MK Simulacija

Embed Size (px)

Text of MK Simulacija

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    1/41

    4. Monte Karlo simulacija i generisanje sluajnih brojeva

    Simulacija komunikacionog sistema zahtijeva generisanje vrijednosti uzoraka svih ulaznih

    oblika signala, procesiranje ovih uzoraka kroz modele funkcionalnih blokova sistema iprocjenjivanje performansi sistema na bazi izlaznih uzoraka u raznim takama modela. Fokusovog poglavlja je na tome kako generisati vrijednosti uzoraka ulaznih oblika koji prolazekroz simulacijski model. Monte Karlo tehnika predstavlja osnovu za simulacijske sistemevoene ulaznim signalima koji su modelirani kao sluajni procesi.

    4.1. Principi Monte Karlo simulacije

    4.1.1. Definicija Monte Karlo simulacije

    Mehaniki generatori sluajnih brojeva su u poetku bili koriteni za simulaciju igara nasreu, te su simulacijske tehnike koje koriste generatore sluajnih brojeva dobile ime pogradu Monte Karlo, domu svjetski poznatih kasina. Iako postoji mnogo varijacija MonteKarlo tehnike, u osnovi ona ukljuuje simulaciju sluajnog eksperimenta koristei umjetneuslove, bez potpunog ponavljanja fizikog eksperimenta. U kontekstu, recimo, procjene

    uestanosti greke bita u telekomunikacijskom sistemu moemo definisati Monte Karlosimulaciju, kako slijedi: na Slici 4.1. dat nam je model komunikacionog sistema i opisulaznih signala U(t), V(t) i W(t), za koje pretpostavljamo da su sluajni procesi.

    Slika 4.1. Definicija Monte Karlo simulacije

    Na cilj je da pronaemo statistiku vrijednost Y(t) ili oekivanu vrijednost neke funkcijeg(Y(t)) vrijednosti Y(t). Ako rijeimo ovaj problem imitiranjem sistema ukljuujui i vrijemeevolucije svih talasnih signala sistema, tada imamo pravu Monte Karlo simulaciju. Ovopodrazumjeva generisanje vrijednosti uzoraka svih ulaznih procesa, putanje da modelfunkcionalnih blokova u komunikacionom sistemu izvri operacije nad njima i posmatranjeizlaznih oblika signala. Idealno, Monte Karlo simulacija u potpunosti odgovara realnimsistemima sa ogranienjima pretpostavki modela i aproksimacijama. Oekivana vrijednost

    ( ){ })(tYgE se procjenjuje iz MK simulacije prema:

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    2/41

    2

    ( ){ } =

    =N

    i

    iYgN

    tYgE1

    ))((1

    )(

    gdje (t) oznaava procijenjenu vrijednost, aNje broj uzoraka u simulaciji.

    U kontekstu specifinog primjera datog na slici 4.2., Monte Karlo simulacija za procjenuuestanosti greke bita u digitalnim komunikacijskim sistemima ukljuuje sljedee korake:

    =

    =N

    k

    e kYgN

    P1

    ))((1

    Slika 4.2. Simulacijski model komunikacionog sistema

    1. Generisanje vrijednosti uzoraka ulazne bitske sekvence {A(k)}, k=1,2, ... ,Ni uzorakauma {N(j)}, j=1,2, ..., m (uestanost uzimanja uzoraka je m uzoraka po bitu)

    2. Procesiranje ovih uzoraka kroz model funkcionalnih blokova i generisanje izlaznesekvence Y(k)

    3. Procjena E(g(Y(k))):=

    =N

    ke kYgN

    P1

    ))((1

    gdje je g(Y(k)) = 1 ako je )()( kAkY iIi g(Y(k)) = 0 ako je Y(k) = A(k) (ovaj korak jeekvivalentan brojanju greaka).

    Tanost procjene dobijene Monte Karlo simulacijom zavisi od procedure procjene koja sekoristi, broja uzoraka N, mogunosti da se vrijednosti uzoraka ulaznog procesa tanoreprodukuju, te od pretpostavki i aproksimacija modela. Generalno govorei, tanost e bitiproporcionalna N/1 , to znai da e se prilino velik broj uzoraka morati simulirati kakobi se postigla tana procjena pomou Monte Karlo simulacije. Iako je Monte Karlo simulacijauopena i moe biti primjenjena na irok spektar problema, zahtjevi za velikim brojem

    uzoraka, te duina simulacije su esto ograniavajui faktori.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    3/41

    3

    4.1.2. Varijacije Monte Karlo simulacije Kvazianalitika Monte Karlo simulacija

    Nisu sve simulacije Monte Karlo simulacije ili iste Monte Karlo simulacije. Monte Karlopodrazumjeva da je barem jedan sluajni proces imitiran, dok ista Monte Karlo simulacija

    podrazumijeva da su svi ulazi procesi imitirani. U mnogim simulacijskim aplikacijama nijeneophodno simulirati sve sluajne procese koji postoje u sistemu. U primjeru prikazanom naslici 4.2. uestanost greke izvedbe sistema zavisi od uma i kumulativnog izoblienja kojenastaje usljed nelinearnosti i filtera. Obzirom da je um koji se javlja Gausov (bijeli) um kojise sabira sa ulazom, rezultat na izlazu filtera i samim tim na bloku za odluivanje, e takoerbiti aditivan Gausov um. Ukoliko nema izoblienja, uticaj aditivnog Gausovog uma moebiti obraen analitiki bez simulacija, ak i sa izoblienjima, uticaj aditivnog Gausovogbijelog uma, moe biti okarakteriziran analitiki za datu vrijednost izoblienja. Ipak,raspodjelu vrijednosti izoblienja nastalih usljed nelinearnosti i filtera je lake simulirati negoanalitiki opisati. U ovom sluaju, trebamo samo simulirati kumulativni uticaj svihfunkcionalnih blokova na ulaznim binarnim oblicima i onda nema potrebe da eksplicitnosimuliramo oblik uma.

    Monte Karlo simulacije u kojima su samo neki (ali ne svi) ulazni procesi u sistem simuliranieksplicitno, dok su uticaji drugih procesa obraeni pomou analitikih tehnika nazivaju separcijalne Monte Karlo ili kvazianalitike Monte Karlo simulacije. Osnovna prednost ovihsimulacija jeste ta da zahtijevaju simulaciju manjeg broja uzoraka nego ista Monte Karlosimulacija, a dobijene procjene imaju istu tanost. Parcijalne simulacije su naroito korisne zalinearne sisteme.

    4.2. Generator sluajnih brojeva

    Bilo da koristimo istu ili parcijalnu Monte Karlo simulaciju, klju za njenu implementacijuje generisanje sekvenci sluajnih brojeva koji predstavljaju uzorkovane vrijednosti ulaznihsluajnih procesa. Iz perspektive modeliranja, ovo zahtijeva razumijevanje principa sluajnihvarijabli i sluajnih procesa. Implementacija MK simulacija, sa druge strane, zahtijevaalgoritme za generisanje sekvenci sluajnih brojeva. Cjelokupna tanost rezultata simulacijezavisi od toga koliko vjerno ovi algoritmi prikazuju statistike osobine sluajnih procesa kojeimitiraju.

    U modeliranju i simuliranju sluajnih procesa esto pravimo fundamentalnu pretpostavku:sluajni procesi su ergodini. Pretpostavka ergodinosti je klju za primjenu rezultatasimulacija dobijenih na bazi jednog uzorka funkcije procesa na cijeli ansambl procesa.Ergodinost podrazumjeva stacionarnost u uem i irem smislu, to znai da su vane osobineprocesa obuhvaene raspodjelom prvog i drugog reda, i da su osobine procesa vremenskinezavisne. Ovo ne samo da pojednostavljuje modele za sluajne procese ve takoe olakavakreiranje algoritama za generisanje sluajnih sekvenci koji mogu da tano prikau osnovneosobine procesa koji se izvrava, kao to su raspodjela prvog reda, srednja vrijednost,varijansa i autokorelaciona funkcija (i shodno tome spektralna gustoa snage).

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    4/41

    4

    Sa simulacijske take gledita, svi sluajni procesi moraju biti predstavljeni sekvencamasluajnih varijabli te su nam stoga potrebne metode za generisanje sluajnih brojeva izmnotva raspodjela, sa proizvoljnim autokorelacionim funkcijama (spektralnim gustinamasnage).

