Model Normatif

Model Normatif

Model normatif mencari apa yang harus dipilih atau dilakukan di antara alternatif yang wajar dan mungkin, dan juga biasa disebut bersifat menentukan (prescriptive). Kriteria untuk menentukan model normatif harus operasional dan dapat diimplementasikan. Dengan perkataan lain, kriteria harus dapat menyelekasi sebuah bentuk dari peubah yang dapat dikontrol dengan tiga sifat (1) dapat dijangkau (obtainable), (2) terbaik (optimal), dan (3) dapat digunakan (applicable).

Sebetulnya, kita dapat menunjukkan bahwa model normatif juga terdiri dari model deskriptif. Kita dapat berpikir dari setiap individu baris dari sebuah matriks keputusan sebagai suatu bentuk berbeda dari sebuah model deskriptif. Kriteria keputusan beroperasi dalam hubungannya dengan pencarian

115

Bab

4

Bab 3Model N o r m a t i f 116

kemampuan model, membentuk inti dari apa yang dimaksud normatif. Kriteria keputusan akan berbeda sesuai dengan banyaknya kemungkinan kondisi alam dari model deskriptifnya. Jadi, model normatif bisa beroperasi dalam sebuah kerangka kepastian, risiko, dan ketidakpastian. Model normatif pertama yang akan dibahas adalah model pengujian (test model).

1. Model Pengujian

Sebuah kategori penting dari sebuah model normatif adalah yang memberikan sebuah kriteria pengujian. Fungsi dari sebuah model pengujian adalah mengkonfirmasi atau menolak hipotesis yang mendasari konstruksi model. Untuk mengilustrasikan, kita dapat menguji air mandi yang menyebabkan pencemaran (polusi). Kita setuju untuk membolehkan orang mandi jika banyaknya bakteri yang berbahaya (seperti bakteri coliform) dalam kandungan air mandi tersebut di bawah level tertentu. Sebuah model pengukuran deskriptif bertanggung jawab untuk penentuan numerik atau kualitatif berapa banyak bakteri yang ada dari setiap tipe. Pengukuran jika kualitatif, bisa bukan berarti apa-apa, tidak lebih dari sebuah perbandingan dalam sebuah standar untuk menentukan apakah bakteri yang ada di dalam sampel lebih atau kurang daripada ketentuan yang ada di dalam standar. Standar dan aturan untuk menolak berfungsi sebagai kriteria pengujian model.


Model pengujian sering memasukkan sebarang standar (dalam arti penilaian individu). Misalnya, penentuan laju pekerjaan berdasarkan pada suatu norma kinerja, keputusan untuk tidak melanjutkan sebuah pertunjukan televisi (TV) jika penilaian jatuh di bawah suatu level tertentu; mempekerjakan seorang karyawan yang melewati sebuah skor pengujian personel yang dipilih sebarang; sebuah batas bagan kontrol yang apabila dilanggar sistem berhenti, tanda untuk tindakan melokalisir sebuah sebab yang dapat ditetapkan untuk perubahan yang mungkin dalam bentuk tujuan fundamental. Tidak ada garis kritis terhadap berapa banyak bakteri coliform dapat dibolehkan sebelum merusak kesehatan. Dalam hal ini, sebarang standar sering dapat didukung dengan model pengujian kuantitatif yang menentukan derajat hubungan antara faktor-faktor yang berhubungan seperti banyaknya bakteri coliform dan pengaruhnya terhadap kesehatan.

Model pengujian juga digunakan untuk menerima atau menolak sampel yang diambil dari anggota sebuah populasi yang khusus. Asumsikan bahwa eksekutif akan mengetahui berapa lama daya tahan dua jenis barang seperti ban yang berbeda untuk truk pengangkut pasir. Ia mendapat sebuah sampel berukuran 10 dari setiap jenis dan menempatkannya pada truk pada waktu yang sama. Setiap terjadi kerusakan ban dilaporan pada eksekutif. Hal ini dapat dibandingkan dengan cara model pengujian statistis untuk menentukan apakah dua jenis ban tersebut berbeda secara signifikan. Tetapi, dapatkah eksekutif meyakini bahwa ban-ban itu representatif dari dua jenis produk perusahaan? Barangkali satu kumpulan ban lebih tua dari kumpulan yang lain. Apakah truk-truk itu mengguna-


kannya dengan cara yang sama? Banyak pertanyaan lain yang serupa harus dijawab jika eksekutif akan mengambil kesimpulan menyangkut jenis ban mana yang akan dibeli di masa yang akan datang.

Terdapat berbagai rancangan eksperimen untuk menilai rerata yang diambil di dalam sebuah sampel himpunan data yang datang dari populasi hipotetisnya. Ada juga pengujian lain untuk variasi; pengujian untuk bentuk sebaran, dan pengujian untuk mendeteksi perubahan dari sebuah sistem yang stabil. Pengujian statistis seperti ini diperlukan apabila anggota populasi dapat memperkenalkan variasi acak.

Dua jenis kesalahan yang dapat dibuat apabila sebuah kriteria penerimaan atau penolakan pengujian digunakan. Dua jenis kesalahan ini diindikasikan sebagai kesalahan jenis I dan II di dalam matriks Tabel 3.1. H0 dan H1 dalam tabel ini biasa disebut hipotesis kerja atau hipotesis statistis yang selalu dirumuskan apabila pengujian statistis akan digunakan. Jika H0

benar dan keputusan yang dibuat menerimanya, keputusan yang diambil adalah tepat. Begitu pula jika H0 salah dan ditolak maka juga merupakan keputusan yang tepat. Sebaliknya, jika H0 benar, tetapi keputusan menolaknya maka terjadi kesalahan jenis I, yaitu menolak hipotesis H0 yang benar. Peluang melakukan kesalahan jenis I ini diberi notasi (baca; alpha), sehingga disebut kesalahan alpha. Begitu pula jika H0 salah sedangkan keputusan menerimanya, terjadi kesalahan jenis II, dan peluang melakukan kesalahan ini diberi notasi (baca; beta) dan disebut kesalahan beta.

Tabel 3.1 Dua kesalahan dalam pengujian hipotesis


Kenyataan (state of nature)

H0 benar H0 salah

Keputusan

pengujian

Menerima H0

Keputusan tepat Kesalahan jenis II

Menolak H0 Kesalahan jenis I

Keputusan tepat

Hampir tidak disadari, manajer mengambil upaya yang lebih besar untuk mencegah terjadinya kesalahan jenis II (yang jelas terlihat) daripada mencegah terjadinya kesalahan jenis I (yang tidak siap terlihat).Adalah sulit untuk mengevaluasi jalur yang tidak pernah dilalui, untuk menilai mana yang harus ditolak.Gambar 3.1 mengilustrasikan bagaimana kita dapat memperkecil peluang kesalahan jenis I dengan menggeser kriteria pengujian ke kanan.Namun, kita kemudian meningkatkan peluang terjadinya kesalahan jenis II.Walau pun kurang menyadari hubungan yang khas ini, eksekutif sering meminta bahwa kriteria pengujian digeser ke kiri, yakni sebuah kriteria pengujian yang keras.Kondisi ini meningkatkan banyaknya penolakan dan direfleksikan dalam sebuah peluang kesalahan jenis I yang lebih besar. Manajemen yang terinformasi dan canggih akan menyenangi keseimbangan yang lebih baik antara dua jenis kesalahan ini. Harus disadari bahwa terdapat biaya kesempatan (opportunity cost) terlibat dalam penolakan alternatif yang berpotensi menguntungkan.

Distribution of H1


Distribution of H0

Gambar 3.1 Hubungan antara kesalahan jenis I dan II

Kita melihat mengapa model kualitatif yang intuitif tidak dapat bersandar pada jenis keadaan nyata yang sesungguhnya. Secara formal, model pengujian kuantitatif jauh lebih dapat memberitahukan kita apa yang harus dikerjakan. Namun, kita tidak dapat menggunakan model pengujian statistis pada setiap masalah. Penilaian harus terus menerus dilakukan untuk melengkapi satu bagian penting dari spektrum model pengujian. Kebanyakan keputusan eksekutif akan terus didasarkan pada hasil pengujian kualitatif.

Dalam kondisi riil, setiap pernyataan finansial diuji oleh penilaian eksekutif. Keputusan kapan penjualan harus diturunkan begitu banyak sehingga sesuatu harus dilakukan tentang itu sebagai sebuah contoh model pengujian kualitatif


dari kepentingan utama dalam setiap kehidupan eksekutif. Seperti juga, pada titik apa penjualan harus dinaikkan untuk menjamin pembangunan sebuah rencana baru? Kapan biaya pertumbuhan terlalu besar? Berapa banyak ketidakhadiran yang bisa dinilai terlalu banyak? Apa yang mengindikasikan bahwa sesuatu harus dilakukan tentang penyerobotan? Kapan eksekutif harus mempekerjakan satu penjual barang yang lain?

Asumsikan bahwa ada sebuah kriteria pengujian yang dapat diterima, berapa banyak pengamatan harus dibuat untuk setiap situasi sebelum kita dapat secara wajar meyakini bahwa sebuah perubahan nyata harus terjadi dan kita tidak hanya mengamati variasi acak? Kita harus menentukan satu standar untuk kepastian yang wajar. Semua kriteria pengujian seperti itu berdasarkan pada model keputusan dalam hak mereka.

Bergantung berlebihan pada model pengujian dapat menghasilkan masalah administrasi. Ketika laporan pengujian mengindikasikan bahwa ada perubahan yang terjadi, namun tidak ada tindakan diambil, hal ini merupakan tanda-tanda perubahan yang dapat menggerakkan tindakan eksekutif. Ketergantungan pada model pengujian dapat merusak inisiatif eksekutif, dan dalam sebuah cara tertentu, mengalihkan keuntungan fundamental dari model pengujian ke dalam bentuk kerugian.

2. Model Pencarian untuk Pendekatan Berurutan

Setelah mendiskusikan model menerima/menolak (dua strategi), kita sekarang mempertimbangkan model dengan


banyak alternatif strategi. Asumsikan bahwa kita sudah menurunkan semua hasil yang relevan dan hasil sudah ditansformasikan ke dalam keuntungan. Bagaimana kita memilih strategi yang menghasilkan keuntungan banyak? Terdapat dua prosedur kualitatif dan kuantitatif untuk mendapatkan yang terakhir ini.

Kita dapat mendaftar aturan umum untuk diikuti dalam mencari keuntungan optimal.

1. Kita menentukan keuntungan terbaik yang ada dan harus mengetahui tujuan yang akan dicapai.

2. Kita harus mengetahui strategi yang ada, keadaan alam yang terjadi dan berbagai kemungkinan strategi yang bersaing. Strategi pembuat keputusan harus dipandang sebagai gabungan dari peubah-peubah yang mempunyai kemungkinan nilai yang terdapat sepanjang sebuah kemalaran (continuity).

3. Dengan suatu bentuk penyederhanaan (seperti mendapatkan nilai harapan), hanya satu hasil yang harus dikaitkan dengan setiap strategi. Transformasi seperti itu tidak diperlukan untuk model keputusan (dengan tujuan tunggal) yang beroperasi di bawah situasi kepastian karena hanya ada satu kolom permulaan dan hanya satu keuntungan di dalam setiap sel dari matriks keputusan.

4. Tidak semua keuntungan harus diselidiki, karena akan terlalu lama jika ada banyak jenis keuntungan yang tersedia. Kemudian, berdasarkan logika, intuisi, inteligensi heuristik, kita memulai pencarian dengan memilih satu atau lebih strategi yang harus (dalam pikiran kita) membawa pada keuntungan yang secara rasional bagus.


