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Draft version August 21, 2019 Preprint typeset using L A T E X style AASTeX6 v. 1.0 NOTAS DE SEMINARIO DE MATEM ´ ATICAS Miguel A. Gonz´ alez Contents 1. Introducci´ on 2 2. Concepto de derivada 3 3. L´ ımites 4 3.1. Propiedades de l´ ımites 4 3.2. C´ alculo de l´ ımites triviales 5 3.3. C´ alculo de l´ ımites no triviales 5 4. C´ alculo de derivadas por medio de l´ ımites 8 4.1. Ejemplos 8 4.2. Ejercicios 9 4.3. Respuestas 10 5. Tabla de derivadas b´ asicas 11 6. Propiedades de las derivadas 11 7. Ejemplos 12 7.1. Ejercicios 13 7.2. Respuestas 14 8. Series de Taylor 16 9. Ejemplos 17 10. Generalizaci´ on de las series de Taylor: series de Maclaurin 20 10.1. Ejercicios 21 11. Relaci´ on entre derivadas e integrales: teorema fundamental del C´ alculo 22 12. Integrales 24 12.1. Propiedades de las integrales 24 13. M´ etodos de integraci´ on 25 13.1. Ejercicios 28 13.2. Respuestas 29 14. Integrales definidas 31 14.1. Ejemplos 31 14.2. Ejercicios 33 14.3. Respuestas 35 15. Ecuaciones diferenciales 36 15.1. Ca´ ıda libre 36

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Draft version August 21, 2019Preprint typeset using LATEX style AASTeX6 v. 1.0

NOTAS DE SEMINARIO DE MATEMATICAS

Miguel A. Gonzalez

Contents

1. Introduccion 2

2. Concepto de derivada 3

3. Lımites 4

3.1. Propiedades de lımites 4

3.2. Calculo de lımites triviales 5

3.3. Calculo de lımites no triviales 5

4. Calculo de derivadas por medio de lımites 8

4.1. Ejemplos 8

4.2. Ejercicios 9

4.3. Respuestas 10

5. Tabla de derivadas basicas 11

6. Propiedades de las derivadas 11

7. Ejemplos 12

7.1. Ejercicios 13

7.2. Respuestas 14

8. Series de Taylor 16

9. Ejemplos 17

10. Generalizacion de las series de Taylor: series de Maclaurin 20

10.1. Ejercicios 21

11. Relacion entre derivadas e integrales: teorema fundamental del Calculo 22

12. Integrales 24

12.1. Propiedades de las integrales 24

13. Metodos de integracion 25

13.1. Ejercicios 28

13.2. Respuestas 29

14. Integrales definidas 31

14.1. Ejemplos 31

14.2. Ejercicios 33

14.3. Respuestas 35

15. Ecuaciones diferenciales 36

15.1. Caıda libre 36

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15.2. Caıda con resistencia del aire (lineal) 37

15.3. Caıda con resistencia del aire (no lineal) de un cuerpo esferico 39

16. Apendice A: Enlaces utiles 42

17. Apendice B: Descomposicion de fracciones parciales 43

1. INTRODUCCION

Este archivo contiene una version extendida y (quiero creer) mejor explicada de los temas que se veran en el Seminario

de Matematicas. El objetivo de dichas notas es ayudarles a repasar el contenido, ya que la mayorıa del tiempo estaremos

viendo material que no esta relacionado entre sı. De esta manera, ustedes podran tener una guıa para estudiar.

Les recomiendo que no se queden solamente con lo que contiene este documento; lo anterior aplica para sus cursos de

Calculo, Probabilidad y en especial cuando entren a la carrera que vayan a elegir, suponiendo que en ella vean algun

tema de Matematicas.

Este documento se ira actualizado durante el semestre, y al final de cada tema (o temas, segun sea el caso) se

incluiran unos ejercicios con respuesta para que practiquen. No es obligatorio hacerlos, pero su capacidad cognitiva

les agradecera que los resuelvan; si no por eso, al menos por el amor a las Matematicas.

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2. CONCEPTO DE DERIVADA

La derivada es, a grandes rasgos, el “ritmo de cambio” de una funcion. Esto quiere decir que la derivada indica

como crece o decrece el valor de salida de una funcion (f(x) o y), al variar el valor de entrada (x)1. Si una funcion

es constante, su ritmo de cambio es nulo (cero), ya que su valor de salida no cambia al variar el de entrada. Si una

funcion es creciente, su ritmo de cambio es positivo; en caso de ser decreciente, su ritmo de cambio es negativo. Una

sola funcion puede tener estos tres comportamientos en diferentes intervalos de su dominio, como se muestra en la

figura 1.

Figura 1. Grafica de una curva. El ritmo de cambio (derivada) es diferente en diferentes intervalos.

En la figura 1 se observan tambien otros detalles. En primer lugar, graficamente, estamos midiendo el ritmo de

cambio usando una recta que es tangente a la curva asociada a la funcion. Lo anterior quiere decir que cada recta solo

toca a la funcion en un punto2 En segundo lugar, el ritmo de cambio de las rectas es constante, es decir, la derivada

de las rectas es un valor fijo; y en tercer lugar, vemos que conforme la recta se aleja del punto donde toca a la funcion,

el ritmo de cambio de ambas tambien se va distanciando.

En resumen, la recta sirve como una aproximacion para los puntos cercanos al punto tangente, y en dicho punto el

ritmo de cambio de la recta es igual al de la curva. Esto nos va a permitir calcular la derivada de la funcion de manera

exacta mas adelante. Por lo pronto, vamos a aproximar el ritmo de cambio usando la misma curva.

La figura 2 nos muestra una recta secante a la curva de una funcion. La secante (en rojo) cruza a la curva en dos

puntos, (x0, y0) y (x1, y1). Dado que estos valores estan sobre la curva, es posible conocerlos por medio de la funcion

de esta ultima.

Vamos a calcular la pendiente de la recta. Dado que la pendiente de la recta tiene el mismo comportamiento que

el ritmo de cambio, decimos que la pendiente de una recta es igual a su derivada. Sea m la pendiente, su valor esta

dado por

m =y1 − y0x1 − x0

=∆y

∆x. (1)

Ahora, si queremos aproximar el valor de la derivada en x0, podemos tomar un segundo valor x1 y calcular m.

Tenemos dos problemas con este metodo. El primero es que no calculamos exactamente la derivada en x0 y el segundo

es que para distintos valores de x1, la aproximacion tambien es distinta.

¿Es posible obtener un valor exacto de la derivada en x0? En caso de serlo, ¿necesitamos conocer x1?

Si y no, respectivamente.

Graficamente, vemos que entre mas cerca este el valor x1 de x0, la pendiente de la recta y la de la curva en x0 seran

mas similares. Uno podrıa pensar en hacer x1 = x0 y con ello obtener el valor exacto de m; el problema es que eso

nos darıa un cero en el denominador de la ecuacion 1, lo que no es un resultado valido.

1 En algunos casos las funciones tiene la forma x(t), pero se suele especificar cuando eso ocurre.

2 En algunos casos la recta podrıa tocar a la funcion en dos puntos distintos, pero estos casos no son importantes en este tema. Lo quese quiere decir aquı es que el ritmo de cambio de la recta coincide con el ritmo de cambio y con el valor de la funcion en un solo punto.

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4

Figura 2. Grafica de una curva y una recta secante a la misma. La recta tiene (rojo) tiene una pendiente m = ∆y/∆x

Entonces, ¿como podemos conciliar lo que vemos (figura 2), con lo que tratamos de calcular (ecuacion 1)? La

respuesta esta en introducir un nuevo concepto: el lımite.

3. LIMITES

El concepto (matematico) de lımite va mas alla de la relevancia de este tema (al menos hasta que ustedes quieran

repasarlo en seminario). Por lo pronto vamos a guiarnos por el famoso dicho: “Si camina como pato, sabe como pato

y parece pato, es pato”. Si el valor de salida de una funcion se va acercando a un valor determinado conforme nos

acercamos a un valor de entrada determinado, entonces decimos que ese valor de salida es el lımite de la funcion, es

decir,

limx→x0

f(x) = L

En general, esto no significa que el lımite de la funcion sea equivalente a evaluar la funcion en x0, o sea, no siempre

se cumple que3

L 6= f(x0).

Lo anterior hace que calcular lımites no sea siempre trivial. Antes de comenzar a hacerlo, veamos las propiedades

basicas de un lımite.

