MISS RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika ... · PDF fileMISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 1 y ' f(u) ∆y ' k@∆u MATEMATIČKI

MISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 1

y ' f (u )

∆y ' k @∆u

MATEMATIČKI MODELI REALNIH SUSTAVA

MEHANIKA FLUIDA

Elementi procesa protoka fluida:

S spremnici

S crpke

S ventili

S cijevi

Zakonitosti:

S Bernoulijeva jednadžba - ravnoteža tlakova

S jednadžba dinamičke ravnoteže tlakova u cjevovodu

S jednadžba dinamičke ravnoteže (mase ili volumena) fluida u spremniku

S karakteristike crpki i ventila

Sustavi su opisani NELINEARNIM diferencijalnim jednadžbama.

Za opis prijenosnom funkcijom ili linearnim jednadžbama varijabli stanja sustav je

potrebno linearizirati.

Linearizacija nelinearnih jednadžbi

Nelinearna jednadžba:

Pretvaranje u linearnu

jednadžbu oblika:

gdje je:

k - koeficijent linearizacije

Metode linearizacije:S metoda perturbacija

S primjena Taylorova

reda

Metoda perturbacija zasniva se na uvođenju malih promjena nezavisne varijable

oko radne točke (∆u) i izražavanje promjena zavisne varijable (∆y) pomoću njih

uz zanemarenje viših potencija od ∆u.


y(u) ' f (u0) %

1

1!/00

Mf(u)

Muu'u

0

(u&u0) %

1

2!/000

M2f(u)

Mu 2u'u

0

(u&u0)2

%1

3!/000

M3f(u)

Mu 3u'u

0

(u&u0)3

% ...

∆y ' /00Mf(u)

Muu'u

0

∆u

y ' k @u

k ' /00Mf(u)

Muu'u

0

Primjena Taylorova reda zasniva se na razvoju nelinearne funkcije u Taylorov red

oko radne točke (u0, y0) i zanemarenju viših članova reda.

Razvoj funkcije f(u) u Taylorov red oko radne točke (u0, y0):

y0=f(u0)

∆y=y-y0

∆u=u-u0

Zanemarenjem viših potencija od ∆u dobije se linearni oblik jednadžbe:

Translacijom koordinatnog sustava u radnu točku, relativne promjene oko radne

točke postaju apsolutne promjene oko radne točke: ∆y-y, ∆u-u.

Linearni oblik jednadžbe:


y ' f (u1,u

2)

y(u) ' f (u10

,u20

) %1

1!/000

Mf(u1,u

2)

Mu1 u

1'u

10

u2'u

20

(u1&u

10) % /000

Mf(u1,u

2)

Mu2 u

1'u

10

u2'u

20

(u2&u

20) %

%1

2!/0000

M2f(u

1,u

2)

Mu2

1 u1'u

10

u2'u

20

(u1&u

10)2

% 2 /0000M

2f(u1,u

2)

Mu1Mu

2 u1'u

10

u2'u

20

(u1&u

10) (u

2&u

20) %

% /0000M

2f(u1,u

2)

Mu2

2 u1'u

10

u2'u

20

(u2&u

20)2

%

1

3!/0000

M3f(u

1,u

2)

Mu3

1 u1'u

10

u2'u

20

(u1&u

10)3

% 3 /0000M

3f(u1,u

2)

Mu2

1 Mu2 u

1'u

10

u2'u

20

(u1&u

10)2 (u

2&u

20) %

% 3 /0000M

3f(u1,u

2)

Mu1Mu

2

2 u1'u

10

u2'u

20

(u1&u

10)(u

2&u

20)2

% /0000M

3f(u1,u

2)

Mu3

2 u1'u

10

u2'u

20

(u2&u

20)3

% ...

