Utiliznd pachetul de programe EViews n vederea estimrii
parametrilor modelului au fost obinute urmtoarele rezultate:
b) Utiliznd pachetul de programe EViews n vederea estimrii
parametrilor modelului au fost obinute urmtoarele rezultate:
Tabelul 2Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample: 1 10
Included observations: 10
VariableCoefficientSemnif. ind.Std. ErrorSemnif.
ind.t-StatisticSemnif. ind.Prob.
C0,2409
0,0523
4,6111
0,0017
X0,0122
0,0006
21,0187
0,0000
R-squared0,9822
Mean dependent var1,23
Adjusted R-squared0,9800
S.D. dependent var0,5078
S.E. of regression0,0718
Akaike info criterion-2,252AIC
Sum squared resid0,0413
Schwarz criterion-2,1915SC
Log likelihood13,2602LF-statistic441,7857Fc
Durbin-Watson stat1,86
Prob(F-statistic)0,0000p(F)
Semnificaia indicatorilor necunoscui pe care-i calculeaz
pachetul de programe EViews este urmtoarea:
probabilitatea asociat parametrului , respectiv . O valoare ct
mai apropiat de zero a acestei probabiliti va indica o semnificaie
ridicat a parametrului respectiv, n caz contrar, aceasta confirmnd,
mpreun cu testul t, faptul c parametrul respectiv este
nesemnificativ.
= coeficientul de deteminare corectat sau ajustat. Acesta este
utilizat n vederea evidenierii numrului de variabile factoriale
cuprinse n model, precum i a numrului de observaii pe baza crora au
fost estimai parametrii modelului. n cazul unui model
multifactorial acesta va nregistra valori inferioare coeficientului
de deteminaie. Expresia acestui indicator este urmtoarea:
L= logaritmul funciei de verosimilitate (presupunnd c erorile
sunt normal distribuite), funcie ce este determinat innd seama de
valorile estimate ale parametrilor. Relaia de calcul a acestui
indicator, utilizat de ctre pachetul de programe EViews, este
urmtoarea:
unde: suma ptratelor erorilor;
k = numrul variabilelor exogene;
n = numrul de observaii.
Acest indicator este utilizat n vederea elaborrii unor teste
statistice destinate depistrii variabilelor omise dintr-un model
econometric, precum i a unor teste destinate depistrii variabilelor
redundante dintr-un model econometric, ca, de exemplu, testul LR
sau raportul verosimilitilor (Likelihood Ratio).
= media variabilei dependente sau endogene, avnd urmtoarea
relaie de calcul:
= abaterea medie ptratic (standard) corespunztoare variabilei
dependente, a crei relaie de calcul este urmtoarea:
AIC = criteriul Akaike este utilizat n cazul comparrii a dou sau
mai multe modele econometrice. Relaia de calcul a acestuia,
utilizat de ctre pachetul de programe EViews, este urmtoarea:
Regula de decizie utilizat n cazul aplicrii acestui test este
aceea potrivit creia este ales acel model econometric pentru care
s-a obinut valoarea cea mai mic corespunztoare acestui
indicator.
SC = criteriul Schwartz este, de asemenea, utilizat pentru a
compara dou sau mai multe modele econometrice. Relaia de calcul a
acestuia, utilizat de ctre pachetul de programe EViews, este
urmtoarea:
i n acest caz, este ales acel model econometric pentru care s-a
obinut valoarea cea mai mic corespunztoare acestui indicator.
p(F) = probabilitatea asociat statisticii F. O valoare ct mai
apropiat de zero a acestei probabiliti va indica o semnificaie
ridicat a rezultatelor estimrii, respectiv a modelului.