3.1. Propiedades de lımites

Sean f(x), g(x) funciones, y A una constante, entonces,

limx→x0

A = A (2)

limx→x0

[A · f(x)] = A · limx→x0

f(x) (3)

limx→x0

[f(x)± g(x)] = limx→x0

f(x)± limx→x0

g(x) (4)

limx→x0

[f(x) · g(x)] = limx→x0

f(x) · limx→x0

g(x) (5)

limx→x0

[f(x)

g(x)

]=

limx→x0 f(x)

limx→x0g(x)

, si limx→x0

g(x) 6= 0 (6)

3 Cuando L = f(x0), se dice que la funcion es continua. La idea de calcular lımites es hacer que una expresion sea continua y quepodamos llegar a ella con f(x0) = L

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3.2. Calculo de lımites triviales

1. Calcula el lımite

limx→2

(x2 − 3x+ 10

)Para los polinomios, el calculo de lımites es trivial. Usando las ecuaciones 2, 3 y 4, asi como evaluando directa-

mente para x = 2, tenemos que,

limx→2

(x2 − 3x+ 10

)= (2)2 − 3(2) + 10 = 8

2. Calcula

limx→0

sin (2x)

Para las funciones trigonometricas cuyo valor este determinado, el calculo de lımites se tambien obtiene evaluando

directamente:

limx→0

sin (2x) = sin [2(0)] = 0

3. Calcula el lımite

limx→−5

x

x+ 1

Dado que no hay problemas con el denominador de la funcion para x = −5, se puede evaluar tranquilamente la

funcion para dicho valor:

limx→−5

x

x+ 1=

−5

−5 + 1=

5

4

Cabe mencionar que si el lımite fuera para x→ −1, no podrıamos evaluar x = −1 directamente. De hecho, para

este valor el lımite no existe.

3.3. Calculo de lımites no triviales

1. Calcula el lımite

limx→2

x2 − 4

x− 2

En este ejemplo se factoriza el numerador y, como se obtiene un termino igual al del denominador, pueden

eliminarse, lo que deja un binomio que puede ser evaluado sin problemas:

limx→2

x2 − 4

x− 2= limx→2

(x+ 2)(x− 2)

(x− 2)= limx→2

(x+ 2) = 4

2. Calcula el lımite

limx→5

(x2 − 10x+ 25)

x− 5

Como en el ejemplo anterior, se factoriza el numerador para simplificar la expresion:

limx→5

(x2 − 10x+ 25)

x− 5= limx→5

(x− 5)2

x− 5= limx→5

(x− 5) = 0

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3. Calcula el lımite

limx→3

√x+ 1− 2

x− 3

Si, aquı hay una raız cuadrada. No muerde, no se espanten.

La idea es la misma que en los otros ejemplos, debemos eliminar la indeterminacion que hay al evaluar el valor

del lımite. Vamos a multiplicar y dividir la expresion por el conjugado4 del numerador,

limx→3

√x+ 1− 2

x− 3= limx→3

√x+ 1− 2

x− 3

(√x+ 1 + 2√x+ 1 + 2

)Al multiplicar un binomio por su conjugado, obtenemos una diferencia de cuadrados,

limx→3

√x+ 1− 2

x− 3

(√x+ 1 + 2√x+ 1 + 2

)= limx→3

(x+ 1)− 4

(x− 3)(√x+ 1 + 2

) = limx→3

(x− 3)

(x− 3)(√x+ 1 + 2

)Ahora podemos eliminar los terminos entre parentesis en el numerador y en el denominador, por lo que el lımite

queda como:

limx→3

1(√x+ 1 + 2

) =1

4

4. Calcula

limθ→0

sin(θ)

θ

Este es un ejemplo que nos sera muy util en el siguiente tema. Ademas, su lımite se obtiene de una manera mas

grafica.

Usando la formula de la circunferencia de un cırculo

C = πD = 2πR

Podemos usar esta formula para calcular un segmento de arco5. Para segmento de arco usaremos la letra S en

lugar de C, y se puede obtener sustituyendo 2π por el angulo correspondiente (figura 3).

(a) Longitud de arco de 2π. (b) Longitud de arco de π. (c) Longitud de arco de π/2. Un cuartode circunferencia.

Figura 3. Relacion entre diferentes longitudes de arco y sus angulos correspondientes.

Consideremos un cırculo con R = 1, y tomemos un segmento de arco con un angulo θ, como el de la figura 4.

Para este caso S = θ. La lınea morada forma un triangulo rectangulo con las lıneas en verde. Por trigonometrıa

sabemos que la longitud de esta lınea es sin θ. Lo que nos interesa es saber el comportamiento de sin θ cuando θ

4 El conjugado de una expresion (a+ b), es (a− b).

5 Porcion de circunferencia.

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Figura 4. Segmento de arco de un cırculo unitario para un angulo θ y su relacion con sin θ.

se aproxima a cero. Si disminuimos el valor del angulo θ, vemos como la longitud de S se va aproximando a la

de sin θ. Esto puede observarse en la figura 5. Entonces, podemos afirmar que

limθ→0

sin θ = θ

Con esto, el calculo del lımite inicial es trivial:

limθ→0

sin(θ)

θ= 1

Figura 5. Segmentos de arco con angulos diferentes angulos. Entre mas pequeno es el angulo, el tamano de la lınea morada yla azul se van asemejando.

5. Calcula el lımite

limx→0

cos(x)− 1

x

Para este usaremos la tecnica de multiplicar el numerador por su conjugado:

limx→0

cos(x)− 1

x= limx→0

[cos(x)− 1] [cos(x) + 1]

x [cos(x) + 1]= limx→0

cos2(x)− 1

x [cos(x) + 1]

Usando la identidad trigonometrica sin2(x) + cos2(x) = 1, obtenemos,

limx→0

cos2(x)− 1

x [cos(x) + 1]= limx→0

sin2(x)

x [cos(x) + 1]=

[limx→0

sin(x)

x

]×[

limx→0

sin(x)

cos(x) + 1

]El primer lımite es el mismo que resolvimos en el ejemplo pasado (igual a 1), y el segundo puede resolverse

evaluado directamente, y nos da un numerador igual a cero, por lo que

limx→0

cos(x)− 1

x= 0

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4. CALCULO DE DERIVADAS POR MEDIO DE LIMITES

Una vez que vimos y entendimos(¿?) el concepto de lımite, podemos regresar a la aproximacion de derivada,

f(x1)− f(x0)

x1 − x0=f(x+ h)− f(x)

h

la expresion del lado derecho se obtiene si definimos x ≡ x0 y h ≡ x1− x0. Retomando la idea de que la aproximacion

de la derivada es mejor conforme x1 se acerca (o tiende) a x06, definimos la derivada, o ritmo de cambio instantaneo

como

f ′(x) = limx1→x0

f(x1)− f(x0)

x1 − x0= limh→0

f(x+ h)− f(x)

h(7)

Lo que nos indica que la derivada de la funcion f(x) se calcula a partir de encontrar el lımite de la ecuacion 7.

4.1. Ejemplos

1. Calcula el lımite de f(x) = x3 usando la ecuacion 7

f ′(x) = limh→0

(x+ h)3 − x3

h= limh→0

x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3

h= limh→0

3x2h+ 3xh2 + h3

h= limh→0

3x2 + 3xh+ h2

= 3x2

2. Calcula el lımite de f(x) = sin θ

f ′(x) = limh→0

sin(x+ h)− sin(x)

h= limh→0

sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x)− sin(x)

h

= limh→0

sin(x) [cos(h)− 1]

h+ limh→0

sin(h) cos(x)

h= sin(x) · lim

h→0

[cos(h)− 1]

h+ cos(x) · lim

h→0

sin(h)

h

= sin(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x)

3. Calcula el lımite de f(x) = cos θ

f ′(x) = limh→0

cos(x+ h)− cos(x)

h= limh→0

cos(x) cos(h)− sin(h) sin(x)− cos(x)

h

= limh→0

cos(x) [cos(h)− 1]

h− limh→0

sin(h) sin(x)

h= cos(x) · lim

h→0

[cos(h)− 1]

h− sin(x) · lim

h→0

sin(h)

h

= cos(x) · 0− sin(x) · 1 = − sin(x)

6 Que es equivalente a que h tiende a 0

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4.2. Ejercicios

Para estos ejercicios pueden usar los lımites vistos en los ejemplos o en clase, asi como las propiedades 2, 3, 4, 5 y 6

1. Calcula el lımite

limx→0

tan(x)

x

2. Calcula el lımite de

limθ→π/2

sin2(θ)− 1

sin(θ)− 1.

