Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Zavod za motore i transportna sredstva Katedra za transportne uređaje i konstrukcije

OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJA Seminarski rad – zadatak br. M13 – 2012/13.

Optimizacijske metode u analizi i projektiranju konstrukcija

Mentor:

Prof.dr.sc. Dragutin Šćap Mislav Šramek

0035165363

Studeni,2012.

2

Sadržaj 1. Primjena potencijalne energije elastične deformacije u riješavanju statički

neodređenih problema ................................................................................................ 4

2. Zadatak 1 ........................................................................................................... 9

2.1. U točki D je horizontalno pomični oslonac ..................................................... 10

2.1.1. Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije ...... 10

2.1.2. Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj

pomičnog oslonca u točki D ............................................................................... 14

2.1.3. Projektni prostor, za slučaj pomičnog oslonca u točki D .......................... 17

2.2. U točki D je zglob ........................................................................................... 19

2.2.1 Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije ....... 19

2.2.2 Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj

zgloba u točki D ................................................................................................. 23

2.2.3. Projektni prostor, za slučaj zgloba u točki D ............................................ 26

2.3. Q i M dijagrami ............................................................................................... 28

2.3.1. Q dijagram štapa D-C .............................................................................. 28

2.3.2. Q dijagram štapa C-B .............................................................................. 28

2.3.3. Q dijagram štapa B-A .............................................................................. 29

2.3.4. M dijagram štapa D-C .............................................................................. 30

2.3.5. M dijagram štapa C-B .............................................................................. 30

2.3.6. M dijagram štapa B-A .............................................................................. 31

3. Zadatak 2 .......................................................................................................... 32

Topološko optimiranje............................................................................................... 32

Opis algoritma ESO/BESO za topološko optimiranje ............................................ 32

Opis korištenog programa BESO2D ..................................................................... 33

3.1. Konstrukcija 1................................................................................................. 35

3.1.1 Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti ..... 35

3.1.2. Definiranje karakteristika: ........................................................................ 36

3.1.3. Proces optimizacije .................................................................................. 36

3.1.4. Rezultat procesa optimizacije .................................................................. 38

3.1.5. Deformirani oblik i naprezanja ................................................................. 38

3.1.6. Grafički prikaz procesa optimizacije ........................................................ 39

3.2. Konstrukcija 2................................................................................................. 39

3.2.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti ..... 40

3

3.2.2. Definiranje karakteristika ......................................................................... 40





3.3. Konstrukcija 3................................................................................................. 44

3.3.1. Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti .... 45






3.4. Konstrukcija 4................................................................................................. 49

3.4.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti ..... 49






4. Zaključak ........................................................................................................... 54

5. Popis literature................................................................................................... 55

4

1. Primjena potencijalne energije elastične deformacije u

riješavanju statički neodređenih problema

Energija deformacije proizvoljno opterećene konstrukcije:

Ako je konstrukcija opterećena općenito, u njegovu se poprečnom presjeku može

pojaviti svih šest komponenata unutarnjih sila, i to uslijed: uzdužnih sila N, poprečnih

sila Qy i Qz, momenata savijanja My i Mz, te momenta uvijanja Mt.

Te se komponente pri izračunavanju energije deformacije mogu razmatrati

nezavisno, pa je ukupna energija jednaka zbroju energija pojedinačnih opterećenja.

U tom slučaju može se pisati:

Vidi se da je svih 6 predbrojnika na desnoj strani građeno na isti način. Pod znakom

integrala nalazi se kvadrat pojedinačnih komponenata unutarnjih sila, koje se dijele

odgovarajućom krutošću. U slučaju osnog opterećenja imamo osnu krutost EA, u

slučaju smicanja smičnu krutost GA. Kad se radi o savijanju, to je fleksijska ili

savojna krutost EIy ili EIz, a u slučaju uvijanja imamo torzijsku krutost GIp. Svi se

integrali protežu po čitavoj duljini štapa l. U slučaju smicanja integrali se još množe s

ky, odnosno kz.

