Modélisation des mécanismes

Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes

MODELISATION DES MECANISMES

1. Définition d’un mécanisme :

Un mécanisme est ensemble organisé de pièces mécaniques, reliées entre elles par des

liaisons, dont la finalité est le plus souvent d’établir techniquement une relation ou une

loi d’entrée/sortie (mouvement/effort) répondant à un besoin désiré.

À un mécanisme est le plus souvent associé la notion de mouvement, mais li peut aussi faire

l’objet d’une étude en situation statique.

Dans un tel mécanisme, la transmission des efforts s’effectue par des surfaces de contact entre

pièces liées.

2. Modélisation d’un mécanisme :

D’une manière générale, la réalité d’un tel mécanisme est difficile, voire impossible, à

analyser. Son étude requiert donc la définition d’un modèle sur lequel pourront être appliquées

les lois relatives aux différents domaines scientifiques (statique, cinématique, dynamique, RDM)

et ainsi, prévoir ou justifier son comportement (isostatisme, hyperstatisme), ses performances,

ainsi que le dimensionnement de ses constituants.

Le schéma cinématique, le schéma architectural, le graphe de liaisons associées à chacun d’eux et enfin le schéma technologique, constituent les outils fondamentaux de cette modélisation.

2.1. Méthode d'analyse

Il est indispensable de faire une analyse et une représentation logique, conforme à sa

structure. Pour cela, on dispose d'outils appropriés :

Le graphe de structure (ou graphe des liaisons) et le schéma cinématique dans le cas d'une

étude géométrique et/ou cinématique ;

Le graphe des liaisons et efforts, et le schéma d'architecture dans le cas d'une étude des

efforts dans les liaisons, en statique ou dynamique.

2.1.1. Modélisation cinématique :

L’objectif consiste à faire apparaître clairement les mobilités contenues dans un mécanisme en

vue d’une étude cinématique. Pour cela, il est nécessaire de parcourir les étapes suivantes :

a) Rechercher les liaisons encastrement en s’appuyant sur le repérage des éléments

assemblés à l’aide d’organes filetés, sur des indications du dessin d’ensemble présentant un

caractère d’information fonctionnelle (par exemple serré, H7p6,etc.) ou d’autres types

d’assemblages complets symbolisés (soudures, etc.).

b) Regrouper les solides n’ayant aucun mouvement relatif les uns par rapport aux autres

en sous ensembles cinématiquement liés ; ceci s’effectue en recherchant les éléments en

assemblages complets (liaison encastrement) par l’intermédiaire d’organes filetés, d’un

Licence Appliquée en Génie Mécanique 1

Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes collage, d’une soudure…etc. On peut alors distinguer ces sous-ensembles par des couleurs

différentes et désigner chacun d’eux par le repère de la pièce la plus importante.

c) Analyser la géométrie des surfaces de contact entre les sous-ensembles

cinématiquement liés.

d) Modéliser les liaisons entre les sous-ensembles cinématiquement liés, en les

considérant isolément deux par deux et à partir des mouvements relatifs possibles et

compatibles avec la géométrie des surfaces en contact.

Ceci permet de construire le graphe de liaisons (point de vue cinématique) structuré de la

manière suivante :

Chaque groupe cinématiquement lié constitue un nœud du graphe précisé par

son numéro cerclé.

Chaque liaison est représentée par un arc auquel il est possible d’attacher un

certain nombre d’informations (type de liaison, centre de la liaison, repère idéal

associé à cette liaison…).

Construire le schéma cinématique en respectant les règles suivantes :

- Les pièces constitutives d’un groupe cinématiquement lié ne sont pas distinguées et sont

repérées par leur numéro ;

- Les liaisons entre les groupes cinématiquement liés sont représentés conformément à la

norme NF E 04-015.

- Les positions géométriques relatives des ces liaisons sont respectés : parallélisme,

perpendicularité, coaxialité… ;

- Les principaux paramètres sont respectés, en particulier les paramètres d’entrée-sortie.

Selon la complexité du mécanisme, le schéma cinématique peut être plan ou spatial

Définitions utiles :

On appelle groupe cinématiquement lié un ensemble de solides liés par encastrement. Par

conséquent, cet ensemble sera également représenté par un seul solide.

On appelle graphe des liaisons, une représentation plane qui permet de décrire l'agencement

des liaisons entre les solides constituant le mécanisme.

On appelle schéma cinématique d'un mécanisme, une représentation géométrique simplifiée

des pièces et des liaisons qui le constituent et qui fait apparaître clairement sa cinématique.

On appelle classe d’équivalence un ensemble ou un sous-ensemble fonctionnel de pièces qui

n’ont aucun mouvement les uns par rapport aux autres.


Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes 2.2. Exemples d’application :

Exemple 1 :

1) La liste des sous-ensembles cinématiquement liés :(Coloriage)S1= {9}, S2= {1, 5}, S3= {6, 7, 8}, S4= {2, 3}2) Établir le graphe de liaison de ce mécanisme :

3) Établir le schéma cinématique :

Pour les dessins de définitions suivants1) Établir les sous-ensembles cinématiquement liés,2) Établir le graphe de liaison,3) Établir le schéma cinématique,


9

1+5

6+7+8

2+3Pivot d’axe X

Pivot glissant

Glissière d’axe Y

Ponctuelle








2.1. 2. Modélisation architecturale :

Celle ci s’effectue dans le but de rechercher des actions mécaniques s’exerçant sur un

mécanisme et notamment les actions de liaisons. Il convient alors de s’appuyer sur un modèle

respectant fidèlement la réalité des liaisons que ne le permet pas le schéma cinématique.

On parcourt aussi les étapes suivantes :

a) Regrouper les solides n’ayant aucun mouvement relatif les par rapport aux autres en sous-

ensembles cinématiquement liés. Cette réflexion est identique à celle déjà faite dans le cas de la

modélisation cinématique.

b) Modéliser les liaisons entre les sous-ensembles cinématiquement liés comme cela a été déjà

proposé ors de la modélisation cinématique, mais dans ce cas, il est nécessaire de bien remarquer

que toutes les liaisons élémentaires doivent apparaitre puisque l’objectif de cette modélisation est

de procéder à une étude statique ou dynamique afin de déterminer les actions en ces liaisons. Le

graphe des liaisons (point de vue architectural) présente la même structure que le précédent, mais

il contient un nombre des liaisons plus important

c) Construire le schéma architectural (schéma distributeur des liaisons) en respectant les

mêmes règles que celles énoncées pour le schéma cinématique.


Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes Exemple :

Soit le réducteur de vitesse suivant :

a) Établir le graphe de liaisons (point de vue cinématique),

b) Faire le schéma cinématique du réducteur,

c) Établir le graphe de liaisons (point de vue architectural),

d) Faire son schéma architectural.

On donne : 1 : Carter, 2 : arbre d’entrée, 3 : arbre de sortie.

Solution :

a) Graphe de liaisons (point de vue cinématique) :

b) Schéma cinématique du réducteur de vitesse :

c) Graphe de liaisons (point de vue architectural) :

d) Schéma architectural du réducteur :


1

23

PivotPivot

Appui plan

1

2 3

''1,3

( )

L

rotule

''1,2

( )

L

rotule

2,3

( )

L

Appui plan

'1,2

( annulaire)

L

linéaire

'1,3

( annulaire)

L

linéaire

Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes 2.1. 3. Le schéma technologique :

Il permet de rendre compte de solutions technologiques adoptées en mettant en évidence les

composants utilisés et toutes les surfaces de liaisons appartenant aux

différentes pièces d’un mécanisme.

L’utilisation de cet outil est nécessaire, avant de passer au dessin

d’ensemble, afin de rechercher des solutions partielles, de les comparer

et d’effectuer un choix.

3. Liaisons composées :

Une liaison composée entre deux pièces est une liaison obtenue à partir de plusieurs liaisons

élémentaires.

On peut distinguer deux cas :

a) La liaison composée est constituée de plusieurs

liaisons élémentaires disposées en série comme montré

dans l’exemple suivant :

b) La liaison composée est

constituée de plusieurs liaisons

élémentaires disposées en parallèle

entre les deux pièces comme le

montre la figure suivante et le graphe

des liaisons correspondant :

3.1. Liaison équivalente :

La liaison équivalente (Léq) à la liaison composée entre deux solides, est la liaison dont le

comportement est identique à celui résultant de l’association des liaisons élémentaires, c'est-à-dire,

qui autorise le même mouvement relatif entre les deux solides.

1. Analyse technologique :

1) Cas de liaisons en série : Reprenons l’élément du manipulateur.

L’objectif est rechercher la liaison équivalente (Léq) entre (2) et (0) :

Une simple analyse des mouvements fait ressortir que :

La mobilité en rotation Rz de (2)/(0) existe car elle est déjà autorisée dans le

mouvement de (1)/(0).

La mobilité en translation Ty de (2)/(0) existe puisqu’elle découle du

mouvement de (2)/(1).

En conclusion, la liaison (Léq) de (2)/(0) possède deux mobilités : Rz et Ty.

Ainsi, l’objectif d’une association de liaisons en série est d’accroitre les mobilités d’un solide par

composition de mouvements en interposant une ou plusieurs pièces intermédiaires.


Exemple de schéma technologique relatif à une relation pivot

Élément de manipulateur et graphe de liaisons correspondant

Exemple de liaison en parallèle

Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes a) Deux applications fréquentes :

Association en série d’une liaison plane et d’une liaison rotule :

D’où la liaison équivalente est une liaison ponctuelle de normale O .

D’où la liaison équivalente est une liaison linéaire annulaire d’axe O .


Mobilités autorisées par les liaisons élémentaires

Mobilités de la liaison équivalente

Tx Autorisée par L1 AutoriséeTy Autorisée par L1 AutoriséeTz Interdite par L1 et L2 interditeRx Autorisée par L2 AutoriséeRy Autorisée par L2 AutoriséeRz Autorisée par L1 et L2 Autorisée

Mobilités autorisées par les liaisons élémentaires

Mobilités de la liaison équivalente

Tx interdite par L1 et L2 interditeTy Autorisée par L2 AutoriséeTz Interdite par L1 et L2 interditeRx Autorisée par L1 AutoriséeRy Autorisée par L1 et L2 AutoriséeRz Autorisée par L1 Autorisée


Remarques : - Une association de liaison en série a pour avantage de remplacer des contacts fragiles de type

ponctuel (première application) ou linéaire (deuxième application) par des contacts surfaciques

technologiquement plus intéressants puisqu’ils permettent de réduire les pressions et donc

d’augmenter la fiabilité de la liaison.

