MJERNA NESIGURNOST predavanja

5. MJERNA NESIGURNOST

Copyright: Ivan Petrovi

1


5.1. Uvodna razmatranja

5.1.1. Zato izuavati mjernu nesigurnost? Modeli mjerne nesigurnosti mogu se primijeniti za modeliranje razliitih oblika

pogreaka, ukljuujui: sluajne i sustavske pogreke, kao i vremenske i prostorne pogreke.

U ovome se izlaganju bavimo modeliranjem pogreaka mjerenja. Mjerenja mogu biti:

nekompletna: mjere se samo neke, a ne sve, varijable od interesa; posredna: ne mjere se varijable koje su od interesa, ve se njihove vrijednosti

odreuju posredno iz mjernih vrijednosti drugih varijabli; povremena: mjerne vrijednosti varijabli od interesa dostupne su samo

povremeno u neregularnim vremenskim intervalima.



2

Svako mjerenje inherentno sadri odreenu razinu sluajnog (stohastikog) uma. Temeljno je pitanje: Koliko je taj mjerni um znaajan?

Modeliranjem mjernog uma mogu se znaajno poboljati svojstva sustava, primjerice mogu se poveati: sigurnost, raspoloivost i sveukupna robusnost sustava te tonost mjerenja i tonost modeliranja sustava.

5.1.2. Tipovi mjerne nesigurnosti

Mjerenja se openito mogu modelirati sljedeim modelom:

.



3

Pogreka mjerenja normalno je nepoznata, a, openito, moe imati sljedea svojstva:

moe biti jednaka nuli ili imati neki konstantni iznos, ali moe biti i funkcija nekih varijabli;

moe biti deterministika (sustavska) ili stohastika (sluajna) ili njihova kombinacija.

Uobiajeno se pretpostavlja da je sluajna komponenta pogreke bez pomaka (bez ofseta, bez biasa engl. offset, bias), tj. da joj je aritmetika srednja vrijednost jednaka nuli.

Neke klase pogreaka su (Sl. 5.1.): impulsne smetnje (engl. outliers) pogreka pomaka (ofset) - interferijae djelovanje; pogreka nagiba (skale) modificirajue djelovanje; mjerni um (engl. noise) - pogreka koja se opisuje stohastikom razdiobom.



4

Sl. 5.1.

Mjerni signal na slici 5.1. sadri sve etiri klase pogreaka. Zanemarenjem impulsnih smetnji, mjerna pogreka moe se modelirati kako slijedi:

,

gdje N predstavlja Gaussovu (Normalnu) funkciju gustoe vjerojatnosti. Sustavska pogreka odreena je parametrima a i b, a sluajna pogreka parametrima i .



5

Napomena: Ne smije se mijeati nepoznato sa sluajnim. Pogreka moe biti nepoznata, ali deterministika. Stohastiki modeli mjerne pogreke mogu biti korisni za aproksimaciju nepoznate pogreke, ali su to dva razliita pojma.

Sustavske pogreke otklanjaju se postupcima umjeravanja (kalibracije). Za umjeravanje senzora treba imati na raspolaganju: odgovarajui model sustavske komponente pogreke ; skup mjernih vrijednosti na temelju kojih se estimiraju optimalni parametri

modela i provjerava njegova kakvoa; algoritam za estimaciju optimalnih vrijednosti parametara.

Sluajne pogreke otklanjaju se filtriranjem. Korelirana pogreka

Ako su sva mjerenja u razliitim vremenskim trenucima ili u razliitim prostornim koordinatama korelirana, korelirani dio pogreke moe se otkloniti diferencijalnim mjerenjem. Ako dva mjerenja sadre jednake pogreke, mjerenjem njihove diferencije ta se pogreka eliminira (npr. diferencijalno pojaalo).



6

5.1.3. Sluajne varijable Sluajna varijabla (sluajni vektor) moe biti kontinuirana ili diskretna. Kontinuirana sluajna varijabla: Opisuje se funkcijom gustoe vjerojatnosti

(fgv): xf(x)0, x R. Proizvoljna fgv prikazana je na slici 5.2:

Povrina ispod fgv odreuje vjerojatnost da sluajna varijabla x poprimi vrijednost u podruju vrijednosti izmeu a i b:

Za a = -, b = je p(x)=1.