Teorem o minimumu energije deformiranosti:

Drugi Castiglianov teorem može se primijeniti ne samo za određivanje pomaka na

željenom mjestu i u željenom smjeru nego se pomoću njega mogu odrediti i

prekobrojne reakcije veza u statički neodređenim konstrukcijama. Sljedeća slika

prikazuje primjer tri puta statički neodređene konstrukcije:

5

Budući da konstrukcija ima šest nepoznatih reakcija i tri nezavisna uvjeta ravnoteže,

ona je tri puta statički neodređena, tj. nedostaju tri jednadžbe ravnoteže da bismo

mogli odrediti svih šest nepoznatih reakcija veza. Prema tome tri su reakcije

prekobrojne. Reakcije u osloncima B i C su označene kao prekobrojne. One su

označene s velikim slovima X i razmatraju se kao poopćene sile. Prema tome, tri su

nepoznate poopćene sile X1, X2 i X3. Poopćeni pomaci u smjeru X1, X2 i X3 jednaki su

nuli, pa prema drugom Castiglianovu teoremu vrijedi:

��

��= 0,

��

��= 0,

��

��= 0.

To su tri dopunske jednadžbe koje zajedno s tri uvjeta ravnoteže omogućuju da se

odredi šest nepoznatih reakcija veza.

Ako se kao prekobrojne sile odaberu unutarnje sile u nekom presjeku, tj. normalnu i

poprečnu silu te moment savijanja, poopćeni pomaci nisu uvijek jednaki nuli, pa se

ne može neposredno primijeniti drugi Castiglianov teorem. U tom slučaju može se

vrlo uspješno primijeniti teorem o minimumu energije deformiranosti.

6

Sljedeća slika prikazuje statički neodređenu konstrukciju koja je opterećena s više

vanjskih sila F1, F2, F3:

Konstrukcija je u točki C podijeljena na dva dijela. Na mjestu presjeka djeluje

normalna sila X1, poprečna sila X2 i moment savijanja X3. Vrijednosti poopćenih sila

X1, X2 i X3 nisu poznate. Ako te sile imaju pravu vrijednost, u presječenu lijevom dijelu

konstrukcije akumulirat će se jednaka energija UL kao i u dijelu AC izvorne

konstrukcije. Isto vrijedi i za desni odsječeni dio BC. Prema tome može se pisati:

� = �� + ��

gdje je UL energija deformiranosti lijevog dijela, UD energija deformiranosti desnog

dijela, a U ukupna energija čitave konstrukcije. Odabirom bilo koje unutarnje sile, npr.

X2 i deriviranjem UL, odnosno UD po toj sili, dobiva se:

��

��= �� ,

��

��= �� .

Gdje je �� poopćeni pomak lijevog dijela konstrukcije, a �� odgovarajući pomak

desnog dijela konstrukcije. Ti su pomaci po veličini jednaki jer se odnose na istu

7

točku i C. Po predznaku, oni su suprotni kako je prikazano na slici iznad, po zakonu

akcije i reakcije vrijedi:

�� = −��

Ako se to uvrsti u prethodni izraz, dobiva se:

��

��= −

��

��,

odnosno:

�

��

(�� + ��) =��

��= 0.

Općenito vrijedi:

��

��= 0,

��

��= 0,

��

��= 0.

To je nužan uvjet da funkcija � = �(��, ��, ��) ima ekstrem. U nastavku je vidljivo da

je to minimum.

Ako se zamisli konstrukcija koja je � puta statički neodređena, u tom slučaju ima �

prekobrojnih poopćenih sila ��, �� … �� … ��. Derivacija energije deformabilnosti po

bilo kojoj nepoznatoj sili jednaka je nuli,

��

��= 0,

što je nužan uvjet za ekstrem. Da bi se pokazalo kako je to minimum, potrebno je

zamisliti da na tijelo ili konstrukciju dijeluju sve sile osim sile ��, te tada energija

deformiranosti iznosi:

� = � (��, ��, … ��, ��, … ��).

8

Ako sada na konstrukciju počne djelovati sila �� ,tako da postupno raste od nule do

svoje konačne vrijednosti, energija će se povećati za iznos:

∆� = � �� +1

2��

�

�

��

.

Prvi član na desnoj strani izraza označava rad svih sila osim sile �� na pomacima

koje uzrokuje sila ��. Drugi član predstavlja rad sile ��.

