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Ministero della Pubblica Istruzione Direzione Generale Istruzione Elementare Unione Matematica Italiana 36 DOCUMENTI DI LAVORO GEOMETRIA E MULTIMEDIALITÀ 5° Corso MPI-UMI in Didattica della Matematica per Docenti Istruzione Elementare Liceo Scientifico Statale “A. Vallisneri” Lucca 23/27 novembre 1998 - 22/26 febbraio 1999 Q U A D E R N I Direzione Generale Istruzione Classica Scientifica e Magistrale

Ministero della Pubblica Istruzione - CIIM · Ministero della Pubblica Istruzione Direzione Generale Istruzione Elementare Unione Matematica Italiana 36 DOCUMENTI DI LAVORO GEOMETRIA

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MinisterodellaPubblicaIstruzione

Direzione GeneraleIstruzione Elementare

Unione MatematicaItaliana

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DOCUMENTIDI

LAVORO

GEOMETRIA E MULTIMEDIALIT5 Corso MPI-UMI in Didattica

della Matematica per DocentiIstruzione Elementare

Liceo Scientifico StataleA. Vallisneri

Lucca

23/27 novembre 1998 - 22/26 febbraio 1999

QUADERNI

Direzione GeneraleIstruzione ClassicaScientifica eMagistrale

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Quaderni ed Atti pubblicati dal Ministero della Pubblica Istruzione

Direttore: G. CosentinoDirettore editoriale: L. CatalanoCoordinatore editoriale: G. CiriRevisione Scientifica: F. Arzarello, C. Bernardi, L. Ciarrapico, M. DibilioEditing: P. NardiniGrafica: F. Panepinto, A. Commisso, L. Gerbino

Il presente fascicolo potr essere riprodotto per essere utilizzato allinterno delle scuole in situazioni diformazione del personale direttivo e docente (Corsi, Collegi, riunioni per materia).

Nota editorialeIn questo quaderno sono raccolti i materiali che costituiscono lo specifico dei Seminari di formazioneper Docenti degli Istituti afferenti alla Direzione classica, scientifica e magistrale.Essi sono stati prodotti da corsisti e relatori nella forma finale, con la collaborazione scientifica delComitato di redazione. Altri pur pregevoli contributi individuabili nel Programma non vengono qui rac-colti, in quanto la loro ricaduta formativa si esplica in un ambito pi generale e, pertanto, in tutto o inparte, sono gi stati divulgati. Essi sono, comunque, disponibili presso la Direzione GeneraledellIstruzione Classica Scientifica e Magistrale.

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Ministero della Pubblica IstruzioneDirezione Generale Istruzione

Classica Scientifica e MagistraleDirezione Generale Istruzione Elementare

Unione Matematica Italiana

V CORSO UMI-MPI IN DIDATTICADELLA MATEMATICA

Seminario di formazione per DocentiIstruzione Elementare

GEOMETRIA EMULTIMEDIALIT

Liceo Scientifico StataleA. Vallisneri - Lucca

23-27 novembre 1998 - 22-26 febbraio 1999

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INDICE

Ferdinando ArzarelloLucia CiarrapicoPresentazione Pag. 7

Mario FerrariGeometria pg. 11

Paolo BoeroEsperienze nella didattica della geometria pg. 51

Nicoletta LancianoGeometria in spazi concreti pg. 77

Giampaolo ChiappiniLa mediazione del calcolatore nellinsegnamento della geometria pg. 99

Stefania Cotoneschi, Franco SpinelliProgetti multidisciplinari e multimedialit nella scuola di base pg. 123

Vinicio VillaniUn approccio multimediale per la formazione e laggiornamento

degli insegnanti di matematica pg. 135

Maria G. Bartolini BussiGeometria e multimedialit: reale o virtuale pg. 141

Franca FerriLetture di pagine classiche pg 147

Maria Giuseppina StaderiniNodi e concetti fondamentali della geometria pg. 153

Teresa GazzoloUn progetto di itinerario didattico su geometria e aritmetica pg. 159

Geometria senza numeri: problemi di costruzione pg. 165

Franco GiuaGeometria e multimedialit: relazione dei lavori di gruppo pg. 171

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PRESENTAZIONE

Ferdinando ArzarelloPresidente della Commissione Italiana per lInsegnamento della Matematica (*).

Lucia CiarrapicoDirigente superiore per i servizi ispettivi.

Questo volume raccoglie materiale elaborato in occasione del Quinto Corsoin Didattica della Matematica, organizzato dal Ministero della Pubblica Istru-zione e dall'Unione Matematica Italiana.

Alla fine del 1993 il Ministero della Pubblica Istruzione e l'Unione Mate-matica Italiana hanno sottoscritto un Protocollo d'Intesa, per promuovere pro-grammi comuni per la ricerca e la diffusione di metodologie didattiche, ade-guate ai recenti sviluppi scientifici e tecnologici, nel campo della matematica edelle sue applicazioni. Nel quadro di una collaborazione fra mondo dellaScuola e Universit volta a realizzare forme di aggiornamento, il Protocolloprevede che il Ministero e l'Unione Matematica Italiana organizzino congiun-tamente ogni anno un Corso residenziale di due settimane, su temi di didatticadella matematica. Nel 1994 si svolto il Primo Corso, dal titolo L'insegna-mento dell'Algebra fra tradizione e rinnovamento per docenti delle ScuoleSuperiori; nel 1995-96 si tenuto il Secondo Corso, dedicato all'Insegnamen-to della Geometria e rivolto sia a docenti delle Scuole Medie sia a docentidelle Superiori; nel 1996-97 si tenuto il Terzo Corso, diviso in due sezioni,una di Aritmetica per insegnanti della Scuola Elementare, una di Didatticadellanalisi Matematica per docenti delle Superiori; nel 1997-98 si tenuto ilQuarto Corso Logica Probabilit Statistica per docenti delle Superiori e delleScuole Medie.

Il Quinto Corso in Didattica della Matematica si svolto a Viareggio in duesettimane separate, dal 23 al 27 novembre 1998 e dal 22 al 26 febbraio 1999.

Anche il Quinto Corso stato articolato in due sezioni una per le Superiori,una per le Elementari, entrambe sul tema Geometria e multimedialit.

Al solito, si ritenuto preferibile presentare separatamente i testi relativi al-le Superiori e quelli dedicati alle Elementari, per ottenere due volumi tipogra-ficamente pi agili e didatticamente mirati.

Al corso sono stati ammessi solo 30 docenti di ruolo per le elementari e 41per le Superiori a fronte di un numero molto pi elevato di domande. La scelta

(*) La Commissione Italiana per l'lnsegnamento della Matematica una commissione permanentedell'Unione Matematica Italiana, che si occupa specificamente dei problemi di carattere didattico.

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stata fatta sulla base dei titoli presentati dai docenti e cercando di soddisfareuna rappresentanza uniforme di tutte le regioni italiane.

Nella Sezione "Elementari" si sono svolti 4 cicli di lezioni, con esercitazio-ni, conferenze, lavori di gruppo, esercitazioni al computer. Come appare dai te-sti, in cui sono sinteticamente riportati i vari momenti di lavoro (lezioni teori-che, esemplificazioni, spunti didattici), si cercato di affrontare gli argomentiavvalendosi delle indicazioni fornite dalla ricerca didattica e di spunti suggeritidalla storia e dalla epistemologia.

Nei lavori di gruppo sono statio fra laltro discussi problemi legati alla va-lutazione delapprendimento oltre che a tematiche specifiche relative allinse-gnamento della Geometria.

Questo libro vuole essere uno strumento didattico per attivit di studio, diaggiornamento e anche di prima formazione. L'efficacia di un Corso di didatti-ca si misura dalla sua ricaduta: ci auguriamo che anche il libro permetta a mol-ti di coloro che non hanno potuto partecipare al Corso, di usufruirne, sia pure adistanza di tempo, e possa anche costituire una fonte di suggerimenti per Enti eAssociazioni che vogliano contribuire con iniziative locali alla formazione deidocenti.

Un sentito ringraziamento va rivolto a quanti hanno reso possibile la realiz-zazione dell'iniziativa: alla Direzione Generale dell'Istruzione Classica Scientifica e Magistrale,

che ha curato l'organizzazione del Corso, alla Direzione Generale dell'Istruzione Tecnica, alla Direzione Generale

dellIstruzione Professionale e allIspettorato per lIstruzione Artistica, chehanno contribuito alla realizzazione del Corso,

al Preside Giuseppe Ciri del Liceo Scientifico Vallisneri di Lucca, che hadiretto il Corso, e al personale dello stesso Liceo, che ha offerto un efficacesostegno amministrativo e di segreteria,

ai relatori, per la loro competenza e disponibilit, ai docenti partecipanti, che hanno dato contributi preziosi grazie alla loro

preparazione e alla loro esperienza concreta.