∆y ' /000Mf(u1,u2)

Mu1 u1'u

10

u2'u

20

∆u1 % /000Mf(u1,u2)

Mu2 u1'u

10

u2'u

20

∆u2

y ' k1u

1% k

2u

2

k1' /000

Mf(u1,u

2)

Mu1 u

1'u

10

u2'u

20

k2' /000

Mf(u1,u

2)

Mu2 u

1'u

10

u2'u

20

Linearizacija jednadžbe dvije varijable:

Taylorov red:

y0=f(u10,u20)

∆y=y-y0

∆u1=u1-u10

∆u2=u2-u20

Zanemarenjem viših potencija od ∆u dobije se linearni oblik jednadžbe:

Translacijom koordinatnog sustava u radnu točku, relativne promjene oko radne

točke postaju apsolutne promjene oko radne točke: ∆y-y, ∆u-u.

Linearni oblik jednadžbe:


Pu % Hρg &ρv 2

2& Pi ' 0

Q ' Av

A 'd

2

2

π

Q ' A2

ρPu & Pi % Hρg

Bernoulijeva jednadžba

Suma hidrostatskog i

dinamičkog tlaka je

konstantna.

Ukoliko je masa fluida

zanemariva, vrijedi:

Pu - ulazni tlak

Pi - izlazni tlak

g - grafitacijska konstanta

v - brzina tekućine u cijevi

H - razlika visine početka i kraja cijevi

ρ - gustoća fluida

Odnos brzine tekućine u cijevi i protoka:

gdje su:

A - površina poprečnog presjeka cijevi

d - promjer cijevi

Iz Bernoulijeve jednadžbe i jednadžbe odnosa brzine i protoka fluida dobije se izraz

za protok fluida:


Ajm

Pm 'd

dtmv

jm

Pm' P

u& P

i% Hρg &

ρv 2

2m ' ρV

v 'Q

A

A Pu& P

i% Hρg &

ρ

2

Q

A

2

' ρVd

dt

Q

A

V ' Al

0Q 'A

ρ lP

u& P

i% Hρg &

ρ

2

Q

A

2

0Q 'A

ρ lP

u& P

i% Hρg &

8ρ

π2@

1

d 4@Q 2

0Q 'A

ρ lPu & Pi % Hρg & K @Q 2

K '8ρ

π2@

1

d 4

Uzimanje u obzir mase fluida - diferencijalna jednadžba ravnoteže količinegibanja.Svođenjem sustava na koncentrirane parametre, možemo poći od zakonitosti za

kruta tijela kod kojih je promjena količine gibanja jednaka sumi sila.

Sile koje djeluju na masu tekućine u cijevi odgovaraju umnošku površine poprečnog

presjeka cijevi i sume tlakova.

gdje su:

m - masa tekućine u cijevi

V - volumen tekućine u cijevi.

Iz jednadžbe dinamičke ravnoteže proizlazi:

Uzimajući da je:

jednadžba dinamičke ravnoteže poprima oblik:

Kod realnih sustava koeficijent K osim o promjeru cijevi ovisi i o omjeru njene duljine

i promjera i kvaliteti površine cijevi, pa je iskustveno određeno:


K '8ρ

π2@

1

d 4@λ

l

d' λ

8ρ

π2

l

d 5

dV

dt' j

i

Qi

Q ' kcω

Q ' kv @x @ ∆P

λ - konstanta ovisna o vrsti materijala i tipu površine cijevi, a za čelične

cijevi iznosi 0.02136.

Jednadžba dinamičke ravnoteže volumena fluida u spremniku

CrpkeS Izvori tlaka ili protoka

S nelinearne karakteristike

S zbog pojednostavljenja opisa, centrifugalne crpke ćemo opisivati linearnim

izrazom (koji vrijedi samo u ograničenom radnom režimu):

gdje je:

kc - koeficijent crpke, [m3/rad],

ω - brzina vrtnje crpke, [rad/s].

VentiliS Izazivaju pad tlaka zbog protoka tekućine, ovisno o otvoru

S pad tlaka određen dinamičkim tlakom koji je proporcionalan s kvadratom

brzine tekućine

S oblik sedla ventila određuje statičku karakteristiku protoka u ovisnosti o

otvoru ventila

S linearni ventili imaju linearnu karakteristiku ovisnosti protoka o otvoru

ventila i mogu se opisati jednadžbom:

gdje su:

kv - konstanta ventila ,m 3

ms bar

x - otvor ventila, [m],

∆P - razlika tlakova na ulazu i izlazu ventila, [bar].