- Si une même mobilité est autorisée par chacune des liaisons élémentaires (Rz pour la

première application et Ry pour la deuxième application), il y a apparition d’une mobilité interne

d’une pièce contenue dans la liaison en série. Celle-ci peut être une rotation ou une translation, sans

entrainer aucun mouvement des autres pièces.

- La liaison équivalente à un ensemble de liaisons élémentaires disposées en série est toujours

isostatique.

2) Cas d’une liaison en parallèle :

Reprenons l’exemple précédent sur les liaisons en parallèle pour rechercher la liaison entre (1) et (0).

Une simple analyse de chaque liaison élémentaire fait ressortir que :

- La liaison L1 (pivot glissant) laisse subsister deux mobilités et supprime donc les quatre

mobilités : Tx, Tz, Rx et Rz.

- La liaison L2 (ponctuelle) permet de supprimer la mobilité Ty. En conséquence, la liaison

(Léq) entre (1) et (0) est un pivot puisqu’il ne reste plus que la mobilité Ry entre ces deux pièces.

Ainsi, contrairement d’une liaison en série, une liaison composée de plusieurs liaisons élémentaires

disposées en parallèle permet de diminuer le nombre de mobilités entre deux pièces.

Cette suppression de degrés de mobilités s’effectue par l’intermédiaire d’une transmission des

actions mécaniques entre les deux solides, en raison de l’existence de certaines composantes du

torseur transmissible, sachant que :

- Une mobilité interdite en translation selon un axe correspond à une valeur non nulle de la

composante de l’élément somme du torseur.

- Une mobilité interdite en rotation autour d’un axe résulte d’une valeur non nulle de la

composante de l’élément moment du torseur selon cet axe.

Il en résulte que, selon le nombre de contacts, la liaison composée peut être isostatique ou

hyperstatique :

Une liaison est isostatique si le nombre d’inconnues du torseur transmissible associé est

égal au nombre d’équations fournies par le principe fondamental.

Une liaison est hyperstatique si le nombre d’inconnues du torseur transmissible est

supérieur au nombre d’équations fournies par le principe fondamental.


Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes On vous propose ci-dessous deux exemples de réalisation par des liaisons élémentaires

disposées en parallèle d’une liaison pivot.


Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes 2. Méthode analytique : Soient : L1, L2, L3,…, Ln : n liaisons composant un mécanisme

et Léq leurs liaisons équivalente.

: le torseur cinématique associé à la liaison équivalente des n liaisons,

: le torseur transmissible associé à la liaison équivalente des n liaisons,

: le torseur cinématique associé à la liaison i,

: le torseur transmissible associé à la liaison i.

2.1. Liaisons en parallèle :

a) Torseur statique : le torseur statique de la liaison équivalente est la somme de tous les

torseurs statiques des n liaisons ; on alors : .

Par conséquent, pour qu’une composante du torseur de la liaison équivalente ne soit pas nulle,

il suffit qu’une seule composante correspondante d’une liaison (Li) ne soit pas nulle.

b) Torseur cinématique : on a

c) Exemple : supposons qu’il y a entre deux solides (S1) et (S2) deux liaisons parallèles :

(L1) : liaison pivot glissant d’axe (O, ),

(L2) : liaison ponctuelle de normale (O, ).

Les torseurs cinématiques de ces deux liaisons s’écrivent au point O, dans la base de R :

et et celui de la liaison équivalente est de la forme :

on aura les relations suivantes : d’où le torseur cinématique de Léq

sera alors celui d’une liaison pivot d’axe (O, ),



Remarque : les composantes de mouvements existant entre (S1) et (S2) sont celles qui

appartiennent simultanément à toutes les liaisons.

d) Hyperstatisme et mobilité : le nombre total d’inconnues statiques Ns introduit par les n

liaisons en parallèle est :

La relation donne six équations scalaires pour déterminer les Ns inconnues

statiques en fonction des composantes X, Y, Z, L, M, N du torseur statique de la liaison

équivalente.

Soit rs le nombre d’équations scalaires indépendantes ( )

Ce rs s’appelle le rang de la matrice associée à ce système de six équations à Ns inconnues,

c'est-à-dire l’ordre d’un des déterminants principaux que l’on peut extraire de cette matrice.

Définitions : le degré d’hyperstatisme h de la liaison de la liaison équivalente aux n liaisons

en parallèle est égal au nombre total Ns d’inconnues statiques introduit par les liaisons, moins

le nombre rs de relations indépendantes entre ces inconnues :

Si h=0 la liaison équivalente est dite isostatique.

Si h>0 la liaison équivalente est dite hyperstatique d’ordre h.

