Petre STANCIU

MIŞCAREA APEI PE VERSANŢI PERMEABILI

Consiliul Naţional al Cercetării

Ştiinţifice din Învăţământul Superior

C.N.C.S.I.S.

Contract de Grant nr. 25444/1999

Serie coordonată de : Radu DROBOT Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti

Jean Pierre CARBONNEL Université "Pierre et Marie Curie" Paris 6

Editura *H*G*A* , Bucureşti 2002

Petre STANCIU

MIŞCAREA APEI PE VERSANŢI PERMEABILI

C.N.C.S.I.S.

Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice

din Învăţământul Superior

Contract de Grant nr. 25444/ 1999

Serie coordonată de :

prof.dr.ing. Radu DROBOT Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti

dr. Jean Pierre CARBONNEL Université "Pierre et Marie Curie", Paris 6

Editura *H*G*A*, Bucureşti

2002

Cristina Sorana IONESCU

Universitatea Politehnica Bucuresti

Splaiul Independentei 313, cod 77206

e-mail: c r i s t i n a @ e e e e . u n e s c o . p u b . r o

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României STANCIU, PETRE Mişcarea apei pe versanţi permeabili / Petre Stanciu. – Bucureşti : Editura *H*G*A*, 2002 p. ; cm. – (Ingineria resurselor de apă) Bibliogr. ISBN 973-8176-08-5 624.131.5

Copyright © 2002. Editura *H*G*A*, Bucureşti

hga@opensys.ro

PREFATA

Teoria mişcării fluidelor prin medii poroase a cunoscut de-a lungul timpului o amplă dezvoltare, aducând contribuţii deosebite la fundamentarea cercetării şi proiectării din multiple domenii ale ştiinţei şi tehnicii. Cu peste 60 de ani în urmă, Robert Elmer Horton (1933) a fost primul cercetător care a elaborat în totalitate modelul clasic al hidrologiei versanţilor în termenii teoriei sale de infiltraţie a scurgerii: “suprafaţa solului permeabil acţionează ca un baraj sau o stavilă de vârf pentru ploaia cu intensitate variabilă, astfel că toată ploaia este absorbită pentru intensităţi care nu depăşesc capacitatea de infiltraţie, iar pentru excesul de ploaie există o rată constantă de absorbţie, atât timp cât capacitatea de infiltraţie rămâne neschimbată”. Acestă lucrare, Mişcarea apei pe versanţi permeabili, prezintă modele detaliate ale scurgerii apei pe versanţi şi în zona saturat-nesaturată, în ipoteze compatibile cu principiile hidrologiei versanţilor şi nu presupun aproximaţii care să le îndepărteze de procesul fizic al mişcării.

Lucrarea, structurată în trei capitole, pune la îndemâna celor interesaţi o serie de cunoştinţe de bază privind procesul fizic al scurgerii pe versanţi, modelarea tridimensională a scurgerii de subsuprafaţă, modelele de infiltraţie şi absorbţie a apei în sol şi modelele matematice ale scurgerii pe versanţi permeabili. Integrarea modelelor de scurgere pe versanţi în modelele bazinului hidrografic facilitează extrapolarea modelării pentru alte condiţii şi extensia pentru bazine fără date hidrologice sistematice. Prezentarea limitărilor modelării matematice a proceselor hidrologice de pe versanţi constituie un ghid pentru direcţionarea cercetărilor în acest domeniu. Din aceste considerente îmi exprim convingerea că această lucrare va stimula interesul cercetătorilor, doctoranzilor şi studenţilor pentru aprofundarea modelării scurgerii apei pe versanţi permeabili şi pe baza acesteia să se realizeze modelul hidrologic fizic fundamentat al scurgerii pe bazin. Menţionez că acestă lucrare a putut fi editată cu sprijinul financiar şi ştiinţific al profesorului doctor inginer Radu Drobot de la Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti, căruia îi mulţumesc atât pentru îndrumările preţioase, cât şi pentru îndemnul de a publica acest material.

Autorul

C U P R I N S

1. DESCRIEREA PROCESULUI SCURGERII PE VERSANŢI …..…….. 7

1.1. Procesul fizic al scurgerii pe versanţi …..……………………… 8

1.2. Modalităţi de cercetare a scurgerii pe versanţi ……………… 11

1.2.1. Cuantificarea scurgerii de pe versant ………………………… 12

1.2.2. Teste de laborator cu scurgere uniformă ……………………. 28

1.2.3. Teste de laborator cu ploaie simulată ……………………….. 34

1.2.4. Cercetarea in situ a scurgerii de pe versant …………….. 41 1.2.5. Modelarea matematică a procesului scurgerii pe versanţi permeabili ………………………………………….

46

2. MODELUL MATEMATIC AL SCURGERII DE SUBSUPRAFAŢĂ …. 51

2.1. Modelul tridimensional al scurgerii de subsuprafaţă ………. 54

2.1.1. Domeniul scurgerii ……………………………………………… 55

2.1.2. Ecuaţiile de mişcare …………………………………………… 56

2.1.3. Condiţiile la limită ………………………………………………… 68

2.1.4. Condiţiile iniţiale ………………………………………………… 69

2.1.5. Parametrii solului ………………………………………………… 70

2.1.6. Rezolvarea numerică a ecuaţiei de mişcare ………………… 75

2.1.7. Testarea modelului pe parcele de scurgere ………………… 81

2.2. Modele de infiltraţie şi absorbţie a apei în sol ………………. 90

2.2.1. Modele de infiltraţie …………………………………………….. 91

2.2.2. Modele de absorbţie a apei în sol ………………………………102

3. MODELE MATEMATICE ALE SCURGERII PE VERSANŢI PERMEABILI ………………………………………………………………

115

3.1. Modelul scurgerii pe versanţi în prezenţa stratului intermediar poros .. ……………………………………

116

3.1.1. Ecuaţia de mişcare în stratul intermediar poros ………………116

3.1.2. Ecuaţia de mişcare pe suprafaţa versantului …………………128

5

3.1.3. Modelul convergent distribuit cu parametrul α variabil ………131

3.1.4. Aplicarea modelului pentru bazine naturale ………………… 142

3.2. Modelul unidimensional de tip fiziografic .. ………………….. 146

3.2.1. Ecuaţiile modelului ……………………………………………… 148

3.2.2. Testarea modelului pe versant şi bazine mici …………………149

3.3. Modelul hidrodinamic complex al scurgerii pe versanţi …… 155

3.3.1. Ecuaţiile modelului …………………………………………….. 156

3.3.2. Rezolvarea numerică a ecuaţiei modelului ………………….. 159

3.3.3. Aplicarea modelului ……………………………………………. 160

3.4. Modelul bidimensional al scurgerii de suprafaţă pe versanţi permeabili ………………………………………………

164

3.4.1. Deducerea sistemului de ecuaţii şi algoritmul de rezolvare numerică………………………………………….

166

3.4.2. Prelucrarea datelor de intrare pe baza schematizării bazinului hidrografic ……………………………………………

184

3.4.3. Aplicarea modelului pentru un bazin hidrografic ………………188

4. CONCLUZII ………………………………………………………………… 193

BIBLIOGRAFIE ………………………………………………………………… 201

6

1

DESCRIEREA PROCESULUI SCURGERII

PE VERSANŢI

În general, procesul ploaie - scurgere este considerat ca un set de procese fizice ale mişcării apei în natură, care transformă variabilele de intrare în variabile de ieşire. Formele în care poate să apară apa în natură sunt prezentate în figura 1.1, care ilustrează conceptul modern al ciclului hidrologic global. Dreptunghiurile din figură exprimă diferitele forme de acumulare a apei: în atmosferă, pe suprafaţa solului, în zona de sol nesaturat, în subteran, în reţeaua de râuri care drenează bazinul sau în oceane.

Figura 1.1. Schema bloc a ciclului hidrologic.

Pe figură, diferitele procese hidrologice sunt reprezentate prin săgeţi. Astfel apa precipitabilă ( ) din atmosferă poate fi transformată prin precipitaţia (iW P )

7

în apa acumulată pe suprafaţa solului. În sens invers apa poate fi transferată de la suprafaţa solului prin evaporaţie ( E ) sau din solul nesaturat prin transpiraţie, în atmosferă. O parte din apa de pe suprafaţa bazinului se va infiltra în solul nesaturat ( F ), iar cealaltă parte, ca scurgere de pe versant ( ), va ajunge în reţeaua hidrografică. În timpul precipitaţiilor, dacă deficitul de umiditate este satisfăcut, se va produce fie încărcarea acviferului (

0Q

R ), fie formarea scurgerii de subsuprafaţă (hipodermică) ( ) care, traversând solul, va ajunge în reţeaua de drenaj. Volumul de apă subterană este diminuat prin scurgerea subterană ( ) care ajunge şi ea în râu, alimentându-l în perioadele secetoase. În timpul secetelor prelungite, umiditatea solului poate fi refăcută prin alimentare din apele subterane, prin fenomenul de capilaritate ( C ), care va compensa o parte din pierderile prin evapotranspiraţie. În final scurgerea de pe versant ( ), scurgerea hipodermică ( ) şi scurgerea subterană ( ) se vor combina şi modifica, prin albie, obţinându-se scurgerea ( ) din bazinul pentru care se calculează bilanţul hidrologic.

iQ

sQ

0Q

iQ sQ

RO

Simularea întregului ciclu hidrologic sau a unor componente ale acestuia se realizează printr-o gamă variată de modele matematice. Deoarece nu există un model universal care să furnizeze soluţia pentru toate problemele, alegerea unui model sau a altuia într-o situaţie dată este foarte dificilă. În general se aleg modele care descriu cel mai bine procesul fizic al mişcării apei în diferitele faze ale ciclului hidrologic, verifică optim volumul de date disponibile pentru care există o procedură sistematică de selecţie şi verificare. Acest capitol prezintă o scurtă descriere a caracteristicilor fizice ale hidraulicii scurgerii pe versant.

1.1. PROCESUL FIZIC AL SCURGERII PE VERSANŢI

Termenul de versant, în sensul care i se atribuie în geomorfologie, desemnează un mic element sau o zonă a suprafeţei terestre înclinată faţă de orizontală, cuprinsă între culmi şi fundul văilor. Aceste forme de relief asigură scurgerea apei sub influenţa gravitaţiei, în cadrul unor sisteme de drenare care converg spre albiile apelor curgătoare; acestea, la rândul lor, duc apa şi fragmentele de rocă spre oceane, completând astfel ciclul natural al mişcării apei.

Deplasarea apei pe pante, în pelicule, pânze sau rigole cu extinderi mai mari sau mai mici, se numeşte scurgere pe versant, deosebindu-se de scurgerea prin albie, în cadrul căreia apa ocupă un canal limitat de maluri laterale.

În cadrul acestei definiţii largi, curgerea pe versanţi poate lua numeroase forme: scurgere în pânză (lamelară) - dacă suprafaţa solului sau a rocii este foarte netedă sau sub formă de pârâiaşe, care leagă între ele diverse zone

8

umplute cu apă, dacă terenul este accidentat. Pe versanţii înierbaţi, apa care se scurge formează numeroase fire subţiri, care trec printre tulpinile plantelor relativ greu de observat chiar şi în timpul ploilor abundente şi de lungă durată. Pe versanţii masiv împăduriţi, cu un strat gros de frunze şi ramuri în descompunere, scurgerea poate rămâne aproape complet ascunsă sub acest strat.

O poziţie intermediară între scurgerea pe versant şi scurgerea prin albie o ocupă scurgerea în rigole, şanţuri puţin adânci, care fragmentează pantele dealurilor cu un sistem de brazde lungi, paralele. În unele cazuri, aceste rigole apar ca simple formaţiuni sezoniere, ce iau naştere în perioadele cu ploi torenţiale din timpul primăverii şi verii, dar care dispar iarna, când îngheţul provoacă umflarea solului. Rigolele pot apărea totuşi şi sub forma unor şanţuri permanente în regiunile despădurite, sau unde s-au practicat lucrări agricole neraţionale, în care caz evoluează - prin adâncirea fragmentării - către cursuri permanente de apă. Teoretic, se consideră că suprafaţa versanţilor nu are un sistem de canale bine dezvoltate.

În figura 1.2 sunt prezentate fazele succesive ale formării scurgerii pe suprafaţa terenului.

Figura 1.2. Procesele fazei terestre a ciclului hidrologic.

9

Dacă versantul prezintă o vegetaţie bogată, de exemplu pădure, o mare parte din cantitatea de apă este la început reţinută sub formă de picături pe frunze şi tulpini. Acest proces se numeşte intercepţie; apa reţinută în acest mod poate reveni în atmosferă prin evaporare.

Cantitatea de apă care ajunge pe sol va fi absorbită prin infiltraţie, până când valoarea intensităţii ploii va depăşi intensitatea infiltraţiei. Surplusul de apă rezultat se va acumula la suprafaţă, în mici lacuri şi băltoace care ocupă depresiunile naturale ale terenului sau sunt reţinute în spatele unor mici baraje formate din frunze şi ramuri, aluviuni etc. Acumularea apei în aceste mici bazine de retenţie naturale se numeşte retenţie la suprafaţă.

Dacă ploaia continuă cu o intensitate mai mare, apa începe să se reverse dintr-un loc în altul, transformându-se în scurgere difuză (fig. 1.3). Pe măsura creşterii lungimii versantului, grosimea stratului scurs tinde să crească, producând la baza versantului şuvoaie late, puţin adânci, răspândite pe tot versantul. Cu alte cuvinte, se va forma o curgere în pânză (lamelară).

La baza versantului, scurgerea de suprafaţă fie întâlneşte albia unui râu sau un lac, fie se va infiltra, dacă întâlneşte un strat foarte permeabil de nisip, pietriş sau material provenit de pe versanţi.

Adâncimea curgerii de pe versant, de obicei este mică, iar volumul de apă care acoperă ca o pânză suprafaţa terenului este relativ mare. Acest volum de apă este cunoscut în literatura de specialitate sub denumirea de reţinere (acumulare) de suprafaţă. Intensitatea scurgerii de pe versant variază pe toată suprafaţa, datorită variaţiei în pantă, lungimii şi rugozităţii suprafeţei terenului, precum şi variaţiei areale a capacităţii de infiltrare.

Figura 1.3. Exemplu de scurgere difuză (şiroire).

10

Infiltraţia definită ca mişcarea apei prin suprafaţa versantului în profilul de sol sub influenţa gravitaţiei sau capilarităţii provine din această retenţie de suprafaţă corespunzătoare fiecărui interval de timp de la apariţia acesteia.

Procesul de curgere pe versant poate afecta forma hidrografului datorită interacţiunii cu procesul de infiltraţie şi prin proprietăţile de atenuare ale suprafeţei terenului.

1.2. MODALITĂŢI DE CERCETARE A SCURGERII PE VERSANŢI Variabilele prezente în descrierea curgerii pe versanţi, în contrast cu cele folosite în descrierea curgerii în canale sau râuri, sunt mult mai greu de definit în mod precis, iar folosirea unei proceduri hidraulice simple pentru calculul curgerii şi caracteristicilor ei este însoţită de multe dificultăţi. Curgerea pe versant este atât nepermanent, cât şi spaţial variată, deoarece se formează şi se amplifică din cauza ploii şi se diminuează prin infiltraţie, fiecare dintre ele fiind constante în raport cu timpul şi poziţia în plan. Curgerea poate fi ori laminară sau turbulentă ori o combinaţie de aceste două condiţii. Adâncimile de curgere pot fi sub sau peste pragul critic sau se pot schimba din subcritice în supracritice. Faţă de aceste condiţii curgerea poate deveni nestabilă ori poate conduce la formarea de unde de rostogolire sau unde de ploaie - cum mai sunt numite. Acţiunea impactului picăturilor de apă asupra pânzei de apă în mişcare complică şi mai mult problema curgerii pe versant. Pe o suprafaţă plană de genul celor pavate, sau în canale din laborator, lama de apă de-a lungul direcţiei de curgere are mici variaţii în adâncime, iar pentru versanţii naturali este posibil ca mare parte a suprafeţei să se constituie ca suprafaţă de reţinere a apei în timpul curgerii pe versant. Totuşi, iregularităţile topografice care apar pe versant sunt suficiente pentru a direcţiona cea mai mare parte a stratului de apă într-o curgere laterală concentrată. Concentrarea masei de apă de-a lungul versantului conduce la apariţia curgerii pe toată suprafaţa, reprezentată printr-o împletitură de canale. Concentrările laterale ale curgerii sunt cele care cauzează formarea rigolelor şi a ravenelor. În funcţie de lungimea versantului pentru cele mai multe curgeri, numărul Reynolds, în mod normal rămâne în regimul considerat ca mişcare laminară, ceea ce în realitate nu este adevărat datorită perturbaţiilor produse de căderea picăturilor de ploaie şi influenţei iregularităţilor topografice. Valoarea numărului Reynolds (care indică condiţia limită de diferenţiere a curgerii laminare de curgerea turbulentă) după Vennard este de . 500=eR

Caracteristicile hidraulice ale mişcării pe versanţi sunt dependente de foarte mulţi factori, care includ intensitatea şi durata precipitaţiilor (topirea zăpezii şi a gheţii), textura şi tipul de sol - reflectate prin capacitatea de infiltraţie, condiţia de umiditate iniţiala, densitatea şi tipul de vegetaţie şi topografia viitoare care

11

includ numărul şi partea din suprafaţă acoperită cu depresiuni şi ridicături, panta de înclinare şi lungimea versantului. Caracteristicile geomorfometrice sau capabilităţile scurgerii de pe versant ca agent al peisajului sunt în general dependente de caracteristicile hidraulice; o descriere simplă a hidraulicii scurgerii de pe versanţii naturali nu este posibilă, deoarece parametrii hidraulici variază rapid în timp şi spaţiu. Din aceste considerente este necesară efectuarea de observaţii detaliate asupra scurgerii de pe versant în mai multe puncte şi utilizarea acestora pentru obţinerea parametrilor hidraulici ai scurgerii. De asemenea, experimentările în laborator sunt necesare pentru cunoaşterea efectelor fiecărei variabile asupra procesului scurgerii, în vederea depistării dificultăţilor de transfer direct pentru cazurile din teren. Odată cu dezvoltarea modelării matematice a procesului de scurgere pe versanţi a fost posibilă şi dezvoltarea bazei de date referitoare la scurgerea pe versanţi. Observaţiile în timp real sunt necesare nu numai pentru obţinerea de informaţii de intrare corecte în modelele matematice, ci şi pentru verificarea unor concepte teoretice. În capitolele următoare se va prezenta tratarea matematică a procesului de scurgere pe versant, într-o concepţie bazată pe informaţiile obţinute în urma activităţilor experimentale efectuate în poligoane special amemajate pentru studiul caracteristicilor fizice ale hidraulicii scurgerii de pe versanţi.

1.2.1. CUANTIFICAREA SCURGERII DE PE VERSANT

Scurgerea de pe versant, definită ca deplasarea apei pe suprafaţa solului, cunoscută şi sub denumirea de scurgere în pânză datorită grosimii foarte mici a stratului de apă, apare probabil în orice bazin hidrografic, dar la scări diferite. Fie că scurgerea este destul de extinsă sau lungimea de scurgere destul de mare pentru a fi morfologic sau hidrologic semnificativă, trebuie să fie determinată lungimea versantului pentru care poate să apară scurgerea. Una dintre metodele de estimare a lungimii medii a scurgerii de pe versant a fost propusă de Horton (1945):

d

v DL

2

1= ( în metri), (1.1) vL

unde dD este densitatea de drenaj definită astfel:

F

LD r

d∑

= (1.2)

12

în care este suma lungimilor cursurilor de apă bine dezvoltate în km, iar F

este suprafaţa de drenaj a bazinului hidrografic (în

∑ rL2km ).

Cercetările experimentale efectuate în bazinul hidrografic înierbat, cu suprafaţa de 0,83 , administrat de Stillwater Hydraulics Laboratory din Oklahoma pe baza fotografiilor aeriene au condus la o valoare de 28 m pentru lungimea de versant pe care poate să apară scurgere, valoare comparabilă cu valoarea de 22 m, obţinută de Izzard (1946) prin cercetări în laborator.

2km

În activitatea practică de calcule hidrologice se folosesc şi următoarele formule:

− pentru suprafeţe cu mai multe talveguri:

∑

=r

v L

FL

8,1

1000 ; (1.3)

− pentru suprafeţe cu doi versanţi şi un singur talveg (unde L este

lungimea talvegului măsurată în km);

L

FLv

500= ; (1.4)

− pentru suprafeţe cu un singur versant:

L

FLv

1000= . (1.5)

Pentru scurgerea pe versanţi naturali, Horton (1945) a postulat existenţa unei condiţii de scurgere mixtă, adică suprafeţele cu scurgere turbulentă sunt presărate cu suprafeţe pe care au loc scurgeri laminare. Adâncimea de scurgere pentru condiţiile de stare permanentă poate fi determinată folosind formula pentru mişcări cu suprafaţa liberă în canale. Pentru scurgerea turbulentă, adâncimea poate fi determinată prin combinarea ecuaţiei de continuitate:

VDq ⋅= , (1.6) cu ecuaţia Manning:

50,067,01SD

nV = , (1.7)

unde:

q este debitul pe unitatea de lăţime ( /m); /sm3

13

D - adâncimea medie (m); V - viteza medie (m/s); n - coeficientul de rezistenţă Manning; S - gradientul pantei (m/m).

În toate calculele, adâncimea medie este presupusă a fi echivalentul razei hidraulice deoarece secţiunea transversală a scurgerii de pe versant este foarte întinsă şi puţin adâncă. Combinând ecuaţiile se obţine:

67,15,01DS

nq = (1.8)

sau:

67,11 DKq = ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 5,0

11

Sn

K , (1.9)

iar pentru adâncime:

60,0

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

K

qD . (1.10)

Pentru scurgerea laminară adâncimea se poate determina cu o formă a formulei Poiseuille:

ν⋅⋅

=3

3DSgq , (1.11)

unde g este acceleraţia gravitaţională (9,81 ), iar 2m/s ν este vâscozitatea cinematică ( /s). 2m Formula (1.11) mai poate fi scrisă sub următoarele forme:

(1.12) 32 DKq ⋅=

sau:

33,0

2⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

K

qD . (1.13)

Deci, adâncimea D, atât pentru curgerea turbulentă, cât şi pentru curgerea laminară, se poate exprima sub forma:

14

, (1.14) MDKq ⋅= unde M este exponent pentru adâncime şi reflectă în parte gradul de turbulenţă.

Valoarea lui M este de 1,67 pentru curgerea turbulentă şi de 3 pentru curgerea laminară. În acest fel la creşteri ale debitului, creşterile în adâncime sunt mult mai rapide în mişcarea turbulentă decât în cea laminară. Pentru scurgerea mixtă care apare în natură, conform postulatelor lui Horton, valorile lui M vor fi cuprinse între cele două valori extreme 1,67 şi 3.

Adâncimea de scurgere calculată cu ecuaţiile (1.10) şi (1.13) este adâncimea într-un punct selectat de-a lungul versantului sau pentru o valoare de debit fixată. Pentru diferite debite, pentru descrierea variaţiilor in adâncime poate fi folosită o procedură analogă cu cea folosită pentru descrierea geometriei hidraulice a cursurilor de apă introdusă de Leopold şi Maddock (1953). Deoarece temperatura apei (şi deci valorile pentru vâscozitatea apei) este variabilă, în analiza datelor numărul Reynolds a fost în general substituit debitului fiind definit astfel:

eR

ν

=VD

Re4

. (1.15)

Folosirea numărului Reynolds este convenabilă pentru vizualizarea naturii scurgerii (laminară sau turbulentă). Trebuie subliniat faptul că mulţi autori folosesc ecuaţia (1.15) fără constanta 4. Din această cauză, valorile numărului Reynolds folosite în acest capitol pot fi diferite de valorile utilizate în alte lucrări. Pentru scurgerea uniformă, analiza scurgerii de pe versant este similară cu scurgerea într-o secţiune de râu, deoarece adâncimile sunt constante de-a lungul pantei. Considerând aportul din ploaie prin suprafaţa liberă, deci creşterea debitului spre baza versantului, metodologia de analiză este similară cu hidraulica scurgerii din albie cu aport lateral. În acest caz modelul folosit într-o secţiune de râu poate fi dezvoltat şi pentru versant, considerând că datele sunt disponibile la baza versantului. Suprafaţa bazinului hidrografic este un sistem fizic foarte complicat cu intrări stohastice. Totuşi, dacă sunt cunoscute caracteristicile fizice ale sistemului (starea iniţială şi input-urile) răspunsul sistemului este determinist într-un grad foarte mare. Elementul de bază al scurgerii directe de pe suprafaţa bazinului, este suprafaţa cu scurgere superficială (scurgerea de pe versant) care se drenează în cursul de apă ca aport lateral. Scurgerea de pe versant este originară din acumularea de apă în depresiunile suprafeţei care apare atunci când intensitatea ploii sau a topirii de zăpadă

15

depăşeşte capacitatea de infiltraţie a suprafeţei solului. Scurgerea de pe versant este generată de excesul forţelor gravitaţionale care depăşesc forţele dezvoltate de iregularităţile suprafeţei şi tensiunile de suprafaţă. Această scurgere începe ca o scurgere în pânza subţire, în continuare se canalizează în mici canale care merg unul în altul i astfel se formează domeniul scurgerii. De obicei acest concept este folosit centru interpretarea fizică a simulării scurgerii de pe versant prin intermediul unor rezervoare liniare sau canale liniare.

1.2.2.1. Ecuaţiile mişcării într-un canal trapezoidal cu aport lateral. Scurgerea directă de pe bazin poate fi modelată matematic considerând conservarea masei şi momentului aplicate unui volum de control fixat în spaţiul iniţial (fig. 1.4). Ecuaţia de continuitate pentru scurgerea incompresibilă este:

∫∫∫∫∫ ∂

∂−=

VS

dvt

dAVr

, (1.16)

iar ecuaţia momentului pentru un flux care traversează volumul de control V finit în spaţiul iniţial este:

( ) (∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅ρ∂

∂+⋅⋅ρ=⋅ρ+

VSVS dvV

tdAVVdvBF

rrrrr ), (1.17)

unde:

S este suprafaţa exterioară a volumului de control; V - volumul de control; rV - vectorul vitezei; dA - elementul de suprafaţă; dv - elementul de volum; rFS - vectorul care reprezintă suma forţelor superficiale care acţionează asupra elementului de volum; rB - vectorul care reprezintă suma tuturor forţelor masice; ρ - densitatea fluidului.

În continuare se va analiza scurgerea bidimensională într-un canal prismatic pentru care volumul particular de control este prezentat în figura 1.4. Deducerea ecuaţiilor se va face în următoarele ipoteze:

− viteza scurgerii de suprafaţă este variabilă cu adâncimea; − vectorii vitezelor sunt paraleli cu fundul canalului; − viteza medie în oricare din secţiuni se calculează cu formula:

16

( )∫∫

∫∫=θ−θ=

S

S

dA

VdA

kiVV sincosr

, (1.18)

unde i şi k sunt vectorii unitate în direcţiile x, respectiv z, iar este unghiul pe care îl face fundul canalului cu orizontala;

θ

− distribuţia presiunii este liniară cu adâncimea; − scurgerea de suprafaţă are loc pe o suprafaţă de lăţime infinită şi poate fi

considerată bidimensională (2D).

În aceste condiţii ecuaţiile mişcării vor fi formulate în termenul de viteză medie iar presiunea (a cărei distribuţie este prezentată în fig. 1.5) este împărţită într-o componentă hidrostatică şi componenta suprapresiunii în exces care este cauzată de fluxul momentului în direcţie verticală.

Figura 1.4. Reprezentarea scurgerii de suprafaţă şi a volumului de control.

Figura 1.5. Distribuţia presiunilor.

17

1.2.1.2. Ecuaţia de continuitate. Conform notaţiilor din figura 1.4 suprafaţa secţiunii de scurgere în direcţia x se poate scrie:

( ) yyb ⋅⋅δ+=ω , (1.19) unde:

b este baza mică a trapezului, yb ⋅δ+ - baza mare a trapezului,

y - adâncimea de scurgere,

α=δ tg .

Fluxul de intrare în elementul de volum în direcţia x se calculează cu formula:

1ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂

∂+−ω⋅= x

x

vvvEx , (1.20)

unde se calculează cu formula (1.19), iar ϖ 1ϖ cu formula:

( ) 221 yyb ⋅δ+=ω , (1.21)

iar cu formula: 2y

xxyyy ∆∂∂

+=2 , (1.22)

unde y şi au semnificaţia din figura 1.4. x∆ Pentru a defini schimbarea în masa fluidului în direcţia x se foloseşte derivata parţială (Leibnitz), iar interpretarea fizică a acestei proceduri este prezentată în figura 1.6. Înlocuind în ecuaţia (1.20) formulele (1.21) şi (1.22) se obţine următoarea expresie:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂

∂+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂

∂+⋅δ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂

∂+−⋅δ+= x

x

yyx

x

yybx

x

VvyybVEx )( (1.23)

sau:

( ) ( )

( ) ( ) ( )32

22

2

2

xx

y

x

Vx

x

yV

x

y

x

Vyb

xx

Vybyx

x

yybVEx

∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂δ−∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂δ⋅+

∂

∂

∂

∂⋅δ+−

−∆∂

∂⋅δ+−∆

∂

∂⋅δ+−=

(1.24)

18

V B B M M

dxxvMN∂∂

=

A N MNBN

dx=

→0lim

dx x

Figura 1.6. Variaţia în viteza scurgerii în direcţia x.

Deoarece este mic, putem neglija termenii care conţin pe ,

respectiv

x∆ ( )2x∆

( )3x∆ ; se obţine expresia fluxului de intrare în direcţia x:

( ) ( ) xx

Vybyx

x

yybVEx ∆

∂

∂⋅δ+−∆

∂

∂⋅δ+−= 2 . (1.25)

Fluxul de intrare în elementul de volum în direcţia z se calculează cu

formula:

( )

2

22

)(⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂

∂+δ++⋅δ+

⋅∆⋅−=

xx

yybyb

xfiEy (1.26)

sau neglijând termenul în cu formula: ( )2x∆

( ) ( ) xybfiEy ∆⋅⋅δ+⋅−= 2 , (1.27)

unde i este intensitatea ploii exprimată ca volum pe unitatea de timp şi unitatea de suprafaţa, iar f reprezintă rata infiltraţiei exprimată ca volum pe unitatea de timp şi unitatea de suprafaţă.

19

Afluxul lateral datorat debitului lateral ( ) exprimat ca volum în unitatea de timp şi unitatea de lungime se calculează cu formula:

Lq

xqE LL ∆⋅= 2 . (1.28)

Variaţia în timp a volumului de lichid din elementul de control se calculează cu formula:

( )[ ]θ

⋅∆⋅δ+∂

∂=

∂

∂∫∫∫ cos

1xyyb

tdV

tV

, (1.29)

iar suma volumelor de intrare în elementul de control cu formula:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .222

22

)2(

xqybfix

Vyby

x

yybV

xqxybfi

xx

Vybyx

x

yybV

EEEVdA

L

L

SLyx

∆⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+δ+−+

δ

δδ+−

∂

∂δ+−=

=∆⋅+∆⋅⋅δ+⋅−+

+∆∂

∂⋅δ+−∆

∂

∂⋅δ+−=

=++=∫∫

(1.30)

Conform ecuaţiilor (1.29) şi (1.30), ecuaţia de continuitate se scrie:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) Lqybfi

x

Vyby

x

yybVyyb

t

22

2cos

1

+⋅δ+−+

+∂

∂⋅δ+−

∂

∂⋅δ+−=

θ⋅δ+

∂

∂

(1.31)

sau:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) .22

2cos

1

Lqybfi

x

Vyby

x

yybVyyb

t

+⋅δ+−=

=∂

∂⋅δ++

∂

∂⋅δ++

θ⋅δ+

∂

∂

(1.32)

20

1.2.1.3. Ecuaţia momentului. Conform legii a doua a lui Newton pentru mişcarea fluidelor, schimbarea în unitatea de timp a momentului unui volum de apă dintr-un canal este egală cu rezultanta tuturor forţelor interioare şi exterioare care acţionează asupra volumului de apă.

În cazul prezentat forţele exterioare (forţele superficiale) care acţionează asupra volumului de control se calculează astfel: SF

fS FGPPFrrrr

−+−= 21 , (1.33)

unde:

1Pr

şi 2Pr

sunt vectorii presiune care acţionează pe suprafeţele secţiunilor 1 şi 2; Gr

este greutatea fluidului cuprinsă în volumul de control;

fFr

- forţa externă totală de frecare şi rezistenţă care acţionează

de-a lungul suprafeţei de contact dintre fluid şi pereţii canalului.

Greutatea fluidului se calculează cu formula:

( ) ( )[ ] xybykybyiG ∆θ⋅δ+⋅γ⋅+θ⋅δ+⋅γ⋅= cossinrrr

, (1.34)

unde:

( )yby ⋅δ+ este suprafaţa medie a sectorului de control; ∆x - lungimea acestui sector; i şi k - vectorii unitate în direcţia x , respectiv z.

Forţa de frecare fFr

se calculează astfel:

zf

xff FkFiF

rrr+= , (1.35)

unde:

xybxyxbFxf ∆⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ++τ−=∆δ+τ−∆⋅τ−= 2

02

00 1212 , (1.36)

iar:

θ⋅∆⋅+τ=θ⋅∆⋅⋅τ+θ⋅∆⋅τ= tg)2(tg 2tg 000 xybxyxbFzf , (1.37)

21

unde:

0τ reprezintă efortul tangenţial de frecare şi rezistenţă

în direcţia x şi este egal cu ; ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ θ⋅cosfF

xb ∆⋅ - suprafaţa fundului canalului; 212 δ+∆⋅ xy - suprafaţa celor doi pereţi laterali ai canalului

pentru volumul de control.

Deci, forţa de frecare, fFr

, are expresia:

( ) k tg2i 12 02

0

rrr⋅∆⋅θ+τ+⋅∆⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ++τ−= xybxybFf . (1.38)

Presiunile cu componenta hidrostatică şi în exces se calculează astfel:

- în direcţia x pe suprafaţa corespunzătoare secţiunii 1 acţionează presiunea:

θ⋅γ= cos11yFP ; ( )yy =1 , (1.39)

- pe suprafaţa corespunzătoare secţiunii 2 acţionează presiunea:

θ⋅γ= cos22yFP ; ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

∂∂

+= xxyyy2 (1.40)

Deci, presiunea hidrostatică se calculează conform expresiei de mai jos: pF

θ∂∂

∆⋅ω⋅γ−=−= cos12 x

yxFFF ppp , (1.41)

având componentele:

( )

( ) θ⋅θ∂

∂∆⋅δ+⋅γ=

θ∂

∂∆⋅δ+⋅γ−=

sincos

cos2

x

yxybyF

x

yxybyF

z

x

p

p

(1.42)

Sub formă vectorială, presiunea hidrostatică se poate scrie:

( ) ( ) xkix

yybyFp ∆θ⋅−θ⋅θ⋅∂

∂⋅δ+⋅γ−= sincoscos

rrr, (1.43)

22

iar presiunea în exces , , se poate scrie astfel: *pFr

( ) ]

( ) .2sin3

2

sin3

4tg2

cos3

2cos

3

4

**

**

*2**

kybpx

pyb

x

yybpiybp

x

pyby

x

yybpFp

r

r

r

⋅⎥⎥⎦

⎤⋅δ++θ

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ++

⎢⎢⎣

⎡+θ

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ++⋅θ⋅δ++

⎢⎢⎣

⎡+θ

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ+−θ

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ+−=

(1.44)

Forţele masice se calculează cu formula:

( ) ( )θ

∆⋅⋅δ+⋅γ⋅−=⋅ρ= ∫∫∫ cos

1xybykdvBF

VB

r. (1.45)

Fluxul momentului total care trece prin toate suprafeţele de control este dat de ecuaţia:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) xqVybwfybwi

x

VybyV

x

yybVk

xx

VybyV

x

yybViVdAV

LLfi

S

∆⎭⎬⎫δ+⋅ρ+⋅δ+⋅⋅ρ+⋅δ+⋅⋅ρ−

−θ⋅ρ⋅β⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⋅δ+⋅−

∂

∂⋅δ+−+

+∆⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ⋅ρ⋅β⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⋅δ+⋅+

∂

∂⋅δ+=ρ

−

∫∫∫

2/12

2

2

1222

sin22

cos22

r

r

(1.46)

unde:

β este coeficientul de distribuţie al momentului; iw - viteza ploii;

fw - viteza de infiltraţie;

LV - viteza aportului lateral. Variabilitatea în timp a momentului volumului de control se calculează astfel:

23

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) xt

yybV

t

Vybyki

xybyVt

kidvVt

V

∆⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⋅δ++

∂

∂⋅δ+θ−θ

θρ=

=∆⋅δ+⋅∂

∂θ−θ

θρ=ρ

∂

∂∫∫∫

2sincoscos

1

sincoscos

1

rr

rr

(1.47)

Ecuaţiile de mişcare se pot scrie în acest caz sub forma următoare, ţinând seama de ecuaţia (1.17):

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (1.48);2

cos22

sin12tg2

cos3

2cos

3

4cos

2

2/120*

*2*

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⋅δ++

∂

∂⋅δ+ρ+

+θρ⋅β⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⋅δ++

∂

∂⋅δ+=

=θ⋅δ+⋅γ+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ δ++τ−θ⋅δ++

+θ∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ+−θ

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ+−θ

∂

∂⋅δ+⋅γ−

t

yybV

t

Vyby

x

VybV

x

yybV

ybyybybp

x

pyby

x

yybp

x

yyby

y

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⋅δ++

∂

∂⋅δ+θ⋅ρ−δ+⋅ρ+⋅δ+⋅⋅ρ+

+⋅δ+⋅⋅ρ−θδ⋅β⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⋅δ+−

∂

∂⋅δ+−=

=θ

⋅δ+⋅γ−θ⋅δ+⋅γ+θ⋅δ+τ+⋅δ++

+θ∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ++θ

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ++θθ

∂

∂⋅δ+⋅γ

−

t

yybV

t

VybyqVybwf

ybwix

VybVy

x

yybV

ybyybyybybp

x

pyby

x

yybp

x

yyby

LLf

i

2tg122

2sin22

)49.1(cos

1costg22

sin3

2sin

3

4cossin

2/12

2

0*

**

Pentru canale rectangulare moderat de largi ( 1/,1 <<<δ by ) şi distribuţie uniformă a vitezei, ecuaţiile de continuitate şi mişcare sunt:

- ecuaţia de continuitate:

b

qfi

x

Vy

x

yV

t

y L2

cos

1+−=

∂

∂+

∂

∂+

θ∂

∂ (1.50)

24

- ecuaţiile de mişcare:

[ ]

;sintg22

1cos

cos2coscoscos

*0*

2*

2

θ⋅γ+θ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+τ−=θ

∂

∂+

∂

∂⋅ρ+

∂

∂⋅ρ+

∂

∂θ⋅⋅ρ⋅β+

∂

∂θ⋅ρ⋅β+θ+θ⋅γ

ypb

y

x

py

t

yV

t

Vy

x

VyV

x

yVpy

(1.51)

[ ]

.2cos

1costg

21

2sintgtg

sin2sinsincossin

0

*

*

2*

b

qVfwiwyy

b

y

px

py

t

yV

t

Vy

x

VVy

x

yVpy

LLfi ρ+ρ−ρ+

θγ+θγ−θ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+τ−=

=+θ∂

∂+

∂

∂θρ+

∂

∂θρ+

+∂

∂θβρ++

∂

∂θ⋅βρ+θ+θθγ

(1.52)

În cazul canalelor cu pante mici θ≈θ≈θ tgsin , ecuaţia de mişcare se

reduce la forma:

yby

yV

bqfi

xyg

xVV

tV L

ρτ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=

∂∂

+∂∂

+∂∂ 0212 , (1.53)

iar ecuaţia de continuitate devine:

b

qfi

x

Vy

x

yV

t

y L2+−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂. (1.54)

Sistemul de ecuaţii (1.53)-(1.54) este folosit cel mai frecvent în tratarea problemelor specifice de scurgere din bazine hidrografice. Analiza ordinului de mărime permite evaluarea importanţei relative a termenilor care includ intrările în sistemul de scurgere. Astfel, dacă se presupune că:

( ) ,m/s)10(O

;m/s)10(O

;radiani)10(O

5

2

2

−

−

=−

=

=θ

fi

g (1.55)

25

pentru scurgerea de pe versant:

,m/s)10(O;m)10(O

0;

12 −− ==

=∞=

Vy

qb L

(1.56)

iar pentru scurgerea din canal:

(1.57)

( )[ ] ,/sm)10(OO

;m)10(O

;m)10(O

25

0

0

LLfiq

V

y

−=−=

=

=

unde L este jumătate din lăţimea suprafeţei care este drenată. Pentru scurgerea de pe versant:

( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

θ⋅⋅

− −310Ogy

Vfi, (1.58)

iar pentru scurgerea din canal:

( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

θ⋅⋅

− −410Ogy

Vfi; (1.59)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θ⋅⋅⋅

⋅ −b

L

gyb

VqL 410O2

. (1.60)

Aceste ordine de mărime demonstrează că, în comparaţie cu greutatea masei de fluid, procesele ploaie-infiltraţie au un efect neglijabil asupra dinamicii scurgerii, deci se poate omite termenul )( fi − din ecuaţia momentului. Aportul lateral, , poate avea totuşi un efect important în scurgerea din canal dacă lăţimea bazinului hidrografic este foarte mare în raport cu lăţimea canalului. De asemenea, termenii şi trebuie să fie reţinuţi în ecuaţia de continuitate.

