MM-111 Angulos y Clasicacion un angulo tal que sumando su complemento con su suplemento de un angulo triple 5. ... AOD es un angulo recto. (c) COB y DOC son ...

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    08-Feb-2018

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  • MM-111 Angulos y Clasificacion

    C. Cruz

    September 16, 2015

    Definicion 1. Un angulo es la figura formada por dos rayos que tiene un punto en comun llamadovertice. Los rayos son llamados lados y el smbolo del angulo es

    bA

    bB

    bC

    El angulo BAC tiene vertice A y ladosAB y

    AC y lo representamos como BAC y su medida en

    grados la representamos por mBAC

    Definicion 2. Decimos que dos angulos son congruentes si tienen la misma medida, de otra formaACB = DEF mACB = mDEF

    Definicion 3. El bisector de un angulo es un rayo el cual divide un angulo en dos angulos congruentes

    bA

    bB

    bC

    bD

    b

    Definicion 4. Los angulos los podemos clasifica de acuerdo a sus medidas como sigue:

    1. Un angulo agudo es el angulo cuya medida esta entre 0 y 90

    bA

    bB

    bC

    b

    Disponible gratuitamente en www.mathunah.wordpress.com

    1

  • 2. Un angulo recto es el angulo cuya medida es igual a 90

    b

    bA

    bB

    bC

    3. Un angulo obtuso es el angulo cuya medida esta entre 90 y 180

    b

    bA

    bB

    bC

    4. Un angulo llano es el angulo cuya medida es de 180,

    b

    b

    A

    b

    B

    b

    C

    Definicion 5. Dos angulos se llaman complementarios si la suma de sus medidas es 90, cada anguloes llamado complemento de el otro.

    Definicion 6. Dos angulos se llaman suplementarios si la suma de sus medidas es 180, cada angulo esllamado suplemento de el otro.

    Teorema 1. Los angulos opuestos por un vertice son congruentes

    Ejercicios

    1. Encontrar el valor de x siAC biseca BAD y mBAD = 80

    xb

    A

    bD

    bB

    bC

    2. Encuentre el valor de x y los angulos complementarios

    2

  • x2

    x

    b

    A

    bD

    bB

    bC

    3. Si y son angulos adyacentes suplementarios y = 3, hallar el valor de cada uno de estosangulos

    bA

    bB

    b

    C

    bD

    4. Hallar un angulo tal que sumando su complemento con su suplemento de un angulo triple

    5. Hallar el valor de cada uno de los siguientes angulosCB y

    CA son rayos opuestos.

    x

    3x

    5x

    bA

    bB

    b

    C

    bD

    bE

    6. En la figura BC BA; BE BD, Muestre que ABD = CBE

    bC

    b

    B

    bA

    bE

    bD

    3

  • 7. La figura consiste en tres rectas coplanares que pasan por el punto O conAB

    CD, clasifique

    las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas.

    b

    O

    bD

    bC

    bA

    bB

    bF

    b

    E

    (a) mAOC = 90. (b) mEOB > EOD. (c) mFOD = AODAOF

    (d) AOD es un recto. (e) COF es un angulo agudo. (f)EF

    CD

    (g) AOF y AOD son angulos adyacentes.

    (h) AOC y AOD son complementarios.

    (i) EOF es recto. (j) Los rayosOC y

    OF son rayos opuestos.

    (k) AOC y AOD son angulos adyacentes suplementarios y congruentes.

    8. Justifique cada una de las siguientes proposiciones

    b

    O

    b YbX

    bR

    bS

    (a) Si el rayoOR

    XY , entonces mROX = 90

    (b) Si el rayoOR

    XY , entonces mSOY +mROS = 90

    (c) Si m = 90, entoncesOR

    XY

    4

  • (d) SiXY contiene a O pero no a S, entonces SOY y XOS son suplementarios.

    9. Dada la figura en la cualCD

    AB

    12 3

    4bO

    b BbA

    bC

    bS

    b

    D

    bT

    (a) m1 +m2 = (b) Si m1 = 60, entonces m2 =

    (c) Si m3 = 50, entonces m4 = (d)OT y

    OS son rayos opuestos.

    (e) Es AOT el suplemento de TOB (f) Si mTOB = 140, entonces m1 =

    (g) m1 +m2 +m3 +m4 =

    (h) Si m2 +m3 = 110, entonces m1 +m4 =

    (i) Si m4 = 23, entonces m3 = (j) Si m1 = 32, entonces mTOB =

    (k) Se puede decir queOT

    OS, si m1 + 4 = 90

    (l) Si m1 = x, entonces m2 = (m) Si m4 = 3x, entonces mAOS =

    (n) Si m2 = x+ 10, encontrar m1 (o) Si m3 = 2x 10, encuentre m4

    10. Dada la figura en la cualDE

    AB en el punto O, justifique cada una de las siguientes conclusiones

    5

  • b

    O

    b BbA

    bD

    bC

    b

    E

    (a) mAOB = mDOE

    (b) AOD es un angulo recto.

    (c) COB y DOC son complementarios.

    (d) AOC y COB son suplementarios.

    11. En la figuraOA

    OC

    21

    b

    O

    bA b

    C

    bB

    muestre que m1 = 90 m2

    12. Si AOB es un angulo llano, determine la medida de los angulos 1 y 2 cuando:

    b

    O

    bB

    bA

    bC

    6

  • (a) m1 = x; m2 = (2x+ 15)

    (b) m1 = (x 10); m2 = (3x+ 10)

    (c) m2 es 40 mayor que m1

    (d) La razon de la medida del 1 y el angulo 2 es 2:3

    13. Dada la figura A,O y D son puntos colineales. Encuentre la medida del angulo en cada uno delos siguientes incisos

    12 3

    b

    O

    bB

    bA

    bC

    bD

    b(a) m1 = 3x+ 2; m2 = 3x+ 4 y m3 = 6x 18

    (b) m1 = 5x; m2 = x+ 40 y m3 = x2 20

    (c) m1 = 2x+ 22; m2 = x+ 46 y m3 = x2 + 4

    (d) m1 = x3 70; m2 = 185 4x2 5x y m3 = 65

    (e) m3 = 30; m2m1 =1

    3(m1 +m3)

    14.

    7

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