Milonja Ojdanic - Zadaci sa matematickih takmicenja ucenika osnovnih skola u Crnoj Gori 2003 - 2007

CRNA GORA ZAVOD ZA KOLSTVO

NAA KOLA

Zadaci sa matematikih takmienja uenika osnovnih kola u Crnoj Gori

2003 2007.

Podgorica 2014.

ZADACI SA MATEMATIKIH TAKMIENJA UENIKA OSNOVNIH KOLA U CRNOJ GORI 2003 2007. GODINE Izdava: Zavod za kolstvo Urednik: Pavle Goranovi Autor: Milonja Ojdani tampa: Obod, Cetinje Tira: 500 primjeraka Podgorica 2014. CIP - , ISBN 978-9940-24-054-7 COBISS.CG-ID 26308880

2

Predgovor

Pred korisnicima ove zbirke su zadaci sa matematikih takmienja uenika osmogodinjih osnovnih kola u Crnoj Gori u vremenu od 2003. do 2007. godine. Zbika sadri zadatke, iz navedenog perioda, sa optinskog, regionalnog, republikog i saveznog takmienja. Optinsko takmienje organizovano je samo u optini Bar. Takmienje se odravalo u okviru Memorijala Aleksandar Aco Pavievi. Zadaci su uglavnom poznati u matematikoj literaturi za uenike osnovnih kola, ali su u ovoj zbirci sortirani po godinama i nivoima takmienja. Pisani su razumljivim logikim stilom i jezikom, koji je prilagoen uzrastu i sposobnostima uenika i njihovim psihofizikim i saznajnim mogunostima. Poznato je da se do rjeenja nekih zadataka dolazi na vie naina, pa se nadamo da e uenici, zajedno sa nastavnicima, pronai zanimljivije i jednostavnije postupke za njihovo rjeavanje. Nadamo se da e korienje ove zbirke u redovnoj i dodatnoj nastavi, kao i za samostalna vjebanja uenika, doprinijeti njihovom interesovanju za matematiku uopte, a posebno za uee uenika na takmienjima iz ovog predmeta. Podgorica, decembar 2014. godine

Milonja Ojdani,

autor

3

Sadraj Zadaci ....................................................................................................................... 6

Regionalno takmienje 2003. godine .................................................................... 6 Republiko takmienje 2003. godine .................................................................... 7 Savezno takmienje 2003. godine ......................................................................... 8 Regionalno takmienje 2004. godine .................................................................. 10 Republiko takmienje 2004. godine .................................................................. 11 Savezno takmienje 2004. godine ....................................................................... 13 Regionalno takmienje 2005. godine .................................................................. 14 Republiko takmienje 2005. godine .................................................................. 16 Savezno takmienje 2005. godine ....................................................................... 17 Regionalno takmienje 2006. godine .................................................................. 19 Republiko takmienje 2007. godine .................................................................. 20 Optinsko takmienje 2004. godine .................................................................... 21 Optinsko takmienje 2005. godine .................................................................... 21 Optinsko takmienje 2006. godine .................................................................... 22 Optinsko takmienje 2007. godine .................................................................... 23

Rjeenja .................................................................................................................. 24

Regionalno takmienje 2003. godine .................................................................. 24 Republiko takmienje 2003. godine .................................................................. 28 Sveznog takmienje 2003. godine ...................................................................... 32 Regionalno takmienje 2004. godine .................................................................. 37 Republikog takmienje 2004. godine ................................................................ 41 Savezno takmienje 2004. godine ....................................................................... 45 Regionalnog takmienje 2005. godine ................................................................ 49 Republiko takmienje 2005. godine .................................................................. 53 Saveznog takmienje 2005. godine ..................................................................... 58 Regionalno takmienje 2006. godine .................................................................. 62 Republiko takmienje 2007. godine .................................................................. 66 Optinsko takmienje 2004. godine .................................................................... 68 Optinsko takmienje 2005. godine .................................................................... 69 Optinsko takmienje 2006. godine .................................................................... 70 Optinsko takmienje 2007. godine .................................................................... 70

5

Zadaci

Regionalno takmienje 2003. godine

VI razred

1. Odredi brojeve a , b i c ako se zna da je njihov zbir vei od broja a za 25

, od

broja b za 6

59 i od broja c za

35

.

2. Ako jednom broju dopiemo zdesna 9, pa tako dobijeni broj podijelimo sa 3 i dobijenom koliniku dopiemo zdesna 7, a zatim tako nastali broj podijelimo sa 11, dobiemo 67. Koji je to broj?

3. Dva uenika su sebi kupili po kljigu. Prvi je za knjigu dao 95

svoje sume novca,

a drugi 32

svoje sume. Prije kupovine prvi uenik je imao 12 manje od

drugog, a poslije kupovine su im ostale jednake sume novca. Koliko je novaca imao svaki od njih prije kupovine knjige?

4. Koliki je zbir unutranjih uglova u iljcima petokrake zvijezde oblika.

5. U pravouglom trouglu ABC povuena je hipotenuzina visina CD. Neka su sredita kateta AC i BC redom take E i F. Dokazati da je ugao EDF prav.

VII razred

1. Izraunaj vrijednost kolinika Q(x)=120042004 234

+

xxxxx

za .2003=x

2. Pokazati da je rjeenje jednaine 71032)47(21 2 =+x prirodan

broj.

3. Osnovice jednakokrakog trapeza su duine 8 cm i 10 cm, njegove dijagonale su su uzajamno normalne. Izraunati obim i povrinu trapeza.

4. Dat je trougao ABC (ABAC). Dokazati da se simetrala stranice BC i simetrala ugla BAC sijeku u taki koja pripada krunici opisanoj oko trougla ABC.

5. Na ahovskom turniru svaki igra je odigrao po jednu partiju sa preostalim uesnicima turnira. Koliko je ahista uestvovalo na turniru, ako je remijem(nerijeeno) zavreno 18 partija, to iznosi 40% ukupnog broja odigranih partija.

6

VIII razred

1. Ako dvocifrenom broju dopiemo slijeva i zdesna jedinicu, tada je dobijeni broj 21 put vei od poetnog dvocifrenog broja. Odrediti taj dvocifren broj.

2. Ako su duine dviju stranica trougla 6 cm i 12 cm, a ugao izmeu njih 120 . Kolika je duina simetrale tog ugla(to je duina od tjemena ugla do presjeka simetrale sa naspramnom stranicom).

3. Dokazati da je izraz 623

32 aaa++ ima cjelobrojnu vrijednost za svaki cijeli

broj a . 4. Data je kocka ivice a cm. Neka je S jedno tjeme te kocke.

a) Izraunati povrinu piramide ije su tri ivice kocke koje prolaze iz take S. b) Odrediti odnos zapremina pomenute piramide i preostalog dijela kocke.

5. Prava p prolazi kroz take K(6,-2) i S(2,1). Odredi:

a. Jednainu te prave; b. Duinu odsjeka te prave izmeu koordinantnih osa; c. Odredi udaljenost koordinatnog poetka O od te prave.

Republiko takmienje 2003. godine

VI razred

1. Za mjerenje temperature, pored Celzijusove skale, upotrebljava se i Farenhajtova skala kojoj je teparatura mrnjenja vode 32F, a temparatura kljuanja vode 180F. Postoji li temparatura koja ima istu vrijednost na Celzijusovoj skali i na Farenhajtovoj skali?

2. Teina du i visina iz tjemena A u trouglu ABC dijele ugao na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC?

3. Za trougao ABC je AC=BC, a za take P i R sa stranice AC i taku Q sa stranice BC je CR=RQ=QR=PB=BA. Izraunati ACB.

4. Zapis proizvoda dva trocifrena broja se sastoji od nekoliko 3(trojki). O kojim trocifrenim brojevima je rije.

5. Broj 10 dopii slijeva i zdesna po jednu cifru tako da dobijeni broj bude djeljiv sa 36.

VII razred

1. Kojom cifrom se zavrava najmanje pozitivno cjelobrojno rjeenje

nejednaine ?)9999999(89 2003200220014324 ++++++x

7

2. Ako su a , b i c cijeli neparni brojevi, tada je jedna od razlika 1ab , 1ac ili 1bc djeljiva sa 4. Dokazati.

3. Data je krunica K(O,r) i dvije njene uzajamno normalne tetive BC i DE. Dokazati da je AB 2 +AC 2 +AD 2 +AE 2 =4r 2 , ako je A taka presjeka tetiva BC i DE.

4. Osnovice pravouglog trapeza su 9 cm i 4 cm . Izraunati povrinu trapeza ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim uglom.

5. U ravni je rasporeeno 100 razliitih taaka. Meu njima je 10 estorki kolinearnih taaka (take su kolinearne ajo pripadaju istoj pravoj). Osm navedenih nema drugih kolinearnih taaka. Koliko je pravih odreeno sa tih 100 taaka?

VIII razred

1. Ako za pozitive realne brojeve vai 1=+ ba dokazati da je

225)1()1()1( 222 +++++

cc

bb

aa

2. Koji etvorocifren broj pri dijeljenju sa 151 daje ostatak 40, a pri dijeljenju sa 152 daje ostatak 27.

3. Bazen dubine 2 m ima oblik kvadra. Cijev sa toplom vodom puni polvinu bazena za 10 minuta, a cijev sa hladnom vodom za isto vrijeme napuni bazen do 0,5 m . Za koje vrijeme e bazen biti napunjen do visine od 1,25 m ako se cijev sa hladnom otvori u trenutku kada je cijev sa toplom vodom napunila bazen do visine 0,75 m ?

4. Osnovica AB trapeza ABCD je tri puta vea od osnovice CD. Ako se dijagonale tog trapeza sijeku pod pravim uglom u taki O. Koliko je puta njegova povrina vea od povrine trougla OCD?

5. Jednakokraki trapez rotira oko ose koja sadri jedan njegov krak. Izraunati povrinu i zapreminu tako nastalog tijela, ako osnovice trapeza imaju duine

cm320 i cm36 , a krak cm14 .

Savezno takmienje 2003. godine

VI razred

1. Dokazati da je broj 2003200320032003200320032003 7654321 ++++++ djeljiv sa 10.

2. Dokazati da je zbir duina teinih dui proizvoljnog trougla ABC vei od polovine njegovog obima, a manj od obima tog trougla.

8

3. Neka je ABC jednakokraki trougao (AC=BC), taka O centar opisane krunice oko trougla, a S centar krunice koja dodiruje osnovicu AB i produetak krakova. Ako su take O i S simetrine u odnosu na pravu AB, izraunati unutranje uglove trougla ABC.

4. Ukoliko sati izmeu 12h i 13h prava, koja prolazi kroz podeoke 6h i 12h na brojaniku , prestavlja simetralu ugla koji obrazuju kazaljke tog asvnika?

5. U svkoj klupi u jednom razredu sjedi najvie dva uenika. Poznato je da 32

ukupnog broja djeaka sjedi u klupama sa 53

ukupnog broja djevojica. Koji

dio uenika sjedi u paru djeak-djevojica?

VII razred

1. Ako je a pozitivan broj koji je razliit od 1, pokazati da a

a 1+ nije cio broj.

2. Neka je ABC jednakokraki trougao sa pravim uglom kod tjemena C. Taka D pripada kateti AC, taka G pripada kateti BC, a taka E i F su redom podnoija normala iz D i G na hipotenuzu AB. Ako je AC=1 i ako se povrine trougla BGF i petougla CDEFG i trougla ADE odnose kao 2:2:1, izraunati obim petouglaCDEFG.

3. Ako su nmba ,,, prirodni brojevi, takvi da je 22003 mba =+ i 22003 nab =+ , dokazati da su brojevi a i b djeljivi sa 3.

4. Na tabli su zapisani svi brojevi od 1 do 1000. Dva igraa A i B naizmjenino briu po jedan broj, a poinje igra A. Igra se zavrava kada na tabli ostaju dva broja. Ako je zbir ta dva broja djeljiv sa 3, pobjednik je igra A, a ako nije, pobjednik je igra B. Dokazati da igra B ima pobjedniku strategiju.

5. Dat je pravilan etougao ABCDEF i proizvoljna taka P unutar tog estougla. Dokazati da je zbir povrina trouglova PAB, PCD i PEF jednaka zbiru povrina trouglova PBC, PDF i PFA.

VIII razred

1. Ako su ba, i c duine stranica trougla, dokazati da je

abcbacacbcba +++ ))()((

2. Krunica k koja je upisana u otar ugao dodiruje krakove tog ugla u takama M i N. Neka je P proizvoljna taka veeg luka MN krunice k, taka A podnoije normale iz P na MN, a B i C podnoije normale iz P na krake tog ugla. Dokazati da je PCPBPA =2 .

9

3. Odredi ugao izmeu dijagonalnih presjeka DBB 1 D 1 i DAB 1 C 1 kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , koji sadre dijagonalu DB 1 .

