modelagem de transformadores trifásicos de distribuição para

MODELAGEM DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE DISTRIBUIÇÃO

PARA ESTUDOS DE FLUXO DE POTÊNCIA

FABRÍCIO LUIZ SILVA

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DE JUIZ DE FORA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA

ELÉTRICA.

Aprovada por:

__________________________________________________ Prof. Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc - Orientador - UFJF.

__________________________________________________ Prof. José Luiz Resende Pereira, Ph.D.

__________________________________________________ Prof. Paulo Augusto Nepomuceno Garcia , D.Sc.

__________________________________________________ Prof. Sandoval Carneiro Junior, Ph.D.

JUIZ DE FORA, MG – BRASIL SETEMBRO DE 2004

ii

SILVA, FABRÍCIO LUIZ

Modelagem de Transformadores

Trifásicos de Distribuição para Estudos de

Fluxo de Potência [Juiz de Fora] 2004

XV, 99 p. 29,7 cm, il. (UFJF, M.Sc.,

Engenharia Elétrica, 2004)

Tese – Universidade Federal de Juiz de

Fora

1. Modelagem de Transformadores Trifásicos

2. Fluxo de Potência Trifásico

3. Sistemas de Distribuição

I. UFJF II. Título (Série)

iii

A minha noiva Lucimare e em especial

minha filha Ana Letícia

iv

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Márcio de Pinho Vinagre pela excelente orientação e amizade

durante todo o trabalho, o que foi de fundamental importância para o meu

aprimoramento profissional.

A minha mãe Elza Domingos e minha tia Dalva Faria pelo apoio e incentivo

durante a realização deste trabalho.

Ao LABSPOT (Laboratório de Sistemas de Potência da Faculdade de Engenharia

Elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora), pela disponibilidade de utilização de

recursos computacionais.

Ao LABSEL (Laboratório de Sistemas Eletrônicos da Faculdade de Engenharia

Elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora), pela disponibilidade de utilização de

recursos técnicos.

Ao amigo Leandro Ramos Araújo pelas discussões técnicas e pelo apoio na

implementação computacional.

Aos colegas do curso de mestrado em Engenharia Elétrica da UFJF, pelo apoio à

realização deste trabalho.

Ao corpo docente do curso de mestrado em Engenharia Elétrica da UFJF, pelos

conhecimentos obtidos durante o curso.

Ao CNPq pelo suporte financeiro.

Aos meus familiares e amigos, pelo incentivo durante toda a realização do curso.

v

Resumo da Dissertação apresentada à UFJF como parte dos requisitos necessários para

a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

MODELAGEM DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE DISTRIBUIÇÃO

PARA ESTUDOS DE FLUXO DE POTÊNCIA


Setembro / 2004

Orientador: Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc.

Programa: Engenharia Elétrica

Este trabalho propõe um modelo matemático para representar os transformadores

trifásicos de distribuição em estudos de fluxo de potência utilizando coordenadas de

fase. O transformador trifásico é representado por uma matriz de admitância obtida

através da análise de seu circuito magnético equivalente. O modelo exige como dados

de entrada, as reatâncias de dispersão, a reatância de magnetização e as resistências dos

seus enrolamentos, parâmetros estes obtidos por ensaios normalizados pelos fabricantes.

As várias possibilidades de conexões dos transformadores trifásicos são facilmente

representadas pela matriz de incidência nodal apropriada. Além disso, não há limitações

na representação de transformadores de núcleo envolvido ou envolvente. O modelo

apresenta uma grande robustez numérica, além de permitir a representação de

transformadores trifásicos de três enrolamentos e a utilização de impedâncias de

aterramento em ambos os lados do transformador, de tal forma que o condutor neutro

possa ser detalhadamente representado.

O modelo de transformador proposto foi incorporado ao fluxo de potência trifásico pelo

método de injeção de correntes (MICT) implementado em MATLAB. A metodologia

proposta foi testada e comparada com resultados experimentais obtidos em laboratório,

permitindo assim a validação do modelo.

vi

Abstract of Dissertation presented to UFJF as a partial fulfillment of the requirements

for the degree of Master of Sciences (M.Sc.).

THREE-PHASE DISTRIBUTION TRANSFORMERS MODELING TO LOAD

FLOW STUDIES


September / 2004

Supervisor: Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc.

Department: Electrical Engineering

This work proposes a mathematical model to represent three-phase distribution

transformers for load flow studies using phase-coordinates. The three-phase

transformers are represented by admittance matrix obtained from transformers

equivalent magnetic circuit analysis. As input data, the model requires the leakage

reactance, magnetizing reactance and resistances of the transformer windings; these

parameters are easily obtained from standard tests. Using node incidence matrix easily

represents the various possible three-phase transformers connections. Moreover, there

are no restrictions for representation of either the core-type or shell-type transformers.

The model presents numerical robustness and also permits the representation of the

three-winding transformers and the utilization of the grounding impedance on both sides

of the transformer, in such a way that the neutral conductor can be represented.

The transformer model proposed has been incorporated in a three-phase power flow

using the current injection method (TCIM) in MATLAB. The proposed model has been

implemented and the results compared with the ones obtained from laboratory tests, in

order to validate the model.

vii

Índice

Lista de Figuras.................................................................................................................x

Lista de Tabelas...............................................................................................................xii

Capítulo I - Introdução ..................................................................................................... 1

I.1 Considerações Iniciais ....................................................................................... 1

I.2 Revisão Bibliográfica ........................................................................................ 2

I.3 Objetivos da Dissertação ................................................................................... 5

I.4 Principais Contribuições da Dissertação ........................................................... 5

I.5 Estrutura da Dissertação .................................................................................... 6

Capítulo II - Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para

Estudos de Fluxo de Potência...................................................................... 8

II.1 Considerações Iniciais ....................................................................................... 8

II.2 Aspectos Básicos Sobre Modelagem de Transformadores Trifásicos............... 9

II.3 Representação dos Transformadores Trifásicos no Problema de Fluxo de

Potência ........................................................................................................... 10

II.3.1 Matriz Admitância Primitiva .................................................................. 11

II.3.2 Matriz de Incidência Nodal .................................................................... 14

II.3.2.1 Problemas na Representação da Conexão dos Enrolamentos dos

Transformadores em Delta. ..................................................... 17

II.3.3 Matriz Admitância de Barras.................................................................. 18

II.4 Principais Modelos de Transformadores Trifásicos ........................................ 19

II.4.1 Transformadores Trifásicos Representados por Bancos de

Transformadores Monofásicos ............................................................... 19

II.4.1.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em CHEN e

DILLON (1974)....................................................................... 19

II.4.2 Transformadores Trifásicos de Dois Enrolamentos ............................... 22

II.4.2.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em GORMAN e

GRAINGER (1992a) e (1992b)............................................... 22

II.4.2.2 Modelo de Transformador Descrito em DUGAN e SANTOSO

(2003) ...................................................................................... 23

viii

II.5 Sumário do Capítulo........................................................................................ 26

Capítulo III - Modelo de Transformador Trifásico Proposto ......................................... 27

III.1 Considerações Iniciais ..................................................................................... 27

III.2 Modelo Proposto para Representar os Transformadores Trifásicos de

Distribuição ..................................................................................................... 27

III.2.1Determinação da Matriz Admitância Primitiva para o Transformador

Trifásico.................................................................................................. 27

III.2.2 Representação das Impedâncias de Aterramento de Transformadores 34

III.2.3 Cálculo da Matriz Admitância Primitiva em Valores por Unidade (P.U.)

................................................................................................................ 36

III.2.4 Determinação da Equação de Mudança de Base .................................. 37

III.2.5 Representação das Conexões dos Transformadores............................. 38

III.2.5.1 Conexões com as polaridades Invertidas................................. 41

III.2.5.2 Problema da Falta de Referência devido a Conexão Delta

Utilizando o Modelo de Transformador Proposto................... 42

III.2.6 Matriz Admitância de Barras para o Transformador............................ 44

III.3 Exemplo Numérico.......................................................................................... 44

III.4 Sumário do Capítulo........................................................................................ 47

Capítulo IV - Resultados ................................................................................................ 48

IV.1 Considerações Gerais ...................................................................................... 48

IV.2 Modelos de Componentes dos Sistemas Testes .............................................. 48

IV.2.1 Modelos Reais ...................................................................................... 49

IV.2.1.1 Fonte de Potência .................................................................... 49

IV.2.1.2 Linhas de Distribuição............................................................. 49

IV.2.1.3 Transformadores...................................................................... 50

IV.2.1.4 Cargas ...................................................................................... 51

IV.2.2 Modelos Matemáticos para Simulação de Resultados ......................... 52

IV.2.2.1 Fonte de Potência .................................................................... 52

IV.2.2.2 Linhas de Distribuição............................................................. 53

IV.2.2.3 Transformadores...................................................................... 53

IV.2.2.4 Cargas ...................................................................................... 54

IV.3 Equipamento de Medição ................................................................................ 55

ix

IV.4 Metodologia Utilizada para Comparar os Resultados das Medições e

Simulações....................................................................................................... 55

IV.5 Sistema Teste de 6 Barras Radial .................................................................... 56

IV.5.1 Cargas Desequilibradas ........................................................................ 57

IV.5.2 Cargas Altamente Desequilibradas ...................................................... 61

IV.6 Sistema Teste de 6 Barras em Anel ................................................................. 63

IV.6.1 Cargas Desequilibradas ........................................................................ 63


IV.7 Sistema Teste Radial de 5 Barras .................................................................... 66


IV.8 Sumário do Capítulo........................................................................................ 67

Capítulo V - Conclusões................................................................................................. 69

V.1 Considerações Gerais ...................................................................................... 69

V.2 Trabalhos Futuros ............................................................................................ 70

Apêndice A – Fluxo de Potência Trifásico pelo Método de Injeção de Correntes..........71

Bibliografia......................................................................................................................83

x

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Diagrama para representar os transformadores trifásicos ............................. 10

Figura 2 – Tipos de configurações de núcleos trifásicos. (a) Núcleo trifásico de três

pernas (b) Núcleo trifásico de quatro pernas (c) Núcleo trifásico de cinco

pernas............................................................................................................ 12

Figura 3 – Transformador trifásico de dois enrolamentos conectado em Yaterrado –

delta. ............................................................................................................. 16

Figura 4 – Sub-rede isolada devido a conexão delta. ..................................................... 17

Figura 5 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de dois

enrolamentos................................................................................................. 23

Figura 6 – Esquema de ligação para um transformador trifásico de dois enrolamentos

conectado em Y-Delta. ................................................................................. 25

Figura 7 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de três

enrolamentos................................................................................................. 28

Figura 8- Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico com um

enrolamento no primário e dois enrolamentos no secundário para cada fase. 32

Figura 9– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado......... 39

Figura 10– Transformador de três enrolamentos conectado em delta – estrela – delta.. 40

Figura 11– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado com

suas bobinas invertidas. ................................................................................ 42

Figura 12– Circuito π equivalente de uma linha trifásica a parâmetros concentrados... 43

Figura 13– Linha de distribuição trifásica construída em núcleo de ferrite. .................. 50

Figura 14– Transformadores trifásicos utilizados nos sistemas testes. .......................... 51

Figura 15– Cargas trifásicas representadas por lâmpadas incandescentes. .................... 52

Figura 16– Fonte de potência trifásica conectada em estrela aterrada. .......................... 53

Figura 17– Esquema de ligação para carga ligada em estrela: (a) Monofásica (b)Bifásica

(c) Trifásica .................................................................................................. 54

Figura 18– Medidor utilizado nas medições................................................................... 55

Figura 19– Sistema teste de 6 barras radial .................................................................... 56

Figura 20– Visão panorâmica do sistema teste de 6 barras radial no laboratório .......... 57

Figura 21– Sistema teste de 6 barras em anel................................................................. 63

Figura 22– Sistema teste de 5 barras radial .................................................................... 66

xi

Figura 23 – Organograma para o algoritmo de solução do fluxo de potência trifásico

pelo método de injeção de correntes............................................................. 82

xii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Ligações comuns para os transformadores trifásicos ................................... 15

Tabela 2 - Submatrizes usadas na formulação da matriz admitância de barras ............. 21

Tabela 3 – Principais ligações para o transformador trifásico de três enrolamentos com

as duas bobinas do secundário possuindo conexões distintas ...................... 39

Tabela 4 – Dados do transformador trifásico de três enrolamentos ............................... 44

Tabela 5 – Parâmetros das linhas de distribuição dos sistemas testes obtidos através de

medições ....................................................................................................... 50

Tabela 6 – Parâmetros dos transformadores trifásicos obtidos pelos ensaios de circuito

aberto e de curto-circuito.............................................................................. 51

Tabela 7 – Potências ativas e reativas consumidas pelas cargas desequilibradas do

sistema radial de 6 barras ............................................................................. 57

Tabela 8 – Módulos e ângulos das tensões nas barras do sistema de 6 barras radial,

contendo cargas desequilibradas .................................................................. 58

Tabela 9 – Módulos e ângulos das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras radial,

contendo cargas desequilibradas .................................................................. 58

Tabela 10 – Tensões de linha nas barras do sistema de 6 barras radial.......................... 59

Tabela 11 – Soma fasorial das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras radial .... 59

Tabela 12 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculados e medidos,

nas barras com conexão estrela do sistema de 6 barras radial alimentando

cargas desequilibradas ............................................................................... 60

Tabela 13 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculados e medidos,

nas barras com conexão delta do sistema de 6 barras radial alimentando

cargas desequilibradas ............................................................................... 60

Tabela 14 – Comparação entre os módulos das correntes nos circuitos calculados e

medidos no sistema de 6 barras radial apresentando cargas desequilibradas

................................................................................................................... 61

Tabela 15 – Potências ativas e reativas consumidas pelas cargas altamente

desequilibradas no sistema radial de 6 barras............................................... 61

Tabela 16 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas,

nas barras com conexão estrela do sistema de 6 barras radial alimentando

cargas altamente desequilibradas.................................................................. 62

xiii

Tabela 17 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculadas e medidas,

nas barras com conexão delta do sistema de 6 barras radial com cargas

altamente desequilibradas............................................................................. 62

Tabela 18 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas nos

circuitos do sistema de 6 barras radial alimentando cargas altamente

desequilibradas ............................................................................................. 62

Tabela 19 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas nas

barras com conexão estrela do sistema de 6 barras em anel com cargas

desequilibradas ............................................................................................. 64


nas barras com conexão delta do sistema de 6 barras em anel alimentando

cargas desequilibradas. ................................................................................. 64

Tabela 21 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas, nos

circuitos do sistema de 6 barras em anel com cargas desequilibradas ......... 64

Tabela 22 – Comparação entre os módulos das tensões de fase nas barras com conexão

estrela do sistema de 6 barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.

...................................................................................................................... 65

Tabela 23 – Comparação entre os módulos das tensões de linha nas barras com conexão

delta do sistema de 6 barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.. 65

Tabela 24 – Comparação entre os módulos das correntes nos circuitos do sistema de 6

barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos. ................................... 65

Tabela 25 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas nas

barras com conexão estrela do sistema de 5 barras radial alimentando cargas

altamente desequilibradas............................................................................. 67


nas barras com conexão delta do sistema de 5 barras radial alimentando

cargas altamente desequilibradas.................................................................. 67

Tabela 27 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas nos

circuitos do sistema de 5 barras radial com cargas altamente desequilibradas

...................................................................................................................... 67

Capítulo I

Introdução

I.1 Considerações Iniciais

Os sistemas de distribuição de energia elétrica em geral são grandes e complexos,

e as empresas distribuidoras de energia elétrica procuram cada vez mais operá-los de

forma otimizada, buscando a redução dos custos operacionais assim como a redução das

perdas de energia. Em paralelo aos aspectos anteriormente descritos, a crescente

penetração da informática em todas as atividades econômicas, a automação de linhas de

produção juntamente com complexos processos industriais, vêm tornando crescentes as

exigências dos consumidores em relação à qualidade e à confiabilidade dos serviços de

fornecimento de energia elétrica. Dentro deste cenário têm-se elevado o número de

medições e simulações com o objetivo de assegurar a mais completa integridade dos

sistemas de distribuição de energia elétrica.

A análise destes sistemas através de medições permite verificar o exato estado da

rede elétrica, porém para que as medidas efetuadas sejam confiáveis necessita-se da

experiência prévia de técnicos e engenheiros, além de equipamentos sofisticados que

normalmente possuem um custo elevado. Devido ao tamanho dos sistemas de

distribuição torna-se praticamente inviável a instalação de equipamentos de medição em

todos os pontos do mesmo, restringindo assim consideravelmente o seu estudo.

Com o desenvolvimento dos programas voltados para o estudo dos sistemas

elétricos de potência, a análise através de simulações apresenta-se como uma alternativa

eficiente, pois possibilita avaliar todo o sistema, desde as subestações de distribuição até

os ramais secundários que interligam os consumidores ao mesmo. Estas ferramentas

permitem ainda avaliar o sistema para diferentes cenários, onde se podem fazer

previsões quanto ao estado da rede elétrica com grande precisão.

Porém, para que seja feito um estudo consistente dos sistemas de distribuição

através de simulações são necessárias ferramentas robustas, onde o cálculo do fluxo de

potência se destaca como sendo uma das ferramentas mais utilizadas no estudo do

planejamento, controle e operação dos sistemas elétricos de potência. Além disso, é

Capítulo I - Introdução

2

imprescindível que os vários componentes destes sistemas (condutores,

transformadores, geradores, cargas, etc) sejam representados por modelos matemáticos

adequados que reproduzam seus comportamentos reais. Os parâmetros de entrada

requeridos pelos modelos também são importantes, pois dados incorretos levarão aos

usuários dos programas resultados errôneos, podendo ocasionar sérios erros na operação

e planejamento dos sistemas de distribuição.

