4.Mjerenje malih otpora

Marin Spaic , F-4106Fizicki odsjek , PMF , Bijenicka cesta 32 ,10000 Zagreb

(Datum:25.1.2014)

Sazetak

U ovoj vjezbi promatramo dvije metode mjerenja malih otpora kojese koriste u razlicitim eksperimentalnim situacijama.U prvom dijelumetodom cetiri kontakta snimamo V-I karakteristike sipki bakra (Cu)i aluminija (Al) te iz izmjerenih geometrijskih dimenzija odredujemonjihovu otpornost. Zatim odredujemo otpore nekoliko spojnih zica iprijelazne otpore prikljucnica. Na posljetku mjerimo plosne otporebakrenih plocica pravokutnog i kvadraticnog oblika metodom cetirikontakta i van der Pauw metodom , respektivno , te usporedujemo re-zultate. Takoder, ponavljamo mjerenja na temperaturi tekuceg dusika(77 K), te usporedujemo dobivemo smanjenje otpornosti s teorijskiocekivanim.

1 Uvod

Kada postoji elektricno polje u vodicu dolazi do (u prosjeku) usmjerenoggibanja nosioca naboja , te pojave elektricne struje. Primjeceno je da je zavecinu materijala gustoca struje proporcionalna elektricnom polju :

~E = ~J (1)

gdje je otpornost i ona ovisi o danom materijalu. Gornja jednadzba senaziva mikroskopski Ohmov zakon.

Ukoliko imamo uzorak pravilnog oblika takav da je gustoca struje izmedunaponskih kontakata homogena (slika 1.) onda jednadzbu (1) mozemo na-pisati u sljedecem obliku:

I =U

R(2)

1

Slika 1: Prikaz uzorka pravilnog (izduzenog) oblika

gdje je I ukupna struja koja tece kroz uzorak , U razlika potencijala izmedudva naponska kontakta , a R otpor koji ovisi o geometrijski dimenzijama iotpornosti samog materijala na sljedeci nacin :

R = l

A(3)

gdje je l duljina uzorka (izmedu naponskih kontakata) , a A poprecni presjekkojeg za pravokutnu geometriju mozemo napisati kao A = wt gdje je wsirina, a t debljina uzorka.

Kod uzoraka koji su vrlo tanki ili im debljina nije poznata (ali je unifor-mna) cesto nas zanima samo otpornost po jedinici debljine ili plosni otpordefiniran kao:

RS =

t(4)

Dimenzija plosnog otpora je Ohm ().

1.1 Metoda cetiri kontakta

Kada mjerimo jako male otpore (< 0.1) potrebno je izbjeci prijelazneotpore na prikljucnicama preko kojih je otpor spojen na izvor napona i

2

parazitne otpore spojnih zica. Takoder potrebno je osigurati da je gustocastruje kroz uzorak homogena da bismo mogli koristiti jednadzbe (2) i (3) .Iz tog razloga se koristi metoda 4 kontakta (slika 2.).

Slika 2: Shema za metodu 4 kontakta

Sa slike 2. se vidi da se na nepoznati otpor spajaju dva vanjska kontaktapreko kojih je uzorak spojen na strujni izvor i dva unutarnja kontakta kojisluze za mjerenje pada napona. Na ovaj nacin su u mjerenju napona izbjeg-nuti padovi napona na prikljucnicama i spojnim vodovima (pad napona naspojnim vodovima voltmetra je zanemariv jer je struja u krugu voltmetrajako mala). Takoder , naponski kontakti su dovoljno udaljeni od strujnihda struja tece homogeno izmedu naponskih kontakata pa mozemo koristitijednadzbe (2) i (3) za odredivanje otpornosti uzorka.

1.2 van der Pauw metoda

Kada imamo uzorak nekog materijala nepravilnog oblika (tj. kada nisuizduzeni i konstantnog poprecnog presjeka ) formula (3) gubi smisao paje potrebna drukcija metoda mjerenja otpornosti uzorka. Nizozemski fizicarL.J. van der Pauw je 1958. godine osmislio ingenioznu metodu cija je pri-mjenjivost gotovo neovisna o samom obliku uzorka. Da bi ovakva metodabila primjenjiva zahtijevamo nekoliko stvari:

Uzorak mora biti homogene debljine

3

Uzorak mora biti bez rupa Kontakti moraju biti postavljeni na rub uzorka Kontakti moraju biti zanemarive velicine (u odnosu na sam uzorak)

Slika 3: Raspored kontakata u vdP konfiguraciji

Ovakva metoda ima i druge primjene osim mjerenja otpornosti materi-jala kao npr. mjerenje Hallove konstante i raznih drugih svojstava vodica ipoluvodica.