5. Ukuran keuntungan dapat kemudian dibandingkan dengan keuntungan yang akan dihasilkan dari kondisi peubah-peubah yang agak ekstrem. Kondisi yang ekstrem harus dipilih sehingga mereka menyatakan strategi yang mungkin, walau pun tidak harus rasional. Jika mungkin, kondisi ekstrem harus memuat diantaranya strategi rasional yang dipilih. Keuntungan yang diturunkan dalam cara ini kadang-kadang dapat mendeteksi bahwa logika dan akal sehat mengagalkan kita karena keuntungan ekstrem yang baik sering tidak diharapkan. Umumnya, keuntungan dapat juga mengindikasikan bahwa satu arah di mana satu peubah diganti adalah superior pada arah berlawanan.

Gambar 3.2 Melokalisir keuntungan optimum dengan cara heuristik

Gambar 3.2 mengilustrasikan catatan ini. Asumsikan bahwa persamaan untuk garis kurva y=f(x) tidak diketahui, tetapi dapat diturunkan dengan melakukan eksperimen untuk setiap nilai x. Yakni, untuk setiap nilai x kita dapat menurunkan nilai y yang sesuai dengan mengamati dan


akhirnya hasil akan menunjukkan kepada kita bentuk tepat dari ekspresi y=f(x). Bagaimana dengan sejumlah upaya yang wajar kita dapat menemukan nilai maksimum dari y (diindikasikan dengan y*)? Kita harus mengasumsikan bahwa hal itu sangat mahal apabila kita menghitung cukup banyak nilai (x,y) untuk menggambarkan kurva. Untuk kasus dua dimensi sederhana,hal ini mungkin kehilangan sebuah pengendalian yang tidak rasional. Tetapi, apabila ditunjukkan bahwa sebuah masalah yang realistis akan melibatkan sebuah permukaan dalam ruang multi dimensi, adalah asumsi masuk akal.

Keuntungan adalah y dan x adalah peubah di bawah kontrol. Kita sedang mencoba melokalisir nilai optimum (maksimum) dari y, dinyatakan oleh y*. Mari kita memilih x=c dan x=d sebagai strategi rasional. Kita memilih x=a dan x=b adalah dapat dikerjakan dengan mudah tetapi nilainya ekstrem. Untuk kasus yang ditunjukkan, masalah pencarian adalah secara khusus sulit karena kurva tidak secara monoton menurun pada dua sisi dari nilai maksimum. Dalam perkataan lain, ada dua maksimum yang ditunjukkan, hanya satu yang maksimum global atau mutlak. (Jenis alasan yang sama dapat diterapkan pada minimum juga). Kita menemukan nilai y pada nilai ekstrem a hampir sama pada keuntungan dari stsrategi rasional c. Hal ini membimbing kita untuk memeriksa beberapa lagi titik yang jatuh antara a dan c. Kedua nilai y yang dihasilkan oleh b dan oleh d adalah lebih rendah daripada nilai y yang diperoleh dari a dan dari c. Hal ini akan mengindikasikan bahwa keuntungan cenderung menurun jika nilai x meningkat di atas c.


Tidak ada kepastian dalam pengandaian ini. Kurva antara b dan d dapat tiba-tiba naik dan dalam sebuah rentang yang sangat kecil dari x mencapai maksimum global dari sistem. Fakta bahwa hal itu tidak terjadi (dalam kasus ini) untuk mempertahankan sifat kelembaman yang biasa dan kondisi momentum dalam sistem. Tetapi, jika itu berjalan berten-tangan dengan harapan, kita mungkin harus menjelaskan perilaku ini sebagai pengaruh interaksi yang terkait dengan perubahan fundametal yang terjadi dalam sebuah sifat sistem sebagai hasil dari amban batas khusus yang dilanggar.

6. Kondisi wajar harus dicoba dalam dua arah untuk melihat adanya perbaikan. (Hasil yang diperoleh pada ekstrem juga harus dipertahankan dalam pikiran.) Jika peningkatan diamati, satu perubahan bertahap yang lain harus dibuat, dan proses ini berlanjut sampai tidak ada lagi peningkatan yang dapat dicapai. Dalam bentuk Gambar 3.2, kita sudah mengubah c dan d dengan jumlah + dan – yang kecil. Kita mengamati peningkatan signifikan pada c – yang membimbing kita untuk melanjutkan dalam arah ini. Harapan kita bahwa pada akhirnya kita mencapai y* (atau dekat padanya).

Keuntungan dan kerugian dari prosedur pencarian kualitatif dan heuristik adalah bukti yang rasional. Adalah hal sederhana untuk mengabaikan puncak-puncak yang penting, walau dalam sebuah bidang dua dimensi. Dengan permukaan yang kompleks dalam ruang dimensi n, masalah sangat sulit. Namun, dengan menggunakan prosedur sistematis adalah mungkin mendapatkan peningkatan keuntungan yang signifikan, walau pun dengan metode secara langsung cut-and-


try. Pencarian heuristik untuk keuntungan optimal dapat memerlukan waktu banyak (time consuming). Semua hasil penting untuk dicatat sehingga arah yang memberi hasil dalam peningkatan dapat diingat dan kita dapat menghindari keharusan kembali ke dasar yang sama.

1. Metode iteratif

Metode iteratif menerapkan cara heuristik yang menjanjikan peningkatan sistem dalam siklus berulang. Apabila potensi peningkatan lebih lanjut menghilang atau menjadi sangat kecil, penggunaan algoritma dihentikan. Kita dapat melihat operasi jenis ini dalam contoh di atas. Satu lagi model pencarian dari kelas yang sama yang cukup berguna untuk menjamin inclusion di sini adalah aturan Newton untuk menemukan alur dari sebuah persamaan melalui pendekatan berurutan.

2. Metode Newton

Asumsikan bahwa kita ingin menyelesaikan persamaan berikut: f(x)=3x2+5x-2. Persamaan ini sederhana untuk difaktorkan dan diselesaikan. Jadi: (x+2)(3x-1)=0, akarnya adalah -2 dan +1/3. Banyak persamaan (khususnya yang mempunyai derajat lebih tinggi) tidak memungkinkan dirinya sendiri pada penyelesaian mudah seperti ini.

Kita tertarik untuk mendapatkan akar dari banyak persamaan. Transformasi ke faktor-faktor adalah berguna untuk variasi operasi matematis. Juga harus dicatat bahwa jika aturan Newton digunakan pada persamaan dari turunan pertama f’(x), nilai x di mana f’(x)=0 adalah akar yang


mengindentifikasikan titik maksimum dan minimum dari persamaan semula. Di samping menunjukkan kegunaannya, tujuan kita dalam diskusi ini adalah untuk memberikan contoh lebih lanjut kelas dari model pencarian iteratif.

Mari kita mengasumsikan bahwa kita tidak mengetahui dua akar persamaan f(x). Kita mulai dengan menaksir nilai-nilai mereka sebaik mungkin. Nilai-nilai ini memberikan titik awal untuk setiap proses iteratif – satu untuk setiap akar. Untuk contoh ini, akar-akar ditaksir dengan -1 dan ½. Kita akan menyatakan taksiran xk, dan peningkatan pendekatan xk+1. Kemudian, menurut aturan Newton,

Xk+1=xk- .

diterapkan dalam cara berikut untuk akar pertama (ditaksir dengan -1):

Iterasi pertama:

Kita memiliki f(x)=3x2+5x-2 dan f’(x)=6x+5.

Untuk xk=-1, f(xk)=3(-1)2+5(-1)-2=-4, f’(xk)=6(-1)+5=-1.

Jadi, xk+1=-1- =-5.

Turunan pertama persamaan f’(x)=6x+5=0. Dengan demikian, kita tidak memerlukan aturan Newton dalam kasus sederhana ini untuk menentukan titik minimum dari persamaan. Titik minimum itu didapat secara langsung untuk x=-5/6.


Iterasi kedua:

Untuk xk+1=-5, f(xk+1)=3(-5)2+5(-5)-2=48, f’(xk+1)=6(-5)+5=-25.

Jadi, xk+2=-5- =-5+1,92=-3,08.

Dengan cara sama, kita dapat menemukan hasil sebagai berikut:

Tebakan 1: x1=-1 x2=-5

Tebakan 2: x2=-5 x3=-3,08

Tebakan 3: x3=-3,08 x4=-2,6

Tebakan 4: x4=-2,6 x5=-2,02

Karena -2,00 adalah satu dari akar persamaan ini, kita sekarang melihat bagaimana cepatnya model Newton menempatkan penyelesaian ini dengan cara iteratif mencari pola. Pendekatan yang sama sekarang digunakan untuk mendekati akar kedua.

Semua model deskriptif – dan secara khusus simulasi dengan komputer – dapat digunakan secara efektif dalam arti normatif dari pendekatan berurutan ke sebuah nilai optimal. Metode heuristik yang digunakan untuk memodifikasi sistem peubah yang dapat dikontrol adalah bersifat eksternal terhadap model.Setiap bentuk baru model menghasilkan keuntungan khususnya sendiri. Bentuk menghasilkan keuntungan dalam cara sama ketika kita mencari sebuah maksimum global sepanjang kurva. Masalah yang sama ada. Kita bisa saja tidak pernah menemukan nilai optimum mutlak


dari sistem.Jika kita mempunyainya, kita mungkin tidak selalu mengetahuinya dengan pasti.

7. Model Pencarian untuk Pengoptimalan

Metode pengoptimalan matematis yang tepat dan formal adalah satu bagian integral dari banyak model normatif. Terdapat metode yang sangat halus tersedia untuk pencarian melalui sejumlah besar hasil untuk mendapatkan satu (atau beberapa) yang secara persis memaksimumkan derajat pencapaian tujuan. Salah satu metode adalah penggunaan turunan (derivatie).

1. Turunan

Satu dari metode yang tertua dan umumnya sangat berguna dengan menggunakan turunan dari sebuah persamaan matematis yang disamakan dengan nol. Kita menggunakan turunan untuk menemukan strategi harga penjualan yang optimal. Persamaannya adalah

p=2.500 s – 2.000 s2 – 450

di mana p=keuntungan (profit) dan s=harga penjualan (sales price). Setiap titik sepanjang kurva adalah sebuah hasil keuntungan p yang diperoleh dari sebuah strategi harga s yang berbeda. Turunan dari persamaan adalah sebuah ukuran dari tanjakan (slope) dari kurva pada setiap titik. Dalam perkataan lain, tanjakan itu mengukur laju perubahan dari keuntungan dibandingkan kepada laju perubahan harga.


Pada tiga tempat dalam Gambar 3.3, ditunjukkan sebuah hubungan turunan yang diperbesar.Tanjakan dari dp1/ds1

adalah positif karena p meningkat apabila s meningkat. Tanjakan dari dp3/ds3 negatif karena p meningkat apabila s menurun. Di suatu tempat di antaranya, tanjakan berubah tanda dari positif ke negatif. Hal ini terjadi apabila tanjakan sama dengan nol. Tanjakan dari dp2/ds2 adalah sedikit positif. Apabila titik dari garis singgung (tangency) bergerak ke kanan, tanjakan mendekati nol.

Gambar 3.3 Penggunaan turunan untuk mendapatkan nilai optimal

Turunan dari persamaan keuntungan adalah


dp/ds=2.500 – 4.000 s.

Karena tanjakan dari kurva adalah nol pada titik maksimum, kita dapat menetapkan turunan sama dengan nol dan menghasilkan nilai s yang memenuhi kondisi ini, yaitu 0=2.500 - 4.000 s dan menghasilkan s=0,625. Turunan sering dapat digunakan dalam cara ini untuk menemukan hasil sebaik mungkin (best possible) dan strategi yang menghasilkannya memiliki kemungkinan yang tidak terhitung banyaknya.