3. Calcula el lımite de

limx→0

√x+ 2−

√2

x

4. Calcula el lımite de

limx→−1

x+ 1√x+ 1

5. Calcula el lımite de

limx→a

[2x

x2 − a2− 1

x− a

]6. Calcula el lımite de

limx→0

√sin(x) + 1−

√1− sin(x)

x

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Para los siguientes ejercicios, necesitaran la definicion de derivada de la ecuacion 7:

7. Calcula la derivada de f(x) = mx, donde m es un numero real m 6= 0.

8. Calcula la derivada de f(x) = C, donde C es una constante

9. Calcula la derivada de f(x) = tan(x)

10. Calcula la derivada de f(x) = sin(nx), donde es un numero real n 6= 0.

11. Calcula la derivada de f(x) = 1x

4.3. Respuestas

1. 1

2. 2

3. 14

4. 0

5. 12a

6. 1

7. m

8. 0

9. sec2(x)

10. n cos(nx)

11. − 1x2

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5. TABLA DE DERIVADAS BASICAS

Para no tener que estar haciendo lımites para cada funcion que quieran derivar (luego de la vigesima derivada

se vuelve tedioso), les dejo una tabla de derivadas basicas. Cabe mencionar que anadı la notacion f ′(x) = df/dx.

Basicamente, lo que se encuentre junto a la d del numerador es la funcion, y la variable que se halle junto a la d del

denominador es respecto a lo que derivan (x, t, ...).

d[axn]dx = anxn−1 d[cos(x)]

dx = − sin(x)

d[ex]dx = ex d[tan(x)]

dx = sec2(x)

d[ln(x)]dx = 1

xd[arcsin(x)]

dx = 1√1−x2

d[logb(x)]dx = 1

x logb(e)d[arccos(x)]

dx = − 1√1−x2

d[sin(x)]dx = cos(x) d[arctan(x)]

dx = 11+x2

6. PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

Sean las funciones f(x), g(x), h(x), y a una constante, se cumplen las siguientes propiedades:

• Si f(x) = g(x) + h(x), entonces,

f ′(x) = g′(x) + h′(x). (8)

.

• Si f(x) = a · g(x), entonces,

f ′(x) = a · g′(x). (9)

.

• Para f(x) = a, se cumple que

f ′(x) = 0. (10)

• Para el producto de funciones f(x) = g(x) · h(x), se cumple que

f ′(x) = h′(x) · g(x) + h(x) · g′(x). (11)

A esta propiedad se le conoce como regla del producto.

• Para el cociente de dos funciones f(x) = g(x)h(x) , se cumple que

f ′(x) =g′(x) · h(x)− g(x) · h′(x)

[h(x)]2 . (12)

A esta propiedad se le conoce como regla del cociente.

• Si f(x) es una composicion de dos funciones, es decir, f = (g h)(x) = g[h(x)], entonces,

f ′(x) = g′[h(x)] · h′(x). (13)

A esta propiedad se le conoce como regla de la cadena. Cabe mencionar que esta regla puede aplicarse cuando

la composicion es de mas de dos funciones. Por ejemplo, para una triple composicion, f(x) = g h[i(x)], la

derivada queda como

f ′(x) = g′ h[i(x)] · h′[i(x)] · i′(x). (14)

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7. EJEMPLOS

1. Deriva f(x) = 4x2 + 2 sin(x).

Usando la propiedad de la suma, la derivada queda como:

f ′(x) =d[4x2]

dx+d [2 sin(x)]

dx= 8x+ 2 cos(x)

2. Deriva h(t) = cos(t)t .

Usando la regla del cociente la derivada esta dad por

h′(t) =d[cos(t)]

dt · t− dtdt · cos(t)

t2=−t sin(t)− cos(t)

t2= − t sin(t) + cos(t)

t2

3. Halla la derivada de f(x) = sin(x2)

Reescribimos la funcion como

f(x) = g [h(x)] ,

donde g(x) = sin(x) y h(x) = x2. Usando la regla de la cadena

f ′(x) = g′ [h(x)] · h′(t) = cos(x2) · 2x = 2x cos(x2)

4. Sea f(x) = [sin(x)]2, encuentra f ′(x).

Reescribimos

f(x) = g [h(x)] ,

donde g(x) = x2 y h(x) = sin(x). Usando la regla de la cadena

f ′(x) = g′ [h(x)] · h′(x) = (2 sinx) · cos(x) = 2 sin(x) · cos(x)

5. Sea f(x) = ln [sin(x)]2.

Reescribimos la funcion como

f(x) = g h [i(x)] ,

donde g(x) = x2, h(x) = ln(x) y i(x) = sin(x).

Usando la regla de la cadena

f ′(x) = g′ h [i(x)] · h′ [i(x)] · i′(x) = 2 · ln [sin(x)] · 1

sin(x)· cos(x) = 2 ln [sin(x)] · cos(x)

sin(x)

= 2 cot(x) · ln [sin(x)]

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13

6. Sea h(t) = e−x · sin(x). Calcula su derivada.

Usando la regla del producto

h′(t) =d [e−x]

dx· sin(x) + e−x · d [sin(x)]

dx= −e−x · sin(x) + e−x cos(x) = e−x [cos(x)− sin(x)]

7.1. Ejercicios

Usando la tabla de derivadas y las propiedades 8-14, deriva las siguientes funciones

1. Con la regla del cociente,

f(x) = tan(x) =sin(x)

cos(x)

2.

g(x) =√x

3.

h(x) = sin(nx), n ∈ <

4.

m(x) =1

x2

5.

n(t) =sin(t)

t

6.

o(y) = 3ey + 4 tan(5y)

7.

f(x) =√

tan(x)

8.

x(t) = 4t · ln(t)

9.

y(x) = − tan(−5x2 − 7)

10.

f(x) = ex2

11.

h(x) = sec(x)

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14

12.

o(t) = cot(t)

13.

k(t) = ln [ln(t)]

14.

Γ(s) =s+ 1

s− 1, s 6= 1

15.

Ω(θ) = arcsin

(θ + 1

θ − 1

)θ 6= 1

16.

Λ(ϕ) = ln [f(ϕ)]

17. Problema de desafio:

y(x) = xx

7.2. Respuestas

1.

f ′(x) = sec2(x)

2.

g′(x) =1

2√x

3.

h′(x) = n cos(nx)

4.

m′(x) = − 2

x3

5.

n′(t) =t cos(t)− sin(t)

t2

6.

o′(y) = 3ey + 20 sec(5y)

7.

f ′(x) =sec2(x)

2√

tan(x)

8.

x′(t) = 4 [ln(t) + 1]

9.

y′(t) = 10t sec2(−5t2 − 7)

10.

f ′(x) = 2xex2

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15

11.

h′(x) = tan(x) · sec(x)

12.

o′(t) = − csc2(x)

13.

k′(x) =1

x ln(x)

14.

Γ′(s) =−2

(s− 1)2

15.

Ω′(θ) =

√− 1

θ(θ − 1)2

16.

Λ′(ϕ) =f ′(ϕ)

f(ϕ)

17.

???

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16

8. SERIES DE TAYLOR

Este tema empieza con una pregunta ¿Es posible reescribir una funcion f(x) cualquiera como una serie infinita de

potencias?

La respuesta es sı, pero solo si f(x) es infinitamente diferenciable y el valor f(0) esta definido7. Esto significa que

la funcion puede expresarse como

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...

∞∑n=0

anxn

por lo tanto, si encontramos el valor de los coeficientes a0, a1, a2, ..., podemos definir la serie para f(x). Para

encontrar el valor del primer coeficiente a0, evualuamos f(x), y por ende la serie, en x = 0:

f(0) = a0 + a1(0) + a2(0)2 + ... = a0

Para hallar a1, derivamos f(x) y evaluamos esta derivada en x = 0:

f ′(0) = a1 + 2a2(0) + 3a3(0)2 + 4a4(0)3 + ... = a1

Derivando sucesivamente y evaluando en x = 0, se hallan los otros coeficientes, de manera que

f ′′(0) = 2a2, f ′′′(0) = 2 · 3a3, f (4)(0) = 2 · 3 · 4a4.

Entonces, en general,

fn(0) = n! · an (15)

Despejando an de la ecuacion 15, se tiene que

an =f (n)(0)

n!

Sustituyendo en la ecuacion (serie), obtenemos la serie de Taylor:

f(x) =

∞∑n=0

anxn =

∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn (16)

A continuacion usaremos la ecuacion 16 para encontrar las series de Taylor de algunas funciones.

7 Esta condicion es solo necesaria para las series de Taylor. Existen otras series, como la de Maclaurin que veremos en la siguienteseccion, que no tienen esta restriccion.

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17

9. EJEMPLOS

1. Halla la serie de Taylor de f(x) = ex.

Para esta funcion

f ′(x) = f ′′(x) = f (n)(x) = ex

entonces

an =f(0)

n!=e0

n!=

1

n!

por lo que

f(x) =

∞∑n=0

anxn =

∞∑n=0

1

n!xn = 1 + x+

1

2+

1

6x3 + ...