Lq

)( fi − bqL /2

Dacă este zero, infiltraţia nulă, iar aportul lateral lipseşte, atunci ecuaţia (1.52) se reduce la forma:

θ

iwip ⋅⋅ρ⋅= 5,0* , (1.61)

iar ecuaţia (1.51) la forma:

26

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +τ−=

∂∂

ρ+∂∂

ρ+∂∂

βρ+∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ βρ+ρ+γ

by

tyV

tVy

xVVy

xyViwy i

21221

02 . (1.62)

Ţinând seama că 1<by , iar gρ=γ şi împărţind fiecare termen din ecuaţia de

mai sus prin yρ se obţine:

yt

y

y

V

t

V

x

VV

x

y

y

V

y

iwg i

ρ

τ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂β+

∂

∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ β++ 0

22

2

1, (1.63)

adică ecuaţia obţinută de Chen (1962) cu excepţia factorului din termenul 2/1

y

wi i⋅

2

1.

De asemenea, pentru diferite condiţii impuse, se obţin alte forme ale ecuaţiei de mişcare, folosite în tratarea mişcării fluidului în albii libere:

( ),

;00

eL iBqt

A

x

AV

Rx

ySg

x

VV

t

V

⋅+=∂

∂+

∂

∂

ρ

τ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

(1.64)

unde:

Lq este aportul lateral în canal datorită scurgerii de pe versant; B - lăţimea canalului; ei - intensitatea excesului de ploaie )( fi − ;

0S - panta canalului; R - raza hidraulică; A - suprafaţa secţiunii transversale a canalului.

Dacă aportul lateral , 0=Lq yBA =/ şi qVA =⋅ ecuaţia de continuitate din sistemul de ecuaţii (1.64) are forma:

( )fix

q

t

y−=

∂

∂+

∂

∂, (1.65)

27

iar dacă , se obţine aproximaţia undelor cinematice dezvoltată de Lighthill şi Whitham (1955) (care se poate rezolva prin metoda caracteristicilor).

myq α=

Hidraulica scurgerii pe versant se poate studia mult mai uşor în laborator, prin măsurători ale scurgerii uniforme cu adâncimi mici şi ale scurgerii spaţial - variate rezultată în urma simulărilor cu ploaie pe o suprafaţă plană. În general, rezultatele de laborator sunt comparate cu datele din teren obţinute prin simulări cu ploaie pe parcele mici de scurgere.

1.2.2. TESTE DE LABORATOR CU SCURGERE UNIFORMĂ Măsurătorile asupra scurgerii uniforme de mici adâncimi efectuate în laborator urmăresc determinarea adâncimii de scurgere, viteza de suprafaţă, debitul şi temperatura apei. Pe baza acestor date se pot calcula parametrii hidraulici adiţionali care descriu caracteristicile scurgerii. Dintre multiplele teste de laborator se amintesc experienţele efectuate de Hydraulics Laboratory - US Geological Survey, Washington DC pe o suprafaţă plană, netedă şi impermeabilă cu pantă variabilă. Cu acest dispozitiv au fost studiate scurgeri cu adâncimi de la 0,9 mm la 3 mm şi pante cuprinse între 0,033 şi 0,0775. De asemenea, s-au efectuat teste pentru o suprafaţă rugoasă constituită din particule de nisip cu diametrul de 0,5 mm. S-au efectuat o serie de 9 teste şi anume 5 pe suprafaţa netedă şi 4 pe suprafaţa rugoasă. Rezultatele obţinute pentru cele două suprafeţe referitoare la relaţia dintre adâncimea scurgerii uniforme şi numărul Reynolds sunt prezentate în figura 1.7. După cum se observă, aproape toate relaţiile îşi schimbă panta pentru valori Reynolds critice cuprinse între 1500 şi 6000, iar adâncimea creşte odată cu descreşterea pantei. Numărul Reynolds critic marchează o schimbare în regimul scurgerii, de la faza laminară la numere Reynolds mici la faza turbulentă la numere Reynolds mari. Atât pentru suprafeţe netede, cât şi pentru suprafeţe rugoase, valoarea critică a numărului Reynolds creşte cu mărirea pantei. Aceasta indică faptul că pe versanţi abrupţi scurgerile puţin adânci sunt uneori mult mai stabile în raport cu schimbările din scurgerile turbulente. În termenii geometriei hidraulice, adâncimea poate fi exprimată astfel:

f

K

qD ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= , (1.66)

iar expresia similară folosind numărul Reynolds este:

28

f

eRK

D ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ=

4. (1.67)

Figura 1.7. Variaţia adâncimii de scurgere în funcţie de numărul Reynolds.

Valorile lui f sunt inversele valorilor lui M din ecuaţiile (1.14) şi sunt tabelate în blocul explicativ din figura 1.7. Pentru scurgerile turbulente pe o suprafaţă netedă valoarea lui f este de 0,60 pentru toate pantele. Această valoare este egală cu valoarea teoretică din ecuaţia (1.10). Pentru scurgerea laminară pe

29

o suprafaţa netedă valorile lui f sunt în intervalul 0,27 – 0,37. Aceste valori tind către o valoare centrală în jurul valorii teoretice de 0,33 din ecuaţia (1.13). Pentru suprafaţa rugoasă, valoarea lui f pentru scurgerea turbulentă este de 0,57. Efectul suprafeţei rugoase este de a întârzia scurgerea în vecinătatea fundului canalului. Pentru scurgeri puţin adânci ca şi cele de pe versant, scurgerea în vecinătatea fundului poate reprezenta o parte considerabilă a întregii adâncimi. Astfel devine rezonabil să cercetăm scurgerile puţin adânci extreme pe suprafeţe rugoase pentru a exprima unele tendinţe ale scurgerii laminare. Regimul de scurgere laminară pentru suprafeţe rugoase indică pentru f valori în limitele cuprinse între 0,36 – 0,43. Obţinerea de valori mai mari decât valoarea teoretică de 0,33 se explică prin faptul că nu s-au efectuat corecţii la valorile adâncimilor măsurate de la vârfurile elementului rugos. În general, pentru scurgeri cu adâncimi extrem de mici, mai mici de 2 mm, trebuie să se corecteze adâncimea ca efect al spaţiilor dintre particulele rugoase (în experienţele descrise fiind particule de nisip). Efectul rugozităţii asupra valorilor adâncimii este mult mai complex, rugozitatea ca rezistenţă la scurgere va conduce la creşterea adâncimii de scurgere pentru un debit dat. Influenţa maximă a rugozităţii apare în zona de tranziţie de la scurgerea laminară la scurgerea turbulentă. În această regiune, adâncimile pe suprafaţa rugoasă sunt mai mari cu 15 % pentru versanţi mai puţin abrupţi, până la 30% pentru versanţi foarte abrupţi faţă de adâncimile pe suprafaţa netedă. Diferenţele sunt mai puţin pronunţate atât pentru numere Reynolds mici, cât şi pentru numere Reynolds mari. Efectul pantei canalului asupra adâncimii este de a micşora adâncimea când pantele cresc. Relaţia este hiperbolică, adică atunci când panta tinde la zero adâncimea tinde la infinit, iar când pantele tind către valori mari, adâncimile tind către o valoare minimă. Suprafaţa rugoasă are un rol de diminuare a acestui efect. Astfel, pentru canale cu pantele de 0,0775 şi 0,0550, datele obţinute pe suprafaţa rugoasă aproape că descriu o singură curbă, în timp ce pentru suprafaţa netedă datele sunt deja separate printr-o distanţă mică. Factorul de frecare Darcy – Weisbach, ca măsură a rezistenţei la curgere în funcţie de numărul Reynolds, este prezentat în figura 1.8.

Factorul de frecare este definit astfel: rf

2

8

V

gDSfr = . (1.68)

30

Figura 1.8. Factorul Darcy-Weisbach pentru scurgerea uniformă

în funcţie de numărul Reynolds.

Expresia vitezei în termenii geometriei hidraulice este:

mmm qKqKV ⋅== −1

1 (1.69)

sau:

( )me

m

em RKRKV 2

14

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ= − , (1.70)

iar factorul de frecare în termenii geometriei hidraulice, poate fi scris:

yr q

K

SDgf

21

8 ⋅⋅⋅= (1.71)

31

sau:

( ) yer R

K

SDgf

22

8 ⋅⋅⋅= . (1.72)

Atunci când panta S este constantă, ecuaţia (1.68) poate fi scrisă de asemenea sub forma:

2/8 VDSqfr ⋅⋅⋅= (1.73)

sau:

me

f

e

r RK

RK

Sgf22

2

4

1

8⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ

⋅⋅= . (1.74)

Deci, pentru un gradient constant, panta y a liniei de frecare ca funcţie de numărul Reynolds este f - 2m (din ec. (1.72) şi (1.74)). De asemenea, întrucât

, atunci ( ) sau ( )qDV =⋅ 1=+ mf ( )fm −= 1 (din ec. (1.67) şi (1.70)). Pentru scurgerea turbulentă panta dreptei este 0,60 - 2 (0,40) = - 0,20, iar pentru scurgerea laminară este 0,33 - 2 (0,67) = - 1,0. Valorile negative ale lui y indică o descreştere în rezistenţa la curgere în raport cu creşterea numărului Reynolds.

Pentru scurgerea laminară într-un canal rectangular neted, ecuaţia dreptei cu panta de - 1,0 este:

e

r Rf

96= . (1.75)

Pentru canale rugoase, valorile factorului de frecare va fi mai mare şi va fi desenat deasupra limitelor inferioare definite de ecuaţia (1.75). În cazul scurgerilor turbulente, relaţia dintre factorul de frecare şi numărul Reynolds are o pantă de – 0,20. Pentru un canal cu suprafaţă netedă aceaste valori sunt indicate în figura 1.8 cu o dreaptă care reprezintă datele din experimentările lui Tracy şi Laster (1961). Datele din figura 1.8 sunt mult peste limitele indicate de ecuaţiile pentru scurgerea pe suprafeţe netede şi pun în evidenţă efectul pronunţat al rugozităţii canalului asupra factorului de frecare. Deci, canalul neted folosit în studiul scurgerii de pe versant nu a fost de fapt complet neted, efectul fiind pus în evidenţă de rezultatele obţinute. De asemenea, în figura 1.8 este prezentată relaţia dintre factorul de frecare şi adâncimea medie de scurgere. Tendinţa debitelor este de a converge într-o

32

singură curbă pentru scurgerea laminară şi în două curbe, câte una pentru fiecare rugozitate, pentru numere Reynolds mari. Restul valorilor se situează în limitele de eroare ale experimentului. Din ecuaţiile:

şi VDq ⋅=2

8

V

SgDfr

⋅= ,

factorul de frecare poate fi exprimat astfel:

2

38

q

SgDfr = , (1.76)

din care se poate observa că procentul de eroare în factorul de frecare este de 3 ori procentul de eroare în adâncime. Folosind o adâncime nominală de 1,5 mm tipică pentru scurgeri cu numere Reynolds mici, o eroare de numai 0,15 mm la măsurarea adâncimii va conduce la o eroare de 30% în calculul factorului de frecare.

Figura 1.9. Coeficientul Manning pentru scurgerea uniformă în funcţie de numărul Reynolds.

33

Amintind că formula cea mai des folosită pentru analiza scurgerii în canale deschise este ecuaţia Manning. În figura 1.9 se prezintă relaţiile dintre coeficientul de rugozitate Manning n şi numărul Reynolds. În termenii geometriei hidraulice coeficientul lui Manning n poate fi exprimat astfel:

( )

( ) .

4

41

11

50,0

67,0

167,0

50,067,0

167,050,067,0

S

R

R

K

Sq

q

KSD

Vn

m

e

f

e

mf

m

f

mf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ

=

===

⋅

−+⋅

⋅

−+⋅

(1.77)

Astfel panta relaţiei dintre coeficientul Manning şi numărul Reynolds este 0,67 sau –0,45 pentru scurgerea laminară şi 0,0 pentru scurgerea turbulentă.

( mf − )

Rezultatele testelor de laborator cu scurgeri uniforme puţin adânci la numere Reynolds mici sunt în general confirmate şi de rezultatele altor cercetări efectuate (Pearson (1949), Straub (1939) şi Owens (1954)). Abaterile mici sunt datorate diferenţelor de echipamente şi tehnicile experimentale, însă rezultatele prezentate în figurile 1,7 – 1,9 sunt generale şi adecvate pentru descrierea scurgerii de pe versant.

1.2.3. TESTE DE LABORATOR CU PLOAIE SIMULATĂ Prima încercare de modelare în laborator a procesului ploaie-scurgere a fost efectuată de Mamisao (1952) în Statele Unite ale Americii. Bazinul prototip din natură are suprafaţa de 129 acri (52,20 ha), pante predominante între 8% şi 10%, în unele zone chiar 20%, în general cultivat. Prin similitudine, modelul la scară, din laborator, are dimensiunile: pe orizontală 1:450, iar pe verticală 1:240. Intervalele de 5 minute pentru bazinul prototip devin 14,2 secunde pentru model după criteriul Froude. Măsurarea debitului scurs s-a făcut la intervale de 7,1 secunde într-un recipient de un gallon. Rezultatele simulării pot fi îmbunătăţite prin realizarea unui generator de ploaie artificială, capabil să realizeze o neuniformitate areală, colectarea automată a scurgerii şi hidrografe prototip mult mai precise. Al doilea model hidrologic fizic a fost realizat de Chéry (1965), care a construit şi testat atât generatorul de ploaie, cât şi modelul, folosind instrumente

34

35

2m

adecvate pentru controlul şi măsurarea intrărilor şi ieşirilor experimentului. Chéry nu a considerat efectele induse de mărimea picăturilor de ploaie, distribuţia şi energia ploilor. De asemenea, a presupus că efectele vâscozităţii sunt neglijabile în raport cu efectele gravitaţionale. Aria bazinului prototip care a fost modelat în laborator - în raportul 1:175 pentru lungime şi fără distorsiuni pe verticală - a fost de 39,32 ha. Versanţii bazinului prototip au pante cup între 3% şi 10% (în proporţie de 26%), iar restul, pante mai mari de 35%. Indicele de umiditate a bazinului φ este, în mod frecvent, de 50 - 70%. Din volumul de date disponibile au fost selecţionate pentru a fi modelate 17 viituri cu timpi de creştere între 4 şi 14 minute. Intensităţile ploii simulate pe model au fost cuprinse între 0-250 mm/oră. În experimentările efectuate s-a acordat o atenţie deosebită formei hidrografului scurgerii în funcţie de caracteristicile ploii şi proprietăţile fizice ale fluidului folosit în experimentări. Un alt model fizic mult mai complex a fost realizat de Chow şi Harbaugh (1965) în laboratorul de hidraulică al Departamentului de Inginerie Civilă de la Universitatea Illinois. Acest sistem, prezentat în figura 1.10, furnizează o unealtă nepreţuită pentru cercetarea hidrologică a bazinelor hidrografice. Sistemul experimental al bazinului (WES) poate genera ploi artificiale de durată, distribuţie şi intensitate variabile pe o suprafaţă de 12m x 12m. Pe această suprafaţă se poate construi un bazin hidrografic la scară, a cărui suprafaţă, formă, pantă, rugozitate a suprafeţei şi capacitate de acumulare pot fi modificate funcţie de experiment. În general, sistemul de instrumente este format din patru părţi: ansamblul de intrare, ansamblul receptor, ansamblul de ieşire şi ansamblul de control al procesului. Generatorul de picături de ploaie este compus din 400 de module sub forma de cutii, confecţionate din plexiglas gros de 1 cm, având dimensiunile 60cm x 60cm x 42cm (fig. 1.11). Pe faţa inferioară a cutiei (60cm x 60cm), la distanţe de 2,5 cm, sunt instalate 576 de tuburi de polietilenă lungi de 1 cm, având diametrul interior de 0,6 mm. Astfel, întreg ansamblul poate produce 230.400 picături de ploaie pe o suprafaţă de 144 . Picăturile de ploaie astfel produse au un diametru mediu de 3,46 mm care este aproximativ diametrul mediu al picăturilor ploii naturale.

Experimentul pentru controlul procesului numit Direct Digital Control (DDC) System este folosit pentru a controla distribuţia în timp şi spaţiu a picăturilor de ploaie în scopul de a produce un anumit model de ploaie pentru un experiment particular. Studiile efectuate pe acest model au urmărit cercetarea legilor de bază şi a principiilor fundamentale care guvernează procesul ploaie - scurgere.

36Figura 1.10. Modelul hidraulic de laborator Ven Te Chow.

Tot în SUA, la Institutul de Tehnologie din Massachusetts, a fost dezvoltat de către Grace şi Eagleson (1966) un model fizic complet în sistem modular, având în compunere următoarele elemente de bază: generatorul de ploi, modelul la scară şi dispozitivul de măsurare a scurgerii de pe model prin cântărire. De asemenea, trebuie amintite modelele japoneze dezvoltate de Universitatea din Kyoto şi la Institutul de Cercetare pentru lucrări publice din oraşul Chiba. În ţara noastră, un model care a fost în atenţia specialiştilor este cel realizat de Catedra de Hidraulică şi Hidroamelioraţii a Institutului Politehnic Iaşi (Blidaru, Nicolau şi Niţescu (1976)). Sistemul experimental de laborator este compus din generatorul de ploaie, platforma mobilă pe care se aşează monoliţii de sol în structură nederanjată şi instrumentele de măsurare a scurgerii lichide şi solide. Generatorul de ploaie este de fapt un aspersor AZ 30 - Perrot cu posibilităţi de reglare a sectorului de aspersat.

Figura 1.11. Generatorul de picături de ploaie.

37

Cu acest sistem se pot obţine intensităţi ale ploii între 0,3 - 1,0 mm/minut (presiunea de 4,5 Kgf/ ). 2cm

Monoliţii de sol recoltaţi direct din teren în cuve prismatice cu dimensiunile de 200 x 30 x 50 cm sunt transportaţi în laborator şi se depun pe standul de experimentare (fig. 1.12). Controlul intensităţii ploii se realizează cu ajutorul unui pluviograf cu cupe basculante, realizat de colectivul de hidrologie experimentală din Institutul Naţional de Meteorologie şi Hidrologie (fig. 1.13). Scurgerea lichidă de pe monolit, colectată într-un recipient tarat, se măsoară cu un limnigraf construit după modelul pluviografului cu cupe. Platforma mobilă pentru studiul intensităţii admisibile a aspersiunii este prevăzută cu dispozitive pentru reglarea pantei, ceea ce permite studiul scurgerii pentru panta terenului de unde a fost recoltat monolitul de sol. Folosirea aspersoarelor pentru simularea ploii are avantajul că se realizează energii cinetice de impact a picăturilor, echivalente ploilor naturale, permiţând o mai bună comparare a rezultatelor de laborator cu cele obţinute pe parcele experimentale.

Figura 1.12. Monoliţi de sol recoltaţi în cuve

prismatice.

Figura 1.13. Pluviograf cu cupe basculante.

38

În testele de laborator cu ploaie artificială o atenţie specială a fost acordată determinării vitezei de impact şi a mărimii picăturilor de ploaie în cădere. Pe baza măsurătorilor de laborator pentru particule cu diametrul de 1,25, 2,00 şi 3,00 mm înălţimea de cădere a ploii trebuie să fie de 4,5, 9,00, respectiv 12 m, pentru a se obţine vitezele terminale ale picăturilor de ploaie de 4,8, 6,6 şi respectiv 8,1 m/s. În general, pentru diametrul mediu al picăturilor de ploaie se acceptă valoarea de 3,5 mm sau uneori mai mică (3,46 mm în cazul modelului WES elaborat de Chow V. T.) dacă ploaia simulată conduce la viteze de impact cu solul a picăturilor de ploaie egale cu viteza terminală de cădere a picăturilor simulate. În cazul testelor în laborator cu ploaie artificială, adâncimile şi vitezele se măsoară în scopul determinării schimbărilor în lungul versantului, iar debitul total măsurat este distribuit pe întreaga suprafaţă a scurgerii pentru a determina intensitatea medie a scurgerii. Numerele Reynolds pentru scurgerile din ploaie artificială au fost mai mici de 1500. Datele obţinute din testele cu scurgere uniformă indică că acestea sunt în totalitate în zona scurgerii laminare. Efectul picăturilor de ploaie în cădere disturbă suficient scurgerea de apă, care este rapid dispersată pe suprafaţa solului. Deşi această scurgere prezintă uneori şi caracteristici ale scurgerii turbulente, ea este considerată că are cele mai multe manifestări de scurgere laminară. Din această cauză, acest tip de scurgere nu este inclus în clasificările de scurgere laminară, scurgere de tranziţie sau scurgere turbulentă, ea fiind denumită scurgere disturbată.

39

Dacă scurgerea pe model şi pe prototip este laminară, atunci următoarea ecuaţie evaluează factorul de frecare în ambele cazuri:

R

fr96

=

1≈rf

În cazul scurgerii turbulente, atât pe model, cât şi pe prototip, raportul dorit pentru factorii de frecare model - prototip nu se poate satisface. De aceea, valoarea pentru se acceptă în experimente deoarece coeficienţii de frecare sunt relativ insensibili cu adâncimea de scurgere, iar valorile coeficientului de rugozitate Manning pentru model şi prototip sunt comparabile. În figura 1.14 se prezintă relaţiile dintre numărul Froude şi raportul dintre viteza medie şi viteza de suprafaţă în funcţie de numărul Reynolds. Numărul Froude este definit ca fiind raportul dintre forţele inerţiale şi forţele gravitaţionale, scurgerile cu numărul Froude mai mare ca 1 sunt supercritice, iar scurgerile cu numărul Froude mai mic ca 1 sunt subcritice. În condiţii de laborator, atât pentru canale netede, cât şi pentru canalele rugoase, scurgerile au fost subcritice.

. (1.78)

40

Figura 1.14. Curbele de variaţie ale numărului Froude şi raportul vitezelor în funcţie de numărul Reynolds.

1.2.4. CERCETAREA IN SITU A SCURGERII DE PE VERSANT

O altă etapă importantă în cercetarea formării scurgerii pe versant a fost transferarea datelor obţinute în laborator la condiţiile din natură. În acest sens, în majoritatea ţărilor s-au dezvoltat reţele de bazine experimentale şi parcele de scurgere. Parcelele de scurgere sunt porţiuni de dimensiuni mici ale unui versant, care reflectă caracteristicile întregului versant (acoperire, pantă, tip de sol etc.), sunt izolate prin pereţi impermeabili de restul versantului. De obicei în partea din aval a parcelei se construieşte un canal colector al scurgerii de pe suprafaţa parcelei, canal care drenează într-un bazin colector prevăzut cu aparatură de măsurare a apei rezultată din scurgere (fig. 1.15). În general, dimensiunile parcelelor sunt variabile, dar în ceea ce priveşte lungimea trebuie să respecte rezultatele teoretice şi de laborator referitoare la lungimea limită de formare a scurgerii de pe versant. După cum s-a prezentat în paragraful 1.2.1 aceste valori limită ale lungimii de scurgere sunt:

- de ordinul a 28 m (după Horton); - mai mare de 22 m (după Izzard).

Figura 1.15. Parcela experimentală de scurgere din bazinul Cheia.

41

În activitatea experimentală se utilizează şi parcele având lungimea mai mică decât valorile limită, urmând ca, în unele cazuri, rezultatele să fie corectate în funcţie de cele obţinute pe parcele standard. Parcelele de scurgere permit măsurarea caracteristicilor scurgerii de suprafaţă atât pentru ploi naturale, cât şi pentru ploi artificiale. In România cercetările pe parcele de scurgere atât pentru ploi naturale, cât şi pentru ploi artificiale, au început în perioada anilor 1962 – 1965, odată cu înfiinţarea staţiei de hidrologie experimentală VOINEŞTI, judeţul Dâmboviţa, în bazinul Valea Muret (afluent al râului Dâmboviţa). Ulterior, cercetările privind mecanismul formării scurgerii pe versant au fost extinse şi în alte zone ale ţării: Aldeni - Valea cu Drum, afluent al râului Slănic din bazinul Buzău şi Cheia - Teleajenul Superior, din bazinul râului Prahova. Rezultatele cercetărilor pe parcele de scurgere referitoare la procesul ploaie - infiltraţie - scurgere depind în mare măsură de caracteristicile tehnice ale dispozitivelor folosite pentru producerea ploii artificiale, precum şi de tehnologia de măsurare şi control a parametrilor implicaţi în acest complicat proces natural. Astfel, pe parcele de scurgere din Statele Unite -centrul Wyoming-lui (SUA)- au fost simulate ploi artificiale având intensităţi de aproape 200 mm/oră (8 in/oră), care au generat scurgeri de aproximativ 100 mm/oră (4in/oră). Deci, pentru capacitatea de infiltraţie rezultă o valoare de aproximativ 100 mm/oră, valoare care pare destul de mare, însă ea este comparabilă cu valorile obţinute în urma studiilor efectuate de Smith şi Leopold (1942) şi Hadley şi Mc Queen (1961) pentru bazine prototip situate în diferite condiţii fizico - geografice. După ce intensitatea infiltraţiei devine constantă, valorile adâncimii şi vitezei de suprafaţă, împreună cu variaţiile lor de-a lungul parcelei versant, sunt măsurate la diferite intervale de timp. În foarte puţine cazuri scurgerea de suprafaţă apare sub formă de lamă uniformă, în rest ea producându-se sub forma mai multor concentraţii laterale care nu sunt considerate însă pârâiaşe (rigole). Traseul concentraţiilor de apă sunt cartate cu ajutorul trasorilor coloranţi, astfel rezultând modelul (paternul) scurgerii. De obicei, pentru fiecare parcelă rezultă un model unic de scurgere, model care depinde cel mai mult de caracteristicile versantului. În figura 1.16 se prezintă microtopografia parcelei de scurgere împreună cu modelul de scurgere rezultat, iar în figura 1.17 se prezintă o fotografie a modelului de scurgere pentru parcela de 100 din bazinul experimental Cheia, corespunzător unei ploi simulate (fig. 1.18).

2m

42

Figura 1.16. Microtopografia parcelei de scurgere şi modelul de scurgere.

Figura 1.17. Scurgerea simulată pe parcela de 100 din bazinul Cheia. 2m

43

44

Figura 1.18. Rezultatele experimentării cu ploaie artificială pe parcela de 100 2mîn data de 19.09.1995, bazinul Cheia.

Diferenţe semnificative între datele de laborator şi datele din teren se constată în special la adâncimile de scurgere. Adâncimile de scurgere măsurate pe parcele de scurgere sunt mai mari decât cele măsurate în laborator, fapt datorat influenţei vegetaţiei şi caracteristicilor topografice ale versanţilor. Figura 1.19 indică valori ale coeficientului de rezistenţă f pentru parcele în intervalul 0,40-1,00 în medie 0,69 faţă de valoarea medie de 0,48 a lui f pentru experimentele cu suprafaţă rugoasă, efectuate în laborator. Valorile mai mari ale lui f pentru experimentările in situ sunt datorate atât mărimii rugozităţii (gradului de întârziere a scurgerii), cât şi caracterului scurgerii.

45

Figura 1.19. Variaţia adâncimii de scurgere şi a vitezei de suprafaţă în funcţie de lungimea versantului

Trebuie precizat că valorile coeficientului de rezistenţă f nu se corelează cu panta terenului. Deoarece nu se poate stabili o corelaţie între procentul de acoperire cu vegetaţie (sau tipul de vegetaţie) şi f, creşterile în valoare ale lui f pentru parcele in situ sunt atribuite formei topografice şi depind de forma şi caracterul scurgerii. Valorile lui m pentru viteza de suprafaţă sunt în general mai mici pentru experimentările pe parcele in situ decât valorile obţinute în laborator. Valoarea medie a raportului dintre viteza medie şi viteza de suprafaţă din datele de pe parcele este de 0,4 - 0,5. O explicaţie a acestei valori mici ar putea fi faptul că viteza maximă a fost măsurată in situ şi nu în laborator. Atât datele de laborator, cât şi datele in situ, obţinute pe parcele de scurgere privind descrierea cantitativă a procesului scurgerii de suprafaţă pe suprafeţe elementare de versant, constituie baza de informaţii pentru modelarea matematică a procesului scurgerii pe versanţi permeabili.

1.2.5. MODELAREA MATEMATICĂ A PROCESULUI SCURGERII PE VERSANŢI PERMEABILI

Termenul de modelare matematică presupune parcurgerea următoarelor etape:

1. Examinarea problemei fizice. 2. Înlocuirea problemei fizice printr-o problemă matematică echivalentă. 3. Rezolvarea problemei matematice cu metodele acceptate în matematică. 4. Interpretarea rezultatelor matematice în termenii problemei fizice.

Natura unui model matematic care poate fi ales pentru a rezolva o problemă fizică specificată este pe departe unică, datorită complexităţii procesului din natură care trebuie să fie modelat.

Clarke (1973) prezintă conceptele de modelare matematică şi tehnicile de clasificare aşa cum sunt ele aplicate în hidrologie. El defineşte sistemul ca fiind un set de procese fizice care transformă variabile de intrare în variabile de ieşire. Prin variabilă se înţelege o caracteristică a sistemului care poate fi măsurată şi care presupune diferite valori numerice pentru diferite intervale de timp. Variabila este diferită de termenul de parametru - care reprezintă o mărime cantitativă a sistemului, care nu se schimbă în timp. Modelele hidrologice se referă la relaţiile dintre variabilele hidrologice care descriu acele aspecte ale comportării sistemului care ne interesează. Forma generală a unui model hidrologic se poate prezenta astfel:

( ) tttttt aaYYXXfY ε+= −−−− ,...,,...;,,...;, 212121 ,

46

unde:

( ),...2,01,1...−=tXt este vectorul variabilei de intrare în sistem;

( ),...2,1,0,1...−=tYt - vectorul variabilei de ieşire din sistem;

f - funcţia defineşte natura modelului; ( ),...3,2,1=iai reprezintă parametrii sistemului;

- erorile. tε

Modelul este numit stohastic sau deterministic dacă variabilele sunt sau nu aleatoare. Dacă oricare dintre variabilele , sau tX tY tε au o distribuţie în probabilitate, atunci modelul este stohastic, iar dacă nu au o distribuţie în probabilitate modelul este deterministic. De asemenea, Clarke a definit termenii de model conceptual, respectiv empiric, după natura funcţiei f , care consideră sau nu procesele fizice care acţionează asupra variabilelor de intrare. Majoritatea modelelor hidrologice sunt din categoria stohastice – empirice, în timp ce pentru rezolvarea problemelor hidrologiei versanţilor este nevoie de modele din categoria modelelor conceptuale. Aşa cum a constatat şi Clarke, un model conceptual nu trebuie să fie neapărat deterministic, el putând fi un model conceptual cu variabile stohastice, care reflectă mai corect caracterul întâmplător al datelor din natură. Modelele conceptuale deterministe sunt bazate pe fizica procesului de scurgere şi, de obicei, iau forma unor probleme matematice de valori limită, de tipul câmpului de potenţial, folosite în fizică pentru studiul conductibilităţii căldurii prin corpuri solide (Carshaw şi Jaeger 1959) sau în medii poroase (Gogonea 1970, 1971, Ene şi Polisevsky 1987). Pentru a defini în totalitate o problemă tranzitorie de valori limită pentru scurgerea de pe versanţi este necesar a fi cunoscute:

1. mărimea şi forma domeniului scurgerii; 2. ecuaţiile scurgerii în interiorul domeniului; 3. condiţiile la limită în jurul frontierei domeniului scurgerii şi distribuţia

lor spaţială şi temporală; 4. condiţiile iniţiale şi distribuţia lor spaţială; 5. distribuţia spaţială şi temporală a parametrilor hidraulici şi hidrogeologici

care controlează scurgerea; 6. metoda matematică necesară obţinerii soluţiei.

Dacă modelul se elaborează pentru un sistem permanent de scurgere, atunci cerinţa 4 este înlocuită, iar distribuţia temporală impusă de cerinţele 3 şi 5 nu mai este strict necesară.

47

Scurgerea pe versant este totuşi dependentă de timp, iar tratarea ca regim permanent este departe de a ne conduce la soluţia căutată. Modelele prezentate în prezenta lucrare sunt modele de tranziţie între mişcarea permanentă şi nepermanentă şi încearcă să descrie mecanismul scurgerii prin simularea sistemelor ipotetice sau analiza sistemului hidrologic pe o suprafaţă elementară fixată din bazinul hidrografic. Deşi modelul matematic complet al scurgerii pe versanţi nu a fost încă rezolvat, este interesantă prezentarea problemei valorilor limită pentru procesul scurgerii pe versanţi. În figura 1.20 se prezintă mecanismul transformării ploii în scurgerea dintr-un curs de apă pentru un versant dintr-un bazin hidrografic mic (după Freeze 1972). Sunt prezentate cele trei componente ale scurgerii: scurgerea de suprafaţă de pe versant, care trebuie să străbată întreaga suprafaţă a bazinului pentru a ajunge în albia râului, scurgerea de subsuprafaţă (hipodermică) din stratul de sol din vecinătatea suprafeţei bazinului (aprox. 15 - 20 cm) şi scurgerea subterană de adâncime. Scopul cercetărilor este folosirea input-urilor de ploaie dependente de timp şi spaţiu în modelele matematice ale căror output-uri vor fi:

- hidrograful scurgerii de suprafaţă; - distribuţia în timp şi spaţiu a adâncimii şi vitezei de scurgere, precizarea suprafeţelor parţiale de contribuţie şi distribuţia umidităţii solului.

Figura 1.20. Mecanismul transformării ploii în scurgerea dintr-un curs de apă

pentru un versant dintr-un bazin hidrografic mic.

48

Modelele matematice ale scurgerii pe versanţi pot fi grupate astfel: 1. Modele ale scurgerii de subsuprafaţă de tranziţie, bidimensionale din

mediul poros, saturat - nesaturat, eterogen şi izotropic. 2. Modele ale scurgerii lamelare în strat subţire de pe suprafaţa versantului

tratată unidimensional şi bidimensional cu intrări în sistem variabile în timp şi spaţiu.

3. Modele ale scurgerii din albia râului care drenează versantul.

În capitolele următoare ale lucrării vor fi dezvoltate modelele referitoare la scurgerea de subsuprafaţă şi scurgerea lamelară de pe suprafaţa versantului (modelele scurgerii din albia râului nu constituie obiectul lucrării de faţă).

49

2

MODELUL MATEMATIC AL SCURGERII DE SUBSUPRAFAŢĂ

Procesele de subsuprafaţă sunt acele procese care se produc sub suprafaţa solului şi care pentru unele bazine hidrografice au o influenţă dominantă asupra scurgerii totale de pe versant. Din aceste considerente, pentru înţelegerea mecanismului de formare a scurgerii de subsuprafaţă este necesară cunoaşterea corectă a interacţiunii dintre acumularea apei în sol (umiditatea solului), infiltraţie şi scurgerea de suprafaţă de pe versant. Scurgerea de subsuprafaţă este constituită din apa care se mişcă lateral peste straturile superioare de sol din apropierea suprafeţei versantului către albia râului sau baza versantului. Această scurgere este dependentă în primul rând de geologia versantului, ea putând fi condiţionată de scurgerea de suprafaţă şi putând reapare la suprafaţă în cadrul scurgerii de suprafaţă. Considerând hidrograful idealizat al scurgerii dintr-un râu (fig. 2.1), putem evidenţia cele trei componente ale scurgerii: scurgerea de suprafaţă, scurgerea de subsuprafaţă şi scurgerea subterană. Fiecare dintre cele trei componente variază de la bazin la bazin şi de la un subbazin la altul, în funcţie de caracteristicile de sol, vegetaţie, pantă sau geologie.

Figura 2.1. Componentele principale ale scurgerii din râu.

51

De exemplu, scurgerea de subsuprafaţă poate fi dominantă pentru zonele carstice, în timp ce scurgerea de suprafaţă poate fi dominantă în bazinele unde infiltraţia este redusă din cauza impermeabilităţii ridicate a suprafeţei solului. La scara bazinului hidrografic este foarte greu de măsurat scurgerea de subsuprafaţă, ea fiind evaluată indirect, din hidrograful scurgerii din râu. Pentru parcelele de scurgere special amenajate măsurarea scurgerii de subsuprafaţă este posibilă cu mai multă acurateţe. Mişcarea apei în sol, care implică procesul de acumulare în profilul de sol a apei de infiltraţie este o mişcare tridimensională. Conţinutul de umiditate al solului (apa de acumulare în sol) constituie procesul cheie al ciclului hidrologic. În acest capitol se va face referire numai la procesul de acumulare şi mişcare a apei în zona de aeraţie de deasupra nivelului apelor subterane, proces care apare în zona de saturaţie. Pentru a înţelege procesul de mişcare a apei în sol este necesar să se definească parametrii referitori la umiditatea solului. Conţinutul permanent de umiditate din sol este dat de cantitatea de apă din sol corespunzătoare punctului de ofilire. Punctul permanent de ofilire a solului este nivelul de la care vegetaţia nu mai poate extrage apa din profilul de sol; el corespunde unei presiuni a umidităţii negative, de aproximativ 15 atmosfere. Capacitatea de câmp a umidităţii solului este dată de conţinutul de umiditate a solului după ce drenajul gravitaţional este terminat. Umiditatea disponibilă este diferenţa dintre nivelul de umiditate a solului la un moment dat şi volumul permanent acumulat în sol. Percolaţia apare atunci când nivelul umidităţii solului este în exces faţă de capacitatea de câmp. Dacă se ia o unitate de suprafaţă mică dintr-un bazin hidrografic, conside-rându-se coloana de sol de sub această suprafaţă; atunci se pot pune în evidenţă câteva zone generale (fig. 2.2). Zona apei din sol este definită ca adâncimea solului din care apa poate să se întoarcă la suprafaţă prin vegetaţie sau capilaritate. Atunci când nivelul ridicării capilare este sub sfera de influenţă a vegetaţiei, iar limita inferioară a zonei apei din sol este mai mare decât nivelul capilar, există o zonă intermediară în interiorul căreia apa se mişcă numai gravitaţional. Adâncimea fiecărei zone este variabilă în timp, depinzând de intrările şi ieşirile de apă din zone. De asemenea, împărţirea în zone va fi diferită de la un punct la altul şi de la un bazin la altul. În partea stângă a figurii 2.2 sunt prezentate procesele care se produc în profilul de sol într-o manieră globală. Freeze (1969) este autorul unei contribuţii importante la modelarea proceselor din zona nesaturată. Conceptul acestei modelări este prezentat în figura 2.3. Acest tip de model prezintă o descriere detaliată a interacţiunii dintre procesele de subsuprafaţă.

52

Figura 2.2. Zonele principale ale scurgerii de subsuprafaţă.

Figura 2.3. Modelul matematic unidimensional al infiltraţiei verticale nepermanente.

53

În calculul scurgerii de subsuprafaţă sunt necesari doi paşi: − evaluarea cantităţii de apă disponibilă pentru a genera scurgerea de

subsuprafaţă pentru fiecare interval de timp; − transportul acestei cantităţi de apă prin sol până în albia râului sau baza

versantului, cu un timp de întârziere determinat.

Deoarece cantitatea de apă prezentă în solurile nesaturate este insuficientă pentru a umple complet toţi porii, atunci o parte dintre pori sunt plini cu aer sau vapori de apă. Este recunoscut că solurile nesaturate sunt mult mai mult răspândite în natură decât solurile saturate. Mai mult, ecuaţiile teoretice care descriu mişcarea în fază nesaturată sunt extrem de complexe şi în mod corespunzător există puţine cunoştinţe despre acest fenomen al scurgerii. Mişcarea apei sub forma lichidă sau vapori depinde de mulţi factori, unul dintre ei fiind gradul de saturaţie a solului.