Mi cemo izvesti izraz za otpornost za specificnu geometriju ( polube-skonacna vodljiva ravnina ) , ali s time ne gubimo na opcenitosti jer se bilokoja druga geometrija moze dobiti konformnim preslikavanjem (preslikava-njem koje cuva kuteve tj. , specijalno , kompleksnom analitickom funkci-jom) kao sto je pokazano u [1]. Naime, s obzirom da je debljina uzorkauniformna efektivno imamo 2D problem , pa tako potencijal zadovoljava 2DLaplaceovu jednadzbu koja je invarijantna na konformnno preslikavanje stonam omogucava da poopcimo izraze koje smo dobili za jednu geometriju nasve ostale geometrije koje se mogu dobiti konoformnim preslikavanje iz origi-nalne (tu se koristi Riemannov teorem o otvorenom preslikavanju koji kazeda je svaki otoreni skup u C moguce konformno preslikati na unutrasnjostjednicne kruznice).

Uzmimo da imamo beskonacnu vodljivu ravninu i cetiri kontakta narubu oznaceni sa M,O i P (slika 4.). Ako u kontakt M pustimo struju 2i onace zbog izotropnosti uzorka teci radijalno od tocke M u beskonacnost. Naudaljenosti r gustoca struje ce biti:

4

Slika 4: Beskonacni uzorak s kontaktima M , O i P koji se nalaze na istompravcu

J =2i

2pirt(5)

gdje je t debljina uzorka. Ako je otpornost materijala onda ce po Ohmovuzakonu (1) iznos elektricnog polja biti (smjer je , naravno , radijalan) :

E =i

pirt(6)

Sada mozemo naci razliku potencijala mezu tockama O i P kao integralpolja:

VP VO = ca+b

E dr = ipitln

(a+ b+ c

a+ b

)(7)

Ako sada promotrimo polubeskonacni uzorak (slika 5.) tako da sadastruja i (2i i ) ulazi u kontakt N rezultat (6) ce ostati isti, odnosnoimamo :

VP VO = cbE dr = i

pitln

(b+ c

b

)(8)

5

Slika 5: Polubeskonacni uzorak s kontaktima N , O , P

Sada mozemo iskoristiti princip superpozicije i promotriti situaciju kadastruja i izlazi iz kontakta M i ulazi u kontakt N . Ako definiramo :

RMN,OP =VP VOiMN

(9)

gdje je iMN struja koja tece izmedu kontakata M i N , dobivamo :

RMN,OP =

pitln

((a+ b)(b+ c)

(a+ b+ c)b

) (a+ b+ c)b

(a+ b)(b+ c)= exp

(pitRMN,OP

)(10)

Ovaj otpor se mjeri tako da kontakte M i N spojimo na strujni izvor kojidaje iMN i onda mjerimo razliku potencijala izmedu O i P .

Analogno tome mozemo definirati RNO,PM kojeg mjerimo tako da spo-jimo kontakte N0 na strujni izvor i mjerimo napon na kontaktima P i M:

ac

(a+ b)(b+ c)= exp

(pitRNO,PM

)(11)

Ako zbrojimo (9) i (10) dobivamo :

exp

(pitRMN,OP

)+ exp

(pitRNO,PM

)= 1 (12)

Invertiranjem ovog izraza dobivamo :

=pit

ln2f(x)

RMN,OP +RNO,PM2

(13)

6

gdje je x =RMN,OPRNO,PM

, a f je implicitno zadana preko :

cosh

((x 1)ln2(x+ 1)f

)=

1

2exp

(ln2

f

)(14)

Ocito , kada je x 1 vrijedi da je f 1 , no mi cemo radi vece preciznostif odrediti numericki.

Kao sto je vec napomenuto rezultat (12) mozemo primjeniti na bilo kojugeometriju i raspored 4 kontakta (samo moraju biti na rubovima) pa tako ina raspored na slici 3.

2 Uredaj i mjerenje

Eksperimentalni postav je prikazan na slici 6. Osnovni elementi su strujni

Slika 6: Prikaz eksperimentalnog postava

izvor pomocu koji daje struju izmedu 0A i 2.2A , ampermetar , voltmetar svelikim brojem znamenki tako da moze pouzdano registrirati male napone(cak i do nekoliko V ), te naravno spojni vodovi s prikljucnicama. U prvomdijelu mjerimo otpornost bakrene i aluminijske sipke i upravo to mjerenjeje prikazano na slici 6 , a sam postupak je vec objasnjen u uvodu.Ovdje jesamo bitno nadodati da snimamo V-I karakteristiku za oba smjera strujeda bi izbjegli eventualnu sistematsku pogresku voltmetra ili ampermetra.Kasnije, kad odredujemo otpor spojnih vodova i prikljucnica koristimo se

7

Slika 7: Postav za mjerenje prijelaznog otpora prikljucnica i otpora spojnihvodova

postavom koji je shematski prikazan na slici 7. U ovom slucaju za svakustruju koju nam daje strujni izvor biljezimo dva napona U1 i U2 , sto namomogocava da odredimo pad napona na samom spojnom vodu i pad naponana prikljucnici , zasebno. Iz toga je vrlo jednostavno odrediti potrebneotpore pomocu jednadzbe (2). Postupak ponavljamo za tri spojna vodarazlicitih duljina (l=2000 mm , l=1000 mm , l = 750 mm).

