mjera i integracija

Mjera i integralUredio: Josip Šumečki

(uz veliku pomoć Luuke i ostalih studenata oko korekcĳe)

6. srpnja 2009.

Temeljeno prema predavanjima: Doc. dr. sc. Bojan Basrak (2008./2009.) sa kolegĳa Mjera iintegral (Preddiplomski sveučilišni studĳ Matematika, PMF Zagreb).

Ova skripta je javno objavljena zbog želje više studenata da imaju pristup ovom dokumentu.Skripta nĳe dovršena i NE ODGOVARAM za neispravne navode u samom tekstu. Kopiranja u

privatne svrhe su dopuštena. Zabranjeno korištenje ovog dokumenta u komercĳalne svrhe.

Sve greške šaljite na shumi ≺na� student.math.hr ili na forum od PMF-MO.

1

mailto:[email protected]

http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=12925

Sadržaj1 Riemannov Integral 3

1-I Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Lebesgueova mjera 62-I Konstrukcĳa Lebesgueove mjere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62-II Proširenje mjere s prstena na σ-prsten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132-III Svojstva Lebesgueove mjere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182-IV Mjere na (Rd,B(Rd)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192-V Izmjerive funkcĳe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Integral 243-I Konstrukcĳa integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243-II Slika mjere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Integrabilne funkcĳe 304-I Definicĳe i svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304-II Funkcĳe ovisne o parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Lebesgueovi Lp prostori 335-I Prostor L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335-II Prostori Lp na intervalu p ∈ [1,+∞〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345-III Prostor L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365-IV Načini konvergencĳe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375-V Konvergencĳa po mjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Dekompozicĳa mjera 39

7 Dodatak: Veza između Riemannovog i Lebesgueovog integrala 42

2

1 Riemannov Integral1-I UvodNap. 1.1. Neka je f : [a, b]→ R ograničena funkcĳa, π : [x0, x1〉 ∪ [x1, x2〉 ∪ · · · ∪ [xn−1, xn]=[a, b] particĳe. Tada imamo Darbouxove sume

(donja :)n∑i=1

mi (xi − xi−1), mi = infx∈[xi−1,xi]

f(x) &

(gornja :)n∑i=1

Mi (xi − xi−1), Mi = supx∈[xi−1,xi]

f(x).

Tada imamo:I∗ = sup

particĳa π{ donje DA sume od π} &

I∗ = infparticĳa π

{ gornje DA sume od π}

i funkcĳa f je R-integrabilna, ako I∗ = I∗ = I, I =∫ b

a

f(x)dx.

Za f : [a, b]× [c, d]→ R imamo particĳe na skupovima [a, b] i [c, d].OSNOVNA IDEJA: uzeti particĳu skupa po kojem integriramo i integral aproksimiramo sumom oblika∑

Pi ∈ πxi ∈ Pi

f(xi) · veličina(Pi)

PROIZVOLJNOST: odabira particĳe π i elementa xi za svaki element particĳe

NADA: sve finĳe particĳe daju slične sume i limes ne ovisi o izboru particĳe

PROBLEM: ako funkcĳa f snažno oscilira na nekom elementu particĳe, nĳe jasno kako odrediti dobarxi

PRMJER: f ≡ 1Q∩[0,1] ⇒ (∀i ∈ {1 . . . n}) mi = 0 & Mi = 1

IDEJA(Lebesgue): umjesto grupiranja točaka po skupu po kojem integriramo, grupiramo ih po položaju na y-osi (npr. za f ≡ 1Q∩[0,1] stavimo

∫ 10 f(x)dx = 0 ·veličina(f−1({0}))+1 ·veličina(f−1({1})))

IDEJA(općenito): napraviti particĳu na y-osi K = · · · ∪ [y0, y1〉 ∪ [y1, y2〉 ∪ · · · i aproksimiramo integral od fsa ∑

[yi, yi+1] ∈ Kai ∈ [yi, yi+1]

ai · veličina(f−1([yi, yi+1〉))

NOVI PROBLEMI: na koji način definirati mjeru skupova, a da ih što više možemo izmjeriti; te za koje fmožemo pronaći praslike f−1([s, t〉)

Ako je (fn)n∈N niz R-integrabilnih funkcĳa na [a, b] koje uniformno konvergiraju prema nekojfunkcĳi f , tada je i f R-integrabilna i vrĳedi

limn→+∞

∫ b

a

fn(x) dx =∫ b

a

f(x) dx =∫ b

a

limn→+∞

fn(x) dx

, tj. za ovakve funkcĳe lim i∫mogu zamĳeniti mjesta.

3

Pr. 1.2. Q ∩ [0, 1] = {q1, q2, . . . , qn, . . . }, fn := 1{q1,...,qn,... }

⇒ R-integral je∫ 1

0fn(x) dx = 0, a f nĳe R-integrabilna

Nap. 1.3. Željena svojstva mjere na R:

(i) (∀A ⊆ R) µ(A) ≥ 0 &

(ii) µ(∅) = 0 &

(iii) (∀(Ai)i∈N, disjunktni) µ(+∞⋃i=1

Ai) =+∞∑i=1

µ(Ai) &

(iv) (∀A ⊆ R)(∀c ∈ R) A+ c := {a+ c | a ∈ A} ⇒ µ(A+ c) = µ(A) &

(v) (∀a, b ∈ R, a ≤ b) µ([a, b]) = b− a.

Lemma 1.4. (∃A ⊆ [−1, 1])(∃(qn)n∈N ⊆ Q) (∀i ∈ N) Ai := A+ qi su disjunktni i

[−1, 1] ⊆+∞⋃i=1

Ai ⊆ [−3, 3].

Dokaz. Na [−1, 1] gledamo relacĳu ekvivalencĳe ∼ definiranu sa t′ ∼ t′′ akko t′ − t′′ ∈ Q.Relacĳa ∼ djeli na klase ekvivalencĳe i možemo izabrati po jedan broj iz svake klase i definiramoA kao skup svih predstavnika (po Aksiomu izbora to možemo).⇒ Q ∩ [−2, 2] = {q1, q2, . . . } & Ai = A+ qi = {x+ qi | x ∈ A}.Pretpostavimo da su Ai i Aj nisu disjunktni. Tada (∃a′, a′′ ∈ A) a′ + qi = a′′ + qj⇒ a′ − a′′ = qj − qi ∈ Q ⇒ a′ ∼ a′′ ⇒ a′ = a′′

⇒ Ai = Aj (⇒⇐) ⇒ Ai i Aj su disjunktni.

⇒ (∀A ⊂ [−1, 1])(∀qi ∈ [−2, 2]) Ai = A+ qi ⊆ [−3, 3] ⇒+∞⋃i=1

Ai ⊆ [−3, 3].

⇒ (∀t ∈ [−1, 1])(∃a ∈ A ⊆ [−1, 1]) a ∼ t ⇒ t− a = q ∈ Q& q ∈ [−2, 2] jer a, t ∈ [−1, 1].

⇒ (∃j ∈ N) q = qj ⇒ t = a+ qj ∈ A+ qj = Aj ⇒ t ∈+∞⋃i=1

Ai ⇒

[−1, 1] ⊆+∞⋃i=1

Ai ⊆ [−3, 3].

Tm. 1.5. Ne postoji mjera µ : P(R)→ [0,+∞] sa svojstvima iz Nap. 1.3.

Dokaz. Ako za µ vrĳedi (i), (ii), (iii) iz Nap. 1.3, onda (∀B ⊆ C) µ(B) ≤ µ(C)jefr µ(C) = µ(B ∪ (C \B)) = µ(B) + µ(C \B) ≥ µ(B)

⇒ (zbog (v)) 2 = µ([−1, 1]) ≤ µ(+∞⋃i=1

Ai) ≤ µ([−3, 3]) = 6 . . . =: (∗)

⇒ (zbog (iv)) (∀i ∈ N) µ(A+ qi) = µ(Ai) = µ(A)

⇒ (zbog (iii)) µ(+∞⋃i=1

Ai) =+∞∑i=1

µ(Ai).

Tada za:

4

(1◦ µ(A) = 0 :) (∀i ∈ N) µ(A) = µ(Ai) ⇒ µ(+∞⋃i=1

Ai) =+∞∑i=1

0 = 0 (⇒⇐ sa (∗) )

(2◦ µ(A) = C > 0 :) (∀i ∈ N) µ(A) = µ(Ai) ⇒ µ(+∞⋃i=1

Ai) =+∞∑i=1

C = +∞ (⇒⇐ sa (∗) ).

Nap. 1.6 (Banach-Tarskyev paradoks). Neka su A,B ⊆ R3 ograničeni skupovi s neprazniminteriorima. Tada postoje particĳe {A1, . . . , An} i {B1, . . . , Bn} skupova A i B takvi da je Aikongruentan sa Bi, tj. da (∃f : R3 → R3)(∀x ∈ R3) f(x) = ζ(x) + a & f je ζ+ translacĳa zaa ∈ R3, tj. f je “kruto gibanje”.

Tm. 1.7. Neka je B = {x ∈ R3 | ||x|| ≤ 1}. Tada (∃{B1, B2, B3, B4, B5} particĳa odB)(∃f1, . . . , fn kruta gibanja) {f(B1), f(B2), f(B3)} i {f(B4), f(B5)} su particĳe od B.

5

2 Lebesgueova mjera2-I Konstrukcĳa Lebesgueove mjereDef. 2.1. Definiramo sljedeće familĳe:

(i) P1 := {〈a, b] | −∞ < a ≤ b < +∞} je "familĳa poluotvorenih intervala u R",

(ii) Pd :=

{d∏i=1〈ai, bi] | (∀i ∈ {1, . . . , d})−∞ < ai ≤ bi < +∞

}je "familĳa poluotvorenih pra-

vokutnika u Rd", ∀d ∈ N.

Def. 2.2. Definiramo funkcĳe:

(i) µ : P1 → R+0 , µ(〈a, b]) := b− a,

(ii) µd : Pd → R+0 , µd(

d∏i=1〈ai, bi]) :=

d∏i=1

(bi − ai).

Prop. 2.3 (konačna aditivnost). (∀n ∈ N)(∀i ∈ {1 . . . n})(∀〈ai, bi] ∈ P1, disjunktni)

µ(n⋃i=1〈ai, bi]) =

n∑i=1

µ(〈ai, bi]).

Def. 2.4. Definiramo:

(i) E1 := {A ⊆ R | (∃n ∈ N)(∀i ∈ {1 . . . n})(∃Ai ∈ P1, disjunktni) A =n⋃i=1

Ai},

(ii) Ed := {A ⊆ Rd | (∃n ∈ N)(∀i ∈ {1 . . . n})(∃Ai ∈ Pd, disjunktni ) A =n⋃i=1

Ai}.

Svaki element od E1/Ed nazivamo "elementarni skup u R/Rd".

Pr. 2.5. 〈0, 2] = 〈0, 1] ∪ 〈1, 2]

Nap. 2.6. ∅ ∈ E1 jer (∀a ∈ R) 〈a, a] = ∅

Nap. 2.7. (∀A,B ∈ E1) A ∪B ∈ E1

Def. 2.8. Neka je S familĳa podskupova od nepraznog skupa X. S je "poluprsten", ako

(i) ∅ ∈ S,

(ii) (∀A,B ∈ S)A ∩B ∈ S &

(iii) (∀A,B ∈ S)(∃n ∈ N)(∀i ∈ {1 . . . n})(∃Ei ∈ S) A \B =n⋃i=1

Ei.

Def. 2.9. Neka je R familĳa podskupova od nepraznog skupa X. R je "prsten", ako

(i) (∀A,B ∈ R) A ∪B ∈ R &

(ii) (∀A,B ∈ R) A \B ∈ R.

6

Def. 2.10. Neka je F familĳa podskupova od nepraznog skupa X. F je "σ-prsten", ako

(i) (∀(Ai)i∈N ⊆ F)+∞⋃i=1

Ai ∈ F &

(ii) (∀A,B ∈ F) A \B ∈ F .

Prop. 2.11. (∀R prsten) ∅ ∈ R.

Prop. 2.12. Vrĳedi:

(i) (∀F σ-algebra) F je σ-prsten,

(ii) (∀F σ-prsten) F je prsten,

(iii) (∀F prsten) F je poluprsten.

Prop. 2.13. (∀R prsten na X)(∀A,B ∈ R) X ∈ R ⇒ A{, B{ ∈ R & A{ ∩B{ ∈ R.

Dokaz. Neka su A,B,X ∈ R ⇒ (R je prsten) A{ = X \A ∈ R & B{ = X \B ∈ R⇒ (R je poluprsten) A{ ∩B{ = (A ∪B){ ∈ R jer A ∪B ∈ R.

Def. 2.14. Neka je F σ-prsten na skupu X. Ako X ∈ F , tada F je “σ-algebra na X”, (X,F)je “izmjeriv prostor”, a svaki A ∈ F “izmjeriv skup”.

Prop. 2.15. Neka je X skup, a F familĳa podskupova od X. F je σ-algebra na X, ako

(i) ∅ ∈ F &

(ii) (∀A ∈ F) A{ ∈ F &

(iii) (∀(An)n∈N ⊆ F)+∞⋃n∈N

An ∈ F .

Def. 2.16. Neka je C familĳa podskupova nepraznog skupa X. Tada “σ-prsten generiranfamilĳom C” je najmanji σ-prsten koji sadrži C, u oznaci R(C).

Prop. 2.17. Neka je C familĳa podskupova nepraznog skupa X. Tada

R(C) =⋂R ⊇ C

R je σ-prsten

R.

Nap. 2.18. P (X) ⊇ C & P (X) je σ-prsten ⇒ (∃R ⊇ C) R je σ-prsten& (∀R ⊇ C, σ-prsten) ∅ ∈ R (jer je σ-prsten) ⇒ ∅ ∈

⋂R ⊇ C

R je σ-prsten

R ⇒ R(C) 6= ∅.


(i) A := {A ⊆ X | (∃k ∈ N)(∀i ∈ {1 . . . k})(∃Ei ∈ C) A =k⋃i=1

Ei},

7

(ii) B := {A ⊆ X | (∃k ∈ N)(∀i ∈ {1 . . . k})(∃Ei ∈ C, disjunktni) A =k⋃i=1

Ei}.

Def. 2.20. Definiramo svojstvo: (∀C familĳa podskupova od nepraznog skupa X)

(∀A,B ∈ C)(∃k ∈ N)(∀i ∈ {1 . . . k})(∃Ei ∈ C, disjunktni) 〈1〉 := A \B =k⋃i=1

Ei.

Nap. 2.21. B ⊆ A.

Lemma 2.22. (∀C ⊆ P(X)) 〈1〉 ⇒ (∀E ⊆ C)(∀A ∈ A) E \A ∈ B.

Dokaz. A ∈ A ⇒ (∃n ∈ N)(∀i ∈ {1 . . . n})(∃Fi ∈ C) A =n⋃i=1

Fi

Indukcĳa po n da vrĳedi E \A ∈ B:

(1◦ n = 1 :) A = F1 ∈ C ⇒ E \A = E \ F1 ∈ B

(2◦ :) vrĳedi za i ≤ n.

