'

&

$

%

Photo:Vladimir Batagelj,Univerza v Ljubljani

Razvoj matematikein ra cunalnistvaPorecja

Vladimir Batagelj

Univerza v Ljubljani

FMF, matematika

Zapiski, Ljubljana, 5. marec 2005

razlicica: 9. marec 2005 / 02 : 41

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 1'

&

$

%

Kazalo1 Prve civilizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Branje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4 Mezopotamija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6 Matematicni prispevki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7 Mestnistevilski sestav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8 Koren iz 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

9 Tabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

10 Pitagorejske trojice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

12 Drugo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

13 Egipt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

14 Rhindov ali Ahmesov papirus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

17 Moskovski papirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 2'

&

$

%

18 Povzetek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

19 Viri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 1'

&

$

%

Prve civilizacijePrve civilizacije so se pojavile v porecjih veletokov Nil (Egipt), Mezopotamija

(Evfrat, Tigris), Indija (Ind), Kitajska (Jangce), Donava.

• V Mezopotaniji so nasli veliko glinenih tablic, predvsem knjigovodske

narave;

• Napisi na spomenikih in grobnicah v Egiptu. Papirusi.

Malo matematike. Problem branja.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 2'

&

$

%

Branje

Tablice so se naucili brati okrog

leta 1870. Na skaliBehistun

je trojezicni (perzijski, medejski

in asirski) napis o zmagi Darija.

Ker so perzijski jezik poznali, so

tako zaceli prodirati v asirski, ki

je blizu babilonscini.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 3'

&

$

%

Branje

Egipcanskehieroglifeso ugnalize prej.

Napoleonova odprava v Egipt (1799) je

prinesla plosco Rosetta, ki vsebuje tro-

jni napis (grscina, hieroglifi in ljudsko

(demoticno) pisavo). Francoz Cham-

pollion.

Pisave v Egiptu: hieroglifi; sveceniska

(hieraticna) – hitropisna; ljudska (de-

moticna).

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 4'

&

$

%

Mezopotamija

Civilizacija se je pojavila vcetrtem

tisocletju pred n.s. Pisava – glinene

tablice, kolo. Ceprav je vladalo

vec ljudstev: Sumerci, Kaldejci,

Akadijci, Elamiti, Hititi, Asirci,

Medejci, Perzijci, so se kulturni

dosezki prenasali - pogosto govo-

rimo z enotnim imenom o Babilon-

cih – po mestu Babilon. Obdobje

zakljucuje Perzijska osvojitev leta

538 pred n.s.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 5'

&

$

%

Mezopotamija

Poljedelci, namakalni sistem, kovine (baker, srebro,

zlato), ekonomija, sodstvo (Hamurabi), izobrazevanje,

umetnost, arhitektura, religija, inzenirstvo.

Glinene tablice: pravni spisi: pogodbe, posojila, lastnina,

dedovanje, poroke; astronomski podatki – koledar, re-

ligija. Samo v Nipurju so nasli okrog 50000 tablic.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 6'

&

$

%

Matematicni prispevki

• mestnistevilski sestav z niclo

• natancni astronomski izracuni

• prvi problemi teorijestevil

• tabele - reciprocnih stevil, kvadratov,

kubov

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 7'

&

$

%

Mestni stevilski sestavMestnistevilski sestav so izumili okrog 2000 pred n.s. Temeljil je na osnovisestdeset. Obstaja vec razlag te osnove: veliko deliteljev,stetje poclenkih.Za zapisstevk so uporabljali desetiski podsestav.

<< YYY59 = < YYY

<< YYY

No,

< YY YY

predstavljastevilo10 · 602 + 2 · 60 + 2 = 36122.

Niclo so spocetka nakazovali s praznim mestom, kar je lahko dvoumno.Znak za niclo // zasledimosele okrog leta 300 pred n.s.