3 Rezultati

3.1 Otpornost bakra(Cu) i aluminija (Al)

Mjerimo V-I karakteristiku bakrene i aluminijske sipke kruznog presjekasljedecih dimenzija:

Duljina l = 31.5 cm

8

Promjer d = 2.5 cmZa prvi smjer struje dobivamo graf na slici 8.

Slika 8: Strujno naponska karakteristika bakrene i aluminijske sipke za prvismjer struje

Linearni regres nam direktno daje otpore (jednadzba (2)) :

RCu = (1111 7) 108 (15)

RAl = (1884 14) 108 (16)

Sada iz jednadzbe (3) mozemo naci otpornosti bakra i aluminija koristeciizmjerene geometrijske dimenzije sipki:

9

Cu = (173 1) 1010m (17)

Al = (293 2) 1010m (18)

Za drugi smjer struje dobivamo graf na slici 9.

Slika 9: Strujno naponska karakteristika bakrene i aluminijske sipke za drugismjer struje

Opet iz linearnog regresa dobivamo :

RCu = (1145 5) 108 (19)

RAl = (1805 3) 108 (20)

10

Opet mozemo izracunati otpornosti:

Cu = (1784 8) 1011m (21)

Al = (2810 5) 1011m (22)

Mozemo uociti da su rezultati za dva smjera struje konzistentni jer je njihovarazlika usporediva s nepouzdanoscu od svakog. Kombinirajuci rezultate zaoba smjera struje dolazimo do konacnih vrijednosti za otpornost bakra ialuminija pomocu pravila za opcu srednju vrijednost mjerenja:

Cu = (176 1) 1010m (23)

Al = (2817 6) 1010m (24)

Naravno , ovo su vrijednosti na sobnoj temperaturi ( T 293K ) .

3.2 Mjerenje otpora spojnih zica i prijelaznog otpora pri-kljucnica

Prikaz mjerenja otpora spojnih zica i prijelaznog otpora prikljucnica dan jena slici 7. Ekvivalentnu shemu mozemo vidjeti na slici 10. Definiramo :

R1,mj =U1I

(25)

Iz toga slijedi da je:R1,mj = R1 +R1p1 +R1p2 (26)

Stoga slijedi da je prosjecni prijelazni otpor izmedu prikljucnice voda iuticnice jednak :

R1p =R1,mj R1

2(27)

11

Slika 10: Ekvivalentna shema : R1 je otpor same spojne zice , a Rt, Rpd, R1psu prijelazni otpori prikljucnica.

gdje otpor samog voda R1 racunamo uz pomoc jednadzbe (3) , pritom uzi-majuci da su svi vodovi bakreni i da im je poprecni presjek isti (A = 2.5mm2).

Analogno , mozemo definirati:

R2 =U2I R2 = R1,mj +Rpd1 +Rpd2 (28)

Iz gornjeg izraza mozemo lako odrediti prosjecni prijelazni otpor Rpd :

Rpd =R2 R1,mj

2(29)

Rezultati mjerenja za tri razlicite duljine vodova su prikazani na grafuna slici 11.

12

Slika 11: U1 I i U2 I karakteristike za tri razlicite duljine (l=2000mm ,l = 1000 mm , l = 750 mm)

U tablici 1. dane su vrijednosti R1 , R1,mj , R2 , R1p i Rpd. R1 racunamokoristeci formulu (3) i pritom koristimo vrijdnost otpornosti bakra koju smoizmjerili (23) , a R1,mj i R2 dobivamo iz linearnog regresa.

l[mm] R1[m] R1,mj [m] R2[m] R1p[m] Rpd[m]

750 5.34 5.749 9.955 0.205 2.103

1000 7.12 7.293 11.352 0.087 2.030

2000 14.24 14.485 17.679 0.123 1.597

Tablica 1. Prijelazni otpori

Iz tablice 1. mozemo dobiti prosjecne vrijednosti prijelaznih otpora:

R1p = 0.138m (30)

Rpd = 1.910m (31)

13

4 Mjerenje plosnog otpora bakrene plocice

Prvo mjerimo plosni otpor bakrene plocice kvadraticnog oblika van der Pauwmetodom na sobnoj temperaturi. Rezultati se nalaze na slici 12.