7

Diskretna sluajna varijabla: Opisuje se zadanim skupom vrijednosti { }1, , rA a a= L i pripadnim vjerojatnostima:

1( ) 0, 1, , , 1.

r

j j jj

p p x a j r p=

= = = =L Proizvoljna funkcija vjerojatnosti (fv) diskretne sluajne varijable x prikazana je na

slici 5.3:



8

Viedimenzionalna razdioba vjerojatnosti:

Pri istodobnom mjerenju vie sluajnih varijabli mogu se uoiti odreene statistike zakonitosti. Matematiki model za apstraktno teorijsko opisivanje takvih pojava zove se sluajni vektor, ije su komponente sluajne varijable.

Razmotrimo, primjerice, 2D fgv u obliku gustoe razdiobe mjernih toaka u ravnini (Sl. 5.4.):



9

U ovom je sluaju fgv skalarna funkcija sluajnog vektora, dana izrazom:

Moe se definirati i uvjetna fgv (conditional pdf):

koja postavlja jednu od varijabli na konstantnu vrijednost (u ovom sluaju varijablu y).

Ovo je skalarna funkcija skalarne varijable.



10

Gaussova (normalna) razdioba vjerojatnosti

Jednodimenzionalna Gaussova razdioba (Sl. 5.5.):



11

Viedimenzionalna Gaussova razdioba:

gdje je: C kovarijancna (disperzijska) matrica.

Eksponent: 1Tx C x esto se zove Mahalanobisova udaljenost.

Matematiko oekivanje i (ko)varijanca sluajne varijable Matematiko oekivanje ili oekivana vrijednost bilo koje funkcije h(x) predstavlja

njezinu oteanu srednju vrijednost, gdje je oteavanje definirano fgv:



12

za kontinuiranu h(x)

za diskretnu h(x)

Dakle, oekivanje je funkcional, tj. za njegovo je izraunavanje potrebno poznavati ukupnu fgv.

Prema tome, oekivanje sluajne varijable x dano je izrazom:

za kontinuiranu x

za diskretnu x.

Oekivanje sluajne varijable x naziva se i njezinom sredinom, srednjom vrijednou, prosjekom (engl. mean).



13

Napomena:

Oekivana vrijednost sluajne varijable x nije nuno i najvjerojatnija vrijednost koju e varijabla x poprimiti.

Najvjerojatnija vrijednost sluajne varijable x odreena je tokom maximuma fgv.

Dakle, oekivana vrijednost nije ''najbolje'' ime za prosjenu vrijednost treba biti paljiv da se to ne mijea.

Ovo je ilustrirano na slici 5.6 gdje je prikazana razlika izmeu najvjerojatnije i oekivane vrijednosti kod bimodalne razdiobe.

Sl. 5.6.

Za Gaussovu razdiobu su oekivana i najvjerojatnija vrijednost jednake, zbog ega se esto ova dva pojma i mijeaju.



14

Kovarijanca sluajne varijable x (sluajni vektor) predstavlja oekivanu vrijednost vektorskog umnoka dvaju devijacijskih vektora:

za kontinuiranu x

za diskretnu x.

Za jednodimezionalnu sluajnu varijablu x kovarijanca je skalar i obino se zove varijanca sluajne varijable.

Za viedimenzionalnu sluajnu varijablu x dobije se kovarijancna matrica.



15

Uzorake razdiobe i statistike Uzorake razdiobe moraju se razlikovati od razdioba sluajnih varijabli. Razdiobe sluajnih varijabli posve su teorijski pojmovi koji se zasnivaju na

pretpostavci da mjerni podaci (uzorci) podlijeu statistikim zakonitostima i da je broj mjerenja dovoljno velik da ga se moe smatrati beskonanim.

Dakle, postavljaju se teorijski matematiki modeli izraeni na teoriji sluajnih varijabli.

Uzorake se razdiobe zasnivaju na konanom broju mjernih podataka (uzoraka), na temelju kojih se estimiraju parametri matematikih modela izraenih na teoriji sluajnih varijabli.