    Polazna taka za generatore sluajnih brojeva su rekurzivni algoritmi za generisanjenezavisne sekvence uniformnih sluajnih brojeva. Primjenjujui odgovarajuu nelinearnutransformaciju bez memorije, moemo transformisati jednu sekvencu u neku drugu nezavisnusekvencu sa proizvoljnom raspodjelom prvog reda. Nezavisna sekvenca moe bititransformisana u sekvencu sa proizvoljnom korelacionom funkcijom i spektralnom gustoomsnage primjenom linerane ili nelinearne transformacije sa memorijom. Razmatrit emoalgoritme za generisanje uniformnih sluajnih brojeva i navesti transformacije koje mogu bitiprimjenjene za konvertovanje izlaza generatora uniformnih sluajnih brojeva u sekvencu saproizvoljnom raspodjelom i korelacionom funkcijom. Razvijeni su i efikasni kompjuterskialgoritmi za generisanje binarnih i M-arnih sekvenci koje predstavljaju ulazne simbolnesekvence u digitalnim komunikacijskim sistemima.

    Obzirom da Monte Karlo simulacije ukljuuju generisanje i procesiranje velikog brojauzoraka, proraunska efikasnost generatora sluanih brojeva je iznimno vana. Sa drugestrane, obzirom da ukupna uinkovitost rezultata simulacije takoe zavisi i od valjanostigeneratora sluajnih brojeva, moramo izbalansirati efikasnost naspram zahtjeva za tanost.Testovi za provjeru ispravnosti generatora sluajnih brojeva su takoe dati u ovom poglavlju.

    4.2.1. Generisanje uniformnih sluajnih brojeva

    Uniformni sluajni brojevi se generiu pomou rekurzivnih formula koje su matematskiveoma efikasne. Jedan takav metod koji se naziva kongurentni metod ili metod ostatakasnage koristi sljedeu rekurzivnu formulu:

    [ ] MckaXkX mod)1()( += (4.2.1)

    gdje je M modul, M > 0, cjelobrojna vrijednost, a je mnoilac, 0 < a < M, c je korakpoveanja, obino je jednak jedinici ili nuli; a X(0) je poetna vrijednost (sjeme) pri emu je0 < X(0) < M. Algoritam u prethodnoj jednaini se izvrava kao operacija nad cjelobrojnim

    vrijednostima. Poetna vrijednost X(0) je data od strane korisnika i predstavlja jedinusluajnu vrijednost u navedenoj jednaini.

    Ovaj izraz daje sluajne sekvence cjelobrojnih vrijednosti u intervalu 0 X(k) M-1, kojamoe biti pretvorena u sluajnu sekvencu uniformnih sluajnih brojeva na intervalu [0,1]izvravajui operaciju sa pominim zarezom (floating point):

    U(k) = Float [X(k)/M] (4.2.2.)Rezlultat prethodne jednaine se sastoji od cjelobrojnih varijabli koje su podskup intervala[0, M-1] i odgovaraju stanju sekvence iz sistema sa konanim brojem stanja, sa maksimalnim

    brojem odMstanja. Zbog toga je maksimalni period izlazne sekvenceM.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    5/41

    5

    Statistike vrijednosti izlaza generatora sluajnih brojeva date izrazom (4.2.1.) te njihoviperiodi zavise od vrijednosti varijabli a, c i M. Dobar sluajni generator se uvijek dizajnirapaljivim odabirom ovih parametara. Na ove vrijednosti takoe moe uticati i poetnavrijednost koju bira korisnik. Na statistike vrijednosti dobrog generatora sluajnih varijabline bi trebala uticati poetna vrijednost; ona samo specificira poetnu taku periodine izlazne

    sekvence. Meutim, poetna vrijednost e uticati na vrijednosti podsekvenci ija je duinamnogo kraa od perioda.

    Postoje dva aspekta izlaza generatora sluajnih brojeva koji su jako vani:

    (1) algebarske (vremenske) vrijednosti kao to je struktura i period i(2) statistike vrijednosti kao to je raspodjela izlaza

    Dobro odabrane vrijednosti a, c i M trebaju voditi dobrim algebarskim i statistikimvrijednostima te takoe maksimizirati proraunsku efikasnost i kompatibilnost sa

    aritmetikom koja se koristi na odreenoj maini.

    Unutar strukturalnih vrijednosti, vano je da izlazna sekvenca bude nekorelirana i da imamaksimalan period. Period bi trebao da bude dui od duine simulacije, inae postojiopasnost da e dio simulacije biti preslikan, a tanost simulacije se nee poveati iza take ukojoj poinje preslikavanje. Dok je maksimalni period M, proizvoljan izbor a, c i M negarantuje maksimalni period. Korelacija izmeu izlaznih vrijednosti nije poeljna zbog togato procjene zasnovane na istinito koreliranim uzorcima imaju vee varijanse nego procjenedobijene upotrebom nekoreliranih uzoraka. Postoje odreene smjernice za odabir konstantikoje e omoguiti maksimalni period i nekorelirani izlaz.

    Genetarori uniformnih sluajnih brojeva koji se najee koriste su:

    X(k) = 16,807 X(k 1) (Mod231 1) za 32-bitne maine sa (31 + 1)-bitom znaka;period = 2

    31-2

    X(k) = [69,069 X(k 1) + 1](Mod231) za 32-bitne maine;period = 2

    32

    Generatori sluajnih brojeva sa duim periodima mogu biti kreirani upotrebom varijacija

    lineranog kongurentnog algoritma. Tako je, na primjer, mogue garantovati maksimalanperiod koristei rekurzivni algoritam oblika:

    X(k) = [ a1 X(k 1) + ... + am X(k m)] mod p (4.2.3.)

    gdje su (a1, a2, ..., am) koeficijenti primitivnog polinoma:

    f (x) = xm a1xm 1 - ... - am

    definisani na Galoa poljima (GP(p)). Period sekvence dobijen pomou izraza (4.2.3.) jepm 1. Uporeujui izraze (4.2.1.) i (4.2.3.) jasno je da algoritam dat izrazom (4.2.3.)

    zahtijeva vie prorauna za svaki izlazni uzorak (za p = 2, ovaj algoritam se najee koristiza generisanje binarnih sekvenci).

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    6/41

    6

    Druga dva metoda za generisanje sluajnih uniformnih sekvenci sa jako dugim periodima suopisani u nastavku. Ovi algoritmi su proraunski efikasni i daju sekvence sa dugim periodimai vrlo dobrim statistikim vrijednostima.

    4.2.1.1. Wichman Hill algoritam

    Ovaj pristup generisanja sekvenci sa duim periodima ukljuuje linearno kombinovanjeizlaza razliitih generatora sluajnih brojeva sa kraim periodima (sekvence sa kraimperiodima mogu biti posmatrane i testirane tokom cijelog perioda). Ukoliko saberemo dvaperiodina talasna signala sa njihovim periodima N1 i N2, tada e rezultirajui signal bitioblika:

    N = lcm (N1, N2)

    Ako suN1 iN2 relativno prosti brojevi jedan u odnosu na drugog, tada je:

    21 NNN =

    Ovo znai da moemo, kombinujui izlaze nekoliko generatora sluajnih brojeva, napravitisekvencu sa mnogo duim periodom.

    Algoritam Wichman Hill je zasnovan na ovom principu i kombinuje izlaze tri generatorasluajnih brojeva prema:

    X(n) = 171 X(n - 1) mod 30,269Y(n) = 172 X(n - 1) mod 30,307Z(n) = 170 X(n -1) mod 30,323 (4.2.4a)

    i

    1mod323,30

    )(

    307,30

    )(

    269,30

    )()(

    ++=nZnYnX

    nU (4.2.4b)

    Prva tri koraka u algoritmu se impementiraju pomou cjelobrojne aritmetike, a zadnji korakje operacija sa pominim zarezom. Period sekvence dobijene pomou ovog algoritma je

    12107322,30306,30268,30 =p

    Ovaj algoritam ne zavisi od maine na kojoj se izvodi sve dok cjelobrojna aritmetika moepodnijeti rad sa 5,212,632 cijelih brojeva bez zaokruivanja, a izlaz ima dug period i teikonanom sistemu koji ne zavisi od poetnih uslova. Mogue je, naravno, jo vie produitiperiod kombinujui izlaze vie generatora, ali to vodi ka poveanju kompjuterskogoptereenja.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    7/41

    7

    Bitno je naglasiti da je Wichman Hill algoritam proraunski mnogo kompleksniji negoalgoritam prikazan jednainom (4.2.1.). Njegova glavna prednost je u tome da je prenosiv (nezavisi od ureaja na kom se izvodi) i garantuje maksimalan period pri konstrukciji, te nemapotrebe provjeravati ga empirijski, to je veoma komlikovano ostvariti ukoliko je period jakodug.