PROTOCOLLO DI INTESA M.P.I. - U.M.ISEZIONE ISTRUZIONE PRIMO GRADO

V CORSO MPI-UMI IN DIDATTICA DELLA MATEMATICA

GEOMETRIA E MULTIMEDIALIT

Programma

Cicli di lezioni:

A Mario Ferrari - Universit di PaviaInsegnamento-apprendimento della geometria

B Nicoletta Lanciano - Universit di Roma La SapienzaGeometria in spazi concreti

C Paolo Boero - Universit di GenovaEsperienze nella didattica della Geometria

D Parte I Giampaolo Chiappini - IMA GenovaLa mediazione del calcolatore nellapprendimento della geometria

Parte II Stefania Cotoneschi, Franco Spinelli - FirenzeProgetti multidisciplinari e multimedialit nella scuola di base

Conferenze:

Vinicio Villani - Universit di PisaUn approccio multimediale per la formazione e laggiornamento degliinsegnanti di matematica

Maria G. Bartolini Bussi - Universit di Modena e Reggio EmiliaGeometria e Multimedialit: reale o virtuale

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STAFF DI GESTIONE DEL CORSO

Direttore: Giuseppe Ciri

Relatori:

Paolo Boero

Lucilla Cannizzaro

Giampaolo Chiappini

Stefania Cotoneschi

Nicoletta Lanciano

Mario Ferrari

Enrico Giusti

Aldo Morelli

Benedetto Scimemi

Franco Spinelli

Gian Marco Todesco

Segreteria organizzativa:Francesca Antonelli, Ilaria Ercoli, Stefano Mrakic, Maria Luisa Radini,Giovanni Romani.

La curatela del presente volume stata seguita da Giuseppe Ciri.La revisione scientifica dei testi stata curata da Lucia Ciarrapico,Claudio Bernardi e Paolo Nardini.

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GEOMETRIA

Mario FerrariUniversit di PaviaRedattore: Pierangelo Giovanni Sacchi - Universit di Pavia

CAPITOLO 1La struttura logica della geometria

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CAPITOLO 2Alcuni aspetti teorici

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ESPERIENZE NELLA DIDATTICADELLA GEOMETRIA

Paolo BoeroDipartimento di Matematica - Universit di Genova

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GEOMETRIA IN SPAZI CONCRETI

Nicoletta LancianoDipartimento di Matematica - Universit di Roma La Sapienza

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LA MEDIAZIONE DEL CALCOLATORENELLINSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA

Giampaolo ChiappiniConsiglio Nazionale delle RicercheIstituto per la Matematica Applicata - GenovaE-mail: [email protected]

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PROGETTI MULTIDISCIPLINARI EMULTIMEDIALIT NELLA SCUOLADI BASE

Stefania Cotoneschi - Franco SpinelliScuolaCitt Pestalozzi - Firenze

Il lavoro per progetti, che da alcuni anni si sta sviluppando nella nostrascuola, ha ormai accumulato una serie di esperienze e di riflessioni al nostrointerno, cosicch sentiamo lesigenza di confrontarsi con altre realt interessa-te a sviluppare metodologie articolate che rispecchino il modo di procedere perreti concettuali.

Abbiamo accumulato diverse esperienze nel campo dei progetti di Educa-zione Ambientale e ci sembra che questi siano particolarmente significativi,perch si tratta di progetti multidisciplinari che coinvolgono lattivit didatticadi una o pi classi e si sviluppano con lapporto di tutti gli insegnanti di unbiennio.

Leducazione ambientale considera lambiente come sistema di relazioni eluomo come uno degli organismi che in quel sistema vive ed un processo diconoscenza e di esperienza finalizzato alla modifica dei comportamenti, o me-glio si propone di mettere a punto un percorso di esperienze conoscitive e me-todi per concorrere a portare le persone alla cultura del rapporto e delle rela-zioni, per raggiungere un comportamento di consapevolezza e responsabilit.

Il processo cognitivo basato sul sistemico, cio sulla capacit di coglierele relazioni e le diversit permette quindi di inserire i soggetti che partecipanoal progetto nella dimensione della complessit.

Conoscenza, esperienza e comportamenti sono i concetti relativi ai tre livel-li con cui rapportarsi allambiente, che lUNESCO ha cos indicato: studioSULLAMBIENTE, attivit NELLAMBIENTE, attivit PER LAMBIENTE,con un percorso a spirale che continuamente torna su se stesso attraverso i tremomenti.

Si tratta di una interpretazione in senso lato di ambiente. In questa visionesi va al di l di quella concezione che limita loggetto della educazione am-bientale alla descrizione scientifica di un certo ecosistema, con lelencazionedei problemi legati allecologia. Lambiente di cui ci occupiamo nei nostri la-vori coinvolge la natura ma anche la storia, gli aspetti sociali, economici, arti-stici etc.

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In questo senso la lettura dellambiente si pu e si deve avvalere di tutte lecompetenze disciplinari.

Ci siamo accorti che lottica delle singole discipline non basta, necessariauna pi ampia rete di interpretazione che tenga conto non solo dei linguaggi edelle necessarie competenze disciplinari, ma anche delle diverse esperienze edei saperi informali dei componenti del gruppo alunni-insegnanti.

Questo modo di lavorare utilizza linguaggi specifici diversi che concorronoalla lettura della complessit della realt in cui si vive individualmente e collet-tivamente.

Il gruppo di adulti progetta ed esperimenta parti del lavoro che far con i ra-gazzi. II gruppo dei ragazzi partecipa alla elaborazione del progetto, nel sensoche la programmazione iniziale non deve essere rigida, si deve poter adattare initinere alle esigenze che via via emergono (flessibilit nei tempi, nei modi).

Nella costruzione del progetto una fase importante quella preparatoria,durante la quale si ascolta, si accoglie lesperienza di ciascuno per individuarei problemi sui quali si lavorer durante il progetto stesso. necessario partiredai saperi dei ragazzi e per questo si dedica molta attenzione alla ricognizioneiniziale. La pratica dellascolto, dell operativit, del coinvolgimento e dellacollaborazione sia a livello adulto, sia fra adulti e ragazzi, sono le caratteristi-che metodologiche scelte.

Lorganizzazione del lavoro si avvale di diverse procedure: lavoro indivi-duale, di gruppo, sperimentazione diretta, lezione frontale, interviste, discus-sioni per problemi, ricerca su testi scritti, uso di documenti, esplorazione dimovimenti, suoni, immagini.....

Elementi fondamentali del Progetto sono secondo noi, i seguenti. la trasversalit, cio un approccio al reale indipendentemente dagli occhiali

disciplinari, perch lambiente non ha niente a che vedere con le divisionidelle discipline. Ne consegue che il lavoro sempre svolto da una quipe,che pu essere semplice (insegnante e alunni) o pi articolata, con la pre-senza di insegnanti ed esperti esterni.

la flessibilit. Non ci pu essere una programmazione rigida per obiettiviparziali e finali, anche se ovviamente sono necessari vari momenti di pro-grammazione, allinizio e in itinere.

la ricerca-insieme, cio tutto il gruppo, nelle diverse competenze, si poneparitariamente nella dimensione della ricerca.

Ci sembra importante rilevare i seguenti punti.1. Lavorare allo stesso progetto nel terzo biennio (V elementare- I media) vuol

dire confrontarsi nei contenuti e nel metodo di lavoro fra elementari e medie.

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2. Il gruppo che progetta per quelle classi lavora nello stesso tempo a formarese stesso come quipe e a calibrare il progetto per la fascia di et.

3. La partecipazione di tutti permette di affrontare sia la complessit del con-testo, dal punto di vista delle discipline e dei linguaggi, sia di costruire egestire la complessit del progetto che emerge dal confronto e dalle compe-tenze di tutti.

4. Ricerca insieme vuol dire porre domande legittime e cercarne insieme lerisposte; ne deriva quindi una programmazione non rigida, flessibile, ingrado di accogliere modifiche; non pensare di insegnare quello che si sagi, ma essere disponibili a esplorare ed imparare insieme e ad accettare dinon arrivare a risposte definite; valorizzare il contributo di tutti e la molte-plicit dei punti di vista, cercando le diversit e non solo le somiglianze;non dimenticare che noi siamo dentro lambiente e non osservatori esterni ,che ciascuno nel gruppo di lavoro ha la sua responsabilit e diritto di inter-vento; i ragazzi sentono che gli insegnanti credono in quello che fanno.

5. Usare le stesse procedure di lavoro fra adulti e con i ragazzi, rendendoleesplicite, permette di riflettere sulla costruzione delle conoscenze (di impa-rare ad imparare), di valorizzare i saperi informali di tutti mettendo sullostesso pino emozioni, sensazioni conoscenze, di trovare un fondamentonel reale per le discipline, oltre che un riferimento concreto con lo specificodisciplinare.

6. Impegnarsi nella costruzione di un prodotto fmale, che sia una mostra o al-tro, una opportunit importante che rappresenta un momento di verifica diquanto gli alunni hanno acquisito sul piano delle conoscenze e sul pianodella rielaborazione per la comunicazione.

