Misura della sezione d’urto di rigenerazione di mesoni K ... Misura della sezione d’urto di rigenerazione di mesoni K neutri ... 3.2.7 Il veto sui cosmici ... e di presentare i

Universita degli studi“Roma Tre”

Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e NaturaliCorso di Laurea in Fisica

Tesi di Laurea

Misura della sezione d’urto dirigenerazione di mesoni K neutri

di impulso 110 MeV/c

Relatori:prof. Filippo Ceradinidr. Antonio Passeri

Candidata:Bocchetta Simona Serena

(matr. 026281/99)

Anno Accademico 2005-2006

2

La logica porta da A a B.

L’immaginazione ovunque.

A. Einstein

3

4

I ringraziamenti

La pagina dei ringraziamenti e quella che tutte le persone che contano per te sfoglianocercando il proprio nome, sono davanti allo schermo ancora bianco pensando che miimpegnero a non deludervi.

Prima di tutto vorrei ringraziare Filippo Ceradini per avermi seguito e consigliatodurante questo splendido percorso iniziato un anno fa: il mio ingresso nel mondodella ricerca scientifica.

Un immenso grazie va ad Antonio Passeri, per essere stato sempre presente edisponibile, e per avermi incoraggiato di fronte alle difficolta, per credere in mequando pensavo che non ce l’avrei fatta.

Un ringraziamento speciale e per i miei genitori, che mi hanno permesso direalizzare i miei sogni, e a mio fratello, per avermi sopportato con pazienza nel suoantro dei computer.

Grazie a Laura, sempre presente anche quando geograficamente lontana, per ilsuo contributo determinante. Come avrei fatto senza di te? Grazie grazie grazie(e...).

Ora e il momento delle mie grandi amiche, per aver sopportato i miei sproloquidurante la stesura: Monica, Eleonora, queste poche (ma intense) righe sono per voi,siete sempre state con me anche quando ero lontana.

Poi vorrei ringraziare Giorgia e Claudia per essermi state sempre accanto neimomenti difficili, nel passato e nel presente, gli anni trascorsi separate sono ormaiun ricordo confuso.

Grazie agli amici vicini e lontani, a Gabriele, al mio migliore amico Alessandro(anche se non gliel’ho mai detto), alla mia compagna di viaggio Silvia (spero di farepresto un altro viaggio con te), a Giuliano con cui avrei voluto vedere almeno unaltro Rocky Horror prima che la compagnia teatrale chiudesse i battenti, ad Albertoed Elisa, alle splendide chiacchierate con Lucia.

Grazie Federico per i tuoi consigli e per il tuo incoraggiamento nei momentidifficili, grazie Marianna per la tua disponibilita, grazie a tutti i ragazzi dei LNFsempre gentilissimi quando avevo bisogno di aiuto.

Infine, ultimo ringraziamento in questa lista ma primo nel mio cuore, grazie aGabriella e al gruppo pachino, per avermi fatto riscoprire la bellezza delle immagini.

Grazie. Simona.

5

6

Indice

Introduzione 7

1 Fisica dei mesoni K neutri 11

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Un po’ di storia: la fenomenologia della fisicadei K neutri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 La Hamiltoniana del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Violazione di CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Violazione indiretta di CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Violazione diretta di CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3 Misura del doppio rapporto <e(ε′/ε) . . . . . . . . . . . . . . 17

2 La rigenerazione 19

2.1 Fenomenologia dei mesoni K neutri nella materia . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Differenza di massa ∆m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Rigenerazione coerente e diffrattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Rapporto Rcoe/diff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2 La situazione sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3 Le previsioni teoriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 L’esperimento KLOE a DAΦNE 29

3.1 L’anello di collisione e+e− DAΦNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Il rivelatore KLOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Il tubo a vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2 La camera a deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3 Il calorimetro elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.4 I quadrupoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.5 Il magnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.6 Il trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.7 Il veto sui cosmici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.8 Il sistema di acquisizione dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Algoritmi di ricostruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Ricostruzione del cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2 Ricostruzione della traccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Simulazione Monte Carlo del rivelatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 La rigenerazione in KLOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7

8 INDICE

4 Analisi dei dati 474.1 Campioni di DATI e MONTECARLO . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Metodo d’analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Il KL tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Impulso e massa invariante del KS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5 Vertice di decadimento della φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6 Lunghezza di decadimento del KS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.7 Distribuzione angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8 Ricostruzione dei decadimenti del KL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.8.1 Efficienza di ricostruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.9 Analisi dei decadimenti carichi del KL . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.10 Selezione del segnale di rigenerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.10.1 Selezione in massa invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.10.2 Selezione in ∆|p| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.11 I decadimenti KL in π+π− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Risultati 855.1 Sezione d’urto di rigenerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Fit alla distribuzione spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.1 Stima delle efficienze di selezione . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.2 Misura alternativa dei rigenerati sulla DC con la massa inva-

riante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.2.3 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3 Errore sistematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6 Conclusioni 109

A Sistemi di riferimento 113A.1 Passaggio dal sistema di riferimento del

laboratorio a quello del centro di massa della φ . . . . . . . . . . . . . 113A.2 Impulso del K nel centro di massa della φ . . . . . . . . . . . . . . . 114

B Approssimazione dell’eikonale 115B.1 Principi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115B.2 Le ampiezze in avanti su protone e neutrone . . . . . . . . . . . . . . 117

Bibliografia 119

Introduzione

Questo lavoro di tesi si e sviluppato nell’ambito dell’esperimento KLOE (K LOngExperiment) alla φ-factory DAΦNE presso i Laboratori Nazionali di Frascati del-l’INFN.

La particella φ decade in mesoni K neutri con una probabilita del 34% circa,φ→ K0K0. Questi ultimi sono combinazioni lineari degli autostati KS, KL osservatiattraverso i loro decadimenti, che possono avvenire solo per interazione debole.

I mesoni K neutri K0 e K0 interagiscono in maniera diversa con la materia, pro-vocando cosı il fenomeno della rigenerazione KL → KS → π+π−, che puo avvenirein diverse regioni del rivelatore.

Il lavoro qui svolto consiste nella misura della sezione d’urto di rigenerazione nellaparete del tubo a vuoto di DAΦNE costituita da una lega di Berillio-Alluminio, nellasuperficie di Berillio che garantisce la continuita al tubo contenente i fasci e+e−, enella parete interna del rivelatore di tracciamento, composta da Carbonio-Alluminio,utilizzando solo i decadimenti carichi del KS rigenerato, piu semplici da ricostruiree con maggior statistica rispetto a quelli neutri.

Nel primo capitolo si parla di violazione della simmetria CP, previsioni teori-che ed evidenze sperimentali; il secondo capitolo spiega in breve il fenomeno dellarigenerazione e il modello che ha prodotto le previsioni teoriche.

L’apparato sperimentale viene descritto nel terzo capitolo, si parla nella primaparte dell’esperimento KLOE, costituito da un rivelatore di tracciamento, da uncalorimetro e da un magnete che contiene entrambi; la seconda parte del capitolotratta brevemente la ricostruzione delle variabili cinematiche.

Il quarto capitolo, quello di analisi, descrive prima la procedura di riconoscimentodel KL e il calcolo dell’efficienza di ricostruzione delle tracce; poi si analizzano levariabili cinematiche che consentono il riconoscimento dei decadimenti carichi delKL, e si motivano le selezioni effettuate per isolare il segnale di interesse per lo studiodella rigenerazione dal fondo costituito dai decadimenti KL → π+π−, KL → π±e∓νe KL → π±µ∓ν.

Il quinto capitolo spiega le tecniche di fit utilizzate al fine di ottenere il numerodi eventi di rigenerazione per le tre regioni, descrive tutto lo studio delle efficienze diselezione attraverso cui si e isolato il campione arricchito in rigenerati e la valutazionedegli errori sistematici.

Infine nel sesto capitolo sono riportati i risultati dell’analisi.

Sono state estratte le sezioni d’urto di rigenerazione sulla parete interna dellacamera a deriva e sulla parete del tubo a vuoto.

Il fit sul sottile (50 µm) strato di Berillio non ha dato risultati affidabili, perchequesto e molto vicino alla parete del tubo a vuoto. Quindi non e stato possibile

9

10 INDICE

estrarre come risultato le sezioni d’urto su nucleo (Be, C, Al) da quelle sulle com-binazioni Be-Al (parete del tubo a vuoto) e C-Al (parete interna della camera aderiva).

I valori delle sezioni d’urto sono in discreto accordo (e piu precisi) dell’unicamisura fatta in precedenza (esperimento CMD-2) e appaiono in disaccordo con lestime teoriche previste da Baldini e Michetti. Con la misura della sezione d’urtoestratta su Berillio in KLOE si potranno fare in futuro confronti piu accurati con ilmodello teorico e capire la natura della discrepanza.

Infine ho avuto la possibilita di fare turni di presa dati poco prima della chiusu-ra dell’esperimento, e di presentare i risultati preliminari al KLOE Physics Work-shop ’06 a Sabaudia. Grazie a questa esperienza ho avuto l’occasione di entrarenell’affascinante mondo della ricerca scientifica.

Capitolo 1

Fisica dei mesoni K neutri

1.1 Introduzione

L’esperimento KLOE e stato progettato per realizzare una misura precisa dei para-metri principali di violazione della simmetria CP nel sistema dei mesoni K neutri.In questo capitolo verra spiegato il meccanismo della violazione di simmetria CPnell’ambito del Modello Standard, e l’attuale situazione sperimentale.

1.2 Un po’ di storia: la fenomenologia della fisica

dei K neutri

I kaoni sono stati osservati nel 1947 da Rochester e Butler [1] come particelle neutreprodotte dall’interazione dei raggi cosmici con uno spessore di piombo. Sebbenela produzione di tali particelle fosse dovuta all’interazione forte, i tempi di decadi-mento in due pioni carichi (∼ 10−10 s) erano tipici delle interazioni deboli. Comeconseguenza delle loro caratteristiche particolari, sono state definite particelle strane.Qualche anno dopo, Gell-Mann e Nishijima introdussero un nuovo numero quantico,la stranezza (S), conservata nelle interazioni forti ed elettromagnetiche, ma non inquelle deboli, definita dalla relazione:

Q = I3 +B

2+S

2

dove Q e la carica elettrica, B il numero barionico ed I3 la terza componente dell’i-sospin. Il fatto che le interazioni forti conservino la stranezza implica la produzioneassociata di coppie particella-antiparticella di stranezza opposta, ma tali particel-le possono decadere solo attraverso l’interazione debole con variazione del numeroquantico stranezza ∆S = 1 essendo le particelle strane di massa piu leggera.

Le loro caratteristiche in composizione e numeri quantici |qq, S, I3〉 1 sono leseguenti:

|K0〉 = |ds,+1,−1/2〉,|K0〉 = |sd,−1,+1/2〉,|K+〉 = |us,+1,+1/2〉,|K−〉 = |su,−1,−1/2〉.

(1.1)

1qq = coppia quark-antiquark.

11

12 CAPITOLO 1. FISICA DEI MESONI K NEUTRI

I kaoni appartengono a due doppietti di isospin: uno di particelle (K0, K+) conS = 1 e uno di antiparticelle (K−, K0) con S = −1.

Nel 1955 il fatto che la stranezza non fosse conservata nelle interazioni deboliporto Gell-Mann e Pais [2] ad ipotizzare che i due stati della coppia particella-antiparticella K0−K0 non fossero autostati di massa, dal momento che puo avvenirela transizione:

K0 → ππ → K0.

Nel 1957 Lee e Yang mostrarono che le interazioni deboli violano separatamentela parita P (operatore di inversione delle coordinate spaziali) e la coniugazione dicarica C (operatore di trasformazione particella-antiparticella). Landau [3] assunsepercio, modificando la teoria di Gell-Mann e Pais, che gli autostati di massa fosseroinvarianti per trasformazioni dell’operatore combinato CP:

|K1〉 =|K0〉 + |K0〉√

2(CP = +1);

|K2〉 =|K0〉 − |K0〉√

2(CP = −1).

(1.2)

La conservazione di CP prevede che le particelle K1 e K2, stati fisici reali ri-spettivamente a vita media breve e a vita media lunga, abbiano come prodotti didecadimento gli stati a due e tre pioni:

KShort = K1 → 2π (CP = +1);KLong = K2 → 3π (CP = −1).

(1.3)

con vite medie:

τS = 1/ΓS = 0.89 · 10−10 s;τL = 1/ΓL = 5.17 · 10−8 s.

(1.4)

dove ΓS e ΓL stanno ad indicare le larghezze di decadimento delle due particelle. Taledifferenza nelle vite medie e dovuta all’ampiezza dello spazio delle fasi a disposizione,in quanto la massa di tre pioni e di poco inferiore alla massa del K neutro.

Nel 1964 Christenson, Cronin, Fitch e Turlay [4] osservarono sperimentalmenteche una piccola percentuale di KL poteva decadere anche in due pioni carichi, confrazione di decadimento:

BR(KL → π+π−) = (2.0 ± 0.4) × 10−3. (1.5)

Tale evidenza sperimentale mostro la violazione simmetria CP nei decadimentidei K e dunque anche nelle interazioni deboli.

1.3 La Hamiltoniana del sistema

Se valesse la simmetria CP, allora gli autostati di CP:

|K1〉 =|K0〉 + |K0〉√

2, |K2〉 =

|K0〉 − |K0〉√2

1.3. LA HAMILTONIANA DEL SISTEMA 13

sarebbero anche autostati fisici di massa. La rottura della simmetria CP implica chegli autostati di massa e di CP non coincidano. Il sistema delle due particelle vienedescritto nello spazio di Hilbert bidimensionale attraverso una base di due vettoricon stranezza definita, |K0〉 − |K0〉.

Sia H la hamiltoniana del sistema che ne descrive gli effetti di decadimento,essa viene scomposta in due termini, uno adronico-elettromagnetico che conserva lastranezza ed un termine debole che non la conserva:

H = M − i

2Γ (1.6)

dove

M =H +H†

2=

(

M11 M12

M21 M22

)

Γ = i(H −H†) =

(

Γ11 Γ12

Γ21 Γ22

)

sono le matrici di massa e di decadimento, rispettivamente, entrambe 2× 2, hermi-tiane e definite positive. L’evoluzione nel tempo per il sistema K0 − K0 e regolatadall’equazione di Schrodinger dipendente dal tempo:

id

dt

(

K0

K0

)

= H

(

K0

K0

)

(1.7)

La condizione che H sia hermitiana e invariante sotto trasformazioni CPT richie-de che siano soddisfatte le condizioni:

(CPT ) : M11 = M22 Γ11 = Γ22;(H = H†) : M12 = M∗

21 Γ12 = Γ∗21.

(1.8)

Imponendo le relazioni sopra scritte, si trova l’espressione degli autovalori:

λS,L = M11 − iΓ11

2± ∆λ

2= mS,L − i

ΓS,L

2(1.9)

dove:

∆λ = (mS −mL) − iΓS − ΓL

2= 2

√

(

M12 − iΓ12

2

) (

M∗12 − i

Γ∗12

2

)

(1.10)

Gli autostati corrispondenti a tali autovalori saranno dunque:

|KS〉 = p|K0〉 + q|K0〉|KL〉 = p|K0〉 − q|K0〉 (1.11)

ed in generale non sono ortogonali fra loro. I coefficienti p e q vanno calcolati dallarelazione di completezza |p|2 + |q|2 = 1 e dalla relazione:

q

p=

√

M∗12 − i

2Γ∗

12

M12 − i2Γ12

. (1.12)


Se il sistema fosse invariante per la simmetria CP, allora gli elementi H12 e H21

della matrice Hamiltoniana nella nuova base dovrebbero essere uguali (a meno di unfattore di fase), e sarebbe dunque soddisfatta la condizione:

∣

∣

∣

∣

q

p

∣

∣

∣

∣

2

=

∣

∣

∣

∣

M∗12 − i

2Γ∗

12

M12 − i2Γ12

∣

∣

∣

∣

= 1 ↔ arg

(

M12

Γ12

)

= 0, (1.13)

necessaria per la richiesta che implica l’identificazione degli stati |K1,2〉 con gliautostati di massa.

1.4 Violazione di CP

L’evidenza sperimentale mostro che la simmetria CP veniva violata, dunque gliautostati di massa |K1,2〉 non erano autostati di CP. Si possono scrivere i nuoviautostati di massa in funzione degli autostati |K1,2〉 (che formano una base):

|KS〉 =|K1〉 + ε|K2〉

√

1 + |ε|2, (1.14)

|KL〉 =|K2〉 + ε|K1〉

√

1 + |ε|2. (1.15)

dove il parametro di mixing ε e definito cosı:

ε =1 − q/p

1 + q/p. (1.16)

La violazione di CP a causa dell’osservazione dei decadimenti del KL in due pionipuo avvenire in due modi differenti:

• violazione indiretta: dovuta alla presenza dello stato |K1〉 nello stato |KL〉;

• violazione diretta: dovuta all’ampiezza di decadimento non nulla per lostato |K2〉 in due pioni.

1.4.1 Violazione indiretta di CP

La violazione indiretta di CP e dovuta alla contaminazione di |K1〉 nello stato|KL〉, e indotta dalle transizioni K0 ↔ K0 con |∆S| = 2. Cio comporta che leampiezze di decadimento delle reazioni con |∆S| = 2 K0 → K0 e K0 → K0 sianodiverse, e di conseguenza per il parametro di mixing si ha:

∣

∣

∣

∣

1 − ε

1 + ε

∣

∣

∣

∣

6= 1 ⇐⇒ <e(ε) 6= 0. (1.17)

Tale parametro di mixing e dipendente dalla scelta di fase e non e direttamentemisurabile. E’ invece osservabile l’asimmetria di carica δl, dipendente dalle larghezzedi decadimento semileptonico, che vi dipende:

δl =Γ(KL → π−l+νl) − Γ(KL → π+l−νl)

Γ(KL → π−l+νl) + Γ(KL → π+l−νl)=

2<e(ε)1 + |ε|2 . (1.18)

1.4. VIOLAZIONE DI CP 15

Questa formula e stata ricavata facendo uso della regola di selezione ∆S = ∆Q, cheproibisce i decadimenti, coniugati sotto CP, K0 → π+l−νl e K0 → π−l+νl. Il valoresperimentale ottenuto per tale grandezza e [5]:

δl = (3.27 ± 0.12) × 10−3, (1.19)

da cui si ricava, trascurando |ε|2,

<e(ε) = (1.63 ± 0.06) × 10−3. (1.20)

1.4.2 Violazione diretta di CP

La violazione diretta di CP si ha quando l’ampiezza di decadimento con |∆S| = 1per lo stato |K2〉 in due pioni e non nulla, cioe 〈2π|K2〉 6= 0.

Piu rigorosamente, la violazione di CP diretta e possibile quando l’ampiezza diun determinato processo e differente da quella del suo coniugato sotto la simmetriaCP.

Si considerino le ampiezze:

A+− = 〈π+π−|H|K0〉, A+− = 〈π+π−|H|K0〉, (1.21)

A00 = 〈π0π0|H|K0〉, A00 = 〈π0π0|H|K0〉. (1.22)

La violazione diretta consiste nel verificarsi di:

A+− 6= A+−, A00 6= A00.

Introduciamo per semplicita la scomposizione in ampiezze di isospin. Sia:

f 〈2πI|Ss|2πI〉i = e2iδI

la fase di rescattering introdotta dall’interazione forte (Ss) dei due pioni nello stato diisospin I. La hamiltoniana libera dei mesoni K neutri contiene un termine H|∆S|=1

dovuto all’interazione debole che provoca il decadimento in pioni. Si consideral’ampiezza di decadimento del processo K0 → ππ relativa allo stato di isospin I inquesta forma:

f〈2πI|H|∆S|=1|K0〉 = AIeiδI .