Babilonci so svoj zapisstevil uprabljali relativno – ni nicel na zadnjihmestih. TakoYY YYlahko pomeni2 ·60+2 = 122, 2 ·602 +2 ·60 = 7320,. . . pa tudi2 + 2 · 60−1 = ∗ ∗ ∗, . . .

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 8'

&

$

%

Koren iz 2Obvladali so sestevanje, odstevanje in mnozenje podobno danasnjemu.

Na tablici 7289, ki jo hranijo na univerzi v Yaleu,

je podan izracun korena iz 2 na trisestdesetiska

mesta. Dobili soY <<YY <<<Y < = 1;24,51,10

YY << = 1.414222

kar le za 0.000008 odstopa od prave vred-

nosti. Za izracun priblizka so uporabili tri ko-

rake Newtonovega postopkax′ = 12 (x + a

x ) kar

je enakovredno prvima dvemaclenoma razvoja

izraza√

a2 + b ≈ a + b2a .

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 9'

&

$

%

TabeleVec tablic vsebuje tabele. Na primer

2 303 204 155 126 108 7,309 6,40

10 612 5

to so obratnastevila glede na 60. Manjkata 7 in 11, ki se ne izteceta. Naneki tablici je 60/7 omejeno med 0;8,34,16,59 in 0;8,34,18.

Tablice obratnihstevil so pomembne pri prevedbi deljenja na mnozenje.

Obstajajo tudi tabele, ki vsebujejo potencestevil (obrestni racun). Te soucinkovito uporabljali pri resevanju problemov. Na primer:cez kolikocasa se bo vrednost zneska podvojila pri 20% obrestni meri? Odgovor je3;47,13,20. Po potrebi so uporabljali linearno interpolacijo.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 10'

&

$

%

Pitagorejske trojiceTablica 322 iz Plimptonove zbirke (Columbia University), 1900-1600 pred

n.s:

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 11'

&

$

%

Pitagorejske trojice

Prepisano v naso pisavo (c2/b2, a, c, i ):

1,59,0,15 1,59 2,49 11,56,56,58,14,50,6,15 56,7 1,20,25 21,55,7,41,15,33,45 1,16,41 1,50,49 31,53,10,29,32,52,16 3,31,49 5,9,1 41,48,54,1,40 1,5 1,37 51,47,6,41,40 5,19 8,1 61,43,11,56,28,26,40 38,11 59,1 7

1,35,10,2,28,27,24,26,40 1,22,41 2,16,1 10

1,27,0,3,45 2,41 4,49 131,25,48,51,35,6,40 29,31 53,49 141,23,13,46,40 56 1,46 15

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 12'

&

$

%

DrugoObvladali so resevanje kvadratnih in kubicnih

enacb (z uporabo tabel).

Za stevilo π so poznali priblizka 3 in 3;7,30 =

3.125.

Tisoc let pred grki so poznali Pitagorov in Talesov

izrek (kot nad premerom je pravi).

Poznali so vsoto kvadratov in geometrijsko vsoto.

Sestdesetiski sistem so strogo uporabljali v

matematiki in astronomiji; drugod zmesnjava sis-

temov – osnove: 2, 12, 10, 24, 60.Sestdesetiski

sistem delno uporabljamose danes – koti,cas.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 13'

&

$

%

Egipt

Koneccetrtega tisocletja pred n.s.

Koledar; letne poplave sledijo malo

za tem, ko Sirius vzide na vzhodu

malo pred Soncem. Razmak med

zaporednimi je 365 dni – 12 mese-

cev po 30 dni + 5 praznicnih.

Opazili so, da je prekratko za 1/4

dneva; po 1460 letih se zopet

ujema.

Na spomenikih in grobnicah ni

matematike, kvecjemu knjigovod-

stvo. Obstaja pa nekaj papirusov

matematicne vsebine.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 14'

&

$

%

Rhindov ali Ahmesov papirus

Najvecji egipcanski papirus (5.65m

x 33cm). Vsebuje 84 problemov.