7. La scelta di realizzare anche un ipertesto motivata dal fatto che si sentivala necessit di avere anche un prodotto aderente al lavoro del progetto inuna forma che favorisse la comunicazione, pi versatile del materiale carta-ceo e, soprattutto, pi adatta a rappresentare il processo seguito durante tut-to il progetto che quello delle relazioni per costruire una rete concettuale.

8. Collaborare con altre scuole anche lontane ci sembra la naturale conse-guenza del privilegiare il lavoro di gruppo e il confronto. (Alcuni dei nostriprogetti sono stati oggetto di scambio in progetti Comenius).

9. La rilevanza locale dellazione educativa proposta risulta essere assai alta,infatti il lavoro sul campo, il rapporto col territorio e con gli enti locali, i di-versi piani coinvolti, affettivo, cognitivo, sociale, fanno s che tutto il per-corso sia significativo per il cambiamento di comportamento delle personecoinvolte nei confronti dellambiente.

10.Con il lavoro per progetti siamo in presenza di: innovazione educativa,cambiamento nella organizzazione della scuola e del lavoro scolastico, in

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termini di metodi e contenuti dinsegnamentoapprendimento e di relazioni(trasversalit delle iniziative, quindi colloquio tra le discipline, ma anchetra le persone; possibilit di fare ricerca-insieme).

11. importante lattenzione al cambiamento di conoscenze, di atteggiamenti,di valori e comportamenti. Sono rilevanti la flessibilit, la capacit di valo-rizzare le differenze, Ieducazione allincertezza e alla conflittualit, lo svi-luppo delle qualit dinamiche, delle capacit di agire autonomamente e re-sponsabilmente, di prendere decisioni, di convivere con limprevedibilitdel reale.

Il progetto a cui facciamo riferimento nel nostro intervento quello realizzatonellAnno scolastico 1996-97 - Terzo biennio: classi quinta e prima media.

NATURARTINBOBOLI: un accordo tra uomo e natura.

Discipline coinvolte:

- Lingua italiana e scienze umane -Indagine sociale sui visitatori di Boboli e su chi lavora nel giardino (attraver-so interviste).Ricerca sui giardini delle fiabe popolari e invenzione di una fiaba ambientatain Boboli.- Lingua inglese - Caccia al tesoro prima su una mappa e poi nella realt am-bientata nel giardino.Recita in inglese de Il giardino segreto.- Scienze -Analisi di due microambienti diversi del giardino, uno pi selvaggio, uno picurato dalluomo.Esperimenti sui hpi di terreno, osservazioni su piante e loro riconoscimento,osservazioni sugli animali.Lacqua di una vasca e la sua popolazione .- Matematica - Quanto grande il girdino? Progettazione e costruzioni distrumenti e strategie di misurazione .Quanta acqua pu contenere una vasca? - Educazione Tecnica - Le vasche e i giochi dacqua. - Educazione Artistica - Dalle statue e dagli elementi verdi a sagome comesuperfici su cui lavorare.Dalle forme della mappa del giardino alla rielaborazione fantastica di questeforme e alla progettazione di un giardino immaginario.

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- Teatro -Dallosservazione delle statue alla ricostruzione di costumi; analisi di dipintid epoca .- Educazione fisica -Uso di due spazi verdi del giardino che in passato erano usati per danze espettacoli per studiare movimenti e andature in accordo con losservazione distatue e animali .- Musica -Dai suoni e rumori del giardino rielaborazioni di musiche per accompagnareil movimento.

Alunni di quinta: n. 21 (14 F e 7 M) J, alunni di prima media (10 F e 10 M)

Periodo scolastico in cui si svolto il progetto:Dicembre: solo lavoro fra adulti; Gennaio - Aprile lavoro con i ragazzi .Contributi Esterni:Soprintendenza ai Beni Ambientali ed Architettonici per le Provincie di Firen-ze e Pistoia - Direzione Giardino di Boboli;Universit degli Studi di Firenze.

Il Progetto contribuisce a realizzare i seguenti obiettivi generali del Piano Edu-cativo di Istituto.

Realizzazione della Continuit Educativa tra scuola elementare escuola media.

Progettazione collegiale nei Consigli di classe riuniti. Costruzione di un percorso didattico multidisciplinare e interdisciplinare . Applicazione e sviluppo della metodologia della ricerca insieme tra adul-

ti e tra adulti e ragazzi. Uso della procedura dello sfoglio disciplinare fra adulti e fra adulti e ra-

gazzi. Realizzazione di materiali ipertestuali per il Progetto Telocomunicando:

Caro computer ti presento i miei tesori del M.P.I. e della STET. Sviluppo di tematiche di educazione ambientale nellambito del Progetto

Europeo Comenius in collaborazione con le scuole: Kiiminkijoen Koulu,Finlandia eKorfaltsskolan di Ostersund, Svezia.

Nella fase iniziale abbiamo seguito il seguente itinerario:* rilevamento dei saperi informali:

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- associazione libera di 10 parole su giardino e successivamente su Boboli;

- elaborato grafico: disegno su un foglio diviso in tre parti, con parole, nume-ri, poesie..... .

* Sfoglio empirico dellambiente:

- visita al Giardino senza alcuna consegna precisa se non quella di o,sservare eregistrare emozioni;- brain-storming: le due classi vengono divise in quattro gruppi; i bambini deidiversi gruppi scrivono su un cartellone tutte le associazioni libere a partiredalla parola giardino di Boboli;- raccolta delle parole in categorie all interno degli stessi gruppi;- confronto delle categorie emerse nel lavoro dei gruppi e selezione di 14 paro-le che possano costituire una mappa concettuale di relazioni: COLORI, RE-GOLE, TEMPO, ANIMALI, SENSAZIONI, NON VIVENTE, AZIONI, PER-SONE, IMMAGINARIO, VEGETAZIONE, COSTRUZIONI, ACQUA,FORME, ATMOSFERA;- costruzionee di percorsi logici utilizzando gruppi di tre o quattro parole scel-te tra le 14 ( lavoro in piccoli gruppi interclasse).* Sfoglio disciplinare:- ai ragazzi stato chiesto: GIARDINO DI BOBOLI. Cosa ti piacerebbe scoprire, immaginare, fare?Riguardando collettivamente le richieste, abbiamo raggruppato tutte quelle chepotevano essere soddisfatte da una stessa disciplina (cosa possiamo sapere congli occhiali delle scienze, della storia, delleducazione artistica);- individuazione di percorsi possibili allinterno delle singole discipline e defi-nizione della programmazione.

La parte del progetto su cui ci soffermeremo quella che riguarda la matemati-ca in quinta, ma prima utile far riferimento a qualche passo dei programmidell 85 per la scuola elementare.

Leducazione matematica contribuisce alla formazione del pensiero nei suoivari aspetti: di intuizione, di immaginazione, di progettazione, di ipotesi e de-duzione, di controllo e quindi di verifica o smentita;

non possibile giungere allastrazione matematica senza percorrere un lungoitinerario che collega losservazione della realt, Iattivit di matematizzazione,la risoluzione dei problemi, la conquista dei primi livelli di formalizzazione;

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le nozioni matematiche di base vanno fondate e costruite partendo da situa-zioni problematiche concrete, che scaturiscano da esperienze reali del fanciul-lo.

Condividendo completamente queste asserzioni dei programmi, ci siamosforzati di creare situazioni adatte dal punto di vista didattico per realizzare uninsegnamento/apprendimento della matematica consono a queste indicazioni.La matematica diventa, al pari delle altre discipline, uno strumento di ricerca,di lettura, di comprensione; le competenze che si costruiscono sono pienamen-te giustificate da domande legittime che sorgono durante la ricerca.

Gli aspetti metodologici vengono molto curati; alcuni vanno quiricordati per permettere una migliore comprensione del lavoro:

il luogo deve essere vicino alla scuola per permettere di lavorare spessosul campo;

il tema deve essere ben delimitato perch la ricerca non sia troppo ampia epoco definita;

il titolo scelto fin dall inizio deve essere indicativo della ricerca; i problemi devono sorgere da reali curiosit dei ragazzi e possono, incorso

d opera, modificare 1 attivit; necessario che ci siano alcune domande legittime, ossia domande alle

quali con il nostro lavoro di ricerca possiamo dare risposta e che non sianopercepite dai ragazzi come argomenti che 1 insegnante deve trattare.

Durante la fase iniziale del progetto Naturartinboboli: un accordo tra uomo enatura, cio nella fase della ricognizione dei saperi informali e della pro-gettazione insieme ai ragazzi, abbiamo cercato di stimolare domande e pro-blemi guardando lambiente con gli occhiali delle diverse discipline.

Quando siamo arrivati a parlare di matematica, i ragazzi hanno pensato checon essa avremmo potuto: (si sono raccolte le proposte in una conversazione aclasse intera).

- disegnare dei luoghi che hanno una forma geometrica per poterli misu-rare (con luoghi essi intendevano prati, aiuole, fontane, vialetti...);- trovare quanto grande il giardino- quanto lungo, quanto largo,- quanto larea, - quanto il perimetro - quanto profonda lacqua delle vasche.

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Si decide di lavorare su due problemi: - quanto grande il giardino - e -quanta acqua c nella vasca di Nettuno.