2. Sudut optimal

Sejumlah besar model nilai optimal berdasar pada penyelesaian pertidaksamaan dan bukan persamaan. Sebuah persamaan selalu mempunyai tanda sama dengan, misalnya ax+by=c. Sebuah pertidaksamaan dapat mempunyai bentuk bervariasi:

Lebih besar dari:ax+by>c

Sama atau lebih besar dari:ax+byc

Kurang dari:ax+by<c

Sama atau kurang dari:ax+byc

Pemahaman tentang pertidaksamaan sangat penting terhadap proses pembuatan keputusan. Mengapa begini? Kemudian, kita dapat menunjukkan bagaimana nilai optimal untuk ketidaksamaan ditentukan oleh cara metodologis. Untuk memulai, asumsikan bahwa seorang pembuat gula-gula atau permen (confectioner) berupaya menemukan campuran permen optimal untuk sebuah kotak permen cokelat. Terdapat


dua jenis permen (katakan C1 dan C2) yang harus diisikan kepada kotak tersebut. Sebuah matriks dibuat untuk ciri kritis dari setiap jenis permen yakni sifat-sifat itu tampaknya penting untuk menentukan campuran optimal. Jadi, kondisi ini dapat diberikan oleh contoh berikut:

C1 C2 Kotak

Banyaknya keping x Y 35 (banyaknya keping)

Berat per keping 1,6 0,8 32 (berat total)

Ruang per keping 2,0 1,0 65 (ruang total)

Biaya per keping 0,02 0,01 0,6 (biaya total)

Sesuai contoh ini, pabrik ingin supaya kotak diisi dengan berat 32 ons (satu standar kotak 2-pound). Ia menginginkan 35 keping permen cokelat dalam setiap kotak dan biaya permen cokelat ini 0,60 dollar. Dapatkah ia mendapatkan segala apa yang diinginkan? Pertanyaan lebih luas dapat juga ditanyakan: Dapatkah ia mendapatkan setiap yang diinginkan? Mari kita melihat.

Terdapat x keping permen jenis C1 dan y keping jenis C2 dan keseluruhan keping permen harus 35, yakni harus memenuhi persamaan:

x+y=35.

Supaya juga keseluruhan ruang yang digunakan harus 65 inci per segi di mana setiap keping jenis C1 membutuhkan 2 inci per


segi dan jenis C2 membutuhkan 1 inci per segi, diperoleh persamaan:

2x+y=65.

Dua persamaan ini hanya mempunyai satu penyelesaian, yaitu x=30 dan y=5. Jika kita memasukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan biaya,

0,02x+0,01y=biaya,

kita menemukan bahwa biaya sama dengan 0,65 dollar yang lebih besar daripada yang akan dikeluarkan oleh pabrik.

Tidak mungkin untuk mendapatkan semua tujuan jika ia ingin memiliki persis yang dipersyaratkan dalam daftar. Tetapi, mari kita meminta kepada pabrik untuk menyatakan kembali persyaratan dalam bentuk ketidaksamaan. Ia mungkin akan menyadari bahwa ketidaksamaan adalah apa yang sebenarnya dimaksudkan untuk dikatakan pada tempat pertama. Misalnya, banyaknya keping cokelat dapat 35 atau lebih (Sebuah kotak kecil akan secara kompetitif mudah dikritik), sehingga persyaratannya menadi:

x+y35.

Sesuai fakta, makin banyak jumlah x dan y makin baik – sepanjang biaya per kotak tidak melebihi 0,60 dollar. Jika biaya lebih dari 35 keping dapat kurang dari 0,60 dollar pabrik akan sangat senang. Dalam perkataan lain, akan lebih baik jika

0,02x+0,01y0,60.

Selama berat menjadi perhatian, kotak harus berisi sekuarng-kurangnya 32 ons sehingga kotak dapat berkompetisi di pasar


2-poud. Barangkali, beratnya dapat lebih – sepanjang tidak ada efek samping yang mengganggu (misalnya meningkatkan biaya transportasi). Kita akan menghasilkan bahwa kotak yang berat lebih dapat diterima jika batasan biaya dipenuhi. Dengan demikian diperoleh:

1,6x+0,8y32.

Akhirnya pembuat permen menunjukkan bahwa cara mengisi keseluruhan ruang yang dibutuhkan oleh permen di dalam kotak dapat merentang dari 40 inci per segi ke 65 inci per segi. Kita melihat penggunaan cara ketidaksamaan ini dengan mempelajari Gambar 3.4. Setiap pernyataan dalam bentuk persamaan digambarkan pada grafik. Kita mengamati bahwa garis utuk pernyataan ruang di 40 inci persegi tepat sama dengan batasan berat. Akibatnya, kita hanya perlu menggambar satu garis pada grafik untuk menyatakan kedua persyaratan. Jika kita sekarang mengalihkan persamaan ke pertidaksamaan, setiap garis digambar pada bagan menjadi batas (bondary). Semua nilai dijelaskan oleh pertidaksamaan x+y35 terletak pada atau di atas garis x+y=35. Dalam cara sama, semua nilai dari 1,6x+0,8y32 terletak pada atau di atas garis 1,6x+0,8y=32. Itulah sebabnya daerah yang dibayang-bayangi adalah di atas dua garis ini. Tidak ada nilai yang terletak di bawah garis ini dapat digunakan.


Gambar 3.4 Penyelesaian grafis ketidaksamaan

Serupa juga, 0,02x+0,01y0,60 menjelaskan semua titik pada garis 0,02x+0,01y=0,60 dan semua titik di bawah garis itu. Tiga pertidaksamaan ini mendefinisikan keseluruhan daerah yang dibayang-bayangi yang menentukan hanya satu daerah di dalamnya ada sebuah penyelesaian. Persyaratan ruang untuk kotak permen harus jatuh antara dua garis 2x+y=65 dan


2x+y=40. Kita melihat bahwa pernyataan ini tidak relevan karena persyaratan sebelumnya sudah membentuk daerah yang mungkin untuk sebuah penyelesaian.

Penyelesaian pada persamaan harus terletak di suatu tempat pada garis itu. Penyelesaian pada pertidaksamaan dapat terjadi pada garis atau di daerah yang dibatasi oleh garis. Dalam cara ini, kita disajikan dengan sejumlah lebih besar penyelesaian alternatif. Setiap titik dalam daerah yang dibayang-bayangi (termasuk garis) adalah penyelesaian yang mungkin pada masalah kita.

Sifat dari jenis masalah penerimaan ini diberikan dalam bentuk teori keputusan sebagai berikut. Matriks keputusan hanya mempunyai satu kolom. Dengan demikian, model harus dikelompokkan sebagai pengambilan keputusan dalam kepas-tian. Setiap titik yang layak menjelaskan sebuah strategi x, y yang mungkin. Terdapat sangat banyak strategi yang layak untuk melakukan perhitungan individu dari setiap pembayar-an, walau pun hanya terdapat satu pembayaran per strategi.

Dalam perkataan lain, setelah meningkatkan banyaknya strategi yang mungkin yang dapat digunakan, kita tampaknya menjadikan pekerjaan pembuat keputusan lebih rumit. Sebenarnya, kita sudah memberikan lebih banyak derajat kebebasan untuk mendapatkan sebuah penyelesaian optimal. Batasan kesamaan jarang merefleksikan konsep nyata manajer dari masalah jenis ini. Selanjutnya, tampak bahwa model berdasar pada pertidaksamaan memiliki keuntungan perhitungan yang sangat besar.


Metodologi memberitahukan bahwa sebuah penyelesaian optimal harus terletak pada satu sudut dari segi banyak (polygon) yang cembung (convex), yakni daerah yang dibayang-bayangi yang dikonstruksi dengan pertidaksamaan. Pengetahuan ini menyatakan sebuah keutungan penting. Jadi, kita hanya perlu mencari titik sudut untuk menemukan penyelesaian. Tetapi, kadang-kadang penyelesaian optimal akan terjadi secara simultan pada setiap titik pada satu garis yang membentuk bagian dari batas pinggir segi banyak. Tetapi kemudian, penyelesaian optimal yang ekuivalen akan terjadi pada titik sudut yang berdekatan yang dihubungkan oleh garis itu. Jadi, situasi ini tidak membatalkan aturan, bahkan memperluasnya. Kemudian, ketika kita akan mendiskusikan model pemrograman linear (linear programming) dasar yang mendasari model ini akan menjadi tampak.

Mari kita melihat pada strategi empat titik sudut yang ditunjukkan pada Gambar 3.4 sebagai berikut.

SudutNilai x

Nilai yBerat (ons)Ruang (inci2) Biaya ($)

1

2

3

4

0

0

25

5

40

60

10

30

32

48

48

32

40

60

60

40

0,40*

0,60

0,60

0,40*

Tidak ada penyelesaian dengan biaya kurang dari $ 0,40 (diindikasikan oleh *). Pemilik pabrik permen adalah orang


yang rasional dan apabila ia melihat penyelesaian itu, ia senang mengamati bagaimana biaya dapat dihitung sementara semua persyaratan dipenuhi. Tetapi, ia bisa memutuskan bahwa x=0 (sudut 1) atau x=5 (sudut 4) menyatakan terlalu sedikit keping C1. Ia kemudian menyatakan bahwa seharusnya paling sedikit 10 keping C1 dalam kotak. Kita menggunakan segi banyak yang sama, tetapi menambah garis x10, dan ini diperlihatkan pada Gambar 3.5.

Gambar 3.5 Penyelesaian grafis dari ketidaksamaan dengan tambahan persyaratan


Nilai dari dua titik sudut baru dari segi banyak adalah:

SudutNilai x

Nilai yBerat (ons)Ruang (inci2) Biaya ($)

5

6

10

10

25

40

36

48

45

60

0,45

0,60

Jadi, ia mungkin akan memilih strategi x=10 dan y=25, karena itu yang menawarkan biaya minimum.

Untuk himpunan persamaan linear yang sangat rumit, metode terkait juga tersedia yang dapat melokalisir sudut dari ruang yang berbentuk cembung. Jadi, jika banyak dimensi (x,y,..., dan seterusnya) yang terlibat di dalam masalah, segi banyak dibentuk di dalam ruang dimensi n dan tidak dapat dinyatakan secara visual. Akibatnya, metode lain digunakan untuk memindahkan dari satu sudut ke sudut yang lain dalam suatu cara yang selalu meningkatkan hasil. Prosedur iteratif ini dilanjutkan sampai nilai optimal ditemukan. Suatu titik optimal khusus didefinisikan oleh koordinat dan titik sudut terpilih, bukan pendekatan.

8. Metode Kompetitif Klasik

Kita akan menunjukkan cara informasi kualitatif murni dapat digunakan dalam arti normatif penuh untuk menyelesai-kan masalah kompetitif klasik. Kita mempertimbangkan masalah berikut. Perusahaan kita, adalah sebuah pabrik kunci


tradisional membuat bagian pengganti untuk semua butir yang tidak lagi diproduksi perusahaan. Ia juga membuat sebuah garis kunci baru (yang sekarang membawa biaya dari bisnis penggantian). Kebijakan perusahaan membawa persediaan (stock) pada model kuno (obsolete) dalam keyakinan bahwa pemeliharaan dari pengganti yang baik adalah mutlak penting untuk bisnis masa depan. Jika perusahaan membebankan biaya sejumlah yang tepat untuk membuat sebuah pembayaran atau hanya kembali modal bagian penggantian, biaya dari bagian-bagian ini akan melebihi yang biasa (exorbitant), merusak tujuan dari penggantian yang baik.