    4.2.1.2. Marsaglia Zaman algoritam

    Ovaj algoritam, predstavljen od strane Marsaglie i Zamana, je linearni rekurzivni algoritamkoji zahtijeva duu memoriju i prenesi ili posudi rekurzivne operacije. Postoje dvije slineverzije ovog algoritma, oduzimanje sa posuivanjem i sabiranje sa prenoenjem. U nastavku

    je opisan algoritam oduzimanja sa posuivanjem, ija je forma:

    1,

    )()( xkfxf wX za svakox

    tj.,kfw(x) je na gornjoj strani usko vezano zafX(x)kako je to prikazano na na slici 4.7. U tomsluaju se sljedea metoda moe koristiti za generisanje uzorakaX:

    1. Izaberikfw(x) i naiFw-1().2. Generii U1 i nai X = Fw-1(U1).3. Generii U2 uniformno na [0, b],b = kfw(x).4.

    Ako je U2 < a, a= fX(x), izlaz jeX, inae odbijXi vrati se na korak 2.

    Proraunska efikasnost ovog algoritma e zavisiti od toga koliko uskokfw(x) veefX(x).

    Slika 4.7. Modifikovana forma metode prihvaanja/odbijanja; U1 uniformno na [0, b].

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    15/41

    15

    4.2.3. Generisanje Gausovih sluajnih varijabli

    4.2.3.1. Metoda Suma od 12

    Najjednostavnija metoda za generisanje sluajnih brojeva sa standardnom Gausovomfunkcijom vjerovatnoe raspodjele ( 0= i 1

    2 = ) jeste pomou centralnog graninogteorema prema formuli

    =

    =12

    1

    0.6)(k

    kUY (4.2.6)

    Gdje su U(k), k=1, 2, ..., 12 podskup nezavisnih, identino rasporeenih sluajnih vrijednostisa uniformnom raspodjelom na intervalu [0, 1]. Poto U(k) ima srednju vrijednost 0,5 ivarijansu jednaku 1/12, veoma je lako provjeriti da desna strana izraza (4.2.6.) daje srednjuvrijednost 0 i varijansu 1.

    Treba primijetiti da, dok Gausova sluajna varijabla ima vrijednosti koje idu od do + ,jednaina (4.2.6.) daje vrijednosti Y u intervalu [-6,0, 6,0]. Broj 12 je tradicionalan ipredstavlja kompromis izmeu brzine i preciznosti, ali nema razloga da se kogranii na 12.

    4.2.3.2. Box-Mullerova Metoda

    Dobro je poznato da, ako su X i Y nezavisne Gausove varijable sa nulom kao srednjomvrijednou, tada 2/122 )( YXR += i { }XY/tan 1= imaju Rejlijevu i uniformnu funkcijuvjerovatnoe raspodjele, respektivno. Ova injenica se moe iskoristiti da se generiu dvauzorka Gausovih varijabli kroz transformaciju para Rejlijevih i uniformnih varijabli kakoslijedi: Ako su U1 i U2 dvije nezavisne varijable uniformno rasporeene u jedininomintervalu, tada su

    [ ] )2cos()ln(2 22/11 UUX =

    (4.2.7a)

    i

    [ ] )2sin()ln(2 22/1

    1 UUY =

    (4.2.7b)

    nezavisne Gausove sluajne varijable sa srednjom vrijednou nula i varijansom 1. Ovajalgoritam je poznat kao Box-Mullerova metoda.

    Primijetimo da (4.2.7) daje brojeve koji se rasporeuju na intervalu [ ]+ , . Meutim, ovajalgoritam je mnogo sporiji nego onaj koji je predstavljen sa izrazom (4.2.6). Takoer, ako je

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    16/41

    16

    minR najmanja pozitivna cjelobrojna vrijednost koja se moe predstaviti na nekom raunaru,tada e algoritam dati brojeve u intervalu (-a, a),

    [ ] 2/1min)ln(2 Ra = .

    Preporuuje se da se jednaina (4.2.7) implementira u aritmetici dvostruke preciznosti, kakobi se proirio opseg izlaznih vrijednosti.

    Saetak metoda koritenih za generisanje nezavisnih sekvenci sluajnih varijabli je prikazanna slici 4.8 i u tabeli 4.1.

    Slika 4.8. Saetak procedura za generisanje sluajnih brojeva

    Da li je funkcija gustoeraspodjele data uzatvorenoj formi?

    Kvantizuj funkciju gustoeraspodjele; izraunaj empirijskikumulativnu funkciju raspodjelei koristi empirijsku inverznutransformaciju

    Da li je kumulativna funkcijaraspodjele u zatvorenoj formi?

    Da li je inverznakumulativna funkcijau zatvorenoj formi?

    Inverznatransformacija

    (analitika)

    Inverznatransformacija

    (empirijska)

    Ogranienapodrka

    Neogranienapodrka

    Metodprihvatanja /odbijanja

    Modifikovanimetod prihvatanja/ odbijanja

    Ne, em iri ska forma

    Da, zatvorena forma

    Da Ne

    Da Ne

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    17/41

    17

    Distribucija Metoda generisanja

    Diskretna

    Uniformna Inverzna metoda transformacije

    Binomna (n,p) Inverzna metoda transformacije, ili suma od n nezavisnihB(1, p) vrijednostiGeometrijska () Y= [Z+1]cijeli broj; Z=lnU / ln(1- )Poasonova () Suma keksponencijalnih varijabli dok suma ne bude >1; izbaci

    k; ili, mnoi kuniformne varijable dok U1, U2... Uk< exp(-);izbaci k

    Gama (, ) cijeli broj; izlaz = suma eksponencija (=1) i skalirano sa Proizvoljna Konaan broj vrijednosti; inverzna transformacija, tabelarno

    pretraivanjeBeskonaan broj vrijednosti: inverzna transformacija,kumulativno izraunavanje u toku procesa

    KontinuiranaUniformna [a, b]. Inverzna metoda transformacije:X=a+U(b-a)Eksponencijalna [ ] /lnUZ = Gausova N(0,1) Metoda sume od 12: X=( U1+U2+...+ U12)-6,0

    Boks-Mulerova metoda: 21 2cos)ln(2 UUX =

    21 2sin)ln(2 UUY =

    Rejlijeva 22 YXR += Rajsova 22)( YXAR ++= ;A je konstanta

    Hi kvadrat (r)

    =

    r

    k kX

    1

    2

    ;

    kX je definisano naN(0, 1)

    Log normalna )exp(XY= ;Xima normalnu raspodjeluOstale Vidjeti sliku 4.6

    Tabela 4.1: Saetak generatora sluajnih brojeva

    4.3. Generisanje nezavisne sluajne sekvence

    U prethodnim odjeljcima smo prikazali metode za generisanje sekvence sluajnih brojeva sadatom funkcijom gustoe raspodjele. Pretpostavimo da su lanovi sekvence {X(k)} nezavisni.U ovom odjeljku emo koristiti metode za generisanje nezavisnih sekvenci sluajnih varijablikoje predstavljaju uzorke vrijednosti sluajnog procesa koji nas interesuje.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    18/41

    18

    4.3.1. Bijeli Gausov um

    Bijeli um ima konstantnu spektralnu gustou snage za sve frekvencije

    2)( 0

    NfSNN = za +

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    19/41

    19

    U svrhu simulacije su vrijednosti uzete kao uzorci Gausovog bijelog uma generisanekoritenjem spektralne gustine snage prikazane na slici 4.9c. Primijetimo da ova spektralnagustina snage vodi ka autokorelacionoj funkciji sa nula-prelazom za sSS fTkT /1, == , jer su

    uzorci u vremenskom domenu nekorelirani i nezavisni u Gausovom sluaju. Varijansauzoraka je 2/0 SfN . Stoga, vrijednosti uzete kao uzorci Gausovog bijelog uma ogranienogopsega propusnosti, mogu biti simulirane koritenjem nezavisne sekvence Gausovih varijablisa srednjom vrijednou jednakoj nuli i varijansom

    2/02

    SN fNS = (4.3.2)

    Takva sekvenca se moe generisati mnoenjem izlaza srednje vrijednosti nula, jedininevarijanse Gausovog generatora sluajnih brojeva sa

    SN .