dV

dt' Qu & Qi ' A

dh

dt

Qu ' x @Kv @ Pu

X(s) ' GM

(s)U(s)

U(s) ' GR(s) ε(s)

ε(t) ' ur(t) & u

q(t)

Primjer:Odredite matematički model sustava regulacije izlaznog protoka tekućine prema slici

uz zanemarenje inercije tekućine, ako je površina horizontalnog presjeka rezervoara

A=20m2, koeficijent ventila Kv=0.5 , prijenosna funkcija pozicijski reguliranog motora

koji zakreće ventil GM. Ulazni tlak (nadtlak prema atmosferskom tlaku) Pu=10 bar, a

površina poprečnog presjeka izlazne cijevi Ac=250cm2. Prijenosna funkcija mjernog

člana izlaznog protoka je Kpv=1 V min/m3.

Prijenosna funkcija motora i regulatora određena je izrazom:

GR ' KR 1 %1

TIs,

V

V

GM

(s) '

KM

TM

s % 1,

Pri projektiranju modela potrebno je

uvažiti slijedeće pretpostavke:

strujanje je laminarno,

prigušnica za mjerenje

izlaznog protoka ne utječe

na izlazni protok, brzina tekućine u

rezervoaru je zanemariva prema

brzini tekućine u cijevima.

Ostale procesne veličine su:

Ur=7+2 S(t-4000s) [V],

TM=0.2 s,

TI=0.5 s,

KM=15 cm/V

KR= [V/V]1@10&4

Jednadžba kontinuiteta:

Ulazni protok (određen karakteristikom ventila)


Uq(t) ' K

pvQ

i(t)

Q i ' Ac 2gH

Simulacijska shema sustava

1

q_uq_u0

K_v

Ventil

sqrt(u(1))

Fcn

2

x

1

p_u

ul_ventil

qi(t)=?

Iz Bernoulieve jednadžbe uz iste iznose tlakova na ulazu u rezervoar i na izlazu iz

cijevi dobije se:

Nelinearna shema sustava:

Simulacijska shema za Matlab:


Rezervoar

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

t [s]

Qu

Qi

Odziv sustava:


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t [s]

Qi0'

Ur0

Kpv

' 0.1167m 3

s

Qu0

' Qi0'

Ur0

Kpv

' 0.1167m 3

s

Pu0

'10bar (zadano)

X0'

Qu0

Kv Pu0

' 4.4272cm

Razina:

Linearizacija:

Radna točka:

Stacionarno stanje u kojem sustav najduže radi:

(u ovom zadatku određeno s uro

=7 V)

uro=7 V


H0'

Qi0

Ac

21

2g' 1.11 m

qu' k

qxx % k

qppu

kqx

' /000MQ

u

Mxx'X

0, p

u'P

u0

' Kv

Pu0

' 0.0264m

3

cms

kqp ' /000MQu

Mpu x'X0, p

u'P

u0

' X0 Kv

1

2 Pu0

'

Qu0

2Pu0

' 0.058m

3

s@

1

bar

qi' k

ih

ki' /000

MQi

MHH'H

0

' Ac

2g1

2 H0

'

Qi0

2H0

' 0.0526m

2

s

Linearizacija nelinearnih jednadžbi:

Qu(s) ' k

qxX(s) % k

qpP

u(s)

X(s) ' GM

(s)U(s) U(s) ' GR(s) ε(s) ε(s) ' U

r(s) & U

q(s)

Uq(s) ' K

pvQ

i(s) Q

i(s) ' k

iH(s) s @H(s) '

1

AQu(s) & Qi(s)

Qi(s)

Ur(s)

' ?U

q(s)

Ur(s)

' ?