Ovdje se govori o teoriji statistikog zakljuivanja koja, dakle, prouava odnose izmeu konanog skupa statistikih podataka i teorijskih matematikih modela.

Drugim rijeima, uzorake razdiobe koriste se za estimaciju razdioba sluajnih varijabli, ali se po znaenju od njih bitno razlikuju.

Veliine koje se izraunavaju na temelju mjernih uzoraka i koriste za estimaciju parametara teorijskih matematikih modela nazivaju se statistikama.



16

Budui da se mjerni uzorci uglavnom uzimaju u diskretnim vremenskim trenucima, u nastavku emo raditi samo s diskretnim vrijednostima.

Uzoraka srednja vrijednost (uzoraka aritmetika sredina):

Uzoraka kovarijanca:

Dijagonalni elementi matrice S mjere prosjenu kvadratnu udaljenost uzoraka od

odgovarajue srednje vrijednosti (tj. mjere varijancu):

.

Nedijagonalni elementi matrice S mjere kovarijancu dvaju razliitih nizova mjernih uzoraka:

.



17

Zato koristiti Gaussovu razdiobu za modeliranje mjerne nesigurnosti?

Srednja vrijednost i varijanca su prvi, odnosno drugi moment proizvoljne fgv. Koritenje samo njih za karakteriziranje stvarne fgv pretpostavlja linearne odnose,

to odgovara primjeni Gaussove fgv kod koje su svi vii momenti jednaki nuli.

Stvarni se mjerni um vrlo esto moe modelirati Gaussovom razdiobom. Naime, mjerni je um najee posljedica aditivnog djelovanja malih neovisnih

izvora uma (neovisnih varijabli), pa se prema Centralnom Graninom Teoremu (engl. Central Limit Theorem) ukupni (zbirni) efekt moe vrlo dobro opisati Gaussovom fgv bez obzira na pojedinane fgv.

Kod Gaussove razdiobe jednostavno je predstaviti konture jednakih konstantnih vjerojatnosti, koje su kod jednodimenzionalne razdiobe vodoravni segmenti duljine ovisne o iznosu vjerojatnosti (Sl. 5.7.):



18

Sl. 5.7.

Openito, krivulje jednakih vjerojatnosti su n-elipsoide, budui da je f(x) konstantno kada je Mahalanobisova udaljenost k konstantna. Njen iznos ovisi o vjerojatnosti p, kako slijedi:

to je jednadba elipse u n-dimenzionalnom prostoru.



19

Za 2D razdiobu izraz za Mahalanobisovu udaljenost glasi (izvod izraza moe se nai u knjizi eljko Paue: Uvod u matematiku statistiku):

.

Na slici 5.8. prikazane su tzv. koncentracijske elipse za p = 50, 90 i 99 %.

Kovarijancna matrica je dijagonalna ako se izrazi u koordinatnom sustavu kojemu se koordinatne osi podudaraju s osima elipse.



20

5.1.4. Transformacije nesigurnosti

Kovarijancna matrica predstavlja ''rasprenost'' podataka. esto je kovarijancnu matricu potrebno transformirati iz jednog koordinatnog

sustava u drugi.

Primjerice, u jednom koordinatnom sustavu kovarijancna matrica ima jednostavniji oblik (npr. dijagonalna matrica), dok se koristi u drugom koordinatnom sustavu.

Koovarijancna matrica se, takoer, ponekad mora transformirati primjenom nelinearnih transformacija, npr. pri linearizaciji nelinearnog sustava.

Linearne transformacije

Provodi se transformacija iz koordinatnog sustava a u koordinatni sustav b (Sl. 5.9):

gdje je: R matrica rotacje, t vektor translacije.



21

Sl. 5.9.