Skotski starinar Henry Rhind ga

je kupil leta 1858. Sedaj je v

British Museum, delci v Brooklyn

Museum. Po starejsih virih ga je

okrog 1650 pred n.s. prepisal pisar

Ahmes.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 15'

&

$

%

Rhindov ali Ahmesov papirus

Egipcanska kultura jeze cutila potrebo po ulomkih. Pri racunanju so

uporabljali leenotne ulomkeoblike 1n in vcasih n

n+1 . Posebno vlogo je imel

ulomek 23 . Splosne ulomke so zapisali kot vsoto ulomkov oblike1

n . Za

mnozenje in deljenje so uporabljalidvojiskipostopek. Npr:

35

=13

+15

+115

Papirus ima na zacetku tabelo izrazav 2n , n = 5, 7, ..., 101

2/5 = 1/3 + 1/152/7 = 1/9 + 1/28...2/11 = 1/6 + 1/662/13 = 1/8 + 1/52 + 1/1042/15 = 1/10 + 1/30...2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 16'

&

$

%

Rhindov ali Ahmesov papirus

Nato sledi tabelan10 , n = 2, ..., 9. Npr

9/10 = 1/5 + 1/30 + 2/3

V nadaljevanju uporablja te tabele pri resevanju problemov.

Problem 24: Neka kolicina in njena17 data sesteta 19. Katera kolicina je

to?

odgovor: 16 + 1/2 + 1/8 in 2 + 1/4 + 1/8.

V problemu 50 je podan priblizek zasteviloπ – ploscina kroga je enaka

ploscini kvadrata s stranico89 premera. Kar da oceno25681 = 3.16.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 17'

&

$

%

Moskovski papirusNajden 1890, kupil ga je rus Goleniscev, profesor Egipcanskega jezikoslovjav Kairu. Po smrti zapustil Moskovskemu muzeju. (2700-1670, Srednjekraljestvo) Vsebuje 25 problemov z resitvami. Med njimi sostirje geometri-jski.

Problem 6: Dan je pravokotnik z znano ploscino in znanim razmerjemdolzin stranic. Doloci dolzini obeh stranic.

Problem 14: Dana je prisekana piramida s kvadratno osnovo. Znane sodolzine visine in obeh osnovnic. Doloci prostornino.

Ce opisani postopek izracuna izrazimo algebrajsko, dobimo pravilniobrazec:

V =v

3· (a2 + a · b + b2)

V vseh problemih so postopki resitve opisani na konkretnih primerihpodatkov.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 18'

&

$

%

PovzetekPo ohranjenih gradivih so imeli Babilonci precej bolj razvito matematiko

kot Egipcani. Zanje je znacilna precejsnja racunska vescina, ki jo je

omogocil mestni stevilski sestav. Geometrija je praviloma metricna -

usmerjena v prakso. Poznali so vec pomembnih zvez med posameznimi

kolicinami v likih in telesih. Nekateri iz teh sklepajo, da so obvladli pojem

podobnosti.

Pomanjkljivosti:

• v ohranjenih gradivih je najti le konkretne primere – ni splosnih pravil,

ceprav so ta najbrz obstajala (analogija).

• niso dobro razlocevali med tocnim in pribliznim rezultatom. Problema

so se delno zavedali (spusceni zapisi za17 , . . . )

• pojem dokazase ni razvit. Poznajo posamezne logicne odvisnosti.

Znani so primeri preverjanja izracunov.

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 19'

&

$

%

Viri1. Art of the First Cities, Metropolitan Museum 2003

2. Louvre: Mezopotamija, Faraonski Egipt

3. Richard J. Gillings:Mathematics in the time of the pharaohs. Dover,

Mineola, 1982.

4. Henrietta Midonick: The treasury of mathematics. Pelican Book.

Penguin Books, Harmondsworth, 1968.

5. Egyptian Mathematics Papyri

6. Eli Maor: Trigonometric Delights

7. Squaring the Circle

8. Egyptian Mathematics

9. Egyptian Fractions

Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