Perusahaan belajar melalui penjualnya bahwa sebuah pesaing sedang mempertimbangkan kemungkinan dari pabrik sebuah bagian penting dari garis penggantian bagian ini. Motif untuk pergerakan tidak seluruhnya jelas. Tetapi, dapat diasumsikan bahwa pesaing mengharapkan untuk menghilang-kan ketergantungan pelanggan pada perusahaan dan untuk melepaskan satu bagian besar dari perdagangan bangunan yang sekarang menjadi kewajiban pada kita sebagai penyalur pertama.

Harapan untuk melihat situasi di dalam cahaya normatif, masalah keputusan ini diinformasikan oleh kelompok peneliti operasional perusahaan. Bekerja dalam hubungan dengan manajemen, mereka merumuskan tiga strategi yang mungkin untuk perusahaan dan dua untuk pesaing. Kemudian, manajer pemasaran dari perusahaan membutuhkan hasil yang ditunjukkan di bawah:


Strategi pesaing

C1 C2

Strategi perusahaan kita

S1:

S2:

S3:

O11

O21

O31

O12

O22

O32

S1: terus melakukan penggantian;

S2: mengumumkan kecurigaan dari kebijakan untuk melakukan penggantian;

S3: berhenti melakukan penggantian;

C1: pesaing memutuskan untuk membuat bagian penggantian;

C2: pesaing memutuskan untuk tidak membuat bagian penggantian;

O11: kita kehilangan beberapa pelanggan penggantian tetapi mendapatkan pelanggan baru, karena harga pesaing pada garis sekarang harus naik untuk menyerap biaya penggantian bagian;

O12: kita tidak kehilangan pelanggan tetapi terus mendapat lebih sedikit pelanggan baru daripada yang didapat pesaing kita (kebijakan sekarang);


O21: kita kehilangan lebih banyak pelanggan pergantian daripada di dalam O11, tetapi mendapatkan sekitar jumlah yang sama pelanggan baru seperti dalam O11;

O22: kita kehilangan lebih sedikit pelanggan penggantian daripada dalam O11 dan mendapatkan lebih sedikit pelanggan baru seperti dalam O12;

O31: kita kehilangan semua pelanggan penggantian dan mendapatkan lebih banyak pelanggan baru daripada dalam O11;

O32: Kita kehilangan lebih banyak pelanggan penggantian daripada dalam O21 dan mendapatkan lebih sedikit pelanggan baru daripada dalam O31.

Hasil ini dapat disederhanakan lebih lanjut dengan analisis logis pernyataan, dan menghasilkan yang berikut:

O11: kehilangan x dan mendapatkan y

O12: kehilangan 0 dan mendapatkan y-a

O21: kehilangan x dan mendapatkan y

O22: kehilangan x-c dan mendapatkan y-a

O31: kehilangan semua dan mendapatkan y+c

O32: kehilangan x+b+d dan mendapatkan y+c-e

Jika manajer pemasaran dapat menyusun nilai-nilai ini ke dalam bentuk (x, y, dan seterusnya) yang sesuai pada


tambahan dan kehilangan, ia dapat menyelesaikan masalah keputusan secara kuantitatif. Tetapi, walau ia tidak dapat menyampaikan bilangan, ia dapat mengurutkan hasil sesuai penilaian terbaiknya.

Asumsikan bahwa ia sudah mengurutkan hasil dan bahwa bilangan-bilangan yang muncul dalam matriks pembayaran tipe-keuntungan di bawah menyatakan urutan ini (1 diberikan ke pembayaran terjelek; 6 ke yang terbaik).

C1 C2 Pembayaran minimum

S1:

S2:

S3:

4

3

1

6

5

2

4**

3

1

Pembayaran maksimum 4* 6

Sekarang, dengan menerapkan kriteria maksimun (**) dan minimal (*), kita menemukan bahwa perusahaan akan mengerjakan yang terbaik untuk melanjutkan kebijakannya sekarang. Kita juga mengamati bahwa pesaing memiliki sekitar sama kegunaannya dengan manajer pemasaran, dan menurun-kan pendekatan taksiran yang sama untuk pembayaran, ia akan memenuhi pabrik bagian penggantian (asumsikan bahwa pasar dibagi pada basis sebuah jumlah nol).

Contoh ini mengilustrasikan ciri normatif klasik dan juga cara di mana informasi kualitatif dapat digunakan untuk menentukan sebuah ukuran pembayaran optimal. Ia


mendemonstrasikan bahwa model normatif adalah kombinasi dari banyak jenis model. Data diturunkan dari model informasi dengan pengamatan dan pengukuran, hasil ditransformasi menjadi keuntugan untuk hasil itu atau pembayaran, strategi, keadaan alam, dan strategi pesaing memerlukan ”penemuan” peubah yang relevan, pernyataan hasil berdasar pada penemuan hubungan antara peubah-peubah, dan pemilihan satu strategi khusus yang dibuat setelah memperhatikan semua keuntungan yang mungkin dengan kriteria keputusan khusus.

9. Nilai Informasi

Model normatif dapat dievaluasi dengan memperhatikan atribut informasinya. Kita akan mempertimbangkan lima level kelengkapan informasi, mulai dengan yang paling tidak lengkap dan bergerak ke yang paling lengkap. Kita memilih pembuatan keputusan:

1. di bawah kondisi kepastian, yakni tidak memerlukan konsep peluang;

2. di bawah kondisi risiko, yakni ada ramalan yang dapat dipercaya;

3. di bawah kondisi yang dapat diramalkan tidak sempurna, yakni dapat diduga kondisi alam yang akan terjadi dengan peluang yang diketahui salah;


4. di bawah kondisi yang dapat diramalkan secara sempurna, yakni dapat diduga dengan tepat kondisi alam yang akan terjadi;

5. di bawah kondisi terkontrol sempurna, yakni kemungkinan mengesampingkan (override) ramalan dengan membuat kondisi alam khusus.

Sering, kita dapat menentukan sebuah level optimal (antara 1 dan 5) dari kelengkapan informasi. Hanya pada permukaan itu, mungkin seseorang berpikir bahwa level optimal seharusnya selalu derajat tertinggi dari kelengkapan. Sebuah kesimpulan bahwa itu kasus yang sulit. Pemahaman yang serupa mengenai arsitektur informasi ekonomi dapat selalu diperoleh dari model deskriptif dengan menggunakan prosedur heuristik yang sesuai.

Ide fundamental adalah membandingkan pembayaran (atau harapan pelayanan) di bawah kondisi kelengkapan informasi yang berbeda. Untuk merampatkan gagasan ini, asumsikan bahwa pada biaya Cj, kita medapatkan sebuah level informasi Ij, dan dengan data ini, kita bisa mendapatkan sebuah harapan pembayaran Pj. Tabel berikut memuat data hipotetis untuk mengilustrasikan prosedur evaluasi kita.

Level Informasi Ij

Baiya Informasi Cj

Pembayaran Pj

Pembayaran Bersih Pj-Cj

1

2

10

20

50

70

40

50


3

4

40

60

80

90

40

30

Jika kita berinvestasi dengan jumlah minimum (10) dalam mengumpulkan infromasi untuk model, kita mendapatkan pembayaran bersih P1-C1=40. Apabila lebih banyak data yang dikumpulkan, pembayaran bersih naik ke maksimum P2-C2=50. Kita memperhatikan bahwa dalam menggeser dari I1 ke I2, ada tambahan biaya informasi 10 yang didatangkan, tetapi pembayaran bertambah 20, jadi kita lebih memilih I2. Untuk level I3, sedikit tambahan biaya infromasi (di atas I2), yakni 20 sementara kenaikan pembayaran hanya 10. Dengan demikian, kita menolak pergeseran ini. Pembayaran bersih I3 sama dengan I1, dan ketika level data I4 dicapai pembayaran bersih menurun ke 30.

Kita menghubungkan perhatian ini secara langsung ke model keputusan. Perhatikan matriks berikut.

Kon disi alam N1 N2 N3

Peluang 0,25 0,50 0,25

Cuaca Baik Tidak tentu Jelek

S1: tanam kacang 40 30 20

S2: tanam sayur 70 20 0

(Nilai dalam sel = keuntungan dalam jutaan rupiah)


1. Kriteria terbaik dalam kondisi tidak menentu (best point level – uncertainty). Jika petani tidak memiliki pengetahu-an peluang, ia mungkin mengasumsikan bahwa alam adalah musuh (hostile) dan anti rasional. Dengan demikian, ia bisa menggunakan kriteria Wald (maksimin atau minimak) pilih S1: kondisi buruk masih mendapat keuntungan Rp 20 juta (maximin principle).

N1 N2 N3 Pembayaran terburuk

S1: 40 30 20 20 Maksimin

S2: 70 20 0 0

Hasil terburuk harus diantisipasi petani adalah Rp 20 juta. Ini adalah titik dasarnya dari mana ia dapat mengukur peningkatan karena lebih banyak infromasi yang dikumpulkan. Strategi “menanam kacang” dindikasikan oleh titik dasar.

2. Ramalan sempurna dengan konsep peluang (perfect forecast level – probabilities). Petani sudah memiliki sebuah ramalan (0,25 0,50 0,25), anggaplah studinya dari catatan cuaca. Seperti sebelumnya, kita akan melanjutkan untuk menerima kesahihannya. Menggunakan ramalan ini, petani memilih S1: menanam kacang. dengan keuntungan harapan Rp 30 juta.

Keuntungan harapan (S1)=(0,25)(40)+(0,50)(30)+(0,25)(20)=30


Keuntungan harapan (S2)=(0,25)(70)+(0,50)(20)+(0,25)(0)=27,5

Tampak bahwa untuk ramalan khusus ini, harapan petani meningkat Rp 10 juta di atas maksimin, tetapi ia akan menanam kacang dalam setiap kasus.

3. Ramalan sempurna dengan konsep mahatahu (perfect prediction level – omniscience). Mari kita melompat ke ramalan sempurna dan mengasumsikan bahwa petani mencapai ini melalui kesempatan yang tidak diduga. Weather Incorporated (WI) mengaku memiliki sebuah metode sempurna untuk peramalan cuaca musim dengan kecermatan 100%. Petani diyakinkan bahwa ini benar dan untuk mencapai tujuan, kita harus setuju. Berapa banyak yang mau dibayar oleh petani untuk informasi ini?

Analisis selanjutnya secara langsung. Jika ramalan dibuat bahwa N1 akan terjadi, petani akan menanam sayur dan mendapatkan pembayaran Rp 70 juta. Ia tidak akan memilih untuk menanam kacang – itu akan memberinya hanya Rp 40 juta. Sebagai kemungkinan kedua, jika ia diberitahukan bahwa N2 akan terjadi, kemudian ia akan memilih menanam kacang dan mendapatkan Rp 30 juta. Sayur akan memberinya hanya Rp 20 juta. Situasi ketiga apabila N3 harus terjadi, ia akan mendapatkan Rp 20 juta dengan menanam kacang.

Ramalan petani (dalam kasus ini 0,25 0,50 0,25) masih berlaku. Dengan demikian, kondisi alam akan terjadi


dengan frekuensi yang sama sebelumnya. Perbedaannya adalah petani akan mengetahui terlebih dahulu keadaan mana yang akan terjadi. Beroperasi di bawah kondisi seperti informasi sempurna ia dapat meningkatkan situasinya dengan memilih strategi setelah ia belajar keadaan alam mana yang akan terjadi. Harapan pembayaran akan meningkat ke Rp 37,5 juta.

Keuntungan harapan (informasi sempurna) =

(0,25)(70)+(0,50)(30)+(0,25)(20)=37,5.