2.1. MODELUL TRIDIMENSIONAL AL SCURGERII DE SUBSUPRAFAŢĂ

În solurile nesaturate apa se mişcă sub formă lichidă sub influenţa combinată a

gravitaţiei şi sucţiunii. Direcţia de mişcare va fi din zona cu potenţial total mai mare spre zona cu potenţial mai scăzut. Este foarte greu de vizualizat cum potenţialul gravitaţional şi potenţialul capilar participă la curgerea din mediul nesaturat. Pentru a ilustra această problemă se consideră o baterie de tensometre instalate în sol (fig. 2.4).

Figura 2.4. Conceptul potenţialului total.

54

Dacă potenţialul gravitaţional este notat cu φ , iar potenţialul capilar cu ψ , atunci potenţialul total în orice punct al sistemului nesaturat este suma celor două potenţiale:

ψ+φ=Φ , (unde ψ este negativ) Conceptul de potenţial este introdus aici pentru a implica energia potenţială. Buckingham defineşte potenţialul capilar al apei din sol ca fiind lucrul mecanic necesar pentru a disloca o unitate de masă de apă de sub linia suprafeţei solului şi a plasa acelaşi potenţial gravitaţional acolo unde raza de curbură a fost zero. În figura 2.4, pentru punctele A şi B se admite că BA ψ=ψ . Atunci umiditatea solului este de egală uscăciune în ambele puncte. Însă aceasta nu înseamnă că umiditatea nu se va deplasa între A şi B. Pe de altă parte, deoarece potenţialul total

este mai mare decât BΦ AΦ , umiditatea se va deplasa din B în A. Deoarece

este mai mic decât , solul în punctul C este uscat. În fine, deoarece presiunea totală

CΨ

BΨ

BΦ este egală cu umiditatea niciodată nu se va deplasa din B în C şi nici vice-versa. În sfârşit, se observă că umiditatea se va deplasa în sus din C în D deoarece este mai mare decât

CΦ

CΦ DΦ , iar solul în D ar fi în mod considerabil mai uscat decât în punctul C.

2.1.1. DOMENIUL SCURGERII

Se alege ca domeniu al scurgerii porţiunea din versant delimitată de secţiunile transversale verticale bidimensionale ABCDEFGH şi A’B’C’D’E’F’G’H’ ale sistemului versant-râu prezentat în figura 2.5.

Figura 2.5. Domeniul tridimensional saturat-nesaturat al scurgerii de subsuprafaţă.

55

Se presupune că aceste secţiuni sunt în plane paralele la direcţia scurgerii de subsuprafaţă către râu. Râul limitează domeniul pe frontiera ABCA’B’C’, iar scurgerea din râu este perpendiculară pe secţiunile ABCA1 şi A’B’C’A’1. Domeniul scurgerii în direcţia axei z este limitat de suprafaţa versantului CDEE’D’C’, iar porţiunea CDD’C’ adiacentă râului delimitează o posibilă zonă de şiroire. Frontiera de la bază (HGG’H’) este limita geologică care separă solul permeabil de lângă suprafaţa versantului de cel mai puţin permeabil, situat sub această limită. Dacă permeabilitatea solului de deasupra frontierei HGG’H’ este foarte mare se poate considera că această suprafaţă este impermeabilă, contribuţia zonei de sub ea fiind nesemnificativă asupra sistemului scurgerii ce poate să se producă în această zonă. Frontiera EFGG’F’E’ este un plan care separă domeniul scurgerii în studiu de scurgerea din versantul adiacent, iar în modelul tridimensional devine o frontieră impermeabilă imaginară. Frontiera AHH’A’ este o frontieră impermeabilă în acelaşi sens; ea separă scurgerea de pe cei doi versanţi care alimentează râul. Domeniul scurgerii include atât zona saturată, cât şi zona nesaturată. Frontierele superioară şi inferioară pot avea iregularităţi, iar domeniul poate conţine o configuraţie eterogenă complexă a straturilor de sol şi a formaţiunilor geologice.

2.1.2. ECUAŢIILE DE MIŞCARE

Ecuaţiile scurgerii de subsuprafaţă se obţin pe baza ecuaţiei de continuitate pentru scurgerea din mediul poros saturat-nesaturat şi a legii Darcy. Se considera un volum de control V (fig. 2.6) în mediul poros elastic, având conţinutul de umiditate uniformă. Volumul de control va fi considerat că se deformează o dată cu mediul, astfel încât nu există o viteză relativă între suprafeţele de control şi particulele care iau naştere în aceste suprafeţe.

Figura 2.6. Volumul de control într-un mediu poros elastic.

56

Pentru început vor fi definite următoarele caracteristici ale mediului poros:

V este volumul brut al elementului;

- volumul porilor, pV Ve

eVp +

=1

;

- volumul părţii solide, SV Ve

Vs +=

1

1;

- fracţia porilor, es

p

V

Ve = ;

n - porozitatea, e

e

V

Vn p

+==

1 ( 30,010,0 −=n pentru nisipuri şi

pentru argile); 05,003,0 −=n - volumul de apă; aV

s - gradul de saturare, p

a

V

Vs = ;

- conţinutul volumetric de apă, θ snV

Va ⋅==θ .

Masa de fluid M din interiorul elementului de volum la orice moment este dată de expresia:

zyxsnVsnM δ⋅δ⋅δ⋅ρ⋅⋅=⋅ρ⋅⋅= . (2.1)

Aplicând principiul de conservare al masei (debitul net al masei de fluid care intră în volumul de control trebuie să fie egal cu masa de fluid care se acumulează în interiorul elementului) se poate scrie:

∫∫ ∫∫∫ ⋅ρ⋅⋅∂

∂=⋅⋅ρ−

)( )(tA tV

dVsnt

dq A (2.2)

unde dA este vectorul suprafaţă normal la suprafaţa de control şi are mărimea dA, iar q este vectorul viteza aparentă a fluidului relativ la particulele solide. Componentele u, v şi w se obţin prin împărţirea fluxului de masă prin suprafaţa respectivă la aria totală a suprafeţei de control. Folosind teorema Green pentru a integra partea stângă şi teorema lui Leibnitz pentru a integra partea dreaptă a ecuaţiei (2.2) se obţine:

57

( ) ( )t

Vsnzyxsn

tzyxq

∂

∂ρ⋅⋅+δ⋅δ⋅δ⋅ρ⋅⋅

∂

∂=δ⋅δ⋅δ⋅⋅ρ⋅∇− . (2.3)

Ecuaţia de mai sus mai poate fi scrisă sub forma:

( ) .t

Vsn

zyxt

ns

tsn

t

snzyxq

∂

∂ρ⋅⋅+

+δ⋅δ⋅δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂ρ⋅+

∂

∂ρ⋅+

∂

∂ρ⋅=δ⋅δ⋅δ⋅⋅ρ⋅∇−

(2.4)

Considerând că elementul de volum se va deforma numai vertical (nu sunt posibile deformaţii semnificative în planul orizontal) şi este convenabil să se orienteze axele astfel încât z=z* (fig. 2.6), atunci se poate trata scheletul granular ca un mediu continuu cu compresibilitatea verticală α calculată cu formula:

( )

xx

zzVV

σ∆

δδ∆−=

σ∆

∆−=α

// , (2.5)

unde este presiunea normală intergranulară pe planul orizontal. xσ Dacă se presupune că volumul solid rămâne constant, atunci:

pVV ∆≡∆ , (2.6)

iar ecuaţia (2.5) devine:

xe

e

σ∆+

∆−=α

)1(. (2.7)

Din ecuaţia (2.5) se obţine:

xVV σ∆⋅⋅α−=∆ , (2.8)

ecuaţie care, pentru un interval de timp foarte mic t∆ , conduce la:

zyxt

Vtt

V xx δ⋅δ⋅δ∂

∂σα−=

∂

∂σα−=

∂

∂ . (2.9)

Rezultă că ecuaţia (2.4) se poate scrie sub forma:

t

snt

ns

tsn

t

snq x

∂

∂σα⋅ρ⋅⋅−

∂

∂ρ⋅+

∂

∂ρ⋅+

∂

∂ρ⋅=⋅ρ⋅∇− . (2.10)

58

Pentru a calcula derivata parţială t

n

∂

∂ se foloseşte formula pentru

V

Vn p= , care

prin derivare conduce la:

t

V

V

V

t

V

Vt

n pp

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂2

1. (2.11)

Ţinând seama că nV

Vp = , iar t

Vt

V x

∂

σ∂α−=

∂

∂ conform ecuaţiei (2.9), atunci

expresia din membrul doi al ecuaţiei (2.11) se scrie sub forma următoare (în condiţiile în care ): pVV ∆≡∆

t

nt

ntt

V

V

V

t

V

Vxxxpp

∂

∂σα−−=

∂

σ∂α+

∂

σ∂α−=

∂

∂−

∂

∂)1(

12

, (2.12)

deci ecuaţia (2.11) devine:

t

nt

n x

∂

∂σα−−=

∂

∂)1( . (2.13)

Înlocuind ecuaţia (2.13) în ecuaţia (2.10) se obţine ecuaţia conservării masei sub forma:

t

st

nst

snq x

∂

∂σρα−

∂

∂ρ+

∂

∂ρ=ρ⋅∇− (2.14)

sau:

t

stt

q x

∂

∂σρα−

∂

∂ρθ+

∂

∂θρ=ρ⋅∇− . (2.15)

Compresibilitatea β pentru fluid se poate scrie sub forma:

pp

VV aa

∆

ρρ∆=

∆

∆−=β

// ''

(2.16)

sau , unde este volumul de apă, iar p reprezintă presiunea pori-apă. p∆βρ=ρ∆ 'aV

Atunci:

t

p

t ∂

∂βρ=

∂

∂ρ, (2.17)

59

iar ecuaţia (2.14) devine:

t

st

psn

t

snq x

∂

∂σρα−

∂

∂βρ+

∂

∂ρ=ρ⋅∇− . (2.18)

Ecuaţia (2.15) se poate scrie sub forma:

tnt

p

tq x

∂

∂σθρα−

∂

∂ρβθ+

∂

∂θρ=ρ⋅∇− , (2.19)

care este expresia generală aplicabilă atât pentru scurgerea permanentă, cât şi pentru scurgerea nepermanentă într-un mediu elastic cu umiditate θ. Evident, pentru mişcarea permanentă, indiferent de s, ecuaţia (2.18) devine:

( ) 0=ρ⋅∇ q , (2.20)

iar pentru scurgerea permanentă incompresibilă:

0=⋅∇ q . (2.21)

Presiunile xσ şi p sunt corelate în mai multe moduri. Unul dintre ele presupune că dacă mediul se deformează vertical, ca răspuns la schimbarea presiunii în pori, întreaga schimbare a presiunii din pori trebuie să fie transmisă părţii solide ca o schimbare în presiunea intergranulară opusă.

În cazul mediului saturat 1=s , 0=∂

∂

t

s şi a acviferului mărginit pentru care o

modificare în presiunea statică din pori trebuie să producă o schimbare egală, dar opusă în tensiunile intergranulare din mediu, adică:

px ∆−=σ∆ . (2.22)

Ecuaţia (2.18) devine:

( )t

pnq

∂

∂β+αρ=ρ⋅∇− . (2.23)

Dacă se neglijează orice schimbare în temperatură, atunci densitatea fluidului este dată de relaţia funcţională:

)(pρ=ρ , (2.24)

iar presiunea piezometrică h în orice punct este dată de relaţia:

60

( )[ ] ∫ ρ+==

p

pp

dp

gztzyxpzfh

0

)(

1,,,, ** , (2.25)

unde este presiunea fluidului în punctul şi la timpul de referinţă, iar p este presiunea fluidului în punctul analizat.

0p

Aplicând operatorul de diferenţiere ecuaţiei (2.25) şi folosind teorema lui Leibnitz pentru se obţine: 00 =p

t

p

t

h

∂

∂⋅γ

=∂

∂ 1 , (2.26)

unde γ este greutatea specifică a fluidului. Înlocuind ecuaţia (2.26) în ecuaţia (2.23), ecuaţia de continuitate pentru mişcarea izotermă a unui fluid compresibil într-un mediu elastic saturat mărginit devine:

t

hSq s ∂

∂ρ=ρ⋅∇− , (2.27)

unde: )( β+αγ= nSs . (2.28)

Capacitatea de acumulare specifică a solului este volumul de apă cedat de fiecare volum unitar nedeformabil al acviferului mărginit pentru o scădere de 30,5cm în presiunea piezometrică. Pentru nisipuri

sS

sS este de ordinul cm. 810283 −⋅, Ecuaţiile Stokes pentru mişcarea laminară izotermă a unui fluid newtonian pentru un volum elementar de control (fig. 2.6) se pot scrie sub forma:

wnz

z

z

p

t

w

n

vny

z

y

p

t

v

n

unx

z

x

p

t

u

n

2*

2*

2*

∇µ

+∂

∂γ−

∂

∂−=

∂

∂ρ

∇µ

+∂

∂γ−

∂

∂−=

∂

∂ρ

∇µ

+∂

∂γ−

∂

∂−=

∂

∂ρ

, (2.29)

unde este direcţia verticală, iar vitezele u, v şi w sunt vitezele aparente. *z

Mişcarea apei va fi laminară după cum numărul Reynolds R verifică relaţia:

61

101−<ν

=ud

R , (2.30)

unde d este diametrul mediu al particulelor de sol. Această restricţie nu împiedică folosirea ecuaţiile (2.29) pentru descrierea mişcării în medii poroase. Ecuaţiile (2.29) se pot scrie sub forma:

qn

zgpt

q

n2*11

∇ρ

µ+∇−∇

ρ−=

∂

∂, (2.31)

unde:

wkvjuiq ⋅+⋅+⋅=rrr

. (2.32)

Pentru mişcarea permanentă a unui fluid incompresibil ecuaţia (2.31) se scrie sub forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

ρ∇

µ

ρ=∇ *21

zgp

qn

, (2.33)

unde este uneori numit potenţial gravitaţional; pentru soluri saturate

raportul

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅ *zg

ρ

p este cunoscut ca potenţial de presiune.

Multiplicând ecuaţia (2.33) cu n şi împărţind cu g obţinem:

( )*2 zn

q +ψ∇µ

γ=∇ , (2.34)

unde γ=ψ /p este potenţialul de umectare sau sucţiune (după anumiţi autori tensiune). Dacă se defineşte presiunea apei în sol în raport cu presiunea atmosferică ap

Ap , funcţia (sucţiunea) poate fi definită prin relaţia: ψ

γ

−=ψ Aa pp

, (2.35)

unde este greutatea specifică a apei. γ

62

Deoarece nu în toate cazurile se explică aplicarea unei forme a legii lui Darcy, care nu este generală, se admite ca în expresia potenţialului de umectare, ψ, să se introducă şi presiunea capilară, , pentru sistemul apă-aer din mediul poros: cp

lgc ppp −= , (2.36)

unde lp este presiunea lichidului (în cazul de faţă apa) din sol, iar este

presiunea gazului (aerului) din sol. gp

Relaţia dintre şi presiunea capilară este de forma: ψ cp

γ

−+

γ−=ψ Agc

ppp . (2.37)

Ţinând seama de faptul că γ−= /)( lgc pph , expresia lui ψ se poate scrie şi

astfel:

γ

−+−=ψ Ag

c

pph . (2.38)

Din această relaţie se observă că sucţiunea ψ este egală cu presiunea capilară, , în valoare absolută numai atunci când presiunea aerului din sol, , este egală

cu presiunea atmosferică , ch gp

Ap . Dacă se introduce funcţia (Oroveanu, 1963):

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

γ−=ϕ ∫ z

dpp

p

p0

, (2.39)

atunci legea lui Darcy generalizată pentru un fluid compresibil este de forma:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

γ∇−= ∫

p

p

zdp

KV

0

r (2.40)

Permeabilitatea efectivă (conductivitatea hidraulică) K se poate exprima prin forma echivalentă:

µ

γ=

kK , (2.41)

63

unde este vâscozitatea dinamică, iar k reprezintă permeabilitatea specifică. µ În acest caz, ecuaţia (2.40) se scrie sub forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ∇−= z

pKV

r (2.42)

sau:

.

;

;

zz

y

x

Kz

pkw

y

pkv

x

pku

+∂

∂

µ−=

∂

∂

µ−=

∂

∂

µ−=

(2.43)

Înlocuind expresiile de mai sus pentru viteze în ecuaţia (2.19) se obţine:

.⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ρ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

µρ

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

µρ

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

µρ

∂

∂=

=∂

σ∂ραθ−

∂

∂ρβθ+

∂

θ∂ρ

zzyx

x

Kz

pk

zy

pk

yx

pk

x

tnt

p

t (2.44)

Ţinând seama de ecuaţia (2.15), ecuaţia (2.44) se poate scrie şi sub forma:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ρ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

µρ

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

µρ

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

µρ

∂

∂=

∂

σ∂ραθ−

∂

θρ∂z

zyxx Kz

pk

zy

pk

yx

pk

xtnt.(2.45)

Dacă se consideră apa din mediul poros un fluid incompresibil, iar aerul un fluid compresibil, cu relaţia (2.45) se vor obţine următoarele ecuaţii:

z

K

z

pk

zy

pk

yx

pk

xtntzzyxx

∂

∂−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂=

∂

σ∂θα−

∂

θ∂ 11

1

11

1

11

1

1; (2.46)

64

( )

,2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2222

z

K

z

pk

z

y

pk

yx

pk

xtnt

zz

yxx

∂

∂ρ−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µρ

∂

∂+

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µρ

∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µρ

∂

∂=

∂

σ∂ρ

αθ−

∂

ρθ∂

(2.47)

unde indicele corespunde pentru lichid (apă), iar indicele l=1 g=2 pentru gaz (aer). Ecuaţia pentru lichid (apă), folosind ecuaţiile (2.36), (2.37) şi (2.41), se poate scrie:

.z

K

z

pk

zy

pk

yx

pk

x

z

pk

zy

pk

yx

pk

xtnt

lzg

l

lzg

l

lyg

l

lx

l

l

lzl

l

lyl

l

lxx

∂

∂−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂−

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂=

∂

σ∂αθ−

∂

θ∂

(2.48)

Introducând coeficienţii de difuzibilitate:

θ∂

∂

γ

θ=

θ∂

ψ∂θ=θ

pKKD

)()()( , (2.49)

ecuaţia (2.48) se poate scrie sub forma:

.z

K

z

pk

zy

pk

yx

pk

x

zD

zyD

yxD

xtnt

lzg

l

lzg

l

lyg

l

lx

zyxx

∂

θ∂

θ∂

∂−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

θ∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

θ∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

θ∂

∂

∂=

∂

σ∂αθ−

∂

θ∂

(2.50)

Pentru cazul unidimensional al unei coloane verticale, ecuaţiile care definesc mişcarea apei şi a aerului se scriu sub forma:

01

=∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂

µ−

∂

θ∂

z

K

z

pk

ztll

ll

(2.51)

65

( )0=

∂

∂ρ+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µρ

∂

∂−

∂

θρ∂

z

K

z

pk

ztg

gg

g

gg

gg , (2.52)

unde: lzl KK = este conductivitatea hidraulică pentru lichid (apă) funcţie de

conţinutul în apă θ şi coordonatele sistemului de referinţă, gzg KK = - conductivitatea hidraulică pentru gaz (aer).

Pentru cazul unidimensional, ecuaţia pentru lichid se poate scrie sub forma (Morel-Seytoux , 1973):

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂−

∂

θ∂

θ∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

θ∂

∂

∂−

∂

θ∂

z

pk

zz

K

zD

ztg

l

ll . (2.53)

Ecuaţia (2.53) se reduce la ecuaţia tradiţională a difuziei numai dacă este

neglijată ecuaţia (2.52) pentru aer şi termenul ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

µ∂

∂

z

pk

zg

l

l , adică presiunea

aerului rămâne constantă în tot mediul poros, independent de timp:

0=∂

θ∂

θ∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

θ∂

∂

∂−

∂

θ∂

z

K

zD

ztl . (2.54)

Bruce şi Klute (1956) au măsurat difuzibilitatea în funcţie de conţinutul de apă,

măsurând fluxul şi panta profilului 1Vx∂

θ∂ într-o coloană orizontală, cu relaţia:

x

VD l

∂

θ∂−

= . (2.55)

Curba de difuzibilitate obţinută (fig. 2.7 ) are un caracter maxim pentru conţinutul de umiditate , aproape de saturaţie, comportându-se ca o funcţie monotonă.

θ

În condiţiile în care se ţine seama de presiunea aerului, legea Darcy se poate scrie sub forma:

x

pk

xDV g

l

ll ∂

∂

µ−

∂

θ∂−= . (2.56)

66

Dacă se exprimă presiunea aerului în coloană de apă atunci ecuaţia (2.56) se

poate scrie: lgh

x

hK

xDV ll ∂

∂−

∂

θ∂−= lg . (2.57)

Deoarece şi sunt funcţii de x ecuaţia (2.57) se poate scrie sub forma: lgh θ

xx

hKDV ll ∂

θ∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+−= lg . (2.58)

Comparând ecuaţiile (2.58) cu (2.55), se pote observa că raportul fluxului la panta profilului de umiditate nu este egal cu coeficientul de difuzibilitate D, datorită gradientului de presiune a aerului.

De asemenea, experimental s-a găsit că valoarea gradientului x

h

∂

∂ lg va fi

negativă pentru valori apropiate de saturaţie; cu alte cuvinte, tendinţa de mişcare a aerului este de a contra pe cea a apei. Atât rezultatele teoretice, cât şi cele de laborator, arată că o teorie de infiltraţie realistă trebuie să ţină seama de efectul aerului din mediul poros.

Figura 2.7. Curba de difuzibilitate a conţinutului de apă (θ) pentru nisip fin.

67

2.1.3. CONDIŢIILE LA LIMITĂ Ecuaţia (2.44) pentru mişcarea apei în mediu poros se poate scrie sub forma următoare, dacă ţinem seama de condiţia (2.22):

( )

.z

K

z

pk

zy

pk

yx

pk

x

t

pns

t

zzyx

∂

∂ρ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

µρ

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

µρ

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

µρ

∂

∂=

=∂

∂β+αρ+

∂

θ∂ρ

(2.59)

Dacă legea lui Darcy (2.42) este:

( )zKV ∇−ψ∇−=r

, (2.60)

atunci ecuaţia (2.54) se scrie sub forma următoare:

( )[ ] ,

1

tnsC

z

k

zy

k

yx

k

xzyx

∂

ψ∂β+αρ+ρ=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

ψ∂

µρ

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ψ∂

µρ

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ψ∂

µρ

∂

∂

(2.61)

unde ψ∂

θ∂=C este capacitatea de umiditate specifică, iar parametrii de intrare , k,

şi n sunt funcţii de :

ρ

θ ψ

( ) ( ) ( ) ( ) ,,,, ψ=ψθ=θψ=ψρ=ρ nnkk (2.62) α fiind coeficientul de compresibilitate verticală al formaţiunii geologice. Ecuaţia de mişcare tridimensională pentru domeniul din figura 2.5 se poate scrie şi astfel:

( )

( )[ ] .t

ngsCg

Kzz

Kzy

Kyx

Kx zzyx

∂

ψ∂β+α⋅ρ⋅+⋅⋅ρ=

=∂

∂−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

ψ∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ψ∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ψ∂

∂

∂

(2.63)

68

Condiţiile la limită pe frontiera domeniului mişcării sunt de forma:

1−=∂

ψ∂

z pe frontiera impermeabilă GHH’G’;

0=∂

ψ∂

x pe secţiunile teoretice verticale impermeabile

AHH’A’ şi EGG’E’ ale frontierei; (2.64) zzc −=ψ pe frontiera ABCC’B’A’ de contact cu apa din râu;

0=ψ pe frontiera CDD’C’;

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

∂

ψ∂= 1

),(),(),(

z

txtxKtxI pe frontiera superioară DEE’D’.

Frontiera DEE’D’ reprezintă suprafaţa versantului pe care se produce ploaia

şi are loc infiltraţia totală a ploii ( txr , ) ( )txI , dacă intensitatea ploii este mai mică decât conductivitatea hidraulică la saturaţie a solului de la suprafaţă. În lipsa ploii , reprezintă rata de evaporare a apei din stratul de sol. ( txI , ) Parametrul reprezintă înălţimea stratului de apă din râu, măsurată de la patul albiei râului. În analiza de faţă , este presupus constant în timp, adică nu se ia în consideraţie influenţa creşterii nivelului din râu asupra sistemului scurgerii de subsuprafaţă. Această ipoteză se verifică în cazul afluenţilor mici de primul ordin, care constituie şi problema de studiu a lucrării de faţă.

cz

cz

2.1.4. CONDIŢIILE INIŢIALE Ecuaţia (2.63) este o combinaţie între ecuaţia de mişcare în mediu saturat (Iacob, 1940) şi ecuaţia de mişcare în mediu nesaturat (Richards, 1931), scrisă în funcţie de potenţialul capilar ( )tzyx ,,,ψ=ψ , unde 0>ψ implică condiţiile de saturare, iar 0<ψ implică condiţiile de nesaturare. Presiunea p este legată de prin relaţia familiară

ψψ⋅⋅ρ= gp . În sistemul CGS, potenţialul capilar ψ se

exprimă în centimetri coloană de apă. Suma dintre potenţialul capilar ψ şi potenţialul gravitaţional z este potenţialul total z+ψ=φ (unde ψ este negativ). Pentru ecuaţia de mişcare în mediu saturat-nesaturat există două seturi de condiţii iniţiale: condiţii statice şi condiţiile de mişcare permanentă. Condiţiile statice iniţiale presupun că nu există scurgere în sistem, deci potenţialul total este constant pentru orice ( 0,,, zyxφ ) ( )zyx ,, , iar nivelul masei de apă 0 este orizontal şi egal cu nivelul din albia râului. =ψ

69

Pentru ecuaţia de mişcare condiţiile de mişcare permanentă implică forma următoare:

01 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

ψ∂

µρ

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ψ∂

µρ

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ψ∂

µρ

∂

∂

z

k

zy

k

yx

k

xzyx . (2.65)

Deci regimul iniţial de scurgere se determină prin rezolvarea ecuaţiei reduse pentru cu condiţii la limită specificate şi parametri cunoscuţi pentru fiecare tip de sol.

ψ

Ecuaţia (2.65) se poate scrie şi sub forma:

01 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

ψ∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ψ∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ψ∂

∂

∂

zK

zyK

yxK

x zyx , (2.66)

unde , şi reprezintă conductivitatea hidraulică în direcţia , ,

respectiv . xK yK zK xO yO

zO

Condiţiile la limită pentru ecuaţia (2.66) sunt:

1−=∂

ψ∂

z pe frontiera GHH’G’;

0=∂

ψ∂

x pe frontierele AHH’A’ şi EGG’E’; (2.67)

pe frontiera CDD’C’. 0=ψ

Soluţia ecuaţiei (2.66) este considerată satisfăcătoare atunci când poziţia simulată a pânzei de apă ( 0=ψ ) verifică pe frontieră condiţiile din puncte prefixate ale domeniului scurgerii de subsuprafaţă unde se schimbă condiţiile la limită exterioare. În cazul reţelei rectangulare a schemei cu diferenţe finite, punctele prefixate pot fi alese ca fiind nodurile inferioare ale frontierei care satisfac condiţia că în suprafaţa de deasupra lor nu apar potenţiale capilare pozitive. În practică de obicei după două-trei iteraţii de căutare a soluţiei este posibil să fie îndeplinite aceste condiţii.

2.1.5. PARAMETRII SOLULUI Funcţiile de intrare în model sunt: densitatea ( )ψρ , conductivitatea hidraulică

respectiv , conţinutul de umiditate din sol ( )ψK ( )ψk ( )ψθ şi porozitatea . ( )ψn

70

De asemenea, modelul implică şi următorii parametri care se pot obţine din funcţiile de intrare:

( )ψ∂

θ∂=ψ⋅ρ⋅β=β⋅ρ⋅α=α Cgg ,',' . (2.68)

Pentru mişcarea apei într-un mediu omogen nesaturat, conductivitatea hidraulică K este o funcţie de ψ ; deoarece acesta se schimbă în timp, se poate scrie relaţia:

( ) ( )tKKK =ψ= . (2.69)

În cadrul mişcării apei într-un mediu heterogen nesaturat conductivitatea hidraulică este dependentă de formaţiunea geologică specificată F sau tipul de sol şi de astfel: ψ

( ) ( )tzyxKFKK ,,,, =ψ= . (2.70) Măsurătorile în laborator ale conductivităţii hidraulice se prezintă de obicei sub formă de grafice . Pe baza relaţiei de mai jos, curbele pot fi transformate uşor în curbe

ψ−K ψ−Kψ−k :

g

Kk

ρ

µ= . (2.71)

Datorită fenomenului de histerezis, între curbele limită corespunzătoare unui sol umed sau uscat pot exista practic un număr infinit de curbe intermediare. De obicei, pentru (zona saturată) k este considerat constant, dar poate fi inclusă şi creşterea lui k datorită creşterii porozităţii.

0>ψ

Madsen (1969) a menţionat că această creştere în porozitate poate fi de importanţă considerabilă pentru problemele practice. Youngs (1964) a sugerat o metodă simplă pentru determinarea conductivităţii hidraulice într-un mediu nesaturat din măsurătorile infiltraţiei. Această metodă se bazează pe teoria că volumul total de apă Vol infiltrat la momentul t este:

∫=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂

∂ψθ=

t

zz dt

zKVol

0 0

1)( , (2.72)

în care este conductivitatea, z este distanţa măsurată vertical de la suprafaţă.

Când , atunci aproape de saturaţie

)(θzK

0=z 0=∂

ψ∂

z, iar primul termen al integralei se

poate aproxima cu o constantă similară celor folosite în teoria infiltraţiei. Atunci când ∞→t rezultă:

71

tKaVol z ⋅θ+= )( (2.73) sau:

)(θ+= zKt

a

t

Vol. (2.74)

Din ecuaţia (2.74) rezultă că valoarea )(θzK poate fi în mod convenabil determinată din panta asimptotică a volumului de apă infiltrat în funcţie de timp (fig. 2.8 şi fig. 2.9). Variaţia conţinutului de umiditate din sol în funcţie de ψ se prezintă în figura 2.10. Conţinutul de umiditate de saturaţie egalează porozitatea. Linia punctată permite să se ia considerare creşterea porozităţii în funcţie de creşterea potenţialului capilarψ . Panta curbei ( )ψ=θ f este definită ca fiind valoarea capacităţii de umiditate specifică ( )ψC . Variaţia acestui parametru cu potenţialul capilar este prezentată în figura 2.11. ψ

Figura 2.8. Variaţia conductivităţii Figura 2.9. Determinarea conductivităţii Hidraulice în funcţie de hidraulice )(θzK )(θzK după Youngs (1964).

umiditatea din sol θ .

Figura 2.10. Relaţia dintre umiditatea θ şi potenţialul capilar ψ .

Figura 2.11. Relaţia dintre panta C a curbei ( )ψ=θ f şi potenţialul capilarψ .

72

Pentru solurile în care saturaţia se realizează la un potenţial capilar puţin mai mic ca zero, curbele din figurile 2.10 şi 2.12 s-ar deplasa puţin spre stânga. În astfel de soluri zona saturată apare deasupra pânzei de apă. Densitatea apei în cazul modelului de faţă se determină cu relaţia:

( )ψβρ=ρ 'exp0 , (2.75)

unde este densitatea apei din sol corespunzătoare condiţiei: 0ρ

0=ψ . (2.76)

Figura 2.12. Relaţia dintre permeabilitatea specifică şi potenţialul capilar . ψ

Variaţia densităţii în funcţie de potenţialul capilar se prezintă în figura 2.13. Compresibilitatea apei fiind o funcţie de 'β ψ prin intermediul densităţii şi

deoarece se face o mică eroare, dacă se defineşte , atunci variaţia ei este constantă, după cum se prezintă şi în figura 2.14.

ρ

g⋅ρ⋅β=β 0'

Figura 2.13. Variaţia densităţii în funcţie de potenţialul capilar ψ .

Figura 2.14. Variaţia compresibilităţii apei

'β funcţie de potenţialul capilar . ψ

73

Este de remarcat faptul că nu există discontinuitate în valoarea compresibilităţii atunci când se schimbă de la valori pozitive (cazul saturaţiei) la valori negative (cazul nesaturat).

ψ

Din relaţiile (2.13) şi (2.22) rezultă:

t

pn

tn

t

n x

∂

∂α−=

∂

σ∂α−−=

∂

∂)1()1( . (2.77)

Dacă se ţine seama că între p şi ψ există relaţia :

ψ⋅⋅ρ= gp , (2.78)

din relaţia (2.77) se obţine:

t

nt

u

∂

ψ∂α−=

∂

∂')1( (2.79)

sau:

ψα=−

dn

nd'

1, (2.80)

care este relaţia fundamentală (prezentată în fig. 2.15 pentru porozitatea n, iar în fig. 2.16 pentru ), pentru compresibilitatea verticală a acviferului care are forma unei funcţii scară.

'α

Figura 2.15. Variaţia porozităţii ncu potenţialul capilar . ψ

Figura 2.16. Variaţia compresibilităţii verticale 'α cu potenţialul capilar . ψ

Trebuie menţionat faptul că relaţiile care au stat la baza determinării variaţiei porozităţii n şi a compresibilităţii verticale 'α funcţie de potenţialul capilar ψ au fost obţinute în condiţiile unui mediu elastic poros mărginit. Din această cauză este necesară analiza valabilităţii acestor relaţii pentru mediul elastic poros nemărginit şi nesaturat, pentru care se aplică modelul de faţă. Relaţia (2.22) a fost obţinută în ipoteza în care o schimbare în presiunea din pori trebuie să producă imediat o schimbare egală şi de semn contrar în tensiunile

74

efective dintre particulele de sol, datorită presiunii constante exercitată pe unitatea de suprafaţă de către coloana ocupată de solid şi fluid. Pentru medii poroase nemărginite nu există explicaţii rezonabile să se presupună că presiunea exercitată de coloana solid-fluid este constantă. Schimbările din conţinutul de apă existent în coloana de sol pot produce schimbări semnificative în presiunea totală exercitată de coloana solid-fluid. De asemenea, în zona nesaturată sunt posibile schimbări ale presiunii, iar tensiunile dintre pori probabil nu au puterea să suporte aceste schimbări în presiune. Deci, numai considerând că în general schimbările în presiune pot fi echilibrate de schimbările în tensiune, relaţiile de mai sus pot fi aplicate şi pentru mediul poros elastic nemărginit şi nesaturat. De asemenea, influenţa porozităţii şi compresibilităţii pentru sistemele naturale de curgere este numeric nesemnificativă asupra paternului scurgerii.

2.1.6. REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIEI DE MIŞCARE

Ecuaţia (2.61) este o ecuaţie cu derivate parţiale de tip parabolic neliniară. Pentru rezolvarea numerică există multe metode şi o bogată literatură de specialitate: Remson, Hornberger şi Molz (1971); Racoveanu, Dodescu şi Mincu (1977) etc., care descriu în mod sistematic şi detaliat diferitele scheme numerice de rezolvare. În general, schemele numerice pot fi iterative sau directe, iar formularea în diferenţe finite poate fi implicită sau explicită. O schemă numerică iterativă care foloseşte formulările cu diferenţe finite implicite trebuie să minimizeze timpul de calcul şi să garanteze stabilitatea necondiţionată pentru toate mărimile pasului de timp (deşi acurateţea va descreşte prin folosirea de paşi de timp mari). În cazul modelului de faţă tehnicile iterative au un avantaj sporit faţă de tehnicile directe, în sensul că ele permit recalcularea la fiecare iteraţie a termenilor care sunt funcţii de variabilele independente. În general, pentru rezolvarea ecuaţiilor de tip parabolic neliniare cu derivate parţiale se folosesc următoarele metode: Metoda Suprarelaxărilor Succesive în Linie (MSSL) şi Metoda Direcţiilor Alternante Implicită (MDAI). Pentru rezolvarea ecuaţiei (2.61) (în condiţiile kkkk zyx === pentru o

formaţiune geologică) se va folosi metoda MSSL, orientată în direcţia z şi o reţea tridimensională ( )kji ,, în spaţiul ( )zyx ,, prezentată în figura 2.17,a. În direcţia x nodurile sunt numerotate cu ajutorul parametrului i, Ni ,...,3,2,1= ; în direcţia y sunt numerotate cu ajutorul parametrului j, Mj ,...,3,2,1= ; iar în direcţia z cu ajutorul parametrului l, . Ll ,...,3,2,1=

75

Figura 2.17. Reţeaua rectangulară folosită pentru rezolvarea ecuaţiei în diferenţe finite.

Pasul de timp este considerat tT∆ , iar indicele t ia valorile (fig. 2.17,c). Spaţiile dintre nodurile tridimensionale pot fi variabile, iar domeniul mişcării poate fi de orice formă, cu condiţia să nu existe întreruperi ale continuităţii oricărei coloane de noduri verticale. Fiecare nod este considerat ca fiind în interiorul unei formaţiuni geologice, F, astfel încât:

,...3,2,1=t

( )

( ).,

;,

tijl

tij

tijl

tijl

FCC

Fkk

ψ=

ψ=

(2.81)

Schema cu diferenţe finite pentru primul termen al ecuaţiei (aceeaşi şi pentru termenii în y şi z) este de forma:

76

( ) ( ) ( )

( ) ;

1,,

21

,,21

21

,,21

21

,,21

21

,,21

21

,,21

21

,,21

21

,,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ψ∂ρ−

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ψ∂ρ

∆=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

ψ∂ψψρ

∂

∂

−

−

−

−

−

−

−

+

−

+

−

+

−

t

lji

t

ljixt

lji

t

lji

t

ljixt

ljii

t

ljix

xk

xk

xxFkF

x

(2.82)

1

1,,1,,1

1,,,,2

1

,,21 −

−−−

−−

− ∆+∆

ψ−ψ−ψ+ψ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂ψ

ii

tlji

tlji

tlji

tlji

t

ljixxx

; (2.83)

1

1,,,,

1,,1,,12

1

,,21 +

−−++

−

+ ∆+∆

ψ−ψ−ψ+ψ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂ψ

ii

tlji

tlji

tlji

tlji

t

ljixxx

; (2.84)

( ) ( ) ( It

ljixIt

ljikk ψ=ψρ=ρ

−

+

−

+2

1

,,21

21

,,21 , ) ; (2.85)

( ) ( ) ( IIt

ljixIIt

ljikk ψ=ψρ=ρ

−

−

−

−2

1

,,21

21

,,21 , ) , (2.86)

unde şi se calculează conform schemei prezentată în figura 2.17,b: Iψ IIψ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ψ+ψ=ψ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ψ+ψ=ψ −+ ljiljiIIljiljiI ,,,,1,,1,, 2

1;

2

1.

Derivata din membrul drept al ecuaţiei (2.61) şi ( )ψ,FC în diferenţe finite se scriu sub forma:

t

tlji

tlji

t

lji Tt ∆

ψ−ψ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂ψ −− 1,,,,2

1

,,

(2.87)

( )[ ] ( ) ( )itljiVIIVII

tlji CFC ψ+ψ=ψψ=ψ

−,,

21

,, 2

1,, . (2.88)

Pentru un element de volum ( )lji ,, la pasul de timp t ecuaţia în diferenţe finite se scrie astfel:

77

( ) ( ) (

)] ( ) ( ) (

)] ( )

( ) ( )]−ψ−ψ⎢⎢⎣

⎡−ψ+ψ

∆+∆ψ∗

∗ψρ∆µ

+ψ−ψ−ψ+

⎢⎢⎣

⎡+ψ

∆+∆ψψρ−ψ−ψ−

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎢⎢⎣

⎡−ψ+ψ

∆+∆ψψρ

∆µ

−−++

−

−−−

−

−

−

−++

+

1,,,,

1,1,,1,

1

1,,1,,1

1,,

,,1

1,,,,

1,,1,,1

1

1

1

1

11

tlji

tlji

tlji

tlji

iiIII

IIIi

tlji

tlji

tlji

tlji

iiIIII

tlji

tlji

tlji

tlji

iiII

i

yyk

y

xxk

xxk

x

(2.89)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) −⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ψ−ψ−ψ+ψ

∆+∆+ψψρ

∆µ+

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ψ−ψ−ψ+ψ

∆+∆ψψρ−

−−++

+

−−−

−

−

1,,,,

11,,1,,

1

1,1,,1,

1,,,,

1

11

1

1

tlji

tlji

tlji

tlji

llVV

l

tlji

tlji

tlji

tlji

iiIVIV

zzk

z

yyk

( ) ( ) ( ) =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ψ−ψ−ψ+ψ

∆+∆+ψψρ− −

−−−

−

11,,1,,

1,,,,

1

11 t

ljit

ljit

ljit

ljill

VIVI zzk

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) .