Sredina i kovarijanca transformiraju se prema sljedeim izrazima:



22

Nelinearne transformacije

Pretpostavimo da poznajemo mjernu nesigurnost varijable x, te da elimo izraunati mjernu nesigurnost varijable y, koja je nelinearna funkcija varijable x:

Uz x x = + i ( ) 0E = moe se nainiti sljedea aproksimacija (J je Jacobian):

,

odakle se dobije oekivana vrijednost razdiobe varijable y:

Dakle, moe se pisati: Uvrtenjem ovog izraza u izraz za kovarijancnu matricu varijable y:



23

dobije se:

,

odnosno, kako je TxS = ,

.

Moe se uoiti da je linearna transformacija samo specijalni sluaj nelinearne transformacije, gdje je Jacobian rotacijska matrica.



24

Primjer: Stereo vizija

Na temelju slike dobivene parom kamera odreuje se udaljenost do nekoga objekta (Sl. 5.10.).

Udaljenost se izraunava primjenom postupka triangulacije, gdje se koristi slinost trokutova.

Na slici 5.10 velika slova oznaavaju stvarne udaljenosti, a mala slova udaljenosti u slici kamera.

Veliina d koja se pojavljuje u izrazima naziva se disparitetom i predstavlja udaljenosti izmeu toaka (piksela) u lijevoj i desnoj slici koje prikazuju (ili bi trebale prikazivati) istu toku objekta.

Disparitet se odreuje korelacijskim postupkom. Za svaki piksl u slici jedne kamere odreuje se korelacijska krivulja s pikselima druge kamere i trai se njezin maksimum koji odreuje disparitet d, kako je prikazano na slici 5.11. Izlaz iz ovoga procesa je tzv. disparitetna slika.

Primjenom triangulacijskih izraza, za svaki piksl u disparitetnoj slici odreuje se stvarna udaljenost Y. Izlaz iz ovoga procesa je slika udaljenosti objekta.



25

Sl. 5.10.



26

Sl. 5.11.

Obino se umjesto dispariteta d koristi disparitet definiran kao:

.

U tom sluaju osnovna triangulacijska jednadba glasi: .



27

Ako je poznata mjerna nesigurnost dispariteta s, mjerna nesigurnost ''udaljenosti'' moe se izraunati prema izrazu:

,

gdje je Jacobian u ovom primjeru

,

odakle je:

.

Prema tome, mjerna nesigurnost udaljenosti poveava se s etvrtom potencijom udaljenosti. Takoer je poeljno da razmak kamera bude to vei jer se mjerna nesigurnost smanjuje proporcionalno kvadratu razmaka.



28

5.1.5. Izraunavanje statistike uzoraka U primjenama moe biti iznimno vano izraunavati oekivanu vrijednost i

kovarijancu u stvarnom vremenu.

Nerekurzivni (engl. batch) postupak:

Pretpostavlja se da su svi mjerni uzorci dostupni odmah na poetku.



29

Rekurzivni postupak:

uva aktualnu vrijednost estimacije i dodaje novu vrijednost kako pristie. Ovo je povezano s Kalmanovim filtrom.



30

5.1.6. Sluajni procesi

Dok je sluajna varijabla sluajno odabrana vrijednost/uzorak (moe biti vektor) iz teorijskog skupa svih moguih vrijednosti/uzoraka zvanih skupom uzoraka (populacijom),

sluajni proces je sluajno odabrana funkcija iz teorijskog skupa svih moguih funkcija, tzv. ansambla funkcija.

Uobiajeno se smatra poznatom statistika varijacija ansambla funkcija. Kljuno je razumjeti da se izabire funkcija, a ne neka pojedinana vrijednost. Sami odabir funkcije jest sluajna varijabla, pa je prema tome i vrijednost odabrane

funkcije u bilo kojem trenutku preko svih eksperimenata sluajna varijabla.



31

Sluajna konstanta Primjer: Bias momenta kod iroskopa

Proizvoa iroskopa deklarira postojanje biasa u momentu iroskopa u nekim granicama.

Ako kupite takav iroskop, znate da ima bias, ali ne znate tono koliki je. Dakle, trebate ga na neki nain odrediti te nacrtati kao funkciju vremena, npr. Sl.

5.13:

Nema nita sluajno (stohastiko) u ovome.



32

Meutim, pretpostavimo da je istodobno veliki broj kupaca kupio iroskope od istog proizvoaa i na isti nain i u istom vremenskom trenutku t snimilo bias svoga iroskopa.