Ukupna energija deformiranosti konstrukcije sada iznosi:

� = � (��, ��, … ��, ��, … ��) + � �� +1

2��

�

�

��

.

Prva derivacije energije � po sili ��, iznosi:

��

��= �� + ��.

Druga derivacija u tom slučaju iznosi:

��

�� = �� > 0.

Kako je ova druga derivacija veća od nule, energija deformacije statički neodređene

konstrukcije ima minimum.

9

2. Zadatak 1

Statički neodređenu nosivu konstrukciju prema skici riješiti postupkom

traženja minimuma potencijalne energije elastične deformacije.

Zadano:

� = �(2�)� , ℎ = 4

5� �, � = �4� , � = �1

2� �ℎ,

�� = ��, �� = 1.5��, � =��

(� 40)⁄ �� .

Problem riješiti za 2 slučaja:

a) U točki D je horizontalno pomični oslonac,

b) U točki D je zglob prema skici.

10

2.1. U točki D je horizontalno pomični oslonac

2.1.1. Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije

Presijek �� prije štapa:

11

Presijek �� poslije štapa:

Presijek �� prije sile F:

12

Presijek �� između sila F:

Presijek �� poslije sile F:

13



14

2.1.2. Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj

pomičnog oslonca u točki D

Ulazni podaci:

� = �(2�)� , ℎ = 4

5� �, � = �4� , � = �1

2� �ℎ,

�� = ��, �� = 1.5��, � =��

(� 40)⁄ �� .

Savijanje:

Momenti savijanja po poljima:

� = {x1, x2, x2, x2, x3, x3}; vektori položaja po poljima

Mx = {X2 ∗ (x1 − �),

X2 ∗ (ℎ − �) + X1 ∗ x2 −��

�,

X2 ∗ (ℎ − �) + X1 ∗ x2 −��

�− � ∗ (x2 − �),

X2 ∗ (ℎ − �) + X1 ∗ x2 −��

�− � ∗ (2 ∗ x2 − �),

X1 ∗ � − X2 ∗ (x3 − ℎ + �) −��

�− � ∗ �,

X1 ∗ � − X2 ∗ (x3 − ℎ + �) − ��/2 − � ∗ � + X2 ∗ (x3 − (ℎ − �))};

np = Length[Mx];

Gornje i donje granice po poljima:

xd = {0,0, �, L − a, 0, ℎ − �}; xg = {ℎ, �, L − a, �, ℎ − �, ℎ};

Momenti tromosti po poljima:

Iyp = {I2, I3, I3, I3, I1, I1};

Računanje unutarnje energije deformacije uslijed savijanja:

U2E = �1

Iyp[[�]]� Mx[[�]]� ��[[�]]

��[[�]]

��[[�]]

��

��

15

Uzdužne sile:

Računanje unutarnje energije deformacije uslijed uzdužnih sila:

UstE =X2��

2A2

Ukupna energija elastične deformacije:

Usum = U2E + UstE

Svođenje na bezdimenzijski oblik i računanje optimalnih vrijednosti reakcija:

X1 = X1F�; X2 = X2F�

U2E = Simplify[U2E]

FU = UsumI1

��

Rjes=Minimize[FU,{X1F,X2F}];Print[N[Rjes]] opt=Rjes[[1]];xopt={X1F/.Rjes[[2]],X2F/.Rjes[[2]]};

Rješenje – optimalne vrijednosti reakcija u osloncu F, izražene kao bezdimenzijske

veličine:

��

�= 1.31197

��

�= −0.142302

16

Ciljna funkcija energije deformiranja u ovisnosti o reakcijama �� i ��, prikazana 3D

grafom.

17

2.1.3. Projektni prostor, za slučaj pomičnog oslonca u točki D

Izgled projektnog prostora:

18

Grafički prikaz projektnog prostora s riješenjem:

19

2.2. U točki D je zglob

2.2.1 Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije


20


Presijek �� prije sile F:

21

Presijek �� između sila F:

Presijek �� poslije sile F:

22



23

2.2.2 Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj

zgloba u točki D

Ulazni podaci:

� = �(2�)� , ℎ = 4

5� �, � = �4� , � = �1

2� �ℎ,

�� = ��, �� = 1.5��, � =��

(� 40)⁄ �� .