1,,,,

t

tlji

tlji

VII

VIIVIIVIIVIIVII Tn

nC∆

ψ−ψ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ψ

ψθψρβψ+α+ψψρ=

−

Metoda suprarelaxăriilor succesive în direcţia verticală z permite gruparea termenilor din ecuaţia (2.89) sub următoarea formă:

, (2.90) lt

ljilt

ljilt

ljil DCBA =ψ−ψ+ψ− −+ 1,,,,1,,

unde , , şi se obţin din gruparea coeficienţilor termenilor ecuaţiei. lA lB lC lD

În timpul explorării unei linii din reţeaua tridimensională, valorile lui pe liniile adiacente calculate în ultima iteraţie sunt considerate ca valori cunoscute ale lui .

tψ

1−ψt

78

Setul de ecuaţii (2.90) pentru o linie de explorare formează o ecuaţie matricială tridiagonală, care poate fi rezolvată prin cunoscuta schemă de triangulaţie concretizată în următoarele relaţii de recurenţă:

(2.91) ,pentru

;pentru

,

1,,

LjF

LlFE

lt

li

jt

lijt

li

==ψ

<+ψ=ψ +

unde:

1

11

1;1pentru

B

AEl

ECB

AE

lll

ll =>

−=

−; (2.92)

1

11

1

1 ;1pentruB

DFl

ECB

FCDF

lll

llll =>

−

+=

−

− . (2.93)

După fiecare iteraţie notată it, valorile lui ψ calculate în fiecare nod sunt suprarelaxate sub forma următoare:

. (2.94) 21,)1( 1,,, ≤ω≤ψω−+ωψ=ψ −ittittcalc

itt

La fiecare iteraţie este necesar să se prognozeze un potenţial capilar în

fiecare nod pe baza căruia să se poată calcula valorile curente ale funcţiilor de intrare şi

( )progψ

)(),(),(),( ψψθψψρ nk ).(ψC Pentru prima iteraţie a primului pas de timp se obţine:

, (2.95) 1,,,,)(

−ψ=ψ tlji

tljiprog

unde pentru ( )0,,0 ljit ψ= trebuie să se ţină seama de condiţiile iniţiale.

Pentru prima iteraţie la un pas de timp mai târziu se foloseşte relaţia:

( ) 2,,

1,,,,)( 1 −− ψ−ψ+=ψ t

ljitt

ljitt

ljiprog TT , (2.96)

unde:

t

t

t T

TT

∆

∆=

2 . (2.97)

Pentru iteraţiile următoare, pentru toţi paşii de timp, va fi folosită formula:

( ) 101,,,)(

1,,,

1,,,)(

,,,)( ≤λ≤ψ−ψλ+ψ=ψ −−− iti

ljiprogiti

ljiiti

ljiprogiti

ljiprog . (2.98)

79

Valoarea lui care apare în ecuaţia (2.89) este valoarea prognozată a lui ψ pe frontiera dintre două blocuri nodale; se determină cu formula:

Iψ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ψ+ψ=ψ −

+1

,,1)(,,)(2

1 tljiprogljiprogI . (2.99)

Valorile lui , , , IIψ IIIψ IVψ Vψ şi VIψ se determină în mod asemănător, valoarea lui fiind egală cu VIIψ ( ) ljiprog ,,ψ . Dacă frontiera elementului de volum

pe care se calculează este o frontieră geologică dintre două tipuri de sol având permeabilităţile şi atunci:

Iψ

1k 2k

[ )()(2

1)( 21 III kkk ψ+ψ=ψ ] . (2.100)

Pentru cazul mişcării permanente care constituie condiţiile iniţiale pentru modelul prezentat, valoarea optimă a parametrului de suprarelaxare ω a fost găsită egală cu 1,88. Atunci când ecuaţia (2.96) a fost folosită ca predictor iniţial, ea înlocuind necesităţile de suprarelaxare, valoarea parametrului de relaxare a fost de . De asemenea, s-au folosit şi ecuaţiile (2.95) şi (2.96) pentru valoarea parametrului de relaxare . Aceste variante definesc două metode pentru obţinerea convergenţei:

ω0,1=ω

30,1=ω

1. ecuaţiile (2.95) şi (2.98) cu 30,1=ω ; 2. ecuaţiile (2.96) şi (2.98) cu 0,1=ω .

Prin încercări succesive a fost foarte uşor de ales între cele două metode, deoarece ambele, pentru o toleranţă de 0,001, sunt convergente în limitele a 10 iteraţii. Valoarea λ nu a fost optimizată deoarece soluţia nu pare a fi foarte sensibilă la acest parametru. În general, în orice nod al reţelei tridimensionale pot fi impuse condiţii referitoare la fluxul de apă, presiune sau lipsa scurgerii. Pentru fluxul de pe frontiera superioară a blocului de noduri (suprafaţa versantului) în direcţia z, primul termen al membrului doi din reprezentarea în diferenţe finite a scurgerii de apă în direcţia z se înlocuieşte conform condiţiilor la limită (2.64) cu expresia:

( )[ ] zIxVII ∆ψρ / , (2.101)

unde pozitiv înseamnă aport din ploaie (infiltraţie), iar negativ înseamnă pierdere de apă din sistem (evapotranspiraţie). În lipsa scurgerii pe frontieră .

xI xI

0=I

80

Atunci când pe suprafaţa solului apar acumulări de apă, condiţiile la limită superioare se schimbă: fluxul de intrare pe frontieră se înlocuieşte cu presiunea specifică din acumulările de apă. Programul de calcul permite schimbarea condiţiile la limită de la un tip la altul în timpul obţinerii soluţiei în cazul prezenţei frontierei umede (de percolare) CDD'C'. Atât timp cât , pe această suprafaţă nu se produce percolarea apei din sol, dar devine o frontieră cu presiune constantă, permiţând ieşirea apei din sol când .

0<ψ

0=ψ Relaţiile funcţionale neliniare )(),(),( ψθψψρ k şi )(ψn sunt prelucrate în programul de calculator, sub formă de fişiere vector pentru fiecare segment de dreaptă care aproximează curba, pentru sol umed, sol uscat şi histerezis. Această reprezentare permite efectuarea calculului de interpolare între coordonatele punctelor. În acest model sunt folosite 12 segmente de dreaptă pentru fiecare din curbele utilizate. Programul alege curba corectă numai după ce determină natura solului din elementul de volum analizat (umed, uscat sau histerezis) în funcţie de starea anterioară a elementului. Pentru elementele unde apare scurgere, se folosesc datele pentru cazul solului saturat. De asemenea, mărimea pasului de timp poate fi optimizată în câteva moduri, astfel încât să poată fi aleasă seria de paşi de timp care să se potrivească problemei ce urmează a fi rezolvată. Programul a fost scris astfel încât să permită conversia de la trei dimensiuni la două şi folosirea modelului pentru mişcarea permanentă, care de altfel reprezintă condiţia iniţială pentru mişcarea nepermanentă în sol saturat-nesaturat. Datele de ieşire - potenţialul capilar, potenţialul total, conţinutul de umiditate - se obţin sub formă de grafice sau diagrame pentru orice secţiune dorită şi pentru orice pas de timp. Din diagramele care prezintă potenţialul capilar putem se pote determina poziţia pânzei de apă din sol, iar din diagramele care prezintă potenţialul total putem se determină tipul (paternul) scurgerii şi valorile cantitative ale ratei scurgerii de bază.

2.1.7. TESTAREA MODELULUI PE PARCELE DE SCURGERE Relaţia dintre infiltraţie şi reîncărcarea acviferului a fost studiată de Freeze (1969) cu un model unidimensional vertical nepermanent. Parametrii care controlează realimentarea naturală a bazinului apelor subterane sunt consideraţi şi în modelele bidimensionale şi tridimensionale. Aceşti parametri sunt: intensitatea şi durata ploii, condiţiile climatice din timpul perioadei ulterioare de redistribuţie a apei în sol, intensitatea şi direcţia de scurgere a pânzei freatice, umiditatea anterioară a solului, înălţimea pânzei freatice şi proprietăţile hidrologice ale solului nesaturat.

81

Intensitatea infiltraţiei, înălţimea pânzei freatice şi condiţiile de umiditate ale solului pot varia foarte mult pe suprafaţa bazinului şi depind esenţial de topografia bazinului. Modelele bidimensionale şi tridimensionale pot fi folosite pentru cercetarea acestor variaţii atât în spaţiu, cât şi în timp. Astfel, cu modelul descris anterior se poate studia efectul poziţiei sursei de infiltraţie pe suprafaţa bazinului asupra distribuţiei umidităţii din sol, precum şi efectul asupra poziţiei pânzei freatice. Pentru testarea capacităţii modelului de a simula aceste variaţii ale datelor de intrare s-a ales bazinul schematizat al parcelei de 300 m2 din cadrul bazinului experimental Voineşti (fig. 2.18), parcelă care este impermeabilizată pe frontierele AHGE şi CD, iar frontiera DE reprezintă suprafaţa parcelei pe care trebuie să se precizeze datele de intrare (fluxul de apă, potenţialul hidraulic sau presiunea). Condiţiile iniţiale pentru toate simulările efectuate au fost cele corespunzătoare regimului de mişcare permanentă. Dimensiunile parcelei în plan vertical sunt: lungimea de 30 m (în direcţia axei Ox) şi înălţimea în amonte 1,40 m, iar în aval 2,00 m (în direcţia axei Oz). Reţeaua rectangulară ( )2050 ⋅ noduri cu spaţii variabile de 10 cm până la 50 cm. Tipul de sol din parcelă are porozitatea 30,0=sn şi permeabilitatea specifică la

saturaţie (conductivitatea hidraulică 9108,5 −⋅=sk 2cm 62,10 =k cm/oră).

Compresibilitatea α‘ a fost estimată ca fiind egală cu . -18 cm102,3 −⋅

Figura 2.18. Bazinul schematizat al parcelei de 300 2m

- bazinul experimental Voineşti.

82

Presiunea aerului din pori a fost neglijată, astfel încât linia suprafeţei pânzei de apă 0 va coincide cu profilul de umiditate =ψ 30,0=θ . Modificarea în timp a poziţiei pânzei de apă freatice este rezultatul următoarelor trei tipuri de scenarii de infiltraţie:

- infiltraţie din averse de ploaie limitată ca suprafaţă, cu intensitate mare şi durată mică;

- infiltraţie din topirea zăpezii pe suprafaţă limitată cu intensitate mică şi de lungă durată;

- infiltraţie din acumulările de apă din depresiunile suprafeţei versantului pe suprafeţe concentrate, cu intensitate mare şi de lungă durată.

Regimul de scurgere permanent iniţial este prezentat în fiecare din figurile 2.19 a, b, c, atunci când potenţialul pe suprafaţa DE este cm100−=ψ . Soluţia numerică a modelului este câmpul de presiuni din care se determină şi celelalte două câmpuri de valori: conţinutul de umiditate θ şi presiunea hidraulică totală (fig. 2.19 b, c). Scurgerea netă se poate determina pe baza câmpului de valori ale presiunii hidraulice. În figurile 2.20,a, 2.21 şi 2.22 se prezintă răspunsurile sistemului de curgere saturată-nesaturată pentru aceste trei tipuri de scenarii hidrologice. Poziţia frontului umed pentru o ploaie de 15 mm/oră distribuită uniform pe întreaga suprafaţă a parcelei este reprezentată în figura 2.20,a pentru diferite intervale de timp (5 ore, 6 ore şi 7 ore). În figurile 2.20,b,c sunt prezentate variaţiile în conţinutul de umiditate din sol şi ale potenţialului hidraulic pe baza căruia se poate determina şi scurgerea de apă. Răspunsul bazinului este condiţionat de condiţiile iniţiale de umiditate, intensitatea ploii şi de adâncimea pânzei de apă care separă mediul nesaturat de mediul saturat. În figura 2.22 se prezintă efectul infiltraţiei concentrată pe suprafaţa versantului pentru diferite intervale de timp. Poziţia de tranziţie a pânzei de apă şi conţinutul de umiditate al solului se obţine pentru 9=t ore. Cu modelul prezentat anterior se pot simula 3 tipuri de hidrografe. Primul tip reprezintă variaţia în timp a intensităţii infiltraţiei în orice punct de pe suprafaţa versantului, al doilea tip se referă la creşterea pânzei de apă, care poate fi cartată în orice punct al bazinului, iar al treilea tip se referă la hidrograful scurgerii de subsuprafaţă.

83

Figura 2.19. Simularea răspunsului sistemului de scurgere saturat-nesaturat: a) potenţialul presiunii; b) conţinutul iniţial de umiditate ( 0=t );

c) presiunea hidraulică totală.

84

Figura 2.20. Simularea răspunsului sistemului de scurgere saturat-nesaturat: a) poziţia de tranziţie a pânzei freatice; b) conţinutul de umiditate pentru ; 7=t

c) presiunea hidraulică totală ( 7=t ).

85

Figura 2.21. Simularea poziţiei pânzei freatice în cazul infiltraţiei din topirea zăpezii.

Figura 2.22. Răspunsul sistemului de scurgere saturat-nesaturat pentru infiltraţie areal concentrată.

În figura 2.23,a se prezintă primele două tipuri de hidrografe pentru punctul A din figura 2.22.

86

Figura 2.23. a - simularea intensităţii infiltraţiei; b - simularea poziţiei pânzei freatice

c - simularea scurgerii de subsuprafaţă.

Variaţia în timp a intensităţii infiltraţiei în funcţie de gradul de saturaţie a solului se prezintă în mod schematic în figura 2.23,b. Pentru intensităţi de infiltraţie mai mari decât conductivitatea hidraulică la saturaţie a solului se obţine saturarea suprafeţei şi apar acumulări de apă pe suprafaţa versantului (băltiri), iar intensitatea se reduce la o valoare care tinde să se apropie asimptotic de valoarea conductivităţii hidraulice. În cazul când intensitatea infiltraţiei ( I ) este mai mică decât conductivitatea hidraulică la saturaţie ( ), intensitatea infiltraţiei va fi egală cu intensitatea scurgerii subterane, în condiţiile bazinului complet saturat.

sK

87

Fluctuaţiile în pânza freatică sunt prezentate în figura 2.23,c pentru două cazuri tipice: 1 - saturaţia suprafeţei şi 2 - pânza freatică nu atinge suprafaţa. Rezultatele simulării scurgerii de suprafaţă pentru parcela de 300 din cadrul bazinului experimental Voineşti se prezintă în figura 2.24.

2m

Calcularea diferenţei dintre intensitatea ploii şi intensitatea infiltraţiei conduce la hidrograful ploii în exces, care este cheia modelării răspunsului hidrologic al bazinului hidrografic. Simularea bidimensională a variaţiei conţinutului de umiditate pentru diferite intervale de timp se prezintă în figura 2.25. Valorile adoptate pentru şi zD xD au

fost: , respectiv 25=zD zi/cm2 5=xD zi/cm2 , iar viteza apei din pori . cm/zi50=v

Figura 2.24. Rezultatele simulării scurgerii de subsuprafaţă pe parcela de 300 2mbazinul experimental Voineşti.

88

Figura 2.25. Simularea bidimensională a variaţiei conţinutului de umiditate din sol.

Analiza rezultatelor simulărilor pe parcele de scurgere de bilanţ a condus la următoarele concluzii:

- Scurgerea de suprafaţă de tranziţie poate fi simulată cu un model tridimensional ale cărui ecuaţii sunt o combinaţie între ecuaţiile mişcării într-un mediu saturat şi ale ecuaţiilor mişcării într-un mediu nesaturat rezolvate prin metoda suprarelaxărilor succesive în linie, pentru o grilă spaţială. Parametrii de intrare includ intensitatea ploii, evaporaţia şi

89

proprietăţile solului (permeabilitatea, factorii de compresibilitate, relaţiile dintre permeabilitate, umiditate şi presiune), iar ieşirile se referă la presiunea totală, potenţialul presiunii şi conţinutul de umiditate în orice punct al bazinului şi la orice pas de timp. Din datele de ieşire se pot calcula hidrograful infiltraţiei, hidrograful scurgerii de subsuprafaţă, înălţimea pânzei freatice şi scurgerea de bază (scurgerea subterană).

- Includerea zonei nesaturate în modelarea scurgerii conduce la o tratare completă a scurgerii din bazin în condiţiile date.

- Restricţiile în care a fost obţinut modelul (neconsiderarea prezenţei aerului, curgerea particulelor de sol sau efectul temperaturii) pot limita aplicarea modelului prezentat pentru simularea răspunsului hidrologic al tuturor bazinelor hidrografice. Limitele de calcul numeric restrânge aria de aplicare la bazine mici (de ordinul 2km ) şi dimensiuni ale zonei saturat - nesaturate de ordinul a 300 m.

Deşi modelul prezentat este de mare complexitate, el este deschis la transformări care să reducă calculele sofisticate în funcţie de datele disponibile.

2.2. MODELE DE INFILTRAŢIE ŞI ABSORBŢIE A APEI ÎN SOL Ecuaţia (2.50) poate fi folosită pentru descrierea unei game variate de probleme de microhidrologie (curgeri incompresibile), care includ infiltraţia, creşterea capilară, reţinerea apei în sol, drenarea solului, extragerea apei din sol prin plante şi prin evaporaţie. Pentru examinarea acestor probleme se consideră mişcarea numai în direcţia verticală, în condiţiile că aerul din pori este la presiunea atmosferică, iar tensiunile interne sunt neglijabile. În aceste ipoteze ecuaţia (2.50) se poate scrie sub forma:

z

k

zD

ztz

∂

θ∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

θ∂θ

∂

∂=

∂

θ∂ )()( , (2.102)

unde ( ) ( )θ=θ zDD . Această ecuaţie în literatura de specialitate este cunoscută sub numele de ecuaţia Richards. Deoarece ecuaţia (2.102) este neliniară, nu se poate determina soluţia analitică decât pentru anumite cazuri speciale. Din această cauză, pentru obţinerea soluţiei ecuaţiei se folosesc metode numerice după cum s-a prezentat şi în paragraful anterior.

90

2.2.1. MODELE DE INFILTRAŢIE Rezolvând ecuaţia (2.102) pentru un domeniu semiinfinit cu condiţiile iniţiale şi la limită:

, pentru 0θ=θ 0,0 >= zt ; (2.103)

, pentru 1θ=θ 0,0 =≥ zt ,

se obţine o soluţie de forma:

. (2.104) ∑∞

=θϕ=θ

1

2/)(),(n

nn ttz

În expresia (2.104) este soluţia ecuaţiei integrodiferenţiale neliniare: 1ϕ

∫θ

θϕ

θ−=θϕ

01

12

1

d

dDd (2.105)

şi verifică condiţia: ( ) 011 =θϕ . (2.106)

Coeficienţii nϕ de ordin sunt soluţiile ecuaţiilor integrodiferenţiale: 2≥n

0

2

10

KKd

d

d

dDd n

n −+θ

ϕ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ϕ

θ=θϕ∫

θ

θ

, (2.107)

care verifică condiţiile:

( ) 01 =θϕn , (2.108) iar ( )00 θ= KK . Integrând ecuaţia (2.104) în raport cu θ se obţine funcţia de infiltraţie cumulată:

, (2.109) ∑∞

=+Φ=

10

2/)(i

nn tKtti

unde:

, (2.110) ∫θ

θ

θϕ=Φ1

0

dnn

91

iar prin termenul se ţine seama de scurgerea spre infinit de sub profilul de umiditate.

tK0

Dacă în ecuaţia (2.109) se consideră numai primii doi termeni ai dezvoltării în serie, se obţine ecuaţia de infiltraţie sub forma prezentată de Philip (1957):

, (2.111) tAtSti ⋅+⋅= 2/1)(

unde absorbţia S este , iar al doilea parametru este dat de relaţia: 1φ=S

. (2.112) 0202

1

0

KdKA +θϕ=+Φ= ∫θ

θ

Ţinând seama de ecuaţia (2.105), ecuaţia (2.107) se poate scrie sub forma:

011

22

00

2

1KKd

d

dd −+θϕ

ϕ

ϕ=θϕ ∫∫

θ

θ

θ

θ

. (2.113)

Dacă limita superioară a integralelor este 1θ=θ se obţine:

11

2

12

1K

d

dSA +

ϕ

ϕ−=

θ=θ

, (2.114)

unde ( )11 θ= KK , iar . ∫θ

θ

θϕ=Φ=1

0

11 dS

Dacă se împarte ecuaţia (2.114) cu parametrul se obţine ecuaţia: 1K

1

1

2

11 21

θ=θϕ

ϕ−=

d

d

K

S

K

A, (2.115)

cu forma alternativă:

∫θ

θ θ=θϕ

ϕθϕ−=

0 11

21

11 2

11

d

dd

KK

A. (2.116)

92

Toate expresiile din al doilea termen al membrului drept al ecuaţiilor (2.115) şi (2.116) sunt pozitive când 10 θ<θ . Valoarea lui S şi a integralei din (2.116) sunt egale cu zero când . 10 θ=θ În ipotezele de mai sus se verifică inegalitatea:

1/ 1 ≤KA . (2.117)

Inegalitatea (2.117) devine egalitate:

1/ 1 =KA (2.118)

numai pentru cazul particular 10 θ=θ , care se poate realiza de exemplu atunci când infiltraţia are loc într-un sol saturat iniţial. Pentru a nu da o interpretare greşită relaţiei dintre A şi şi a nu face o evaluare eronată a raportului pentru situaţii reale, trebuie făcută o analiză atentă a două influenţe foarte distincte asupra valorii raportului :

1K

1/ KA

1/ KA

- mărimea raportului ; 10 / KK

- forma funcţiilor ( )θD şi θddK / pentru ecartul 10 θ≤θ≤θ .

Se consideră un număr de soluri pentru care există relaţiile:

,*.)(

;,*.)(

01

00

101

00

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θ−θ

θ−θ=−θ

θ≤θ≤θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θ−θ

θ−θ=θ

KconstKK

DconstD

(2.119)

fiecare sol având aceeaşi funcţie D şi aceeaşi funcţie K. Se introduce parametrul astfel încât: ε

( ) ( )ε+ε=−=ε 1//,/ 10010 KKKKK . (2.120)

Evident atunci când creşte de la 0 la ε ∞ , creşte către . Atunci, din ecuaţia (2.116) rezultă:

0K 1K

( ) ( )ε+

ε+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ε+=ε

10

1

1

11 K

A

K

A, (2.121)

adică creşte de la valoarea sa minimă 1/ KA ( )0/ 1KA , când este neglijabil, la valoarea 1, când , adică

10 / KK

10 KK → 0θ tinde la valoarea saturaţiei . 1θ

93

Este de evidenţiat faptul că ε poate să atingă valori numai de ordinul a câtorva procente chiar în soluri cu umiditate relativă pentru care 0θ este mai mare de 60% din valoarea de saturaţie. Influenţa raportului asupra lui 10 / KK 1/ KA este evidenţiată numai atunci când conţinutul iniţial de umiditate este foarte mare. Este recunoscut că pentru soluri neafânate ( )θD tinde să crească monoton cu θ , variaţia fiind relativ mare în cazul solurilor cu structură macrogranulară. În mod similar, variaţia relativă a lui ( )θD în ecartul 10 θ≤θ≤θ va fi mai mare în soluri iniţial uscate ( 0θ mic), descrescând în mod marcant când 10 θ→θ . Variaţia relativă a lui θddK / pentru limite relevante ale lui θ este influenţată într-o manieră similară de ambele tipuri de textură a solului şi de valoarea . 0θ Rezultă că atât textura, cât şi 0θ influenţează formele funcţiilor ( )θD şi , iar acestea determină valoarea lui când raportul este neglijabil.

θddK /

1/ KA 10 / KK În cazul alimentării continue prin infiltraţie a zonei de aeraţie, ecuaţia (2.102) se poate scrie sub forma:

ε+∂

θ∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

θ∂θ

∂

∂=

∂

θ∂

z

K

zD

tt

)()( , (2.122)

unde, în cazul drenajului, , respectiv 0=ε ( )ti=ε , în cazul infiltraţiei. Dacă se presupune că difuzitatea D şi conductivitatea hidraulică ( )θK nu variază cu adâncimea, iar , ecuaţia (2.122) devine: 0=ε

2

2

zD

t ∂

θ∂=

∂

θ∂, (2.123)

care, rezolvată pentru următoarele condiţii iniţiale şi la limită:

pentru 0θ=θ 0=t ;

cθ=θ pentru 0=z ; (2.124)

0=∂

θ∂

z pentru limzz = ,

unde este poziţia frontului de umiditate limită sub care nu avem curgere, conduce la următoarea soluţie:

limz

94

( )lim

2lim

22

10 2

)12(sin

4

)12(exp

)12(

4

z

zn

z

tnD

nncc

π−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ π−−

π−θ−θ−θ=θ ∑

∞

=. (2.125)

Deoarece ecuaţiile generale de mişcare a apei în sol sunt în general neliniare şi necesită metode complexe pentru rezolvare, aşa cum s-a prezentat în paragraful anterior, mulţi cercetători şi-au îndreptat atenţia spre găsirea de modele simple, care să reproducă în mod corespunzător procesul de infiltraţie pentru condiţii simplificate. Astfel, dacă în ecuaţia (2.125) 0=z şi tf=θ , unde tf reprezintă rata infiltraţiei prin suprafaţa solului se obţine soluţia particulară:

( )

Kz

tD

z

Df ct +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ π−

θ−θ=

2lim

2

lim

0

4exp

2, (2.126)

care a stat la baza deducerii ecuaţiei de infiltraţie Horton:

( ) Ktcc effff −−+= 0 , (2.127)

unde:

f este infiltraţia instantanee la momentul t; cf - infiltraţia minimă pentru t→∞;

0f - infiltraţia la momentul 0=t ; K - constantă a solului.

În cele mai multe cazuri, studiile teoretice asupra infiltraţiei au la bază ecuaţia (2.102), obţinută în ipoteza că presiunea aerului în orice punct din mediul poros şi în orice moment de timp este egală cu presiunea atmosferică. Influenţa aerului asupra capacităţii de absorbţie a solului a fost pusă în evidenţă de o serie de modele matematice, verificate experimental în laborator. Verificarea rezultatelor acestor modele în teren este mai dificilă, deoarece nu se dispune întotdeauna de aparatura necesară executării cu precizie a măsurătorilor. Totuşi, pe parcele de scurgere de dimensiuni mici, au fost obţinute o serie de rezultate care pun în evidenţă influenţa aerului asupra intensităţii infiltraţiei. În figura 2.26 se prezintă curbele de infiltraţie în prezenţa aerului în sol şi în lipsa aerului din sol. Influenţa aerului se face simţită în mod substanţial în perioada stabilizării ratei de infiltraţie. Comparând aceste curbe cu cele obţinute experimental pe parcele de scurgere după umezirea prealabilă a solului (fig. 2.27), se constată că sunt apropiate ca formă, dar conduc la diferenţe pentru infiltraţia stabilizată.

95

Figura 2.26. Curbele de infiltraţie în prezenţa şi în lipsa aerului din sol.

Figura 2.27. Curbele de infiltraţie pentru starea iniţială şi de umezire prealabilă a solului.

În continuare se va deduce formula Green şi Ampt:

, (2.128) ffff zBAzPzHKi // +=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

96

în ipoteza prezenţei aerului în mediul poros. În ecuaţia (2.128) i reprezintă intensitatea infiltraţiei, K conductibilitatea hidraulică la saturaţie, H înălţimea stratului de apă acumulat deasupra solului,

adâncimea zonei saturate, iar presiunea capilară pe frontul umed. fz

fP

Conform ecuaţiei (2.42), viteza apei ( ) şi viteză aerului ( ) pentru o coloană verticală a mediului poros, se scriu sub forma:

lw aw

.

;

γµ

−∂

∂

µ−=

γµ

−∂

∂

µ−=

a

aa

a

aa

l

ll

l

ll

k

z

pkw

k

z

pkw

(2.129)

Viteza totală (algebrică) este definită cu relaţia:

al www += . (2.130)

Dacă se folosesc următoarele notaţii:

l

ll

k

µ=λ şi

a

aa

k

µ=λ , (2.131)

expresiile vitezelor din (2.129) se scriu astfel:

.

;

gz

pw

gz

pw

aaa

aa

lll

ll

ρλ−∂

∂λ−=

ρλ−∂

∂λ−=

(2.132)

Înlocuind ecuaţia (2.132) în ecuaţia (2.130) se obţine ecuaţia:

ggz

p

z

pw aall

aa

ll ρλ−ρλ−

∂

∂λ−

∂

∂λ−= , (2.133)

care se poate scrie şi sub forma:

( ) ( ) ( alalalc

al

al ggz

p

z

pw ρ−ρλ+ρλ+λ−

∂

∂λ−

∂

∂λ+λ−= ), (2.134)

97

unde:

lac ppp −= .

Împărţind ecuaţia de mai sus cu λ=λ+λ al se obţine:

( )alal

al

c

al

al ggz

p

z

pwρ−ρ

λ+λ

λ+ρ−

∂

∂

λ+λ

λ−

∂

∂−=

λ . (2.135)

Dacă se notază al

llf λ+λ

λ= , atunci

al

alf λ+λ

λ=−1 , iar ecuaţia (2.135) se

poate scrie sub forma:

( ) gfgz

pf

z

p

z

pwlala

cl

cl ρ−ρ+ρ−∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

λ. (2.136)

Ţinând seama că acl ppp =+ se obţine:

( ) ggfz

pf

z

pwalal

cl

a ρ−ρ−ρ+∂

∂+

∂

∂−=

λ . (2.137)

În zona ocupată de apă rezistenţa vâscoasă a mişcării aerului nu este complet neglijabilă, cu alte cuvinte presiunea aerului poate să fie suficient de importantă fără ca totuşi presiunea aerului să fie mare în valoare absolută. Neglijând compresibilitatea aerului, prin integrarea ecuaţiei (2.137) în funcţie de z pentru un timp dat, se va obţine următoarea ecuaţie pentru rata de infiltraţie (deoarece pe suprafaţa versantului ): WI =

∫ ∫ ∫ ρ+ρ∆+−+ρ+=λ

2 2

0 02

02

z p

a

z

laclla

ci

zgzdfgppdfHgpzd

I , (2.138)

unde:

2z este ordonata verticală pentru un punct de sub frontul umed;

cip - presiunea capilară din punctul ; 2z

ap - presiunea atmosferică; H - înălţimea iniţială a frontului umed;

2ap - presiunea aerului în punctul ; 2z

la ρ−ρ=ρ∆ .

98

Deoarece, în general, presiunea aerului din mediul poros situat sub frontul umed este sensibil egală cu presiunea atmosferică, iar lf se poate aproxima cu valoarea 1 pentru majoritatea părţilor zonei umede, ecuaţia (2.138) se poate scrie sub forma:

∫

∫

λ

ρ++ρ

=2

0

20

z

l

p

cll

zd

zgpdfHg

I

ci

. (2.139)

Dacă se notează:

∫ ∫∫ =β=λµ

ci cicih h

cl

p

clfl

hdfpdfzzd

0 00

,1

, (2.140)

în ecuaţia (2.139) se obţine următoarea expresie:

f

h

clf

z

hdfzHK

I

ci

⋅β

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++

=

∫0

~

, (2.141)

unde:

β este factorul de corecţie;

cih - presiunea capilară exprimată ca fiind nivelul apei din sol la momentul iniţial;

l

ll gkK

µ

ρ=~ .

Comparând ecuaţia (2.141) cu ecuaţia (2.128) şi neglijând constanta de corecţie

rezultă: β

, (2.142) l

h

cf ffhdfHci

== ∫ ,

0

unde este presiunea capilară exprimată ca fiind nivelul apei din sol. ch

În figura 2.28 se prezintă curba tipică a lui f în funcţie de presiunea capilară . ch

99

Figura 2.28. Curba tipică de variaţie a funcţiei de scurgere fracţionată ( f ) în

raport cu presiunea capilară ( ). ch

Deci considerând efectul aerului în mişcarea apei din mediul poros s-a putut preciza sensul fizic al parametrilor empirici din ecuaţia (2.128) propusă de Green şi Ampt. De asemenea, s-a evidenţiat legătura dintre şi curbele caracteristice ale

solului (presiunea capilară, permeabilitatea relativă) şi importanţa cunoaştrii dependenţei funcţionale dintre şi conţinutul iniţial de apă din sol.

fH

fH

Ecuaţia (2.141) se poate scrie şi sub forma următoare, ţinând seama că conduce la evaluarea ratei de infiltraţie, iar

1=ε0=ε pentru îmbibarea solului cu apă:

ff

z

l

z

f

z

HK

L

HK

zd

zdfHHK

I⋅β

∆⋅=

∆⋅=

λµ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ε++

=

∫

∫ ~~

1

~

2

2

0

0 , (2.143)

unde H∆ reprezintă pierderile de sarcină hidraulică, iar caracterizează

rezistenţa vâscoasă în mişcarea apei şi aerului sau, mai general, rezistenţa totală. fL

Pentru calcularea rezistenţei vâscoase şi a termenului gravitaţional este necesară determinarea profilului conţinutului de apă din sol. Atunci când forţele gravitaţională şi capilară sunt neglijate, ecuaţia de mişcare a apei se poate scrie sub forma:

100

0' =∂

θ∂+

∂

θ∂

zfw

t l , (2.144)

unde θ

=d

fdf ll' .

Ecuaţia (2.144) se poate scrie şi sub forma:

0=+θ

zd

fdw

td

d l . (2.145)

Ţinând seama că θ= dffd ll' , ecuaţia (2.145) se poate scrie sub forma:

0' =+ tdfwzd l , (2.146)

care pentru 10 θ≤θ≤θ are soluţia:

'lfWz −= , (2.147)

unde:

∫=t

tdwW0

reprezintă volumul de îmbibare cu apă a solului;

iθ - conţinutul de apă din zona de deasupra frontului umed;

sθ - conţinutul de apă la saturaţia naturală.

Ţinând seama de ecuaţia (2.147), termenul vâscos din ecuaţia (2.143) notat cu are expresia: fL

∫θ

θ

β=λ

θ−

µ=

s

i

fl

f zdfW

L''

. (2.148)

Deoarece ( )isfzW θ−θ= se obţine expresia următoare pentru factorul de

corecţie : β

∫θ

θλ

θ−

µ

θ−θ=β

s

i

df

l

is '' , (2.149)

iar ecuaţia (2.143) devine:

101

1

~−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θ−θβ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θ−θ++=

isisc

WWHHKI . (2.150)

Determinarea factorului β se face simplu, prin integrarea numerică a expresiei

λ− ''f în funcţie de caracteristicile solului şi ale fluidului. În figura 2.29 se

prezintă curba de variaţie 1 în funcţie de gradul de saturare a solului, bazată pe date experimentale. Este evident că în zona de deasupra frontului umed există o mişcare simultană a aerului şi apei cu vâscozitatea totală superioară vâscozităţii apei.

λ/

Figura 2.29. Curba de variaţie a vâscozităţii totale ( λ/1 ) in funcţie de

conţinutul de apă (θ ) pentru nisip.

2.2.2. MODELE DE ABSORBŢIE A APEI ÎN SOL

Procesul de infiltraţie al apei în sol poate fi împărţit în trei părţi:

a) Zona de transmisie care ocupă partea superioară a solului şi care numai conduce apa de la suprafaţa solului neabsorbind umiditate suplimentară.

b) Zona umedă situată sub zona de transmisie caracterizată prin creşterea gradientul umidităţii cu adâncimea.

c) Frontul umed care apare ca o suprafaţă neregulată cu un gradient mare al potenţialului de presiune.

102

Măsurătorile experimentale din laborator sau din teren au pus în evidenţă faptul că un conţinut mare de umiditate iniţială conduce la scăderea ratei infiltraţiei şi la creşterea ratei de înaintare a frontului umed. Pentru analiza absorbţiei verticale a apei în soluri nesaturate şi înaintării frontului umed se va folosi tot ecuaţia (2.102) sub forma:

( )z

K

zD

zt ∂

θ∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

θ∂θ

∂

∂=

∂

θ∂ )( , (2.151)

unde ( ) ( )θ=θ zKK . Pe baza datelor experimentale de teren privind variaţia conductivităţii hidraulice K în funcţie de potenţialul capilar al solului, Ünlü (1989) a propus următoarea funcţie:

, (2.152) )()( θαψ−=θ eKK s

care descrie foarte bine proprietăţile hidraulice ale solului nesaturat pentru gama de valori şi determinate experimental ( este conductivitatea hidraulică pentru solul saturat).

ψ θ sK

Deoarece se urmăreşte scrierea ecuaţiei (2.151) sub forma unei ecuaţii diferenţiale, ecuaţia (2.152) va fi folosită sub forma normată:

, (2.153) 2/1

0 )/()()( tDseKK θαψ−=θ

unde )( 00 θ= DD este o variabilă adimensională pozitivă, iar 0θ este conţinutul de umiditate din sol la saturaţie. Ţinând seama de expresia conductivităţii hidraulice (2.153) şi că mişcarea este permanentă, ecuaţia (2. 151) se scrie sub forma:

0)()(

)(2/1

0

=∂

θ∂θ

α−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

θ∂θ

∂

∂=

∂

θ∂

zD

tDzD

zt. (2.154)

Dacă în ecuaţia (2.154) se efectuează următoarea schimbare de variabilă (transformarea Boltzmann):

( ) 2/10/ Dtz=ϕ , (2.155)

se obţine o nouă formă a ecuaţia (2.154):

103

0)(

2

)(

00=

ϕ

θθα−

ϕ

θϕ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ϕ

θθ

ϕ d

d

D

D

d

d

d

d

D

D

d

d . (2.156)

Această ecuaţie se rezolvă cu următoarele condiţii la limită: 0θ<θ<θi pentru ∞<ϕ<0 ;

0θ=θ pentru 0=ϕ ; (2.157) pentru iθ=θ ∞=ϕ . Trebuie să menţionăm că problema este formulată în domeniul semi-infinit

, iar profilele de umiditate ∞≤ϕ≤0 ϕ−θ sunt nemărginite şi prezintă cozi infinite. Deoarece experimentele şi observaţiile din teren indică întotdeauna profile de întindere finită rezultă că dincolo de o distanţă finită oarecare µ se vor propaga perturbaţii nesemnificative. Cu alte cuvinte nu există curgere sub , deci condiţia iniţială este valabilă pentru

µ=ϕ

iθ=θ µ≥ϕ , iar µ=ϕ va fi recunoscut ca un front de separaţie identificat cu frontul umed de avansare vizibilă observat in practică. Luarea în considerare a frontului umed mărginit permite scrierea condiţiilor (2.157) sub forma următoare: 0θ<θ<θi pentru µ<ϕ<0 ;

pentru 0θ=θ 0=ϕ ; (2.158)

pentru iθ=θ µ=ϕ ;

( )

00

→ϕ

θθ

d

d

D

D pentru µ=ϕ .

A treia condiţie din (2.158) arată că profilul ( )ϕ−θ atinge conţinutul iniţial de umiditate în punctele pentru care ( )µ=ϕ , iar ultima condiţie indică faptul că nu avem curgere pe şi dincolo de front. O integrare repetată a ecuaţiei (2.156) cu condiţiile (2.158) sau (2.157) conduce la relaţia echivalentă:

2

0

2 2)(

200

IdD

Dd

ii

=θθ

=θϕ ∫∫θ

θ

θ

θ

, (2.159)

104

care poate fi privită ca una dintre integralele de conservare posibile ale conţinutului de umiditate din sol. Pentru a scrie ecuaţia (2.156) sub o formă mai simplă se va introduce variabila de normare prin transformarea: η

I/ϕ=η , (2.160)

care îndeplineşte condiţia (ţinând seama de ecuaţia (2.159)):

, (2.161) 20

2 =θη∫θ

θi

d

iar funcţia de difuzie va fi considerată de tip exponenţial:

( ) ( ) ( )η==θ θ−θβ ge

D

D0

0 . (2.162)

În aceste condiţii rezultă următoarea formă pentru ecuaţia (2.156):

( ) ( ) 02

1 2 =η

θηα−

η

θη+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛η

θη

η d

dgI

d

dI

d

dg

d

d (2.163)

sau ţinând seama de relaţiile:

( ) ( ) ( )η=

η

θβ=

η

θθβ θ−θβ '0

0g

d

de

d

d

D

D, (2.164)

ecuaţia (2.156) se scrie sub forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0''2

"2

=ηηα−ηη+ηη ggIgI

gg , (2.165)

unde verifică condiţia următoare: η

I

µ<η<0 . (2.166)

Condiţiile la limită (2.158) se scriu sub forma:

- pentru : 0=η

0θ=θ şi 1=g ; (2.167)

105

- pentru Iµ=η existå următoarele relaţii:

( )

( ) βε−==θη

==ε=θ=θ

∫θ

θ

θ∆β−θ−θβ−

12

,

220

0

Id

eeg

i

ii

. (2.168)

Trebuie menţionat faptul că parametrul β are în general valori cuprinse în ecartul 15 - 25, iar variaţia umidităţii ( )iθ−θ=θ∆ 0 poate lua valori în ecartul 0,0 – 0,55. Pentru mai multe seturi de experimentări pentru produsul s-a obţinut valoarea de aproximativ 8,0, care poate fi considerată reprezentativă pentru câteva tipuri de soluri (Parlange, 1973).

