LINEAR PROGRAMMING METODA SIMPLEX

Pangestu Subagyo2012

Tujuan instruksional:

Setelah mempelajari topik/ materi kuliah ini, maka pembaca atau mahasiswa akan mampu:1. Membuat persamaan-persamaan

kendala dlm LP, dengan memasukkan slack variable, surplus variable dan artificial variable.

2. Memecahkan masalah LP dengan menggunakan Simplex tableaus.

3. Memahami arti setiap angka yang ada pada setiap tabel4. Memahami masalah-masalah khusus dlm

linear programming yang ada, misalnya infeasibility, unboundedness, dan degeneracy.

5. Melakukan analisis sensitivitas dengan menggunakan tabel-tabel simplex yang dihasilkan

6. Menyelesaikan dual problem berdasar primal problem yg dimiliki

Dalam metoda LP Simplex:

• Dlm metoda Simplex dikerjakan

dengan tabel, sehingga memungkinkan

masalah dengan variabel yg lebih banyak• diantara tabel-tabel yg feasible, dipilih tabel

yang terbaik (optimum) • Dengan prosedur tertentu

Untuk memudahkan pembahasannya:

• Mula-mula dipecahkan dengan masalah yang memiliki standard form

• Fungsi tujuan maximumkan, kemudian minimumkan

• Penyimpangan-penyimpangan dari bentuk standar

• Dual

Contoh: (data pada contoh metida grafik)

Suatu perusahaan menghasilkan mebel, yang mengasilkan meja, untuk selanjutnya T, dan kursi untuk selanjutnya disebut dengam C. Sumbangan terhadap lana setiap meja (T) = $ 70 dan setiap kursi $ 50. Untuk selanjutnya dapat dirumuskan dalam persamaan-persamaan sebagai berikut:

Fungsi tujuan: Max profit = $70T + $50C

Subyect to constraints:

2T + 1C < 100

4T + 3C < 240

T, C > 0

Merubah persamaanpersamaan kendala: • Fungsi kendala bertanda

pertidaksamaan (memakai tanda < ), yang berarti: “maksimum sumberdaya yang tersedia atau dapat digunakan”.

• Fungsi ini harus dirubah menjadi persamaan (memakai tanda = ).

• Dengan menambah slack variable, untuk menampung nilai ruas kanan dengan ruas kiri persamaan.

Kendala pertama:

• Mula-mula: 2T + 1C < 100• Dirubah menjadi: 2T + 1C + S1 = 100• S1 menampung beda nilai ruas kanan (2T +

1C) dengan ruas kanan (100). Kalau nilai ruas kiri lebih besar daripada ruas kanan, maka bedabya ditampung di S1.

• Lalau nilai ruas kanan sama dengan ruas nilai kiri mmaka nilai S1 = 0.

• Kendala kedua menjadi: 4T + 3C + S2 = 240

Disajikan dlm persamaan-persamaan yg lebih jelas:

• Fungsi tujuan:

Maximize profit:

Z = $70T +$50C + $0S1 +$0S2

• Kendala-kendala :

2T + 1C + 1S1 = 100

4T + 3C + 1S2 = 240

T, C, S1, S2 > 0

T = table, meja

C = chair = kursi

Atau:

• Fungsi tujuan:

Maximize profit:

Z = $70T + $0C + $0S1 + $0S2

• Kendala-kendala :

2T + 1C + 1S1 + 0S2 = 100

4T + 3C + 0S1 + 1S2 = 240

T, C, S1, S2 > 0

Profit Product Real Slack Constant per mix variable variable variableunit

1

2

3

4

Tabel 1. Tabel awal.

Cj SolutionMix

$70T

$50C

$0S1

$0S2

Quantity

$0$0

S1

S2

24

13

10

01

100 240

Zj

Cj - Zj

$0$70

$0$50

$0$0

$0$0

$0$0

Keterangan tabel:

1. Profit per unit row2. Constraint equation row3. Gross profit row4. Net profit row

Arti dari Tabel 1:

• Pada Tabel produk meja (T) = 0, dan kursi (C) juga 0,belum dihasilkan.

• T maupun C tidak ada dalam kolom production mix, berarti tidak/ belum dihasilkan.