Dentre os dispositivos que compõem tais sistemas, o transformador pode ser

considerado como sendo o equipamento mais comum. Contudo, a incorporação dos

transformadores em ferramentas de análise de sistemas elétricos trifásicos pode ser

problemática devido ao grande número destes equipamentos na rede, à variedade de

conexões e às formas de representação (DUGAN, 2003). Assim, o impacto dos

inúmeros transformadores no estudo dos sistemas de distribuição de energia elétrica é

significante, pois os mesmos afetam as perdas no sistema, os métodos de aterramento,

as estratégias de proteção, etc.

Devido à grande importância dos modelos de transformadores trifásicos na análise

computacional, demandando cada vez mais o desenvolvimento de novas ferramentas

para o estudo dos sistemas elétricos de distribuição, surge assim, uma motivação para o

desenvolvimento de modelos mais abrangentes de transformadores.

I.2 Revisão Bibliográfica

Muitos modelos de componentes dos sistemas de distribuição são limitados à

análise de sistemas trifásicos equilibrados. Estes modelos são construídos supondo que

o sistema trifásico opera em condições de equilíbrio e desta forma adota-se uma

modelagem monofásica (seqüência positiva) para o problema. Considerando o circuito

monofásico equivalente na análise, são muitos os trabalhos que apresentam algoritmos

de solução do fluxo de potência, bem como modelos de componentes dos sistemas

elétricos, entre os quais se destacam TINNEY (1967); DOMMEL (1970); STOTT

(1974); MONTICELLI (1983) e DA COSTA (1999).

Entretanto, para sistemas de distribuição de energia elétrica, a simplificação

adotada não é suficiente para sua correta avaliação, pois estes sistemas são em geral

altamente desequilibrados, devido as diferentes cargas conectadas as fases, a assimetria


3

das linhas sem transposição e da existência de circuitos monofásicos, bifásicos e

trifásicos. Sendo assim é de fundamental importância o desenvolvimento de ferramentas

e modelos de componentes para a análise dos sistemas elétricos trifásicos (CHEN e

DILLON, 1974); (CHENG, 1995); (GARCIA, 2000); (GARCIA, 2001) e

(MAYORDOMO, 2002).

A referência CHEN e DILLON (1974) propõe um modelo de transformador

trifásico que possibilita representar as suas várias conexões comuns. Neste modelo os

transformadores trifásicos são representados por bancos de transformadores

monofásicos, desprezando-se assim o acoplamento magnético existente entre as fases do

transformador. Devido a algumas simplificações adotadas durante a elaboração deste

modelo, o mesmo apresenta certa dificuldade numérica em representar os

transformadores trifásicos cujos enrolamentos estejam conectados em delta.

Buscando solucionar os problemas numéricos apresentados pelo modelo de

transformador trifásico desenvolvido em CHEN e DILLON (1974) a referência CHEN

et al (1991) apresenta um aperfeiçoamento deste modelo de transformador, onde os

autores utilizam uma técnica de implementação na qual é usado um método de injeção

de correntes, possibilitando assim que a ligação dos enrolamentos do transformador em

delta possa ser representada. Em CARNEIRO E MARTINS (2003) foi desenvolvido um

trabalho que compara a matriz de admitância de barras que representa o transformador

obtido com o modelo descrito em CHEN E DILLON (1974) com uma matriz cujos

elementos foram determinados através de medições, onde pode ser verificado que as

aproximações feitas em tal modelo apresentam valores que são de certa forma

aceitáveis.

Em GORMAN e GRAINGER (1992a) e (1992b) os transformadores trifásicos são

modelados a partir da análise de seu circuito magnético equivalente, onde o mesmo é

representado por uma matriz de permeância dividida em duas componentes: uma

relacionada com o núcleo ferromagnético e a outra relacionada com os caminhos de

dispersão. Neste modelo para se determinar a matriz de admitância de barras que

representa o transformador é necessário conhecer o valor da permeabilidade magnética

do núcleo, seu comprimento médio e a sua área. Estes parâmetros em muitos casos não

são conhecidos e são difíceis de se obter, o que dificulta o uso do modelo.

No modelo desenvolvido em DUGAN e SANTOSO (2003) os transformadores

trifásicos são modelados em coordenadas de fase, onde se utiliza como parâmetros de


4

entrada as impedâncias próprias e mútuas entre as bobinas do transformador obtidas

através de medições e expressas em Ohms.

Nos sistemas de distribuição e industriais são encontrados diferentes tipos de

conexões para os transformadores trifásicos visando atender os seus inúmeros

consumidores e otimizar a operação e o planejamento do sistema. Sendo assim, para que

os modelos de transformadores trifásicos possam ser utilizados sem nenhuma limitação

quanto ao tipo de ligação de seus enrolamentos, os mesmos devem permitir que todas

estas conexões sejam representadas.

Com este objetivo a referência CHEN e CHANG (1996) propõe um modelo de

transformador trifásico que também permite representar as ligações delta aberto e Scott.

Neste modelo os transformadores trifásicos são considerados como ideais e as suas

cargas e perdas são agrupadas de maneira que o conjunto seja representado por cargas

equivalentes. Para conexões de transformadores diferentes das apresentadas no trabalho,

devem ser determinadas as novas equações que representam o transformador.

Nas referências CHEN et al (1996); DUGAN (2004) e KERSTING (2004) são

modelados os transformadores monofásicos com derivação central conectados em banco

trifásico possibilitando a alimentação de cargas monofásicas e trifásicas

simultaneamente.

Em CHEN e GUO (1996) é dada atenção especial às ligações delta aberto, Scott,

Le Blanc e Modified-Woodbridge, onde o circuito equivalente para o transformador é

obtido em componentes simétricos.

Na referência BARAN e STATON (1997) é proposto um método para inclusão

dos transformadores de distribuição na análise de alimentadores baseado em injeções de

correntes atualizadas usando-se o procedimento de ‘forward-backward sweep’.

Em HONG e WANG (1997) são investigados os impactos das diferentes

conexões dos transformadores trifásicos e dos modelos de cargas em um sistema de

potência desequilibrado. O modelo de transformador proposto no trabalho é derivado de

uma nova matriz de impedância primitiva constituída por elementos de seqüência

positiva, negativa e zero. São avaliados os modelos de carga do tipo potência constante

e impedância constante.

Os transformadores de três enrolamentos são encontrados freqüentemente em

aplicações onde existe a necessidade de utilização de duas tensões. Em OOMEN e

KOHLER (1999) é apresentado um modelo de transformador de três enrolamentos onde

o mesmo é modelado como um sistema de três barras na qual são desprezadas as


5

impedâncias mútuas entre o secundário e o terciário. De outra maneira, no modelo

apresentado em MOORTHY e HOADLEY (2002) os transformadores são modelados

em coordenadas de fase onde se podem representar os transformadores de dois e três

enrolamentos incorporando os efeitos dos acoplamentos entre as fases.

Em IRVING e AL-OTHMAN (2003) é desenvolvido um modelo de

transformador que permite representar as suas várias configurações de impedâncias de

aterramento do ponto neutro, onde os transformadores trifásicos são representados por

bancos de transformadores monofásicos.

I.3 Objetivos da Dissertação

Observa-se uma grande quantidade de artigos técnicos que enfocam a modelagem

dos transformadores, evidenciando a grande importância dos modelos de

transformadores trifásicos no estudo dos sistemas de distribuição. A maioria dos

modelos de transformadores quando incorporados em ferramentas para análise trifásica

destes sistemas apresentam alguma dificuldade, seja devido a problemas numéricos

inerentes a simplificações adotadas durante a modelagem, seja pela necessidade de

muitos parâmetros de entrada para o modelo. Esta dissertação tem como objetivo a

apresentação de um modelo geral que permita representar os transformadores trifásicos

de distribuição de dois ou três enrolamentos com suas inúmeras formas de conexões

para análise de sistemas trifásicos equilibrados e desequilibrados. Como o banco

trifásico de transformadores, matematicamente, é um caso particular do transformador

trifásico a modelagem aqui apresentada também se aplica a bancos trifásicos de

transformadores, mais freqüentes em sistemas de transmissão de energia elétrica.

I.4 Principais Contribuições da Dissertação

As principais contribuições desta dissertação podem ser resumidas nos seguintes

pontos:


6

• A modelagem proposta permite determinar a matriz de admitância

primitiva completa para representar os transformadores trifásicos através

da análise de seu circuito magnético equivalente;

• A necessidade de apenas alguns parâmetros dos transformadores como

dados de entrada, os quais podem ser obtidos por ensaios normalizados por

fabricantes, o que facilita o uso do modelo de transformador trifásico

proposto;

• O desenvolvimento de um modelo geral que permite representar tanto os

transformadores trifásicos de dois ou três enrolamentos e os bancos de

transformadores monofásicos quanto as diferentes conexões dos

transformadores de distribuição, além de se poder representar mais do que

um enrolamento por fase;

• A possibilidade de representar as impedâncias de aterramento de

transformadores;

• O desenvolvimento de um modelo matemático robusto

computacionalmente podendo ser inserido nos programas para o cálculo

do fluxo de potência sem alterar a eficiência dos métodos de solução;

• A elaboração de um método para determinar a matriz de admitância nodal

em p.u., não deixando dúvidas quanto aos valores que devem ser

escolhidos como bases para o transformador, evitando assim o uso

inadequado de bases.

I.5 Estrutura da Dissertação

Além deste capítulo, esta dissertação contém mais quatro capítulos e um apêndice,

os quais serão descritos sucintamente a seguir.

O Capítulo II apresenta as várias características importantes que devem ser

observadas durante a modelagem de transformadores e também uma breve revisão dos

principais modelos de transformadores trifásicos disponíveis na literatura.

No Capítulo III são apresentados os conceitos da modelagem do transformador

trifásico proposto por este trabalho. É apresentado também um exemplo numérico com

o objetivo de ilustrar a metodologia proposta.


7

No Capítulo IV são apresentados e discutidos os resultados referentes às

aplicações do modelo de transformador trifásico proposto em estudos de fluxo de

potência utilizando-se pequenos sistemas testes desenvolvidos em laboratório.

E finalmente no Capítulo V encontram-se as principais conclusões deste trabalho,

considerações finais e sugestões para trabalhos futuros.

No Apêndice A é apresentada uma revisão sobre o método de solução do fluxo de

potência trifásico por injeção de correntes (MICT), pois esta foi à ferramenta utilizada

para a análise dos sistemas trifásicos descritos neste trabalho.

Capítulo II

Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência

II.1 Considerações Iniciais

Atualmente, o grande interesse em se representar os sistemas de potência por seus

modelos trifásicos têm levado a importantes debates com o objetivo de estabelecer

regras para a sua correta modelagem. Estes debates envolvem discussões a respeito de

qual seria a melhor ferramenta de análise dos sistemas elétricos, colocando em

confronto a modelagem utilizando o método dos componentes simétricos e a

modelagem em coordenadas de fase. Têm se discutido também como os programas para

análise dos sistemas de potência devem ser desenvolvidos, seja com os seus parâmetros

expressos em valores reais da rede (volts, amperes, ohms) ou expressos em valores por

unidade (p.u.) (DUGAN, 2003).

O tradicional sistema por unidade e o método dos componentes simétricos foram

desenvolvidos para facilitar os cálculos manuais para os sistemas trifásicos com

diferentes níveis de tensão. Muitos engenheiros defendem a idéia de que a melhor

maneira de representar o sistema elétrico é utilizando o sistema p.u. Por outro lado estão

os que se opõem ao uso destas metodologias na representação dos sistemas de potência,

tendo como premissa que a forma correta de se trabalhar com o sistema elétrico é

utilizando a sua modelagem em coordenadas de fase com os parâmetros da rede

expressos por seus valores reais. Entre as principais vantagens oferecidas por tais

metodologias, citadas em DUGAN (2003), pode-se destacar o fato de que estes valores

são características dos equipamentos, não estando sujeitos a alterações providas de

aplicações do mesmo, como também elimina a chance de confusão devido à escolha de

valores ambíguos para as bases do sistema.

Segundo DUGAN (2003), com o grande avanço dos microcomputadores,

permitindo efetuar os cálculos de maneira rápida e precisa por mais complexos que

estes sejam e a constante busca em aproximar os valores obtidos através de simulações e

Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência

9

medições, cria-se uma perspectiva de que a modelagem utilizando coordenadas de fase,

com os parâmetros da rede elétrica expressa por seus verdadeiros valores, seja

escolhida.

Como ainda não existe uma regra que defina a melhor ferramenta para

modelagem dos sistemas elétricos de potência, são muitos os modelos matemáticos que

visam representar os transformadores trifásicos. O objetivo deste capítulo é,

basicamente, apresentar as principais características que devem ser observadas durante a

elaboração de um bom modelo de transformador, a metodologia normalmente

empregada na modelagem, bem como alguns dos principais modelos de

transformadores trifásicos, de maneira a permitir uma comparação e a compreensão das

principais contribuições do modelo de transformador trifásico proposto por este

trabalho.

II.2 Aspectos Básicos Sobre Modelagem de Transformadores Trifásicos

O procedimento adotado na modelagem de transformadores deve ser adequado de

forma a possibilitar a representação fiel dos vários tipos de transformadores trifásicos

existentes. Normalmente os transformadores são modelados em termos de seus

componentes simétricos. São utilizadas como parâmetros de entrada as suas

impedâncias de dispersão, obtidas através do teste de curto-circuito, expressas em

valores por unidade (p.u.). Em estudos de fluxo de potência os efeitos não lineares da

saturação do núcleo ferromagnético podem ser desprezados. Segundo KERSTING et al

(1999) as principais características que devem ser observadas nos modelos de

transformadores trifásicos são:

• Os modelos de transformadores trifásicos para estudos de fluxo de

potência devem satisfazer as leis de Kirchhoff de tensão e corrente, bem

como as relações existentes entre estas grandezas elétricas nos dois lados

do transformador;

• Os modelos de transformadores trifásicos devem ser capazes de

representar as suas várias formas de conexões;

• Caso exista qualquer mudança no ângulo de fase das grandezas elétricas,

entre primário e secundário resultante de uma conexão em particular, o


10

modelo de transformador deve ser capaz de representar esta diferença de

fase naturalmente, sem a introdução de fatores extras, por exemplo: o

aparecimento inesperado do termo 3 , ou fatores complexos ( 6πj

e e

6π

je−

), forçando o resultado correto;

• Por fim, é de extrema importância, que os modelos de transformadores

trifásicos utilizados nas ferramentas de análise dos sistemas elétricos

apresentem tensões e correntes que se aproximem ao máximo das

grandezas elétricas do equipamento real.

II.3 Representação dos Transformadores Trifásicos no Problema de Fluxo de Potência

Nas ferramentas trifásicas desenvolvidas para análise dos sistemas de distribuição,

os transformadores trifásicos são representados por uma matriz de admitância de barras

que contém as admitâncias próprias e mútuas entre as fases do transformador e a

informação de como as bobinas dos transformadores estão conectadas. A Figura 1

apresenta um transformador trifásico entre as barras K e M representado por sua matriz

admitância de barras.

YABC

A

K

B C A B C

M

Primário SecundárioMatrizAdmitância de

Barras

Barra

Figura 1 – Diagrama para representar os transformadores trifásicos


11

Uma forma eficiente de obter a matriz que representa o transformador é utilizando

a teoria da matriz primitiva de Kron. Por meio desta metodologia os transformadores

trifásicos são representados a partir de uma matriz de admitância primitiva ( primY ), a

qual é obtida sem levar em consideração a maneira como as bobinas dos

transformadores estão conectadas. Os vários tipos de ligações trifásicas para os

transformadores são representados facilmente pela matriz de incidência nodal ( A ).

Desta forma a matriz de admitância de barras que representa os transformadores

trifásicos com suas respectivas conexões pode ser determinada por um simples produto

de matrizes ( tbarra primY A Y A= ).

Para que se possa compreender como os modelos de transformadores trifásicos

que são apresentados neste trabalho foram desenvolvidos, esta metodologia será descrita

detalhadamente a seguir.

II.3.1 Matriz Admitância Primitiva

Nos sistemas de distribuição de energia elétrica são encontrados inúmeros

transformadores, onde estes assumem comportamentos diferentes devido ao seu aspecto

construtivo e tipos de ligações. Quanto ao aspecto construtivo os transformadores

utilizados nos sistemas trifásicos podem ser trifásicos ou constituídos de bancos de

transformadores monofásicos. Nos primeiros os enrolamentos dos transformadores

estão envoltos ou envolvidos em um único núcleo ferromagnético, de maneira que

exista um total acoplamento magnético entre as fases do transformador. A Figura 2

ilustra alguns tipos de núcleos empregados na construção de transformadores trifásicos.

Os bancos de transformadores são constituídos de três transformadores

monofásicos, agrupados de forma a serem usados como se fosse um transformador

trifásico.