Distribucija iznosa biasa iroskopa vjerojatno bi izgledala slino kao na slici 5.14:

Dakle, imamo funkciju vjerojatnosti pridruenog sluajnog procesa (sluajne

konstante) u trenutku t. U ovom su sluaju funkcije iz ansambla funkcija deterministike, ali je njihov odabir sluajan (stohastiki).

Openito, moe postojati ansambl istih funkcija koje se meusobno razlikuju po nekom od vanih parametara koji se sluajno mijenja primjerice ansambl sinusoida kojima se sluajno mijenja amplituda.



33

Bias, Stacionarnost, Ergodinost, Bjelina Sluajni proces je bez pomaka (bez biasa) ako je njegova oekivana vrijednost

(prosjena vrijednost) jednaka nuli tijekom itavog vremena. Sluajni proces je stacionaran ako se razdioba vrijednosti funkcija u ansamblu

vremenom ne mijenja.

Sluajni proces je ergodiki ako je vremensko usrednjavanje ekvivalentno usrednjavanju ansambla funkcija. To znai da se sve o procesu moe saznati promatranjem jedne funkcije kroz vrijeme ili svih funkcija u jednom vremenskom trenutku.

Signal koji sadri sve frekvencije naziva se bijelim signalom. Iz ovih definicija moe se zakljuiti da se sluajni procesi mogu promatrati na tri

sljedea naina: preko razdiobe vjerojatnosti; preko vremenskog tijeka i preko frekvencijskog spektra.

U nastavku se ukratko razmatraju ova tri naina promatranja sluajnih procesa.



34

Korelacijske funkcije

Korelacija je nain promatranja i vjerojatnostne razdiobe i vremenskog tijeka sluajnog procesa.

Autokorelacijska funkcija (akf) sluajnog procesa x(t):

Dakle, akf je oekivana vrijednost umnoka dva sluajna broja, koji su funkcije vremena: .

Po definiciji oekivanje moe se pisati:

gdje je f(x1,x2) zdruena fgv.



35

Akf ukazuje na ''tendenciju'' funkcije da ima isti predznak i iznos u dva razliita vremenska trenutka.

Za glatke funkcije je za oekivati da akf bude najvea kad su vremenski trenutci bliski. Drugim rijeima, iz akf moe se puno zakljuiti o glatkoi funkcije.

Ilustracija:

* Sluajni procesi x(t) i y(t) imaju priblino jednake oekivane vrijednosti i varijance, ALI * Sluajni proces x(t) ima malu korelaciju izmeu dvaju vremenskih intervala, a sluajni

proces y(t) ima veliku korelaciju.



36

Kroskorelacijska funkcija (kkf) povezuje sva sluajna procesa na analogan nain kao to akf povezuje jedan proces:

Za stacionarne procese korelacijska funkcija ovisi samo o vremenskoj razlici =t1-t2. Ako je proces bez biasa, korelacijske funkcije daju varijancu/kovariajncu sluajnih

varijabli:



37

Spektralna gustoa snage Spektralna gustoa snage je Fourierova transforamcija akf-a:

Sxx je izravna mjera frekvencijskog sastava signala.

Inverzna Fourierova transformacija daje, naravno, akf:

Krosspektralna gustoa snage je Fourieova transformacija kroskorelacijske funkcije:

.



38

Bijeli um

Bijeli um je definiran kao stacionarni sluajni proces konstantne spektralne gustoe snage (Sl. 5.15):

To jest on sadri sve frekvencije i to s jednakom amplitudom. Ako je spektralna

amplituda A, odgovarajua akf je Dirac delta funkcija amplitude A. Varijanca Gaussovog sluajnog procesa x(t) spektralne gustoe snage Sp iznosi

Dakle, varijanca bijelog uma jednaka je njegovoj spektralnoj amplitudi.



39

Kovarijanca sluajnog ''walk'' procesa Pretpostavimo sluajnu varijablu kojoj je derivacija po vremenu sluajni bijeli

proces, tj.