COME SI POTREBBE FARE...Molto spazio si da alla discussione per porre domande e individuare pro-

blemi.Le strategie di soluzione possibili vengono anche discusse e si decide insie-

me quali siano realizzabili. Si danno esempi di proposte e di attivit scaturitedalle discussioni in classe seguendo la cronologie del lavoro svolto.

Quanto grande il giardino

Misura di lunghezze sul campo. Costruzione e uso di un odometro (utilizzando una vecchia ruota di bici-

cletta), uso del contapassi. Lavoro sulla circonferenza e sulla media aritme-tica. Approssimazione di misure lineari.

Misura di lunghezze sulla carta. Dalle misure prese nella realt alla scaladella mappa usata. Determinazione del perimetro del giardino.

Misura di aree su carta attraverso la quadrettatura . Misura di aree tramite pesatura Ingrandimenti e riduzioni di forme. Scala e misure di aree. Determinazione dellarea reale del giardino.

Quanto grande la vasca del Nettuno

Rilievo a vista della forma della vasca. Osservazioni sulla simmetria . Misura del perimetro della vasca. Osservazioni sull acqua della vasca. Il concetto di volume. Misura di volumi. Capacit di recipienti, riempimento con cubetti e con acqua. Misura delle tre dimensioni e scoperta della formula per il calcolo del volu-

me di solidi semplici. Relazione fra misure di capacit e misure di volume (1 dm3 - 1 litro) . Scala e misura di volumi. Costruzione di un modellino della vasca. Determinazione del volume della vasca utilizzando il modellino. Determinazione del volume dellacqua della vasca attraverso la misura

dellarea e della profondit.

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Una delle domande pi frequenti riguardo ai nostri progetti proprio quelladel rapporto che esiste fra il progetto e la programmazione curricolare, cos ab-biamo elencato anche questa serie di obiettivi. Individuare, formulare, risolvere problemi. Individuare situazioni problematiche in ambiti di esperienza. Risolvere problemi con possibilit di soluzioni diverse . Risolvere problemi di geometria, anche grafici. Approfondire i concetti relativi alla misura e alluso delle principali unit

internazionali. Approfondire i concetti relativi alla misura del tempo. Utilizzare il concetto di perimetro in opportune situazioni. Osservare e riconoscere le caratteristiche del cerchio. Consolidare il concetto di area. Acquisire il concetto di volume. Riconoscere alcune trasformazioni geometriche. Interpretare, costruire ed usare semplici strumenti statistici. Acquisire il concetto di scala e usarlo nella costruzione di mappe e nella

lettura di carte e mappe.

Ci sembra evidente che il lavoro del progetto si possa a tutti gli effetti con-siderare inserito a pieno nelle attivit previste dal curricolo, anzi ci sembraquesto il pregio maggiore di questa metodologia, quello che ci ha spinto pivolte a ripetere esperienze simili in questa fascia di et.

Utilizzazione della multimedialit nella didattica

Il nostro lavoro sembra ben descrivibile attraverso una narrazione cronolo-gica, ma subito ci si accorge che ci insoddisfacente, poich ogni momento collegato a piani di intervento diversi. Alla narrazione si sovrappone una retedi lettura complessa, nella quale si intrecciano alcuni percorsi lineari relativi apunti di vista specifici.

Per documentare e per riflettere su un progetto del genere, quindi neces-sario uno strumento complesso e articolato, uno strumento ipertestuale, che siadatta bene a realizzare il prodotto del lavoro di ricerca e permette di rifletteresul processo di costruzione della rete di conoscenze.

Sia lavorando con i bambini della scuola elementare che con quelli dellasecondaria, resta immutato il diverso approccio alla conoscenza che i nuovimezzi della comunicazione elettronica richiedono: si tratta di dare spazio ad unpensiero associativo e non lineare, che permetta percorsi plurimi allinternodelloggetto del conoscere e della sua comunicazione.

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Lipertesto pu essere visto, quindi, come una ragnatela che ha una paginainiziale collegata (attraverso bottoni, parole calde, campi attivi) con pagine disviluppo, che a loro volta possono essere dei nodi dai quali partono altri colle-gamenti con altre pagine di sviluppo.

Le nuove modalit della comunicazione elettronica richiedono contamina-zioni tra piani disciplinari, perci a priori non si possono stabilire steccati trop-po rigidi tra le materie e si deve privilegiare, invece, una procedura aperta.Allutente finale del prodotto comunicativo di tipo ipermediale apparir unasorta di navigazione libera e anarchica, ma da parte di chi costruisce questo ti-po di comunicazione deve esserci, a priori, una struttura di riferimento, unaspecie di sceneggiatura, che evidenzi chiaramente gli incroci della rete iperte-stuale.

Conviene concentrare lattenzione sulla strutturazione del prodotto iperte-stuale o ipermediale, perch qui che si misura pi evidentemente il cambia-mento di prospettiva operato dalle nuove tecnologie nel campo della comuni-cazione e delleducazioneapprendimento. Questi atti comunicativi fanno uso dimedia diversissimi tra loro, che possono utilizzare parole, immagini, sia stati-che sia in movimento, e suoni, senza per questo riprodurre in piccolo lespe-rienza televisiva, molto passiva, ma anzi esaltando gli aspetti di interattivitche il mezzo computer permette. Non solo, c una differenza sostanziale tracome si articola un percorso conoscitivo e come si decide di comunicarlo; trala fase conoscitiva di un oggetto e quella della comunicazione ad altri del suocontenutosi produce uno scarto del punto di vista, dallio al tu.

Da una parte si pu procedere con fasi di libera associazione di parole, diemersione della soggettivit; dallaltra bisogna riacquistare un punto di vistacomune, che si ponga dal versante di colui che ricever latto comunicativo. Ladifferenza con altri tipi di comunicazione che qui il ricevente chiamato adinteragire con il testo, a manipolarlo, a cambiarlo se occorre.

Lopportunit che gli ipermedia forniscono di utilizzare e inserire infor-mazioni codificate in media diversi (foto, video, suoni, testi scritti, grafici) e difare entrare nelle classi un repertorio molto ricco di strumenti e materiali. Glialunni sono impegnati in attivit di lettura e interpretazione dei materiali cheutilizzano codici differenti e in operazioni volte a tradurre le informazioni daun codice allaltro (decidere quale linguaggio utilizzare per comunicareuninformazione, scegliere tra le rappresentazioni grafiche quella pi adeguata,produrre simboli o icone). La costruzione di un ipertesto sollecita quindi unat-tenzione particolare alla pluralit dei linguaggi e alle loro regole di funziona-mento.

Nel corso degli anni la nostra scuola ha utilizzato il computer nella didatti-ca, prevalentemente per programmi di scrittura e calcolo; dal 1994, con la par-

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tecipazione al progetto Telecomunicando ti presento i miei tesori (M. P. I. eSTET), iniziata la nostra esperienza nella progettazione e costruzione di iper-testi.

Quasi tutte le scuole partecipanti al progetto hanno lavorato intorno alla co-noscenza di un bene artistico, possibilmente poco conosciuto, della propriacitt. Se di solito il tema ha attivato prevalentemente discipline ruotanti intornoallarea storico/artistica, nella nostra scuola abbiamo allargato la ricerca anchealle discipline tecnico scientifiche, in modo da coinvolgere lintero consiglio diclasse.

Nel portare avanti i tre progetti realizzati per Telocomunicando, abbiamoseguito il percorso metodologico gi in atto da tempo nella nostra scuola, quel-lo dei progetti multidisciplinari per leducazione ambientale.

Lo strumento ipertesto c sembrato subito il pi adatto a riprodurre il pro-cedimento del costruire relazioni allinterno di una mappa concettuale.

Uno dei momenti didatticamente pi significativi della realizzazione deinostri ipermedia stato la progettazione, che avvenuta attraverso lelabora-zione di story board.

Gli alunni hanno realizzato queste progettazioni in piccoli gruppi: stenden-do la ragnatela dei collegamenti tra i vari percorsi, scegliendo i testi e il mate-riale iconografico pi coerente e comunicativo, inserendo giochi per renderepi appetibile la scoperta nella navigazione e inserendo suoni e musiche.Sempre in questo ambito stata formulata linterfaccia grafica cio si stabili-to come doveva presentarsi esteticamente la pagina, quindi si pensato nonsolo a risolvere il problema della comunicazione dei contenuti, ma anche acreare una cornice estetica funzionale per facilitare la comunicazione.

Bibliografia

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S. COTONESCHI, F. SPINELLI, Naturartinboboli: Un accordo tra uomo e natura, in LInsegna-

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UN APPROCCIO MULTIMEDIALE PERLA FORMAZIONE E LAGGIORNAMENTODEGLI INSEGNANTI DI MATEMATICA

Vinicio VillaniDipartimento di Matematica - Universit di Pisa

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GEOMETRIA E MULTIMEDIALIT:REALE O VIRTUALE (1)

Maria G. Bartolini BussiDipartimento di Matematica Pura ed ApplicataUniversit degli studi di Modena e Reggio EmiliaE-mail: [email protected]

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LETTURE DI PAGINE CLASSICHE

Franca FerriScuola Elementare P. da Palestrina X Circolo di ModenaNucleo di Ricerca in Storia e Didattica della Matematica- Dipartimento diMatematica Pura ed Applicata - Universit degli Studi di Modena

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NODI E CONCETTI FONDAMENTALIDELLA GEOMETRIA

Maria Giuseppina StaderiniIRRSAE Toscana

Riflessioni iniziali

Lapprofondimento e la discussione sui nodi concettuali della geometria sifondano su alcune considerazioni.