• Kendala 1 dan kemdala 2 belum dipakai sama sekali, masih utuh, sehingga nilai S1 dan S2 masih seperti yang tersedia. S1 = 100 dan S2 = 240

• Nilai tujuan, Zj = profit/ unit

Kalau tabel awal disajikan dlm vector/

matrix: T 0 C 0

S1 = 100

S2 240 Berarti:

nilai T = 0, C = 0, S1 = 100 dan S2 = 240

Kalau misalnya diperoleh jawaban optimal:

T = 30 dan C = 40, Maka semua kendala sudah dipakai, berarti:

S1 = 0 dan

S2 = 0.

Andaikata dihasilkan meja (T) 30 buah dan kursi (C) 40 buah, maka:

• Sumberdaya cukup, dan habis semua• Sumberdaya 1 dipakai 2(30) + 1(40) = 100• Sumberdaya 2 dipakai 30(4) + 3(40) = 240

T 30 C 40

S1 = 0

S2 0

Substitution rate:

• Yang ada pada body dari tabel

• Kolom-kolom sbb:

T : 2 C: 1 S1: 1 S: 2

4 3 0 1

Objective function:

• Tambahka baris objective function, Cj , pada baris diatas body tabel.

• Profit per unit, ada pada baris Cj, disebut sebagai contribution rates.

• Profit per unit tidak hanya ada pada baris objective function, tetapi juga ada pada kolm. Tetapi yang ada pada kolom Cj hanyalah profit per unit dari variabel yg muncul di solution mix.

Tanda < dirubah menjadi =, dgn menambah slack variable.

S1 = slack kendala 1, jam kerja mesin

pengecatan yang tidak dipakai.

7T + 1C < 100

menjadi:

7T + 1C + S1 = 100

S2 = slack kendala 2, jam kerja

pertukangan yang tidak dipakai.

4T + 3C < 240

menjadi:

4T + 3C + S2 = 240

Tabel lengkap, dgn obyective function:

Cj Solution

Mix

$70 $50 $0 $0Quan-

tityT C S1 S2

$0$0

S1

S2

24

13

10

01

100240

Zj

Cj - Zj

$0$70

$0$50

$0$0

$0$0

$0$0

Tahap-tahap dlm metoda simplex:

1) Tentukan kolom kunci (KK) = pivot collumn, yaitu kolom yang nilai Cj

– Zj -nya positif terbesar.

Yaitu kolom T, sebab nilai Cj – Zj = $70, sedang kolom yg lain lebih rendah:

Cj – Zj positif terbesar

Cj Solution

Mix

$70 $50 $0 $0Quan-

tityT C S1 S2

$0$0

S1

S2

24

13

10

01

100240

Zj

Cj - Zj

$0$70

$0$50

$0$0

$0$0

$0$0

2) Tentukan baris kunci (pivot row),

dengan cara: - hitung indeks baris = nilai di kolom quantity , (nilai di

kolom kanan) dibagi nilai KK (kolom kunci) - pilih yg indeksnya positif terkecil. Berarti baris S1

Indeks baris positif terkecil:

Cj Solution

Mix

$70 $50 $0 $0Quan-

tityT C S1 S2

$0$0

S1

S2

24

13

10

01

100240

Zj

Cj - Zj

$0$70

$0$50

$0$0

$0$0

$0$0

100/2 = 50 240/40 = 60

3) Kita peroleh pivot number = angka

kunci = angka yg masuk dlm kolom kunci dan baris kunci. Dalam contoh kita = 2, dalam baris S1 dan kolom T.

Dalam contoh kita = 24) Hitung nilai baru dari baris kunci

(NBBK), dgn:

ALBK (angka lama di baris kunci) AK (angka kunci)

Niai baru baris kunci = NBBKdalam contoh kolom T

Pivot number = 2

T C S1 S2 Quantity

NBL 2 1 1 0 100

NBL/AK 2/2 1/2 1/2 0/2 100/2

NBB 1 1/2 1/2 0 50

5) Nilai baru baris non kunci:

NBB = [NBL] – [NLKK] x [NBBK]

Dalam contoh kita hanya baris S2:

Nil Brs Lama(NBL)

4 3 0 1 240

Nil Lm Kl Kunc(NLKK) pada baris ybs.