12

(a) (b)

(c)

Figura 2 – Tipos de configurações de núcleos trifásicos. (a) Núcleo trifásico de três pernas (b) Núcleo trifásico de quatro pernas (c) Núcleo trifásico de cinco pernas

Independentemente do tipo de núcleo empregado na construção dos

transformadores trifásicos, para um transformador com um enrolamento no primário e

um enrolamento no secundário para cada fase, comumente chamado de transformador

trifásico de dois enrolamentos, a matriz de impedância primitiva que o representa é dada

pela Equação (2.1), onde para transformadores construídos em núcleos trifásicos esta

matriz apresenta-se cheia, ou seja, com todos os seus elementos diferentes de zero.

p p p p p p s p s p s



s p s p s p s s s s s



A A B A C A A A B A C

B A B B C B A B B B C

C A C B C C A C B C C

primA A A B A C A A B A C

B A B B B C B A A B C

C A C B C C C A C B A

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z ZZ

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.1)


13

Onde:

CBA e , : Representam as fases;

sp e : Representam as grandezas do primário e do secundário respectivamente.

Em bancos de transformadores monofásicos, como os enrolamentos das fases

estão envoltos ou envolvidos em núcleos distintos, as impedâncias mútuas entre as fases

diferentes são nulas, como mostra a Equação (2.2).

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

p p s

p p s

p p s

s p s

s p s

s p s

A A A

B B B

C C C

primA A A

B B A

C C A

Z Z

Z Z

Z ZZ

Z Z

Z Z

Z Z

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2)

A Equação (2.1) pode ser escrita na sua forma compacta, como mostra a Equação

(2.3).

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ABC

sABCsp

ABCps

ABCpABC

prim ZZZZ

Z (2.3)

A matriz de admitância primitiva é calculada por:

( ) 1

prim primY Z−

= (2.4)

Para que se obtenha bons resultados nas simulações todos os elementos que

compõem a matriz de impedância primitiva devem ser determinados. Estes elementos

podem ser obtidos através de medições energizando-se o enrolamento x ( [ ], ,x A B C∈ )

do lado y ( [ ],y p s∈ ) e aplicando-se curto circuito nos demais enrolamentos (GARCIA,

2001). Desta forma todos os elementos da matriz de impedância primitiva serão

calculados pela Equação (2.5).


14

1

1x

xxx I

VZ = (2.5)

Onde:

1xI : Corrente medida no enrolamento 1x ( [ ]CB,A, 1∈x ).

xV : Tensão aplicada no enrolamento x .

Assim, para determinar todos os elementos da matriz de impedância primitiva

para um transformador trifásico de dois enrolamentos, considerando a natureza

recíproca da impedância mútua, seriam necessários vinte e um testes de curto-circuito.

Todavia, isto seria inviável devido a enorme quantidade de transformadores existentes

nos sistemas de distribuição.

Visando obter esta matriz de forma algébrica e não através de medições, o tipo de

núcleo empregado na construção do transformador deve ser considerado. A maioria dos

transformadores trifásicos de distribuição são construídos usando o núcleo trifásico de

três pernas, Figura 2-a; assim, praticamente todos os modelos de transformador trifásico

são elaborados considerando que o mesmo foi construído utilizando este tipo de

estrutura. Os modelos de transformadores trifásicos diferenciam-se principalmente

quanto à maneira de determinar os elementos da matriz de impedância primitiva,

buscando sempre um cálculo correto com um mínimo de parâmetros de entrada.

II.3.2 Matriz de Incidência Nodal

Nos sistemas de distribuição de energia elétrica são encontrados vários tipos de

conexões para os transformadores trifásicos. Cada uma destas conexões causa efeitos

diferentes nos transformadores, mudando consideravelmente suas tensões e ângulos de

fase.

A Tabela 1 apresenta algumas das ligações mais comuns para os transformadores

trifásicos.


15

Tabela 1 – Ligações comuns para os transformadores trifásicos

Conexões dos Transformadores

Primário Secundário

Yaterrado Yaterrado

Yaterrado Y

Yaterrado Delta

Y Yaterrado

Y Y

Y Delta

Delta Y

Delta Yaterrado

Delta Delta

Em relação a estas conexões podem ser observadas as seguintes características:

a) Ligação Yaterrado – Delta: Neste tipo de conexão existe uma diferença

angular de –30º entre as tensões de fase do primário e do secundário.

b) Ligação Delta – Yaterrado: Ao contrário da ligação Yaterrado - Delta este

tipo de configuração provoca uma defasagem de +30º entre as tensões de

fase do primário e secundário.

c) Ligação Yaterrado – Yaterrado: Este tipo de ligação é usado para

alimentar cargas monofásicas e trifásicas em um sistema multi-aterrado a

quatro condutores. Diferentemente das conexões Delta - Yaterrado e

Yaterrado - Delta, a mesma não causa diferença angular entre as tensões

de fase dos dois lados do transformador.

d) Ligação Delta – Delta: Esta conexão é utilizada em sistemas trifásicos a

três condutores para alimentar cargas trifásicas em sistemas não

aterrados.

Para representar as várias conexões dos transformadores trifásicos é utilizada a

matriz de incidência nodal, onde esta é dada pela Equação (2.6).


16

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

b b bm

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

L L L M

L

(2.6)

Onde:

1pqa = + Se a corrente no ramo pq está saindo do nó.

1pqa = − Se a corrente no ramo pq está chegando no nó.

0pqa = Se o nó p não está conectado ao nó q.

Como exemplo, considere um transformador trifásico de dois enrolamentos com

seu primário ligado em estrela solidamente aterrado e o seu secundário ligado em delta,

como mostra a Figura 3.

VAp

VBp

VCp

IAp

IBp

ICp

VAs

VBs

VCs

IAs

IBs

ICs

VNp

T (Terra) Figura 3 – Transformador trifásico de dois enrolamentos conectado em Yaterrado – delta.

A matriz de incidência nodal que representa esta conexão é dada pela Equação

(2.7), onde as linhas da matriz representam os ramos e as colunas os nós.


17

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

1000000010100001100000011000100010010000101000001

V|V|V|V|V|V|V

TVVVVVVVVVVVVV

NpCsBs AsCpBpAp

Np

AsCs

CsBs

BsAs

NpCp

NpBp

NpAp

(2.7)

A Equação (2.6) pode ser facilmente aplicada para determinar todas as ligações

citadas na Tabela 1, entre outras, que serão apresentadas neste trabalho.

II.3.2.1 Problemas na Representação da Conexão dos Enrolamentos dos Transformadores em Delta.

Um problema comum que pode ser encontrado na modelagem de transformadores

é a presença de sub-redes isoladas. Isto ocorre, por exemplo, quando se conecta os

enrolamentos do transformador em delta, onde se forma uma sub-rede que não contém

impedâncias ligadas ao nó de referência. Para facilitar a compreensão do problema,

considere a rede ilustrada na Figura 4, formada por dois transformadores e uma linha de

transmissão.

TR1 TR2Linha

terraterra

Sub-redeisolada

Figura 4 – Sub-rede isolada devido a conexão delta.


18

No cálculo do fluxo de potência obtém-se como resultado os módulos e ângulos

das tensões de fase em relação ao nó de referência, normalmente considerado como

sendo a terra. Na Figura 4 pode-se observar que a sub-rede formada pelo secundário do

transformador TR1, linha de transmissão e primário do transformador TR2, não

apresenta nenhum elemento conectado à referência, impossibilitando assim a

determinação correta das tensões de fase para esta parte da rede, afetando o cálculo de

todas as tensões e correntes do sistema. Esta parte do sistema pode apresentar resultados

imprecisos.

Para solucionar este problema, normalmente é utilizado um dos seguintes métodos

(DUGAN, 2003):

a) Conectar uma impedância de valor elevado entre um dos nós da conexão

delta e a referência;

b) Adicionar elementos de pequeno valor aos elementos diagonais da matriz

primY , de tal maneira que ela se torne inversível;

c) Utilizar um método de implementação onde primeiro conecta-se os

enrolamentos do primário e do secundário em estrela aterrada e logo após

conecta-se o transformador com a verdadeira conexão em que se

encontra.

II.3.3 Matriz Admitância de Barras

Os transformadores trifásicos podem ser descritos por suas matrizes admitâncias

de barras. Esta matriz varia conforme as conexões dos enrolamentos do transformador e

é dada pela Equação (2.8).

t

barra primY A Y A= (2.8)

Onde: tA : É a matriz de incidência nodal transposta.


19

II.4 Principais Modelos de Transformadores Trifásicos

II.4.1 Transformadores Trifásicos Representados por Bancos de Transformadores Monofásicos

II.4.1.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em CHEN e DILLON (1974)

Em alguns modelos, os transformadores trifásicos são representados por bancos de

transformadores monofásicos. Em CHEN e DILLON (1974) é descrito um

procedimento interessante utilizando esta metodologia, o qual será detalhado a seguir.

No modelo desenvolvido por CHEN e DILLON (1974) o transformador trifásico

é representado por uma matriz de admitância primitiva dada pela Equação (2.9).

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

p p s

p p s

p p s

s p s

s p s

s p s

A A A

B B B

C C C

primA A A

B B A

C C A

Y Y

Y Y

Y YY

Y Y

Y Y

Y Y

−⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(2.9)

Considerando que os três transformadores monofásicos são idênticos e que ocorre

uma distribuição simétrica do fluxo magnético, as admitâncias próprias das fases A,B e

C serão iguais e representadas por pY e sY para o primário e o secundário

respectivamente. As admitâncias mútuas entre primário e secundário também serão

iguais e representadas por mY , obtendo assim uma matriz de admitância primitiva

simétrica como mostra a Equação (2.10).


20

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

p m

p m

p mprim

m s

m s

m s

Y YY Y

Y YY

Y YY Y

Y Y

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.10)

Os autores consideram ainda que ao se trabalhar com a matriz de admitância

primitiva expressa em valores por unidade (p.u.), os valores numéricos de pY , sY e mY

são aproximadamente iguais a admitância de dispersão dY do transformador obtida pelo

ensaio de curto-circuito. Assim para determinar a matriz de admitância primitiva que

representa o transformador trifásico é necessário apenas um parâmetro que pode ser

determinado facilmente. Desta forma a Equação (2.10) pode ser reescrita da seguinte

maneira:

( )

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

d d

d d

d dprim

d d

d d

d d

Y YY Y

Y YY pu

Y YY Y

Y Y

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.11)

Utilizando a teoria da matriz de incidência nodal apresentada na seção II.3.2 e

calculando a matriz admitância de barras pela Equação (2.8), pode-se determinar a

matriz admitância de barras para os tipos mais comuns de transformadores através da

Tabela 2.


21

Tabela 2 - Submatrizes usadas na formulação da matriz admitância de barras

Tipo de Conexão Admitância Própria Admitância Mútua

Barra K Barra M ABCpY ABC

sY ABCpsY ABC

spY

Yaterrado Yaterrado IY IY IY− IY−

Yaterrado Y IIY IIY IIY− IIY−

Yaterrado Delta IY IIY IIIY tIIIY

Y Yaterrado IIY IIY IIY− IIY−

Y Y IIY IIY IIY− IIY−

Y Delta IIY IIY IIIY tIIIY

Delta Yaterrado IIY IY tIIIY IIIY

Delta Y IIY IIY tIIIY IIIY

Delta Delta IIY IIY IIY− IIY−

Onde:

As matrizes IY , IIY e IIIY são definidas por:

0 00 00 0

d

I d

d

yY y

y

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.12)

21 23

2

d d d

II d d d

d d d

y y yY y y y

y y y

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

(2.13)

03 0

30

d d

II d d

d d

y yY y y

y y

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(2.14)

O modelo de transformador elaborado por CHEN e DILLON (1974) tem sido

usado por muitos autores em seus trabalhos voltados para análise dos sistemas elétricos

de potência, mas, recentemente este modelo tem recebido muitas críticas (DUGAN,

2003) , (KERSTING et al, 1999), devido as várias simplificações adotadas na obtenção


22

da matriz admitância primitiva como também referente aos termos 31 e 3

3 que

aparecem multiplicando as matrizes das Equações (2.13) e (2.14), pois estas constantes

não aparecem naturalmente ao utilizar a matriz de admitância primitiva da Equação

(2.11) no cálculo da matriz admitância de barras.

Como já era conhecida a principal característica presente nas conexões do

transformador em delta, que é a diferença angular entre as tensões de fase do primário e

do secundário, as constantes anteriormente citadas foram cuidadosamente inseridas no

modelo, de tal maneira a se obter o resultado correto, o que tem sido considerado por

muitos como inaceitável.

II.4.2 Transformadores Trifásicos de Dois Enrolamentos

II.4.2.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em GORMAN e GRAINGER (1992a) e (1992b)

No modelo de transformador trifásico descrito em GORMAN e GRAINGER

(1992a) e (1992b), o transformador é representado por uma matriz de impedância

primitiva que pode ser dividida em duas componentes: uma parcela que representa o

núcleo ferromagnético e outra que representa os seus enrolamentos, como mostra a

Equação (2.15).

( ) ( ) ( )443442143421

bobinanucleo Z

db

Z

mnpirm sTKRKsTRpuZ 1+++= (2.15)

Onde:

mT : É uma matriz que representa o núcleo ferromagnético do transformador.

dT : É uma matriz que representa os caminhos de dispersão.

s : É a freqüência complexa j(2πf).

K e 1K : São constantes relacionadas com a magnetização e a dispersão do núcleo

respectivamente.


23

Os elementos da matriz que representa o núcleo ferromagnético do transformador

( mT ) são determinados pela análise de seu circuito elétrico equivalente, como mostra a

Figura 5, onde é necessário conhecer o valor da relutância do circuito magnético, onde

esta é função da permeabilidade magnética do núcleo, do seu comprimento médio e da

sua área. Estes parâmetros em muitos casos não são conhecidos e são difíceis de se

obter, o que dificulta o uso do modelo.

R1 R1R1

N p IAp N p ICpN p IBp

N s IAs N s ICsN s IBs

Figura 5 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de dois enrolamentos.

A matriz dT é uma matriz diagonal que contém as reatâncias de dispersão, as

quais podem ser determinadas pelo ensaio de curto-circuito do transformador. As

constantes K e 1K são estimadas através de vários ensaios a vazio e em curto-circuito.

Assim utilizando as Equações (2.6) e (2.8) pode-se determinar a matriz de

incidência nodal e a matriz admitância de barras para o transformador respectivamente.

II.4.2.2 Modelo de Transformador Descrito em DUGAN e SANTOSO (2003)

O método apresentado em DUGAN e SANTOSO (2003) permite determinar os

modelos de transformadores trifásicos de dois ou mais enrolamentos, onde são exigidos

como parâmetros de entrada, a impedância de curto-circuito entre cada par de

enrolamentos e o número de espiras ou tensões nominais de cada enrolamento.

Conhecendo-se as impedâncias de curto-circuito, pode-se determinar uma matriz

de impedância primitiva onde um enrolamento é escolhido como referência, processo


24

semelhante ao usado para formar a matriz de impedância para sistemas de potência com

a barra infinita na referência, desta forma se obtém uma matriz de dimensões (m-1) X

(m-1), onde m é o número de enrolamentos do transformador.

A matriz de impedância primitiva que representa o transformador é dada por:

• Elementos da Diagonal:

( ) ( ) baseprim ZiZsciiZ *1,1, += , para i=1 até m-1 (2.16)

Onde:

( ),SCZ i j : É a impedância de curto-circuito entre os enrolamentos i e j expressa

em p.u.

baseZ : É a impedância base utilizada para converter scZ em valores ôhmicos.

• Demais elementos:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]baseprimprimprim ZiZscjjZiiZjiZ *1,1,,*5,0, +−+= (2.17)

Para representar as conexões dos transformadores o autor propõe um novo método

de implementação, com o objetivo de evitar qualquer problema referente à ligação delta,

onde o transformador tem os seus enrolamentos primário e secundário conectados à

referência antes que a eles sejam aplicadas as suas verdadeiras conexões, como mostra a

Figura 6.


25

N1:1 Y1

Y1

Y1

N1:1

N1:1

1: N2

1: N2

1: N2

Estrela Delta

Yw

Yprim

Figura 6 – Esquema de ligação para um transformador trifásico de dois enrolamentos conectado em Y-

Delta.

A matriz admitância de barras que representa o transformador é dada por:

( ) ttt

primbarra ANBZANBY 1−= (2.18)

Onde:

B: É uma matriz de incidência com dimensões (m x m-1), cujos elementos são

compostos por 1, -1 e 0;

A: É a matriz de incidência nodal, como descrita na seção II.3.2;

N: É uma matriz diagonal, quadrada, de ordem m que contém como elementos

diferentes de zero, o inverso do número de espiras dos enrolamentos.

O modelo elaborado por DUGAN e SANTOSO (2003) não apresenta fatores que

forçam o aparecimento do resultado correto como em CHEN e DILLON (1974), mas o

mesmo exige que todas as impedâncias próprias e mútuas entre os enrolamentos do

transformador sejam conhecidas, parâmetros estes, como mencionado anteriormente,


26

são difíceis de se obter devido ao grande número de transformadores presentes nos

sistemas de distribuição.

II.5 Sumário do Capítulo

Este capítulo apresenta primeiramente, as principais características que um bom

modelo de transformador trifásico deve apresentar. Foi descrita uma metodologia muito

utilizada para incorporar os transformadores no problema de fluxo de potência

utilizando coordenadas de fase. Os transformadores trifásicos são comumente

representados por uma matriz de admitância de barras, na qual podem ser inseridas as

características do núcleo ferromagnético e de seus enrolamentos, bem como a maneira

em que estes estão conectados.

Em seguida são apresentados alguns dos principais modelos de transformadores

trifásicos existentes na literatura. Os modelos visam representar os bancos de

transformadores monofásicos e os transformadores trifásicos de dois e três

enrolamentos, onde podem ser observadas todas as particularidades que envolvem a

representação dos transformadores trifásicos.