Pe baza estimatorilor parametrilor au fost calculate valorile
estimate ale variabilei y, i ale variabilei reziduale, . Valorile
acestora sunt prezentate n cadrul tabelului 3 (utiliznd pachetul de
programe EViews):
Tabelul 3.Actual
Fitted
Residual
Residual Plot
(graficul reziduurilor)
ActualFittedResidualResidual Plot
0.5 0.48515 0.01485| . | * . |
0.7 0.60726 0.09274| . | . * |
0.8 0.85147-0.05147| . * | . |
1 0.97358 0.02642| . | * . |
1.1 1.21779-0.11779|* . | . |
1.3 1.33990-0.03990| . * | . |
1.4 1.46200-0.06200| .* | . |
1.6 1.58411 0.01589| . | * . |
1.8 1.70621 0.09379| . | . * |
2.1 2.07253 0.02747| . | * . |
- dispersia variabilei reziduale
unde: k = numrul variabilelor exogene.
(vezi tabelul afiat de programul EViews)
- abaterea medie ptratic a variabilei reziduale, :
(vezi tabelul afiat de programul EViews)
- abaterile medii ptratice ale celor doi estimatori:
(vezi tabelul afiat de programul EViews)
- raportul de corelaie:
(vezi tabelul afiat de programul EViews)
- variabila Durbin-Watson, d:
(vezi tabelul afiat de programul EViews)
c) Estimatorii obinui cu ajutorul M.C.M.M.P. sunt estimatori de
maxim verosimilitate dac pot fi acceptate urmtoarele ipoteze:
c1) Variabilele observate nu sunt afectate de erori de msur.
Aceast condiie se poate verifica cu regula celor trei sigma,
regul care const n verificarea urmtoarelor relaii:
Pe baza datelor din tabelul 2., coloanele 6, 10, se obin:
Deoarece valorile acestor variabile aparin intervalelor i ,
ipoteza de mai sus poate fi acceptat fr rezerve.
c2) Variabila aleatoare (rezidual) u este de medie nul , iar
dispersia ei este constant i independent de X - ipoteza de
homoscedasticitate, pe baza creia se poate admite c legtura dintre
Y i X este relativ stabil.
Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor n cazul
acestui model se va realiza cu ajutorul testului White. Aplicarea
testului White presupune parcurgerea urmtoarelor etape:
- estimarea parametrilor modelului iniial i calculul valorilor
estimate ale variabilei reziduale, u;
- construirea unei regresii auxiliare, bazat pe prespunerea
existenei unei relaii de dependen ntre ptratul valorilor erorii,
variabila exogen inclus n modelul iniial i ptratul valorilor
acesteia:
i calcularea coeficientului de determinare, R2, corespunztor
acestei regresii auxiliare;
- verificarea semnificaiei parametrilor modelului nou construit,
iar dac unul dintre acetia este nesemnificativ, atunci ipoteza de
heteroscedasticitate a erorilor este acceptat.
Exist dou variante de aplicare a testului White:
- utilizarea testului Fisher Snedecor clasic, bazat pe ipoteza
nulitii parametrilor, respectiv:
H0:
Dac ipoteza nul, potrivit creia rezultatele estimrii sunt
nesemnificative (), este acceptat, atunci ipoteza de
homoscedasticitate se verific, cazul contrar semnificnd prezena
heteroscedasticitii erorilor.
- utilizarea testului LM, calculat ca produs ntre numrul de
observaii corespunztoare modelului, n, i coeficientul de
determinare, R2, corespunztor acestei regresii auxiliare. n
general, testul LM este asimptotic distribuit sub forma unui ,
pentru care numrul gradelor de libertate este egal cu: , unde k =
numrul variabilelor exogene, respectiv:
~
Dac , erorile sunt heteroscedastice, n caz contrar, sunt
homoscedastice, respectiv ipoteza nulitii parametrilor, , este
acceptat.
Aplicarea testului White s-a realizat utiliznd pachetul de
programe EViews:Tabelul 4White Heteroskedasticity Test:
F-statistic0.268194 Probability0.772275
Obs*R-squared0.711731 Probability0.700567
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Sample: 1 10
Included observations: 10
VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.
C0.0006250.0065490.0953740.9267
0.0001190.0001760.6756930.5209
-7.56E-071.05E-06-0.7233250.4929
R-squared0.071173 Mean dependent var0.004128
Adjusted R-squared-0.194206 S.D. dependent var0.004701
S.E. of regression0.005138 Akaike info criterion-7.461153
Sum squared resid0.000185 Schwarz criterion-7.370377
Log likelihood40.30576 F-statistic0.268194
Durbin-Watson stat3.019142 Prob(F-statistic)0.772275
Analiznd rezultatele afiate de programul EViews se constat c i ,
iar estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi pentru
un prag de semnificaie (), deci ipoteza de homoscedasticitate se
verific.
c3) Valorile variabilei reziduale sunt independente, respectiv
nu exist fenomenul de autocorelare a erorilor.Verificarea ipotezei
de independen a erorilor n cazul acestui model va fi realizat cu
ajutorul testului Durbin-Watson i const n calcularea termenului
empiric:
i compararea acestei mrimi d cu dou valori teoretice i ,
preluate din tabela Durbin-Watson (vezi anexa nr. 1) n funcie de un
prag de semnificaie , arbitrar ales, de numrul variabilelor exogene
i de valorile observate .
Acceptarea sau respingerea ipotezei de independen a erorilor se
bazeaz pe o anumit regul, care const n:
- dac autocorelare pozitiv;
- dac indecizie, recomandndu-se acceptarea autocorelrii
pozitive;
- dac erorile sunt independente;
- dac indecizie, recomandndu-se acceptarea autocorelrii
negative;
- dac autocorelare negativ.
Pe baza datelor problemei, valoarea empiric a variabilei
Durbin-Watson este:
Lucrnd cu un prag de semnificaie , numrul variabilelor exogene
fiind , iar numrul observaiilor , din tabela distribuiei
Durbin-Watson se citesc valorile (pentru cazul ) i .
Deoarece, se poate accepta ipoteza de independen a valorilor
variabilei reziduale.
c4) Verificarea ipotezei de normalitate a valorilor variabilei
reziduale
Se tie c, dac erorile urmeaz legea normal de medie zero i de
abatere medie ptratic (consecina ipotezelor c1, c2, c3), atunci are
loc relaia:
.Verificarea ipotezei de normalitate a erorilor se va realiza cu
ajutorul testului Jarque-Berra, care este i el un test asimptotic
(valabil n cazul unui eantion de volum mare), ce urmeaz o
distribuie hi ptrat cu un numr al gradelor de libertate egal cu 2,
avnd urmtoarea form:
~
unde: n = numrul de observaii;
S= coeficientul de asimetrie (skewness), ce msoar simetria
distribuiei erorilor n jurul mediei acestora, care este egal cu
zero, avnd urmtoarea relaie de calcul:
K = coeficientul de aplatizare calculat de Pearson (kurtosis),
ce msoar boltirea distribuiei (ct de ascuit sau de aplatizat este
distribuia comparativ cu distribuia normal), avnd urmtoarea relaie
de calcul:
Testul Jarque-Berra se bazeaz pe ipoteza c distribuia normal are
un coeficient de asimetrie egal cu zero, S = 0, i un coeficient de
aplatizare egal cu trei, K = 3.
Dac probabilitatea p(JB) corespunztoare valorii calculate a
testului este suficient de sczut, atunci ipoteza de normalitate a
erorilor este respins, n timp ce, n caz contrar, pentru un nivel
suficient de ridicat al probabilitii ipoteza de normalitate a
erorilor este acceptat, sau dac , atunci ipoteza de normalitate a
erorilor este respins.