4 4 4 4 4

Nil Br Br Knc(NBBK)

1 ½ ½ 0 50

Nil. Baris Baru

0 1 -2 1 40

Kolom kunci dan baris kunci:

unci

Sol.Mix

$70 $50 $0 $0

Quantity

T C S1 S2

$0$0

S1

S2

24

13

10

01

100240

Zj

Cj - Zj

$0$70

$0$50

$0$0

$0$0

$0$0

Angka kunci:

Cj Sol.Mix

$70 $50 $0 $0Quantit

yT C S1 S2

$0$0

S1

S2

24

13

10

01

100240

Zj

Cj - Zj

$0$70

$0$50

$0$0

$0$0

$0$0

Perubahan pada Solution Mix:

• Pada kolom Cj , nilai di baris kunci diganti dengan nilai Cj - Zj . Dalam contoh kita = $70

• Kolom kunci diganti dengan variable di kolom kici, yaitu T

Angka kunci:

Cj Sol.Mix

$70 $50 $0 $0Quantit

yT C S1 S2

$0$0

S1

S2

24

13

10

01

100240

Zj

Cj - Zj

$0$70

$0$50

$0$0

$0$0

$0$0

Nilai T dan S2:

Cj Solution

MixT C S1 S2

Quantity

$ 70$ 0

TS2

10

0.51

0.5-2

01

5040

Nilai Z baru:

Zj , kolom T ($70)(1) + ($0)(0) $70

Zj , kolom C ($70)(0.5) + ($0)(1)

$35

Zj , kolom S1

($70)(0.5) + ($0)(-2)

$35

Zj , kolom S2

($70)(0) + ($0)(1) $0

Zj , kolom Z ($70)(50) + ($0)(40)

$3,500

Net profit:

KolomT C S1 S2

Cj

Zj

$70$70

$50$35

$0$35

$0$0

Cj - Zj $0 $15 -$35 $0

Tabel kedua:

Cj Sol.Mix

$70 $50 $0 $0

Quan-tity

T C S1 S2

$70$0

TS2

10

0.51

0.5-2

01

5040

Zj

Cj - Zj

$70$0

$35$15

$35-$35

$0$0

$3500

Tabel kedua:

Cj Sol.Mix

$70 $50 $0 $0

Quan-tity

T C S1 S2

$70$0

TS2

10

0.51

0.5-2

01

5040

Zj

Cj - Zj

$70$0

$35$15

$35-$35

$0$0

$3500

Nilai pada baris (Cj - Zj ) :

• Bila 0 atau negatif berarti optimal

• Kalau ada yang positif berarti masih belum optimal, masih dapat diperbaiki

• Pada kolom C nilainya $15, berarti belum optimal.

Diulang/ diteruskan lagi sampai optimal.

Tabel ketiga:

Cj Sol.Mix

$70 $50 $0 $0Quan-

tityT C S1 S2

$70$50

TC

10

01

1.5-2

-0.51

3040

Zj

Cj - Zj

$70$0

$50$0

$5-$5

$15-$15

$4100

Optimal, sebab di baris (Cj - Zj) tidak

ada yang positif, yang hanya 0 atau negatif.

Penyimpangan dari bentuk baku (standard form):

Penyimpangan dari bentuk baku (standard form):• Kendala fungsional bertanda >• Kendala fungsional bertanda =• Fungsi tujuan meminimumkanegat• Kendala non negatif tidak betanda

> 0

Surplus Variable

• Pada pembahas sebelumnya, kita –masalah bahas masalah yang kendala fungsionalnya bertanda <.

• Dalam kenyataan, banyak masalah yg kendala fungsionalnya bertanda >.

• Menyimpang dari bentuk baku, harus ada penyesuaian.

Mis. suatu masalah dgn formls. sbb:

Fungsi tujuan: Max. Z = $5X1 + $9X2 + $7X3’l + $0S1 +

(1)5X1 + 10X2 + 8X3 > 210

(2) 25X1 + 30X2 = 900

(3) X1 , X2 ,X3 > 0

- Diluar bentuk standar- Harus dilakus dilakukan penyesuaian.