Capítulo III

Modelo de Transformador Trifásico Proposto

III.1 Considerações Iniciais

A metodologia que utiliza matrizes primitivas para representar os transformadores

trifásicos tem se apresentado como uma ferramenta matematicamente robusta e de fácil

implementação. No intuito de contribuir com as ferramentas para análise dos sistemas

de distribuição, que normalmente são altamente desequilibrados, exigindo que a rede

elétrica seja representada por seus modelos completos, apresenta-se neste capítulo um

novo modelo de transformador trifásico baseado nesta mesma metodologia onde o

mesmo difere dos demais modelos apresentados até aqui, principalmente quanto à forma

de obter a matriz de admitância primitiva, bem como ao cálculo da mesma em valores

por unidade.

A seguir são descritos detalhadamente os conceitos utilizados na elaboração do

modelo de transformador trifásico proposto por este trabalho.

III.2 Modelo Proposto para Representar os Transformadores Trifásicos de Distribuição

III.2.1 Determinação da Matriz Admitância Primitiva para o Transformador Trifásico

O primeiro passo para se determinar o modelo de transformador descrito neste

trabalho, é a obtenção de sua matriz de admitância primitiva. Esta matriz não representa

uma conexão particular do transformador e pode ser obtida através da inversão da

matriz impedância primitiva. Neste trabalho iremos considerar um transformador

trifásico de distribuição, com núcleo de três pernas e com dois enrolamentos no

secundário para cada fase. Desta maneira é possível representar os transformadores

trifásicos de três enrolamentos e ligações como a estrela ziguezague.

Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto

28

A Figura 7 ilustra o circuito magnético equivalente para este transformador. Os

pontos marcados nas bobinas indicam o sentido positivo da tensão induzida.

VAs

IBp

IBs

IBtIAt

IAs

IAp ICp

ICs

ICt

VBp

VBt

VAp

VAt

VCp

VCt

VBs VCs

Figura 7 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de três enrolamentos.

Por inspeção pode-se observar que o circuito magnético da Figura 7 pode ser

representado por uma matriz de impedância primitiva contendo as impedâncias próprias

e mútuas entre as fases do transformador, como mostra a Equação (3.1).

Ap ApBp ApCp ApAs ApBs ApCs ApAt ApBt ApCt

BpAp Bp BpCp BpAs BpBs BpCs BpAt BpBt BpCt

CpAp CpBp Cp CpAs CpBs CpCs CpAt CpBt CpCt

AsAp AsBp AsCp As AsBs AsCs AsAt AsBt AsCt

BsAp BsBp BsCp BsAs Bprim

Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z ZZ = s BsCs BsAt BsBt BsCt

CsAp CsBp CsCp CsAs CsBs Cs CsAt CsBt CsCt

AtAp AtBp AtCp AtAs AtBs AtCs At AtBt AtCt

BtAp BtBp BtCp BtAs BtBs BtCs BtAt Bt BtCt

CtAp CtBp CtCp CtAs CtBs CtCs CtAt CtBt Ct

Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z

⎡⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

(3.1)

Onde:

, e p s t : Representam as grandezas do primário, secundário e terciário

respectivamente.

, e A B C : Representam as fases.


29

Na Equação (3.1) somente as impedâncias da diagonal principal da matriz

possuem parte real, devido às resistências dos enrolamentos do transformador, como

mostra a Equação (3.2).

p p p p p p p s p s p s p t p t p t



s p s p s p s s

A A A B A C A A A B A C A A A B A C

B A B B B C B A B B B C B A B B B C

C A C B C C C A C B C C C A C B C C

A A A B A C A A

prim

R jX jX jX jX jX jX jX jX jX

jX R jX jX jX jX jX jX jX jX

jX jX R jX jX jX jX jX jX jX

jX jX jX R jX

Z

+

+

+

+

=s s s s s t s t s t

s p s p s p s s s s s s s t s t s t

s p s p s p s s s s s s s t s t s t

t p t p t p t s t s t s t t t t t t

A B A C A A A B A C


C A C B C C C A C B C C C A C B C C

A A A B A C A A A B A C A A A B A C

jX jX jX jX jX

jX jX jX jX R jX jX jX jX jX

jX jX jX jX jX R jX jX jX jX

jX jX jX jX jX jX R jX jX jX

jX

+

+

+




C A C B C C C A B B C C C A C B B B

jX jX jX jX jX jX R jX jX

jX jX jX jX jX jX jX jX R jX

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.2)

Escrevendo a Equação (3.1) na sua forma compacta, utilizando submatrizes

contendo as impedâncias primitivas dos ramos, tem-se:

ABC ABC ABCp ps pt

ABC ABC ABC ABCprim sp s st

ABC ABC ABCtp ts t

Z Z ZZ Z Z Z

Z Z Z

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.3)

Para que o modelo de transformador proporcione bons resultados é necessário que

os valores de todas estas impedâncias sejam conhecidos. Considerando a natureza

recíproca da impedância mútua, o que torna a matriz da Equação (3.1) simétrica, para

determinar todos os elementos desta matriz, basta conhecer os elementos da parte

triangular superior. As resistências dos enrolamentos do transformador podem ser

obtidas a partir da folha de dados do transformador ou determinadas facilmente por

medição direta da resistência ou através do ensaio de curto-circuito. Para determinar as

reatâncias serão feitas as seguintes considerações em relação às indutâncias próprias e

mútuas do transformador:

• Indutâncias próprias dos enrolamentos primário, secundário e terciário.

Ap Bp CpL L L= = (3.4)


30

As Bs CsL L L= = (3.5)

At Bt CtL L L= = (3.6)

• Indutâncias mútuas entre os enrolamentos primário e secundário, primário e

terciário e secundário e terciário de mesma fase.

ApAs BpBs CpCsL L L= = (3.7)

ApAt BpBt CpCtL L L= = (3.8)

AsAt BsBt CsCtL L L= = (3.9)

• Indutâncias mútuas entre os enrolamentos de fases diferentes.

ApBp BpCp CpApL L L= = (3.10)

AsBs BsCs CsAsL L L= = (3.11)

AtBt BtCt CtAtL L L= = (3.12)

ApBs ApCs BpAs BpCs CpAs CpBsL L L L L L= = = = = (3.13)

AsBt AsCt BsAt BsCt CsAt CsBtL L L L L L= = = = = (3.14)

ApBt ApCt BpAt BpCt CpAt CpBtL L L L L L= = = = = (3.15)

A indutância é definida como sendo o enlace de fluxo dividido pela corrente

elétrica que o produz (COMPTON, 1943):

LIλ

= (3.16)

O enlace de fluxo em um enrolamento k será :

1

M

k i ii

Nλ φ=

=∑ (3.17)

Onde:


31

M é o número de espiras do enrolamento k;

Φi é fluxo que atravessa a i-ésima espira.

O fluxo magnético é a razão entre a força magnetomotriz e a relutância do circuito

magnético.

NIφ =ℜ

(3.18)

Desta forma, sem considerar o tipo de núcleo ou o número de bobinas do

transformador as indutâncias próprias e mútuas podem ser obtidas de acordo com as

Equações (3.19) e (3.20) respectivamente.

2

pp dNL L= +ℜ

(3.19)

2

mNL = ±ℜ

(3.20)

Onde:

dL : É a indutância de dispersão.

As indutâncias próprias são compostas de duas parcelas: uma devido ao fluxo de

dispersão e a outra devido ao fluxo de magnetização. Devido ao caráter construtivo do

núcleo trifásico, algumas indutâncias mútuas em um transformador possuem sinais

negativos. Esta particularidade será observada nas indutâncias mútuas entre os

enrolamentos de fases diferentes.

Substituindo o circuito magnético que representa o transformador trifásico de três

enrolamentos mostrado na Figura 7 pelo seu análogo elétrico como ilustra a Figura 8,

onde é considerado que o fluxo magnetizante de projeto leva a uma relutância constante

(Compton, 1943), cada perna do circuito magnético pode ser modelada por uma

relutância 1R em série com uma força magnetomotriz; esta é dada pelo produto do

número de espiras pela corrente elétrica que nela circula ( NI ).


32

R1 R1R1

N p IAp N p ICpN p IBp

N s IAs N s ICsN s IBs

N t ICtN t IBtN t IAt

Figura 8- Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico com um enrolamento no primário e dois enrolamentos no secundário para cada fase.

Desta forma utilizando-se os conceitos anteriormente descritos as indutâncias

denotadas nas Equações (3.4) a (3.15), serão determinadas de acordo com as equações

a seguir:

• Indutâncias próprias.

2

1

23

fmf d mf

NL L

R= + (3.21)

• Indutâncias mútuas de mesma fase.

1

2 , com 3

f gmfmg

N NL f g

R= ≠ (3.22)

• Indutâncias mútuas de fases diferentes.

1

1 , com 3

f gmfng

N NL m n

R= − ≠ (3.23)

Onde:

,m n : Representam as fases A,B ou C.


33

,f g : Representa o primário (p), secundário (s) ou terciário (t) do transformador.

N : É o número de espiras de cada bobina.

Como pode ser observado pela Equação (3.22), para um transformador com este

tipo de núcleo, a indutância de magnetização vista do primário em relação ao secundário

pode ser expressa pela Equação (3.24).

1

23

p sM

N NL

R= (3.24)

Nas Equações (3.21), (3.22) e (3.23) a relutância 1R é uma variável indesejável,

visto que, para se determinar a mesma deve-se conhecer a permeabilidade do material

ferromagnético do qual o núcleo do transformador foi fabricado, seu comprimento

médio e sua área, parâmetros importantes no projeto do transformador mas

indisponíveis nas folhas de dados do transformador. Para contornar esta dificuldade,

explicita-se a relutância 1R na Equação (3.24), substituindo-a nas equações (3.21),

(3.22) e (3.23) e multiplicando-as por jω as reatâncias primitivas serão calculadas

pelas equações:

2f

mf dmf Mp s

NjX jX jX

N N= + (3.25)

, com f gmfmg M

p s

N NjX jX f g

N N= ≠ (3.26)

1 , com 2

f gmfng M

p s

N NjX jX m n

N N= − ≠ (3.27)

Onde:

dX : É a reatância de dispersão.

MX : É a reatância de magnetização vista do primário.

Com as manipulações feitas anteriormente pode-se determinar a matriz de

impedância primitiva da Equação (3.1) bastando-se conhecer as reatâncias de dispersão,


34

a reatância de magnetização e as resistências dos enrolamentos. Estes parâmetros são

facilmente obtidos pelos ensaios de curto-circuito e de circuito aberto ou fornecidos

pelos fabricantes. O número de espiras dos enrolamentos dos transformadores

normalmente não são conhecido, mas, devido ao fato de se operar somente com razões

entre espiras nas Equações (3.25) a (3.27), pode-se considerar que tais relações são

iguais as próprias tensões em suas bobinas.

A matriz de admitância primitiva que representa o transformador é dada pela

Equação (3.28).

1

prim primY Z −= (3.28)

III.2.2 Representação das Impedâncias de Aterramento de Transformadores

Em configurações nas quais os enrolamentos dos transformadores são ligados em

estrela, o ponto comum da ligação, ou ponto neutro, pode apresentar as seguintes

características em relação ao nó terra:

1. Neutro do transformador não aterrado;

2. Neutro do transformador aterrado por impedâncias;

3. Neutro do transformador solidamente aterrado.

Para que o modelo possa retratar os transformadores com precisão, estes tipos de

ligações devem ser representados (IRVING, 2003). Uma forma eficaz de representar

estas conexões é acrescentar linhas e colunas adicionais na Equação (3.1) o que leva à

Equação (3.29).


35

0 0 00 0 00 0 00 0 0

Ap ApBp ApCp ApAs ApBs ApCs ApAt ApBt ApCt

BpAp Bp BpCp BpAs BpBs BpCs BpAt BpBt BpCt

CpAp CpBp Cp CpAs CpBs CpCs CpAt CpBt CpCt

AsAp AsBp AsCp As AsBs AsCs AsAt AsBt AsCt

BsAp BsBp

prim

Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z

Z =

0 0 00 0 00 0 00 0 0

BsCp BsAs Bs BsCs BsAt BsBt BsCt

CsAp CsBp CsCp CsAs CsBs Cs CsAt CsBt CsCt

AtAp AtBp AtCp AtAs AtBs AtCs At AtBt AtCt

BtAp BtBp BtCp BtAs BtBs BtCs BtAt Bt BtCt

CtAp CtBp CtCp CtAs CtBs

Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

CtCs CtAt CtBt Ct

np

ns

nt

Z Z ZZ

ZZ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.29)

Onde:

, e np ns ntZ Z Z : Representam as impedâncias de aterramento do neutro do lado

primário, secundário e terciário respectivamente.

Na sua forma compacta, temos:

000

0 0 0

ABC ABC ABCp ps ptABC ABC ABCsp s stABC

prim ABC ABC ABCtp ts t

pstterra

Z Z ZZ Z Z

ZZ Z Z

Z

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.30)

Para representar um transformador conectado em estrela, com o ponto neutro não

aterrado, utiliza-se como artifício de cálculo, a substituição da impedância de

aterramento do neutro por um número de valor elevado. Analogamente, para representar

uma ligação em estrela com o neutro do transformador solidamente aterrado, a

impedância de aterramento é substituída por um número de valor muito baixo. Nos

testes realizados verificou-se que valores da ordem de 1010 e 10-10 apresentaram bons

resultados.


36

III.2.3 Cálculo da Matriz Admitância Primitiva em Valores por Unidade (P.U.)

O modelo de transformador descrito no presente trabalho permite utilizar a sua

matriz de impedância primitiva expressa em ohms ou em valores por unidade. Caso seja

necessário representar os transformadores em valores por unidade, conhecendo-se as

bases do sistema em uso e as impedâncias primitivas dos ramos, pode-se calcular a

matriz de impedância primitiva da Equação (3.3) em p.u. Para tanto ,considera-se a

Equação (3.31) relacionando tensões e correntes nos terminais dos enrolamentos do

transformador trifásico:

ABC ABC ABC ABC ABC

p p ps pt pABC ABC ABC ABC ABC

s sp s st sABC ABC ABC ABC ABC

t tp ts t t

V Z Z Z IV Z Z Z IV Z Z Z I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.31)

Pré-multiplicando o vetor de tensões pela matriz identidade da Equação (3.32) e o

vetor de correntes pela Equação (3.33), a Equação (3.31) não se altera e após efetuar-se

uma pequena manipulação algébrica, pode ser reescrita pela Equação (3.34).

( )( )

( )

1

, ,

1

, ,

1, ,

p b p b

V s b s b

t b t b

V V

I V V

V V

−

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.32)

( )( )

( )

1

, ,

1

, ,

1, ,

p b p b

I s b s b

t b t b

I I

I I I

I I

−

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.33)

( )( )( )

( )( )

( )1 11, ,

, ,1

, , ,

1, ,

,

ABC ABCABC ABC ABCp b p p b p

p b p ps pt p bABC ABC ABC ABC

s b s s b sp s st s bABC ABC ABC

ABC t b tp ts t t bt b t

Z puV pu

V V I IV Z Z Z IV V V Z Z Z I

V Z Z Z IV V

− −−

−

−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ 144444444424444444443

1442443

( )( )

( )

1,

1,

ABCs b s

ABCt b t

I pu

I I

I I

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1442443

(3.34)


37

Onde:

, , , , e ABC ABC ABC ABC ABC ABCp s t p s tV V V I I I : São os vetores contendo os valores das

tensões e correntes de fase do primário, secundário e terciário respectivamente.

, , , , , ,, , , , e p b s b t b p b s b t bV V V I I I : São matrizes diagonais contendo as tensões e

correntes de fase tomadas como bases para o primário, secundário e terciário

respectivamente.

Efetuando-se os cálculos na Equação (3.34) a matriz de impedância primitiva em

p.u. para o transformador é calculada pela Equação (3.35), de uma maneira simples, sem

colocar em dúvida quais serão os valores de tensão e correntes bases que se deva utilizar

em relação as impedância mútuas.

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1

, , , , , ,

1 1 1, , , , , ,

1 1 1, , , , , ,

ABC ABC ABCp b p p b p b ps s b p b pt t b

ABC ABC ABC ABCprim s b sp p b s b s s b s b st t b

ABC ABC ABCt b tp p b t b ts s b t b t t b

V Z I V Z I V Z I

Z pu V Z I V Z I V Z I

V Z I V Z I V Z I

− − −

− − −

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.35)

III.2.4 Determinação da Equação de Mudança de Base

No estudo dos sistemas elétricos utilizando-se valores por unidade, normalmente

se escolhe um valor de potência e tensão base para os quais as grandezas elétricas de

todos os equipamentos da rede devem estar referenciadas. Para um transformador cujos

parâmetros são dados em p.u. tendo sido usados como bases os seus valores nominais

de potência e tensão a matriz de impedância primitiva em p.u. nas bases do

transformador pode ser convertida para a base do sistema através da Equação (3.36).

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

p p ps ps pt ptnprim sp sp s s st st

tp tp ts ts t t

Z pu W Z pu W Z pu WZ pu Z pu W Z pu W Z pu W

Z pu W Z pu W Z pu W

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.36)


38

Onde:

( ) ( ) ( )1 1

, , , ,n n

p p b p b p b p bW pu V I V I− −

=

( ) ( ) ( )1 1, , , ,

n nps p b s b p b s bW pu V I V I

− −=

( ) ( ) ( )1 1, , , ,

n npt p b t b p b t bW pu V I V I

− −=

( ) ( ) ( )1 1

, , , ,n n

sp s b p b s b p bW pu V I V I− −

=

( ) ( ) ( )1 1, , , ,

n ns s b s b s b s bW pu V I V I

− −=

( ) ( ) ( )1 1, , , ,

n nst s b t b s b t bW pu V I V I

− −=

( ) ( ) ( )1 1

, , , ,n n

tp t b p b t b p bW pu V I V I− −

=

( ) ( ) ( )1 1, , , ,

n nts t b s b t b s bW pu V I V I

− −=

( ) ( ) ( ) 1,

1,,,

−−= bt

nbt

nbtbtt IVIVpuW

, , , , , ,, , , , e n n n n n np b s b t b p b s b t bV V V I I I : São as matrizes diagonais contendo as tensões e

correntes da nova base.