Savijanje:

Momenti savijanja po poljima:

� = {x1, x1, x2, x2, x2, x3, x3}; vektori položaja po poljima

Mx = {�3 ∗ �1,

�2 ∗ (�1 − �) + �3 ∗ �1,

�2 ∗ (ℎ − �) + �1 ∗ �2 + �3 ∗ ℎ − (� ∗ �2^2/2),

�2 ∗ (ℎ − �) + �1 ∗ �2 + �3 ∗ ℎ − (� ∗ �2^2/2) − � ∗ (�2 − �),

�2 ∗ (ℎ − �) + �1 ∗ �2 + �3 ∗ ℎ − (� ∗ �2^2/2) − � ∗ (2 ∗ �2 − �),

�1 ∗ � − �2 ∗ (�3 − ℎ + �) + �3 ∗ (ℎ − �3) − (� ∗ �^2/2) − � ∗ �,

�1 ∗ � − �2 ∗ (�3 − ℎ + �) + �3 ∗ (ℎ − �3) − (� ∗ �^2/2) − � ∗ � +

�2 ∗ (�3 − (ℎ − �))};

np = Length[Mx];

Gornje i donje granice po poljima:

xd = {0, �, 0, �, L − a, 0, ℎ − �}; xg = {�, ℎ, �, L − a, �, ℎ − �, ℎ};

Momenti tromosti po poljima:

Iyp = {I2, I2, I3, I3, I3, I1, I1};

24

Računanje unutarnje energije deformacije od savijanja:

U2E = �1

Iyp[[�]]� Mx[[�]]� ��[[�]]

��[[�]]

��[[�]]

��

��

Uzdužne sile:

Računanje unutarnje energije deformacije uslijed uzdužnih sila:

UstapE =2X2��

2A

Ukupna energija elastične deformacije:

Uuk = U2E + UstapE

Svođenje na bezdimenzijski oblik i računanje optimalnih vrijednosti reakcija:

X1 = X1F�; X2 = X2F�; X3 = X3F�

U2E = Simplify[U2E]

FU = UsumI1

��

Rjes=Minimize[FU,{X1F,X2F,X4F}];Print[N[Rjes]] opt=Rjes[[1]];xopt={X1F/.Rjes[[2]],X2F/.Rjes[[2]],X4F/.Rjes[[2

]]};

Rješenje – optimalne vrijednosti reakcija u osloncu F, izražene kao bezdimenzijske

veličine:

��

�= 1.34013

��

�= 0.057282

��

�= 0.121665

25

Ciljna funkcija energije deformiranja u ovisnosti o reakcijama �� i ��, prikazana 3D

grafom.

26

2.2.3. Projektni prostor, za slučaj zgloba u točki D

Izgled projektnog prostora:

27

Grafički prikaz projektnog prostora s riješenjem:

28

2.3. Q i M dijagrami

2.3.1. Q dijagram štapa D-C

2.3.2. Q dijagram štapa C-B

29

2.3.3. Q dijagram štapa B-A

30

2.3.4. M dijagram štapa D-C

2.3.5. M dijagram štapa C-B

31

2.3.6. M dijagram štapa B-A

32

3. Zadatak 2

Potrebno je topološki optimirati četiri različite 2D konstrukcije, koristeći slobodno

dostupni program BESO2D.

Topološko optimiranje

Postoje dva osnovna tipa topološkog optimiranja, ovisno o tipu konstrukcije čija se

topologija optimira. Za one konstrukcije koje su po prirodi diskretne (primjerice

rešetkaste konstrukcije), problem optimalne topologije sastoji se u određivanju

optimalnog broja, pozicija, međusobne povezanosti strukturnih elemenata.

Drugi tip topološkog optimiranja namjenjen je optimiranju kontinuiranih struktura.

Ovdje se oblik vanjskih i unutrašnjih rubova (kontura) optimiraa istodobno s brojem

unutrašnjih otvora s ciljem optimalnog zadovoljavanja zadanog projektnog kriterija.