Postavlja se pitanje iznosa 2xx & , 2xx & i 2xx . U nastavku se izraunava samo varijanca procesa 2xx :

Dakle, varijanca raste linearno tijekom vremena, odnosno standardna devijacija raste s drugim korijenom vremena.



40

Integracijski sluajni ''walk'' proces

Ako je druga derivacija po vremenu od x(t) bijeli um, tada varijanca od x(t) iznosi:

Dakle, varijanca raste s kvadratom vremena, a standardna devijacija linearno. Ove se tehnike mogu koristiti za izraunavanje lanova kovarijancne matrice, ako

su poznate spektralne amplitude uma.



41

5.1.7. Saetak

Stvarni mjerni signali sadre mnotvo oblika pogreaka, koje otklanjamo raznim postupcima: filtriranjem, umjeravanjem, diferencijalnim mjerenjem itd.

Kovarijanca mjeri rasprenost podatak ili uzoraka sluajnog vektora. To je matrica kojoj se lanovi izraunavaju kao matematiko oekivanje vektorskog umnoka dva odstupanja od odgovarajuih prosjenih vrijednosti.

Kovarijanca u potpunosti odreuje veliinu i irinu viedimenzionalne normalne (Gaussove) razdiobe. Konture konstantne vjerojatnosti ove razdiobe su elipsoide.

Za transformaciju koordinata kovarijance koristi se Jacobian transformacijske funkcije, koja je openito nelinearna.

Mogue je jednostavno transformirati nesigurnost mjerne varijable u nesigurnost drugih veliina koje se iz nje izvode.

Sluajni proces je sluajni odabir funkcije.



42

5.2. Sloene mjerne nesigurnosti

Teorijska analiza sloenih mjernih nesigurnosti zasniva se na transformacijama nesigurnosti pomou Jacobiana i na Centralnom graninom teoremu.

5.2.1. Kombinacije vie mjernih nesigurnosti

Varijanca zbroja sluajnih varijabli Neka je na raspolaganju n sluajnih varijabli normalne razdiobe jednakih

parametara:

Definirajmo novu sluajnu varijablu y kao zbroj svih n sluajnih varijabli x:



43

Primjenom pravila transformacije nesigurnosti moe se pisati:

gdje je Jacobian vektor o n jedinica.

,

odakle je:

Dakle, varijanca zbroja identinih sluajnih varijabli poveava se linearno s njihovim brojem.



44

Varijanca kontinuiranog zbrajanja

Razmotrimo izraunavanje integrala iz zaumljenog mjernog signala. Budui da se mjerne vrijednosti uzorkuju u diskretnim vremenskim trenucima,

moemo rei da se u svakom trenutku uzorkovanja dodaje nova sluajna varijabla. Dakle, uz konstantan period uzorkovanja t varijanca se linearno poveava s

vremenom jer je broj sluajnih varijabli funkcija vremena:

.

Mjerna nesigurnost, izraena preko standardnog rasipanja (standardne devijacije) poveava se proporcionalno drugom korijenu vremena (Sl. 5.16.):

Dakle, u poetku raste brzo, a s vremenom ulazi u zasienje, to proizlazi iz

injenice da zbrajanjem vrlo velikog broja sluajnih varijabli mnoge od njih se meusobno ponitavaju.



45

Centralni granini teorem (CGT) Ovaj vani teorem ima vie interpretacija. Jedna je ve iskoritena zbroj velikog

broja neovisnih sluajnih varijabli podlijee Gaussovoj razdiobi neovisno o pojedinanim razdiobama.

Druga interpretacija, koja nam treba u nastavku, odnosi se na razdiobu aritmetike sredine uzoraka.

Ako je (x1, x2, x3, ...) sluajni uzorak veliine n iz normalne razdiobe oekivane vrijednosti i varijance 2, tada uzoraka srednja vrijednost x takoer podlijee normalnoj razdiobi s oekivanom vrijednou i varijancom 2/n, tj.

Intuitivno, ovo znai da je najvjerojatnija srednja vrijednost uzoraka jednaka oekivanoj (srednjoj) vrijednosti sluajne varijable te da je ta aproksimacija vjerojatnija to je vei broj uzoraka.