4. Data su tvrenja: a) broj 1+x je djeljiv sa y ; b) ;52 += yx c) broj yx + je djeljiv sa 3; d) yx 7+ je prost broj. Odredi sve parove prirodnih brojeva ( ), yx za koje su tana tri od datih tvrenja istinita, a jedno lano.

5. Odredi sve prirodne brajeve n manje od 2003, za koje je mogue isjei pravougaonik 2003x n na trake, tako da nikoje dvije nemaju istu duinu. Pod trakom duine k podrazumijeva se pravougaonik 1x k , gdje je k prirodan broj.


VI razred

1. Konstruisati trougao ABC ako mu je dato: ,5cmc = cmba 5,3= i 30= .

2. Na fudbalskoj utakmici u jednom redu sjedita na tribinama sjo je izvjestan broj gledalaca. Zatim je meu svaka dva odnjih jo po jedan gledalac. Ovakav nain zauzimanja sjedita ponovi se tri puta, pa je poslije toga u tom redu bilo 113 gledalaca. Koliko je gledalaca na poetku sjelo u tom redu.

3. Rijei jednainu 501))))2

1002(1001(4(3(2(1 = x .

4. Naka su ba, i c tri racionalna broja od kojih je jeda pozitivan, jedan negativan, a jedan jednak nuli. Oderdi koji je od tih brojeva pozitivan, koji je

negativan, a koji je jednak nuli ako je 0)( b

cba

5. Du AC i BD se sijeku u tki O. Obim ABC jednak je obim ABD, a obim ACD jednak je obimu BCD. Izraunati duinu dui AO ako je BO=19cm.

VII razred

1. Odredi vrijednost polinoma

yxyxP 2004),( 2003 +=

Ako je

0101224 22 =+++ yxyx

2. estocifreni broj poinje cifrom 1. Ako se prva cifra premjesti naposlednje mjest dobija se broj koji je tri puta vei odpoznatog. Koji je to broj?

10

3. Duine stranice trougla su uzastopni prirodni brojevi ( koji manji od 3). Dokai da visina koja odgovara srednjoj po veliini stranici dijeli tu stranicu na odsjeke ija je razlika4.

4. Koliki je poluprenik krunice koja prolazi kroz tjeme C pravog ugla pravouglog trougla ABC, podnoje H visine CH i taku K koja je sredite katete BC, ako je hipotenuza trougla jednaka c .

5. U sudu A nalazi se pomijeano 8 litara vode i 9 litara soka, a u sudu B 9 litara vode i 12 litara soka. Iz oba suda izvaeno je po 8 litara tenosti. Zatim je 8 litara tenosti iz suda A sipano u sud B, a 8 litara tenosti iz suda B je sipano u sud A. Izraunati koliko e poslije toga biti soka u sudu A, a koliko vode u sudu B?

VIII razred

1. Od 43

nekog tapa odsjeene su njegove 32

. Preostali dio tapa dug je

55cm. Kolika je bila duina cijelog tapa?

2. Odredi da li je vee z ili x ako se zna da je 21

2=

+ yx, a 3=

xyy

, gdje je

x pozitivan broj.

3. Dat je razlomak 344

22 ++

+nn

n, gdje je n prirodan broj. Ako se taj razlomak

moe skratiti prirodnim brojem d , onda je d djelilac broja 30. Dokazati. 4. U pravouglom trouglu ABC konstruisana je visina CD. Neka je taka M sredina

dui CD. I N sredina dui BD. Dokazati da je prava AM normalna na pravu CN.

5. Izraunati zapreminu pravilne trostrane piramide ije su bone strane pravougli trouglovi, a mjerni broj x bone ivice je rjeenje jednaine

56

56 mxxm +

=+

, m je pozitivan broj.


VI razred

1. Rijeiti jednainu 55,0 = xba

, gdje je a najmanji element skupa

A={ m | n

nm 12+= i Znm , } i b najvei elenent skupa B={ y | y Q i | 23 y | 6 }

11

2. Mirko je zaboravio broj Aninog telefona. Sjea se da je broj sedmocifren, da se sastoji samo od dvojki i trojki i da je dvojki vie od trojki. Takoe se prisjetio da je broj telefona djeljiv sa 12. Pomognite Mirku da sazna broj Aninog telefona.

3. Iz tjemena A, B i C jednakostraninog ABC povuene su poluprave Ax, By i Cz tako da je BAx=CBy=ACz= . Dokazati da je MNP jednakostranian, pri emu je AxCy={M}, Ax By={N}i ByCz={P}.

4. Dokazati da je zbir unutranjih uglova na veoj osnovici trapeza manji od zbira unutranjih uglova na njegovoj manjoj osnovici.

5. Iz grada A u grad B vode 3 puta , iz grada B u grad C vode 2 puta a iz grada C u grad D 4 puta. Na koliko se razliitih naina moe stii iz grada A u grad D preko gradova B i C bez vraanja u grad kroz koji smo jednom proli?

VII razred

1. Dokai, da ako je 2

cab += i ca , ( a c ) tada je izraz 2bacbcab +

pozitivan.

2. Duine kateta pravouglog trougla su 1 i 3. Nad hipotenuzom iog trougla je konstruisan kvadrat tako da tjeme pravog ugla trougla ne pripada kvadratu. Nai rastojanje tjemena C pravog ugla od centra kvadrata.

3. Take K, L, M i N su redom sredita stranica AB, BC, CD i DA konvesnog etvorougla ABCD. Dui KM i LN sijeku se u taki O. Dokai da je zbir povrina etvorougla AKON i CMOL jednak zbiru povrina etvorougla BLOK i DNOM.

4. Jedna osnovna kola ima dva odjeljenja sedmog razreda. Od ukupnog broja uenika tog razreda 52% su djeaci, pri emu djeaka u VII 1 ima 55% a u VII 2 45%. Koji procenat od ukupnog broja uenika u oba odjeljenja ine uenici VII 1 odjeljenja?

5. Odredi cifre ba, i c za koje je ispunjena jednakost _______2____

)2( abcabab =

VIII razred

1. Cijena olovke je cio broj centi. Ukupna cijena olovaka je vea od 11, a manja od 12 evra, dok je ukupna cijena 13 olovaka vea od 15, a manja od 16 evra. Kolika je cijena jedne olovke?

2. Nai vrijednost razlomka baba

+

, ako je baabba 0,522 22 =+ .

12

3. U koordinatnoj ravni data je prava nyx =+ 34 , gdje je n neki realan broj. Normalno odsojanje date prave od koordinatnog poetka je 12. Odrediti broj n i povrinu trougla koji data prava gradi sa koordinatnim osama.

4. Osnovice trapeza su AB=50cm i CD=30cm. Osnovica CD produena preko tjemena C do take M. Koliko je rastojanje CM, ako se zna da du AM dijeli trapez na dva po povrini jednaka dijela?

5. Pravougli trougao ije su katete 6cm i 8cm je osnova trostrane piramide ije sve tri bone strane sa osnovom zaklapaju ugao od 60 . Izraunati povrinu i zapreminu date piramide.


VI razred

1. Odredi sve trocifrene brojeve koji imaju tano 5 djelilaca (ukljuujui jedinicu i sm broj).

2. U jednakokrakom trouglu ABC je ABC= BCA=40 . Simetrala gla BAC sijee krak BC u taki D. Dokazati da je AD+DC=AB.

3. Dat je kvadrat ABCD. Taka E pripada stranici AD, taka F pripada stranici DC, pri emu je DE=DF. Ako je G podnoje normale iz D na EC, dokazati da je BGF=90 .

4. Dat je jednakostranian trougao ABC, stranica AB=12cm. Neka je M taka na stranici AC, taka P podnoje normale iz M na AB, taka Q podnoje normale iz P na BC i taka R podnoje normale iz Q na AC. Izraunaj rastojanje AM, ako se Rpoklapa sa M.

5. Dato je pet prirodnih brojeva .Izraunati su svi zbirovi po dva od tih brojeva . Da li dobijeni zbirovi mogu biti 10 uzastopnih prirodnih brojeva?

VII razred

1. Dat trougao povrine 2004. Neka su brojevi M i N redom take na stranicama

AB i BC, takve da je AM:MB=1:3 i BN:NC=2:1. Ako se prave AN i CM sijeku u taki S, Izraunati povrinu etvorougla MBNS.

2. Ako je 1=abc , dokazati da je

4)1()1()1()1)(1)(1( 222 +++++=+++c

cb

ba

ac

cb

ba

a .

3. Na putu je kolona autobusa. Autobus smatramo prepunim, ako je u njemu bie od 50 putnika. Kontrolori Vojo i Rade zaustavili su kolonu. Vojo je odredio procenat prepunih autobusa , a Rade procenat svih putnika u prepunim autobusima u odnosu na ukupan broj putnika. iji je procenat vei?

13

4. Dat je pravougaoni ABCD, kod koga je AB=2BC. Krunice k sa centrom u A i poluprenikom Ad sijee dijagonalu BD u taki M. Izraunati ugao BMC.

5. Pravougaonik 2 x 2005 podijeljen je na 4010 podudarnih kvadrata stranice 1. Na koliko se naina od njih mogu izabrati 2004 kvadrata, tako da meu njima nema susjednih (dva kvadrata su susjedna ako imaju zajedniku stranicu).

VIII razred

1. Uravni su date 2004 take. Neki parovi taaka su spojeeni duima. Dokazati

da postoje dvije take iz kojih polazi jednak broj dui.

2. Osnovna ivica pravilne trostrane prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je AB= a , a visina je CC 1 = 2a . Neka je ravan odreena takama A,C 1 i sreditem ivice BB 1 , a ravan odreena takama C, B 1 i sreditom ivice AB. Odrediti duinu dui koja pripada presjeku ravni i i nalazi se unutar prizme.

3. Dokazati da je jednaina 232 zyx =+ ima beskonano mnogo rjeenja u skupu prirodnih brojeva.

4. Naka je M taka unutar kvadrata ABCD, takva da je MDC=MBD=20 . Izraunati ugao MAB.

5. Dati su redom brojevi ,,,, 2004321 aaaa takvi da vai 1100310022003220041 === aaaaaa . Dokazati da je

10021

11

11

12004

20042004

22004

1

=+

+++

++ aaa

.


VI razred

1. Brojilac i imenilac razlomka su cijeli brojevi iji je zbir 1025. Poslije skraivanja

ovog razlomka dobijen je razlomak 94

. Odrediti prvobitni razlomak.

2. Koliko je x, ako je poznato da je apsolutna vrijednost izraza x 2 pomnoena brojem koji je 4 puta manji od broja 8 jednaka 64?

3. U trouglu ABC simetrala ugla sa stranicom BC zaklapa ugao od 120o , a simetrala ugla se poklapa sa visinom koja odgovara stranici AC. Odrediti ugao kod tjemena C trougla ABC.

4. Obim paralelograma je 36 cm a jedna njegova stranica je 2 puta dua od druge stranice. Odrediti duine odsjeaka AE i EB gdje je E taka presjeka stranice AB i simetrale tupog ugla D paralelograma ABCD.

14

5. Cipele kotaju 48 . Poslije snienja broj kupaca se poveao za 50% a prihod se uveao za 25%. Kolika je nova cijena cipela?

VII razred

1. Napisati u obliku razlomka ba

sljedee decimalne beskonane zapise

brojeva: a) ...222,0 ; b) 4,50909...

2. Trgovac je za svoju radnju kupio tri paketa jabuka. Njihova ukupna teina je kg136 . U jednom paketu je dva puta vie jabuka nego u drugom, a u

drugom kg8 jabuka vie nego u treem. Cijena jabuka iz prvog paketa je 30 centi, a iz treeg 50 centi. Kolika je cijena jabuka iz drugog paketa, ako ih je trgovac prodao kao mjeavinu jabuka iz sva tri paketa po cijeni od 40 centi za kilogram i ostvario dobit od %8,8 vie nego da su jabuke prodavane odvojeno?

3. Da li je mogue od bilo kojih 2005 prirodnih brojeva izabrati 25 tako da razlika izmeu svaka dva od njih bude djeljiva sa 83? Dokazati.

4. Konstruii osmougao i izraunaj njegovu povrinu, ako je njegova stranica cma 3= .

5. Ako je taka H ortocentar ABC , dokai da vai relacija: ( )cba hCHhBHhAHcba ++=++ 2222 ( cba hhhcba ,,,,, su stranice i

odgovarajue visine ABC ).

VIII razred

1. Nai brojeve x i y ,koji su rjeenja jednaine 9 x 2+16 y 2 +6 x 24 y +10 = 0.

2. Neki posao radi ekipa od 9 radnika i po planu treba da ga zavri za 46 dana. Poslije 6 dana preduzee odlui da ubrza izvrenje posla. Stoga, poev od sedmog dana, na posao doe jo est radnika. Za koliko dana je uraen cio posao?