Često se optimalna konstrukcija dobivena kontinuiranim topološkim optimiranjem

može interpretirati kako rešetkasta, tj. diskretna konstrukcija. Iz tog se razloga

metode kontinuiranog optimiranja često koriste i za optimiranje topologije rešetkastih

konstrukcija.

Opis algoritma ESO/BESO za topološko optimiranje

Metoda ESO (evolucijsko strukturno optimiranje), razvijena je 1992 godine od strane

dvaju znanstvenika: Mike Xie-a i Grant Steven-a. Cilj njenog razvoja bila je težnja da

se razvije relativno jednostavna i svestrana metoda za pronalaženje optimalnog

strukturnog oblika. Metoda se temelji na principu polakog ukljanjanja neučinkovitog

materijala iz strukture, tako da se preostala struktura kroz iteracije razvija prema

optimalnoj.

Metoda ESO je u stanju riješavati veličinu, oblik i topologiju strukturne optimizacije

statičkih i dinamičkih problema, problema stabilnosti, toplinskih problema ili njihovih

kombinacija. Zbog izražene jednostavnosti i učinkovitosti ovu metodu primjenjuju

brojni inženjeri i arhitekti. Također može je razumjeti i primjeniti svatko tko ima

osnovno znanje o metodi konačnih elemenata (FEA). Velika prednost ove metode

krije se u tome što se relativno jednostavno može povezati s komercijalnim paketima,

kao što su primjerica NASTRAN, ANSYS i ABAQUS.

ESO metoda temelji se na von Mises-ovim naprezanjima ili energiji deformacije

svakog elementa. Za postizanje optimalne strukture, prvo se uklanjaju elementi s

najvećim naprezanjem, zatim se iz strukture uklanjaju elementi sa manjim

naprezanjem, i tako dalje postupkom iteracije sve dok se ne dobije optimalna

struktura.

33

Naprezanje svakog konačnog elementa u trenutnoj iteraciji (��) je određeno u

odnosu na najveće naprezanje u konstrukciji (��).

Elementi koji zadovoljavaju uvjet će biti izbaćeni iz konstrukcije u toj

iteraciji.

�� (rejection ratio) predstavlja omjer odbacivanja elemenata iz konstrukcije, a iznos

mu se jasno povećava nakon svake iteracije, �� = �� + ��. �� (evolutionary

rate), predstavlja korak evolucije, koji se unosi kao ulazni podatak.

ESO metoda za nelinearne strukture – za postizanje nelinearne ESO strukture,

model konačnog elementa se analizira s obzirom na materijalnu i/ili geometrijsku

nelinearnost.

Postoje dva kriterija za uklanjanje materijala, od kojih se jedan temelji na uklanjanju

elemenata s niskim von Mises-ovim naprezanjem, a drugi na uklanjanju elemenata s

niskom energijiom naprezanja.

Kratica BESO (Bi-directional Evolutionary Structual Optimisation), označava metodu

dvosmjernog evolucijskog strukturnog optimiranja. Valjanost ESO metode uvelike

ovisi o pretpostavkama da je struktura promjene (evolucija) u svakom koraku mala, te

da je mreža konačnih elemenata za analizu gusta. U slučaju da je previše materjala

uklonjeno iz strukture u jednom koraku, ESO metoda ne može vratiti te elemente koji

su prerano izbrisani.

Godine 1999, u cilju povećanja učinkovitosti ESO metode, razvijena je dvosmjerna

ESO (BESO) metoda u kojoj se materijal može brisati iz strukture i dodavati na

najopterećenija područja.

Metode ESO/BESO je osim za 2D probleme moguće primjeniti i na 3D probleme.

Opis korištenog programa BESO2D

BESO2D je slobodno dostupni program koji se primjenjuje u topološkom optimiranju

pojedinih dvo-dimenzionalnih konstrukcija.

Opremljen je slijedećim funkcijama: crtanje domene konstrukcije, definiranje

opterećenja i rubnih uvjeta, generiranje mreže konačnih elemenata, provjera

naprezanja i deformacija pomoću MKE- metode, te provedbom BESO optmizacije.