( )θ∆⋅β

Pentru rezolvarea ecuaţiei (2.165) va fi folosită metoda perturbaţiilor. Soluţia ecuaţiei se va căuta sub forma unei serii de puteri după parametrul I care are în general o valoare mică, întotdeauna mai mică decât θ∆ :

( ) ( ) ( ) ( ) L+η+η+==η θ−θβ2

211 gIIgeg o , (2.169)

unde funcţiile urmează să fie calculate cu ajutorul condiţiilor la limită (2.167), (2.168).

,...3,2,1, =ngn

Poziţia frontului umed µ µ va fi determinată pe baza următoarei dezvoltări în serie:

( ) K+µ+µ+µ=µ=η 22

10/ IIIfront , (2.170)

unde, de asemenea, urmează să fie determinaţi. ,...3,2,1, =µ nn Înlocuind (2.169) în ecuaţia (2.165) se obţine:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]−+η+η+ηη+

++η+η+η⋅+η+η+η+

K

KK

33

22

1

2

33

22

133

22

1

'''2

''''''1

gIgIIgI

gIgIIggIgIIg

(2.171)

- ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] 0'''1 33

22

133

22

1 =+η+η+η⋅+η+η+η+α KK gIgIIggIgIIgI .

106

După efectuarea grupării termenilor după puterile lui I se obţin următoarele ecuaţii:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0'''

'2

''''''''

;0''2

1''''''

;0'''''

;0''

32121

24312213

11132112

1211

1

=ηα−ηηα−ηηα−

−ηη

+η+ηη+ηη+ηη

=ηηα−ηη+η+ηη+ηη

=ηα−η+ηη

=η

ggggg

gggggggg

gggggggg

gggg

g

(2.172)

Din condiţia la limită (2.167) se obţine pentru 0=η :

( ) ( ) ( ) 0000 321 ==== Kggg . (2.173)

Deoarece condiţiile (2.168) depind implicit de parametrul mic I, va fi folosită procedura standard a dezvoltărilor în serie Taylor a tuturor funcţiilor implicate. Pentru o funcţie generală ( )µF dezvoltarea în serie este de forma (Iacob Caius, 1978):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...''2

'' 0

212

022

01022

10 +µµ

+µµ+µµ+µ=+µ+µ+µ FIFIFIFIIF K

Ecuaţia din condiţiile (2.168) se poate scrie şi sub forma: ( ) βε−= /12I

K+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ µ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ µ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ µ+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ µ=β−=ε 3

32

212 11 I

IgI

IgI

Ig

IgI (2.174)

Folosind expresia (2.173) se obţine:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0'''

0''

'

0

04031022013

03021012

02011

01

=µ+µµ+µµ+µµ

=µ+µµ+µµ

β−=µ+µµ

=µ

gggg

ggg

gg

g

(2.175)

107

După integrarea prin părţi ecuaţia (2.161) devine:

( ) 22

002

2=ηθ−θη+θ∆

µ∫µ

dI

I . (2.176)

Ţinând seama că θ∆⋅β−=gln şi dezvoltând după puterile lui I funcţiile din ecuaţia (2.176), se obţine:

( )

( ) .2

1ln2

2210

0

221

23

32

210

θ∆=η+++η

θ∆β+

++µ+µ+µ+µ

∫+µ+µ+µ

dIgIg

III

II K

K

K (2.177)

Efectuând gruparea după puterile lui I rezultă:

( )

.2

2

12...

22

10

0

212

21

220

2110

20

θ∆=η⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+η

θ∆β+

+µµ+µ+µµ+µ

∫+µ+µ

dggIIg

II

I K

K

K (2.178)

Ecuaţiile (2.172) sunt rezolvate cu condiţiile (2.173) în mod succesiv şi se obţine:

( )

( )

( )

( ) η+η−η+ηα

−ηα

+ηα

+ηα

=η

η+η−ηα

+ηα

=η

η+η

α=η

η=η

4324

21412332

241

3

4

3132231

2

3

22

12

11

1224483

2624

121

26

)179.2(2

AAAAAAAg

AAAAg

AAg

Ag

Constantele se determină din condiţiile (2.175) şi (2.178). Valorile acestor constante sunt:

,...,, 321 AAA

108

( )

( )( )

;6

1

16180

72

;6

32

;

;0

0

2

24

0

03

02

1

θ∆µ

+αβ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θ∆β+

θ∆µ

β=

θ∆µ

θ∆µα+β=

µβ−=

=

A

A

A

A

(2.180)

Constantele ...,, ,321 µµµ ...,, ,210 µµµ se determină din condiţiile (2.178) în mod

succesiv şi rezultă următoarele valori:

( );

890

17

;3/

;/2

20

2

01

20

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θ∆β+

θ∆

µ=µ

θ∆µ=µ

θ∆=µ

(2.181)

Soluţia ecuaţiei (2.165) scrisă sub forma (2.169) şi ţinând seama de ecuaţiile (2.180) şi (2.181) are următoarea expresie:

( )

( )....

612

1

26

11

16180

712

1

2

2

3

111

2

11

32

22

2 ⎪⎭

⎪⎬⎫

+ϕ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ α−+ϕ

α−ϕ

⎥⎥⎦

⎤

θ∆

+α

β

ε−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θ∆β+

θ∆

ε−+

+⎪⎩

⎪⎨⎧

⎢⎢

⎣

⎡

θ∆⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ θ∆α+

β

ε−+

θ∆⋅βε−−== θ∆βeg

(2.182)

Poziţia frontului este dată de ecuaţia:

( )

( )

....890

171

1

3

11

12

2

2/10

⎥⎥⎦

⎤+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θ∆β+

θ∆β

ε−+

⎢⎢⎣

⎡+

θ∆β

ε−

θ∆+

θ∆β

ε−==ϕ=η

Dt

x

(2.183)

109

Ecuaţia (2.182) se mai poate scrie şi sub forma:

( ) ( )

( ) ( )

( )....

612

1

2

1

22

1

6

11

16180

712

1

2

2

3

111

2

11ln

32

22

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

+ϕ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ α−

θ∆βε−+

+ϕαθ∆βε−

−ϕ⎥⎥⎦

⎤

θ∆

+α

β

ε−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θ∆β+

θ∆

ε−+

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

θ∆⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ θ∆α+

β

ε−+θ∆βε−

−=θ∆β=θ−θβ i

(2.184)

Pentru cazul ( )( )sKK =θ=α 0 termenul z

K

∂

θ∂ )( din ecuaţia (2.151) devine

zero, iar soluţia (2.184) ia forma:

( ) ( )

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

+ϕθ∆βε−

+ϕ⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θ∆β+

θ∆

ε−+

θ∆β

ε−+

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎢⎣

⎡+

θ∆β

ε−−

θ∆βε−−=θ∆β=θ−θβ

...12

1

2

1

16180

712

3

11

6

11

2

11ln

32

i

, (2.185)

care nu diferă semnificativ în valoare de soluţia:

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤+

φε−θ∆β+

⎢⎢⎣

⎡ϕ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ∆β

ε−−

ε−θ∆β−=θ∆β=θ−θβ ...

122

1

6

11

2

11ln

3

i (2.186)

obţinută de Babu (1976) pentru absorbţia orizontală. De asemenea, în cazul special ( ) .const=θD şi ( ) sKK =θ care implică şi , ecuaţiile (2.182) şi (2.183) conduc la soluţii care concordă cu soluţia

exactă cunoscută pentru ecuaţia (2.151), când termenul

0→βθ∆→I

z

K

∂

θ∂ )( este neglijat:

...160

12

12

122

2

11 53

0

4/0 2ϕ

π+φ

π−ϕ

π=

π=

∆

θ−θ∫ϕ

− dzet

z (2.187)

110

Figura 2.30. Profilele de umiditate măsurate şi calculate cu metoda perturbaţiilor

(ec. (2.151)) şi metoda elementului finit (Celia, Bouloutas şi Zarba, 1990). În figura 2.30 sunt prezentate rezultatele aplicării modelului de absorbţie (2.151) pentru un punct din bazinul Voineşti, iar în figura 2.31 soluţiile obţinute de alţi autori pentru modelele simplificate. Se observă că soluţia ecuaţiei generale (2.151) aproximează mai bine curba de variaţie a umidităţii solului şi confirmă ipoteza frontului umed finit.

111

Avantajele metodei perturbaţiilor prezentată mai sus sunt următoarele: − Calculul fiecărui termen din soluţie este direct; se evită singularităţile

prezentate în algoritmii lui Philip (1955), Knight şi Philip (1973), Parlange (1971) şi Cisler (1974).Toţi aceşti autori folosesc integrale care sunt divergente în , deoarece profilele sunt presupuse a fi infinite în întindere.

0=θ

− Din soluţiile numerice putem se poate obţine estimarea sau contribuţia fiecărui pas succesiv. Din soluţiile sub formă integrală această operaţie este mai dificilă.

Figura 2.31. Compararea valorilor absorbţiei verticale (infiltraţiei) obţinute prin diferite metode.

112

Parlange menţionează în mod special acest fapt, prezentând rezultatele lui Philip pentru cel mai simplu caz, .const=D Este interesant că aceşti autori au discutat şi comparat în detaliu cazul extrem , 1=D , pentru care soluţia exactă se obţine sub forma unei dezvoltări în serie de puteri în ϕ , precum şi în ( )1−θ , dar integralele folosite în iteraţii devin dificil de tratat analitic după primul pas. Acest fapt nu se întâmplă în cazul soluţiei obţinută prin metoda peturbaţiilor tot sub forma unei serii de puteri. Atunci când este un polinom în ( )θD θ , cu ( ) 00 =D , diferenţa dintre aproximaţii este mai pronunţată. Integralele din iteraţiile soluţiilor prezentate de autorii de mai sus conduc la funcţii transcedente, deşi generează profile de întindere finită. Din nou se observă că metoda perturbaţiilor elimină aceste dezavantaje.

113

3

MODELE MATEMATICE ALE SCURGERII PE VERSANŢI PERMEABILI

Termenul de "scurgere pe versant" (overland flow) este folosit cu referire la scurgerea foarte puţin adâncă pe suprafeţe plane. Modelele care se vor prezenta în acest capitol se vor referi la scurgerea în pânză subţire pe suprafeţe plane, suprafeţe vălurite sau suprafeţe neregulate. Deoarece nu există o delimitare precisă între scurgerea pe versant şi scurgerea din canale puţin adânci, după cum s-a prezentat şi în capitolul introductiv, modele matematice ale scurgerii în canale se pot folosi şi pentru descrierea scurgerii pe versant . Aplicarea acestor modele la studiul scurgerii pe versanţi a fost începută de Henderson şi Wooding (1964) şi continuată de Morgali şi Linsley (1965) şi Brakensiek (1966). Cea mai completă şi riguroasă analiză este făcută de Woolhiser şi Liggett (1967). Modelele matematice folosite pentru simularea scurgerii pe versant se bazează pe integrarea sistemului de ecuaţii ale afluxului de suprafaţă şi de subsuprafaţă fără condiţii speciale de racordare pe suprafaţa de separare a celor două mişcări. Este cunoscut faptul că aceste mişcări se interacţionează una pe alta; astfel, mişcarea de suprafaţă este dependentă de intensitatea infiltraţiei şi de scurgerea de suprafaţă ce se produce la nivelul suprafeţei solului. La rândul său mişcarea de suprafaţă este dependentă de caracteristicile hidraulice ale mişcării de suprafaţă (Ene şi Sanchez-palencia, 1973). Analize speciale ale mişcării în zona frontierei de separaţie (Gheorghiţă, 1955, 1970, 1977) au permis demonstrarea faptului că, în general racordarea celor două mişcări se poate face cu ajutorul unui "strat intermediar" (Ene, 1978 şi Yoshisuke, 1978) asigurând în acest fel condiţia de continuitate a componentei tangenţiale a vitezei fluidului. Componenta normală însă prezintă un salt a cărei mărime este determinată de debitul prin suprafaţă şi de saltul în presiune. În acest sens Stanciu (1987, 1988), pe baza analizei mişcării în frontiera poroasă prin analogie cu mişcarea în conducte poroase, propune un nou model pentru mişcarea pe versant. Dacă frontiera este suficient de groasă, tensiunile tangenţiale vor fi neglijabile în raport cu adâncimea, iar mişcarea se va produce sub influenţa gradientului de presiune. Însă, într-o zonă mică, la interfaţa dintre fluidul liber şi mediul poros va exista o mişcare tangenţială (pe lân gă mişcarea din mediul poros).

115

Schematic, sistemul versant-strat intermediar-mediu poros se prezintă în figura 3.1.

Figura 3.1. Reprezentarea schematică a sistemului versant-strat intermediar-mediu poros.

3.1. MODELUL SCURGERII PE VERSANŢI ÎN PREZENŢA

STRATULUI INTERMEDIAR POROS Cercetările experimentale şi teoretice au evidenţiat că, uneori, legea lui Darcy nu se poate extinde pentru viteze foarte mici, iar pentru viteze depăşind o anumită limită superioară trebuie să fie luate în consideraţie abaterile de la legea liniară, dacă se urmăreşte o descriere cât mai exactă a fenomenului. Experienţe minuţioase au arătat că relaţia dintre mărimea gradientului presiunii şi viteză încetează a mai fi liniară de la o anumită valoare critică a vitezei, datorită apariţiei forţelor de inerţie, deşi mişcarea rămâne tot laminară. Turbulenţa survine la o mărime superioară vitezei critice menţionate. Apare aici o limitare a folosirii modelului liniar Darcy de infiltraţie când se studiază mişcarea pentru un interval mai mare al vitezelor de infiltraţie. Pentru a corecta această neliniaritate se va considera, în bilanţul forţelor care acţionează în mediul poros, atât forţele de rezistenţă datorită inerţiei şi vâscozităţii, cât şi tensiunilor tangenţiale interne.

3.1.1. ECUAŢIA DE MIŞCARE ÎN STRATUL INTERMEDIAR POROS În aceste condiţii, ecuaţia mişcării în stratul intermediar poros de grosime se poate scrie sub forma următoare:

δ

116

rij

iji

ij

ii

i fx

gnx

pn

x

uu

t

un −

∂

∂τ+⋅ρ⋅+

∂

∂−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂ρ , (3.1)

unde:

ijτ sunt componentele tensiunilor tangenţiale exprimate prin relaţia:

ijk

k

i

i

j

iij x

u

x

u

x

uδ

∂

∂µ−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂µ=τ

3

2; (3.2)

rif sunt componentele forţelor de rezistenţă;

ig - componentele forţei gravitaţionale;

ix - coordonatele sistemului;

iu - componentele vitezei de filtraţie; n este porozitatea mediului poros; ρ - densitatea fluidului; p - presiunea; t - timpul;

ijδ - simbolul lui Kronecher ( 1=δij dacă ji = şi 0=δij dacă ). ji ≠

Dacă fluidul este considerat incompresibil, ecuaţia de conservare a masei este:

0=∂

∂

i

i

x

u . (3.3)

Pentru mişcarea turbulentă, folosind notaţiile:

,'

;'

ppp

uuu iii

+=

+= (3.4)

unde iu şi p reprezintă componentele medii ale vitezei şi presiunii, iar şi sunt mărimile fluctuante, se obţin următoarele ecuaţii:

iu'

'p

)3,2,1(

''

=

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅ρ−

∂

∂µ

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂⋅ρ+

∂

∂ρ

i

n

fuu

x

u

xx

p

x

uu

t

u riji

j

i

iij

ii

i

(3.5)

117

în care forţele gravitaţionale ale sistemului au fost incluse în presiunea ig p . Se poate observa că ecuaţiile (3.5) sunt identice cu ecuaţiile Reynolds

exceptând termenul forţei de rezistenţă n

fri− şi reprezintă ecuaţiile generale ale

mişcării turbulente în stratul intermediar poros. În forma (3.5) ecuaţia de mişcare nu poate fi rezolvată analitic, însă efectuând unele ipoteze privind câmpul mişcării, ecuaţia se reduce la o formă mai uşor de rezolvat. Considerând că mişcarea este permanentă şi uniformă se obţine ecuaţia:

0=−∂

τ∂+

∂

∂−

n

f

xx

p ri

j

ij

i . (3.6)

Pentru mişcarea turbulentă fiind dominante tensiunile Reynolds rezultă jiij uu⋅ρ−=τ , iar pentru mişcarea laminară fiind dominante tensiunile vâscoase

rezultă j

iij x

u

∂

∂µ=τ .

Ţinând seama că uu =1 , xx =1 , rrl ff = , yx =2 şi τ=τij modelul

unidimensional de scurgere ( )D−1 este descris de ecuaţia:

0=−∂∂τ

+∂∂

−nf

yxp r , (3.7)

care se poate rezolva numai pentru τ şi cunoscute. rf

Expresia lui τ în cazul turbulenţei se poate asocia cu ipoteza lui Boussinesq, care a introdus noţiunea de coeficient de vâscozitate aparentă " ε " :

dy

duρε=τ , (3.8)

iar forma generală a forţei de rezistenţă este:

2uK

Cu

Kn

fr ρ+

ρν= , (3.9)

unde:

ν este vâscozitatea dinamică a fluidului; ρ - densitatea fluidului; K - permeabilitatea stratului intermediar poros;

118

C - o constantă adimensională care depinde de geometria mediului poros şi de numărul de pori pe unitatea de lungime.

Formula (3.9) derivă din ecuaţia de bilanţ al forţelor exercitate de fluid şi mediul poros, propusă de Ward (1964) atât pentru mişcarea laminară, cât şi pentru mişcarea turbulentă. Muskat (1949) propune pentru mişcarea turbulentă în mediul poros următoarea ecuaţie:

2buaudl

dp+= , (3.10)

în care dl

dp este căderea de presiune pe unitatea de lungime, este viteza

macroscopică, iar a şi b sunt constante ale fluidului şi mediului poros.

u

Deci, adimensional ecuaţia pentru mişcarea laminară şi turbulentă în mediul poros poate fi de forma:

( µρ= ,,,kufdl

dp ) , (3.11)

unde f este o funcţie de formă necunoscută, k simbolizează permeabilitatea mediului poros, ρ reprezintă densitatea fluidului, iar µ este egal cu vâscozitatea absolută a fluidului. Relaţia adimensională se poate scrie şi astfel:

[ zyxwkudl

dpµρ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ] . (3.12)

Introducând unităţile fundamentale pentru masă M, lungime L, şi timp T în ecuaţia (3.12) obţinem:

[ ] [ ]zwzyxwzy TLMTML −−−−++−− = 3222 . (3.13)

Rezolvând ecuaţia (3.13) pentru x, y şi z în funcţie de w obţinem:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛µρ= −−

−ww

wwkuf

dl

dp 212

3

. (3.14)

Din ecuaţiile (3.10) şi (3.14) se obţine:

221

212

32

1u

kC

k

uCkuC

dl

dp www

w

ww

ρ+

µ=µρ= −−

−

=∑ , (3.15)

119

în care sunt constante adimensionale de proporţionalitate. 21,, CCCw Pentru viteze mici, ecuaţia (3.15) trebuie să fie identică cu ecuaţia Darcy pentru mişcarea laminară în mediul poros:

k

u

dl

dp ⋅µ= , (3.16)

adică al doilea termen din ecuaţia (3.15) kuC 22 ⋅ρ⋅ este numeric

nesemnificativ în raport cu primul termen kuC ⋅µ⋅1 . În acest caz rezultă că 11 =C , notând CC =2 , ecuaţia (3.15) se poate scrie sub forma:

k

uC

k

u

dl

dp 2⋅ρ⋅+

⋅µ= , (3.17)

unde C reprezintă o constantă adimensională care ia aceeaşi valoare pentru tot mediul poros. În ecuaţia (3.17) raportul dintre al doilea termen şi primul termen este:

ρµ

=kCu

CRk (3.18)

sau

ρµ

=ku

Rk , (3.19)

unde kR este numărul Reynolds pentru mediul poros. Acest număr este folosit în corelaţia dispersie - permeabilitate. Pentru a determina permeabilitatea mediului poros este necesar să se rezolve ecuaţia (3.17) după k:

2

4222

2

4

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡µ+ρ±ρ

=

dl

dpdl

dpuuCuC

k . (3.20)

Pentru viteze mici, ecuaţia (3.16) rezolvată după k , conduce la soluţia:

120

dl

dpu

k⋅µ

= . (3.21)

Pentru viteze mari, ecuaţia (3.17) poate fi aproximată prin:

k

uc

dl

dp 2⋅ρ⋅= , (3.22)

iar pentru k rezultă:

2

2

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅ρ⋅

=

dl

dpuc

k . (3.23)

La viteze mici, ecuaţiile (3.20) şi (3.21) trebuie să conducă la rezultate identice, iar la viteze mari, ecuaţiile (3.20) şi (3.23) trebuie să conducă, de asemenea, la rezultate identice. Prin urmare, în ecuaţia (3.20) se va alege soluţia:

2

4222

2

4

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅µ⋅+⋅ρ⋅+⋅ρ⋅

=

dl

dp

dl

dpuucuc

k . (3.24)

De obicei, în calcule experimentale se utilizează factorul de frecare adimensional al mediului poros, definit astfel:

ρ

=2u

k

dl

dpfk . (3.25)

Ţinând seama de relaţia(3.25), ecuaţia (3.16) poate fi scrisă sub forma:

k

k Rf

1= , (3.26)

iar ecuaţia (3.17) sub forma:

121

CR

fk

k +=1

. (3.27)

Ecuaţia (3.22) pentru viteze mari este:

Cfk = . (3.28)

Valoarea constantei C se determină cu (3.27) cunoscând valorile experimentale pentru kf şi kR . În tabelul 3.1 se prezintă caracteristicile mediilor poroase folosite pentru determinarea valorii constantei C. Mărimea geometrică medie a granulelor din care este format mediul poros se notează cu , iar deviaţia standard

geometrică cu (Ward, 1964). gD

gσ

Tabelul 3.1

Caracteristicile mediilor poroase folosite pentru determinarea constantei C

Mediul gD (cm) gσ K ( ) 2cm Valoarea kR

sticlă granulară 0,0273 1,00 0,577 610−⋅ 0,162

sticlă granulară 0,0322 1,25 0,637 610−⋅ 0,159

sticlă granulară 0,0383 1,00 1,15 610−⋅ 0400

sticlă granulară 0,0458 1,00 1,87 610−⋅ 0,146-0,695

sticlă granulară 0,0545 1,00 2,62 610−⋅ 0,238-0,886

nisip 0,0625 1,24 2,98 610−⋅ 0,150-0,467

cărbune activ granular 0,0610 1,23 3,26 610−⋅ 0,176-0,618

nisip 0,126 1,33 13,6 610−⋅ 0,135-1,59

cărbune activ granular 0,114 1,24 20,2 610−⋅ 0,175-1,70

pietriş 0,188 1,22 29,8 610−⋅ 0,293-2,81

cărbune (antracit) 0,236 1,43 33,7 610−⋅ 0,590-3,70

cărbune (antracit) 0,442 1,26 127 610−⋅ 2,22-3,90

pietriş 0,504 1,15 169 610−⋅ 1,84-2,58

cărbune (antracit) 0,882 1,36 354 610−⋅ 5,59-7,30

pietriş 0,921 1,16 526 610−⋅ 5,54-7,66

pietriş 1,61 1,12 1800 610−⋅ 14,4-18,1

122

Permeabilităţile mediilor poroase prezentate în tabelul 3.1 au fost determinate în mod grafic din relaţia , în funcţie de k/1 µρ⋅ /v . Relaţia este liniară, iar valoarea unde intersectează axa este adevărata permeabilitate a mediului poros.

k/1

În tabelul 3.2 se prezintă limitele pertinente de variaţie ale variabilelor din ecuaţiile de mai sus.

Tabelul 3.2

Limitele de variaţie ale variabilelor pertinente

Limite Simbolul

Unităţi de măsură Minimă

(MIN) Maximă (MAX)

Raportul MAX/MIN

dldp / dyne pe /cm 2cm 238 28400 86,5

kf adimensional 0,597 8,38 14,0

k 2cm 0,577 610−⋅ 1800 610−⋅ 3120

gD cm 0,0273 1,61 59,0

kR adimensional 0,122 18,1 148

u cm/s 0,439 6,37 14,5 µ poise-ul (Kgf ⋅ s/ ) 2m 0,847 210−⋅ 1,39 210−⋅ 1,64 ρ gr/ 3cm 0,996 1,000 1,00

gσ adimensional 1,00 1,43 1,43

Valoarea calculată a constantei C este 550,0=C , iar deviaţia standard a lui

C este 024,0±=σc . Relaţia dintre şi pe baza a 47 de puncte experimen-tale este prezentată în figura 3.2. De asemenea sunt prezentate şi ecuaţiile (3.26), (3.27) şi (3.28). Graficul pune în evidenţă buna concordanţă a datelor experimentale cu cele obţinute cu ecuaţia (3.17).

kf kR

Din cele prezentate mai sus rezultă că ecuaţia pentru mişcarea laminară şi turbulentă în mediu poros se poate scrie sub forma:

k

u

k

u

dl

dp 2550,0 ⋅ρ⋅+

⋅µ= . (3.29)

Permeabilitatea mediului poros poate fi determinată cu ecuaţia următoare, chiar dacă parametrii sunt determinaţi în alte condiţii decât cele ale mişcării laminare:

123

Figura 3.2. Relaţia dintre factorul de frecare şi numărul Reynolds . kf kR

2

422

2

4302,0550,0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅µ⋅+⋅ρ⋅+⋅ρ⋅

=

dl

dp

dl

dpuuu

k . (3.30)

De asemenea, valoarea numărului Reynolds pentru mediul poros determinată cu ecuaţia (3.19) este satisfăcătoare pentru caracterizarea mişcării în mediul poros. Revenind la ecuaţia (3.7) şi înlocuind vâscozitatea aparentă, ε , din ecuaţia (3.8) cu expresia:

( ) 01 ulbuulb s ⋅⋅=−⋅⋅=ε , (3.31)

unde:

b este o constantă de proporţionalitate; l - lungimea caracteristică a stratului intermediar;

su - viteza de suprafaţă;

lu - viteza mişcării în mediu poros în absenţa forţelor tangenţiale

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂

∂τ0

y,

se obţine următoarea ecuaţie pentru mişcarea în stratul intermediar poros:

124

( ) ( ) ( 21

212

2

1 uuk

Cuu

kdy

uduulb s −

ρ+−

νρ=−⋅⋅ρ ) (3.32)

sau:

( ) ( 21

212

2

0 uuk

Cuu

kdy

udulb −

ρ+−

νρ=⋅⋅⋅ρ ) , (3.33)

unde u este viteza de filtraţie. Viteza se obţine rezolvând ecuaţia (3.17) scrisă sub forma următoare: lu

k

uCu

kh

u 22*

2

⋅ρ⋅+

ν⋅ρ=

⋅ρ , (3.34)

unde s-a înlocuit cu expresia dldp /h

u

2

2*⋅ρ

, iar µ cu ν⋅ρ .

Expresia vitezei se poate scrie sub forma: lu

2*2

2

12

2

1

2u

Ch

k

kCkCu

⋅+

ν+

ν−= , (3.35)

unde este viteza de frecare pe suprafaţa versantului. *u

Ecuaţia de mişcare în stratul intermediar poate fi făcută adimensională folosind notaţiile:

*00*11* ,, uUuuUuuUu ⋅=⋅=⋅= şi ξ⋅= ly , (3.36)

unde L este lungimea caracteristică. În baza notaţiilor de mai sus ecuaţia (3.33) se pate scrie sub forma:

22

20 ˆˆ UU

dUdbU

+βα

=ξβ

, (3.37)

unde:

k

ClU

uk

lUUU

⋅=β⋅β+

⋅

⋅ν=α−= ,2,ˆ

1*

1 . (3.38)

Condiţiile la limită sunt de forma următoare:

125

dy

duε⋅ρ=τ=τ 0 pentru 0=y ,

(3.39)

0=ε⋅ρ=τdy

du pentru ∞→y .

În forma adimensională,condiţiile la limită (3.39) se pot scrie astfel:

0

1bUd

dU=

ξ pentru 0=ξ ;

(3.40)

0=ξd

dU pentru ∞→ξ ,

care implică pentru 0ˆ =U −∞→ξ .

Dacă notăm ξ

=ddUS , atunci

dU

dSS

d

dU

dU

dS

d

dS=

ξ=

ξ şi, ţinând seama că

ξ=

ξ d

Ud

d

dU ˆ, ecuaţia (3.37) se poate scrie sub forma:

22

0 ˆˆˆ2

UUUd

dSbU+

βα

=β

. (3.41)

Efectuând integrarea ecuaţiei (3.41) folosind condiţiile la limită rezultă:

3

ˆˆ22

3220 UUSbU+

βα

=β

. (3.42)

Viteza de suprafaţă se poate obţine din ecuaţia (3.42) înlocuind 0U

0

1

bUS = , conform primei condiţii la limită din (3.40):

30

20

0 321 UU

bUβ

+α= . (3.43)

Soluţia ecuaţiei (3.43) se poate obţine printr-o procedură iterativă la calculator. Ecuaţia (3.42) se poate scrie şi sub forma următoare, ţinând seama că

ξ=

d

UdS

ˆ:

126

3

ˆ

2ˆ

ˆ

20 U

Ud

UdbU+

β

α=

ξβ. (3.44)

Această ecuaţie poate fi integrată şi se obţine următoarea soluţie:

ξβ

=+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β

α+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

α+

β

α−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

α+

α

β

02/1

2/1

ˆ2

223

ˆ

223

ˆ

ln2

UbD

U

U

. (3.45)

Valoarea constantei de interpolare D poate fi determinată din condiţiile

; soluţia pentru determinarea vitezei în frontiera poroasă devine: 0ˆˆ,0 UU ==ξ

.ˆ223

ˆ

223

ˆln

223

ˆ

223

ˆln

0

2/10

2/10

2/12/1

ξα

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

β

α+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

α+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

β

α−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

α+−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

β

α+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

α+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

β

α−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

α+

Ub

UU

UU

(3.46)

În figura 3.3 se prezintă distribuţia vitezelor în frontiera poroasă, calculate cu ecuaţia de mai sus comparativ cu vitezele măsurate cu metoda trasorilor radioactivi.

Figura 3.3. Distribuţia vitezelor măsurate şi calculate în frontiera poroasă.

127

Ecuaţiile (3.32) sau (3.33) pun în evidenţă interacţiunea dintre mişcarea din mediul poros şi mişcarea de suprafaţă.

3.1.2. ECUAŢIA DE MIŞCARE PE SUPRAFAŢA VERSANTULUI Pentru a obţine ecuaţia de mişcare a fluidului pe suprafaţa versantului se va presupune că tensiunile tangenţiale variază liniar cu grosimea stratului de curgere:

( )hy /10 −τ=τ , (3.47)

iar lungimea de amestec l poate fi exprimată în zona de racordare a celor două mişcări (mişcarea de suprafaţă şi mişcarea din mediul poros) prin relaţia:

'yl ⋅χ= , (3.48)

unde este constanta Karman, iar este adâncimea curgerii în stratul intermediar.

4,0=χ 'y

Folosind ecuaţia (3.48) şi expresia variaţiei tensiunii tangenţiale într-un punct la distanţa y de perete după teoria lui Karman, pentru calculul vâscozităţii aparente se obţine relaţia:

τ

ε

( )hyuy /1' * −⋅⋅χ=ε . (3.49)

Din combinarea ecuaţiilor (3.8), (3.47) şi (3.49) rezultă:

0* ' τ=⋅⋅χ⋅ρdy

duyu . (3.50)

Admiţând că , iar , ecuaţia (3.50) se poate scrie sub forma:

'dydy = 2*0 u⋅ρ=τ

'

'*

y

dyudu

χ= (3.51)

sau, prin integrare, sub forma următoare:

Cyu

u +χ

= 'ln* . (3.52)

Constanta de integrare C poate fi determinată din condiţiile la limită pentru viteza de suprafaţă:

128

suu = pentru δ='y . (3.53) Înlocuind în ecuaţia (3.52) constanta C astfel obţinută, rezultă ecuaţia mişcării sub forma:

( δχ

=− /'ln* yuuu s ) . (3.54)

Ecuaţia (3.54) va fi folosită la determinarea vitezei de suprafaţă când se cunoaşte valoarea lui δ şi a vitezei de frecare, , pe suprafaţa versantului. *u Valoarea grosimii stratului intermediar δ se determină din condiţia egalităţii vâscozităţii aparente pentru modelele de curgere de suprafaţă şi de curgere prin mediul poros pe frontiera de separare a celor două mişcări. Din ecuaţiile (3.31) şi (3.49), pentru ( )0' =δ= yy se obţine relaţia:

[ 1*

uuu

lbs −⋅χ

⋅=δ ]. (3.55)

Viteza medie de suprafaţă se obţine din ecuaţia (3.54), prin integrare, pentru domeniul mişcării de pe versant:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ+δ+

χ+=

hh

h

h

huuu s 1ln* (3.56)

sau, ţinând seama de (3.31) :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ+δ+

χ++=

hh

h

h

huuuu 1ln*

10 . (3.57)

Dacă în ecuaţia (3.57) se împarte fiecare termen cu şi se notează *u

*

00

*,

u

uU

u

uU == şi

*

11 u

uU = , se obţine următoarea formă pentru ecuaţia de

mişcare:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ+δ+

χ++=

hh

h

h

hUUU 1ln

110 . (3.58)

Introducând factorul de frecare f se poate scrie relaţia:

129

fu

uU

8

*== (3.59)

sau:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ+δ+

χ++=

hh

h

h

hUU

f1ln

1810 . (3.60)

Din formula (3.60) se observă că factorul de frecare f depinde de viteza din stratul intermediar δ , de viteza pe suprafaţa versantului, de viteza de

frecare pe suprafaţa ver santului şi, bineînţeles, de grosimea stratului intermediar poros δ .

1u

0u

*u

Pentru scurgerea pe versant, cum se prezintă în figura 3.4, ecuaţiile de continuitate şi mişcare în forma Darcy-Weisbach se scriu astfel:

( )

xL

Uhtxq

x

Uh

t

h

−+=

∂

∂+

∂

∂),( ; (3.61)

hSf

gU 0

8= ; (3.62)

( ) ( ) ( 21

212

2

1 uuk

Cuu

kdy

uduulb s −

ρ+−

νρ=−⋅⋅ρ ), (3.63)

unde:

h este adâncimea scurgerii; L - lungimea versantului; - panta versantului; 0S

u - viteza de filtraţie; ( ) ( ) ( txftxitxq ,,, −= ) reprezintă excesul de ploaie ( ( )txi , este

intensitatea ploii, iar ( este intensitatea infiltraţiei);

)txf ,

ceilalţi parametrii au fost definiţi anterior. Pentru cazul general există relaţia:

, (3.64) 1)( −⋅α= nhhU

130

Figura 3.4. Reprezentarea schematică a scurgerii de pe versant.

unde:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ+δ+

χ++=α

hh

h

h

hUUgSh 1ln

1)( 100 . (3.65)

Deci expresia lui include parametrii mişcării din stratul intermediar poros şi interacţiunea acestora cu mişcarea de suprafaţă.

( )hα

3.1.3. MODELUL CONVERGENT DISTRIBUIT CU PARAMETRUL α VARIABIL

Modelele de scurgere pe versant propuse de Brakensiek (1967), Woolhiser (1969), Woolhiser şi alţii (1970), Eagleson (1972), Singh (1974), (1975) se bazează pe următoarele ecuaţii:

( )

),( txqx

Uh

t

h=

∂

∂+

∂

∂ , (3.66)

, (3.67) nhhUQ ⋅α=⋅=

unde parametrul este considerat constant. α Pentru a înlătura acest inconvenient s-a propus divizarea suprafeţei bazinului în suprafeţe elementare cu geometrie diferită pe care parametrul ia valori diferite. Aceste încercări au condus la reprezentări schematice complexe ale bazinului şi, implicit, la creşterea timpului de calcul pentru a face ca modelele să fie operaţionale.

α

În general, modelele scurgerii pe versant se pot clasifica în patru grupe:

131

1. modele de scurgere pe versant convergente (fig. 3.5); 2. modelul de scurgere Wooding (fig. 3.6); 3. modelul cu secţiune compusă (fig. 3.7); 4. modelul cascadă (fig. 3.8).

Figura 3.5. Modelul convergent de scurgere pe versant.

Figura 3.6. Modelul de scurgere Wooding.

132

Figura 3.7. Modelul cu geometrie compusă.

Figura 3.8. Modelul cascadă.

Aceste modele cu grad variabil de abstractizare geometrică a bazinului sunt

fie de tip global, fie cvasi-distribuite depinzând de caracterizarea parametrului . Modelul cascadă are cel mai mare grad de abstractizare şi deci este mult mai

realist. Geometria reţelei de elemente în cascadă poate fi aşa de complexă încât să reprezinte perfect geometria bazinului. Parametrul α fiind variabil de la un element de suprafaţă la altul, modelul în cascadă este cvasi-distribuit.

α

Din cercetările efectuate în laborator şi în natură asupra dinamicii scurgerii pe versant s-a observat că rugozitatea suprafeţei are o influenţă mai mare asupra procesului de formare a scurgerii decât geometria şi deci se poate renunţa la luarea în calcul a unor configuraţii geometrice complexe ale bazinului dacă parametrul α variază continuu în spaţiu. Aşa cum s-a demonstrat mai sus conceptul parametrului α variabil nu este artificial, ci el rezultă din dinamica scurgerii pe versanţi permeabili.

133

Modelul care se va dezvolta în continuare se bazează pe conceptul parametrului α variabil pentru o geometrie a bazinului de tip convergentă.

Înlocuind ecuaţia (3.64) în ecuaţia de continuitate (3.61), se obţine ecuaţia generală a modelului sub forma:

xL

hhtxftxi

x

hh

x

hhhn

t

h nnn

−

⋅α+−=

∂

∂α+

∂

∂⋅α⋅+

∂

∂ − )(),(),(

)()( 1 . (3.68)

Intensitatea filtraţiei pe unitatea de suprafaţă ( )txf , este dependentă de adâncimea scurgerii h, în sensul următor:

dacă ( ) 0, >txf ( ) 0, >txh ; (3.69) ( ) 0, =txf dacă ( ) 0, =txh .

De asemenea, se va presupune că este îndeplinită şi condiţia:

( ) ( )txftxi ,, > pentru Tt ≤≤0 şi ( )rLx −≤≤ 10 , (3.70)

unde:

( )txi , este aportul din ploaie pe unitatea de suprafaţă a versantului;

T - durata ploii; L - lungimea versantului; r - gradul de convergenţa; x şi t sunt coordonatele spaţiului şi timpului.

Condiţiile la limită sunt:

0)0,( =xh pentru ( )rLx −≤≤ 10 ; (3.71)

0),0( =th pentru Tt ≤≤0 .

Ecuaţia (3.68) se poate scrie şi sub forma:

xL

hhtxftxi

x

hh

x

hhnh

t

h nnn

−

⋅α+−+

∂

∂α−

∂

∂⋅⋅α−=

∂

∂ − )(),(),(

)()( 1 . (3.72)

Pentru rezolvarea ecuaţiei (3.72) se va folosi schema Lax-Wendroff, care a fost folosită cu mult succes în multe probleme de modelare a scurgerii pe versanţi. Înainte de a scrie ecuaţia în diferenţe finite va fi dezvoltată funcţia

în serie Taylor: ( ttxh ∆+, )

134

( )

OTHt

ht

t

httxhttxh +

∂

∂∆+

∂

∂∆+=∆+

2

22

2),(),( , (3.73)

unde cu s-au notat termenii de ordin superior. OTH

În continuare se va diferenţia ecuaţia (3.72) în raport cu t şi va rezulta:

[ ] .)(

),(),(

)()(

1

112

2

t

h

xL

hnhtxftxi

t

t

hhn

x

h

t

hhn

xh

t

h

n

nn

∂

∂

−

⋅⋅α+−

∂

∂+

+∂

∂⋅

∂

∂α−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅

∂

∂α−=

∂

∂

−

−−

(3.74)

Înlocuind ecuaţiile (3.72) şi (3.74) în ecuaţia (3.73) se obţine:

( )

[ ]⎥⎥⎦

⎤

∂

∂

−

⋅⋅α+−

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

α∂−

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅

∂

∂α−

∆+

⎥⎥⎦

⎤

−

⋅α+−

⎢⎣

⎡−+

∂

∂α−

∂

∂α−∆+=∆+

−−

−

−

t

h

xL

hnhtxftxi

tt

hhn

x

h

t

hhn

xh

t

xL

hhtxf

txix

hh

x

hhhnttxhttxh

nn

nn

nn

11

12

1

)(),(),(

)(

)(2

)(),(

),()(

)(),(),(

(3.75)

Ecuaţia (3.75) se poate scrie şi sub forma :

−+∂

∂α−

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂α−+=∆+ ),(

)()(),(),( txi

x

hh

x

hhtxhttxh n

n

( ) ( )

( ) [ ]

.)(

),(),()(

)()(),(),(

2

)()(

2

)(),(

12

12

⎥⎥⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

−

α+−+

∂

∂α−

⎢⎢⎣

⎡

⎜⎜

⎝

⎛−

∂

∂α−

∂

∂α

⎩⎨⎧

−∂

−∂∆+

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

α+

∂

∂α−∆+∆

⎥⎥⎦

⎤

−

α+−

−

−

xL

hhtxftxi

x

hh

x

hhnh

hh

t

txftxit

xL

h

x

hh

ntt

xL

hhtxf

nn

nn

nn

(3.76)

135

Folosind schema cu diferenţe finite prezentată în figura 3.9 şi notaţia ( ) ( ) ( txftxitxq ,,, )−= , ecuaţia (3.76) se poate scrie sub forma următoare:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )+

++

∆

α−α⋅

+−

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

∆

−⋅

α+α−

+⋅

∆α−

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

+−⋅

+⋅

α+α+

∆

α−α⋅

+−

−⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

∆

−⋅

α+α−

+⋅⎢

⎣

⎡∆

α−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−∆

−∆+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

α+

∆

α−α∆+∆⋅

⋅⎪⎭

⎪⎬

⎫

−

α++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∆

α−α−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆

−α−+=

−−−

−−−

−−

+

++++

+++−−

+

+−+−

−+−++

22

22

2

2

222

222

222

22

111

111

11

1

1111

11111

1

12111

2

11111

ij

ij

ij

ij

nij

nij

nij

nij

ij

ij

nij

niji

j

ij

ij

nij

nij

ij

ij

ij

ij

nij

nij

ij

ij

nij

nij

ij

ij

nij

niji

j

ij

ij

ij

ij

ij

ijni

j

ij

nij

iji

j

ij

ijni

j

nij

niji

jij

ij

qq

x

hh

x

hhhh

x

n

xxL

hh

x

hh

qq

x

hhhh

x

n

t

qqt

xLxhn

tt

xL

hq

xh

x

hhhh

( ) ( )

( ) .2

2

22 1

11

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟⎟

⎠

⎞

+−⋅

+⋅

α+α+

−

−−ij

ij

nij

nij

ij

ij

xxL

hh (3.77)

Figura 3.9. Schema explicită în diferenţe finite.

136

Dacă se presupune că adâncimea scurgerii urmează să fie determinată în N noduri ale schemei cu diferenţe finite, atunci adâncimea în nodurile

( 1,...,2,1 )−= Nj se va calcula cu ecuaţia (3.77) în raport cu următoarele condiţii la limită:

( ) ( ) 0,,0,0 == txhth . (3.78) Ecuaţiile (3.78) reprezintă condiţiile pentru o suprafaţă iniţială uscată. Schema cu diferenţe finite folosită în ecuaţia (3.77) este explicită, de ordinul doi şi cu un singur pas. Adâncimea scurgerii pe limita aval a domeniului ( ) poate fi calculată cu o schemă de ordinul unu. În acest caz se poate scriem ecuaţia:

Nj =

t

httxhttxh∂

∂∆+=∆+ ),(),( . (3.79)

Înlocuind ecuaţia (3.68) în ecuaţia (3.79) se obţine:

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

α++

∂

∂α−

∂

∂α−∆+=∆+

xL

hhtxq

x

hh

x

hhttxhttxh

nn

n )(),(

)()(),(),( . (3.80)

Dacă ecuaţia (3.80) este scrisă în diferenţe finite se obţine:

( ) ( ) ( )

( ).

111

⎥⎥

⎦

⎤

−

α++

⎢⎢

⎣

⎡+

∆

α−α−

∆

−α−∆+= −−+

iN

niN

iNi

N

iN

iNni

N

niN

niNi

NiN

iN

xL

hq

xh

x

hhthh

(3.81)

Aceste scheme numerice pot fi combinate cu soluţiile analitice, într-o manieră asemănătoare celei folosite pentru obţinerea soluţiilor hibride (Singh, 1974, 1975). Schema în diferenţe finite Lax-Wendroff este una dintre cele mai utilizate scheme numerice pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de tip hiperbolic folosite în modelarea scurgerii de suprafaţă. Stabilitatea este esenţială pentru convergenţa schemei cu diferenţe finite, deoarece o schemă instabilă introduce mici erori în metoda de calcul, erori care se răsfrâng şi asupra soluţiei. În continuare se va prezenta analiza stabilităţii liniare pentru schema Lax-Weendroff. Această analiză presupune că instabilităţile apar în primul rând în

137

regiuni mici ale domeniului, astfel încât coeficienţii derivatelor sunt funcţii fără singularităţi şi pot fi consideraţi ca fiind constanţi în aceste regiuni. În acest caz ecuaţia (3.68) se poate scrie sub forma liniarizată:

xL

hhhtxq

x

hhh

x

hhhn

t

h nnn

−

α+=

∂

∂α+

∂

∂α+

∂

∂ −−−

111 )(

),()(

)( , (3.82)

unde h este o constantă. Atunci în orice punct ( )kj, soluţia numerică este

egală cu soluţia adevărată

kjh

),( tkxjh ∆∆ plus un termen eroare adică: kjε

. (3.83) kj

kj tkxjhh ε+∆∆= ),(

Sistemul (3.82) şi (3.83) fiind liniar, este suficient să se considere numai un termen în dezvoltarea Fourier pentru termenul eroare. Deci expresia pote fi scrisă:

[ ])(exp0 tNxMiNM ∆γ+∆σε=ε , (3.84)

unde:

0ε este o constantă; σ şi sunt numărul de unde în spaţiu şi timp; γ

1−=i .

Se presupune că erorile sunt perturbaţii adăugate la soluţia sistemului liniar, iar dacă se va extrage soluţia exactă se va obţine următoarea ecuaţie diferenţală pentru termenul eroare, ε :

xL

hh

x

hh

xhhn

t

nnn

−

εα=

∂

∂αε+

∂

∂εα+

∂

∂ε −−−

111 )()(

)( . (3.85)

Dacă se introduc notaţiile:

,)()(

;)()(

)(

1

1

−

−

α=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

α−

∂

∂α=

n

n

hhnxg

xL

h

x

hhxf

(3.86)

ecuaţia (3.85) poate fi scrisă sub forma simplificată:

138

0)()( =ε+∂

∂ε+

∂

∂εxf

xxg

t . (3.87)

Se pot scrie următoarele relaţii:

)()( xfx

xgt

ε−∂

∂ε−=

∂

∂ε; (3.88)

.)()()()(')()(')()(

)()()()()()(

2

2

2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ε+

∂

∂ε+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ε+

∂

∂ε+

∂

∂ε+

∂

ε∂=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ε−

∂

∂ε−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ε−

∂

∂ε−

∂

∂−=

∂

ε∂

xfx

xgxfxfxfx

xgxx

xgxg

xfx

xgxfxfx

xgx

xgt

(3.89)

Dacă se dezvoltă în serie Taylor funcţia ),( ttx ∆+ε se obţine:

( )

)(2

),(),(2

22NtO

t

t

tttxttx ∆+

∂

ε∂∆+

∂

∂ε∆+ε=∆+ε . (3.90)

Înlocuind relaţiile (3.88) şi (3.89) în dezvoltarea în serie (3.90) şi neglijând termenii de ordin superior se obţine: )( NtO ∆

( )

.)()()()(')()('

)()(2

)()(),(),( 2

22

⎪⎭

⎪⎬⎫⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ε+

∂

∂ε+⎥

⎦

⎤ε+

∂

∂ε+

∂

∂ε+

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎢⎢

⎣

⎡+

∂

ε∂∆+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ε+

∂

∂ε∆−ε=∆+ε

xfx

xgxfxfxfx

xgx

xxgxg

txf

xxgttxttx

(3.91)

Dezvoltarea (3.91) poate fi scrisă sub forma simplificată:

( )

( ) ][ .)(')()(')()(2

)()()(2

),(),(

2

22

2

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

ε++∂

∂ε+

∂

ε∂∆+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ε+

∂

∂ε⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ∆+∆−+ε=∆+ε

xfxfxgxx

xgxgt

xfx

xgxft

ttxttx

(3.92)

139

Expresia (3.92) scrisă în schema cu diferenţe finite Lax-Wendroff are forma:

( )

( )( )

][ .)(')()('2

2)()(

2

)(2

)()(2

11

211

2

112

1

⎪⎭

⎪⎬⎫

ε++∆

ε−ε+

+⎪⎩

⎪⎨⎧

∆

ε+ε−ε∆+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ε+

∆

ε−ε⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ∆+∆−+ε=ε

−+

−+

−++

xfxfxgx

xxgxg

t

xfx

xgxft

t

kj

kj

kj

kj

kj

kj

kj

kj

kjk

jkj

(3.93)

Considerând în punctul 0== NM ( )kj, , fără a se pierde în generalitate, rezultă:

(3.94) .)(exp),(exp

,),(exp

0101

001

xixi

ti

kj

kj

kj

kj

∆⋅σ⋅ε=ε∆⋅σ⋅−ε=ε

ε=ε∆⋅γ⋅ε=ε

+−

+

Înlocuind aceste expresii în (3.93) şi împărţind cu 0ε se obţine:

( )

( )( )

][ .)(')()('2

2)()(

2

)(2

)()(2

1

2

2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

++∆

−+

⎪⎩

⎪⎨⎧

+∆

+−∆+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

∆

−⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ∆+∆−+=

∆σ−∆σ

∆σ−∆σ

∆σ−∆σ∆γ

xfxfxgx

ee

x

eexgxg

t

xfx

eexgxf

tte

xixi

xixi

xixiti

(3.95)

Folosind formulele lui Euler:

(3.96) ,)(sin)(cos

;)(sin)(cos

xixe

xixe

xi

xi

∆σ−∆σ=

∆σ+∆σ=

∆σ−

∆σ

expresia (3.95) se poate scrie astfel:

140

( )

( )( )

[ ] ][ .)(')()(')(sin

2)cos(2)(

)(2

)()(sin

)()(2

1

2

2

2

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

++∆

∆σ+−∆σ

∆

∆+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∆

∆σ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ∆+∆−+=∆γ

xfxfxgx

xix

x

xgxg

t

xfx

xxigxf

tte ti

(3.97)

Pentru stabilitate, cantitatea trebuie să fie în interiorul cercului unitate din planul complex. Partea reală a expresiei (3.97) este dată de formula:

tie ∆γ

( )

[ ]( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

∆+−∆σ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+

+⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ∆+∆−+=∆γ

2

2

2

)('2)(cos2)(

2

)(

)()(2

1Re

x

xfxxg

xg

x

t

xfxft

te ti

(3.98)

iar partea imaginară de formula:

( ) [ ]

( ) ][ .)()(')(sin)(

)(sin)()(2

Im

2

2

xfxgxxgx

t

xxgxfx

t

x

te ti

+∆σ∆

∆+

+∆σ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∆

∆+

∆

∆−=∆γ

(3.99)

Ridicând la pătrat părţile reale şi imaginare ((3.98) şi (3.99)) şi eliminând termenii care au valori mici, în special cei care sunt de ordinul )( tO ∆ , se obţine criteriul de stabilitate sub forma:

[ ] ( ) 1sin)(2cos22

)(1

2222

≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θ

∆

∆+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−θ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+ xg

x

txg

x

t, (3.100)

unde . x∆σ=θ Considerând conditiile cele mai critice se vor calcula valorile expresiei din membrul stâng al inecuaţiei (3.100) (tab. 3.3).

141

Tabelul 3.3

Criteriile de stabilitate

Nr. crt.

x∆σ=θ θsin θcos Criteriul

1 0 0 1 11 ≤ 2

2/π

1 0 [ ] [ ] 1)()(1

44

22 ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆−

x

txg

x

txg

3

π

0 -1 [ ] [ ] 1)(4)(41

42

22 ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆−

x

txg

x

txg

4

2/3π

-1 0 [ ] [ ] 1)()(1

44

22 ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆−

x

txg

x

txg

Deci, criteriul de stabilitate pentru soluţia numerică a ecuaţie modelului

prezentat mai sus (3.77) este satisfăcut atunci când:

1)(,1)(2

≤∆

∆≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆

x

txg

x

txg (3.101)

sau:

[ ] 11)(−−⋅α⋅≤

∆

∆ nhhnx

t. (3.102)

Inecuaţia (3.102) arată că punctul ( )1, +kj trebuie să fie în interiorul zonei determinată de linia din punctul ( )kj ,1− în punctul ( )kj ,1+ . Deci schema Lax-Wendroff este stabilă în condiţiile (3.101).

3.1.4. APLICAREA MODELULUI PENTRU BAZINE NATURALE Modelul scurgerii pe versant de tip convergent distribuit a fost aplicat pentru două subbazine din bazinul hidrografic Valea cu Drum-Aldeni. Primul subbazin are o suprafaţă de 17,12 ha, iar cel de al doilea o suprafaţa de 52,42 ha şi sunt acoperite cu culturi agricole. Tipul de sol caracteristic zonei unde sunt amplasate cele două subbazine este cernoziom cenuşiu-levigat, iar distribuţia acoperirii solului se prezintă astfel: 47,6% arabil, 23,8% păşune, iar 28,5% livezi.

142

Temperatura medie anuală este de 10,5°C şi variază între -14°C în februarie şi 20,5°C în iulie. Precipitaţia medie anuală este de 500 mm, iar regimul de scurgere este nepermanent, având o scurgere medie anuală de 0,6 l /s. Datele de intrare în model sunt reprezentate de ploaie, infiltraţie, iar datele de ieşire sunt debitele de apă sub formă de hidrograf al scurgerii. Excesul de ploaie ( ) ( ) ( )txftxitxq ,,, −= constituie input-ul în model. Conceptul de exces de ploaie este discutabil, fiind mai mult artificial decât o realitate. Procesele ploaie, infiltraţie şi scurgere apar concomitent în natură, iar considerarea simultană a acestor procese complică modelarea scurgerii. Din această cauză mulţi cercetători, deşi recunosc că noţiunea de exces de ploaie este artificială, o folosesc în modelele ploaie-scurgere. În modelul de faţă infiltraţia ( )txf , va fi determinată cu ecuaţia lui Philip (ec. 2.111) scrisă sub forma:

, (3.103) 2/1−⋅+= tBAf

unde f este intensitatea infiltraţiei, t este timpul, iar A şi B sunt parametri dependenţi de caracteristicile solului şi de condiţiile iniţiale de umiditate a solului. Aceşti parametri variază de la o ploaie la alta pentru acelaşi bazin şi de la un bazin la altul pentru aceeaşi ploaie. Totuşi, parametrul A este considerat ca fiind echivalent cu infiltraţia permanentă şi este determinat în funcţie de caracteristicile fizice ale solului. Parametrul B este considerat variabil, fiind funcţie de intensitatea ploii şi condiţiile iniţiale de umiditate a solului. Un alt punct important al modelării scurgerii de pe suprafaţa versantului este reprezentarea geometrică a acestuia. Obiectivul acestei reprezentări este transformarea geometriei bazinului natural într-o geometrie simplă având răspunsul hidrologic similar. Reprezentarea geometrică a celor două subbazine studiate se prezintă în figurile 3.10 şi 3.11.

Figura 3.10. Reprezentarea geometrică a bazinului Valea Mărăcine.

143

Figura 3.11. Reprezentarea geometrică a bazinului Valea cu Drum.

Din figura 3.5 se observă că geometria secţiunii convergente are patru parametri geometrici: , r, ( rL −1 ) θ şi unde 0S ( )rL −1 este lungimea scur-gerii, este panta, r este parametrul referitor la gradul de convergenţă, iar este unghiul interior. Datorită simetriei radiale,

0S θθ nu are efect asupra

caracteristicilor răspunsului bazinului, însă este necesar pentru delimitarea suprafeţei, fiind dependent de L şi r. Geometria secţiunii convergente are câteva proprietăţi interesante:

1. Din punct de vedere al sistemului discret de segmente elementare este analog cu sistemul de rezervoare neliniare inegale în cascadă.

2. Răspunsul reprezentării este similar cu cel al planelor în cascadă de mărime descrescătoare.

3. Convergenţa poate fi considerată ca fiind concentraţia scurgerii în punctul de închidere al bazinului. Deoarece suprafaţa bazinului este cunoscută trebuie să se determine numai doi parametri: şi r. Pe baza studiilor efectuate de Singh (1974), parametrul

( rL −1 )( )rL −1 poate fi considerat egal cu proiecţia orizontală cea mai

lungă din cel mai îndepărtat punct al bazinului până în punctul de închidere. De asemenea, parametrul r poate fi luat egal cu 0,01 şi astfel harta topografică a bazinului va fi suficientă pentru a transforma geometria naturală într-o geometrie simplă. După cum se observă şi din figurile 3.10 şi 3.11, geometria secţiunilor convergente a fost descompusă într-un număr de 10 segmente. Pentru fiecare segment panta ponderată este determinată din harta topografică.

144

Pentru fiecare bazin s-au ales două seturi de ploaie-scurgere. Un set a fost folosit pentru optimizarea parametrilor modelului şi este numit set de optimizare, iar cel de al doilea a fost folosit pentru predicţia hidrografului scurgerii. În figurile 3.12 şi 3.13 sunt prezentate hidrografele prognozate pentru cele două bazine studiate. Analiza comparativă a hidrografului prognozat cu cel măsurat evidenţiază modul cum modelul convergent distribuit prognozează distribuţia scurgerii în timp.

Figura 3.12. Simularea scurgerii pentru bazinul Valea Mărăcine.

Figura 3.13. Simularea scurgerii pentru bazinul Valea cu Drum.

145

Luând în considerare simplicitatea modelului convergent distribuit se poate considera că simularea formei hidrografului este foarte bună, unele neconcordanţe datoreându-se algoritmului de optimizare a parametrilor şi modului de fundamentare fizică a acestora. Deci, modelul poate fi folosit pentru prognoza debitului maxim al viiturii, a timpului de creştere şi a caracteristicilor formei hidrografului.

3.2. MODELUL UNIDIMENSIONAL DE TIP FIZIOGRAFIC. Modelul de tip fiziografic, elaborat de Stanciu, Blidaru şi Drăgoi (1976), se bazează pe conceptul că numai luând în consideraţie dinamica elementelor de bilanţ hidric în fiecare punct din bazin se poate sesiza procesul real al scurgerii. Modelul presupune determinarea hidrografului scurgerii pentru suprafeţe elementare şi integrarea tuturor acestor hidrografe pentru întreg bazinul.

Figura 3.14. Schema logică a modelului unidimensional de tip fiziografic.

146

Conceptul formării scurgerii superficiale pe un element de suprafaţă al bazinului considerat constă în divizarea ciclului scurgerii în mai multe componente. Fiecare din aceste componente poate fi incorporată independent în modelul general. Componentele bilanţului de apă utilizate în modelul matematic sunt: ploaia, intercepţia, acumularea de suprafaţă, infiltraţia şi scurgerea superficială. Modelul, cum se vede şi din schema logică prezentată în figura 3.14, se poate cupla cu modulele referitoare la scurgerea subterană şi scurgerea de aluviuni. Reprezentarea geometrică a bazinului hidrografic într-un număr finit de elemente de suprafaţă (fig. 3.15) se face astfel încât parametrii hidrologici importanţi (intensitatea ploii, intensitatea infiltraţiei, mărimea şi direcţia pantei, acoperirea cu vegetaţie) să fie constanţi în interiorul fiecărui element (pot însă varia într-o manieră complet nerestrictivă între elementele adiacente).

Figura 3.15. Divizarea bazinului în elemente de suprafaţă.

Scurgerea în interiorul fiecărui element se produce pe direcţia liniei de cea mai mare pantă a elementului respectiv. Acest procedeu presupune divizarea debitului în două componente, funcţie de divizarea suprafeţei elementului (fig. 3.16) de direcţia cu cea mai mare pantă. Din această cauză modelul se poate defini ca model bidimensional hibrid.

Figura 3.16. Condiţii ale scurgerii de suprafaţă în interiorul unui element.

147

3.2.1. ECUAŢIILE MODELULUI Ecuaţiile modelului se obţin din ecuaţiile generale ale mişcării în condiţii particulare:

- mişcare unidimensională, - neglijarea termenilor inerţiali, - mişcarea se produce sub acţiunea forţei de frecare.

În aceste condiţii simplificate ecuaţiile modelului se scriu sub forma:

( ) ,sincos

;),(),(

1+θ+θ⋅=+=

−=∂

∂+

∂

∂

myx hKqqq

txftxix

q

t

h

(3.104)

unde:

xq şi sunt debitele în direcţia x şi y; yq

K este coeficient care depinde de pantă şi rugozitatea suprafeţei, θ - unghiul format pe suprafaţa elementului de direcţia cu cea mai mare pantă; i - intensitatea ploii; f - intensitatea infiltraţiei; m - exponent funcţie de gradul de turbulenţa al scurgerii (în ge- neral 67,0=m ).

Pentru integrarea componentelor bilanţului de apă pe elementul de suprafaţă se foloseşte ecuaţia:

dt

dVOI =− , (3.105)

unde:

I reprezintă intrările în elementul de suprafaţă; O - ieşirile din element; V - volumul apei acumulate pe element şi este disponibil pentru scurgere.

Debitul pentru elementul de suprafaţă se calculează cu formula:

1' +⋅=∆⋅⋅+∆⋅⋅= mhKxhvxhuq , (3.106)

148

149

( )θ+θ⋅

unde:

∆⋅= sincos' xKK , (3.107) h

x∆ este adâncimea medie a scurgerii pe versant; - dimensiunea elementului de suprafaţa pentru o reţea pătratică;

u şi v sunt vitezele în direcţia x, respectiv y.

Pentru calculul infiltraţiei se foloseşte formula Holtan şi Overton scrisă sub forma:

B

pc T

FSAff

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+=

cf

pT

, (3.108)

unde:

f este capacitatea de infiltraţie la un moment dat t; - capacitatea finală (infiltraţia stabilizată) de infiltraţie;

S - capacitatea de acumulare a apei în stratul de sol activ care participă la formarea scurgerii superficiale; F - volumul total infiltrat;

- porozitatea totală a stratului de sol activ;

A şi B sunt constante care se determină experimental. Constantele A şi B au fost determinate prin metoda celor mai mici pătrate, corelând valorile ( )cff − cu valorile ( ) pTFS /− obţinute pe cale experimentală

cu ajutorul infiltrometrului mobil. Datorită condiţiilor simplificatoare impuse la elaborarea modelului, acesta poate fi considerat ca o aproximaţie de ordinul 1 (model bidimensional hibrid) a modelului matematic bidimensional de formare a scurgerii pe versant.

3.2.2. TESTAREA MODELULUI PE VERSANT ŞI BAZINE MICI

Rezultatele testării modelului pe suprafeţe versant cuprinse între 300- 5000 şi în bazine mici cu suprafeţe cuprinse între limitele de 2,55-9,9 , se prezintă în tabelul 3.4.

2m 2km

Aşa cum rezultă şi din acest tabel, la testarea modelului pe versanţi s-a obţinut o bună concordanţă între hidrografele observate şi cele calculate (simulate), straturile calculate situându-se în limitele de abatere de -14% ÷ +6%, iar debitele în limitele de –19,4% ÷ +22% (fig. 3.17- fig. 3.19).

150

Tabelul 3.4

Rezultatele testării modelului pe versant şi bazine mici Nr. crt.

Bazinul (Parcela versant)

F 0Q 0h (mm) 0α sQ sh

(mm) sα

1 Parcela 30*10 m 300m2 85 mm/oră 11,9 0,53 88 mm/oră 10,3 0,462 Parcela 60*10 m 600 m2 53 mm/oră 30,1 0,58 65 mm/oră 31,8 0,623 Parcela 90*10 m 900 m2 32 mm/oră 17,4 0,38 38 mm/oră 18,6 0,414 Versant 100*50 m 5000 m2 13,5 mm/oră 8,9 0,48 11,4 mm/oră 7,7 0,425 Bărbuleţ-b.h. Moeciu 2,55 km2 2,8 m3/s 24,8 0,53 1,8 m3/s 17,6 0,376 Grohotiş-b.h. Moeciu 3,40 km2 3,8 m3/s 35,0 0,65 2,25 m3/s 28,0 0,447 Valea lui Ion-b.h.Suha 6,6 km2 10 m3/s 29,7 0,66 6,6 m3/s 23,2 0,528 V. Ursului-b.h. Suha 6,85 km2 9,2 m3/s 28,8 0,65 6,1 m3/s 23,6 0,549 Arşiţa-b.h. Suha 7,5 km2 10,8 m3/s 66,0 0,71 6,7 m3/s 48,4 0,52

10 Făgeţel-b.h. Trotuşul superior

9,9 km2 4,75 m3/s 30,0 0,46 3,0 m3/s 25,6 0,39

Notaţiile folosite în tabelul 3.4 sunt următoarele:

F este suprafaţa versantului sau bazinului; 0Q - debitul măsurat;

0h - stratul măsurat;

0α - coeficientul de scurgere măsurat;

sQ - debitul simulat;

sh - stratul viiturii simulate;

sα - coeficientul de scurgere al viiturii simulate.

Figura 3.17. Simularea scurgerii de suprafaţa pe parcela de 300 m2

(O - hidrograful observat, S - hidrograful calculat).

Figura 3.18. Simularea scurgerii de Figura 3.19. Simularea scurgerii de suprafaţa pe parcela de 600 m2 . suprafaţa pe parcela de 900 m2.

(O - hidrograful observat, S - hidrograful simulat).

151

Pentru bazine mici, concordanţa între hidrografele observate şi cele calculate este necorespunzătoare, abaterile dintre debitele maxime simulate şi cele observate fiind cuprinse între -34% şi -41%, iar abaterile între straturile scurse calculate şi observate sunt cuprinse între -15% şi -29%. Aceste diferenţe se explică prin structura simplă a modelului în comparaţie cu procesul complicat al scurgerii din bazine cu o reţea de drenaj bine dezvoltată şi prin faptul că în structura modelului nu este inclus şi routing-ul prin albie. Din analiza senzitivităţii făcută de Stanciu, Blidaru şi Drăgoi (1978) asupra celor 4 parametri ai modelului (fig. 3.20 - fig. 3.23) a rezultat că cea mai mare pondere asupra procesului de scurgere, cu excepţia ploii, o are infiltraţia, condiţionată în principal de umiditatea iniţială din stratul de sol. Urmează ca pondere: coeficientul de rugozitate, stocarea de suprafaţă şi intercepţia. În ceea ce priveşte influenţa celorlalţi parametri, adâncimea maximă a denivelărilor de la suprafaţa terenului (DIRM) şi stratul acumulat în depresiunile solului (PIT) au o influenţă mică asupra volumului şi formei hidrografului. În tabelul 3.5 sunt prezentate limitele de variaţie ale parametrilor modelului obţinute în urma testării în bazinele hidrografice selecţionate.

Tabelul 3.5

Limitele de variaţie ale parametrilor modelului obţinute în urma testării

în bazinele hidrografice selecţionate

Nr. crt. Parametrul Limitele de variaţie

1 Umiditatea anterioară - ASM 47 - 75% (din umiditatea de saturaţie)

2 Coeficientul de rugozitate - RN 0,08 – 0,16 3 Grosimea stratului de sol - DINF 5 - 18 cm 4 Adâncimea maximă a denivelărilor de pe

suprafaţa solului - DIRM 2 - 10 cm

5 Grosimea stratului de apă acumulat în depresiuni - PIT

0,5 – 1,5 mm

Parametrul cel mai important din ecuaţia de infiltraţie este infiltraţia finală (stabilizată), , care pentru bazinele studiate , precum şi parametrii A şi B, au avut valorile din tabelul 3.6.

cf

Pe baza rezultatelor testării se consideră oportună utilizarea modelului fiziografic numai pentru calculul scurgerii pe versanţi şi pentru diferite variante de amenajare a acestora. Modelul funcţionează bine pentru faza de scurgere laminară pe versant şi mai puţin pentru mişcarea turbulentă.

152

Figura 3.20. Hidrograful scurgerii pe versant obţinută

prin variaţia parametrului ASM.

Figura 3.21. Hidrograful scurgerii pe versant obţinută

prin variaţia parametrului RN.

153

Figura 3.22. Hidrograful scurgerii pe versant obţinută

prin variaţia parametrului PIT.

Figura 3.23. Hidrograful scurgerii pe versant obţinută

prin variaţia parametrului DINF.

154

Tabelul 3.6 Parametrii ecuaţiei de infiltraţie

Nr. crt. Bazinul

cf (mm/min) A B

1 Voineşti 0,18 – 0,74 1,84 2,25 2 Balinteşti 0,16 – 0,58 1,92 2,12 3 Suha 0,20 – 0,52 1,74 2,05 4 Moeciu 0,10 – 0,21 1,64 1,84 5 Trotuş 0,20 – 0,46 1,70 1,95

3.3. MODELUL HIDRODINAMIC COMPLEX AL SCURGERII PE VERSANŢI

Procesul ploaie-scurgere în bazine mici, datorită regimului laminar-turbulent şi adâncimii mici de scurgere este mult mai greu de descris prin proceduri hidraulice simple. Factorii fizico-geografici: intensitatea şi durata precipitaţiilor, textura şi tipul de sol, reflectate prin capacitatea de infiltrare, condiţiile anterioare de umiditate, densitatea şi tipul de vegetaţie, precum şi particularităţile topo-grafice, incluzând numărul şi mărimea depresiunilor de pe suprafaţă, panta şi lungimea versantului, produc variaţii mari în timp şi spaţiu asupra carac-teristicilor hidraulice ale scurgerii. Pentru cercetarea procesului formării scurgerii la scara bazinelor mici a fost necesară desfăşurarea unei activităţi hidrometrice complexe şi detaliate asupra componentelor ciclului hidrologic: precipitaţii, intercepţie, evapotranspiraţie, scurgere de suprafaţă, hipodermică şi subterană, umiditatea solului etc. Volumul mare de date obţinute în real life pentru aceste bazine a permis obţinerea unor relaţii de generalizare pentru principalii parametri ai scurgerii şi pentru verificarea unor ipoteze teoretice privind formarea scurgerii (Stanciu şi Zlate, 1987, a). De asemenea, acest fond de date a permis şi modelarea întregului ciclu hidrologic sau doar a unor componente printr-o gamă variată de modele hidrologice (Stanciu, 1984; Stanciu şi Zlate, 1987, b). Modelul care se prezintă în lucrare se bazează pe aplicarea principiilor conservării masei şi impulsului pentru descrierea proceselor hidrologice de la suprafaţă şi din sol, cuprinzând mai multe submodele corespunzătoare diferitelor niveluri de acumulare a apei: intercepţia, scurgerea de pe versant şi din albie, zona nesaturată şi zona saturată (Stanciu şi Ene, 1988).

Schema bloc a modelului cu principalele submodele se prezintă în figura 3.24.

155

Figura 3.24. Schema bloc a modelului hidrodinamic.

3.3.1. ECUAŢIILE MODELULUI Mişcarea pe versant se obţine în ipoteza că stratul vegetal care acoperă suprafaţa versanţilor poate fi aproximat cu un strat poros cu o permeabilitate şi porozitate mare.

Considerând că toată cantitatea de ploaie netă intră în stratul poros şi folosind ecuaţia de continuitate şi legea lui Darcy se obţine următoarea ecuaţie de mişcare:

ifrt

h

x

h

x

hK

x

hKh −=

∂

∂γ−

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ−

∂

∂+

∂

∂sin

2

2 , (3.109)

156

în care:

K este coeficientul de permeabilitate; h - adâncimea scurgerii; θ - unghiul de înclinare a versantului; x - distanţa măsurată din partea amonte a versantului spre baza lui; t - timpul; γ - porozitatea; r - rata ploii nete;

if - rata infiltraţiei.

Mişcarea din zona nesaturată este descrisă de ecuaţia:

)()(

)( θ+∂

θ∂−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂θθ

∂

∂=

∂

∂θkS

z

K

zD

zt, (3.110)

unde:

θ este conţinutul de umiditate; ( )θD - difuzibilitatea: ( )θK - permeabilitatea; ( )θkS reprezintă fie fluxul prin suprafaţa solului în zona

nesaturată, fie evaporaţia . if

pE

Condiţiile la limită pe suprafaţa solului ( 0=z ) sunt:

.f pentru

;pentru

imax p

ipp

Er

fErz

DKEr

−≤θ=θ

<−∂

∂θ−−=−

(3.111)

Soluţia ecuaţiei (3.110) se foloseşte şi pentru determinarea ratei infiltraţiei în funcţie de conţinutul de umiditate ( )tf θ :

∫θ

=L

dzdt

tzdtf

0

),()( . (3.112)

Pentru , iar pentru ( ) ( )trtftt =< ,max ( ) ( )trtftt <> ,max ( este timpul la care ). În fiecare dintre cazuri,

maxt

maxθ=θ ( )tf pentru 0=z va fi egală cu rata scurgerii calculată cu formula Darcy:

157

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂

∂−= 1

),0()(

z

thKtf , (3.113)

unde h este presiunea din stratul de sol. De asemenea, ecuaţia (3.110) se foloseşte şi pentru descrierea mişcării în zona rădăcinilor plantelor înlocuind pe ( )θkS cu expresia (Fedees ş.a, 1976):

)(/)(2)( maxSZSES pk ⋅θ⋅⋅=θ , (3.114)

unde:

( )θS este cantitatea de apă consumată de plante;

maxS - cantitatea maximă de apă existentă în zona rădăcinilor;

pE - evapotranspiraţia;

Z - adâncimea rădăcinilor.

Scurgerea de suprafaţă (hipodermică) se modelează prin analogie cu teoria difuziei. Pornind de la ecuaţia de continuitate şi de mişcare de tip Darcy, se obţine următoarea ecuaţie:

( pi ffC

x

qC

x

qD

t

q−

γ+

∂

∂

γ−

∂

∂

γ=

∂

∂ 002

20 ) , (3.115)

unde:

0h şi reprezintă adâncimea şi viteza curgerii faţa de care se efectuează liniarizarea ecuaţiei;

0u

q este debitul;

if - infiltraţia;

pf - percolaţia;

0I - panta stratului de sol;

00 2/3 uC =

0000 2/ IuhD =

Scurgerea subterană este obţinută prin integrarea ecuaţiei:

izHK

zHHK

ztHHC ε+

∂∂

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

=∂∂ )()()( , (3.116)

158

unde:

iε reprezintă percolaţia ( ) din zona nesaturată (pf 1=i ) sau schimbul

prin capilaritate (- ) în zona nesaturată (pf 2=i );

( )HK este conductivitatea hidraulică; H - nivelul apei; z - adâncimea;

HHC

∂

∂θ=)( .

Mişcarea apei în râu este descrisă prin ecuaţiile:

,1

;

3/2 Ω∂

∂−=

−+⋅=∂

∂+

∂

Ω∂

Rx

hI

nQ

FqBrx

Q

t (3.117)

unde:

Ω este aria secţiunii transversale corespunzătoare adâncimii h; Q - debitul care se scurge prin secţiune; r - rata ploii nete; B - lăţimea râului; q - debitul de pe versant; F - infiltraţia în malurile râului; n - coeficientul de rugozitate; R - raza hidraulică, I - panta albiei râului.

3.3.2. REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIEI MODELULUI Pentru rezolvarea numerică a ecuaţiilor modelului se foloseşte metoda explicită cu diferenţe finite "Lax - Wendroff", care este stabilă, convergentă şi mult mai rapidă, după cum s-a menţionat şi anterior. Pe baza reţelei de carouri ( )txi ∆∆ , vor fi definite încă trei distanţe nodale ajutătoare, care vor fi folosite pentru a completa distanţa nodală de bază . Pentru orice nod interior :

ix∆

159

( )

( )

( ) .2

1

2

1"'

;2

1"

;2

1'

11

1

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆+∆+∆=∆

∆+∆=∆

∆+∆=∆

−+

−

+

iiii

iii

iii

xxxx

xxx

xxx

(3.118)

Dacă se notează cu U variabila din ecuaţiile modelului, derivatele în diferenţe finite se exprimă astfel:

,"2

;'

;"'2

1

2/1

1

2/1

11

i

ii

i

i

ii

i

i

ii

i

x

UU

x

U

x

UU

x

U

x

UU

x

U

∆

−≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∆

−≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∆

−≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

−

−

+

+

−+

(3.119)

iar pentru derivata în raport cu timpul:

t

UU

t

U tt

∆

−≈

∂

∂ +1 . (3.120)

De asemenea, algoritmul de calcul numeric presupune dezvoltarea în serie Taylor a variabilei U în punctul ( )ttx ∆+, :

)(2

),(),( 32

2

2

tOt

t

Ut

t

UtxUttxU ∆+

∆

∂

∂+∆

∂

∂+=∆+ ,

unde reprezintă aproximaţia de ordin superior. )( 3tO ∆

3.3.3. APLICAREA MODELULUI Modelul a fost aplicat pentru simularea scurgerii în bazinul experimental Voineşti atât pe întregul bazin, cât şi pentru simularea scurgerii pe parcelele de scurgere.

160

Volumul de date disponibile (scurgeri lichide de suprafaţă, subsuprafaţă şi subterană, precipitaţii, umiditatea solului, evapotranspiraţia etc.) a permis obţinerea de relaţii pentru determinarea parametrilor ecuaţiilor de mişcare şi precizarea condiţiilor la limită şi iniţiale, în special pentru procesul de infiltraţie. Astfel, pentru conductivitatea hidraulică K şi conţinutul de umiditate a solului θ s-au obţinut relaţii de forma:

m

Sn

S

ha

a

h

KK

+

θ=θ

+α

α= , , (3.122)

unde:

h este presiunea apei din sol măsurată în coloană de apă; sK - conductivitatea hidraulică la saturaţie;

α , n, a şi m sunt parametri determinaţi analitic ( sθ este umiditatea la saturaţie).

Simularea distribuţiei umidităţii în sol se prezintă în figura 3.25, iar rezultatele simulării pentru scurgerea totală de la parcela de bilanţ de 300 pentru ploaia din 27 iulie 1981 se prezintă în figura 3.26.

2m

Din analiza hidrografelor observate şi simulate pentru parcelele de scurgere cu suprafaţa de 300 , 600 şi 900 , precum şi de pe întreg bazinul (F =1,2 ), a rezultat că modelul simulează bine procesul ploaie-scurgere pentru bazine mici şi versanţi (fig. 3.27).

2m 2m 2m2km

Pentru aplicarea modelului în bazine unde nu se dispune de date asupra parametrilor scurgerii hipodermice şi subterane este necesară efectuarea unor cercetări speciale de descompunere a hidrografelor în componente: de suprafaţă, subsuprafaţă şi subterană, precum şi determinarea pe cale experimentală a profilelor de umiditate, a nivelului apelor subterane şi a proprietăţilor fizice ale solului. Experimentele numerice cu ajutorul modelului hidrodinamic au permis şi evidenţierea unor particularităţi ale formării scurgerii pe versanţi şi în bazine mici referitoare la contribuţia principalelor componente ale procesului circu-laţiei apei în natură. Modelul hidrodinamic complex contribuie la dezvoltarea modelării matematice în raport cu datele măsurate în bazine experimentale şi adaptarea acestora la posibilităţile de calcul, ţinând seama de configuraţia terenului şi generalizarea rezultatelor sub formă de caracteristici globale necesare determinării parametrilor scurgerii mixte în bazine mici.