Slika 12: U34 I12 (crveno) i U24 I13 karakteristike (crno)

Linearni regres nam daje sljedece vrijednosti :

R12,34 = (0.15 0.03)m (32)

R13,24 = (0.12 0.02)m (33)

Sada mozemo iskoristiti formulu (13) da bi odredili plosni otpor. S ob-zirom da R12,34/R13,24 = 1.25 , numericko rjesavanje jednadzbe (14) namdaje f = 0.9903 pa mozemo uzeti f 1.

RS = (0.61 0.03)m (34)

14

Iz ovoga mozemo , koristeci vrijednost otpornosti bakra iz prvog zadatka, procijeniti debljinu bakrene blocice kvadratnog oblika :

t =

RS 30m (35)

4.1 Mjerenje plosnog otpora na niskim temperaturama

Opet mjerimo plosni otpor bakrene plocice vdP metodom , ali sada se ba-krena plocica nalazi u tekucem dusiku i s njim je u termickoj ravnotezi naT 77K . Pogledajmo prvo sto nam daje mjerenje ( slika 13. ):

Slika 13: U34 I12 (crveno) i U24 I13 karakteristike (crno) na 77 K

Za otpore dobivamo :

R12,34 = (20.24 0.09) (36)

15

R13,24 = (16.13 0.07) (37)

Sada mozemo odrediti plosni otpor :

RS = (82.42 0.09) (38)

Koristeci procijenjenu debljinu plocice sada mozemo procijeniti otpor-nost na ovoj temperaturi:

(77K) = Rst 2.47 109m (39)

Ova vrijednost je gotovo 8 puta manja od vrijednosti na sobnoj tempe-raturi sto je u skladu s ocekivanjima jer uzrok otpora vecim dijelom leziu rasprsenju elektrona na resetci (ili na kvantiziranim modovima titranjaresetke- fononima) i tih je rasprsenja vise sto je temperatura veca. Akopokusamo s pretpostavkom da se vodljivost mijenja linearno s temperatu-rom (u zadanom rezimu temperatura) imamo sljedecu relaciju :

(T ) = (T0)[1 + (T T0)] (40)

gdje je koeficijent temperaturne ovisnosti. Tablicna vrijednost za bakar je 0.00386 . Ovakav racun nam daje sljedecu vrijednost za otpornost na77 K :

theor.(77K) = 2.92 109m (41)

sto odstupa od procijenjene vrijednosti za 18 %. To ukazuje na to da pro-mjenu otpornosti s temperaturom mozemo smatrati linearnom samo lokalno, odnosno u blizini neke referentne temperature. Ukoliko imamo velike pro-mjene temperature opis je puno slozeniji i puno vise parametara je u igri.

5 Zakljucak

U ovoj smo vjezbi proucili svojstvo elektricne otpornosti metala za dvijerazlicite eksperimentalne situacije koje vode ka dvije razlicite metode mje-

16

renja . Metodu cetiri kontakta koristimo u situacijama kad imamo izduzeneuzorke tj. kad je tok struje homogen kroz materijal (uobicajena situacija)i s njom smo na jednostavan nacin izbjegli prijelazne otpore na spojevimai otpore raznih vodova u mjerenju otpornosti samog uzorka. Na taj smonacin odredili otpornosti bakra i aluminija koji se prilicno dobro slazu s vri-jednostima iz literature , a jedan od mogucih razloga odstupanja su samenecistoce u materijalima. Koristili smo i van der Pauw metodu koja se ko-risti za mjerenje plosnog otpora tankih uzoraka proizvoljnog oblika. Samomjerenje je poprilicno jednostavno i nema nekih znacajnih ogranicenja osimtoga sto je u nekim trenucima voltmetar driftao , ali kao sto se vidi iz gra-fova to nije imalo znacajnog efekta. Takoder , vidjeli smo da otpornostdrasticno pada s temperaturom , ali ipak nesto sporije od linearnog padas tablicnim temperaturnim koeficijentom za bakar. Bitno je za napomenutida vdP metoda ima siru primjenu od odredivanja otpornosti. Npr , ako seuzorak stavi u magnetsko polje , doci ce to Hallovog efekta i pojave Hallo-vog napona. Predznak Hallovog napona ovisi o predznaku naboja nosioca ina taj se nacin mogu odrediti koncentracije pojedinih tipova nosioca (npr.elektroni i supljine u poluvodicima).

Bibliografija

[1] L. van der Pauw , Philips Res. Repts 13, 1 (1958)

17