In primo luogo, il lavoro ha consentito di organizzare i contenuti delle con-ferenze e delle esercitazioni in modo significativo, inserendo e articolando gliargomenti, che mano a mano si sono svolti nelle due sessioni del corso,allintemo di un quadro generale condiviso, favorendo la ricostruzione delcorpo disciplinare in una trama sensata ed evitando uninterpretazione dei con-tenuti come ambiti chiusi e isolati. Per questa ragione la riflessione sui nodi e iconcetti stata importante come momento iniziale di tutti i lavori.

Unaltra considerazione ha riguardato la necessit di ripensare alle scelteinnovative fatte dopo il 1985, quando la riflessione sulla geometria entratanella scuola elementare, per la prima volta, almeno in termini di programmiministeriali.

I partecipanti al corso hanno potuto dare aria alle scelte fatte negli anniprecedenti, valutarne la tenuta. Questa operazione di mantenimento e dirinnovo trova oggi una nuova ragione di riflessione poich le innovazionipi recenti, autonomia, riforma, documento dei saggi, richiedono ancora unconfronto sui contenuti essenziali e sulla revisione del curricolo.

Infine, lintroduzione di nuove tecnologie e di programmi multimedialinella scuola elementare pone nuove domande e nuove visioni sui concetti e inodi fondamentali di tutto il curricolo e della geometria in particolare. Infatti icriteri di scelta e di uso delle tecnologie e di interpretazione della multimedia-lit, a qualsiasi livello di applicazione, determinano possibilit diverse nelladefnizione dei processi di insegnamento e di apprendimento.

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Il lavoro dei gruppi

La definizione dei nodi concettualiNella definizione dei nodi si sono confrontate interpretazioni diverse.I nodi concettuali sono pensati in tutti i gruppi, in modo generale, come

luoghi di incontro e di movimento:(... un nodo non solo serve per andare avanti, ma anche per andare indie-

tro - punto necessario per arrivare ad altri concetti - rete di informazioni checonfluiscono da diverse strade - punto di incontro - punto di incrocio signifi-cativo di concetti, contenuti, informazioni che permettono di operare - orga-nizzatore cognitivo - incrocio fra concetti che si integrano e si completano...).

Su questa interpretazione generale si sono innestate altre definizioni.Alcuni hanno interpretato i nodi come incroci fra sistemi teorici; in que-

sto caso si evidenzia la struttura coerente e compatta della matematica, si nota-no le relazioni e i riferimenti interni alla matematica o alla sola geometria:

(... i nodi sono incroci che permettono di muoversi allinterno della disci-plina- un nodo consente libert di movimento nella disciplina - luogo concet-tuale dove affluiscono diversi concetti geometrici...).

Altri ancora vedono nei nodi le relazioni fra strutture matematiche estrutture di altri campi disciplinari:

(... i nodi concettuali sono incroci fra discipline diverse - connessioni disaperi - collegamento con altre discipline e con altri settori della stessa disci-plina... ).

Infine i nodi sono stati interpretati come intrecci insolubili o come signifi-cati oltre le discipline:

(... la struttura concettuale della matematica complessa, presenta intrecciche non possono essere risolti, si possono solo riconoscere - i nodi sono qual-cosa di non risolto - nodo un concetto al quale si vuole arrivare attraversotante discipline - qualcosa da cui non puoi prescindere, non tanto un conte-nuto, momento di conoscenza, ma una sintesi di tanti linguaggi, tante strate-gie...).

I nodi concettualiLa discussione sui nodi concettuali ha preso forma quando si incontrata

con i concetti, i temi e i contenuti della geometria. I gruppi hanno costruitoalcune mappe che nascono da scelte interpretative diverse. Sono tutte chiara-mente pensate sui problemi dellinsegnamento, pi che su quelli disciplinari.

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Infatti esse disegnano visioni della geometria attraverso aggregazioni diconcetti e temi che si rinforzano e definiscono a vicenda, acquistando signifi-cativit e indicando anche possibili approcci didattici.

La prima mappa lineare, propone aggregazioni stratificate di concet-ti e di temi.

Una nota chiarisce che lordine di elencazione non indica una gerar-chia; il percorso didattico, si snoda sui cinque anni ed lo specifico progetto ascegliere di volta in volta i punti di partenza, di sviluppo e di ritorno.

La seconda mappa presenta aggregazioni di concetti e temi intorno anodi concettuali fondanti.

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Questa descrizione indica nuclei di lavoro che possono essere tradottiin percorsi concettuali e operativi. Il nodo delle trasformazioni, invece, vienedescritto solo con lelenco dei contenuti, quindi non restituisce possibili visio-ni didattiche.

Nel prossimo lavoro si notano tre nodi concettuali ai quali afferisconoconcetti e temi.

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Dalla tabella si rileva che: i concetti di retta, di parallelisrno e di perpendicolarit sono presenti in

tutti i nodi; i concetti di angolo, direzione, segmento, punto, forma, piano, simmetria

assiale/centrale e distanzasono presenti in due nodi;

i concetti di linea chiusa, diametro, altezza, estensione, diagonale, spazio,binomi locativi, unit di misura, ordine/verso, dimensione, semipiano, con-gruenza, similitudine sono presenti in un solo nodo.Questa mappa ci restituisce una visione assai compatta della geometria; i

nodi sono incroci per temi diversi; e uno stesso tema si ritrova in pi nodi.La forza di aggregazione diversamente distribuita fra i tre nodi indica che

alcuni concetti sono pi coinvolgenti e che alcune piste di lavoro sono da privi-legiare, nel tempo e nel modo.

Il nodo delle trasformazioni, che ha scarsa tradizione di insegnamento(appare nella scuola elementare con i Nuovi Programmi), in questa descrizione analizzato attraverso contenuti conosciuti nelle pratiche didattiche, comeangolo, direzione, segmento, retta, forma, diametro, ecc., ponendo cos le basiper la strutturazione di un percorso.

Lultimo lavoro si differenzia dai tre precedenti, i quali, pur attraverso pro-poste variamente articolate, tendono a ritrovare i fondamenti della geometriaallinterno della disciplina stessa.

La mappa che segue pensa la geometria come una organizzazione partico-lare della realt; in questo modo la disciplina implicitamente collegata contutte le altre.

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Un percorso didattico che d rilievo a questa interpretazione, probabilmen-te, tiene conto dei rapporti con gli insegnamenti dellintero curricolo.

La presentazione delle mappe rende unidea della discussione che si svi-luppata nei gruppi, tuttavia opportuno notare che il lavoro si svolto ilsecondo giorno della prima sessione del corso, quando le conferenze e gliapprofondimenti sulle innovazioni erano ancora da presentare.

Quali nodi concettuali si sarebbero previsti se le mappe fossero state richie-ste anche alla fine dellultima sessione del corso?

La lettura e il commento degli Elementi di Euclide, poi lo spostamentodottica nel pensare lo spazio con la lettura e il commento dei Nuovi principidella geometria di Lobacevskij, avrebbero influenzato la ricostruzione dellemappe?

Le ipotesi formulate nei gruppi sarebbero rimaste le stesse o sarebberointervenuti dei cambiamenti?

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UN PROGETTO DI ITINERARIODIDATTICO SU GEOMETRIA E ARITMETICA

Teresa GazzoloScuola Elementare Statale di Camogli (GE)

Un itinerario didattico che intrecci concetti geometrici e concetti aritmeticinon pu non percorrere quel ponte tra il numero e lo spazio, tra il discreto e ilcontinuo, che la misura. Dalla necessit di risolvere problemi reali di padro-nanza dello spazio a livello operativo, nascono e maturano, nella storia dellacultura (astronomia, agrimensura orientamento, edilizia...), come nella storiapersonale di ciascuno di noi (muovere il proprio corpo in relazione ad altri,afferrare un oggetto, scansare un sasso...), pratiche e concetti che richiedonoluso integrato di elementi quantitativi e qualitativi. Allo stesso modo elementigeometrici ed elementi aritmetici si intrecciano in molte attivit abitualmentesvolte nei cinque anni di scuola elementare; non sempre, per, tali attivit sonoinserite in un progetto teso a favorire una progressiva e sistematica costruzionedi significati e procedure. Il titolo proposto chiede proprio questo: andare oltreun episodico ricorso ad alcune di queste attivit, per organizzarle in un proget-to che preveda una sequenza ben strutturata di tappe di lavoro e approfondi-mento.