Assumendo l’operatore CPT conservato, si trova dall’unitarieta della matrice S:

f〈2πI|H|∆S|=1|K0〉 = A∗Ie

iδI .

Si possono a questo punto esprimere le ampiezze totali come sovrapposizionedelle ampiezze di isospin relative agli stati con I = 0, 2 per i rispettivi coefficienti diClebsch-Gordan:

A+− =√

23A0e

iδ0 +√

13A2e

iδ2 , A+− =√

23A0e

iδ0 +√

13A2e

iδ2 ,

A00 =√

13A0e

iδ0 −√

23A2e

iδ2 , A00 =√

13A0e

iδ0 −√

23A2e

iδ2 ,(1.23)


e la conservazione di CP implica:

arg

(

A2

A0

)

= 0. (1.24)

Quindi la violazione diretta di CP si ha solo se le ampiezze deboli hanno fasidiverse.

Sperimentalmente e conveniente introdurre le due quantita complesse:

η+− ≡ 〈π+π−|H|KL〉〈π+π−|H|KS〉

,

η00 ≡ 〈π0π0|H|KL〉〈π0π0|H|KS〉

.(1.25)

Usando le definizioni seguenti dovute alla decomposizione in ampiezze di isospin:

ε=〈ππ, I = 0|H|KL〉〈ππ, I = 0|H|KS〉

, ε2 =〈ππ, I = 2|H|KL〉〈ππ, I = 0|H|KS〉

, ω=〈ππ, I = 2|H|KS〉〈ππ, I = 0|H|KS〉

,

si possono esprimere η+− e η00 in questo modo:

η+− = ε+ ε2

√2

1 + ω√

2,

η00 = ε− ε2

√2

1 − ω√

2.

(1.26)

Si puo scrivere il parametro ε in funzione delle ampiezze di isospin e del parametrodi mixing ε cosı:

ε =ε+ i(=mA0/<eA0)

1 + iε(=mA0/<eA0)' ε+ i

=mA0

<eA0(1.27)

dove e stato trascurato il termine al secondo ordine ε(=mA0/<eA0) nel denomina-tore. Si procede in maniera analoga nel calcolo degli altri due parametri:

ε2 = ei(δ2−δ0)i(=mA2/<eA0) + ε(<eA2/<eA0)

1 + iε(=mA0/<eA0)' iei(δ2−δ0)=mA2

<eA0(1.28)

ω = ei(δ2−δ0) (<eA2/<eA0) + iε(=mA2/<eA0)

1 + iε(=mA0/<eA0)' iei(δ2−δ0)

<eA2

<eA0(1.29)

ove e stato trascurato anche il termine ε(A2/A0), in quanto si haA2/A0 ' 1/

√600.

L’equazione (1.27) mostra che la violazione di CP non dipende soltanto dal mi-xing ε, come accade per i decadimenti semileptonici, ma e funzione della sommadel parametro di mixing piu la componente diretta.

Si possono scrivere a questo punto η+− e η00 in questo modo, sostituendo le (1.28)e (1.29) nelle espressioni (1.26):

η+− ' ε+ ε′ (1.30)

η00 ' ε− 2ε′ (1.31)

1.4. VIOLAZIONE DI CP 17

ove si e definito ε′ in questo modo:

ε′ =i√2ei(δ2−δ0)

=mA2

<eA2− =mA0

<eA0

<eA2

<eA0=

i√2(ε2 − ωε). (1.32)

La violazione di CP si osserva percio nella differenza tra η+− e η00.I valori trovati sperimentalmente per questi due parametri sono [5]:

|η+−| = (2.228 ± 0.014) × 10−3, φ+− = (43.52 ± 0.06); (1.33)

|η00| = (2.276 ± 0.014) × 10−3, φ00 = (43.50 ± 0.06). (1.34)

1.4.3 Misura del doppio rapporto <e(ε′/ε)Gli esperimenti finalizzati alla determinazione del parametro di violazione diretta diCP hanno misurato finora il doppio rapporto R:

R ≡ Γ(KL → π0π0)/Γ(KS → π0π0)

Γ(KL → π+π−)/Γ(KS → π+π−)≡

∣

∣

∣

∣

η00

η+−

∣

∣

∣

∣

2

= 1 − 6<e(

ε′

ε

)

. (1.35)

I risultati attuali sul doppio rapporto provengono da esperimenti a bersaglio fisso,realizzati al CERN (NA31 nel 1993 e successivamente NA48 nel 2002) e al Fermilab(E731 nel 1993 e successivamente KTeV nel 2003). Questi esperimenti hannoottenuto i risultati seguenti per il doppio rapporto <e

(

ε′

ε

)

in unita di 10−3:

(2.30 ± 0.65) (NA31 [6])(0.74 ± 0.52 ± 0.29) (E731 [7])

(1.47 ± 0.22) (NA48 [8])(2.07 ± 0.28) (KTeV [9])

(1.36)

Infine il valore quotato dal PDG [5] e il seguente:

<e(

ε′

ε

)

= (1.67 ± 0.26) × 10−3 (PDG [5]) (1.37)

e confermata quindi l’esistenza della violazione diretta di CP.L’esperimento KLOE e stato progettato per effettuare questa misura di violazio-

ne di CP con tecniche completamente diverse da quelle utilizzate negli esperimentia bersaglio fisso: e il rivelatore di un collisore e+e− (DAΦNE), e analizza campionidi KL e KS prodotti simultaneamente dal decadimento della particella φ. Le proble-matiche sperimentali e le sistematiche nella misura del doppio rapporto sono perciocompletamente diverse da quelle presenti negli esperimenti precedenti.


Capitolo 2

La rigenerazione

Il fenomeno della rigenerazione venne previsto teoricamente da Pais e Piccioni [10]nel 1955, e scoperto sperimentalmente da Good [11] e collaboratori nel 1961: quandoun fascio di kaoni a vita media lunga KL attraversa un materiale, si generano kaonia vita media breve, i KS. Dal momento che il KL incidente e una sovrapposizionedi autostati di stranezza |K0〉 e |K0〉, e la stranezza e conservata nelle interazioniforti, la rigenerazione compare a causa della differente interazione di K0 e K0 conla materia:

• il K0 puo interagire con la materia solo attraverso processi di diffusione elasticao di scambio di carica;

• il K0 invece puo anche essere assorbito producendo iperoni, ad esempio puoavvenire il processo: K0p→ Λπ+.

La rigenerazione prende origine percio dal fatto che le sezioni d’urto adronichedi K0 e K0 sono diverse, in particolare e valida la disuguaglianza:

σT (K0N) ≥ σT (K0N) (2.1)

dove il segno di uguaglianza e valido nella regione asintotica E → ∞, in accordocon il teorema di Pomeranchuk.

2.1 Fenomenologia dei mesoni K neutri nella ma-

teria

Consideriamo un fascio di KL incidente su uno spessore di materiale.Il processo di diffusione trasformera lo stato iniziale 1:

|KL〉 =1

√

2(1 + |ε|2)[

(1 + ε)|K0〉 − (1 − ε)|K0〉]

(2.2)

nello stato uscente dal materiale:

|ψ(θ)〉 =1

√

2(1 + |ε|2)[

f(θ)(1 + ε)|K0〉 − f(θ)(1 − ε)|K0〉]

, (2.3)

1ε e il solito parametro di mixing.

19

20 CAPITOLO 2. LA RIGENERAZIONE

che, nella base |KS〉 − |KL〉, ha questa espressione:

|ψ(θ)〉 =1

2

[

f(θ) + f(θ)]

|KL〉 +1

2

[

f(θ) − f(θ)]

|KS〉, (2.4)

dove f(θ) e f(θ) sono le ampiezze di diffusione rispettivamente del K0 e del K0,dipendenti in generale dall’angolo di diffusione θ.

Se f(θ) 6= f(θ), lo stato uscente dal materiale conterra una componente KS dirigenerazione.

2.1.1 Differenza di massa ∆m

Le particelle K1 eK2 hanno massa diversa, si puo misurarne la differenza analizzandol’evoluzione in tempo dei mesoni K0 e K0. Si puo scrivere l’evoluzione temporale diK1 e K2 nel riferimento della particella cosı:

K1(t) = K1(0) e−i(m1−iΓ12 )t K2(t) = K2(0) e−i(m2−i

Γ22 )t

dove mi e Γi (i = 1, 2) sono le masse e le larghezze di decadimento dei mesoni K1

e K2. I mesoni K neutri autostati dell’interazione forte possono essere scritti comecombinazione delle particelle K1 e K2:

K0(t) = [K1(0)e−im1te−Γ1t

2 +K2(0)e−im2te−Γ2t

2 ]/√

2

K0(t) = [K1(0)e−im1te−Γ1t

2 −K2(0)e−im2te−Γ2t

2 ]/√

2

Se si produce un fascio di N mesoni K0, le condizioni iniziali sono:

|K0(0)|2 = N |K0(0)|2 = 0

cioe K1(0) = K2(0) =√

N/2, e l’intensita del fascio per t τL e:

|K0(t)|2 ' N(1 + e−Γ1t + 2e−Γ1t/2 cos ∆m t)/4

|K0(t)|2 ' N(1 + e−Γ1t − 2e−Γ1t/2 cos ∆m t)/4

con

∆m = m2 −m1. (2.5)

Si puo studiare la composizione del fascio uscente dal bersaglio primario facen-dolo interagire con un secondo bersaglio posto a distanza variabile x dal primo.Noto l’impulso p, il tempo proprio e t = mx/p: si puo costruire la distribuzionedell’intensita dei fasci di K0 e K0 in funzione del tempo proprio, come mostrato infig. 2.1. Da queste distribuzioni si puo misurare il valore di ∆m, il risultato trovatoe il seguente:

∆m = 0.47h/τS = 3.5 · 10−6 eV, (2.6)

calcolato con una precisione relativa ∆m/m ' 10−14.

2.2. RIGENERAZIONE COERENTE E DIFFRATTIVA 21

e poiche f > f si rigenera lo stato K1: subito a valle dell’assorbitore si osservano dinuovo i decadimenti K1 → π+π−.

Analogamente si puo produrre un fascio di mesoni K0, ad esempio in interazioniπ+p → K0K+p (se si osserva il decadimento del mesone K+ si e prodotto un K0).Studiando l’evoluzione temporale di un fascio di mesoni K0, oppure K0, si puoverificare che le particelle K1 e K2 hanno effettivamente masse diverse e misurarnela differenza. Se mj e Γj sono le masse e le larghezze di decadimento (Γ1 Γ2)l’evoluzione temporale nel riferimento della particella e (h = 1, c = 1)

K1(t) = K1(0) e−i(m1−iΓ1/2)t K2(t) = K2(0) e−i(m2−iΓ2/2)t

Per un fascio di K0, oppure K0, si ha

K0(t) =[

K1(0) e−im1te−Γ1t/2 +K2(0) e−im2te−Γ2t/2

]

/√

2

K0(t) =[

K1(0) e−im1te−Γ1t/2 −K2(0) e−im2te−Γ2t/2

]

/√

2

Se si produce un fascio di N mesoni K0 si ha la condizione iniziale |K0(0)|2 = N ,

|K0(0)|2 = 0, cioe K1(0) = K2(0) =√

N/2 e l’intensita del fascio per t τL e

|K0(t)|2 ' N(

1 + e−Γ1t + 2 e−Γ1t/2 cos ∆m t)

/4

|K0(t)|2 ' N(

1 + e−Γ1t − 2 e−Γ1t/2 cos ∆m t)

/4

con ∆m = m2 − m1. La composizione del fascio si puo determinare misurando leinterazioni prodotte dai mesoni K0 e K0 in un secondo bersaglio posto a distanzavariabile x dal bersaglio primario: se si conosce l’impulso p, il tempo proprio et = mx/p (Fig.3.29). Il risultato della misura e

∆m = 0.47 h/τS ∆m = 3.5 10−6 eV

la differenza di massa tra i due stati K1 e K2 e nota con una precisione relativa∆m/m ' 10−14 !

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0

K0

antiK0

Shortττττ

beam

int

ensi

ty

proper time /

Figure 3.29: Intensita di un fascio di mesoni K0 in funzione del tempo proprio

297

Figura 2.1: Intensita di un fascio di mesoni K neutri in funzione del tempo proprio.

2.2 Rigenerazione coerente e diffrattiva

Definiamo per semplicita:

freg(θ) ≡f(θ) − f(θ)

2(2.7)

come l’ampiezza di rigenerazione nella direzione θ. Trattiamo il mezzo rigeneratorecome una distribuzione uniforme di centri scatteratori: l’azione complessiva di questicentri potra risultare in un effetto coerente o incoerente, e cio dipende da:

• densita e dimensioni del materiale,

• impulso dei K incidenti [12].

Consideriamo due centri scatteratori 1 e 2 distanti d (vedi fig. 2.2). Le due onde

Figura 2.2: Schema della rigenerazione da due centri diffusori.

uscenti di KS possono essere scritte cosı:

|1〉S = eipSd cos θfreg(θ)|KS〉 (2.8)

|2〉S = eipLdfreg(θ)|KS〉 (2.9)

dove pL e l’impulso del KL e pS e l’impulso del KS rigenerato, trascurando ildecadimento del KS e ponendo la fase nel centro 1 uguale a zero.

La probabilita di rigenerazione per il sistema dei due centri scatteratori e laseguente:

|〈KS|1 + 2〉S|2 = 2|freg(θ)|2 1 + cos [d(pL − pS cos θ)] . (2.10)

I casi sono due:


• se la differenza di fase soddisfa d(pL − pS cos θ) > 1, si ha un’addizionecoerente dell’ampiezza delle due onde;

• se al contrario d(pL − pS cos θ) 1, l’intensita del KS cambia rapidamentein funzione di d, pL, θ, ed N numero di centri scatteratori, risultando in uncontributo medio nullo:

〈cos [d(pL − pS cos θ)]〉N = 0; (2.11)

si ha dunque come risultato la rigenerazione incoerente:

|〈KS|1 + · · ·+N〉S|2 = N |〈KS|1〉S|2. (2.12)

Prendendo cos θ ' 1−θ2/2 e definendo ∆p ≡ (pL−pS), la rigenerazione coerenterichiede la condizione:

d(pL − pS cos θ) ' d

[

(pL − pS) + pSθ2

2

]

= d

(

∆p+ pSθ2

2

)

< 1. (2.13)

Dunque la distanza massima dmax in avanti che soddisfa la condizione di coerenzasara:

dmax ∼ 1

∆p. (2.14)

Per stimare ∆p si applica la conservazione del quadrimpulso prima e dopo la colli-sione con un nucleo di massa M a riposo. Siano PL = (EL,pL) e PS = (ES,pS) iquadrimpulsi del KL incidente e del KS rigenerato, e sia P = (M, 0) il quadrimpulsodel centro scatteratore; dopo la diffusione al nucleo viene trasferita energia, il suoquadrimpulso sara:

P ′ = (E ′,p′) = (M + (EL − ES) ,pL − pS) . (2.15)

La conservazione del quadrimpulso implica che sia soddisfatta l’equazione:

PL + P = P ′ + PS, (2.16)

e quindi:

(PL − PS)2 = (EL − ES)2 − (pL − pS)2 == (E ′ −M)2 − p′2 = 2M(M − E ′) == −2M(EL − ES).

Calcolando l’energia di rinculo del bersaglio (EL−ES) si trova che, se M |pL−pS|(cio e sempre vero), si ha:

EL ' ES,

cioe:

p2L +m2

L ' p2S +m2

S,


da cui si puo ricavare:

∆p = −∆m(mL +mS)

(pL + pS)' −∆m

mL

pL. (2.17)

Nell’esperimento KLOE il KL ha un impulso pari a p = 110 MeV/c, percio ∆p '15.810−6eV/c. La lunghezza dmax a cui due centri scatteratori possono interferire inmaniera pienamente coerente vale percio:

dmax ∼ 1

∆p= 1.25 cm = 2λS, (2.18)

dove λS e il libero cammino medio del KS definito come nella (4.3).La rigenerazione coerente rappresenta dunque l’effetto su distanze macroscopiche

della piccola differenza di massa tra KL e KS. La distanza nella rigenerazionecoerente e quindi dell’ordine del centimetro.

Affinche la condizione di coerenza (2.13) sia verificata ad angoli non nulli si deveavere:

θ2max ∼ 2

∆p

pS∼ 10−12 rad⇒ θmax ∼ 10−6 rad. (2.19)

I processi di rigenerazione dunque possono essere cosı classificati:

1. rigenerazione coerente: l’azione dei centri scatteratori e una diffusione ela-stica coerente e concentrata a piccoli angoli, si puo estendere su una regionedi materiale dell’ordine di ∼ 2λS. L’evoluzione dello stato di KL attraversatoil rigeneratore puo essere scritto cosı [12], [13]:

|KL〉 → |KL〉 + ρcoe|KS〉 (2.20)

dove il parametro di rigenerazione ρcoe rappresenta la frazione di KS cherigenerano coerentemente in un fascio puro di KL.

2. rigenerazione incoerente (diffrattiva): e una diffusione elastica su nuclei,in cui le ampiezze di diffusione si sommano in maniera incoerente. Il nucleoneall’interno del nucleo non assorbe impulso sufficiente per far eccitare il nucleo.La sezione d’urto differenziale di rigenerazione incoerente per un singolo nucleoe:

dσinc

dΩ= |freg(θ)|2. (2.21)

Integrando su tutto l’angolo solido si ottiene la sezione d’urto totale di rige-nerazione incoerente:

σinc =

∫

|freg(θ)|2dΩ. (2.22)

3. rigenerazione inelastica: e una diffusione inelastica con alto impulso trasfe-rito che puo eccitare o rompere il nucleo. Questo tipo di processo puo esseretrascurato in KLOE, in quanto i kaoni vengono prodotti con un basso impulso.


2.2.1 Rapporto Rcoe/diff

E’ interessante studiare il rapporto fra l’intensita di rigenerazione coerente e quellaincoerente, nella stessa direzione del fascio incidente [14].

Consideriamo un fascio di KL incidente su una lastra di materiale di spessore de numero di atomi per cm3 all’interno del mezzo:

N = NAρ

A

dove NA e il numero di Avogadro, ρ e la densita del materiale rigeneratore ed A e ilsuo peso atomico. Sia il mezzo materiale di dimensioni piccole a tal punto che sianopredominanti solo le diffusioni singole. In questo caso il campo effettivo all’internodel mezzo e semplicemente il campo coerente incidente. Nel punto di osservazione Ol’onda del KS rigenerato proveniente dall’elemento di volume infinitesimo d3x (vedi

Figura 2.3: Rigenerazione di un fascio di KL da una lastra di spessore infinitesimo.

fig. 2.3) vale:

dψ(~xO) = ei~pL·~x freg(θ)eipSr

rN d3x (2.23)

dove il fattore di fase ei~pL·~x tiene conto della propagazione dell’onda di KL finoalla posizione ~x. Integrando prima sulla superficie della lastra, sapendo che r =√

ρ2 + (z0 − z)2, e quindi che ρ dρ = r dr, si ottiene:

∫ 2π

0

dφ

∫ ∞

0

dψ ρ dρ = 2πN ei~pL·~x

∫ ∞

|z0−z|

freg(θ) eipSr dr '

' 2πi

pS

Nei~pL·~xeipS |z0−z|freg(0)

prendendo l’osservatore O molto distante dalla lastra del materiale rispetto alle suedimensioni.

Abbiamo trovato percio che nella direzione del KL incidente solo l’ampiezzafreg(0) contribuisce all’onda del KS uscente dalla superficie del rigeneratore.