Ini berarti bahwa, berikan ramalan khusus (0,25 0,50 0,25), ada tabungan tersedia Rp 7,5 juta. Jika kurang dari jumlah ini dapat digunakan untuk membayar WI, akan ada tabungan bersih. Tetapi, jika perusahaan peramal cuaca ini akan membebani biaya Rp 7,5 juta atau lebih untuk pelayanannya, kemudian rencana akan tidak berguna. Apakah WI harus meminta, katakan Rp 5 juta, petani masih mendapat Rp 2,5 juta dengan menggunakan pelayanan ini.

4. Kontrol sempurna menciptakan keadaan ideal untuk mendapat keuntungan terbesar (perfect control level – omnipotence). Kontrol memerlukan penggunaan informasi. Kenyataannya, kontrol adalah suatu bentuk manajemen informasi. Nilai dari berbagai bentuk kontrol dapat ditegaskan. Asumsikan bahwa WI mempunyai sebuah bantuan yang disebut Weather Control (WC) yang menggunakan metode cloud-


seeding dan teknologi lain untuk membuat kondisi cuaca.

Berapa banyak yang harus dibayar petani untuk kontrol sempurna pada cuaca? Pembayaran terbaik dalam matriks Rp 70 juta. Untuk mencapai ini, petani harus meminta WI untuk kondisi N1. Kemudian, dengan menggunakan strategi S2, ia akan mendapat pembayaran ini. Kontrol total menyatakan level maksimum dari kelengkapan informasi. Untuk berfungsinya itu, kontrol cuaca (WC) harus secara konstan memantau kondisi sistem dan penuh kehati-hatian. Di samping itu, harus tersedia tindakan kontrol yang diperlukan untuk menolak gangguan sistem. Dari pandangan petani (sebagai ukuran dari nilai ramalannya), ia dapat menghasilkan lebih dari Rp 40 juta untuk mendapatkan kontrol sempurna.

Rentang pembayaran bergerak dari Rp 20 juta di bawah ketidakpastia ke Rp 70 juta di bawah kontrol sempurna. Gambar 3.6 bisa membantu menetapkan situasi ini dalam pikiran.

Rp 70 juta Perfect Control (total information)

Ro 37,5 juta Perfect Prediction


Rp 30 juta Believable Forecast

Rp 20 juta Base Level (uncertainty)

Gambar 3.6 Rentang dari nilai informasi

Kita memperhatikan bahwa tidak ada gunanya untuk mengukur nilai dari nol karena peningkatan mulai dari yang terkecil Rp 20 juta. Juga, kita mengamati bahwa perjalanan untuk mengumpulkan lebih dan lebih banyak informasi mungkin tidak rasional, karena bisa mengarahkan seseorang jauh dari suatu level ekonomi optimal dan pemahaman sistem.

5. Ramalan Tidak Sempurna(Imperfect Prediction)

Tidak ada diskusi ramalan, taksiran, dan nilai infromasi (seperti yang terkait pada model normatif) yang lengkap tanpa suatu perlakuan dari pembuat keputusan Bayesian. Sebetulnya, kita sudah mengenal Reverend Thomas Bayes dan hipotesisnya. Sekarang kita ingin berbicara tentang teorema Bayes.

Untuk melakukan ini, kita kembali ke masalah petani. Sulit untuk mempercayai bahwa WI dapat menghasilkan ramalan sempurna. Tetapi, untuk tujuan ilustrasi, kita berjalan sepan-jang pemahaman pada waktu itu. Mari kita menetapkan tujuan sesuatu yang lebih rasional. WI mempunyai persediaan model


ramalan berdasar pada prosedur yang tidak sempurna, tetapi cukup baik. Misalnya, ia mempunyai model korelasi untuk peramalan cuaca, yang penggunaannya akan membebani biaya pada petani Rp 3 juta. Keandalan model itu (berdasarkan catatan lalu) ditunjukkan oleh matriks berikut.

Jika kondisi alam yang benar adalah:

N1 N2 N3

x persen dari waktu hasil pengujian:

T[N1] 0,8 0,2 0,0

T[N2] 0,1 0,7 0,1

T[N3] 0,1 0,1 0,9

(x adalah nilai dari setiap elemen dalam matrika)

Matriks peluang bersyarat ini dibaca dalam cara sebagai berikut. Asumsikan bahwa cuaca adalah N1. Terlihat 80% dari waktu hasil pengujian adalah benar, yakni T[N1] akan terjadi dalam ramalan. Tetapi (masih mengasumsikan bahwa kondisi alam yang benar adalah N1, 20% dari hasil pengujian akan salah, N2 akan diindikasikan 10% dari waktu (T[N2]) dan N3 akan diramalkan sisanya 10% dari waktu (T[N3])

Untuk meyakinkan bahwa penjelasan ini jelas, kita mengasumsikan bahwa N2 adalah kondisi yang benar. Hasil pengujian akan secara benar mengindikasikan 70% N2 dari waktu. Tetapi, 30% dari ramalan ”N2 adalah benar” adalah salah. Secara khusus, pengujian akan mengindikasikan 20% N1

dan 10% N3 dari waktu.


Setiap elemen dari matriks peluang bersyarat ini dapat ditulis dalam bentuk P(T[Ni]|Nj), yakni peluang dari hasil pengujian khusus (i) pada terjadinya kondisi alam khusus (j). Teorema Bayes menyatakan sebuah hubungan peluang bersyarat ini, katakanlah:

=P(Nj|T[Ni]).

Dengan memeriksa persamaan ini, kita melihat bahwa jika kita mengalikan peluang bersyarat P(T[Ni]|Nj) dengan nilai ramalan untuk keadaan alam P(Nj), maka kita dapat menemukan sebuah hubungan sistematis, yakni syarat terhadap hasil pengujian P(Nj|T[Ni]).

Mari kita melakukan melalui perhitungan dengan menggunakan ramalan sebelumnya untuk nilai P(Nj), yang sering disebut peluang a priori.

P(T[Ni]|Nj)P(Nj)

=

Jumlahkan kolom, kita mendapatkan nilai ramalan (0,25 0,50 0,25). Pengaruhnya, kita memilih peluang sebaran dalam setiap kolom dalam proporsi terhadap ramalan ini. Dengan menjumlahkan baris kita mendapatkan:

P(T[Ni])


i=1 0,200+0,100+0,000=0,300

i=2 0,025+0,350+0,025=0,400

i=3 0,025+0,050+0,225=0,300

Karena P(T[Ni]|Nj)P(Nj)=P(T[Ni]). P(T[Ni]) adalah peluang bahwa berbagai hasil pengujian akan terjadi.

Jadi, perhitungan yang ditunjukkan di atas menyatakan langkah tepat yg diindikasikan oleh persamaan untuk Teorema Bayes. Jika pembaca akan mengerjakan perhitungan dengan pensil dan kertas, hubungan-hubungan yang terlihat akan menjadi bukti dalam urutan singkat.

Sekarang, kita dapat merumuskan peluang bersyarat P(N j|T[Ni]). Ini adalah peluang bersyarat untuk keadaan alam yang benar, apabila sebuah hasil pengujian T[Ni] sudah terjadi. Semua elemen dalam matriks dibagi dengan nilai baris mereka yang sesuai dari P(T[Ni]). Jadi, membaca dari (1) ke (2).

1. Jika hasil pengujian adalah (2) maka P(Nj|T[Ni]) persen dari waktu Nj yang benar adalah:


2. =

Setiap baris dari matriks terakhir ini berjumlah satu dan menyatakan sebuah himpunan peluang bersyarat (a posteriori) yang dapat dibandingkan dengan ramalan awal pertama. Akibatnya, kita mengamati bahwa penggunaan prosedur pengujian adalah modifikasi dari ramalan awal petani. Kita kemudian dapat menentukan pengaruh dari modifikasi ini pada matriks keputusan.

Jadi, asumsikan kita menggunakan pengujian dan:

Peluang2/31/3

0 Pembayaran harapan

T[N1] terjadi S1:

S2:

40

70

30

20

20

0

36,667

53,333*

Ini berarti bahwa jika hasil pengujian adalah T[N1], petani akan menggunakan strategi keduanya, dengan harapan pembayaran Rp 53.333.000,00.

Peluang2/31/3


T[N2] terjadi S1: 40 30 2030*


S2: 70 20

0

21,875

Dengan sendirinya, jika hasil pengujian T[N2] petani akan menggunakan strategi pertamanya, dengan harapan pembayaran Rp 30 juta.

Peluang2/31/3


T[N3] terjadi S1:

S2:

40

70

30

20

20

0

23,333*

9,167

Jika hasil pengujian T[N3], petani akan menggunakan strategi pertamanya, dengan harapan pembayaran Rp 23.333.000,00.

Sebelumnya, kita sudah menghitung peluang dari hasil pengujian yang berbeda. P(T[Ni]) yang ada adalah 0,3 0,4 dan 0,3 untuk berturut-turut i=1, 2, dan 3. Dengan demikian, jika pengujian digunakan, harapan pembayaran bagi petani dari Rp 53.333.000,00 akan terjadi 30% dari waktu; harapan pembayaran Rp 30 juta akan terjadi 40% dari waktu; dan harapan pembayaran Rp 23.333.000,00 akan terjadi 40% dari waktu.

Harapan pembayaran (gunakan pengujian)

= 0,3(53)+0,4(30)+0,3(23,333)=35.


Kita akan menambahkan nilai ramalan tidak sempurna khusus kita ke Gambar 3.6 dan akan terletak antara nilai ramalan sempurna dan taksiran sempurna. Jadi,

Harapan pembayaran (ramalan sempurna)

= 0,25(70)+0,50(30)+0,25(20)=37,5.

dan tidak menggunakan pengujian:

Harapan pembayaran (ramalan dapat dipercaya)

= 0,25(40)+0,50(30)+0,25(20)=30.

Pengujian ini bermanfaat (pada sebuah maksimum) Rp 5 juta pada petani. Petani diminta membayar Rp 3 juta untuk ramalan itu – jadi tampaknya semuanya baik.

3. Ramalan Subjektuif(Subjectuive Forecast)

Teorema Bayes adalah sebuah cara yang menggabungkan pengujian ramalan dan pengujian taksiran yang diilustrasikan oleh Gambar 3.7.Taksiran a priori (a priori estimates) petani diperoleh dari catatan cuaca. Tetapi, dengan banyak kasus, tidak ada sumber data ramalan yang menyenangkan seperti itu. Masih, eksekutif dapat datang dengan suatu taksiran subjektif yang merefleksikan pengalamannya dengan situasi itu. Biasanya, ia akan suka memiliki pertimbangan intuitif seperti itu pada masalah dalam model keputusan.

A priori estimates (forecast)

goodness of predictive test


Gambar 3.7

Gambar 3.7Pembuatan keputusan Bayes

Jika tidak ada pengujian ramalan dapat ditemukan (atau pengembangan dan penggunaannya terlalu mahal), maka taksiran peluang subjektif eksekutif harus memainkan bagian tunggal dalam skema normatif dari model keputusan. Nilai kriteria harapan untuk memilih sebuah strategi di bawah kondisi pembuatan keputusan berisiko akan beroperasi. Hasil akan identik yang akan diperoleh jika sebuah pengujian yang benar-benar tidak berguna digunakan, namakanlah

Pada keadaan lain, dengan sedikit kepercayaan dalam taksirannya sendiri, eksekutif tampaknya akan berinvestasi dalam pengembangan pengujian. Pada derajat itu, pengujian ini adalah andal (reliable), bobot diberikan kepada taksiran eksekutif untuk menentukan strategi mana yang digunakan. Akhirnya, di bawah kondisi ramalan (pengujian) sempurna hanya peran yang dimainkan oleh taksiran subjektif eksekutif akan menentukan peluang dari hasil pengujian, P(T[ni]).

