el parámetro de la temperatura superficialTW . Dicha temperatura permiteel cálculo del flujo de calor que abandona el volumen y es fuertemente dependiente de las condicionessuperficiales en la frontera.

En el más general de los casos, TW es función del tiempo t así como de las coordenadas espaciales xi. Esnecesario plantear la ecuación de conservación de la energía que relacione el volúmen de estudio con susalrededores.

La energía interna del medio circundante puede escribirse comor

ER dV, siendo ER su energía internapor unidad de volumen. Dicha energía depende, como es habitual de dos variables termodinámicas; seanla entropía por unidad de volumen SR y el tensor de deformación ǫik dado por la siguiente expresión enfunción del vector desplazamiento causado por la deformación ei.

ǫik =1

2

[

∂ei

∂xk+

∂ek

∂xi

]

(3.1)

Es entonces cuando en un medio sólido continuo la variación en su energía interna sólo es debida a laenergía liberada por deformaciones y al flujo de calor a su través. Puede entonces escribirse según (2.3).

wVR

∂ER

∂tdVR +

wfR

ERvi nidfR =

wfR

σikvi nkdfR −w

fR

qi nidfR (3.2)

§ 3.2 Ecuación constitutiva y relaciones termodinámicas

Como se ha introducido anteriormente, la energía interna del sistema depende de SR y ǫik; con lo que envirtud de la ecuación (2.14) se expresa

dER =∂ER

∂SR

∣

∣

∣

∣

ǫik

dSR +∂ER

∂ǫik

∣

∣

∣

∣

TR

dǫik (3.3)

Por definición† se expresan dichas derivadas parciales de ER según

TR =∂ER

∂SR

∣

∣

∣

∣

ǫik

σik =∂ER

∂ǫik

∣

∣

∣

∣

ǫik

(3.4)

†Si se estudia más de cerca junto a la definición análoga presentada en (2.13), en virtud de la simetría de ǫik y sabiendo quedr′i = (δik + eik)drk , siendo dr′i el diferencial de la coordenada xi tras la deformación se tiene que el cambio de volúmensegún un sistema de ejes principales en los que eik es diagonal viene dado por

dV′R = (1 + e(1))(1 + e(2))(1 + e(3))dVR = (1 + e(1) + e(2) + e(3))

Y dado que la suma e(1) + e(2) + e(3) es bien conocida por tratarse de un invariante se tiene que el cambio en el volumense expresa como dV′

R = (1 + eii)dVR estando directamente reacionado con el cambio de densidad y siendo por tanto unageneralización de (2.13).


Donde σik representa el tensor de tensiones, generalente dependiente de la temperatura TR y el tensor dedeformación ǫik.

Aplicando (2.14) para dSR y dǫik, ER puede expresarse en función de ǫik o bien σik según

dER =∂ER

∂SR

∣

∣

∣

∣

ǫik

[

∂SR

∂TR

∣

∣

∣

∣

ǫik

dTR +∂SR

∂ǫik

∣

∣

∣

∣

TR

dǫik

]

+∂ER

∂ǫik

∣

∣

∣

∣

TR

dǫik (3.5)

dER =∂ER

∂SR

∣

∣

∣

∣

ǫik

[

∂SR

∂TR

∣

∣

∣

∣

σik

dTR +∂SR

∂σik

∣

∣

∣

∣

TR

dσik

]

+∂ER

∂ǫik

∣

∣

∣

∣

TR

[

∂ǫik

∂TR

∣

∣

∣

∣

σik

dTR +∂ǫik

∂σlm

∣

∣

∣

∣

TR

dσlm

]

(3.6)

Es cuando resulta conveniente definir los siguientes campos tensoriales [26]

αik =∂ǫik

∂TR

∣

∣

∣

∣

σik

βik = −∂σik

∂TR

∣

∣

∣

∣

ǫik

(3.7)

Eiklm =∂σik

∂ǫlm

∣

∣

∣

∣

TR

∆iklm =∂ǫik

∂σlm

∣

∣

∣

∣

TR

Donde αik, βik, Eiklm y ∆iklm representan los coeficientes de expansión térmica, piezotérmico, de elasti-cidad y de distensibilidad† respectivamente.

Se redefinen pues los calores específicos presentados en (2.17)

Cσ = TR∂SR

∂TR

∣

∣

∣

∣

σik

Cǫ = TR∂SR

∂TR

∣

∣

∣

∣

ǫik

(3.8)

Por otra parte, de los potenciales termodinámicos energéticos de Helmholtz y Gibbs, definidos comoFR = ER − TS y GR = FR − σikǫik respectivamente, aplicando el teorema de Schwarz teniendo encuenta la definición de la energía presentada en (3.3) junto a (3.4)

∂SR

∂ǫik

∣

∣

∣

∣

TR

= −∂σik

∂TR

∣

∣

∣

∣

ǫik

∂SR

∂σik

∣

∣

∣

∣

TR

=∂ǫik

∂TR

∣

∣

∣

∣

σik

(3.9)

Substituyendo (3.7), (3.8)2 , (3.9)1en (3.5), agrupando términos e integrando se obtiene la expresión que

permite el cálculo de la energía interna ER en función de la temperatura TR y la deformación ǫik

ER = ERo +

wCǫ dTR +

w[σik + TRβik] dǫik (3.10)

De manera análoga, substituyendo (3.8)1, (3.9)2 y (3.7) en (3.6), agrupando términos e integrando se ob-

tiene la energía interna ER en función de TR y del tensor de tensiones σik

ER = ERo +

w[Cσ + σikαik] dTR +

w[TRαik + σlm∆lmik] dσik (3.11)

De estas dos últimas ecuaciones, es posible obtener las relaciones entre los parámetros que las componen.Dado que la energía ER es única; igualando las dos expresiones (3.10) y (3.11) y derivando con respecto a

† El término inglés para distensibilidad es compliance.


la temperatura T, haciendo constante σik y ǫik se obtienen respectivamente las relaciones de los caloresespecíficos y los coeficientes† presentados en (3.7) tal que

Cσ = Cǫ + TRαikβik αik = ∆iklmβlm βik = Eiklmαlm (3.12)

§ 3.3 Ecuación de conservación y simplificaciones

Como en la sección §2.4, se busca una ecuación derivada de la ley general de conservación (3.2) depen-diente del par de variables escogido, siendo el caso (TR, ǫik). Es de importancia tener en cuenta que aquíla velocidad de transporte de materia vi carece de sentido, al tratarse de un sólido.‡

Es entonces cuando la tasa de variación de la energía interna ER se obtiene mediante la derivación tem-poral de la ecuación (3.10) siguiendo las consideraciones anteriores

∂ER

∂t= Cǫ

∂TR

∂t(3.13)

El flujo de calor qf definido en la sección §2.6 se trasmite acorde a laLey de Fourier recogida en (2.39) conuna conductividad térmica λR característica del medio tal que

qfR=

wfR

λR∂TR

∂xinidfR (3.14)

Quedando implícita la conservación de la energía en la interfase por la igualdad de flujos de calor qf = qfRwfR

λR∂TR

∂xinidfR = −

wS

hS(T − TW) dS (3.15)

Introducida la ecuación constitutiva (3.14) en (3.2) se obtiene la ecuación de conservación de la energía enel medio.

wVR

Cǫ∂TR

∂tdVR =

wfR

λR∂TR

∂xinidfR (3.16)

Esta ecuación representa la variación de energía en un volumen dVR responde únicamente a los flujos decalor cedidos o recibidos en la superficie que rodea a dicho volumen dfR.

Al tener dos dominios distintos de integración, a simple vista supone un problema complicado de resol-ver, no es sino con la ayuda del Teorema de la Divergencia∥ con lo que se obtiene una expresión bajo unmismo dominio de integración, la cual se ha de cumplir para cualquiera que sea dVR

Cǫ∂TR

∂t=

∂

∂xiλR

∂TR

∂xi(3.17)

† Resulta de iterés efectuar la operación αikβik mediante (3.7), resultando ∆iklmEikps = δlpδms que no es más que el tensoridentidad de cuarto órden.‡Un análisis riguroso, teniendo en cuenta la dilatación del volúmen recogida en elldVR llevaría a esfuerzos innecesarios para laobtención de los mismos resultados.∥ El Teorema de la Divergencia asegura la igualdad del flujo normal de un campo vectorial a través de una superficie cerrada y laintegral de la divergencia de ese campo vectorial en el volumen que encierra dicha superficie. Se enuncia como sigue

wf

ai nidf =

wV

∂ai

∂xidV

Acoplamiento del modelo completo 35

Capítulo 4

Acoplamiento del modelo completo

§ 4.1 Ecuaciones del modelo

Una vez presentado el desarrollo para la obtención de las ecuaciones de conservación que dominan en elsistema de estudio se procede al acoplamiento del modelo del sistema de estudio con el modelo de fron-tera.

Aplicando las simplificaciones citadas en §2.7 se tiene el siguiente sistema de ecuaciones que modela elcomportamientodel sistema en funciónde la temperaturaT y de la densidad ρ según las ecuaciones (2.35),(2.36), (2.9), (2.52) y (3.17)

ρVcvdT

dt=

[

hi − h + ZRT − ρ∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

]

Fimc +

[

ZRT − ρ∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

]

Femc − hSS(T − TW) (4.1)

Vdρ

dt= mc [Fi + Fe] p = ZρRT (4.2)

Cǫ∂T

∂t=

∂

∂xiλR

∂TR

∂xi(4.3)

Con las siguientes expresiones deducidas para la obtención de las propiedades termodinámicas del fluidoen (2.9), (2.34), (2.45), (2.46), y (2.49)

h = ho +

w T

Toco

p dT +RT(Z − 1) +

w ρ

0

∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

dρ

cop = R

7

∑i=1

[

cp1iT∗i−1

+ cp2iT∗−i

]

Z = 1 +8

∑i=1

8

∑k=1

zikρi

r

T k−1

r

cv = cop −R+

∂

∂T

w ρ

0

∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

dρ∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

= −RT2

ρ

∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

(4.4)

Y la ecuación (3.15) que recoge la condición de contorno en la interfase

hS(TW − T) = λR∂TR

∂xi

∣

∣

∣

∣

W

ni (4.5)

La solución de (3.17) ha de estar acotada en el infinito cumpliéndose para cualquier tiempo t

lımxi→∞

TR = TR∞ (4.6)

Por último y no menos importante la función operación definida en (2.52)


Fi =

{

1 (n − 1)tc ≤ t ≤ (n − 1)tc + t1

0 si no(4.7)

Fe =

{

−CD (n − 1)tc + t2 ≤ t ≤ (n − 1)tc + t3

0 si no

§ 4.2 Condiciones iniciales y de compatibilidad

Al tratarse de un sistema de dos ecuaciones con derivada temporal de primer orden para las propiedadestermodinámicas de temperatura T y densidad ρ para el fluido y una ecuacion en derivadas parciales deprimer ordenpara la temperaturaTR delmedio de frontera es necesario imponer dos condiciones inicialesen las primeras así como una distribución inicial en la segunda las cuales se eligirán convenientemente

T|t=0 = T0 ρ|t=0 = ρ0 (4.8)

TR|t=0 = TR0(xi) (4.9)

Para que el acoplamiendo de los dos modelos sea coherente, es necesario plantear una ecuación adicio-nal que ligue los dos tipos de distribuciones, espacialmente homogénea y local, presentes en la interfaseentre el sistema de estudio y el medio de frontera. A esta ecuación se le otorga el nombre de ecuación decompatibilidad†

TW =1

S

wS

TR dS (4.10)

Unaúltima ecuación es necesaria para el cálculo de las condiciones termodinámicas completas a la entradadel sistema, i.e. el cálculo de la densidad a la entrada del almacenamiento ρi. Ésto puede lograrse plantean-do una condición a la entrada del almacenamiento en la fase de compresión. Es suficiente considerar quelas presiones de entrada y sistema son aproximádamente idénticas pi = p y por tanto

ZiρiTi = ZρT (4.11)

§ 4.3 Tratamiento de las ecuaciones y su adimensionalización

La necesidad de adimensionalizar surge de reparametrizar el sistema en función de sus escalas intrínsecas,ésto es, encontrar relaciones entre los parámetros que lo definen. Dichas relaciones permiten expresar elsistema en función de parámetros generalizados llamados números adimensionales de los que realmentedepende.Dichos parámetros permiten la descripción tanto cualitativa como cuantitativa del sistema sin lanecesidad de conocer concreta y precisamente cada unode los parámetros que definían el sistema original.

Para la adimensionalización se han de escoger los parámetros que describen nuestro sistema. Sean estosla temperatura T, la densidad ρ, la presión p, el tiempo t, y el radiovector xi

θ =T

T0 =

ρ

ρ0Π =

p

p0τ =

t

t0ξi =

xi

x0(4.12)

† Como en la sección §2.6 en (2.40) se supone que f ≈ S


La adimensionalización de las derivadas temporales y espaciales que aparecen en las ecuaciones no deberíapresentar un problema ya que consiste en la simple aplicación de la regla de la cadena para funcionescompuestas. A modo de ejemplo

dT

dt=

dT

dθ

dθ

dτ

dτ

dt=

T0

t0

dθ

dτ

De esta manera se obtienen adimensionalizadas las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.3)

mr

dθ

dτ=

[

γhi − h

cpT0+ R∗θ − uρ

]

Fi +[

R∗θ − uρ

]

Fe − qr(θ − θW) (4.13)

1

mr

d

dτ= Fi + Fe Π =

Z

Z0θ (4.14)

C∗ǫ

Fo

∂θR

∂τ=

∂

∂ξiλ∗

R

∂θR

∂ξi(4.15)

Con las propiedades termodinámicas ya definidas y agrupadas en (4.4) y completando el modelo con lafunción de operación (2.52) y las condiciones de contorno (4.5) y (4.6), de compatibilidad (4.10) y (4.11)e iniciales (4.8)

Bi(θW − θ) = λ∗R

∂θR

∂ξi

∣

∣

∣

∣

W

ni θW =1

S

wS

θR dS (4.16)

θ|τ=0 = 1 |τ=0 = 1 (4.17)

θR|τ=0 = θR0(ξi) (4.18)

lımξi→∞

TR = TR∞ (4.19)

Ziiθi = Zθ (4.20)

Donde las funciones y números adimensionales vienen definidos por

mr =mct0

ρ0VR∗ =

RZ

cvγ =

cp

cvuρ =

ρ0

RT0

∂u

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

qr =hSS

cvmc

Fo =αRt0

x20

Bi =hSx0

λR0Bi∗ = Bi

√Fo (4.21)

Donde αR0 = λR0/Cǫ0 representa la difusividad térmica del medio de frontera. Es evidente por susdefiniciones que R∗, γ, uρ y qr describen funciones adimensionales dependientes de las variables termo-dinámicas adimensionalizadas θ y mientras que mr, Fo, Bi, y Bi∗ se identifican con simples númerosadimensionales.


§ 4.4 Modelo real-ideal

Un análisis previo de los rangos de temperaturas y presiones esperados [23] y [21] desvela que el compor-tamiento de ciertas variables termodinámicas presentan poca variabilidad, y es por ello por lo que puedenllevarse a cabo las siguientes sustituciones†

cp ≈ cp0 cv ≈ cp0 −R = cv0 Z ≈ Z0 hi − h ≈ cp0(Ti − T)∂u

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

≈ −RT20 Z

T0

ρ0

Cǫ ≈ Cǫ0 λR ≈ λR0 (4.22)

De esta manera aplicando (4.22) se obtienen modificadas las ecuaciones (4.13), (4.14) y (4.15)

mr

dθ

dτ=

[

γ0θi + (R∗0 − γ0)θ + uρ0

]

Fi +[

R∗0θ + uρ0

]

Fe − qr0(θ − θW) (4.23)

1

mr

d

dτ= Fi + Fe Π =

Z

Z0θ (4.24)

1

Fo

∂θR

∂τ=

∂2θR

∂ξ2i

(4.25)

Donde las funciones adimensionales de (4.21) se redefinen como números adimensionales y se suman alos números ya obtenidos mr, Fo, Bi, Bi∗, f y C

R∗0 =

RZ0

cv0γ0 =

cp0

cv0uρ0 =

RT0ZT0

cv0qr0 =

hSS

cv0mc(4.26)

Y las condiciones iniciales, de contorno y de compatibilidad

Bi(θW − θ) =∂θR

∂ξi

∣

∣

∣

∣

W

ni θW =1

S

wS

θR dS (4.27)

θ|τ=0 = 1 |τ=0 = 1 (4.28)

θR|τ=0 = θR0(ξi) (4.29)

lımξi→∞

θR = θR∞ (4.30)

Como se ha podido apreciar la ecuación (4.20) que permitía el cálculo de la densidad i del fluido deentrada ha sido descontada en vista de la independencia de las variables termodinámicas de la densidadρ y de la asunción de gas ideal en cuanto a capacidades caloríficas se refiere. Únicamente el parámetro decompresibilidad Z se mantiene para un cálculo más preciso de la presión p como se apuntó con anterio-ridad.

†El parámetro de compresibilidad recogido en (2.9) se aplicará en el cálculo de la presión en la ecuación de estado (2.8) para unamayor precisión.


§ 4.5 Interpretación de los números adimensionales

Se ha comprobado que los números adimensionales son resultado natural de la adimensionalización delas ecuaciones del sistema. Se pueden agrupar básicamente en dos tipos; el primero de ellos correspondea números adimensionales que definen ciertas propiedades intrínsecas del fluido con el cual se trabajamientras que el segundo se centra en parámetros correspondientes a diseño y por tanto pueden ser mo-dificados a voluntad con más o menos flexibilidad. Es de utilidad reflexionar sobre la naturaleza de estosnúmeros pertenecientes al último grupo y lo que representan:

Numeros adimensionales relacionados con el fluido y su operación

Números intrínsecos del sistema R∗0 , γ0, uρ0:

Estos números no son parámetros sino relaciones adimensionales que recogen propiedades inhe-rentes al fluido de trabajo. Es por ello por lo que vienen impuestos y son una restricciónmás a teneren cuenta.

Caudal másico reducido mr:

Este número adimensional se define como la ratio entre el caudal de fluido inyectado o eyectado(mc)y el caudal medio extraible en las condiciones iniciales de operación (ρ0V/t0). Una redefini-ciónmás interesante de éste parámetro como relación entre la cantidadde fluido inyectado (mct1) yla cantidadde fluido en las condiciones iniciales deoperación (ρ0V) coincidiendo conm∗

r = τ1mr.

Está íntimamente relacionado con la densidad, ya que cuanto mayor sea dicho caudal reducidomayor será la tasa de cambio en la densidad según (4.24)

1

1

mr

d

dτ= cte.

Números adimensionales relacionados con la interacción del sistema con el medio de frontera

Número de Fourier Fo:

Este número presenta la relación entre los tiempos característicos del sistema (t0) y del medio defrontera† (x2

0/αR0).

Los casos límite en las ecuaciones vienen representados por las situaciones Fo → 0 y Fo → ∞

De esta manera, si el medio de frontera presenta una fuerte inercia térmica, es decir su tiempocaracterístico es prolongado Fo → 0, el perfil de temperaturas se mantiene constante siendo encada punto según (4.25)

∂θR

∂τ= 0 con θR = θR(ξi)

Dicho límite refleja la condición de medio de frontera isotermo.

Al contrario, cuando su inercia térmica es despreciable, esto es Fo → ∞ el perfil de temperaturasya no depende de la coordenada espacial sino únicamente del tiempo siendo según (4.25)

∂θR

∂ξi= 0 con θR = θR(τ)

†La definición usual del número de Fourier resulta de una longitud característica e.g. longitud de penetración térmica en elmedioconductor y no el radio del almacenamiento.


Dicho límite refleja la condición de medio de frontera conductivo perfecto.

Número de Biot Bi:

Este número recoge la relación entre las magnitudes de cesión de calor por convección (hSx0) ypor condución (λR0). Es el número que relaciona el modelo del sistema y el de frontera. Existentambién casos límite:

Si el mecanismo de transferencia de calor por convección es predominante Bi → ∞ y por tantosegún (4.16)

1θW = θ

Bi(θW − θ) = cte.

Dicho límite refleja la condición de sistema con frontera adiabática cuando el modelo de fronteraestá acoplado.

Por el contrario si el mecanismo predominante es el de condución Bi → 0 se tiene

∂θR

∂ξi

∣

∣

∣

∣

W

= 0

Dicho límite refleja la condición de sistema con frontera isoterma cuando el modelo de fronteraestá acoplado.

Potencia de pérdidas reducida qr0:

Este número adimensional se define como la ratio entre la potencia calorífica transmitida hacia lafrontera (hST0S) y la almacenada en el fluido (mccv0T0).

La adiabaticidad del sistema sin tener en cuenta el modelo de frontera se define mediante qf = 0.Desprendiéndose para un sistema homogéneo† el límite definido en el apartado anterior Bi → ∞.Mientras que para un sistema isotermo qf → ∞ como se verificará más adelante.

Número de transferencia Bi∗:

Nace como un número adimensional resultado de la combinación de los números adimensiona-les anteriormente mencionados Fo y Bi. Y representa una forma mas adecuada de representar elmecanismo de transferencia de calor entre el fluido del sistema y el medio de frontera.

Los números de Fourier Fo yBiotBi, resultan en sus definiciones no habituales expresados en fun-ción de una longitud propia del almacenamiento x0 como longitud característica de transmisiónde calor en el medio de frontera. Por tanto resulta más conveniente la expresión

Bi∗ = Bi√

Fo =hS

√t0

eR0

Donde eR0 =√

Cǫ0λR0 representa la efusifidad térmica del terreno. Esta representación es váli-da únicamente para números de Fourier Fo ≪ 1. Esto se traduce según (4.21) en longitudes depenetración del órden de

√αR0t0.

†Si se tuviera una ecuación en derivadas parciales la adiabaticidad del sistema vendría definida por la nulidad de la condición defrontera tipo Robin.


Este hecho puede vaticinarse simplemente mediante el estudio de las ecuaciones que involucran almediode frontera (4.15), (4.16) y (4.18) donde la coordenada espacial adimensional ξ puedemedirseen unidades de

√Fo. De ésta manera resulta del cambio de variable ξFo = ξ/

√Fo

C∗ǫ

∂θR

∂τ=

∂

∂ξF0i

λ∗R

∂θR

∂ξF0i

(4.31)

Bi∗(θW − θ) = λ∗R

∂θR

∂ξF0i

∣

∣

∣

∣

W

ni θW =1

S

wS

θR dS (4.32)

θR|τ=0 = θR0(ξFo) (4.33)

Es entonces cuando la dependencia resulta en Bi∗ y Fo. Para números de Fourier Fo suficiente-mente pequeños, se demuestra (Anexo C), que la temperatura θW depende únicamente de Bi∗ypor tanto también θ, siendo los únicos números adimensionales relevantes para el cálculo de latemperatura del sistema θ: qr y Bi∗.

Los casos de estudio vendrán en funcióndedichos números adimensionales. Ciertos casos, llamados casoslímite, desacoplan el modelo de frontera, permitiendo un estudio analítico del sistema.

Límite Bi∗ → 0:

Este caso límite representa una frontera del sistema con una enorme efusividad térmica (eR0), estoes, poseedor de una gran capacidad conductiva de intercambio de calor con sus alrededores siendopor tanto un medio conductivo perfecto. Plantea una condición sistema con frontera isoterma.

Límite Bi∗ → ∞:

Este caso límite representa una frontera con una gran capacidad convectiva de intercambio de ca-lor con sus alrededores (hS

√t0), siendo un medio convectivo perfecto. Plantea la condición de

frontera adiabática.

Sistema real simplificado:

En este caso de estudio de resolverán las ecuaciones del modelo completo presentadas en la sección§4.4

Los casos límites aquí presentados se estudiarán detalladamente a lo largo de las siguientes secciones.Dichos casos aclararán el comportamiento del sistema y delimitarán su comportamiento definiendo losrangos de lasmagnitudes adimensionales. Además se expondrá al final la resolución del sistema completopermitiendo la comparativa entre los distintos modelos.

Casos de estudio 42

Capítulo 5

Casos de estudioResulta de utilidad el estudio de ciertas configuraciones teóricas para la comprensión de la respuesta delsistema frente a modificaciones de sus parámetros intrínsecos, los números adimensionales.

El sistema de ecuaciones general propuesto no es abordable analíticamente sin la suposición de severasrestricciones y simplificaciones; algunas de ellas ya tomadas y recogidas en las ecuaciones de §4.3. Estassimplificaciones, aunque inexactas, ayudan a comprender de un modo cualitativo cómo evoluciona elsistema dando información útil de los órdenes de magnitud de las variables de estudio.

§ 5.1 Caso límite Bi∗ → 0

Este caso límite supone un perfil constante de temperaturas constante en la frontera del sistema. Dichoperfil es resultado de una capacidad calorífica infinita del medio de frontera. Dichas consecuencias per-miten un desacoplamiento del modelo de frontera.

Esto representa, por tanto, que θW = cte.† Asumiendo que la temperatura del fluido entrante se situaalrededor de un valor constante se tiene θi = cte. Estas simplificaciones hacen que el sistema de dosecuaciones (4.23) y (4.24)

1sea resoluble analíticamente.

Diferenciando los puntos de discontinuidad de (2.52) y resolviendo (4.24)1entre ellos junto con (4.17)2

se tiene para el primer ciclo

=

0 + mrτ 0 ≤ τ < τ1

0 + mrτ1 τ1 ≤ τ < τ2

0 + mrCD(τ3 − τ) τ2 ≤ τ < τ3

0 τ3 ≤ τ < τc

(5.1)

Un análisis rápido de (5.1) muestra que está acotada por los extremos absolutos máximo M= 0 +

mrτ1 y mínimo m = 0.

Introducida (5.1) en (4.23) se obtiene de forma trivial (Anexo B) para la temperatura θ del primer ciclo

θ =

θ0∗−c1 + a1(1 − ∗−c1) + a3(∗ − ∗−c1) 0 ≤ τ < τ1

(

θ0∗−c1M

+ χ1

)

exp [−c2(τ − τ1)] + θR {1 − exp [−c2(τ − τ1)]} τ1 ≤ τ < τ2(

θ0∗−(c1+c3)M

e21 + χ3∗−c3M

)

∗c3 + a2(1 − ∗c3) + a4(∗ − ∗c3) τ2 ≤ τ < τ3

(

θ0∗−(c1+c3)M

e21 + χ3∗−c3M

)

exp [−c4(τ − τ3)] + θR {1 − exp [−c4(τ − τ3)]} τ3 ≤ τ < τc

(5.2)Donde ∗ = /0 y los coeficientes a1, a2, a3, a4 y los exponentes c1, c2, c3, c4 así como las formascompactas e21 y ec3 vienen recogidos según

†Existen configuraciones donde este caso límite se cumple estrictamente como los almacenamientos marítimos.

Casos de estudio 43

a1 =γ0θi + qr0θR0

c1a2 =

qr0θR0

c3CDa3 =

uρ00

1 + c1a4 =

uρ00

1 − c3

c1 = qr0 + γ0 − R∗0 c2 =

mr qr0

M

c3 =qr0 + CDR∗

0

CDc4 = mr qr0

(5.3)

e21 = exp [−c2(τ2 − τ1)] ec3 = exp [−c4(τc − τ3)] (5.4)

Los grupos adimensionales escogidos por simplicidad visual de las ecuaciones son χ1, χ2, χ3 y recogen

χ1 = a1(1 − ∗−c1M

) + a3(∗M− ∗−c1

M) χ2 = a2(1 − ∗c3

M) + a4(

∗M− ∗c3

M)

χ3 = χ1e21 − χ2 + θR0(1 − e21)

Dada la periodicidad de la función de operación (2.52), la solución también resultará periódica. Segúndicha condición la variable temporal cumple τ = τ + nτc, como es natural en una función cuyo periodocoincide con τc y siendo n el número del ciclo. Por tanto se deriva inmediatamente

(nτc) = ((n − 1)τc) θ(nτc) = θ ((n − 1)τc)

Aplicando dichas relaciones de forma reiterada a las ecuaciones se obtienen unas expresiones en funcióndel número del ciclo n para 0 y θ0. Basta con sustituir en (5.1) y (5.2)

0 −→ (n−1)0 θ0 −→ θ

(n−1)0

Donde (n−1)0 y θ

(n−1)0 coinciden con la densidad y temperatura adimensionalizadas iniciales del ciclo n.

Las soluciones para (5.1) y θ (5.2) se extienden pues para el intervalo genérico [(n − 1)τc, nτc] siendolas expresiones para dichos coeficientes coinciden con

(k)0 = 0

θ(k)0 = θ0

(

∗−(c1+c3)M

e21ec3

)k+

[

χ3ec3∗−c3M

+ θR0(1 − ec3)]

k−1

∑ν=0

(

∗−(c1+c3)M

e21ec3

)ν(5.5)

Con esto se obtiene una expresión de θ dependiente del número de ciclo en el que se halle el sistema.Como todo sistema físico periódico, transcurrido el tiempo de relajación τr, el cual se alcanza con unnúmero entero de ciclos nr tal que τr = nrτp; θ = θs, donde θs representa la temperatura en régimenpermanente, esto es independiente de n. Si ǫ representa el factor desviatorio en cada ciclo n y 0 ≤ ǫ ≤ 1,es entonces cuando el tiempo de relajación resulta como el límite nr ∝ lımǫ→0 ln 1/ǫ.

Esta relación se obtiene de la solución transitoria θt dependiente del número de ciclos n y de una funciónTτ acotada y en principio dependiente de τ, cuya forma coincide con

θt = Tτ

[

∗−(c1+c3)M

e21ec3

]n−1

Puede demostrarse sin mucha dificultad que el productorio en cualquier caso está acotado, es decir elmultiplicador es menor que la unidad. Esto demuestra que transcurrido un tiempo τr

θ(nr)0 =

χ3ec3∗−c3M

+ θR0(1 − ec3)

1 − ∗−(c1+c3)M e21ec3

(5.6)

Casos de estudio 44

109876543210 11 120.96

0.99

1.03

1.06

1.09

1.12

smax

smin

θ

θ

nm

axn

min

θθ

/

n

(a) θi = 1,035.

0.99

1.02

1.05

1.08

1.12

1.15

109876543210 11 12

smax

smin

θ

θnm

axn

min

θθ

/

n

(b) θi = 1,075.

Figura 18: Temperaturas máxima y mínima del aire en (5.2) según (5.1) en cada ciclo n. T0 = 310 K,p0 = 45 bar, qr0 = 0, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

Resulta de interés, una vez halladas la temperatura (5.2) y densidad (5.1), analizar cuales son sus rangos enoperación. Dado que la funcion (2.52) se presenta como suma de funciones monótonas los extremos desu función integral se hallarán en sus puntos críticos y por tanto tendrá en dichos puntos sus valoresmínimo con subíndice m y máximo con subíndice M coincidiendo éstos según (5.1) con

m = 0 M= 0 + mrτ1 (5.7)

Así, no resulta tan trivial para la temperatura θ, ya que a diferencia de la densidad que únicamente depen-de de lamasa introducida y del volúmen del sistema†, está ligada a otros factores tales como la transmisiónde calor. Parte de la energía almacenada se transfiere a la frontera, abandonando el fluido y disminuyen-do su temperatura y viceversa. Es por ello por lo que a la vista de (2.52) los valores de interés para θ seobtendrán al final de las fases de carga y descarga coincidiendo en régimen estacionario con

θsm =χ3∗c1

M+ θR0e21(1 − ec3)

∗c1+c3M − e21ec3

θsMe21 = ∗c3

Mθsm + e21χ1 − χ3 (5.8)

Resulta interesante obtener los rangos de temperaturas en (5.8) mediante los límites

lımmr→∞

θsm = a2 + a4 lımmr→0

θsm = [a1c1 + a2c3 + θR0qrτm/τ1] / (c1 + c3 + qrτm/τ1)

lımmr→0

θsM= lım

mr→0θsm lım

mr→∞θsM

= a1 + a3 lımmr→∞

M

(5.9)

Tal que las temperaturas mínima θm y máxima θMestán acotadas según

lımmr→∞

θsm ≤ θsm ≤ lımmr→0

θsm lımmr→0

θsM≤ θsM

≤ lımmr→∞

θsM(5.10)

Deducido el comportamiento de la temperaura θ y de la densidad puede obtenerse mediante (4.24)2 lapresión del sistema para un tiempo τ.

†Esta asunción sólo es aplicable a medios no porosos.

Casos de estudio 45

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.96

0.97

0.99

1.00

1.01

1.03

1.04

1.06

0.78

0.85

0.93

1.00

1.07

1.15

1.22

1.29

0.78

0.85

0.93

1.00

1.07

1.15

1.22

1.29

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τΠ

θ

θ

Temperatura super�cial

Temperatura del aire

i

Presión del aire

F iF

e+

Gas ideal

(a) Durante primer ciclo.

19.0 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20.0

0.96

0.97

0.99

1.00

1.01

1.03

1.04

1.06

0.78

0.85

0.93

1.00

1.07

1.15

1.22

1.29

0.78

0.85

0.93

1.00

1.07

1.15

1.22

1.29

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

Π

θ

θ



i

Presión del aire

F iF

e+

Gas ideal

(b) Durante vigésimo ciclo

Figura 19: Presión y temperatura del aire en el caso límite Bi∗ → 0 calculadas mediante (5.1), (5.2),(4.24)2 y función adimensional (2.52). T0 = 310 K, p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0 = 25, mr = 0, 8,

τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

Es de interés obtener sus extremos tal y como se detalla a continuación.

Πsm =Zsm

Z0mθsm ΠsM

=ZsM

Z0

MθsM

(5.11)

Donde Zsm y ZsMson los valores mínimo y máximo del factor de compresibilidad (2.9) sustituidos el

valor máximo o mínimo de y θ. De esta manera, de (5.11) y (5.8) pueden obtenerse la presión inicial delsistema p0 y el volumen V de almacenamiento en función de las presiones máxima ΠsM

y mínima Πsm

representado en figura (20).Puede también verificarse el comportamiento de la solución en los casos límite propuestos en la sección§4.5 con qr → ∞ y qr → 0. El primero de ellos se corresponde como fue anticipado con una tempe-ratura constante e igual a la del medio circundante en el interior del almacenamiento θ = θW = θR0

mientras que el segundo caso da lugar a un almacenamiento adiabático el cual se discutirá detalladamentea continuación en la siguiente sección.

1.21.0 1.4 1.6 1.8 2.0 2.20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

qr0

qr0

qr0

= 25

= 0→∞

Volumen óptimo

Almacenamiento adiabático

Almacenamiento isotermo

psmax / psmin

mct 1γ

0R

T i

Vps

min

Figura 20: Requerimiento volumétrico de almacenamiento según la ratio de presiones extremas (5.11) enel modelo isotermo. T0 = 310 K, p0 = 45 bar, θi = 1,038, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

Casos de estudio 46

§ 5.2 Idealización del sistema: Caso límite Bi∗ → ∞

La solución exacta asintótica de (4.23) cuando Bi∗ → 0 es la solución analítica que más se aproxima a ladescripción del sistema físico objeto de estudio, pero resulta de utilidad estudiar el sistema simplificadopara así obtener una visión más general de su comportamiento.

Esta nueva definición del sistema como un sistema ideal, puede deducirse del problema general en ellímite cuando la dendidad ρ → 0. Así en las definiciones termodinámicas recogidas en (4.4) se obtieneuna definición formal para la idealización de la funcion de estado Φ

lımρ→0

Φ = Φo

De esta manera la definición de la variable de estado como una función multivariable dependiente dela densidad ρ y la temperatura T torna a la dependencia única y exclusivamente la temperatura T. Estasimplificación útil aunque tosca, ofrece un punto de vistameramente cualitativo y en casos exceptionalescuantitativo con un error no despreciable.

En la sección §2.3 se introdujo la ecuación de estado del sistema de la que se hizo uso para la posteriorderivación de las ecuaciones del modelo. La descripción de un sistema viene implícita en dicha ecuación,y es por ello por lo que la idealización del sistema ha de aplicarse a la ecuación que describe el sistema,obteniéndose la conocida Ley de los Gases Ideales†

lımρ→0

p

ρT= R (5.12)

Extendiendo dicho límite al resumen termodinámico (4.4) y aplicando las imposiciones de la sección §4.3resulta en la nulidad de los coeficientes a3 y a4 en (5.2).

La condición de adiabaticidad del sistema queda recogida en el límite Bi∗ → ∞. En este caso límite sepresenta un sistema adiabático caracterizado por la ausencia de un flujo de calor en la frontera‡ qf = 0.Dicho límite es equivalente a qr0 → 0 cuando el modelo de frontera permanece desacoplado.

En sumás genérica expresión, θW es función del tiempo τ y dada su arbitrariedad∥ el caso resuelto en §5.1es una solución particular para θW = cte. Por tanto, sin pérdida de generalidad puede aplicarse dicholímite a (5.1) y (5.2).

Se redefinen los coeficientes recogidos en (5.3) según dichos límites.

a1 = γ0θi a2 = 0 a3 = 0 a4 = 0

c1 = 1 c2 = 0 c3 = γ0 − 1 c4 = 0(5.13)

Incorporando este nuevo resultado a (5.2), se obtiene una ecuaciónmás clara y simplificada para el primerciclo.

†Esta Ley se deriva directamente de un análisis cuántico, siendoR = kN donde N representa el número de átomos por unidadde masa y k la ya mencionada constante de Boltzmann.‡Esta imposición no requiere el estudio del modelo completo y el planteamiento del modelo de frontera carecería de sentido.∥Tal arbitrariedad carece de sentido fuera del límite, ya que dicha función θW vendría dada en todo caso por (4.16)1

Casos de estudio 47

θ =

[θ0 + γ0θi(∗ − 1)] ∗−1 0 ≤ τ < τ1

[

θ0 + γ0θi(∗M− 1)

]

∗−1M

τ1 ≤ τ < τ2[

θ0 + γ0θi(∗M− 1)

]

∗−1M

[

∗/∗M

]γ0−1τ2 ≤ τ < τ3

[

θ0 + γ0θi(∗M− 1)

]

∗−γ0M

τ3 ≤ τ < τc

(5.14)

La ecuación (5.1) que describe el comportamiento de la densidad , queda inalterada al no haber depen-dido de la ecuación de estado (2.8) en su derivación.

Como se dedujo en la sección §2.5 y gracias a una mayor claridad visual en las ecuaciones, a simple vistael comportamiento que describe la temperatura θ en el estado de descompresión resulta isentrópico i.e.θ = cte.γ0−1.

Si se desea extender (5.14) al ciclon, basta con sustituir θ0 por θ(n−1)0 y aplicar el procedimiento reiterativo

que se dedujo anteriormente θ(nτc) = θ ((n − 1)τc). Esta expresión puede obtenerse aplicando lasimposiciones al principio de esta sección a la expresión (5.1) obteniéndose†

θ(k)0 = ∗−kγ0

M

[

θ0 + γ0θi(∗M− 1)

k−1

∑ν=0

∗νγ0M

]

(5.15)

Como no existen pérdidas de calor, las temperaturasmínima ymáxima, θm y θMrespectivamente presen-

tan un valor constante. Insertando (5.15) en (5.14) en los tiempos τ2 ≤ τ < τ3 y τ1 ≤ τ < τ2 se obtienela mínima y la máxima respectivamente en cada ciclo n.

θm = θ(n)0 θ

M= ∗γ0−1

Mθm (5.16)

Las temperaturas en régimen estacionario mínima y máxima se obtienen en el límite n → nr a (5.16),donde nr fue definido en la sección §5.1.

θsm =γ0θi(

∗M− 1)

∗γ0M − 1

θsM= ∗γ0−1

Mθm (5.17)

Y según (5.1), las temperaturas mínima y máxima en (5.16) se encuentran entre los límites teóricos

0 ≤ θsm ≤ θi θi ≤ θsM≤ γ0θi (5.18)

De (5.1) y (5.17) pueden obtenerse las presiones mínima y máxima según (4.24)2 con Z = Z0 = 1 comoindica (5.12)

Πsm = mθsm ΠsM=

MθsM

(5.19)

Deducidos los valoresmáximos ymínimos, puede deducirse de éstos trivialmente los valores de la presiónde llenado p0 y el volumen‡

de almacenamiento V. De las ecuaciones (5.17) y (5.19) se obtienen las siguientes relaciones

†El resultado expuesto se deduce utilizando la conocida relación αβ ∑βν=0 α−ν = ∑

βν=0 αν.

‡Como apreciación, en el caso isotermo descrito en la sección §5.1 el cálculo del volumen requerido de almacenamiento conside-raría que θsM = θsm = θR0 siendo éste

V =mct0RT0R

psM − psm

Casos de estudio 48

ΠsM

Πsm= ∗γ0

MΠsM

− Πsm = mγ0θi(∗M− 1) (5.20)

Y de ellas las siguientes igualdades

ΠsM− Πsm

mγ0θi

{

[

ΠsM

Πsm

]1/γ0

− 1

} = 11

∗M− 1

=mγ0θi

ΠsM− Πsm

(5.21)

De las cuales según los números adimensionales definidos en §4.3 se obtienen en función de la presiónmáxima psM

y la presión mínima psm del almacenamiento

p0 =psM

− psm

mγ0Ti

T0

{

[

psM

psm

]1/γ0

− 1

} V =mct1Rγ0Ti

psM− psm

(5.22)

Haciendousode (5.21)1, las expresiones de (5.17) pueden explicitarse en funciónde la ratio rp = psM/psm.

θsm = γ0θi

r1/γ0

p − 1

rp − 1θsM

= γ0θi

r−1/γ0

p − 1

r−1

p − 1(5.23)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.95

1.00

1.05

1.10

1.14

0.86

1.00

1.14

1.28

1.42

0.86

1.00

1.14

1.28

1.42

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

Π

θ

θ



i

Presión del aire

F iF

e+

Gas ideal


19.0 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20.0

0.95

1.00

1.05

1.10

1.14

0.86

1.00

1.14

1.28

1.42

0.86

1.00

1.14

1.28

1.42

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

Π

θ

θ



i

Presión del aire

F iF

e+

Gas ideal


Figura 21: Presión y temperatura del aire en el caso límite Bi∗ → ∞ calculadas mediante (5.1), (5.2) y(4.24)2 siendo (5.14) la utilizada en el caso ideal, y función adimensional (2.52). T0 = 310 K,

p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0 = 0, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

§ 5.3 Caso de estudio Bi∗ finito

Los procesos de transmisión de calor juegan un papel muy importante que no ha de omitirse. Es por ellopor lo que resulta de interés resolver las ecuaciones del modelo analíticamente para estudiar su compor-tamiento y describirlo de la manera más cercana a lo que transcurre en la realidad.

Casos de estudio 49

A lo largo de las secciones anteriores §5.1 y §5.2, dichos efectos no se tomaron en cuenta o se aproximaronde forma poco rigurosa. Es ahora cuando se conferirá a los procesos de transmisión de calor la relevanciaque procesan y estudiar su efecto en el almacenamiento.

Se supondrá un almacenamiento cilíndrico infinito conmedio de frontera isótropo, así como una densi-dad constante e igual a la media aritmética† entre sus valores

Mmáximo y m mínimo según 5.1 siendo

ésta coincidente con ¯ = 0 + mrτ1/2. Ésto permitirá la obtención sencilla de una aproximación ana-lítica manejable, que de otra menera llevaría a cálculos demasiado complicados de tratar.

Las ecuaciones que describen la tranmisión de calor en el medio de frontera (4.25), (4.29), (4.28)2 se ajus-tan a las condiciones impuestas donde el dominio exige una transformación de coordenadas según

1

Fo

∂θR

∂τ=

1

r∗∂

∂r∗r∗

∂θR

∂r∗(5.24)

θR|τ=0 = θR0(r∗) |τ=0 = 1 (5.25)


∂r∗

∣

∣

∣

∣

W

ni θW =1

S

wθR dS (5.26)

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (4.23), (5.24), (5.25) y (5.26) en el límite asintóticoFo ≪ 1 resultan en función de τ las siguientes ecuaciones

θ = 1 + c1Q

w ∞

0

1 − exp (−η2τ)

ψ21 + ψ2

2

dη (5.27)

θR = 1 +c1√r∗

w ∞

0

ψ1 sin[

η√Fo(r∗ − 1)

]

+ ψ2 cos[

η√Fo(r∗ − 1)

]

ψ21 + ψ2

2

(1 − exp (−η2τ))dη

η(5.28)

Donde

c1 =2

πBi∗mr

¯(γ0 − R∗

0 + γ0θi + uρ0 ¯) Q =qr0mr

¯

ψ1 =mr

¯(γ0 − R∗

0)− η2 ψ2 =η

Bi∗

[

mr

¯(qr0 + γ0 − R∗

0)− η2

]

§ 5.4 Sistema real simplificado: modelo real-ideal completo

Dada la complejidad de las ecuaciones propuestas en la sección §4.4 así como la importancia de los me-canismos de transmisión de calor en el desarrollo del perfil de temperaturas en el sistema; es necesariorecurrir a los métodos numéricos para un estudio más completo y detallado.

Se modelizará un almacén cilíndrico‡ suponiendo que su dimensión longitudinal es mucho mayor quesu trasversal. De esta manera, para la descripción del espacio del medio circundante∥ resulta natural su

†Esto resulta razonable para pequeños valores de mr .‡Noesúnico, sinoque comparte lugar con el esférico. Es obvioquedependiendodel campode aplicación encontremosunouotromás abundantemente, e.g. los depósitos de gas natural en superficie son esféricos mientras que los sistemas de almacenamientode aire a presiónCAES existentes consisten en cavernas cilíndricas y es por esopor loque estemodelo adoptará una configuracióncilíndrica.∥En la sección §2.1 se propuso un modelo homogéneo para las propiedades termodinámicas del sistema.

Casos de estudio 50

descripción en coordenadas cilíndricas.

Las ecuaciones que describen la tranmisión de calor en el medio de frontera (4.25), (4.27), (4.29) y (4.30)se ajustan a dicha geometría resultando en función únicamente de la distancia entre un punto cualquieradel dominio y el eje de revolución del cilindro descrita en el plano perpendicular a éste, según las consi-deraciones descritas en el párrafo anterior

1

Fo

∂θR

∂τ=

1

r∗∂

∂r∗r∗

∂θR

∂r∗(5.29)

θR|τ=0 = θR0(r∗) lım

r∗→∞θR = θR∞ Bi(θW − θ) =

∂θR

∂r∗

∣

∣

∣

∣

W

(5.30)

θW = θR(τ, 1) (5.31)

Donde se expresa la magnitud dimensional radial r adimensionalizada con el radio del almacenamientor0 redefiniéndose así los números adimensionales asociados a los fenómenos de transferencia de calor,expresándose según lamencionada longitud característica radial r0. Se reduce entonces a un problema endos dimensiónes descrito en un plano que contenga al eje del cilindro. Dicho resultado se extrapolará aldominio tridimensional mediante su revolución respecto al eje.

La discretización en el espacio de las ecuaciones (5.29), (5.30) y (5.31) se plantea mediante un malladode paso progresivo de Nr∗ + 1 puntos, consecuencia de los fuertes gradientes térmicos en las zónas máspróximas a la pareddel almacenamiento. El dominiode resoluciónotorga almalladouna longitud total deR∗

ǫ − 1, calculada apartir de la longituddepenetración térmica (AnexoE), donde la temperatura endichopunto se encuentra muy próxima a inicial del terreno asumiéndola coincidente con la temperatura θ∞

de un punto alejado de la influencia térmica del almacenamiento. La coordenada espacial adimensionaldel punto k se discretiza según el siguiente esquema

r∗k+1 − r∗k = exp (β/Nr)(r∗k − r∗k−1) (5.32)

r∗k r∗k+1r∗k-1

r∗2r∗1 R∗1

θR0 θR1 θR2 θRk-1 θRk θRk+1 θRN

Figura 22: Mallado unidimensional en progresión geométrica del modelo real-ideal.

Donde el parámetro β se elegirá convenientemente según los requerimientos del mallado. Se proponeuna transformación del dominio r∗ ∈ [1, R∗

ǫ − 1] al dominio computacional η ∈ [0, 1] mediante latransformación deducida de (5.32)

η =1

βln

[

1 +r∗ − 1

R∗ǫ − 1

(exp β − 1)

]

0 < η < 1 (5.33)

Resultando el sistema diferencial

1

Fo

∂θR

∂τ= η′2 ∂2θR

∂η2+

[

η′′ +η′

r∗

]

∂θR

∂η(5.34)

Casos de estudio 51

θR|τ=0 = θR0(η)∂θR

∂η

∣

∣

∣

∣

η=0

= 0 Bi(θW − θ) = η′ ∂θR

∂η

∣

∣

∣

∣

η=0

(5.35)

Se discretiza espacialmente las ecuaciones en derivadas parciales (5.29) y (5.30) según un esquema de dife-rencias finitas centradas con un error determinado, definido por

1

Fo

∂θRk

∂τ=

[

η′2 θRk+1 − 2θRk + θRk−1

∆η2+

(

η′′ +η′

r∗

)

θRk+1 − θRk−1

2∆η

]

r∗=r∗k

+O(

∆η2)

k = 1, ..., Nr − 1 (5.36)

Con

O(

∆η2)

= η′2 ∆η2

12

∂4θRk

∂η4+

(

η′′ +η′

r∗

)

∆η2

6

∂3θRk

∂η3(5.37)

Donde

∆η =1

Nrηk = k∆η r∗k = 1 +

[

exp (βk/Nr)− 1

exp β − 1

]

(R∗ǫ − 1) k = 0, ..., Nr (5.38)

Discretizando las condiciones de contorno mediante la introducción de los nodos ficticios α y ω al prin-cipio y final del mallado respectivamente e introduciéndolas en (5.34) se tiene

1

Fo

∂θR0

∂τ=

[

2η′2 θR1 − θR0

∆η2+ Bi

(

η′′

η′ +1

r∗− 2η′

∆η

)

(θR0 − θ)

]

r∗=1

(5.39)

1

Fo

∂θRNr

∂τ=

[

2η′2 θRNr−1 − θRNr

∆η2

]

r∗=R∗ǫ−1

(5.40)

Esta discretización del dominio da lugar a un sistema de Nr ecuaciones con Nr in cógnitas θRk que ha deser resuelto junto a (4.23) y (4.24). Siendo éste presentado a continuación

mr

dθ

dτ=

[

γ0θi + (R∗0 − γ0)θ + uρ0

]

Fi +[

R∗0θ + uρ0

]

Fe − qr0(θ − θR0)

1

mr

d

dτ= Fi + Fe Π =

Z

Z0θ

1

Fo

dθRi

dτ= bi − KikθRk (5.41)

El sistema de N + 3 ecuaciones se resolverá numéricamente mediante un algoritmo basado en fórmulasde diferenciación numérica apropiado para problemas que presentan una solución rígida, en la instruc-ción de ode15s enMatlab con una tolerancia de 1 × 10−7.

Este esquemadediscretización temporal se basa en los llamadosmétodosBDFoBackwardDi�erenciationFormulas en inglés. Siendo el sistema propuesto en (5.41) reescrito según la derivación temporal del vectorque agrupa la densidad y temperatura del almacenamiento, y las correspondientes temperaturas nodalesen el medio sólido Θ = (, θ, θRi)

T calculando la presión Π de forma separada.

MikdΘk

dτ= Bi − KikΘk Θ|τ=0 = Θ0 (5.42)

Lamatriz Mik, llamadamatriz demasa del sistema diferencial, corresponde a la formada por los coeficien-tes de las derivadas temporales de cada ecuación, además presenta una forma diagonal Mik = Milδlk,

Casos de estudio 52

donde δik se corresponde con laDelta de Kronecker y ha de recalcularse en cada iteración.

El esquemadediscretización temporal del sistemadiferencial definidopor (5.42) enunmalladodeNτ + 1puntos viene dada por

τn = n∆τ = nτc

Nτ, n = 0, ..., Nτ (5.43)

La idea principal consiste en aproximar la solución exacta deΘnk en el punto del soporte de discretización

temporal τn mediante un polinomio interpolador Θk de órden≤ p, siendo el polinomio interpoladorde Lagrange el más utilizado, cuyo soporte sean los p + 1 puntos [τn−p+1, ..., τn+1].

Θk =n+1

∑q=n−p+1

Θqklq con n ≥ p − 1 (5.44)

Donde lq representa el polinomio interpolador de Lagrange de órden p en el punto q del dominio tem-poral discreto correspondiente al k-ésimo coeficiente del polinomio interpolador.

lq =n+1

∏s=n−p+1

s 6=q

τ − τs

τq − τsn − p + 1 ≤ q ≤ n + 1 (5.45)

La derivada de dicho polinomio interpolador en un punto del soporte será la aproximación de la derivadade la solución exacta en dicho punto dΘn+1

k /dτ ≈ dΘn+1k /dτ

dΘn+1k

dτ=

n+1

∑q=n−p+1

Θqk

dlq

dτ

∣

∣

∣

∣

τ=τn+1

con n ≥ p − 1 (5.46)

Dondedlq

dτ=

n+1

∑t=n−p+1

t 6=q

1

τq − τt

n+1

∏s=n−p+1

s 6=q,t

τ − τs

τq − τs(5.47)

En la práctica los puntos del mallado del polinomio interpolador suelen ser equidistantes, resultando laaproximación algebráica de (5.42) realizando pequeños cambios indiciales coincide con la que se muestraa continuación

Mn+1ik

p

∑q=0

αn+1−qΘn+1−qk = ∆τ

(

Bn+1i − K

n+1ik Θn+1

k

)

+O(

∆τp+1)

(5.48)

Con

αn+1−q =p

∑t=0t 6=q

1

t − q

p

∏s=0

s 6=q,t

s

s − qO

(

∆τp+1)

= − 1

(p + 1)

dp+1Θk

dτp+1

∣

∣

∣

∣

τn+1

∆τp+1 (5.49)

La ecuación algebraica para Θn+1k se resuelve iterativamente con el Método de Newton.

En la resolución numérica de la temperatura del medio sólido, la longitud del mallado se dispuso paracubrir un rango de distancias hasta una coincidencia del 99,22 % con la temperatura del medio sólido ori-ginaria θR∞ en el vigésimo ciclo † con Nr∗ = 50.

† La longitud de penetración térmica en régimen estacionario puede aproximarsemuy bien sustituyendo el tiempo característicoen la definición del número de Fourier Fo por el tiempo en el que se alcanzan esas condiciones estacionarias estimado en 20ciclos.

Casos de estudio 53

Los elementos de la matriz tridiagonal, propia de problemas de transmisión de calor, se almacenaron enunamatriz dispersa definida comoKik para junto el vector de condiciones de contorno bi se resuelvan lasN incógnitas θRi.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.95

0.98

1.00

1.02

1.05

1.07

1.09

0.83

0.91

1.00

1.09

1.17

1.26

1.35

0.83

0.91

1.00

1.09

1.17

1.26

1.35

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

Π

θ

θ



i

Presión del aire

F iF

e+

Gas ideal


19.0 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20.0

0.95

0.98

1.00

1.02

1.05

1.07

1.09

0.83

0.91

1.00

1.09

1.17

1.26

1.35

0.83

0.91

1.00

1.09

1.17

1.26

1.35

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

Π

θ

θTemperatura

super�cial


i

Presión del aire

F iF

e+

Gas ideal


Figura 23: Presión y temperatura del aire calculadas mediante (5.41) y función adimensional (2.52).T0 = 310 K, p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0 = 25, Bi = 250, Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8,

τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0.97

0.99

1.00

1.01

1.03

1.04

-2.00

0.00

1.00

0

1.038

τ

θ

θ

i

F iF

e+

R

Super cie del almacenamiento

r∗=1.01

r∗=1.00

r∗=1.03 r∗=1.07 r∗=1.30


19.0 19.2 19.4 19.6 19.8 20.0 20.2 20.4 20.6 20.8 21.0

0.97

0.99

1.00

1.01

1.03

1.04

-2.00

0.00

1.00

0

1.038

τ

θ

θ

i

F iF

e+

R

Super cie del almacenamiento

r∗=1.01 r∗=1.03 r∗=1.07 r∗=1.30

r∗=1.00


Figura 24: Temperatura del sólido circundante calculada mediante (5.41). T0 = 310 K, p0 = 45 bar,θi = 1,038, qr0 = 25, Bi = 250, Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24,

τ3 = 18/24.

Análisis de sensibilidad 54

Capítulo 6

Análisis de sensibilidadResuelto el sistema de ecuaciones y halladas dos variables termodinámicas (a ser la temperatura T y ladensidad ρ del aire y la distribución de temperaturas en el medio sólido θR), pueden ser objeto de estudiociertos comportamientos del sistema en función de sus parámetros adimensionales.

Esto resultará en la optimización y adecuación de la operación y las características del sistema. Según lasecuaciones derivadas a lo largo de las secciones anteriores resultan

Parámetro Definición Valor mínimo Valor máximo Unidades Comentario

T0 Temperatura inicial del aire 30 80 ° C Tomada de [7]

T0R Temperatura inicial del medio sólido 20 60 ° C Tomada de [7]

p0 Presión inicial de llenado 20 70 bar Según operación de turbina

Z0 Parámetro de compresibilidad del aire 0, 99 1, 01 –

mc Caudal másico de compresión 50 150 kg/s Según operación del compresor

r0 Radio del almacenamiento 5 30 m

S Superficie del almacenamiento 103 105 m2

hS Coeficiente de transferencia de calor 10 160 W/(mK)

λR0 Conductividad térmica del sólido 1 7, 5 W/(mK) Tabla (1)

αR0 Difusividad térmica 0, 3 × 10−6 4, 5 × 10−6 m2/s Tabla (1)

eR0 Efusividad térmica del sólido λR0/α1/2R0 550 13000 Ws1/2/(m2K)

psm Presión mínima de operación 20 70 bar Según la presión de entrada a turbina

psMRatio de presiones estremas 1,2 1,8 – Sujeto a restricciones geologicas y economicas

Ti/T0 Temperatura de inyección adimensional 1 1,2 – Sujeto a restricciones geologicas y economicas

mr mct0/(ρ0V) 0, 3 1, 7 – Según figura (20)

qr0 hSS/(mccv0) 1 300 –

Fo αR0t0/(r20) 3 × 10−5 0, 01 –

Bi hSr0/λR0 10 4500 –

Bi∗ hSt1/20 /eR0 0, 2 75 –

τ1 t1/t0 6/24 12/24 – Compresión

τ2 − τ1 (t2 − t1)/t0 2/24 8/24 – Almacenamiento

τ3 − τ2 (t3 − t2)/t0 2/24 10/24 – Descarga

Tabla 3: Parámetros característicos para la operación CAES.

Para comentar más detalladamente el comportamiento de la respuesta termodinámica al proceso cíclicode carga y descarga; de los resultados analíticos deducidos de los casos límite, presentados en las figuras(21) y (19) junto a los numéricos recogidos en las figuras (23) y (24) para el primer y el vigésimo ciclo segúnel conjunto de parámetros escogido, se deducen las siguientes conclusiones inmediatas.

Dichos modelos, en condiciones representativas de los sistemas CAES, cubren un rango de carac-terísticas muy amplio en cuanto a lo que a parámetros adimensionales se refiere, como se apreciaen la tabla (3), lo que les confiere una especial “elasticidad” para amoldarse a cualquier requeri-miento. Estos valores, obviamente, ven limitado su rango cuando se escogen unas determinadascaracterísticas para el medio adyacente al almacenamiento así como su geometría.

El modelo ideal predice un rango de temperaturas y presionesmás suaves que las esperadas. Esto esasí por el término desviatorio ∂u/∂ρ|T presentado en (2.34). Esta diferencia es tanto más acusadacuantomayor sea la presiñ promedio de operación (y por tanto la densidad ρ) ya que la desviaciónse mide en un factor de mruρ0τ1 al ser dicha derivada constante en el rango de presiones esperado


según (15). Se concluye recalcando que conforme mr → 0 (4.21) dicha diferencia desaparece y enel límite cuando mr → ∞ dicho término resulta dominante resultando en mayores desviaciones.

Los efectos de transferencia de calor entre el almacenamiento y sus alrededores se muestran evi-dentes. El modelo isotermo (19) alcánza en un período relativamente corto las condiciones estacio-narias, ya mostrando dicha cualidad en el primero de los ciclos; esto resulta de las fuertes pérdidascaloríficas a través de la superficie del almacenamiento.Al contrario ocurre en elmodelo adiabático,figura (21), donde las condiciones estacionarias no se alcanzan hasta aproximadamente el duodéci-mo ciclo, figura (18), siendo en el último caso de estudio, donde el acoplamiento de dos sistemas,sean almacenamiento y medio sólido circundante; el que tenga un mayor tiempo de estabiliza-ción hasta que se alcanza un equilibrio mútuo. En cualquiera de los casos, a partir del vigésimociclo, puede considerarse el sistema en régimen estacionario† cumpliéndose la igualdad de los es-tados termodinámicos al principio y al final de ciclo. Esto ocurre cuando la energía suministradamrγ0θiτ1 iguala a la recuperada en la fase de descarga más las pérdidas a través de la superficie delalmacenamiento, cumpliénsose para el ciclo n & 20

mrγ0θiτ1 = mrγ0CD

w τ3

τ2

θ dτ + mr qr0

w τc

0

(θ − θW) dτ 0 ≤ τ − (n − 1)τc < τc

(6.1)

El modelo adiabático, figura (21), correspondiente al caso límite Bi∗ → ∞; como era de esperar,presenta la diferencia de temperaturas más extrema siendo su valor máximo aproximadamente un10% mayor que la temperatura inicial y su ratio máxima respecto a mínima de aproximadamente1,10. Dichas temperaturas influyen en un aumento proporcional en la presión del sistema cuyo va-lormáximo se corresponde con aproximadamente un 40%mayor que la presión inicial de llenadocon una ratio máxima respecto a mínima de aproximadamente 1,42.

Elmodelo isotermo, figura (19), correspondiente al caso límite Bi∗ → 0; previsiblemente presentala menor variación de temperaturas, siendo su valor máximo aproximadamente un 1 %mayor quela temperatura inicial conuna ratiomáxima respecto amínimade aproximadamente 1,04, resultan-do en un menor valor máximo de la presión, coincidente con aproximadamente un 30% mayorque la presión inicial de llenado con una ratio máxima respecto a mínima de aproximadamente1,34.

Es de esperar pues, que el resultado obtenido tras considerar los efectos de transmisión de calorreales a través de la superficie del almacenamiento, figuras (23) y (24), se encuentre entre los dosmencionados anteriormente. Y es que el medio sólido que rodea el almacenamiento actúa comoun medio amortiguador, suavizando los gradientes térmicos en el interior del almacenamiento.Por tanto los valores máximos de la temperatura y presión se encuentran entre los límites señala-dos anteriormente siendo para la temperatura y presión aproximadamente un 5% y un 35 %mayorque los valores iniciales de temperatura y presión de llenado, respectivamente; así también la ratiode temperatura y presión máxima respecto a mínima de aproximadamente 1,09 y 1,38 respectiva-mente.

Se desprende por simple observación que el valor medio de la temperatura a lo largo de un cicloes superior a la temperatura del medio sólido envolvente sin disturbar. Este hecho provoca que encada ciclo, una pequeña fracción de calor se pierda y transfiera por conducción en dicho medio.

†A efectos reales las condiciones estacionarias, en el sentido riguroso de la palabra se alcanzarían tras un largo período de tiempo,a efectos prácticos dada la variabilidad de la operación de la central de potencia, es representativo de dicho régimen el vigésimociclo.


Según la figura (24) se distinguen dos tipos de procesos relacionados con la transmisión de calor:

• El primero de ellos ocurre únicamente en las inmediaciones de la superficie del almacena-miento, donde los fenómenos cíclicos son obviamante notables. Estos procesos de transmi-sión que afectan aproximadamente a profundidades de hasta el 7 % del radio del almacena-miento son los responsables de la amortiguación de la temperatura de éste.

• El segundo afecta a las distancias por encima del 7 %, donde la distribución de temperaturasposee un perfil hommogéneo y es la resposable de sus pérdidas caloríficas†. Dichas pérdidasson del órden de mrqr0(θR(1, 07)− θR0)τ1 siendo un número representativo el 7 %.

Las distancias de penetración térmica, aun para un número de ciclos relativamente grande, sonlo suficientemente pequeñas como para la justificación de la aplicabilidad del modelo numéricounidimensional.

§ 6.1 Flujo calorífico

En un sistema no adiabático, el término qf 6= 0 (2.54), y por tanto existen una serie de flujos caloríficosdel sistema qf en cada ciclo a través de la superficie del almacenamiento. Este flujo calorífico es adimen-sionalizado con la cantidad mccv0T0, la cual representa la potencia teórica inicial del almacenamiento,resultando el último término de la ecuación (4.23).

Como se vió en la sección §4.5 pruebas numéricas muestran la no tan trivial dependencia de los fenó-menos de transmisión de calor en las cantidades adimensionales qr0 y Bi∗ donde es válida dentro de losrangos presentados en la tabla (3) siendo las gráficas presentadas en función de éstos números

0 0.2 0.4 0.6 0.8

-0.4

-0.2

0.0

1

0.2

0.4

0.6

0.8

q f

mcv

c0T 0

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θi

F iF

e+

Bi*→∞

Bi*= 0

Bi*= 6

Bi*= 25


19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

q f

mcv

c0T 0

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θi

F iF

e+

Bi*→∞

Bi*= 0

Bi*= 6

Bi*= 25


Figura 25: Potencia calorífica (2.54) en forma adimensional para distintos Bi∗. T0 = 310 K,p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0 = 25, Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24,

τ3 = 18/24.

†Esta conclusión resulta interesante para los almacenamientos adiabáticos en los que ratios altos de temperaturasmáxima respectoamínima son indeseados; donde simplemente bastaría con integrar una capa de unmedio sólido con la adecuada inercia térmicaentre el aire almacenado y la superficie de reflexión adiabática.


Como era de esperar, el flujo de calor representado en la figura (25) depende fuertemente de Bi∗.

0 0.2 0.4 0.6 0.8

-0.4

-0.2

0.0

1

0.2

0.4

q f

mcv

c0T 0

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θ

θ

θ

θ

θ

i

F iF

e+

i = 1

i = 1.038

i = 1.072i = 1.152


19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

q f

mcv

c0T 0

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θi

F iF

e+

i = 1

i = 1.038

i = 1.072i = 1.152 θθ

θ

θ


Figura 26: Potencia calorífica (2.54) en forma adimensional para distintas temperaturas de inyecciónadimensionales θi. T0 = 310 K, p0 = 45 bar, qr0 = 25,Bi = 250, Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8,

τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

Sorprendentemente, para los rangos de Bi∗ y temperaturas de inyección θi esperados, el flujo de calordepende de θi exclusivamente durante los períodos de carga y almacenamiento†.

Dado que los fenómenos de transmisión de calor están gobernados por los números adimensionales qr0,Bi∗ y la temperatura de inyección adimensional θi. De esta manera resulta razonable representar dichaspérdidas en función de éstos‡.

0 10 20 30 40 50

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

q f

mcv

c0T 0

t 1

Bi*


0 10 20 30 40 50

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

q f

mcv

c0T 0

t 1

Bi*

(b) Durante vigésimo ciclo.

Figura 27: Pérdidas caloríficas en función de Bi∗ calculadas integrando la figura (25). T0 = 310 K,p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0 = 25, Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24,

τ3 = 18/24.

†Para números Bi∗ & 8 se observan ciertas desviaciones, que aunque pequeãs, persisten y sufren cierta mitigación a lo largo deciclos estacionarios.‡Como el flujo de calor es directamente proporcional a qr0 se omite dicha figura ya que no aportaría información adicional


Razonable es, que las mayores pérdidas caloríficas resulten en el ciclo isotermo, dentro del caso límiteBi∗ → 0, pero según muestra la figura (27a) para el primer ciclo dicho máximo ocurre para un Bi∗ ≈3, 3. Esto se debe a desestabilizaciones por el acoplamiento del sistema con el medio sólido circundante,en donde la temperatura promedio del medio sólido permanece por la gran indercia térmica de éste pordebajo de la temperatura media del ciclo, estabilizándose durante el vigésimo ciclo como refleja la figura(27). Es de interés, por tanto la selección de terrenos con despreciable efusividad térmica eR0, en los queéste número adimensional tienda al límite adiabático.

1 1.05 1.1 1.15 1.2

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

q f

mcv

c0T 0

t 1

θi


1 1.05 1.1 1.15 1.2

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

q f

mcv

c0T 0

t 1

θi


Figura 28: Pérdidas caloríficas en función de la temperatura de inyeccción adimensionales θi calculadasintegrando la figura (25). T0 = 310 K, p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0 = 25, Bi = 250,

Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

Como se deduce de la figura (28), el calor neto intercambiado durante el ciclo debe disminuir ÂťÂťli-nealmente” conforme la diferencia de temperaturas del aire inyectado θi y la temperatura superficial delmedio sólido circundante θW aumentan. Ésto resulta obvio tras la percepción de que el calor (27 aportadopor el medio sólido circundante al almacenamiento permanece constante.

§ 6.2 Rendimiento

Analizados los flujos de calor, resulta conveniente el análisis de la energía obtenida frente a la energíaaportada, en otras palabras más concisas: rendimiento. Esto puede vislumbrarse a partir de las figuras(27) y (28), donde es trivial deducir que a mayores pérdidas, menor rendimiento. De ésto se espera queel rendimiento aumente conforme el sistema tienda al límite adiabático Bi∗ → ∞ y la temperatura deinyección tienda a la temperatura del medio sólido sin disturbar θi → θR0.Se definirá rendimiento del almacenamiento η refiriéndose a los cambios energéticos en el interior de éste.Dichos cambios energéticos vienen representados por la energía interna del aire U = ρVu, resultado dela integración de (2.7) se tiene

V

w t

0

dρu

dtdt =

w t

0

himi dt +

w t

0

hme dt +

w t

0

qf dt 0 ≤ t − (n − 1)tc < tc (6.2)

El primer y único términodelmiembro izquierdo de la ecuación representa la variación de energía internadel aire en el almacenamiento tras un tiempo t, mientras que el primer y segundo término del miembroderecho representan la energía suministrada en el período de compresión y la obtenida durante el períodode descarga; el último término representa simplemente el balance neto de calor hasta un tiempo t.


Aplicando las hipótesis expuestas en §2.7 y §4.4 a (6.2) adimensionalizandola según §4.3 e integrando enun ciclo n resulta en

∆U

mr= γ0θiτ1 − γ0CD

w τ3

τ2

θ dτ − qr0

w τc

0

(θ − θW) dτ 0 ≤ τ − (n − 1)τc < τc (6.3)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.0

1

0.2

0.4

0.6

0.8

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θi

F iF

e+

Bi*→∞

Bi*= 0

Bi*= 6

Bi*= 25

UU cv

0T 00

Vρ 0


19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θi

F iF

e+

Bi*→∞

Bi*= 0

Bi*= 6

Bi*= 25

UU cv

0T 00

Vρ 0


Figura 29: Variación de la energía interna U respecto a U0 para distintos Bi∗. T0 = 310 K,p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0 = 25, Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24,

τ3 = 18/24.

0 0.2 0.4 0.6 0.8

-0.1

0.0

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θi

F iF

e+

i = 1 i = 1.038

i = 1.072

i = 1.152

θ

θ

θ θ

UU cv

0T 00

Vρ 0


19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θi

F iF

e+

i = 1 i = 1.038

i = 1.072

i = 1.152

θ

θ

θ θ

UU cv

0T 00

Vρ 0


Figura 30: Variación de la energía interna U respecto a U0 para distintas temperaturas de inyecciónadimensionales θi. T0 = 310 K, p0 = 45 bar, qr0 = 25, Bi = 250, Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8,

τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.


La energía interna del gas en el almacenamiento es fuertemente dependiente de los fenómenos de trans-misión de calor. Presenta gran variabilidad frente a cambios en las características del medio integrante delalmacenamiento expuestas en el número Bi∗ como se muestra en (29), así como una muy pobre depen-dencia de la temperatura de inyección θi según (30) en donde las distintas curvas son casi imperceptiblesa simple vista.

De las figuras (29b) y (30b) resulta clara la asunción para un ciclo n estacionario (6.1) que se cumplalımn→∞ ∆U = 0. Aplicando pues la definición de rendimiento η resulta

η =CD

θiτ1

w τ3

τ2

θ dτ (6.4)

0 10 20 30 40 50

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

η

i = 1

i = 1.038

i = 1.072

i = 1.152

θ

θ

θ

θ

Bi*


0 10 20 30 40 50

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

η

i = 1 i = 1.038

i = 1.072

i = 1.152

θ

θ

θ θ

Bi*


Figura 31: Rendimiento η (6.4) en función de Bi∗. T0 = 310 K, p0 = 45 bar, qr0 = 25,Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

1 1.05 1.1 1.15 1.2

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Bi*→∞

Bi*= 0

Bi*= 6

Bi*= 25

η

θi


1 1.05 1.1 1.15 1.2

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Bi*→∞

Bi*= 0 Bi*= 6

Bi*= 25

η

θi


Figura 32: Rendimiento η (6.4) en función de diferentes temperaturas de inyección adimensionales θi.T0 = 310 K, p0 = 45 bar, qr0 = 25, Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24,

τ3 = 18/24.


Resulta poco “convencional” observar en las figuras (31a) y (32a) rendimientos η > 1. Este inusual resul-tado se debe a temperaturas de inyección θi ≈ 1 en el límite Bi∗ → ∞ cuando la transferencia de calorresulta despreciable. En esas condiciones la energía suministrada es relativamente inferior a la extraídadel almacenamiento y por ende la energía interna del aire disminuye, disminuyendo así su temperatura.Dado que∆U < 0 el segundo término del miembro derecho de (6.3), representando la energía extraída,debe ser sensiblemente superior al primero, el cual representa a energía suministrada al almacenamiento.

El mejor rendimiento lo ostentan los ciclos adiabáticos, en el límite Bi∗ → ∞ con una temperatura deinyección θ → 1 y cualquiera que sea el valor para dichas magnitudes fuera de dichos límites el rendi-miento disminuye†

Una buena aproximación para la expresión‡ (6.4) en dicho límite coincide con:

η ≈ θ(τ2) + θ(τ3)

2θi(6.5)

§ 6.3 Parámetros de diseño

En el diseño de sistemas CAES los parámetros tales como profundidad del almacenamiento, su volúmenV, así como la presión inicial de llenado p0 desarrollan un papel muy importante que debe ser conside-rado a la hora de fijar los demás parámetros de operación.

Normalmente la profundidad de estos almacenamientos se escoge según las características elásticas y plás-ticas delmedio sólidoque lo rodeapara que la presiónde llenadoy los esfuerzos superficiales se equilibren.Esta restricción es fuertemente dependiente de la composición de dicho medio ya que uno quebradizo,e.g. cerámico, sujeto a unas variaciones cíclicas presenta una resistencia a fatiga bastante menor que unmedio plástico, e.g. salino.

El volúmen del almacenamiento es el responsable directo de una gran parte del coste de una planta depotencia con tecnología CAES y además entre ellos existe una relación de proporcionalidad directa §1.5.En los casos límite Bi∗ → 0 y Bi∗ → ∞ se propusieron dos definiciones para el volumen

Vadiabatico =mcτ1Rγ0Ti

psM− psm

Visotermo =mcτ1RT0R

psM− psm

(6.6)

Es obvio que el volumen en el caso adiabático es γ0Ti/T0R veces mayor que el isotermo ya que dichaconstante de proporcionalidad es siempre mayor que la unidad en condiciones de operación.En la figura (20) se presenta el volumen de almacenamiento requerido en forma adimensional resultadode los casos límite Bi∗ → 0 y Bi∗ → ∞junto con la curva para qr0 = 25 en el caso isotermo. A simplevista se deduce que para una presión mínima de diseño, limitada por la presión de turbina, menores pre-siones máximas requieren enormes volúmenes de almacenamiento y pequeños cambios en éstas inducengrandes cambios en el volumen. Mientras que mayores presiones máximas requieren pequeños volúme-nes de almacenamiento y grandes cambios en éstas inducen pequeños cambios en el volumen.

Atendiendo a restricciones económicas donde las dos variables a optimizar sean el volumen del almace-namiento y la presiónmáxima de compresión frente al coste económico la zona óptima vendría dada por

†Se intuye de (32) que para temperaturas de inyección θi < 1 el rendimiento aumenta, este tipo de casos de ninguna maneraserían rentables económicamente ya que supondría “enfriar” el aire por debajo de la menor temperatura en el sistema.‡No es más que la formulación numérica de la integral presentada haciendo uso de la regla del punto medio.


volúmenes y presiones máximas pequeños. Esta zona viene razonablemente recogida en los límites parala ratio de presiones extremas de aproximadamente 1,2 a 1,8.

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

psmax / psmin

mct 1γ

0R

T i

Vps

min

Bi*

Bi*

Bi*

= 6

Bi*= 25

= 0 →∞


1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

pmax / pmin

mct 1γ

0R

T i

Vps

min

Bi*

Bi*

Bi*

= 6

Bi*= 25

= 0 →∞


Figura 33: Volumen requerido de almacenamiento en función de la ratio entre las presiones extremaspmax/pmin resolviendo (5.41) para mr. T0 = 310 K, p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0 = 25, Bi = 250,

Fo = 6 × 10−4, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

1.00 1.05 1.10 1.15 1.20

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

mct 1γ

0R

T i

Vps

min

Tmax / T0

Bi*

Bi*

Bi*

= 6 Bi*= 25

= 0

→∞


1.00 1.05 1.10 1.15 1.20

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

mct 1γ

0R

T i

Vps

min

Tmax / T0

Bi*

Bi*

Bi*

= 6 Bi*= 25

= 0

→∞


Figura 34: Volumen requerido de almacenamiento en función de la temperatura máxima adimensionalTmax/T0 resolviendo (5.41) para mr. T0 = 310 K, p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0 = 25, Bi = 250,

Fo = 6 × 10−4, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

Por último atendiendo a restricciones de diseño se ha de tener en cuenta el límite superior de temperaturadentro del almacenamiento dado por (34) donde para unmedio sólido circundante concreto, es decir unBi∗, y un límite superior de temperatura máxima, se acota inferiormente el volumen requerido de alma-cenamiento.

Fijas las presiones máxima pmax ymínima pmin del almacenamiento, y elegída convenientemente la tem-peratura de inyección θi, atendiendo a restricciones tanto operacionales como económicas según los cri-terios de la sección §6.2, la presión inicial de llenado viene dada por (5.22).


§ 6.4 Restricciones ambientales y operación

Durante las secciones anteriores se ha podido comprobar que la variable termodinámica más sensible acambios en los números adimensionales ya que en el cálculo de la presión, producto de la densidad y latemperatura, resultan más dominantes los efectos de la densidad.

A continuación se presentan los efectos más notables resultado de la acusada dependencia de la tempera-tura del almacenamiento con relación a los efectos de transmisión de calor. No sólo los números adimen-sionales relacionados explícitamente con dichos efectos, e.g. Bi∗ y qr0, desempeñan un papel crucial en eldesarrollo térmico del almacenamiento, sino también lo hacen las restricciones ambientales y su políticade operación recogidos en la temperatura de inyección θi y el período de carga y descarga.

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

11

Bi*→∞

Bi*= 0

Bi*= 6

Bi*= 25

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θ

θ

i

F iF

e+


19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10 Bi*→∞

Bi*= 0

Bi*= 6

Bi*= 25

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θ

θ

i

F iF

e+


Figura 35: Comportamiento de la temperatura frente a diferentes efusividades eR0. T0 = 310 K,p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0 = 25, Fo = 6 × 10−4, mr = 8, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24,

τ3 = 18/24.

Como se apuntaba en la sección §4.5 la efusividad térmica eR0 es una medida de la capacidad de inter-cambio de calor de un medio con sus alrededores. Según la figura (35) para mayores efusividades eR0, i.e.menores Bi∗, el intercabio de calor en la superficie y adyacentes resulta más efectivo, disminuyendo asíla temperatura del almacenamiento. Por el contrario, temperaturas mayores resultan de efusividades pe-queñas, i.e. mayores Bi∗, donde el intercambio de calor es casi inexistente.

Otro parámetro influyente se identifica con el coeficiente convectivo hS. Dicho coeficiente forma partede las definiciones de los números adimensionales de Biot Bi y por tanto Bi∗, y de la potencia de pérdi-das reducida qr0 definidos en §4.5. Su influencia puede deducirse de (2.40), donde las pérdidas caloríficasresultan proporcionales. Para observar los efectos que el cambio de dicho parámetro, resultado de la mo-dificación de dos números adimensionales, induce en el perfil de temperaturas es importante fijar el restode parámetros que no intervienen en el estudio, i.e. fijando una cantidad† para el número adimensio-nal qr0/Bi∗, resultado de la combinación de dichos dos independiente del parámetro cuya influencia seestudia y variando uno de los dos.

†La cantidad fijada viene en función de un grupo adimensional cuyos rangos se deducen de la tabla (3).


0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.95

1.00

1.05

1.10

1

Bi*→∞

Bi*= 0

Bi*= 6

Bi*= 0.2

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θ

θ

i

F iF

e+


19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

0.95

1.00

1.05

1.10

Bi*→∞

Bi*= 0

Bi*= 6Bi*= 0.2

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θ

θ

i

F iF

e+


Figura 36: Comportamiento de la temperatura frente a diferentes coeficientes de transferencia de calorhS. T0 = 310 K, p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0/Bi∗ = 5, Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8, τ1 = 8/24,

τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

El siguiente parámetro a considerar es la superficie del almacenamiento S, contenido en qr0. Es trivialdeducir de (2.40) que para mayores superficies, las pérdidas caloríficas aumentan proporcionalmente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

1

qr0 = 150

qr0 = 1

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θ

θ

i

F iF

e+

qr0 = 40

qr0 = 15


19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θ

θ

i

F iF

e+

qr0 = 150

qr0 = 40

qr0 = 15

qr0 = 1


Figura 37: Comportamiento de la temperatura frente a diferentes superficies del almacenamiento S.T0 = 310 K, p0 = 45 bar, θi = 1,038, Bi = 250, Fo = 6 × 10−4, mrτ1 = 0, 27, τ2 = 14/24,

τ3 = 18/24.

Como ya se intuía en la figura (18) y se argumentó en §6.2, la influencia de la temperatura de inyección re-sulta de la diferencia entre la energía suministrada en el período de compresión mccp0Tit1 y de la extraídaen el período de descarga. Resultando en un aumento de la temperatura hasta un valor de equilibrio sidicha diferencia es positiva, y descenso si negativa.


0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θi

F iF

e+

i = 1

i = 1.038

i = 1.072θ

θ

θ

θ


19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

-2.00

0.00

1.00

0.000

1.038

τ

θi

F iF

e+

i = 1

i = 1.038

i = 1.072θ

θ

θ

θ(b) Durante vigésimo ciclo

Figura 38: Comportamiento de la temperatura frente a diferentes temperaturas de inyecciónadimensionales θi. T0 = 310 K, p0 = 45 bar, qr0 = 25, Bi = 250, Fo = 6 × 10−4, mrτ1 = 0, 27,

τ2 = 14/24, τ3 = 18/24.

Para obtener un análisis comparativo de los efectos de cambios en la política de operación la energía totalsuministrada durante el ciclo mccp0Tit1 ha de ser constante independientemente del período de carga.Por tanto, al alterar el período de carga del almacenamiento manteniéndose dicha cantidad constante esnecesario que el caudal de compresión varíe inversamente con dicho período, i.e. mrτ1 = cte.. De igualmanera ocurre con qr0, donde mc forma parte de su definición y por tanto se deduce que qr0/τ1 = cte..

19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

τ

θ

τ 1 = 9/24

τ

τ 1

τ 2

3

= 14/24= 18/24

= 12/24

τ 1 = 6/24

(a) Diferentes tiempos de carga.

19 19.2 19.4 19.6 19.8 20

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06 τ

θ

2 = 16/24

τ 1 = 8/24

τ 3 = 18/24

τ 2 = 14/24

τ 3 = 20/24

τ 2 = 12/24

τ 3 = 22/24

τ

(b) Diferentes tiempos de descarga.

Figura 39: Comportamiento de la temperatura frente a diferentes períodos operacionales. T0 = 310 K,p0 = 45 bar, θi = 1,038, qr0/τ1 = 75, Bi = 250, Fo = 6 × 10−4, mrτ1 = 0, 27.

Tanto la moderación de la temperatura máxima del aire a costa de prolongar el período de compresióncomo el aumento de la temperatura mínima con mayores tiempos de descarga son resultados deducidosdirectamente de la figura (39). Dichos cambios en el período de carga y descarga no pueden ser arbitrariosy están sujetos a (2.53).

Validación del modelo y estimación de parámetros. 66

Capítulo 7

Validación del modelo y estimación de parámetros.En la definición de la palabra modelo, viene implícita la descripción como esquema de aproximación,sencillo, de un sistema complejo, que de otra manera no podería ser estudiado. Dicha representación,únicamente válida para el sistema concreto de estudio, hábilmente manipulada puede extenderse a unamplio rango de sistemas que cumplen la condición de semejanza. De esta condición se desprende según§4.3, que dos sistemas son semejantes cuando presentan correspondencia en sus números adimensiona-les. En pocas palabras esta semejanza entre sistemas permite el estudio simultáneo de todos y de uno enparticular.

En la práctica, la realidad, dependiente de infinitud de parámetros† impone unmodelo y esmedianteme-diciones de las magnitudes del sistema real, e.g. presión y temperatura, por las que se “ajusta” el modelo.Dichas mediciones, en general, no cubren la totalidad de magnitudes de las que depende el sistema.