Ora si possono calcolare i contributi coerente ed incoerente. L’ampiezza coerentepuo essere calcolata integrando tra 0 e d:

Acoe =2πi

pS

N freg(0)

∫ d

0

exp

ipLz + ipS(d− z) − (d− z)

2λS

− d

2u

dz. (2.24)

Nell’esponenziale all’interno dell’integrale compaiono quattro termini: il primo tie-ne conto della propagazione dell’onda di KL fino alla distanza z, il secondo dellapropagazione dell’onda di KS da z al punto di uscita dal materiale, il terzo del deca-dimento del KS nel suo percorso ed il quarto dell’assorbimento dei kaoni nella lastraa causa dell’interazione con i nuclei: u rappresenta la lunghezza di assorbimento, ela stessa per KL e KS.

Integrando e calcolando il modulo quadro si ottiene:

|Acoe|2 =16π2

p2S

N2λ2S|freg(0)|2

∣

∣e−i ∆m τS l − e−l/2∣

∣

2

1 + 4 ∆m2 τ 2S

e−d/u (2.25)

dove l ≡ d/λS e ∆m = mL −mS.Ora calcoliamo la probabilita per unita di angolo solido di rigenerazione incoe-

rente all’interno di uno strato di spessore dz con uscita dal materiale dopo un trattod− z, usando la formula 2.21:

d2Pinc

dz dΩ= N |freg(θ)|2 exp

−(d− z)

λS

− d

u

(2.26)

Integrando su z e considerando solo il contributo incoerente nella direzione del KL

incidente otteniamo:

dPinc

dΩ(0) = N |freg(0)|2 λS (1 − e−l) e−d/u (2.27)

Il rapporto tra l’intensita di rigenerazione coerente e la probabilita di rigenerazioneincoerente per unita di angolo solido e dunque:

R coediff

=16 π2 N λS

∣

∣e−i ∆m τS l − e−l/2∣

∣

2

p2S (1 − e−l) (1 + 4 ∆m2 τ 2

S)

(2.28)

e non dipende dall’ampiezza di rigenerazione freg, dipende solo dalla geometria delrigeneratore, dall’impulso e dalle caratteristiche dei kaoni.

In tabella 2.1 ([15], [16]) sono riportati i valori di questo rapporto per i mate-riali di interesse in KLOE: la rigenerazione diffrattiva e l’effetto di rigenerazionedominante nei materiali del rivelatore.

Dall’equazione 2.26 si puo trovare, per un generico angolo θ:

dPinc

dΩ(θ) = N |freg(θ)|2 λS (1 − e−l) e−d/u (2.29)

che per rigeneratori sottili (d/λS) diventa:

dPinc

dΩ(θ) = N |freg(θ)|2 d. (2.30)

La probabilita di rigenerazione incoerente e percio correlata alla sezione d’urtoincoerente dalla formula:

Pinc = N σinc d, (2.31)

ci sara utile in seguito nel nostro calcolo.


Nucleo Spessore R

He 150 cm 3.8 ·10−5

Be 0.05 cm 7.8 ·10−3

Al 0.008 cm 6.1 ·10−4

Tabella 2.1: Rapporto R coediff

calcolato per un impulso pari a 110 MeV/c.

2.2.2 La situazione sperimentale

Il fenomeno della rigenerazione viene utilizzato per produrre fasci di KS in espe-rimenti a bersaglio fisso, in cui i KL sono prodotti con energia molto elevata. InKLOE, tuttavia, i KL sono prodotti con un impulso compreso tra 104 ∼ 116 MeV.In questo intervallo non esistono misure di sezione d’urto di rigenerazione eccet-to il risultato ottenuto dalla collaborazione CMD-2 all’acceleratore VEPP-2M diNovosibirsk che ha misurato la sezione d’urto diffrattiva su Berillio con il risultato:

σBe = 55.1 ± 7.7 mbarn [17]. (2.32)

2.2.3 Le previsioni teoriche

Per valutare l’entita delle interazioni di bassa energia su nuclei, sono stati con-dotti studi teorici basati sull’approssimazione dell’eikonale [15]. Il modello vieneesaminato in dettaglio nell’appendice B, qui verranno riportati solo alcuni risultati.

La sezione d’urto di rigenerazione e legata all’ampiezza di diffusione elastica fortedel K0 e del K0 su nucleone dalla relazione:

dσinc

d cos θ= |freg(θ)|2.

Nel modello dell’eikonale tali ampiezze valgono:

f(θ) = ik

∫ +∞

0

b db J0(kb sin θ)[

1 − exp(iχ0(~b))]

f(θ) = ik

∫ +∞

0

b db J0(kb sin θ)[

1 − exp(iχ0(~b))]

(2.33)

dove le funzioni χ0 e χ0 sono definite in questo modo:

χ0(~b) =4π

kA[Zfp(0) + (A− Z)fn(0)]

∫ +∞

0

R(√b2 + x2)dz

χ0(~b) =4π

kA[Zfp(0) + (A− Z)fn(0)]

∫ +∞

0

R(√b2 + x2)dz (2.34)

La funzione R(√b2 + x2) rappresenta la distribuzione spaziale della materia all’in-

terno dei nuclei, J0 una funzione di Bessel, b il parametro di impatto, fp(0), fn(0) leampiezze di scattering in avanti su protone e neutrone. Note le ampiezze, le sezioni


d’urto totale, elastica e rigenerativa sono:

σtot =4π

q=m

(f(0) + ¯f(0)

2

)

dσel

dΩ=

∣

∣

∣

f(θ) + f(θ)

2

∣

∣

∣

2

dσrig

dΩ=

∣

∣

∣

f(θ) − f(θ)

2

∣

∣

∣

2

(2.35)

Le ampiezze fp(0), fn(0), fp(0), fn(0) sono state calcolate a partire dalle lunghezzedi scattering trovate da A. D. Martin [18] e dai dati sperimentali delle sezioni d’urtodei K+ e dei K− su nucleoni ottenuti da Bugg [19] e Bowen [20]. Una delle richiestecruciali per l’approssimazione dell’eikonale e che l’angolo di diffusione sia piccolo,θ ≤ π/6; per valori piu grandi ci si aspetta che le sezioni d’urto differenziali sianomeno precise. Le sezioni d’urto elastiche e di rigenerazione si ottengono integrandole eq. 2.35 tra 0 e π/2 e vengono date con un errore del 20% mentre la sezioned’urto totale puo essere calcolata con il teorema ottico senza effettuare integrazionesull’angolo, l’errore e stimato al 10%. In tab. 2.2.3 sono riportate le previsioni perdiversi materiali e per diversi valori dell’impulso del KL. Le sezioni d’urto totalinell’intervallo 150 ∼ 350 MeV sono compatibili, entro una deviazione standard,con le misure effettuate da A. Sayer e E. F. Bell [21] nel 1968 e con i recenti datisperimentali di CMD-2 [22]. Dal teorema ottico si puo dedurre che il modello descrivecon sufficiente precisione la parte immaginaria dell’ampiezza f in avanti.

Per le previsioni sulle sezioni d’urto elastiche si ha una sola verifica sperimentalesu Elio nell’intervallo 125 ∼ 175 MeV dalle misure effettuate da Mazur [23] nel 1969sull’interazione di K−He che possono essere legate all’ampiezza di diffusione KLHetramite una rotazione nello spazio dell’isospin. L’accordo e abbastanza buono ma lapredicibilita del modello deve essere ancora confermata da altre misure sperimentali,in particolare per ampiezze ad angoli diversi da zero.


σtot (mb) σel (mb) σrig (mb)100 MeV He 305.5 83.5 26.3

Be 596.6 267.6 34.7C 725.5 362.2 36.2Al 1148.2 634.5 11.9

114 MeV He 277.1 80.9 27.9Be 544.7 260.8 40.7C 666.4 354.2 44.2Al 1115.6 667.1 18.6

200 MeV He 177.6 48.3 20.5Be 357.8 144.6 37.1C 443.7 190.6 43.8Al 838.4 425.1 61.3

300 MeV He 123.1 21.7 9.5Be 256.4 66.1 21.0C 321.7 89.7 27.4Al 626.9 238.9 47.6

Tabella 2.2: Previsioni teoriche di sezioni d’urto di interazione dei KL per diversivalori dell’impulso.

Capitolo 3

L’esperimento KLOE a DAΦNE

3.1 L’anello di collisione e+e− DAΦNE

La φ-factory DAΦNE 1 e un doppio anello di collisione e+e−, mostrato in figu-ra 3.1, progettato per funzionare con energia nel centro di massa di 1020 MeV,

Figura 3.1: Schema degli anelli di collisione di DAΦNE: le regioni di interazionesono quelle evidenziate, il quadrato in basso rappresenta il rivelatore KLOE.

corrispondente al picco del mesone vettore φ, di massa e larghezza [5]:

Mφ = (1019.456 ± 0.020) MeV;

Γφ = (4.26 ± 0.05) MeV.

I fasci vengono accumulati in due anelli separati, e la circonferenza di ogni fasciovale circa 100 m. Nella regione di interazione i fasci viaggiano in una camera davuoto comune e si incrociano nel punto di interazione (d’ora in poi chiamato IP),con un angolo sul piano orizzontale, θx ' 12.5 mrad, come mostrato in figura 3.2,permettendo cosı l’accumulazione di molti pacchetti di particelle e minimizzandol’effetto di collisioni parassite. La macchina DAΦNE e progettata per funzionare

1Double Anular φ-factory for Nice Experiments.

29

30 CAPITOLO 3. L’ESPERIMENTO KLOE A DAΦNE

Figura 3.2: Angolo di incrocio dei pacchetti di particelle.

con un numero massimo di 120 pacchetti, ogni T ' 2.7 ns. L’angolo di incrocio deifasci da luogo ad un piccolo impulso della φ lungo l’asse x:

〈pφ,x〉 ' −13 MeV. (3.1)

Le regioni d’interazione sono dotate di quadrupoli a basso β, che focalizzano i fasciin direzione verticale. Dimensioni tipiche dei pacchetti di particelle sono:

σx = 0.2 cm, σy = 20 µm, σz = 3 cm. (3.2)

La sezione d’urto al picco della risonanza vale

σ(e+e− → φ) = 3.1µb,

e i branching ratios [5] dei decadimenti piu probabili della φ sono riportati nellatabella 3.1:

Canali di Branchingdecadimento ratio

K+K− (49.1 ± 0.6) %K0

LK0S (34.0 ± 0.5) %

ρπ + π+π−π0 (15.4 ± 0.5) %ηγ (1.295 ± 0.025) %π0γ (1.23 ± 0.10) × 10−3

e+e− (2.98 ± 0.04) × 10−4

µ+µ− (2.85 ± 0.19) × 10−4

η e+e− (1.15 ± 0.10) × 10−4

3.2 Il rivelatore KLOE

Il rivelatore KLOE e stato progettato per:

• avere elevata accettanza geometrica;

3.2. IL RIVELATORE KLOE 31

• avere efficienza elevata ed uniforme sull’intero volume;

• effettuare il tracciamento di particelle cariche con impulso p ≥ 50 MeV;

• rivelare fotoni di energia E ≥ 20 MeV.

I componenti principali del rivelatore, come mostrato nello schema in fig. 3.3, sono

Figura 3.3: Sezione verticale del rivelatore KLOE lungo l’asse z.

i seguenti:

• una sfera di raggio 10 cm che costituisce la regione d’interazione (e un tuboa vuoto composto da una lega speciale di alluminio-berillio per minimizzare loscattering multiplo e la rigenerazione dei K);

• una grande camera a deriva cilindrica (DC), riempita con una miscela digas a base di elio;

• un calorimetro a campionamento (EMC) che racchiude la camera, fattodi piombo e fibre scintillanti;

tutto l’apparato e immerso in un campo magnetico uniforme di 0.52 T.

3.2.1 Il tubo a vuoto

Il tubo a vuoto e di forma sferica, di raggio 10 cm: corrispondono a circa ∼ 17lunghezze di decadimento del KS. La sfera costituisce un volume fiduciale per idecadimenti del KS, al fine di sopprimere la rigenerazione. Le pareti del tubo sonocostituite da AlBeMet, una lega che contiene Berillio e Alluminio in proporzioni


Figura 3.4: Regione d’interazione.

60% − 40%, e sono spesse 0.5 mm, come si puo vedere in fig. 3.4. Uno stratosottile di Berillio garantisce la continuita della geometria del tubo nella regione diinterazione. Il basso numero atomico del materiale consente di minimizzare:

• l’effetto della diffusione coulombiana multipla;

• la rigenerazione del KL → KS;

• la perdita di energia delle particelle cariche;

• la conversione dei fotoni.

3.2.2 La camera a deriva

La camera a deriva [24] e stata progettata sulla base della topologia di decadimentodel KL: e di forma cilindrica, di lunghezza pari a 330 cm, in quanto il KL ha un liberocammino medio pari a ' 343 cm, con raggio interno ed esterno rispettivamente di25 cm e di 194 cm. Due piatti alle estremita mantengono la tensione meccanica trai fili, come si puo vedere dalla fig. 3.5. La camera e costituita da 12,582 celle di

Figura 3.5: Foto della camera a deriva di KLOE.

deriva di forma approssimativamente quadrata, disposte su 58 strati coassiali. Ladimensione delle 12 celle di deriva degli strati interni e di 2 × 2cm2, mentre quellaper le altre 46 degli strati esterni e di 3× 3cm2, come si puo vedere in fig. 3.6. Non


Figura 3.6: Celle di deriva della DC.

sono presenti fili assiali: i fili negli strati adiacenti hanno angoli stereo ε di segnoalternato, come si puo vedere in figura 3.7. Il numero totale di fili e 52,140, il numero

Figura 3.7: DC: Geometria della camera a deriva.

dei fili di campo sta in rapporto 3:1 rispetto al numero di quelli anodici.Tutto cio risulta in:

• una risoluzione spaziale di 200µm in r − φ;

• una risoluzione in z di 2 mm sull’intero volume della camera.

La miscela di gas scelta per minimizzarne la densita e la diffusione coulombianamultipla sui nuclei e composta dal 90% di elio (He) e dal 10% di isobutano (iC4H10);le sue caratteristiche sono:

• una lunghezza di radiazione X0 ∼ 1300 m;


• un libero cammino medio tra due collisioni ionizzanti consecutive pari a λ =770 µm.

I segnali dei fili anodici vengono duplicati ed inviati ai TDC 2 per misure di tempo edi trigger: viene dato il via dal segnale del filo mentre l’arresto e fornito dal trigger.

La figura 3.8 mostra la risoluzione in impulso per elettroni e positroni aventi

Figura 3.8: DC: Risoluzione in impulso per tracce Bhabha in funzione dell’angolopolare.

p ' 510 MeV provenienti da eventi Bhabha, in funzione dell’angolo polare. Si trovaσp ' 1.4 MeV nell’intervallo 40 < θ < 140. Gli eventi Bhabha sono anche usati permisurare l’energia del fascio e la posizione del punto di interazione con accuratezza:

σEf= 20 keV; σIP

x = 0.05 mm, σIPy = 0.05 mm, σIP

z = 0.1 mm.

La componente x dell’impulso della φ viene misurata nello stesso modo, ed emostrata in fig. 3.9; la risoluzione vale σpφ

= 1.7 MeV.

3.2.3 Il calorimetro elettromagnetico

Il calorimetro elettromagnetico di KLOE [25] (d’ora in poi sara abbreviatocon la sigla EMC) e un calorimetro a campionamento costituito da piombo e fibrescintillanti, la cui luce viene raccolta dai fotomoltiplicatori collegati alla relativaelettronica di lettura. E’ composto da un barrel (fig. 3.10) e da due endcap (fig. 3.11).Il barrel e’ formato da 24 moduli lunghi 4.3 m, spessi 23 cm e di sezione trapezoidale;le fibre dei moduli sono state posizionate parallelamente alla linea del fascio. Ogniendcap e costituito da 32 moduli verticali a forma di C, aventi le fibre scintillantiortogonali alla linea del fascio. L’intera struttura copre il 98% dell’angolo solido. Ladensita media dei moduli del calorimetro e di 5 g cm−3, la lunghezza di radiazionee di circa 1.5 cm, e lo spessore totale del calorimetro e di circa 15 lunghezze diradiazione.

2Time-to-Digital-Converter.


Figura 3.9: DC: Distribuzione della componente x dell’impulso della φ ricavata dalletracce Bhabha.

Le guide di luce raccolgono la luce di scintillazione da entrambe le estremitadelle fibre e forniscono la segmentazione del calorimetro in celle di dimensioni 4.4×4.4 cm2.

I segnali dei fotomoltiplicatori vengono divisi ed inviati:

• agli ADC 3 per misure di energia e di trigger;

• ai TDC per misure di tempo.

La differenza in tempo dei segnali ad entrambe le estremita permette di ricostruire lacoordinata z lungo la fibra, fornendo una risoluzione pari a σz ∼ 9 mm/

√

E(GeV).La risoluzione in energia e la linearita vengono testate usando i fotoni da

eventi e+e− → e+e−γ, determinando l’energia Eγ e la direzione del fotone a partiredagli impulsi delle tracce e±, e confrontandola con l’energia depositata nel calorime-tro, Eclu. La figura 3.12 mostra la linearita della risposta in energia e la risoluzionein funzione di Eγ . La linearita e migliore dell’1% per Eγ > 70 MeV. Fittando la fun-zione risoluzione si ottiene che il termine costante e trascurabile, e che la risoluzionee dominata da fluttuazioni del campione:

σE

Eγ=

0.054√

Eγ(GeV).

La risoluzione in tempo e stata ricavata da eventi e+e− → e+e−γ, ed eriportata in fig. 3.13, in funzione dell’energia del fotone:

σt =56 ps

√

Eγ(GeV)⊕ 133 ps,

dove il termine costante e dovuto essenzialmente alla dimensione finita del pacchettodi particelle lungo l’asse z.

3Analog-to-Digital-Converter.


Figura 3.10: EMC: barrel

Figura 3.11: EMC: endcap


Figura 3.12: EMC: Linearita della risposta in energia (sopra) e risoluzione in energia(sotto) al variare di Eγ.

3.2.4 I quadrupoli

Due piccoli calorimetri costituiti da superfici di piombo e strati di scintillatore(QCAL) avvolgono i quadrupoli a basso β per completare l’ermeticita della zonadi rivelazione.

3.2.5 Il magnete

Il componente esterno del rivelatore e il magnete,che racchiude l’intero apparato.E’ costituito da un solenoide superconduttore attraversato da una corrente di circa1550 A.

Fornisce un campo magnetico uniforme di 0.52 T in un volume di circa 76 m3.

3.2.6 Il trigger

Il trigger [26] e basato sui depositi di energia nell’EMC e sugli spari della DC, esegue uno schema logico di due livelli. Il primo livello T1 viene prodotto conun ritardo di circa 200 ns dopo l’incrocio dei fasci, ed e sincronizzato con la ra-diofrequenza di DAΦNE; il secondo livello T2, ottenuto usando piu informazioniraccolte in un intervallo di tempo maggiore, viene usato per inizializzare la letturain uscita oppure per scartare il T1. Il segnale T2 viene generato con un ritardocostante di circa ∼ 1.5 µs dopo il segnale T1. La produzione di ulteriori segnali T1viene inibita per 2.6 µs, cioe per il tempo necessario che serve a tutti gli ADC eTDC nel sistema ad effettuare la loro conversione; se nessun segnale T2 e presenteentro questa finestra di tempo, tutto il sistema di lettura viene azzerato. I due livellidi trigger possono essere definiti nel modo seguente:

T1=TC1 OR TD1,T2=(TC2 OR TD2) AND T1 AND (NOT CRV)


Figura 3.13: EMC: Risoluzione in tempo in funzione di Eγ per tre diversi campioni.

dove TC1 (TD1) e TC2 (TD2) si riferiscono rispettivamente al primo e al secondosegnale di trigger dall’EMC (DC), e CRV sta ad indicare il veto per i cosmici.