Kendala pertama (1):5X1 + 10X2 + 8X3 > 210

- Ditambah surplus variable, - mirip slack variable tetapi negatif - simbolnya juga Sj, tetapi negatif.

5X1 + 10X2 + 8X3 - S1 = 210

Asumsi: stiap variabel hrs brtanda > 0tidak dipenuhi, tdk dpt dikrjkn dgn LP.

Berarti S1 bertanda negarif.

- Bila semua var. brnil 0 (X1, X2, X3 = 0),

- maka nilai S1 = -210

- tidak dapat dikerjakan- Harus ditambah artificial variable- Persamaannya menjadi: 5X1 + 10X2 + 8X3 - S1 + A1 = 210

- Lalu dikerjakan dgn LP

• Nilainya (nilai variabel A1) = 0

• Setiap digunakan A1, pada fungsi tujuan harus ditam M.

• Nilai M itu besar sekali, ttp tidak takterhingga (bukan ∞)

• Kendala kedua: 25X1 + 30X2 = 900

• Sudah berbentuk persamaan (bertanda =)

• Tetapi belum memiliki slack variable

• Harus ditambah artificial variable• Hasilnya: 25X1 + 30X2 + A2 = 900

• Contoh ini akan diselesaikan kalau datan lengkap.

• Sebab kalau fungsi tujuannya memaksimumkan, hasilnya (X1, X2, X3 ) = 0.

• Bila fungsi tujuan:Minimumkan Z = $5X1 + $9X2 + $7X1

Persamaan semuanya:

Fungsi tujuan: Max. Z = $5X1 + $9X2 + $7X1 + $0S1 + $MA1 + $MA2

Fungsi kendala: 5X1 + 10X2 + 8X3 - 1S1 + 1A1 + 0A2 = 210

25X1 + 30X2 + 0X3 + 0S1 + 0A1 + 1A2 = 900

X1 , X2 , X3 , A1 , A2 > 0

Untuk sementara hasilnya tidak dijawab, semam minimiwsasi belum dibahas.

TUJUANNYA MEMINIMUMKAN

Langkah-langkahnya:• Pilih variabel (dlm kolom) yang nilai

di baris Cj – Zj paling negatif, sebagai kolom kunci (pivot collumn)

• Tentukan baris kunci (pivot row) yg nilai indeksnya positif terkecil.

• Hitunglah nilai baru baris kunci

• Menghitung nilai Zj dan Cj – Zj pada tabel terbaru di tahap ini.

Tabel awal minimumkan :

Cj Sol.Mix

$5 $6 $0 $0 $M $M Quan-tityX1 X2 S1 S2 A1 A2

$M$0$M

A1

S1

A2

110

101

010

00-1

100

001

1000300150

Zj

Cj - Zj

$M-

$M+5

$2M-

$M+6

$0$0

-$M$M

$$0

$M$0

$1150M

Tabel awal dgn pivot collumn, pivot raw, pivot number:Cj Sol.

Mix$5 $6 $0 $0 $M $M Quan-

tityX1 X2 S1 S2 A1 A2

$M$0$M

A1

S1

A2

110

101

010

00-1

100

001

1000300150

Zj

Cj - Zj

$M-

$M+5

$2M-

$M+6

$0$0

-$M$M

$$0

$M$0

$1150M

Pivot collumn Pivot number Pivot row

Tabel kedua:

Cj Sol.Mix

$5 $6 $0 $0 $M $M Quan-tityX1 X2 S1 S2 A1 A2

$M$0$6

A1

S1

X2

110

001

010

10-1

100

-101

850300150

Zj

Cj - Zj

$M-

$M+5

$2M-

$M+6

$0$0

-$M$M

$$0

$M$0

$1150M

Tabel kedua, kolom kunci, baris cunci dan angka kunci:

Cj Sol.Mix

$5 $6 $0 $0 $M $M Quan-tity

X1 X2 S1 S2 A1 A2

$M$0$6

A1

S1

X2

110

001

010

10-1

100

-101

850300150

Zj

Cj - Zj

$M-$M+5

$6$0

$0$0

$M-6-

$M+6

$M$0

-$M+6$2M-6

$850M+$900

Tabel ketiga:

Cj Sol.Mix

$5 $6 $0 $0 $M $M Quan-tity

X1 X2 S1 S2 A1 A2

$M$5$6

A1

X1

X2

010

001

-110

10-1

100

-101

550300150

Zj

Cj - Zj

$5$0

$6$0

-$M+5$M-5

$M-6-

$M+6

$M$0

-$M+6$2M-6

$550M+$2400

Tabel keempat:

Cj Sol.Mix

$5 $6 $0 $0 $M $M Quan-tity

X1 X2 S1 S2 A1 A2

$0$5$6

S2

X1

X2

010

001

-11-1

100

101

-100

550300700

Zj

Cj - Zj

$5$0

$6$0

-$1$1

$0$0

$6$M-6

$0$M

$5700

Penggunaan QM for Windows:

Fungsi tujuan: Max profit = $70 X1 + $50 X2

Subyect to constraints:

2 X1 + 1 X2 < 100

4 X1 + 3 X2 < 240

X1, X2 > 0

Soal-soal:1. Kerjakanlah soal nomer 1 metoda grafik, gunakan metoda Simplex.

2. Kerjakanlah soal nomer 2 metoda grafik, gunakan metoda Simplex.

3. Perusahaan makanan ternak Prabujaya menghasilkan makanan ternak, yaitu type I, type II dan type III. Untuk membuat satu kantong makanan ternak type I diperlukan bahan baku A sebanyak 9 kg, bahan baku B sebanyak 12 kg dan bahan baku C sebanyak 18 kg.

Untuk membuat satu kantong makanan ternak

type II diperlukan bahan baku A sebanyak 3 kg, bahan baku B sebanyak 8 kg dan bahan baku C sebanyak 6 kg. Dan untuk membuat satu kantong makanan ternak type III diperlukan bahan baku A sebanyak 12 kg, bahan B baku sebanyak 5 kg dan bahan baku C sebanyak 15 kg. Sumbangan terhadap laba, setiap kontong makanan ternak type Rp 6 000,-, makanan ternak type II Rp 9 000 dan makanan ternak type III Rp 3 000,-. Jumlah bahan bakuA yang tersedia sebanyak 54 ton, bahan baku B sebanyak 64 tn dan bahan baku C sebanyak 63 ton. Buatlah rumusan masalah perencanaan jumlah produksi ini, buatlah fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendalanya.

Rumuskan masalah ini kedalam

persamaan-persamaan, tidak usah dicari rencana produksinya.

4. Suatu masalah dapat dirumuskan didalam persamaan-persamaan berikut:

Fungsi tujuan: Maks. Z = 30X1 + 10X2

Kendala-kendala: (1) 3X1 + 6X2 < 18 (2) 5X1 + 2X2 < 10 (3) X1, X2 > 0 Carilah jawaban optimalnya, gunakan linear programming metoda Simplex!

5. Perusahaan roti Arumi menghasilkan dua

macam roti, yaitu roti dengan merk Sukaku dan merk Sukamu. Faktor yang membatasi pembuatan roti ini adalah gandum, gula pasir dan keju. Untuk membuat satu kaleng roti merk Sukaku diperlukan gandum 0,5 kg, gula 0,20 kg dan keju 0,25 kg. Sedang untuk membuat satu kaleng roti merk Sukamu diperlukan gandum 0,40 kg, gula pasir 0,40 kg dan keju 0,30 kg

Untuk bulan depan banyaknya gandum yang tersedia sebanyak 1 250 kg, gula pasir 600 kg dan keju 720 kg. Sumbangan terhadap laba untuk setiap kaleng roti merk Sukaku Rp 2 500,- sedang setiap kaleng merk Sukamu Rp 3 000,-. Kit akan merencanakan jumlah produksi setiap merk roti untuk bulan depan.

a) Buatlah formulasi masalah ini kedalam persamaan-persamaan linier agar dapat dikerjakan dengan liner programming!

b) Carilah keputusan optimalnya dengan pendekatan grafik!

c) Carilah keputusan optimalnya dengan pendekatan Simplex