Les h inconnues statiques qui ne peuvent pas être calculées en fonction des composantes X,

Y, Z, L, M, N du torseur statique de la liaison équivalente sont appelés inconnues

hyperstatiques.

De la relation , on constate que le nombre rs représente

aussi le nombre de relations de nullité indépendantes imposées aux composantes, , , u, v, w

du torseur cinématique de la liaison équivalente.

Définitions : le degré de mobilité m de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle est

égal à 6 (le nombre de degré de liberté de la liaison libre) moins le nombre rs de relations de

nullité indépendantes imposées aux composantes du torseur cinématique de la liaison

équivalente.

Si m=0 la liaison équivalente est dite complète ou rigide,

Si m>0 la liaison équivalente est dite mobile à m degrés de liberté.

e) Exemple d’application : considérons un arbre (S2), d’axe (O, ) monté dans un bâti (S1) par

l’intermédiaire de deux liaisons (L1) et (L2). La liaison (L1) est une liaison linéique

annulaire d’axe (O, ), la liaison (L2) est une liaison pivot d’axe (O, )


Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes 1. Déterminer le torseur statique de la liaison

équivalente aux deux liaisons en parallèle (L1) et (L2).

2. Déterminer le degré d’hyperstatisme de la liaison

équivalente ainsi que les inconnues hyperstatiques.

3. Par une étude cinématique, déterminer le torseur

cinématique de la liaison équivalente aux deux liaisons (L1) et (L2).

4. pour que la liaison équivalente aux deux liaisons (L1) et (L2) soit une liaison pivot

isostatique d’axe (O, ), proposer plusieurs modifications possibles de la liaison (L2), la liaison (L1)

restant inchangée.

Réponses :

1) Soit R (O, , , ) un repère lié à (S2). Les torseurs statiques des liaisons (L1) et (L2) ont un

point O, dans la base de R, leur forme particulière conservée :

Soient le torseur statique associé à (L1) et . D’où le torseur

statique associé à la liaison équivalente est tel que : avec

On obtient alors les six équations suivantes : ce qui donne le torseur statique de la

liaison équivalente : ce torseur est celui d’une liaison pivot d’axe (O, )

2) Le degré d’hyperstatisme de la liaison équivalente est

Or et le nombre d’équations indépendantes permettant le calcul des

inconnues statiques des liaisons (L1) et (L2) en fonction de X,Y,Z,L,M,N est rs=5 ce qui donne h=2

d’où notre système est hyperstatique et les inconnues hyperstatiques de la liaison équivalente sont Y1

ou Y2 et Z1 ou Z2, ce qui donne aussi le degré de mobilité de la liaison équivalente est m=6-rs=6-5=1.

3) Les torseurs cinématiques associés à chaque liaison (L1) et (L2) sont respectivement :

et et celui de Léq est



La compatibilité de avec impose v=0, w=0,

La compatibilité de avec impose =0, =0, u=0, v=0, w=0, d’où on obtient cinq relations de

nullité indépendantes qui sont imposées aux composantes du torseur cinématiques de la liaison

équivalente. Ce nombre est égal à rs ; nombre de relations indépendantes entre les inconnues

statiques des liaisons. Par suite le torseur cinématique de la liaison équivalente est :

qui est celui d’une liaison pivot d’axe (O, )

4) La liaison équivalente conservant le même degré de mobilité m=6-rs=1, on en déduit que

rs=5. si la liaison est isostatique : .

Comme ns1=2, la liaison (L2) doit introduire inconnues statiques indépendants

(liaisons à 3 degrés de liberté).

Pour trouver une liaison (L2) rendant la construction isostatique, il suffit de supposer Y2=0 et

Z2=0. Alors le torseur statique de la liaison (L2) devient : .

Ce torseur statique est celui d’une liaison appui plan de normale (O, ), d’où la première solution

est :

Les torseurs statiques des (L1) et (L2) précédents ont leur forme particulière conservée au même point O et dans la même base de R.

Pour obtenir une autre construction isostatique il faut chercher une liaison (L2) dont le torseur statique a sa forme particulière en un autre point que le point O. Envisageons de placer en un point A de l’axe (O, ) une liaison rotule de centre A. le torseur

statique correspondant est : . Posons .

Pour vérifier que cette solution convient écrivons que : d’où les six équations

scalaires suivantes : toutes les inconnues statiques de ce système peuvent être calculées


Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes en fonction de X, Y, Z, L, M, N et rs=5. Par conséquent la liaison rotule choisie convient pour réaliser la liaison pivot isostatique entre (S1) et (S2) :

2.2. Liaisons en série :

a) Définition : n liaisons (L1), (L2),…, (Li),…, (Ln) sont en série entre deux solides (S0) et (Sn) si

elles sont disposées à la suite l’une de l’autre par l’intermédiaire de (n-1) solides. Le graphe de

liaisons se trace ainsi :

On dit également que les (n+1) solides assemblés par les n liaisons en série constituent une chaîne continue ouverte.

b) Liaison équivalente :

1. Torseur statique : on démontre, par le principe fondamental de la statique, que

par conséquent si une composante d’un torseur statique d’une liaison (Li)

est nulle, la composante correspondante du torseur statique de la liaison équivalente l’est aussi.