46

Kombinacija vie mjerenja konstante

Razmotrimo rezultate CGT-a kada se broj uzoraka n promatra kao sluajna varijabla.

Iz CGT-a izravno proizlazi da se nesigurnost uzorake srednje vrijednosti smanjuje s poveanjem broja uzoraka.

Pretpostavimo da imamo na raspolaganju n redundantnih mjerenja neke konstante i da svi imaju istu statistiku.

U tom se sluaju prava vrijednost moe aproksimirati srednjom vrijednou svih mjernih vrijednosti (

1

1 ni

iy x

n == ) s varijancom iznosa:

2 22 2 21

1 1 1

i i

n

y xiy x x

nn

== = = . Dakle, varijanca srednje vrijednosti smanjuje se s poveanjem broja mjerenja.



47

Varijanca kontinuirane estimacije konstante

Razmotrimo problem estimacije konstante iz vremenskog slijeda zaumljenih mjerenja.

Ako se mjerenja uzimaju s nepromjenljivim periodom uzorkovanja t, broj mjernih uzoraka u trenutku t iznosi

.

Prema CTG-u, mjerna nesigurnost estimacije, izraena standardnim rasipanjem, smanjuje se s drugim korijenom vremena (Sl.5.17.).

Na ovoj ideji, da se spajanjem niza ponovljenih mjerenja smanjuje mjerna nesigurnost, zasniva se Kalmanov filter.



48

5.2.2. Mjerna nesigurnost u kontinuirano promjenljivoj veliini Ovo je openitiji sluaj od izraunavanja nesigurnosti kontinuiranog zbrajanja. Nova se mjerenja mogu dodavati na sloeniji nain. Ipak, izraunavanje mjerne nesigurnosti i u kontinuirano promjenljivoj veliini

mogue je provoditi primjenom pravila za transformaciju mjerne nesigurnosti. Nesigurnost je mogue odrediti u proizvoljnoj kombinaciji vremenskog niza

mjerenja na temelju poznavanja prethodnog mjerenja i njegove kombinacije te aktualnog mjerenja i njegove neodreenosti.

Opa formulacija Imamo funkciju koja ovisi o vektoru parametara x, koji podijelimo u dva manja

vektora parametara:



49

Podijelimo, takoer, i kovarijancnu matricu Cxx te Jacobian vektora x:

gdje je:

Kovarijanca matrica varijable y glasi:

Pretpostavimo da su x1 i x2 nekorelirane, pa moemo pisati:



50

,

odnosno

.

Dakle, kovarijanca izlazne varijable izraunava se jednostavno kao zbroj pojedinanih transformiranih nesigurnosti.

Primjer: Estimacija pozicije mobilnog robota pomou signala enkodera i kompasa Razmotrimo sluaj estimacije pozicije mobilnog robota na osnovi mjernih signala

odometrijskih senzora (inkrementalnih davaa) u kojima je sadran i Gaussov bijeli um.

Nadalje pretpostavimo da se orijentacija mjeri pomou idealnog kompasa.



51

Ovaj se sluaj moe formulirati pomou dva vektora: trenutanom pozicijom robota xi i trenutanom mjernom vrijednou zi.

Njihovom kombinacijom mogue je odrediti novu poziciju xi+1, kako slijedi (Sl. 5.18.):

Jacobiani iznose:

Napomena: (ci oznaava cos i, si oznaava sin i).



52

Neka su neodreenosti trenutane pozicije i mjerenja (kompas idealan) dane kovarijancnim matricama:

Uz pretpostavku nekoreliranosti pogreaka trenutane pozicije i novog mjerenja,

neodreenost u odreivanju nove pozicije iznosi:

to se moe zakljuiti iz ovoga izraza?

1. Nedijagonalni lanovi kovarijancne matrice bit e jednaki nuli kada se robot giba u smjeru neke od osi koordinatnog sustava.

2. Dijagonalni elementi uvijek su pozitivni pa se mjerna nesigurnost kontinuirano poveava, kako je ilustrirano na slici 5.19:



53

Sl. 5.19.

Documents

MJERNA NESIGURNOST predavanja