III.2.5 Representação das Conexões dos Transformadores

As várias conexões dos transformadores serão representadas pela matriz de

incidência nodal, como descrito na seção II.3.2. No modelo de transformador proposto,

o transformador trifásico possui dois enrolamentos no secundário para cada fase, onde

os mesmos podem ser conectados em série ou em paralelo, formando um transformador

trifásico de dois enrolamentos ou os mesmos podem possuir ligações distintas, como

apresentadas em transformadores trifásicos de três enrolamentos. Além das diversas

conexões apresentadas na Tabela 1, a Tabela 3 apresenta mais algumas conexões que

podem ser representadas pelo modelo de transformador proposto.


39

Tabela 3 – Principais ligações para o transformador trifásico de três enrolamentos com as duas bobinas do

secundário possuindo conexões distintas

Tipos de Ligações para o Transformador de Três Enrolamentos

Primário Secundário Terciário Primário Secundário Terciário

Yaterrado Yaterrado Yaterrado Y Y Y

Yaterrado Yaterrado Delta Y Y Delta

Yaterrado Delta Yaterrado Y Delta Y

Yaterrado Delta Delta Y Delta Delta

Delta Yaterrado Yaterrado Delta Y Y

Delta Yaterrado Delta Delta Y Delta

Delta Delta Yaterrado Delta Delta Y

Delta Delta Delta Delta Delta Delta

Como exemplo, considere o transformador trifásico descrito pela Figura 7 com

seu primário ligado em delta e os enrolamentos do secundário conectados em série e em

estrela solidamente aterrado, como mostra a Figura 9.

VAp

VBp

VCp

IAp

IBp

ICp

VAs

VBs

VCs

IAs

IBs

ICs

VNs

Zns Ins

VAst

VBst

VCst

T (terra)

Figura 9– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado.

A matriz de incidência nodal para este exemplo é dada pela Equação (3.37).


40

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

−

10000000001100000000

01001000001010000000

00100100001001000000

0001001000000000010100000001100000000011

V|V|V|V|V|V|V|V|V|V

TVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

NsCstBstAstCsBs AsCpBpAp

Ns

NsCst

CstCs

NsBst

BstBs

NsAst

AstAs

ApCp

CpBp

BpAp

(3.37)

Para um transformador de três enrolamentos, com seu primário e terciário

conectados em delta e o seu secundário em estrela, como ilustra a Figura 10, tem como

matriz de incidência nodal a Equação(3.38).

VAp

VBp

VCp

IAp

IBp

ICp

VAs

VBs

VCs

IAs

IBs

ICs

VNs

Zns Ins

VAt

IAt

IBt VBt

ICt VCt

T (terra)

Figura 10– Transformador de três enrolamentos conectado em delta – estrela – delta.


41

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−−

−−

−

1000000000010100000001100000000011000000101010000010010100001001001000

000000010100000001100000000011

V|V|V|V|V|V|V|V|V|V


NsCtBtAtCsBs AsCpBpAp

Ns

AtCt

CtBt

BtAt

NsCs

NsBs

NsAs

ApCp

CpBp

BpAp

(3.38)

III.2.5.1 Conexões com as polaridades Invertidas

Na determinação das equações que regem o modelo de transformador trifásico

proposto foram consideradas as polaridades das bobinas, observando-se o circuito

magnético que representa o transformador ilustrado pela Figura 7, onde os pontos

marcados nas bobinas indicam o sentido positivo da corrente elétrica.

Desta forma, se o transformador for conectado como na Figura 9, será obtida uma

defasagem angular de +30º entre as tensões de fase do primário e do secundário, devido

à conexão Delta - Yaterrado. Se a polaridade das bobinas do lado delta forem invertidas

e o transformador também for conectado em Delta - Yaterrado como mostra a Figura

11, resultará uma defasagem de –30º entre as referidas tensões de fase. A matriz de

incidência nodal para esta ligação é dada por (3.39).


42

VAp

VBp

VCp

IAp

IBp

ICp

VAs

VBs

VCs

IAs

IBs

ICs

VNs

Zns Ins

VAst

VBst

VCst

T(terra)

Figura 11– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado com suas bobinas invertidas.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

−

10000000001100000000

01001000001010000000

00100100001001000000

0001001000000000011000000000110000000011

V|V|V|V|V|V|V|V|V|V


NsCstBstAstCsBs AsCpBpAp

Ns

NsCst

CstCs

NsBst

BstBs

NsAst

AstAs

ApCp

CpBp

BpAp

(3.39)

Devido a esta propriedade, pode-se considerar as conexões indicadas nas Tabelas

1 e 3, com as polaridades diretas ou invertidas obtendo assim novas possíveis

configurações.

III.2.5.2 Problema da Falta de Referência devido a Conexão Delta Utilizando o Modelo de Transformador Proposto


43

Como descrito na seção II.3.2.1 a conexão dos enrolamentos do transformador em

delta, leva os programas desenvolvidos para o cálculo do fluxo de potência a

apresentarem problemas numéricos devido a falta de elementos ligados a referência.

Durante as simulações que serão apresentadas neste trabalho, verificou-se que ao

representar as linhas trifásicas por seu circuito pi equivalente, conforme ilustra a Figura

12, ou matematicamente pelas Equações (3.40) e (3.41), este problema foi

completamente eliminado. É importante ressaltar que este procedimento foi verificado e

considerado satisfatório utilizando o modelo de transformador proposto. Não foram

realizados testes empregando outros modelos de transformadores.

ZCCC

ZBB

ZAA

ZBC ZAC

ZAB

B

A

YshAA YshBB YshCC YshAA YshBB YshCC

YshAB YshBC

YshAC

YshAB YshBC

YshAC

K m

Figura 12– Circuito π equivalente de uma linha trifásica a parâmetros concentrados.

AA AB AC AA AB AC AA AB AC

ABC BA BB BC BA BB BC BA BB BC

CA CB CC CA CB CC CA CB CC

Z Z Z r r r X X XZ Z Z Z r r r j X X X

Z Z Z r r r X X X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.40)

AA AB AC

ABC BA BB BC

CA CB CC

bsh bsh bshYsh j bsh bsh bsh

bsh bsh bsh

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.41)

Para os sistemas de distribuição o efeito capacitivo das linhas pode ser

desprezado, assim matematicamente adota-se o artifício de substituir o termo em

derivação por um número de valor pequeno, por exemplo, 10-10. Com esta técnica

assegura-se a não existência do termo em derivação e a presença de elementos


44

conectados a referência do lado delta. Desta forma, utilizando-se o modelo de

transformador proposto e o modelo pi equivalente para as linhas de transmissão, não foi

necessário elaborar nenhum método de implementação especial para representar a

ligação delta, como desenvolvido em (DUGAN,2003).

III.2.6 Matriz Admitância de Barras para o Transformador

A matriz que representa o transformador conectado é dada pela Equação (3.42).

t

barra primY A Y A= (3.42)

Onde: tA : É a matriz de incidência transposta.

III.3 Exemplo Numérico

Nesta seção a metodologia proposta para representar os transformadores trifásicos

de distribuição é utilizada para representar um transformador trifásico de três

enrolamentos, onde o primário, secundário e terciário foram conectados em Delta-

Yaterrado-Yaterrado respectivamente.

A Tabela 4 apresenta os parâmetros necessários para utilização do modelo de

transformador proposto. As resistências dos seus enrolamentos foram desprezadas.

Tabela 4 – Dados do transformador trifásico de três enrolamentos

Vp/Vs/Vt (V)

S (VA)

Xds (Ω)

XM

(Ω)

508/220/220 2400 0,1350 311,44

Será admitido que o número de espiras de cada bobina é igual à própria tensão

nominal. As reatâncias de dispersão do primário e terciário podem ser obtidas referindo-

se a reatância de dispersão do secundário.


45

A matriz de impedância primitiva para o transformador expressa em ohms é

calculada pelas Equações (3.25), (3.26) e (3.27).

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

1010

1010

005,78 935,38935,38870,77 935,38935,38440,311 720,155720,155935,38005,78 935,38935,38870,77 935,38720,155440,311 720,155935,38935,38005,78 935,38935,38870,77 720,155720,155440,311 870,77 935,38935,38005,78 935,38935,38440,311 720,155720,155935,38870,77 935,38935,38005,78 935,38720,155440,311 720,155935,38935,38870,77 935,38935,38005,78 720,155720,155440,311 440,311 720,155720,155440,311 720,155720,155752,1247796,622796,622720,155440,311 720,155720,155440,311 720,155796,622752,1247796,622720,155720,155440,311 720,155720,155440,311 796,622796,622752,1247

jprimZ (3.43)

Considerando os valores das tensões de fase do transformador apresentado na

Tabela 4 como valores base, a matriz de impedância primitiva em valores por unidade é

calculada de acordo com a Equação (3.35), resultando:

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

−

−

10

10

1010

869,3 931,1931,1862,3 931,1931,1696,6 348,3348,3931,1869,3 931,1931,1862,3 931,1348,3696,6 348,3931,1931,1869,3 931,1931,1862,3 348,3348,3696,6 862,3 931,1931,1869,3 931,1931,1696,6 348,3348,3931,1862,3 931,1931,1869,3 931,1348,3696,6 348,3931,1931,1862,3 931,1931,1869,3 348,3348,3696,6 696,6 348,3348,3696,6 348,3348,3627,11804,5804,5348,3696,6 348,3348,3696,6 348,3804,5627,11804,5348,3348,3696,6 348,3348,3696,6 804,5804,5627,11

jpuZ prim (3.44)

De acordo com a teoria clássica do sistema p.u., as impedâncias dos

transformadores quando expressas em valores por unidade são as mesmas em ambos os

lados do transformador, característica que pode ser observada na Equação (3.44). Caso

seja necessário determinar a matriz de impedância primitiva em uma nova base, por

exemplo, para uma base de 10KVA de potência e considerando as mesmas tensões base,

pode-se utilizar a Equação (3.36), onde o resultado é descrito pela Equação (3.45).


46

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

1010

1010

363,48 140,24140,24280,48 140,24140,24696,83 848,41848,41140,24363,48 140,24140,24280,48 140,24848,41696,83 848,41140,24140,24363,48 140,24140,24280,48 848,41848,41696,83 280,48 140,24140,24363,48 140,24140,24696,83 848,41848,41140,24280,48 140,24140,24363,48 140,24848,41696,83 848,41140,24140,24280,48 140,24140,24363,48 848,41848,41696,83 696,83 848,41848,41696,83 848,41848,41343,145 546,72546,72848,41696,83 848,41848,41696,83 848,41546,72343,145 546,72848,41848,41696,83 848,41848,41696,83 546,72546,72343,145

jpuprimZ (3.45)

A matriz de incidência nodal para o transformador com estas configurações de

enrolamento é dada pela Equação (3.46). A matriz admitância de barras que representa

o transformador pode ser calculada pela Equação (3.42) e é dada pela Equações (3.47) e

(3.48) para as bases de 0,8KVA e 10KVA respectivamente.

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.46)

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

=

028,4480343,149343,149343,1490000000028,448000343,149343,149343,149000343,1490168,116587,16 587,16 174,33 587,16587,16705,28 0705,28343,1490587,16 168,116587,16 587,16174,33 587,16705,28705,28 0343,1490587,16 587,16 168,116587,16587,16174,33 0705,28705,28

0343,149174,33 587,16587,16168,116587,16 587,16 705,28 0705,280343,149587,16174,33 587,16587,16 168,116587,16 705,28705,28 00343,149587,16587,16174,33 587,16 587,16 168,1160705,28705,28 00705,28705,280705,28 705,280272,66136,33 136,33 000705,28705,280705,28 705,28136,33 272,66136,33 00705,280705,28705,280705,28 136,33 136,33 272,66

jpuYbarra (3.47)


47

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

=

842,350947,11947,11947,110000000842,35000947,11947,11947,11000947,110293,9327,1327,1654,2 327,1327,1296,2 0296,2947,110327,1293,9327,1327,1654,2 327,1296,2296,20947,110327,1327,1293,9327,1327,1654,2 0296,2296,2 0947,11654,2 327,1327,1293,9327,1327,1296,2 0296,20947,11327,1654,2 327,1327,1293,9327,1296,2296,200947,11327,1327,1654,2 327,1327,1293,90296,2296,2 00296,2 296,20296,2 296,20302,5651,2 651,2 000296,2 296,20296,2 296,2651,2 302,5651,2 00296,20296,2 296,20296,2 651,2 651,2 302,5

jpubarraY (3.48)

Redução de Kron para os nós de neutro:

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

=

587,16587,16587,16174,33 587,16587,16705,28 0705,28140,24168,116587,16587,16174,33 587,16705,28705,28 0587,16587,16168,116587,16587,16174,33 0705,28705,28 174,33 587,16587,16168,116587,16587,16705,280705,28587,16174,33 587,16587,16168,116587,16705,28705,28 0587,16587,16174,33 587,16587,16168,1160705,28705,28 705,28 705,280705,28 705,280272,66136,33 136,33

0705,28 705,280705,28 705,28136,33 272,66136,33 705,280705,28 705,280705,28 136,33 136,33 272,66

jpubarraY (3.49)

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

=

293,9327,1327,1654,2 327,1327,1296,2 0296,2327,1293,9327,1327,1654,2 327,1296,2296,2 0327,1327,1293,9327,1327,1654,2 0296,2296,2 654,2 327,1327,1293,9327,1327,1296,2 0296,2327,1654,2 327,1327,1293,9327,1296,2296,2 0327,1327,1654,2 327,1327,1293,90296,2296,2 296,2 296,20296,2 296,20302,5651,2 651,2

0296,2 296,20296,2 296,2651,2 302,5651,2 296,20296,2 296,20296,2 651,2 651,2 302,5

jpuYbarra (3.50)

III.4 Sumário do Capítulo

Neste capítulo é apresentada uma nova proposta para representar os

transformadores trifásicos de distribuição em estudos de fluxo de potência. O modelo é

baseado na metodologia das matrizes primitivas de Kron e é obtido pela análise do

circuito magnético equivalente do transformador. O modelo proposto permite

representar as diversas conexões dos transformadores, bem como a determinação de

todos os elementos da matriz de admitância que o representa. Para isto, são necessários

apenas alguns parâmetros que são facilmente obtidos pelos ensaios de curto-circuito e

de circuito aberto.

Capítulo IV

Resultados

IV.1 Considerações Gerais

Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos da implementação do

modelo de transformador trifásico proposto ao fluxo de potência trifásico por injeção de

correntes (MICT) (GARCIA et al, 2000) e os resultados obtidos através de medições

realizadas em pequenos sistemas testes. Ambos foram comparados com o objetivo de

validar o modelo de transformador proposto.

Foram considerados três sistemas testes:

( i ) Um sistema radial contendo 6 barras, 2 linhas e 3 transformadores;

( ii ) Um sistema em anel com 6 barras, 3 linhas e 3 transformadores;

( iii ) Um sistema radial contendo 5 barras, 1 linha e 2 transformadores, sendo um

transformador com terciário;

Para a obtenção da convergência global da solução dos sistemas considerados, foi

admitido que os resíduos das equações de injeção de correntes devem ser menores que

10-6 p.u., onde a base de potência usada é de 10 KVA e a freqüência é de 60 Hz.

Além disto, foram consideradas duas situações distintas para efeito de análise:

( i ) Sistemas com cargas desequilibradas;

( ii ) Sistemas com cargas altamente desequilibradas;

IV.2 Modelos de Componentes dos Sistemas Testes

Anteriormente à apresentação dos resultados das simulações será descrito como

foram construídos os sistemas testes, bem como os modelos matemáticos utilizados para

representar os seus componentes no programa de fluxo de potência.

Capítulo IV – Resultados

49

IV.2.1 Modelos Reais

IV.2.1.1 Fonte de Potência

Nos programas para o cálculo do fluxo de potência, a barra onde se encontram os

geradores é considerada como sendo uma barra infinita, onde as tensões trifásicas

assumem um valor constante em módulo e ângulo de fase, durante todo o tempo. Na

prática, devido à falta de equipamentos, não foi possível utilizar uma fonte de potência

que se comportasse de tal maneira. Por esta razão, nos sistemas testes que serão

apresentados, utilizou-se as próprias tensões trifásicas fornecidas pela concessionária

local.

Contudo, é sabido que estas tensões assumem valores completamente diferentes

durante o tempo, principalmente se forem tomados como referência períodos distintos

do dia, como por exemplo: o matutino e o vespertino onde foram observados tensões

com valores eficazes de aproximadamente 130 V e 125 V respectivamente.

Como o método utilizado para o cálculo do fluxo de potência (MICT) é

extremamente sensível à condição inicial, para cada medição foi verificado o valor das

tensões de fase da fonte, os quais serão previamente informados e utilizados como ponto

de partida.