Postupak optimiranja:

a) Definiranje domene

34

b) Diskretizacija domene generiranjem mreže konačnih elemenata (program

koristi pravokutne konačne elemente sa četiri čvora i dva stupnja slobode po

čvoru). U postupku je potrebno definirati razmak između pojedinih čvorova,

odnosno gustoći mreže konačnih elemenata.

c) Nakon toga zadaju se rubni uvjeti, uvjeti opterećenja i značajke materijala

(Young-ov modul elastičnosti, Poisson-ov koeficijent, te gustoću materijala).

d) Zatim se provodi postupak topološke optimizacije

e) Nakon završenog procesa optimizacije i dobivanja optimalne konstrukcije,

moguće je prikazati tijek optimiranja, te naprezanja i deformacije. Također je

moguće promjeniti pojedine parametre i nastaviti danji postupak optimiranja.

Izgled sučelja programa BESO2D1

35

3.1. Konstrukcija 1

Konstrukcijska domena nalik na most poduprta sa 4 oslonca. Dio mosta gdje bi

trebala biti cesta opterećen kontinuirano.

3.1.1 Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti

Definiranje mreže konačnih elemenata:

Broj konačnih elemenata: 7200 (120x60).

Vrsta konačnih elemenata: pravokutni konačni elementi sa četiri čvora i dva stupnja

slobode po čvoru.

Broj stupnjeva slobode: 7381.

Razmak među čvorovima (DBN): 0,05.

36

3.1.2. Definiranje karakteristika:

¸

Značajke materijala

3.1.3. Proces optimizacije

Iteracija 10

37

Iteracija 20

Iteracija 30

Iteracija 40

38

3.1.4. Rezultat procesa optimizacije

Konačan oblik – iteracija 53

3.1.5. Deformirani oblik i naprezanja

39

3.1.6. Grafički prikaz procesa optimizacije

Graf prikazuje konvergenciju prema riješenju.

3.2. Konstrukcija 2

Konstrukcijska nalik na kotač opterećen silama F.

40

3.2.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti


Broj konačnih elemenata: 8200


slobode po čvoru.

Broj stupnjeva slobode:9140


3.2.2. Definiranje karakteristika

41



Iteracija 10

Iteracija 20

42

Iteracija 30



43


44


Graf prikazuje konvergenciju prema riješenju

3.3. Konstrukcija 3

Konstrukcija zamišljena kao spremnik za tekućinu otvoren odozgora. Tekućina

opterećuje kontinuirano stijenke spremnika.

45

3.3.1. Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti


Broj konačnih elemenata: 2000.


slobode po čvoru.




46



Iteracija 10

Iteracija 20

47

Iteracija 30



48



Graf prikazuje konvergenciju prema riješenju

49

3.4. Konstrukcija 4

Konstrukcija nalik stepenicama, kontinuirano opterećena. U donjem dijelu na

krajevima oslonjena na nepomičnim osloncima.

3.4.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti


Broj konačnih elemenata: 2450.


slobode po čvoru.



50



51


Iteracija 20

Iteracija 40

52

Iteracija 60


Konačni oblik – iteracija 72

53



Graf prikazuje konvergenciju prema rješenju

54

4. Zaključak

Optimalna rješenja konstrukcija razlikuju se u ovisnosti o gustoći mreže konačnih

elemenata, međutim te razlike su vrlo male.

Prednost gušće mreže sa više konačnih elemenata krije se u tome što ona

omogućuje preciznije i bolje krajnje rješenje, međutim kako raste broj konačnih

elemenata raste i broj potrebnih iteracija, što znači da je potrebno dulje vrijeme

računanja.

Također se može zaključiti da manji relativni volumen konstrukcije također povećava

broj potrebnih iteracija.

55

5. Popis literature

D. Šćap, Optimiranje mehaničkih konstrukcija, udžbenik raspoloživ za

studente. Zagreb.

Alfirević, (1999), Nauka o čvrstoći II. Zagreb: Golden Marketing.

X. Huang, Y.M. Xie. Evolutionary topology optimization of continuum

structures, methods and applications, School of Civil, Environmental and

Chemical Engineering. RMIT University, Australia

Z. Tonković, D. Pustaić, H. Wolf (2005), Mehanika III. Zagreb: Golden

Marketing.

Program Wolfram Mathematica v.7.0.

Program BESO2D.

Documents

Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija