Modelo Matemático Del Proceso de Transporte Neumático (Autoguardado)

Silos, tolvas y transporte neumático.

Rogelio Rodríguez, Mailenth Cantillo, Jorge Luis Grau, José Pacheco. Ing. Química UA

MODELO MATEMÁTICO DEL PROCESO DE TRANSPORTE NEUMÁTICO Debido a la complejidad de los procesos presentes en el transporte neumático, una aproximación teórica que lo modele debe contener gran cantidad de variables y requiere la aplicación de una amplia variedad de conceptos físicos para lograr una aproximación aceptable al fenómeno. A continuación presentaremos un conjunto de ecuaciones que pretenden dar una comprensión general del transporte neumático. Con la adecuada utilización de las mismas lograremos determinar la caída de presión ocasionada por el transporte de material. A diferencia de la mayor parte de los métodos usados para el cálculo de condiciones de tubería, el que presentaremos a continuación pretende dar explicación matemática a los procesos, sin recurrir a ecuaciones empíricas, lo que hace mucho más generales los resultados obtenidos. El modelo no discrimina entre transporte en fase densa y fase diluida de una forma directa, pero mediante el cambio de la relación másica de sólido y aire se puede obtener soluciones igualmente válidas para los dos tipos de transporte. Permite también determinar las caídas de presión en el sistema independientemente de si se tiene transporte en presión o vacío (succión), lo anterior lo convierte en una de las formas más completas para determinar las caídas de presión en tuberías horizontales, verticales o inclinadas. El desarrollo de modelo se basa en la utilización simultánea de ecuaciones de:

La figura presenta un diagrama de cuerpo libre para un diferencial de tubería que contiene una corriente de aire transportando partículas sólidas (mezcla). Las fuerzas se descomponen en los ejes X y Y, y se hace el balance de momentum para aire y sólido.



1) Balance de momentum

Ecuación de balance de momentum en el eje x para el material

Fsp = Fuerza de interacción entre el material y la pared o superficie de la tubería. Fgs = Fuerza de interacción entre el gas y el material. g=Aceleración de la gravedad

Ecuación de balance de momentum en el eje x para el gas

Fgp= Fuerza de resistencia que ofrece la pared o tubería al flujo de gas Dónde:



fg = Factor de fricción del gas D = Diámetro de la tubería Vg = Velocidad del gas Fv = Fuerza vibracional del material.

Concepto de potencia vibracional: Debido a que las partículas de material vibran a lo largo del eje Y cambia el perfil de velocidad del aire y éste no se comporta como en un tubo vacío, por lo tanto la fuerza de fricción asociada será diferente. Dónde:

Pv = Potencia vibracional

= Componente del peso en el eje Y del material

= Componente de la velocidad del fluido en el eje Y A partir de (4) y (5) se obtiene: Dónde: Vf= Velocidad de flotación de la partícula A continuación se suman los balances de momentum en el eje X (Ecuaciones (1) y (2)). Se obtiene la ecuación siguiente:



En la ecuación (7) se desconocen los factores Fsp y Fv. Pero: Dónde: fz= Coeficiente de fricción del material Los siguientes datos se requieren para el funcionamiento del modelo y se pueden encontrar experimentalmente o en tablas, por lo que no se consideran incógnitas en las ecuaciones. (fz, fg, ρg y ρs). Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (7) se obtiene la siguiente ecuación:

Resolviendo el lado izquierdo de la ecuación (9) y por el concepto de derivadas materiales; se tiene en general que: Si asumimos flujo contínuo de aire en la tubería y que éste no varía con el tiempo, sino exclusivamente con la distancia obtenemos:



2) Balance de masa Luego realizamos un balance de masa para el gas en un tubo de área transversal constante:

Dónde: = Flujo másico de gas por unidad de área

Balance del material

Dónde:

Sustituyendo (10) a (15) en (9) se obtiene:

Existe una diferencia entre y , el primer término representa la densidad del

gas en el proceso de transporte neumático, la densidad nominal del gas (se ve afectada por la presencia del material mediante la siguiente relación. Asumiendo flujo másico constante del gas se tiene:



De la ecuación de estado se tiene: Dónde: P= Presión del gas (Pa) M= Masa molar del gas (moles) T= Temperatura del gas (K) n= Número de moles R= Constante de gas V= Volumen

Reescribiendo la ecuación (7) y usando:



3) Balance de energía

Balance de energía para el gas:

Consideramos el proceso isotérmico y adiabático, la temperatura del fluido puede considerarse constante si las velocidades son menores a 30 m/s Dónde: h= Entalpía (KJ/Kg) Teniendo en cuenta que la velocidad del sólido Vs aumenta como una función de x al igual que la Vg (gas), tenemos las siguientes relaciones: Dónde: Vga= Velocidad del gas en el estado de referencia (m/s) Vsa = Velocidad del sólido en el estado de referencia (m/s) ρGa= Densidad del gas en el estado de referencia (Kg/m3) Pa= Presión del gas en el estado de referencia (Pa) Nota: El estado de referencia es tomado a presión atmosférica y temperatura ambiente.



Calculo de la velocidad de flotación: La velocidad de flotación depende de la densidad del sólido y el tamaño de las partículas. Existe dificultad para estimarla con fórmulas matemáticas, ya que depende de la concentración de partículas en la corriente. Una forma más práctica es relacionarla exclusivamente con la densidad. Derivando con respecto a x la ecuación (20) se obtiene:

Combinando las ecuaciones (18), (20) y (22) se obtiene:



Finalmente se llega a: En la ecuación (16) se utilizaron las densidades parciales de gas y sólido ρg y ρs, para un desarrollo adecuado se debe hablar de porosidad o fracción de vacío ε, dicho término corresponde a los espacios de aire que existen al interior del material, cuando éste no está compactado, depende de la geometría de la partícula a transportar y del tamaño de las mismas, anteriormente se utilizó el término pero no fue definido matemáticamente. Recíprocamente Reescribiendo las ecuaciones de continuidad para las partículas y el gas respectivamente. Para las partículas:



Para el gas: μ permite determinar el tipo de transporte, ya sea fase densa o fase diluida, también permite determinar la porosidad de la mezcla sólido-gas, μ es uno de los factores más importantes en el transporte neumático, dependiendo de ésta relación se tendrá mayor o menor capacidad de transporte, también afecta en gran medida la caída de presión a través de la tubería y el caudal de aire requerido, se debe ser cuidadoso con la selección de su valor, pues se puede incurrir en gastos energéticos innecesarios. Si se sustituye desde la ecuación (18) hasta la (28) en la ecuación general

(16) y se tiene que, , queda que:

Y teniendo:



Se obtiene:

La ecuación (29) es finalmente la ecuación general que modela el proceso de transporte neumático en una tubería con un ángulo de inclinación θ, pero en la mayoría de los casos se tienen tuberías que son verticales u horizontales, por lo que la anterior ecuación se puede transformar en: Para tubería vertical. Senθ= 1; cosθ= 0 y se obtiene la siguiente ecuación:

Para tubería horizontal. Senθ= 0; cosθ= 1 y se obtiene la siguiente ecuación:

BIBLIOGRAFIA.

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