Como comprobacion de este resultado, la figura 6 muestra la grafica de ex junto a los primeros 4 terminos de su

serie de Taylor.

Figura 6. Graficas de las funciones ex con la serie (truncada) de Taylor para los primeros 4 terminos de la misma. Noten comola curva de la serie se va a aproximando cada vez mas a la exponencial, conforme se incrementan los terminos de la serie.

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18

2. Halla la serie de Taylor de f(x) = cos(x).

Para funciones trigonometricas las derivadas sucesivas son periodicas, de manera que

f ′(x) = − sin(x), f ′′(x) = − cos(x), f (3)(x) = sin(x), f (4)(x) = cos(x)

para x = 0, tenemos que

f(0) = 1, f ′(0) = 0, f ′′(0) = −1, f ′′′(0) = 0

Aquı se pone un poco mas complicado hallar f (n)(0)8, ası que lo haremos por partes. Primero, noten que el valor

absoluto de los valores de f (n)(0) es siempre 0 o 1. Esto significa que solo usamos los terminos de an para los

que n es par (recuerden que f(0) = 1).

En segundo lugar, la mitad de los valores distintos de cero son negativos y se alternan con los positivos, es decir:

1, −1, 1, −1, ...

Para el primer punto, haremos las siguientes sustituciones en la serie de Taylor

n! =⇒ (2n)! =⇒ 0!, 2!, 4!, ...

xn =⇒ x2n =⇒ x0, x2, x4, ...

con esto, la serie solo tomara los terminos pares.

Para el segundo punto, usaremos el termino (−1)n, lo cual nos da

(−1)0, (−1)1, (−1)2, ... = 1, −1, 1, ...

Finalmente, los coeficientes an quedan como

a2n =f (2n)(0)

(2n)!=

(−1)n

(2n)!

por lo que la serie queda como

cos(x) =

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n = 1− 1

2x2 +

1

24x4 − 1

720x6 + ...

La figura 7 muestra la serie con los primeros 4 terminos junto a cos(x)

8 Cabe mencionar que la mayorıa de las funciones no tienen un termino general para calcular rapidamente todos los coeficientes de laserie. En estos casos, solo se pueden calcular los coeficientes individualmente hasta llegar a un nivel de precision deseado.

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19

Figura 7. Graficas de las funciones cos(x) y de su serie de Taylor asociada. Noten como la curva de la serie se va aproximandoa la de la funcion trigonometrica desde x = 0 hacia la izquierda y derecha.

3. Halla la serie de Taylor de f(x) = 1x+1

Las derivadas sucesivas para f(x) son

f ′(x) =−1

(x+ 1)2, f ′′(x) =

2

(x+ 1)3, f ′′′(x) = − 6

(x+ 1)4

en general:

f (n)(x) =(−1)n · n!

(x+ 1)n+1,

entonces

f(x) =

∞∑n=0

(−1)n

(1)n+1xn =

∞∑n=0

(−1)nxn = 1− x+ x2 − x3 + ...

La figura 8 muestra la serie con los primeros 4 terminos junto a f(x).

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20

Figura 8. Graficas de las funciones f(x) = 1/(x+ 1) y la serie (truncada) de Taylor para los primeros 4 terminos de la misma.

10. GENERALIZACION DE LAS SERIES DE TAYLOR: SERIES DE MACLAURIN

En el ultimo ejemplo visto en la seccion anterior, vimos que la funcion no estaba definida para todos los numeros

reales, ya que existe una discontinuidad en x = −1. Esto no afecto en el calculo de los coeficientes de la serie de Taylor

ya que esta solo requiere que la funcion este definida en x = 0, ademas de ser infinitamente diferenciable.

Sin embargo, si tratamos de obtener la serie de Taylor para, por ejemplo, f(x) = 1x , nos topamos con un problema,

ya que f(x = 0) no esta definida.

En estos casos, podemos aplicar la serie de Maclaurin, la cual es una generalizacion de las de Taylor:

f(x) =

∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n, (17)

donde a es cualquier valor de x que este definido en f(x). Con esto, podemos evaluar f(x) = 1x para x > 0. Primero

obtenemos f (n)(a):

f ′(x) =−1

x2, f ′′(x) =

2

x3, f ′′′(x) = − 6

x4=⇒ f (n)(x) =

(−1)n · n!

xn+1=⇒ f (n)(a) =

(−1)n · n!

an+1,

entonces

f(x) =

∞∑n=0

(−1)n(x− 1)n = 1− (x− 1) + (x− 1)2 − (x− 1)3

Al graficar la serie truncada junto a 1/x, vemos que la serie solo se aproxima a la funcion desde x = 1 hacia ambos

lados (figura 9).

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21

Figura 9. Graficas de las funciones 1/x con la serie (truncada) de Maclaurin (a = 1) para los primeros 4 terminos de la misma.Noten que la aproximacion parte desde x = 1 hacia ambos lados.

10.1. Ejercicios

Halla las series de Taylor (o Maclaurin para un valor a que ustedes elijan) de las siguientes funciones y grafica la

funcion junto a los primeros 4 terminos de la serie.

1.

f(x) = sin(x)

2.

f(x) = ex2

3.g(x) = ln(x)

4.

g(x) = 4x2 + 6x− 3

5.

h(x) = 10x

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22

11. RELACION ENTRE DERIVADAS E INTEGRALES: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Antes de empezar, les aviso que este capıtulo es opcional para estudiar. Su intencion es enfatizar la relacion entre

integrales y las derivadas. Saltarselo no afecta en lo absoluto los temas que lo siguen. En caso de no querer verlo, la

conclusion de este capıtulo se repite al inicio del siguiente.

Uno de los problemas clasicos mas importantes de Matematicas, junto con el de pendiente de una funcion no lineal,

es el del area bajo una curva. Luego de muchos siglos (¡Desde Arquımedes a Newton!), y con la introduccion de lımites,

fue posible hallar una solucion a este problema.

La interrogante es sencilla de explicar:

Dada con una curva definida que pasa por un intervalo [a, b], ¿como se puede calcular el area delimitada por el

intervalo, el eje x y la curva?

La representacion grafica se muestra en la figura 10

Figura 10. Grafica de una funcion f(x). La idea es calcular el area bajo la curva en el intervalo [a, b]. Noten como la curvaesta definida en todo el dominio de los numeros reales, es decir, (−∞,∞).

Supongamos que existe una funcion F (x) que da el area exacta bajo la curva9, denotada por A en la figura 10. F (x)

da el valor del area desde −∞ hasta x. Entonces, se puede afirmar que

A = F (b)− F (a).

Por lo pronto, desconocemos como se relaciona F (x) con f(x). Sin embargo, podemos usar f(x) para aproximarnos al

valor de A. Si dividimos el area en trapecios rectangulos10, como se ve en la figura 11. Cada trapecio tiene sus angulos

rectos sobre el eje x y todos tienen una altura h = (b− a)/n, donde n es el numero de trapecios. La aproximacion del

area, Ap, se obtiene sumando el area de todos los trapecios. Para 4 trapecios11 (figura 11a)

Ap = h · f(a) + f(a+ h)

2+ h · f(a+ h) + f(a+ 2h)

2+ h · f(a+ 2h) + f(a+ 3h)

2+ h · f(a+ 3h) + f(a+ 4h)

2

Podemos ver que para un mayor numero de trapecios, la aporximacion es mejor, ¿que pasarıa en el lımite, cuando el

numero de trapecios (n→∞) tiende a infinito (o lo que es lo mismo, cuando h→ 0)?

Si vemos el area del primer trapecio, vemos que

limh→0

h

2[f(a) + f(a+ h)] =

2 · f(a)

2· h = f(a) · h

Igualando este valor con el del area (exacta) entre a y a+ h, obtenemos:

f(a) · h = F (a+ h)− F (a) (18)

Ahora, despejando f(a) en 18, obtenemos

f(a) =F (a+ h)− F (a)

h(19)

9 No es solo una suposicion, ya que el area bajo la curva depende de la posicion en x que se elija.

10 A este metodo se le conoce como la regla del trapecio compuesto.

11 Recordando que el area de un trapecio es h(B + b)/2

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23

(a) Aproximacion del calculo del area bajo la curvacon 4 trapecios.

(b) Aproximacion del calculo del area bajo la curvacon 15 trapecios.

Figura 11. Ilustracion de la regla del trapecio compuesta. La aproximacion es mejor al aumentar el numero de trapecios.

Esto nos dice que f(x) es el valor de la derivada de F (x) en x = a, entonces, en general,

F ′(x) = f(x) (20)

Este resultado nos indica que para hallar el area bajo la curva f(x) solo necesitamos conocer su antiderivada (la funcion

que la derivar nos da f(x)), o como se le llama en los bajos mundos de ingenierıa, la integral de f(x).