2. Torseur cinématique : en utilisant la loi de composition des torseurs cinématiques on obtient

d’où on aura : et par suite, les composantes de

mouvement existant entre (S0) et (Sn) sont toutes celles des liaisons (Li).

3. Hyperstatisme et mobilité : l’écriture de la relation permet la

détermination de toutes les composantes Xi, Yi, Zi, Li, Mi, Ni des torseurs statiques en fonction

des composantes X, Y, Z, L, M, N du torseur statique de la liaison équivalente.

Par conséquent, la liaison équivalente aux n liaisons en série entre (S0) et (Sn) est toujours

isostatique.

4. Définitions :

Le degré de mobilité mu de la liaison équivalente aux n liaisons en série entre (S0) et (Sn) est

égal au nombre d’inconnues cinématiques indépendantes de la liaison équivalente. Ce mu est aussi

appelé degré de mobilité utile de la chaîne continue ouverte.

Le nombre total d’inconnues cinématiques introduit par les n liaisons en série est :


Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes Le degré de mobilité m de la chaîne continue ouverte comprenant n liaisons est égal au

nombre Nc d’inconnues cinématiques introduit par les n liaisons soit

Remarque : comme l’introduction successive de solides intermédiaires entre (S0) et (Sn) ne peut

qu’augmenter le degré de mobilité de la chaîne continue ouverte, on a toujours : . On pose

alors où mi est appelée degré de mobilité interne de la chaîne continue ouverte.

Une pièce a une mobilité interne dans un mécanisme (par exemple, une bielle tournant sur

elle-même entre deux liaisons rotule) si elle peut avoir un mouvement qui n’entraîne aucun

mouvement des autres pièces du mécanisme.

5. Exemple d’application : soit une chaîne continue ouverte

constituée par trois solides (S0), (S1) et (S2).

La liaison (L2) entre (S1) et (S2) est une liaison rotule de centre O.

La liaison (L1) entre (S0) et (S1) est une liaison appui plan de normale

(O, ).

Soit R (O, , , ) un repère situé sur les liaisons.

1. Déterminer le torseur statique de la liaison équivalente aux deux liaisons en série entre (S0) et

(S1).

2. Par une cinématique, déterminer le torseur cinématique de la liaison équivalente aux deux

liaisons en série entre (S0) et (S2). En déduire le degré de mobilité interne de la chaîne continue

ouverte constituée par (S0), (S1) et (S2).

Réponses :

1. Au point O dans la base R, les torseurs statiques des liaisons (L1) et (L2) sont de la forme :

et et soit le torseur statique de la liaison

équivalente. Ce torseur statique est tel que : d’où . Par suite la liaison

équivalente aux deux liaisons en série entre (S0) et (S2) est une liaison ponctuelle de normale (O, ).

Les torseurs cinématiques des liaisons (L1) et (L2) s’écrivent au point O, dans la base de R :



et soit le torseur cinématique de la liaison

équivalente. Ce torseur est tel que : soit alors : par conséquent le torseur

cinématique de la liaison équivalente aux deux liaisons en série entre (S0) et (S1) est de la forme :

. Le degré de mobilité de la chaîne continue ouverte constituée par (S0), (S1) et (S2)

est or d’où m=6Le degré de mobilité mu de la liaison équivalente est égal au nombre d’inconnues

cinématiques indépendantes du torseur cinématique de la liaison ponctuelle équivalente d’où mu=5.

Par suite la mobilité interne de la chaîne continue ouverte est : soit mi=1.

La mobilité interne se localise en remarquant que la relation : indique que

peuvent être différents de zéro, si le torseur cinématique de la liaison équivalente est nul, c'est-à-dire

que (S1) peut tourner autour de (O, ) sans provoquer un mouvement de (S2) par rapport à (S0).

3. Avantages et inconvénients d’un mécanisme isostatique par rapport à un mécanisme hyperstatique :

Dans un mécanisme isostatique, l’absence d’inconnues hyperstatiques indique que la position

relative des liaisons n’a pas besoin d’être aussi précise que dans un mécanisme hyperstatique. D’où :

a) Une facilité de fabrication plus grande par l’absence de tolérances de position réduites à

respecter (parallélisme, perpendicularité, coaxialité…). Notons que cette facilité de fabrication est en

partie compensée par une complexité plus grande du mécanisme. Complexité généralement due à

l’introduction de pièces intermédiaires en série dans les liaisons pour augmenter leur nombre de

degrés de liberté.

b) Une assurance que les surfaces de liaison sont bien en contact. Par conséquent une

construction isostatique réalise une mise en position précise d’une pièce par rapport à une autre.

c) Une connaissance exacte du torseur statique de chaque liaison, qui permet une évaluation

correcte des pressions entre les surfaces en contact.

Exemple : positionnement isostatique de Kelvin

Dans ce positionnement, utilisé par exemple pour les tourelles

de tour, la liaison isostatique et complète entre les pièces (S1) et (S2)

est réalisée par l’association en parallèle des trois liaisons suivantes :

(L1) : liaison ponctuelle.


Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes (L2) : liaison linéique annulaire, dont l’axe passe par le centre de la liaison rotule.

(L3) : liaison ponctuelle, dont la normale est perpendiculaire au plan formé par l’axe de la

liaison linéique annulaire et le point de contact de la liaison ponctuelle.

Ceci dit, un mécanisme hyperstatique est souvent plus rigide qu’un mécanisme isostatique (par

exemple un arbre monté sur trois paliers), ce qui est aussi un facteur de précision de position d’une

pièce par rapport à un autre. Une telle construction est généralement employée pour les mécanismes

de transmission d’actions mécaniques.

4. Maintien du contact dans les liaisons : les dispositifs de maintien du contact d’une pièce sur

ses appuis se classent en deux catégories :

a) Ceux qui assurent un maintien du contact d’une pièce déjà positionnée.

b) Ceux qui assurent à la fois la mise en position et le maintien du contact d’une pièce.

Le montage (M) de la figure suivante permet d’obtenir sur la pièce (P), les formes définies par les A,

B et C, par fraisage « horizontal » (fraise trois tailles).

La pièce repose sur un plan horizontal, dégagé dans sa partie médiane, et s’appuie sur trois

butées sphériques (1), (2) et (3).

On montre par une étude de liaisons en parallèle, que la liaison équivalente ainsi obtenue, entre la

pièce (P) et le montage d’usinage (M), est isostatique et complète.

Étudions le maintien du contact (le bridage) assuré par la vis de pression (V).

Supposons qu’on exerce sur cette vis une action mécanique connue (emploi d’une clé

dynamométrique) pour que les inconnues statiques des liaisons puissent être déterminées (sinon ces

inconnues seraient hyperstatiques).

La liaison de la pièce (P) avec le montage d’usinage (M) par l’intermédiaire de la vis (V) fait

intervenir en série les deux liaisons suivantes :

(L1) : liaison ponctuelle d’axe (O,y),

(L2) : liaison glissière hélicoïdale d’axe (O,y) de pas réduit p.

Déterminons le torseur statique de la liaison équivalente à ces deux liaisons en série.

Au point O, dans la base du repère R (O,x,y,z) lié à (M), les torseurs statiques des deux liaisons (L1)

et (L2) sont de la forme :



et et soit le torseur statique de la liaison

équivalente. Ce torseur doit vérifier soit

Le torseur est donc nul. Par suite, la liaison équivalente, entre le montage (M) et la pièce (P), au

dispositif du maintien du contact est une liaison libre.

Ce dispositif de maintien du contact

n’ajoute aucune inconnue statique à celles déjà

introduites par les liaisons de mises en position

de la pièce. Par conséquent, la liaison

équivalente aux liaisons de la pièce (P) avec le

montage (M) (dispositif de maintien du contact

compris) est toujours isostatique.

D’une façon générale, la liaison

équivalente entre deux solides, d’un dispositif de

maintien du contact n’assurant pas la mise en

position relative des solides, doit être une liaison

libre. Une telle liaison permet de ne pas

augmenter le degré d’hyperstatisme, déjà obtenu par des les liaisons de mises en position relative des

deux solides.

2.3. Chaîne continue fermée:

2.3.1. Définition : Une chaine continue ouverte dont les deux

solides extrêmes ont une liaison entre eux constitue une chaine

continue fermée.

Dans le cas d’une chaîne continue fermée constituée de

(n+1) solides assemblés en série par (n+1) liaisons, le graphe de

liaison se trace ainsi :

Une chaîne continue fermée est aussi appelée chaîne simple ou

boucle.

2.3.2. Exemple :


S1Sn

S2

S0

Si

(L1)

(L2)

(L3)

(Li)

(Ln+1)

(Li+1)

(Ln)

S1

S2

S0

(L3)

(L2)(L1)

Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes La chaîne cinématique du réducteur représenté ci après est une chaîne continue ouverte fermée

formée de trois solides suivants :

(S0) : bâti du réducteur,

(S1) : arbre d’entrée du réducteur,

(S2) : arbre de sortie du réducteur.

2.3.3. Étude statique : Soient :

Torseur statique de la liaison (Li) entre (Si-1) et (Si) dans lié à (S0) (S0 est supposé

le bâti supportant la chaîne continue fermée).

Torseur des actions mécaniques d’entrée du mécanisme dans la base de R défini

au point O.

Torseur des actions mécaniques de sortie du mécanisme dans la base de R défini

au point O.

Torseur des actions mécaniques du sol sur le solide (S0).

P.F.S. appliqué à l’ensemble des (n+1) solides : . (A)

Le nombre d’inconnues statiques introduits par les (n+1) liaisons de la chaîne continue

fermée. Toutes les relations entre ces Ns inconnues s’obtiennent en appliquant le P.F.S.

successivement aux solides (S1),…, (Sn).

P.F.S. à (S1) :

P.F.S. à (S2) :

P.F.S. à (Sn-1) :

P.F.S. à (Sn) :

En ajoutant membre à membre, on obtient : et avec la relation Aon

obtient : .

Soit rs le nombre de d’équations scalaires indépendantes entre les Ns d’inconnues statiques .


Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes Définition : Le degré d’hyperstatisme h de la chaîne continue fermée est égal au nombre N s

d’inconnues statiques introduit par les liaisons, moins le nombre rs de relations indépendantes entre

ces inconnues : (B)

Remarque : Si le nombre de solides est important, la détermination de rs est parfois difficile.

On montre aussi que le degré de mobilité m de la chaîne continue fermée est : (C) où m

est le nombre d’inconnues cinématiques indépendantes de la chaîne continue fermée.

En éliminant rs entre (B) et (C), on obtient la relation suivante entre le degré d’hyperstatisme h et le

degré de mobilité m: .

Soit le nombre d’inconnues cinématiques introduit par les (n+1) liaisons. Sachant que :

, NC s’écrit : soit : par suite :

Cette relation permet le calcul du degré d’hyperstatisme connaissant le degré de mobilité.

2.3.4. Étude cinématique : Soit le torseur cinématique associé à la liaison (Li) qui représente le

mouvement de (Si) par rapport à (Si-1). En écrivant la relation de composition des torseurs

cinématiques entre les différents solides en présence :

soit alors avec les notations utilisées : .

En explicitant cette relation, on obtient un système de six équations scalaires pour déterminer les NC

inconnues cinématiques.

Soit rC le nombre d’équations scalaires indépendantes (rC6).

Définition : le degré de mobilité m de la chaîne continue fermée est égal au nombre N C d’inconnues

cinématiques introduit par les liaisons, moins le nombre rc de relations indépendantes entre ces inconnues :

.

On peut également dire que le degré de mobilité de la chaîne continue fermée est le nombre

d’inconnues cinématiques indépendantes qu’il faut se fixer pour déterminer toutes les autres.

2.3.5. Exemple :

Considérons un mécanisme de commande d’une tige par un excentrique :

Soit un repère lié au bâti (S0). L’excentrique (S1) est

assimilé à un cylindre de révolution d’axe , de rayon a. (S1) à une

liaison pivot (L1) d’axe avec (S0).

Soit un repère lié à (S1) tel que : (e>0).

On pose : . La tige (S2), cylindrique de révolution, a une

liaison pivot glissant (L3) d’axe avec (S0).



(S1) et (S2) ont une liaison linéique rectiligne (L2) d’axe et de normale .

a) Par une étude cinématique, déterminer le degré de mobilité de la chaîne continue fermée. En déduire son degré d’hyperstatisme.

b) Par une étude statique, déterminer l’inconnue hyperstatique de la chaîne continue fermée. Proposer une solution rendre ce mécanisme isostatique.

Éléments de correction :

a) Avec les notations définies précédemment, les torseurs cinématiques des liaisons (Li)

sont, dans R, de la forme :

Les torseurs doivent vérifier la relation : .

Pour ajouter ces trois torseurs, on doit les exprimer au même point. Pour cela exprimons le torseur

au point O : soit alors :

Par suite, les inconnues cinématiques sont liées par les équations

suivantes :

Le nombre d’équations indépendantes de ce système est : rc=5. Le nombre

d’inconnues cinématiques introduit par les trois liaisons étant : , le degré de mobilité

de la chaîne continue fermée est :

Remarque : si on se fixe et , on détermine les autres inconnues cinématiques.

Le degré d’hyperstatisme se détermine par la relation : d’où h=1.b) En appliquant le P.F.S.à (S1), puis à (S2) en supposant que :

- sur (S1) : l’action mécanique d’entrée du mécanisme définie par le torseur :

- sur (S2) : l’action mécanique de sortie du mécanisme définie par le torseur :

Les torseurs statiques des liaisons (Li) sont de la forme, dans la base de R,

, ,



P.F.S. à (S1) : d’où après avoir exprimé en O :

P.F.S. à (S2) : d’où après avoir exprimé en O :

On vérifie que les seules inconnues statiques qui ne peuvent être calculées en fonction des

composantes des torseurs et sont L1, L2 et L3. Par conséquent l’inconnue hyperstatique du

mécanisme est L1 ou L2 ou L3.Le mécanisme est isostatique si L2=0, c'est-à-dire si la liaison (L2) est modélisable par une liaison

ponctuelle de normale . C’est le cas lorsque l’excentrique est de faible épaisseur.

2.4. Chaîne complexe:

2.4.1. Définition : Une chaîne complexe est une chaîne cinématique constituée de plusieurs chaînes

continues fermées imbriquées.

2.4.2. Exemple :

Il s’agit de la chaîne cinématique d’un réducteur à train

épicycloïdal qui est une chaîne complexe constituée de deux

chaînes continues fermées imbriquées comme indiqué sur le

graphe de liaisons.

2.4.3. Nombre cyclomatique de la chaîne complexe :

Soient n le nombre de solides et l le nombre de liaisons

de la chaîne complexe. On montre (théorie des graphes) que le

nombre de chaînes continues fermées indépendantes à étudier

est : .

: Nombre cyclomatique de la chaîne complexe.

Pour notre exemple : l=5, n=4 d’où :=2.

Remarque : On choisit les chaînes continues fermées de telle façon que toutes les liaisons y

apparaissent au moins une fois.