(3◦ n+ 1 :) E \A = E \n+1⋃i=1

Fi = (E \n⋃i=1

Fi) \ Fn+1 & E \n⋃i=1

Fi ∈ B & Fn+1 ∈ C

⇒ (∃m ∈ N)(∀j ∈ {1 . . .m})(∃Ej ∈ C, disjunktni) E \n⋃i=1

Fi ∈ B =m⋃j=1

Ej

⇒ E \A = (m⋃j=1

Ej) \ Fn+1 =m⋃j=1

(Ei \ Fn+1) ∈ B jer su Ei \ Fn+1 ∈ B i disjunktni.

Lemma 2.23. (∀C ⊆ P(X)) 〈1〉 ⇒ A = B.

Dokaz. A ∈ A ⇒ (∃n ∈ N)(∀i ∈ {1 . . . n})(∃Ei ∈ C) A =n⋃i=1

Ei & B1 := ∅,

(∀i ≥ 2) Bi :=i−1⋃j=1

Ei & Ai := Ei \ Bi ⇒ Ai ∈ B & A =n⋃i=1

Ai & Ai su disjunktni

⇒ A ∈ B.

Tm. 2.24. (∀C ⊇ P(X)) 〈1〉 ⇒ R(C) = A = B

Dokaz. A = B vrĳedi iz 2.23

A ∈ A ⇒ (∃n ∈ N)(∀i ∈ {1 . . . n})(∃Ei ∈ C) A =n⋃i=1

Ei

(R(C) ⊆ A :) (∀i ∈ {1 . . . n})Ei ∈ R(C) ⇒ A =n⋃i=1

Ei ∈ R(C)

(A ⊆ R(C) :) A \B =n⋃i=1

(Ei \B) & Ei B ∈ B = A ⇒ A \B ∈ A A je prsten

⇒ najmanji prsten je u A.

8

Kor. 2.25. E1/Ed je prsten skupova.

Dokaz. Direktno po Tm. 2.24 uz C = P1.

Def. 2.26. Neka je C familĳa podskupova nepraznog skupa X. Tada “σ-algebra generiranafamilĳom C” je najmanja σ-algebra koja sadrži C, u oznaci σ(C).

Prop. 2.27. Neka je C familĳa podskupova nepraznog skupa X. Tada

σ(C) =⋂F ⊇ C

F je σ-algebra

F .

Nap. 2.28. E1 nĳe σ-prsten.

Def. 2.29. Neka je C familĳa podskupova od nepraznog skupa X takva da ∅ ∈ C, a µ : C →[0,+∞].

(a) µ je “(konačno) aditivna”, ako

(i) µ(∅) = 0 &

(ii) (∀E1, . . . , En ∈ C, disjunktni)n⋃i=1

Ei ∈ C ⇒ µ(n⋃i=1

Ei) =n∑i=1

µ(Ei),

(b) µ je “σ-aditivna”, ako

(i) µ(∅) = 0 &

(ii) (∀(Ei)i∈N ⊆ C, disjunktni)+∞⋃i=1

Ei ∈ C ⇒ µ(+∞⋃i=1

Ei) =+∞∑i=1

µ(Ei).

Prop. 2.30. Neka je C familĳa podskupova od nepraznog skupa X takva da ∅ ∈ C, a µ : C →[0,+∞].

(i) C je prsten ⇒ (∀E1, . . . , En ∈ C)n⋃i=1

Ei ∈ C &

(ii) C je σ-prsten ⇒ (∀(Ei)i∈N ⊆ C)+∞⋃i=1

Ei ∈ C.

Tm. 2.31. Neka je R prsten skupova na nepraznom skupu X, a µ : R → [0,+∞] konačnoaditivna funkcĳa. Tada

(i) (∀A,B ∈ R) A ⊆ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B) (“monotonost”) &

(ii) (∀A,B ∈ R) A ⊆ B & µ(A) < +∞ ⇒ µ(B \A) = µ(B)− µ(A) &

(iii) (∀(Ai)i∈N ⊆ R, disjunktni)(∃A ∈ R)+∞⋃i=1

Ai ⊆ A ⇒+∞∑i=1

µ(Ai) ≤ µ(A) &

9

(iv) (∀A,A1, . . . An ∈ R) A ⊆n⋃i=1

Ai ⇒ µ(A) ≤n∑i=1

µ(Ai) (“konačna subaditivnost”) &

(v) (∀A ∈ R)(∀(Ai)i∈N ⊆ R) A ⊆+∞⋃i=1

Ai & µ je σ-aditivna ⇒ µ(A) ≤+∞∑i=1

µ(Ai)

(“σ-subaditivnost”) &

(vi) (∀A ∈ R)(∀(Ai)i∈N ⊆ R) A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ An ⊆ · · · & A =+∞⋃i=1

Ai

& µ je σ-aditivna ⇒ µ(A) = limi→+∞

µ(Ai) (“neprekidnost odozdo”) &

(vii) (∀A ∈ R)(∀(Ai)i∈N ⊆ R) A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ An ⊇ · · · & A =+∞⋂i=1

Ai

& µ je σ-aditivna i konačna ⇒ µ(A) = limi→+∞

µ(Ai) (“neprekidnost odozgo”) &

(viii) µ je konačno aditivna i neprekidna odozdo na cjelom R ⇒ µ je σ-aditivna na R &

(ix) µ je konačno aditivna, konačna i neprekidna odozgo na ∅ ∈ R ⇒ µ je σ-aditivna na R.

Dokaz.

(iii) (∀n ∈ N)n⋃n=1

Ai ⊆ A ⇒n∑i=1

µ(Ai) = µ(n⋃i=1

Ai) (konačna aditivnost od µ)

& µ(n⋃i=1

Ai) ≤ µ(A) (zbog (i)) ⇒ suma reda je ograničena sa µ(A) jer je svaka

parcĳalna suma ograničena sa µ(A) ⇒+∞∑i=1

µ(Ai) ≤ µ(A).

Lemma 2.32. Neka je S poluprsten skupova na nepraznom skupu X, a µ : S → [0,+∞],konačno aditivna na S. Tada (∀C ∈ S)(∀(Ci)i∈N ⊆ S, disjunktni)

C =+∞⋃i=1

Ci ⇒ µ(C) ≥+∞∑i=1

µ(Ci).

Dokaz. Zbog leme 2.22 ⇒ (∃E ∈ S)(∀A ∈ A) E \A ∈ B ⇒ (∀n ∈ N)n⋃i=1

Ci ∈ A

& C ∈ S ⇒ C \n⋃i=1

Ci ∈ B ⇒ C = (n⋃i=1

Ci) ∪ (n⋃j=1

Aj) � µ()

⇒ (konačna aditivnost) µ(C) =n∑i=1

µ(Ci) +n∑j=1

µ(Aj) ≥n∑i=1

µ(Ci)

Pr. 2.33 (na R). µ0, µ∞ : P(R)→ [0,+∞]

(∀E ∈ P(R)) µ0(E) := 0

(∀E ∈ P(R) \ {∅}) µ∞(∅) := 0 & µ∞(E) := +∞

10

Pr. 2.34 (Diracova mjera). Neka je (X,F) izmjeriv skup. Tada

(∀E ∈ F) δx(E) :={

0 , x /∈ E1 , x ∈ E

Tm. 2.35. Neka je S poluprsten skupova na nepraznom skupu X, i definiramo R := R(S).Tada za µ : S → [0,+∞] vrĳedi:

(i) µ je konačno aditivna na S ⇒ (∃!ν : R → [0,+∞], proširenje µ) ν je konačno aditivna&

(ii) µ je σ-aditivna na S ⇒ (∃!ν : R → [0,+∞], proširenje µ) ν je σ-aditivna.

Dokaz. Dokaz teorema:

(i) Zbog Leme 2.23 vrĳedi (∀A ∈ R)(∃E1, . . . , En ∈ S, disjunktni) A =n⋃k=1

Ek pa definiramo

funkcĳu ν na R sa ν(A) :=n∑i=1

µ(Ei).

(dobra definiranost:) (∀F1, . . . , Fn ∈ S) A =n⋃j=1

Fj i za Hkj := Ek ∪ Fj

⇒ (S je poluprsten) Hkj ∈ S& Hkj su disjunktni zbog disjunktnih komponenata

⇒ Ek =n⋃j=1

Hkj & Fj =n⋃k=1

Hkj ⇒ µ je σ-aditivna na S

⇒n∑i=1

µ(Ei) =n∑i=1

n∑j=1

µ(Hij) =n∑j=1

n∑i=1

µ(Hij) =n∑j=1

µ(Fj)

(ν je mjera:) (∀A1, A2 ∈ R, disjunktan)(∃E1, . . . , En ∈ S)(∃F1, . . . , Fn ∈ S) A1 =n⋃k=1

Ek

& A2 =n⋃j=1

Fj ⇒ (∀j, k ∈ {1 . . . n}) Ek ∩ Fj = ∅ , jer A1 ∩A2 = ∅

⇒ A1 ∪A2 = (n⋃k=1

Ek) ∪ (n⋃j=1

Fj) � ν()

⇒ ν(A1 ∪A2) =n∑k=1

µ(Ek) +n⋃j=1

µ(Fj) = ν(A1) + ν(A2)

(jedinstvenost:) Pretpostavimo da postoji ν′ : R → [0,+∞], aditivno proširenje sa S na R da

(∀A ∈ R)(∃E1, . . . , En ∈ S, disjunktni) A =n⋃i=1

Ei

⇒ ν′(A) =n∑i=1

ν′(Ei) =n∑i=1

µ(Ei) =n∑i=1

ν(Ei)

(konačnost:) (∀A ∈ R)(∃E1, . . . , En ∈ S, disjunktni) A =n⋃i=1

Ei

⇒ (∀A ∈ R)(∃E1, . . . , En ∈ S, disjunktni) µ(A) =n∑i=1

µ(Ei) < +∞

11

(ii) µ je σ-aditivna & (∀A ∈ R)(∃(Ek)k∈N ⊆ S, disjunktni) A =+∞⋃k=1

Ek

& (∃(Ai)i∈N,⊆ S, disjunktni) A =+∞⋃i=1

Ai

⇒ ν(A) = ν(A ∩A) = ν((+∞⋃k=1

Ek) ∩ (+∞⋃i=1

Ai)) = ν(+∞⋃k=1

+∞⋃i=1

(Ek ∩Ai))

& (∀i ∈ N)(∃(Eil)l∈N ⊆ S, disjunktni) Ail =+∞⋃l=1

Eil

⇒ (σ-aditivnost na S) ν(A) = ν(+∞⋃k=1

+∞⋃i=1

(Ek ∩Ai)) = ν(+∞⋃k=1

+∞⋃i=1

+∞⋃l=1

(Ek ∩ Eil)) =

=+∞∑i=1

+∞∑k=1

ν(Ai ∩ Ek) =+∞∑j=1

ν(Ai).


(i) µ : P1 → [0,+∞], µ(〈a, b]) := b− a &

(ii) µd : Pd → [0,+∞], µd(d∏i=1〈ai, bi]) :=

d∏i=1

(bi − ai).

Prop. 2.37. µ i µd su aditivne funkcĳe.

Dokaz. (za µ:) Neka su 〈a1, b1], · · · , 〈an, bn] ∈ P1 disjunktni i takvi da postoji 〈a, b] ∈ P1 dan⋃i=1〈ai, bi] = 〈a, b]. (B.S.O. a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an) ⇒ a = a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an = b

& (∀i ∈ {1, . . . , n− 1}) bi = ai+1

⇒n∑i=1

µ(〈ai, bi]) =n∑i=1

µ(bi − ai) =n−1∑i=1

µ(bi − ai) + bn − an = bn − a1 = b− a = µ(〈a, b])

Nap. 2.38. Za µd staviti particĳe za svaku os.

Tm. 2.39. µ i µd su σ-aditivne funkcĳe.

Dokaz. (za µ:) Neka je niz (Ci := 〈ai, bi])i∈N ⊆ P1 takav da postoji C := 〈a, b] ∈ P1 takav da+∞⋃i=1

Ci = C. Tada po Lemmi 2.32 vrĳedi µ(C) ≥+∞∑i=1

µ(Ci).

Ako pretpostavimo da µ nĳe σ-aditivna ⇒ (∃C ∈ P1)(∃ε > 0) µ(C) =+∞∑i=1

µ(Ci) + ε

⇒ (∃δ0 > 0)(∀δ ∈ 〈0, δ0〉) F := 〈a+ δ, b] & µ(F ) > µ(C)− ε⇒ (∀i ∈ N)(∃δi > 0) Fi := 〈ai, bi + δi] & µ(Fi) < µ(Ci) + ε

2i⇒ [a+ δ, b] = F ⊆ C & (∀i ∈ N) Ci ⊆ F inti = 〈ai, bi + δi〉

⇒ F ⊂ C =+∞⋃i=1

Ci =+∞⋃i=1

Fi

12

⇒ (kompaktnost . . . može se prekriti sa konačno mnogo skupova) (∀n ∈ N) F ⊆n⋃i=1

F inti

⇒ F ⊂ F ⊂n⋃i=1

F inti ⊆n⋃i=1

Fi

⇒ (subaditivnost µ na P1 i proširenja od µ) µ(F ) ≤n∑i=1

µ(Fi)

⇒ µ(C)− ε < µ(F ) ≤n∑i=1

µ(Fi) <+∞∑i=1

(µ(Ci) + ε

2i) ≤

+∞∑i=1

µ(Ci) + ε ⇒⇐

2-II Proširenje mjere s prstena na σ-prsten

Prop. 2.40. Neka je A ∈ E1 da (∀n ∈ N)(∃Ai = 〈ai, bi] disjunktni, i ∈ {1 . . . n}, A =n⋃i=1

Ai), a

µ : E1 → [0,+∞], µ(〈a, b]) := b−a, µ(A) :=n∑i=1

µ(Ai) (proširenje µ na E1). Tada je µ σ-aditivna.

Prop. 2.41. (analogon Prop. 2.40 za µd na Ed)

Def. 2.42 (skup mjere 0 u R). Neka je A ∈ R. A je “mjere 0 u R”, ako

(∀ε > 0)(∃(〈ai, bi〉)i∈N ⊆ R) A =+∞⋃i=1〈ai, bi〉 ⇒

+∞∑i=1

µ(〈ai, bi〉) < ε, tj.+∞∑i=1

(bi − ai) < ε.

Def. 2.43. Neka je X neprazan skup, a µ∗ : P(X)→ [0,+∞]. µ∗ je “vanjska mjera na X”, ako

(i) µ∗(∅) = 0 &

(ii) (∀E,F ∈ X) E ⊆ F ⇒ µ∗(E) ≤ µ∗(F ) (monotonost) &

(iii)(∀ (En)n∈N ⊆ P(X)

)µ∗

(+∞⋃n=1

En

)≤

+∞∑n=1

µ∗(En) (σ-subaditivnost).

Prop. 2.44 (vanjska mjera na R). µ∗ := inf

{+∞∑i=1

µ(〈ai, bi]) | A ⊆+∞⋃i=1〈ai, bi]

}je vanjska mjera

skupa A ⊆ R.

Prop. 2.45. Vrĳede sljedeće tvrdnje:

(i) Ako je A skup mjere 0, tada µ∗(A) = 0 &

(ii) µ∗ je dobro definirana i na P(R) jer se svaki podskup od R može prikazati kao unĳa &

(iii) µ∗ : P(R)→ [0,+∞].

Nap. 2.46. Standardne pretpostavke:

(i) X 6= ∅ &

(ii) (M) := Neka je R prsten skupova na X, da (∃(Ei)i∈N ⊆ R) X =+∞⋃i=1

Ei.