161

Figura 3.25. Simularea distribuţiei umidităţii în sol.

Axat în principal pe descrierea mişcării apei în sol şi respectarea continuităţii procesului ploaie-scurgere-infiltraţie, modelul permite efectuarea de simulări ale scurgerii pe perioade lungi de timp, limitarea în suprafaţa de aplicabilitate fiind dictată în principal de datele observate folosite şi de condiţiile de izotropie a mediului.

162

Figura 3.26. Scurgerea observată (____) şi scurgerea simulată (-----)

cu modelul hidrodinamic pe parcela de 300 m2.

163

Figura 3.27. Scurgerea observată (____) şi scurgerea simulată (---) cu modelul hidrodinamic pe bazinul Voineşti.

3.4. MODELUL BIDIMENSIONAL AL SCURGERII DE SUPRAFAŢĂ PE VERSANŢI PERMEABILI

Elaborarea modelelor scurgerii de suprafaţă care iau în considerare variabilitatea caracteristicilor bazinului de recepţie şi interacţiunea factorilor meteorologici şi hidrologici pe suprafaţa solului înseamnă o trecere la un nou nivel calitativ în cercetarea proceselor hidrologice. Pentru unele probleme hidro-logice, un astfel de detaliu în descrierea proceselor, având o informare mete-orologică şi hidrologică standard, poate fi un plus, însă în următorii ani trebuie să ne aşteptăm la o mărire însemnată a posibilităţilor de măsurare la suprafaţă a caracteristicilor hidrometeorologice. Principalele perspective sunt legate de metodele de măsurare la distanţă (măsurători radar, fotogrametrie, prelucrarea informaţiei satelitare). Modelele spaţiale permit asimilarea mai eficientă a datelor din măsurătorile de suprafaţă şi, în acelaşi timp, vor mări substanţial sfera de probleme pentru care se poate realiza folosirea practică a modelelor. Atât în elaborarea modelelor spaţiale de formare a scurgerii, cât şi în elaborarea modelelor de scurgere a apei pe suprafaţa bazinului de recepţie, sunt posibile două abordări. Prima este bazată pe schematizarea bazinului de receptie sub forma unei serii de suprafeţe elementare, pentru care se pot folosi modelele unidimensionale. În cea de a doua abordare, modelele includ descrieri bidimensionale, cel puţin ale unor procese hidrologice. Se admite că prima din

164

abordări este comodă atunci când valoarea determinantă în formarea hidro-grafului scurgerii o are propagarea prin sistemul de albii bine evidenţiat. În general, folosirea modelelor bidimensionale este de preferat, datorită posibilităţilor reproducerii mai detaliate a particularităţilor bazinului de recepţie şi asigurarea unei precizii mai mari a calculelor. Totuşi, se are în vedere faptul că mărirea dimensionalităţii modelelor măreşte cu mult timpul de calcul şi necesită o informare cât mai completă. Prima încercare de elaborare a modelului de formare a scurgerii, bazat pe ecuaţiile bidimensionale ale scurgerii pe versanţi, a fost făcută de Demidov şi Koren (1977), în ipoteza că limita bazinului de recepţie subteran coincide cu limita bazinului de recepţie de suprafaţă, iar apele subterane hidraulic nu sunt legate de curgerea din albia râului. Pentru integrarea numerică a ecuaţiilor scurgerii pe versanţi şi a transportului de umiditate s-au folosit scheme cu diferenţe finite explicite. Pasul de integrare în spaţiu s-a luat egal cu 40 m, în adâncime de 0,1 m, iar în timp de la 120 la 600 s. Kuciment şi Trubihin (1977) au propus modelul de formare a scurgerii bazat pe următorul sistemul de ecuaţii bidimensionale pentru scurgerea apei pe suprafaţa bazinului şi ecuaţia transportului vertical de umiditate:

IRy

q

x

q

t

h yx −=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ ; (3.123)

η⋅

=η⋅

=grad

iChq

grad

iChq y

yx

x

2/32/3, ; (3.124)

0

)()(,)()(=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θ+

∂

∂θθ−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θ−

∂

∂θθ

∂

∂=

∂

∂θ

Z

Kz

DIKz

Dzt

. (3.125)

Bazinul de recepţie a fost schematizat sub forma unei reţele dreptunghiulare, iar reţeaua de râuri prin canale cu aceeaşi lăţime (10 m). Mişcarea apei în canale s-a calculat după ecuaţiile undei cinematice pentru cazul unidimensional. Precipitaţiile şi nivelele apelor subterane s-au considerat aceleaşi pentru întregul bazin de recepţie. Coeficientul de difuzie şi conductivitatea hidraulică s-au calculat cu relaţiile:

(3.126) ( )

( ) .1,0)(

1,0)(

20

20

−θ=θ

−θ=θ

KK

DD

165

Condiţiile la limită au fost luate de forma:

- la suprafaţa solului ( 0=z ):

0

)( =+∂

∂θθ−=

ZK

zDR dacă IR < ; (3.127)

dacă max),0( θ=θ t IR > ; (3.128)

- la limita inferioară ( 1=z ):

max),1( θ=θ t (3.129)

Rezultatele acestor cercetări, în care s-a propus algoritmul de calcul al scurgerii bidimensionale în cazul bazinului de recepţie cu topografie complexă, s-au folosit pentru formularea matematică a unui model de scurgere pe bazin.

3.4.1. DEDUCEREA SISTEMULUI DE ECUAŢII ŞI ALGORITMUL DE REZOLVARE NUMERICĂ

Ecuaţiile de mişcare a fluidelor incompresibile pe suprafaţa unui bazin hidrografic sunt obţinute prin medierea ecuaţiilor hidrodinamice Navier-Stokes şi ecuaţia de continuitate pe direcţia axei verticale Oz, perpendiculară pe suprafaţa solului (fig. 3.28).

Ecuaţia de continuitate pentru fluidul incompresibil este:

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

w

y

v

x

u , (3.130)

unde , ( )tzyxuu ,,,= ( )tzyxvv ,,,= şi ( )tzyxww ,,,= sunt componentele vitezei pe direcţia axelor x, y şi z. Pentru a integra ecuaţia (3.130) pe o secţiune paralelă la axa Oz trebuie să se cunoască condiţiile la limită pe suprafaţa liberă şi pe suprafaţa solului. Condiţia la limită pe suprafaţa liberă ( )tzyxdz ,,,= este:

zdz

rwy

dv

x

du

t

dθ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=

cos , (3.131)

unde:

r este intensitatea ploii; xθ - unghiul de înclinare pe care-l fac forţele de gravitaţie cu axa Oz;

166

d - adâncimea secţiunii de scurgere.

Planul (x,y) este ales pe suprafaţa bazinului, pe care se verifică condiţia:

zz iw θ−== cos0 , (3.132)

unde i este intensitatea infiltraţiei în sol ( când apa intră în sol şi când apa iese din sol - se evaporă).

0>i 0<i

Figura 3.28. Reprezentarea schematică a scurgerii de pe versant.

167

Integrând ecuaţia (3.130) în raport cu z de la 0 la d cu condiţiile la limită (3.131) şi (3.132) şi folosind regula lui Leibnitz de diferenţiere sub semnul integrală se obţine ecuaţia de continuitate pentru scurgerea bidimensională pe bazin:

( ) ( )

iry

hv

x

hu

t

h−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ , (3.133)

având în vedere relaţia zhd θ= cos . Ecuaţiile de mişcare (ecuaţiile Navier-Stokes) pentru mişcarea fluidului newtonian incompresibil în câmp gravitaţional sunt:

.1

sin

;1

sin

;1

sin

wz

pg

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

vy

pg

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

ux

pg

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

z

y

x

∆ν+∂

∂

ρ−θ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∆ν+∂

∂

ρ−θ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∆ν+∂

∂

ρ−θ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

(3.134)

Condiţia cinematică la suprafaţa liberă ( )tzyxdz ,,,= este descrisă de ecuaţia (3.131), iar condiţia dinamică într-o primă aproximaţie, dacă se neglijează tensiunea superficială, este dată de ecuaţia:

( ) 0,,, =tzyxp . (3.135)

Dacă condiţia cinematică la suprafaţa solului ( 0=z ) este descrisă de ecuaţia (3.132), condiţia dinamică este necunoscută. Pentru a o preciza se va efectua o analiză mai detaliată a procesului scurgerii între suprafaţa solului şi suprafaţa liberă a scurgerii. Pentru aceasta se va integra ecuaţia a treia din sistemul (3.134) în raport cu z între limitele 0 şi d şi ţinând seama de (3.135), se va obţine:

),0,,(1

cos

0000

tyxpgd

dzwqvwdzy

uwdzx

wdzt

z

d

s

ddd

ρ+θ−=

=−∂

∂+

∂

∂+

∂

∂∫∫∫∫

(3.136)

168

în care:

(3.137) ZZ

d

S ityxwrtdyxwdzwq θ−θ=∫ cos),0,,(cos),,,(

0

se referă fie la integrarea unui izvor r sau unui puţ i sau amândouă , cu componenta verticală a vitezei w de-a lungul unei linii paralele la axa Oz.

sq

În ipoteza că frecarea pe suprafaţa solului este singura forţă care se opune scurgerii, termenii care rămân sunt de forma:

2

21

z

u

zZX

∂

∂ν=

∂

∂τ

ρ (3.137)

2

21

z

v

zZY

∂

∂ν=

∂

∂τ

ρ , (3.138)

în care şi sunt tensiunile de frecare pe secţiunea normală la axa Oz, în

direcţiile axelor x şi y. Astfel rezultă: zxτ zyτ

. (3.139) 0

0

=∆ν∫d

wdz

Pentru evaluarea momentului afluxului pe unitatea de masă a curgerii la suprafaţa liberă, ( ) zrtzyxw θ⋅ cos,,, , trebuie să ne concentrăm atenţia pe analiza următoarelor fenomene. În toate ipotezele, cu excepţia celei moleculare, se consideră că aportul din ploaie pe suprafaţa liberă este ca un mediu continuu de apă. În realitate, apa pe suprafaţa liberă se adaugă sub formă de picături. Pentru o clasă particulară de mişcări există o distribuţie a dimensiunilor picăturilor pe unitatea de arie orizontală în unitatea de timp. Forma distribuţiei şi concentrarea picăturilor pot fi semnificative în studiul microscopic al scurgerii, dar nu în studiul macroscopic. În abordarea macroscopică, momentul afluxului pe unitate de masă la suprafaţa liberă este aproximat de: )cos(coscos),,,( ZZZfprZ rVrtdyxw Φ+θθβ−=θ , (3.140) unde:

rβ este factorul de corecţie al momentului pentru distribuţia vitezelor finale de cădere ale picăturilor;

169

fpV - viteza medie finală a picăturilor;

- unghiul de înclinare pe care îl face viteza medie finală de cădere cu linia verticală, cum se reprezintă în figura 3.28; unghiul va fi considerat pozitiv când este în direcţia curgerii şi negativ când este în direcţia opusă.

zΦ

zΦ

Pe lângă momentul afluxului prin suprafaţa liberă de curgere, există şi momentul defluxului pe suprafaţa solului, prin infiltraţie: ( ) zitzyxw θ⋅ cos,,, . Deoarece viteza medie de infiltraţie în sol în direcţia normală la suprafaţă este de obicei foarte mică în comparaţie cu viteza finală de cădere a picăturilor, termenul poate fi neglijat într-o primă aproximaţie. ( ) zitzyxw θ⋅ cos,,,

În plus, grosimea lamei de apă scursă pe suprafaţa solului fiind foarte mică, w poate fi neglijat în comparaţie cu u şi v, cu excepţia suprafeţei libere. Ţinând seama de condiţia (3.135) şi celelalte ipoteze analizate mai sus ecuaţia (3.136) devine: ZZZfprZ rVgdtyxp θΦ+θρβ+θρ= cos)(coscos),0,,( . (3.141)

Dacă se admite că presiunea este compusă din presiunea hidrostatică

Zzdg θ−ρ cos)( şi presiunea dinamică ( )tzyxgh ,,,*ρ care apare în cea mai mare parte din impactul picăturilor de ploaie cu suprafaţa liberă de curgere, pentru presiunea totală se poate scrie expresia:

[ ]*cos)(),,,( hzdgtzyxp Z +θ−ρ= , (3.142)

în care apare ca o presiune adiţională, peste presiunea hidrostatică, datorită impactului picăturilor de ploaie.

*h

Pentru a satisface condiţia (3.135) pe suprafaţa liberă de curgere ( ), ecuaţia (3.142) devine:

dz =

( ) 0,,,* =tzyxh , (3.143) în timp ce pe suprafaţa solului ( 0=z ) condiţia (3.141) devine:

)(coscos),0,,(*ZZZfp

r rVg

tyxh Φ+θθβ

= . (3.144)

Din ecuaţiile (3.143) şi (3.144) se observă că există o distribuţie a presiunii adiţionale între cele două valori pe adâncimea de curgere d. Deoarece nu se cunoaşte încă funcţia de distribuţie a presiunii , se va presupune că se

*h*h

170

distribuie liniar pe verticală şi pentru a avea concordanţă cu conceptul de bază al hidrostaticii, că presiunea totală pe o secţiune transversală verticală este constantă, adică:

hP

constant2

cos2=++=

gVα

ρgpθzP Zh , (3.145)

unde este factorul de corecţie al energiei, este necesar să presupunem că este uniform distribuit pe secţiunea transversală cu excepţia suprafeţei libere. În consecinţă sunt îndeplinite condiţiile:

α *h

pentru ( ) 0,,,* =tzyxh dz = ; (3.146)

)(coscos),,,(*ZZZfp

r rVg

tzyxh Φ+θθβ

= pentru dz ≤≤0 ,

cu o discontinuitate în presiune la o adâncime infinit mică de la suprafaţa liberă. Deci cu excepţia frontului ploii, variaţia lui h* faţă de x, y, z şi t este mică şi

poate fi neglijată. Se poate scrie:

0,0,0,0****=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

t

h

z

h

y

h

x

h. (3.147)

Prin integrarea ecuaţiilor 1 şi 2 din sistemul (3.134) în raport cu z şi folosind rezultatele de mai sus se obţine:

( ) ( )

( ) ;cos

1cossin

cos)(

*2

2

Z

OXZX

XfprXYX

x

hhhggh

rVy

vuh

x

uh

t

uh

θρ

τ−

∂

∂+θ−θ=

=Φβ−∂

β∂+

∂

β∂+

∂

∂

(3.148)

( ) ( )

( ) ,cos

1cossin

cos)(

*2

2

Z

OYZY

YfprYXY

y

hhhggh

rVy

vh

x

vuh

t

vh

θρ

τ−

∂

∂+θ−θ=

=Φβ−∂

β∂+

∂

β∂+

∂

∂

(3.149)

în care şi Oxτ Oyτ sunt tensiunile pe frontieră în direcţiile Ox şi Oy, iar

factorii de corecţie sunt exprimaţi prin relaţiile:

171

.coscos,coscos

,1

,1

,1

00

0

22

00

22

∫∫

∫∫∫

θΦβ=θΦβ=

=β=β=β

d

ZYfprS

d

ZXfprS

d

Y

d

XY

d

X

rVdzvqrVdzuq

dzvd

vuvdzd

vudzud

u

(3.150)

Folosind notaţiile YX qvhquh == , şi expresiile tensiunilor, ecuaţiile (3.133), (3.148) şi (3.149) care prezintă scurgerea pe suprafaţa unui bazin hidrografic se vor scrie sub forma:

;iry

q

x

q

t

h YX −=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (3.151)

( ) ( )

( ) ;cossin

cos

*2fxZX

XfprYXYXXX

ghSx

hhhggh

rVy

qu

x

qu

t

q

−∂

∂+θ−θ=

=Φβ−∂

β∂+

∂

β∂+

∂

∂

(3.152)

( ) ( )

( ) .cossin

cos

*2fyZY

YfprYYXXYY

ghSy

hhhggh

rVy

qv

x

qv

t

q

−∂

∂+θ−θ=

=Φβ−∂

β∂+

∂

β∂+

∂

∂

(3.153)

Alt mod de exprimare a ecuaţiilor (3.152) şi (3.153) este de a combina

termenul presiunii adiţionale cu panta de frecare; astfel:

;)(1 *

*fxfx S

x

hh

hS +

∂

∂= (3.154)

.)(1 *

*fyfy S

y

hh

hS +

∂

∂= (3.155)

Dacă se introduce adâncimea hidraulică de curgere d, ecuaţiile (3.154) şi (3.155) vor putea fi scrise astfel:

172

;cos*

*fxZfx S

x

h

d

hS +θ

∂

∂= (3.156)

,cos*

*fyZfy S

y

h

d

hS +θ

∂

∂= (3.157)

iar coeficienţii de frecare Darcy-Weisbach modificaţi *

xf şi se exprimă cu

relaţiile:

*yf

;8 *

2*

XX fx

hh

u

gf +

∂

∂= (3.158)

,8 *

2*

YY fy

hh

v

gf +

∂

∂= (3.159)

care pot fi consideraţi ca rugozităţi aparente pe bazin în direcţia Ox şi Oy. Pentru calculul conţinutului de umiditate din sol folosit la determinarea intensităţii infiltraţiei se va folosi ecuaţia difuziei:

,)()( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θ−

∂

∂θθ

∂

∂=

∂

∂θK

zD

zt (3.160)

unde:

θ este conţinutul de umiditate a solului; ( )θD - coeficientul de difuzie; ( )θK - conductivitatea hidraulică;

z - coordonata verticală.

Intensitatea infiltraţiei se calculează cu formula: ( )ti

),()()()(0

θ+∂

∂θθ−α=

=K

zDtrti

Zi (3.161)

unde este un parametru adimensional care exprimă partea de precipitaţii ce produce umplerea depresiunilor de pe suprafaţa solului.

iα

Sistemul de ecuaţii (3.151), (3.152) şi (3.153) se poate scrie sub forma:

173

,Ey

H

x

G

t

Q=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (3.162)

unde:

;,cos2

1,

;,,

*22

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

β+θ+β=

=

XXYZXXX

YX

qvhhghquqG

qqhQ

(3.163)

.sin

sin,sincos,

;cos2

1,, *22

fyy

yfprfxxxfpr

zyyyxyy

ghSgh

rVghSghrVirE

hhghqvquqH

−θ+

+Φβ−θ+Φβ−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+θ+ββ=

Pentru rezolvarea numerică a sistemului de ecuaţii (3.162) se va folosi varianta schemei Lax – Wendroff, propusă de Lapidus (1967). Se dezvoltă Q în serie Taylor până la termenul de ordinul 2, presupunând că termenii de ordin superior nu influenţează semnificativ calculele numerice:

( )

2

22

2)()(

t

Qt

t

QttQttQ

∂

∂∆+

∂

∂∆+=∆+ . (3.164)

Din ecuaţia (3.162) rezultă următoarea ecuaţie echivalentă:

y

H

x

GE

t

Q

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂ . (3.165)

Diferenţiind ecuaţia (3.165) în raport cu t se obţine:

yt

H

xt

Q

t

E

t

Q

∂∂

∂−

∂∂

∂−

∂

∂=

∂

∂ 22

2

2

. (3.166)

Înlocuind ecuaţiile (3.165) şi (3.166) în ecuaţia (3.164) obţinem:

.222

)()(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∆+

∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∆+

∂

∂−

∂

∂∆+∆+=∆+

t

HtH

yt

GtG

xt

EtEttQttQ (3.167)

174

Folosind o schemă cu diferenţe finite de ordinul 2, ecuaţia (3.167) poate fi scrisă sub forma:

( )

( ) (

) ( )ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

iki

HHHHy

tGG

GGx

tEEEE

t

QQQQQ

,1,,11,1,,1

1,1,11,1,1,1,

1,1,1,1,1

2/1,2/1

4

24

4

1

−+−∆

∆−−+

+−∆

∆−+++

∆+

++++=

+++++

+++++++

+++++

++

(3.168)

(

) ] ()

(

) ,

4

4

4

1

2

12/1,2/1

12/1,2/1

12/1,2/1

12/1,2/11,1,

12/1,2/1

12/1,2/1

12/1,2/1

12/1,2/1

,1,11

2/1,2/11

2/1,2/1

12/1,2/1

12/1,2/1,,

1,

+−−

++−

+−+

+++−+

+−−

+−+

++−

+++

−++

+−+

−−

+−+

+++

+

−+

+−+−∆

∆−

−−+−+

+−∆

∆−++

⎢⎣

⎡+++

∆+=

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

ikj

HH

HHHHy

t

GGGG

GGx

tEE

EEEt

QQ

(3.169)

unde indicii i, j, k definesc punctele grilei de-a lungul direcţiilor t, x şi y, iar vectorii Q, E, G, H sunt evaluaţi în punctele indicate prin indicii acestora. Schema este centrată în jurul punctului ( )kj, şi în jurul lui 2tt ∆+ . Ea este convergentă către soluţia ecuaţiei diferenţiale. Condiţia de stabilitate poate fi afectată de neomogenitatea termenului E. Când schema este stabilă dacă este îndeplinită inecuaţia: 0=E

σ

≤∆

∆=

∆

∆

22

1

x

t

y

t , (3.170)

unde este numărul maxim de valori proprii pentru matricile A şi B definite mai jos:

σ

175

12122

1111

1111

12122

202

100;022

010

βββ−β

αββα−=αββα−

ααα−α= BA , (3.171)

unde ( ) ( ) 2/1

32/1

21 cos/,cos/,/ zxzxx hhqhhqhq θ−=αθ+=α=α sunt valo-

rile proprii ale matricei A, iar ,/1 hqy=β ( ) ,cos/ 2/12 zy hhq θ+=β

( ) 2/13 cos/ zy hhq θ−=β sunt valorile proprii ale matricei B.

Natura ecuaţiei (3.162) poate fi examinată cu ajutorul celor două matrici A şi B. Condiţia (3.170) este formulată pentru cazul liniar de scurgere, putând fi extrapolată şi pentru scurgerea neliniară. Instabilitatea neliniară apare în punctele unde scurgerea critică are loc în direcţia paralelă la fiecare din axele de coordonate x şi y. Pentru a elimina această instabilitate neliniară, Lapidus (1967) a introdus un operator artificial simplificat pentru schema Lax - Wendroff. Acest operator este o schemă cu diferenţe centrate proporţională cu o putere oarecare a diferenţelor pentru Q în punctele adiacente, fiind formulata

după următoarea expresie a lui tQ∂∂ :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

y

Q

y

v

yx

Q

x

u

xC

t

Q, (3.172)

în care C este un coeficient, hqu x /= şi hqv y /= v . Schema astfel formulată

poate fi reprezentată în următoarea formă cu diferenţe:

( )[ −−−∆

∆+= ++ kjkjkjkjkjkj QQuu

x

tQQ ,,1,,1,

', 4

(3.173)

( ) ]kjkjkjkj QQuu ,1,,1, −− −−−

( )[( ) ],''''

''''4

1,,1,,

,1,,1,',

",

−−

++

−−−

−−−∆

∆+=

kjkjkjkj

kjkjkjkjkjkj

QQvv

QQvvy

tQQ

(3.174)

176

unde Q şi u se determină cu ecuaţia (3.169), iar şi cu ecuaţia (3.173). 'Q 'v Ecuaţiile (3.168), (3.169), (3.173) şi (3.174) formează schema cu diferenţe finite pentru rezolvarea ecuaţiilor modelului de scurgere pe versant. Aceste ecuaţii sunt folosite în mod succesiv, astfel încât soluţia ecuaţiei (3.174) este considerată ca valoare iniţială pentru ecuaţia (3.168) Acest mod de rezolvare în patru paşi va fi aplicat în toate punctele grilei care aproximează suprafaţa bazinului. Pentru a simplifica modelul, ecuaţiile (3.151), (3.152) şi (3.153), scrise folosind schematizarea bazinului din figura 3.29 şi neţinând seama de factorii de corecţie , xβ xyβ , şi , vor fi normalizate. yβ 1β

Figura 3.29. Geometria versantului pentru modelul bidimensional.

Pentru geometria din figura 3.29 ecuaţiile (3.151), (3.152) şi (3.153) se pot scrie astfel:

( ) ( )

Φθ−=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂coscos)( ir

y

vh

x

uh

t

h; (3.175)

( ) ( ) ( )

( ) ;cos2sin2

1'

8

1sin

coscos2

1

22

22

Φθ+++−θ=

=∂

∂Φθ+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

fprVvuuffgh

x

hg

y

uvh

x

hu

t

uh

(3.176)

177

( ) ( ) ( )

( ) ,2cossin2

1'

8

1sin

coscos2

1

22

22

Φθ+++−θ=

=∂

∂Φθ+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

fprVvuvffgh

y

hg

y

hv

x

uvh

t

vh

(3.177)

unde:

f este coeficientul de rezistenţă a scurgerii; 'f - coeficientul de rezistenţă aparentă datorită suprapresiunii şi a

altor efecte ale impactului picăturilor de ploaie cu solul.

Pentru normalizare s-au ales lungimea L şi condiţia de scurgere critică la echilibru, , care reprezintă debitul maxim scurs pentru o ploaie de intrare în sistem constant, de durată nedefinită. În acest caz avem relaţia:

eQ

ccae hubLBIQ ⋅=Φθ⋅= coscos , (3.178)

unde:

aI este intensitatea medie a ploii r ; B - lăţimea bazinului; b - lăţimea medie a secţiunii de scurgere la baza versantului;

ch şi sunt adâncimea critică, respectiv viteza critică pentru condiţia de echilibru a scurgerii în secţiunea de închidere.

cu

După definiţia scurgerii critice dată de Chow (1959) rezultă:

3/1222 coscos

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φθ=

b

B

gL

ILh a

c ; (3.179)

3/12

222

coscoscoscos

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΦθΦθ=

b

B

I

gLIu

aac . (3.180)

Dacă se notază :

( ) ,/sin,/coscos

;/,/,/,/,/,/

**

******

cfpcc

cccc

uVVhuLirI

LuttLyyLxxuvvuuuhhh

θ=Φθ−=

⋅======

178

unde suprascrierea * se referă la mărimile normalizate, ecuaţiile normalizate ale modelului de scurgere bidimensional pentru geometria prezentată în figura 3.29 făcând abstracţie de scrierea cu * devin:

Iy

q

x

q

t

h yx =∂

∂+

∂

∂+

∂

∂; (3.181)

;)'( 222

42

21

2

IVhqqqffPhP

h

qq

yhP

h

q

xt

q

yxx

yxxx

⋅+⋅++−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

∂

∂+

∂

∂

− (3.182)

,)'( 5

22243

21

2

IVPhqqqffPhP

hPh

q

yh

qq

xt

q

yxy

yyxy

⋅+⋅++−=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

∂

∂+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

− (3.183)

în care:

uhqx = ; ; vhqy = Φ= cos2/11P ;

chLP /tg2 θ⋅= ; ; 523 PPP = chLP 8/4 = ; θΦ= sin/sinP .

Parametrii caracteristici care guvernează scurgerea sunt: ;

; ;

LItr /coscos Φθ

LB / Lb / gLIa Φθ coscos ; θtg ; θΦ sin/sin ; Φθ cos/tg aa IV ; f şi , unde este durata ploii, iar este viteza medie a picăturilor de ploaie. 'f rt aV

Primul parametru, LItr /coscos Φθ , este parametrul stratului excesului de ploaie care impune o limită de timp pentru termenii fiecărei ecuaţii când efectuăm integrarea acesteia. Al doilea parametru, , este un parametru de formă, care impune o condiţie limită când integrarea se face de-a lungul axei y. Aceşti doi parametri determină volumul normalizat al excesului de ploaie (ploaia netă) şi nu sunt exprimaţi explicit în ecuaţiile diferenţiale.

LB /

Al treilea parametru, , este mărimea lăţimii scurgerii de la baza versantului şi indicator al acumulării apei în albia râului.

Lb /

Al patrulea parametru, gLIa /coscos Φθ , este numărul Froude al bazinului care măsoară fluxul de intrare în funcţie de rata de creştere a acumulării totale a apei pe suprafaţa versantului.

179

Al cincilea parametru, Φtg , reprezintă forţa de antrenare a masei de apă datorită gravitaţiei. Al şaselea parametru, θΦ sin/sin , reprezintă raportul pantelor care evidenţiază modelul liniilor de curent ale scurgerii. Al şaptelea parametru, Φθ cos/tg aa IV , este parametrul picăturilor de ploaie care măsoară contribuţia momentului picăturilor la scurgerea apei. Parametrii f şi se referă la rugozitatea suprafeţei şi depind de condiţiile locale de scurgere.

'f

De asemenea, modelul scurgerii pe versant poate fi simplificat atunci când intensitatea ploii care cade pe suprafaţa bazinului este constantă. Scurgerea pe bazin în aceste condiţii este practic uniformă pe suprafaţa care cade ploaia, iar adâncimea şi viteza scurgerii în orice punct din bazin şi pentru fiecare interval de timp sunt exprimate prin valorile lor medii; presiunea este considerată hidrostatică, în timp ce presiunea dinamică cauzată de impactul ploii asupra scurgerii este considerată ca fiind o creştere a presiunii hidrostatice. În acest caz, ecuaţiile (3.181), (3.182) şi (3.183) se reduc la ecuaţiile:

Idt

dh= ; (3.184)

( ) IVhqqqffPhPdt

dqyxx

X ⋅+++−= −22/12242 )'( ; (3.185)

( ) IVPhqqqffPhPdt

dqyxy

Y ⋅⋅+++−= −5

22/12243 )'( . (3.186)

Integrând ecuaţia (3.184) se obţine:

tIh ⋅= . (3.187) Presupunând că liniile de curent au gradientul egal cu gradientul bazinului rezultă relaţia:

YX qPq ⋅= 5 . (3.188) Înlocuind ecuaţiile (3.187) şi (3.188) în ecuaţiile (3.185) şi (3.186) şi revenind la notaţia hqu x /= , se obţine:

( )

Et

uV

tI

PuffPP

dt

du=

−+

⋅

++−=

2/125

24

21)'(

. (3.189)

180

Această ecuaţie este echivalentă cu ecuaţia mişcării uniforme (derivatele în raport cu x şi y dispar). Schema cu diferenţe finite pentru ecuaţia (3.189), care corespunde ecuaţiilor (3.168), (3.169), (3.173) şi (3.174), se scrie astfel:

tEuu iii ∆+=+1 ; (3.190)

tEEuu iiii ∆⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++= ++ 11

2

1 ; (3.191)

uu =' ; (3.192)

'" uu = , (3.193)

unde se referă la valoarea predictor, nefiind necesar să se refere şi la coordonatele spaţiului. Deoarece domeniul scurgerii este reprezentat printr-un singur punct grilă, timpul de calcul se reduce foarte mult. Ecuaţia (3.189) are o singularitate la numitor deoarece conţine timpul explicit:

∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

→ dt

du

t 0lim , (3.194)

condiţie care arată că u are iniţial o creştere abruptă, dar poate fi demonstrat că rata de creştere a lui u descreşte în timp. Deoarece schema explicită nu dă rezultate bune pentru adâncimi mici de scurgere, s-a formulat o schemă implicită pentru ecuaţia (3.189), care simulează faza incipientă a scurgerii:

tt

tuu

Euuii

ii ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

++=

++

2,

2

11 . (3.195)

Această schemă poate fi aplicată şi pentru 0=t , iar componentele oscilatorii de la începutul calculelor se vor elimina în mod gradat. Dacă se folosesc paşi de timp foarte mici, amplitudinea oscilaţiilor se poate reduce mult mai repede. Ecuaţia (3.195) se foloseşte din momentul începerii ploii până în punctul în care prima curbă caracteristică ajunge de pe frontiera domeniului la 90% din distanţa la cel mai apropiat punct de grilă întâlnit. Din acest moment calculele se efectuează conform schemei dată de ecuaţiile (3.168), (3.169), (3.173) şi (3.174). Pentru obţinerea soluţiei numerice a modelului bidimen-sional de scurgere pe versanţi a fost elaborat un program la calculator a cărei schemă de calcul se prezintă în figura 3.30.

t∆

181

START

CITEŞTE DATELE ESTE NU DA NECESAR ESTE ULTIMA SĂ SE SCHIMBE ITERAŢIE STOP INTENSITAEA PLOII

SE DETERMINĂ PARAMETRII ŞI CONSTANTELE DE CALCUL

SE DETERMINĂ DISTRIBUŢIA INTENSITĂŢII PLOII

SE REZOLVĂ ECUAŢIA (3.168)

SE REZOLVĂ ECUAŢIA (3.169)

SE REZOLVĂ ECUAŢIA (3.173)

SE REZOLVĂ ECUAŢIA (3.174)

SE TIPĂRESC REZULTATELE

Figura 3.30. Schema bloc a programului de calcul.

182

Figura 3.31. Simularea adâncimilor şi vitezelor de scurgere pe parcela de 300 m2.

Figura 3.32. Simularea scurgerii pe parcela de 300 m2.

183

Programul a fost testat pe o parcelă de scurgere având dimensiunile 30 m x 10 m şi panta de 13%. Ploaia de calcul a fost de 2,40 mm/min, iar durata de 30 de minute. Profilul adâncimilor de scurgere şi vectorul viteză sunt prezentate în figura 3.31, iar hidrograful scurgerii în figura 3.32. Din comparaţia hidrografului calculat cu cel obţinut experimental se observă că modelul bidimensional simulează foarte bine scurgerea pe astfel de suprafeţe de versant. Modul cum simulează scurgerea de suprafaţă pe bazin se va vedea din rezultatele prezentate în continuare. 3.4.2. PRELUCRAREA DATELOR DE INTRARE PE BAZA SCHEMATIZĂRII

BAZINULUI HIDROGRAFIC

Pentru rezolvarea numerică a sistemului de ecuaţii care descriu mişcarea pe suprafaţa bazinului şi mişcarea din reţeaua de drenaj, suprafaţa bazinului va fi aproximată printr-o reţea pătratică, iar reţeaua de drenaj prin canale dreptunghiulare (fig. 3.33) : ),...,2,1;,...,2,1( mjniyxSij ==∆⋅∆=∆ .

Această reprezentare a bazinului se va utiliza şi pentru determinarea topografiei reliefului bazinului (fig. 3.34) corespunzătoare fiecărui carou.

Figura 3.33. Schematizarea bazinului hidrografic.

184

Figura 3.34. Aproximarea topografiei bazinului printr-o reţea pătratică. Astfel, pe baza datelor privind altitudinile corespunzătoare nodurilor reţelei vor fi determina pantele după direcţiile Ox, Oy pentru fiecare carou cu formulele:

( )

( ).2

1),(

;2

1),(

1,11,,1

1,1,11,

++++

++++

−−+∆

=

−−+∆

=

jijijiijy

jijijiijx

HHHHy

jiS

HHHHx

jiS

(3.196)

unde sunt altitudinile corespunzătoare nodurilor ijH ( )ji, .

De asemenea, reprezentarea schematică a bazinului se va folosi la deter-minarea zonei de influenţă a pluviografelor din bazin, cu alte cuvinte a precipitaţiei corespunzătoare la momentul t fiecărui carou al reţelei (fig. 3.35).

Atribuirea precipitaţiei înregistrate la un pluviograf carourilor vecine se face pe criteriul minimei distanţe dintre centrul caroului având coordonatele

şi şi pluviograful K: 5,0+= IX 5,0+= JY

( ) ( )[ ] NKPYJPXId KK ,...,2,1,5.05.0min2/122 =−++−+= , (3.197)

unde:

KPX şi sunt coordonatele pluviografului K; KPY

185

Figura 3.35. Suprafeţele de influenţă a pluviografelor ( o ) din bazin.

N reprezintă numărul de pluviografe (coordonatele se referă la poziţia pluviografelor în reţeaua pătratică ( )yx, ).

O altă mărime importantă de intrare în model este viteza finală de cădere a picăturilor de ploaie.

În ultimele decenii, preocupările şi interesul pentru cunoaşterea carac-teristicilor picăturilor de ploaie (distribuţie, dimensiuni, viteze de cădere etc.) au evoluat în mod crescând. Trebuie amintită în acest sens abordarea teoriei retrodifuziunii enrgiei radar de către apa prezentă în atmosferă, prin interacţiunea microundelor cu ploaia şi a abordării energiei radioelectrice, precum şi măsurarea fluxului luminos difuzat de o picătură de ploaie care cade într-o anumită direcţie, prin amplificarea acestuia cu ajutorul unui fotomulti-plicator şi folosirea unei celule fotoelectrice. Studiile în această direcţie au fost dezvoltate în scopul găsirii celor mai eficiente soluţii în activitatea de conservare a solului, cunoscut fiind faptul că eroziunea prin impact se declanşează sub acţiunea energiei cinetice a picăturilor de ploaie. Rezultatele acestor cercetări au condus la obţinerea valorilor parametrilor şi formei picăturii de ploaie în momentul impactului. În cadrul lucrării de faţă interesează în principal viteza finală (terminală) de cădere a picăturilor de ploaie care creează pe pelicula de apă de la suprafaţa solului o suprapresiune ce poate să influenţa valorile infiltraţiei şi implicit ale scurgerii de pe versant. Viteza de cădere a picăturilor de ploaie se poate determina cu ajutorul formulei lui W. Schmidt:

186

(cm/s503787,0

10

1

26

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

ppfp

rrV ) , (3.198)

în care este raza picăturii ploii, în cm. pr

În modelul de faţă, viteza picăturii de ploaie se va determina din tabelul de mai jos în funcţie de diametrul picăturii (tab. 3.7).

Tabelul 3.7 Viteza picăturii de ploaie în funcţie de diametrul picăturii

Diametrul picăturii de ploaie Viteza finală de cădere în momentul impactului

(cm/s) 0,2 microni 0,0001

20,0 microni 1 100,0 microni 27 200,0 microni 70

1,25 mm 500 1,50 mm 567 2,00 mm 650 3,00 mm 830 4,00 mm 885 5,00 mm 954 6,00 mm 960

Diametrul picăturii de ploaie se va determina, în funcţie de intensitatea ploii, din tabelul 3.8.

Tabelul 3.8 Diametrul mediu al picăturii de ploaie în funcţie de intensitatea ploii

Intensitatea ploii

(mm/h) Diametrul mediu al picăturii

(mm) 0,25 0,75 – 1,00 1,25 1,00 – 1,25 5,00 1,25 – 1,50 12,5 1,75 – 2,00

187

Tabelul 3.8 (continuare)

Intensitatea ploii (mm/h)

Diametrul mediu al picăturii (mm)

25,0 2,00 – 2,25 50,0 2,25 – 2,50

100,0 2,75 – 3,00 150,0 3,00 – 3,25

Datele referitoare la conţinutul de umiditate în sol au fost obţinute pe baza măsurătorilor efectuate în mai multe puncte din bazinul hidrografic, folosind un algoritm asemănător de interpolare ca şi pentru ploaie, deosebindu-se numai criteriul de atribuire a zonei de influenţă (în funcţie de tipul de sol). Valorile coeficienţilor de rugozitate de pe versant şi pentru reţeaua de drenaj s-au adoptat după valorile din literatura de specialitate şi acolo unde s-a efectuat activitate hidrometrică experimentală, după măsurătorile efectuate în teren.