4. Presentasi Pohon

Bayes’ Theorem

A posteriori estimates (modified forecast)


Satu cara yang berguna untuk penyajian model Bayesian adalah bentuk pohon. Cara ini dinyatakan dalam Gambar 3.8 seperti terapannya pada masalah petani.

Gambar 3.8 Pohon Bayesian

Pohon seperti itu adalah model deskriptif yang kuat. Pohon mengilustrasikan berbagai susunan peluang pada kondisi alam dan cara di mana mereka diturunkan. Masing-masing berguna pada sejumlah kondisi yang tunggal. Hasil terakhir dapat dinyatakan dalam bentuk tabel sebagai berikut.


N1 N2 N3

Tanpa pengujian

Hasil pengujian T[N1]



1/4

2/3

1/16

1/12

1/2

1/3

7/8

\1/6

1/4

0

1/16

3/4

Tetapi, tabel kehilangan basis turunan. Pengujian yang lain mungkin bisa diperhatikan untuk memberikan pilihan tambahan. Akhirnya, di antara semua prosedur pengujian yang menguntungkan, sebuah pengujian terbaik yang berbasis kelebihan ekonomi akan dipilih. Tetapi, pendekatan untuk menemukan sebuah pengujian optimal membutuhkan rancangan pengujian kreatif dalam tempat pertama. Kemudian, kedua pengujian terbaik yang ada hanya dapat ditemukan melalui iterasi yang ditemukan dengan pendekatan heuristik yang peka.

1. Derajat penyederhanaan dimensi

Kelengkapan informasi adalah sebuah ukuran yang relevan dari model yang menyerap banyak aspek dari pengembangan model sebagai tambahan pada apa yang telah didiskusikan di atas. Kita mengetahui bahwa sebuah strategi yang optimal ditemukan dengan mencari prosedur terkait dalam bentuk normatif. Bentuk normatif adalah satu anggota dari himpunan model deskriptif yang relevan. Pengertian dari sebuah penyelesaian optimal seperti itu akan bergantung pada ukuran himpunan, khususnya ukuran sebagai sebuah fungsi dari


derajat perbaikan atau kekhususan dalam alternatif. Gambar 3.9 adalah sebuah upaya untuk mengilustrasikan konsep ini untuk sebuah masalah keputusan khusus (secara hipotetis dibatasi oleh lingkaran). Di dalam A, banyak model deskriptif yang menjelaskan peubah-peubah dengan jauh lebih terperinci dan potensi ketepatan yang banyak daripada tujuh model deskriptif di dalam B.

Gambar 3.9 Himpunan optimal memuat penyelesaian optimal

Selalu relevan untuk mencari bahwa setiap situasi khusus dapat dimodel dengan baik. Berapa rinci yang diperlukan? Masalah ”melekat dalam realitas” mempunyai sebuah dimensi riil secara keseluruhan. Tetapi, hanya sebagian dari dimensi ini diliputi oleh model. Dengan memperhatikan sebagian itu, pengukuran yang diambil pada setiap dimensi bisa halus atau kasar, sesuai pada kemampuan seseorang untuk mengukur, seperti juga biaya dan keuntungan untuk diturunkan dari level-level yang berbeda dari perincian dan penghalusan.

Beberapa model mendekati satu-untuk-satu, seperti hubungan dimensi positif dan negatif dari sebuah foto. Kita


sudah mengatakan bahwa model dari realitas adalah isomorphic. Tetapi, apabila penyederhanaan infromasi terjadi, kemudian model menjadi transformasi homomorphic dari relitas, seperti hubungan antara sebuah foto dan sebuah kartun. Definisi ini sulit tepat. Namun, secara umum dapat berupa konsensus ke tipe mana dari hubungan yang ada. Akan disepakati bahwa sebuah peta jalan sudah homomorpic pada geografi sebenarnya yang diwakili, sebuah balance sheet adalah homomorphic pada kinerja perusahaan, dan sebuah cetak biru adalah isomorphic pada ciri rancangan produk yang dipersyaratkan pabrik.

Perbedaan antara homomorphism dan isomorphism diilustrasikan oleh Gambar 3.9. Jika setiap partisi dalam himpunan ruang A adalah model deskriptif, kemudian penyelesaian optimal dapat ditemukan bahwa dekat kepada isomorphic dengan strategi optimal x yang ”benar”. Tetapi, jika himpunan dimodel seperti dalam B, kemudian satu dari tujuh partisi dipilih, akan menjadi homomorphic ke penyelesaian x. Misalnya, asumsikan bahwa dalam A, setiap partisi menyatakan sebuah nilai bilangan bulat x (yakni x=1,2,3,...) di mana di dalam B, partisi berarti x dihitung dengan 10 (yakni x=10,20,30,...). Jika x =3,4 optimal maka model A adalah jauh lebih dekat ke isomorphic daripada model B. Dalam ilustrasi khusus ini, kita mengasumsikan bahwa keduanya dari partisi optimal memuat strategi optimal x. Tetapi, ini tidak selalu terjadi. Peluang bahwa alternatif pilihan (partisi) memuat strategi optimal akan secara umum meningkat apabila banyaknya alternatif yang diperhitungkan mendekati banyak sebenarnya hasil yang mungkin.


Homomorphism selalu menyatakan transformasi yang mengurangi dan (secara umum) kehilangan informasi. Kehilangan seperti itu tidak harus dikonstruksi sebagai ketidakberuntungan, karena terdapat banyak contoh ketika penyelesaian tidak sensitif pada penyederhanaan. Sebuah derajat yang sesuai dari homomorphism biasanya dapat ditentukan oleh sebuah kriteria ekonomi untuk nilai informasi.

Dalam kasus isomorphic, transformasi dari realitas ke model adalah satu-untuk satu, yakni terdapat sama banyaknya peubah yang berbeda (huruf dan bilangan secara berurutan) dalam setiap garis dari diagram transformasi yang ditunjukkan di bawah.

Transformasi isomorphic

Faktor realitas A B C D E F G dst.

Faktor model 1 2 3 4 5 6 7 dst.

Dengan menggunakan bentuk matriks, transformasi isomorphic membutuhkan sebuah matriks bujursangkar di mana setiap baris dan kolom memuat hanya satu elemen. (Elemen-elemen tidak semua harus jatuh pada diagonal tetapi bentuk seperti itu selalu dapat diperoleh dengan suatu susunan dari baris dan kolom).

Faktor model

1 2 3 4 5 6 7 dst.


Faktor realitas

A

B

C

D

E

F

G

dst.

x

x

x

x

x

x

x

x

Untuk representasi yang serupa dari kasus homomorphic, kita harus mencatat bahwa (dalam beberapa hal) dalam digram transformasi dengan situasi dua atau lebih faktor realitas disederhanakan ke sebuah faktor model tunggal. Kondisi seperti ini disebut transformasi banyak-satu yang harus dikontraskan dengan transformasi isomorphism satu-satu.

Transformasi homorphic

Faktor realitas A B C D E F G dst.

Faktor model 1 2 1 1 3 4 2 dst.

Bentuk matriks dari transformasi homomorphic adalah bujursangkar lebih dari satu elemen dapat muncul dalam setiap kolom. Akibatnya, ada pengurangan informasi dalam model yang memuat lebih sedikit peubah daripada yang ada


dalam realitas. Selanjutnya, model yang dikonstruksi dalam bentuk sejumlah peubah tidak dapat digunakan untuk menangkap kembali peubah huruf asli kecuali aturan penyederhanaan dari banyak ke satu dipelihara.

Faktor model

1 2 3 4 dst.

Faktor realitas

A

B

C

D

E

F

G

dst.

x

x

x

x

x

x

x

Hampir semua model dalam bidang ekonomi adalah homomorphism di berbagai tingkatan. Sementara tidak mungkin bisa menentukan derajat optimal dari pengurangan dimensi untuk setiap masalah khusus, kita layak untuk mendiskusikan pertanyaan seperti itu dalam pandangan ekonomi dengan syarat sifat isomorphism dan homomorphism dipahami.


2. Sifat dimensional

Ketika sejumlah tujuan hadir bersama dalam model, tidak mustahil bahwa kita menemukan munculnya sebuah dilemma terkait tujuan mana yang mau dimaksimumkan. Tujuan-tujuan tersebut semuanya tampak penting pada eksekutif (walau pun barangkali tidak semuanya sama pentingnya). Selanjutnya, jika derajat pencapaian dari setiap satu tujuan ditingkatkan, tujuan yang lainnya menuurun. Ini adalah satu situasi khas yang semakin sering terjadi karena kita mempertimbangkan daerah keputusan yang bergerak dari level manajemen menengah ke level manajemen puncak.

Misalnya, dalam masalah sebelumnya dari perusahaan permen, kita mendapat hasil untuk berat, ruang, dan biaya. Untuk menyederhanakan masalah ini, kita mengasumsikan bahwa biaya adalah faktor utama yang akan dioptimalkan. Dengan demikian, kita mengembangkan penyelesaian biaya minimum, dengan berbagai kendala (retrictions). Jika tujuan kita juga meliputi berat, dan kita mencari penyelesaian untuk memaksimumkan berat sebagai tambahan untuk meminimum-kan biaya, masalah tidak dapat diselesaikan. Data untuk titik-titik sudut menunjukkan bahwa maksimum berat tidak pernah terjadi dengan biaya minimum. Kenyataannya, berat dan biaya terkait satu dengan lainnya, yaitu Berat=(80)Biaya.

Dengan demikian, jika berat meningkat, biaya akan meningkat: Apa yang harus dikerjakan? Apakah kita harus menetapkan sedikit untuk masing-masing dan memilih strategi yang membawa kita untuk tidak meminimumkan biaya dan tidak juga memaksimukan berat? Terdapat hanya satu cara di


mana kita dapat memutuskan apa yang dikerjakan, dan menentukan bagaimana pentingnya masing-masing tujuan pada pembuat keputusan.

Akan disadari bahwa tangki kebingungan kita dari tujuan ganda yang menggunakan dimensi-dimensi berbeda. Kita tidak dapat menggabungkan secara kuantitatif hasil ganda ini dalam setiap bentuk sederhana. Kedua metode peringkat (ranking) dan sepekulasi baku (standard gamble) tidak memadai untuk menangani hasil yang rumit multi dimensi. Tentunya, kita tidak dapat menambah pounds dari berat dan dollar dari biaya bersama-sama dan memilih jumlah yang tampaknya terbaik. Kita tidak dapat melakukan ini, walau pun kita memberi harga pertama pada setiap hasil dalam hal pentingnya terhadap kita dan kemudian menggunakan sebuah jumlah bobot yang sesuai.

Untuk tujuan ilustrasi, kita sekarang mempetimbangkan masalah eksekutif yang harus memutuskan antara dua lokasi yang mungkin untuk satu tanaman baru yang direncanakan perusahaan untuk dibangun. Untuk menentukan lokasi terbaik, kita mendaftar enam hasil berbeda yang dihasilkan oleh setiap strategi. Manajemen mempertimbangkan enam hasil ini sebagai dimensi yang relevan dari tujuan perusahaan. Eksekutif menilai hasil ini dalam penilaiannya yang dipertimbangkan dari kepentingan relatif ke hasil akhir atau ukuran pembayaran. (Catatan: bobot ini dapat diupayakan dengan pringkat atau spekulasi baku.)

Hasil Satuan dimensi Pentingnya


X1: biaya tanah

X2: biaya bangunan

X3: kesesuaian harapan

X4: biaya tenaga kerja

X5: hubungan masyarakat

X6: persediaan bahan baku

X7: fasilitas transportasi

Investasi dollar

Investasi dollar

Tingkat kesenangan*

Pengeluaran dollar

Tingkat kerjasama*

Mutu dan biaya*

Nyaman dan biaya

A

B

C

D

E

F

G

* Untuk dimensi yang dibintangi, kita menggunakan sebuah skala di mana 10 yang terjelek dan 1 yang terbaik untuk mengidikasikan bahwa kita berhadapan dengan biaya.