Un progetto a lungo termine che realizzi stretti legami tra aritmetica e geo-metria pu essere avviato in I con attivit in una dimensione (linea dei numeri,colonnina del termometro...) e in due dimensioni (tabelle, istogrammi, grafici eanalisi del loro andamento, ) e via via, attraverso lintreccio tra costruzionedei concetti e pratica della misura, arrivando in V alla padronanza dei numeridecimali e delle operazioni con essi.

Fin dai primi mesi di scuola in I i bambini possono imparare a rappresenta-re alcune situazioni reali, cui hanno posto attenzione quotidianamente (presen-ze e assenze di ciascun alunno e stato del cielo, registrati ogni giorno in classesul tabellone del calendario), per mezzo di istogrammi e grafici. Lesecuzionedi tali rappresentazioni, che diviene via via pi autonoma e ordinata, mentrecostruisce abilit importanti per quel che riguarda la capacit di orientarsi sulfoglio in relazione a due coordinate, struttura un modello matematico in cui siintrecciano il significato cardinale del numero (conta di crocette, di quadrati-ni...) e quello di misura (altezza delle colonnine). Levidente diversa altezza

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delle colonnine, ad esempio, fa da supporto a ragionamenti numerici:Chi vince?; Di quanto vince?; Da cosa lo hai capito?; Come puoi

controllare se proprio vero?Si tratta del primo approccio ad un modello che descrive una situazione

reale semplificandola, cio selezionando alcuni elementi e tralasciandone altri;i bambini, discutendo tra loro, possono capire che un istogramma comodo daleggere e interpretare, ma presenta dei limiti per ci che riguarda le informa-zioni che pu dare (perdita di informazioni relative al singolo dato).

Nella seconda parte dellanno la precedente attivit pu essere ampliata conla lettura quotidiana sul termometro della temperatura esterna, registrata poiindividualmente su un termometro fotocopiato. Di nuovo laltezza di unacolonnina d uninformazione su una quantit numerica, i gradi, prima delcontrollo attraverso la conta, mentre nella successiva registrazione si passa da:MISURAZIONE-> NUMERO a: NUMERO->MISURAZIONE.

evidente limportanza di questa attivit per la padronanza del concetto dimisura, che richiede linteriorizzazione di entrambi i passaggi. A livello adulto opportuno tuttavia rilevare che la grandezza temperatura non soddisfa lapropriet additiva della misura e che per, in realt, con i bambini si lavorasulle misure delle lunghezze dei segmenti che rappresentano le temperature.

Le strategie spontanee che i bambini usano, per leggere sul termometro letemperature e per rappresentare le temperature sul termometro, sono moltodiverse: alcuni contano tutti i gradi partendo dallo 0, altri molto presto scopro-no delle scorciatoie e partono da l0, 20,... utilizzando la strategia additiva, altripartono da 10, 15 ... per aggiungere o togliere a seconda dei casi. Naturalmentele strategie di tutti i bambini devono evolvere verso quelle pi efficienti, maci deve avvenire per maturazione personale, magari attraverso esposizionialle strategie dei compagni pi veloci, non per insegnamento/apprendimentomnemonico di un comportamento non ancora interiorizzato.

Le temperature rilevate vengono registrate mensilmente in un grafico ed ibambini ne rilevano landamento, discutono su quale stata la temperatura pialta, quale la pi bassa, che differenza c; spiegano agli altri le strategie segui-te, ne confrontano lefficacia.

Il concetto di misura pu essere ripreso e ampliato in II con le misure dilunghezza legate inizialmente alla misurazione dellaltezza di una piantina checresce in classe, rilevata con strumenti duso comune: righello, asta graduata,metro snodato.... I bambini gi conoscono, ed alcuni usano fuori della scuola,questi strumenti, che permettono di affiancare allattivit di misurazione lariflessione sulle sue propriet, quindi non c motivo di non usarli da subitoanche in classe.

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Le abilit acquisite e i concetti costruiti possono tornare in gioco in altridue contesti famigliari ai maestri: quello della Storia del bambino, con lamisurazione delle altezze di ciascuno, e quello dei Percorsi, con la ricostru-zione della struttura di un percorso ben noto alla classe (anche se questo lavo-ro, riguardando la rappresentazione dello spazio fuori della portata immediatadella vista, investe abilit e processi di natura diversa e pi complessa).

Nei precedenti contesti di lavoro allattivit di misurare e registrare si pos-sono affiancare: lapproccio alle riduzioni in scala; lapproccio al significato dinumero decimale e la familiarizzazione con il fatto che in 1 m ci sono 100 cme in 1 cm ci sono 10 mm; la consapevolezza che a determinare la misura nonsono le tacche dello strumento, ma gli spazi tra una tacca e laltra.

La padronanza delle misure di lunghezza con uso consapevole delle unitdi misura tra il millimetro e il metro si pu stabilizzare in III attraverso la rap-presentazione grafica del mesospazio in cui si osservano le ombre del Sole.Rappresentare le ombre in un grafico che ne evidenzi le variazioni nel tempo orappresentare il mesospazio per ragionare e fare congetture sul fenomeno,comporta la ricerca di una scala di riduzione opportuna (ovviamente semplice,in modo che i bambini siano in grado di gestirla autonomamente: 1:2, 1:10),quindi un primo approccio allidea di rapporto in un contesto operativo.Misurazione di ombre, riduzioni in scala, costruzione di grafici possono essereutilizzati anche per introdurre ed approfondire il significato e luso operativodei numeri decimali, che verranno scritti con la virgola solo quando tutta laclasse ne padronegger il significato.

In IV, proseguendo le attivit riguardanti le ombre, pu essere introdotto edapprofondito il concetto di angolo, come ampiezza di rotazione delle ombre,quando si affronta il problema di riportare un ventaglio di ombre sul quaderno,riducendole in scala: come riportare lampiezza degli angoli tra unombra elaltra? Dovr essere ridotto in proporzione anche quello? Si arriva cos allusodel goniometro sul piano orizzontale e alle conseguenti operazioni con lemisure in gradi.

Altro problema interessante potr essere quello di definire e misurarelaltezza angolare del Sole sullorizzonte, attivit non scontata in quanto non scontato il trasferimento del concetto di angolo e della sua misura dal pianoorizzontale al piano verticale.

In IV si pu anche lavorare al consolidamento e approfondimento dellemisure di lunghezze e delle riduzioni in scala con applicazione alle carte geo-grafiche, stradali...., con il passaggio alla scrittura dei numeri decimali con lavirgola e alle addizioni e sottrazioni con essi e con luso ragionato di approssi-mazioni adatte alle situazioni da rappresentare.

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Il lavoro sulle misure di lunghezza, che ha permesso la costruzione conte-stualizzata dei significati del numero decimale, unitamente al lavoro sulle aree,offrono in V la possibilit di costruire in modo ragionato le tecniche di calcoloscritto della moltiplicazione e della divisione. Attraverso il lavoro su aree diquadrati e rettangoli costruiti su carta millimetrata, infatti, i bambini costrui-scono un modello significativo per la moltiplicazione fra numeri decimali,basato sul fatto, evidente sulla carta millimetrata, che decimi x decimi d cen-tesimi, decimi x centesimi d millesimi..., senza ricorrere alla tecnica pura-mente mnemonica del contare il numero delle cifre decimali nei due fattori perstabilire il numero delle cifre decimali nel prodotto (o almeno conoscendo ilsignificato sotteso a tale tecnica!).

Se vogliamo che questo itinerario sia formativo, cio vada a strutturare con-cetti, conoscenze, abilit utilizzabili sia per rappresentare e interpretare fatti esituazioni reali, che per accedere al sapere ufficiale di riferimento, occorre chelalunno sia partecipe dello sforzo conoscitivo proposto, altrimenti egli finisceper acquisire solo gli aspetti formali e normativi. Per questo opportuno chevengano via via proposte situazioni vissute come problema reale dai bambi-ni, in modo da attivare quei processi profondi di razionalizzazione dellespe-rienza che consentono di rappresentare e interpretare situazioni sempre picomplesse e di maturare capacit di astrazione crescente.

L esperienza fisica vissuta, le rappresentazioni mentali dei fenomeni atti-vate dalle percezioni e dalle informazioni disponibili, gli atti di pensiero e dilinguaggio di ciascuno, confrontati con quelli dei compagni, possono portare acostruire un rapporto consapevole e critico tra la realt e i modelli che la rap-presentano.

Allinterno di questo percorso, che utilizza situazioni didattiche coinvol-genti che possono veicolare contenuti geometrici ed aritmetici intrecciati traloro, si possono proporre unit didattiche brevi (come quelle che comportanola costruzione di oggetti concreti: scatole, girandole, ...), sia per strutturaremodelli matematici attraverso la scoperta di caratteristiche significativedelloggetto da realizzare, sia per verificare la ricaduta su attivit concrete deimodelli matematici appresi.

Un esempio: in V, dopo il lavoro su misure di lunghezza e di superficie, sipu proporre agli alunni di costruire un aquilone uguale a quello portatodallinsegnante, con una consegna che vada a mettere in gioco le conoscenzeacquisite e a valutarne la padronanza flessibile.