3.4.3. APLICAREA MODELULUI PENTRU UN BAZIN HIDROGRAFIC Modelul matematic bidimensional pentru descrierea scurgerii de suprafaţă a fost aplicat la simularea scurgerii din bazinul hidrografic experimental Voineşti, având suprafaţa de 1,2 km2, altitudinea medie de 451 m şi altitudinea maximă 400 m. Panta medie a bazinului este de 25%, iar panta râului de 5%. Din forajele făcute a rezultat o bună suprapunere a bazinelor superficial şi subteran. O caracteristică importantă a bazinului este existenţa unui pat impermeabil de marnă argiloasă pe întreg bazinul, având adâncimi în zona înaltă cuprinse între 0-3 m, iar în zona de luncă între 3-12 m. Din această cauză în zona de luncă se menţine o pânză freatică permanentă, cu fluctuaţii mari de nivel; în zona înaltă pânza freatică dispare complet în perioadele secetoase sau are adâncimi foarte mici. Aceste particularităţi ale bazinelor superficial şi subteran permit o bună alegere a condiţiilor la limită pe conturul bazinului şi a condiţiilor iniţiale, precum şi o bună analiză a bilanţului hidric. Tipul de sol caracteristic pentru zona în care este situat bazinul este solul brun de pădure, cu procese de podzolire cu intensităţi diferite. Pentru calculul scurgerii pe suprafaţa bazinului, limitele bazinului de recepţie s-au schematizat sub formă de fragmente de drepte, paralele axelor x şi y (fig. 3.33). Albia râului s-a prezentat în fragmente de drepte situate pe laturile interne ale grilei de calcul. Topografia bazinului de recepţie s-a dat după cotele înălţimilor în nodurile grilei de calcul. În procesul de pregătire a

188

topografiei s-a realizat o mică atenuare a reliefului, pentru ca în limitele bazinului de recepţie să se elimine depresiunile închise în care ar putea să se acumuleze apa treptat. Panta albiei râului s-a determinat după profilul longitudinal al râului. Datele de precipitaţii s-au luat după măsurătorile de la şapte pluviografe situate în limitele bazinului, iar un program special a realizat interpolarea spaţio-temporală a măsurătorilor existente, pentru ca să se obţină intensitatea precipitaţiilor în toate nodurile grilei spaţiale şi în toate intervalele de timp examinate. Pentru calculul pierderilor prin infiltraţie cu ajutorul ecuaţiilor transportului de umiditate în sol este necesar a fi cunoscută distribuirea iniţială a umidităţii după adâncime. În acest sens s-au folosit măsurătorile asupra umidităţii solului efectuate în şapte puncte din bazin. În cazul în care nu s-a obţinut o bună concordanţă între hidrograful înregistrat şi hidrograful simulat, valorile parametrilor modelului determinaţi pe baza datelor din observaţii şi măsurători au fost corectaţi prin optimizare. Pentru o serie de viituri din bazin s-au efectuat calcule de control cu valorile optime ale parametrilor. În general, s-a obţinut o coincidenţă satisfăcătoare a hidrografelor observate şi calculate, deşi şi pentru anumite viituri au existat erori semnificative (fig. 3.36 şi fig. 3.37). Precizia care s-a atins este apropiată de cea pe care o dă modelul cu parametri globali (fig. 3.38). Totuşi, pentru ploi neuniforme în spaţiu şi pentru variaţia lor cu altitudinea bazinului, modelul bidimensional are superioritate vizibilă. Îmbunătăţirea preciziei se poate realiza prin măsurători mai bune ale umidităţii solului şi intensităţii precipitaţiilor. O mărire substanţială a preciziei de măsurare a distribuţiei spaţiale a intensităţii precipitaţiilor şi astfel a preciziei modelului bidimensional de formarea scurgerii se poate aştepta de la folosirea pe scară largă a mijloacelor moderne de măsurare a precipitaţiilor. Modelul bidimensional de formare a scurgerii din ploaie se poate folosi şi pentru cercetări legate de elaborarea metodelor de determinare a debitelor maxime din bazinele hidrografice în care durata observaţiilor asupra scurgerii este insuficientă pentru folosirea metodelor statistice. Pe baza observaţiilor existente şi a analizei proceselor fizice, modelul bidimensional permite să se dea distribuţii posibile ale intensităţii precipitaţiilor în timp şi spaţiu care formează debitul maxim posibil şi debite cu repetabilitate diferită. Însă, datorită faptului că modelul bidimensional poate fi considerat ca o detaliere a calculului debitului maxim după formulele empirice de tipul raţional, ca primă aproximare pot fi folosite de asemenea diferite tipuri de precipitaţii ca şi în cazul acestor formule. În particular, precipitaţiile pot fi date sub formă de intensităţi limită pentru intervalul de timp egal cu timpul de concentrare sau sub formă de ploaie cu intensitatea corespunzătoare unei probabilităti de depăşire dată.

189

De asemenea, cercetări speciale necesită metodologia de determinare a profilului iniţial al umidităţii solului Probabil, pentru cazul calculului debitelor maxime posibile şi al debitelor de foarte mică repetabilitate, umiditatea iniţială pe întreaga adâncime trebuie să fie luată, apropiată de porozitatea solului (de capacitatea maximă de umiditate) sau dacă există observaţii asupra umidităţii, să se folosească pofilele de umiditate observate după ploi puternice şi de durată.

Figura 3.36. Scurgerea observată (___) şi scurgerea simulată (---) cu modelul

bidimensional pentru ploaia din 27-28 VII 1981.

190

Figura 3.37. Scurgerea observată (___) şi scurgerea simulată (---) cu modelul bidimensional pentru ploaia din 26-27 VII 1982.

191

Figura 3.38.Compararea rezultatelor obţinute cu modelul bidimensional

cu cele obţinute cu modelul global HU (hidrograf unitar). Cu toate că experimentele numerice au fost limitate, modelul bidimensional a permis evidenţierea unei serii de particularităţi calitative ale procesului formării scurgerii în funcţie de caracteristicile morfometrice şi hidrofizice ale bazinului hidrografic. Modelul bidimensional al formării scurgerii de suprafaţă are aplicabilitate imediată în activitatea de elaborare a prognozelor hidrologice şi pentru determinarea parametrilor hidrologici necesari proiectării.

192

4

CONCLUZII

Hidrologia apelor de suprafaţă este caracterizată printr-o multitudine de formule de calcul cu care se face predicţia intensităţii scurgerii şi a volumelor scurse. În ciuda faptului că fiecare proces hidrologic este foarte bine înţeles, iar formulările care le descriu sunt disponibile încă din jurul anului 1950 (Betson, 1973), modelarea hidrologică rămâne încă o artă. Pentru susţinerea acestei afirmaţii există multe argumente. Un argument de bază care justifică existenţa unui mare număr de formulări şi modele ale proceselor hidrologice, dezvoltate până în prezent, este folosirea tehnicilor avansate de calcul. Aplicarea unor metode simple de calcul a condus la impunerea multor condiţii simplificatoare pentru obţinerea formulărilor matematice ale proceselor din natură. Începând cu anul 1960 cercetarea complexităţii proceselor hidrologice de pe versant ocupă un loc important în preocupările cercetătorilor din hidrologie. Un argument în plus pentru dezvoltarea modelelor acestor procese complexe a fost faptul că acestea imită cel mai bine natura. Existenţa unui număr mare de modele se datorează şi faptului că cele mai multe eforturi de modelare sunt unidisciplinare. Modelele dezvoltate în aceste condiţii de aproximaţii unidisciplinare se bazează pe ipoteze grosiere pentru a forţa imitarea proceselor naturale, iar multitudinea de ipoteze simplificatoare posibile au condus la creşterea numărului de modele. Aceste tratări unidisciplinare s-au datorat şi faptului că multă vreme hidrologia a fost considerată ca un apendice al hidraulicii şi ingineriei hidraulice. Multe din eforturile de cercetare în hidrologia contemporană încă mai sunt concentrate asupra teoriei hidrografului unitar şi tehnicilor de routing ale scurgerii, cu toate că în prezent cercetarea hidrologică este interdisciplinară numai dacă ne referim la efectul procesului complex aer - plantă - sol asupra scurgerii apei, atât la suprafaţa solului, cât şi în sol. Dezvoltarea unui model hidrologic presupune un compromis între acele procese pe care cercetătorul doreşte să le încorporeze în model şi cele pe care poate să le obţină din datele disponibile, precum şi să controleze în mod rezonabil rezolvarea modelului. Dacă modelarea se face în detaliu, atunci obţinerea datelor pentru procesele individuale este mult îngreunată, deci utilitatea practică a modelului scade.

193

De exemplu, pentru un model complet al proceselor hidrologice de pe versant sunt necesare printre alte date şi o serie de date referitoare la masa de sol, date care niciodată nu pot fi disponibile pentru aplicarea în timp real a modelului. Din această cauză modelele destinate aplicaţiilor practice sunt condiţionate de existenţa datelor asupra proceselor implicate în modelare. Astfel, cel puţin până în prezent, fiecare model trebuie să fie un compromis între teorie şi realitate, în funcţie de simplificările impuse. Cunoaşterea a priori a efectelor acestor simplificări asupra procesului natural de scurgere a apei pe versant sau bazine permite selecţionarea, din mulţimea de modele existente, a acelor modele care simulează cel mai bine procesul natural. Modelele matematice fundamentate fizic ale proceselor hidrologice de pe versanţi şi bazine mici prezentate în această lucrare au anumite limitări. Aceste limitări se pot grupa astfel:

1. Limitări datorită ipotezelor în care se face dezvoltarea teoretică. 2. Limitări datorită lipsei fundamentale de corespondenţă între modele

teoretice şi realitate în anumite cazuri. 3. Limitări cauzate de lipsa datelor adecvate. 4. Limitări cauzate de capacitatea calculatoarelor folosite. 5. Limitări ale procedurilor de calibrare.

Pentru a înţelege importanţa limitărilor de la punctul 1 se vor trece în revistă unele dintre ipotezele simplificatoare care au stat la baza obţinerii ecuaţiilor de mişcare. De exemplu, pentru modelul scurgerii de suprafaţă descris în capitolul 2 s-a presupus că mişcarea este laminară şi se aplică legea Darcy, adică forţele inerţiale, gradientul temperaturii, gradientul osmotic şi gradientul concen-traţiilor chimice sunt neglijate. De asemenea, nu s-a considerat prezenţa continuă a aerului în zona nesaturată a solului, precum şi faptul că solul poate fi afânat cu coeficienţi de permeabilitate foarte mari. În cazul modelelor scurgerii de suprafaţă prezentate în capitolul 3 s-a presupus că fluidul este incompresibil şi izoterm, că sunt satisfăcute cerinţele mişcării unidimensionale, că mişcarea are loc numai datorită forţelor gravitaţionale şi de frecare (modelul bidimensional), că adâncimea de scurgere şi amplitudinea undelor de suprafaţă sunt mult mai mici decât lungimea de undă, că nu există transport de sedimente pe versant sau în albia râului, că influenţa pantei asupra scurgerii este mică etc. În general, acest tipuri de limitări nu conduc la o mare pierdere a generalităţii modelelor. De asemenea, în unele cazuri, influenţa acestor limitări este minoră sau apariţia lor în scurgerile din natură este rară. De exemplu, cele mai multe rezultate discrepante au apărut în cazul infiltraţiei, datorită lipsei datelor privind fizica solului în toate punctele din bazin şi a prezenţei aerului în modelul scurgerii de subsuprafaţă din zona nesaturată.

194

Limitările de tipul 2 nu rezultă din faptul că modelele nu iau în considerare şi alţi parametri ai sistemului (temperatură, presiune osmotică etc.), ci datorită imposibilităţii modelelor de a reprezenta mecanismul actual la un nivel fundamental. Teoretic, modelul scurgerii de subsuprafaţă şi modelele scurgerii de suprafaţă sunt reprezentări fizice veridice ale realităţii, însă reprezentarea scurgerii de suprafaţă ca o scurgere în pânză puţin adâncă este deschisă multor discuţii. Dacă modelarea scurgerii pe suprafeţe netede şi omogene este foarte bună, nu acelaşi lucru se poate spune despre scurgerea complexă pe versanţi înierbaţi, împăduriţi sau cultivaţi. Modelele scurgerii de suprafaţă pe versanţi ar putea fi considerate cel mai bine ca modele parametrice de predicţie. Un model este considerat teoretic acceptat dacă cele mai multe limitări sunt din categoria celor enumerate la punctele 3, 4 şi 5. Pe linia datelor disponibile modelele fundamentate fizic necesită specificarea spaţială completă a parametrilor hidrogeologici ai zonelor saturate şi caracteristicile rugozităţii suprafeţei versantului. În condiţiile unor sisteme hidrologice şi hidrogeologice eterogene această limitare trebuie cu atât mai mult să fie eliminată. În general, în astfel de cazuri se recomandă folosirea valorilor medii pentru reprezentări idealizate simplificate ale actoalelor condiţii de scurgere. Limitările calculului ( lipsa calculatoarelor performante) sunt severe în cazul modelului scurgerii de subsuprafaţă şi a modelului bidimensional a scurgerii de suprafaţă. În modelele cuplate (scurgere de suprafaţă şi scurgere de subsuprafaţă) un procent de 90% din timpul de calcul este folosit pentru obţinerea soluţiei modelului scurgerii de subsuprafaţă. Dezvoltarea calculatoarelor de mare capacitate este o condiţie primordială pentru utilizarea acestor modele pe scară largă în practică. Limitările de tipul 3 datorate volumului de date disponibile asociate cu limitările de calibrare de tipul 5 constituie de asemenea cea mai serioasă ameninţare pentru viabilitatea modelării fizic fundamentată a scurgerii pe versanţi şi bazine mici. Dezvoltările recente în domeniul achiziţiei de date meteorologice, hidrologice şi hidrogeologice atât la scară mică (versanţi şi bazine mici) cât şi la scară globală precum şi perfecţionarea metodologiei de rezolvare a ecuaţiilor modelelor matematice prezentate în această lucrare şi utilizarea lor în cercetarea mecanismului formării scurgerii de apă şi aluviuni EROSLOPE (1996) constituie o garanţie că acest tip de modelare va ocupa un spaţiu mare în cercetările viitoare din domeniul hidrologiei versanţilor. Conceptual, bazinele mari sunt compuse dintr-o serie de suprafeţe versant şi ar trebui să fie posibilă modelarea hidrologică a bazinului mare prin integrarea modelelor de scurgere pe versant pentru întreg bazinul hidrografic. În realitate acest lucru este practic imposibil de realizat atât din cauza volumului excesiv de date de intrare cât şi din cauza timpului de calcul corelat şi cu caracteristicile tehnicii de calcul.

195

Modelele hidrologice ale bazinului sunt elaborate pentru a fi aplicate şi în condiţii când există puţine date de intrare, în timp ce modelele scurgerii pe versant de tipul celor prezentate în lucrare necesită date complete asupra ploii, infiltraţiei, solului, geologiei, etc.

Lucrarea prezintă modele detaliate ale scurgerii pe versant şi în zona saturat-nesaturată în ipoteze compatibile cu principiile hidrologiei versanţilor şi nu presupun aproximaţii care să le îndepărteze de procesul fizic al mişcării.

Incorporarea modelelor de scurgere pe versanţi în modelele bazinului facilitează extrapolarea modelului pentru alte condiţii şi extensia pentru bazine fără date hidrologice sistematice. Modelul tridimensional al scurgerii de tranziţie saturat - nesaturat simulează răspunsul hidrologic al bazinului apelor subterane pentru diferite inputuri de precipitaţii. Ecuaţiile modelului sunt o combinaţie a ecuaţiei Jacob - Cooper pentru scurgerea din zona saturată şi ecuaţia Richards pentru scurgerea nesaturată. Aceste ecuaţii sunt deduse în ipoteza că presiunea aerului în sol rămâne constantă independentă de timp iar mediul poros este elastic şi mărginit. Aceste ecuaţii pot fi aplicate şi pentru mediul poros elastic nemărginit şi nesaturat numai dacă schimbările în presiune pot fi echilibrate de schimbările în tensiune. Ecuaţia modelului scurgerii de subsuprafaţă a fost rezolvată cu metoda suprarelaxării succesive în linie (MSSL) pentru o grilă tridimensională a mediului poros. Particularităţile modelului scurgerii de subsuprafaţă constau în următoarele:

- modelul este tridimensional şi se poate reduce la doua dimensiuni pentru a trata scurgerea verticală bidimensională;

- condiţiile pe frontiera superioară sunt condiţiile de la suprafaţa solului; - modelul tratează regimul complet al scurgerii de subsuprafaţă ca un tot

unitar deoarece scurgerea în zona nesaturată este integrată cu scurgerea saturată;

- modelul poate trata şi sistemele cu stare permanentă a mişcării. El poate oferi soluţii atât pentru condiţiile naturale care sunt prezente pe suprafaţa solului, cât şi pentru efectele induse de activitatea omului pentru acvifer;

- modelul permite luarea în calcul a neomogenităţii formaţiilor geologice; - modelul se poate aplica pentru orice configuraţie generală a domeniului

de mişcare cu condiţii pertinente la limită.

Atunci când este aplicat pentru sisteme naturale de scurgere modelul furnizează hidrografele infiltraţiei de suprafaţă a scurgerii de subsuprafaţă, încărcării subterane, adâncimea pânzei freatice şi scurgerea de bază.

196

Modelul prezentat în această lucrare diferă de toate celelalte modele disponibile pentru modelarea scurgerii de subsuprafaţă prin faptul că tratează în mod unitar şi integrat scurgerea saturat - nesaturată şi nu prin condiţii de racordare a acestora pe frontiera de separaţie. Restricţiile în care a fost obţinut modelul pot limita aplicarea lui pentru simularea răspunsului hidrologic al tuturor bazinelor hidrografice. Limitele de calcul numeric restrâng aria de aplicare la bazine mici (de ordinul kilometrilor pătraţi) şi dimensiuni ale zonei saturat-nesaturate de ordinul a 300 m. Deşi modelul prezentat este de o mare complexitate, el este deschis la transformări care să reducă calculele sofisticate în funcţie de datele disponibile. Pentru viitor este necesar ca acest model să fie încorporat într-un model al răspunsului hidrologic complet. Aceasta presupune integrarea în model şi a componentei scurgerii de suprafaţă care s-a tratat separat în capitolul 3. Tot în capitolul 2 este prezentată teoria completă a obţinerii ecuaţiilor de infiltraţie Philip şi Horton pornind de la cazul unidimensional obţinut din ecuaţia generală a mişcării apei în mediu poros în condiţiile că aerul prezent în pori este la presiunea atmosferică şi tensiunile interne sunt neglijabile (ecuaţia Richards). De asemenea se prezintă forma ecuaţiei Green şi Ampt în ipoteza prezenţei aerului in mediul poros. Modelul absorbţiei verticale a apei în soluri nesaturate în ipoteza existenţei frontului umed mărginit şi nu infinit ca în alte modele de absorbţie se obţine tot din ecuaţia Richards pentru o formă particulară a relaţiei dintre conductivitatea hidraulică, k, şi potenţialul capilar, , obţinută experimental. )()( θψ⋅α−=θ eKK s Ecuaţia modelului se rezolvă numeric prin metoda perturbaţiilor. Soluţia astfel obţinută aproximează mai bine curba de variaţie a umidităţii solului decât soluţiile următoarelor modele de absorbţie: Philip (1955), Knight şi Philip (1973), Parlange (1971) şi Cisler (1974). Modelele unidimensionale de scurgere pe versant sunt diferite de modelele elaborate până în prezent deoarece se realizează continuitatea componentei tangenţiale a vitezei fluidului prin considerarea stratului intermediar poros între scurgerea liberă şi scurgerea din mediul poros. Dacă în modelele cinematice ale scurgerii pe versant parametrul α din ecuaţia vitezei se consideră constant sau dependent de coordonata spaţială x, în modelul convergent distribuit din lucrarea de faţă se demonstrează dependenţa faţă de h şi de grosimea stratului intermediar poros.

1−⋅α= nhu

De asemenea, se prezintă relaţia explicită a dependenţei parametrului de caracteristicile scurgerii din stratul intermediar poros şi ale scurgerii de suprafaţă (ec. 3.65).

197

Ecuaţia generală a modelului convergent distribuit se rezolvă numeric, cu schema Lax-Wendroff pentru dezvoltări în serie Taylor a soluţiei. Modelul convergent distribuit unidimensional simulează foarte bine forma hidrografului scurgerii pe versant (fig. 3.12 şi fig. 3.13), iar unele neconcordanţe se datorează algoritmului de optimizare a parametrilor şi modului de fundamentare fizică a acestora. De asemenea, modelul poate fi folosit pentru prognoza debitului maxim al viiturii, timpului de creştere şi caracteristicilor formei hidrografului. Modelul unidimensional de tip fiziografic foloseşte un set de ecuaţii simplificate obţinute pentru anumite restricţii impuse mişcării pe versant (mişcare unidimensională - bidimensională hibridă, neglijarea termenilor inerţiali, mişcarea producându-se sub acţiunea forţei de frecare). Datorită acestor condiţii simplificatoare, modelul fiziografic poate fi considerat ca aproximaţia de ordinul 1 a modelului matematic bidimensional de formare a scurgerii pe versant. Pe baza rezultatelor testării modelului pentru parcelele de scurgere, versanţi şi bazine mici se consideră oportună folosirea modelului fiziografic numai pentru calculul scurgerii pe parcele şi versanţi şi pentru diferite variante de amenajare a acestora. Modelul funcţionează bine pentru faza de scurgere laminară pe versant şi mai puţin pentru mişcarea turbulentă. Limitele de eroare obţinute pentru calculul debitelor maxime pe versanţi au fost de -19,4% ÷ + 22% (fig. 3.17÷ fig. 3.20), iar pentru bazine mici erorile au fost de -34% ÷ - 41%. Modelul hidrodinamic complex al scurgerii pe versanţi s-a obţinut în ipoteza că stratul vegetal care acoperă suprafaţa versanţilor poate fi aproximat cu un strat poros cu o permeabilitate şi porozitate mare şi include mai multe submodele corespunzătoare diferitelor niveluri de acumulare a apei: intercepţia, scurgerea pe versant şi din albia râului, mişcarea apei în zona nesaturată şi zona saturată. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor modelului se face tot cu metoda Lax-Wendroff care este stabilă, convergentă şi mult mai rapidă. Analiza hidrografelor simulate a scos în evidenţă faptul că modelul simulează bine procesul ploaie - curgere pentru versanţi şi bazine mici (fig. 2.17 ÷ fig. 3.19). Pentru aplicarea modelului în bazine unde nu se dispune de date asupra parametrilor scurgerii hipodermice şi subterane este necesară efectuarea unor cercetări speciale în teren pentru determinarea acestora. Modelul hidrodinamic complex contribuie la dezvoltarea modelării matematice în raport cu datele măsurate în bazine experimentale, ţinând seama de configuraţia terenului şi generalizarea rezultatelor sub formă de caracteristici globale.

198

Axat în principal pe descrierea apei în sol şi respectarea continuităţii procesului ploaie - scurgere - infiltraţie, modelul permite efectuarea de simulări ale scurgerii pe perioade lungi de timp, limitarea aplicabilităţii fiind dictată în principal de datele observate disponibile şi de condiţiile de izotropie a mediului. Modelul bidimensional prezentat demonstrează că modelarea bidimen-sională a scurgerii pe versanţi este posibilă şi deschide calea de trecere la modelarea tridimensională a scurgerii de suprafaţă. Combinarea metodei Lax-Wendroff cu modificările Lapidus permite calculul soluţiei numerice a modelului bidimensional al scurgerii pe versant care este mai greu de obţinut prin metoda caracteristicilor. Instabilitatea neliniară a soluţiei datorită apariţiei scurgerilor critice în direcţia paralelă la axele de coordonate poate fi eliminată prin folosirea operatorului de vâscozitate artificială. Deoarece în obţinerea ecuaţiilor de mişcare se ţine seama şi de viteza picăturilor de ploaie, precum şi presiunea indusă de acestea, modelul bidimensional prezentat se apropie mai mult de fenomenul fizic al formării scurgerii pe versanţi permeabili.

*p

Modelul bidimensional al scurgerii de suprafaţă conduce la rezultate comparabile cu cele obţinute pe cale experimentală în laborator sau teren precum şi cu rezultatele obţinute cu modele globale de scurgere (fig. 3.38). Din punct de vedere hidrodinamic modelul bidimensional descrie scurgerea de pe versant mai bine decât modelele unidimensionale, care totuşi au un avantaj (timpul de calcul mult mai mic, ele fiind prima aproximaţie a modelului bidimensional). Cu toate că experimentele numerice au fost limitate, modelul bidimensional a permis evidenţierea unei serii de particularităţi calitative ale procesului formării scurgerii în funcţie de caracteristicile morfometrice şi hidrofizice ale bazinului hidrografic. Modelul bidimensional al formării scurgerii de suprafaţă are aplicabilitate imediată în activitatea de elaborarea prognozelor hidrologice şi pentru determinarea parametrilor hidrologici necesari proiectării lucrărilor hidrotehnice. Aria de aplicabilitate a modelării hidrodinamice bidimensionale a scurgerii de pe versanţi şi bazine mici este practic neexplorată. Lucrarea prezintă numai un exemplu de aplicare a acestei modelări pentru o geometrie simplă a bazinului şi neluând în considerare mişcarea de subsuprafaţă care a fost abordată tridimensional în capitolul 2. Folosirea modelelor digitale ale terenului şi a tehnicilor GIS pentru discretizarea bazinului în suprafeţe elementare, vor contribui la apropierea şi mai mult a modelării matematice a scurgerii pe bazin de procesul fizic întâlnit oriunde în natură. Din aceste motive, ne exprimăm convingerea că această lucrare va stimula interesul cercetătorilor pentru aprofundarea modelării scurgerii pe versanţi permeabili şi pe baza acesteia să se realizeze modelul hidrologic fizic fundamentat al bazinului.

199

BIBLIOGRAFIE

Babu, D. K., Infiltration Analysis and Perturbation Methods, 1. Absorption

with Exponential Diffusivity, Water Resources Research, vol. 12, no. 1, February, 1976.

Betson, R. P., Agricultural watershed hydrology and modelling, Ann. Am. Soc. Agronomy Meeting, Las Vegas, Nevada, November,1973.

Blidaru, V., Nicolau, A. şi Niţescu, E., Simularea pe model a scurgerii apei şi aluviunilor pe versanţi, C. 19446, Catedra de hidraulică şi hidroamelioraţii, I. P. Iaşi, 1976.

Brakensiek, D. L., Hydrodynamics of overland flow and nonprismatic channels, Trans. Am. Soc. Agric. Eng. 9(1), 20-26, 1966.

Brakensiek, D. L., A simulated watershed flow system for hydrograph prediction: A kinematics application, Proc. Intern. Hydrology Symposium, Fort Collins, Colorado, 1967.

Bresler, E., Kemper, W. D. and Hanks, R. J., Infiltration, redistribution and subsequent evaporation of water from soil as affected by wetting rate and hysteresis, Soil Sci. Soc. Am. Proc., 33, 832-840, 1969.

Bruce, R. R., Klute, A., The measurement of soil moisture diffusivity, Soil Science Society of America Proceedings, vol. 20, pp. 458-462, 1956.

Carshaw, H. S. and Jaeger, J. C., Conduction of Heat in Solids, 2nd ed. Oxford Univ. Press, London, 1959.

Celia, M. A., Boulontas, E. T. and Zarba, R. L., A General Mass-Conservative Numerical Solution for the Unsaturated Flow Equation, Water Res. Research, vol. 26, no. 7, pp. 1483-1496, July, 1990.

Chen, C. L. , An analysis of overland flow, Doctoral dissertation, Michigan State University, 1962.

Chen, C. L. and Chow, V. T., Formulation of Mathematical Watershed-Flow Model, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, vol. 97, No. EM3, Proc. Paper 8199, June, , pp. 809-828, 1971.

Chery, D. L. Jr., Constructions, Instrumentation and Preliminary Verification of a Physical Hydrologic Model, Joint Report of the U. S. Department of Agriculture and Utah State University, July, 1965.

201

Chow, V. T. and Harbaugh, T. E., Raindrop Production for Laboratory Watershed Experimentation, Journ. Geophys. Res. Vol. 70, pp. 6111-6119, 1965.

Chow, V. T. and Ben-Zvi, A., 1973, A Hydrodynamic Modelling of tow-dimensional watershed flow, Journal of Hydraulics Division Proc. ASCE, NHY11, 99, pp. 2020-2043, 1973.

Cisler, J., Note on the Parlage method for the numerical solution of horizontal infiltration of water in soil, Soil Sci. 117, 70-73, 1974.

Clarke, R. T., A review of some mathematical models in hydrology, with observations on their calibration and use, J. Hydrology, 19, 1-20, 1973.

Cooper, L. Y., Constant temperature at the surface of an initially uniform temperature, variable conductivity half-space, J. Heat Transfer, 93, pp. 55-60, 1971.

Damidov, V. N., Koreni, V. I., Rasciet sklonovogo stoka po drumernoi modeli s ucietom infiltraþii, Tr. Ghidrometþentva CCCR, vîp. 183, 1977.

Eagleson, P. S., Dynamics of flood frequency, Water Resour. Res., 8(4), pp. 878-898, 1972.

Ene, H. I., Gogonea, S., Probleme în teoria filtraţiei, Editura Academiei, Bucureşti, 1973.

Ene, H. I., Sanchez-Palencia, E., Equations et conditions aux limites pour un modele de milieux poreux, C. R. Acad. Sci. Paris A, 277, pp. 257-260, 1973.

Ene, H. I., Sanchez-Palencia, E., Equations et phenomenes de surface pour l’eculment dans un modele de milieu poreux, Journal de Mecanique, 14(1), 73-108, 1975.

Ene, H. I. and Ungureanu-David, E., On the electrohydrodynamic equations of the permeable media, Preprint Series in Mathematics, no. 4, Institutul de Matematicã, Bucureşti, 1977.

Ene, H. I., Asupra fenomenelor de suprafaţă în cazul mişcării fluidelor vâscoase în prezenţa unor medii poroase, Studii şi cercetări matematice, tom 30, nr. 6, pp. 599-620, Academia RSR, Bucureşti, 1978.

Ene, H. I. and Poliševsky, D., Thermal Flow in Porous Media, D. Reidel, Dordrecht, 1987.

EROSLOPE, Slope and River Bed Stability in the Eastern Alps, Carpathian and Albanian Mountains, Final Report of the project ERB-CIPD-CT93-0031, 1996.

202

Feddes, R. A., Kowalik, P., Neuman, S. P. and Bresler, E., Finite difference and finite element simulation of field water uptake by plants, Technical Bulletin 94, Wageningen, The Netherlands, 1976.

Freeze, R. A., The mechanism of groundwater recharge and discharge. 1. One-dimensional vertical, unsteady, unsatured flow above a recharging or discharging groundwater flow system, Water resources Res. 5, 153-171, 1969.

Freeze, R. A., Role of subsurface flow in generating surface runoff, Water Res. Res., 813, 609-623, 1972.

Gheorghiţă, Şt. I., , Sur le mouvement des fluides incompresibles en présence des corps poreux, Com. Ac. RPR, tome V, 661-663, 1955.

Gheorghiţă, Şt. I., Metode matematice în hidrogazodinamica subterană, Editura Academiei, Bucureşti, 1966.

Gheorghiţă, Şt. I., Introducere în hidrodinamica corpurilor poroase, Editura Academiei, Bucureşti, 1969.

Gheorghiţă, Şt. I., On steady motions of perfect fluids in présence of porous media, J. Math. Phys. Sciences, vol. 4, no. 2, 186-193, 1970.

Gheorghiţă, Şt. I., L’influence des milieux permeables sur le mouvement des fluides libres, Bull. Math. De la Soc. Sci. Math. De la R. S. de Roumanie, tome 21(69), nr. 3-4, 1977.

Gogonea, S., On the flow of the artesian waters in limited domains, Bull. Inst. Polit. Iaşi, 16(20), 3-4, 41-48, 1970.

Gogonea, S., On the steady flow of fluids in porous media with several cavities, Journ. Of Math. And Phys. Sciences, V, 4, 337-346, 1971.

Grace, R. A. and Eagleson, P. S., The Synthesis of Short-Time-Increment Rainfall Sequences, MIT Hydrodynamics Laboratory Report No. 91, May, 1966.

Hadley, R. F. and McQueen, I. S., Hydrologic effects of water spreading in Box Creek basin, Wyoming, U. S. Geology. Surv. Water-Supply Paper 1532-A, 48 pp, 1961.

Henderson, F. M. and Wooding, R. A., Overland flow and groundwater flow from a steady rainfall of finite duration, J. Geophys. Res., 69, 1531-1540, 1964.

Horton, R. E. , The role of infiltration in the hydrological cycle, Trans. Am. Geophics. Union, 14, 446-460, 1933.

203

Horton, R. E. , Erosional development of streams and their drainage basins: hydrophisical approach to quantitative morphology, Bull. Geol. Soc. Am. 56, 275-370, 1945.

Iacob, C., Introduction mathematique à la mecanique des fluides, Bucharest-Paris, 1959.

Iacob, C., Cristea, C., Iacob, V., Mihăileanu, N., Trandafir, R., Tomescu, I., Zidăroiu, C., 1978, Matematici clasice şi moderne, Editura tehnică, Bucureşti.

Izzard, R. F., Hydraulics of runoff from developed surfaces, Washington D. C., Natl. Acad. Sci. Proc. 26th, Annual Meeting, 17 pp, 1946.

Jacob, C. E., The flow of water in an elastic artesian acquifer, trans. Amer. Geophys. Union, part 2, 574-586, 1940.

Kirkby, M. J., Hillslope Hydrology, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester-New York-Brisbane-Toronto, 1978.

Knight, J. H. and Philip, J. R., On solving the unsaturated flow equation, 2. Critique of Parlange’s method, Soil Sci. 116, 407-416, 1973.

Kuciment, L. S., Trubihin, N. A., Dvumernaia modeli formirovania stoka na vodasbore, osnovanniea na uravnenieah, kinematiceskii volnî, Tr. Ghidrometþentva CCCR, vîp. 183, 1977.

Lapidus, A., A Detached Stock Calculation by Second-Order Finite Differences, Journal of Computational Physics, vol. 2, pp. 154-177, 1967.

Leopold, L. B. and Maddock, Thomas Jr., The hydraulic geometry of stream channels and some physiographic implications, U. S. Geolog. Surv. Prof. Paper 252, 57 pp, 1953.

Lighthill, M. J., and Witham, G. B., On Kinematics Waves- flood movement in Long Rivers, Proceedings Royal Society of London, A., vol. 229, May, pp. 281-316, 1955.

Madsen, O. S., A note on the equation of groundwater flow, Water Resour. Res., 5(5), 1157-1158, 1969.

Mamisao, J. P., Development of an Agricultural Watershed by Similitude, Iowa State College, M. S. Thesis, 1952.

Morel-Seytoux, H. J., Pour une théorie modifiée de l’infiltration, 1re partie: Pourquoi?, Cah. ORSTOM sér. Hydrol., vol. X, pp. 185-194.

Morgali, J. R. and Linsley, R. K., Computer analysis of overland flow, Proc. Am. Soc. Civil Eng. Journal Htdraul. Div. 91 (HY3), 81-100, 1965.

204

Muskat, M., The flow of Homogeneous fluids through porous media, J. W. Eduards, Inc. Ann. Arbor., Michigam, 1949.

Oroveanu, T., Mişcarea fluidelor vâscoase, Editura Academiei, Bucureşti, 1967.

Owens, W. M., Laminar to turbulent flow in a wide open channel, Trans. Am. Soc. Civil. Engrs. 119, 1157-1175, 1954.

Parlage, J. Y., Theory of water movement in soils 1. One-dimensional absorption, Soil Sci. 111, 134-137, 1971.

Parlage, J. Y., Horizontal infiltration in soil: A theoretical interpretation of recent experiments, Soil Sci. Soc. Amer. Proc. 37, 309-330, 1973.

Pearsons, D. A., Depths of overland flow, Soil. Conserv. Ser. Tech. Paper 82, 33 pp, 1949.

Philip, J. R., Numerical solution of equation of the diffusion type with diffusivity concentration-dependent, Trans. Faraday Soc. 51, 885-892.

Philip, J. R., 1957, The theory of Infiltration, 1. The infiltration equation and its solution, Soil. Sci., 83, 345-357, 1955.

Philip, J. R., Periodic nonlinear diffusion: An integral relation and its physical consequences, Aust. J. Phys. 26, pp. 513-519, 1973.

Racoveanu, N., Dodescu, Gh., Mincu, L., Metode numerice pentru ecuaţii cu derivate parţiale de tip parabolic, Editura tehnică, Bucureşti, 1977.

Remson, I., Hornberger, G. M.and Molz, F. J., Numerical Methods in Subsurface Hydrology with an Introduction to the Finite Element Method, 389 pp., illus. Wiley-Interscience, New-York, N. Y, 1971.

Richards, L. A., Capillary conduction of liquids through porous mediums, Physics, 1, 318-333, 1931.

Singh, V. P., A nonlinear kinematics wave model of surface runoff, Ph. D. Dissertation, 282 pp., Colorado State University, Fort Collins, Colo, 1974.

Singh, V. P., Hybrid formulated of kinematics wave models of watershed runoff, Journal of hydrol., 27, pp. 35-50, 1975.

Smith, H. L. and Leopold, L. B., Infiltration Studies in the Pecos River watershed, New Mexico and Texas, Soil Sci., 53, 195-204, 1942.

Stanciu, P., Blidaru, S., Drăgoi, E., Model matematic pentru simularea scurgerii în bazine mici, Studii de hidrologie, vol. XIV, Bucureşti, 1976.

205

Stanciu, P., Blidaru, S., Dragoi, E., Possibilities of Mathematical Model Parameter Determination Making Use of Sensitivity Analysis, Meteorology and Hydrology, nr. 2, Bucureşti, 1978.

Stanciu, P., Model matematic fundamentat fizic bazat pe conceptul de suprafaţă activă variabilă, Studii şi cercetări - Hidrologie, vol. 52, 1984.

Stanciu, P., Zlate-Podani, I., A study of hydrological regimes in experimental basins in relation to cultivation practices, Proceedings of the Rome Symposium, IAHS Pub. No. 164, April, 1987 a.

Stanciu, P., Zlate, I., Modelarea matematică a proceselor scurgerii în bazine experimentale şi reprezentative, Studii şi cercetări - Hidrologie, nr. 2, 1987 b.

Stanciu, P., Modelarea mişcării în frontiera poroasă prin analogie cu mişcarea în conducte poroase,. Colocviul de mecanica fluidelor şi aplicaţiile ei tehnice, 9-11 oct., Suceava, 1987.

Stanciu, P., Ene, H., Complex hydrodynamic model for overland runoff and small basins, International Workshop, 6-11 June, Strbske Pleso, Czechoslovakia, 1988.

Stanciu, P., Mathematical modelling of the runoff process on slopes and in small basins, Meteorology and Hydrology, vol. 18, 2, 1988.

Stanciu, P., Hydraulic Erosion of the Soil and Sedimentation Modelling and Field Experimentation, Annual Report 1994-1995, NIMH, Bucharest, 1995.

Straub, L. G., Studies of the transition region between laminar and turbulent flow in open channels, Trans. Am. Geophys. Union, 20, 649-653, 1939.

Tracy, H. J. and Lester, C. M., Resistance coefficients and velocity distributions-smooth rectangular channel, U. S. Geol. Survey Water-Supply Paper 1592A, 18 pp, 1961.

Ünlü, K., Stochastic analysis of large scale transient unsaturated water flow in soil: input parameter characterization and model output evaluation, PhD dissertation, 266 pp., Univ. of Calif. Davis, 1989.

Ward, J. C., Turbulent Flow in Porous Media, Proceedings of A.S.C.E., Journal of Hydraulics Division, vol. 90, No. HY5, pp. 1-12, September, 1964.

Woolhiser, D. A. and Liggett, J. A., Unsteady, one-dimensional flow over a plane - The rising hydrograph, Water Res. Tes. 3(3), 753-771, 1967.

206

Woolhiser, D. A., Overland flow on a converging surface, Trans. ASAE, 12(4), pp. 460-462, 1969.

Woolhiser, D. A. and all, Overland flow on rangeland watersheds, J. Hydrol., 9(2), pp. 336-356, 1970.

Yoshisuke Nakano, Theory and Numerical Analysis of Moving of Boundary Problems in the Hydrodynamics of Porous Media, Water Res. Research, vol. 14, no. 1, feb, 1978.

Youngs, E. G., An infiltration method of measuring the hydraulic conductivity of unsaturated porous materials, Soil Sci. 97, 307-311, 1964.

207

Cărţi editate în seria

INGINERIA RESURSELOR DE APĂ

Aurelia BUCUR ELEMENTE DE CHIMIA APEI Aurel VARDUCA MONITORINGUL INTEGRAT AL CALITĂŢII APELOR Sergiu DIACONU CURSURI DE APĂ. Amenajare, Impact, Reabilitare V. Al. STĂNESCU, MODELAREA IMPACTULUI Ciprian CORBUŞ, SCHIMBĂRILOR CLIMATICE Marinela SIMOTA ASUPRA RESURSELOR DE APĂ Constantin DIACONU HIDROMETRIE APLICATĂ Cristina Sorana IONESCU DEPOZITE DE DEŞEURI. Elemente de proiectare a sistemelor de etanşare-drenaj Octavian LUCA HIDRAULICA MIŞCĂRILOR PERMANENTE Aurel VARDUCA PROTECŢIA CALITĂŢII APELOR Petre GÂŞTESCU DICŢIONAR DE LIMNOLOGIE Ştefan IONESCU IMPACTUL AMENAJĂRILOR HIDROTEHNICE ASUPRA MEDIULUI Andreea Cristina ŞERBAN MODELAREA SERIILOR TEMPORALE. Noţiuni teoretice şi aplicaţii de hidrologie

ISBN : 973-8176-08-5