Data dikumpulkan untuk strategi alternatif dan menghasil-kan matriks pembayaran yang mempunyai tujuh nilai hasil dalam setiap kotak. Untuk penyederhanaan, kita akan mempertimbangkan hanya satu kondisi alam. Jika ada lebih dari satu kondisi alam, metode yang dikembangkan sebelumnyauntuk pembuatan keputusan di bawah risiko dan ketidakpastian dapat diterapkan – setelah masalah penggabungan hasil ganda dipecahkan.

Hasil Strategi S1 Strategi S2

X1

X2

$ 400.000

$ 600.000

$ 700.000

$ 800.000


X3

X4

X5

X6

X7

6

$ 1,7/jam

7

2

9

10

$ 1,50/jam

4

4

6

Ukuran yang diambil sepanjang dimensi yang ekuivalen harus digabungkan. Dalam kasus ini, X1 dan X2 (adalah investasi dollar) memungkinkan penjumlahan segera tampa kesulitan. Di lain pihak, walau pun X4 adalah dimensi dollar, ia adalah biaya per satuan yang dialami menurut waktu daripada persen kegunaan dari biaya total. Untuk membuat X4 dalam dimensi yang sama dengan X1 dan X2, kita membutuhkan sebuah taksiran dari orang-jam per tahun. Ini harus dikali dengan biaya per satuan tenaga kerja utnuk mendapatkan sebuah biaya total untuk setiap strategi. Kemudian, sebuah faktor pengabaian (discounting factor) harus duiterapkan pada setiap pengeluaran tahunnya sehingga aliran dari biaya menurut waktu dapat dikonversi ke satu angka penting.

Dengan melakukan ini, eksekutif bisa lebih suka manaksir pentingnya X4 dalam skema keseluruhan dari hal-hal yang dibandingkan ke X1 dan X2 seperti juga dari hasil-hasil lainnya. Jika benar, bobot kepentingan ini akan merefleksikan ukuran dari faktor pengabaian tindakan dalam hubungannya dengan taksiran-taksiran lain yang diperlukan untuk transformasi dimensi X4 ke dimensi X1 dan X2. Persoalan ini bisa juga


dinyatakan dengan hal yang tidak bisa diraba bahwa sesuatu dimasukkan dalam biaya tenaga kerja per satuan seperti hubungan perburuhan, ketersediaan tenaga kerja, dan lingkungan hukum dan pajak.

Mari kita mengasumsikan bahwa rangkaian huruf (gunakan faktor pembobotan) sudah diikuti.

Hasil S1 S2 Bobot pentingnya

X1+X2

X3

X4

X5

X6

X7

$ 1.0000

6

$ 1,7/jam

7

2

9

$ 1.5000

10

$ 1,50/jam

4

4

6

3

4

5

1

3

2

(Penting diasumsikan pada peningkatan sebagai bilangan faktor pembobotan bertumbuh lebih besar)

3. Metode yang salah sering digunakan

Satu metode membandingkan strategi S1 dan S2 adalah jumlah hasil kali dari bobot dan hasil dari setiap strategi. Jadi, kita bisa menggunakan simbol:

O(S1)=3(1.000.000)+4(6)+5(1,70)+1(7)+3(2)+2(9)=3.000.063,50

O(S2)=3(1.500.000)+4(10)+5(1,50)+1(4)+3(8)+2(6)=4.500.087,50


Dengan metode ini, O(S1) diindikasikan menjadi pilihan yang lebih baik (perhatikan bahwa model berdasarkan pada biaya di mana bilangan yang lebih besar kurang diharapkan). Rasio berikut memberikan sebuah perbandingan.

= =1,50.

Sekarang, kita melihat apa yang terjadi jika kita mengganti skala (X1+X2) sehingga dibaca dalam satuan juta dollar, bukan satuan dollar. Kita mengetahui bahwa jika model yang digunakan memenuhi aspek dimensional, kita harus menghasilkan rasio yang tepat sama dan bukan transformasi skala.

O(S1)=3(1,0)+4(6)+5(1,70)+1(7)+3(2)+2(9)=66,5

O(S2)=3(1,5)+4(10)+5(1,50)+1(4)+3(8)+2(6)=92,0

dan rasio berubah:

= =1,38.

Hasil ini mendemonstrasikan bahwa perubahan dalam skala memperkenalkan gangguan dimensi dalam rasio.

4. Metode yang benar secara dimensi

Metode sesungguhnya untuk membandingkan hasil ganda (yang menggunakan dimensi-dimensi berbeda) sudah dikembangkan oleh Gauss, Buckingham, dan yang lainnya. Hal


ini dijelaskan oleh P. W. Bridgmen (1922) dalam studinya tentang sifat-sifat dimensi sistem. Metode ini menggunakan hasil kali dari hasil yang dipangkatkan dengan bobot. Jadi, hasil untuk setiap strategi S adalah:

O(S)=(X1)A(X2)B(X3)C...(X6)F

Kita sekarang menggunakan transformasi jutaan dollar dari satu dollar ke metode ini. (X1 dinyatakan dalam satuan dollar):

O(S1)=(1.000.000)3(6)4(1,70)5(7)1(2)3(9)2=8,341025

O(S2)=(1.500.000)3(10)4(1,50)5(4)1(8)3(6)2=1,891028

= =226.

(X1 dinyatakan dalam jutaan dollar):

O(S1)=(1)3(6)4(1,70)5(7)1(2)3(9)2=8,34107

O(S2)=(1.5)3(10)4(1,50)5(4)1(8)3(6)2=1,891010

= =226.

Kita melihat rasio terakhir ini adalah invariant ke transformasi skala. Hal itu terjadi karena metode perkalian menghasilkan rasio bilangan murni, yakni bilangan tanpa dimensi. Untuk mengilustrasikan fakta ini, kita menambah sejumlah kerjasama ke sejumlah kenyamanan, dan menurun-kan rasio (untuk dua strategi S1 dan S2) dari kombinasi hasil:


Rasio= .

Secara dimensi, rasio ini sama dengan:

Rasio= +

.

Tidak ada keuntungan yang diperoleh dari rasio seperti itu. Dimensinya tidak berarti. Pada sisi lain, dengan menggunakan perkalian, semua dimensi dihapus dan hasilnya sebuah bilangan murni. Jadi,

Rasio= adalah bilangan murni.

Kita mengamati bahwa dalam semua empat kasus sebelumnya, O(S2)>O(S1), mengindikasikan bahwa strategi pertama yang diharapkan. Kekonsistenan jenis ini tidak dapat dihitung. Sering kali metode yang salah akan menghasilkan sebuah kebalikan rasio dan eksekutif akan salah arah.

Integritas dimensi adalah sebuah persyaratan mutlak dari setiap suara analisis. Apabila kita menggabungkan sejumah hasil yang menggunakan berbagai dimensi di dalam suatu upaya mengoptimalkan hasil keseluruhan, rasio dari hasil haruslah sebuah bilangan murni. Hal ini mengikuti fakta bahwa perkalian itu menghasilkan sebuah daerah, volume, dan


sebagainya, yang mempunyai sifat-sifat dari ruang umum untuk hasil yang terlibat. Ruang umum ini proporsional pada pentingnya nilai. Penjumlahan tidak membuat daerah umum dan tidak benar-benar digunakan ketika berupaya mengkombi-nasikan secara mendasar dimensi-dimensi yang berbeda seperti yang dipikirkan. Metode penjumlahan digunakan hanya untuk peubah-peubah hasil yang dicirikan oleh dimensi sama.

Selalu mungkin (dalam teori) untuk menemukan transfor-masi menyatukan yang akan membolehkan digunakannya penjumlahan. Misalnya, apel dan jeruk dapat ditambah apabila keduanya ditransformasi ke satuan buah. Serupa juga, jika taksiran dollar dapat diganti pada sesuatu yang tidak bisa diraba seperti hubungan masyarakat, kesuburan dan harapan tempat tanaman, dan ini dapat diasumsikan. Tidak mustahil untuk menemukan bahwa upaya yang sudah dibuat menemukan ukuran pilihan untuk setiap peubah. Dalam kasus ini, ukuran hasil tunggal diasumsikan merefleksikan pilihan total sebagai jumlah kontribusi pilihan individu dari setiap peubah.

Suara dari kegunaan transformasi seperti itu kepada sebuah skala tunggal bisa tampaknya lebih dibuat-buat daripada sebenarnya. Transformasi seperti itu tidak mudah dicapai. Dimensi dari buah, misalnya, bisa tidak mempunyai hubungan langsung pada masalah. Taksiran dollar dari kebaikan dikenal sangat bervariasi tergantung pada tujuan, misalnya untuk melayani dan banyak aspek dari pilihan, kepuasan, ukuran tambahan lainnya masih dipertimbangkan sulit berubah. Pada sisi lain, ada sejumlah konvensi yang


diterima untuk menyamakan sewa, pembelian, atau pilihan membangun. Pengetahuan tentang bagaimana memperlaku-kan isu jenis ini adalah penting untuk kesuksesan pembangun-an model.

Jika suatu komponen dimaksimumkan sementara yang lainnya diminimumkan, kita dapat menggunakan pangkat positif dari hasil untuk dimaksimumkan dan pangkat negatif dari hasil untuk diminimumkan. Misalnya, kita membanding-kan dua strategi pabrik permen, asumsikan bahwa kita ingin memaksimumkan berat dan meminimumkan biaya. Daftar kepentingan relatif disusun sebagai berikut.

Hasil S1 S2 Pentingnya

Berat

Biaya

32

40

48

60

2

3

O(S1)=(32)2(40)-3=4/250

O(S2)=(48)2(60)-3=4/375

=1,5

Pada basis ini, pabrik permen akan memilih strategi pertamanya. Terbaik bahwa ia dapat mengerjakan dalam bentuk penentuan pilihannya. Dalam hal normatif penuh, hasil itu adalah strategi optimal.


Selanjutnya, Pada akhir bab ini diperkenalkan model dalam dimensi tiga bersama visualisasinya dalam bentuk gambar.

5. Model Tiga Dimensi

Perusahaan genteng Modern di Jakarta memproduksi tiga jenis genteng yakni: molek, jelita, dan anggun. Ketiga jenis genteng yang dihasilkan ini menggunakan bahan mentah yang diimpor dari Swiss. Proses produksinya dilakukan dengan teknik dan peralatan yang serba modern. Pabrik mempunyai tiga bagian yakni:

1. Bagian cetak di mana bahan mentah dicampur baru dicetak.

2. Bagian pres dimana genteng mentah dipres supaya padat dan terpisah dari air.

3. Bagian pengeringan dimana genteng yang sudah dipres dikeringkan.

Berbeda dengan genteng tradisionil yang terbuat dari tanah liat, genteng yang diproduksi oleh perusahaan Modern ini tidak membutuhkan waktu yang lama untuk dikeringkan. Waktu pengeringan hanya beberapa menit saja, karena memang sudah cukup. Lamanya proses masing-masing jenis genteng pada masing-masing bagian diberikan dalam Tabel 3.2.

Tabel 3.2 Waktu proses produksi genteng

Bagian Jenis genteng

Molek Jelita Anggun


Cetak 10,7 menit 5,0 menit 2,0 menit

Pres 5,4 menit 10,0 menit 4,0 menitPengeringan 0,7 menit 1,0 menit 2,0 menitJumlah waktu 16,8 menit 16,0 menit 8,0 menit

Dalam seminggu, mesin-mesin pada setiap bagian dapat bekerja selama 2.705 menit pada bagian cetak, 2.210 menit pada bagian press, dan 445 menit pada bagian pengeringan. Tingkat kontribusi laba masing-masing jenis genteng per satuan adalah Rp 10,00 dari jenis molek, Rp 15,00 dari jelita, dan Rp 20,00 dari anggun. Berapa banyaknya masing-masing genteng harus diproduksi agar diperoleh laba yang maksimum?.