En el mencionado ajuste reside la verdadera potencialidad de los números adimensionales, donde me-diante agrupaciones de parámetros en forma de ratio entre magnitudes que describan una misma can-tidad física, reducen considerablemente el número inicial de éstos, resultando en un simple “ajuste” denúmeros adimensionales. En este proceso pueden estimarse parámetros que de otra manera, no sería po-sible su determinación si no es mediante costosos métodos.

Como ejemplo práctico, apropiado para la descripción del proceso se tomarán como referencia las medi-das, mostradas en la figura 40 realizadas en la puesta a punto de la planta CAES de Huntorf [19]. Dichasmedidas se tomaron durante un período de 24 h en una de las cavernas, concretamente en la NK1. Latemperatura inicial del almacenamiento coincidía con la del terreno de los alrededores teniendo un valorde aproximadamente 313 K y la caverna se encontraba a una presión de aproximadamente 56 bar.

En el modelo se estima oportuno, dado que dichas cavernas se encuentran en un domo salino, tomar laspropiedades de la sal de la tabla (1) así como parámetros de operación y características pertinentes comoel caudal másico de compresión, altura de la caverna y volúmen de la caverna de la tabla (2). Se supusoque el caudal másico se dividía equitativamente entre las dos cavernas, además el diámetro del modelo dealmacenamiento se estimó según su volúmen y altura en 18 m.

En este punto, todas las magnitudes del aire del almacenamiento, terreno circundante y operación de lacentral están definidas a excepción de las relacionadas con la transferencia de calor entre el almacenamien-to y el terreno, i.e. la superficie del almacenamiento (estimable en órden de magnitud con el volumen ydiámetro del almacenamiento) y el coeficiente de transferencia de calor.

Primero se estima la superficie del almacenamiento S, dada su dominancia en el proceso de transmisiónde calor‡, mediante el ensayo de prueba y error. Se ensayan pues, diferentes valores de qr0/Bi para unBi fijo, seleccionándose el que más se ajuste a las mediciones: qr0/Bi = 5. Como ya se mencionó en lasección (6.4) dicho número adimensional únicamente depende de la superficie del almacenamiento S,

†La precisión del modelo viene recogida en el número de parámetros, y por lo tanto sus efectos, a considerar.‡ Resultado de la comparativa entre las figuras (37) y (36).

Validación del modelo y estimación de parámetros. 67

obteniéndose una superficie de aproximadamente 24900 m2.

Por último para estimar el coeficiente de transferencia de calor, se prueban diferentes números de Biot Bi,ahora con qr0/Bi = cte., siendo el coeficiente de transmisión de calor quemás se ajusta a las medicionesexperimentales de aproximadamente hS=230W/(m2 K).

0 6 12 18 24

40

50

60

70

-200

0

100

p [P

a]

modelomedición

t [h]

[ k

g s

]

-1m

c

(a) Presión.

0 6 12 18 24

26

33

40

47

-200

0

100

T [

ÀC]

[ k

g s

]

-1

t [h]

mc

modelomedición

(b) Temperatura.

Figura 40: Comparativa de presión y temperatura predichas por el modelo real-ideal y datosexperimentales. T0 = 313K, p0 = 56bar, θi = 1,035, 1,019, 1,029, para cada fase de compresión

respectivamente [19], qr0 = 150, Bi = 746, Fo = 8, 36 × 10−4, mr = 0, 48.

Aunque el modelo se muestra muy acorde con los datos recogidos del ensayo de prueba de la cavernaNK1 en Huntorf, el valor obtenido para el coeficiente de transmisión de calor es meramente orientativoy carece de validez como se demuestra en la figura (40) donde resulta evidente la poco acertada asunciónde un coeficiente de convección constante, el cual interfiere en la predicción de la temperatura en las zonasde carga y descarga del almacenamiento, donde resulta más evidente su desviación.

El Almacén Térmico 68

Capítulo 8

El Almacén TérmicoEn la sección §1.5 se explicó someramente lo que consistía un almacén térmico o simplemente AT. Di-cha tecnología se aplica a los sistemas A-CAES y AA-CAES, los cuales aprovechan el calor resultado delproceso de compresión del aire almacenándolo en unmedio sólico, liquido ouna combinación de ambos.

La temperatura del aire después de atravesar el tren de compresión, depende claro está del número deetapas y del proceso de compresión en sí. El incremento de temperaturas máximo tras la compresiónviene dado según el Anexo A

∆T

Tmin=

1

ηsc

∆Ts=cte.

Tmin=

1

ηsc

{

[

pmax

pmin

]

γ−1γ

− 1

}

(8.1)

Atendiendo a la configuración del AT pueden darse las siguientes disposiciones:

Almacen térmico de un sólo lazo. Éstos almacenes térmicos se caracterizan por la existencia de unsólo circuito de refrigeración y por tanto un único medio portador y responsable del intercambiocalorífico.

Almacén térmico de doble lazo. Esta configuración cuenta con dosmedios de almacenamiento tér-mico: de alta y baja temperatura. Es usada en los ciclos donde se requiera un amplio control de latempartura de entrada y salida del aire del almacenamiento ya que está dotado de unamayor flexi-bilidad al tener un grado de libertad más que la configuración de un solo lazo. El fluido portadorde calor puede ser o no una misma especie.

Atendiendo a la temperatura máxima alcanzable en el ciclo pueden clasificarse los medios de trabajo delos AT según:

Medios de alta temperatura. Los medios de alta temperatura disponibles y más usuales para ciclostermdinámicos que discurren por el lazo de alta temperatura con estos requerimientos son: losformados por sales, aleaciones de metales eutécticas y los aceites de alta temperatura; los cuales secaracterizanpor poseer un alto punto de ebullición.También existenmedios sólidos porosos comohormigones o rocas.

Losmedios líquidos fluyenpresurizados por los tubos dentro del intercambiador de calormientrasque enmedios sólidos fusibles el sólido se almacena en agrupaciones, e.g pequeñas esferas de acerohuecas donde en su interior albergan el sólido fusible. Ésta última disposición permite que el fluidoa refrigerar atraviese un medio de intermabio poroso y con una elevada superficie de contacto.

Medios de baja temperatura. Propios del lazo de baja temperatura suelen ser medios ligeros comoel agua o algunos aceites. El motivo por el que el agua no se utiliza en alta temperatura a pesar deser un excelente medio transmisor de calor cuando ebulle y tener una capacidad calorífica más queóptima es por las altas presiones a las que habría de someter el circuito de refrigeración para quesu estado termodinámico se situara como líquido, no más lejos de la linea de líquido saturado.

Atendiendo finalmente a la clasificación de los AT según los mecanismos de transferencia de calor seencuentran:


Medios de almacenamiento de calor sensible. El calor se almacena “en forma de diferencia de tem-peratura” delmedio sin alterar sus propiedades físicas. Propios de esta clasificación son todos aque-llos medios que no presentan cambio de fase.

Medios de almacenamiento de calor latente. Al contrario que los anteriores, éstos sí cambian defase permitiendo un intercambio de calor más efectivo† almacenando el calor, no en una diferen-cia térmica, ya que este proceso de transferencia alorífica ocurre a temperatura constante sino enenergía de cambio de fase o calor latente.

La documentación aportada durante la descripciónde la clasificaciónde losATes igualmente válida tantopara procesos de calentamiento como de enfriamiento.

§ 8.1 Modelo del almacén térmico

El modelo del almacén térmico tiene como objetivo estimar las temperaturas de inyección Ti al almace-namiento y la temperatura de recuperación Te tras abandonar el almacenamiento térmico.

Su configuración geométrica se supondrá simétrica respecto de un eje vertical, dotado de un volúmenVAT , una superficie lateral experior SAT y una longitud LAT . Atendiendo a los materiales que lo com-ponen, el almacenamiento térmico constará de una fase sólida de un volumen VE y calor específico vo-lumétrico CǫE, responsable del almacenamiento calorífico y de una fase gaseosa, portadora del calor aintercambiar, ocupando un volumen Vf en su interior‡.

El medio portador de calor, aire, penetra en el almacén térmico por la parte superior, acotada por el planoz = 0, en la fase de carga; abandonándolo por su parte inferior correspondiente a la cota z = L. Demanera contraria ocurre en la fase de descarga, cuando el medio gaseoso penetra por la parte inferior parasalir por la superior como se indica en la figura (41).

S⊥

mh

z=0

z=L

n

ee

mh ii

mh ic

TE

mh e

q

⊥

Figura 41: Esquema simplificado del almacén térmico.

†El coeficiente de conveccón se ve aumentado en un par de órdenes de magnitud en comparación con el correspondiente al detransferencia de calor sensible.‡El volumen Vf , a efectos prácticos, es despreciable frente al total del almacenamiento VAT .


Se incorpora pues, la ecuación (2.3); la cual describe la evolución de la energía E f volumétrica, y con ellola temperatura del fluido portador, en el interior del almacén térmico.

wVf

∂E f

∂tdVf +

wf f

h f vi nidf f = −w

f f

qi nidf f (8.2)

Donde f f engloba la frontera que delimita al volumen Vf siendo ni el vector unitario exterior orientadoperpendicularmente a dicha superficie.

Dado que en el interior del almacenamiento térmico, el fluido presenta un comportamiento turbulento,esta asunción justificamás si cabe la hipótesis H1 presentada en la sección §2.1 donde en el límitePe → ∞

los fenómenos de transmisión de calor por conducción en el seno del fluido carezcan de relevancia.

Por otro lado, los feñomenos de transmisión de calor que afectan a la temperatura del fluido, se desa-rrollan en una escala de tiempos irrelevante en comparación con la escala de tiempos que concierne almodelo siendo su razón ∼ Vf /V, con lo que resulta asumible un perfil de temperaturas en el mediogaseoso completamente desarrollado para cada instante t.

Aplicando dichas consideraciones y obteniendo la tasa de variación de (8.2) respecto de la coordenadalongitudinal z considerandohomogéneas las propiedades termodinámicas de la fase gaseosa en cadaplanoperpendicular al eje, resulta

m f

∂h f

∂z=

∂qAI|

f

∂z(8.3)

Donde m f = mi + me, cuya definición es análoga a la deducida en §2.2 y AI representa al área deintercambio de calor efectiva, la cual f f ≈ AI y qAI

coincide con la siguiente expresión que representa alflujo de calor−qini a través de la superficie AI

qAI= −

wAI

qi nidAI (8.4)

El perfil de temperaturas del fluido portador viene descrito por la ecuación (8.3) dadas unas condicionestermodinámicas para las cotas z = 0 o z = L según carga o descarga del almacenamiento

h f |z=0 = hc h f |z=LAT= h (8.5)

Donde Tc y T coinciden con las temperaturas de salida del tren de compresión y del almacenamientorespectivamente y las temperaturas Ti de inyección al almacenamiento† y Te de recuperación tras el alma-cenamiento térmico se obtendránde las fases carga odescarga en las cotas z = L o z = 0 respectivamente.

El medio sólido receptor aumenta su temperatura conforme el fluido portador discurre a su través. Ladistribución térmica del medio sólido se deduce de (3.2) análogamente a la sección §3.3

wVE

∂EE

∂tdVE = −

wfE

qi nidfE (8.6)

Donde fE engloba la frontera que delimita al volumen del sólido VE, siendo ni el vector normalizadoexterior orientado perpendicularmente a dicha superficie. Esta frontera engloba a las superficies SE⊥ de-finidas por el vector perpendicular n⊥, la definida por los vectores perpendiculares a éste SE‖ y el área de

†El acoplamiento de los dos sistemas resulta evidente a la vista de (8.5) y la obtención de Ti como la temperatura del lfuidoTf |z=LAT

a la salida del almacenamiento térmico.


intercambio mencionada ya con anterioridad AI .

Aplicando (3.13) y la Ley de Fourier (2.39), la tasa de variación de (8.6) respecto de la coordenada longi-tudinal z resulta

CǫE∂TE

∂tSE⊥ =

∂

∂zλE

∂TE

∂zSE⊥ +

∂q‖∂z

+∂qAI

|E

∂z(8.7)

Donde q‖ viene expresado según

q‖ = −w

SE‖qi nidSE‖ (8.8)

§ 8.2 Condiciones de contorno e iniciales del almacenamiento térmico

Como ya se mencionó en la sección §8.1 la condición de contorno en el fluido portador depende de lafase en la que se encuentre el almacén térmico, resultando

h f |z=0 = hc si Fi 6= 0

h f |z=LAT= h si Fe 6= 0

(8.9)

En la definición del calor que abandona el almacenamiento térmico a través de SAT,q‖, teniendo en cuen-ta que S‖ ≈ SAT , puede aplicarse la Lez de enfriamiento de Newton (2.40).

q‖ = −w

SE‖hSAT

(TE − Ta) dSE‖ (8.10)

Donde hSATcoincide con el coeficiente de transferencia de calor por convección en la sección de inter-

cambio SE‖ entre el almacenamiento térmico y sus alrededores.

Las condiciones de contorno en la superficies superior e inferior del almacenamiento térmico puedentambién modelarse mediante (2.40).

qSE⊥ =−w

SE⊥hSAT

(TE − Tf ) dSE⊥ en z = 0

qSE⊥ =−w

SE⊥hSAT

(TE − Tf ) dSE⊥ en z = 0

(8.11)

La interfase entre los dos componentes del almacén térmico viene delimitada por la superficie de inter-cambio AI . A través de ella, el flujo de calor ha de ser coincidente e igual al predicho por (2.40)

qAI|

f= −qAI

|E= −

wAI

hAI(Tf − TE) dAI (8.12)

El signo negativo en qAI|

Eresulta de la definición del vector normal exterior a dicha superficie según el

volúmen que delimita.

Con respecto a las condiciones iniciales, se supondrá una temperatura uniforme inicial de equilibrio enel almacén térmico

TE|t=0 = TE0 (8.13)


§ 8.3 Ecuaciones del modelo y su adimensionalización

La ecuación diferencial (8.3) junto con la obtenida para la evolución de la temperatura del almacén tér-mico (8.7) así como las condiciones de contorno e iniciales recogidas en (8.11) presentan un sistema dife-rencial en derivadas parciales, resultado del cual se obtienen la temperatura de inyección Ti en el almace-namiento y la temperatura recuperada Te tras la fase de almacenamiento.

De modo análogo a la sección §4.3 se obtienen las ecuaciones adimensionales, en función de sus escalasintrínsecas representadas en sus números adimensionales

Cr0C∗ǫE

∂θE

∂τ= Cr0FoE

∂

∂z∗λ∗

E

∂θE

∂z∗− mr NTU(θE − θ f )− qrAT0(θE − θa) (8.14)

(Fi + Fe)∂h∗f∂z∗

= −NTU(θ f − θE) (8.15)

Junto con las condiciones de contorno definidas para el fluido portador de calor (8.9) y para el mediosólido receptor (8.11) aplicando la Ley de Fourier (2.39)

h∗f |z∗=0= h∗c si Fi 6= 0

h∗f |z∗=1= h∗ si Fe 6= 0

(8.16)

−λ∗E

∂θE

∂z∗=− Λ(θE − θ f ) en z∗ = 0

λ∗E

∂θE

∂z∗=− Λ(θE − θ f ) en z∗ = 1

(8.17)

Junto con los siguientes adicionales grupos adimensionales

FoE =αE0t0

L2AT

Cr0 =CǫE0VE

ρ0Vcp0NTU =

hAIAI

mccp0

Λ =hSAT

LAT

λE0qrAT0 =

hSATSAT‖t0

ρ0Vcp0(8.18)

Donde αE0 = λE0/CǫE0 es la difusividad térmica del medio del almacenamiento.

§ 8.4 Simplificación del modelo

La suposición de la distribución de las propiedades térmicas del medio sólido junto a las adoptadas en lasección §4.4 simplifica las ecuaciones planteadas en la sección §8.3

Cr0∂θE

∂τ= Cr0FoE

∂2θE

∂z∗2− mr NTU(θE − θ f )− qrAT0(θE − θa) (8.19)

(Fi + Fe)∂θ∗f∂z∗

= −NTU(θ f − θE) (8.20)

Junto con las condiciones de contorno e iniciales{

θ f |z∗=0= θc si Fi 6= 0

θ f |z∗=1= θ si Fe 6= 0

(8.21)


−∂θE

∂z∗=− Λ(θE − θ f ) en z∗ = 0

∂θE

∂z∗=− Λ(θE − θ f ) en z∗ = 1

(8.22)

Las variables resultado del sistema diferencial son θi y θe para las fases de carga y descarga respectivamente.

§ 8.5 Interpretación de los números adimensionales

Siguiendo un análisis análogo al seguido en la sección §4.5 completándolo con los números adimensio-nales adicionales resulta.

Números adimensionales relacionados con las propiedades de intercambio de calor del almacén térmico:

Ratio de capacidades caloríficas Cr0:

Dicho número adimensional representa la razón entre la capacidad calorífica del medio de alma-cenamiento térmico (CǫE0VE) y la del fluido (ρ0Vcp0), cuyo calor va a ser almacenado.

En el límite asintótico CǫE0 → ∞, cuando la capacidad calorífica del medio sólido tiende a di-cho límite, la temperatura de éste, según (8.19), la temperatura del almacenamiento térmico θE

permanece invariable en el tiempo

Cr0

mr

∂θE

∂τ= cte. =⇒ ∂θE

∂τ= 0

Mientras que dicha tasa de variación aumenta si CǫE0 → 0.

