Michael RüsingMichael Rüsing B. M. V. – Schule ... · Problemlösen im Mathematikunterricht (Problemlösen im weiteren Sinne) 1. Problem finden Schülerinnen und Schüler entdecken

Problemlösen im Mathematikunterricht

Michael RüsingMichael Rüsing

B. M. V. – Schule

Bardelebenstraße 9

45147 Essen

[email protected]

Voraussetzungen

• Problemlösen kann man nur durch Problemlösen lernen

• Problemlösen muss ein durchgehendes Prinzip im Mathematikunterricht sein

• Problemlösestrategien können in allen Gebieten der Mathematikerfahren und eingeübt werden

• Schulbuchaufgaben müssen Anlässe zum Problemlösen bieten

Klasse 6:- wenden die heuristischen Strategien „Beispiele finden“, „Überprüfen durch Probieren“, „Unterscheiden und Abarbeiten verschiedener Fälle“ an- übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Rechenoperationen, Terme, Gleichungen geometrische Darstellungen Diagramme)Gleichungen, geometrische Darstellungen, Diagramme)

Klasse 8:Klasse 8:- überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen

wenden die heuristischen Strategien Spezialfälle finden“ und- wenden die heuristischen Strategien „Spezialfälle finden“ und „Verallgemeinern“ an und variieren damit die Problemstellung- nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösungnutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung

Klasse 10:- zerlegen komplexe Probleme in Teilprobleme

- nutzen verschiedene heuristische Strategien („Zerlegen“, „Analogie bilden“, „Zurückführen auf Bekanntes“, „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“) und bewerten ihre Praktikabilität


(Problemlösen im weiteren Sinne)

1. Problem findenSchülerinnen und Schüler entdecken Probleme und Fragestellungen in inner wie außermathematischen KontextenFragestellungen in inner- wie außermathematischen Kontexten. Hierbei erfassen sie die Problemsituation genauer und bewerten, ob eine Frage interessant und verfolgenswert erscheint.

2. Problem lösen (Problemlösen im engeren Sinne)Schülerinnen und Schüler setzen ihre erworbenen Kompetenzen in neuer Weise oder in neuer Kombination ein, um ein selbst gesetztes oder vorgegebenes Ziel zu erreichen. Hierbei werden vorhandene Kompetenzen oder bekannte Begriffe zugleichvorhandene Kompetenzen oder bekannte Begriffe zugleich gefestigt und flexibilisiert.


(Problemlösen im weiteren Sinne)

3. Problem weiterentwickelnDie Suche nach einer Problemlösung führt auf neue oderDie Suche nach einer Problemlösung führt auf neue oder allgemeinere Ideen oder auf weiterführende Probleme. Hierbei entstehen neue mathematische Begriffe und Verfahren.g

aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

Warum Problemlösen?Warum Problemlösen?

• Durch Problemlösen wird Mathematik selbstständig entwickelt

• Probleme schaffen Anknüpfungspunkte für das Behalten und• Probleme schaffen Anknüpfungspunkte für das Behalten undErinnern

• Problemlösen ist SchlüsselkompetenzProblemlösen ist Schlüsselkompetenz

• Problemlösen vermittelt Erfolgserlebnisse (Aha-Erlebnisse)


Kriterien für gute ProblemeKriterien für gute Probleme

1. Ein Problem führt auf allgemeinere mathematische Ideen und macht übergreifende Zusammenhänge verständlich. Dabei macht es gegebenenfalls neue Begriffsbildungen nötigDabei macht es gegebenenfalls neue Begriffsbildungen nötig und zugleich einsichtig.

2 Ein Problem gibt Anlass zu divergentem Arbeiten und2. Ein Problem gibt Anlass zu divergentem Arbeiten und individuellen Erkundungen. Dabei sollte es vor allem unterschiedliche Ansätze –auch auf unterschiedlichem Niveau- erlauben.

Kriterien für gute ProblemeKriterien für gute Probleme

3. Ein Problem bietet einen (inner- oder außermathematischen) Kontext für ein mathematisches Konzept. Dabei sollte es vor allem leicht zugänglich sein die Problemsituation muss denallem leicht zugänglich sein, die Problemsituation muss den Lernenden unmittelbar verständlich sein.

4 Ein Problem besteht aus einer Situation in der Schülerinnen4. Ein Problem besteht aus einer Situation, in der Schülerinnen und Schüler erst die Strategie selbst entwickeln müssen. Dabei können sie aus vorhandenen Kenntnissen schöpfen und diese neu kombinieren.

aus Leuders T Mathematik Didaktik 2003aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003

Wie gestaltet man einen problemlösenden Unterricht?•••

• Schließlich müssen Schülerinnen und Schüler fortschreitend h ff kti P bl lö t t i d hilf i hauch effektive Problemlösestrategien und hilfreiche

Arbeitstechniken entwickeln. Diese können sukzessive im Unterricht angereichert und bewusst gemacht werden. g gInsbesondere muss man sie ermutigen, solche Strategien bewusst zu benutzen. Beispielsweise ist vielen Schülern keineswegs klar dass man in der Mathematik auch mitkeineswegs klar, dass man in der Mathematik auch mit Versuch und Irrtum und Spezialfällen arbeiten darf.

••••


Wie gestaltet man einen problemlösenden Unterricht?•••

• Schließlich müssen Schülerinnen und Schüler fortschreitend h ff kti P bl lö t t i d hilf i hauch effektive Problemlösestrategien und hilfreiche

Arbeitstechniken entwickeln. Diese können sukzessive im Unterricht angereichert und bewusst gemacht werden. g gInsbesondere muss man sie ermutigen, solche Strategien bewusst zu benutzen. Beispielsweise ist vielen Schülern keineswegs klar dass man in der Mathematik auch mitkeineswegs klar, dass man in der Mathematik auch mit Versuch und Irrtum und Spezialfällen arbeiten darf.

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Abgrenzung Problemlösen ModellierenAbgrenzung Problemlösen - Modellieren(so wie es die Kernlehrpläne in NRW verstehen)

Modellieren: Arbeiten in außermathematischen Kontexten

Problemlösen: Arbeiten in innermathematischenProblemlösen: Arbeiten in innermathematischen Situationen, nachdem das Modell aufgestellt worden ist

Heuristische Strategien sind

• niemals Selbstzweck• niemals Selbstzweck

• immer ein Angebot

• keine Garantie auf Erfolg

• nicht eindeutig der Aufgabe zuzuordnennicht eindeutig der Aufgabe zuzuordnen

• nur durch eigenes Handeln erlernbar

Aufgabenbeispiel

Ri S h d T i l i S i l Z A f ähl i d i

g p

Ria, Sarah und Tom spielen ein Spiel. Zu Anfang wählen sie drei ganze Zahlen a, b und c mit a > b > c > 0. Dann spielen sie mehrere Runden des Spiels; in jeder Runde gilt: Einer der drei wird ErsterRunden des Spiels; in jeder Runde gilt: Einer der drei wird Erster und bekommt a Punkte, ein anderer wird Zweiter und bekommt bPunkte, der dritte wird Letzter und bekommt c Punkte. Außerdem wird noch als bekannt vorausgesetzt:In der zweiten Runde hatte Sarah a Punkte bekommen.Der Endstand lautete: Ria 20 Punkte, Sarah 10 Punkte, Tom 9 Punkte.

a) Weise nach, dass genau drei Runden gespielt wurden.b) Wer gewann die erste Runde?c) Wie viele Punkte erzielte Tom in der letzten Runde?

LösungshinweiseLösungshinweise

Gesamtzahl der erreichten Punkte: 20 + 10 + 9 = 39Gesamtzahl der erreichten Punkte: 20 + 10 + 9 = 39

Zerlegung in ein Produkt (4 Möglichkeiten):

39 = 1 · 39 mehrere Runden

39 = 3 · 13

39 13 3

3 Runden zu je 13 Punkten

39 = 13 · 3

39 = 39 · 1mindestens 6 Punkte pro Runde


Zerlegung von 13 in drei Summanden

Mit einschränkenden Bedingungen:

• alle Summanden unterschiedlich

• alle Summanden größer 1

a > b > c

a > b > c > 0alle Summanden größer 1

• größter Summand 8 Sarah hat einmal gewonnen undgewonnen und insgesamt 10 Punkte


Systematische Darstellung in einer Tabelle

a 8

b 4

c 1c 1



a 8 8

b 4 3

c 1 2c 1 2



a 8 8 7 7 6 6

b 4 3 5 4 5 4

c 1 2 1 2 2 3c 1 2 1 2 2 3



a 8 8 7 7 6 6

b 4 3 5 4 5 4

c 1 2 1 2 2 3c 1 2 1 2 2 3

20 Punkte RiaProbe! 20 Punkte RiaProbe!

Lösungshinweise ProbeLösungshinweise Probe

Die einzige mögliche Lösung ist a = 8; b = 4; c = 1

Ria: 20 Punkte 20 = 8 + 8 + 4

Sarah: 10 Punkte 10 = a + d = 8 + 1 + 1

Tom: 9 Punkte 9 = 4 + 4 + 1

8 Punkte von Sarah in der zweiten Runde;somit hat Tom 4 Punkte in der dritten Runde

Zusammenstellung einiger ProblemlösestrategienZusammenstellung einiger Problemlösestrategien

Systematisches ProbierenSystematisches Probieren

Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten

Transformation in eine andere Darstellungsart

- Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelleg p

Mustererkennung

R d kti d S h i i k it dReduktion des Schwierigkeitsgrades

- Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe

Zerlegung in Teilprobleme

AnalogiebildungAnalogiebildung

Systematisches Probieren

Erfassen aller möglichen Fälle

und

Ausschließen der unmöglichen Fälle

ÜOhne Systematik verliert man leicht den Überblick.

Wurden wirklich alle Fälle betrachtet?

Anke, Bastian und Clemens haben an einem Wettbewerb teilgenommen. Dabei hat Anke mehr Punkte erzielt als die beiden anderen Kinder, und Clemens hat weniger Punkte erzielt l di b id d W di P kt hl d d ials die beiden andern. Wenn man die Punktzahlen der drei

Kinder miteinander multipliziert, ergibt sich das Produkt 120.

a) Wie viele Punkte können die Kinder erreicht haben? Gib alle Möglichkeiten an.

b) Es hat sich herausgestellt, dass der Punktabstand zwischen Anke und Bastian genau so groß ist wie der zwischen Bastian und Clemens. Gib alle Möglichkeiten der Punktverteilung an, für die dies zutrifft.

Mathematikolympiade Aufgabe 400521

C B A1 2 60

Abstand A-B Abstand B-C58 1

C B A1 2 60C B AC B A1 2 60C B A1 2 60C B A1 2 60



Abstand A-B Abstand B-C58 11 2 60

1 3 401 4 30

58 137 226 3

1 2 601 2 601 3 401 2 601 3 401 4 30

1 2 601 3 401 4 30

58 158 137 258 137 226 31 4 30

1 5 241 6 20

26 319 414 5

1 4 301 5 241 6 20

1 4 301 5 241 6 20

26 319 414 51 6 20

1 8 151 10 12

14 57 79 2

1 6 201 8 151 10 12

1 6 201 8 151 10 12

14 57 79 21 10 12

2 3 202 4 15

9 21 122 11

1 10 121 10 122 3 202 4 15

9 21 122 112 4 15

2 5 122 6 10

2 113 74 4

2 4 152 5 122 6 10

2 113 74 42 6 10

3 4 103 5 8

4 41 62 3

2 6 10 4 41 62 33 5 8

4 5 62 31 12 31 1

Strategie: Suche das Nachbarfeld mit der größeren ZahlStrategie: Suche das Nachbarfeld mit der größeren Zahl

Darstellung des Weges: • PolygonzugDarstellung des Weges: • Polygonzug• Codierung u-r-r-r-u-r-u

P bl d Ei d ti k it d LöProblem der Eindeutigkeit der Lösung

7 5 0 0 0 5 7 0 0 07 0 5 0 07 0 0 5 0

5 0 7 0 05 0 0 7 0

7 0 0 0 5 5 0 0 0 7

0 7 5 0 00 7 0 5 0

0 5 7 0 00 5 0 7 0

0 7 0 0 50 5 0 7 00 5 0 0 7

0 0 7 5 00 0 7 0 5

0 0 5 7 00 0 5 0 7

0 0 0 7 5

0 0 5 0 7

0 0 0 5 70 0 0 5 7

7 5 0 0 0 Strategie „Durchschieben“7 0 5 0 07 0 0 5 0

g4

7 5 0 0 07 0 0 0 5

0 7 5 0 00 7 0 5 00 7 0 0 5

0 0 7 5 00 0 7 0 5

0 0 0 7 5

7 5 0 0 0 Strategie „Durchschieben“7 0 5 0 07 0 0 5 0

g4

7 5 0 0 07 0 0 0 5

0 7 5 0 00 7 0 5 0 3

7 5 0 0 00 7 0 0 5

7 5 0 0 0

0 0 7 5 00 0 7 0 5 2

0 0 0 7 5 11

Ergänzende Problemstellung:

Wie viele unterschiedliche Wege gibt es von A nach E?

Ergänzende Problemstellung:

Wie viele unterschiedliche Wege gibt es von A nach E?

Wende die Strategie „Durchschieben“ an

7 Buchstaben: 4 x r und 3 x u

u u u r r r r 5 Positionenu r u u r r r 4 Positionen r u u u r r r 4+3+2+1 Posu r r u u r r 3 Positionenu r r r u u r 2 Positionen

r r u u u r r 3+2+1 Posr r r u u u r 2+1 Posu u u os o e

u r r r r u u 1 Positionu u u os

r r r r u u u 1 Pos

Aufgabe 1g

Peter erzählt seinen Freunden Paul, Kathrin und Maria von seinem letzten Sommerurlaub in Afrika: „Auf einem Safariausflug sah ich e e So e u ub : „ u e e S us ug s czuerst genau so viele Geier noch auf einem Baum sitzen wie schon von einem toten Tier fraßen. Nach einigen Minuten flogen 5 Geier von dem Baum zum Aas. Jetzt waren drei Mal so viele Vögel beim Aas wie oben noch auf dem Baum.“) P l D h d 6 G ia) Paul sagt: „Dann hast du 6 Geier am

Anfang auf dem Baum gesehen.“Nein“ sagt Maria Es waren 9 Geier“„Nein , sagt Maria. „Es waren 9 Geier .

Wer hat Recht?

b) Kathrin schlägt vor verschiedeneb) Kathrin schlägt vor, verschiedene Möglichkeiten auszuprobieren.Schreibe einige Möglichkeiten g gübersichtlich auf!

A b it i fü di S hül i d S hülArbeitsanweisung für die Schülerinnen und Schüler

Arbeitsform: GruppenarbeitGruppenmitglieder:Z itZeit:Zeitnehmer:Lautstärkenwächter:Lautstärkenwächter:Sprecher: alle Gruppenmitglieder müssen die Lösung erklären!

I. Phase der Gruppenarbeit: Bearbeitet die Aufgabe 1

Dauer 10 – 12 Minuten

II. Phase der GruppenarbeitII. Phase der Gruppenarbeit

Die „alte“ Gruppe wird aufgelöst und eine neue Gruppe gebildetgebildet.

In der neuen Gruppe sind alle Gruppenmitglieder neu!

Arbeitsform: GruppenarbeitArbeitsform: GruppenarbeitGruppenmitglieder:Zeit:Zeitnehmer:Lautstärkenwächter:Sprecher:Sprecher: Schreiber:

1. Erklärt euch gegenseitig, wie ihr vorhin in der ersten ( h ) id d

Arbeitsauftrag für die neu gebildeten Gruppen:

Gruppenzusammensetzung (Phase I) vorgegangen seid und zu welcher Lösung ihr gekommen seid!

2. Diskutiert, welches Verfahren zum Finden der Lösung am geeignetesten ist!

3. Beschreibt, wie man am besten aus eurer Sicht vorgehen sollte, um die Wahrheit herauszufinden! Notiert euer V f h f F li d Pl k !Verfahren auf Folie oder Plakat!

Dauer 20 Minuten einschließlich Dokumentation auf PlakatenDokumentation auf Plakaten

III. Phase der Gruppenarbeit: V t ll d G b i Ph IIVorstellen der Gruppenergebnisse aus Phase II

Aufgabe 2Aufgabe 2

Peter erzählt weiter: „ Es dauerte nicht lange, da kamen zu dem Aas zusätzlich noch Hyänen. Einige Geier flüchteten, doch es blieben auch

h l h I t h i h b i A dnoch welche. Insgesamt sah ich beim Aas dann 20 Tiere. Zusammen hatten sie 56 Beine.“

Wie viele Tiere von jeder Art stritten sich nun um das Aas?

Lö A f b 2Lösung zu Aufgabe 2

GeierHyänen

2 3 4 ... 10 11 1218 17 16 ... 10 9 82

182 3 4

18 17 162 3 4 ... 10

18 17 16 ... 10Beine 76 74 72 ... 60 58 567676 74 7276 74 72 ... 60

Aufgabe 3Aufgabe 3

Peters Bericht geht noch weiter. „Plötzlich bebte die Erde! Ich drehte mich erschrocken um und sah einen riesigen Elefanten!drehte mich erschrocken um und sah einen riesigen Elefanten!

Der Wildhüter beruhigte mich und erklärte mir, dass dieser Elefant ein guter alter Bekannter seidass dieser Elefant ein guter alter Bekannter sei.

Das Alter des Elefanten verriet er mir in Form i Rä leines Rätsels:

Wenn du von dem Alter des Elefanten 20 subtrahierst und das Ergebnis verdreifachst, so bekommst du eine Zahl zwischen 130 und 140, die durch 4 teilbar ist.“

Wie alt war der Elefant, den Peter gesehen hatte?

Lösung zu Aufgabe 3

Z hl13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

14Zahl 3

031

32

33

34

35

36

37

38

39

40

ilbteilbar durch 4

X X X

teilbar durch 3

X X X






Mustererkennung





Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

Übertragung in eine andere Darstellungg g g

(1) K > A; K > J

(2) K L F L(2) K > L; F > L

(3) F > N; F an Position 1; N an Position 2

F > N > K; die Reihenfolge von A, L und J ist unbestimmt



(1) K > A; K > J

(2) K L F L(2) K > L; F > L


Weitere Fragestellungen:

Welche Aussage war überflüssig?



(1) K > A; K > J

(2) K L F L F < L(2) K > L; F > L


F < L

Weitere Fragestellungen:

Ersetze (2) durch „Florian ist jünger als Leila.“

5. Stunde

Lehrling in einer Stunde

Arbeit am Vormittag

Maler in einer Stunde






Mustererkennung





n3 = 3² + 2 · 3

n3 = 3² + 2 · 3 n3 = 4² - 1

n100 = 100² + 2 ·100 n100 = 101² - 1

Ergänzung: Bestimme Umfang und Flächeninhalt der Figur im 100. Schritt

Flä h i h l 1 2 3 4Flächeninhalt: 1 2 3 4+1 +1 +1

Rechteckmuster mit Anfangswert 1 und Additionszahl 1

U f 4 6 8 10Umfang: 4 6 8 10+2 +2 +2

Rechteckmuster mit Anfangswert 4 und Additionszahl 2

Verschiedene Zählweisen für die 4. Figur 100. FigurVerschiedene Zählweisen für die 4. Figur

2 5

100. Figur

2 · 1012 · 5 2 101

2 · 4 + 2 2 · 100 + 2

5 · 2 101 · 2

Paradoxon des Zenon (Klasse 11)( )

Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/sGeschwindigkeit Schildkröte 5 m/sGeschwindigkeit Schildkröte 5 m/sVorsprung 10 m

Argumentations-schritt

Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte

Vorsprung

0 0 0 10 101 1 10 15 51 1 10 15 52 1,5 15 17,5 2,53 1,75 17,5 18,75 1,254 1 875 18 75 19 375 0 6254 1,875 18,75 19,375 0,625





Vorsprung

0 0 0 10 101 1 10 15 51 1 10 15 52 1,5 15 17,5 2,53 1,75 17,5 18,75 1,254 1 875 18 75 19 375 0 6254 1,875 18,75 19,375 0,625





Vorsprung

0 0 0 10 101 1 10 15 5= 10 · 11 1 10 15 52 1,5 15 17,5 2,5

10 1

= 10 · 1,5

3 1,75 17,5 18,75 1,254 1 875 18 75 19 375 0 625

= 10 · 1,75

= 10 · 1,8754 1,875 18,75 19,375 0,625,





Vorsprung

0 0 0 10 101 1 10 15 5= 10 · 1 12 −n1 1 10 15 52 1,5 15 17,5 2,5

10 1

= 10 · 1,5= 10 · 3/2 121210 −

−⋅ n

3 1,75 17,5 18,75 1,254 1 875 18 75 19 375 0 625

= 10 · 1,75= 10 · 7/4

= 10 · 1,875= 10 · 15/84 1,875 18,75 19,375 0,625,






Mustererkennung





Strategie „Rückwärtsarbeiten“

Was brauche ich, um die gesuchte Größe zu bestimmen?

Welches Teilziel muss ich zunächst erreicht haben?

ÜAnwendbar, wenn der Überblick über den einzuschlagenden Weg fehlt

Strategie „Rückwärtsarbeiten“

„Working Backwards is one of the oldest problem-solving strategiesoldest problem solving strategies, used since antiquity. The ancient Greeks used the method in construction problems. They assumed that an object is already constructed and they workedconstructed, and they worked backwards to the data, which were actually given.“actually given.

Arthur Engel, Problem-Solving Strategies

Raumdiagonale in einem QuaderRaumdiagonale in einem Quader

Was brauche ich, um die Länge der Raumdiagonalen zu bestimmen?

Wenn die Länge der Flächendiagonalen bekannt wäre, könnte die gesuchteRaumdiagonalen zu bestimmen? bekannt wäre, könnte die gesuchte Größe bestimmt werden.

Vorwärtsarbeiten kann in Rückwärtsarbeiten fragt:Sackgassen führen

153 =−+ zyx

Welches Zwischenziel soll erreicht werden?

172244153

=++=+−=+

zyxzyxzyx addiere

y

15 3 =−+ zyxZwischenziel:

2 Gleichungen mit 2 Variablen

1723 7

=++=−

zyxzx

y

addiere

2 Gleichungen mit 2 Variablen

Eliminiere y aus (1) und (3)

15 3 =−+ zyx

4 793 7

=+=−

yxzx leider unbrauchbar

E 6.4 Eine Klassenfahrt wird geplant

Die Klasse 6c will eine Wanderfahrt machen. Es soll ins 165 k tf t W ldb h h D t ll di 32km entfernte Waldbach gehen. Dort wollen die 32 Schülerinnen und Schüler mit zwei Begleitern 5 Tage lang in der Jugendherberge bleiben. An einem Tag ist dieder Jugendherberge bleiben. An einem Tag ist die Besichtigung der nahe gelegenen Burg ‚Schreckenstein’ mit einer Führung geplant.

Nun unterhalten sich die Schülerinnen und Schüler darüber, wie viel jeder einzelne bezahlen muss.j

Busse Reisen, 57823 Neustadt

Angebot

Auf Ihre Anfrage vom 13.5. machen wir folgendes Angebot:g

Bus mit 38 Plätzen Waldbach (165 km) hin und zurück zum Gesamtpreis von 800 €zum Gesamtpreis von 800 €.

Wir würden uns freuen, Ihre Klasse zu fahren.

Jugendherberge Waldbach

Wir danken für Ihre Anfrage und teilen Ihnen hiermit unsere Preise mit:

Tagessatz einschließlich Verpflegung 26,00 € pro Person.Bei Gruppen von mehr als 25 Personen gewähren wir zwei F i lätFreiplätze.

Wir freuen uns auf Ihren Aufenthalt in unserer Herberge

Burg Schreckenstein – die Attraktion von Waldbach

Öffnungszeiten täglich von 10.00 Uhr bis 18.00 Uhr

Eintritt: Kinder bis 14 Jahre 1 50 €Eintritt: Kinder bis 14 Jahre 1,50 €Jugendliche / Erwachsene 2,50 €Gruppen ab 10 Personen 1,20 € pro Person

Für Gruppen bieten wir qualifizierte Führungen zum historischen Hintergrund an. Preis für die gesamte Gruppe 40,00 €

a) Ergänze die unvollständigen Sprechblasen und setze das Gespräch fort.

b) Die 1. Sprechblase kann in die Sprache der Mathematik ) p pübersetzt werden:Einzelkosten = Gesamtkosten : Schülerzahl

c) Übersetze die weiteren Sprechblasen und auch deine Fortsetzung des Gespräches in die Sprache der Mathematik.

d) Vergleiche die Reihenfolge, in der du schließlich rechnen ) g g ,kannst mit der Reihenfolge des Sprechblasen.

e) Die gesamte Abfolge kann in einem Lösungsplane) Die gesamte Abfolge kann in einem Lösungsplan übersichtlich zusammengestellt werden. Der Anfang ist hier schon vorgemacht.g

Gesamtkosten : SchülerzahlEinzelkosten =Einzelkosten =

Gesamtkosten Fahrkosten +Gesamtkosten = Fahrkosten + +

= =

f) Welche Informationen aus den Angeboten werden zum Lösen der Aufgabe nicht benötigt?

E 6.14 Rückwärtsarbeiten

Aufgabe 1:

Einst wollte ein Kaufmann in einer fremden Stadt seine Waren verkaufen.Dazu brauchte er die Genehmigung des Bürgermeisters.

Um dorthin zu gelangen, musste er durch 5 Vorzimmer gehen. In jedemg g , g jVorzimmer erhielt er die Genehmigung, in das nächste Zimmer zu gehen.

Für jede Genehmigung musste er die Hälfte seiner Ware als Gebühr undj g gnoch 2 Stück dazu als Bestechungsgeld abgeben.

Als er schließlich beim Bürgermeister angelangt war, verlangte dieser einStück der Ware für die Verkaufserlaubnis. Als der Kaufmann auch diesesStück abgegeben hatte, musste er feststellen, dass er keine Ware mehrhatte und er musste wieder abreisenhatte, und er musste wieder abreisen.

Wie viele Stücke seiner Ware hatte er eigentlich in die Stadtmitgebracht?mitgebracht?

Tipp:

Versuche zuerst ohne Hilfe die Aufgabe zu lösen.

Wenn du nach einiger Zeit noch keine Idee hast, dann kannst duWenn du nach einiger Zeit noch keine Idee hast, dann kannst du dir beim Lehrer Tippkarten holen!

Tippkarte 1.1Veranschauliche zum Beispiel durch eine Skizze den in der Aufgabe beschriebenen Weg des Kaufmanns zum Bürgermeister!

Ti k t 1 2Tippkarte 1.2Spiele mit Hilfe der vorliegenden Warenkarten dieSpiele mit Hilfe der vorliegenden Warenkarten die Situation nach!

Tippkarte 1.3Tippkarte 1.3Am Ende beim Bürgermeister hatte der Kaufmann noch gein Stück seiner Ware.Überlege, wie viel er davon hatte, als er in das 5. Vorzim-g , ,mer, in das 4. Vorzimmer, in das 3. Vorzimmer usw. ging!

6

+2·2

A f b 2Aufgabe 2:

Drei Freunde haben Erdbeeren gepflückt. Nun sind sie müde und wollendi B d h lb t ä h t M l i h äßi t ildie Beeren deshalb erst am nächsten Morgen gleichmäßig verteilen.

In der Nacht wacht einer der Freunde auf. Er hat einen riesigen Hungerd i t i A t il d E db f D hläft tt i d iund isst seinen Anteil der Erdbeeren auf. Dann schläft er satt wieder ein.

Kurz danach wacht der zweite Freund auf. Auch er hat Hunger. Weil eraber nicht weiß dass bereits ein Anteil der Erdbeeren aufgegessenaber nicht weiß, dass bereits ein Anteil der Erdbeeren aufgegessenworden ist, isst er von den Erdbeeren, die noch da sind, ein Drittel.

Das gleiche geschieht auch mit dem dritten FreundDas gleiche geschieht auch mit dem dritten Freund.

Als alle am Morgen aufwachen und die Erdbeerenverteilen wollen sind noch 24 Erdbeeren daverteilen wollen, sind noch 24 Erdbeeren da.

Wie viele Erdbeeren hatten die Freunde eigentlich vorher gesammelt?

Tippkarte 2 1Tippkarte 2.1Denke an das Rückwärtsarbeiten!

i 2 2Tippkarte 2.2Überlege:Wie viele Erdbeeren waren noch vorhanden, als der 3. ,Freund anfing zu naschen?

Aufgabe 3:g

Das Spiel „Hundert gewinnt“ könnt ihr zu zweit spielen. Gespieltwird abwechselnd. Jeder Spieler, der an der Reihe ist, wählt einew d bwec se d. Jede Sp e e , de de e e s , w e eZahl zwischen 1 und 8 und nennt diese Zahl. Die Zahl wird dannzur Summe der bisher genannten Zahlen addiert. Es gewinntderjenige, der die Summe 100 erreicht.

Beispiel: In diesem Spiel spielen Eva und Udo gegeneinander:

Udo beginnt und nennt die Zahl 4.

E t di Z hl 3 Di S i t 7Eva nennt die Zahl 3. Die Summe ist 7.

Nun nennt Udo die Zahl 8. Die neue Summe ist 15.

Und so geht es weiter, bis einer auf die Summe 100kommt.

a) Spiele das Spiel mit deinem Nachbarn oder deiner Nachbarina) Spiele das Spiel mit deinem Nachbarn oder deiner Nachbarin.Achtet darauf, dass ihr die Zahlen, die genannt werden, und alleSummen genau aufschreibt.g

b) Manchmal kann man bereits vor dem Ende des Spiels erkennen,dass einer der Spieler gewinnen wird. Überlege, welche Summedass einer der Spieler gewinnen wird. Überlege, welche Summeman in seinem vorletztem Zug erreichen sollte, damit derGegenspieler nicht mehr gewinnen kann.

c) Wenn der Spieler, der die erste Zahl nennt, das richtig machtund danach keinen Fehler mehr macht, kann der andere Spieler, pnicht mehr gewinnen. Wie muss der erste Spieler vorgehen?

Vor ärtsarbeitenVorwärtsarbeiten

Was kann man aus den gegebenen Größen alles berechnen?

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• sinnlose Rechnungensinnlose Rechnungen

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Was kann man aus den gegebenen Größen alles berechnen?

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FazitFazit

In modernen Schulbüchern lassen sich Aufgaben zurIn modernen Schulbüchern lassen sich Aufgaben zur Problemlösekompetenz finden

In vielen dieser Aufgaben steckt weiteres Potential

Ergänzungen der vorgegebenen Aufgaben sind oft sinnvoll

Wi ü Bli k fü P bl lö f b hä fWir müssen unseren Blick für Problemlöseaufgaben schärfen

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Michael RüsingMichael Rüsing B. M. V. – Schule ... · Problemlösen im Mathematikunterricht (Problemlösen im weiteren Sinne) 1. Problem finden Schülerinnen und Schüler entdecken