Seperti biasanya, terlebih dahulu dituliskan fungsi tujuannya, yakni: Maksimumkan Z=10x1+15x2+20x3

dimana:

x1 adalah jumlah genteng molek;

x2 adalah jumlah genteng jelita;

x3 adalah jumlah genteng anggun.

Kemudian, dicari kendala-kendala yang berlaku sebagai berikut.

Kendala 1: Mesin cetak.

Setiap jenis genteng melalui mesin cetak yang hanya dapat bekerja paling lama 2.705 menit dalam seminggu, sehingga ditulis: 10,7x1+5,0x2+2,0x32.705. Pembatas (limit) daripada kendala ini adalah 10,7x1+5,0x2+2,0x3=2.705.

Titik potong dengan sumbu Xl:


x2=0, x3=0, sehingga 10,7x1+0+0=2.705, atau x1=252,8.

Titik potong dengan sumbu X2:

x1=0, x3=0, sehingga 0+5x2+0=2.705, ataux2=541.


x1= 0, x2=0, sehingga 0+0+2x3= 2.705, ataux3=1.352,5.

Batas-batas kendala ditunjukkkan oleh Gambar 3.10.

X2

X1


X3

Gambar 3.10 Daerah layak kendala 1

Kendala 2: Mesin pres.

Setiap jenis genteng melalui mesin pres yang dalam seminggu hanya dapat bekerja paling lama 2.210 menit, sehingga ditulis:

5,4x1+10,0x2+4,0x32.210

Pembatas (limit) daripada kendala ini adalah:

5,4x1+10,0x2+4x3=2.210


x2=0, x3=0, sehingga 5,4x1+0+0=2.210, ataux1=409,2.


x1=0, x3= 0, sehingga 0+10x2+0=2.210, ataux2=221

Titik potong dengan sumbu X3:x1=0, x2=0, sehingga 0+0+4x3=2.210, ataux3=552,5.

Batas-batas kendala ini diberikan pada Gambar 3.11.

X 2


X1

X3

Gambar 3.11 Daerah penyelesaian kendala 2

Kendala 3: Mesin pengering

Setiap jenis genteng melalui mesin pengering yang dalam seminggu hanya dapat bekerja paling lama 445 menit, sehingga kendala ditulis:

0,7x1+1,0x2+2,0x3445

Pembatas (limit) daripada kendala ini ini adalah: 0,7x1+1,0x2+2,0x3=445

Titik potang dengan sumbu X1:

x2=0, x3=0, sehingga 0,7x1+0+0= 445, ataux1=635,7.


x1=0, x3=0, sehingga 0+x2+0=445, ataux2=445.


x1=0, x2=0, sehingga 0+0+2x3=445, ataux3=222,5.

Batas-batas daerah kendala ini ditunjukkan oleh Gambar 3.12.


X2

X1

X3

Gambar 3.12 Daerah penyelesaian kendala 3

Ketiga kendala tersebut kemudian digambarkan dalam satu grafik tiga dimensi yang telihat pada Gambar 3.13.

X2


X1

X3

Gambar 3.13 Daerah layak grafik tiga dimensi

Daerah layak merupakan suatu ruang bukan berupa bidang seperti persoalan sebelumnya. Akhirnya, kita akan menemukan bahwa kombinasi yang optimal adalah x1=200; x2=65, dan x3=120, dengan laba total sebesar Rp 5.375,00.

Soal Latihan

1. Cirikan dan diskusikan standar yang ada untuk menilai mutu hal-hal berikut!

1. anggur;

2. coffe mix;

3. penjaga sekolah;

4. presiden baru;

5. program televisi;

6. tes sikap karyawan;

7. obat baru;


8. hasil akhir suatu produk;

9. bekerjanya sebuah model inventori;

10. proposal penelitian;

11. model pakaian;

12. dokter keluarga;

13. perpustakaan perusahaan;

14. pajak penghasilan.

15. Jika penjualan menurun di bawah suatu level tertentu kebijakan perusahaan adalah memotong setengah biaya iklan. Bagaimana pertimbangan kesalahan jenis II bisa mempengaruhi posisi ini?

16. Gunakan metode cut and try dari pendekatan untuk menemukan nilai x yang memaksimumkan perubahan persen dalam volume penjualan y. Peubah yang dapat dikontrol x menyamakan persen perubahan dalam pembiayaan iklan dari tahun sebelumnya. Karena kebijakan perusahaan diketahui bahwa penurunan tidak lebih dari setengah persen dapat diterima – dan model tidak dipertimbangkan sahih untuk nilai-nilai x yang memiliki 1,5 persen.

Metode dikembangkan untuk manajer iklan oleh bagian perusahaan kelompok penelitian operasional adalah

y=3x3-4x2-x.


1. Diskusikan hasil yang Anda dapatkan dan nilai kondisi mana yang bisa rasional!

2. Berapa nilai x dalam rentang yang ditetapkan yang meminimumkan volume penjualan?

3. Apa hasil untuk y pada nilai ekstrem x?

4. Tentukan akar dari persamaan ini dan jelaskan bagaimana mereka memberikan informasi yang berguna! (Metode Newton mungkin bisa membantu.)

5. Satu akar dari f(x)=3x2+5x-2 diberikan oleh taksiran awal x=-1. Dengan menggunakan metode Newton, dapat ditentukan bahwa nilai sebenarnya x=-2. Gunakan pendekatan yang sama untuk menemukan nilai akar lainnya!

6. Untuk model laba p=2500 s + 2000 s2 – 540, apa yang diberikan oleh turunan keduanya? Apa yang dikerjakan model ini dalam bentuk normatif?

7. Pabrik kunci dalam bab ini memutuskan, berdasarkan mutu, melanjutkan pabrik bagian pengganti. Pesaingnya, pada sisi lain, berjalan melalui proses pemikiran yang sama tetapi menemukan taksiran numerik sebagai berikut: x=y/2=2a=46=6c=8d=10e. Jika pasar penggantian total =100x, apa kesimpulan yang harus dicapai pesaing?

8. Perhatikan masalah petani. Apa yang terjadi jika ramalan cuaca dapat memperbanyak dengan sebuah pengujianramalan sempurna. Gunakan pendekatan Bayesian untuk menurunkan representasi pohon


keputusan yang sesuai. Diskusikan hasil Anda dan tunjukkan bahwa ramalan petani (atau setiap taksiran subjektif eksekutif) akan merefleksikan peluang dari hasil pengujian di bawah kondisi ini.

9. Gunakan prosedur yang sama yang dijelaskan pada soal nomor 7untuk menunjukkan apa yang terjadi jika pengujian tidak andal secara total!

10. Sarankan garis umum yang diperlukan untuk memodel masalah-masalah berikut dalam bentuk antrian!

1. Suatu keputusan investasi (urutan kuantitas) untuk barang yang mahal.

2. Jadual kedatangan dan keberangkatan pada sebuah bandara udara yang ramai sekali.

3. Jumlah pelayanan yang diperlukan untuk memberi-kan sebuah restoran yang sibuk dan besar.

4. Bagian operasi meja permainan.

11. Bagaimana model antrian dapat digunakan untuk tujuan normatif?

12. Apakah rasional untuk menyatakan bahwa kekongruenan dari dua segitiga didasarkan pada transformasi isomorphic sementara kemiripan dari dua segitiga dikaitkan pada transformasi homomorphic? Diskusikan!

13. Seorang eksekutif menyatakan bahwa dua tujuan personalnya adalah penghasilan dan waktu senggang. Ia menghabiskan 77 jam per minggu dalam kegiatan rutinnya;


tidur, bepergian, dan sebagainya, sehingga waktu senggangnya dihitung 168-77=91 jam dikurangi waktu yang digunakan pada pekerjaanya. Eksekutif itu sekarang bekerja 48 jam per minggu untuk $ 20.000 per tahun. Ia mempunyai tawaran pekerjaan $ 24.000 yang memintanya bekerja 54 jam per minggu, tetapi ia sudah menerima sebuah tawaran $ 33.000 yang memerlukan 62 jam per minggu. Apa yang dapat kita katakan tentang bobot dari dua tujuannya? Asumsikan bahwa tiga pekerjaan adalah serupa dalam semua aspek lainnya. Apa persyaratan gajinya jika sebuah pekerjaan meminta 72 jam per minggu?

14. Seorang lulusan sekolah bisnis menerima berbagai tawaran pekerjaan. Ia memiliki tiga tujuan; gaji, kesemptan promosi, dan lokasi. Ia mengukur kesempatan promosi dengan banyaknya posisi eksekutif dalam perusahaan dan ia tertarik dalam lokasi hanya dalam bentuk jarak dari kota tempat tinggalnya – makin jauh makin kurang diminati. Tiga pekerjaan ditawarkan yang ia pikir sama bagusnya:

Tawaran pekerjaan Gaji Posisi eksekutifJarak

A

B

C

$ 7.200

$ 7.500

$ 8.500

200

300

200

500

2.000

1.000

Bagaimana memberi bobot pada tujuannya?


15. Dikatakan bahwa penggunaan yang salah dari penjumlahan dalam upaya mengevaluasi sebuah sistem dengan tujuan ganda dapat menghasilkan sebuah hasil yang kebalikan dari penyelesaian yang benar diturunkan dari metode perkalian. Tunjukkan sebuah contoh yang mendemonstrasikan pengaruh ini!

16. Jelaskan sifat dari metode iteratif dan mengapa mereka penting dalam prosedur normatif?

17. Apa yang baru dan berbeda tentang penggunaan heuristik dalam bentuk normatif?

17. PT Pelumas. merupakan perusahaan kecil yang memproduksi berbagai produk kimia. Dalam suatu proses produksi, tiga bahan baku dicampur untuk memproduksi dua produk: Penambah Bensin dan Pelarut. Setiap ton Penambah Bensin merupakan campuran 2/5 ton bahan 1 dan 3/5 ton bahan 3. Setiap ton Pelarut merupakan campuran 1/2 ton bahan 1, 1/5 ton bahan 2, dan 3/10 ton bahan 3. Setelah mengurangkan biaya-biaya yang relevan, kontribusi laba adalah Rp 40.000,00 untuk setiap ton Penambah Bensin dan RP 30.000,00 untuk setiap ton Pelarut yang diproduksi. Produksi PT Pelumas menghadapi kendala berupa terbatasnya persediaan ketiga bahan baku tersebut. Untuk periode produksi sekarang, PT Pelumas memiliki persediaan bahan baku sebagai berikut:

Bahan Baku Jumlah yang tersedia untuk produksi

Bahan 1 20 ton


Bahan 2

Bahan 3

5 ton

21 ton

Dengan mengasumsikan bahwa PT Pelumas ingin memaksimumkan total kontribusi laba, jawablah pertanyaan-pertanyaan benkut!

1. Bagaimana model pemrograman linear untuk masalah ini?

2. Carilah penyelesaian optimalnya! Berapa ton yang harus diproduksi untuk setiap produk, dan berapakah projeksi total kontribusi labanya?

3. Adakah bahan baku yang tidak terpakai? Jika ada, berapa banyak?

4. Adakah kendala yang sia-sia? Jika ada, yang mana?


Kelompok F

Nama NIM No. Hp E-Mail

Muh. Ilham 101114005 085399089725 [email protected]

Sidar 101114019 089665106842 [email protected]

Yosef Palayukan

101114028 08992887625 [email protected]

Documents

Model Normatif