Modeles Multivaries

Modeles VAR, Causalite

Fonctions d’Impulsion

Modele a Correction d’Erreur

Application

Rappel

• Deux types de modeles de regression

• 1) Prevision sur la base de variables explicatives– Modele causal: Y=AX+B+erreur

• 2) Extrapolation sur la base du comportement passe des series– Series temporelles

Objectifs

• Modeliser les relations entre plusieurs variables• Exemple: Rendements de marche, taux d’interet• Modele de “Vector AutoRegression” (VAR) • Causalite, choix du nombre de variables retardees• Fonctions d’Impulsion: Impulse Response• Modeles avec serie non-stationaires: “Error

Correction Models”

Exemple

• Analyser les inter-relations entre production industrielle et masse monetaire (en variation)

• Impact dynamique des chocs

tttt

tttt

eMaIPaM

eMaIPaIP

2122121

1112111

Effet direct

Effet indirect

Modele VAR

• Vector AutoRegression• Ecriture generale: VAR(1) a deux variables

Xt = a + F1Xt-1 + ut

• Ceci implique les deux equations suivantes:X1t = a1 + f1

11X1t-1 + f112X2t-1 + u1t

X2t = a2 + f121X1t-1 + f1

22X2t-1 + u2t

Les deux equations ont le meme nombre de variables retard

Questions

Q1. Pourquoi ne pas inclure des termes simultanes?

X1t = a1 + b1 X2t + f11X1t-1 + f12X2t-1 + v1t

X2t = a2 + b2 X1t + f21X1t-1 + f22X2t-1 + v2t

Q2. Quelle methode d’estimation?Q3. Autres Questions

A Le nombre de variables retardeesB Choix des variables

Q4. Les variables doivent-elles etre stationaires? – VAR en difference ou en niveau?– ou Modele a Correction d’erreur?

Question 1: Simultaneite• Modele VAR structurel:

t 10 12 t 11 t 1 12 t 1 yt

t 20 21 t 21 t 1 22 t 1 zt

y b b z y z

z b b y y z

• y et z sont endogenes

• Les erreurs yt et zt sont des bruits blancs: Ecart types y et z

• Covariance des chocs egale a zero

• Un choc sur yt affecte y et z indirectement.

• 10 parametres a estimer

Transformation• Endogeneite: MCO produit des estimations biaisees et non-consistentes biased des parametres

• Transformer en forme reduite

• Dans une representation en forme reduite: y et z sont fonctions uniquement de leurs valeurs passees

• Solution:

ytt 10 t 112 11 12

21 t 20 21 22 t 1 zt

t 0 1 t 1 t

y b y1 b

b 1 z b z

x x ε

Transformation Standard• Multiplication par B-1

t 0 1 t 1 t

1 1 1t 0 1 t 1 t

t 0 1 t 1 t

x

Bx x ε

x ε

x A A x e

• Q2: Estimation par MCO

• Une regression par moindre carres ordinaires

• Examiner les relations croisees entre les deux variable

Identification• Peut-on retrouver les parametres du modele VAR structurel

a partir du modele standard? NON• 10 parametres dans le modele structurel contre 9 parametres

estimes dans le modele standard• SOUS-IDENTIFICATION• Solution: Fixer un parametre

• Sims (1980): Supposer que b21=0.

ytt 10 t 111 1212

t 20 21 22 t 1 zt

y b y1 b

z b z0 1

Identification• b21=0 implique:

ytt 10 t 111 1212 12 12

t 20 21 22 t 1 zt

t 10 t 1 1t11 12

t 20 21 22 t 1 2t

y b y1 b 1 b 1 b

z b z0 1 0 1 0 1

y a y ea a

z a a a z e

• Identifier les parametres du modele structurel

2 2 210 10 12 20 20 20 1 y 12 z

211 11 12 21 21 21 2 z

212 12 12 22 22 22 1 2 12 z

a b b b a b var(e ) b

a b a var(e )

a b a co v(e ,e ) b

Q3A: Le nombre de variables

• Test d’hypothese base sur vraisemblance statistique

• Habituellement, meme nombre de variables dans les deux equations

• Test LR

• Estimer 2 modeles: avec u et r variables retardees (u>r).

• c = np+1 est un terme de correction

• Sous H0, les u-r variables retardees supplementaires ne sont pas significatives statistiquement

2 2r u(T c) ln ln ~ (u r)n

Criteres d’Information

• Trouver le nombre de variables retardees qui minimise les criteres d’information

• Sigma: Valeur de la fonction de vraisemblance a l’optimum

2

2

AIC T ln 2(n p n)

SBC T ln (n p n) ln(T)

Q3B:Test de Granger-Causalite

Avec p variables retardees

X1t = a + b1X1t-1 +. .. + bpX1t-1 + c1X2t-1 + .. + cpX2t-p + u1t

H0: c1 = .. = cp = 0

Utiliser le test d’hypothese jointe F

Ganger non-causality

“X2t ne cause pas X1t au sens de Granger, si les valeurs passees de X2t n’aident pas a predire X1t en presence des

valeurs passees de X1t. ”

Existe il uneRelation entreL’indice de confianceDes consommateursEt les marches boursiers?

Etapes

• Prendre les logarithmes des prix

• Creer deux nouvelles variables

• X(t)=log(SP(t))-log(SP(t-1))

• Y(t)=log(CS(t))-log(CS(t-1))

Les variations dansl’indice de confiancesont peu significatives

Les rendements du marcheInfluencent significativementLa confiance des consommateurs

Test de Causalite

Marches Indice de Confiance

Impulse Response Functions• Reaction de AUD a un choc sur le prix de matieres premieres? ZAR et or?