    4.3.2. Sluajne binarne sekvence i sluajni binarni talasni oblici

    Sluajna binarna sekvenca {bk}, bk=0 ili 1, se moe generisati iz uniformne sekvence {Uk}preko

    =0

    1kb za

    za

    0

    1

    pU

    pU

    k

    k

    >

    Gdje je [ ]00==

    kbPp . Vrijednosti uzoraka sluajnog binarnog talasnog oblika mogu bitigenerisane sa:

    Nm

    k

    mTpbmkNX Sk

    ,...,2,1

    ,...3,2,1,0,1,2,3...,

    ),()12()(

    =

    =

    =+

    Gdje su p(mTs) vrijednosti uzete kao uzorci amplitude jedininog impulsa sa periodomtrajanja jednakim intervalu bita, a stopa uzimanja uzoraka je Nputa vea od stope uzimanjauzorka bita.

    Vrijednosti uzete kao uzorci M-arnih digitalnih talasnih formi sa nezavisnim amplitudnimsekvencama se mogu generirati na isti nain.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    20/41

    20

    4.3.3. Pseudo-sluajne binarne sekvence

    Sluajna binarna sekvenca se sastoji od statistiki nezavisnih nizova nula i jedinica, od kojih

    se svaka pojavljuje sa vjerovatnoom od . Pseudo-um ili pseudo-sluajna sekvenca jeperiodina binarna sekvenca sa autokorelacijskom funkcijom, koja slii autokorelacionojfunkciji raspodjele sluajne binarne sekvence. Pseudo-um se generie koritenjem sklopaift-registra sa povratnom spregom (slika 4.10.). Iako deterministiki, pseudo-um imamnogo karakteristika slinih karakteristikama sluajne binarne sekvence.

    ift-registar sa povratnom spregom se sastoji od binarnih memorijskih elemenata i logikepovratne sprege. Binarne sekvence se pomjeraju kroz ift-registar kao reakcija na taktovesata. Sadraj ift-registra se logiki kombinuje kako bi se proizveo ulaz za prvo stanje.Poetni sadraj registra i logika povratne sprege odreuju sukcesivni sadraj ift-registra.ift-registar sa povratnom spregom nazivamo linearnim ukoliko se logika povratne sprege u

    potpunosti sastoji od sabiraa po modulu 2. Linearni ift-registar sa m-stanja i povratnomspregom generie pseudo-um prema

    mnmnnmnmn ScScScScS + = 0112211 (4.3.3)

    gdje je Snvrijednost sekvence u trenutku n, koeficijenti ciimaju binarnu vrijednost (0 ili 1), aC0 = 1 i oznaava sabiranje po modulu 2.

    Poto je broj razliitih stanja ift-registra sa m stanja jednak 2m, sekvenca stanja i izlaznasekvenca na kraju moraju postati periodine sa periodom od najvie 2m. Ako linearni ift-

    registar sa povratnom spregom sadri sve nule u bilo kom trenutku, on e zaglaviti u tomstanju zauvijek. Poto ima tano2m-1 nenultih stanja, maksimalni period ne moe prei2m-1.

    Poveimo sa koeficijentima iz (4.3.3.) polinom stepena m,

    0111)( cXcXcXXP mmm

    m ++++= (4.3.4)

    Tada moe biti pokazano da e sekvenca {Sn} imati maksimalnu duinu, ako i samo ako jePm(.) primitivni polinom. Polinomski stepen m sa koeficijentima u binarnom polju GF(2) jeprimitivan ako dijeliXr+1 za rkoje nije manje2m-1. Tabela 4.2. daje primitivne polinome do16. stepena, sa binarnim koeficijentima, a slika 4.11 prikazuje implementaciju za m=10.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    21/41

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    22/41

    22

    =

    =N

    np knYnYN

    kR1

    )()(1

    )( , 12 = mN (4.3.5)

    Rp(k) je periodina i slina autokorelacionoj funkciji sluajne binarne sekvence tokomjednog perioda (vidjeti sliku 4.12).

    3. Meu nizovima jedinica i nula u svakom periodu sekvence maksimalne duine, jednapolovina pojavljivanja svake vrste je duine 1, jedna etvrtina je duine 2, jednaosmina duine 3 i tako dalje.

    4. Sekvenca maksimalne duine ima ablone svih moguih m-bitnih kombinacija odkojih se svaka pojavljuje samo jednom u svakom periodu, osim ablona od m nula;najdui niz nula je m-1.

    Slika 4.12. Autokorelaciona funkcija, (a) Sluajna binarna sekvenca (1);(b) Sekvenca pseudo-uma, perioda = 2m - 1

    Zadnja osobina je posebno korisna za simuliranje intersimbolske interferencije unesene odstrane filtera u digitalnim komunikacionim sistemima. Intersimbolska interferencija je velikiizvor degradacije performansi kod digitalnih komunikacijskih sistema. Kako bi simuliraliefekte intersimbolske interferencije, potrebno je da na ulaz sistema dovedemo binarnesekvence koje imaju sve mogue kombinacije m bita, gdje je m duina memorije sistemamjerena u bitskim intervalima.

    Iako se sluajna binarna sekvenca moe koristiti kao ulaz, nema garancije da sluajna binarnasekvenca, bilo koje duine, uz vjerovatnou 1 sadri odreeni ablon bita. Meutim, sekvencamaksimalne duine generisana koritenjem m-faznog ift-registra sa povratnom spregom e

    sadravati sve osim jedne m-bitne kombinacije u duini od 2m

    - 1 bita. Veliinamemorijetelekomunikacijskih sistema je uglavnom manja od 10 bita, te sekvenca pseudo-uma manja

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    23/41

    23

    od 1024 bita moe biti dovoljna za simuliranje intersimbolske interferencije za binarnisistem. Ako koristimo sluajnu binarnu sekvencu bit e potrebna mnogo dua sekvenca.

    Primijetimo da sekvenca pseudo uma moe biti generisana mnogo bre nego sluajnebinarne sekvence. Kako bi se zapoelo generisanje sekvence pseudo koda, ift - registar se

    puni sa poetnom vrijednou, tzv. sjemenom, koje moe biti bilo koji binarni broj izmeu 1 i2m-1. Dvije sekvence pseudo uma koje se pomjeraju za aproksimativno [2m]/2 nisumeusobno korelirane (ili moemo koristiti druge primitivne polinome).

    Sekvenca maksimalne duine sa periodom 2m je ona koja ima sve mogue ablone m bita.Kako smo primjetili ranije, samo m-bitni ablon sa svim nulama ne nastaje prirodno. Kako biproizveli takvu sekvecu, trebamo samo dodati cifru 0 na mjesto gdje imamo (m-1) nula. Ovajniz se zove deBruijnova sekvenca. Kako bi pojednostavili generisanje takve sekvence,nameemo da m-1 sekvenci, sastavljenih samo od nula, bude smjeteno na pravom mjestu.Ako je poetno punjenje ift - registra (10...00) sa jedinicom u krajnjem lijevom registru,prvih m-1 izlaza e biti nule, na to onda samo ispred trebamo dodati nulu kako bismo

    proizveli deBruijnovu sekvencu.

    4.3.4. M-arne sekvence pseudo-uma

    Mnogi digitalni komunikacijski sistemi koriste M-arne talasne oblike (M-arna faza,- frekvencija i - amplituda). Kako bi simulirali rad tih sistema moemo koristiti M-arnusekvencu pseudo-uma, koja se takoe moe generisati koritenjem ift-registra sa povratnomspregom. Generisanje takvih sekvenci se moe dobiti generalizacijom binarnog sluaja.Razmotrimo monini polinom m-tog stepena (koeficijent uz najvei stepen je jednak jedinici:

    am = 1)

    011

    1)( aXaXaXXPm

    mm

    m ++++=

    (4.3.6)

    sa koeficijentima ai u konanom polju od q elemenata. Konana polja zovemo Galoa poljima,i konana polja sa q elemenata oznaavamo sa GF (q). Polinom stepena m na GF(q) je

    primitivan ukoliko je djeljiv sa Xr+1, za r ne manje od qm-1. Analogno binarnom sluaju,moemo rei sljedee: Primitivni polinom stepena m na GF(q) generie linearnu rekurzivnuq-arnu sekvencu sa maksimalnom duinom qm-1. Rekurzija je data sa:

    =

    =m

    inmn SaS

    111 (4.3.7)

    gdje je Sn izlaz u trenutku n. Sekvenca {Sn} se moe generisati linearnim ift-registrom tanokao na slici 4.10 uz uslov da ci zamijenjeno sa odgovarajuim ai ; glavna razlika je daumjesto aritmetikog modula 2, trebamo koristiti odgovarajuu aritmetiku u GF(q), to emokratko ilustrirati.