13

Prop. 2.47. Pretpostavke iz 2.46 vrĳede za E1 i Ed.

Prop. 2.48. Ako vrĳedi pretpostavka 2.46(ii), tada σ(R) je σ-algebra.

Def. 2.49. Neka je µ : R → [0,+∞] konačno aditivna funkcĳa. Tada definiramo µ∗ : P(R)→

[0,+∞], µ∗(A) := inf{+∞∑i=1

µ(Fi) | (∀(Fi)i∈N ⊆ R) A ⊂+∞⋃i=1

Fi} je “vanjska mjera pridružena

konačno aditivnoj funkcĳi µ”.

Lemma 2.50. µ∗ iz Def. 2.49 je vanjska mjera na X.

Dokaz. (i) µ(∅) = 0 (po definicĳi konačno aditivnog skupa na X)

(ii) monotonost je naslĳeđena od svojstva samog infimimuma, tj.

(∀A,B) A ⊆ B ⇒ inf A ≤ inf B

(iii) (∀E ∈ R)(∃(Ei)i = 1+∞ ⊆ R) E =+∞⋃i=1

Ei

1◦ µ∗(Ei) = +∞: ⇒ µ∗(E) ≤+∞∑i=1

µ∗(Ei)

2◦ µ∗(Ei) < +∞: (∀ε > 0)(∀i ∈ N)(∃(Fik)k∈N ⊆ R) Ei ⊆+∞⋃k=1

Fik

&+∞∑i=1

µ(Fik) ≤ µ∗(E) + ε

2i

⇒ ((Fik)i∈N)k∈N ⊇ E (prebrojivo)

⇒ (∀ε > 0) µ∗(E) ≤+∞∑i=1

+∞∑k=1

µ(Fik) ≤+∞∑i=1

µ∗(Ei) + ε

⇒ µ∗(E) ≤+∞∑i=1

µ∗(Ei)

Nap. 2.51. Pokazivač iz Def. 2.49 se uvjek može uzeti takav da su izabrani skupovi disjunktni.

Dokaz. Neka je+∞⋃i=1

Fi neki pokrivač. Tada definiramo G1 := F1, (∀i > 1) Gi := Fi \i−1⋃j=1

Fj . Tada

je i+∞⋃i=1

Gi pokrivač jer vrĳedi+∞⋃i=1

Gi =+∞⋃i=1

Fi i Gi su disjunktni.

Nap. 2.52. µ∗(A) = inf{+∞∑i=1

µ(Fi) | (∀(Fi)i∈N ⊆ R, disjunktni)A ⊂+∞⋃i=1

Fi}

Dokaz. (vidi Nap. 2.51)

Lemma 2.53. Neka je R prsten skupova na X, µ : R → [0,+∞] σ-aditivna fnkcĳa, a µ∗ vanjskamjera pridružena µ. Tada (∀A ∈ R) µ∗(A) = µ(A).

14

Dokaz. Promatramo dva slučaja:

(µ∗(A) ≤ µ(A):) Za pokrivač od A uzmemo {A, ∅, ∅, . . . } pa tvrdnja vrĳedi.

(µ∗(A) ≥ µ(A):) (∃(Ai)i∈N ⊆ R, disjunktni) A ⊂+∞⋃i=1

Ai ⇒ (∀i ∈ N) Bi := A ∩Ai

⇒ (∀i ∈ N) Bi ∈ R & A =+∞⋃i=1

Bi & (∀i ∈ N) µ(Bi) ≤ µ(Ai)

⇒+∞∑i=1

µ(Ai) ≥+∞∑i=1

µ(Bi) = µ(A) ⇒ µ∗(A) ≥ µ(A)

Kor. 2.54. Neka je R prsten skupova na X, µ : R → [0,+∞] σ-aditivna fnkcĳa, a µ∗ vanjskamjera pridružena µ. Tada µ∗ je σ-aditivna funkcĳa.

Def. 2.55. Neka je µ : P(R)→ [0,+∞] vanjska mjera, a E ⊆ X. E je “izmjeriv skup u odnosuna µ (= µ∗)”, ako (∀A ⊆ X) µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ E{).

Nap. 2.56. Uvĳek vrĳedi µ∗(A) ≤ µ(A ∩ E) + µ(A ∩ E{).

Tm. 2.57 (Caratheodory). Neka je µ∗ vanjska mjera na X, aM familĳa izmjerivih podskupovaod X u odnosu na µ∗. Tada jeM σ-algebra i µ∗ je σ-aditivna naM.

Dokaz. Zadovoljivost uvjeta:

(M je algebra:) Dokazujemo da jeM zatvorena na konačne unĳe i komplemente

(zatv. na kon. unĳe:) (∀E1, E2 ∈M)(∀A ⊆ X) µ∗(A) = µ∗(A ∩ E1) + µ∗(A ∩ E{1 )

& µ∗(A ∩ E{1 ) = µ∗(A ∩ E{

1 ∩ E2) + µ∗(A ∩ E{1 ∩ E{

2 ) == µ∗((A \ E1) ∩ E2) + µ∗(A \ (E1 ∪ E2))⇒ µ∗(A) = µ∗(A ∩ E1) + µ∗((A \ E1) ∩ E2) + µ∗(A \ (E1 ∪ E2))⇒ (subaditivnost) µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ (E1 ∪ E2)) + µ∗(A ∩ (E1 ∪ E2){)⇒ (E1 ∪ E2) je izmjeriv skup ⇒ (E1 ∪ E2) ∈M⇒ indukcĳom dobivamo (∀n ∈ N)(∀E1, . . . , En ∈M)

⋃ni=1 Ei ∈M

(zatv. na kompl.:) (∀E ∈M)(∀A ⊆ X) µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ E{) == µ∗(A ∩ E{) + µ∗(A ∩ (E{){) ⇒ E{ ∈M

⇒ M je zatvorena na konačne unĳe &M je zatvorena na komplemente⇒ M je algebra skupova na X.

(σ-algebra:) (∀(Ei)i∈N ⊆M) (B.S.O.) Ei su disjunktni ⇒ (∀n ∈ N) Fn :=n⋃i=1

Ei

⇒ (M je algebra) Fn ∈M

⇒ indukcĳom dokazujemo (∀n ∈ N)(∀A ⊆ X) µ∗(A ∩ Fn) =n∑k=1

µ∗(A ∩ Ek):

(1◦ n = 1:) F1 = E1 ∈M(2◦ k ≤ n:) pretpostavimo da tvrdnja vrĳedi ∀k ≤ n

15

(3◦ n+ 1:) µ∗(A∩Fn+1) = µ∗(A∩Fn+1 ∩Fn) +µ∗(A∩Fn+1 ∩F {n) = µ∗(A∩Fn) +µ∗(A∩En+1)

& (2◦) µ∗(A ∩ Fn+1) = µ∗(A ∩ Fn) =n∑k=1

µ∗(A ∩ Ek) + µ∗(A ∩ En+1) =

=n+1∑k=1

µ∗(A ∩ Ek)

⇒ E :=+∞⋃i=1

Ei

⇒ (µ∗ je monotona) (∀n ∈ N) µ∗(E) ≥ µ∗(A ∩ Fn) =n∑k=1

µ∗(A ∩ Ek)

& µ∗ je σ-subaditivna ⇒ µ∗(A ∩ E) ≤n∑k=1

µ∗(A ∩ Ek)

⇒ µ∗(A ∩ E) =n∑k=1

µ∗(A ∩ Ek)

⇒ (Fn ∈M) µ∗(A) = µ∗(A ∩ Fn) + µ∗(A ∩ F {n) ≥

n∑k=1

µ∗(A ∩ Ek) + µ∗(A ∩ Ek)

⇒ µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ E{) = µ∗(A) ⇒ E ∈M

(µ∗ je σ-aditivna:) (∀E ∈M)(∀(Ei)i∈N ⊆M) E =+∞⋃i=1

Ei & A := X

⇒ µ∗(E) = µ∗(X ∩ E) =+∞∑i=1

µ∗(A ∩ Ek) =+∞∑i=1

µ∗(Ek)

Def. 2.58. Uređena trojka (X,F , µ) je “prostor s mjerom”, ako:

(i) X 6= ∅ &

(ii) F je σ-algebra podskupova od X &

(iii) µ : F → [0,+∞] je σ-aditivna.

Prostor s mjerom je “potpun”, ako (∀E ∈ X)(∀F ∈ F , µ(F ) = 0) E ⊆ F ⇒ E ∈ F .

Prop. 2.59. (X,M, µ∗) je potpun.

Dokaz. (∀A ⊆ X) A ∩ E ⊆ E ⇒ µ∗(A ∩ E) ≤ µ∗(E) = 0⇒ µ∗(A ∩ E) = 0 ⇒ µ∗(A) =≥ µ(A ∩ E{) = 0 + µ(A ∩ E{) = µ(A ∩ E) + µ(A ∩ E{)⇒ E je izmjeriv ⇒ (X,M, µ∗) je potpun

Tm. 2.60 (osnovni teorem o proširenju mjere). Neka je R prsten podskupova od X, a µ :R → [0,+∞] σ-aditivna funkcĳa. Tada postoji ν : σ(R) → [0,+∞] σ-aditivna funkcĳa koja jeproširenje od µ na R.

Dokaz. (dokazujemo da µ∗ zadovoljava uvjete za funkcĳu ν)⇒ neka je M σ-algebra µ∗-izmjerivih skupova ⇒ dokazujemo (∀E ∈ R)(∀A ∈ X)

µ∗(A) ≥ µ∗(A∩E)+µ∗(A∩E{) jer je tada R ⊆M, a pošto jeM σ-algebra, vrĳedi σ(R) ⊆M:

16

(1◦ µ(A) = +∞ :) µ(A) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ E{)

(2◦ µ(A) < +∞ :) (∀ε > 0)(∃(En)n∈N ⊆ R, disjunktni) A ⊆+∞⋃i=1

Ei & µ∗(A) + ε ≥+∞∑i=1

µ(Ei)

⇒+∞∑i=1

µ(Ei) =+∞∑i=1

(µ(Ei ∩ E) + µ(Ei ∩ E{)) =+∞∑i=1

µ(Ei ∩ E) ++∞∑i=1

µ(Ei ∩ E{) ≥

≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ E{) ⇒ µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ E{)

⇒ (∀E ∈ M) R ⊆ M ⇒ σ(R) ⊆ M ⇒ (∀A ∈ σ(R)) ν(A) := µ∗(A) ⇒ ν : σ(R) →[0,+∞]⇒ ν je σ-aditivna jer je µ∗ σ-aditivna ⇒ (X,σ(R), ν) je prostor s mjerom⇒ (∀A ∈ R) ν(A) = µ(A)

Def. 2.61. Neka je C familĳa podskupova od X, a µ : C → [0,+∞]. µ je “σ-konačna”, ako(∀E ⊆ X)(∃(Ei)i∈N ⊆ C) da vrĳedi:

(i) E ⊆⋃i∈N

Ei &

(ii) (∀i ∈ N) µ(Ei) < +∞.

Prop. 2.62. Neka je R prsten podskupova od X, a µ : R → [0,+∞] σ-aditivna funkcĳa. Tadapostoji jedinstvena σ-aditivna funkcĳa ν : σ(R)→ [0,+∞], ako je µ σ-aditivna.

Def. 2.63. Neka je C familĳa podskupova od X. C je “π-sustav”, ako

(∀A,B ∈ C) A ∩B ∈ C.

Nap. 2.64. Svi prsteni i poluprsteni su π-sustavi.

Def. 2.65. Neka je C familĳa podskupova od X. C je “λ-sustav”, ako

(i) X ∈ C &

(ii) (∀A,B ∈ C) A ⊆ B ⇒ B \A ∈ C &

(iii) (∀(Ai)i∈N ⊆ C, disjunktni)+∞⋃i=1

Ai ∈ C.

Tm. 2.66. Neka je C π-sustav, a D λ-sustav. Ako je C ⊆ D, tada je i σ(C) ⊆ σ(D).

Tm. 2.67 (Hahn). Neka je R prsten podskupova od X, a µ : R → [0,+∞] σ-aditivna funkcĳa.Ako je µ σ-konačna na R, onda (∃!ν σ-aditivno proširenje od µ na σ(R)) ν je σ-konačna.

Dokaz. Dokazujemo egzistencĳu i jedinstvenost:

(egzistencĳa :) vrĳedi po Tm. 2.60

(jedinstvenost :) pretpostavimo da su µ1, µ2 : σ(R)→ [0,+∞] σ-aditivna proširenja od µ

⇒ (∃(Ei)i∈N ⊆ R, rastući) X =+∞⋃j=1

Ej & (∀j ∈ N) µ(Ej) < +∞

⇒ (∀j ∈ N) Dj := {A ∈ σ(R)|µ1(A ∩ Ej) = µ2(A ∩ Ej)}⇒ dokazujemo da je Dj λ-sustav:

17

(i) (∀j ∈ N) µ1(Ej) = µ(Ej) = µ2(Ej)(ii) (∀j ∈ N)(∀A,B ∈ Dj) A ⊇ B ⇒ µ1(Ej ∩ (A \ B)) = µ1((Ej ∩ A) \ (Ej ∩ B)) =

µ1(Ej ∩ A) − µ1(Ej ∩ B) = µ2(Ej ∩ A) − µ2(Ej ∩ B) = µ2((Ej ∩ A) \ (Ej ∩ B)) =µ2(Ej ∩ (A \B)) ⇒ (A \B) ∈ Dj

(iii) (∀j ∈ N)(∀(An)n∈N ⊆ Dj , disjunktni) µ1(Ej ∩ (+∞⋃n=1

An)) = µ1(+∞⋃n=1

(Ej ∩ An)) =

+∞∑n=1

µ1(Ej ∩An) =+∞∑n=1

µ2(Ej ∩An) = µ2(+∞⋃n=1

(Ej ∩An)) = µ2(Ej ∩ (+∞⋃n=1

An))

⇒ Dj je λ-sustav & R ⊆ Dj & R je π-sustav⇒ σ(R) ⊆ σ(Dj) ⊆ σ(R) ⇒ (∀j ∈ N)(∀A ∈ σ(R)) σ(Dj) = σ(R)⇒ µ1(Ej ∩A) = µ2(Ej ∩A)⇒ (∀A ∈ σ(R)) µ1(A) = lim

j→+∞µ1(Ej ∩A) = lim

j→+∞µ2(Ej ∩A) = µ2(A)

Def. 2.68. Neka je µ∗d vanjska mjera pridružena funkcĳi µd. Tada µ∗d je “Lebesgueova vanjskamjera” i Ld := {A ⊆ Rd | A je µ∗d-izmjeriv} je “σ-algebra Lebesgue-izmjerivih skupova”.

Prop. 2.69. Ld je σ-algebra.

Def. 2.70. µd := µ∗d|Ld nazivamo “Lebesgueova mjera”.

Prop. 2.71. (Rd,Ld, µd) je potpun prostor s mjerom.

Def. 2.72. B(Rd) := σ(Ed) nazivamo “Borelova σ-algebra” ili “σ-algebra Borelovih podskupovaod Rd”.

Nap. 2.73. σ(Ed) ⊆ M = Ld ⇒ D(Rd) = Ld (obrat ne vrĳedi, tj. nemožemo sveizmjeriti)

Prop. 2.74. card(B(Rd)) = c & card(Ld) = 2c

Prop. 2.75. (Rd,B(Rd), µd) je prostor s mjerom (nĳe potpun!).

