Microonde

Prof. Marco Farina

Dipartimento di Elettromagnetismo e Bioingegneria

Modalità Esami

Prova scritta

Prova orale

Esame di medio termine o Parziale

Testi consigliati

Microwave Engineering, David M. Pozar, Wiley & Sons;

Ramo-Whinnery-Van Duzer: Campi e Onde nell’elettronica delle Telecomunicazioni

Microwave Solid State Circuit Design, Inder Bahl e Prakash Bhartia, Wiley & Sons

Equazioni di Maxwell

S

dst

d nBlE

BE

t

D

QdsS

nDD

S

dst

Id nDlH

0 S

ds nBB

0 B

DJH

t

BvEF

q

+

Propagazione guidataLe linee ne sono un caso particolare

z

Superficie arbitraria uniforme in z, in grado di vincolare le onde in tale direzione

Guide “metalliche”: es. guide d’onda, guide planari (microstriscia, complanare ecc) Guide “dielettriche”: es. fibre ottiche

Limitando al regime sinusoidale permanente (fasori) cercheremo soluzioni del tipo

zz

zz

t eyxEeyxzyx uEE ,,,,componente campo trasversale (piano XY)

componente campo longitudinale (direzione di propagazione)

La costante di propagazione sarà generalmente complessa j

00 J

Cosa si può dedurre dalle equazioni di Maxwell? Mettiamoci in condizioni di assenza di sorgenti

Ed esplicitiamo la legge di Faraday

HE j

zxy

yzx

xyz

Hjy

E

x

E

Hjx

E

z

E

Hjz

E

y

E

Chiaramente ora z

zxy

yz

x

xyz

Hjy

E

x

E

Hjx

EE

HjEy

E

Analogamente dalla legge di Ampère/Maxwell

EH j

zxy

yz

x

xyz

Ejy

H

x

H

Ejx

HH

EjHy

H

zxy

yz

x

xyz

Hjy

E

x

E

Hjx

EE

HjEy

E

zyyx Hj

Hj

E

1

zxzyyy EH

jH

jjH

21

22 kjj

j

EH

kkH zx

zyy 22

2

1

zxzyy EjHk

H

22

1

j

EH

kk

kH zx

zyy 22

22

Notate che Hy dipende solo da Hz ed Ez

zxzyy

zyzxx

zxzyy

zyzxx

EjHk

H

EjHk

H

HjEk

E

HjEk

E

22

22

22

22

1

1

1

1

In modo analogo si ottengono le relazioni

Cioè: le componenti trasversali del campo, nell’ipotesi di onde guidate, sono funzione delle componenti longitudinali

zxzyy

zyzxx

zxzyy

zyzxx

EjHk

H

EjHk

H

HjEk

E

HjEk

E

22

22

22

22

1

1

1

1Ora, qualora vi fosse solo propagazione senza attenuazione

Notate che se k= i campi trasversali divergono a meno che Ez ed Hz non siano simultaneamente nulle: solo le onde con Ez=Hz=0, definiti “modi TEM, trasverso-elettromagnetici”, possono avere costante di propagazione - e quindi velocità di fase- coincidenti con quelle della luce

22 j

così che a denominatore delle relazioni compare k2-2

Cosa succede all’equazione di Helmhotlz

nell’ipotesi di onda guidata ?

022 EE k

zeyxzyx ,,, EE

Conviene isolare nell’operatore laplaciano la derivata in z, cioè scrivere

2

22

2

2

2

2

2

22

zzyxt

Il primo termine, che opera solo sulle coordinate x,y, trasversali rispetto alla direzione di propagazione z, lo chiamiamo brevemente laplaciano trasverso

D’altro canto la doppia derivazione in z, con la dipendenza esponenziale che abbiamo assunto, diventa solo una moltiplicazione per 2 (meraviglie degli esponenziali!)

L’equazione d’onda diventa in tal caso

Che definiremo equazione d’onda per onde guidate; analogamente per il campo magnetico

0222 EE kt

0222 HH kt

Ciascuna eq d’onda vettoriale rappresenta 3 equazioni scalari

Tuttavia sappiamo che bastano Ez ed Hz per determinare le altre componenti

Le equazioni di Maxwell sono lineari: potremo immaginare le soluzioni generali come combinazioni lineari di soluzioni più semplici

Definiremo quindi: modi TE (trasverso-elettrici) quelli per cui Ez=0

modi TM (trasverso-magnetici) quelli per cui Hz=0

modi TEM (trasverso-elettromagnetici) quelli per cui simultaneamente Ez=Hz=0

Chiaramente, l’equazione d’onda scalare in Hz (+condizioni al contorno) sarà sufficiente per determinare i campi dei modi TE

Viceversa per i TM sarà sufficiente lavorare su Ez

Cosa succede con i TEM?