Finalmente, si tomamos la suma de trapecios y la reescribimos como una sumatoria:

Ap =

n−1∑i=0

h · f [a+ ih] + f [a+ (i− 1)h]

y vemos su comportamiento cuando n→∞ (o h→ 0), obtenemos

Ap =

n−1∑i=0

h

2[2 · f(a+ ih)] =

n−1∑i=0

f(a+ ih) · h. (21)

De la ecuacion 21, se puede extraer la informacion para un integral, especıficamente, la notacion de una integral

definida.La integral es, esencialmente, el lımite de una sumatoria (serie) infinita, donde cada termino de la serie (area de los

trapecios) es inifinitamente pequena. Haciendo unos retoques a la sumatoria:∑=⇒

∫n− 1 =⇒ b

i = 0 =⇒ a

a+ ih =⇒ x

h =⇒ dx

Llegamos al Teorema Fundamental del Calculo:∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a), donde F ′(x) = f(x) (22)

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24

12. INTEGRALES

El Teorema Fundamental del Calculo (ecuacion 22) nos indica dice dos cosas:

1. El area bajo la curva f(x) puede encontrarse a partir de la integral definida en el intervalo deseado.

2. La integral es la operacion opuesta a la derivada.

El segundo punto nos permite calcular las integrales mas sencillas:

• ∫axn dx =

a

n+ 1xn+1 + C

• ∫sin(x) dx = − cos(x) + C

• ∫cos(x) dx = sin(x) + C

• ∫aexdx = aex + C

• ∫a

xdx = a · ln(x) + C

• ∫f ′(x)

f(x)dx = ln +C

• ∫1

1 + x2dx = arctan(x) + C

• ∫1√

1− x2dx = arcsin(x) + C

La letra C representa cualquier constante que se le puede agregrar a la funcion resultante de la integracion. Estoes porque, al derivarse la misma, se obtiene la funcion que se integro al inicio, independientemente del valor de la

constante C. Por ejemplo, si en la primera funcion C valiera 5 o 10, no afectarıa para regresar a la funcion original de

axn al momento de derivar.

12.1. Propiedades de las integrales

Dos de las propiedades de las derivadas son compartidas por las integrales. Sean f, g, h funciones de x, y a una

constante, entonces: ∫[f(x) + g(x)] dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx (23)

∫[a · f(x) dx] = a ·

∫f(x) dx (24)

Ademas, si se trata de integrales definidas, tambien se cumplen las siguientes:∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx (25)

∫ c

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx, para a ≤ b ≤ c (26)

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25

13. METODOS DE INTEGRACION

• Cambio de variable: Se reemplaza una variable complicada por una sencilla.

1. Realiza la siguiente integral ∫sin(x) · cos(x) dx

En este caso, realizamos el cambio de variable,

u = sin(x) =⇒ du = cos(x) dx

Lo que nos deja ∫sin(x) · cos(x)dx =

∫u du =

1

2u2 + C =

1

2sin2(x) + C

2. Realiza la integral ∫2x · ex

2

dx

Para el cambio de variable, reescribimos

u = x2 =⇒ du = 2xdx,

entonces ∫2x · ex

2

dx =

∫eu · du = eu + C = ex

2

+ C

3. Realiza la siguiente integral ∫x · cos(2x2 + 3) dx

En este caso, el cambio de variable mas conveniente es

u = 2x2 + 3 =⇒ du = 4x · dx,

Sin embargo, la integral no tiene 4x·dx, sino x·dx. En tal caso, aprovechamos la propiedad 24 y reescribimos

la integral como∫x · cos(2x2 + 3) dx =

1

4

∫4x cos(2x2 + 3) dx =

1

4

∫cos(u) du =

1

4sin(u) + C

=1

4sin(2x2 + 3) + C

4. Realiza la integral, usando la propiedad trigonometrica 2 sin(x) · cos(x) = sin(2x):∫sin(x) · cos(x) dx =

1

2

∫sin(2x) dx

El cambio de variable es

u = 2x =⇒ du = 2 · dx,

lo que nos deja

1

2

∫sin(2x) dx =

1

4

∫2 · sin(2x) dx =

1

4

∫sinu du = −1

4cos(u) + C = −1

4cos(2x) + C

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26

Este resultado y el del ejercicio 2 parten de la misma integral, por lo que el resultado (aunque no lo

parezca) es el mismo. Si usan la identidad trigonometrica

cos(2x) = 1− 2 sin2(2x),

veran que la diferencia entre este resultado y el de dicho ejercicio es de −1/4. Sin embargo, al derivar ambas

funciones, obtenemos de vuelta sin(x) · cos(x). Esto nos dice dos cosas importantes: que hay puede haber

mas de una forma de resolver un integral, y que dos respuestas distintas pueden ser correctas, aun si se

separan por una constante12.

• Integracion por partes: Esta tecnica de integracion surge a partir de la regla del producto para derivadas:

d(u · v) = u · dv + v · du =⇒∫

[d(u · v)] =

∫u · dv +

∫v · du =⇒ u · v =

∫u · dv +

∫v · du.

Despejando la primera integral del lado izquierdo:∫u · dv = u · v −

∫v · du (27)

La ecuacion 27 nos permite integrar un gran variedad de funciones.

1. Integra f(x) = lnx Debemos asignar u y dv. Para este caso lo mejor es definir

u = lnx

dv = dx

Entonces ∫lnx dx =

∫u · dv = u · v −

∫v · du

Los terminos restantes se obtienen facilmente

u = lnx =⇒ du =1

xdx

dv = dx =⇒ v = x,

por lo que

u · v −∫v · du = x · ln(x)−

∫x

xdx = x · ln(x)−

∫dx = x · ln(x)− x

2. Integra sin(x) · cos(x) usando integracion por partes.

Aqui usamos los cambios de variable:

u = sin(x) =⇒ du = cos(x) dx

dv = cos(x) dx =⇒ v = sin(x),

entonces, ∫sin(x) · cos(x) dx = sin2(x)−

∫sin(x) · cos(x) dx

En este caso tenemos la misma integral en ambos lados de la ecuacion (las que estan subrayadas), por lo

que la podemos despejar y con ello obtenemos:∫sin(x) · cos(x) dx+

∫sin(x) · cos(x) dx = sin2(x) =⇒

∫sin(x) · cos(x) dx =

1

2sin2(x) + C

En este caso, no resolvimos directamente la integral, sino despejando la misma a partir de una ecuacion

donde aparece; es decir, tratamos la integral completa como una variable a despejar, como si se tratara de

un problema algebraico. Esto es comun en las integrales del tipo sinn(x) · cosm(x)

12 Esto solo es valido para integrales indefinidas. Para integrales definidas, el valor, que ya es un numero, debe ser el mismo.

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27

3. Integra ex · cos(x).

En este caso, tendremos que aplicar dos veces la formula de integracion por partes:∫e−x · cos(x) = e−x · sin(x)−

∫−e−x · sin(x) dx = e−x · sin(x) +

∫e−x · sin(x) dx

u = e−x =⇒ du = −e−xdx

dv = cos(x) dx =⇒ v = sin(x)

Aplicando la integracion por partes en la integral de la derecha:∫e−x sin(x)dx = −e−x cos(x)−

∫(−e−x)(− cosx)dx = −e−x · cos(x)−

∫e−x cos(x)dx

u = e−x =⇒ du = −e−xdx

dv = sin(x) dx =⇒ v = − cos(x)

Sustituyendo en la parte subrayada:∫e−x cos(x)dx = e−x sin(x) +

∫e−x sin(x)dx = e−x sin(x) +

[−e−x cos(x)−

∫e−x cos(x)dx

]∫e−x cos(x)dx = e−x sin(x)− e−x cos(x)−

∫e−x cos(x)dx

En esta ultima, despejamos∫e−x cos(x)dx, y obtenemos∫

e−x cos(x)dx+

∫e−x cos(x)dx = e−x sin(x)− e−x cos(x)

∫e−x cos(x)dx =

e−x

2(sinx− cosx) + C

• Integracion con logaritmos: Recordando que

d ln [f(x)]dx

=f ′(x)

f(x)

entonces se cumple que ∫f ′(x)

f(x)dx = ln [f(x)] + C

Con esto podemos reslver otro tipo de integrales.