Consegna:Scrivi come ti organizzi per sapere quanta carta velina e quante asticciole

di balsa bisogna acquistare perch ognuno di voi possa costruire il proprioaquilone.

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Vincoli: puoi chiedere per iscritto all insegnante le informazioni che ti servono per

iscritto; devi scrivere come pensi di utilizzare le informazioni ottenute; bisogna usare meno materiale possibile (la cassa non ricca!); la parte di carta velina non pu avere pi di un incollatura.

Durante il lavoro laquilone-modello con alcuni strumenti (righello, metroa nastro...) e un foglio di carta velina sono a disposizione degli alunni in corri-doio, per evitare che, vedendo ci che fanno i primi compagni, gli altri proce-dano per imitazione.

Possibili domande/risposte e procedimenti: Quanto misurano le asticciole? Vai a misurarle Si comprano gi di quella lunghezza ? No, ogni pezzo lungo...cm

Gli alunni potrebbero decidere di tagliare prima tutte le asticciole corte, poitutte le lunghe, oppure una lunga e una corta, una lunga e..., in base ad unascelta casuale, non ad una scelta ragionata che tenga conto del terzo vincolo. Quanta carta serve per un aquilone? Quanto misura ogni foglio di veli-

na? Non lo so. Trova tu un modo per scoprirlo.Gli alunni dovrebbero misurare tutti lunghezza e larghezza del foglio, trat-

tandosi di un rettangolo; diverse le scelte possibili per laquilone, che potrebbeessere visto come due triangoli divisi dalla diagonale maggiore o dalla minore,di cui misurare base e altezza, o come un romboide di cui misurare le diagona-li (probabilmente considerandolo in questo caso come met di un rettangolo).

A questo punto si possono ipotizzare percorsi molto diversi: rappresentazione in scala del foglio di carta velina e dei triangoli che for-

mano il corpo dell aquilone, per cercare un modo di incastrarli che porti adusare meno carta possibile;

calcolare le superfici e fare una divisione di contenenza che porta allospreco di molta carta, se ci si ferma al risultato intero, oppure, se la divisio-ne arriva ai decimali, si pu arrivare ad un collage di ritagli, che non rispet-terebbe il quarto vincolo;

- lavorare sulle relazioni tra altezza del foglio e altezza dellaquilone, lar-ghezza del foglio e larghezza dellaquilone, il che pu portare a considerarein realt il rettangolo in cui inscritto il romboide, con conseguente sprecodi carta.Dal confronto, durante la discussione, fra le procedure utilizzate da ciascu-

no potrebbe essere resa consapevole la necessit di utilizzare criteri di funzio-nalit dei modelli in relazione al contesto duso: modello geometrico/aritmeti-co corretto non significa valido in tutte le situazioni.

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BIBLIOGRAFIA

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GEOMETRIA SENZA NUMERI:PROBLEMI DI COSTRUZIONE

Teresa GazzoloScuola Elementare Statale di Camogli (GE)

1. Geometria senza numeriGeometria senza numeri, prima parte del titolo, fa immediatamente pen-

sare a tutto ci che in campo geometrico esclude la misura, cio tutto ci chenon legato alla corrispondenza che si attua tra lunghezze, aree, volumi..., enumeri nello stabilire quante volte lunit di misura scelta contenuta nel seg-mento, superficie, solido..., considerati. Essa non esclude peraltro le attivit diriporto, raddoppio, dimezzamento di segmenti, angoli, etc..

Geometria senza numeri evoca attivit di rappresentazione e sistematiz-zazione di esperienze spaziali, di denominazione, astrazione e generalizzazio-ne, di riconoscimento di propriet di classi di figure, di individuazione dimodelli geometrici.... In tal senso essa pu apparire il luogo naturale di struttu-razione dei concetti, quello pi idoneo per avviare al pensiero generalizzante eastraente, che orienter poi la scelta delle procedure da attivare nelpensare/risolvere situazioni particolari concrete.

Tuttavia non dobbiamo dimenticare che anche lattivit di misurazione con-tribuisce in modo pregnante a strutturare concetti, prima della riflessione suglistessi. Essa infatti una di quella pratiche sociali, utilizzate spesso solo a livel-lo pratico-operativo, che possono concorrere a strutturare concetti importanti,se portate a consapevolezza, in quanto sottendono concetti, propriet, strategiematematiche. Il misurare presenta inoltre il vantaggio di offrire ai bambini: un pi facile accesso ai concetti impliciti, con cui possono acquisire fami-

liarit attraverso il fare, se esso contestualizzato in situazioni problema-tiche significative (non casuale che alunni in difficolt di fronte ad unproblema senza dati numerici tendano a darsene di ipotetici, per meglioinquadrare e dominare la situazione, facendola diventare particolare e piconcreta);

un rinforzo fuori della scuola, grazie alleco che nel quotidiano ha questapratica largamente condivisa, cui i bambini potrebbero guardare/parteciparecon consapevolezza crescente.

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Sicuramente la geometria senza numeri comunque il luogo della teoria,dei problemi generali, dei metodi di validazione attraverso il ragionamento; illuogo in cui i concetti comuni diventano esperienza culturale e a cui si tornaogniqualvolta ci si muove sul piano metacognitivo per riflettere su modelligeometrici.

Anche il ragionamento messo in atto per progettare la risoluzione generaledi problemi che includono numeri e misure geometria senza numeri: inquanto costruzione di una strategia risolutiva generale, esso trascende i dati epotrebbe costituire un anello tra la pratica di misurare e calcolare allinterno dicasi particolari e la teoria che generalizzando esclude, anzi include, tutti i casiparticolari possibili.

2. Problemi senza numeri e programmi del 1985I Programmi del 1985 sembrano indirizzare le attivit geometriche nella

scuola elementare pi allosservazione, descrizione, riproduzione/ rappresenta-zione grafica di oggetti quotidiani e situazioni spaziali, che non alla possibilitdi esplorarli/interpretarli/usarli come strumenti di mediazione verso la teoriageometrica.

Forse ci dipende dal fatto che questo tipo di lavoro richiede allalunno,affinch lapproccio sia produttivo, un livello cognitivo (di sequenzialit logi-ca, di capacit di interpretazione e di riflessione) ritenuto troppo alto per lafascia det della scuola elementare? Se cos fosse, ci non sarebbe vero pertutti i bambini, ma soprattutto si trascurerebbe la possibilit di utilizzare questicontesti come palestra per avviare processi cognitivi interessanti per la geome-tria che dovr essere affrontata successivamente.

Sempre nel testo dei Programmi si parla di sistematizzazione delle espe-rienze spaziali del fanciullo; ma a quale spazio si fa riferimento? Lo spazio dicui si parla sicuramente lo spazio esterno, quello dellambiente antropizzatoo naturale, in cui si compiono le nostre esperienze percettive e di movimento, equello rappresentato delle fotografie, dei disegni prospettici, di quelli inscala..., e infine quello dei riferimenti cartesiani, polari, sferici, ..., in cui collo-care oggetti e situazioni.

Dal punto di vista cognitivo, per, ci dobbiamo occupare anche di altrispazi; infatti, per sistematizzare occorre realizzare connessioni e operazio-ni intellettuali complesse e dirigere in modo volontario i processi di pensiero. evidente allora che lo spazio a cui ci si riferisce deve essere anche lo spaziointerno, quello in cui ambientiamo le nostre immagini mentali, statiche o dina-miche, in cui ricostruiamo o progettiamo situazioni; lo spazio logico dei pro-cessi ipotetico-deduttivi, delle alternative possibili, dei controlli e delle argo-mentazioni.

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Il concetto di spazio, infatti, un concetto complesso, in cui conta molto ilprocesso costruttivo-culturale del soggetto e la cui padronanza non si realizzasolo fuori di noi, ma anche e soprattutto nella nostra mente, e la geometria cid gli strumenti, ci aiuta a costruire i modelli necessari per organizzare la per-cezione dello spazio, scoprirne regolarit e ritmi, rappresentarlo attraversoschemi via via pi astratti.

La padronanza dello spazio e la capacit di rappresentarselo e rappresen-tarlo si possono realizzare nellinterazione dialettica fra tre componenti: lo spazio reale come campo desperienza con relazioni e vincoli intrinseci; il contesto interno dellallievo con concezioni, concetti comuni, capacit

di dirigere in modo volontario i propri processi di pensiero; il contesto interno dellinsegnante che media fra gli elementi culturali -

concettuali e i segni presenti nel campo desperienza e le strategie di ragio-namento e i processi attivati dallalunno.

3. Problemi di costruzioneCon riferimento al precedente quadro, cosa si intende per problemi di

costruzione?Di primo acchito la parola costruzione evoca il fare concreto; fa pensa-

re a costruzioni con cartoncino, legno, tangram... o a rappresentazioni iconi-che, a disegni con riga e compasso...; meno ovvio associare il terminecostruzione allidea di rappresentazione mentale e verbale, fino alla struttu-razione logica di catene ipotetico-deduttive, ad attivit costruttive di formula-zione di congetture, di dimostrazioni, ecc. (come nella costruzione delle vali-dazioni argomentative delle ipotesi).