    Kod M-arne komunikacije obino koristimo vrijednosti M=2k. Stoga, elimo postaviti

    q = M = 2

    k

    i razviti aritmetiku u GF(2k

    ). Elementi u GF(2k

    ) se mogu identifikovati sa svimpolinomima stepena manjeg od k sa koeficijentima u GF(2). Sabiranje je onda obino

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    24/41

    24

    sabiranje polinoma po modulu 2. U polju GF(2k), oduzimane je jednako sabiranju. Mnoenjeje definirano kao obino polinomsko mnoenje modula a i odreenog polinoma g(.) stepena knesvodljivog na GF(2); tj., rezultat mnoenja dva polinoma a(X) i b(X) je ostatak dijeljenjaa(X)b(X) sa g(X). Kako bi ilustrirali navedeno razmotrit emo nesvodljivi polinom na GF(2)

    1)( 3 ++= XXXg

    koji se moe iskoristiti za generisanje polja GF(23)..Neka je a(X)=Xi b(X)=X2+X; tada je uGF(2

    3) proizvod a(X)b(X)

    )(mod)()()( XgXbXaXc =

    12 ++= XX

    Postoji nekoliko alternativnih naina predstavljanja GF(2k), polinomski nain je vespomenut i odgovarajui binarni k-struki. Trei nain predstavljanja se zasniva na injenici da

    je u svakom konanom polju jedan element , koji zovemo primitivnim, takav da svakielement ovog polja koji nije nula moe da se izrazi kao neki stepen od . U tabeli 4.3 je datailustracija elemenata GF(2k) generiranih polinomom g(X)=X3+X+1, koji je primitivan;krajnja lijeva kolona je samo skraena notacija koju emo koristiti kasnije. U praksi sesabiranje izvodi sa iskljuivom ili logikom, a mnoenje se izvodi koristei tabelu zaprovjeru.

    Kako bi generisali sekvencu pseudo uma maksimalne duine za oktalne brojeve, potrebannam je primitivni polinom iji su koeficijenti elementi GF(8). Ako koristimo nainpredstavljanja GF(8) definisan iznad, tada je jedan takav polinom

    )101()( 31 AXXXf ++= (4.3.8)

    Ovaj polinom generie rekurzivnu sekvencu

    32 += nnn SSS (4.3.9)

    Predstavljanjepomoustepena

    Predstavljanjepomou

    polinoma

    Predstavljanjepomouvektora

    A X (0, 1, 0)

    B 2

    X2

    (1, 0, 0)C 3 1+X (0, 1, 1)D 4 X+X2 (1, 1, 0)E 5 1+X+X2 (1, 1, 1)F 6 1+X2 (1, 0, 1)1 7 = 1 (0, 0, 1)0 0 0 (0, 0, 0)

    Tabela 4.3. Naini predstavljanja elemenata u GF(23)

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    25/41

    25

    Kolo oktalnog ift - registra za ovu sekvencu i uzorak oktalne sekvence su prikazani na slici4.13. Poto jefi(X) polinom 8. stepena, pogodan je za kanal sa memorijom sa tri simbola.

    Faza 1 Faza 2 Faza 3

    ift-registar

    Izlaz

    Sn Sn-1 Sn-2 Sn-3

    Izlazni niz: Sn=0,1,0,1,A,1,0,Fpoetne vrijednostiift-registra

    Suma

    0 1

    )101()(3

    1AXXXf ++=

    Slika 4.13. Generator oktalne seklvence pseudo-uma

    Ako su potrebne dvije oktalne sekvence za simulaciju in-fazne i kvadraturne komponente,tada je potreban i drugi primitivni polinom. Takav polinom (treeg stepena) je

    )101()( 232 BaXXXf ++=

    sa odgovarajuom rekurzivnom sekvencom

    3

    2

    2 += nnn SSS

    Za primjene koje ukljuuju prenos 16-kvadraturne amplitudne modulacije, primitivnigeneratorski polinomi se biraju sa koeficijentima u GF(4), kako bi prikazali I i Q kanale.Primitivni polinom nad ovim poljem je:

    1)( 2 ++= XXxg (4.3.10)

    Ako je korijen ovog polinoma, elementi polja su definisani sa (0, 1 , G, H), gdje se elementikoji nisu nula mogu identificirati kao

    0 ~ (00), 0 = 1 ~ (01), 1 = G ~ (10),2 = + 1 = H ~ (11),

    (4.3.11)

    Tabela 4.4 daje generiue polinome stepena m za kvarterne i oktalne sekvence. Oni supogodni za koritenje na kanalima sa memorijom od m simbola , m = 1, 2, 3, ,4, 5.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    26/41

    26

    Stepenpolinoma

    Kvarternigenerirajuipolinomi

    Oktalnigenerirajuipolinomi

    1 1G 1A1 1H 1B

    2 11G 11C2 11H 11E3 111G 101A3 111H 101B4 101HG 1001C4 10GGG 1001E5 10001G 10011C5 10001H 10011E

    Tabela 4.4. Generirajui polinomi

    Kao i kod binarnih sekvenci pseudo-uma, dodatna 0 se moe dodati u nebinarnu sekvencupseudo-uma, a ima period Mm-1, kako bi se dobila deBruijnova sekvenca sa periodom

    jednakimMm.

    4.4. Generisanje meusobno povezanih sluajnih sekvenci

    esto postoji potreba da se generie sluajna sekvenca koja ima specificiranuautokorelacionu funkcijuR(k) ili )(R ili funkciju spektralne gustoe snage S(f). Na primjer,kod simuliranja mobilnog komunikacijskog kanala sa sluajnim vremenskim variranjem,vremenske varijacije se modeliraju sluajnim procesom sa takozvanom Jakes-ovomspektralnom gustoom snage

    ,)/(1

    1)(

    2Dff

    fS

    = ffD (4.4.1)

    gdje jefDmaksimalna Doplerova frekvencija.

    Jo jedan primjer ove situacije se javlja kada traimo ekvivalentni nain predstavljanja zafazni um u komunikacijskom sistemu, gdje je fazni um mogue opisati kao Gausov processa proizvoljnom spektralnom gustoom snage, to u velikom broju sluajeva moe bitispecificirano empirijski na osnovu mjerenja.

    Kada je 0)( R , za ,...,2,1, == kkTS proces je u korelaciji za umnoke intervala

    uzimanja uzoraka te su tako i uzorci sluajnog procesa u korelaciji. Kako bismo simuliralivrijednosti koje su uzete kao uzorci za takav proces, trebamo algoritme za generisanjekoerlacijskih sekvenci sluajnih brojeva sa datom korelacionom funkcijomR(kTS).

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    27/41

    27

    Takoer su esti sluajevi kada moramo generisati vrijednosti koreliranih viestrukihsluajnih procesa. Na primjer, kada predstavljamo propusni opseg Gausovog sluajnogprocesa sa spektralnom gustoom snage, nesimetrinom oko centra frekvencije, dva sluajnaprocesa koja predstavljaju realnu i imaginarnu komponentu kompleksne prezentacijeekvivalenta niskih frekvencija e biti korelirana. Jo jedan primjer se javlja kod modeliranja

    propagacije viestrukim putem u radio kanalima gdje se vremenski varirajua priroda svakestaze modelira kao sluajan proces. Kada se ovaj model implementira i formira linija sakanjenjem, dobici na liniji postaju skup sluajnih procesa koji su u korelaciji, a kako bismosimulirali ovaj model, trebamo generisati vrijednosti uzete kao uzorke za skup procesa ukorelaciji sa datom spektralnom gustoom snage.

    Viestruki sluajni procesi se mogu predstaviti kao vektorski sluajni proces. Svakakomponenta sluajnog procesa predstavljenog vektorskim vrijednostima je proces saskalarnim vrijednostima sa proizvoljnom autokorelacionom funkcijom. Komponente savektorskim sluajnim procesom mogu biti stavljene u korelaciju kako je to pokazano uprethodnim primjerima. Dok je korelacija du ose vremena privremena u svojoj prirodi i vodi

    ka pojmu spektralne gustoe snage, korelacija izmeu komponenti sluajnih procesa savektorskim vrijednostima predstavlja korelaciju u drugoj dimenziji (esto se ovo zoveprostornom korelacijom) kako je to prikazano na slici 4.14.