IV.2.1.2 Linhas de Distribuição

Os cabos empregados nas linhas dos sistemas de distribuição de energia elétrica,

diferentemente das linhas de transmissão, não são transpostos, fazendo com que as

impedâncias mútuas existentes entre as fases A, B e C não sejam iguais.

Para representar estas linhas foram construídos pequenos protótipos utilizando-se

núcleos de ferrite envoltos por fios de cobre esmaltado representando as resistências e

as indutâncias próprias das fases, como mostra a Figura 13. As três bobinas foram

enroladas em um mesmo núcleo, possibilitando assim obter também as impedâncias

mútuas entre as fases.


50

Figura 13– Linha de distribuição trifásica construída em núcleo de ferrite.

A Tabela 5 apresenta os parâmetros das linhas de distribuição utilizadas nos

pequenos sistemas testes obtidos através de medições.

Tabela 5 – Parâmetros das linhas de distribuição dos sistemas testes obtidos através de medições

Linha RA

(Ω)

XA

(Ω)

RB

(Ω)

XB

(Ω)

RC

(Ω)

XC

(Ω)

XAB

(Ω)

XBC

(Ω)

XCA

(Ω)

LD1 - 0,3880 - 0,4640 - 0,4410 0,0266 0,0154 0,0320

LD2 - 0,2450 - 0,3250 - 0,2023 0,0123 0,0105 0,0174

LD3 - 0,9000 - 0,8750 - 0,7890 0,0593 0,0420 0,0480

IV.2.1.3 Transformadores

Nos sistemas testes foram utilizados transformadores trifásicos contendo dois

enrolamentos no primário e quatro enrolamentos no secundário para cada fase como

ilustra a Figura 14, onde se pode obter diferentes configurações com as várias

possibilidades de conexões de suas bobinas.

Para assegurar que o transformador seja bem representado, escolheu-se

primeiramente as conexões a serem usadas nos sistemas, logo após foram feitos os


51

ensaios de circuito aberto e de curto-circuito, obtendo assim, os dados necessários para

as simulações, apresentados na Tabela 6.

Figura 14– Transformadores trifásicos utilizados nos sistemas testes.

Tabela 6 – Parâmetros dos transformadores trifásicos obtidos pelos ensaios de circuito aberto e de curto-

circuito

Trafo VP/Vs

(V)

S

(VA)

Rs

(Ω)

XM

(Ω)

Xds

(Ω)

TR1 220/508 3000 3,7500 71,9500 1,3050

TR2 508/220 2400 0,2675 66,8800 0,0425

TR3 508/220 1500 0,6300 136,8150 0,1240

IV.2.1.4 Cargas

Sabe-se que o desenvolvimento da eletrônica de potência aplicada a dispositivos

domésticos tem elevado consideravelmente o número de cargas não lineares presentes

nos sistemas de distribuição. No âmbito residencial e comercial nota-se maior utilização

de lâmpadas fluorescentes compactas, aparelhos de ar condicionado com controle em

estado sólido, fontes para microcomputadores, etc. No âmbito industrial, encontram-se

os conversores aplicados a diversos fins de acionamento e a complexos processos


52

industriais. No entanto, para uma avaliação apurada do transformador, levando-se em

conta somente os primeiros harmônicos das tensões e correntes, considerou-se que as

cargas deviam possuir características fáceis de implementar, o que ocorre com as

lâmpadas incandescentes. Assim, neste trabalho a carga ativa foi modelada através de

lâmpadas incandescentes. A utilização de cargas não lineares está além do objetivo

deste trabalho, sugerindo-se experimentações desta natureza em trabalhos futuros.

É importante mencionar que as cargas foram conectadas em estrela aterrada. A

Figura 15 mostra um módulo experimental de carga.

Figura 15– Cargas trifásicas representadas por lâmpadas incandescentes.

IV.2.2 Modelos Matemáticos para Simulação de Resultados

IV.2.2.1 Fonte de Potência

A fonte de potência foi modelada como uma fonte ideal trifásica conectada em

estrela, com o ponto comum da ligação, ou ponto neutro solidamente aterrado, como

mostra a Figura 16.


53

A

B

C

V 0

V -120

V 120

Figura 16– Fonte de potência trifásica conectada em estrela aterrada.

Para o cálculo do fluxo de potência foram usados os valores eficazes das tensões

de fase, medidos na barra de geração do sistema. É considerado também que as tensões

de fase estão defasadas de 120º entre si e que possuem uma seqüência direta de fase

(ABC).

IV.2.2.2 Linhas de Distribuição

Para a análise em regime permanente, as linhas trifásicas serão representadas por

um circuito pi equivalente, como discutido na seção III.2.5.2, possibilitando assim a

eliminação da falta de referência devido as conexões em delta.

IV.2.2.3 Transformadores

Para modelar os transformadores dos sistemas testes foram considerados apenas o

modelo de transformador proposto por este trabalho. Não foram realizadas simulações

empregando-se outros modelos de transformadores, devido à dificuldade inerente à

obtenção de seus parâmetros de entrada.


54

IV.2.2.4 Cargas

Neste trabalho as cargas trifásicas serão representadas pelo modelo polinomial.

Desta forma tem-se:

jQPS += (4.1)2

210 VPVPPP ++= (4.2)

2210 VQVQQQ ++= (4.3)

Como as lâmpadas incandescentes apresentam um consumo de potência

praticamente constante durante o tempo, não havendo variações bruscas de tensão, desta

forma as cargas serão modeladas como potência constante. Assim tem-se:

0PP = (4.4)

0QQ = (4.5)

A Figura 17 mostra a representação esquemática de cargas monofásicas, bifásicas

e trifásicas conectadas em estrela-aterrada representadas pelo modelo de carga potência

constante.

C

B

A

C

B

A

SBSASA

C

B

A

SBSA SB

(A) (B) (C)

Figura 17– Esquema de ligação para carga ligada em estrela: (a) Monofásica (b)Bifásica (c) Trifásica


55

IV.3 Equipamento de Medição

Para efetuar as medições foi utilizado um medidor de qualidade de energia de

fabricação da RMS Sistemas Eletrônicos. O equipamento permite registrar os valores

das tensões e correntes nas fases, potências ativas e reativas entre outras grandezas

elétricas. A sua precisão foi de fundamental importância para um bom desenvolvimento

do trabalho. A Figura 18 ilustra o medidor.

Figura 18– Medidor utilizado nas medições

IV.4 Metodologia Utilizada para Comparar os Resultados das Medições e Simulações

Como já mencionado neste trabalho, o cálculo do fluxo de potência trifásico

baseado no método de injeção de correntes é sensível às condições iniciais. Portanto

como as grandezas elétricas medidas nos sistemas testes apresentam uma pequena

variação durante o tempo, para que se possa comparar os resultados das medições e

simulações serão seguidos os seguintes passos:

1) Efetuar as medições nos sistemas testes;

2) Calcular a média dos valores das tensões amostradas em cada fase na barra

de referência para que os mesmos sejam utilizados como condições

iniciais;


56

3) Calcular a média das potências ativa e reativa medidas em cada fase nas

barras de carga, para que estes valores sejam utilizados no programa como

as verdadeiras potências consumidas pelas cargas;

4) E por fim, calcular as tensões e correntes através do modelo desenvolvido

e comparar os resultados com os valores médios das grandezas elétricas

medidas.

IV.5 Sistema Teste de 6 Barras Radial

O diagrama unifilar do sistema de 6 barras radial é apresentado na Figura 19 e

uma visão panorâmica deste sistema na Figura 20, onde a barra 1 é a barra de referência.

Os valores das tensões de linha e das potências dos transformadores, como também suas

conexões estão indicadas nessa figura. As barras 4 e 6 são as barras de carga.

1 2

TR1

3 4

TR2

LT1

LT2

5 6

TR3

CG1

CG2

3KVA 220 V / 508 V

2,4KVA508 V / 220 V

1,5KVA508 V / 220 V

Figura 19– Sistema teste de 6 barras radial


57

Figura 20– Visão panorâmica do sistema teste de 6 barras radial no laboratório

As análises referentes a este sistema são feitas considerando dois patamares de

carga, como descrito a seguir:

IV.5.1 Cargas Desequilibradas

Para o cálculo do fluxo de potência são utilizados como condições iniciais as

tensões na barra 1 de 124,4916V, 125,6838V e 124,8231V nas fases A,B e C

respectivamente e as cargas apresentadas na Tabela 7.

Tabela 7 – Potências ativas e reativas consumidas pelas cargas desequilibradas do sistema radial de 6

barras

Barra PA

(W)

QA

(Var)

PB

(W)

QB

(Var)

PC

(W)

QC

(Var)

4 92,0876 15,5754 178,3696 14,1568 171,7972 13,0883

6 180,9392 15,0799 95,7902 10,5362 100,8963 9,7205


58

As Tabelas 8 e 9 mostram os resultados dos módulos e ângulos das tensões de

fase nas barras e das correntes nos circuitos respectivamente, obtidas com o programa

MICT e do sistema exemplo construído. No MICT ocorre convergência em 3 iterações.

Tabela 8 – Módulos e ângulos das tensões nas barras do sistema de 6 barras radial, contendo cargas

desequilibradas

Fase A Fase B Fase C

Barra | V |

(V)

∠ V

(graus)

| V |

(V)

∠ V

(graus)

| V |

(V)

∠ V

(graus)

1 124,4916 0,0000 125,6838 -120,0000 124,8231 120,0000

2 281,5164 -28,1425 282,5535 -147,9299 282,9055 91,7941

3 280,6715 -28,1531 281,6312 -147,9512 281,9842 91,7548

4 120,9435 2,6083 121,2569 -117,5199 120,8134 122,3302

5 281,2621 -28,1571 282,1685 -147,9493 282,6924 91,7896

6 119,7865 2,6090 121,0532 -117,3390 120,6622 122,3147

Tabela 9 – Módulos e ângulos das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras radial, contendo cargas

desequilibradas


Circuito | I |

(A)

∠ I

(graus)

| I |

(A)

∠ I

(graus)

| I |

(A)

∠ I

(graus)

2-3 2,2737 -105,4794 2,1182 135,7795 2,2416 18,5719

4-CG1 0,7722 -6,9917 1,4756 -122,0579 1,4261 117,9736

2-5 1,1054 -89,9066 1,2603 145,8141 1,1140 20,8945

6-CG2 1,5158 -2,1552 0,7961 -123,6159 0,8401 116,8117

Vamos agora verificar se o transformador apresenta todas as principais

características descritas em Kersting et al (1999) e citadas neste trabalho na seção II.2.

Em um circuito trifásico, a soma fasorial das tensões de linha é nula não

importando o nível de desequilíbrio. Esta propriedade pode ser verificada somando-se

separadamente as tensões de linha nas barras do sistema, como mostra a Tabela 10.


59

Tabela 10 – Tensões de linha nas barras do sistema de 6 barras radial

Barra | VAB |

(V)

∠ VAB

(graus)

| VBC |

(V)

∠ VBC

(graus)

| VCA |

(V)

∠ VCA

(graus)

|VAB|+|VBC|+|VCA|

(V)

2 487,9750 2,0249 490,3814 -118,0474 488,6480 121,7443 0,0000

3 486,4725 2,0045 488,8267 -118,0776 487,0483 121,7235 0,0000

4 209,8871 32,5869 209,7973 -87,6553 209,0737 152,4872 0,0000

5 487,4338 2,0002 489,8262 -118,0493 488,2682 121,7323 0,0000

6 208,5196 32,8092 209,6960 -87,5653 207,9257 152,3407 0,0000

Ao somar-se fasorialmente as correntes de linha nos circuitos, para o lado em

estrela tem-se como resultado a corrente de desequilíbrio devido a natureza das cargas

conectadas às barras do lado delta; como não existe um condutor neutro por onde

circularia a corrente de desequilíbrio, a soma das correntes de linha é igual a zero, como

mostra a Tabela 11.

Tabela 11 – Soma fasorial das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras radial

Fase A Fase B Fase C Neutro

Cir | I |

(A)

∠ I

(graus)

| I |

(A)

∠ I

(graus)

| I |

(A)

∠ I

(graus)

| I |

(A)

∠ I

(graus)

2-3 2,2737 -105,4794 2,1182 135,7795 2,2416 18,5719 0,0000 -

4-CG1 0,7722 -6,9917 1,4756 -122,0579 1,4261 117,9736 0,6909 -172,92

2-5 1,1054 -89,9066 1,2603 145,8141 1,1140 20,8945 0,0000 -

6-CG2 1,5158 -2,1552 0,7961 -123,6159 0,8401 116,8117 0.6957 2,4562

As relações de transformação também são respeitadas, como pode ser observado

na Tabela 10. As tensões de linha nas barras do sistema condizem com os valores

nominais dos transformadores que são de 508V/220V, como mostrado na Figura 19.

Outra característica importante que deve ser observada na Tabela 8 são as

diferenças angulares entre o primário e secundário dos transformadores, devido a

conexão Yaterrado-Delta do transformador TR1 e a conexão Delta-Yaterrado dos

transformadores TR2 e TR3. No modelo proposto estas diferenças de fase são obtidas

naturalmente no processo de convergência do fluxo de potência.


60

Com o objetivo de verificar se são respeitadas as condições pré-estabelecidas para

um bom modelo de transformador, resta verificar se o modelo apresenta resultados

confiáveis. A Tabela 12 mostra uma comparação entre os módulos das tensões de fase

nas barras com conexão estrela, calculadas e medidas. Nas barras onde aparecem as

conexões delta serão comparadas as suas tensões de linha como ilustra a Tabela 13. Em

ambas as tabelas são apresentadas também um cálculo simples do erro existente entre os

valores simulados e medidos, onde se verifica que o mesmo é inferior a 3%, o que foi

considerado um resultado aceitável nos níveis de tensão adotados no experimento

realizado.

Tabela 12 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculados e medidos, nas barras com

conexão estrela do sistema de 6 barras radial alimentando cargas desequilibradas


Bar | Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

| Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

| Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

4 120,9435 123,8320 2,3326 121,2569 122,5535 1,0579 120,8134 120,0464 0,6389

6 119,7865 122,5317 2,2404 121,0532 122,6359 1,2906 120,6622 119,1543 1,2655

Tabela 13 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculados e medidos, nas barras com

conexão delta do sistema de 6 barras radial alimentando cargas desequilibradas

Barra |VABcal|

(V) |VABmed|

(V)

Erro

(%) |VBCcal|

(V) |VBCmed|

(V)

Erro

(%)

2 487,9750 481,8677 1,2674 490,3814 494,2507 0,7829

3 486,4725 492,9380 1,3116 488,8267 496,3537 1,5165

5 487,4338 495,8888 1,7050 489,8262 499,0041 1,8392

A Tabela 14 apresenta os resultados da comparação dos módulos das correntes

nos circuitos, onde também pode ser observada a eficiência do modelo de transformador

proposto apresentando um pequeno erro entre os valores simulados e medidos.


61

Tabela 14 – Comparação entre os módulos das correntes nos circuitos calculados e medidos no sistema de

6 barras radial apresentando cargas desequilibradas


Cir | Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

| Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

| Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

2-3 2,2737 2,3043 1,3279 2,1182 2,0951 1,1026 2,2416 2,3168 3,2459

4-CG1 0,7722 0,7542 2,3866 1,4756 1,4600 1,0685 1,4261 1,4352 0,6341

2-5 1,1054 1,0938 1,0605 1,2603 1,2772 1,3232 1,1140 1,1325 1,6336

6-CG2 1,5158 1,4817 2,3014 0,7961 0,7858 1,3108 0,8401 0,8506 1,2344

IV.5.2 Cargas Altamente Desequilibradas

Considere novamente o sistema radial ilustrado pela Figura 19 onde as cargas nas

barras 4 e 6 são altamente desequilibradas, como mostra a Tabela 15. As mesmas

representam um ramal monofásico na barra 4 e um ramal bifásico na barra 6.

Tabela 15 – Potências ativas e reativas consumidas pelas cargas altamente desequilibradas no sistema radial

de 6 barras

Barra PA

(W)

QA

(Var)

PB

(W)

QB

(Var)

PC

(W)

QC

(Var)

4 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 300,2024 18,2525

6 177,8128 7,0042 174,0939 17,1075 0,0000 0,0000

A Tabela 16 mostra uma comparação entre os módulos das tensões de fase nas

barras com conexão estrela, calculadas e medidas. Na Tabela 17 é feita uma

comparação entre os módulos das tensões de linha para o lado delta. Como pode ser

observado o erro entre os valores simulados e medidos apresentados em ambas as

tabelas também apresentam valor muito pequenos, comprovando a robustez do modelo

perante cargas com um alto nível de desequilíbrio.


62

Tabela 16 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas, nas barras com

conexão estrela do sistema de 6 barras radial alimentando cargas altamente desequilibradas


Bar | Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

| Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

| Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

4 122,1129 123,6281 1,2256 122,9924 123,5884 0,4822 120,5604 118,9157 1,3831

6 120,7800 120,5801 0,1658 121,4449 120,3099 0,9434 121,5880 118,5973 2,5217

Tabela 17 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculadas e medidas, nas barras com

conexão delta do sistema de 6 barras radial com cargas altamente desequilibradas.

Barra |VABcal|

(V) |VABmed|

(V)

Erro

(%) |VBCcal|

(V) |VBCcal|

(V)

Erro

(%)

2 491,4493 483,8305 1,5747 494,8031 494,4758 0,0662

3 489,7634 495,9856 1,2545 493,4533 493,1304 0,0655

5 490,9994 494,5105 0,7100 494,2012 493,8747 0,0661

Na Tabela 18 são comparados os módulo das correntes elétricas medidas e

simuladas.