Nap. 2.76. Postoji skup koji nĳe Lebesgue-izmjeriv.

2-III Svojstva Lebesgueove mjereProp. 2.77 (svosjtva Lebesgueove mjere). Vrĳedi:

(i) (∀A ∈ P(Rd))(∀x ∈ Rd) µ∗d(A) = µ∗d(A+ x), tj. Lebesgueova vanjska mjera je invarĳantnana translacĳu na Borelovim skupovima &

(ii) (∀B ⊆ Rd) B ∈ Ld akko (∀x ∈ Rd) B+x ∈ Ld & µd(B+x) = µd(B), tj. Lebesgueovamjera je invarĳantna na translacĳe.

Kor. 2.78. Ld 6= P(Rd), tj. nema mjere koja bi mogla mjeriti sve skupove i biti invarĳantnana translacĳe (uz uvjet da mjera intervalu pridružuje njegovu duljinu).

Nap. 2.79. B(Rd) = σ(Ed) $ Ld

18

Prop. 2.80. Neka je (Rd,B(Rd), λ) prostor s mjerom, a λ invarĳantna na translacĳe, (∀A ∈B(Rd), ograničen) λ(A) < +∞ i (∀A ∈ B(Rd)) λ(A) 6= 0 ⇒ (∃c > 0) λ(A) = c µd(A), tj. svemjere su iste do na konstantu (mjerne jedinice).

Def. 2.81. Neka je µd mjera na F . Mjera je “regularna”, ako:

(i) (∀A ∈ F) µd(A) = inf{µd(U)|U ⊇ A, otvoren} &

(ii) (∀A ∈ F) µd(A) = sup{µd(K)|K ⊆ A, kompaktan}.

Prop. 2.82. Lebesgueova mjera je regularna.

2-IV Mjere na (Rd,B(Rd))Nap. 2.83. Postoji li još koja mjera ν osim Lebesgueove, da za prostor s mjerom (Rd,B(Rd), ν)vrĳedi da (∀A ∈ B(Rd), ograničen) ν(A) < +∞?Postoji: (npr. u Teorĳi vjerojatnosti funkcĳe distribucĳe ... vidi 2.84)

Def. 2.84. Definiramo funkcĳu F = Fν : R→ R, (∀x ∈ R) Fν(x) :={

ν(〈0, x]) , x > 0−ν(〈x, 0]) , x ≤ 0 .

Prop. 2.85 (svojstva funkcĳe Fν). Vrĳedi:

(i) Fν(0) = 0 &

(ii) (∀x ≥ 0) Fν(x) ≥ 0 &

(iii) (∀x ≤ 0) Fν(x) ≤ 0 &

(iv) Fν je monotono neopadajuća funkcĳa &

(v) Fν je neprekidna s desna.

Dokaz. Vrĳedi:

(i) Fν(0) = −ν(〈0, 0]) = −ν(∅) = 0

(iv) Promatramo slučajeve:

(1◦ 0 < x ≤ y :) Fν(x) = ν(〈0, x]) ≤ ν(〈0, y]) = Fν(y)(1◦ x < y ≤ 0 :) Fν(x) = −ν(〈x, 0]) ≤ −ν(〈y, 0]) = Fν(y)

(v) Promatramo slučajeve:

(1◦ x > 0 :) (∀(xn)n∈N ↘ X) Fν(Xn) = ν(〈0, xn]) &+∞⋂i=1〈0, xn] = 〈0, x]

⇒ Fν(xn)↘ ν(〈0, x]) = Fν(x)(2◦ x < 0 :) analogno 1◦

(3◦ x = 0 :) analogno 1◦

Nap. 2.86. Za Lebesgueovu mjeru Fν(x) := x.

Lemma 2.87. (∀〈a, b] ∈ P1) ν(〈a, b]) = Fν(b)− Fν(a).

19

Dokaz. Promatramo slučajeve:

(1◦ 0 < a ≤ b :) ν(〈a, b]) = ν(〈0, b] \ 〈0, a]) = ν(〈0, b])− ν(〈0, a]) = Fν(b)− Fν(a)

(2◦ a < b ≤ 0 :) ν(〈a, b]) = ν(〈a, 0] \ 〈b, 0]) = ν(〈a, 0])− ν(〈b, 0]) = −Fν(a) + Fν(b)

(3◦ a ≤ 0 < b :) ν(〈a, b]) = ν(〈a, 0] ∪ 〈0, b]︸︷︷︸disjunktni

) = −ν(〈0, a]) + ν(〈0, b]) = −Fν(a) + Fν(b)

Prop. 2.88. Neka je ν mjera na (Rd,B(Rd)) da vrĳedi svojstvo iz 2.83. Tada postoji funkcĳaF : R→ R sa svojstvima:

(i) F je neopadajuća &

(ii) F je neprekidna s desna &

(iii) (∀a, b ∈ R, a < b) ν(〈a, b]) = F (b)− F (a) &

(iv) F (0) = 0.

Nap. 2.89. Za svaku funkcĳu F iz 2.88 koja zadovoljava (i) & (ii) postoji mjera ν za kojuvrĳedi (iii).

Tm. 2.90. Neka je F : R→ R neopadajuća i s desna neprekidna funkcĳa. Tada postoji jedins-tvena mjera ν na (Rd,B(Rd)) za koju vrĳedi (∀a, b ∈ R, a < b) ν(〈a, b]) = F (b)− F (a) & (∀c ∈R) Fν = F + c.

Dokaz. ν : P1 → [0,+∞], (∀〈a, b] ∈ P1)ν(〈a, b]) := F (b)− F (a)

(kon. ad.:) (∀〈a, b] ∈ P1)(∀n ∈ N)(∃〈a1, b1], · · · , 〈an, bn], disjunktni) 〈a, b] =n⋃i=1〈ai, bi]

⇒ (B.S.O.) a = a1 < b1 < a2 < b2 < · · · < an < bn = b

⇒n∑i=1

µ(〈ai, bi]) =n∑i=1

(F (bi)− F (ai)) = F (b)− F (a) = µ(〈a, b])

(σ-ad.:) (Tm. 2.67) µ se može na jedinstven način proširiti do σ-aditivne funkcĳe na E1

ν : σ(E1)→ [0,+∞], ν(〈a, b]) := µ(〈a, b]) & µ je σ-konačna (R =+∞⋃n=1〈−n, n]

⇒ µ(〈−n, n]) =∈R︷︸︸︷F (n)−

∈R︷︸︸︷F (−n) < +∞) ⇒ ν(〈a, b]) = F (b)− F (a)

(funkcĳa :) Promatramo slučajeve:

(1◦ x > 0 :) Fν(x) = ν(〈0, x]) = F (x)− F (0)(2◦ x ≤ 0 :) Fν(x) = −ν(〈x, 0]) = −(F (0)− F (x)) = F (x)− F (0)

⇒ Fν = F − F (0)

Def. 2.91. Mjeru ν iz Tm. 2.90 nazivamo “Lebesgue-Stieltjesova mjera pridružena funkcĳi F”.

20

Pr. 2.92. (∀γ > 0)(∀x ∈ R) F (x) := γ x ⇒ ν(〈a, b]) = F (b) − F (a) = γ b − γ a =γ (b− a) = γ µ(〈a, b]).

Pr. 2.93. F (x) :={

1 , x ≥ x00 , x < x0

⇒ δx0(B) ={

1 , x ∈ B0 , x /∈ B (“delta” ili “Diracova”

mjera) ⇒ (Rd,B(Rd), δx0) je prostor s mjerom i (Rd,P(R), δx0) je prostor s mjerom.(X0 > 0 ⇒ Fδx0

= F )

Lemma 2.94. Neka je (νn)n∈N niz mjera na (Rd,B(Rd)) da vrĳedi (∀n ∈ N)(∀A ∈ B(Rd),ograničen)

(∃k = k(A) ∈ [0,+∞]) νn(A) ≤ k, a (cn)n∈N nenegativan niz u R da vrĳedi+∞∑n=1

cn < +∞. Tada

je i funkcĳa ν :=+∞∑n=1

cn νn mjera na (Rd,B(Rd)) za koju vrĳedi svojstvo iz 2.83.

Dokaz. (∀(Ai)i∈N ⊆ B(Rd), disjunktni)

ν(+∞⋃i=1

Ai) =+∞∑n=1

cn νn(+∞⋃i=1

Ai) =+∞∑n=1

cn

+∞∑i=1

νn(Ai) =+∞∑i=1

+∞∑n=1

cn νn(Ai) =+∞∑i=1

ν(Ai)

⇒ ν je σ-aditivna

⇒ (∀A ∈ B(Rd), ograničen) ν(A) =+∞∑n=1

cn νn(A) ≤ k+∞∑n=1

cn < +∞, ∃k ∈ R

2-V Izmjerive funkcĳeNap. 2.95. supN = supZ = +∞

Def. 2.96. Neka je X neprazan skup. Tada za svaki niz (Xn)n∈N ⊆ P(X) definiramo

lim supn

Xn := limnXn := inf

m( supn≥m

Xn) & lim infn

Xn := limnXn := sup

m( infn≥m

Xn)

Nap. 2.97. (∀(Xn)n∈N ⊆ R) lim supn

Xn, lim infn

Xn ∈ R

Nap. 2.98. (∀(Xn)n∈N ⊆ R) lim infn

Xn = lim supn

Xn

⇒ (∃ limnXn) lim

nXn = lim inf

nXn = lim sup

nXn ∈ R

Nap. 2.99 (proširivanje na R). limnn = +∞ & lim

n

1n

= 0

Nap. 2.100. (±∞) + (±∞) = ±∞ & (∀x ∈ R) (±∞) + x = x+ (±∞) = ±∞

& (±∞)(±∞) = +∞ & (±∞)(∓∞) = −∞ & (∀x ∈ R) x(±∞) =

±∞ , x > 00 , x = 0

∓∞ , x < 0

Nap. 2.101. Nĳe definirano (±∞) + (∓∞).

Def. 2.102. Neka su (X,F) i (Y,G) izmjerivi skupovi. Tada za svaku funkcĳu f : X → Y f je“izmjeriva u paru σ-algebri F i G”, ako f−1(G) ⊆ F , tj. (∀E ∈ G) f−1(E) = {x ∈ X | f(x) =E} =: {f ∈ E} ∈ F .

21

Prop. 2.103. Kompozicĳa izmjerivih funkcĳa je izmjeriva funkcĳa.

Lemma 2.104. Neka je f : (X,F)→ (Y,G). Tada postoji skup A takav da G = σ(A) i vrĳedif je izmjeriva akko (∀A ∈ A) f−1(A) ∈ F .

Def. 2.105. Neka je X neprazan skup, a U familĳa podskupova od X. Tada U je “topologĳana X”, ako

(i) ∅, X ∈ U &

(ii) (∀A,B ∈ U) A ∩B ∈ U &

(iii) (∀ I indeksni skup)(∀(Ax)x∈I ⊆ U)⋃x∈I

Ax ∈ U .

Prop. 2.106. Neka je (X,U) topološki prostor. “Borelova σ-algebra na X” je B(X) := σ(U).

Lemma 2.107. Neka je f : (X,F)→ (R,B(R)) funkcĳa. Tada vrĳedi:

(i) f je (F ,B(R))-izmjeriva ⇔

(ii) (∀a ∈ R) {f > a} ∈ F ⇔

(iii) (∀a ∈ R) {f ≥ a} ∈ F ⇔

(iv) (∀a ∈ R) {f < a} ∈ F ⇔

(v) (∀a ∈ R) {f ≤ a} ∈ F ⇔

(vi) (∀a, b ∈ R) {f ∈ 〈a, b]} ∈ F ⇔

(vii) (∀U ⊆ R, otvoren) {f ∈ U} ∈ F .

Lemma 2.108. Neka su f, g : X → R i h : X → R2, h := (f, g). h je (F ,B(R2))-izmjeriva akkof, g su (F ,B(R))-izmjerive.

Lemma 2.109. Neka su f, g : X → R izmjerive funkcĳe. Tada (∀c ∈ R) cf, f + g, f2, fg, |f | suizmjerive.

Def. 2.110. Neka je f : X → R. Tada definiramo f+, f− : X → R, f+(x) := max {f(x), 0} je“pozitivni dio funkcĳe f”, a f−(x) := max {−f(x), 0} je “negativni dio funkcĳe f”.

Prop. 2.111. Neka je f : X → R izmjeriva funkcĳa. Tada su i f+ = 12 (|f |+f) & f− = 1

2 (|f |−f)& f+, f− izmjerive funkcĳe.

Def. 2.112. Neka je f : (X,F) → R proširena realna funkcĳa. f je “F-izmjeriva”, ako (∀a ∈R) {f > a} ∈ F . Sve F-izmjerive funkcĳe označavamo sa M(X,F).

Nap. 2.113. Za funkcĳe f : (X,F)→ (R,B(R)) vrĳedi isti uvĳet iz Def. 2.112.

Lemma 2.114. Neka je f : X → R proširena realna funkcĳa. f je izmjeriva akko za A := {x ∈X | f(x) = +∞} i B := {x ∈ X | f(x) = −∞} vrĳedi A,B ∈ F , te za f1 : X → R, f1(x) :={f(x) , x /∈ A ∪B

0 , x ∈ A ∪B vrĳedi f je izmjeriva.

22

Dokaz (za ⇒). f ∈M(X, f) ⇒ A = {f = +∞} =⋂n∈N

∈F︷︸︸︷{f > n} ∈ F &

B = {f = −∞} =⋂n∈N

∈F︷︸︸︷{f < n} ∈ F ⇒ (∀a ∈ R)

1◦ a ≥ 0 ⇒ {f1 > a} =∈F︷︸︸︷

{f > a} \∈F︷︸︸︷A ∈ F

2◦ a < 0 ⇒ {f1 > a} =∈F︷︸︸︷

{f > a}∪∈F︷︸︸︷B ∈ F

Prop. 2.115. Neka je f ∈M(X,F). Tada (∀c ∈ R) cf, f2, |f |, f+, f− ∈M(X,F).

Nap. 2.116. (∀f, g : X → R) f + g nĳe uvĳek definirana.

Lemma 2.117. Neka je (fn)n∈N ⊆M(X,F) definirana s f := infn fn. Tada za funckĳe defini-rane s F := sup

nfn, f

∗ := lim infn

fn, F∗ := lim sup

nfn vrĳedi f, F, f∗, F ∗ ∈M(X,F).

Kor. 2.118. Nek je (fn)n∈N ⊆ M(X,F). Tada ako postoji f : X → F da fnn−→ f , onda

f ∈M(X,F).

Prop. 2.119 (produkt izmjerivih funkcĳa). Neka su f, g ∈M(X,F). Tada fg ∈M(X,F).

Dokaz. fn(x) :=

n , f(x) > nf(x) , |f(x)| ≤ n−n , f(x) < −n

-x

n

−n

6f(x)

(analogno za gm) ⇒ fn, gn ∈M(X,F)⇒ fngm : X → R je izmjeriva zbog Lemma. 2.109⇒ (∀m ∈ N) fgm = lim

n(fngm)︸︷︷︸izmjeriva

je izmjeriva

⇒ fg = fg = limm

(fgm)︸︷︷︸izmjeriva

je izmjeriva

⇒ fg ∈M(X,F)

Lemma 2.120. Neka je f ∈ M(X,F) nenegativna funkcĳa. Tada postoji niz (fn)n∈N ⊆M(X,F) takav da (∀n ∈ N) fn ≥ 0 & fn+1 ≥ fn & (∀x ∈ X) f(x) = lim

nfn(x) & fn po-

prima konačno mnogo vrĳednosti.