1. Integra tan(x).

Sabiendo que ∫tan(x) dx =

∫sin(x)

cos(x)dx

Definimos f(x) = cos(x), f ′(x) = − sin(x) dx En la integral, nos hace falta un signo negativo, para poder

hacer el cambio de variable. Por eso, vamos a introducir dos signos negativos (para no cambiar el valor de

la integral), entonces∫sin(x)

cos(x)dx = −

∫− sin(x)

cos(x)dx = −

∫f ′(x)

f(x)dx = − ln [f(x)] + C = − ln [cos(x)] + C

2. Integra sec(x). Para este caso, vamos a multiplicar la funcion por el termino (secx+ tanx)/(secx+ tanx):∫sec(x) dx =

∫sec(x)

(secx+ tanx)

(secx+ tanx)dx =

∫sec2(x) + sec(x) tan(x)

sec(x) + tan(x)dx

Si derivamos el denominador del integrando, se obtiene el numerador, por lo que

u = sec(x) + tan(x) =⇒ sec2(x) + sec(x) tan(x),

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28

entonces ∫sec(x)dx =

∫du

u= ln(u) + C = ln [sec(x) + tan(x)] + C

Tanto en cambio de variables como en integracion por partes hay dos inconvenientes:

– ¿Como identificar cual tecnica usar? La respuesta es practica, ensayo y error. Intentar con un metodo;

si no funciona, intenta con otro.

– Se cual tenica usar, pero no se que debo igual a u, dv, etc. De nuevo, ensayo y error. Eventualmente,

sabran la combinacion de variables desde el primer intento.

Noten que para una misma funcion (f(x) = sin(x) · cos(x)), usamos tres tecnicas distintas. Hay multiples

funciones como esta. Paciencia, practica y mucho cafe13 es lo que recomiendo.

13.1. Ejercicios

Calcula las siguiente integrales

1. ∫(3x2 + 5x+ 7) dx

2. ∫(e−2x + cosx) dx

3. ∫dx

3x+ 1

4. ∫ [1

5x+ 3− 1

(x+ 2)2

]dx

5. ∫(2x+ 3) · cos(x2 + 3x− 10) dx

6. ∫e−x sinx dx

7. ∫arctanx dx

8. ∫x cos(x) dx

9. ∫x2 ln(x) dx

10. ∫xex dx

13 El exceso de cafe puede ocasionar taquicardia, insomnio, problemas renales y/o gastritis. Eviten el exceso o acabaran como el profe.

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29

11. ∫ax dx

12. ∫sin(2x)

1 + sin2(x)dx

13. ∫cotx dx

14. ∫dx√

x(√x+ 1)

15. ∫etan x

cos2(x)dx

13.2. Respuestas

1.

x3 +5

2x2 + 7x+ C

2.

−1

2e−2x + sinx+ C

3.1

3ln(3x+ 1) + C

4.1

5ln(5x+ 3) +

1

x+ 2+ C

5.

sin(x2 + 3x− 10) + C

6.

−e−x

2[cos(x) + sin(x)] + C

7.

x · arctan(x)− ln(x2 + 1)

2+ C

8.

x · sin(x) + x · cos(x) + C

9.x3

3

[ln(x)− 1

3

]+ C

10.

ex (x− 1) + C

11.ax

ln a+ C

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30

12.

ln(1 + sin2 x) + C

13.

ln(sinx) + C

14.

2 ln(√x+ 1) + C

15.

etan x + C

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31

14. INTEGRALES DEFINIDAS

Ahora que ya saben calcular las antiderivadas, o integrales indefinidas, toca resolver las integrales definidas.

Volviendo a la ecuacion 22, vemos que la integral definida se calcula evaluando la antiderivada en los extremos del

intervalo y sustrayendo el valor de la funcion en el lımite inferior al del lımite superior.

14.1. Ejemplos

1. Evalua ∫ 2

1

dx

3x+ 1

Como vimos en los ejercicios pasados, esta integral (indefinida) es:∫dx

3x+ 1=

1

3ln(3x+ 1) + C

entonces, la integral definida queda como∫ 2

1

dx

3x+ 1=

1

3ln(3x+ 1) + C

∣∣∣∣21

=

[1

3ln(3 · 2 + 1) + C

]−[

1

3ln(3 · 1 + 1) + C

]=

1

3ln(6 + 1) + C −

[1

3ln(3 + 1) + C

]=

1

3ln(7) + C − 1

3ln(4)− C

Por lo que,

∫ 2

1

dx

3x+ 1=

1

3ln(7)− 1

3ln(4) =

1

3ln

(7

4

)Noten como las constantes de la antiderivada se eliminan en la sustraccion; esto ocurre siempre, de manera que

las ignoramos para las integrales definidas.

2. Evalua ∫ π

0

e−x sinx dx

Sabemos que ∫e−x sinx dx = −e

−x

2(cosx+ sinx) + C

entonces ∫ π

0

e−x sinx dx = −e−x

2(cosx+ sinx)

∣∣∣∣π0

=

[−e−π

2(cosπ + sinπ)

]−[−e

0

2(cos 0 + sin 0)

]Resolviendo esta expresion∫ π

0

e−x sinx dx =

(−e−π

2cosπ

)−(−e

0

2cos 0

)= −e

−π

2(−1) +

1

2=

1

2

(e−π + 1

)Es importante tener precaucion al momento de evaluar. El mal manejo de los mismos puede llevar a resultados

incorrectos y muy lejanos a la realidad.

3. Calcula ∫ 1

−1

(−x2 + 7x− 4

)dx

Hagamos esta de manera directa14∫ 1

−1

(−x2 + 7x− 4

)dx =

(−1

3x3 +

7

2x2 − 4x

)∣∣∣∣1−1

=

[−1

3(1)3 +

7

2(1)2 − 4(1)

]−[−1

3(−1)3 +

7

2(−1)2 − 4(−1)

]

14 Como los alumnos capaces que son.

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32

=

(−1

3+

7

2− 4

)−(

1

3+

7

2+ 4

)= −2

8− 8 = −26

3

Revisen cada paso con cuidado para no perder de vista las operaciones con los signos.

4. Calcula ∫ π/2

0

sinx · cosx dx

Sabemos que esta integral (la indefinida) tiene dos expresiones equivalentes:∫sinx · cosx dx =

1

2sin2(x) + C = −1

4cos(2x) +K

Las constantes de integracion C, K no son iguales, aunque esto no importa para nuestra integral definida. Para

la primer antiderivada:∫ π/2

0

sinx · cosx dx =1

2sin2(x)

∣∣∣∣π/20

=1

2

[sin2

(π2

)− sin2 (0)

]=

1

2

Para la segunda:∫ π/2

0

sinx · cosx dx = −1

4cos(2x)

∣∣∣∣π/20

= −1

4[cosπ − cos 0] = −1

4(−1− 1) =

1

2

Esto implica que ambas antiderivadas dan el mismo resultado, por lo que ambas son expresiones validas para

calcula la integral definida.

5. Resuelve la integral ∫ 4

0

(x2 + 2x− 15) dx

de forma directa, ası como por medio de la ecuacion 26.

Al resolverla de forma directa, obtenemos:∫ 4

0

(x2 + 2x− 15) dx =

(1

3x3 + x2 − 15x

)∣∣∣∣40

=

[1

3(4)3 + (4)2 − 15(4)

]−[

1

303 + (0)2 − 15(0)

]

=64

3+ 16− 60 = −68

3

Noten que al evaluar esta integral, nos da como resultado un valor negativo, ¿por que?

Debido a la forma en que definimos el area bajo la curva, aquellas regiones que se encuentren sobre el eje

de las x seran positivas, mientras que aquellas que se hallen debajo del eje de las x seran negativas.

Si observamos la figura 12, veremos que el region debajo del eje de las x es mas grande que el area sobre el mismo

eje. Esta es la razon de que la integral definida sea negativa. Utilizando la ecuacion 26 para calcular las areas

positiva y negativa por separado, se tiene que

∫ 3

0

(x2 + 2x− 15) dx =

(1

3x3 + x2 − 15x

)∣∣∣∣30

=

[1

3(3)3 + (3)2 − 15(3)

]−[

1

303 + (0)2 − 15(0)

]= 9 + 9− 45 = −27 ⇐ Region en rojo (negativa)

Para la parte positiva, (x > 3),∫ 4

3

(x2 + 2x− 15) dx =

(1

3x3 + x2 − 15x

)∣∣∣∣43

=

[1

3(4)3 + (4)2 − 15(4)

]−[

1

333 + (3)2 − 15(3)

]

=

(64

3+ 16− 60

)− (9 + 9− 45) = −68

3+ 27 ⇐ Region en verde (positiva)

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33

Figura 12. Areas sobre (region en verde) y debajo (region en rojo) del eje de las x para la funcion f(x) = x2 + 2x − 15. Enx = 3, el valor de la funcion pasa de negativo a positivo (raız del polinomio).