Tabela 18 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas nos circuitos do sistema de

6 barras radial alimentando cargas altamente desequilibradas


Cir | Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

| Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

| Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

2-3 2,4960 2,4550 1,6701 2,1235 2,1838 2,7612 1,9109 1,9523 2,1206

4-CG1 0,0000 0,0000 - 0,0000 0,0000 - 2,4947 2,5291 1,3602

2-5 0,9127 0,9433 3,2439 1,2561 1,2376 1,4948 1,2735 1,3259 3,9520

6-CG2 1,4733 1,4757 0,1626 1,4404 1,4539 0,9285 0,0000 0,0000 -


63

IV.6 Sistema Teste de 6 Barras em Anel

Para verificar o comportamento do modelo de transformador proposto na análise

de sistemas malhados, foi montado em laboratório um sistema de 6 barras malhado,

baseado no sistema radial da Figura 19. Este sistema é mostrado na Figura 21.

As simulações realizadas para o sistema radial foram repetidas no sistema em

anel, utilizando-se novos valores de potência para as cargas, onde também pôde ser

comprovada a eficácia do modelo proposto, representando os transformadores do

referido sistema com bastante precisão perante as diferentes cargas desequilibradas.

1 2

TR1

3 4

TR2

LT1

LT2

5 6

TR3

CG1

CG2

LT3

3KVA 220 V / 508 V

2,4KVA508 V / 220 V

1,5KVA508 V / 220 V

Figura 21– Sistema teste de 6 barras em anel

IV.6.1 Cargas Desequilibradas

A Tabela 19 mostra os erros calculados entre as tensões de fase medidas e

calculadas do sistema de 6 barras em anel. Na Tabela 20 são apresentadas as

comparações feitas utilizando-se as tensões de linha do lado delta.


64

Tabela 19 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas nas barras com

conexão estrela do sistema de 6 barras em anel com cargas desequilibradas


Bar | Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

| Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

| Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

4 123,0317 123,7047 0,5440 123,4309 122,8158 0,5008 123,1318 120,3603 2,3027

6 122,7627 123,4681 0,5713 123,3567 122,9893 0,2987 123,1683 120,6615 2,0775


conexão delta do sistema de 6 barras em anel alimentando cargas desequilibradas.

Barra |VABcal|

(V) |VABmed|

(V)

Erro

(%) |VBCcal|

(V) |VBCcal|

(V)

Erro

(%)

2 495,9656 487,0652 1,8274 497,7716 496,4482 0,2666

3 494,3692 496,8692 0,5032 496,1288 494,1126 0,4080

5 495,4715 500,0118 0,9080 497,2510 497,1361 0,0231

A Tabela 21 mostra uma comparação entre os módulos das correntes calculados e

medidos nos circuitos do sistema malhado.

Tabela 21 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas, nos circuitos do sistema

de 6 barras em anel com cargas desequilibradas


Cir | Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

| Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

| Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

2-3 2,3291 2,3713 1,7796 2,2835 2,2577 1,1428 2,2641 2,3015 1,6250

4-CG1 0,7926 0,7882 0,5582 1,4116 1,4186 0,4934 1,3920 1,4240 2,2472

2-5 1,0519 1,0675 1,4614 1,1407 1,1528 1,0496 1,1254 1,1435 1,5829

6-CG2 1,4517 1,4434 0,5750 0,7488 0,7510 0,2929 0,7389 0,7542 2,0286

4-6 0,6284 0,6191 1,5022 0,1955 0,1887 3,6036 0,1340 0,1315 1,9011


65


Mesmo com o sistema de 6 barras em anel operando com ramais monofásicos e

bifásicos, o que leva a um grande desequilíbrio entre as grandezas elétricas, o modelo de

transformador proposto mantém seu bom desempenho na representação dos

transformadores deste sistema como mostram as Tabelas 22, 23 e 24.

Tabela 22 – Comparação entre os módulos das tensões de fase nas barras com conexão estrela do sistema

de 6 barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.


Bar | Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

| Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

| Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

4 124,1396 123,8074 0,2683 124,4774 123,5244 0,7715 122,5476 120,1058 2,0330

6 123,8938 125,4102 1,2092 124,0038 125,3690 1,0889 122,7895 121,9083 0,7228

Tabela 23 – Comparação entre os módulos das tensões de linha nas barras com conexão delta do sistema

de 6 barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.

Barra |VABcal|

(V) |VABmed|

(V)

Erro

(%) |VBCcal|

(V) |VBCcal|

(V)

Erro

(%)

2 499,7830 494,1402 1,1419 500,7635 504,9513 0,8293

3 498,0902 503,6388 1,1017 499,1807 504,3993 1,0346

5 499,3347 499,5115 0,0354 500,2696 497,6802 0,5203

Tabela 24 – Comparação entre os módulos das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras em anel com

ramais monofásicos e bifásicos.


Cir | Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

| Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

| Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

2-3 2,3758 2,3640 0,4992 2,3367 2,3198 0,7285 2,0847 2,1011 0,7805

4-CG1 0,0000 0,0000 - 0,0000 0,0000 - 2,1402 2,1837 1,9920

2-5 1,0214 1,0515 2,8626 1,0317 1,0045 2,7078 1,1659 1,1813 1,3036

6-CG2 1,4730 1,4551 1,2302, 1,4568 1,4409 1,1035 0,0000 0,0000 -

4 - 6 0,7519 0,7316 2,7747 1,0617 1,0932 2,8814 0,7927 0,7860 0,8524


66

IV.7 Sistema Teste Radial de 5 Barras

A Figura 22 ilustra o diagrama unifilar do sistema de 5 barras radial. Este sistema

possui um transformador de três enrolamentos, onde repetindo novamente as simulações

com as tensões e cargas apropriadas para este sistema, foi também constatada a grande

eficiência do modelo proposto, representando consistentemente o transformador de três

enrolamentos com suas respectivas ligações, não importando o nível de desequilíbrio

das cargas presentes nas barras.

1 2

TR1

LT1

3 4TR2

CG1

CG25

3KVA 220 V / 508 V

2,4KVA508 V / 220 V / 220V

Figura 22– Sistema teste de 5 barras radial


Na Tabela 25 é apresentada uma comparação entre os módulos das tensões de fase

medidas e calculadas nas barras do sistema de 5 barras radial com conexão em estrela.

Na Tabela 26 a comparação é feita utilizando as tensões de linha no lado em delta.

Como podem ser observadas em ambas as tabelas, as diferenças entre as grandezas

elétricas medidas e calculadas pelo programa são muito pequenas, comprovando a

capacidade do modelo proposto em representar os transformadores de três

enrolamentos.


67

Tabela 25 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas nas barras com

conexão estrela do sistema de 5 barras radial alimentando cargas altamente desequilibradas


Bar | Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

| Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

| Vcal |

(V)

| Vmed |

(V)

Erro

(%)

4 124,1846 125,2146 0,8226 124,5244 123,9705 0,4468 122,0686 121,2024 0,7147

5 123,9246 123,7912 0,1078 124,2707 122,7269 1,2579 122,4647 121,6271 0,6887


conexão delta do sistema de 5 barras radial alimentando cargas altamente desequilibradas.

Barra |VABcal|

(V) |VABmed|

(V)

Erro

(%) |VBCcal|

(V) |VBCcal|

(V)

Erro

(%)

2 501,1036 494,1997 1,3970 502,4042 502,7905 0,0768

3 498,7479 502,5724 0,7610 500,0532 500,0609 0,0015

A Tabela 27 compara os módulos das correntes nos circuitos.

Tabela 27 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas nos circuitos do sistema de

5 barras radial com cargas altamente desequilibradas


Cir | Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

| Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

| Ical |

(A)

| Imed |

(A)

Erro

(%)

2-3 3,4056 3,4581 1,5182 3,3236 3,3723 1,4441 3,2130 3,1855 0,8633

4-CG1 0,0000 0,0000 - 0,0000 0,0000 - 2,2040 2,2197 0,7073

5-CG2 1.4434 1,4449 0,1038 1,4098 1,4274 1,2330 0,0000 0,0000 -

IV.8 Sumário do Capítulo

Neste capítulo foram apresentadas diversas simulações em pequenos sistemas

testes desenvolvidos com o objetivo de validar o modelo de transformador trifásico

proposto. Foram feitas comparações dos módulos das tensões nas barras e correntes nos

circuitos dos sistemas entre as grandezas calculadas e medidas.


68

A partir da observação dos resultados constatou-se a grande eficiência do modelo

proposto na representação dos transformadores, quando incorporados em ferramentas

trifásicas para a análise de sistemas radiais ou malhados apresentando cargas com

grandes desequilíbrios.

Capítulo V

Conclusões

V.1 Considerações Gerais

Neste trabalho é apresentado um modelo matemático para representar os

transformadores trifásicos de distribuição no estudo de fluxo de potência utilizando

coordenadas de fase. O transformador trifásico é representado por uma matriz de

admitância de barras obtida pela análise de seu circuito magnético equivalente. A

metodologia proposta foi incorporada ao fluxo de potência trifásico por injeção de

correntes (MICT) (GARCIA et al, 2000), onde foram feitas simulações as quais foram

comparadas com resultados de medições realizadas em pequenos sistemas testes,

montados em laboratório, permitindo a validação do modelo proposto.

Como mostrado no capítulo IV o modelo proposto permite representar

adequadamente os transformadores trifásicos, respeitando as leis de Kirchoff e

apresentando as várias características presentes nas suas diversas formas de conexões.

Os resultados apresentados mostram que o modelo pode ser facilmente inserido nas

ferramentas trifásicas para análise dos sistemas de distribuição, possibilitando o estudo

de redes elétricas que apresentam características radiais ou malhadas, mesmo contendo

cargas altamente desequilibradas.

Em comparação aos demais modelos de transformadores citados neste trabalho, o

modelo proposto apresenta algumas vantagens, as quais são apresentadas a seguir:

• A utilização de equações extraídas através da análise do circuito

magnético do transformador para a sua representação, apresenta resultados

que estão mais próximos do comportamento físico do equipamento, pois

desta forma pode-se obter suas características devido ao núcleo

ferromagnético e aos seus enrolamentos;

• O modelo proposto permite representar os bancos de transformadores

monofásicos e os transformadores trifásicos de dois ou três enrolamentos

com suas várias formas de conexões;

Capítulo V – Conclusões

70

• Mesmo com o grande número de indutâncias próprias e mútuas envolvidas

no modelo, a simetria e algumas considerações realísticas do equipamento

resultaram na necessidade de apenas alguns parâmetros dos

transformadores fornecidos por ensaios normalizados por fabricantes;

• A possibilidade de determinar a matriz de admitância de barras que

representa o transformador em valores por unidade, de uma forma simples,

não deixando dúvidas em relação às grandezas que devem ser escolhidas

como bases.

• Facilidade de se calcular as perdas no cobre do transformador nas diversas

conexões possíveis.

Finalizando conclui-se que o modelo de transformador proposto apresenta um

bom desempenho quando aplicado em ferramentas para o cálculo do fluxo de potência.

Além disso, o modelo é robusto computacionalmente e de fácil implementação, que o

torna uma ótima alternativa para representar os transformadores trifásicos.

V.2 Trabalhos Futuros

• Representar as perdas no núcleo do transformador trifásico e a aplicação do

modelo proposto em ferramentas para análise de curto-circuito;

• Avaliar o comportamento do transformador perante a atuação de

dispositivos de controle e cargas não lineares;

• Desenvolvimento de um modelo que possa ser utilizado em programas para

o cálculo do fluxo harmônico trifásico.

• Medição em campo de valores de tensão e corrente em transformadores de

maior potência.

• Avaliação do modelo em conexões menos comuns como a delta com

derivação central em uma das fases.

Apêndice A Fluxo de Potência Trifásico pelo Método de Injeção de

Correntes A.1 Introdução

O estudo do fluxo de potência baseado nas equações de injeção de corrente data

da década de 70 (DOMMEL, 1970). No entanto, devido a dificuldades apresentadas na

representação de barras do tipo PV esta ferramenta ficou inviabilizada. Recentemente

foi apresentada uma formulação para o cálculo do fluxo de potência baseado nas

equações de injeção de corrente (DA COSTA, 1999), onde foi solucionado o problema

de representação de barras PV. Essa formulação apresentou-se 30% mais rápida que o

método de Newton Raphson convencional em coordenadas polares.

Visto que a matriz jacobiana na metodologia de injeção de correntes é muito

próxima da matriz admitância de barras, essa ferramenta foi estendida para análise de

sistemas trifásicos (GARCIA, 2000), sendo denominada fluxo de potência pelo método

de injeção de correntes trifásico – MICT. Esta metodologia apresentou grande robustez

numérica, superando as dificuldades inerentes à análise de sistemas trifásicos

desbalanceados.

O modelo de transformador proposto neste trabalho foi incorporado ao MICT,

sendo assim, apresenta-se neste Apêndice o equacionamento matemático do fluxo de

potência trifásico pelo método de injeção de correntes.

A.2 Desenvolvimento Matemático

A.2.1 Equações Básicas

Considerando um sistema trifásico, a injeção líquida de corrente na barra k é dada

por:

( )( )sh shk p

s s s st s s s stk k k ki k k i kii t

I jb V jb V V V yα∈Ω ∈

= + Σ Σ + − (A.1)

Apêndice A – Fluxo de Potência Trifásico por Injeção de Corrente

72

Onde:

sh

skb : Susceptância em derivação na fase s da barra k;

skV : Fasor de tensão na barra k;

sh

stkib : Susceptância em derivação do ramo k – i;

, ps t α∈ ;

, ,p A B Cα = ;

kΩ : Conjunto de barras conectadas diretamente à barra k.

Colocando na forma matricial, tem-se:

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

ABC ABC ABC ABC ABCn

ABC ABC ABC ABC ABCn

ABC ABC ABC ABC ABCn n n nn n

I Y Y Y VI Y Y Y V

I Y Y Y V

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

L

L

M M M O M M

L

(A.2)

De forma simplificada:

I YV= (A.3)

A matriz Y é a matriz admitância de barras na forma trifásica e seus elementos são

dados por:

AA AB AC AA AB ACkm km km km km km

ABC ABC ABC BA BB BC BA BB BCkm km km km km km km km km

CA CB CC CA CB CCkm km km km km km

G G G B B BY G jB G G G j B B B

G G G B B B

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(A.4)

Para uma barra k do sistema, os vetores ABCkI e ABC

kV em (A.2) são dadas

respectivamente por:


73

k k

k k

k k

A A Ak r m

ABC B B Bk k r m

C C Ck r m

I I II I I j I

I I I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(A.5)

k k

k k

k k

A A Ak r m

ABC B B Bk k r m

C C Ck r m

V V VV V V j V

V V V

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(A.6)

Onde:

k

srI : Parte real do fasor da corrente injetada na fase s;

k

smI : Parte imaginária do fasor da corrente injetada na fase s;

k

srV : Parte real do fasor de tensão da fase s;

k

smV : Parte imaginária do fasor de tensão da fase s.

Considerando agora somente a barra k, a Equação matricial (A.2) reduz-se à

seguinte forma:

p k pi k

s st s st sk kk k ki it i t

I Y V Y Vα α

≠∈ ∈Ω ∈

= Σ + Σ Σ (A.7)

Separando em partes real e imaginária, obtém-se:

( ) ( )k k k i ip k p

i k

s st s st s st s st sr kk r kk m ki r ki mt i t

I G V B V G V B Vα α

≠∈ ∈Ω ∈

= Σ − + Σ Σ − (A.8)

( ) ( )k k k i ip k p

i k

s st s st s st s st sm kk r kk m ki r ki mt i t

I B V G V B V G Vα α

≠∈ ∈Ω ∈

= Σ + + Σ Σ + (A.9)

Quando escrevemos as Equações (A.8) e (A.9) na forma matricial para um

sistema de n barras, obtém-se o sistema de equações dado por (A.10) ou de forma

simplificada (A.11).


74

1

1

2

2

11 11 12 12 1 1

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

21 21 22 22

n

n

ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABCm n nABC ABC ABC ABC ABC ABC ABCr n nABC ABC ABC ABC ABC ABC ABCm n nABC ABC ABC ABC Ar

ABCmABCr

I B G B G B GI G B G B G BI B G B G B GI G B G B

II

⎡ ⎤⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

L

M

1

1

2

22 2

1 1 2 2

1 1 2 2

n

n

ABCrABC

mABC

rABCBC ABC ABC

mn n

ABCABC ABC ABC ABC ABC ABCrn n n n nn nnABCABC ABC ABC ABC ABC ABC

mn n n n nn nn

VVVVG B

VB G B G B GVG B G B G B

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

L

MM M M M O M M

L

L

(A.10)

mr ret rmI Y V= (A.11)

A matriz Yret é a matriz admitância de barras para a formulação trifásica em

coordenadas retangulares.