Utiliznd pachetul de programe EViews n vederea calculrii
testului Jarque-Berra (vezi figura 3) se constat c i c p(JB) =
0,7242. Deoarece valoarea calculat a testului J-B este mai mic dect
valoarea tabelat a lui , iar probabilitatea ca testul J-B s nu
depeasc valoarea tabelat este suficient de mare, ipoteza de
normalitate a erorilor poate fi acceptat.
Figura 3
d) Estimatorii modelului sunt semnificativ diferii de zero
dac:
Lucrnd cu un prag de semnificaie , din tabela distribuiei
Student se preia valoarea . Comparnd aceast valoare cu valorile
calculate pentru cei doi estimatori, se constat c:
- parametrul este semnificativ diferit de zero;
- parametrul este semnificativ diferit de zero.
Raportul de corelaie este semnificativ diferit de zero dac se
verific inegalitatea: , unde valoarea empiric a variabilei
Fisher-Snedecor este:
Din tabela distribuiei Fisher-Snedeckor, cu un prag de
semnificaie de 5% i n funcie de numrul gradelor de libertate i se
preia valoarea teoretic . Se constat c , deci pentru un prag de
semnificaie de 1%, valoarea raportului de corelaie este
semnificativ diferit de zero.
e) Analiza capacitii de prognoz a modelului privind dependena
dintre dintre consumul final real al gospodriilor populaiei i
PIB-ul real n Romnia n perioada 1981-2003 poate fi realizat pe baza
indicatorilor statistici propui de H. Theil.
Aceti indicatori, adaptai modelui supus analizei, au fost
calculai pe baza urmtoarelor relaii:
coeficientul Theil
ale crui valori sunt cuprinse n intervalul [0, 1].
Semnificaia acestui indicator este invers proporional cu mrimea
lui, respectiv cu ct valoarea acestuia este mai mic, tinznd ctre
zero, cu att capacitatea de prognoz a modelului este mai bun.
ponderea abaterii
unde:
media valorilor teoretice ale variabilei endogene;
media valorilor reale ale variabilei endogene;
dispersia variabilei reziduale necorectat cu numrul gradelor de
libertate.
Interpretarea acestui indicator, care evideniaz existena unor
erori sistematice, este aceea c, n cazul ideal, valoarea sa este
egal cu zero, aceasta tinznd ctre unu n cazul unor erori de
estimare de-a lungul ntregii serii de timp.
ponderea dispersiei
care este definit tot n intervalul [0, 1], aceasta msurnd
evoluia oscilant a celor dou serii, respectiv seria ajustat i seria
empiric a variabilei endogene. Acest indicator are aceeai
semnificaie ca i cei precedeni, respectiv o valoare sczut indic o
capacitate bun de prognoz, n timp ce o valoare apropiat de unu
exprim o eroare de specificare a modelului. ponderea covarianei
unde:
r = coeficientul de corelaie liniar dintre valoarea estimat a
variabilei endogene, , i cea real, :
Se poate observa uor c semnificaia acestui indicator este analog
cu a celor menionai anterior.
De altfel cei patru indicatori se regsesc n urmtoarea ecuaie
propus de Theil:
a crei interpretare se realizeaz prin intermediul semnificaiei
acestor indicatori.n urma calculelor efectuate cu ajutorul
pachetului de programe EViews n vederea testrii capacitii de
prognoz a modelului privind dependena dintre ncasrile medii lunare
i suprafaa comercial au rezultat urmtoarele informaii:
Rezultatele testrii capacitii de prognoz a modelului privind
dependena ncasrile medii lunare i suprafaa comercial
Tabelul 5Denumirea indicatoruluiSimbolul indicatoruluiValoarea
indicatorului
012
Coeficientul TheilT0,0243
Ponderea abateriiTA0,0000
Ponderea dispersieiTD0,0045
Ponderea covarianeiTC0,9955
n urma analizei rezultatelor obinute se constat c modelul posed
o bun capacitate de prognoz, ca urmare a valorilor mici nregistrate
n cazul coeficientului Theil, a ponderii abaterii i a ponderii
dispersiei i, deci, poate fi acceptat n vederea realizrii unei
prognoze a ncasrilor medii lunare.