Finalmente, haciendo uso de la ecuacion 26:∫ 4

0

(x2 + 2x− 15) dx =

∫ 3

0

(x2 + 2x− 15) dx+

∫ 4

3

(x2 + 2x− 15) dx = −27 +

(−68

3+ 27

)= −68

3

14.2. Ejercicios

Resuelve las siguiente integrales

1. ∫ 1/2

−1/2

(1

6x3 +

1

4x2 + x+ 1

)dx

2. ∫ 1/2

−1/2ex dx

3. ∫ 2

1

x2 ln(x) dx

4. ∫ 1

−1

2x

x2 + 1dx

5. ∫ π/ω

0

sin (ωt) dt

6. ∫ 3

0

1√t+ 102

dt

7. ∫ π/4

0

(sin t+ cos t) dt

8. ∫ 3

2

x√x2 + 1

dx

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34

9. Resuelve ∫ 5

−5

(−x2 + 16

)dx,

usando la ecuacion 26 para tres regiones. (Ayuda: dos regiones son negativas y una positiva)

10. ¿Cual es el valor del area sombreada en la figura 13?

Figura 13. Problema 9.

11. ¿Cual es el valor del area sombreada en la figura 14?

Figura 14. Problema 9.

12. Problema de desafio: Demuestra que tanto − 14 cos(2x) como 1

2 sin2(x) funcionan para calcular la integral definida

de sinx · cosx para cualquier intervalo [a, b].

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35

14.3. Respuestas

1.49

48≈ 1.02

2.

e1/2 − e−1/2 ≈ 1.04

3.1

9[8 ln(8)− 7]

4.

0

5.2

ω

6.

2(√

103− 10)

7.

1

8. √5(√

2− 1)

9.

A1 +A2 +A3 = −13

3+

256

3− 13

3=

230

3

10.

A ≈ 0.42

11.

A ≈ 0.183

12.

???

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36

15. ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales son expresiones que relacionan una funcion con sus derivadas. Una ecuacion algebraica

da como resultado un numero; una ecuacion diferencial da como resultado una funcion. Una gran cantidad de

relaciones en Fısica, Economıa, Ecologıa, entre otros, se expresan como ecuaciones diferenciales.

Veremos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales que describen fenomenos sencillos.

15.1. Caıda libre

Un cuerpo en caıda libre es aquel cuyo movimiento es debido solo a la fuerza gravitacional. No se considera resistencia

del aire ni componentes horizontales de velocidad, es decir, el movimiento es completamente vertical.

Para encontrar la funcion de movimiento, partimos de la Segunda Ley de Newton:

∑F = ma, (28)

para caıda libre, la reescribimos como

∑F = w = mg = ma, (29)

Sabiendo que

a =dv

dt=d2y

dt2

y reescribiendo la ecuacion 29 y usando la notacion y′(t) = y, y′′(t) = y,

g = y (30)

entonces podemos hallar v(t) y y(t) integrando la ecuacion 30.

y =dv

dt= g =⇒

∫dv =

∫g dt

Si usamos v(0) = v0, entonces

∫ v

v0

dv =

∫ t

0

g dt =⇒ v − v0 = gt =⇒ v(t) = gt+ v0

Para la posicion, usamos y(0) = y0:

∫ y

y0

dy =

∫ t

0

v dt =

∫ t

0

(gt+ v0) dt =1

2gt2 + v0t =⇒ y(t) =

1

2gt2 + v0t+ y0

Los valores y(0) = y0, v(0) = v0 se conocen como condiciones iniciales y son fundamentales para resolver una

ecuacion diferencial para un escenario especıfico. Lo anterior quiere decir que con y0 y v0 podemos conocer en su

totalidad la posicion y velocidad para cualquier instante t del objeto en caıda libre.

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37

15.2. Caıda con resistencia del aire (lineal)

Para este caso existen dos fuerzas actuando sobre el cuerpo: la gravedad y la resistencia del aire. El modelo mas

sencillo es cuando la fuerza que ejerce la resistencia de agarre (fuerza de arrastre) es proporcional a la velocidad,

Fd ∝ v =⇒ Fd = kv = ky,

por lo que la Segunda Ley de Newton en este caso se escribe como

mg − ky = ky =⇒ mg − kv = mv

Al escribir la ecuacion diferencial en terminos de la velocidad, convertimos la ecuacion original (la cual contiene una

segunda derivada) en una mas sencilla de resolver (porque solo tiene una primera derivada)15.

Lo que sigue es encontrar v(t), integrando la ecuacion diferencial para eliminar v. Aprovechando la integral∫f ′(x)

f(x)dx = ln [f(x)] + C (31)

Vemos que es posible reacomodar la ecuacion, mediante algebra, para tener una forma similar a la misma:

mg − kv = mv =⇒ mv

mg − kv= 1 =⇒ v

mg−mvm

=v

g − kmv

= 1 =⇒ v

− km

(−mgk + v

) = 1

=⇒ v

v − mgk

= − km

=⇒ dv

dt(v − mg

k

) = − km

=⇒ dv

v − mgk

= − kmdt

Ahora podemos integrar ambos lados de la ecuacion, y usando como condicion inicial v(0) = v0:∫ v

v0

dv

v − mgk

= − km

∫ t

0

dt =⇒ ln(v − mg

k

)∣∣∣vv0

= ln(v − mg

k

)− ln

(v0 −

mg

k

)= ln

(v − mg

k

v0 − mgk

)= − k

mt

Ahora solo resta despejar v:

v − mgk

v0 − mgk

= e−km t =⇒ v − mg

k=(v0 −

mg

k

)e−

km t .

Finalmente,

v(t) =(v0 −

mg

k

)e−

km t +

mg

k(32)

Analizando la ecuacion 32, vemos varios detalles:

• La forma funcional de la velocidad con resistencia del aire es exponencial, mientras que sin resistencia es una

recta. Esto implica que una ecuacion diferencial con un termino adicional puede cambiar en gran medida la

funcion obtenida al resolverla.

• Las formas en que se resuelven ambos casos (caıda libre vs caida con resistencia del aire) son muy diferentes

entre sı, aunque los metodos son similares: se busca tener una forma que pueda integrarse en ambos lados de la

ecuacion para asi eliminar v y despejar v.

• La velocidad en la ecuacion 32 es estrictamente decreciente (siempre disminuye), pero tiene una asıntota hori-

zontal en v = mgk , es decir,

limt→∞

v(t) =mg

k. (33)

15 Una ecuacion diferencial con solo primeras derivadas se conoce como una ecuacion diferencial de primer grado; cuando tiene segundasderivadas es de 2do grado, y ası sucesivamente.

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38

Debido a este ultimo punto, se define

vT ≡mg

k,

como la velocidad terminal, la cual es la aquella a la que tiende el cuerpo en caıda cuando existe resistencia del

aire16.

La figura 15 muestra la grafica de v(t) para distintos valores de vT

Figura 15. Graficas de la velocidad de un objeto de un kilogramo en caida con resistencia lineal del aire para diferentes valoresde k. Para esta figura v0 = 5 m/s. Como la velocidad terminal depende de k, cada curva tiene una asıntota distinta; ademas,entre menor es k, la resistencia del aire disminuye y las velocidades alcanzadas se incrementan. Las unidades de k se toman apartir de la ecuacion 33.

Para hallar la posicion del cuerpo, y(t), simplemente integramos

y − y0 =

∫ t

0

[(v0 − vT ) e−

km t + vT

]dt = −m

k(v0 − vT ) e−

km t + vT · t

=⇒ y(t) = −mk

(v0 − vT ) e−km t + vT · t+ y0

Vemos que para t → ∞, x(t) ≈ vT · t + y0, lo que significa que para tiempos suficientemente grandes, el

movimiento del cuerpo es casi rectilıneo uniforme. La constante k va a depender de condiciones fısicas. Tıpicamente,

va a incrementar con la densidad del aire, la superficie del cuerpo que es golpeada directamente por el aire; sin embargo

es independiente de la velocidad inicial. Finalmente, es importante recordar que este es el modelo mas simple con

resistencia del aire, y por ende no es completamente exacto. Existen diferentes efectos que no son considerados, tales

como la forma o la rotacion del cuerpo (llamado efecto Magnus y del cual viene un enlace en el apendice 16). El

siguiente caso es un poco mas realista, pero solo para un escenario especıfico.