Numero de unidades de transferencia NTU:

Este número adimensional representa la relación entre la capacidad de potencia de intercambio enel almacén térmico (hAE

AI T0) y la potencia suministrada (mccp0T0).

En el límite asintótico NTU → ∞, cuando la capacidad de potencia de intercambio caloríficotiende a dicho límite, a lo largo del almacén térmico, según (8.20) la diferencia de temperaturasentre el fluido y el medio sólido tiende al valor nulo

NTU(θ f − θE) = cte. =⇒ θ f = θE

El caso límite NTU → 0 no será considerado, ya que la temperatura del fluido θ f mantendría unvalor constante a lo largo del almacén térmico no existiendo por tanto, un intercambio de calorentre el almacén y dicho fluido.

Potencia de pérdidas reducida qrAT0:

Representa la relación entre las pérdidas energéticas convectivas del almacenamiento térmico porinteracción ambiental (hSAT

T0SAT‖t0) respecto a la energia total del almacenamiento (ρ0Vcp0T0).

El caso del almacenamiento térmico adiabático viene respresentado por el límite qrAT0 → 0,mientras que el de un almacenamiento isotermo, el cual disipa todo el calor del fluido portadorsin almacenamiento posible se representa mediante qrAT0 → ∞

qrAT0(θE − θa) = cte. =⇒ θE = θa


Numero de transferencia Λ:

Se define como la ratio entre la potencia transmitida del fluido portador al medio sólido receptormediante procesos convectivos (hSAT

SE⊥T0) y la potencia transmitida por conducción a su través(λE0SE⊥T0/LAT) a lo largo del almacenamiento térmico.

Los casos límite vienen expresados por analogía con el número de Biot Bi según la sección §4.5.Para el caso adiabático Λ → ∞ y para el de frontera isoterma Λ → 0.

§ 8.6 Discretización del modelo

Siguiendo un esquema análogo al de la sección §4.4, y dado que cada sección del almacén térmico po-see una participación equitativa en el proceso de intercambio de calor, el mallado según la figura (22) sedispondrá tal que

z∗k+1 − z∗k = z∗k − z∗k−1 (8.23)

Siendo éste, un esquema de aproximación equidistante para la variable z∗ ∈ [0, 1] con Nz + 1 nodos.

Un estudio previo de las ecuaciones (8.19) y (8.20) revela que la primera de ellas puede ser conveniente-mente discretizada siguiendo el esquema de diferencias finitas; mientras que la segunda, para los valoresde NTU esperados no puede seguir dicho esquema por motivos de rigidez y por tanto se adoptará unesquema BDF de órden 3, explicado a lo largo de la sección §5.4.

La ecuación (8.19) viene discretizada según el esquema BDF3

(Fi + Fe)

[

11

6θ f k+1 − 3θ f k +

3

2θ f k−1 −

1

3θ f k−2

]

= −∆z∗NTU(θ f k − θEk) k = 2, ... Nz − 1

(8.24)Con la condición de contorno y ecuaciones de iniciación del método BDF3

θ f 0 =

{

θc si Fi 6= 0

θ si Fe 6= 0(8.25)

(Fi + Fe)θ f 1 − θ f 0

∆z∗= NTU(θ f 0 − θE0) (8.26)

(Fi + Fe)θ f 2 − θ f 0

2∆z∗= NTU(θ f 1 − θE1) (8.27)

Este esquema obliga, en cada iteración, la recolocación el mallado z ∈ [0, 1] de tal manera que la condi-ción de contorno se encuentre impuesta en el primer nodo, en cualquier caso†.

Aplicando un esquema de discretización en diferencias finitas a (8.20), resulta

Cr0∂θEk

∂τ= Cr0FoE

θEk+1 − 2θEk + θEk−1

∆z∗2+ mr NTU(θ f k − θEk)− qrAT0(θEk − θa)

k = 1, ..., Nz − 1 (8.28)

Donde

∆z∗ =1

Nzz∗k = k∆z∗ k = 0, ..., Nz (8.29)

†De otra manera el problema resultaría en mal planteado.


Así como mediante un procedimiento análogo al de la sección §4.4 para las condiciones de contorno

Cr0∂θE0

∂τ= 2Cr0FoE

[

θE1 − θE0

∆z∗2− Λ

θE0 − θ f 0

∆z∗

]

+ mr NTU(θ f 0 − θE0)− qrAT0(θE0 − θa)

(8.30)

Cr0∂θENz

∂τ= 2Cr0FoE

[

θENz−1 − θENz

∆z∗2− Λ

θENz − θ f Nz

∆z∗

]

+ mr NTU(θ f Nz− θENz)+

− qrAT0(θENz − θa) (8.31)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

τ

θe

,

θe

θi

θi

-2.0

0.0

1.0

0.00

1.85

θi

F iF

e+

(a) Temperaturas θi y θe durante primer ciclo.

19.0 19.2 19.4 19.6 19.8 20.0 20.2 20.4 20.6 20.8 21.0

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

τ

θe

,

θe

θi

θi

-2.0

0.0

1.0

0.00

1.85

θi

F iF

e+

(b) Temperaturas θi y θe durante vigésimo ciclo

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

-2.0

0.0

1.0

0.0

1.85

τ

θ

θ

i

F iF

e+

E

z∗=0.1

z∗=0.3z∗=0.4

z∗=0.5

z∗=1.0

z∗=0.7

z∗=0.0

(c) Temperatura del AT durante primer ciclo.

19.0 19.2 19.4 19.6 19.8 20.0 20.2 20.4 20.6 20.8 21.0

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

-2.0

0.0

1.0

0.00

1.85

τ

θ

θ

i

F iF

e+

E

z∗=0.1

z∗=0.3

z∗=0.4

z∗=0.5

z∗=1.0

z∗=0.7

z∗=0.0

(d) Temperatura del AT durante vigésimo ciclo

Figura 42: Temperatura del almacén térmico θE a diferentes cotas, de inyección θi y recuperada θe.T0 = 310 K, p0 = 45 bar, NTU = 25, Cr0 = 1, 5, θc = 1,85, qAT0 = 0, 12, Λ = 50,

FoE = 4 × 10−5, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24, θa = 0, 96.


El acoplamiento del almacén térmico al sistema de almacenamiento de aire a presión supone la integra-ción de una variable de control adicional sobre éste: la temperatura de inyección Ti, como ya se detallóanteriormente.

Provista una temperatura tras la compresión del aire en el tren de alta presión, Tc, se ha de diseñar, y portanto optimizar una configuración y diseño del almacén térmicomediante un estudio paramétrico de éstecon el objetivo de la manutención de dicha temperatura en torno al valor de la temperatura de equilibrioT0.

El comportamiento de la temperatura y presión en el interior del almacenamiento según las figuras (42a)y (42b) obtenido de la resolución de las ecuaciones (4.23), (4.24) y (4.25) resulta

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0.95

0.97

1.00

1.02

1.05

1.08

1.10

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

-2.00

0.00

1.00

0.00

1.00

τ

Πθ

θ



i

Presión del aire

F iF

e+

(a) Durante el primer y segundo ciclo.

19.0 19.2 19.4 19.6 19.8 20.0 20.2 20.4 20.6 20.8 21.0

0.95

0.97

1.00

1.02

1.05

1.08

1.10

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

-2.00

0.00

1.00

0.00

1.00

τ

Π

θ

θ



i

Presión del aire

F iF

e+

(b) Durante el vigésimo y vigésimo primer ciclo.

Figura 43: Temperatura y presión del almacenamiento. T0 = 310 K, p0 = 45 bar, NTU = 25,Cr0 = 1, 5, θc = 1,85, qAT0 = 0, 12, Λ = 50, FoE = 4 × 10−5, qr0 = 25, Bi = 250,

Fo = 6 × 10−4, mr = 0, 8, τ1 = 8/24, τ2 = 14/24, τ3 = 18/24, θa = 0, 96.

Donde la temperatura del aire almacenado se encuentra dentro del rango de magnitudes permitido.

Conclusiones 77

Capítulo 9

ConclusionesLas consecuencias derivadas de lo anteriormente expuesto, se aúnan a continuación, conferiendo un re-sumen de los contenidos clave expuestos a lo largo del documento.

A la hora de presentar un modelo que describa el comportamiento de una planta de potenciaCAES, la correcta modelización del almacenamiento de energía resulta de suma importancia a lahora de la obtención de resultados útiles y precisos.

La aplicabilidad del modelo aquí deducido, es válido para los límites asintóticos en los númerosadimensionales deMach Ma → 0 y Péclet Pe → ∞, donde los fenómenos de distribución delas magnitudes termodinámicas de presión y temperatura se consideran homogéneos, respectiva-mente. No obstante, aun con dichas limitaciones el modelo es válido para la amplia mayoría decondiciones de modelización, ya que los fenómenos de transferencia de calor en el sistema jueganun papel muy importante como para ser obviados.

Se ha comprobado que variables termodinámicas, tales como el parámetro de compresibilidad delaire, el parámetro de desviación ideal y los calores específicos no presentan una aprecible varia-ción en los rangos de presiones, temperaturas y caudales de carga y descarga esperados, así que enconsecuencia resulta razonable la adopción de su descripción ideal.

En cuanto a la influencia de los efectos relacionados con la transmisión de calor a través del me-dio circundante al almacenamiento, pueden ser adecuadamente representados en función de dosgrupos adimensionales: la potencia de pérdidas adimensional qr = hSS/(mccv0) y el productodel número de Biot Bi y la raíz cuadrada del número de Fourier Fo, i.e. Bi∗ = hSt1/2

0 /eR, en elrango esperado de magnitudes relacionadas con las características de dicho medio.

La influencia de dichos efectos de transmisión de calor en elmedio circundante al almacenamientoresulta despreciable a profundidades del órden del 7 % el radio del almacenamiento. Un porcen-taje reprresentativo de las pérdidas cíclicas con respecto a la energía almacenada al principio delciclo resulta del 7 %, las cuales pueden ser reducidas disminuyendo la temperatura de inyección.

El modelo obtenido ha sido validado, y por tanto contrastado mediante comparación de la simu-lación con datos medidos experimentalmente durante la fase de prueba de la planta de potenciaCAES deHuntorf, Alemania. Ambos; modelo ymedicionesmuestran una extraordinaria concor-dancia.

En la optimización de la operación y ubicación del almacenamiento se ha llegado a las siguientesconclusiones derivadas directamente de los resultados numéricos obtenidos:

• Debido a la grandependencia de la temperatura del almacenamiento en los procesos de trans-misión de calor, y éstos en las propiedades del medio circundante al almacenamiento se pre-fieren suelos con escasa efusividad térmica Bi∗ > 10 (superficie relativamente adiabática).En cuanto a la política de operación, temperaturas de inyección relativamente parecidas ala temperatura de equilibrio incicial del almacenamiento , θi < 1,05 son recomendables.La desviación en dichos parámetros respecto a los valores sugeridos supone una pérdida derendimiento del almacenamiento en varios puntos porcentuales.

Conclusiones 78

Es conveniente lamención del control de la temperatura del almacenamientomediante la re-gulación de la temperatura de inyección; ya que menores temperaturas de inyección, causandesviaciónes negativas en la temperatura del almacenamiento y viceversa.

• El volumen requerido para el almacenamiento de aire comprimido, depende fuertementede la ratio entre sus presiones máxima frente a mínima siendo en términos económicos óp-tima, aquella situada entre los valores 1, 2 ≤ pmax/pmin ≤ 1, 8. Se afinará debidamentela cota inferior con la temperatura máxima sujeta a restricciones de materiales del almacena-miento y características del medio circundante al almacenamiento siendo preferibles medioscircundantes con la máxima efusividad posible.

Es también remarcable la mención de la reducción en el requerimiento gracias a los procesosde transferencia de calor y su reducción de la temperatura del almacenamiento, permitiendocapacidades mayores de almacenamiento.

• Se preferirán volúmenes de almacenamiento optimizados para la menor superficie, i.e. esfé-ricos o cilíndricos, dada la linealidad que presentan las fugas caloríficas con la superficie delalmacenamiento.

• Para la misma cantidad de aire introducido en el almacenamiento (mct1 = cte.), procesosde compresiónmás duraderos resultan en una disminución de la temperaturamáxima alcan-zada durante la operación. De la misma manera para una misma cantidad de aire extraído,períodos de extracción más extendidos en el tiempo conllevan un aumento de la tempera-tura mínima del almacenamiento. De esta manera resulta ventajoso, dentro de los rangospermitidos, expandir en el tiempo, cuanto sea posible, los procesos de carga y descarga.

El almacén térmico resultó adecuadamente representado por un sólido homogéneo donde la tem-peratura presenta una distribución dependiente de la posición longitudinal dentro de el mismo.Un modelo con mayores y más severas aproximaciones, tales como la asunción de una tempera-tura independiente de la coordenada longitudinal, conducirían a resultados toscos, poco veraces ycarentes de aplicabilidad.

§ 9.1 Adenda

A lo largo de este documento se han obtenido conclusiones relevantes para la modelización y la optimi-zación de sistemas CAES. Se ofrece un desarrollo exhaustivo, riguroso y completo con ánimo de proveerla más detallada explicación de los procesos que aquí se desarrollan.

Este estudio de ningunamanera finaliza tras estas conclusiones, sino que constituye la primera pieza de loque aún queda por desarrollar hasta llegar a la descripción completa de la planta de potencia y así someterverdaderamente a juicio esta tecnología tan prometedora.




Documento 2: Estudio económico

Balance económico del desarrollo del proyecto 80

Capítulo 1

Balance económico del desarrollo del proyectoDadoque el presente escrito versa sobre un proyecto de investigación y aplicación científica y tecnológica,se diseñará un orientativo esquema económico, basado en un balance sencillo, válido para los de su clase,centrado en la estimación de los gastos en los conceptos relativos a recursos humanos así como losmediosutilizados para su correcto desarrollo.

§ 1.1 Coste de recursos humanos

Para el desarrollo de este proyecto se ha requerido de :

Un ingeniero superior a tiempo parcial trabajando 20 h semanales durante un período de 11 me-ses, responsable del proyecto, y dotado de aptitudes y capacidades para la correcta realización delmismo así como la comprensión, el análisis y el juicio de los resultados obtenidos al finalizarlo.

Un ingeniero doctor superior cuya tarea fue la dirección del proyecto, trabajando un total de 5horas semanales durante e período de desarrollo del proyecto.

Concepto Precio horario [e/h] Tiempo [h] Gasto [e]

Ingeniero superior junior 20 880 17800Ingeniero superior senior 50 220 11000

Subtotal 28600

Tabla 4: Tabla de costes relacionados con RR.HH.

§ 1.2 Cote de de recursos útiles

Aunque ciertas partes del proyecto incluyen cálculos analíticos que desvelan de forma pobre el comporta-miento del sistema e interrumpen, en sumedida, una correcta interpretación de ciertos comportamientosse requiere de un ordenador que compute cálculos de forma automatizada, rápida, eficiente y exacta asícomo de un software informático que los lleve a cabo y muestre para su posterior juicio e interpretación.

La amortizacióndedicho equipo conbase imponible de 1200e sobre el cual se fijará un coeficiente del do-ble del linealmáximo, del 42 %de la base imponible, según la tabla de amortizaciónde laAgencia Tributariabasado en el esquema de amortización acelerada en el tiempo de contrato.

http://www.agenciatributaria.es/

Balance económico del desarrollo del proyecto 81

Equipo Inversión [e] Amortización [e] Gastos [e]

Ordenador portátil 1200 462 1662Matlab Basic R2015a 2000 – 2000

Subotal 3200 3662

Tabla 5: Tabla de gastos relacionados con el equipo y software informático.

El programa de cálculo utlizado presenta unúnicomódulo, el principalMatlab Basic ya que no se requie-ren de herramientas de cálculomás específicas que las que se deducen y se detallan a lo largo del proyecto.Los precios mostrados en la tabla (5) han sido obtenidos deMathWorks® por petición expresa.

§ 1.3 Costes totales

Finalmente, agrupando todos los gastos detallados anteriormente en las correspondientes partidas conuna cuantía de inversión de 3200e se tiene

Asunto Gasto [e]

Gastos de RR.HH. 28600Gastos de recursos útiles 3662

Subotal 32262

Tabla 6: Tabla de gastos totales a figurar en el balance económico.

http://es.mathworks.com/




Documento 3: Anexos

83

Anexos

§A Rendimiento del ciclo

Suponiendo el aire como un gas ideal, la entalpía resulta función única y exclusivamente de la temperatu-ra T y su calor específico resulta constante e igual a cp0. Analizando los parámetros Q′

T/QT y QF/QC

que relacionan los ciclos (refbraytoncaes) y (7b) para una determinada energía de compresión en ambosciclos se pretende evaluar el incremento en el rendimiento del ciclo adiabático (parámetros primados) conrespecto al convencional (parámetros sin primar).

Se hará uso de la ecuación que describe un proceso isentrópico como aproximación para ambos casosT = cte.p(γ−1)/γ conjuntamente con la definición de rendimiento isentrópico† ηT para la turbina y ηC

para el compresor, así como la diferencia de entalpía como calor intercambiado en el proceso de estudioaproximada por el calor específicomultiplicado por la diferencia de temperaturas asociada∆h = cp0∆T.