AH @s ' kqx@G

M@G

R@ε % k

qp@P

u& k

i@H

(As % ki) @H ' k

qx@G

M@G

R@ (U

R& K

pv@Q

i) % k

qp@P

u

( As % ki% k

qx@G

M@G

R@K

pv@k

i) @H ' k

qx@G

M@G

R@U

R% k

qp@P

u


H(s) '

k11

(Tis%1)

a31

s 3% a

21s 2

% a11

s % a01

Ur(s) %

kqp

(TM

s%1)Tis

a31

s 3% a

21s 2

% a11

s % a01

Pu(s)

k11 ' kqxKMKR,

a31'AT

MTi

a21 ' kiTMT i%ATi

a11

' kqx

KM

KR

Kpv

kiTi%k

iTi

a01 ' kqxKMKRKpvki

H(s) '

k1(T

is%1)

s 3% a

2s 2

% a1s % a

0

Ur(s) %

k2s(T

Ms%1)

s 3% a

2s 2

% a1s % a

0

Pu(s)

k1 '

kqxKMKR

ATMT i

' 1.9764e&005m

Vs3

k2'

kqp

ATM

' 1.4583e&003m

s2@bar

a2 '

k i

A%

1

TM

' 5.0026s &1

a1'

ki

ATM

(kqx

KM

KR

Kpv%1) ' 1.3170e&002s &2

a0 '

kqxKMKRKpvki

ATMTi

' 6.2321e&005s &3

Uq(s) '

kiK

pvk

1(T

is%1)

s 3% a

2s 2

% a1s % a

0

Ur(s) %

kiK

pvk

2s(T

Ms%1)

s 3% a

2s 2

% a1s % a

0

Pu(s)

Uq(s) '

b11

s%b10

s 3% a

2s 2

% a1s % a

0

Ur(s) %

b22

s 2% b

21s

s 3% a

2s 2

% a1s % a

0

Pu(s)

b11 ' kiKpvk1Ti ' 3.1160e&005s &2 b10 ' kiKpvk1 ' a0 ' 6.2321e&005s &3

b22 ' kiKpvk2TM ' 9.1969e&004V

s @barb21 ' kiKpvk2 ' 4.5984e&003

V

s2@bar


G1(s) ' /000Uq(s)

Ur(s)Pu'0

'

b11s%b10

s 3% a2s 2

% a1 s % a0

G2(s) ' /000Uq(s)

Pu(s)U

r'0

'

b22 s 2% b21s

s 3% a2s 2

% a1 s % a0

-200

-150

-100

-50

0

50

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-200

-100

0

100

Frequency (rad/sec)

Bode Diagrams

G1

G2

Prijenosne funkcije (zatvorenog kruga):

Bodeov dijagram:

Prijenosne funkcije otvorenog kruga:

Gz(s) '

G0(s)

1 % G0(s)

///'> G0(s) '

Gz(s)

1 & Gz(s)


-300

-200

-100

0

100

10-5

10-3

100

103

-200

-100

0

100

Frequency (rad/sec)

Bode Diagrams

G10

G20

, G10

(s) '

b11

s%b10

s 3%a

2s 2

%(a1&b

11)s%a

0&b

10

G20

'

s(b22

s%b21

)

s 3%(a

2&b

22)s 2

%(a1&b

21)s%a

0

Bodeov dijagram:


Y(s) '

bns n

% bn&1

s n&1% ... % b

1s % b

0

s n% a

n&1s n&1

% ... % a1s % a

0

U(s)

Z(s) '1

s n% an&1s

n&1% ... % a1 s % a0

U(s)

Y(s) ' (bns n

% bn&1

s n&1% ... % b

1s % b

0)Z(s)

z (n)' &a

0z & a

10z & ... & a

n&1z (n&1)

% u

x1' z

0x1 ' x2 ' 0z

0x2' x

3' z̈

!

0xn&1 ' xn ' z (n&1)

0xn' z (n)

' &a0z & a

10z & ... & a

n&1z (n&1)

% u

0x1

0x2

0x3

!

0xn&1

0xn

'

0 1 0 0 þ 0 0

0 0 1 0 þ 0 0

0 0 0 1 þ 0 0

! " !

0 0 0 0 þ 0 1

&a0 &a1 &a2 &a3 þ &an&2 &an&1

x1

x2

x3

!

xn&1

xn

%

0

0

0

!