A questo punto emerge con maggior chiarezza la connessione tra le dueproposizioni del titolo: lavorare su problemi di costruzione in geometria senzanumeri significa muoversi in un contesto che consente di attivare conoscenze ditipo progettuale e riflessivo, non di calcolo; ad esempio: Come si fa a costrui-re.... ? oppure: Funziona o non funziona la seguente definizione ?.

Si delineano cos situazioni problematiche aperte, significative, che esclu-dono il ricorso a formule e a schemi preconfezionati e memorizzati; esserichiedono al soggetto, posto di fronte ad uno stimolo, un atto creativo perindividuare strategie mentali personali che si appoggiano alla capacit di auto-porsi domande e di rielaborare concetti, script, modelli strutturati in precedentiesperienze, stabilendo fra essi relazioni nuove, verificandone via via la coeren-za e la funzionalit rispetto al contesto.

utile per maggiore chiarezza esemplificare alcuni di questi problemi dicostruzione che si possono cos classificare:

a) progetti di costruzioni geometriche;

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b) elaborazione di rappresentazioni;c) costruzioni di validazioni.

a) - Come puoi ritagliare da un foglio di carta una sagoma in un solo pezzoche, piegata, ti permetta di costruire una scatola che abbia la forma di quellache vedi sul tavolo dellinsegnante (parallelepipedo)? Con sei stecchini uguali fra loro, come puoi formare quattro triangoli equi-

lateri? Spiega come puoi disegnare un quadrato su un foglio bianco (su cui gi

disegnato un lato non parallelo ai lati del foglio). Progetta un modo per scoprire se i raggi del Sole arrivano sulla terra

paralleli fra loro.

b) - Immagina di aprire e appiattire sul tavolo la scatola di cartone (paral-lelepipedo) che vedi sul tavolo. Disegna la sagoma che ottieni. Spiega come fai a riportare il ventaglio delle ombre dello gnomone, rileva-

te nel corso della mattina, sul tuo quaderno. Trova un modo per far camminare il Sole su e gi lungo lo spigolo del

palazzo come una lucertola. Spiega come hai pensato.

c) - Le forme tanto diverse ottenute usando ogni volta tutte le tesserine deltangram, sono equiestese? Motiva la tua risposta. Spiega come mai portando il lato minore di un rettangolo a combaciare

con il lato maggiore, piegando e poi riaprendo, si ottiene sempre un qua-drato.

4. Un esempio di lavoro in classe, relativo a una consegna di tipo c)

CLASSE IV (febbraio) -Consegna: Spiega quali di queste figure sicura-mente un cerchio e perch.

Condizioni di lavoro: ogni bambino ha un foglio su cui sono disegnati quat-tro cerchi e due ovali, indicati ciascuno con una lettera. Il lavoro viene svoltoindividualmente per iscritto. Questo un momento di lavoro allinterno diununit didattica che si concluder con la lettura delle definizioni di cerchiodate da Euclide e da Erone, confrontate poi con alcune delle definizioni messea punto dalla classe.

Le tappe che hanno preceduto questo lavoro sono indicativamente leseguenti: progetto individuale per costruire un carretto con ruote funzionanti; confronto fra alcuni progetti per individuare i vincoli da rispettare per otte-

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nere ruote funzionanti; progetto per disegnare ruote rotonde (senza conoscere il compasso); riflessione individuale seguita da discussione sul motivo per cui le ruote

non possono essere quadrate o ovali.Obiettivo di apprendimento: avvicinarsi ad una definizione di cerchio per-

sonalmente conquistata.Obiettivo di ricerca: analisi delle dinamiche in atto e valutazione della

capacit di verbalizzarle.

BIBLIOGRAFIABARTOLINI BUSSI, M.; BONI, M.; FERRI, F.: 1995, Interazione sociale e conoscenza a scuola,Comune di Modena.BARTOLINI BUSSI, M.; BERGAMINI, B.; BETTI, B.; BONI, M.; FERRI, F.; FORTINI, C.; MONARI. F.;MUCCI, A.; GARUTI, R.: 1997, I campi di esperienza dei meccanismi e degli ingranaggi tra espe-rienza quotidiana, tecnologia e geometria, Dallo spazio del bambino agli spazi della geometria,Atti 2 Internuclei Scuola dellObbligo. Salsomaggiore, 1997; Dipartimento MatematicaUniversit, Parma, pp. 95-l00.BOERO, P.: 1997, Questioni di metodo sul rapporto tra segni geometrici, geometria e esperienzaspaziale, ibidem, pp. 45-48.SCALI, E.: 1997, Problemi di mediazione dei segni geometrici nella scuola elementare: il casodel triangolo delle ombre, ibidem, pp. 123-130.FERRARI, M.: 1999, Geometria e misura nei programmi di matematica per la scuola elementare,in questo volume.LANCIANO, N. ET AL: 1998, Geometria in citt, Centro Ricerche Didattiche Ugo Morin, Padernodel Grappa.LANCIANO, N.: 1996, Lanalyse des conceptions et lobservation en classe. tesi di dottorato,FPSE, Universit di Ginevra, cap. II.

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GEOMETRIA E MULTIMEDIALIT:RELAZIONE DEI LAVORI DI GRUPPO

Franco GiuaScuola elementare Sinnai, Via Caravaggio, 11 - 09048 Sinnai (CA)CRSEM - Dipartimento di Matematica, Universit, viale Merello, 92 - CAE-mail: [email protected]

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ELENCO DEI PARTECIPANTI

Balsano Anna SE G. Fava - Plesso Monti Iblei PalermoBertini Lina 1 Circolo Montebelluna (TV)Boscia Maria SE Carducci TerniCastiglia Delia Circolo Montessori RomaCiarciaglini Maria Antonietta 6 Circolo ChietiCicerone Michele IC DAnnunzio Sesto Campano (CB)DAvino Loredana DD Crevoladossola Crevoladossola (VB)Di Carlo Francesca 28 Circolo RomaDuca Marisa SE De Amicis Remanzacco (UD)Fanelli Maria Lina IOSA Gambatesa (CB)Frascini Anna Maria 1 Circolo Paola (CS)Granato Battista 1 Circolo Corrado Alvaro S. Giovanni in Fiore (CS)Leone Adele 3 Circolo Borgo Ferrovia AvellinoLotti Lorenzo SE De Amicis Bibbiano (RE)Magnaterra Teresa IC Filottrano AnconaMuro Vittoria Don Bosco Auletta (SA)Novelli Angelo 10 Circolo Da Palestrina ModenaOnofrio Eva SE F.lli Visintini TriesteProfeta Paola IC Raiano (AQ)Provitera Carla SE L. Grossi Viadana (MN)Puglisi Marta SE E. Pardi Migliarino Vecchiano (PI)Rago Vincenzo 2 Circolo Policoro (MT)Rigobello Franca SE Pertini Badia Polesine (RO)Sagrestani Fiorella SE Le Corone Spoleto (PG)Sciortino Marisa DD Porto Empedocle Porto Empedocle (AG)Signore Sandra SE Cannole LecceTempra Luigi SE M. Gianasso Ponte Valtellina (SO)Tomasetti Teodora SE Parco di Veio RomaZoppi Ughetta 2 Circolo L. Sbrana Viareggio (LU)Zunino Angela SE Camporosso Camporosso (IM)

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VOLUMI DELLA COLLANA QUADERNI GI PUBBLICATI

1 Gestione e innovazione*2 Lo sviluppo sostenibile3 La valenza didattica del teatro classico4 Il postsecondario per la professionalit* (2 tomi)5 Dalla memoria al progetto6 La sperimentazione della sperimentazione*7 Lalgebra fra tradizione e rinnovamento8 Probabilit e statistica nella scuola liceale9 LItalia e le sue isole10 Lingua e civilt tedesca11 La scuola nel sistema polo** (manuale guida)12 La citt dei filosofi13 Le citt dEuropa14 Dal passato per il futuro15 Gestione, innovazione e tecnologie*16 Per non vendere il cielo17 Briser la glace: la dinamica della comunicazione francese18 Dalla lingua per la cultura: la didattica del latino19 Linsegnamento della geometria (2 tomi)20 La lingua del disegno: al crocevia fra scienza e arte21 Insegnare storia**22 Problemi della contemporaneit.

Tomo primo: Unit e autonomie nella storia italiana23 Aritmetica**24 Analisi matematica**

N.B. I titoli caratterizzati dallasterisco (*) si riferiscono a Quaderni dedicati alla formazio-ne dei Presidi; gli altri sono dedicati alla formazione dei Docenti. I titoli segnalati coldoppio asterisco (**) si riferiscono alla serie Documenti di lavoro

VOLUMI IN CORSO DI PUBBLICAZIONE25 Logica, probabilit, statistica26 Se hace camino al andar: didattica della comunicazione spagnola27 Gli IDEI nel progetto formativo28 Il linguaggio dei linguaggi

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matteoni stampatore Luccamaggio 2000