Aplicando dicho método a un ciclo genérico, el cual se describe en la figura (7a) así como la asunción deuna perfecta transmisión de calor en los intercambiadores de calor se tiene:

QC = (h2 − h1) + (h3 − h2′) QT = (h4 − h4′) + (h5 − h5′) QF = (h4 − h3′′) + (h5 − h4′)

h5′ − h5′′ = h3′′ − h3

Asumiendo para las temperaturas y presiones de los ciclos‡

T1 = T2′ = T3′ = T′1 = T′

2′ = T′3′ T2 = T3 = T′

2 = T′3 = T′

4 = T′5 T′

1 = T′5′ T3 = T5′′

p1 = p′1 p4 = p′4

ObteniéndoseQCηC

cp0T1=

[

(

p2

p1

)

γ−1γ

− 1

]

+

[

(

p4

p2

)

γ−1γ

− 1

]

QT

cp0T4ηT=

[

1 −(

p4′

p4

)

γ−1γ

]

+

[

1 −(

p5′

p5

)

γ−1γ

]

QF

cp0T4=

T5′′

T4+

QT

cp0T4− T1

T4

{

1 +1

ηC

[

(

p2

p1

)

γ−1γ

− 1

]}

Se incorporan los datos de referencia necesarios del ciclo correspondiente a CAES (5) y AA-CAES (7b)acorde con §1.4 y §1.5

T1 = 25° C T4 = 1200° C

p1 = 1bar p4 = 50bar p5 =1

4p4

ηC = 0, 82 ηT = 0, 85

†Se define rendimiento isentrópico de un proceso como la relación entre la diferencia entálpica del proceso real y la diferenciaentálpica del mismo proceso efectuado de forma isentrópica.‡La condición de adiabaticidad del sistema se encuentra implítita en T3 = T5′′ .

84

Insertando dichos valores de referencia en las ecuaciones obtenidas se tiene

QC

cp0T1=

Q′C

cp0T′1

= 1, 83QT

cp0T4= 0, 72

QF

cp0T4= 0, 72

Q′T

cp0T′4

= 0, 69

Con estos resultados se calculan los parámetros requeridos

Q′T/QT = 0, 37 QF/QC = 1, 94

§ B Resolución de la ecuación diferencial del caso de estudio Bi∗ → 0

La ecuación diferencial de tipodθ

dτ+ a

θ

=

b

+ c

Puede resolverse cómodamente para θ = θ() ya que resulta ser lineal en τ

dθ

d+ a∗

θ

=

b∗

+ c∗

Donde las constantes con (∗) resultan de dividir sus valores originales por el coeficiente de cambio devariable d/dτ. Multiplicando por el factor integrante exp (a∗ ln ) e integrando en se obtiene laexpresión para θ

θ = k0−a∗ +c∗

1 + a∗ +

b∗

a∗

Donde k0 es una constante.

Mientras que para ecuaciones con coeficientes constantes se tiene

dθ

dτ+ aθ = b θ = k0 exp (−aτ) +

b

a

§C Resolución del sistema diferencial del caso de estudio real-ideal

El sistema diferencial del tipo

dθ

dτ+ aθ = b + cθW

1

Fo

∂θR

∂τ=

∂2θR

∂r∗2+

1

r∗∂θR

∂r∗

θ|τ=0 = 1 θW = θR(τ, 1)

θR|τ=0 = θR0(r∗) lım

r∗→∞θR = θR∞ Bi(θW − θ) =

∂θR

∂r∗

∣

∣

∣

∣

W

Asumiendo que θR0(r∗) = θR∞ = θ|τ=0 = 1 así como = ¯ y aplicando el operador† L definido por

su transformación y su inversa

L ≡w ∞

0

dτ exp (−τp) L−1 ≡ 1

2πi

w σ+∞i

σ−∞i

dp exp (pτ)

†Dicho perarador coincide con elOperador de Laplace, cuyo dominio viene representado por a variable compleja p. Asímismose define el parámetro σ ∈ R como un número de la recta real p ∈ R en el plano complejo p ∈ C a la izquierda del cual sesitúan todos los polos del integrando.

85

al sistema de ecuaciones con condiciones iniciales nulas, resulta

pθ + aθ =a + b − c

p+ cθW r∗2 ∂2θR

∂r∗2+ r∗

∂θR

∂r∗−

(

r∗√

p

Fo

)2

θR = 0

θ|τ=0 = 0 θR|τ=0 = 0 Bi(θW − θ) =∂θR

∂r∗

∣

∣

∣

∣

W

θW = θR(τ, 1)

De la segunda ecuación que describe la temperatura del medio de frontera resulta impuesta la condiciónde finitud en su dominio [25]

θR = k0K0

(

r∗√

p

Fo

)

Donde k0 es una constante a determinar y K0 coincide con la función de Bessel modificada de segundaespecie de orden 0.Aplicando la condición de flujo en la frontera sabiendo que K′

ν(z) = ν/zKν(z) − Kν+1(z) y trassimples operaciones algebráicas

pθ =

(a + b − c)

[

K0

(√

pFo

)

+

√p

Bi∗K1

(√

pFo

)

]

(p + a − c)K0

(√

pFo

)

+ (a + p)

√p

Bi∗K1

(

r∗√

pFo

)

pθR =(a + b − c)K0

(

r∗√

pFo

)

(p + a − c)K0

(√

pFo

)

+ (a + p)

√p

Bi∗K1

(√

pFo

)

Cuya solución en el dominio temporal coincide con

θ = 1 +

w τ

0

L−1 pθ dτ θR = 1 +

w τ

0

L−1 pθR dτ

La inversión se lleva a cabo mediante la utilización delTeorema del Residuo de Cauchy sobre el contornoformado por los tramosΓ,C∞,Cǫ,R+ yR− presentado en la figura (44) debido al punto de ramificaciónde la raíz en p = 0, utilizándose sobre el contorno su valor principal y como rama [π,−π].

Γ

Im{p}

Re{p}C

C∞

C∞

R+

R−

Figura 44: Contorno de integración “keyhole” típico para funciones con un punto de ramificación.

86

Según el Lema de Jordan la integral sobre el contorno C∞ conforme |p| → ∞ obtiene un valor nu-lo. Análogamente la integral sobre el contorno Cǫ cuando |p| → 0 haciendo uso de la desigualdad deCauchy también resulta de valor nulo. Dado que en el interior del contorno no existen polos [8], la in-tegral de inversión sobre Γ puede expresarse en función de la integración sobre los contornos R+ y R−.Utilizando la parametrización de p en dichos contornos como p = η2 exp (iπ) y p = η2 exp (−iπ)respectivamente así como la regla de la cadena para funciones compuestas se cumple para una funcióngenérica F(p)

L−1F(p) =1

π

w ∞

0

Im

{

F(

η2 exp (iπ)) dp

dη

}

exp (−η2τ) dη

Utilizando este resultado y aplicándolo a a inversión junto a las propiedades de las funciones de Bessel conargumento complejo [25] K0(z exp (±iπ/2)) = ∓iπ/2 [J0(z)∓ iY0(z)] y K1(z exp (±iπ/2)) =−π/2 [J1(z)∓ iY1(z)] se tiene [8]

θ = 1 + ckc2√

Fo

π

w ∞

0

1 − exp (−η2τ)

Ψ2J + Ψ2

Y

dη

θR = 1 + ck

w ∞

0

ΨJY0

(

r∗ η√Fo

)

− ΨY J0

(

r∗ η√Fo

)

Ψ2J + Ψ2

Y

[

1 − exp (−η2τ)] dη

η

Donde ΨJ , ΨY y ck se expresan

ΨJ = ψ1 J0

(

η√Fo

)

+ ψ2 J1

(

η√Fo

)

ΨY = ψ1Y0

(

η√Fo

)

+ ψ2Y1

(

η√Fo

)

ψ1 = Bi∗(a − c − η2) ψ2 = η(a − η2)

ck = (a + b − c)Bi∗2

π

Obteniéndose una temperatura superficial θW aplicandoYν(z)Jν+1(z)− Yν+1(z)Jν(z) = 2/(πZ)

θW = 1 + ck2√

Fo

π

w ∞

0

ψ2

[

1 − exp (−η2τ)]

Ψ2J + Ψ2

Y

dη

η2

Para grandes valores de z en los argumentos de las funciones de Bessel de primera y segunda especie deorden ν, Jν(z) y Yν(z) respectivamente, se tiene las siguientes aproximaciones asintóticas [25] válidaspara τ ≪ 1/Fo

Jν(z) ∼√

2

πzcos

(

z − 1

2νπ − 1

4π

)

+O(z−1) Yν ∼√

2

πzsin

(

z − 1

2νπ − 1

4π

)

+O(z−1)

Resultando tras aplicar las identidades cos α = sin (α + π/2), sin α = − cos (α + π/2), cos (α ± β) =cos α cos β ∓ sin α sin β y sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α cos β las expresiones asintóticas

θ = 1 + ckc

w ∞

0

1 − exp (−η2τ)

ψ21 + ψ2

2

dη

θR = 1 +ck√r∗

w ∞

0

ψ1 sin(

(r∗ − 1) η√Fo

)

+ ψ2 cos(

(r∗ − 1) η√Fo

)

ψ1 + ψ2

[

1 − exp (−η2τ)] dη

η

87

§D Cálculo de las propiedades termodinámicas

Fórmulas de cálculo para las propiedades termodinámicasHaciendo uso de las ecuaciones (2.9), (2.10), (2.11) y (2.45) pueden obtenerse el calor epecífico a volumenconstante (2.49), el calor específico a presión constante (2.30), la entalpía (2.46) y la entropía (2.50) según.

cv

R =co

v

R + Fcv

cp

R =cv

R + Fcp

h

RT=

ho

RT+

ho

RT+ Fh

s

R =so

R +so

R + Fs

Las constantes ho = hoo + ∆hre f y so = soo + ∆sre f se corresponden con la suma de las magnitudesde dichas variables en el estado termodinámico de 0K y el sálto entálpico o entrópico desde 0k hasta lasmagnitudes de referencia. Las funciones co

v, ho y so corresponden amagnitudes características de los gases

perfectos y resultan

cov

R =co

p

R − 1ho

RT=

1

T

w T

Tre f

cop

R dTso

R =

w T

Tre f

[

cov

R − 1

]

dT

T−

w ρ

ρre f

dρ

ρ

Donde la expresión de cop viene recogida en (2.45) y

ho

RT=

6

∑i=0

cp1i

i + 1

[

T∗i − T∗−1]

−6

∑i=2

cp2i

i − 1

[

T∗−i − T∗−1]

+cp21

T∗ ln T∗

so

R =6

∑i=1

cp1i

i

[

T∗i − 1]

−6

∑i=1

cp2i

i

[

T∗−i − 1]

+ cp11ln T∗ − ln [T∗ρ∗]

Mientras que Fcv , Fcp , Fh y Fs representan a los factores desviatorios de dicha magnitud respecto delcomportamiento perfecto.

Fcv = − ∂

∂T

w ρ

0

T2 ∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

dρ

ρ=−

r

∑i=1

Si

∑k=0

k(k − 1)

izik

ρir

Tkr

Zβ =∂

∂T[ZT]ρ = 1 −

r

∑i=1

Si

∑k=0

(k − 1)zikρi

r

Tkr

Zζ =∂

∂T[Zρ]T = 1 +

r

∑i=1

Si

∑k=0

(i + 1)zikρi

r

Tkr

Fcp = Zβ2

ζ

Fh =

w ρ

0

[

∂Z

∂ρ

∣

∣

∣

∣

T

− T

ρ

∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

]

dρ =r

∑i=1

Si

∑k=0

i + k

izik

ρir

Tkr

Fs = −w ρ

0

[

Z − 1 + T∂Z

∂T

∣

∣

∣

∣

ρ

]

dρ

ρ=

r

∑i=1

Si

∑k=0

k − 1

izik

ρir

Tkr

88

§ E Longitud de penetración térmica

Se supone una temperatura del sistema de almacenamiento periódica y sinusoidal que oscila en torno ala temperatura en régimen permanente θs, para evaluar la respuesta del medio de frontera ante cambioscíclicos de temperatura. También se supondrá una pared plana†.

Se resuelven entonces las ecuaciones planteadas en §4.4 para el modelo de frontera asumiendo paredplana‡

1

Fo

∂θR

∂τ=

∂2θR

∂ξ2


∂ξ

∣

∣

∣

∣

W

θW =1

S

wθR dS

θ|τ=0 = 1 |τ=0 = 1

θR|τ=0 = θR0(ξ)

Resolviendo la ecuación en el dominio complejo para una solución tal θR = θRτ (τ)θRξ(ξ) siendo la

frecuencia característica del sistema en número de ciclos n por cada período τc se llega a

θR = |Z| exp

(

− ν√2(ξ − 1)

)

sin

(

2πnτ − ν√2(ξ − 1) + arg Z

)

θs

Z= 1 +

1 + i√2

1

Bi

√

2πn

Foν =

√

2πn

Fo

Si llamamos ǫ al factor exponencial evaluado en la distancia R∗ǫ donde los cambios de temperatura son

despreciables resulta la fórmula de cálculo para la penetración térmica

R∗ǫ = 1 +

√2

νln(1/ǫ)

Seobservaque esta longituddepenetración térmica es inversamente proporcional a la frecuencia de carga-descarga. Así, a mayor número de ciclos diarios menor será la longitud de penetración.

†Dicha suposición resulta razonable según la sección§4.5 donde se expuso la escasa profundidaddepenetraciónde la temperaturaen el medio circundante‡Esto resulta en una buena aproximación siempre y cuando la longitud de penetración térmica sea despreciable frente al radiodel almacenamiento.

89

Referencias[1] Energy Supply. BBC Brown Boveri .Huntorf Air Storage Gas Turbine Power Plant. No. D GK 90

202 E.

[2] Red Eléctrica Española (REE) El sistema eléctrico español, avance del informe, 20014.

[3] Department of Energy of the United States of America EPRI-DOE Handbook of Energy Storagefor Transmission and Distribution Applications, 2003.

[4] Agencia Internacional de la energía (IEA). Energy technology perspectives 2010, 2010.

[5] Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía Plan de Energías Renovables (PER), 2011.

[6] Agencia Internacional de la energía (IEA). Technology Roadmap: Energy Storage, 2014.

[7] Allen, R., Doherty, T., and Fossum, A. Geaotechnical issues and guidelines for storage ofcompressed air in excavated hard rock caverns. U.S. Department of Energy: Pacific Northwest La-boratory (1982).

[8] Carslaw, H., and Jaeger, J. Conduction of Heat in Solids. Oxford at the Clarendon Press, 1959.

[9] Crotogino, F., and Mohmeyer, K.-U. Huntorf caes: More than 20 years of successful opera-tion. Solution Mining Research Institute (2001).

[10] De Vicente Cuenca, S. Las Ecuaciones en Derivadas Parciales de los Medios Continuos. 2003.

[11] Ding, Y., Chen, H., Yang,W., Tan, C., and Li, Y. Progress in electrical energy storage system: Acritical review. Progress in Natural Science (2008).

[12] Fernández Benítez, J. A. Centrales Termoeléctricas Convencionales. UPM, 2004.

[13] Gillhaus, A. Natural gas storage in salt caverns - present status, developments and future trendsin europe. Solution Mining Research Institute (2007).

[14] Kushnir, R., Ullman, A., and Dayan, A. Temperature and pressure variations within com-pressed air energy storage caverns. International Journal of Heat and Mass Transfer (2012).

[15] Kushnir, R., Ullman, A., and Dayan, A. Thermodynamic models for the temperature andpressure variations within adiabatic caverns of compressed air energy storage plants. InternationalJournal of Heat and Mass Transfer (2012).

[16] Landau,L.D., andLifshitz, E.M. Theory of Elasticity, Course of Theoretical Physics. PergamonPress, 1970.

[17] Langham, E. The underground storage of compressed air for gas turbine: a dynamic study on ananalogue computer. The Computer Journal (1965).

[18] Nakhamkin,M., and Schainker, R. Advanced compressed air energy storage plants with utili-zation of thermal energy storate systems. The American Society of Mechanical Engineers (ASME)(1986).

90

[19] Quast, P., and Crotogino, F. Initial experience with the compressed-air energy storage (caes)project of nordwestdeutsche kraftwerke ag(nwk) at huntorf/west germany. ERDOEL ERDGASZeitschrift (1978).

[20] Raju, M., and Kumar, S. Modeling and simulation of compressed air energy storage in caverns:A case study of the huntorf plant. Applied Energy Journal (2010).

[21] Schön, J. Physical Propeties of Rocks. Elsevier, 2011.

[22] Succar, S., and H. Williams, R. Compressed air energy storage: Theory, resources and appli-cations for wind power. Princeton Environmental Institute (PEI) (2008).

[23] Sychev, V. Thermodynamic Properties of Air (National Reference Data Service of the USSR: Aseries od Preoperty Tables). CRC Press, 1987.

[24] Ter-Gazarian, A. Energy Storage for Power Systems. The Institution of Engineering and Tech-nology, 2011.

[25] Watson, G., and F.R.S., S. Theory of Bessel Functions. Cambridge University Press, 1922.

[26] Wojnar, R. Thermodynamics of solids with a state equation. Journal of Theoretical and AppliedMechanics (1999).

[27] Yang, K., Zhang, Y., Li, X., and Xu, J. Theoretical evaluation on the impact of heat exchangerin advanced adiabatic compressed air energy strage system. International Journal of Heat andMassTransfer (2014).

Documents

Modelo Matemático Homogéneo e Isótropo para la Operación y