0

1

u

y ' bnz (n)

% bn&1

z (n&1)% ... % b

10z % b

0z '

' bn 0xn % bn&1xn % ... % b1 x2 % b0x1 '

' bn(&a

n&1xn& a

n&2xn&1

& ... & a1x

2& a

0x

1% u) %

% bn&1xn % ... % b1 x2 % b0x1 '

Prostor stanja:

Opća prijenosna funkcija:

Rastavljanje na dvije prijenosne funkcije:


y ' b0&bna0 b1&bna1 b2&bna2 ... bn&1&bnan&1

x1

x2

x3

!

xn

% bnu

Y(s) '

bns n

% bn&1

s n&1% ... % b

1s % b

0

s n% a

n&1s n&1

% ... % a1s % a

0

U(s)

0x1

0x2

0x3

!

0xn&1

0xn

'

0 1 0 0 þ 0 0

0 0 1 0 þ 0 0

0 0 0 1 þ 0 0

! " !

0 0 0 0 þ 0 1

&a0 &a1 &a2 &a3 þ &an&2 &an&1

x1

x2

x3

!

xn&1

xn

%

β1

β2

β3

!

βn&1

βn

u

y ' 1 0 0 ... 0

x1

x2

x3

!

xn

% β0u

0x ' Ax % βu

y ' cx % β0u

G(s) 'Y(s)

U(s)' c(sI & A)&1β % β

0

Upravljivi oblik varijabli stanja:

Oblik matrice A ostaje isti, a mijenja se oblik matrice b.

Traži se opis sustava u obliku:

Zapis se iz prostora stanja pretvara u prijenosnu funkciju:

Izjednačavanjem koeficijenata uz odgovarajuće potencije varijable s, dobije se

sustav od n+1 jednadžbi:


bn' β

0

bn&1 ' β0an&1 % β1

bn&1

' β0an&2

% β1an&1

% β2

!

b0 ' β0a0 % β1a1 % ... % βn&1an&1 % βn

bn

bn&1

bn&2

!

b0

'

1 0 0 þ 0

an&1 1 0 þ 0

an&2

an&1

1 þ 0

! " !

a0 a1 a2 þ 1

β0

β1

β2

!

βn

Uq(s) '

b11

s%b10

s 3% a

2s 2

% a1s % a

0

Ur(s) %

b22

s 2% b

21s

s 3% a

2s 2

% a1s % a

0

Pu(s)

Uq(s) ' G1(s)Ur(s) % G2(s)Pu(s)

A '

0 1 0

0 0 1

&a0 &a1 &a2

C ' 1 0 0

0

0

b11

b10

'

1 0 0 0

a2 1 0 0

a1

a2

1 0

a0 a1 a2 1

β01

β11

β21

β31

β01

β11

β21

β31

'

0

0

b11

&a2(b

11%b

10

Matrični oblik zapisa jednadžbe:

Prikaz zadanog sustava u prostoru stanja:

Prikaz u upravljivom obliku:

Računanje koeficijenata β za prvu prijenosnu funkciju:


0

b22

b21

0

'

1 0 0 0

a2 1 0 0

a1

a2

1 0

a0 a1 a2 1

β02

β12

β22

β32

β02

β12

β22

β32

'

0

b22

b21&a

2b

22

(a2

2&a1)b22&a2 b21

0x1

0x2

0x3

'

0 1 0

0 0 1

&a0

&a1

&a2

x1

x2

x3

%

β11 β12

β21

β22

β31 β32

ur

pu

uq' 1 0 0

x1

x2

x3

% β01

β02

ur

pu

0x1

0x2

0x3

'

0 1 0

0 0 1

&a0

&a1

&a2

x1

x2

x3

%

0 b22

b11

b21&a

2b

22

b10&a2 b11 (a2

2&a1)b22&a2 b21

ur

pu

uq' 1 0 0

x1

x2

x3

% 0 0ur

pu

Računanje koeficijenata β za prvu prijenosnu funkciju:

Zadani sustav u prostoru stanja ima oblik:


0x1

0x2

0x3

'

0 1 0

0 0 1

&6.2321e&005 &1.3170e&002 &5.0026

x1

x2

x3

%

%

0 9.1969e&004

3.1160e&005 &2.4166e&006

&9.3563e&005 &2.2308e&008

ur

pu

uq' 1 0 0

x1

x2

x3


dE

dt' j

i

Hi

dE

dt'

d

dt(ρVcT) ' ρcV

dT

dt% ρcT

dV

dt

TOPLINSKI PROCESI

Elementi toplinskih sustava:

S izvori topline

S uređaji za prijenos topline

Zakonitosti:

S jednadžbe dinamičke ravnoteže promjene toplinske energije u spremniku

S jednadžbe toplinskih tokova

Načini prijenosa topline:

S vođenje (kruta tijela)

S prijenos (tekućine)

S zračenje

Jednadžba dinamičke ravnoteže toplinske energije

gdje su:

E=mc h - toplinska energija sadržana u materiji mase m s

toplinskim kapacitetom C i temeperature h,

H - toplinski tok

Kod fluida promjenu energije možemo izraziti pomoću promjene temperature i

promjene volumena:


H ' α @A @(∆h)

Toplinski tokovi

Vođenje topline:

gdje su:

H - toplinski tok, [W],

A - površina okomita na toplinski tok, [m2],

∆h - razlika temperature na početku i kraju toplinskog toka, [K],

α - koeficijent prijelaza topline, [W/(m2K)].

Prijenos topline strujanjem tekućine:

H ' ρ @c @h @Q

gdje su:

ρ - gustoća tekućine, [kg/m3],

c - toplinski kapacitet, [J/(kg K)],

Q - volumni protok tekućine, [m3/s],

h - temperatura tekućine, [K].


Primjer:

Odredite matematički model miješanja dviju tekućina istih fizikalnih svojstava i

različitih temperatura, ako je miješanje tekućina u rezervoaru idealno.

U sustavu postoje toplinski gubici kroz stjenke rezervoara i otvorenu gornju

površinu rezervoara, dok su gubici topline u cijevima zanemarivi. Kod modeliranja

sustava potrebno je uzeti u obzir da stjenke rezervoara imaju toplinski kapacitet i

pretpostaviti da u stjenkama rezervoara ne postoji gradijent temperature. Osim toga

potrebno je pretpostaviti da je zbog opstrujavanja zraka temperatura zraka uz

stjenke rezervoara i površinu tekućine nepromjenjiva.

Tlak na ulazu u cijevi predstavlja nadtlak prema atmosferskom tlaku, a gubici u

cijevima su zanemarivi (tj. tlak na ulazu u cijev se može uzeti kao pad tlaka na

ventilu).

Kod projektiranja modela

sustava potrebno je uvažiti

slijedeće pretpostavke:

strujanje je laminarno, prigušnica

za mjerenje izlaznog protoka ne

utječe na izlazni protok, brzina

tekućine u rezervoaru je zanemariva prema

brzini tekućine u cijevima. Dozvoljeno je

zanemariti utjecaj inercije tekućine.

Zadane su sve procesne veličine:

S dimenzije rezervoara i cijevi:

S Du - promjer šireg dijela rezervoara

S Hu - ukupna visina rezervoara

S Ac - površina poprečnog presjeka izlazne cijevi

S ds - debljina stjenke rezervoara

S karakteristike ventila

S Kv1, Kv2 - konstante linearnih regulacijskih ventila

S fizikalne karakteristike sustava:

S ρv - gustoća tekućine

S ms - masa rezervoara

S toplinske karakteristike sustava:

S cv - toplinski kapacitet tekućine

S cs - toplinski kapacitet stjenke rezervoara

S αvs - koeficijent prijelaza topline između tekućine i materijala stjenke

S αsz - koeficijent prijelaza topline između materijala stjenke i zraka

S αvs - koeficijent prijelaza topline između tekućine zraka

S ulazne varijable:

S Pu1, Pu2 - ulazni tlakovi,

S X1, X2 - otvori ulaznih ventila

S hu1, hu2 - temperature ulaznih tekućina

S hz - temperatura zraka uz površinu tekućine i stjenke

rezervoara.