EViews, User Guide,Version 2.0, QMS Quantitative Micro Software,
Irvine, California, 1995, p. 140-141.
cf. R. S. Pindyck, D. S. Rubinfeld, Econometric Models and
Economic Forecasts, 5th ed., Mc Graw-Hill, New York, 1981, p.
364-366.
Demn de menionat este faptul c, n cazul estimrii parametrilor
unui model statistic cu ajutorul metodei celor mai mici ptrate,
valoarea acestui indicator este egal cu zero, acesta fiind
discriminant numai n cazul utilizrii altor procedee de estimare cum
ar fi, de exemplu, metoda grafic, metoda punctelor empirice sau
metoda punctelor medii.
_1155846963.unknown
_1156007505.unknown
_1317414618.unknown
_1317422619.unknown
_1317425650.unknown
_1317425664.unknown
_1317425747.unknown
_1317425720.unknown
_1317422769.unknown
_1317422900.unknown
_1317422909.unknown
_1317422831.unknown
_1317422874.unknown
_1317422813.unknown
_1317422801.unknown
_1317422704.unknown
_1317422725.unknown
_1317422636.unknown
_1317414928.unknown
_1317415192.unknown
_1317418117.unknown
_1317414958.unknown
_1317414838.unknown
_1317414884.unknown
_1317414781.unknown
_1170963294.unknown
_1317414534.unknown
_1317414597.unknown
_1317414606.unknown
_1317414567.unknown
_1170963446.unknown
_1317412880.unknown
_1317412888.unknown
_1170966713.unknown
_1170966729.unknown
_1170966837.unknown
_1170966686.unknown
_1170963778.unknown
_1170963317.unknown
_1170963328.unknown
_1170963305.unknown
_1156105047.unknown
_1170960223.unknown
_1170963272.unknown
_1156112736.unknown
_1156007621.unknown
_1156009890.unknown
_1156081821.unknown
_1156007608.unknown
_1155846975.unknown
_1155847047.unknown
_1155847059.unknown
_1155847304.unknown
_1155935006.unknown
_1155935034.unknown
_1155847348.unknown
_1155847063.unknown
_1155847065.unknown
_1155847271.unknown
_1155847066.unknown
_1155847064.unknown
_1155847062.unknown
_1155847049.unknown
_1155847057.unknown
_1155847048.unknown
_1155847043.unknown
_1155847045.unknown
_1155847046.unknown
_1155847044.unknown
_1155847041.unknown
_1155847042.unknown
_1155846976.unknown
_1155846969.unknown
_1155846973.unknown
_1155846974.unknown
_1155846970.unknown
_1155846967.unknown
_1155846968.unknown
_1155846964.unknown
_998745603.unknown
_1155290353.unknown
_1155846957.unknown
_1155846961.unknown
_1155846962.unknown
_1155846960.unknown
_1155846953.unknown
_1155846956.unknown
_1155846952.unknown
_998745612.unknown
_998745617.unknown
_998745905.unknown
_998745980.unknown
_998745989.unknown
_1155290352.unknown
_998745987.unknown
_998745979.unknown
_998745619.unknown
_998745633.unknown
_998745634.unknown
_998745618.unknown
_998745615.unknown
_998745616.unknown
_998745614.unknown
_998745608.unknown
_998745610.unknown
_998745611.unknown
_998745609.unknown
_998745605.unknown
_998745606.unknown
_998745604.unknown
_998745585.unknown
_998745589.unknown
_998745601.unknown
_998745602.unknown
_998745595.unknown
_998745587.unknown
_998745588.unknown
_998745586.unknown
_998745580.unknown
_998745582.unknown
_998745583.unknown
_998745581.unknown
_998745578.unknown
_998745579.unknown
_998745577.unknown