    Slika 4.14. Primjer sluajnog procesa sa vektorskim vrijednostima

    U prvom dijelu ovog odjeljka emo se fokusirati na algoritme za generisanje sluajnihsekvenci sa skalarnim vrijednostima sa datom autokorelacionom funkcijom ili funkcijomspektralne gustoe snage. Zatim emo nau panju usmjeriti ka generisanju vektorskihsekvenci sa datom vremenskom korelacijom i prostornom korelacijom. Za Gausov sluajemo vidjeti da e se ovi algoritmi sastoje od nalaenja i primjene linearne transformacijebilo vremenski (horizontalno du ose vremena, slika 4.14) ili prostorno (primjenjujuivertikalnu transformaciju, slika 4.14).

    Sluaj koji nije Gausov ukljuuje nelinearne transformacije koje je generalno teko nai.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    28/41

    28

    4.4.1. Korelirane Gausove sekvence: Skalarni sluaj

    Nekorelirane Gausove skvence se mogu transformisati u koreliranu Gausovu sekvencu krozlinearnu transformaciju ili filtriranjem koje e ouvati Gausovu raspodjelu, ali e promijeniti

    osobine korelacije. Koeficijenti linearne transformacije se mogu dobiti iz specificiranekorelacione funkcije izlaza. Ispod su objanjena dva pristupa, pristup u vremenskom domenuzasnovan na korelacionoj funkciji i pristup u frekventnom domenu zasnovan na funkcijispektralne gustoe snage. Pristup u vremenskom domenu koristi klasu diskretnih vremenskihmodela koje zovemo autoregresivnim i procese promjenjivog prosjeka (ARMA procesi).

    4.4.1.1. Autoregresivni i modeli promjenjivog prosjeka (ARMA procesi)

    Gausova sekvenca u korelaciji Y(n) se moe generisati iz nekorelirane Gausove sekvenceX(n), koritenjem modela autoregresivnog promjenjivog prosjeka (ARMA (p,q)) kao

    ==

    ++=q

    jqj

    p

    ipi nXjnXinYnY

    11

    )()()()(

    Autoregresivni dio Dio promjenljivogprosjeka

    (4.4.2)

    gdje je X(n) ulazna sekvenca koja je nekorelirana Gausova sekvenca sa srednjom

    vrijednou nula i varijansom2

    X , Y(n) je izlazna sekvenca, a pipi ,...,2,1, = iqjqj ,...,2,1, = , su parametri autoregresivnog i dijela sa promjenjivim prosjekom ovog

    modela, redoslijedom navoenja. Vrijeme uzimanja uzoraka je normaliziovano na 1 zbogpogodnosti. Model dat u jednaini (4.4.2.) je linearni vremenski-invarijantni filter diskretnogvremena sa funkcijom prenosa

    =

    =

    +=

    q

    i iqi

    p

    i ipi

    fj

    fjfH

    1

    1

    )2exp(1

    )2exp(1)(

    (4.4.3)

    i na izlazu daje spektralnu gustou snage

    2

    1

    122

    )2exp(1

    )2exp(1)()()(

    =

    =

    +==

    q

    i iqi

    p

    i ipi

    XXXYYfj

    fjfHfSfS

    za

    2

    1

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    29/41

    29

    Za AR(p) model se moe pokazati da je autokorelaciona funkcija Y(n) data sa

    =

    +=p

    iXYYpiYY iRR

    1

    2)()0( (4.4.6)

    i

    1,)()(1

    = =

    kikRkRp

    iXXpiYY (4.4.7)

    Jednainu (4.4.7.) za k=1, 2, ..., p moemo izraziti u matrinoj formi

    =

    pp

    p

    p

    XX

    XX

    XX

    XX

    XX

    XX

    XX

    XX

    XX

    XX

    XX

    XX

    R

    pR

    pR

    pR

    R

    R

    pR

    R

    R

    pR

    R

    R

    2

    1

    )0(

    )2(

    )1(

    )2(

    )0(

    )1(

    )1(

    )1(

    )0(

    )(

    )2(

    )1(

    (4.4.8)

    Jednaina (4.4.8) se zove Yule-Walkerova jednaina i vee se za vrijednosti autokorelacionefunkcije izlaza i parametara modela. Uzimajui RXX(k), k=0, 1 , 2, ....; p, moemo dobitikoeficijente i=1, 2, ..., p, invertiranjem jednaine (4.4.8) i vrijednosti 2X iz jednaine (4.4.7).Kada se jednom dobiju parametri modela, oni se mijenjaju u jednaini (4.4.5) kako bi senekorelirana Gausova sekvenca transformisala u koreliranu Gausovu sekvencu.

    Dok je lako dobiti parametre AR(p) modela, kao odnos izmeu koeficijenata ARMA(p)modela i autokorelacione funkcije, izlaz je mnogo sloeniji i nelinearan po svojoj prirodi, patako i dosta komplikovan za rjeavanje po koeficijentima modela sa datim autokorelacionimvrijednostima. Iako postoji velika koliina literature vezane za ovu temu, najee koritenaprocedura ukljuuje konverziju ARMA(p,q) modela u ekvivalentni AR model reda >>p+q irjeavanje parametara AR(p) modela koritenjem Yule-Walkerove jednaine. Drugi pristuprjeava prvo AR dio ARMA modela i potom nalazi koeficijente MA dijela. ARMA model sekoristi u situacijama kada je spektralna gustoa snage za izlaznu sekvencu takva da imakompleksnu strukturu sa mnogo vrhova i udubljenja. Iz jednaine (4.4.3) se moe vidjeti daAR dijelovi utiu na polove funkcije prenosa (i isto tako i na vrhove u izlaznoj spektralnojgustoi snage), a MA dio odgovara nulama funkcije prenosa (i utie na udubljenja uspektralnoj gustoi snage).

    Kada implementiramo ARMA model koristei jednainu (4.4.2) trebamo p poetnihvrijednosti Y(k) kako bismo poeli rekurziju. Ako se ovi poetni uslovi biraju proizvoljno,tada e izlaz imati tranzijent na poetku, a nekoliko prvih uzoraka (reda 10p) treba ignorirati.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    30/41

    30

    4.4.1.2. Metoda spektralne faktorizacije

    Moemo projektovati i filter u frekventnom domenu kako bi transformirali nekoreliranu

    Gausovu sekvencu u koreliranu sekvencu. Ovaj pristup je posebno koristan ako je spektralnagustoa snage u izlaznom procesu data u zatvorenoj formi kao omjer polinoma f2. Kadapropustimo nezavisnu Gausovu sekvencu kroz filter, izlazni Gausov proces e imatispektralnu gustou snage

    2)()()( fHfSfS XXYY =

    (4.4.9)

    gdje je

    2)( XXX fS = za2

    1

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    31/41

    31

    Prvi faktor jesa

    s

    +, i on je funkcija prenosa izvodivog filtera. To jest,

    ,)(sa

    ssH

    +=

    jfa

    jffH

    2

    2)(

    +=

    to daje

    22

    22

    )2(

    )2()(

    jfa

    jffH

    +=

    Kada se funkcija prenosa filtera dobije preko spektralne faktorizacije, tada se filter moeimplementirati kao filter sa beskonanim impulsnim odzivom ili kao filter sa konanimimpulsnim odzivom.

    U mnogim sluajevima se izlazna spektralna gustina moe prikazati u empirijskoj formi ilimoe biti u analitikoj formi koja nije podlona faktorizaciji (na primjer Jakesov spektar). Uovim sluajevima se moe odabrati jedan od dva sljedea pristupa.

    1. Empirijski prilagoditi analitiku formu (kao omjer polinoma od f2) za datu spektralnugustou snage i potom primijeniti spektralnu faktorizaciju.

    2. Direktno sintetizovati filter sa konanim impulsnim odzivom podeavanjem funkcijeprenosa filtera tako da bude jednaka kvadratnom korijenu date spektralne gustoe snage(faza filtera nije bitna poto ne uti

    e na spektralnu gusto

    u snage).

    Druga metoda se moe koristiti da se dobije Gausova sekvenca sa Jakesovim spektrom koji jedat u jednaini (4.4.1.), podeavanjem

    ( )[ ] 4/12/1)()( == dYY fffSfH (4.4.12a)

    Ovaj filter ima impulsni odziv jednak

    ),(457,1)( 4/14/1 xJfth d

    = tfx d2= (4.4.12b)

    gdje je J1/4(x) frakciona Besselova funkcija. Filter dat u jednaini (4.4.12) se moeimplementirati kao filter sa beskonanim impulsnim odzivom ili kao filter sa konanimimpulsnim odzivom.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    32/41

    32

    4.4.2. Korelacioni nizovi Gausovog vektora

    4.4.2.1. Specijalni sluaj

    Sada emo razmotriti problem generisanja vrijednosti uzoraka m Gausovih procesa sasrednjom vrijednou nula: Y1(t), Y2(t),..., Ym(t), sa proizvoljnom spektralnom gustoomsnage i proizvoljnom korelacijom izmeu njih. Poet emo sa jednostavnijim sluajem u kom

    je autokorelaciona funkcija svakog od ovih procesa ista, osim za faktor veliine, akroskorelaciona funkcija ima istu funkcijsku formu kao i autokorelaciona funkcija. (Ovapretpostavka je opravdana za modeliranje kanala sa vie putanja.) Vrijednosti uzete kaouzorci ovih m procesa sa skalarnim vrijednostima se mogu tretirati kao komponente procesa

    sa vektorskim vrijednostima )(kY

    =

    )(

    )(

    )(

    )( 2

    1

    kY

    kY

    kY

    kY

    m

    (4.4.3)

    uz

    { } )()()()( nRnkYkYEnR ijYYji

    =+= (4.4.14)

    gdje je ij kovarijansa izmeu komponenti procesa u bilo koje vrijeme, a R(n) opisujevremensku korelaciju. U ovom modelu su prostorne i vremenske korelacije odvojive.

    Moemo generisati niz Gausovih vektora )(kY

    sa datim skupom kovarijansi izmeu njegovih

    komponenti, transformisanjem niza Gausovih vektora )(kX

    sa Gausovim nekoreliranimkomponentama (i stoga nezavisnim), gdje svaka komponenta ima vremensku korelacijuodreenu sa R(n). Prvo emo generisati m nezavisnih nizova (komponenti vektora X

    ) sa

    datom vremenskom korelacijom R(n) koristei, recimo, ARMA metodu, i potomtransformirati nekorelirane komponente vektora X u korelirane komponente, koristeilinearnu transformaciju bez memorije. Ovo je jednostavan problem i moe se zadati naslijedei nain (ovdje moemo izostaviti vremenski indeks k poto se transformacije bezmemorije primjenjuju na komponente X

    za svaku vrijednost k).

    Sluajni vektor X

    sa vie varijanti Gausove raspodjele sa srednjom vrijednou nula imatricom kovarijanse

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    33/41

    33

    ==

    1000

    0100

    0010

    0001

    I

    X

    (4.4.15)

    elimo da transformiemo u jo jedan Gausov vektor Y

    sa srednjom vrijednou nula imatricom kovarijanse

    =

    mmmmm

    m

    m

    Y

    321

    2232221

    1131211

    (4.4.16)

    primjenom linearne transformacije oblika

    XAY

    = (4.4.17)

    Linerna transformacija data iznad transformie kovarijansu martice X

    , odnosno matricuidentiteta datu izrazom (4.4.15) u

    TTXY

    AAAA == (4.4.18)

    Za datu kovarijansu matrice Y

    , jednaina (4.4.18) se moe iskoristiti da naemo

    transformacionu matricu A faktorizacijom matrice kovarijanse. Ako je Y pozitivna i

    konana, tada postoji jedinstvena nia dijagonalna matrica A forme

    =

    mmmm aaa

    aa

    a

    A

    21

    2221

    11

    00

    00

    (4.4.19)

    takva da je

    =T

    YAA (4.4.20)

    Ova dekompozicija se naziva dekompozicija oleskog, a elementi A se mogu dobiti izelemenata Y na osnovu

    [ ]

    =

    =

    =

    1

    1

    2

    1

    1

    j

    k jkij

    j

    k jkikijij

    a

    aaa

    , (4.4.21)

    gdje je

    =

    =0

    1

    0k

    jkikaa , mij 1

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    34/41

    34

    Takoe je mogue iskoristiti dekompoziciju svojstvenog vektora kako bi se nala linearnatransformacija. U svakom sluaju, nakon to je transformacija naena, algoritam zagenerisanje niza koreliranih Gausovih vektora je prikazan na slici 4.15.

    Trenutna linearnatransformacija

    Y = AX

    ARMA filter

    ARMA filter

    ARMA filter

    X1(k)

    Xm(k)

    X2(k)

    Y1(k)

    Y2(k)

    Ym(k)

    Ulaz: Gausovi procesi koji nisu ni uvremenskoj ni u prostornoj korelaciji Izlaz: Gausovi procesi koji su uvremenskoj i prostornoj korelaciji

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Slika 4.15. Algoritam za generisanje korelisanih Gausovih vektora

    4.4.2.2. Opi sluaj

    U opem sluaju, prostorna i vremenska korelacija mogu biti proizvoljne i svaka komponentaY

    moe imati razliitu autokorelacionu funkciju, a kroskorelaciona funkcija takoe moeimati razliite funkcijske forme.

    Proces Y

    je sada specificiran nizom kovarijantnih matrica Y (j) za svaki vremenskizaostatak j i moe biti generisan transformacijom X

    , te koritenjem ARMA procesa sa

    vektorskim vrijednostima slinim skalarnoj verziji:

    )()()()(11

    nXjnXinYnYq

    j

    qj

    p

    i

    pi

    ++=

    ==

    (4.4.22)

    Primijetimo da su koeficijenti modela i sami matrice. Koeficijenti autoregresivne verzijevektorskog modela se mogu odrediti koritenjem vektorske verzije Yule-Walkerovih

    jednaina.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    35/41

    35

    4.4.3. Sekvence koje su korelirane ali nisu Gausove

    Generisanje sluajnih sekvenci sa proizvoljnim funkcijama gustine vjerovatnoe i

    autokorelacionim funkcijama je tee nego generisanje koreliranih Gausovih sekvenci. UGausovom sluaju, kada se linearna transformacija primijeni na nekorelirane Gausovesekvence one zadravaju Gausovu funkciju gustoe raspodjele, dok su u isto vrijemekorelirane. Ovo nije sluaj kada sekvence nisu Gausove. Na primjer, ako je

    )()1()( nXnXnY += , gdje je )(nX nezavisna sekvenca uniformnih sluajnih varijabli,sekvenca )(nY e biti korelirana, ali e funkcija gustoe raspodjele biti trougaona. Takolinearna transformacija mijenja i korelacionu funkciju i funkciju gustoe raspodjele (osim uGausovom sluaju, gdje je forma funkcije gustoe raspodjele ouvana linearnomtransformacijom).

    Meutim, mogue je kontrolirati i funkciju gustoe raspodjele i korelacionu funkcijukoritenjem kombinacije linearne i nelinearne transformacije kako je to prikazano na slici4.16.

    Slika 4.16. Generisanje sluajne sekvence sa proizvoljnom funkcijom raspodjele iautokorelacionom funkcijom (spektralnom gustoom snage))

    Nelinearnostif(.) i g(.) i reakcije filtera h(.) se biraju tako da daju eljenu izlaznu funkcijugustoe raspodjele i spektralnu gustou snage. Procedura koja se koristi za f, g, i h je dostakompleksna. Ukratko, f(.) mapira uniformnu nekoreliranu sekvencu X u nekoreliranuGausovu sekvencu V. Filter h mapira nekoreliranu Gausovu sekvencu V u koreliranuGausovu sekvencu W, koja se potom mapira u eljenu funkciju gustoe raspodjelekoritenjem nelinearne transformacije g(.), koja takoe modifikuje iskrivljenu spektralnugustou snage na eljenu spektralnu gustou snage. Ove transformacije se ne mogu izabratinezavisno poto utiu i na funkciju gustoe raspodjele i na spektralnu gustinu snage. One semoraju birati zajedno u skladu sa zahtjevima izlazne funkcije gustoe raspodjele i spektralnegustoe snage.

    Viedimenzionalna verzija ovog problema je mnogo tea za rjeavanje i nema opih rjeenja.

    Nekorelirana

    ulazna

    sekvenca

    (uniformna

    funkcija

    raspodjele)

    Nelinearna

    transformacija

    bez memorije

    f( )

    Linearni

    transforma-

    cioni filter

    h( )

    Nelinearna

    transformacija

    bez memorije

    g( )

    U V W

    Y

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    36/41

    36

    4.5. Testiranje generatora sluajnih brojeva

    Izlazi generatora sluajnih brojeva koji se koriste za rad duge Monte Karlo simulacije se

    moraju testirati kako bi se osiguralo da imaju prave statistike osobine (vremenske idistribucijske). Dok je neophodno izvriti iscrpne testove na svim generatorima sluajnihbrojeva koji su dio paketa simulacije, neophodno je i testirati barem uniformne Gausovegeneratore sluajnih brojeva, poto se drugi generatori obino izvode iz njih.

    Postoje dva opa skupa testova koja se obino koriste za verifikovanje statistikih osobinaizlaza generatora sluajnih brojeva. Prvi skup provjerava vremenske osobine izlazageneratora, a najvanije su stacionarnost i nezavisnost. Drugi skup verifikuje distributivneosobine. Ovaj skup testova ukljuuje jednostavne provjere vrijednosti parametara, kao to susrednje vrijednosti i varijanse izlaznih sekvenci i testove podobnosti, koji daju naznaku otome koliko blisko funkcije gustoe raspodjele opisuju stvarne rezultate generatora sluajnihbrojeva za distribucije koje trebaju dati.

    Testovi mogu varirati od posmatranja razliitih sluajeva izvedenih iz izlaznih sekvenci injihove vizualne inspekcije kako bi se vidjelo da li izgledaju dobro, pa do sofisticiranijih(statistikih) testova sa hipotezama za eljeni nivo pouzdanosti.

    4.5.1. Stacionarnost i korelacija

    4.5.1.1. Uvod

    Izlazni generatori sluajnih brojeva bi trebali biti stacionarni i nekorelirani (osim kada elimogenerisati korelirane sekvence; a ak i u ovom sluaju je ulazna sekvenca koja se koristi zagenerisanje korelirane sekvence obino bijela, tj. nekorelirana). Jednostavni testovi zastacionarnost ukljuuju sljedee korake:

    1. Generisati dugu sekvencu odNuzoraka.2. Podijeliti je na m nepreklapajuih segmenata i izraunati srednje vrijednosti i

    varijanse svakog segmenta.

    3. Testirati jednakost srednjih vrijednosti i varijansi (i drugih parametara).Za stacionarni proces, srednje vrijednosti, varijanse i drugi parametri koji se izraunavaju izrazliitih segmenata podataka, bi trebali biti jednaki u granicama statistikih varijacija.

    Jedan od ozbiljnijih problema sa generatorom sluajnih brojeva je taj da je izlazna sekvencakorelirana i u najgorem sluaju periodina sa periodom kraim od duine simulacije.

    Procijenjene vrijednosti normalizovane autokovarijansne funkcije se mogu koristiti za

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    37/41

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    38/41

    38

    Slika 4.18 pokazuje neke tipine rezultate. Primjetimo da je periodine komponente lakeprimijetiti u vremenskom nego u frekventnom domenu, zbog inherentno bune prirodespektralnih estimatora tipa periodograma.

    Testiranje generatora sluajnih brojeva na periodinost je esto proraunski intenzivan

    zadatak, poto period moe biti veoma dug i moramo izraunati )( kXX zaostataka. Nadalje,testovi se moraju ponavljati za razliite vrijednosti poetnih vrijednosti koritenih zapripremu generatora sluajnih brojeva. Ipak je neophodno uraditi ove testove jednom za svakiskup poetnih vrijednosti. Dobre vrijednosti poetnih vrijednosti treba sauvati i koristiti zapokretanje dugih simulacija.

    Slika 4.18. Primjer korelirane sekvence, (a) Funkcija uzorka x(t),(b) periodogram x(t); (c) autokorelacija x(t)

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    39/41

    39

    4.5.1.2. Durbin-Watsonov test korelacije

    Ovo je jedna stroija procedura za testiranje hipoteze da su susjedni lanovi sekvence X(n)nekorelirani. Statistika testa koja se koristi je

    [ ]

    [ ]

    =

    =

    =N

    n

    N

    n

    nX

    nXnXD

    1

    2

    2

    2

    )(

    )1()(

    (4.5.1)

    Primijetimo da ako su X(n) i X(n-1) nekorelirani (korelacija=0), tada D ima oekivanuvrijednost 2. VrijednostD bi bila mnogo manja od 2, da postoji snana pozitivna korelacija ipribliila bi se 4, da postoji snana negativna korelacija. Ovaj test je zasnovan na 2 praga iprimjenjuje se kako je prikazano na slici 4.19 (pragovi dL i dU prikazani na slici 4.19 su zavelike vrijednosti N). Bolje je konstruisati generatore sluajnih brojeva na takav nain da

    njihov period moe biti odreen analitiki. Jedan takav primjer je Wichman-Hill algoritam,koji konstruie generator sluajnih brojeva sa dugim periodom, kombinovanjem izlaza viegeneratora sa kraim periodima. Osobine pojedinanih generatora koji se koriste kodWichman-Hill algoritma se mogu testirati iscrpno, poto su njihovi periodi kratki.

    Slika 4.19. Durbin-Watsonov test;dU=1,70, di=1,65, N=100;vjerovatnoa u donjem dijelu (oblast visoke pozitivne korelacije)= 0,05

    4.5.2. Testovi pogodnosti

    Generatori sluajnih brojeva su projektovani tako da daju izlazne sekvence koje predstavljajuuzorke iz datih raspodjela, kao to su uniformna i Gausova raspodjela. Da li je to sluaj,moemo testirati koritenjem razliitih testova pogodnosti. Najjednostavniji test se sastoji odtoga da se bar osigura da generatori sluajnih brojeva daju brojeve sa eljenom srednjomvrijednou i varijansom. Ovo se radi tako da se procijeni srednja vrijednost i varijansa izlazageneratora sluajnih brojeva i uporedi sa eljenim vrijednostima.

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    40/41

    40

    Kao dodatak testiranju vrijednosti parametara, esto je neophodno porediti oblik raspodjelebrojeva generisanih sa generatorom sluajnih brojeva prema raspodjelama koje generatortreba da proizvede. Popularan test za ovo je hi kvadrat test, koji se sprovodi kako slijedi.

    Pretpostavimo da generiemo N uzoraka i napravimo histogram N uzoraka. Neka je Ni,

    i=1, ,2 ,..., m, stvarni broj elija u m elija histograma. Neka je pi, i=1, 2, ...,m, stvarnavjerovatnoa da uzorak padne u i-tu eliju za pretpostavljenu funkciju gustoe raspodjele,onu koji generator sluajnih brojeva treba reproducirati. Tada, pod nekim blagimpretpostavkama varijabla

    [ ]=

    =

    m

    i i

    ii

    Np

    NpNZ

    1

    2

    (4.5.2)

    ima priblinu vrijednost hi-kvadratne distribucije sa (m-1) stepenom slobode za N veliko im > 5. Mala vrijednost Z pokazuje dobru pogodnost, a velika vrijednost je pokazatelj

    nepogodnosti. Prihvatljivu vrijednost Z odreujemo iz donje vjerovatnoe hi-kvadratnedistribucije sa (m-1) stepenom slobode za dati nivo pouzdanosti. Gausova aproksimacija setakoe moe iskoristiti za odabir odgovarajuih vrijednosti pragova za Z.

    Jedan teak aspekt implementiranja hi-kvadratnog testa je odabir pravih intervala zakonstruisanje histograma. Iako nema opeg pravila koje moe garantovati dobre rezultate zasve veliine uzoraka i raspodjele, postoji nekoliko smjernica koje se mogu iskoristiti.Preporuljivo je da se intervali odaberu tako da je

    mppp 21

    (tj., jednake elije) i da se m dri malim, recimo

    ++ 1

    11,012,0 CD

    NN N

    (4.5.5)

  • 7/29/2019 MK Simulacija

    41/41

    gdje su vrijednosti C1- (to ne zavisi odN!) prikazane u tabeli 4.5 za razliite vrijednosti .

    1 - 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99C1- 1,138 1,224 1,358 1,480 1,628

    Tabela 4.5 Kritine vrijednosti modifikovane KS statistike

    Broj, raznolikost i kompleksnost testova za generatore sluajnih brojeva je zaista velik.Mogue je ograniiti obim testova razmatranjem samo onih testova koji su konzistentni sanamjeravanom upotrebom generisanih brojeva. Ipak, treba biti oprezan kod biranja itestiranja generatora sluajnih brojeva, ako je simulacija u kojoj se koriste skupa (na primjer,vremenski zahtjevna, trai veoma precizne rezultate, ili je kritina komponenta velikogprojekta). Rezultati simulacije su onoliko dobri koliko su dobri modeli koji stoje iza funkcije,npr., generatori sluajnih funkcija.