Abbiamo appena detto che nel caso particolare TEM

Per cui in tale caso specifico l’equazione diventa

A tutti gli effetti, una coppia di equazioni di Laplace. Le onde TEM hanno quindi la particolarità di avere distribuzioni di campo nei piani trasversali (sia la componente elettrica che magnetica: analoga equazione di otterrebbe per H), del tutto simili alle distribuzioni di campo elettrostatico e magnetostatico nella stessa struttura, con la differenza fondamentale che si propagano in z con costante k

02 Et

022 k

Particolarizziamo le equazioni che avevamo ricavato al caso TEM

xy

xy

EjH

HjE

/xxxy EEj

jE

jH

/yx EH EuH z

1

Relazioni simili alle onde piane (che ne sono un caso particolare)

Si propagano per ogni frequenza, visto che in assenza di perdite jk Sempre immaginario

Le soluzioni dipendono chiaramente dalle condizioni al contorno, ma possono essere non banali solo se queste costituiscono un dominio non semplicemente connesso

Pensate all’elettrostatica: se non potete individuare due punti a potenziale diverso, il gradiente del potenziale (perciò il campo elettrico) è identicamente nullo

In generale, per n conduttori, otterremo n-1 soluzioni indipendenti non banali: n-1 MODI TEM

Nell’esempio di sopra abbiamo due strisce metalliche ed un piano (o scatola) di massa: 2 modi

Si tratta di un caso particolare, ovvero SIMMETRICO, nel qual caso di definisce PARI il caso in cui le componenti tangenziali del campo magnetico si annullano sul piano di simmetria, e DISPARI quelle in cui sono le componenti tangenziali del campo elettrico ad annullarsi

+ +

Jz

Modo PARI

+ -

Jz

Modo DISPARI

Trattiamo il caso TM: in tal caso dovremo risolvere l’eq.

Definiamo in particolare

Dovremo imporre che le componenti tangenziali di E siano nulle sulla guida metallica (se metallica ideale): questo garantisce l’unicità della soluzione

0222 zzt EkE

222ckk

z

Et

Tuttavia, basterà imporre che Ez sia nulla sulla guida per assicurarsi che tutte le componenti tangenti lo siano

Del resto possiamo ricavare una relazione semplice per avere le componenti tangenziali da E

Ovvero, vettorialmente

zxzyy

zyzxx

HjEk

E

HjEk

E

22

22

1

1

zyc

y

zxc

Ek

E

Ek

2

2

ztc

t Ek

2

E

Vediamo le proprietà della costante di propagazione: ricaviamola dalla definizione di kc

222ckk

222 kkc 22 kkc

Mentre k dipende dalla frequenza, kc dipende fondamentalmente dalle condizioni al contorno

Per frequenze basse, il termine sotto radice è positivo e la costante di propagazione REALE: ATTENUAZIONE

Ridefiniamo kc cck Così che la pulsazione c costituisca la pulsazione a cui =0

Posto su un grafico

2

1

cc f

fk

f( )

f

fc

Invece per >c

Posto su un grafico

2

1

f

fjkj c

f( )

k f( )

f

fc

k

Notate che per frequenze alte, la costante di propagazione si avvicina a quella della luce

La velocità di fase è, per definizione, il rapporto tra pulsazione e costante di propagazione

Al “taglio” diviene infinita, e decresce per frequenze maggiori

2

12

11

/

f

fv c

p

Quando la velocità di fase dipende dalla frequenza, il modo si definisce “dispersivo”. In particolare la dipendenza dalla frequenza decrescente si definisce “dispersione normale”

La velocità di gruppo è, per definizione, il rapporto tra le variazioni di pulsazione e costante di propagazione

Essa rappresenta la velocità dell’inviluppo di un pacchetto di onde

2

12

11

/

f

fddv c

g

Notiamo che il rapporto tra componenti ortogonali di campo elettrico e magnetico è

jH

E

H

E

x

y

y

x Quantità che definiamo

impedenza modale TM, così da poter scrivere

tzTM

t ZEuH

0

1

vp f( )

vg f( )

c

f

fc