16 Cabe mencionar que vT va a tener una forma distinta dependiendo de como definamos a la fuerza de arrastre Fd, tal y como veremosen el siguiente caso

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39

15.3. Caıda con resistencia del aire (no lineal) de un cuerpo esferico

De manera empırica,17 sabemos que la fuerza de arrastre para una esfera de radio R que cae debido a su peso, esta

dada por

Fd = 0.2ρfπR2v2

donde ρf es la densidad del aire. Con esto, la 2da Ley de Newton queda como∑F = mg − 0.2ρfπR

2v2 = mv. (34)

Para simplificar la ecuacion, vamos a definir la velocidad terminal desde el inicio. Si recordamos el caso anterior, la

velocidad terminal venıa de los parametros de la ecuacion en la suma de fuerzas:

mg − kv = mv =⇒ vT =mg

k

Para este caso, la reformulacion de la velocidad terminal queda como

mg − 0.2ρfπR2v2 = mv =⇒ v2T =

mg

0.2ρfπR2

Noten como el numerador en ambas expresiones de vT es mg, el peso del objeto que cae, mientras que el denominador

es la constante que multiplica a la v (o v2 para este escenario). Ademas, en este caso, no definimos directamente

vT , sino v2T ; esto es por motivos de consistencia con las unidades y por la funcion que obtendremos al final. Con lo

anterior, la ecuacion 34 se reescribe como ∑F = mg − mgv2

v2T= mv

lo que se puede simplificar como

v = g

(1− v2

v2T

).

Para resolver la ecuacion diferencial, recurrimos a una tecnica similar a la del caso anterior. Sin embargo, como

tenemos v2 en lugar de v, la integracion no puede efectuarse usando la ecuacion 31.

Lo que debemos hacer primero es despejar v y v:

v

1− v2

vT

= g (35)

Ahora, vamos a cambiar v por dvdt y dejar la fraccion restante aparte,

dv

dt

1

1− v2

v2T

= g

Lo que sigue es descomponer la fraccion entre parentesis en dos, cuyo denominador tenga v en vez de v2. La explicacion

de la descomposicion viene en el apendice 17; aquı solo utilizamos el resultado:

dv

dt

1

1− v2

v2T

=1

2

dv

dt

(1

1− vvT

+1

1 + vvT

)= g

Multiplicando por dt e integrando ambos lados:

1

2

∫ v

v0

dv

1− vvT

+1

2

∫ v

v0

dv

1 + vvT

=

∫ t

0

g dt

17 Por medio de experimentos en ambientes controlados.

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40

Para poder resolver las primeras dos integrales, debemos aplicar un cambio de variable. La sustitucion mas obvia es

u1 = − vvT

y u2 = vvT

para la primera y segunda, respectivamente. Entonces

du1 = − dvvT

y du2 =dv

vT.

Esto significa que necesitamos un termino vT dividiendo a dv, esto es:

1

2

∫dv

1− vvT

+1

2

∫dv

1 + vvT

=1

2

∫ −vT−vT dv

1− vvT

+1

2

∫ vTvTdv

1 + vvT

= gt.

Con lo anterior, podemos completar el diferencial de cada integral y evaluar cada una:

−vT2

∫ dv−vT

1− vvT

+vT2

∫ dvvT

1 + vvT

=−vT

2

∫du1

1 + u1+vT2

∫du2

1 + u2

=−vT

2ln (1 + u1) +

vT2

ln (1 + u1) =−vT

2ln

(1− v

vT

)+vT2

ln

(1 +

v

vT

)

=vT2

[ln

(1 +

v

vT

)− ln

(1− v

vT

)]=vT2

ln

(1 + v

vT

1− vvT

)Agregando lımites superiores e inferiores:

vT2

ln

(1 + v

vT

1− vvT

)∣∣∣∣∣v

v0

= gt

Evaluamos ambos lados de ecuacion

vT2

[ln

(1 + v

vT

1− vvT

)− ln

(1 + v0

vT

1− v0vT

)]= gt

Ahora, como el segundo logaritmo natural solo contiene constantes, podemos reescribirlo de la siguiente forma18

2α ≡ ln

(1 + v0

vT

1− v0vT

)y despejamos v:

vT2

[ln

(1 + v

vT

1− vvT

)− 2α

]= gt =⇒ ln

(1 + v

vT

1− vvT

)=

2gt

vT+ 2α =⇒

1 + vvT

1− vvT

= e2α+2gt/vT

=⇒ 1 +v

vT=

(1− v

vT

)e2α+2gt/vT =⇒ v

vT

(1 + e2α+2gt/vT

)= e2α+2gt/vT − 1

=⇒ v(t) = vT

(e2α+2gt/vT − 1

e2α+2gt/vT + 1

)Podrıamos dejar el resultado ası y serıa correcto. Pero como el profe es sadico, vamos a usar las funciones

trigonometricas hiperbola para simplificar v(t). Recordando que

tanh(x) =sinh(x)

cosh(x)=ex − e−x

ex + e−x

y multiplicando el denominador y el numerador por ex:

tanh(x) =ex (ex − e−x)

ex (ex + e−x)=e2x − 1

e2x + 1

18 Usamos 2α y no α para que la forma final tenga sentido, como veremos... bueno, al final.

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Sustituyendo x por α+ gt/vT , obtenemos vvT

, es decir,

v(t) = vT

(e2α+2gt/vT − 1

e2α+2gt/vT + 1

)= vT tanh (gt/vT + α) ,

recordando que

vT =

√mg

0.2ρfπR2y α =

1

2ln

(1 + v0/vT1− v0/vT

)

Figura 16. Graficas de caıda libre, caıda con resistencia lineal del aire, y con resistencia no lineal. Los tres casos tienen v0 = 1m/s y los de resistencia tienen vT = 18 m/s.

Ahora que v(t) de una forma mas simplificada, podemos hacer un analisis de su grafica. Comparando los diferentes

casos de la caida de un objeto (figura 16), vemos que en el caso no lineal (verde), la curva se aproxima mas rapido a la

velocidad terminal que su contraparte lineal (naranja). Ademas, el caso no lineal toma mas tiempo en separarse del

caso de caıda libre (azul).

En la vida real, serıa muy difıcil hacer coincidir las velocidades terminales de los dos casos; en especial porque el

caso con resistencia lineal no es del todo acertado. Asimismo, el caso con resistencia no lineal tiene varios parametros

que dependen de factores externos: el tamano de la esfera y la densidad del medio en que se mueve.

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APENDICES

16. APENDICE A: ENLACES UTILES

• How To Count Past Infinity: https://www.youtube.com/watch?v=SrU9YDoXE88

• Essence of Calculus series:

https://www.youtube.com/watch?v=WUvTyaaNkzM&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr

• Calculating π with Real Pies: https://www.youtube.com/watch?v=ZNiRzZ66YN0

• Riemann Hypothesis: https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo

• Euler’s formula with introductory group theory: https://www.youtube.com/watch?v=mvmuCPvRoWQ&t=1280s

• What Is The Magnus Force?: https://www.youtube.com/watch?v=23f1jvGUWJs

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17. APENDICE B: DESCOMPOSICION DE FRACCIONES PARCIALES

La idea de la descomposicion de fracciones, es separar una fraccion (cuyo denominador es, por lo general, complicado

de manejar) en dos o mas fracciones (cuyos denominadores son mas simples). La descomposicion es muy util en

integrales con fracciones, porque suele convertir funciones complicadas en otras cuyas integrales son (casi siempre)

directas de calcular.

1. Fraccion parcial de la ecuacion diferencial (XXX):

1

1− v2

v2T

Como el denominador de esta fraccion puede factorizarse como un producto de binomios conjugados,

1− v2

v2T=

(1− v

vT

)(1 +

v

vT

),

entonces la fraccion puede descomponerse como la suma de dos fracciones de la forma19

1

1− v2

v2T

=A(

1− vvT

) +B(

1 + vvT

)Los valores de A y B se obtiene sumando ambas fracciones:

A(1− v

vT

) +B(

1 + vvT

) =

(1 + v

vT

)(

1 + vvT

) A(1− v

vT

) +

(1− v

vT

)(

1− vvT

) B(1 + v

vT

) =A(

1 + vvT

)1− v2

v2T

+B(

1− vvT

)1− v2

v2T

=A(

1 + vvT

)+B

(1− v

vT

)1− v2

v2T

=A+B +A

(vvT

)−B

(vvT

)1− v2

v2T

=1

1− v2

v2T

=⇒ A+B = 1 A−B = 0.

En el ultimo paso obtuvimos un sistema de ecuaciones. Esto es ası porque esas dos ecuaciones son las condiciones

necesarias para que el paso anterior se cumpla. Resolviendo las ecuaciones para A y B, obtenemos

A =1

2B =

1

2

Entonces,

1

1− v2

v2T

=1/2(

1− vvT

) +1/2(

1 + vvT

)

19 Si aun no queda claro porque esto es asi, piensa que una fraccion como 115

puede expresarse como la suma x5

+ y3

; el problema solo eshallar los valores de x y y.