3. Darko stoji 4m udaljen od uline svjetiljke. Na kraju Darkove sjenke, koju daje svjetiljka, stoji jednako visok njegov brat Dejan. Dejanova sjenka je dva puta dua od Darkove. Izraunati duinu Darkove i Dejanove sjenke.

4. Dvije krunice iji se poluprenici odnose kao 1:3 dodiruju se spolja.Izrazi povrinu lika kojeg zatvaraju zajednika tangenta i krunice pomou poluprenika manje krunice.

5. Pravilna etvorostrana piramida i kocka imaju zajedniku bazu i nalaze se sa iste strane ravni u kojoj lee baze. Dijagonala kocke ima duinu D=10 3 cm, a visina bone strane piramide je 13cm. Izraunati zapreminu zajednikog dijela ova dva tijela.

15


VI razred

1. Poslodavac je nagradio radnika sa 10% zarade. P0to je vratio dug od 60, preostalu zaradu radnik je podijelio na tri jednaka dijela od po 90. Kolika je zarada radnika bez zarade.

2. Odredi cijele brojeve x i y tako da su nm, i p prirodni brojevi, gdje je

32+

=x

yxm , ,2

3=

xnyx

p+

=2

2

3. Na ahovskom turniru odigrano je 55 partija. Koliko je ahista uestvovalo na turniru ako je svaki igra igrao partiju sa svakim uesnikom turnira?

4. Na kraju BC jednakokrakog ABC uoena je proizvoljna taka M. Na produetku Kraka AC, iza take A u odnosu na C, izabrana je taka N tako da je AN=BM. Dokazati da osnovica AB polovi du MN.

5. U proizvoljnom etvorouglu ABCD, take M i N su sredine stranica BC i AD. Dokazati da du MN nije vea od poluzbira stranica AB i CD.

VII razred

1. Za koje vrijednosti ziyx, izraz zzyyxI 4189521992 222 += ima

najveu vrijednost i koliko ona iznosi?

2. Ako je p prost broj i 5p , dokazati da je broj 12 p djeljiv sa 24.

3. Dat je trougao ABC ija je povrina 210cm . Na produetku stranice AB , preko take B odredimo taku 1A , tako da je 1BAAB = , na produetku stranice BC , preko take C odredimo taku 1B , tako da je 1CBBC = i na produetku stranice CA , preko take A odredimo taku 1C , tako da je

11 ACCA = . Spajanjem taaka 1A , 1B i 1C dobija se trougao 111 CBA . Izraunati povrinu trougla 111 CBA .

4. U pravouglom trapezu ABCD (pravi ugao je kod tjemena A ) sa osnovicama AB i CD upisana je krunica sa centrom u taki O . Izraunaj povrinu trapeza, ako je cmOC 2= i .4cmOB =

5. Na pravoj p dato je 8 taaka, a na pravoj q , koja je paralelna pravoj p dato je 7 taaka. Koliko ima: a) trouglova; b) etvorouglova, ija su

tjemana neka od tih taaka?

16

VIII razred

1. Veza izmeu promjenljivih x i y data je jednainom : xxy652

237

=

.

Odrediti sve cijele vrijednosti promjenljive x za koje je 1< y

b) Zbir brojeva koji su dodijeljeni bilo kom nizu od 20 uzastopnih taaka je 100. Odredi koji je broj dodijeljen taki 100A .

VII razred

1. U otroglom trouglu ABC visine BE i AG sijeku se taki D. Take M, N, P, i Q su

redom sredita dui AD, BD, BC i AC. Dokazati da je etvorougao MNPQ pravougaonik.

2. Dokazati da je broj

36200820072006200420032002 + Kvadrat nekog prirodnog broja.

3. Ako su m i n prirodni brojevi i ako je broj m n +1 djeliv sa 24, onda je broj nm + djeljv sa 24. Dokazati.

4. estorka cifara abcdef predstavlja vrijeme na digitalnom asovniku. Pri tome cifre ab odreuju broj sati od 00 do 23, cifra cd odreuje broj minuta od 00 do 59 i cifre ef odreuju broj sekundi od 00 do 59. Koliko ima ovakvih estorki za koje i estorka cifara fedcba predstavlja vrijeme koje se moe proitati na digitalnom asovniku?

5. Neka je ABC jednakokraki trougao kod koga je AC=BC i ugao pri vrhu C jednak je 20. Ako je M taka na kraku BC i CM =AB, odrediti veliinu AMB.

VIII razred

1. Odrediti najmanji broj oblika 101010...10101 koji je djeljiv sa 9999.

2. Osnovna ivica pravilne trostrane piramide je 3dm. Piramida je presjeena sa ravni koja sadri jednu osnovnu ivicu i normalna je na naspravnu bonu ivicu i pri tome je dijeli u odnosu 9:8, raunajui od tjemena osnove. Izraunati povrinu piramide.

3. Ako su a , b i c duine stranica trougla , onda je

|ca

bc

ab

ac

cb

ba

++ | 1.

Dokazati.

4. Dat je pravilan sedmougao ABCDEFG stranice 1. Dokazati da je

111 =+ADAC

.

5. Na krunici je dato 2005 plavih i 2005 crvenih taka koje dijele krunicu na 4010 podudarnih lukova . Svaka crvena taka je sredite nekog luka sa plavim krajevima. Dokazati da je svaka plava taka sredite nekog luka sa crvenim krajevima.

18


VI razred

1. Odrediti sve cijele vrijednosti promjenljive x za koje je

41

121

32

x

2. Cijena patika je najprije poveana za 10%, a zatim je nova cijena sniena za 10%. Koliko su kotale patike, ako je razloka izmeu poslednje dvije cijene 5,5?

3. Konstruisati kvadrat ako je zbir njegove stranice a i dijagonale d du prikazana na slici.

4. Stranica AB paralelograma ABCD je dva puta dua od stranice BC, a M je sredina stranice AB. Pokazati da su dui CM i DM uzajamno normalne.

5. Na kolskom takmienju uestvovalo je 25 uenika.Otog broja 21 uenik je rijeio prvi zadatak, 20uenika drugi, 19 uenika trei i 18 uenika etvrti zadatak. Da li se moe zakljuiti da su 3 uenika rijeila sva etiri zadatka? Obrazloi odgovor.

VII razred

1. Odrei broj qp

, p , q N sa najmanje moguim imeniocem, koji je vei od

20061

, a manji od2005

1.

2. Dokazati da je broj 4242 912 + djeljiv sa 15. 3. Konstruisati pravilan estougao ija je povrina jednaka zbiru povrina tri data

pravilna etougla sa stranicama 21 ,aa i 3a .

4. U ravni paralelograma ABCD, a nad njegovim stranicama sa spoljne strane konstruisani su kvadrati. Dokazati da je etvorougao ija su tjemena centri ovih kvadrata, takoe kvadrati.

5. Od sedam raznobojnih cvjetova treba napraviti buket u kojmu se nalaze tri cvijeta. Na koliko se naina to moe uraditi?

da +

19

VIII razred

1. Za realne brojeve a , b i c vai acbcabcba ++=++ 222 . Dokazati da je cba == .

2. U skupu prirodnih brojeva rijeiti jednainu

24

62

32168

352 2 ++=++ xxxxx .

3. U Sali se nalaze stolice sa 3 i 4 noge. Kada na svaku stolicu sjedne samo po jedan uenik, u sali je ukupno 77 nogu. Koliko u sali ima stolica sa 3 noge, a koliko sa 4 noge?

4. U jednakostraninom trouglu stranice a upisana je krunica 1k . Jedno tjeme

trougla je centar krunice 2k poluprenika 2a

. Izraunati povrinu lika izmeu

1k i 2k .

5. Izraunati zapreminu pravilne estostrane prizme , ako je manja dijagonala prizme 68 cm i sa osnovom zaklapa ugao od 45.


VII razred

1. Brat i sestra mjerili su koracima duinu i irinu vrta pravougaonog oblika. Kad je brat iao po duoj stranici, a sestra po kraoj stranici, zajedno su napravili 270 koraka. No, kada je brat iao po kraoj, a sestra po duoj stranici pravougaonika, zajedno su napravili 290 koraka. Duina koraka brata je 0,8 m, a duina koraka sestre je 0,6 m. Kolika je povrina vrta?

2. Ukupna masa posude napunjene vodom (posude zajedno sa vodom) iznosi 2000 grama. Odlijemo li 20% vode, ukupna masa e se smanjiti na 88% prvobitne mase. Odredi masu prazne posude i masu vode.

3. Rastaviti polinom (x2

+ x +1)(x3+ x

2+1) -1 na inioce, pa zatim dokai da je

vrijednost polinoma negativna za svako x < 0, x-1 i pozitivna za svako x>0

4. U pravouglom trouglu ABC hipotenuza c=20cm, poluprenik krunice upisane u trougao je r i poluprenik krunice opisane oko trougla je R . Ako je Rr : =2 : 5, odrediti obim i povrinu tog trougla.

5. Oko tjemena jednakostraninog trougla stranice a opisani su (do presjeka sa stranicama) lukovi krunice kojima pripada teite trougla. Na taj nain dobija se figura u obliku trolisne rue. Izraunati njenu povrinu i obim.

20

Optinsko takmienje 2004. godine

III razred

1. Obim spoljanjeg ruba pravouglog okvira ogledala je 120cm. Koliki je obim unutranjeg ruba tog okvira ako je okvir irok 5cm.

2. Tri cigle i teg od 6kg imaju masu kao 4 cigle i teg od 2kg. Koliko kilograma ima jedna cigla?

3. Majka ima 35 godina, a kerka 9 godina. Za koliko godina e majka biti 3 puta starija od kerke?

4. Zbir dva broja je 756. Ako prvome oduzmemo 84, a drugome dodamo 62 onda se dobiju jednaki brojevi. O kojim je brojevima rije?

5. Na takmienju iz matematike uestvovalo je 240 uenika prvog, drugog i

treeg razreda. Uenika treeg razreda bilo je 21

ukupnog broja uenika,

uenika drugog razreda 31

od broja uenika treeg razreda, a ostalo su

uenici prvog razreda. Koliko je na tom takmienju uestvovalo uenika prvog, koliko drugog, a koliko treeg razreda?


III razred 1. Pomou etiri devetke, znakova raunskih operacija i zagrada, napisati etiri

razliita brojevna izraza od kojih svaki ima vrijednost 1.

2. Na dva tasa vage stoje 24 tega. Na jednom tasu vage su tegovi od po 5 kg, a na drugom od po 3 kg. Po koliko je tegova na svaku stranu ako je vaga u ravnotei?

3. Jedan ovjek ima 38 godina i 4 sina. Najstarijem sinu je 8 godina, a razlika izmeu sinova je po dvije godine. Kada e zbir godina sinova biti jednak broju godina oca?

4. Vrijednost izraza a-b+c je 986. Kolika e biti vrijednost izraza, ako se svaki od brojeva a, b, c umanji za 86?

5. Dvije njive, jedna oblika kvadrata i druga u obliku pravougaonika imaju jednake obime. Zbir tih obima je 320m, pri emu je irina pravougaonika njive dva puta manja od duine njive u obliku kvadrata. Odrediti dimenzije kvadrata i pravougaonika.

21

IV razred

1. Koliko ima trocifrenih brojeva koji imaju istu vrijednost da se itaju s lijeva u desno, bilo s desna u lijevo?

2. Ako je a+b=1800 izraunati 3805-a-b.

3. Tri djeaka imala su zajedno 310 i odlue da kupe biciklo. Prvi za biciklo da 64, drugi 56, a trei 40.Koliko je svako od njih imao novca, ako je poslije kupovine bicikla svima ostala ista suma novca?

4. Data su dva jednaka kvadrata koji imaju povrinu po 100cm 2 . Ako se stranica jednog kvadrata povea za 2 cm, a obim drugog za 16 cm, koji e kvadrat poslije ovih izmjena imati veu povrinu?

5. Zbir ivica kocke je 1224 cm. Kolika je povrina, a kolika zapremina te kocke?


IV razred

1. Za koplje, tit, ma i konja jedan vitez je platio 25 zlatnika. tit, ma i konj kotaju 22 zlatnika, a koplje, tit i ma 15 zlatnika. Koliko pojedinano kotaju koplje, tit,i ma, ako koplje, tit i konj kotaju 17 zlatnika?

2. Izraunaj vrijednost izraza:

(2006+2004+2002++6+4+2) (2005+2003+2001++5+3+1)

3. Idue godine Nada e imati dva puta vie godina od Jagode. Koliko godina ima Jagoda, a koliko Nada, ako se zna da je Nada 7 godina starija od Jagode?

4. Darko iz prve klupe je primijetio: Ako se broj jabuka u korpi sabere sa brojem uenika dobija se tano 100. Potom je uitelj svakom ueniku podijelio po 2 jabuke, a pri tom je u korpi ostalo 19 jabuka. Koliko je uenika u tom odjeljenju i koliko je jabuka bilo u korpi?

5. Ako se stranica kvadrata povea za 2 cm, onda se dobije novi kvadrat ija je povrina za 144cm 2 vea od povrine prvobitnog. Izraunati obim i povrinu prvobitnog kvadrata.

22


III razred 1. Za numeraciju jedne knjige upotrijebljeno je 129 cifara. Koliko stranica ima ta

knjiga?

2. Vlado, Jasna i Mirjana su prije 5 godine imali zajedno 20 godina. Koliko godina e imati za 8 godina?

3. Matija je polovinu svoga deparca dao starijoj sestri Sari, a etvrtinu deparca mlaoj sestri Jagodi, tako da je njemu ostalo svega 25 eura. Koliko je novca imao Matija na poetku?

4. Andrija je izabrao jedan broj, pomnoio ga brojem 10, dobijenom proizvodu dodao 10, pa zbir podijelio sa 10, od rezultata oduzeo 10 i dobio 1. Koji je broj Andrija izabrao ?

5. Kvadrat je dvijema pravama podijeljen na dva kvadrata i dva pravougaonika. Koliki su obimi datog kvadrata i dobijenih pravougaonika, ako su obimi dobijenih kvadrata 16 cm i 36 cm ?

23

A B

F

C

E

D

Rjeenja


VI razred

1. 25

=+ cb ; 14)(2)()()( =++=+++++ cbabacacb ;

659

=+ ca ; 7=++ cba ;

35

=+ ba ; 257 =a ;

6597 =b ;

357 =c

29

=a ; 6

17=b i

316

=c .

2. Oznaimo traeni broj sa x . Tada poslije dopisivanja broja 9 dobijamo broj 10 x +9, pa broj (10 x +9):3. Ako mu dopiemo broj 7 dobijamo broj 10((10 x +9):3)+7 koji podijeljen sa 11 daje kolinik 67, tj. (10((10 x +9):3)+7):11=67. Otuda se dobija x =21.

3. Kako je 31

, odnosno 93

druge sume novca jednake 94

prve sume, to je prva

suma jednaka 43

druge, tj. 41

druge sume novca je 12, to znai da je drugi

djeak imao 48 a prvi 36.

4. Iz AMN slijedi: =++ 18021 ; aiz MBD +=1 (spoljani ugao trougla jednak je zbiru dva unutrnja nesusjedna ugla). Na istinain iz NCE je

+=2 , pa je =++++ 180 .

5. Trouglovi ACD i BCD su pravougli. Poznata nam je osobina da je hipotenuza dva puta dua od odgovarajue teine dui. Zbog toga je DE=EC, pa je CDE jednakokraki i

DCEEDC = . Slino, trougao CDE je jednakokraki pa je i DCFCDE = . Dakle,

==+=+= 90EDFDCFDCECDFEDCEDF

A

C

B

DE

1

2

M

N

24

A B

CD F

O

E

D

BA

C

s

VII razred

1. =

+++=

1200320032003)12003(2003)12003(2003)2003(

234

Q

=++

=2002

200320032003200320032003 23344

20032002

)12003(2003=

= .

2. 22 )7(7105|47|21

+=+x

2)75(7421

=+x

|75|7421

=+x

)74(7521

=x

747521

+=x

.2=x

3. Iz podudarnosti ACD i BCD slijedi |AC|=|BD|i ACD= BDC.Kako je OFD OCF (ODF=OCF, OFD=OFC=90,OF je zajednika stranica) zakljuujemo da je| OC|=|OD|. Dakle, COD jejednakokrako-pravougli, pa je OCD=45. Jasno je da je i OCF jejednakokrako-pravougli, pa je |OF|=|CF|=4cm. Slino se zakljuuje da je |OE|=|EB|=5cm. Dakle, visina

trapeza je |EF|=9cm, pa je 28192

810 cmP =+= . Iz OCF dobijamo da je

OC=4 2 , a iz EBO da je |OB|=5 2 . Konano, iz OBC |BC| 2 =32+50, tj. |BC|= 82 . Otuda je O=(10+2 82 +8)cm=(18+2 82 )cm.

4. Neka simetrala s stranice BC sijee krunicu opisanu oko trougla ABC u taki D. Kako je |CD|=|BD|, to je BCD=CBD. Dokazaemo da je prava odreena takama A i D simetrala BAC. Naime, CAD=CBD, kao periferijski uglovi nad tetivom CD. Isto tako,

25

AB

SC

BAD= BCD takoe kao periferijski uglovi ad tetivomBD. Otuda je CAD= BAD, tj. takama A i D je odreena simetrala BAC.

5. Oznaimo sa m ( m N) broj odigranih partija. Saglasno uslovima zadatka

dobijamo jednainu 40% m =18, ije je rjeenje 45. Dakle, ukupno je odigrano 45 partija. Neka je n ( n N) oznaava broj uesnika turnira. Bilo koji od ahista odigrao je n -1 partiju (igrao je sa svakim od preostalih n -1 ahista).

Ukupno je odigrano 2

)1( nn partija. Prema uslovima zadatka dobijamo

jednainu 2

)1( nn=45, pa je n ( )1n =90. Kako je n ( )1n =109,

zakljuujemo da je n =10, tj. Da je na turniru uestvovalo 10 takmiara.

VIII razred

1. Neka je dat dvocifren broj ab . Dopisivanjem jedinica dobijamo broj 11ab . Iz uslova zadataka imamo 11ab = ab21 , pa je 1001+10 ab = ab21 . Dalje je 11 ab =1001. Otuda slijedi da je ab =91.

2. Poluprava As je simetrala ugla kod tjemena A trougla ABC. Kroz taku C

nacrtaj pravu CEAs. Trougao ACE je jednakostranian. Kako je EBC~ABD, tada je AD:EC=AB:EB, AD:6=12:18, AD=4cm.

3. 623

32 aaa++ =

6)1()1(2

622

632 232232 aaaaaaaaaaa +++

=+++

=++

=

6)2)(1(

6)2)(1( 2 ++=

++ aaaaaa.

Dobijeni brojilac predstavlja proizvod tri uzastopna prirodna broja, od kojih je jedan uvijek djeljiv sa 2 a jedan sa 3. Otuda slijedi da je taj proizvod djeljiv sa 6. Znai, brojilac je sadralac imenioca, pa dati razlomak ima cjelobrojnu vrijednost.

4. a) Povrina piramide se sastoji od pravougla trougla ije katete imaju duine a cm i jednakostraninog trougla ABC, stranice a 2 cm. Otuda je

2222

)33(24

3)2(2

3 cmaaaP +=+=

b) Za izraunavanje zapremine piramide za osnovicu uzmimo trougao ABS, a za visinu du CS.

32

1 61

231 aaaV == , 3332 6

561 aaaV == ,

pa je 5:1: 21 =VV .

26

5. a) Jednaina prave p ima oblik funkcije baxy += . Prava p prolazi kroz taku K(6,-2). Ako koordinate take K zamijenimo u jednainu baxy += dobijamo jednainu ba += 62 . Slino, zamjenjujui kordinate take S(2,1) u jednainu prave p dobija se jednaina ba += 21 . Dobijene jednaine ine sistem jednaina sa nepoznatim a i b . Rjeavanjem ovog sistema dobija se

43

=a i 25

=b . Otuda slijedi da je jednaina prave p : 25

43

+= xy .

b) Trougao OMN je pravougli (vidi sliku). Duina jedne katete je |OM|=3

10, a

druge |ON|=25

. Primjenom Pitacorine teoreme dobjiamo:

|MN| 2 =|OM| 2 +|ON| 2

|MN| 2 =425

9100

+

|MN| 2 =36625

|MN|=625

.

c) Trougao OMN ima povrinu

625

225

310

2|||

=

==ONOMP . Takoe je

P= |MN||OD|21

, odakle je|OD|= 2

625

6252

|MN|2

==P

.

OM

ND

27


VI razred

1. Kako je 0C=32 F, 100 vrijedi 180F. Otuda slijedi da jedan podeok Celzijusove skale odgovara 1,8 podeoka Ferhajtove skale. Neka je temparature x C jednako x F. Tada je x=32+1,8x ili0,8x=-32, tj. x=-40.

2. Neka su D i E podnoja visine i teine linije

iz tjemene A i neka je EF normalno na AC (vidi sliku). Trouglovi ABD, ADE i AEF su podudarni, to treba dokazati. Iz podudarnosti tih trouglova slijedi da je BD=DE=EF=x. Kako je E podnoje teine dui, to je BE=EC=2x. Kako je CEF pravougli trougao, a ce je dva puta vee od EF, slijedi da je E=60 a C=30 , kako je DAC= FEC=60 (kao uglovi sa normalnim kracima), dobijamo da je 2 =60, =30 . Otuda je A=3 =90 i B=60.

3. Ako je CR=RQ=QR=PB=BA, tada je:

1= x 2=2 x 4=2 x 3=180 -4 x 5= 6 5=180 -( 1+ 3) 5=180 - x -180 +4 x 5=3 x 6=3x 7= B- 6

7=2180 x

-3 x

7=2

7180 x

A=2180 x

A= 8 A+ 8+ 7=180 2A+ 7=180

2A+2

7180 x=180

22180 x

+2

7180 x=180

x =20

1

x

3 Q

P

R

C

BA

2

45

68

7

Cx

x

x

A

D

F

EB

28

4. Proizvod dva dvocifrena broja vei je ili jednak 10000100100 = , a manji od 100000010001000 = . Otuda slijedi da je on ili petocifren ili estocifren broj.

Ako je taj proizvod petocifren broj, on je 33333, to slijedi iz uslova zadatka. Kako je 27112327141311111333333 === , to su u ovom sluaju traeni beojevi 123 i 271. Ako je taj proizvod estocifren broj, on je 333333, to slijedi iz uslova zadatka. Kako je 371311733100111131111113333333 === , to su u ovom sluaju mogue sledee tri kombinacije:

481693)3713()11733( = ; 481693)3711()13733( = ; 481693)13113()3773( = .

5. Neka je traeni broj yx10 . On je djeljiv sa 36 ako je djeljiv sa 4 i 9. Da bi bio

djeljiv sa 4 mora y biti jedan od cifara 0 ili 4 ili 8. Da bi bio djeljiv sa 9 mora zbir cifara 1++ yx biti djeljiv sa 9. Otuda slijedi, koko y moe biti jedna cifara 0 ili 4 ili 8, da 9,5,1 +++ xxx mora biti djeljivo sa 9. To je mogue ako je:

8,91 ==+ xx ; 4,95 ==+ xx ; 0,99 ==+ xx ; 9,189 ==+ xx .

Znai, traeni brojevi su 8100, 4104 i 9108.

VII razred

1. Datu nejednainu zamijenimo nizom ekvivalentnih nejednaina );999999()19(9 200420022001324 ++++++x

;999999999999 20032002200132200420032002324 +++++x 0)9()( 2100222 x

0)9)(9( 1002210022 + xx 0)9)(9( 501501 + xx

Rjeenja poslednje jednaine prikazana su na slici:

5019 O 5019

Najmanje cjelobrojno pozitivno rjjeenje zadane nejednaine je 5019 . Kako se stepen broja 9 zavrava cifrom 1, ukoliko je broj devetki paran, odnosno cifrom 9 ako je broj devetki neparan. Zkljuujemo da se 5019 zavrava cifrom 9.

2. Neparni brojevi pri dijeljenju sa 4 daju ostatk 1 ili 3. Tada iz uslova zadatka

slijedi da bar dva od brojev ba, ili c pri dijeljenju sa 4 daju jednake ostatke.

29

Otuda slijedi da su posmatrani brojevi oblika 14 +k ili 34 +m , kdje su k i m cijeli brojevi.

Naka , naprimjer, brojevi a i b pri dijeljenju sa 4 daju ostatak 1. Tada je 14 += ka i 14 += mb . Otuda je )4(41)14()14(1 mkkmmkba ++=++= . Otuda slijedi da je 1ba djeljvo sa 4.

Ako, naprimjer b i c pri dijeljenju sa 4 imaju ostatak 3, tada je 34 += kb i 34 += mc . Sada je lako vidjeti da je )2444(41 +++= kmmbc , pa je

1bc djeljivo sa 4. Time ja pokazano da je bar jedan od brojeva 1ba , 1bc , 1ca djeljiv sa 4.

3. Iz trougla MOE slijedi: 222 OMEMr += , 222 )

21()

21( ABBCEDr += ,

222 ))(21()(

41 ABACABAEADr +++= , pa je

(*) 222 )()(4 ABACAEADr ++= . Iz trougla ONC slijedi:

222 NCONr += ; 222 )21()

21( BCADEDr + ;

222 )(41))(

21( ACABADAEADr +++= , pa je

(**) 222 )()(4 ACABADAEr ++= . Sabiranjem (*) i (**) dobijamo

=28r 22 )()( ABACAEAD ++ + 22 )()( ACABADAE ++ Sreivanjem poslednje jednakosti dobijamo traenu jednakost.

4. Neka je EDAC. Prvo rjeenje. Kako je ADE ~ ADB (uglovi i su jednaki kao uglovi sa normalnim kracima), to je AD:AB=EA:AD, pa je 942 =AD ,

tj. AD=6cm. Otuda je 62

94

+=P

P=39cm 2

5. Sto razliitih taaka, pod uslovom da

bilo koje tri od njih ne mogu biti kolinearne, odreuje 49502

99100=

pravih.

est taaka A, B, C, D, E i F odreuju 152

56=

pravih, pod uslovom da bilo

koje tri od njih ne mogu biti kolinearne. Ako te take pripadaju grupi od 100 datih taaka i ako predstavljaju estorku kolinearnih taaka, one nee odreivati 15 pravih, nego jednu pravu. Kako takvih estorki ima 10, broj pravih koje odreuje 100 taaka iz zadatka jednak je 4950- 1410 =4810.

M

N

O

A

E

CB

A

O

E

D C

B

1d2d

30

VIII razred

1. Kako je 0)( 2 yx , to je 222222 2 yxxyyxyx +++ ,pa je 222 )(

21 yxyx ++ . Uzimajui da je

aax 1+= i

bby 1+= dobijamo

225)41(

21)11(

21)(

21)11(

21)1()1( 222222 =++=+++=++++++

ababbaba

bb

aa

bb

aa

. U dkazu su koriteni uslovi iz zadatkada su a i b pozitivni brojevi i da je 1=+ ba . Otuda je 10 a i 10 b . Korien je i odnos izmeu gemetrijske i aritmetike

sredine 2

baba + .

2. Neka je x traeni broj. Tada se iz uslova zadatka dobija

(*) 2715240151 +=+= nmx , gdje su m i n prirodni brojevi. Poto je x etvorocifren broj oigledno je

65152

2710000152

27

=

xn . Iz (*) dobijamo 13)(15 = nnm . Ako bi

0 nm , tada bi apsolutna vrijednost broja 13n bila vea od 150. To je nemogue jer je 65n . Otuda slijedi da je 013 =n . Otuda je 13== mn . Znai 200327131524013151 =+=+=x .

3. Kako se bazen za10 minuta napuni toplom vodom do visine 1m, slijedi da se

bazen svakog minuta puni toplom vodom 0,1m. Otuda slijedi da e se toplom vodom do visine 0,75m napuniti za 7,5 minuta. Kako se bazen za 10 minuta napuni hladnom vodom do visine od 0,5m, slijedi da se bazen svakog minuta puni hladnom vodom0,05m. Iz uslova da je punjen bazen do visine 1,25m obavljeno tako to se do visine 0,75m bazen ponio samo toplom vodom, a nakon toga je punjenje obavljeno toplom i hladnom vodom, slijedi da je 25,1)1,005,0(75,0 =++ x , gdje je x vrijeme za koje je punjenje bazena obavljeno toplom i hladnom vodom. Rjeavajui jednainu po x dobijamo 3:10=x , pa je

313=x minuta. Znai bazen se do visine od 1,25m napuni za

( )313

217 + minuta tj. Za 10 minuta i 50 sekundi.

4. Trouglovi ABO i COD su slini sa koeficijentom slinosti 3

(AB:CD=BO:OD=AO:OC=1:3). Otuda slijedi da je

OCDBOCAOD PPP == 3 i OCDAOB PP = 9 . Tada je

OCDtrapeza PP = 16 .

A B

CD

O

31

5. Sa slike se uoava da se povrina rotacionog tijela moe izrunati po formuli 4321 MMMMPT ++= povrine omotaa koji nastaju rotacijom truglova ABB 1 , DCC 1 , EBB 1 , i ECC 1 .

Kako je ABE ~DCE, slijedi da je xx :)14(36:320 += , pa je 6=x . Kako je ,

dalje, DF=21

CD= 333621

= , tada

se iz pravouglog trougla DEF dobija FE 9222 == DFx , pa je FE=3. IZ CDO 1 ~DFE, slijedi

FErxCD :: = , pa je 3:6:36 r= , tj. 33=r . Na slian nain se dobija

310=R . Kako su izvodnice omotaa M 1 , M 2 , M 3 i M 4 odgavarajue stranice zadanog trapeza, tada se mogu izraunati njihov povrine. Sprovodei raunanje tih povrina

dobija se 2)391327(2 cmPT += . Postupajui na slian nain kao kod izraunavanja povrine, zapreminu rotacionog tijela izraunavamo po formuli 4321 )( VVVVVT ++= , gdje su

321 ,, VVV i 4V zapremine kuoa koje nastaju rotacijom truglova ABB 1 , DCC 1 , EBB 1 , i ECC 1 . Poto se mogu izraunati visine tih kupa, dobija se da je

31946 cmVT = .

Sveznog takmienje 2003. Godine

VI

1. Oigledno je da se brojevi 20032003 5,1 i 20036 zavravaju redo ciframa 1, 5, i 6. Neparan stepen broja 4 odnosno broja 9 uvijek se zavrava cifrom 4 odnosno 9. na kraju brojevi 2 i 3 stepenovani brojm oblika 4k+3 uvijek se zavrava cifrom 8 odnosno 7. Prema tome dati broj se zavrava cifrom 1+8+7+4+5+6+9=20. Otuda slijedi da je taj broj djeljiv sa 10.

2. Neka su ba, i c stranice trougla ABC i at =AD teina linija. Iz ABC je

2acta , a iz ADC je 2

abta . Sabiranjem ovih nejednakosti dobijamo

acbta +2 , tj.

A

r

RO

x

xE

A

A

B 1B

1C1O r

x

x

C

EF

D

1O

32

(*) at 2acb +

.

Produimo AD preko take E tako da je AD=ED. IZ AEC je ,2 cbta + tj.

(**) 2

cbta+

Iz (*) i (**)sliedi

(1) 22

cbtacb a++

.

Analogno je

(2) 22

catbca b++

i

(3) 22

batcba c++

.

Sabiranjem (1), (2) i (3) dobijamo

cbattcba cba ++++++

2

.

3. S obzirom da je ABC jednakokrak, take O i S

pripadaju simetrali ula ACB= . Dakle ACO=2

, a kako

O pripada simetrali dui AC to je ACO=CAO=2

. Iz

ACD, gdje je D sredite osnovice AB, slijedi

OAB=90 -2

-2

=90 - .

Naka je P dodirna taka krunice k(S,r) sa produetkom kraka AC. Tada je OAB= BAS= SAP i CAO+OAB+ BAS+ SAP=180 odakle je

1803) 90(2

=+ , odnosno 25

=90 i konano =36 . Dakle, 72== i

=36 .

4. Oznaimo sa 1 put koji pree mala kazaljka prilikom njene rotacije za 360 , tj. za puni krug, a put koji je prela mala kazaljka od podeoka 12h do traenog vremena oznaimo sa x . Tada put koji eprei mala kazaljka od

traenog trenutka do podeoka 13h je x131

, a put koji e za to vrijeme

prei velika kazaljka je 12 puta dui, tj. 1-12 x . Sada je jasno da mora biti

xx =121 odnosno 131

=x punog kruga, odnosno 131

od 12h pa je

rezultatzadatka 12h i 1312

h, tj. 12h 55min 23131

s.

C E

D

BA

at

PS

D

O

C

BA

2

2

33

5. Neka je p broj parova djeak-djevojica, koji sjede zajedno. Znai broj uenika u parovima je p2 , jer je p broj djeaka u parovima, a p broj djevojica u parovma. Neka su m i n ukupan broj djeaka, odnosno

djevojica. Tada je mp32

= i np53

= , odakle je pm23

= i pn35

= . Ukupan

broj uenika u odjeljenju je pnm6

19=+ . Otuda je

1912

6192

=p

p. Dakle,

1912

od

ukupnog broja uenika sjedi u mjeovitim parovima.

VII razred

1. Neka je nma = , pri emu su m i n uzajamno prosti brojevi. Pretpostavimo da

je Za

a + 1 , tj. Nkka

a =+ ,1 . Tada je kmn

nm

=+ , odakle je

kmnnm =+ 22 . Desna strana predhodne jednakosti je djeljiva sa m , pa m | n , to je u suprotnosti sa pretpostavkom da su m i n uzajamno prosti brojevi.

2. Oznaimo sa P povrinu ABC, sa P 1 povrinu petougla BFG, sa

P 2 povrinu petougla CDEFG i sa P 3 oovrinu AED. Data je kateta

jednakokrakog-pravouglog ABC: 1=a . Tada je 21

2

2

==aP . Iz uslova

zadatka je P=P 1+P 2 +P 3 = 5 P 3 . Trouglovi BGF i AED su jednakokrako-pravougli, pa je FG=FB i ED=EA, odakle je (1) FG+FE+ED= 2 .

Neka je BF= 1a i BG= 1c . Tada je P 1= 21a , a kako je

PP52

1 = to je 252

2

221 aa = , odnosno

522

1 =a , tj.

510

1 =a i 522211 === aBGc . Sada je

(2) GC=BC-BG=1-5

52=

5525

.

Slino, iz AED je 2

23

aP = i PP51

3 = ( pri emu )2 EDa = , pa je 512

2 =a ,

odnosno 55

2 =a , a 55222 === aADc , odakle je

DG

C

BFEA

34

(3) CD=AC-AD=1-510

=5

105 .

Konano, sabiranjem (1), (2) i (3) dobijamo obim petougla CDEFG:

O=FG+FE+ED+GC+CG=5

105225105

1055

5252 +=++ .

3. Iz jednakosti )(200422 banm +=+ slijedi da je broj 22 nm + djeljiv sa 3, to

je jedino mogue ako su m i n djeljivi sa 3. Meutim, tada su brojevi 2m i 2n djeljivi sa 9, pa iz predhodne jednakosti zakljuujemo da je broj ba + djeljiv sa 3. Kako je broj ba djeljiv sa 3, to slijedi iz jednakosti

)(200222 banm = , to su brojevi a i b djeljivi sa 3.

4. U poetku igra B brie brojeve djeljive sa 3 sve dok ih ima. Kad na tabli ostanu samo brojevi koji nijesu djeljivi sa 3 (to e se desiti najksnije poslije 333. poteza) igraa B, on nastavlja da brie brojeve proizvoljno. Kad na tabli ostane tri broja, na potezu je igra B. Meu ta tri broja postoje bar dva koji daju isti ostatak pri dijeljenju sa 3. Ta dva broja e igra B ostaviti, a izbrisae onaj trei. Time postie pobjedu.

5. Sa S XYZ oznaimo povrinu trouglova XYZ. Treba dokazati da je

PFAPDEPBCPEFPCDPAB SSSSSS ++=++ Svaki od est trouglova ima po jednu stranicu jednaku stranici estougla. Oznaimo duinu te stranice sa a . Neka su ,, 21 hh 543 ,, hhh i 6h redom visine iz tjemena P trouglova PAB, PBC, PCD, PDF, PEF i PFA. Tada je

222531 ahahahSSS PEFPCDPAB ++=++ =

531(2hhha ++ ),

222642 ahahahSSS PFAPDEPBC ++=++ =

)(2 642

hhha ++ .

Posmatrajmo trougao T 1 ija su tjemena presjeci pravih: ABCD i CDEF i

EFAB i i trugao T 2 ija su tjemena u presjeku previh: BCDA i DEFA i

FABC. Trouglovi T 1 i T 2 su jednakostranini i podudarni. Neka je njihova

visina h. Kako je hhhh =++ 531 i hhhh =++ 642 , slijedi tvrenje.

PF

E D

C

BA

35

VIII razred

1. Brojevi ba, i c su duine stranica nekog trougla ako i samo ako postoje realni brojevi 0,, zyx takvi da je yxcxzbzya +=+=+= ,, . Tada je

02

,02

,02

cbazbacyacbx +=+=+=

Pa je data nejednakost ekvivalentna nejednakosti ),)()((222 yxxyzyzyx +++

Koja je tana jer je na osnovu nejednakosti izmeu aritmetike i geometrijske sredine dva pozitivna broja

xyyxyzxyyzzy +++2

,2

,2

,

Odnosno xyzxyzyxxyzy 222))()(( +++ .

2. Neka take B i M pripadaju jednom, a take N

i C drugom kraku datog ugla. Kako su uglovi MBP i MAP pravi, take B, P A i M pripadaju istoj krunici, pa su uglovi ABP i PMA jednaki, kao periferijski uglovi nad istom tetivom AP. Slino, take P,C,N i A pripadaju istoj krunici, a uglovi PAC i PNC su jednaki kao periferijskiuglovi nad istom tetivom PC. Meutim, ugao PMN je jednak uglu PNC(prvi je periferijski ugao nad tetivom PN upisane krunice, a drugi je ugao izmeu te tetive i tangenteNC), pa je ABP=CAP.

3. Kako je dijagonala kocke 1DB presjek ravni i

izmeu kojih se trai ugao, to treba uoiti neke ravni koja je normalna na 1DB . Presjek te ravni sa ravnima i ododredie traeni ugao. Ravan je odreena takama A;C i D 1 , jer je oigledno

1DB normalno na . Ako su S i T redom sredita dui AC i CD 1 , tada su AT o D 1 S presjeci ravni sa ravnima i . Meutim, AT i D 1 S su visine jednakostraninog trougla ACD 1 , pa je traeni ugao60

4. IZ yyxyx 6)(7 ++=+ zakljuujemo da je jedno od tvrenja od tvrenja (c)

ili (d) lano. Dakle, tvrenje (a) i (b) su istinita. Iz (b) dobijano 53 +=+ yyx . Desna strana ove jerdnakosti nije djeliva sa 3, pa 3 nije djelilac od yx + , tj. tvrenje (c) je lano.

BM

AP

CN

36

Iz (a) dobijamo )(,1 Nkkyx =+ . Kada ovu jednakost uvrszimo u (b)

dobijamo 62 += yky , odakle je 2

6

=k

y .

Budui da je 2,kNy {1,2,3,6}, tada je y {6,3,2,1}. Iz 52 += yx i y {6,3,2,1} dobijamo x {17,11,9,7}. Dalje je ),( yx {(17,6),11,3),(9,2),7,1).

Od navenih parova tvrenje (d) zadovaljavaju (17,6) i (9,2). 5. Duina trake moe biti najvi 2003. Poijelimo pravougaonik na trake 1x2003.

prvu ostavimo cijelu, drugo podijelimo dva dijela duine 1 i 2002, treu na dva dijela duine2 i 2001 i td. Tako moemo da idemo do 1002. trake, koju dijelimo djelove duine 1001 i 1002. Dakle, pravouganik 20031002 moemo podijeliti na trake razliitih duina, pei emu su zastupljene sve duine od 1 do 2003. Oigledno je da se za 1002n pravougaonik moe podijeliti na traeni nain, izostavljanjem nekih trako.

200310022003321 =++++ maksimalna povrina pravougaonika koja se moepokriti trakama nejednake duine ne moe biti vea od 20031002 . Kako je duina pravougaonika jednaka 2003, maksimalna irina n ne moe biti vea od 1002, jer bi neke trake bile upotrijebljene vie puta. Odgovor:

1002n .


VI razred

1. Naka je ABC traeni, tada uoimo taku A 1 na stranici BC, takva da je CAAC 1= = b i A A 1 C jednakokraki, a BA 1 = cmba 5,3= . Prvo emo konstruisati ABA 1 , jer su mu date stranica AB= 5cm, ugao 30= i stranica BA1 = cmba 5,3= ( na osnovu SUS). Taku C nalazimo u presjeku simetrala dui AA 1 i produetka stranice BA1 . Spajanjem take A,B i C dobijamo traeni ABC.

2. Neka je na poetku sjelo n gledalaca, a zatim je izmeu svaka dva od njih

sjeo 1n gledalac, to je ukupno 12 n gledalaca. U drugom koraku bie 34)22()12( =+ nnn gledalaca, a u treem (4n-3)+(4n-4)=8n-7

gledalaca, Konano postavimo jednainu ,11378 =n ijim rjeavanjem dobijamo da je na poetku u redu sjelo 15=n gledalaca.

BA

ba 1A

37

3. Oslobodimo se prvo prve spoljanje zagrade

501)))))2

1002(1001(4(3(21 =+ x

501))))2

1002(1001(4(321 =+ x i tako redom.

Nastavljanjem ovog postuoka dobijamo

5012

100210014321 =+++ x . Naimo potom razlike

(1-2), (3-4), ..., (1001-100), pa dobijamo jednainu

-501+ 5012=

x, odakle je 2004=x .

4. Razlomak b

bca )( je pozitivan ako je:

1) obca )( i 0b ili 2) obca )( i 0b . U sluaju 1) izraz obca )( , ako je ( 0a i 0bc ), pa bi tada bilo i 0a i 0b , to ne ispunjava uslove zadatka, ili ( 0a i 0bc i 0b ),

to ispunjava uslovzadatka 0a i 0b i 0=c . Slino razmatramo sluaj 2) izraz 0)( bca i 0b , ako je ( 0a i 0bc i 0b ), to ne ispunjava uslove zadatka, iili ( 0a i 0bc i 0b ), takoe ne ispunjava uslove zadatka. Dakle, konano je 0a i 0b i 0=c .

5. Kako je ABDABC OO = i BCDACD OO = , to je

AC+BC=AD+BD (1) i AC+AD=BC+BD (2) Jednakost(2) napiimo u obliku AC-BC=BD-AD i dodajmo je jednakosti (1) odakle dobijamo 2AC=2BD, odnosno AC=BD, tada je i BC=AD, pa je na osnovu pravila podudarnosti (SSS) ABC=ABD. Iz podudarnosti trouglova slijedi da je CAB=ABD, odakle je ABO jednakokraki, pa je AO=BO=19cm.

VII razred

1. Poslije transformacije polinoma na lijevoj strani dobijamo:

0)32()1( 22 =++ yx . Kako je zbir kvadrata jednak nuli samo ako su oba sabirka jednaka nuli, zo imamo:

1=x i 23

=y . Traena vrijednost polinoma je:

232004)1()

23,1( 2003 +=R =-1+3006=3005.

O

D C

BA

38

2. Neka je traeni broj abcdex 1= . Iz uslova zadataka imamo abcdeabcde 131 = . Ako sa y oznaimo petocifreni broj abcde ,

imamo: yy 131 = , pa je )100000(3110 yy +=+ , tj. 42875=y . Traeni broj je 1428751 == yx .

3. Neka su duine stranice ABC uzastopni prirodni

brojevi, 1, +== xbxa i 2+= xc , 3x . Takom

1B (podnoije visine iz take B na stranicu AC) stranica AC podijeljena je na dv odsjeka m i n . Iz pravouglog trougla B 1B C i B 1B A ,primjenom Pitagorine teoreme imamo:

222222 , nchmah == . Odatle izjednaavanjem desnih strana i odgovarajuim zamjenjivanjem dobijamo ))(()1(4 mnmnx +=+ . Kako je prema uslovu zadatka 1+=+= xmnb to zamjenom u predhodnoj jednaini dobijamo da je 4= mn , to je i trebalo dokazati.

4. Prema uslovima zadatka je CK=KB. Kako je CHB

pravougli, to je CK=KB=KH. Sa M oznaimo presjenu taku krunice i katete AC. Kako ie MCK=90, to je MK prenik krunice. Kako su tetive KC i KH jednake, to je prenik normalan na CH, to znai da je MKAB. Prema tome MK je srednja linija ABC, tj.

cABMK21

21

== . Traeni poluprenik je cMKr41

21

== .

5. U sudu A ima 17 litara tenosti od ega 178

vode i 179

soka, a u sudu B ima

21 litar tenosti od ega 219

vode i 2112

soka. Kada se iz suda A izvadi 8 litara

tenosti izvadie se ll1764

1788 = vode i ll

1772

1798 = soka. U sud e ostati

ll1772)

17648( = vode i ll

1781)

17729( = soka. Slino iz suda B e se izvaditi

l2172

vode i l2196

soka, a u sudu e ostati l21

117vode i l

21156

soka. Poslije

presipanja po 8 litara tenosti, kako je reeno, u sudu A e biti

m

C

BA

b a

n1B

h

M

C

K

BHA

39

lll3573333)

2196

1781()

21156

21117

21156

81781( =+=

++ soka, au sudu B

lll3573333)

1764

21117()

1781

1772

1772

821

117=+=

++ .

VIII razred

1. Ako je duina je duina tapa xcm , tada je od x43

odsjeen komad duine

xx21)

43(

32

= . Preostali dio tapa, a to je xxx41

21

43

= ima duinu 55cm.

Cio tap bio je 4 puta dui, pa je njegova duina bila 220cm.

2. Iz prvog uslova dobijamo yxz 22 += , a iz druge xyz 33 = . Pomnoimo prvu jednainu sa3 i drugu sa -2. Sabiranjem tih jednaina dobijamo

.12xz = Kako je x pozitivan broj zakljuujemo da je vee od x .

3. Neka se razlomak 344

22 ++

+nn

n moe skratiti sa d . Tada se i razlomak

23442

+++

nnn

moe skratiti sa d . Kako je

23442

+++

nnn

=2

3022

30)2( 2

+++=

+++

nn

nn

, to se i razlomak 2

30+n

moe

skratiti sa d . Zato je d djelilac brojioca tog razlomka, tj. broja 30.

4. Po konstrukciji du MN je srednja linija BCA , pa je

paralelna sa katetom BC. Samim tim je MN AC. Dakle, u ANC visine CD i MN sijeku se u taki M, pa otuda slijedi da je M orticentar ovog trougla. Zbog toga je u ANC du AM trea visina i prava AM je normalna na pravu CN.

5. Rjeenje date jednaine je mx = . Bone strane su

jednakokraki pravougli trouglovi. Hipotenuze ovih trouglova su osnovne ivice piramide 22 mxa == . Visina H piramide izraunaemo iz pravouglog trougla

SOA 222 )32( hxH = , gdje je h visina baze. Kako je

M

B

ND

ACS

O

A

C

B

H

40

23

23 mah == , otuda je H=

33m

. Zapremina piramide je

== HaV4

331 2

6

3m.

Republikog takmienje 2004. godine

VI razred

1. Da bi nn

nm 12112 +=+= bio cio broj potrebno je da n dijeli 12. Dakle,

n { -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2,3, 4, 6, 12}. Tako je n =-12, m =0. Za n =-6, m =1 i td.Na taj nain se formira skup A={0, -1 ,-2, -3, -5, -11, 7, 5, 4, 3, 2 }. Kako je -11 najmanji element skupa A zakljuujemo a =-11. Nejednainu |3 y -2| 6 zamjenjujemo dvojnom nejednainom 6236 y . Otuda se dobija

38

34

y . Dakle, B={ y | y Q i

38

34

y }.Najvei element skupa B je

38

. Uvravajui vrijednosti za a i b u datu jednainu dobijamo

521

3811

= x , ije je rjeenje 311=x .

2. Za zapisivanjem Aninog telefona postoje sledee mogunosti:

a) broj dvojki je 4, a broj trojki 3; b)broj dvojki je 5, a broj trojki 2; c)broj dvojki je 6, a broj trojki1. Sedmocifren broj iz a) bilo kako da su rasporeene dvojke i trojke ne ispunjavaju uslove zadataka jer nije djeljiv sa 3. Naime, da bi broj bio djeljiv sa 12 mora biti djeljiv sa 3 i sa 4. Iz istog razloga otpada sluaj pod b) jer 3 ne dijeli zbir 3225 + . Razmotrimo sluaj pod c). Broj koji se pie pomou 6 dvojki i jedne trojke djeljiv je sa 3. Ostaje da rasporedimo dvojke i trojke tako da sedmocifren broj bude djeljiv sa 4. Dabi se ovo desilo potrebno je da poslednje dvije cifre traenog broja budu djeljive sa4, to je mogue samo ako su zadnje cifre 32.Dakle, broj Aninog telefona je 2222232.

3. Iz AMC dobijamo MAC+ACM+AMC=180 , odnosno 60 - - +AMC=180 . Otuda je AMC=120 , odnosno PMN=60 . Na isti nain se pokazuje da je MNP=60 . Ovim je tvrenje dokazano.

M

NP

C

BA

41

4. Neka se produeci krakova AD i BC, trapeza ABCD sijeku u taki E i neka je EDC= i DCB= , kao uglovi sa paralelnim kracima. Kako je spoljani ugao DCE bie

+= ...........(1) Na isti nain se dokazuje da je

+= ............(2) Sabiranjem jednakosti (1) i (2) dobijamo

2++=+ . Iz ove jednakosti slijedi ++ .

5. Situacija opisana u zadatku prikazana je slikom

DCBA Iz grada A u grad C preko grada B stie se na 623 = naina. Grad B izostavljamo iz dalje analize. Nova situacija ( kada iz A stiemo u D preko grada C) prikazana je sledeoj slici.

A DC

Sa slike zakljuujemo da iz grada A u grad D preko C stiemo na 2446 = razliita naina.

VII razred

1. Kako je 2

cab += tada je

2bacbcab + = ==+++ 2)2

()(2

caaccaca

4)(42 222 cacaca

=+

. Tvrenje je dokazano jer je ca .

2. Podnoje normale iz tke O( presjek dijagonala kvadreta) su take D i E.

Uoimo trouglove EBO i DAO i dokaimo njihovu podudarnost. Iz podudarnosti slijedi da je OD=OE, odnosno da je etvorougao ECDO kvadrat iju duinu dijagonale treba izraunati =x |CO|=? Hipotenuza ABC je

10=c , a dijagonala kvadrata odreenog je 52=d . Oznaimo stranice kvadrata ECDE sa y , pa je

22 2yx = ............(1) Iz pravouglog trougla DAO postavimo jednainu

D C

B

42

222 )3()2

( ydy = ............(2)

Rjeavanjem jednaine (2) dobijamo da je 2=y ili 1=y .

Oigledno je |CD| = |CE|=2, pa zamjenom u jednainu (1) dobijamo da je traeno

rastojanje x = 22 .

3. Iz uslova zadatka zakljuujemo da su povrine sledeih parova trouglova meusobno jednaka (imaju jednaku po jednu stranicu i njoj odgovarajuu visinu). Navodimo parove jednakih povrina:

MDOCMOBLOLCOKBOAKO PPPPPP === ,, i

DNOAON PP = . Sabiranjem lijevih stran navedenih jedanakosti dobijamo da su one jednake zbiru njihovih desnih strana. Otuda je AKOP + LCOP + CMOP + AONP = KBOP + BLOP + MDOP + DNOP pa je P AKON + CMOLP =P BLOK +P DNOM .

4. Neka je x broj uenika 1VII , a y broj uenika 1VII odjeljenja. Procenat

djeaka u 1VII je xx 2011%55 = , a u 2VII je yy 20

9%45 = , a u oba zajedno

)(2513)%(55 yxyx +=+ . Kako je zbir djeaka iz 1VII i 1VII jednak je

ukupnom broju djeaka sedmog razreda ove kole, to moemo furmirati sledeu jednakost )%(52%45%55 yxyx +=+ . Izraavanjem iz poslednje

jednakosti x preko y dobijamo 37

=x .

5. Kako se kvadrat cifre b zavrava cifrom b toje b jedna od cifara: 0, 1, 5 ili 6.

Ako je 0=b to se broj na lijevoj strani zavava sa 00, a broj na desnoj srani poinje sa 0, to je nemogue. Ako je 1=b , to iz mnoenja 1212 aa dobijamo da je aaa =+ to je mogue pri 0=a , a to je nemogue to pokazuje predhodni sluaj. Ako je 5=b , to se broj na lijevoj strani zavrava 25, odnosno tada imamo 50252252 = pa 5=b ne ispunjava uslove zadatka. Konano, za 6=b razlika 6)62( 2 aa je djeljiv sa100 kada je 7=a . Raunanjem se pokazuje 761762762 = tj. da su za 7=a , 6=b i 1=c .

DO

F

G

A

CBE

D MC

L

BKA

ON

43

VII razred

1. Neka je x cijena olovke u centima. Tada iz 120091000 x slijedi 133122 x , a iz 1600131500 x slijedi 123115 x , pa, kako je x

cio broj, mora biti 123=x .

2. Iz abba 522 22 =+ dobijamo 2

92 22 abbaba =++ , odakle dobijamo

29)( 2 abba =+ , pa je

23 abba =+ . Dalje je

22 22 abbaba =+ , odnosno

2)( 2 abba = , pa je

2abba = . Znak - je zbog uslova ba 0 .

Prema tome 3=+

baba

.

3. Po uslovu zadatka data prava na koordinatmim osama Ox i Oy odsijeca

odsjeke OA=4n

i OB=3n

. Tada je hipotenuza AB Pravouglog trougla OAB

jednaka 125n

, a povrina trougla 24

2n. Iz povrine OAB i uslova zadatka,

slijedi da je hipotenuzina visina 125==

nOS , pa je n =60, OA=15, OB=20, a

povrina OAB je 150.

4. Kako je ABCDANCDABN PPP 21

== , to je

))((41

21

211 hhCDABABh ++= . Dakle ,

)(804125 211 hhh += , pa je 21 4hh = ,

odnosno 1:4: 21 =hh . Kako je ABM ~CMN, to je AB:CM= 1:4: 21 =hh .

Znai, CM= .5,1241 cmAB =

5. Kako je SSM SSN SSP to je

SM= SN= SP=r=2cm, a bone visine su MS=NS=PS=4cm. Otuda je P=72cm 2 , V=16 3 cm 3 .

BA

N

D C

1h

2h

M

P

MN

S

S

44


VI razred

1. Traeni broj ne moe biti oblika qp , gdje su p i q prosti brojevi, jer bi tada imao ukupno 4 djelioca. Isto tako ne moe biti ni oblika qp 2 , jer bi tada imao 6 djelilaca. Jasno je da bi se poveanjem broja prostih djelilaca poveavao i ukupan broj djelilac. Prema tome , traeni broj je oblika np . Kako tada postoji 1+n djelilac, to je 4=n . Jedini prost broj iji je etvrti stepen trocifren broj je 5. Prema tome , postoji samo jedan traeni broj, a to je 625.

2. Na stranici AB uoimo take E i F takve

da je ADE=60 i BDF=40 . tada je ADC ADE (zajednika stranica AD i na njoj jednaki uglovi od 20 i 60 ). Neposreedno se zakljuuje da su truglovi: ADF, EFD i FBD jednakokraki sa osnovicama (redom): DF, EF, i BD. Zbog toga je AF=AD i CD=ED=FD=FB pa je AD+DC=AF+FB=AB.

3. Iz DAH CDE i uslova ED=DF slijedi da je

AH=DE=DF, jer je HBCF pravougaonik. Dijagonala BF tog pravougaonika je prenik njegove opisane krunice. Kako HGC=90 , to taka G pripada toj krunici pa je i BGF=90.

4. Obeljeimo traenu du AM sa x . Tada iz APM je

2xAP = , pa

212 xPB = . Iz PBQ je

BQ=4

6)2

12(21 xx

= , a QC=12-4

6)4

6( xx += .

IzQCR je RC=3+8x

. Iz uclova M N slijedi

AM+RC=12, odnosno .898

9128

3 cmxxxx ===++

5. Neka sudati prirodni brojevi a , b , c , d i e . Tada je 21 , xcaxba =+=+ ,

9876543 ,,,,,, xecxdaxebxdbxcbxeaxda =+=+=+=+=+=+=+ i

10xed =+ . Sabiranjem tih jednakosti dobijamo 451091)(4 1021 +=++++=+++=++++ nnnnxxxedcba .

60

C

D

BA FE 40 20 20

40

H

GE

FD C

BA

Q

C

BA

MR

P

x

2x

45

NM

C

BA

S

1P

2P

2P

2P1P1P

MD C

BAx

Kako je lijeva strana jednakosti paran, a desna strana neparan broj, to znai da dobijeni zbirovi ne mogu biti deset uzastopnih prirodnih brojeva.

VII razred

1. Neka je 1PP AMS = i 2PP CNS = , tada je

20043223 21 =+= PPP ABN , 6682 21 =+ PP .Tada je i

20044333 21 =+= PPP BCM , pa je 50121 =+ PP .

Sabiranjem dobijenih jednakosti dobijamo 1169668500133 21 =+=+= PPPMBNS .

2. Naka je 1=abc , to je )1)(1()1)(1)(1(c

caba

bbaab

cc

bb

aa ++++=+++ =

=+++++++=abcac

bbca

cab

abc

abc

cababc 1

11111 2222

22 +++++++= bacc

ac= =++++++++ 2

22

22

2 121212c

cb

ba

a

= 4)1()1()1( 222 +++++c

cb

ba

a

3. Naka je k broj prepunih i m ostalih autobusa. Neka je u prepunim

autobusima A, a u ostalim B putnika. Tada je A 50 k , B 50 m , odnosno

kA 50, 50

mB

, tj. mB

kA . Ova nejednakost je sa

nm

AB , odakle je

kkm

AAB ++ , odnosna

mkk

BAA

++ . Dalje je

%100%100 +

+ mk

kBA

A . Lijeva strana ove nejednakosti predsavlja

procenat putnika u prepunim autobusima, a desna procenat prepunih autobusa. Dakle, Radov procenat je vei.

4. Neka je DAM= x . Tada iz jednakokrakog trougla

AMD je AMD=90 -2x

, a iz, takoe, jednakokrakog

ANM je MAN=90 - x , AMN=45 +2x

. S obzirom da je

DAM+AMN+MNB=180 , slijedi MNB=180 -(90 -2x

)-(45 +2x

)=45 .

Dakle, traeni ugao je BMC=45 .

46

5. Iz uslova zadatka slijedi da u jednoj koloni moe biti samo jedan kvadrat.

Kako treba izabrati 2004 kvadrata, to treba izabrati 2004 kolone od moguih 2005, odnosno jednu kolonu treba izostaviti. Ako se izostavi prva kolona, onda postoje dvije mogunosti za izbor kvadrata iz druge kolone, a time je odreen izbor svih ostalih. Jo dvije mogunosti postoje ako se izostavi poslednja kolona. Meutim ako se izostavi jedana od 2003 preostalih kolona (izmeu prve i poslednje), onda se kvadrati u susjednim kolonama mogu nezavisno birati, u svakoj po dva niza. U tom sluaju ima 4 mogunosti. Prema tome, ukupno ima 2+2+ 42003 =8016 mogunosti.

VII razred

1. Neka su date take 200421 ,,, AAA . Neka iz datih taaka polazi redom

200421 ,...., nnn dui. Kako iz jedne take moe polaziti najmanje 0, a najvie 2003 dui, to je 200421 ,...., nnn {0, 1, 2, ...2003}. Razlikujemo dva sluaja: a) Ako ne postoji taka iz koje polazi 0 dui onda je

200421 ,...., nnn {1, 2, ...2003}, pa na osnovu Dirihleovog principa postoje dva od brojeva 200421 ,...., nnn koji imaju istu vrijednost. b) Ako postoji taka iz koje polazi 0 dui onda je

200421 ,...., nnn {0, 1, 2, ...2002}, jer tada ne postoji taka iz koje polazi 2003 dui. Dakle, 2004 broja 200421 ,...., nnn uzimaju vrijednosti pa na osnovu Dirihleovog principa, dva broja imaju jednaku vrijednost.

2. Neka je K sredite bone ivice BB 1 i L sredite

osnovne ivice AB. Presjek prve ravni i prizme je AKC 1 , a presjek druge ravni i prizme je LCB 1 . Uoeni trouglovi imaju presjek du MN iju duinu treba izraunati. Iz ACC 1 , ABK i KC 1 B 1 izraunajmo redom AC 1

2 =AC 2 +CC 12 =a 2 +2a 2 =3a 2 AC 1 = 3a ,

AK 2 = a 2 + 222223

21)

22( aaaa =+=

AK=26a ,

C 1 K2 = a 2 + 2222

23

21)

22( aaaa =+= C 1 K = 2

6a ,

BA

C

B

A

B

A C

1

1

1

1

K

N

M

L

x

1x2x

a

2a

47

Posmatrajmo prvo bonu stranu BB 1 A 1 , odnosno ABB 1 . Du

MK= x 1 = 31

AK=66a , jer je taka M teite ABB 1 i MK treina teine dui

AK. Posmatrajmo zatim bonu stranu BCC 1 B 1 , odnosno BC 1 B 1 .

KN= 2x = 31

C 1 K= 66a , jr je taka N teite BC 1 B 1 i KN je treina njegove

teine dui C 1 K. Sada moemo zakljuiti da je AKC 1 ~MKN , odakle je

AC 1 : MN=AK : MK=KC 1 : KN, odnosno ,1:3:3 =xa 33 ax = , 33ax = ,

MN=3

3a.

3. Kako je 232 zyx =+ , to je y ))((223 xzxzxzy +== . Jedna od

mogunosti je 2yxz =+ , yxz = . Dakle, 2

)1(2

2 +=

+=

yyyyz ,

2

2 yyx = = =2

)1(y. Trojka ( )

2)1(,,

2)1( + yyyyy za y {2, 3, 4, ...} daje

beskonano mnogo rjeenjazadane jednaine.

4. U trouglu BDM je BDM=25 , DBM=20 , odakle je BMD=135 . Posmatrajmo krunicu k sa centrom A, poluprenika AB. Tetiva BD odgovara etvrtini te krunice , pa je periferijski ugao nad tom tetivom jednak 135 . Dakle, taka M lei na krunici k . Slijedi da je AM=AB=AD. Trougao MAB je jednakokrak pri emu je ugao pri osnovici ABM=65 . Prema tome je i AMB=65 , i dalje MAB=180 - 652 =50 .

5. Obeljeimo zbir 20042004

20042

20041 1

11

11

1aaa +

+++

++

sa jiA , gdje je

i,j{1, 2,..., 2004}. Iz uslova 1= ji aa slijedi 120042004 = ji aa , pa je

=2004,1A =++

+++=

++

+ )1)(1(11

11

11

20042004

20041

20041

20042004

20042004

20041 aa

aaaa

122

12

20041

20042004

20041

20042004

20042004

20041

20042004

20041

20041

20042004 =

++

++=

+++

++

aaaa

aaaaaa

Na isti nain se postie da je 1... 1003,10022002,32003,2 ==== AAA . Prema tome traeni zbir je 1002.

o

MD C

BA

k

20

20

2565

o

o o

48

E

D C

BA

2

2

Regionalnog takmienje 2005. godine

VI razred

1. Kako je 9

494

94

=

= , proirivanjem srednjeg razlomka prirodnim brojem

k, i iz uslova zadatka dobijamo jednainu 4k + 9k = 1025, ije je rjeenje k =

205. Traeni razlomak je 1845

82020592054

=

.

2. | x 2 | ( - 32) = - 64

| x 2 | = 2

x 2 = 2 ili x 2 = - 2 Rjeenja su x = 4 ili x = o.

3. Iz ABD dobijamo o602

=+ ,

a iz ABE dobijamo o902=+

Sabiranjem ovih jednakosti dobijamo

=+ 150)(23 (*). Iz ABC dobijamo

+ + = 180o. Zamjenom (*) u poslednjoj jednakosti slijedi = 80 o

4. Iz AB = 2BC i obima paralelograma dobijamo 36 = 4BC + 2BC ili BC = 6 cm i AB = 12 cm. Neka su i uglovi paralelograma. Du DE polovi ugao ADC, pa je AED = EDC =

2 .Dakle, AED je

jednakokraki pa je AD = AE.Otuda je AE = EB = 6 cm. 5. Neka x oznaava snienje, a y broj kupaca. Ukupan prihod prije snienja je

48 y . Poslije snienja od x i poveanja broja kupaca za 50%, prihod e biti

(48 x ) ( y + 50% y ) , odnosno 48 y + 25% (48 y ). Izjednaavanjem ovih

izraza dobija se (48 x ) 23

y = 60 y . Odavde je 48 x = 40 ili, x = 8.

Nova cijena cipela je 40 .

2

A

C

BA

E 120

2

49

VII razred 1. a)Neka je ...222,0=x , a poto je ...222,0 beskonaan periodini

decimalan broj sa duinom perioda 1 pomnoimo lijevu i desnu stranu jednaine sa 10. Dobijamo: ...222,0210 +=x , gdje ponovo zamijenimo

...222,0 sa x , pa imamo jednainu xx += 210 . Rjeenje ove jednaine

92

=x je traeni zapis u obliku razlomka.

b) Drugi beskonani decimalni zapis moemo zapisati u obliku

( ) =+=+= ...090909.0101

1045...0090909,05,4...5090909,4 . Sad kao u

prethodnom sluaju stavimo ...090909,0=x , odakle je 111

=x . Vratimo se

na poetni niz jednakosti, pa imamo: 55248...

111

101

1045

==+= . Dakle,

traeni zapis u obliku razlomka je 55248

.

2. Oznaimo redom sa x, y i z teine jabuka prvog drugog i treeg paketa. Iz

uslova zadatka postavimo jednaine 82,136 +===++ zyiyxzyx i izraunmo najprije teine jabuka u paketima. Teine su

kgzikgykgx 2836,72 === . Dalje iz uslova zadatka postavimo jednainu: ( ) ( ) 401365028363072%8,85028363072 =+++++ cc , gdje je c cijena jabuka iz drugog paketa. Rjeavanjem ove jednaine dobijamo da je centic 40= . Cijena jabuka iz drugog paketa je bila

centi40 . 3. U odnosu na dijeljenje sa 83 bilo kojih 2005 prirodnih brojeva moemo

rasporediti u 83 kategorije: u prvoj su brojevi koji su djeljivi sa 83, u drugoj su oni koji daju ostatak 1, u treoj su oni koji daju ostatak 2, ...u osamdeset treoj su oni koji daju ostastak 82. Budui da je 1383242005 += , to znai da postoji kategorija u kojoj ima bar 25 brojeva takvih da je razlika izmeu svaka dva od njih djeljiva sa 83 (Dirihleov princip). Dokaimo da je razlika izmeu bilo koja dva iz iste kategorije djeljiva sa 83. Neka su bia prirodni brojevi koji pri dijeljenju sa 83 imaju jednake ostatke i neka je ab > . Iz jednakosti rkbirka +=+= 8383 21 , gdje je

021 , Nkk i 12 kk > , a { }28,...,2,1,0r , pa je ( ) 8312 = kkab . Prema tome razlika ab je djeljiva sa 83. Dakle, mogue je , a i dokazali smo da je razlika bilo koja dva od njih djeljiva sa 83.

50

HG

x

O

Q P

NM

F E

C

BA

3

D

4. Konstruiemo najprije karakteristian ABO pravilnog osmougla. Ugao kod tjemena O je centralni i iznosi 45 , a uglovi na osnovici su po '3067 . Opiimo krunicu sa centrom u taki O i poluprenikom OBOAr == . Ostala tjemena traenog osmougla HiGFEDC ,,,, dobijamo presijecanjem opisane krunice sa krunim lukom poluprenika cm3 . Spojimo tjemena GsaDiHsaCEsaBFsaA ,, . Uoavamo etiri meusobno podudarna jednakokraka pravougla trougla

FGQiDEPBCNAMH ,, . Oznaimo duinu kateta tih trouglova sa AMx = , pa je 22 32 =x , odnosno

cmx2

23= . Povrina osmougla je zbir povrina jednog

pravougaonika i dva podudarna trapeza. 2)21(18...2 cmPPP EBCDABEF +==+= .

5. Taka H je ortocentar u kojem se sijeku visine 111 , CCiBBAA trougla ABC .

Uoimo pravougle trouglove BCB1 , HCB1 i vezano za njih sljedee jednakosti:

( ) 22222212122 2 BHBHhhCHBHhCHCBiCBha bbbb +==+= . Zamjenom druge jednakosti u prvu i sreivanjem dobijamo jednakost

222 2 BHBHhCHa b += (). Posmatramo zatim pravougle trouglove BCC1 , BHC1 , pa zapisujemo njima

odgovarajue jednakosti: 2

122 BCha c +=

i ( ) 2222221 2 CHCHhhBHCHhBHBC ccc +==

.Slino kao i u prethodnom sluaju dobijamo jednakost

222 2 CHCHhBHa c += (). Sabiranjem jednakosti () i () dobijamo jednakost CHhBHha cb 222

2 += (1). Na slian nain uoavanjem odgovarajuih pravouglih trouglova dolazimo do sljedeih jednakosti:

CHhAHhb ca 2222 += (2) i BHhAHhc ba 222

2 += (3). Konano saberemo (1), (2) i (3) i dobijamo jednakost:

( )cba hCHhBHhAHcba ++=++ 4222 222 , odnosno ( )cba hCHhBHhAHcba ++=++ 2222 .to je i trebalo dokazati.

H

C

BA 1C

ah bhch

1B1A

51

VIII razred

1. Data jednaina se transformie u: 9 x 2 +6 x +1+ 16 y 2- 24 y +9 = 0 tj. (3 x +1)2 + (4 y -3)2 = 0

Ovo je mogue jedino ako je 3 x + 1=0 i 4 y 3=0 tj. Ako je x =-31

y =43

2. Poslije 6 dana dolo je 6 radnika. Znai da poslije est dana devet radnika treba da rade jo 40 dana pa da posao zavre.Taj isti posao e da zavri 9+6 radnika za x dana

tj. 9 radnika 40 dana 15 radnika x dana , pa je x : 40= 9 : 15 15 x = 940

x =15360

x =24. Ukupno dana: 6 + 24 = 30

3. Neka je Darkova sjenka x, tada je Dejanova sjenka

2 x . Trouglovi SMP i ANP su slini, pa je MP : NP = SM : AN, tj. (4 + x ) : x = s : h. Isto tako, iz slinost trouglova SMQ i BPQ izlazi da je MQ : PQ=SM : BP tj. (4 + 3 x ) : 2 x = s : h. Iz poslednje dvije jednakosti dobijamo: (4 + x ) : x = (4 + 3 x ) : 2 x . Rjeenje ove jednaine je x=4. Darkova sjenka je duine 4m, a Dejanova 8m.

4. Neka su S i O centri datih krunica, a M i N take

u kojima zajednika tangenta dodiruje krunice. Neka je, dalje, P taka poluprenika ON, takva da je etvorougao MNPS pravougaonik. U pravouglom trouglu OPS je kateta OP=2r dva puta manja od hipotenuze OS=4r, pa je ugao POS=60 i ugao OSP=30 . Samim tim je ugao MSO=120.Traena povrina je razlika povrine trapeza i dvaju isjeaka: P=(r + 3r)/2 SP 1/3 r 2 -1/6(3r) 2 . Kako je SP= 2r 3 , dobijamo traenu povrinu: P=2r2r 3 1/3 r 2 1/69 r 2 = 4r2 3 -11/6 r 2

5. Kako je D= 10 3 cm, to je ivica kocke a=10cm. Visinu H piramide

izraunaemo iz pravouglog trougla SOM :

H= 22 )2

(ah = 22 513 = 12 cm.

A

hN P

A

B

QM 2XX

h

Pr

MN

OSr

3r

2r

52

Zapremina zajednikog dijela kocke i piramide je razlika zapremine piramide i dijela te piramide, koji je van kocke to je takoe pravilna etvorostrana piramida, slina datoj. Trouglovi SOM i SO 1 M 1 su slini i SO : SO 1 = OM : O 1 M 1 . Kako je SO=H=12 cm,

OM=2a

= 5 cm, SO 1 =Ha=2 cm, bie:12:2=5:O 1 M 1,

odakle je O 1 M 1 = 65

cm. Osnovna ivica a 1 manje

piramide bie: a 1=2 O 1 M 1 = 35

cm. Ako sa V

oznaimo traenu zapreminu, sa V 1 zapreminu date i

sa V 2 zapreminu male piramide, bie :

V = V 1 - V 2 = 31

a 2 H- 31

a 12 SO 1 = 400 - 27

50 = 398,15

cm 3


VI razred

1. Neka je zarada radnika x . Radnik je dobio x + xx1011

101

= . Poto je vratio

dug od 50 , ostalo je 601011

x . Iz uslova zadatka formiramo jednainu:

903:601011

=

x

ije je rjeenje x =300

Dakle, zarada radnika je 300 .

2. Uoimo da je m n p = 1. Kako su jo m, n i p prirodni brojevi mora biti m = n = p = 1.

Neka je n = 1. Tada je 12

3=

x ili x = 5. Dalje je 1 =

y+522

, ili y = 8.

Zaista je, za x = 5 i y = 8, m = 135852=

.

3. Svaki od n igraa odigrao je n 1 partiju. Ukupan broj odigranih partija je

2)1( nn

.

S

O M

1O 1M

53

MBPSA

N

C

NS

D

C

B

M

Dalje je 552

)1(=

nn, ili n(n 1) = 110. Rastavljanjem broja 110 na proste

inioce i vodei rauna da su n i n 1 uzastopni prirodni brojevi, dobija se n(n 1) = 11 10, tj. n = 11. Na turniru je uestvovalo 11 igraa.

4. Pokazaemo da je NS = SM, gdje je S presjek osnovice AB i

dui MN.Povucimo du MP paralelnu sa dui AC. Trougao BMP je jednakokraki (CAB = MPB) pa je MP = MB. Dalje, iz AN = MB = MP, NAS = MPS i ANS = SMP slijedi ANS SPM, pa je NS = SM.

5. Pokazaemo da je MN 21

(AB + CD). Neka je S sredina dijagonale AC.

Du MS je srednja linija ABC, pa je MS = 21

AB. Takoe SN je

srednja linija ACD, pa je SN = 21

DC. Sabiranjem

poslednje dvije jednakosti dobijamo:

MS + SN = 21

(AB + CD) ili, NM = 21

(AB + CD).

Za 3 proizvoljne take M, N i S vai:MN MS + SN, pri emu znak = vai samo ako S MN.

Dakle, MN 21

(AB + CD).

VII razred

1. Dati izraz zzyyxI 4189521992 222 += moe se transformisati u

izraz:222222 )2()33(5200513)2()33(521992 +=++= zyxzyxI

Dobijeni izraz ima najveu vrijednost 2005 u sluaju kada je svaki od kvadrata jednak nuli, a to je za 21,0 === ziyx .

2. Potrebno je dokazati da je izraz ( )( )11 + pp djeljiv sa 3 i sa 8. Brojevi

11 + pip su dva susjedna prirodna parna broja , od kojih je jedan djeljiv sa 4, pa je 12 p djeljivo sa 8.

54

r2E

D

BHGA

F

Documents

Milonja Ojdanic - Zadaci sa matematickih takmicenja ucenika osnovnih skola u Crnoj Gori 2003 - 2007