Qu1 ' X1@Kv1@ Pu1

Qu2 ' X2@Kv2@ Pu2

Qi ' Ac 2gH

R

H'

Ru

Hu

'D

2HU

R 'D

2hu

H

V ' mH

0

A(h)dH ' mH

0

R 2(H)πdH '

'

D2

u

4H2

u

π

H

0

H 2dH '

D2

u

4H2

u

πH 3

3

Ev' m

v@c

v@h

v' V @ρ

v@c

v@h

v

dEv

dt' ρ

vcvhv

dV

dt% ρ

vcvV

dhv

dt

Jednadžbe protoka

Jednadžba kontinuiteta (dinamičke ravnoteže volumena tekućine):

Izlazni protok

Ovisnost volumena o razini tekućine:

Toplinska energija:Voda u rezervoaru:


dEv

dt' H

u1% H

u2& H

i& H

vs& H

vz

dEs

dt' H

vs& H

sz

Hvs

' αvs@A

vs@ (h

v& h

s)

gdje su:

hv - temperatura vode, [K],

cv - toplinski kapacitet vode, [J/(kg K)],

V - volumen vode

Stjenka rezervoara:

Jednadžbe toplinske ravnoteže:

Voda

Stjenka

gdje su:

Hu1 - toplinski tok ulazne vode u prvoj grani,

Hu2 - toplinski tok ulazne vode u drugoj grani,

Hi - toplinski tok izlazne vode

Hvs - toplinski tok između vode u rezervoaru i stjenke rezervoara,

Hvz - toplinski tok između vode u rezervoaru i zraka iznad rezervoara

Hsz - toplinski tok između stjenke rezervoara i zraka.

Toplinski tokoviUlazni i izlazni

H

u1' ρ

v@c

v@h

u1@Q

U1,

Hu2 ' ρv @cv @hu2 @QU2

Hi' ρ

v@c

v@h

v@Q

i

Toplinski tok iz vode prema stjenci rezervoara


Avs

' Rπs, R '

Ru

Hu

@H

s ' R 2% H 2

' H @Du

2Hu

2

% 1

Hvs ' αvs @π @Du

2Hu

@Du

2Hu

2

% 1 @H 2(hv & hs)

Hvz

' αvz@A

vz(h

v& h

z)

Avz

' R 2π '

Du

2Hu

2

π @H 2

Hvz

' αvz

Du

2Hu

2

π @H 2 (hv& h

z)

Hsz

' αsz@A

sz(h

s& h

z)

Asz

' Asz1

% Asz2

Toplinski tok iz vode prema zraku

Toplinski tok stjenke prema zraku

gdje je:

Asz - površina vanjske stjenke rezervoara + površina unutarnje stjenke

rezervoara do površine vode (zbog male debljine stjenke prema visini i

radijusu zanemaruje se površina gornjeg ruba stjenke, a ukupna

unutarnja i vanjska površina se mogu uzeti da su jednake).


Asz1 ' Ruπsu ' Ruπ R2

u % H2

u '

'

Du

2π

Du

2

2

% H2

u

Asz2

Ñ Asz1

& Avs

Asz

Ñ 2Asz1

& Avs

'Duπ

Du

2

2

% H2

u & πD

u

2Hu

Du

2Hu

2

% 1 @H 2

' Duπ

Du

2Hu

2

% 1 Hu&

H 2

2Hu

Hsz Ñ αsz

Duπ

2Hu

Du

2Hu

2

% 1 2H2

u & H 2@ hs & hz


Pu1

x1

Pu2

x2

Kv1

Kv2

x

x

Qu1

Qu2

I12H

u

2

Du

2 π++

x/y

H 2g Ac

- Qi

x

ρv c

v xh

u2

ρv c

v xh

u1H

u1

Hu2

dEs/dt

x

ρv c

v

1/(ρv c

v)

+

-

Ih

v

xρv c

v

Hi

-+

+

Hi

x

H2

αvsπD

u

2Hu

Du

2

4Hu

2 + 1H

vs

-

+

- hs

αvzπD

u

2

4Hu

2

x

H2

-

hv

hv

hz

-

Hvz

hz

I

xy

x1/3

1/(ms c

s)

hs

Hvs +

+

-

+ H2

+

αvsπD

u

2Hu

Du

2

4Hu

2 + 1

Hsz

-

2Hu

2

x

-

V

Nelinearna shema sustava

Documents

MISS RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika ... · PDF fileMISS_RI Matematički modeli realnih sustava - Mehanika fluida i toplinski procesi 1 y ' f(u) ∆y ' k@∆u MATEMATIČKI