Il trigger del calorimetro

Nel calorimetro le colonne adiacenti vengono raggruppate per formare un settore di

trigger, e i loro segnali vengono sommati. I due segnali analogici provenienti daidue lati (A e B) di ogni settore di trigger vengono confrontati con una soglia piualta (T high) ed una soglia piu bassa (T low). Le uscite del comparatore per le dueestremita vengono dunque confrontate e combinate logicamente in questo modo:

OUTPUT = (T lowA AND T low

B ) AND (T highA OR T high

B ).

A causa dell’attenuazione della luce lungo le fibre, l’energia minima richiesta ad unaparticella per far “sparare” un settore dell’EMC e funzione della posizione del puntod’impatto lungo il modulo. E’ fissata una soglia di circa 50 MeV sul barrel, mentregli endcap hanno valori di soglia differenti per rigettare gli eventi da fondo macchina,da 50 a 150 MeV. Il trigger dell’EMC entra in funzione quando TC1=TC2, e richiededue settori sopra soglia, purche non appartengano allo stesso endcap.

Il trigger della camera

I segnali provenienti dai fili della DC vengono sommati in maniera complanare, esono organizzati in nove strati piu grandi; ogni segnale viene ottenuto da segnali dipiani contigui. TD1 richiede 13 spari in una finestra di 250 ns, mentre TD2 richiede120 spari nei successivi 850 ns. Cio viene fatto per tener conto del tempo massimodi formazione dei segnali nella DC, che vale circa ∼ 1µs.


3.2.7 Il veto sui cosmici

I raggi cosmici possono penetrare attraverso i 40 cm di ferro del magnete di KLOEproducendo una frequenza di trigger di 2.6 kHz. La maggior parte di queste particellesono muoni che rilasciano circa 30-40 MeV in ogni cella dell’EMC. Per imporre unveto sui cosmici il trigger sfrutta il fatto che essi non hanno origine all’interno delrivelatore. L’algoritmo di reiezione dei cosmici, COSMVETO, richiede due depositidi energia sopra soglia nel piano esterno del calorimetro, nella configurazione barrel-

barrel oppure endcap-barrel. In fig. 3.14 si puo vedere la distribuzione dell’energiaraccolta sul quinto piano del barrel del calorimetro dei raggi cosmici. Si possono

Figura 3.14: Distribuzione dell’energia depositata nel calorimetro dai raggi cosmici.

rigettare i cosmici in maniera efficiente fissando la soglia a 30 MeV, come si puonotare dalla posizione del picco. Con la presenza di questa soglia la frequenza ditrigger passa da 2.6 kHz a 0.68 kHz, con un’efficienza di reiezione di circa il 75%. E’evidente dalla figura che abbassare la soglia non aumenta tale efficienza di reiezione.

3.2.8 Il sistema di acquisizione dati

Il sistema di acquisizione dati di KLOE [27] (d’ora in poi abbreviato con la siglaDAQ) deve essere in grado di supportare una frequenza di dati massima di circa50 MBytes/s (funzionamento di DAΦNE a piena luminosita), ogni evento e stimatoavere dimensione media di circa 5 kBytes. L’esperimento richiede un’alta precisione,percio il sistema deve essere in grado di mantenere tempi morti ragionevolmentebassi e indipendenti dalla configurazione dell’evento. Il DAQ deve essere controllatoonline; inoltre, dal momento che i pacchetti di particelle interagiscono ogni 2.7 ns,esso deve essere asincrono rispetto:

• al tempo di collisione e+e−;

• all’arrivo del segnale dal trigger.


Il DAQ di KLOE e stato progettato per raccogliere dati provenienti dai 23,000canali di elettronica di front-end di KLOE:

• 5,000 canali per gli ADC del calorimetro;

• 5,000 canali per i TDC del calorimetro;

• 13,000 canali per i TDC della camera a deriva.

Uno schema del sistema di lettura in uscita di KLOE e del DAQ e mostrato infigura 3.15.

L’acquisizione dati viene effettuata su tre livelli differenti:

1. L1: raccolta dati di un singolo evento in un singolo crate FEE;

2. L2: combinazione delle informazioni da crate differenti;

3. costruzione finale dell’evento, procedure di monitoring e di immagazzinamentodei dati.

I dati raccolti dall’elettronica di front-end (FEE) transitano nell’annessa memorialocale, poi vengono trasferiti online su una farm, ed infine vengono scritti su nastro.Ogni modulo FEE e costituito da un crate 4 di tipo VME e vi e alloggiata una scheda,il ROCK 5, che da inizio alla lettura di uscita quando il trigger fornisce il suo segnale.Questa lettura viene effettuata utilizzando una linea di trasmissione dati, AUX-bus,capace di sostenere una frequenza di 50 MBytes/s. I crate FEE sono raggruppati in10 catene che terminano in un crate VME; quest’ultimo ospita il ROCK-Manager(ROCKM: e un “controllore di catene”) e una CPU. I dati provenienti dalla catena diROCK vengono raccolti dal rispettivo ROCKM mediante un cavo C-bus (Chain-bus)ed impacchettati in stringhe di sub-eventi. La CPU invia poi il sub-evento via fibraottica ad un gruppo di processori che ricostruiscono l’intero evento, lo processano elo scrivono su nastro. Tutti i crate sono connessi tra loro in una catena attraverso unbus verticale (VIC) che permette al processore VME di programmare e controllarel’elettronica di FEE. Un apposito processore VME, chiamato Data Flow Controller(DFC), assegna un indirizzo alla CPU che riceve un sub-evento; tale processore econnesso al ROCKM attraverso un canale VIC. Il sistema di Run Control garantisceche tutti i sub-eventi generati dallo stesso evento siano inviati allo stesso processore,utilizzando gli indirizzi attribuiti. In un crate VME di secondo livello si trova infineil trigger supervisor, interfaccia tra DAQ e trigger, che sincronizza il segnale diquest’ultimo con l’uscita dell’evento, fermando il trigger quando la FEE o il sistemadi lettura di uscita sono occupati.

3.3 Algoritmi di ricostruzione

La ricostruzione delle variabili cinematiche viene realizzata utilizzando le informa-zioni provenienti dal calorimetro e dalla camera a deriva, come verra spiegato frapoco.

4Un crate e una struttura a ripiani destinata ad accogliere i moduli di elettronica; ogni ripiano

puo ospitare una serie di moduli, sul retro della struttura ci sono le connessioni di tensione.5Read Out Controller for Kloe.

3.3. ALGORITMI DI RICOSTRUZIONE 41

Figura 3.15: Schema del DAQ e del flusso di dati.


L’informazione dei cluster 6 e il numero di hit 7 della camera vengono ancheutilizzati per identificare e rigettare il fondo e gli eventi relativi ai raggi cosmici.

Per gli eventi che superano questa selezione viene estratta l’informazione dellaDC. I tempi relativi agli hit della DC vengono convertiti in distanze di deriva mentrele posizioni ricostruite degli hit vengono utilizzate per il track fitting e per il vertex

fitting. Dopo la ricostruzione gli eventi vengono classificati in differenti categorie,chiamate stream, mediante l’algoritmo di classificazione degli eventi (detto anche“algoritmo di streaming”).

3.3.1 Ricostruzione del cluster

Per ciascuna cella vengono registrati dai fotomoltiplicatori posti su ciascun lato dellefibre due segnali temporali (TA,B) e due segnali di ampiezza (SA,B).

Ricostruzione temporale del calorimetro

Mediante le seguenti variabili:

• le costanti di calibrazione dei TDC, cA,B ∼ 53 ps (conteggi TDC)−1;

• il tempo di offset, tA,B0 ;

• la lunghezza della fibra, L (cm);

• la velocita della luce lungo la fibra, v (cm/ns);

si ottengono il tempo di arrivo della particella, t, e la sua coordinata lungo l’assedella fibra, z:

t =tA − tA0

2+tB − tB0

2− L

2v(3.3)

z =v

2[tA − tA0 + tB − tB0 ] (3.4)

con

tA,B = cA,B TA,B.

Ricostruzione dell’energia del calorimetro

Il segnale di energia su ciascun lato dell’i-esima cella e definito da:

EA,Bi =

SA,Bi − SA,B

0,i

Smip,ikE, (3.5)

dove:

• SA,Bi sono i conteggi dell’ADC;

• SA,B0,i sono i “piedistalli” dell’ADC;

6Insieme di celle del calorimetro.7Accensione di un filo della DC.

3.3. ALGORITMI DI RICOSTRUZIONE 43

• Smip,i e il numero medio di conteggi ADC per una particella al minimo diionizzazione 8 che attraversa il centro dell’i-esima cella;

• kE e il fattore di scala dell’energia (∼ 40 MeV/Smip,i) che fornisce l’energiacorrispondente al numero di conteggi ADC dovuti ad una particella al minimodi ionizzazione.

L’energia della cella viene presa come la media dell’energia misurata su entrambii lati della fibra corretta per l’attenuazione lungo la lunghezza della fibra, αA,B

i

(λatt ' 4 m):

Ei =1

2(EA

i αAi + EB

i αBi ). (3.6)

Costruzione dei cluster

La procedura mediante la quale differenti hit prodotti nelle celle del calorimetrovengono associati al passaggio della stessa particella e detta anche procedura diclustering: in ogni gruppo localizzato di celle viene identificata quella con l’hit cor-rispondente al maggior deposito di energia e a questa vengono associate le celle piuvicine per formare un cluster.

L’energia di un cluster si ottiene sommando le energie depositate in queste celle.Essa e data da:

Eclu =∑

i

Ei (3.7)

dove i e un indice che varia sul numero di celle che vengono raggruppate.La posizione di un cluster e fornita dalle coordinate delle celle mediate con i

depositi di energia in ciascuna cella ed e data da:

~rclu =

∑

iEi ~ri∑

iEi, (3.8)

dove ~ri = (xi, yi, zi), zi e la coordinata della cella lungo la fibra, xi, yi sono leposizioni nominali della cella.

Similmente si calcola il tempo del cluster:

tclu =

∑

iEi ti∑

iEi, (3.9)

dove i ti sono calcolati come nell’eq 3.3.

3.3.2 Ricostruzione della traccia

Gli algoritmi utilizzati per ricostruire le tracce cariche sono basati su quelli svi-luppati dalla Collaborazione ARGUS [28] adattati a tutta la geometria stereo. Laricostruzione viene realizzata mediante tre procedure:

• pattern recognition: raggruppa gli hit misurati nella DC in “tracce candi-date” e fornisce una stima rozza dei parametri della traccia;

8mip=Minimum Ionising Particle.


• track fit: realizza dei fit delle “tracce candidate” in accordo con un algoritmodi minimizzazione basato sui valori delle distanze di deriva;

• vertex fit: “accoppia” due tracce per trovare la posizione del vertice.

Pattern Recognition

I fili della DC formano in modo alternato angoli stereo positivi e negativi rispettoalla direzione z. Quando vengono proiettati nel piano x−y gli hit sono distribuiti sudue curve vicine, una formata dagli hit prodotti sui fili con angolo stereo “positivo”e l’altra formata dagli hit prodotti sui fili con angolo stereo “negativo”.

La procedura di pattern recognition combina gli hit di ciascuna proiezione se-paratamente, definendo due tracce candidate per ogni proiezione ed usando solo leinformazioni bidimensionali.

I candidati in due dimensioni vengono quindi uniti per definire le tracce candi-date.

Track Fit

La procedura di track fit consiste nel realizzare un fit ai minimi quadrati delle traccecandidate determinate dalla procedura di pattern recognition per produrre la tracciaeffettiva. Viene costruita una funzione χ2 a partire dalle seguenti misure:

1. il vettore n-dimensionale delle distanze di deriva misurate della traccia candi-data, dove n e il numero di hit per questa traccia;

2. la matrice di covarianza n×n derivata dalla matrice degli errori sulle distanzadi deriva.

I parametri risultanti dalla procedura di minimizzazione sono la migliore stimadell’impulso e della posizione della traccia. Piu in dettaglio, tali parametri sono:

• ρFH =√

x2FH

+ y2FH

, dove (xFH, yFH) e la posizione del primo hit nel pianotrasverso;

• zFH, la coordinata z del primo hit;

• k = Q/pT , la curvatura di una particella con carica Q e impulso trasverso pT ;

• cot θFH = pz/pT , la cotangente dell’angolo polare al primo hit per una particellacon componenti del momento date da pz e pT ;

• tanφFH = py/px, la tangente dell’angolo azimutale al primo hit per unaparticella con componenti del moment date da py e px.

Effetti dovuti allo scattering multiplo sono presi in considerazione nella proceduradi minimizzazione.

3.4. SIMULAZIONE MONTE CARLO DEL RIVELATORE 45

Vertex Fit

Per eventi con almeno due tracce di segno opposto ottenute nel modo descrittoprecedentemente viene calcolata e minimizzata una funzione χ2. Essa include leseguenti misure:

1. le coordinate del primo e dell’ultimo hit della traccia;

2. le incertezze relative all’estrapolazione delle tracce al punto di interazione deifasci.

In questo caso il fit con il metodo dei minimi quadrati fornisce:

• ~rV , la posizione del vertice;

• ~p, l’impulso di ciascuna traccia nella coordinata del vertice;

• ~rpca, la posizione del punto di minimo approccio al punto di interazione deifasci per ciascuna traccia.

Le coordinate ~rpca vengono fornite anche in quei casi in cui la procedura di fit nonha successo e non e stato trovato alcun vertice.

3.4 Simulazione Monte Carlo del rivelatore

La collaborazione KLOE ha sviluppato una simulazione Monte Carlo chiamataGEANFI [29], basata sul pacchetto GEANT3. Tale simulazione permette di ge-nerare tutti i processi di interesse che avvengono nell’esperimento attraverso la si-mulazione della geometria e dei materiali del rivelatore. Come verra spiegato inseguito, il Monte Carlo di KLOE riproduce bene la forma degli eventi di rigenera-zione, ma non il numero di essi, cosı potra essere usato solo previa alcune correzioni,che lo metteranno in relazione ai dati.

3.5 La rigenerazione in KLOE

Il rivelatore di KLOE e stato costruito per minimizzare gli effetti della rigenerazione.Tuttavia, il tubo a vuoto e la parete interna della camera a deriva si trovano in unaposizione ideale per agire da superfici rigeneratrici lungo la direzione di volo del KL.

I materiali che possono produrre tale effetto in KLOE sono:

Nel tubo a vuoto in cui transitano i fasci:

• la parete del tubo (beam pipe), composta da AlBeMet, una lega di Beril-

lio (ρ = 1.85 g/cm3, A = 9g) ed Alluminio (ρ = 2.7 g/cm3, A = 27g)in rapporto 62% − 38%, spessa 0.05 cm

• il sottile strato di Berillio di 0.005 cm, che garantisce la continuita elettricadel tubo, posto a 4.3 cm di distanza in raggio trasverso dall’asse z di interazionedei fasci


Nella camera a deriva:

• la parete interna della camera, composta da uno spessore di Carbonio di0.075 cm, 60% in fibra (ρ = 1.72 g/cm3, A = 12g) e 40% in resina epossidica

(ρ = 1.25 g/cm3, A = 12g), e coperta da uno strato di Alluminio di 0.015 cm

• la miscela di Elio-Isobutano in proporzioni 90% − 10%

• i fili di campo in Alluminio di diametro 80 µm

• i fili anodici in Tungsteno di diametro 25 µm

In figura 3.16 si puo vedere un semplice schema della posizione delle superfici rigene-ratrici rispetto al centro d’interazione dei fasci, utilizzando come esempio un eventodi rigenerazione:

• BP: il tubo a vuoto e costituito da una sfera di raggio 10 cm centrata nelpunto d’interazione dei fasci,

• DC: la parete interna della camera a deriva ha forma cilindrica, con raggiotrasverso 25 cm,

• BE: il sottile strato di berillio ha forma cilindrica, con raggio trasverso 4.3 cm.

Figura 3.16: Geometria delle superfici rigeneratrici.

Capitolo 4

Analisi dei dati

4.1 Campioni di DATI e MONTECARLO

L’analisi presentata in questa tesi e stata eseguita su un campione di dati raccoltidal rivelatore KLOE a DAΦNE negli anni 2001 e 2002. Questo set di dati soddisfa icriteri base di qualita descritti in seguito, e corrisponde ad una luminosita integratadi ∼ 328 pb−1. Ogni run nel set di dati e stato successivamente simulato utilizzandola procedura standard di produzione MonteCarlo (d’ora in poi sara abbreviato conla sigla MC) di KLOE.

4.2 Metodo d’analisi

Qui di seguito viene riportata una sintesi del metodo d’analisi:

1. Procedura di identificazione di un KL a partire dal KS che decade nell’emisferoopposto, denominata “KL tag”.Tale procedura introduce un effetto detto “tag bias”.

2. Ricostruzione dei decadimenti carichi del KL.

3. Estrazione del segnale di rigenerazione attraverso:

• una selezione sulla massa invariante delle due tracce di decadimentodel KL;

• una selezione sulla differenza in modulo degli impulsi ricostruito dalletracce e quello del KL.

4. Fit delle distribuzioni spaziali in raggio e raggio trasverso.

5. Correzione del numero ottenuto dal fit con il “tag bias”.

6. Valutazione delle efficienze di:

• tracciamento;

• ricostruzione di vertice;

• selezione in Minv e ∆|p|.

47

48 CAPITOLO 4. ANALISI DEI DATI

che compaiono nella formula della probabilita per gli eventi di rigenerazione.

7. Le efficienze vengono messe in relazione ai dati per mezzo della proceduradescritta in seguito.

4.3 Il KL tag

Il KL tag e una procedura usata per assegnare eventi al canale φ → KS KL

attraverso l’identificazione di un decadimento KS → π+ π−. Tale identificazionepermette anche di determinare la direzione di volo del KL emesso nell’emisferoopposto del rivelatore.

Questi decadimenti KS → π+ π− vengono selezionati con le seguenti richieste:

• esistenza del vertice associato a due tracce di curvatura opposta entro il volumefiduciale cilindrico di raggio e lunghezza rispettivamente:

ρ =√

x2 + y2 < 10 cm |z| < 20 cm

centrato nella posizione nominale della φ, xφ, ottenuta run-by-run dagli eventiBhabha

• massa invariante delle due tracce entro 5 MeV dalla massa del KS:

M2inv = E2

tot − |ptot|2 492.7 < Minv < 502.7 MeV

nell’ipotesi di massa del pione carico:

ptot = p+ + p−

Etot =√

p2+ +m2

π +√

p2− +m2

π

• selezione sull’impulso totale dei due pioni: deve trovarsi entro 10 MeV dalvalore atteso P ∗ previsto dalla cinematica del decadimento a due corpi della φ;cioe:

|P ∗tot − P ∗| < 10 MeV

dove (vedi appendice A.2):

P ∗ =(s

4−M2

K0

)1/2

con il valore della√s determinato run-by-run da eventi Bhabha, e P ∗

tot e ilmodulo dell’impulso totale del KS nel sistema del centro di massa della φcalcolato a partire dalle sue tracce di decadimento.

La miglior stima dell’impulso del KS, pKS, viene ottenuta dalla cinematica del

decadimento φ→ KSKL, usando la direzione del KS ricostruita dagli impulsi misu-rati delle tracce dei π+π− e dal valore noto dell’impulso della φ, pφ. Questo perchele componenti dell’impulso della traccia del pione lungo la linea di volo del KS el’angolo di apertura tra le tracce dei pioni sono in qualche modo anticorrelate nella

4.3. IL KL TAG 49

ricostruzione del vertice del KS, ma questa correlazione non influisce sull’accuratez-za della determinazione della direzione del KS. In figura 4.1 (a) si puo notare ladifferenza tra il valore ricostruito dell’impulso pKS

e il valore vero come ottenutoda MC, con pKS ,rec calcolato da entrambi gli impulsi delle tracce π+π−, pKS ,momenta,e dalla direzione del KS rispetto all’impulso della φ, pKS ,boost. La risoluzione sul-l’impulso del KS ottenuto in questo modo e molto sensibile alla massa del KS: lafigura 4.1 (b) mostra la distribuzione di pKS ,momenta − pKS ,boost ottenuta usando ivalori del PDG [5] e di KLOE [32] per la massa del kaone neutro:

MK0 = (497.648 ± 0.022) MeV/c2 (PDG [5]); (4.1)

MK0 = (497.583 ± 0.005stat ± 0.020syst) MeV/c2 (KLOE [32]). (4.2)

La differenza nel valor medio dell’impulso ricostruito e di circa 0.6 MeV.

0

2500

5000

7500

10000

12500

-15 -10 -5 0 5 10 15

pKS ,rec − pKS ,MC (MeV)

(a)

0

5000

10000

15000

-15 -10 -5 0 5 10 15

pKS ,momenta − pKS ,boost (MeV)

(b)

Fig. 2. (a) Distribution of the difference between the reconstructed value of pKSand the

true value as obtained from Monte Carlo, with pKS ,rec determined from the both themomenta of the π+π− tracks, pKS,momenta (solid red line), and from the KS directionwith respect to the φ momentum, pKS,boost (solid black line). (b) pKS ,momenta−pKS ,boost

using the value of the neutral kaon mass from the PDG (solid red line) and the valuemeasured by KLOE (solid black line).

4.1 Extrapolation of tracks from KS decay to the calorimeter

Successful calculation of pKLis the minimal requirement for a KL tag. However,

we seek to obtain additional information using the KL tag: the event t0, andwhether or not the clusters from the KS unambiguously satisfy the calorimetertrigger.

To determine the event t0, each of the tracks from the KS vertex are extrapolatedto the calorimeter. The tracks are first organized into “trees,” defined as a seriesof “branches” connected by vertices. If a tree has only one branch, that branch isanalytically extrapolated to its first intersection with the calorimeter surface. Ifa tree has exactly two branches, the extrapolation is performed from the secondbranch if the topology is identified as a π-µ kink, i.e., if the missing momentumat the vertex is greater than 10 MeV and the squared mass of the secondary trackis within 1000 MeV2 of m2

µ, calculated assuming the parent particle is a pion andthe missing mass is zero. These criteria for the identification of π-µ kinks arejustified in Ref. 7. If the tree has two branches and these criteria are not satisfied,or if the tree has more than two branches, the extrapolation is performed fromthe first branch.

In this analysis, two track-cluster residuals are defined for the purposes of track-to-cluster association: dTCA, the distance from the extrapolated impact point onthe calorimeter to the cluster centroid; and d⊥

TCA, the component of this distancein the plane transverse to the momentum of the track at impact.

6

Figura 4.1: (a) Distribuzione della differenza tra il valore ricostruito dell’impulsopKS

e il valore vero come ottenuto da MC, con pKS ,rec calcolato dagli impulsi delletracce π+π−, pKS ,momenta (in rosso), e dalla direzione del KS rispetto all’impulsodella φ, pKS ,boost (in nero). (b) Distribuzione di pKS ,momenta − pKS ,boost usando ilvalore della massa del K0 dal PDG [5] (in rosso) e il valore misurato da KLOE [32](in nero).

La posizione del punto di produzione della φ, xφ, viene determinata come il puntodi minimo approccio all’impulso del KS, propagato all’indietro dal vertice del KS,alla linea del fascio. La linea di volo del KL viene quindi costruita dall’impulsodel KL, pKL tag = pφ − pKS

, e dalla posizione del vertice di produzione, xφ. D’orain poi si denotera l’impulso pKL tag solo con pKL

.Questa procedura non e perfetta, perche l’efficienza di “tagging” dipende debol-

mente dal modo di decadimento del KL. Per correggere questo effetto, si definisce il“tag bias” [30] per la rivelazione dei decadimenti del KL nello stato finale k come ilrapporto dell’efficienza di “tagging” per il decadimento KL → k nel volume fiducialesull’efficienza di “tagging” totale, determinata senza guardare all’evoluzione del KL.Il “tag bias” per il canale k e dunque:

εtagk/εtagtot

.

La correzione per il “tag bias” nel nostro caso vale meno dell’1%.


4.4 Impulso e massa invariante del KS

Nelle figure 4.2 e 4.3 vengono riportate la distribuzione del modulo dell’impulsototale del KS nel centro di massa della φ, e la distribuzione della massa invariante.Entrambe le distribuzioni hanno un picco intorno a |P ∗

tot| ' 110 MeV e alla massadel KS, e sono state fittate con due gaussiane piu una costante. Se piu di un verticesoddisfa questi criteri, quello piu vicino alla posizione nominale del vertice della φviene identificato come il KS.

In totale con questa selezione si trovano N = 120 907 264 KS.

4.5 Vertice di decadimento della φ

Prima di guardare nell’altro emisfero del rivelatore per trovare il KL, e necessarioricostruire il vertice di decadimento della φ. Poiche le dimensioni trasversali delfascio sono molto piu piccole di quella longitudinale, possiamo ipotizzare che l’in-certezza maggiore nel determinare la posizione di questo vertice sia proprio dovutaa quest’ultima. Il punto di decadimento, come detto in precedenza, e calcolato co-me il punto di minimo approccio tra la direzione dell’impulso del KS e l’asse deifasci. In figura 4.4 sono riportate le distribuzioni delle coordinate del vertice della φ,determinate da eventi Bhabha.

4.6 Lunghezza di decadimento del KS

Noto il punto di decadimento e di produzione del KS, ci possiamo calcolare la sualunghezza di decadimento:

λS = γβcτS (4.3)

In figura 4.5 e riportata la lunghezza di decadimento del KS calcolata come segue:

Ls =~ps · ~q|~ps|

.

Le quantita ~ps e ~q rappresentano rispettivamente il vettore impulso delKS e il vettorecongiungente il vertice della φ con il vertice del KS, come mostrato in figura 4.6.Tale segnatura e stata eseguita per ovviare a problemi di ricostruzione di vertice.

4.7 Distribuzione angolare

A causa della conservazione dell’elicita nelle interazioni elettromagnetichead alte energie, la φ viene prodotta in uno stato di momento angolare|S, Sz〉 = |1,±1〉, con z asse di interazione dei fasci. Dunque i mesoni scalari, suoiprodotti di decadimento, hanno una distribuzione angolare proporzionale al moduloquadro dell’armonica sferica:

Y±1(cos θ∗, φ∗) = ∓(3/8π)1/2 sin θ∗e±iφ∗

,

4.7. DISTRIBUZIONE ANGOLARE 51

Figura 4.2: Impulso nel centro di massa della φ.

Figura 4.3: Massa invariante π+π−.


Figura 4.4: Distribuzione dei vertici ricostruiti della φ.

con θ∗ e φ∗ angoli polare e azimutale rispettivamente. La distribuzione angolarerisulta percio in una dipendenza da sin2 θ∗:

dN

dΩ∗=

dN

dφ∗ d cos θ∗∝ sin2 θ∗, (4.4)

come si puo vedere nella distribuzione 4.7.

4.8 Ricostruzione dei decadimenti del KL

La scelta delle tracce di decadimento del KL viene eseguita in questo modo:

1. Tutte le tracce nella camera, dopo aver escluso quelle provenienti dal decadi-mento del KS, vengono estrapolate ai loro punti di minimo approccio (PCA 1)alla linea di volo del KL.Ogni traccia puo essere estrapolata in quattro modi possibili (vedi fig. 4.8): inognuno dei due sensi a partire da entrambe le estremita; e importante consi-derare tutte e quattro le possibilita. Anche se viene scelta l’estremita correttadella traccia, e possibile trovare il PCA alla linea di volo del KL ad una lun-ghezza di estrapolazione negativa, cioe lungo la traccia ricostruita stessa, dalmomento che tale linea di volo viene ricostruita con risoluzione finita.

1Point of Closest Approach.

4.8. RICOSTRUZIONE DEI DECADIMENTI DEL KL 53

Decay Length of the Ks

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

x 10 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Entries 120907264

Figura 4.5: Lunghezza di decadimento segnata del KS.

Figura 4.6: Segnatura della lunghezza di decadimento del KS.


Figura 4.7: Distribuzione angolare dndθ∗

.

Figura 4.8: Modi diversi di estrapolazione di una traccia.


2. Per ogni estremo della traccia si sceglie il verso di estrapolazione che minimizzala distanza dc tra il PCA e la linea di volo del KL.

3. Fra i due estremi scelgo quello che ha lunghezza di estrapolazione al PCA lcminore. Per tutte le quattro estrapolazioni possibili, se la posizione del PCA,xc, si trova all’esterno del volume della camera a deriva (cioe con ρ > 195 cmoppure |z| > 165 cm), o si trova nello stesso emisfero del KS (cioe xc ·pKL

< 0),quell’estrapolazione viene esclusa dal conteggio.

4. Per ogni traccia candidata per cui si e scelta l’estrapolazione si calcolano:

• xc,

• l’impulso pc della traccia in xc,

• la distanza di minimo approccio dc,

• la lunghezza di estrapolazione lc.

5. A questo punto e ancora possibile avere piu di una traccia candidata per ognisegno di carica, vi e possibilita di confusione a causa dei decadimenti successividel KS e del KL.Si fa uso delle informazioni topologiche per organizzare le tracce candidate inalberi di decadimento, al fine di avere una sola traccia per ogni segno di carica;per ogni candidata conosciamo le variabili xc, pc, dc, lc.

6. La risoluzione su dc e dovuta a:

• qualita di estrapolazione,

• risoluzione sull’angolo con la linea di volo del KL.

RT (cm)

d c (cm

)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

RT (cm)

l c (cm

)

-20

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Fig. 8. Distributions of (a) dc and (b) lc vs. rxy, for true tags, obtained with the MonteCarlo. Logarithmic scales are used for the third axis in each plot.

of events with no tags is not substantially increased.

For each tag candidate, we obtain the point of closest approach to the KL line-of-flight, xc. We then compute the distance of closest approach, dc, the momentumpc of the track at xc and the extrapolation length, lc. The most discriminatingvariable is dc. For true tags, the resolution on dc is determined by the quality ofthe extrapolation (or equivalently, the reconstruction) of the track which definesthe tag, and by the finite resolution on the determination of the tagging line. Thislatter is an angular effect, and so we expect the distribution in dc to broaden forKL decays at increasing distance from the origin. In Fig. 8(a), we present the two-dimensional distribution of dc vs. rxy for true tags, as obtained with the MonteCarlo. The effect of the finite resolution is prominent. The analogous distributionof lc vs. rxy is presented in Fig. 8(b)

We consider the one “true” tag for each sign of charge to be the tag with thesmallest value of dc. Tracks satisfying dc < arxy + b, with a = 0.03 and b = 3 cm,and −20 cm < lc < 25 cm are accepted as KL decay products. These cuts areindicated in Fig. 8 by red lines.

To improve the reconstruction of KL decays into charged particles the KLOEvertex-reconstruction algorithm vtxfin has been used for events with two goodtracks from a KL decay. The intrinsic vtxfin efficiency for the reconstructionof a true KL decay vertex using two tracks satisfying the cuts described aboveis quite high. Much of the vertex-reconstruction inefficiency at the initial datareconstruction stage can be ascribed to combinatorial problems in identifyingthe correct tracks to associate to the vertex in the first place. With these con-siderations in mind, we adopt the following approach. Selection of the positiveand negative tracks from the KL decay proceeds as described above. If we find

15

Figura 4.9: Distribuzioni di (a) dc e (b) lc in funzione del raggio trasverso ρ, per tagveri, ottenuti con il MC.

In figura 4.9 sono riportate le distribuzioni di dc e lc in funzione del raggiotrasverso ρ, per tag veri, ottenuto da MC.Le tracce che soddisfano le condizioni:

• dc < a ρ+ b , con a = 0.03 e b = 3 cm


• −20 cm < lc < 25 cm

vengono prese come prodotti di decadimento del KL.

7. Per ogni segno di carica delle tracce restanti dopo i tagli, si sceglie quella con dc

minore.

8. Con le due tracce restanti si ricostruisce il vertice.

Dopo la ricostruzione del vertice di KL restano 34 831 660 eventi. L’efficienzadi ricostruzione di un decadimento del KL con la selezione descritta, dipende dalcanale di decadimento k del KL:

εrec k =Nrec k

Ntag k,

dove Nrec k e il numero di decadimenti k del KL con due buone tracce che formanoun vertice, mentre Ntag k e il numero di KL “taggati” nel canale k. L’analisi argo-mento di questa tesi richiede la conoscenza dell’efficienza di ricostruzione di eventidi rigenerazione, che viene calcolata da MC e poi corretta con misure di controllobasate sui dati, come descritto nel paragrafo successivo.

4.8.1 Efficienza di ricostruzione

L’efficienza di ricostruzione e pari al prodotto dell’efficienza di tracciamento perl’efficienza di ricostruzione di vertice condizionata alla ricostruzione di due tracce disegno opposto:

εrec = εtrk · εvtx. (4.5)

Entrambe le efficienze variano a seconda della regione del rivelatore in cui deca-de il KL, inoltre l’efficienza di tracciamento dipende dall’impulso delle tracce daricostruire.

Le efficienze di tracciamento vengono studiate nei dati, selezionando campionimolto puri di:

1. decadimenti KL → π±e∓ν (che d’ora in poi verranno indicati come Ke3), percoprire le regioni di impulso p ? 100 MeV, selezionati attraverso il tempo divolo degli elettroni, come sara spiegato fra breve;

2. decadimenti KL → π+π−π0 per coprire le regioni a impulso piu basso:p > 100 MeV, selezionati ricercando due fotoni con massa invariante pari aquella del π0.

In entrambi i casi il decadimento puo essere selezionato a meno di una traccia carica,della quale e possibile determinare l’impulso a partire dagli altri prodotti di deca-dimento. Andando poi a verificare l’effettiva ricostruzione di tali tracce e possibiledeterminare l’efficienza di singola traccia in funzione dell’impulso.

Per quanto riguarda la dipendenza delle efficienze dalla regione del rivelatore,restringeremo il nostro studio alle zone intorno ai rigeneratori. Infatti, come si puovedere in fig. 4.10, dove e mostrata la distribuzione da MC del raggio trasverso ρ


Figura 4.10: Distribuzione da MC del raggio trasverso ρ per i rigenerati.


per i rigenerati, tali decadimenti sono concentrati intorno alle tre superfici: la pareteinterna della camera, la beam pipe ed il berillio. Anticipiamo che il MC riproducebene le forme, ma non il numero di eventi di rigenerazione, cosicche questo graficoha valore puramente indicativo, in quanto il rapporto tra il numero degli eventi neipicchi non e consistente con i dati. A partire dunque da questo grafico, si definisconodue regioni per il calcolo delle efficienze:

• DC: 21 < ρ < 30 cm, |z| < 160 cm;

• BP-BE: 0 < ρ < 15 cm, |z| < 15 cm.

Inoltre la distribuzione in impulso dei pioni prodotti dalla rigenerazione del KL ecirca la stessa dei prodotti del decadimento Ke3, come si vede dalla fig. 4.11: quindi

Figura 4.11: Distribuzione degli impulsi delle tracce positive da MC per i rigenerati,per i Ke3 e per i π+π−π0 (per le tracce negative e analoga).

e sufficiente utilizzare i decadimenti Ke3 per calcolare la correzione all’efficienza diricostruzione dei rigenerati.

Gli eventi Ke3 vengono selezionati identificando gli elettroni attraverso il tempodi volo. La traccia dell’elettrone candidato viene estrapolata al calorimetro e viene


applicata la procedura di associazione “track-to-cluster”, che verra d’ora in poi de-notata con TCA 2. Il tempo di volo atteso per un elettrone di impulso pc al puntodi minimo approccio alla linea di volo del KL, xc, e:

te exp =L

βec

dove βe = |pc|/Ee con Ee = (p2c + m2

e)1/2, ed L e la lunghezza della traiettoria

dell’elettrone dal punto xc al calorimetro. Il tempo di volo atteso del KL e dato da:

tKL exp =|xφ − xc|βKL

c

dove la coordinata xφ viene determinata come descritto nel paragrafo 4.3. I decadi-menti Ke3 vengono identificati dalla richiesta:

∆te = |tcl trk − (te exp + tKL exp)| < 0.5 ns. (4.6)

La purezza di questo campione di Ke3 e di circa il 95%. Il fondo restante e dovutoprincipalmente ai decadimenti Kµ3. L’impulso del pione “mancante” puo essere de-dotto dall’energia mancante, usando gli impulsi del KL e della traccia dell’elettronecandidato, pc:

Emiss =√

p2KL

+m2KL

−√

p2c +m2

e.

Il valore dell’impulso del pione dipende linearmente dall’energia mancante, con unadistribuzione di ampia larghezza dovuta alla presenza del neutrino non rivelato,come possiamo notare dalla figura 4.12:

pπ± = a + b Emiss.

E’ stato realizzato un fit alla distribuzione bidimensionale di Emiss − |pπ±| perdeterminare i valori dei coefficienti a e b. I valori ottenuti sono:

a = −150 MeV/c e b = 0.95 c−1.

Per la stima delle efficienze di tracciamento si valutano, per dati e MC, le efficienzecondizionate di trovare una seconda traccia di segno opposto alla prima ricostruita:

εcond =N2 tracce

N1 traccia

dove N1 traccia e il numero di eventi nel quale c’e una traccia di decadimento diun certo segno, ed N2 tracce e il numero di eventi nei quali ci sono due tracce didecadimento di segno opposto.

In figura 4.13 sono riportate le efficienze condizionate in funzione dell’impulsodelle tracce per dati e MC, in alto calcolata per tracce positive e in basso per traccenegative, nelle regioni fiduciali delle superfici rigeneratrici. Il rapporto tra questeefficienze per dati e MC (calcolato separatamente nelle due regioni) vale:

c±(p) =εcond,±DATI (p)

εcond,±MC (p)

, (4.7)


Figura 4.12: Impulso della traccia del pione positivo, |pπ+|, in funzione dell’energiamancante Emiss, negli eventi Ke3. Il grafico per tracce negative e analogo.


Figura 4.13: Efficienze di tracciamento condizionate in funzione dell’impulso delletracce in MeV, dati in nero e MC in rosso.


Figura 4.14: Rapporto tra le efficienze di tracciamento condizionate, εcondDATI/ε

condMC , in

funzione dell’impulso delle tracce.


ed e mostrato in figura 4.14, a sinistra calcolato nella regione della parete internadella camera e a destra nella regione di beam pipe e berillio. Tale rapporto sarausato per correggere la stima MC per l’efficienza di ricostruzione, se ne calcola ilvalor medio per tracce positive e negative cosı:

〈c±〉 =

Nbin∑

i=1

c±(pi) · n±(pi)

Nbin∑

i=1

n±(pi)

, (4.8)

dove n±(pi) rappresenta il numero di tracce positive o negative aventi un determinatoimpulso.

La correzione totale all’efficienza MC sara dunque:

〈c〉 = 〈c+〉 · 〈c−〉. (4.9)

Infine si calcola l’efficienza di ricostruzione per i dati:

εDATI = εMC · 〈c〉 = εMC · 〈c+〉 · 〈c−〉. (4.10)

I risultati ottenuti sono schematizzati nella tabella 4.1: ove le efficienze MC sono

DC BP-BE

〈c〉 = 〈c+〉 · 〈c−〉 (99 ± )% (98 ± )%εMC (72.0 ± 0.2)% (71.0 ± 0.3)%

εDATI = εMC · 〈c〉 (71 ± )% (70 ± )%

Tabella 4.1: Efficienze di ricostruzione per i dati corrette.

state calcolate facendo il rapporto tra il numero di rigenerati che hanno il vertice diKL ricostruito e il numero di rigenerati che hanno il vertice vero generato da MCall’interno delle regioni DC e BP-BE.

In particolare nella tabella 4.2 sono riportati i valori delle efficienze di ricostru-zione MC per i decadimenti predominanti del KL, includendo anche i rigenerati, perconfronto.

Per completare il calcolo dell’efficienza di ricostruzione totale definita nell’eq.(4.5) ci serve ancora l’efficienza di ricostruzione di vertice: e il rapporto frail numero di eventi con almeno due buone tracce di decadimento del KL di caricaopposta che formano un vertice e il numero di eventi con almeno due buone tracce didecadimento del KL di carica opposta. Come mostrato nella figura 4.15, l’efficienzadi vertice e prossima al 100% [30], in particolare anche nelle regioni che stiamoanalizzando, e i valori ottenuti da MC sono in accordo con quelli ricavati dai datientro lo 0.1%.

Nella nostra selezione sui dati l’efficienza di ricostruzione vale dunque:

• DC: 71%;

• BP-BE: 70%.

2Track-to-Cluster Association.


Canali εrecMC (DC) εrec

MC (BP-BE)

1 KL → π+π−π0 0.4961 ± 0.0006 0.4558 ± 0.00052 KL → π+π− 0.758 ± 0.004 0.700 ± 0.0043 KL → π±e∓ν 0.6757 ± 0.0003 0.6820 ± 0.00034 KL → π±µ∓ν 0.6593 ± 0.0004 0.6556 ± 0.00035 KL → KS → π+π− 0.720 ± 0.002 0.710 ± 0.003

Tabella 4.2: Efficienza di ricostruzione MC per i decadimenti principali del KL.

Figura 4.15: A sinistra: Efficienza di ricostruzione di vertice in funzione del raggiotrasverso ρ per i dati (in blu) e per il MC (in rosso). A destra: Rapporto DATI/MCdelle efficienze di ricostruzione di vertice in funzione del raggio trasverso ρ.

4.9 Analisi dei decadimenti carichi del KL

I modi di decadimento carichi del KL possono essere riconosciuti utilizzando le

variabili cinematiche∣

∣

∣

~Pmiss

∣

∣

∣e M2

miss definite come segue:

|Pmiss| = |pKL− p1 − p2| (4.11)

M2miss = E2

miss − |Pmiss|2 (4.12)

dove l’energia mancante Emiss viene calcolata nell’ipotesi che le masse delle particellecariche siano pari alla massa del pione:

m1 = m2 = mπ±

Nella figura 4.16 e riportato il grafico di correlazione tra le due variabili, per dati eMC (quest’ultimo differenziato per i decadimenti principali del KL), in cui si possononotare diverse bande popolate:

• la banda del decadimento KL → π+ π− π0, corrispondente allaregione M2

miss = m2π0.

La distribuzione in massa mancante per M 2miss > 0 e mostrata in figura 4.17;

facendo un fit con due gaussiane ed una costante si ottiene per la massa del π0

4.9. ANALISI DEI DECADIMENTI CARICHI DEL KL 65

Figura 4.16: Grafico di correlazione: Pmiss vs M2miss; (a) dati, (b) MC differenziato

per i decadimenti con branching ratio maggiore.


Figura 4.17: Distribuzione della massa mancante per M 2miss > 0.


il valore:

mπ0 ' 134.96 MeV/c2, (4.13)

con larghezze per le due gaussiane:

σ1 ' 0.87 MeV/c2 e σ2 ' 1.95 MeV/c2.

• la banda del decadimento KL → π±e∓ν, corrispondente allaregione M2

miss < 0.L’ipotesi della massa del pione nel caso dei decadimenti semileptonici porta asovrastimare l’energia delle particelle (me mπ, mµ <mπ), con conseguenteenergia mancante negativa;

• la banda del decadimento KL → π±µ∓ν, corrispondente all’altraregione M2

miss < 0;

• la regione dei decadimenti CP violanti KL → π+ π−, che sono concentratinella regione corrispondente a |Pmiss| = 0, M2

miss = 0;

• la regione dei processi elastici di rigenerazione KL → KS → π+ π−, checorrispondono ad un’energia mancante Emiss = 0 e ad un impulso mancante

Pmiss 6= 0, cioe popolano la banda |Pmiss| = (−M2miss)

1/2.

Il grafico appena mostrato ci consente di osservare il comportamento dei vari deca-dimenti, ma non ci consente di selezionare in maniera ottimale i rigenerati. Si puoselezionare il decadimento KL → π+ π− π0 imponendo:

M2miss > 0.

E’ stata studiata la massa invariante dei due fotoni emessi nel rivelatore, la cui di-stribuzione e mostrata in fig. 4.18. Come ci si aspetta, la distribuzione ha un piccointorno alla massa del π0. In figura 4.19 e riportata la distribuzione in scala logarit-mica della massa mancante Mmiss effettuando una selezione sulla massa invariantedei 2γ nel range (80−180) MeV. Come ci si aspetta, ha un picco intorno alla massadel π0.

Un modo alternativo per riconoscere i decadimenti del KL e quello di imporreper i decadimenti KL → πlν la condizione Mmiss = 0 e calcolare la massa incognitaMx dall’equazione:

Mmiss(pKL,p1,p2, mπ,Mx) = 0. (4.14)

Si calcolano due soluzioni facendo l’ipotesi della massa del π alternativamente sulledue tracce cariche, e si trova

Mx = me, mµ, mπ

in ognuno dei due casi. In figura 4.20 e riportato il grafico di correlazione di Mx1 infunzione di Mx2:


Figura 4.18: Distribuzione della massa invariante dei 2γ in MeV.

Figura 4.19: Distribuzione della massa mancante Mmiss in MeV con selezione sullamassa invariante dei 2γ.


• gli eventi KL → π+π− si collocano nella regione

M2x1 = M2

x2 = m2π ' 19500 MeV2,

in quanto le due soluzioni coincidono;

• i decadimenti Ke3 sono concentrati nella banda

M2x1 = M2

x2 ' 0 MeV2,

come atteso (m2e ' 0.26 MeV2);

• i decadimenti Kµ3 popolano la banda

M2x1 = M2

x2 ' 11200 MeV2,

come atteso (m2µ ' 11164 MeV2).

Purtroppo questo metodo non puo essere usato per identificare gli eventi di rige-nerazione, in quanto imporre Mmiss = 0 implicherebbe Emiss = Pmiss, ipotesi nonverificata.

Figura 4.20: M 2x versus M2

x in (MeV)2.


4.10 Selezione del segnale di rigenerazione

Gli eventi di rigenerazione sono riconoscibili dalle seguenti caratteristiche:

1. La massa invariante delle tracce di decadimento del KL e pari alla massa diquest’ultimo:

M reginv = MKL

.

Purtroppo anche la massa invariante degli eventi CP violanti ha la stessacaratteristica.

2. La differenza in modulo dell’impulso ∆|p|:

∆|p| = |pKL| − |p1 + p2|

vale circa zero nel caso di un evento di rigenerazione. Questo perche il KL

scattera su un nucleo in modo elastico (una piccola frazione di impulso vieneassorbito dal nucleo che rincula), rigenera e cambia la direzione del suo moto.Il modulo dell’impulso del KL resta invariato se la massa del nucleo e infini-tamente piu grande della massa del K (mN mK). Gli eventi CP violantihanno la stessa caratteristica: ∆|p| = 0 con la differenza pero che vengonoemessi tutti in avanti.

3. I rigenerati compaiono in maggior misura sulle superfici rigeneratrici comesi puo vedere nel grafico 4.21.

Per selezionare un campione puro il piu possibile di eventi di rigenerazione sieffettuano alcune selezioni sulle variabili appena descritte:

• selezione in massa invariante;

• selezione in ∆|p|.

I tagli prima in massa invariante e successivamente in ∆|p| sono stati scelti “aocchio”, in tempi successivi si fara una scelta delle bande opportuna.

4.10.1 Selezione in massa invariante

Per selezionare gli eventi rigenerati si richiede una massa invariante associata alledue tracce cariche provenienti dal vertice di KL pari alla massa del mesone K neutro.In figura 4.22 e riportata tale distribuzione, in cui si possono notare due picchi ailati della distribuzione principale (costituita essenzialmente da eventi semileptonici),quello a sinistra e dovuto ai decadimenti KL → π+π−π0, mentre quello piccolo adestra e dovuto agli eventi di rigenerazione e a quelli che violano CP. E’ statorealizzato un fit nella zona di interesse con due gaussiane ed un polinomio di terzogrado, come mostrato in figura 4.23, dando luogo a questo risultato:

Minv = 497.6 MeV σ ' 0.97 MeV.

4.10. SELEZIONE DEL SEGNALE DI RIGENERAZIONE 71

rho

0500

100015002000250030003500

x 10 2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Entries 34831660

cm

raggio

0

500

1000

1500

2000

2500

x 10 2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Entries 34831660

cm

Figura 4.21: Distribuzioni in raggio trasverso ρ e raggio r del campione di KL

ricostruiti per i dati.


Figura 4.22: Distribuzione della massa invariante nell’ipotesi di massa del pionecarico.

Figura 4.23: Zoom della distribuzione di massa invariante intorno alla massa delKL.


E’ stata dunque fatta un’opportuna scelta di una banda in massa invariante entro5 σ dal valor medio, cioe

selezione ∆m = (497.5 ± 5) MeV

e di opportune bande laterali larghe 5 MeV anch’esse, per stimare l’errore sul fondo;si parlera in dettaglio di questo procedimento nel prossimo capitolo. Dopo questaselezione restano 559 023 eventi.

In figura 4.24 sono riportate invece le distribuzioni per dati e MC dei vertici diKL

Figura 4.24: Distribuzioni di ρ ed r per dati (nero) e MC senza rigenerati (rosso).

in raggio e raggio trasverso, in cui si notano i picchi sulle superfici dei rigeneratori.Nel grafico da MC non e presente la componente di rigenerazione, notiamo infattil’assenza del picco. Il fondo residuo e costituito essenzialmente da decadimentisemileptonici, e in minor misura, da quelli CP violanti.

Il MC riproduce bene la forma, ma non il numero di eventi di rigene-razione, come si puo vedere dalla distribuzione di ρ in fig. 4.25.

4.10.2 Selezione in ∆|p|Abbiamo detto in precedenza che nei materiali del rivelatore il fenomeno dellarigenerazione incoerente e predominante rispetto a quella coerente.

Il fenomeno che stiamo studiando si comporta percio come un processo di scatte-ring elastico su nuclei: il valore assoluto dell’impulso pKL

del KL e il valore assolutodell’impulso totale delle tracce uscenti dal vertice di decadimento del KL devonocoincidere, a meno di una piccola frazione di impulso assorbita dal nucleo su cuiscattera il KL.

Per i decadimenti CP violanti KL → π+ π− questi due impulsi, oltre ad averelo stesso modulo, devono avere anche la stessa direzione. In figura 4.26 si puo vederela distribuzione per la selezione in massa invariante di questa differenza:

∆|p| = |pKL| − |p1 + p2| .


Figura 4.25: Distribuzione di ρ dati-MC differenziato per decadimenti all’internodella selezione in massa invariante.


Figura 4.26: Differenza dei moduli degli impulsi per i dati. Notare l’asimmetria delpicco dovuta all’impulso del KL ceduto al nucleo bersaglio.


Gli eventi CP violanti producono un picco simmetrico nella distribuzione ∆|p|, men-tre gli eventi di rigenerazione producono un picco asimmetrico, dovuto all’impulsoceduto al nucleo bersaglio. Per ridurre ulteriormente il fondo dovuto ai decadimentisemileptonici e stata fatta la selezione:

−10 < ∆|p| < 20 MeV/c.

Selezionato il segnale in questo modo, restano 272 958 eventi. Nella fig. 4.27 e

Figura 4.27: Distribuzione di ∆|p| da MC differenziata per decadimenti.

riportata anche la distribuzione MC di ∆|p|, differenziata per i decadimenti prin-cipali del KL, su scala logaritmica per facilitarne il riconoscimento. I CP violantirappresentano una piccola percentuale del fondo, che e costituito in maggior misurada Ke3 e da Kµ3, ad eccezione della zona sotto il picco.

Nelle figure 4.29 e 4.28 sono riportate rispettivamente le distribuzioni spaziali delvertice nel piano xy e nel piano ρz, per i dati (le distribuzioni MC sono analoghe);sono ben visibili le superfici dei rigeneratori: la beam pipe sferica e la parete internadella camera a deriva. In fig. 4.30 sono riportate per i dati le distribuzioni delraggio e del raggio trasverso, nelle quali si possono facilmente notare i picchi dellarigenerazione.


Figura 4.28: Distribuzione spaziale del vertice di KL nel piano xy.

Figura 4.29: Distribuzione spaziale del vertice di KL nel piano ρz.


Figura 4.30: Distribuzione per i dati del raggio trasverso (in alto) e del raggio (inbasso) per il segnale.

4.11. I DECADIMENTI KL IN π+π− 79

4.11 I decadimenti KL in π+π−

I decadimenti che violano CP hanno alcune caratteristiche simili ai rigenerati:

• stessa massa invariante: MCPinv = MKL

;

• differenza ∆|p| ' 0;

ma differiscono per l’angolo θ tra la direzione di volo del KL e la direzionericostruita risultante delle sue tracce di decadimento, come mostrato in fig. 4.31.Per selezionare gli eventi CP violanti dal nostro campione e stata usata la variabile

Figura 4.31: Angolo θ tra la linea di volo del KL e la direzione ricostruita dalletracce

cinematica Qmiss [30], correlata all’angolo θ:

Qmiss =√

E2miss + p2

miss; (4.15)

e la variabile migliore per effettuare questa selezione. Nelle figure 4.32 e 4.33 sonoriportati i grafici bidimensionali per dati e MC (differenziato per decadimenti) diQmiss in funzione di Minv −MK0 ; si possono facilmente riconoscere i decadimentiprincipali del KL:

• i decadimenti semileptonici Ke3 e Kµ3 popolano le bande rispettivamente verdee blu;

• i decadimenti CP violanti sono concentrati nella zona in rosso, a basso Qmiss;


Figura 4.32: Qmiss versus (Minv −MK0) per i dati.

Figura 4.33: Qmiss versus (Minv −MK0) da MC differenziato per decadimenti.


• gli eventi di rigenerazione popolano la banda verticale rosa, centrata in Minv 'MK0.

La distribuzione della variabile Qmiss per i dati e riportata in figura 4.34, con unozoom in figura 4.35. Gli eventi CP violanti si concentrano nella zona a basso Qmiss,come si puo facilmente notare nella fig. 4.36, distribuzione presa da MC, differenziataper i decadimenti principali.


Figura 4.34: Distribuzione della variabile Qmiss per i dati.

Figura 4.35: Zoom di Qmiss per i dati nella zona ad alta concentrazione di CPviolanti.


Figura 4.36: Distribuzione di Qmiss da MC differenziato per decadimenti.


Capitolo 5

Risultati

5.1 Sezione d’urto di rigenerazione

Il fine di questa analisi e quello di calcolare la sezione d’urto di rigenerazione, chevale:

σ =N/Ni

nt∆xt

, (5.1)

dove Ni e il numero di particelle del fascio incidente (nel nostro caso i KL), N eil numero di particelle rigenerate (i KS), nt = NAρt/At

1 e il numero di bersagliper unita di volume, e ∆xt e lo spessore del bersaglio. Dunque essa dipende dallaprobabilita di rigenerazione e dallo spessore del materiale in esame:

σreg =Preg

nt∆xt. (5.2)

con Preg pari a:

Preg =Nreg

NKL

, (5.3)

dove NKLe il numero di KL che arriva al rigeneratore, che vale:

NKL= N tag

KLe−〈`〉/λL , (5.4)

in quanto bisogna tener conto del fatto che i KL decadono con andamento esponen-ziale prima di arrivare alla superficie rigeneratrice, e la loro lunghezza di decadimentoa DAΦNE, dove vengono prodotti con β ' 0.21, e:

λL ' 343 cm.

La probabilita di avere eventi di rigenerazione va calcolata in maniera differenziataper ogni regione (DC, BP-BE):

Preg =Nreg

NKL

=1

N tagKLe−〈`〉/λL

·Noss

reg

εbiastag εrec εsel

, (5.5)

tenendo conto delle correzioni seguenti:

1NA e il numero di Avogadro, At e ρt sono il peso atomico e la densita del materiale trispettivamente.

85

86 CAPITOLO 5. RISULTATI

• il tag bias εbiastag spiegato nel par. 4.3;

• l’efficienza di ricostruzione del decadimento carico del KL, εrec (vedipar. 4.8.1);

• l’efficienza di selezione del campione arricchito in eventi rigenerati, εsel.

5.2 Fit alla distribuzione spaziale

Il campione arricchito in eventi di rigenerazione viene ottenuto applicando le sele-zioni descritte nel par. 4.10 e segg. Tali eventi si collocano sotto i tre picchi delledue distribuzioni spaziali mostrate in fig. 4.30: contare il numero di eventi sotto ipicchi, tenendo condo della distribuzione del fondo, corrisponde a trovare il numerodi rigenerati rivelati, N oss

reg . A questo scopo si esegue un fit delle distribuzionispaziali: si esegue un fit sulla distribuzione del raggio trasverso ρ per la misurasulla parete interna della camera a deriva, ed un fit combinato in raggio e raggiotrasverso nell’intervallo (0-15 cm) per la misura sul tubo a vuoto e sul berillio con-temporaneamente, questo perche i due picchi sono talmente vicini da sovrapporsinella regione intermedia. Nel fit sono state prese da MC le forme del fondo:

• semileptonico: Ke3 e Kµ3;

• CP violante: KL → π+π−.

Per riprodurre il segnale dei rigenerati bisogna tener conto dei fattori seguenti:

1. distribuzione angolare del KL, proporzionale a sin2 θ∗ (vedi par. 4.7);

2. forma delle superfici rigeneratrici;

3. lunghezza di decadimento del KS (λS);

4. distribuzione angolare dei rigenerati;

non e stato pero possibile calcolare esattamente tutti questi effetti; cosı sono statifatti alcuni tentativi per fittare il picco della distribuzione spaziale con una funzioneanalitica (ad esempio una gaussiana convoluta con uno e due esponenziali, oppuredue gaussiane convolute con un esponenziale, ed altre funzioni): la funzione che si emeglio adattata alla forma del picco e stata quella costituita da due gaussiane.

Nel caso della parete interna della camera a deriva si esegue un fit in raggiotrasverso. Oltre ad usare la forma analitica per riprodurre il picco, nella tecnica di fitsono state usate le distribuzioni del fondo da MC nelle sue proporzioni; solo nel casodella regione della camera (21-30 cm) queste distribuzioni sono state moltiplicateper un coefficiente peso al fine di normalizzare il MC ai dati: dal momento chel’efficienza ε(r, ρ) per dati e MC ha un diverso andamento al variare di ρ, producendoun fit distorto dai residui asimmetrici, per correggere questo effetto sono state usatedelle bande laterali in massa invariante agli estremi del segnale, come mostrato infigura 5.1, facendo dei tentativi per individuare la selezione di banda piu opportuna.Queste bande contengono come fondo predominante quello semileptonico. La sceltadelle bande in MeV e riportata nella tabella 5.1.

5.2. FIT ALLA DISTRIBUZIONE SPAZIALE 87

Figura 5.1: Scelta delle bande laterali in massa invariante.

Figura 5.2: Confronto dati/MC per il fondo delle bande laterali.


banda di segnale 492.5 < Minv < 502.5

bande laterali 1 486.5 < Minv < 491.5(verde) 503.5 < Minv < 508.5

bande laterali 2 481.5 < Minv < 486.5(rosa) 508.5 < Minv < 513.5

bande laterali 3 476.5 < Minv < 481.5(azzurro) 513.5 < Minv < 518.5

Tabella 5.1: Scelta delle bande laterali per lo studio del fondo.

Dopo aver verificato da MC la scelta migliore di bande laterali, per evitarne il piupossibile la contaminazione da eventi di rigenerazione, si e passati alla realizzazionedel fit. La correzione Z(i) e stata calcolata per ogni canale dell’istogramma, e sipuo vedere in fig. 5.2 il confrondo dati/MC per questa banda, e il loro rapporto. Ilrapporto tra le distribuzioni in ρ di dati e MC nelle bande laterali equivale dunqueal rapporto fra le efficienze dati/MC:

Z(i) =ρbl3

dati(i)

ρbl3MC(i)

∼ εdati

εMC.

dove l’apice bl3 sta ad indicare il contenuto delle bande laterali N.3. Con questotermine correggiamo ogni canale i dell’istogramma della distribuzione in ρ del fondoMC che usiamo nel fit:

Ffondo(i) = fbck · [ZCPV(i) + ZKE3(i) + ZKMU3(i)] · Z(i) (5.6)

dove fbck e una costante che rimane un parametro libero del fit.A questo punto si fitta la distribuzione dei dati con la funzione (le due gaussiane

hanno lo stesso centro ρ0):

FMC(i) = N1 exp

−(ρ− ρ0)2

2σ21

+N2 exp

−(ρ− ρ0)2

2σ22

+ Ffondo(i) (5.7)

come mostrato in figura 5.3: si ottiene cosı il numero di eventi di rigenerazione, chedeve essere corretto per le efficienze del taglio scelto, di cui si parlera fra poco.

La tecnica usata per il fit sul tubo a vuoto e sul berillio e stata la stessa, mala dimensione estremamente ridotta dell’intervallo in cui fittare i due picchi (da 0 a15 cm) ha reso necessario il fit combinato contemporaneo di entrambi. Per fittareil picco del berillio in raggio trasverso sono state usate due gaussiane come nel casodella DC, e per fittare il tubo a vuoto nella stessa distribuzione in ρ si e eseguito uncambiamento di variabili:

ρ = r sin θ,

integrando la funzione 5.7 su tutta la distribuzione angolare, pesandola per la di-stribuzione angolare (sin2 θ) del flusso di KL incidenti sul rigeneratore. Un esempiodi fit e riportato in figura 5.4, con i rispettivi scarti in 5.5, nel caso particolare dei


Figura 5.3: DC: Esempio di fit alla distribuzione spaziale in raggio trasverso.

tagli:

(492.5 < Minv < 502.5 MeV) (−10 < ∆|p| < 20 MeV).

I dati sono in nero, il fit e in rosso, il fondo MC e riportato separatamente perdecadimenti come da legenda.

Per quanto riguarda la regione (0-15 cm) si e controllata la consistenza del fitcombinato con il risultato di fit separati in r e ρ, e si e visto che il numero di eventisulla BP non varia in maniera considerevole, mentre il numero di eventi nella regionedel Berillio oscilla notevolmente, a tal punto da richiedere uno studio ulteriore nonsvolto in questo lavoro di tesi. Quindi si e realizzato ugualmente il fit combinato,prendendo solo in considerazione il numero di eventi sulla BP.

Per verificare la stabilita del risultato, si applicano vari tagli in Minv e ∆|p|,mostrati nelle figure 5.6 e 5.7 rispettivamente, e si studia l’andamento della misuraal variare della larghezza del taglio: ci si aspetta un andamento asintotico che puntaal numero corretto per la nostra stima dei rigenerati. Variando i tagli, elencati intabella 5.2 e 5.3, sono stati eseguiti 25 fit per la DC e 25 per la regione BP-BE con lastessa tecnica spiegata in precedenza; tutti i risultati ottenuti, con il relativo errore,sono riportati in figura 5.8 per la DC e in fig. 5.9 per il tubo a vuoto.


Figura 5.4: Fit in raggio trasverso (in alto) e in raggio (in basso) per BP-BE.

Figura 5.5: Residui dei fit in ρ ed r su BP-BE.


Figura 5.6: Successione dei tagli in Minv.

Figura 5.7: Successione dei tagli in ∆|p|.


1 MK0 ± 2.5 495.0 < Minv < 500.02 MK0 ± 5.0 492.5 < Minv < 502.53 MK0 ± 7.5 490.0 < Minv < 505.04 MK0 ± 10.0 487.5 < Minv < 507.55 MK0 ± 12.5 485.0 < Minv < 510.0

Tabella 5.2: Tabella in MeV per i tagli in massa invariante.

1 −40 < ∆|p| < 502 −30 < ∆|p| < 403 −20 < ∆|p| < 304 −10 < ∆|p| < 205 −5 < ∆|p| < 10

Tabella 5.3: Tabella in MeV per i tagli in ∆|p|.

Ci aspettiamo un andamento asintotico che punta al numero vero di rigeneratiquanto piu si allargano i tagli.

Il passo successivo e quello di correggere i risultati ottenuti dividendoli per leefficienze da MC delle selezioni effettuate in Minv e ∆|p| (trascuriamo la correzioneper il tracciamento dal momento che e stata gia analizzata nel paragrafo 4.8.1) nellaregione del rigeneratore, calcolate in questo modo:

εsel =N sel

reg

N totreg

≈ εM · ε∆|p| (5.8)

Tali efficienze MC sono mostrate in fig. 5.10, 5.11 per la camera a deriva e per iltubo a vuoto rispettivamente; gli errori binomiali delle efficienze sono molto piccoli,∼ 10−3.

Si trova che il risultato ottenuto per DC e BP con la correzione dovuta alleefficienze MC non e stabile al variare dei tagli: lo si puo vedere dalle figure 5.12 e5.13.

E’ dunque necessario correggere le efficienze MC con quelle dei dati.

5.2.1 Stima delle efficienze di selezione

L’efficienza per i nostri tagli vale:

εsel ≈ εM · ε∆|p|. (5.9)

Bisogna stimare il valore delle efficienze di selezione in massa invariante e in∆|p|.

Efficienza di selezione in massa invariante

Per stimare εM si cerca di ricostruire la distribuzione in massa invariante dei rigene-rati nei dati stessi, effettuando selezioni per rendere il campione piu ricco possibile


Figura 5.8: Numero di eventi di rigenerazione sulla parete interna della camera alvariare dei tagli in Minv e ∆|p|.

in tali eventi. Si prende in considerazione la finestra 450 − 550 MeV in massa inva-riante: la frazione di rigenerati che cade al di fuori di questa finestra viene calcolatada MC per le tre regioni delle superfici rigeneratrici: in tutti e tre i casi ne rigettia-mo circa l’8%; la correzione che stiamo per calcolare non puo tener conto di questecode, per le quali vale l’efficienza MC, e di cui si valutera il contributo all’erroresistematico.

A questo punto si costruisce la distribuzione della massa invariante nei dati,richiedendo:

• presenza del vertice di KL nella regione del rigeneratore:

– 21 < ρ < 30 cm per la DC,

– 7 < r < 13 cm per la BP,

(si scelgono tagli estesi per rigettare il meno possibile gli eventi di rigenerazio-ne);


Figura 5.9: BP: Numero di eventi di rigenerazione sul tubo a vuoto al variare deitagli in Minv e ∆|p|.

• rimozione degli eventi CP violanti usando la variabile cinematica Qmiss descrit-ta nel par. 4.11:

Qmiss > 10 MeV.

Il taglio in Qmiss viene richiesto perche la massa invariante delle tracce cariche deidue pioni dal KL e uguale a quella dei pioni carichi prodotti di decadimento del KS

rigenerato; la distribuzione angolare dei due decadimenti pero e diversa e legata aQmiss: questa variabile e un utile strumento per selezionare i KL → π+π−.

Il numero di rigenerati che viene rigettato da questo taglio e meno del 2%, mentrela frazione residua di CP violanti che contamina il picco in massa invariante variadal 2% sulla DC a quasi il 10% sulla BP. Questi due effetti influenzano leggermentela distribuzione che otterremo, ma ne teniamo conto facendo il rapporto dati/MCdelle efficienze e successivamente nell’errore sistematico.

La distribuzione cosı ottenuta viene fittata con le forme MC per i rigenerati eper i semileptonici, usando la funzione:

ZMCM (i) = N fitreg

f regMC(i)

N regMC

+Nfitke3

fke3MC(i)

Nke3MC

+Nfitkµ3

fkµ3MC(i)

Nkµ3MC

+ Ffondo (5.10)


Figura 5.10: DC: Efficienze da MC al variare dei tagli nella regione della camera aderiva.

dove N jMC rappresenta il numero totale di eventi da MC per il decadimento j e

f jMC(i) la relativa distribuzione nel singolo canale dell’istogramma.

Il risultato del fit e buono, come si puo vedere in fig. 5.14 e 5.15 per DC e BPrispettivamente, e fornisce i quattro parametri N fit

reg , Nfitke3, N

fitkµ3 e Ffondo. Tale fit

puo anche essere usato, solo nel caso della camera a deriva, per ottenere una misuraalternativa del numero di rigenerati come controllo, che sara brevemente discussanel paragrafo 5.2.2. Nel caso di BP e BE questa procedura non puo valere comecontrollo, in quanto i rigenerati nella regione (0-15 cm) su BP e BE si sovrappongononella regione intermedia fra i due picchi.

Dal fit si ottiene la distribuzione in massa invariante dei rigenerati nei dati (sot-traendo al fit il fondo semileptonico) da cui e facile calcolare le efficienze per i varitagli che abbiamo scelto.

Si applica lo stesso procedimento sulla distribuzione in massa invariante deirigenerati da MC, e si usa il rapporto delle due efficienze dati/MC per fare lacorrezione.

Infine si trova che la distribuzione in massa invariante e molto ben rappresentatanel MC e la correzione e sempre circa ∼ 1 nel caso della DC, ed e riportata al variaredei tagli nella tabella 5.4 per la BP. Come si vede la correzione da applicare e via viapiu grande mano mano che si passa dalla DC alla BP. L’errore su questi rapporti edominato dall’errore del fit alla distribuzione in massa invariante ed e compreso fra


Figura 5.11: BP: Efficienze da MC al variare dei tagli nella regione del tubo a vuoto.

0.01 e 0.02. Di esso terremo conto nell’errore sistematico.

Efficienza di selezione in ∆|p|Per stimare ε∆|p| si usa un metodo analogo a quello usato nel sottoparagrafo prece-dente. Si costruisce la distribuzione per i rigenerati nei dati della differenza ∆|p|imponendo le seguenti selezioni:

• taglio largo in massa invariante:

492.5 < Minv < 502.5 MeV,

in modo che si perdano pochissimi rigenerati;

• selezione stretta sul rigeneratore:

– per la DC: 23 < ρ < 28 cm

– per la BP: 7 < r < 13 cm

per aumentare la purezza del campione;

• rimozione dei CP violanti:

Qmiss > 10 MeV,

perche si concentrano nella stessa regione dei rigenerati.


Figura 5.12: Numero di rigenerati sulla DC corretto per le efficienze di selezioneMC.

Si realizza il fit a ∆|p| utilizzando la seguente funzione:

ZMCp(i) = N fitreg

fregMC

(i)

NregMC

+

Nfitfondo

[

fke3MC(i) + f kµ3

MC(i) + fCPVMC (i)

]

/N fondoMC ,

(5.11)

dove N fondoMC = Nke3

MC +Nkµ3MC +NCPV

MC rappresenta la stima del fondo MC. Questo fitfornisce i parametri N fit

reg e Nfitfondo. Questa volta il fit non e buono, essenzialmente

a causa di una “gobba” intorno a ∆|p| ∼ 10 presente nei dati e non riprodottanel MC. Probabilmente si tratta di un effetto legato alla conservazione dell’impulsonell’interazione K-nucleo la cui dinamica non e ben descritta nel MC. Cio nonostanteal di fuori della regione della gobba l’accordo e piu che accettabile, in particolareper quanto riguarda la distribuzione del fondo, che e poi quella che stimiamo con ilfit. Infatti anche qui costruiamo la distribuzione in ∆|p| dei rigenerati sottraendoil fondo fittato alla distribuzione dei dati, e calcoliamo le efficienze per i vari tagli.Usiamo poi il rapporto tra queste efficienze e quelle calcolate allo stesso modo nelMC per correggere εsel. Nelle tabelle sottostanti sono riportate le efficienze per iltaglio in ∆|p| per dati e MC, e il loro rapporto. Come si vede il fattore di correzionee sempre vicino a 1, se si esclude il taglio piu duro, che risente della differente forma


Figura 5.13: Numero di rigenerati sulla BP corretto per le efficienze di selezioneMC.

della distribuzione fra dati e MC. Gli errori sulle efficienze MC sono sempre minoridell’1% e sono trascurabili nel calcolo dell’errore sul rapporto che e invece dominatodal fit. Per la regione della DC e della BP tali rapporti oscillano tra 1% e 2%, enella fig. 5.18 e 5.19 rispettivamente possiamo vederne il grafico.

Correggendo εsel per i rapporti calcolati in questo paragrafo, il risultato dei fit aρ e r si stabilizza. Tutti i valori ottenuti per ciascun rigeneratore nelle varie sceltedei tagli sono mostrati nelle figure 5.20 e 5.21.

5.2.2 Misura alternativa dei rigenerati sulla DC con la mas-sa invariante

Dal fit in massa invariante descritto nel paragrafo 5.2.1 per la regione della pareteinterna della DC, si ottiene

Nreg = 34381 ± 320.

Per confrontare questo numero con il risultato ottenuto dal fit alla distribuzione inρ bisogna applicarvi alcune correzioni:

• sottrarre la residua contaminazione di CP violanti, circa il 2%;

• tenere conto della frazione di rigenerati che cade fuori dalla finestra in massainvariante usata per il fit, circa l’8%;


Figura 5.14: Fit alla massa invariante nella regione della camera a deriva.

• tenere conto del numero di rigenerati rigettati dal taglio in Qmiss, circa 1.5%;

• tenere conto della frazione di rigenerati sulla parete della DC che vengonoricostruiti fuori della regione in ρ scelta per il fit (21-30 cm), circa il 3%.

Tutti questi contributi sono stati stimati unicamente da MC, e sono soggetti ad unerrore sistematico che a priori e difficile stimare. Applicando le correzioni elencatesi ottiene:

Nossreg = 38043 ± 354 eventi

in buon accordo con le misure ottenute dal fit a ρ.

5.2.3 Risultati

La sezione d’urto viene calcolata usando prima la formula 5.5 per la probabilita, epoi la 5.2 per la σ. I valori usati per ricavarla (densita del materiale, peso atomico,spessore e percentuali in composizione) sono riportati nel paragrafo 3.5.

Le quantita rimaste da calcolare sono la distanza media percorsa dal KL dalpunto di produzione al rigeneratore, riportiamo qui anche quelle del Berillio, anchese non verranno usate.


Figura 5.15: Fit alla massa invariante nella regione del tubo a vuoto.

Figura 5.16: Residui del fit alla massa invariante nella regione del tubo a vuoto.


tagli c(data/MC) Beam PipeM1 0.969M2 0.972M3 0.965M4 0.962M5 0.957

Tabella 5.4: BP: tabella della correzione dati/MC per le efficienze in massainvariante.

tagli εregMC

ε(dati−fondo fittato) ε(dati−fondo fittato)/εregMC

−40 < ∆|p| < 50 0.963 0.977 1.014−30 < ∆|p| < 40 0.941 0.974 1.036−20 < ∆|p| < 30 0.912 0.958 1.051−10 < ∆|p| < 20 0.873 0.927 1.063−5 < ∆|p| < 10 0.793 0.833 1.050

Tabella 5.5: DC: Efficienza di selezione in ∆|p| al variare dei tagli.

• camera a deriva (DC):

〈`〉 = ρDC · 〈 1

sin θ〉

in cui il valor medio di 1/ sin θ viene calcolato tenendo conto della distribuzioneangolare dei KL incidenti:

〈 1

sin θ〉 =

∫ π−θmin

θmin

1

sin θ· sin2 θ d cos θ

∫ π−θmin

θmin

sin2 θ d cos θ

=sin θmin cos θmin − θmin + π/2

2(cos θmin − cos3 θmin/3).

L’angolo θmin e l’angolo minimo che forma la direzione di volo del KL conl’estremo in z del rigeneratore, cosı calcolato:

θmin = arctan(ρDC/zmax) = arctan(25/120) ' 0.2054

Dunque si ottiene:

〈`〉 = ρDC · 〈 1

sin θ〉 = 29.375 cm ⇒ e−〈`〉/λL = 0.9180.

• tubo a vuoto (BP): il tubo a vuoto e di forma sferica, dunque:

〈`〉 = 10 cm ⇒ e−〈`〉/λL = 0.9713.

• berillio (Be): Come nel caso della camera, l’angolo θmin e l’angolo minimoche forma la direzione di volo del KL con l’estremo in z del rigeneratore:

θmin = arcsin(ρBe/zmax) = arcsin(4.3/10) ' 0.4445


Figura 5.17: DC: Fit alla distribuzione in ∆|p|.

Dunque si ottiene:

〈`〉 = ρBe · 〈1

sin θ〉 = 4.954 cm ⇒ e−〈`〉/λL = 0.9857.

Avendo finalmente ottenuto nel paragrafo precedente dei risultati stabili al varia-re dei tagli, sceglieremo per ciascun rigeneratore la misura che, a parita di affidabi-lita, fornisce l’errore minore. In particolare, non consideriamo abbastanza affidabilile misure con il taglio piu stretto in ∆|p|, per le quali si ha il peggiore accordo dati-MC, ed eviteremo anche di scegliere le misure ottenute con i due tagli piu stretti siain massa invariante che in ∆|p|.

Per quanto riguarda la camera a deriva sono stati scelti i tagli

(−20 < ∆|p| < 30) MeV/c e (485 < Minv < 510) MeV,

che forniscono:

37175 ± 469 eventi,

e calcolando la sezione d’urto si ottiene:

σDC

reg =PDC

reg

〈nt∆xt〉DC

= 60.2 ± 0.8 mbarn. (5.12)


Figura 5.18: DC: Efficienza ε∆|p| per dati e MC in alto, rapporto εdati∆|p|/ε

MC∆|p| in basso.

Sulla Beam Pipe sono stati scelti i tagli:

(−20 < ∆|p| < 30) MeV/c e (490 < Minv < 505) MeV,

che forniscono:

24388 ± 176 eventi,

ed il risultato della sezione d’urto per la BP e:

σBP

reg =P BP

reg

〈nt∆xt〉BP

= 59.6 ± 0.4 mbarn. (5.13)

L’errore statistico sulla sezione d’urto comprende solo l’errore statistico ottenuto dalfit.

I valori usati per ricavare la sezione d’urto sono qui elencati:

Ntag = 120 907 264

DC

〈 1

sin θ〉 = 1.175


Figura 5.19: BP: Efficienza ε∆|p| per dati e MC in alto, rapporto εdati∆|p|/εMC

∆|p|in basso.

ρ∆x

A= 1.175

[

2.70

270.015 +

(

1.25

120.4 +

1.72

120.6

)

0.075

]

= (1.76+11.25) 10−3 cm−2

NA ρ∆x

A= 7.834 1021 cm−2

e−〈`〉/λ = 0.9180

εrec = 0.71

BP

ρ∆x

A=

(

2.70

270.38 +

1.85

90.62

)

0.05 = (1.90 + 6.37)10−3 cm−2

NA ρ∆x

A= 4.980 1021 cm−2

e−〈`〉/λ = 0.9713

εrec = 0.70

Be

〈 1

sin θ〉 = 1.152

5.3. ERRORE SISTEMATICO 105

tagli εregMC ε(dati−fondo fittato) ε(dati−fondo fittato)/ε

regMC

−40 < ∆|p| < 50 0.996 0.996 1.000−30 < ∆|p| < 40 0.991 0.993 1.002−20 < ∆|p| < 30 0.985 0.987 1.002−10 < ∆|p| < 20 0.973 0.979 1.006−5 < ∆|p| < 10 0.922 0.876 0.950

Tabella 5.6: BP: Efficienza di selezione in ∆|p| al variare dei tagli.

ρ∆x

A= 1.152

[

1.85

90.005

]

= 1.184 10−3 cm−2

NA ρ∆x

A= 0.7128 1021 cm−2

e−〈`〉/λ = 0.9857

εrec = 0.70

5.3 Errore sistematico

Sono state prese in considerazione le seguenti sorgenti di errori sistematici:

• spessori dei materiali;

• errore sulle efficienze di selezione;

• errore sulle efficienze di ricostruzione;

• contaminazione da interazioni nucleari;

• forme di fit;

• code della distribuzione in massa invariante.

Gli spessori dei materiali sono noti con un errore relativo del 10 % fornito dalcostruttore:

• BP: (500 ± 50) µm;

• DC: (750 ± 75) µm Carbonio; (150 ± 15) µm Alluminio.

Lo studio degli spessori puo essere fatto in futuro, ad esempio analizzando la perditadi energia e la diffusione multipla dei mesoni K carichi nell’attraversarli.

Gli errori sulle efficienze di selezione εsel determinati dagli errori del fit alledistribuzioni sperimentali in massa invariante e ∆|p| sono stati stimati:

• BP: 2 %;

• DC: 1.5%.


Figura 5.20: DC: Risultato del fit corretto per le efficienze.

Gli errori sulle efficienze di ricostruzione εrec, calcolate utilizzando i deca-dimenti semileptonici per motivi di topologia di evento molto simile a quella delrigenerato, sono circa ∼ 1%.

Le contaminazioni da interazioni nucleari sono state studiate durante illavoro di tesi attraverso la ricerca dei mesoni π0 a partire da una coppia di γ,rivelati con il calorimetro, che formano un vertice nella regione dei rigeneratori, e sie visto che tale contaminazione e assolutamente trascurabile.

Le forme di fit, piu o meno complicate, sono state studiate per riprodurre ledistribuzioni, si stima l’errore dovuto a queste ultime trascurabile perche’ il numerodi eventi rigenerati ottenuto dal fit varia con la forma del picco meno dell’1%.

Infine le code della distribuzione dei rigenerati di massa invariante pos-sono essere fonte di errore sistematico, perche’ non sono misurabili dai dati e bisognaaffidarsi completamente alla rappresentazione fornita dal MC. Pero il numero di ri-generati osservati N oss corretto per le efficienze ε e stabile al variare dei tagli, eanche allargando molto la selezione in massa invariante non si osserva un andamen-to crescente in funzione del taglio. Un limite conservativo a questo effetto ottenutorimuovendo il taglio in massa invariante puo essere fissato al 2%.

Tutti gli errori dovuti a sorgenti sistematiche nel corso della misura sono sche-matizzati nella tabella 5.7: L’errore sistematico e dunque dominato dalla nostraincertezza sulla conoscenza degli spessori dei rigeneratori.

5.3. ERRORE SISTEMATICO 107

Figura 5.21: BP: Risultato del fit corretto per le efficienze.

sorgenti/materiali ∆σ/σ (DC) ∆σ/σ (BP)incertezza sugli spessori ±0.1 ±0.1

errore su εsel ±0.02 ±0.015errore su εrec ±0.01 ±0.01

code distr. Minv ±0.02 ±0.02

Tabella 5.7: Tabella riassuntiva degli errori sistematici.


Capitolo 6

Conclusioni

Il risultato della nostra analisi e dunque, per la parete interna della camera a deriva,il seguente:

σDCreg = 60.2 ± 0.8stat. ± 6.0syst. mbarn. (6.1)

e per la Beam Pipe:

σBPreg = 59.6 ± 0.4stat. ± 6.0syst. mbarn (6.2)

Dalla misura delle sezioni d’urto sui tre bersagli rigeneratori,

t = Be, BP, DC,

si potrebbe estrarre la misura della sezione d’urto su nucleo,

N = Be, C, Al,

risolvendo il sistema di equazioni:

σt

∑

wNt =∑

σNwNt

dove i pesi relativi wNt sono definiti per semplicita:

wNt ≡ρNt ∆xt

AN.

Come spiegato in precedenza pero, la misura della sezione d’urto sul sottile stratodi Berillio e poco affidabile e quindi il sistema si riduce ad avere due equazioni con treincognite. Va notato inoltre che i pesi wNt dell’Alluminio negli altri due rigeneratorie piccolo e quindi una grande incertezza nella misura della sezione d’urto su Berilliocomporta una incertezza ancora maggiore sulla sezione d’urto su Alluminio. Dalleequazioni:

σBP (wBP,Be + wBP,Al) = σBe wBP,Be + σAl wBP,Al

σDC(wDC,C + wDC,Al) = σC wDC,C + σAl wDC,Al

wBP,Be = 6.37 wBP,Al = 1.90 wDC,C = 11.25 wDC,Al = 1.76

si puo estrarre il valore delle sezioni d’urto σBe e σC in funzione dell’incognita σAl

come e mostrato nella figura 6.1.

109

110 CAPITOLO 6. CONCLUSIONI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120sezione d’urto di rigenerazione su Al (mbarn)

sezi

one

d’ur

to d

i rig

ener

azio

ne s

u B

e, C

(m

barn

)

Berillio

Carbonio

Figura 6.1: Sezioni d’urto σBe e σC in funzione di σAl incognita.

Dalle bande di variabilita si osserva che:− la sezione d’urto su Berillio non puo essere maggiore di σBe ∼ 85 mbarn;− un valore della sezione d’urto σBe ∼ 75 mbarn comporterebbe una sezione d’urtosu Alluminio relativamente piccola come previsto dai calcoli [15].

Per concludere, in figura 6.2 sono mostrati i valori delle sezioni d’urto misuratesui due rigeneratori in funzione del peso atomico medio 〈At〉 =

∑

ANwNt/∑

wNt

confrontati con il risultato dell’esperimento CMD-2 [17]

σBe = 55.1 ± 7.7 mbarn

citato nel paragrafo 2.2.2, e le previsioni per pK = 110 MeV/c basate sui calcolidi Baldini e Michetti [15], riportati nel paragrafo B.2 dell’appendice B. L’errorequotato dagli autori e il 20%. Il peso atomico medio calcolato per i rigeneratori e:

• 〈ABP 〉 = 13.1 per il tubo a vuoto;

• 〈ADC〉 = 14.0 per la camera a deriva.

111

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40peso atomico (A)

sezi

one

d’ur

to d

i rig

ener

azio

ne (

mba

rn)

Baldini-Michetti

CMD-2

misura DC

misura BP

Figura 6.2: Sezione d’urto di rigenerazione in funzione del peso atomico.

112 CAPITOLO 6. CONCLUSIONI

Appendice A

Sistemi di riferimento

A.1 Passaggio dal sistema di riferimento del

laboratorio a quello del centro di massa del-

la φ

I fasci e+e− collidono lungo l’asse z con un piccolo angolo di incrocio (vedi fig. 3.2):

θ = 2θx ' 25 mrad

Cio implica la produzione della φ in moto nella direzione negativa dell’asse x, conun piccolo impulso:

pφ ' (−13, 0, 0) MeV

Nel sistema del centro di massa della φ 1 quest’ultima ha vettore quadrimpulso:

P ∗φ = (0,Mφ) (A.1)

essa decade in due mesoni K, di impulso (si e attribuito arbitrariamente il segnodell’impulso a titolo esemplificativo):

P ∗KS

= (p∗, E∗) P ∗KL

= (−p∗, E∗) (A.2)

dove

E∗ =

√

M2K + p∗2 (A.3)

Per la conservazione del quadrimpulso si ha:

P ∗φ = P ∗

KS+ P ∗

KL= (0,Mφ) = (p∗ − p∗, 2E∗) = (0, 2E∗)

dunque l’energia nel centro di massa della φ e:

E∗ =Mφ

2(A.4)

1Tutte le variabili vengono contrassegnate con un asterisco nel sistema del centro di massa

della φ.

113

114 APPENDICE A. SISTEMI DI RIFERIMENTO

La trasformazione di Lorentz che permette di ottenere le variabili cinematiche delsistema di riferimento del laboratorio da quello del centro di massa e la seguente:

EPL

PT

=

γ γβ 0γβ γ 00 0 1

·

E∗

P ∗L

P ∗T

(A.5)

dove 2:

β =pφ

Eφ' 0.012 γ =

Eφ

Mφ' 1 E∗ =

Mφ

2(A.6)

sviluppando le equazioni della trasformazione si ottiene:

E ' E∗ +pφ

Mφ

P ∗L

PL ' pφ

MφE∗ + P ∗

L

PT = P ∗T

(A.7)

Utilizzando la notazione cartesiana e sostituendo E∗ si ha:

E ' E∗ +pφ

Mφ

P ∗x

Px ' pφ

MφE∗ + P ∗

x =pφ

2+ P ∗

x

Py = P ∗y

Pz = P ∗z

(A.8)

A.2 Impulso del K nel centro di massa della φ

Il modulo quadro del quadrimpulso della φ e un invariante relativistico, e vale:

P ∗2φ = M2

φ = (∑

i=S,LE∗i )

2 = (E∗S + E∗

L)2 =(

√

M2K + p∗2 +

√

M2K + p∗2

)2

=(

2√

M2K + p∗2

)2

= 4 (M2K + p∗2)

(A.9)

da questa relazione ci si puo ricavare l’impulso dei K neutri nel centro di massadella φ:

p∗2 =M2

φ

4−M2

K. (A.10)

2β e la velocita in unita di c ' 3 · 108m/s e γ = 1√1−β2

.

Appendice B

Approssimazione dell’eikonale

B.1 Principi generali

Si consideri la funzione d’onda ψ(~r), soluzione dell’equazione di Schrodinger nelcentro di massa del sistema nucleo-particella:

(∇2 + k2)ψ(~r) = U(~r)ψ(~r) (B.1)

con U(~r) = 2µV (~r) potenziale di interazione, µ la massa ridotta del sistema,k = p/h e p il modulo dell’impulso della particella incidente. Si assuma che il motopossa essere considerato non relativistico e che gli effetti di spin siano trascurabili.Si assuma che la particella perda nell’urto una frazione trascurabile della propriaenergia. Vengono fatte le seguenti ipotesi sul potenziale nucleare:

• U(~r) → 0 piu rapidamente di 1/r per r → ∞;

• U(~r) a simmetria cilindrica rispetto alla direzione del moto delle particelle(asse z = r cos θ, come si vede in fig. B.1).

Figura B.1: Diffusione di un’onda piana a grande distanza dal nucleo.

Il punto sul quale si basa l’assunzione dell’eikonale e la ricerca di una soluzionedel tipo ψ(~r) = eikxφ(~r). Facendo l’ipotesi aggiuntiva che la funzione φ vari pocosu distanze dell’ordine ∼ 1/k, il termine |∇2φ(~r)| puo essere trascurato rispetto a

115

116 APPENDICE B. APPROSSIMAZIONE DELL’EIKONALE

∣

∣2ik ∂φ(~r)∂z

∣

∣, e l’eq. B.1 diventa:

2ik∂φ(~r)

∂z= U(~r)φ(~r) (B.2)

Il vantaggio di questa espressione e che ci si riduce ad un problema unidimensionalenella variabile z. Definendo il parametro d’urto ~b ≡ ~r − ~z, la soluzione dell’eq. B.2e:

ψ(~r) = eikzexp[

− i

2k

∫ z

−∞

U(~b, z′)dz′]

≡ eikzeiχ(~b,z). (B.3)

Scrivendo la ψ(~r) come la somma dell’onda incidente ψinc(~r) = eikz e dell’ondadiffusa ψdiff (~r) = f(θ)eikr/r, risulta dall’eq. B.1:

ψdiff (~r) = − 1

4π

∫

d3~r[

U(~r)ψinc(~r)eikr

R

]

, (B.4)

con ~R = ~r − ~r′ e θ angolo compreso tra le due direzioni della particella incidentee di quella diffusa. Inserendo l’eq. B.3 nell’eq. B.4 si ottiene la seguente relazioneapprossimata:

ψdiff (~r) = − 1

4π

∫

d3~r eikz′[

1 + χ(~b, z′) + . . .]eikr

R. (B.5)

Il primo termine dello sviluppo perturbativo corrisponde all’approssimazione di Bornmentre i termini successivi descrivono gli effetti di scattering multiplo con i nucleonitrascurati dall’approssimazione al primo ordine.

A distanze molto grandi (r r′) dal nucleo R ' r − r · ~r′. Poiche ~k = kz,~k′ = k′r e k ' k′ si ha:

eikz′ eikR

R' eikr

rei~kr′ei~k′r′ =

eikr

rei~qr′ (B.6)

dove si e posto ~q = ~k − ~k′ = ~q⊥ + ~q|| con q⊥ = k′ sin θ, q|| = (~k − ~k′) · z 'k′ · (1 − cos θ) rispettivamente componente di ~q perpendicolare e parallela all’assez. E inoltre plausibile supporre che nella regione in cui U 6= 0 il parametro d’urtob e la componente z siano dello stesso ordine di grandezza. Facendo l’ipotesi che ladiffusione avvenga a piccoli angoli, e lecito trascurare il termine q|| ed approssimareei~qr′ con ei~qb′. Questa ipotesi e di cruciale importanza per tutto il procedimento epuo essere stimata dal rapporto tra le componenti z e b lungo il vettore q: q||/q⊥ =tan (θ/2). Tale quantita e minore di 0.1 per θ < π/18 e minore di 0.3 per θ < π/6.

Dalle precedenti equazioni si ricava, dopo alcuni calcoli algebrici:

f(θ) = ik

∫ b

0

b db J0(kb sin θ)[

1 − eiχ0(~b)]

(B.7)

con

χ0(~b) = − 1

2k

∫ +∞

−∞

U(~b, z′)dz′ = χ0(~b, z → +∞) (B.8)

Per poter sfruttare l’eq. B.7 e necessario conoscere la funzione χ0 che in ultimaanalisi e il potenziale U .

B.2. LE AMPIEZZE IN AVANTI SU PROTONE E NEUTRONE 117

Facendo l’ipotesi che il nucleo sia rigido dal punto di vista cinematico, nel sensoche le posizioni dei nucleoni vengano considerate fisse, e dal punto di vista dinamico,nel senso che l’interazione non induca transizioni in stati eccitati, si possono ricavarele relazioni:

χ0(~b) =2π

kA

A∑

k=1

[

fk(0)

∫ +∞

−∞

n(~b, zk)dzk

]

=

2π

kA[Zfp(0) + (A− Z)fn(0)]

∫ +∞

−∞

n(~b, z)dz,

(B.9)

con fp(0), fn(0) ampiezze di scattering in avanti per protoni e neutroni e n(~b, z)funzione che descrive la geometria del nucleo e che e indipendente dalla dinamicadel processo. Utilizzando per n(~b, z) la funzione di Wood-Saxon:

n(~b, z) = n(r) =C0

1 + exp[(r − R0)/a0], (B.10)

si ottiene:

f(θ) = ik

∫ +∞

0

b db J0(kb sin θ)[

1 − exp(iχ0(~b))]

. (B.11)

Note le ampiezze di scattering per protoni e neutroni nella direzione θ = 0, si possonocalcolare le sezioni d’urto di rigenerazione, elastica e totale.

B.2 Le ampiezze in avanti su protone e neutrone

Le ampiezze di diffusione del K0 e del K0 su protoni e neutroni si ricavano conoscen-do quelle dei corrispettivi mesoni carichi K+ e K− nel seguente modo. Poiche K+,K0, p hanno isospin +1/2 mentre K−, K0, n hanno isospin -1/2 si puo sfruttarel’invarianza delle interazioni forti per rotazioni nello spazio dell’isospin e porre:

〈K−, p|Hs|K−, p〉 = 〈K0, n|Hs|K0, n〉〈K−, n|Hs|K−, n〉 = 〈K0, p|Hs|K0, p〉〈K+, p|Hs|K+, p〉 = 〈K0, n|Hs|K0, n〉〈K+, n|Hs|K+, n〉 = 〈K0, p|Hs|K0, p〉 (B.12)

dove Hs e la hamiltoniana forte. Trascurando le interazioni elettromagnetiche ele differenze in massa si possono scrivere per le ampiezze di diffusione le seguentirelazioni:

f−p (θ) = fn(θ)

f−n (θ) = fp(θ)

f+p (θ) = fn(θ)

f+n (θ) = fp(θ) (B.13)

Nello sviluppo delle onde parziali, le ampiezze di diffusione sono date da:

f(k, θ) =∑

l

(2l + 1)fl(k)Pl(cos θ), (B.14)

118 APPENDICE B. APPROSSIMAZIONE DELL’EIKONALE

che, dato il basso impulso dei K in KLOE (ka ∼ 2 · 110/197 ∼ 1, k = 110 MeV,a = 2 fm = raggio delle interazioni nucleari) puo essere approssimata dal terminedominante in onda S:

fI(k) =αI

1 − ikαI, (B.15)

dove I e l’isospin e le grandezze α sono chiamate lunghezze di scattering e corrispon-dono alle ampiezze di diffusione calcolate a k = 0. Queste sono state calcolate daMartin [18] mediante l’uso di relazioni di dispersione.

Le ampiezze elastiche K−p e K+n sono calcolate come una sovrapposizione deglistati di isospin I = 0, I = 1:

f−p =

1

2(f−

0 + f−1 )

f+n =

1

2(f+

0 + f+1 ) (B.16)

mentre per il K+p e K−n si ha:

f+p =

1

2f+

f−n =

1

2f− (B.17)

Utilizzando i risultati ottenuti da Martin, risulta:

f+p = (−0.15 + i 0.02) fm

f+p = (−0.33 + i 0.04) fm

f+p = (−0.24 + i 0.52) fm

f−n = (−0.32 + i 0.75) fm (B.18)

Le sezioni d’urto possono essere finalmente ricavate dalle equazioni 2.35; in tabel-la B.1 sono riportate solo quelle di rigenerazione, aventi errore del 20%, nella regionedi impulso che ci interessa [15]:

MeV/c He Be C Al100 26.3 34.7 36.2 11.9114 27.9 40.7 44.2 18.6200 20.5 37.1 43.8 61.3

Tabella B.1: Previsioni per le sezioni d’urto di rigenerazione per diversi elementi eper diversi impulsi.

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