Como as cargas de um sistema são especificadas através da potência ativa e

reativa injetadas na barra, torna-se necessário reescrever as equações de injeção de

corrente em função das potências injetadas. Assim sendo, para a barra k do sistema,

tem-se:

( )*s s s s sk k k k kS P jQ V I= + = (A.12)

Escrevendo em coordenadas retangulares, ou seja, aplicando as Equações (A.5) e

(A.6) em (A.12), obtém-se:

( )( )k k k k

s s s s s s sk k k r m r mS P jQ V jV I jI= − = − + (A.13)

Separando as partes real e imaginária da Equação (A.13) e escrevendo para as

fases A, B e C, tem-se:

k k k k

k k k k

k k k k

A A A Ar r m m

ABC B B B Bk r r m m

C C C Cr r m m

V I V IP V I V I

V I V I

⎡ ⎤+⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

(A.14)


75

k k k k

k k k k

k k k k

A A A Am r r m

ABC B B B Bk m r r m

C C C Cm r r m

V I V IQ V I V I

V I V I

⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(A.15)

A Equação (A.13) também pode ser escrita da seguinte forma:

( )k k

k k

s ss sk kr ms s

r m

P jQ I jIV V

−= +

− (A.16)

Multiplicando-se e dividindo-se o primeiro termo da Equação (A.16) por

( )k k

s sr mV jV+ e separando-se as partes real e imaginária, tem-se:

( ) ( )2 2k k

k

k k

s s s sk r k ms

r s sr m

P V Q VI

V V

+=

+ (A.17)

( ) ( )2 2k k

k

k k

s s s sk m k rs

m s sr m

P V Q VI

V V

−=

+ (A.18)

A partir das equações básicas descritas nesta seção, pode-se desenvolver o fluxo

de potência por injeção de corrente. A seção seguinte descreve a aplicação do método

de Newton Raphson na formulação trifásica por injeção de correntes.

A.2.2 Formulação do Fluxo de Potência por Injeção de Correntes A.2.2.1 Aplicação do Método de Newton Raphson

Combinando as Equações (A.3) e (A.12), para uma barra k, obtém-se:

( )*0

k p

k

s sst tk k

ki ii ts

P jQ Y VV α∈Ω ∈

−− Σ Σ = (A.19)

Considerando as potências ativa ( skP ) e reativa ( s

kQ ) como especificadas, a

Equação (A.19) pode ser considerada como os resíduos das correntes injetadas na fase s

da barra k. Esses resíduos são chamados de skI∆ e são dados pela Equação (A.20).


76

( ) ( )( )* k p

k

s ssp spk ks st t

k ki ii ts

P j QI Y V

V α∈Ω ∈

−∆ = − Σ Σ (A.20)

Expressando a equação acima em coordenadas retangulares, resulta:

( ) ( )( )

( )( )* i ik p

k

s ssp spk ks st st t t

k ki ki r mi ts

P j QI G jB V jV

V α∈Ω ∈

−∆ = − Σ Σ + + (A.21)

Separando as partes real e imaginária, tem-se:

( ) ( )( ) ( )

( )2 2k k

k i ik p

k k

s ssp s sp sk r k ms st t st t

r ki r ki mi ts sr m

P V Q VI G V B V

V V α∈Ω ∈

+∆ = − Σ Σ −

+ (A.22)

( ) ( )( ) ( )

( )2 2k k

k i ik p

k k

s ssp s sp sk m k rs st t st t

m ki m ki ri ts sr m

P V Q VI G V B V

V V α∈Ω ∈

−∆ = − Σ Σ −

+ (A.23)

Aplicando o método de Newton Raphson em (A.22) e (A.23), obtém-se: ( )h A A A A A AA

r r r r r rrA B C A B C

r r r m m mB B B B B BBr r r r r rrA B C A B C

r r r m m mC C C Cr r r r

A Br r

Am

Bm

Cm

I I I I I IIV V V V V V

I I I I I IIV V V V V V

I I I IV V V

I

I

I

∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆⎡ ⎤∆⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆∆⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆⎢ ⎥

∂ ∂ ∂⎢ ⎥ = −⎢ ⎥∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C C Cr r r

C A B Cr m m m

A A A A A Am m m m m mA B C A B C

r r r m m m

B B B B B Bm m m m m mA B C A B C

r r r m m m

C C C C C Cm m m m m mA B C A B C

r r r m m m

I I IV V V

I I I I I IV V V V V V



⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ∂∆ ∂∆ ∂∆⎢

∂ ∂ ∂

∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

(A.24)

Onde:

h: Contador de iterações.


77

Todavia, para o cálculo das derivadas parciais mostradas na Equação (A.24), é

necessário definir as potências ativa e reativa especificadas em função da geração, do

tipo de conexão de carga e dos modelos de carga. Desta forma, tem-se:

( ) k k

ssp s sk G LP P P= − (A.25)

( ) k k

ssp s sk G LQ Q Q= − (A.26)

Onde:

k

sGP : Potência ativa injetada na fase s da barra k;

k

sGQ : Potência reativa injetada na fase s da barra k;

k

sLP : Potência ativa consumida na fase s da barra k;

k

sLQ : Potência reativa consumida na fase s da barra k.

O modelo de carga adotado neste trabalho foi do tipo polinomial, como mostrado

na seção IV.2.2.4. Foi adotado também que todas as carga estão conectadas em estrela,

como as expressões das potências ativas e reativas especificadas variam conforme a

conexão da carga, a seguir será descrito as expressões para as cargas com conexão em

estrela.

As expressões para potência ativa e reativa injetadas em uma barra são dadas

respectivamente por:

( ) ( )( )2

0 1 2k k k k

ssp s s s s s sk G k kP P P P V P V= − + + (A.27)

( ) ( )( )2

0 1 2k k k k

ssp s s s s s sk G k kQ Q Q Q V Q V= − + + (A.28)

Definindo:

( ) sk

sGk

sk PPP 0' −= (A.29)

( ) sk

sGk

sk QQQ 0' −= (A.30)

Tem-se:


78

( ) ( ) ( )2'1 2k k

ssp s s s sk k k kP P P V P V= − − (A.31)

( ) ( ) ( )2'1 2k k

ssp s s s sk k k kQ Q Q V Q V= − − (A.32)

Considerando então um sistema composto de n barras e calculando as derivadas

parciais dadas em (A.24), obtém-se a seguinte equação matricial:

( )

( )

( )

1 1

1 1

2 2

2 2

11 12 1

21 11 2

1 2

n n

n n

ABC ABC ABCABC ABCnm rABC ABCr m

ABCABC ABCABC ABCm rnABC ABCr m

ABC ABCm rABC AB

ABCr mABC ABCn n nn

Y Y YI VI VI VY Y YI V

I VI V

Y Y Y

•

•

•

⎡ ⎤⎡ ⎤∆ ∆⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

M MM M O M

LC

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.33)

Os elementos fora da diagonal principal da matriz jacobiana são idênticos aos

correspondentes elementos da matriz admitância de barras. Para modelagem trifásica

em coordenadas retangulares, estes elementos têm dimensão 6X6 conforme mostrado

em (A.10). Os elementos diagonais da matriz jacobiano dependem do tipo de conexão e

do tipo de modelo adotado para as cargas. Estes elementos são da forma:

( )( ) ( )( ) ( )

' '

'' ''

ABC ABC

ABC kk kk

kk ABC ABC

kk kk

B GY

G B•

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.34)

Para cargas conectadas em estrela, os elementos da matriz dada em (A.34)

assumem o seguinte aspecto:

( )'

Ak

ABC ABC Bkk kk k

Ck

aB B a

a

⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.35)


79

( )'

Ak

ABC ABC Bkk kk k

Ck

bG G b

b

⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.36)

( )''

Ak

ABC ABC Bkk kk k

Ck

cG G c

c

⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.37)

( )''

Ak

ABC ABC Bkk kk k

Ck

dB B d

d

⎡ ⎤⎢ ⎥= − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.38)

Os elementos ska , s

kb , skc e s

kd ( ps α∈ ) determinam a dependência da matriz

jacobiana ao modelo de carga adotado e são determinados por:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 2 2' '

1 124 3

2k k k k k k k k k

k

s ss s s s s s s s sk r m r m k r m rs s

k s sk k

Q V V V V P V V P Q Va Q

V V

⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎣ ⎦= + + (A.39)

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 2 2' '

1 124 3

2k k k k

k k k k k

k


k s sk k

P V V V V Q V V Q P Vb P

V V

⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎣ ⎦= − − (A.40)

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 2 2' '

1 124 3

2k k k k

k k k k k

k

s ss s s s s s s s sk m r r m k r m ms s

k s sk k

P V V V V Q V V Q P Vc P

V V

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦= + − (A.41)

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 2 2' '

1 124 3

2k k k k k k k k k

k


k s sk k

Q V V V V P V V P Q Vd Q

V V

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦= + − (A.42)

A.2.2.2 Determinação do Resíduos de Corrente

Para obtenção da solução do sistema de equações linearizadas dado em (A.33), é

necessária a determinação dos resíduos de corrente k

smI∆ e

k

srI∆ . Sendo assim, para uma

barra genérica k, as Equações (A.22) e (A.23) que representam os resíduos de corrente

podem ser reescritas da seguinte forma:


80

( ) ( )( ) ( )

( )2 2k k

k k

k k

s ssp s sp scalck r k ms s

r rs sr m

P V Q VI I

V V

+∆ = −

+ (A.43)

( ) ( )( ) ( )

( )2 2k k

k k

k k

s ssp s sp scalck m k rs s

m ms sr m

P V Q VI I

V V

−∆ = −

+ (A.44)

Sabendo que os resíduos de potência ativa e reativa são dados por:

( ) ( )sp calcs s sk k kP P P∆ = − (A.45)

( ) ( )sp calcs s sk k kQ Q Q∆ = − (A.46)

Substituindo as Equações (A.14) e (A.15) e explicitando ( )spskP e ( )sps

kQ , obtém-

se:

( ) ( )k k k k

sps s s s s sk k r r m mP P V I V I= ∆ + + (A.47)

( ) ( )k k k k

sps s s s s sk k m r r mQ Q V I V I= ∆ + − (A.48)

Aplicando-se as equações acima em (A.43) e (A.44), determinam-se as expressões

necessárias para o cálculo dos resíduos de corrente, conforme mostrado a seguir:

( ) ( )2 2k k

k

k k

s s s sr k m ks

r s sr m

V P V QI

V V

∆ + ∆∆ =

+ (A.49)

( ) ( )2 2k k

k

k k

s s s sm k r ks

m s sr m

V P V QI

V V

∆ − ∆∆ =

+ (A.50)

A.2.2.3 Atualização das Tensões Nodais

As atualizações das tensões nas barras são realizadas em coordenadas retangulares

por:


81

( )( ) ( )( ) ( )( )1

k k k

h h hs s sr r rV V V

+= + ∆ (A.51)

( )( ) ( )( ) ( )( )1

k k k

h h hs s sm m mV V V

+= + ∆ (A.52)

Onde:

h Contador de iterações.


82

A.3 Algoritmo de Solução

O algoritmo de solução do fluxo de potência trifásico desequilibrado adotando-se

o método de injeção de corrente, é dado pela Figura 23.

Determinar a matriz admitância debarras na forma retangular.

retY

Escolher os valores iniciais de tensãoe ajustar o contador de iterações.

0=h

Determinar as injeções de corrente eas potências ativa e reativa atravésdas Equações (A.3), (A.14) e (A.15).

Calcular os resíduos de correnteutilizando-se as Equações (A.49) e

(A.50).

( )

( )M

hsMkI

Rhs

RkI

ε

ε

≤⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∆

≤⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∆

max

e

max

Sim

Imprima os Resultados

Não

Atualizar a matriz jacobiana ecalcular o vetor para correção dastensões dado pela Equação (A.33)

Atualizar as tensões nas barrasutilizando as Equações (A.51) e

(A.52)

Incrementar o contador de iterações.

( )1+= hh

Figura 23 – Organograma para o algoritmo de solução do fluxo de potência trifásico pelo método de injeção de correntes.

Bibliografia

83

Bibliografia BARAN, M. E., STATON, E. A., 1997, “Distribution Transformer Models for Branch

Current Based Feeder Analysis”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 12,

Nº 2, pp. 698-703, May.

CARNEIRO JR, S., MARTINS, H. J. A., 2003, “Measurements and Model Validation

on Three-Phase Core-Type Distribution Transformers”, IEEE PES General

Meeting, Toronto, Ontario Canada.

CHEN, B. K., GUO, B. S.,1996, “Three-phase models of Specially Connected

Transformers”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 11, Nº 1, pp. 323-

330, January.

CHEN, M. S., DILLON, W. E., 1974. “Power System Modeling”, Proceedings of the

IEEE, Vol. 62, Nº 7, pp. 901-915, July.

CHEN, T. H., CHANG, J. D., CHANG, Y. L., 1996, “Models of Grounded Mid-Tap

Open-Wye and Open-Delta Connected Transformers for Rigorous Analysis of a

Distribution System”, IEE Proceedings on Generation, Transmission and

Distribution, Vol. 143, Nº 1, pp. 82-88.

CHEN, T. H., CHANG, Y. L., 1996, “Integrated Models of Distribution Transformers

and Their Loads for Three-Phase Power Flow Analyses”, IEEE Transactions on

Power Delivery, Vol. 11, Nº 1, pp. 507-513, January.

CHEN, T. H., CHEN, M. S, INOUE, T., KOTAS, P., CHEBLI, E. A., 1991, “Three-

Phase Cogenerator and Transformer Models for Distribution System Analysis”,

IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 6, Nº 4, pp. 1671-1681, October.

CHENG, C. S., SHIRMOHAMMADI, D., 1995, “A Three-Phase Power Flow Method

for Real-Time Distribution System Analysis”, IEEE Transactions on Power

Systems, vol. 10, No. 2, pp. 671-679, May.

Bibliografia

84

COMPTON, K. T., 1943, Magnetic Circuits and Transformers, The Massachusetts

Institute of Technology, John Wiley e Sons.

COSTA, V. M., PEREIRA, J. L. R., MARTINS, N., 1999, “Developments in the

Newton Raphson Power Flow Formulation Based on Current Injections”, IEEE

Transactions on Power Systems, Vol. 14, No. 4, pp. 1320-1326, November.

DOMMEL, H. W., TINNEY, W. F., POWELL, W. L., 1970, “Further Developments in

Newton’s Method for Power System Applications”, IEEE Winter Meeting,

Conference Paper, No. 70, CP 161-PWR, New York, January.

DUGAN, R. C., 2003, “A Perspective on Transformer Modeling for Distribution

System Analysis”, IEEE PES General Meeting, Toronto, Ontario Canada.

DUGAN, R. C., 2004, “Experiences with the Center-Tapped Wye-Delta Transformer

Test Case”, IEEE PES General Meeting.

DUGAN, R. C., SANTOSO, S., 2003, “An Example of 3-Phase Transformer Modeling

for Distribution System Analysis”, IEEE PES General Meeting Conference

Proceedings, Toronto, July.

GARCIA, P. A. N., 2001, Cálculo do Fluxo de Potência Trifásico em Sistemas de

Distribuição Incluindo a Representação de Dispositivos de Controle. Programa

de Engenharia Elétrica – COPPE/UFRJ, Tese de Doutorado, Fevereiro.

GARCIA, P. A. N., PEREIRA, J. L. R., CARNEIRO JR, S., COSTA, V. M.,

MARTINS, N. (2000), “Three-Phase Power Flow Calculations Using the

Current Injection Method”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 15, Nº 2,

pp. 508-514.

GORMAN, M. J., GRAINGER, J. J., 1992a, “Transformer Modelling for Distribution

System Studies. Part I: Linear Modelling Basics, IEEE Transactions on Power

Delivery, Vol. 7, Nº 2, pp. 567-574, April.

GORMAN, M. J., GRAINGER, J. J., 1992b, “Transformer Modelling for Distribution

Bibliografia

85

System Studies. Part II: Addition of Models to YBUS and ZBUS, IEEE

Transactions on Power Delivery, Vol. 7, Nº 2, pp. 575-580, April.

HONG, Y. Y., WANG, F. M., 1997, “Investigation of Impacts of Different Three-Phase

Transformer Connections and Load Models on Unbalance in Power Systems by

Optimization”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 12, Nº 2, pp. 689-

697, May.

IRVING, M.R., AL-OTHMAN, A. K., 2003, “Admitance Matrix Models of Three-

Phase Transformers with Various Neutral Grounding Configurations”, IEEE

Transactions on Power Systems, Vol. 18, Nº 3, pp. 1210-1212, August.

KERSTING, W. H., 2004, “Center Tapped Wye-Delta Transformer Bank Test Case”,

IEEE General Meeting, Panel Discussion, PES 2004, Toronto.

KERSTING, W. H., PHILIPS, W. H., CARR W.,1999, “A New Approach to Modeling

Three-Phase Transformer Connections”, IEEE Transactions on Industry

Applications, Vol. 35, Nº 1, pp. 169-175, January.

MAYORDOMO, J. G., IZZEDDINE, M., MARTINEZ, S., ASENSI, R., EXPOSITO,

A. G., XU, W., 2002, “Compact and Flexible Three-Phase Power Flow Base don

a Full Newton Formulation”, IEE Proceedings, Generation, Transmission and

Distribution, Vol. 149, No. 2, March.

MONTICELLI, A. J., 1983, Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica. São Paulo,

SP, Editora Edgard Blucher Ltda.

MOORTHY, S. S., HOADLEY, D., 2002, “A New Phase-Coordinate Transformer

Model for Ybus Analysis”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 17, Nº 4,

pp. 951-956, November.

OOMMEN, M. P., KOHLER, J. L., 1999, “Effect of Three-Winding Transformer

Models on the Analysis and Protection of Mine Power Systems”, IEEE

Transactions on Industry Applications, Vol. 35, Nº 3, pp. 670-674, May-June.

Bibliografia

86

STOTT, B., O. ALSAC, O., 1974, “Fast Decoupled Load Flow”, IEEE Transactions on

Power Systems, PAS-93, No. 3, pp. 859-869.

TINNEY, W. F., HART, C.E., 1967, “Power Flow Solution by Newton’s Method”,

IEEE Transactions on Power Systems, PAS-86, pp. 1449-1456, November.

Documents

modelagem de transformadores trifásicos de distribuição para