2.4.4. Étude statique :

Soit Ns le nombre d’inconnues statiques introduit par les l liaisons

En appliquant le P.F.S. successivement à (n-1) solides de la chaîne complexe, on obtient

équations scalaires entre les Ns inconnues statiques.Licence Appliquée en Génie Mécanique 25


Soit rs le nombre d’équations scalaires indépendantes .

Remarque : Il est inutile d’applique le P.F.S. aux n solides, pour la même raison que celle donnée

dans le cas des chaînes continues fermées.

Définition : le degré d’hyperstatisme h de la chaîne complexe est : (D)

On montre dans cette étude statique que le degré de mobilité m de la chaîne complexe est :

(E)

En éliminant rs entre (D) et (E) on obtient entre le degré d’hyperstatisme h et le degré de mobilité m

la relation suivante : .

Soit , le nombre d’inconnues cinématiques introduit par les l liaisons.

Sachant que , NC s’écrit : soit par suite

ou avec , on obtient alors :

.

Cette relation permet le calcul de degré d’hyperstatisme connaissant le degré de mobilité de la

chaîne complexe.

2.4.5. Étude cinématique : En écrivant pour les chaînes continues fermées, la loi de composition

des torseurs cinématiques, comme pour les chaînes continues fermées, on obtient relations

scalaires entre les NC inconnues cinématiques de la chaîne complexe.

Soit rC le nombre d’équations scalaires indépendantes ( ).

Définition : Le degré de mobilité m de la chaîne complexe est :

2.4.6. Exemple d’application :

Considérons un étau serrant une pièce (S3) de forme parallélépipédique.

Soit un repère lié au mors fixe (S0) de

l’étau. Le mors mobile (S1) a une liaison glissière (L1)

de direction avec (S0). La manœuvre (S2) a une

liaison pivot (L3) d’axe avec (S0), et une liaison

glissière hélicoïdale (L2) d’axe avec (S1).

Les liaisons de la pièce(S3) avec le lors fixe (S0) et le

mors mobile (S1) sont deux liaisons planes (L5) et (L4)

respectivement, de normale .

a) Tracer le graphe de liaisons et déterminer le nombre de chaînes continues fermées

indépendantes de ce mécanisme.


L1

Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes b) Par une étude cinématique déterminer le degré de mobilité de la chaîne complexe. En déduire

son degré d’hyperstatisme.

c) Par une étude statique déterminer les inconnues hyperstatiques du mécanisme. À quelles

conditions dimensionnelles et angulaires de position relative des liaisons correspondent-elles ?

Éléments de correction

a) Le graphe de liaison se trace comme suit :

Ce mécanisme est formé de quatre solides réunis par cinq

liaisons. Par suite, le nombre de chaînes continues fermées

indépendantes est :

b) Tous les torseurs cinématiques (ou statiques) des liaisons ont leur forme particulière au point

O, dans la base de R (liaisons concentriques).Posons :

, (p : pas réduit)

, et

Pour la chaîne continue fermée , on peut écrire : d’où :

.

Pour la chaîne continue fermée nous avons : d’où :

. Les six équations sont indépendantes (rC=6). Le nombre d’inconnues cinématiques

introduit par les liaisons est : . Par suite le degré de mobilité de la chaîne

complexe est m=9-6 soit m=6. Ce degré de mobilité correspond aux trois composantes de

mouvement de (S3) par rapport à (S0).

Le degré d’hyperstatisme de la chaîne complexe est alors soit h=6.

c) Définissons les torseurs statiques des liaisons au point O, dans la base de R :

, , ,



, .

Supposons que s’exerce sur la pièce (S2) une action mécanique d’entrée du mécanisme définie par le

torseur : et sur la pièce(S3) une action mécanique de sortie du mécanisme définie

par le torseur : .

Appliquons le P.F.S.

À (S0) : d’où :

À (S1) : d’où : .

À (S2) : d’où :

Remarque : Il est inutile d’appliquer le P.F.S. à (S3), les équations obtenues pouvant se déduire de

celles déjà trouvées.

En examinant les 18 équations on en déduit que les six inconnues hyperstatiques sont :

Y1 ou Y2 ou Y3

Z1 ou Z2 ou Z3

M2 ou M3

M1 ou M4 ou M5

N2 ou N3


Cours Conception 2 Chapitre 2 : Modélisation des mécanismes N1 ou N4 ou N5

Les inconnues hyperstatiques Y1 ou Y2 ou Y3 et Z1 ou Z2 ou Z3 correspondent à des conditions

dimensionnelles de distances, suivant et , entre les axes des liaisons (L1), (L2) et (L3).

Les inconnues hyperstatiques M2 ou M3 et N2 ou N3 correspondent à des conditions angulaires

parallélisme autour et , entre les axes des liaisons (L2) et (L3).

Les inconnues hyperstatiques M1 ou M4 ou M5 et N1 ou N4 ou N5 correspondent à des conditions

angulaires parallélisme autour et , entre les axes des liaisons (L4) et (L5) et l’axe de la

liaison (L1).


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Modélisation des mécanismes