• IRF: Reponse des variables a un choc d’1 ecart type

• Representees habituellement sur l’axe des Y, avec les dates sur l’axe des X

• Reecriture du modele VAR pour isoler les chocs passes

• Les ij(i) representent les effets des erreurs passees sur y et z

i

t 1t i11 12

i 0t 21 22 2t i

iyt it 11 12 12

i 0t 21 22 21 12 21 zt i

yt it 11 12

t 21 22

y ea ay

z z a a e

y a a 1 by 1

z z a a b 1 1 b b

y (i) (i)y

z z (i) (i)

i 0 zt i

Notation“Vector MovingAverage”

Orthogonalisation des Chocs

• Problemes: Les residus des deux equations sont correles, ce qui rend difficile de separer l’impact des choc respectifs

• X=[Y,Z]• Utiliser la decomposition Cholesky

Xt = b + FXt-1 + ut, Cov(ut) = W

• Il existe 2 matrices A, D telles queW = ADA’ = AD1/2D1/2A = PP’ avec

P = AD1/2,A est “lower triangular”D est diagonale

VAR: Exemple

VAR(1): output gap (y), taux d’interet (r)

VAR(1)

Eviews

Equation 1Equation 2

Specification du Modele

• Variables:– Relation economique– R2 ajuste

• Variables retard:

• Les erreurs sont correlees:

• Decomposition de Choleski

• Apres decomposition, les innovations ne sont plus correlees

Orthogonalisation des Chocs

Impulse Response Function (IRF)

Important

• Avant d’estimer le modele VAR et de tester la relation de causalite, il faut differencer les variables pour les rendre stationnaires

• Que se passe t’il lorsque deux variables non-stationnaires ET NON RELIEES sont regressees

“Spurious Regression”

Diagnostic

• Pour identifier un cas de regression trompeuse:– Grande significativite des coefficients de

regression– R2 eleve– Violation de l’hypothese de base de MCO

Les residus sont correles (DW<>2)

• Les resultats sont biaises

Que faire

• 1) Est-ce que les residus sont stationaires?• Augmented Dickey Fuller

• Philips Perron

• NON: Pas de relation d’equilibre– Differencer les variables, estimer un modele de

court terme par OLS

• OUI: Relation d’equilibre– Estimer un ECM

Cointegration

• L’outil principal pour etudier la relation entre deux variables non-stationnaires est la cointegration

• DEFINITION

• Si Xt~ I(1), et Yt~ I(1), mais Zt = Yt - Xt ~ I(0)

• Alors Xt sont Yt cointegres

• Il existe une relation de long-terme (equilibre)• La relation est stationaire et converge • Toute divergence est temporaire

Taux d’interet a 3 et 12 mois

Difference

Pourquoi?

La differenceest stationaire Cointegration

Absence de Cointegration

• Si Xt et Yt ne sont pas cointegres

Zt = Yt - Xt ~ I(1).

Soit Zt = ut.

Yt - Xt = (Yo - Xo) + somme des uj sur j=1,..,t.

Desequilibre initial. De + en + grand lorsque t augmente.

Il n’existe pas de relation d’equilibre entre X et Y

Notations

• Zt : Deviation par rapport a l’equilibre

• Regression: Relation de long-terme, equilibre

: vecteur de cointegration: vitesse de retour a l’equilibre

yt= (yt-1- xt-1)+1 yt-1 + 2 xt-1 +et

Desequilibre ObserveEn t-1

Correction du desequilibre

Variations passees

Engle-Granger

• Procedure permettant d’estimer la relation de long et court terme entre DEUX variables

• 1) Estimer par MCO: y(t)=bx(t)+e(t)• 2) Garder les residus• 3) Estimer par MCO les parametres du modele a correction

d’erreur en utilisant ces residus

• Comme les residus, dx et dy sont stationnaires, la regression est valide

Test de Johansen

• La procedure d’Engle-Granger n’est pas generalisable pour plus de 2 variables

• Pourquoi?

• Quels residus doit on considerer? Pour N variables, nous avons N variables dependantes possibles

Test de Johansen

• Considerons un VAR(p):

• y vecteur de k variables non-stationaires. Reecriture:

• Le nombre de relations de cointegration depend du rang de

• Si rang<k: il existe r relations de long terme

ttptptteBxyAyAy ...

11

j

p

iji

i

p

i

ttiti

p

itt

A

IA

eBxyyy

1

1

1

11

Test de Johansen

• Hypotheses Sequentiellesr=0 versus r>0

r=1 versus r>1.....

• LR = -T i =r+1 to k log(1 - i)i est la ieme plus grande valeur propre de la matrice

Tous les parametres sont estimes simultanement

Application: BEER

• Behavioral Equilibrium Exchange Rate Model • Modelisation du taux de change USD/EUR• La parite du pouvoir d’achat n’arrive pas a

expliquer les fluctuations observees• Expliquer les deviations en prenant en compte:

– Differentiel de productivite– Differentiels de taux d’interet– Terms of trade shocks: Differentiel de prix– Prix du Petrole– Portfolio Balance Effects: Depenses Publiques

Modele

Relation de Cointegration

• Relation de long terme: signes attendus et significatif

• TNT: A rise in Euroland’s relative price of tradable to non-tradable goods compared to that in the US (i.e. a relative productivity improvement) would lead to a permanent rise in the real EUR-USD exchange rate.

• G: A permanent rise in Euroland’s government expenditure-to-GDP ratio relative to that in the US has a negative impact on the equilibrium euro rate.

• Oil: a lasting rise in oil prices will have a particularly adverse effect on the EUR-USD equilibrium rate. Indeed, the regression indicates that a permanent 10% rise in oil prices will cause the real equilibrium EUR-USD rate to fall by 2.4%.

Impact du prix Du petrole Sur Taux de Change

Impact du differentiel

De productivite

Impact desDepenses gvtales