Dokaz. ⇒ (∀n ∈ N)(∀k ∈ {0, . . . , n2n − 1}) Ekn := {x ∈ X | f(x) ∈ [ k2n ,k+12n 〉} &

za k = 2n ⇒ Ekn = {x ∈ X | f(x) ≥ n} &Ekn su dĳsunktni i čine particĳu od X ⇒

fn(x) :=n2n∑k=0

1Ekn(x) k2n

(stepenasta funkcĳa) ⇒ fn ∈M(X,F)

23

3 Integral3-I Konstrukcĳa integralaDef. 3.1. Neka je (X,F) izmjeriv prostor, a µ : F → [0,+∞]. µ je “mjera na (X,F)”, ako

(i) µ(∅) = 0 &

(ii) (∀E ∈ F) µ(E) ≥ 0 &

(iii) (∀(En)n∈N ⊆ F , disjunktni) µ(+∞⋃n=1

En) =+∞∑n=1

µ(En).

Ako je µ < +∞), onda kažemo da je “mjera µ konačna”. Ako postoji niz (En)n∈N ⊆ F da

X =+∞⋃n=1

En & µ(En) < +∞, tada kažemo da je “mjera µ σ-konačna”.

Pr. 3.2. (R,B(R), λ) gdje je λ Lebesgueova mjera

Pr. 3.3. (R,B(R), λF ) gdje je λ Lebesgue-Stieltjesova mjera

Prop. 3.4. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, a E,F ∈ F . Tada ako E ⊆ F & µ(E) < +∞,onda µ(E \ F ) = µ(E)− µ(F ).

Prop. 3.5. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, a (En)n∈N ⊆ F rastući niz. Tada vrĳedi

µ(+∞⋃n=1

En) = limnµ(En).

Prop. 3.6. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, a (En)n∈N ⊆ F padajući niz i vrĳedi µ(E1) <+∞. Tada

µ(+∞⋂n=1

En) = limnµ(En).

Def. 3.7. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom. Kažemo da neko svojstvo vrĳedi “µ-skoro svudana X” (“µ-ss na X”), ako (∃N ∈ F) µ(N) = 0 i to svojstvo vrĳedi ∀x ∈ N{.

Pr. 3.8. f = g µ-ss, ako µ({x | f(x) 6= g(x)}) = 0

Pr. 3.9. Niz funkcĳa (fn)n∈N, fn : X → R konvergiraju µ-ss, ako (∃N ∈ F) µ(N) = 0 &(∀x ∈ N{) f(x) = lim

nfn(x)

Def. 3.10. Neka je X neprazan skup, a f : X → R. f je “jednostavna”, ako poprima konačnomnogo vrĳednosti.

Prop. 3.11. Neka je (X,F) izmjeriv prostor, a f ∈ M(X,F) jednostavna funkcĳa. Tada

(∃n ∈ N)(∀j ∈ {1, . . . , n})(∃aj ∈ R)(∃Ej ∈ F) f =n∑i=1

aj1Ej .

Prop. 3.12 (standardni prikaz jednostavne funkcĳe). Prikaz funkcĳe f iz Prop. 3.11 je jedins-tven za različite aj-eve i disjunktne Ej-ove.

Def. 3.13. M+(X,F) := {f : X → R | f je izmjeriva & (∀x ∈ X) f(x) ≥ 0}

24

Def. 3.14. Neka je ϕ ∈ M+(X,F) jednostavna sa standardnim prikazom ϕ =n∑j=1

aj1Ej

na prostoru s mjerom (X,F , µ). Tada definiramo “integral jednostavne funkcĳe” sa∫ϕdµ :=

n∑j=1

ajµ(Ej).

Nap. 3.15. Koeficĳenti iz Def. 3.14 su aj ≥ 0 pa je definicĳa dobra.

Nap. 3.16 (dogovor). 0 · ±∞ := 0

Lemma 3.17. Neka su ϕ i ψ ∈M+(X,F) jednostavne funkcĳe. Tada vrĳedi:

(i) (∀c ≥ 0)∫c ϕdµ = c

∫ϕdµ &

(ii)∫

(ϕ+ ψ) dµ =∫ϕdµ+

∫ψ dµ &

(iii) (∀E ∈ F) λϕ(E) :=∫ϕ1E dµ =:

∫E

ϕdmu ⇒ λϕ je mjera na (X,F) &

(iv) ϕ ≤ ψ ⇒∫ϕdµ ≤

∫ψ dµ.

Dokaz. (i) Provjeravamo za različite vrĳednosti c:

1◦ c = 0 ⇒ 0 = 0

2◦ c > 0 ⇒ c f ∈M+(X,F) jednostavna ⇒ c ϕ = c

n∑j=1

aj 1Ej =n∑j=1

c aj 1Ej

⇒∫c ϕdµ =

∑nj=1 c aj µ(Ej) = c

∑nj=1 aj µ(Ej) = c

∫ϕdµ

(ii) ⇒ standardni prikazi su ϕ =n∑j=1

aj 1Ej & ψ =m∑k=1

bk 1Fk ⇒

ϕ+ ψ =n∑j=1

m∑k=1

(aj + bk)1Ej∩Fk (ne nužno standardan prikaz)

⇒ {ch | h = 1, . . . , p} := {aj + bk | j = 1, . . . , n & k = 1, . . . ,m} &

Gh :=⋃(h)

(Ej ∩ Fk) ⇒ standardni prikaz od ϕ+ ψ je ϕ+ ψ =p∑

h=1ch 1Gh

⇒∫

(ϕ+ ψ) dµ =p∑

h=1ch µ(Gh) =

p∑h=1

ch∑

(j,k)∈(h)

µ(Ej ∩ Fk) =

=n∑j=1

m∑k=1

(aj + bk)µ(Ej ∩ Fk) =n∑j=1

aj

m∑k=1

µ(Ej ∩ Fk) +m∑k=1

bk

n∑j=1

µ(Ej ∩ Fk) =

=n∑j=1

aj µ(Ej) +m∑k=1

bk µ(Fk) =∫ϕdµ+

∫ψ dµ

(iii) ⇒ ϕ1E = (n∑j=1

aj1Ej )1E =n∑j=1

aj 1Ej∩E (nĳe standardan prikaz)

⇒ λϕ(E) =∫ϕ1E dµ =

n∑j=1

aj µ(Ej ∩ E)

25

(1◦) λϕ(∅) =∑nj=1 aj µ(Ej ∩ ∅) =

∑nj=1 aj · 0 = 0

(2◦) µ ≥ 0 ⇒ λϕ ≥ 0(3◦) naslĳeđeno od funkcĳe µ

Def. 3.18. Neka je f ∈ M+(X,F). Tada je “integral od f u odnosu na fukcĳu µ” definiransa∫f dµ := sup{

∫ϕdµ | ϕ ∈ M+(X,F) jednostavna & 0 ≤ ϕ ≤ f} i za E ∈ F definiramo

”integral od f po E u odnosu na µ“ kao∫E

f dµ :=∫f1E dµ.

Nap. 3.19. Definicĳa integrala za jednostavne funkcĳe vrĳedi isto kao i u Def. 3.18.

Lemma 3.20 (monotonost integrala). Vrĳedi:

(i) (∀f, g ∈M+(X,F)) f ≤ g ⇒∫f dµ ≤

∫g dµ &

(ii) (∀f ∈M+(X,F))(∀E,F ∈ F) E ⊆ F ⇒∫E

f dµ ≤∫F

f dµ.

Tm. 3.21. (Lebesgueov teorem o monotonoj konvergencĳi - LTMK) Neka je (fn)n∈N ⊆

M+(X,F) konvergentan rastući niz i definiramo f := lim supn

fn = limnfn. Tada vrĳedi

∫f dµ =

limn

∫fn dµ.

Dokaz. Dokazujemo nejednakosti:

(≥) ⇒ očito f ∈M+(X,F) & (∫fn dµ)n je rasući niz i ima limes

⇒ fn ≤ fn+1 ≤ f ⇒ (Lema. 3.20) (∀n ∈ N)∫fn dµ ≤

∫fn+1 dµ ≤

∫f dµ ⇒

limn

∫fn dµ ≤

∫f dµ

(≤) (∀α ∈ 〈0, 1〉)(∀ϕ ∈M+(X,F) jednostavna, 0 ≤ ϕ ≤ f) An := {x | fn(x) ≥ αϕ(x)}

⇒ A1 ⊆ A1 ⊆ · · · ⊆ An ⊆ · · · ⇒+∞⋃n=1

An = X

⇒ za ϕ(x) 6= 0 & αϕ(x) < f(x) ⇒ (∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0) αϕ(x) < fn(x)

⇒ (Lema 3.20)∫An

αϕdµ ≤∫An

fn dµ ≤∫X

fn dµ.

⇒ limn

∫An

αϕ dµ =∫X

αϕdµ ⇒ α

∫X

ϕdµ ≤ limn

∫fn dµ

⇒∫X

ϕdµ ≤ limn

∫fn dµ ⇒

∫f dµ ≤ lim

n

∫fn dµ

Kor. 3.22 (linearnost integrala nenegativne funkcĳe). Neka je f ∈M+(X,F). Tada vrĳedi:

(i) (∀c ≥ 0) c f ∈M+(X,F) &∫c f dµ = c

∫f dµ &

(ii) (∀g ∈M+(X,F)) f + g ∈M+(X,F) &∫

(f + g) dµ =∫f dµ+

∫g dµ.

26

Dokaz (za (ii)). ⇒ (∃(ϕn)n∈N, (ψn)n∈N ⊆ M+(X,F) rastući konvergentni nizovi jednostavnihfunkcĳa)f =↑ lim

nϕn & g =↑ lim

nψn ⇒ f + g =↑ lim

n(ϕn + ψn)

⇒∫

(f + g) dµ =∫

limn

(ϕn + ψn) dµ = (LTMK) limn

∫(ϕn + ψn) dµ =

= limn

(∫ϕn dµ+

∫ψn dµ) = lim

n

∫ϕn dµ+ lim

n

∫ψn dµ =

∫f dµ+

∫g dµ

Lemma 3.23 (Fatou). Neka je (fi)i∈N ⊆M+(X,F) niz funkcĳa. Tada∫lim inf

nfn dµ ≤ lim inf

n

∫fn dµ.

Dokaz. ⇒ gm(x) := infn≥m

fn(x) ⇒ gm(x) = inf{fn(x), fn+1(x), . . . }

⇒ (∀m ≤ n) gm ≤ fm ≤ fn ⇒∫gm dµ ≤

∫fn dµ

⇒∫gm dµ ≤ lim inf

m

∫fm dµ ⇒ g1 ≤ g2 ≤ · · · ≤ gm ≤ . . .

& limmgm = sup

mgm = lim inf

nfn ⇒

∫lim inf

nfn dµ =

∫limmgm dµ =

= (LTMK) limm

∫gm dµ ≤ lim inf

n

∫fn dµ

Nap. 3.24 (negativne funkcĳe). fn := −n1〈0, 1n ] uz Lebesgueovu mjeru µ

⇒∫fn dµ = −1 & lim

nfn = 0 ⇒

∫lim inf

nfn dµ =

∫limnfn dµ = 0

⇒ −1 > 0(⇒⇐) ⇒ Fatouva lema ne vrĳedi za negativne funkcĳe

Kor. 3.25. Neka je f ∈ M+(X,F), a λ : F → [0,+∞]. Tada za svaki E ∈ F definiramo

λ(E) :=∫E

f dµ ⇒ λ je mjera.

Dokaz. Dokazujemo svojstva mjere:

(i) f ≥ 0 ⇒ λ ≥ 0

(ii) λ(0) =∫∅f 1∅ dµ =

∫∅

0 dµ = 0

(iii) (∀(En)n∈N ⊆ F , disjunktni) λ(+∞⋃n=1

En) =∫⋃+∞

n=1En

f(+∞∑i=1

1En) dµ =

= limmf

m∑n=1

1En dµ = limm

∫ m∑n=1

f 1En dµ = limm

m∑n=1

λ(En) =+∞∑n=1

λ(En)

Kor. 3.26. Neka je f ∈M+(X,F). Tada vrĳedi f(x) = 0 µ-ss akko∫f dµ = 0.

Dokaz.

(⇐)∫f dµ = 0 ⇒ En := {x ∈ X | f(x) > 1

n} & E := {x ∈ X | f(x) > 0}⇒ En ↗ E & f ≥ 1

n1En ⇒ 0 =∫f dµ ≥

∫ 1n1En dµ = 1

nµ(En) ≥ 0⇒ µ(E) = lim

nµ(En) = 0

27

(⇒) f = 0µ-ss ⇒ E := {x ∈ X | f(x) > 0}fn := n1E

⇒ µ(E) = 0 & limnfn(x) =

{+∞ , x ∈ E

0 , x ∈ E{ & f ≤ limnfn

⇒ 0 ≤∫f dµ ≤

∫lim inf

nfn dµ ≤ lim inf

n

∫fn dµ = lim inf

n

∫n1E =

= µ(E) · lim infn

n = 0

Def. 3.27. Neka su λ i µ mjere na izmjerivom prostoru (X,F). λ je ”apsolutno neprekidna uodnosu na µ“, ako (∀E ∈ F) µ(E) = 0 ⇒ λ(E) = 0

Kor. 3.28. Neka je f ∈ M+(X,F), a λ mjera na (X,F). Tada je za svaki E ∈ F definirana

λ(E) :=∫E

f dµ apsolutno neprekidna u odnosu na µ.

Dokaz. µ(E) = 0 ⇒ f 1E = 0µ-ss ⇒∫f 1E dµ = 0

⇒ λ(E) =∫f 1E dµ = 0

Kor. 3.29. Neka je (fn)n∈N ⊆ M+(X,F) monotono rastući niz koji µ-ss konvergira k f ∈

M+(X,F). Tada∫f dµ = lim

n

∫fn dµ.

Dokaz. (∀N ∈ F) µ(N) = 0 & (∀x ∈ N{) limnfn(x) = f(x) ⇒ M := N{

⇒ (∀x ∈ X) limnfn1M (x) = f 1M (x) ⇒ (LTMK) lim

n

∫fn 1M dµ =

∫f1M dµ

⇒ f 1N = 0 µ-ss & fn 1N = 0 µ-ss ⇒∫fn 1N dµ = 0

⇒∫f dµ =

∫f 1M dµ+

∫f 1N dµ = lim

n(∫fn 1M dµ+

∫fn 1N dµ) = lim

n

∫fn dµ

Kor. 3.30. Neka je (gn)n∈N ⊆M+(X,F). Tada∫

(+∞∑n=1

gn) dµ =+∞∑n=1

∫gn dµ.

Prop. 3.31. Neka je g ∈M+(X,F). Tada∫g dλ =

∫(g ◦ f) dµ.

Dokaz. Dokaz za svaku vrstu funkcĳa:

(1◦ g = 1E :)∫1E dλ =

∫E

f dµ

(2◦ g =n∑j=1

cj 1Ej :) vrĳedi zbog linearnosti

(3◦ g ∈M+): ⇒ (∃(sn)n∈N ⊆M+(X,F), jednostavne) g =↑ limnsn ⇒ (LTMK)

28

3-II Slika mjereDef. 3.32. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, (Y,G) izmjeriv prostor, a ϕ : X → Y izmjerivafunkcĳa. Definiramo µϕ : G → [0,+∞], (∀G ∈ G) µϕ(G) := µ(ϕ−1(G)).

Prop. 3.33. µϕ iz Def. 3.32 je mjera na (X,G).

Prop. 3.34. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, a f ∈M+(Y,G). Tada∫Y

f dµϕ =∫X

(f ◦ ϕ) dµ.

29

4 Integrabilne funkcĳe4-I Definicĳe i svojstvaDef. 4.1. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom. Tada definiramo ”familĳu integrabilnih funk-cĳa“ L := L(X,F , µ) := {f : X → R | f je izmjeriva & postoje integrali od f+ i f− &∫f+ dµ,

∫f− dµ < +∞}. Tada za f ∈ L(X,F , µ) definiramo

∫f dµ :=

∫f+ dµ −

∫f− dµ i

(∀E ∈ F)∫E

f dµ :=∫E

f+ dµ−∫E

f− dµ.

Prop. 4.2. Neka su f, f1, f2 : X → F funkcĳe, gdje su f1, f2 ≥ 0 izmjerive funkcĳe i vrĳedif = f1 − f2 i

∫f1 dµ,

∫f2 dµ < +∞. Tada ∃

∫f dµ &

∫f dµ =

∫f1 dµ−

∫f2 dµ.

Dokaz. ⇒ f+ − f− = f = f1 − f2 ⇒ f+ + f2 = f1 + f− ⇒∫(f+ + f2) dµ =

∫(f1 + f−) dµ ⇒

∫f+ dµ+

∫f2 dµ =

∫f1 dµ+

∫f− dµ ⇒∫

f+ dµ−∫f− dµ︸︷︷︸

=∫f dµ

=∫f1 dµ−

∫f2 dµ =

∫f dµ

Def. 4.3. Neka je f ∈ L. Tada za ∀E ∈ F definiramo ”neodređeni integral od f u odnosu naµ“ sa λ : F → R, λ(E) :=

∫E

f dµ.

Lemma 4.4. Neodređeni integral λ od f u odnosu na µ je realna mjera, tj. (∃λ1, λ2 mjere) λ =λ1 − λ2.

Dokaz. ⇒ f+, f− ∈M+(X,F) & f+, f− < +∞ ⇒

λ+(E) :=∫E

f+ dµ & λ−(E) :=∫E

f− dµ ⇒ λ+, λ− su mjere ⇒λ = λ1 − λ2 ⇒ λ je realna mjera

Pr. 4.5.∫ +∞

1

sin xx

dx je nepravilan Riemannov integral, ali Lebesgueov integral nemožemo

izračunati jer f+, f− = +∞

Tm. 4.6. Neka je f izmjeriva funkcĳa. Tada f ∈ L akko |f | ∈ L. Tada vrĳedi |∫f dµ| ≤∫

|f |dµ.

Dokaz. f ∈ L ⇔∫f+ dµ,

∫f− dµ < +∞ & |f | ∈ L ⇔

∫|f |+ dµ < +∞

⇒ |f |+ = |f | = f+ + f−

⇒ |∫f dµ| = |

∫f+ dµ−

∫f− dµ| ≤

∫f+ dµ+

∫f− dµ =

∫|f |dµ

Kor. 4.7. Neka je f izmjeriva, a g integrabilna funkcĳa. Ako |f | ≤ |g| ⇒ f je integrabilna&∫|f |dµ ≤

∫|g|dµ.

Tm. 4.8. Neka su f, g ∈ L, a α ∈ R. Tada αf, f+g ∈ L &∫αf dµ = α

∫f dµ &

∫(f+g) dµ =∫

f dµ+∫g dµ.

Dokaz. Dokazujemo tvrdnje:

(αf :) Dokazujemo slučajeve

(1◦ α = 0:) ⇒ αf = 0

30

(2◦ α > 0:) ⇒ (αf)+ = αf+ & (αf)− = αf−

⇒∫f dµ =

∫(αf)− dµ−

∫(αf)− dµ =

∫αf+ dµ−

∫αf− dµ =

= α(∫f+ dµ−

∫f− dµ) = α

∫f dµ

(3◦ α < 0:) (analogno 2◦)

(f + g:) ⇒ |f |, |g| ∈ L & |f + g| ≤ |f |+ |g| ⇒ f + g ∈ L⇒ f + g = (f+ + g+)︸︷︷︸

≥0

− (f− + g−)︸︷︷︸≥0

⇒∫

(f + g) dµ =∫

(f+ + g+) dµ−∫

(f− + g−) dµ =∫f dµ+

∫g dµ

Tm. 4.9 (Lebesgueov teorem o dominiranoj konvergencĳi, LTDK). Neka je f : X → R funkcĳa,a (fn)n∈N niz izmjerivih funkcĳa da vrĳedi lim

nfn = f . Ako postoji g ∈ L za koju vrĳedi |fn| ≤ g,

tada vrĳedi

(i) f je integrabilna &

(ii) limn

∫|fn − f |dµ = 0 &

(iii)∫f dµ = lim

n

∫fn dµ.


(i): (∀n ∈ N) |fn| ≤ g ⇒ |f | ≤ g ⇒ f je integrabilna po Kor. 4.7

(ii): |fn − f | ≤ |fn|+ |f | ≤ g + g = 2g ⇒ (Kor. 4.7) |fn − f | je integrabilna

⇒ hn := 2g − |fn − f | ≥ 0 ⇒ (Fatou)∫

lim infn

hn dµ ≤ lim infn

∫hn dµ

⇒ (postoji lim) lim infn

hn = limnhn = 2g jer lim

nfn = f

& lim infn

∫n

hn dµ =∫

2g dµ− lim supn

∫|fn − f |dµ

⇒∫

2g dµ ≤∫

2g dµ− lim supn

∫|fn − f |dµ ⇒ − lim sup

n

∫|fn − f |︸︷︷︸≥0

dµ ≥ 0

⇒ lim supn

∫|fn − f | = 0 ⇒ lim

n

∫|fn − f |dµ = 0

(iii): 0 ≤∣∣∣∣∫ (fn − f) dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |fn − f |dµ→ 0 ⇒ limn

∫(fn − f) dµ = 0

⇒∫f dµ =

∫fn dµ+

∫(f − fn) dµ ⇒ lim

n

∫f dµ = lim

n

∫fn dµ+ 0

⇒∫f dµ = lim

n

∫fn dµ

Kor. 4.10 (Lebesgueov teorem o dominiranoj konvergencĳi 2). Neka je (X,F , µ) prostor smjerom, a f : X → R funkcĳa, a (fn)n∈N niz izmjerivih funkcĳa da vrĳedi lim

nfn = f µ-ss. Ako

postoji g ∈ L za koju vrĳedi |fn| ≤ g µ-ss, onda vrĳede tvrdnje (i), (ii) i (iii) iz Tm. 4.9.

31

4-II Funkcĳe ovisne o parametruKor. 4.11. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, a f : X× [a, b]→ R funkcĳa takva da je funkcĳax 7→ f(x, t) imjerljiva za svaki t ∈ [a, b]. Tada ako za t0 ∈ [a, b] i za x ∈ X vrĳedi f(x, t0) =limt→t0

f(x, t) i postoji integrabilna funkcĳa g : X → R da (∀x ∈ X)(∀t ∈ [a, b]) |f(x, t)| ≤ g(x)onda ∫

f(x, t0) dµ(x) = limt→t0

∫f(x, t) dµ(x).

Dokaz. ⇒ (∀(tn)n∈N ⊆ [a, b], limn tn = t0)(∀(fn)n∈N, fn(x) := f(x, tn)) f0(x) := f(x, t0)

⇒ fn → f0 & |fn| ≤ g ⇒ limn

∫fn dµ =(LTDK)

∫f0 dµ =

∫f(x, t0) dµ(x)

& limn

∫fn dµ = lim

n

∫f(x, tn) dµ = lim

t→t0

∫f(x, t) dµ(x)

⇒∫f(x, t0) dµ(x) = lim

t→t0

∫f(x, t) dµ(x)

Kor. 4.12. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, a f : X× [a, b]→ R funkcĳa takva da je funkcĳat 7→ f(x, t) neprekidna ∀x ∈ X na [a, b]. Tada ako postoji integrabilna funkcĳa g : X → R davrĳedi (∀x ∈ X)(∀t ∈ [a, b]) |f(x, t)| ≤ g(x) onda funkcĳa F : [a, b] → R, (∀x ∈ X)(∀t ∈[a, b]) F (t) :=

∫f(x, t) dµ(x) je neprekidna na [a, b].

Dokaz. (direktno po Kor. 4.11)

Kor. 4.13. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, a f : X× [a, b]→ R funkcĳa takva da je funkcĳaf 7→ f(x, t0) integrabilna za svaki x ∈ X i fiksnu vrĳednost t0 ∈ [a, b]. Ako postoji ∂tf naX×[a, b]i ako postoji integrabilna funkcĳa g : X → R da vrĳedi (∀x ∈ X)(∀t ∈ [a, b]) |∂tf(x, t)| ≤ g(x)onda funkcĳa F : [a, b] → R, (∀x ∈ X)(∀t ∈ [a, b]) f(t) :=

∫f(x, t) dµ(x) je diferencĳabilna na

[a, b] & F ′(t) = dd t∫f(x, t) dµ(x) =

∫∂tf(x, t) dµ(x).

Dokaz. ⇒ (∀t ∈ [a, b])(∀(tn)n∈N ⊆ [a, b], lim

ntn = t, (∀n ∈ N) tn 6= t

)(∀x ∈ X)

∂tf(x, t) = limn

f(x, tn)− f(x, t)tn − t

& tn − t 6= 0 ⇒ ∂tf(x, t) je izmjeriva⇒ (teorem srednje vrĳednosti) (∀t, t0 ∈ [a, b])(∃s1 ∈ 〈t0, t〉)f(x, t)− f(x, t0) = (t− t0)∂tf(x, s1) ⇒ |f(x, t)| ≤ |f(x, t0)|+ |t− t0| |∂tf(x, s1)|⇒ (∀t ∈ [a, b]) postoji

∫f(x, t) (ne samo za fiksni t0)

⇒ F (tn)− F (t)tn − t

=∫f(x, tn)− f(x, t)

tn − tdµ(x)

⇒ limn

F (tn)− F (t)tn − t

= limn

∫f(x, tn)− f(x, t)

tn − t︸︷︷︸≤g(x) apsolutno

dµ(x)

⇒ (LTDK) F ′(t) =∫∂tf(x, t) dµ(x)

32

5 Lebesgueovi Lp prostori5-I Prostor L1

Def. 5.1. Neka je V vektorski prostor. Tada je funkcĳa N : V → R ”norma na V “ u oznaci|| · ||, ako

(i) (∀v ∈ V ) N(v) ≥ 0 &

(ii) N(v) = 0 ⇔ v = 0 &

(iii) (∀v ∈ V )(∀α ∈ R) N(αv) = |α|N(v) &

(iv) (∀u, v ∈ V ) N(u+ v) ≤ N(u) +N(v).

Ako N zadovoljava samo (i), (iii) i (iv), onda je N ”polunorma“.

Pr. 5.2. Euklidska norma na Rn je norma

Pr. 5.3. N0(f) := sup {f(x) | x ∈ [0, 1]} je mjera naB([0, 1]) := {f : [0, 1]→ R | f je ograničena}

Pr. 5.4. (∀u = (u1, . . . , ud) ∈ Rd) N(u) := max {|u2|, . . . , |ud|} je polunorma na Rd

Pr. 5.5. N0(f) := sup {|f ′(x)| : 0 ≤ x ≤ 1} je polunorma nad funkcĳama f : [0, 1] → R sneprekidnom derivacĳom (sve konstante imaju normu 0)

Def. 5.6. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom. Tada za svaki f ∈ L(X,F , µ) definiramoNµ(f) :=

∫|f |dµ.

Prop. 5.7. Nµ je polunorma.

Dokaz.

(i) (∀f ∈ L(X,F , µ)) Nµ(f) =∫ ≥0︷︸︸︷|f | dµ ≥ 0

(iii) (∀f ∈ L(X,F , µ))(∀α ∈ R) Nµ(αf) =∫|αf |dµ = |α|

∫|f |dµ

(iv) (∀f, g ∈ L(X,F , µ)) Nµ(f + g) =∫|f + g|dµ ≤

∫(|f |+ |g|) =

∫|f |dµ+

∫|g|dµ

Lemma 5.8. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom. Tada L(X,F , µ) je vektorski prostor uzoperacĳe (∀f, g ∈ L(X,F , µ))(∀α ∈ R)(∀x ∈ X) (f + g)(x) := f(x) + g(x), (αf)(x) := αf(x) &Nµ(f) = 0 akko f = 0 µ-ss.

Dokaz.

(L je v.p.:) Dokazano u Tm. 4.8

(µ-ss:) po Kor. 3.26 (∀f ∈ L(X,F , µ)) Nµ(f) =∫|f |dµ = 0 akko |f | = 0 µ-ss akko f = 0 µ-ss

33

Def. 5.9. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, a f, g ∈ L(X,F , µ). f i g su ”µ-ekvivalentne“,ako f = g µ-ss. Tada klasu ekvivalencĳe [f ] definiramo sa

[f ] := {g ∈ L(X,F , µ) | f = g µ-ss} .

Nap. 5.10. µ-ekvivalencĳa je klasa ekvivalencĳe na L(X,F , µ).

Def. 5.11. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom. Tada ”Lebesgueov prostor L1“ definiramosa L1 := L1(X,F , µ) := {[f ] : f ∈ L(X,F , µ)} i definiramo ”normu na L1“ ili ”normu-1“ sa(∀[f ] ∈ L1) ||[f ]||1 :=

∫|f |dµ.

Tm. 5.12. L1(X,F , µ) je normiran vektorski prostor sa definiranim operacĳama (∀f, g ∈L1)(∀α ∈ R) α[f ] := [αf ], [f ] + [g] := [f + g] i nul-vektorom [0].


(v.p.:) direktno po definicĳi (naslĳeđeno od L)

(norma:) Dokazujemo svojstva norme:

((i),(ii), (iv):) Naslĳeđeno od L((iv):) ⇒ ||[f ]||1 = 0 akko

∫|f |dµ = 0 akko |f | = 0 µ-ss akko [f ] = [0]

Nap. 5.13 (standardne oznake). Nadalje koristimo oznake ||f ||1 za ||[f ]||1 te f ∈ L1 za [f ] ∈ L1.

5-II Prostori Lp na intervalu p ∈ [1,+∞〉Def. 5.14. (∀p ∈ [1,+∞〉) Lp := Lp(X,F , µ) :=

{[f ] ∈ L1(X,F , µ) |

∫|f |p dµ < +∞

}. Na Lp

definiramo normu ||[f ]||p :=(∫|f |p dµ

) 1p .

Nap. 5.15 (standardne oznake). Nadalje koristimo oznake ||f ||p za ||[f ]||p te f ∈ Lp za [f ] ∈ Lp.

Def. 5.16. lp :=

{(ui)i∈N |

+∞∑i=1|ui|p < +∞

}s funkcĳom

|| · || : lp → R, ||(ui)||p := (+∞∑i=1|ui|p)

1p je ”normiran prostor p-sumabilnih nizova“.

Nap. 5.17. (lp, || · ||p) je (Lp, || · ||) uz X = N, F = P(N) i µ = card.

Tm. 5.18 (Hölderova nejednakost). Neka je f ∈ Lp, p > 1, a g ∈ Lq,1p + 1

q = 1. Tadafg ∈ L1 & ||fg||1 ≤ ||f ||p · ||g||q.

Kor. 5.19 (Cauchy-Schwarz-Bunjakovski, C-S-B). Neka su f, g ∈ L2. Tada fg ∈ L1 i vrĳedi||fg||1 ≤ ||f ||2 · ||g||2.

Tm. 5.20 (Nejednakost Minkowskog, relacĳa trokuta). Neka su f, g ∈ Lp, p ≥ 1. Tadaf + g ∈ Lp & ||f + g||p ≤ ||f ||p + ||g||p.

Kor. 5.21. (Lp, || · ||) je normiran prostor.

Def. 5.22. Neka je (fn)n∈N ⊆ Lp. Tada (fn) je ”Cauchyev niz“ ili ”C-niz“, ako (∀ε > 0)(∃M =M(ε) ∈ N)(∀m,n ∈ N) m,n ≥ M ⇒ ||fn − fm||p < ε. Kažemo da niz (fn) ”konvergira u Lpprema f ∈ Lp“, ako (∀ε > 0)(∃N = N(ε) ∈ N)(∀n ∈ N) n ≥ N ⇒ ||fn − f ||p < ε.

34

Def. 5.23. Normiran prostor je ”potpun“ ili ”Banachov“, ako svaki ”C-niz“ u njemu konvergira.

Lemma 5.24. Neka je (fn)n∈N ⊆ Lp, f ∈ Lp takav da fn → f u Lp. Tada (fn) je C-niz.

Tm. 5.25 (o potpunosti). (∀p ∈ [1,+∞〉) Lp je Banachov prostor.

Dokaz. Neka je (fn)n∈N ⊆ Lp C-niz⇒ (∀ε > 0)(∃M = M(ε) ∈ N)(∀n,m ≥M) ||fn − fm||p < ε⇒ ε := 1

2 ⇒ (∃n1 ∈ N)(∀n ≥ n1) ||fn − fn1 ||p < 12 ⇒ n1 := M( 1

2 ) & g1 := fn1

⇒ ε := 14 ⇒ (∃n2 > n1)(∀n ≥ n2) ||fn − fn2 ||p < 1

4 ⇒ n2 := M( 14 ) & g2 := fn2 ⇒

indukcĳom dobivamo niz (ni)i∈N ⊆ N i podniz (gi)i∈N ⊆ (fi)i∈N⇒ (∀j ∈ N) ||gj+1 − gj ||p = ||fnj+1 − fnj ||p ≤ ||fnj+1 ||p + ||fnj ||p < 1

2j

⇒ g(x) := |g1(x)|++∞∑k=1|gk+1(x)− gk(x)| ⇒ g ∈M+(X,F)

⇒∫|g|p dµ ≤ (Fatou) lim inf

n

∫ (|g1(x)|+

n∑k=1|gk+1(x)− gk(x)|

)pdµ(x)

⇒ ||g||p ≤ lim infn

(∫ (|g1(x)|+

n∑k=1|gk+1(x)− gk(x)|

)pdµ(x)

) 1p

=

= limn

(∫ (|g1|+

n∑k=1|gk+1 − gk|

)pdµ

) 1p

=

= limn

(|| |g1|+

n∑k=1|gk+1 − gk| ||p

)≤ lim

n

(||g1||p +

n∑k=1||gk+1 − gk||

)=

= ||g1||p ++∞∑k=1||gk+1 − gk||p ≤ ||g1||p + 1

⇒ E := {x ∈ X | g(x) < +∞} ⇒ E je izmjeriv& µ(E{) = 0 jer inače nebi bila konačna ⇒ red koji definira g konvergira µ-ss

⇒ f(x) :=

g1(x) ++∞∑k=1

(gk+1(x)− gk(x)), x ∈ E

0, x ∈ E{

⇒ (∀x ∈ E) f(x) = limkgk(x) ⇒ gk = g1 +

k−1∑j=1

(gj+1 − gj)

⇒ |gk| ≤ |g1|+k−1∑j=1|gj+1 − gj | ≤ g ⇒ |f | = lim

n|gk| µ-ss

⇒ |f − gk|p ≤︸︷︷︸uvĳek na R

2p(|f |p + |gk|p) ≤︸︷︷︸|gk|,|fk|≤|g|

2p+1gp ⇒ |f | ≤ g µ-ss

& limk|f − gk|p = 0 µ-ss ⇒ lim

k(f − gk) = 0

⇒ (LTDK) limk

∫|f − gk|p dµ =

∫limk|f − gk|p dµ =

∫0 dµ = 0

⇒ gkk−→ f u Lk ⇒ (∀n > M(ε))(∀k ∈ N, nk ≥M(ε))

∫|fm − gk|p dµ ≤ εp

⇒ (∀m ≥M(ε))∫|fm − f |p dµ ≤︸︷︷︸

(Fatou)

lim infn

∫|fm − gk|p dµ ≤ εp

35

Kor. 5.26. Neka je (fn)n∈N ⊆ Lp i f ∈ Lp. Ako fnn−→ f u Lp ⇒ (∃(nk)k∈N ⊆ N) podniz

fnkn−→ f µ-ss.

5-III Prostor L∞Def. 5.27. Neka je f : X → R. f je ”µ-ss omeđena“, ako postoji N ∈ F da µ(N) = 0 &sup{|f(x)| : x ∈ N{} < +∞. Za takve f definiramo S(N) := sup{f(x) | x ∈ N{}.

Def. 5.28. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom. L∞ := L∞(XF , µ) := {[f ] | f : X →R je µ-ss omeđena} i ||f ||∞ := inf{S(N) | N ∈ F & µ(N) = 0}. Elemente od L∞ naziva-mo ”esencĳalno omeđenim funkcĳama“, a ||f ||∞ nazivamo ”esencĳalnim supremumom“.

Prop. 5.29. Neka je f ∈ L∞. Tada vrĳedi:

(i) |f(x)| ≤ ||f ||∞ µ-ss &

(ii) (∀A ∈ R) A < ||f ||∞ ⇒ (∃E ∈ F) µ(E) > 0 & (∀x ∈ E) |f(x)| ≥ A.

Prop. 5.30. Esesncĳalni supremum je dobro definiran, tj. ne ovisi o izboru predstavnika klase.

Tm. 5.31. L∞ je potpun normiran prostor s normom || · ||∞.


(v.p.:) direktno po definicĳi

(norma:) dokazujemo svojstva norme:

((i),(iii):) vrĳedi po definicĳi((ii):) ⇒ ||f ||∞ = 0 ⇒ (∃(Nk)k∈I ⊆ F)(∀k ∈ I) µ(Nk) = 0 & (∀x ∈ N{

k ) f(x) ≤ 1k

⇒ N :=⋃k∈I

Nk ⇒ µ(N) = 0 & (∀x ∈ N{ =⋂k∈I

N{k ) f(x) = 0

⇒ f(x) = 0 µ-ss ⇒ [f ] = [0]((iv):) ⇒ (∀f, g ∈ L∞)(∃N1, N2 ∈ F) µ(N1) = µ(N2) = 0

& (∀x ∈ N{1 ) |f(x)| ≤ ||f ||∞ & (∀x ∈ N{

2 ) |g(x)| ≤ ||g||∞⇒ (∀x ∈ N{

1 ∩N{2 ) |f(x) + g(x)| ≤ ||f ||∞ + ||g||∞

⇒ ||f + g||∞ ≤ ||f ||∞ + ||g||∞ jer µ((N{1 ∩N{

2 ){) = µ(N1 ∪N2) = 0

(potpunost:) ⇒ (∀(fn)n∈N ⊆ L∞, C-niz)(∀M ∈ F) µ(M) = 0& (∀n ∈ N)(∀x ∈M{) |fn(x)| ≤ ||fn||∞⇒ (∀n,m ∈ N)(∀x ∈M{) |fn(x)− fm(x)| ≤ ||fn − fm||∞

⇒ (fn) je na M{ uniformno konvergentan ⇒ f(x) :=

{limnfn(x), x ∈M{

0 , x ∈M⇒ f ∈M(X,F) & fn

n−→ f u L∞

Def. 5.32. Za f ∈ L∞ definiramo ||f ||^∞ := inf {C | µ ({|f | > C}) = 0}.

Lemma 5.33. Neka je f ∈ L∞. Tada vrĳedi ||f ||∞ = ||f ||^∞.

Prop. 5.34. Neka su f, g ∈ L∞(X,F , µ), a C ≥ 0. Ako µ(|f | > C) = 0 & µ(|g| > C) = 0 ⇒||f ||^∞ = ||g||^∞.

36

5-IV Načini konvergencĳeDef. 5.35. Neka je (X,F) izmjeriv prostor, (fn)n∈N niz izmjerivih funkcĳa fn : X → R if : X → R izmjeriva funkcĳa. (fn) ”konvergira uniformno prema f“, ako (∀ε > 0)(∃N = N(ε) ∈N)(∀n ≥ N)(∀x ∈ X) |fn(x)− f(x)| < ε.

Def. 5.36. Neka je (X,F) izmjeriv prostor, (fn)n∈N niz izmjerivih funkcĳa fn : X → R if : X → R izmjeriva funkcĳa. (fn) ”konvergira po točkama prema f“, ako (∀ε > 0)(∀x ∈X)(∃N = N(ε, x) ∈ N)(∀n ≥ N) |fn(x)− f(x)| < ε.

Def. 5.37. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, (fn)n∈N niz izmjerivih funkcĳa fn : X → R if : X → R izmjeriva funkcĳa. (fn) ”konvergira µ-ss prema f“, ako (∀ε > 0)(∃M ∈ F , µ(M) =0)(∀x ∈M{)(∃N = N(ε, x) ∈ N)(∀n ≥ N) |fn(x)− f(x)| < ε.

Prop. 5.38. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom, (fn)n∈N niz izmjerivih funkcĳa fn : X → R if : X → R izmjeriva funkcĳa. Tada vrĳedi:

(i) fnn−→ f uniformno ⇒ fn

n−→ f po točkama &

(ii) fnn−→ f po točkama ⇒ fn

n−→ f µ-ss.

Tm. 5.39. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom da µ(X) < +∞, (fn)n∈N ⊆ Lp i fn : X → R if : X → R izmjeriva funkcĳa. Ako fn

n−→ f uniformno na X onda f ∈ Lp & fnn−→ f u Lp.


(fnn→ f u Lp:) ⇒ (∀ε > 0)(∃N = N(ε) ∈ N)(∀n ≥ N)(∀x ∈ X) |fn(x)− f(x)| < ε

⇒ (∀n ≥ N) ||fn − f ||p = (∫|fn − f |p dµ)

1p ≤ ε(µ(X))

1p ⇒ fn

n−→ f u Lp

(f ∈ Lp:) ⇒ f ∈ Lp ⇒ f = fn︸︷︷︸∈Lp

+ f − fn︸︷︷︸∈Lp

∈ Lp

Pr. 5.40. Neka je λ(X) = +∞. Za prostor s mjerom (R,B(R), λ) definiramo fn := n−1p1[0,n].

⇒ fnn−→ f = 0 uniformno & ||fn||pp =

∫(n−

1p )p dλ = n · 1

n = 1 ⇒ fnn9 f u Lp

Pr. 5.41. Za ([0, 1],B([0, 1], λ) definiramo fn := n · 1[ 1n ,

2n ] ⇒ fn

n−→ f = 0 & ||fn||pp =· · · = 1 ⇒ fn

n9 f u Lp

Tm. 5.42. Neka je (fn)n∈N ⊆ Lp da konvergira prema izmjerivoj funkcĳi f µ-ss. Ako postojig ∈ Lp izmjeriva funkcĳa da vrĳedi (∀x ∈ X)(∀n ∈ N) |fn(x)| ≤ g(x), onda f ∈ Lp & fn

n−→ fu Lp.

Dokaz. ⇒; |f(x)| ≤ g(x) µ-ss ⇒ f ∈ Lp & |≤g(x)︷︸︸︷fn(x)−

≤g(x)︷︸︸︷f(x) |p ≤ 2p(g(x))p µ-ss

⇒ |fn(x)− f(x)|p n−→ 0 µ-ss & (∀n ∈ N) |fn(x)− f(x)| ∈ Lp⇒ (LTDK)

∫|fn − f |p dµ n−→ 0 ⇒ fn

n−→ f u Lp

Kor. 5.43. Neka je (X,F , µ) prostor s mjerom da µ(X) < +∞, a (fn)n∈N ⊆ Lp da konvergiraprema izmjerivoj funkcĳi f µ-ss. Ako postoji K > 0 da (∀n ∈ N)(∀x ∈ X) |fn(x)| < K, ondaf ∈ Lp & fn

n−→ f u Lp.

Dokaz. ⇒ (∀x ∈ X) g(x) := K ⇒ po Tm. 5.42 vrĳedi tvrdnja teorema

37

Pr. 5.44 (konvergencĳa u Lp ; konvergencĳa µ-ss). X := [0, 1], λ := ”Lebesgueova mjera“,intervali. . . [0, 1]; [0, 1

2 ], [ 12 , 1]; [0, 1

3 ], [ 13 ,

23 ], [ 2

3 , 1]; . . .⇒ fn := 1”n-ti interval“ ⇒

∫|fn|p dλ n−→ 0

⇒∫|fn − 0|p dλ =

∫|fn|dλ

n−→ 0 ⇒ fnn−→ 0 u Lp

⇒ ali fn(x) n9 0,∀x ∈ X jer ga uvĳek pokupi neki interval⇒ (∀x ∈ X)(∀n ∈ N) fn(x) = 1

5-V Konvergencĳa po mjeriNap. 5.45 (standardne pretpostavke). (∀f : X → R) f je izmjeriva.

Def. 5.46. Neka je (fn)n∈N niz izmjerivih funkcĳa. Niz ”(fn) konvergira po mjeri k izmjerivojfunkcĳi f“, ako (∀ε > 0) lim

nµ ({x ∈ X : |fn(x)− f(x)| ≥ ε}) = 0. Niz (fn) je ”Cauchyev po

mjeri“, ako (∀ε > 0) limm,n

µ ({x ∈ X : |fn(x)− fm(x)| ≥ ε}) = 0.

Prop. 5.47. Neka je (fn)n∈N niz izmjerivih funkcĳa. fnn−→ f uniformno ⇒ (∀ε > 0)(∃n0 ∈

N)(∀n ≥ n0) {x ∈ X : |fn(x)− f(x)| ≥ 0} = ∅.

Pr. 5.48 (konvergencĳa µ-ss 9 konvergencĳa po mjeri). X := [0,+∞〉, λ := Lebesgueovamjera, fn := 1[n, n+ 1]⇒ (∀x ∈ X) fn(x) n−→ 0 & (∀0ε < 1)(∀n ∈ N) λ ({x ∈ X : |fn(x)| ≥ ε}) = 1

Prop. 5.49. Neka je (fn)n∈N niz izmjerivih funkcĳa. Ako fnn−→ f u Lp, onda fn

n−→ f pomjeri.

Tm. 5.50. Neka je (fn)n∈N Cauchyev niz izmjerivih funkcĳa. Ako fnn−→ f po mjeri, onda

postoji podniz (fnk)k∈N ⊆ (fn)n∈N takav da fnkk−→ f µ-ss.

Tm. 5.51. Neka niz (fn)n∈N ⊆ Lp konvergira k f po mjeri. Ako postoji izmjeriva fuckĳa g ∈ Lpda |fn| ≤ g µ-ss, onda f ∈ Lp & fn

n−→ f u Lp.

Tm. 5.52 (Teorem Egorova). Neka je (fn)n∈N niz izmjerivih funkcĳa, a µ mjera na izmjerivomprostoru (X,F). Ako fn

n−→ f µ-ss, onda:

(i) fnn−→ f po mjeri &

(ii) (∀ε > 0)(∃Eε ∈ F) µ(Eε) < ε & fnn−→ f uniformno na E{

ε .

Nap. 5.53 (”−“ povlači; ”.“ postoji podniz; ”:“ uz ograničenost). Vrĳedi:

(1◦:) µ(X) < +∞ µ-ss

''

Lp

��po mjeri

dd 7?

(2◦:) µ(X) = +∞ µ-ss Lp

��po mjeri

dd 7?

38

6 Dekompozicĳa mjeraDef. 6.1. Neka je (X,F) izmjeriv prostor, a λ : F → R. λ je ”realna mjera“, ako

(i) λ(∅) = 0 &

(ii) (∀(En)n∈N ⊆ F ,dĳsunktni) λ(+∞⋃n=1

En) =+∞∑n=1

λ(En).

Prop. 6.2 (neprekidnost odozdo i odozgo). Neka je (En)n∈N ⊆ F , a λ realna mjera. Tadavrĳedi:

(i) (En) je rastući ⇒ λ(+∞⋃n=1

En) = limnλ(En) &

(ii) (En) je padajući ⇒ λ(+∞⋂n=1

En) = limnλ(En).

Def. 6.3. Neka je λ realna mjera na (X,F), a B ∈ F .

(i) B je ”pozitivan u odnosu na λ“, ako (∀E ∈ F) λ(E ∩B) ≥ 0 &

(ii) B je ”negativan u odnosu na λ“, ako (∀E ∈ F) λ(E ∩B) ≤ 0 &

(iii) B je ”nul-skup u odnosu na λ“, ako (∀E ∈ F) λ(E ∩B) = 0.

Prop. 6.4. Neka su B,C ∈ F i vrĳedi C ⊆ B. Ako je B pozitivan/negativan/nul-skup uodnosu na λ, onda je i C pozitivan/negativan/nul-skup u odnosu na λ.

Tm. 6.5 (Hahnova dekompozicĳa). Neka je λ realna mjera na izmjerivom prostoru (X,F).Tada postoje P,N ∈ F takvi da P ∪N = X & P ∩N = ∅ & P je pozitivan & N je negativan uodnosu na λ.

Dokaz. ⇒ P := {P ∈ F | P je pozitivan} ⊆ F ⇒ ∅ ∈ P ⇒ P 6= ∅⇒ α := sup{λ(A) | A ∈ P} ⇒ (∃(An)n∈N ⊆ P) λ(An) n−→ α

⇒ (BSO) (An) je rastući, inače uzimati unĳe ⇒ P :=+∞⋃n=1

An je pozitivan

⇒ λ(P ) = α & α ∈ R ⇒ λ < +∞ jer λ : X → R⇒ N := P { je negativan

Def. 6.6. Neka je λ realna mjera na izmjerivom skupu (X,F). Ako su P,N ∈ F takvi daP ∪ N = X & P ∩ N = ∅ & P je pozitivan & N je negativan u odnosu na λ, onda (P,N)nazivamo ”Hahnova dekompozicĳa“.

Prop. 6.7. Neka je λ realna mjera na izmjerivom skupu (X,F). Tada Hahnova dekompozicĳanĳe jedinstvena.

Dokaz. (protuprimjer:) Neka je (P,N) Hahnova dekompozicĳa, a M ∈ F nul-skup⇒ (P ∪M,N \M), (P \M,N ∪M) su Hahnove dekompozicĳe

Lemma 6.8. Neka su (P1, N1) i (P2, N2) Hahnove dekompozicĳe realne mjere λ na X. Tada zasvaki E ∈ F vrĳedi λ(E ∩ P1) = λ(E ∩ P2) i λ(E ∩N1) = λ(E ∩N2).

39

Dokaz. ⇒ E ∩ (P1 \ P2) ⊆ P1 & E ∩ (P1 \ P2) ⊆ P {2 = N2

⇒ E ∩ (P1 \ P2) je i pozitivan i negativan ⇒ E ∩ (P1 \ P2) je nul-skup⇒ λ(E ∩ (P1 \ P2)) = 0 & (analogno) λ(E ∩ (P2 \ P1)) = 0

⇒ λ(E ∩ P1) = λ(E ∩ P1 ∩ P2) +=0︷︸︸︷

λ(E ∩ (P1 \ P2)) = λ(E ∩ P1 ∩ P2) =

= λ(E ∩ P1 ∩ P2) +=0︷︸︸︷

λ(E ∩ (P2 \ P1)) = λ(E ∩ P2)(analogno za λ(E ∩N1) = λ(E ∩N2))

Def. 6.9. Neka je λ realna mjera na izmjerivom prostoru (X,F), a (P,N) Hahnova dekom-pozicĳa od X u odnosu na λ. λ+ : F → R+

0 , λ+(E) := λ(E ∩ P ) je ”pozitivna varĳacĳa“,

λ− : F → R+0 , λ

−(E) := −λ(E ∩N) je ”negativna varĳacĳa“, a |λ| : F → R+0 , |λ| := λ+ + λ− je

”potpuna (totalna) varĳacĳa“.

Prop. 6.10. Neka je λ realna mjera na izmjerivom prostoru (X,F). Tada za E ∈ F vrĳedi|λ|(E) 6= |λ(E)|.

Prop. 6.11. Neka je λ realna mjera na izmjerivom prostoru (X,F). Tada λ+, λ− i |λ| ne oviseo Hahnovoj dekompozicĳi.

Tm. 6.12 (Jordanova dekompozicĳa mjere). Neka je λ realna mjera na izmjerivom prostoru(X,F). Tada postoje konačne mjere µ, ν : F → R+

0 takve da vrĳedi λ = µ−ν & (∀E ∈ F) µ(E) ≥λ+(E) & ν(E) ≥ λ−(E).


(egzistencĳa:) µ := λ+ & ν := λ−

(µ ≥ λ+:) λ+(E) = λ(E ∩ P ) =≥0︷︸︸︷

µ(E ∩ P )−≥0︷︸︸︷

ν(E ∩ P ) ≤ µ(E ∩ P ) ≤ µ(E)

(ν ≥ λ−:) λ−(E) = λ(E ∩N) =≥0︷︸︸︷

µ(E ∩N)−≥0︷︸︸︷

ν(E ∩N) ≤ ν(E ∩N) ≤ ν(E)

Prop. 6.13. Neka je f ∈ L(X,F , µ). Tada je funkcĳa definirana sa λ : F → R, λ(E) :=∫E

f dµrealna mjera.

Tm. 6.14. Neka je f ∈ L(X,F , µ), a λ : F → R realna mjera definirana s λ(E) :=∫E

f dµ.

Tada λ+(E) =∫E

f+ dµ & λ−(E) =∫E

f− dµ & |λ|(E) =∫E|f |dµ.

Dokaz. ⇒ Pf := {x ∈ X | f(x) ≥ 0} ⊆ X ⇒ Pf je izmjeriv& NF := {x ∈ X | f(x) < 0} ⊆ X ⇒ Nf je izmjeriv⇒ Pf ∩Nf = ∅ & Pf ∪Nf = X

⇒ (∃E ∈ F) λ(E ∩ Pf ) =∫E∩Pf (⊆Pf )

≥0︷︸︸︷f dµ ≥ 0 &

∫E∩Nf (⊆Nf )

<0︷︸︸︷f dµ ≤ 0

⇒ (Pf , Nf ) je Hahnova dekompozicĳa od λ & f+ = f · 1Pf & f− = f · 1Nf⇒ λ+(E) = λ(E ∩ Pf ) =

∫E∩Pf

f dµ =∫E

f · 1Pf dµ =∫E

f+ dµ

(analogno za λ− i |λ|)

40

Def. 6.15. Neka su λ i µmjere na izmjerivom prostoru (X,F). ”mjera λ je apsolutno neprekidnau odnosu na mjeru µ“ u oznaci λ� µ, ako (∀E ∈ F) µ(E) = 0 ⇒ λ(E) = 0.

Lemma 6.16. Neka su λ i µ mjere na izmjerivom prostoru (X,F) i λ je konačna. Tada λ� µakko (∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)(∀E ∈ F) µ(E) < δ ⇒ λ(E) < ε.

Dokaz.

⇐: ⇒ (∀E ∈ F) µ(E) = 0 ⇒ (∀ε > 0) λ(E) < ε ⇒ λ(E) = 0

⇒: (pretpostavimo suprotno) ⇒ (∃ε > 0)(∃(En)n∈N ⊆ F)(∀n ∈ N) µ(En) < 12n

& λ(En) ≥ ε ⇒ (∀n ∈ N) FN :=+∞⋃k=n

Ek

⇒ (∀n ∈ N) µ(Fn) ≤+∞∑k=n

µ(Ek) ≤ 2−n+1 ⇒ λ(Fn) ≥ ε

⇒ Fn je padajući ⇒ (neprekidnost mjere) µ(⋂n∈N

Fn) = limnµ(fn) = 0

& λ(⋂n∈N

Fn) = · · · = limnλ(Fn) ≥ ε (⇒⇐)

Tm. 6.17 (Radon-Nikodymov teorem). Neka su λ i µ σ-konačne mjere na izmjerivom prostoru

(X,F). Ako je λ � µ, onda (∃f ∈ M+(X,F))(∀E ∈ F) λ(E) =∫E

f dµ & f je jedinstvenaµ-ss.

Def. 6.18. Neka su λ i µ σ-konačne mjere na izmjerivom prostoru (X,F) i vrĳedi λ � µ.

Tada f ∈ M+(X,F) za koju vrĳedi (∀E ∈ F) λ(E) =∫E

f dµ nazivamo ”Radon-Nikodymova

derivacĳa od λ u odnosu na µ“, u oznaci f = dλdµ .

Nap. 6.19. f iz Def. 6.18 nĳe nužno konačna u odnosu na µ, tj.∫

nĳe konačan, ali akko λ jekonačna mjera.

Nap. 6.20 (intuitivno). λ� µ . . . gdje je µ mala/mjere 0, tamo je i λ mala/mjere 0.

Def. 6.21. Neka su λ i µmjere na izmjerivom prostoru (X,F). ”λ i µ su međusobno singularne“,ako (∃A,B ∈ F , A ∩B = ∅, A ∪B = X) λ(A) = µ(B) = 0, u oznaci λ ⊥ µ.

Prop. 6.22. ⊥ je simetrična relacĳa.

Tm. 6.23 (Lebesgueov teorem o dekompozicĳi). Neka su λ i µ σ-konačne mjere na izmjerivomprostoru (X,F). Tada postoje jedinstvene mjere λ1, λ2 na (X,F) takve da λ = λ1 +λ2 & λ1 ⊥ µ& λ2 � µ.

41

7 Dodatak: Veza između Riemannovog i Lebesgueovog in-tegrala

Tm. 7.1. Neka je f : [a, b]→ R ograničena funkcĳa, a (X,F , µ) prostor s mjerom. Tada vrĳedi:

(i) f je R-integrabilna ⇔ f je neprekidna µ-ss &

(ii) f je R-integrabilna ⇒ f je L-integrabilna & L-integral = R-integral.

42

IndeksA, 7apsolutna neprekidnost, 28, 41

B, 8Banach-Tarskyev paradoks, 5Banchov prostor, 35Borelova σ-algebra, 18, 22

C-S-B, 34Caratheodoryev teorem, 15Cauchyev niz, 34Cauchyev niz po mjeri, 38

Darbouxova sumadonja, 3gornja, 3

Diracova mjera, 11dλdµ , 41

E1, 6Ed, 6elementarni skup u R/Rd, 6esencĳalni supremum, 36esencĳalno omeđene funkcĳe, 36

[f ], 34F-izmjerive funkcĳe, 22f+, 22Fν , 19familĳa

poluotvorenih intervala u R, 6poluotvorenih pravokutnika u Rd, 6

familĳa integrabilnih funkcĳa, 30Fatouova lema, 27funkcĳa

jednostavna, 24

Hahnov teorem, 17Hahnova dekompozicĳa, 39Hölderova nejednakost, 34

integraljednostavne funkcĳe, 25linearnost, 26monotonost, 26pozitivne izmjerive funkcĳe, 26

izmjeriv

prostor, 7skup u odnosu na vanjsku mjeru, 15

izmjeriva funkcĳau paru σ-algebri, 21

Jordanova dekompozicĳa mjere, 40

konačna aditivnost, 6, 9konačna subaditivnost, 10konvergencĳa

µ-ss, 37po mjeri, 38po točkama, 37uniformna, 37

λ� µ, 41λ ⊥ µ, 41λ-sustav, 17λ+, 40λ−, 40Lebesgueov prostor L∞, 36Lebesgueov prostor Lp, 34Lebesgueov prostor L1, 34Lebesgueov teorem o dekompozicĳi, 41Lebesgueova mjera, 18Lebesgueova vanjska mjera, 18lim inf, 21lim sup, 21LTDK, 31LTMK, 26

M(X,F), 22M+(X,F), 24µ, 6, 12µ-ekvivalentnost, 34µ-skoro svuda, 24µ-ss omeđenost, 36µ∗, 14µ0, 10µ∞, 10µd, 6, 12µϕ, 29mjera, 24

σ-konačna, 24konačna, 24Lebesgueova, 18realna, 39

43

regularna, 19singularna, 41

monotonost, 9

negativan skup, 39negativna varĳacĳa, 40negativni dio funkcĳe, 22nejednakost Minkowskog, 34neodređeni integral, 30neprekidnost

odozdo, 10odozgo, 10

norma, 33na L1, 34na L∞, 36na Lp, 34

nul-skup, 39

osnovni teorem o proširenju mjere, 16

P1, 6Pd, 6π-sustav, 17polunorma, 33poluprsten, 6potpun prostor, 35potpuna varĳacĳa, 40pozitivan skup, 39pozitivna varĳacĳa, 40pozitivni dio funkcĳe, 22prostor s mjerom, 16

potpun, 16prsten, 6

Radon-Nikodymov teorem, 41Radon-Nikodymova derivacĳa, 41relacĳa trokuta, 34Riemann-integrabilnost, 3

S(N), 36σ-aditivnost, 9σ-algebra, 7σ-algebra

generirana familĳom C, 9σ-konačnost, 17σ-prsten, 7σ-prsten generiran familĳom C, 7σ-subaditivnost, 10

teorem o potpnosti, 35

topologĳa, 22totalna varĳacĳa, 40

vanjska mjeraLebesgueova, 18na X, 13pridružena konačno aditivnoj funkcĳi µ, 14

vanjska mjerana R, 13

44

Documents

mjera i integracija